Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chiều phức của các dây Fractal tự đồng dạng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:122

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Gần đây lý thuyết về chiều phức của dây fractal đã có những ứng dụng trong lĩnh vực vật lý chẳng hạn như sự nghiên cứu về sự hỗn loạn, tính có lỗ hổng. Nó cũng có những ứng dụng trong vật lý sinh học và các lĩnh vực khác. Luận văn này sẽ trình bày cấu trúc của các chiều phức của các dây fractal, đặc biệt là các dây fractal tự đồng dạng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chiều phức của các dây Fractal tự đồng dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Văn Cưu CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Văn Cưu CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu của đề tài là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Học viên cao học Võ Văn Cưu
LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn cao học. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn quý thầy trong tổ Giải tích, khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp học tập trong suốt quá trình học Cao học. Đặc biệt, tôi xin trân trọng gửi đến thầy – Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Chính thầy là người đã giúp tôi hình thành ý tưởng thực hiện luận văn, đồng thời hướng dẫn một cách rất tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của bạn bè và gia đình đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Học viên cao học Võ Văn Cưu
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu Danh mục các hình MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1 Chương 1. GIỚI THIỆU VỀ CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL ............ 3 1.1. Chiều Phức của dây fractal thông thường ............................................................. 4 1.1.1. Hình học của dây fractal thông thường .......................................................... 4 1.1.2. Hàm Zeta hình học của dây fractal thông thường ....................................... 10 1.1.3. Tần số của một dây fractal thông thường và hàm Zeta phổ ......................... 16 1.2. Dây fractal tổng quát ........................................................................................... 19 1.2.1. Khái niệm về dây fractal tổng quát ............................................................... 19 1.2.2. Một số ví dụ về dây fractal tổng quát ........................................................... 21 1.2.3. Tần số của dây fractal tổng quát ................................................................... 23 1.2.4. Khái niệm dây fractal tổng quát có tính chất languid ................................... 26 Chương 2. CHIỀU PHỨC CỦA DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG .................. 28 2.1. Xây dựng một dây fractal thông thường tự đồng dạng ....................................... 28 2.1.1. Dây tự đồng dạng.......................................................................................... 28 2.1.2. Mối liên hệ với tập hợp tự đồng dạng........................................................... 30 2.2. Hàm zeta hình học của dây tự đồng dạng ........................................................... 33 2.2.1. Công thức tính hàm zeta hình học của dây tự đồng dạng............................. 33 2.2.2. Dây tự đồng dạng với một khe hở ................................................................ 36 2.3. Ví dụ về chiều phức của dây tự đồng dạng ......................................................... 37 2.3.1. Dây Cantor .................................................................................................... 37 2.3.2. Dây Fibonacci ............................................................................................... 38 2.3.3. Dây Cantor và Fibonacci có điều chỉnh........................................................ 42 2.3.4. Một dây với cực điểm bội ............................................................................. 43
2.3.5. Hai ví dụ về dây nonlattice: Dây Hai – Ba và Dây Vàng ............................. 44 2.4. Dây lattice và nonlattice ...................................................................................... 49 2.5. Cấu trúc của chiều phức ...................................................................................... 50 2.6. Mật độ tiệm cận của các cực điểm trong trường hợp nonlattice ......................... 57 Chương 3. CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG NONLATTICE ...................................................................................... 60 3.1. Phương trình đa thức Dirichlet............................................................................ 61 3.2. Vài ví dụ về phương trình đa thức Dirichlet ....................................................... 62 3.2.1. Vài ví dụ về phương trình lattice .................................................................. 62 3.2.2. Vài ví dụ về phương trình generic nonlattice và nongeneric nonlattice ....... 62 3.3. Cấu trúc của nghiệm phức................................................................................... 63 3.4. Xấp xỉ phương trình nonlattice bởi các phương trình lattice .............................. 69 3.4.1. Xấp xỉ Diophant ............................................................................................ 72 3.4.2. Mẫu tựa tuần hoàn của các chiều phức ......................................................... 76 Chương 4. LÂN CẬN HÌNH ỐNG VÀ TÍNH ĐO ĐƯỢC MINKOWSKI............ 83 4.1. Một số kết quả chuẩn bị ...................................................................................... 83 4.1.1. Công thức về hàm đếm dạng phân bố của dây fractal tổng quát .................. 83 4.1.2. Các số hạng hình học địa phương ................................................................. 89 4.2. Công thức tính thể tích lân cận hình ống ............................................................ 90 4.3. Tính đo được Minkowski và các chiều phức ...................................................... 96 4.4. Công thức hình ống của các dây tự đồng dạng ................................................... 99 4.4.1. Tính chất languid của dây fractal tự đồng dạng ........................................... 99 4.4.2. Công thức hình ống của dây Cantor tổng quát ............................................. 99 4.4.3. Dây tự đồng dạng lattice ............................................................................. 100 4.4.4. Dây tự đồng dạng nonlattice ....................................................................... 106 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................... 110
DANH MỤC KÍ HIỆU tập các số nguyên không âm. *  \ 0 tập các số nguyên dương. tập các số nguyên. tập các số hữu tỷ. tập các số thực. *  tập các số thực dương. tập các số phức.  x số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x (phần nguyên của x). x  x \  x phần thập phân của x (phần phân của x). f ( x) f ( x)  O( g ( x)) bị chặn. g ( x) f ( x) f ( x)  o( g ( x)) dần về 0. g ( x) f ( x) f ( x) g ( x) dần về 1. g ( x) #A số phần tử của tập hữu hạn A. 𝑣𝑜𝑙1 độ đo Lebesgue một chiều trên ℝ. 𝑉(𝜀 ) thể tích của lân cận hình ống bên trong của 𝜕Ω với bán kính 𝜀. ∞ ℒ = {𝑙𝑗 }𝑗=1 biểu thị của dây fractal thông thường.  biểu thị của dây (fractal) tổng quát.  đô đo biến phân toàn phần tương ứng với độ đo  . 𝑁ℒ ( N ) hàm đếm các nghịch đảo của độ dài của fractal thông thường ℒ ( dây tổng quát  ). 𝑁𝑣 hàm đếm tần số hay hàm đếm phổ.
𝐷ℒ ( D ) số chiều của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát  ). 𝑀 = 𝑀(𝐷; ℒ ) dung lượng Minkowski của dây fractal thông thường ℒ. 𝑀∗ = 𝑀∗ (𝐷; ℒ ) dung lượng trên Minkowski của dây fractal thông thường ℒ. 𝑀∗ = 𝑀∗ (𝐷; ℒ ) dung lượng dưới Minkowski của dây fractal thông thường ℒ. 𝒲𝑙 số bội của độ dài l của dây fractal thông thường ℒ. (𝑣) 𝒲𝑓 số bội tổng của tần số 𝑓. CS dây Cantor một phần ba. Fib dây Fibonacci. GS dây vàng (golden string). ℎ dây điều hòa.  dây nguyên tố.  hàm zeta Riemann. ℒ hàm zeta hình học của dây fractal thông thường ℒ. 𝑣 (   ) hàm zeta phổ của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát  ). 𝑆: 𝑆(𝑡) + 𝑖𝑡 (𝑡 ∈ ℝ), 𝑊 = {𝑠 ∈ ℂ: Re 𝑠 ≥ 𝑆(Im 𝑠)}: màn và cửa sổ. 𝔇ℒ (𝑊 ) (𝔇𝜂 (𝑊 )) tập hợp các chiều phức nhìn thấy được qua cửa sổ W của dây fractal thông thường ℒ ( dây tổng quát  ). 𝔇ℒ (ℂ) (𝔇𝜂 (ℂ)) tập hợp các chiều phức của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát  ).   ' tích chập của hai dây tổng quát  và  ' . 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑁 các hệ số tỉ lệ của phép đồng dạng co. 𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔𝐾 các hệ số tỉ lệ của các khe hở hoặc là độ dài các khe hở. 𝑟𝑒𝑠(ℒ (𝑠); 𝐷) thặng dư của hàm ℒ tại D. ord ( f ; s) cấp của hàm f tại s. 𝔇 = 𝔇(𝑊 ) ước của một hàm phân hình f trên tập đóng W . N k nguyên hàm thứ k của dây fractal tổng quát  triệt tiêu tại 0.
P k nguyên hàm thứ 𝑘 của phân bố  . 𝔇(0, ∞) không gian các hàm lớp C  với giá compact trong (0, ∞).   sai số dạng phân bố. k 𝜑̃ phép biến đổi Mellin của  .
DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1. Một đàn hạc fractal ...................................................................................... 5 Hình 1.2. Dây Cantor ................................................................................................... 6 Hình 1.3. Lân cận hình ống bán kính trong 0,037 của dây Cantor .............................. 7 Hình 1.4. Hàm 𝜀 𝐷−1 (𝑉𝐶𝑆 (𝜀) + 2𝜀), cộng tính ............................................................. 8 Hình 1.5. Hàm 𝜀 𝐷−1 (𝑉𝐶𝑆 (𝜀) + 2𝜀) tuần hoàn nhân .................................................... 9 Hình 1.6. Màn S và Cửa sổ W ...................................................................................14 1 Hình 2.1. Xây dựng một dây tự đồng dạng với bốn hệ số tỉ lệ 𝑟1 = , 𝑟2 = 𝑟3 = 4 1 1 𝑟4 = và hai khe hở 𝑔1 = 𝑔2 = ..............................................................29 6 8 Hình 2.2. Phép lặp thứ nhất trong việc xây dựng tập hợp tự đồng dạng F với các hệ số tỉ lệ 𝑟1 , … , 𝑟4 và khe hở ban đầu 𝐺𝑘 có độ dài 𝑔𝑘 (𝑘 = 1,2,3). .........................................................................................32 Hình 2.3. Xây dựng một dây fractal tự đồng dạng với 𝑁 = 4 và các phép biến 1 1 đổi đồng dạng với các hệ số tỉ lệ 𝑟1 = , 𝑟2 = 𝑟3 = 𝑟4 = và một khe 4 6 1 hở 𝑔1 = ....................................................................................................36 4 Hình 2.4. Chiều phức của dây Cantor. 𝐷 = log 3 2 và 𝐩 = 2𝜋⁄log 3 .......................38 Hình 2.5. Chiều phức của dây Fibonacci. 𝐷 = log 2 𝜙 và 𝐩 = 2𝜋/ log 2 .................40 Hình 2.6. Hàm cộng tính 21−𝐷 𝑓1 (log 2 (2𝜀 )−1 ) và 𝜀 𝐷−1 (𝑉𝐹𝑖𝑏 (𝜀 ) + 2𝜀) ....................41 Hình 2.7. Hàm có tính nhân 21−𝐷 𝑓1 (log 2 (2𝜀 )−1 ) và 𝜀 𝐷−1 (𝑉𝐹𝑖𝑏 (𝜀) + 2𝜀) ..............41 1 Hình 2.8. Xây dựng dây Cantor thay đổi, với năm hệ số tỉ lệ 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟3 = , 9 1 1 1 1 𝑟4 = 𝑟5 = , và bốn khe hở 𝑔1 = 𝑔3 = , 𝑔2 = , 𝑔4 = . ..................42 27 9 3 27 Hình 2.9. Chiều phức của dây với cực điểm bội. 𝐷 = 𝑙𝑜𝑔3 2 và 𝐩 = 2𝜋/log3. Ở đây, kí hiệu ∘ 2 có nghĩa là cực điểm cấp hai ........................................44 1 1 Hình 2.10. Chiều phức của dây nonlattice với các hệ số tỉ lệ 𝑟1 = , 𝑟2 = và 2 3 1 một khe hở 𝑔1 = ......................................................................................46 6 Hình 2.11. Chiều phức của dây vàng (dây nonlattice với các hệ số tỉ lệ 𝑟1 = 2−1 và 𝑟2 = 2−𝜙 ). .............................................................................47
Hình 2.12. Dáng điệu tựa tuần hoàn của các chiều phức của dây vàng ......................48 Hình 3.1. Đường viền 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + 𝐶4 .................................................................67 Hình 3.2. Xấp xỉ liên tiếp các chiều phức của Dây Vàng. Sự xuất hiện của mẫu tựa tuần hoàn ..............................................................................................77 Hình 3.3. Sáu bước xấp xỉ các chiều phức của dây nonlattice ở Ví dụ 3.4.2a ..........79 Hình 3.4. So sánh các mật độ của các phần thực đối với dây nonlattice nongeneric của Ví dụ 3.4.2a (bên trái) và hai dây nonlattice generic của Ví dụ 3.4.2b (giữa và bên phải) ...........................................................81 Hình 3.5. Mẫu tựa tuần hoàn của các chiều phức đối với dây tự đồng dạng của Ví dụ 3.4.2a (trái) và của Ví dụ 3.4.2b (giữa và phải) ...............................82
1 MỞ ĐẦU Khái niệm dây fractal được chính thức giới thiệu bởi M. L. Lapidus và C. Pomerance trong [12], [13] năm 1990 và được nghiên cứu sâu rộng theo các quan điểm khác nhau trong những năm tiếp theo. Một dây fractal thông thường là một tập con mở bị chặn của một đường thẳng thực. Một tập như thế là một hợp rời của các khoảng mở mà độ dài của nó tạo thành một dãy ℒ = 𝑙1 , 𝑙2 , 𝑙3 , …. Thông tin quan trọng về hình học của dãy ℒ được chứa trong hàm zeta hình học của nó ℒ (𝑠) = ∑∞ 𝑠 𝑗=1 𝑙𝑗 . Phổ của một dây fractal bao gồm một dãy các tần số 𝑓 = 𝑘𝑙𝑗−1 , 𝑘, 𝑗 = 1,2,3, …. Hàm zeta phổ của ℒ được định nghĩa là 𝑣 (𝑠) = ∑𝑓 𝑓 −𝑠 . Hình học của ℒ và phổ của ℒ liên hệ với nhau theo công thức 𝑣 (𝑠) = ℒ (𝑠).  (𝑠) ở đây (𝑠) = 1 + 2−𝑠 + 3−𝑠 là hàm zeta Riemann cổ điển. Khái niệm chiều phức của một dây fractal ℒ, được định nghĩa như là các cực điểm của mở rộng phân hình của ℒ . Chiều phức là công cụ hữu ích để nghiên cứu mối liên hệ giữa hình học và phổ của ℒ. Đặc biệt, chiều phức đóng vai trò quan trọng trong sự nghiên cứu sự kết nối giữa phổ trực tiếp hoặc phổ ngược với hàm zeta Riemann. Dù không được định nghĩa rõ ràng, ý tưởng về chiều phức đã xuất hiện trong một số công trình toán học [12], [13 §4.4b], [10], [11], [8], [9]…. Hiện nay lý thuyết về chiều phức của dây fractal là một lĩnh vực rộng các chủ đề kết nối nhiều lĩnh vực của toán học, bao gồm hình học fractal, lý thuyết số, hình học phổ, động lực phức, giải tích phức, lý thuyết phân bố và vật lý toán. Lý thuyết này được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm như M. L. Lapidus, C. Pomerance, H. Maier, Machiel van Frankenhuijsen... Gần đây lý thuyết về chiều phức của dây fractal đã có những ứng dụng trong lĩnh vực vật lý chẳng hạn như sự nghiên cứu về sự hỗn loạn, tính có lỗ hổng. Nó cũng có những ứng dụng trong vật lý sinh học và các lĩnh vực khác. Luận văn này sẽ trình bày cấu trúc của các chiều phức của các dây fractal, đặc biệt là các dây fractal tự đồng dạng.
2 Luận văn gồm 4 chương: Chương 1: Chiều phức của dây fractal: Giới thiệu một số định nghĩa và tính chất có liên quan đến khái niệm dây fractal thông thường và dây fractal tổng quát trong đó có khái niệm về chiều phức. Cũng trong chương này một số kiến thức được giới thiệu nhằm chuẩn bị cho các chương sau của luận văn. Chương 2: Chiều phức của dây fractal tự đồng dạng: Trình bày một lớp quan trọng các dây fractal thông thường, đó là các dây fractal tự đồng dạng, để minh họa cho lý thuyết về chiều phức. Các dây này được xây dựng theo cách thông thường qua các ánh xạ co. Một phân tích chi tiết sẽ được đưa ra về cấu trúc của chiều phức của các dây fractal tự đồng dạng như thế. Chương 3: Chiều phức của các dây fractal tự đồng dạng nonlattice: Trình bày về các chiều phức của dây fractal tự đồng dạng nonlattice dựa trên nghiên cứu trên các đa thức Dirichlet. Chương này cũng trình bày về sự xấp xỉ một phương trình nonlattice bởi các phương trình lattice bao gồm sự xấp xỉ Diophant và mẫu tựa tuần hoàn của các chiều phức. Chương 4: Lân cận hình ống và tính đo được Minkowski: Đưa ra công thức tường minh cho thể tích của các lân cận hình ống của biên của một dây fractal và suy ra một tiêu chuẩn mới cho tính đo được Minkowski của một dây fractal theo chiều phức của nó. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu và soạn thảo, nhưng những sai sót là điều không thể tránh khỏi, nên tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và toàn thể bạn đọc để luận văn được tốt hơn.
3 Chương 1. GIỚI THIỆU VỀ CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL Nội dung chính của Chương 1 là trình bày một số định nghĩa và tính chất có liên quan đến khái niệm dây fractal thông thường và dây fractal tổng quát trong đó có khái niệm về chiều phức. Cũng trong chương này một số kiến thức được giới thiệu nhằm chuẩn bị cho các chương sau của luận văn. Trong Mục 1.1 chúng ta sẽ nhắc lại một số định nghĩa cơ bản liên quan đến khái niệm dây fractal thông thường và giới thiệu một vài khái niệm mới trong đó quan trọng nhất là khái niệm chiều phức. Thông qua các ví dụ đơn giản và trực quan ta trình bày một số kết quả có liên quan về dây fractal thông thường. Tiểu mục 1.1.1 dành trình bày về hình học của dây fractal thông thường như khái niệm dây fractal, hàm đếm các nghịch đảo của độ dài; chiều của dây fractal và dung lượng Minkowski. Trong tiểu mục này còn trình bày về số bội của các độ dài và một ví dụ minh họa về dây fractal thông thường. Tiểu mục 1.1.2 trình bày về khái niệm và tính chất của hàm zeta Riemann của dây fractal thông thường; mối liên hệ giữa chiều của dây fractal và bán kính hội tụ của chuỗi biểu diễn hàm zeta Riemann; khái niệm màn, cửa sổ và tập hợp các chiều phức của dây fractal. Tiểu mục 1.1.3 trình bày về các tần số của dây fractal thông thường, hàm đếm phổ và hàm zeta phổ. Cuối tiểu mục dành trình bày về luật tiệm cận Weyl. Trong Mục 1.2 ta mở rộng khái niệm dây fractal thông thường đã xem xét trong Mục 1.1 lên khái niệm dây fractal tổng quát như là một độ đo trên nửa đường thẳng. Dây fractal tổng quát cho phép chúng ta nghiên cứu các dây có độ dài biến đổi liên tục và có các số bội không nguyên hoặc có thể vô cùng bé. Tiểu mục 1.2.1 trình bày định nghĩa và một số khái niệm có liên quan như hàm đếm hình học, hàm zeta hình học, màn, cửa sổ và tập hợp các chiều phức của dây fractal tổng quát.
4 Tiểu mục 1.2.2 trình bày một số ví dụ về dây fractal tổng quát ngoài các dây fractal thông thường như dây Cantor tổng quát, dây điều hòa, dây nguyên tố. Tiểu mục 1.2.3 trình bày về tần số, độ đo phổ, hàm zeta phổ của dây fractal tổng quát. Tiểu mục 1.2.4 trình bày khái niệm dây fractal tổng quát có tính chất languid. 1.1. Chiều Phức của dây fractal thông thường 1.1.1. Hình học của dây fractal thông thường [10], [11], [4], [5] 1.1.1.a Khái niệm dây fractal thông thường, hàm đếm hình học, số chiều Trong Hình học fractal một dây fractal thông thường ℒ là một tập con mở bị chặn Ω của ℝ. Ta biết rằng một tập hợp như vậy bao gồm một tập không quá đếm được các khoảng mở và các độ dài của chúng được ký hiệu là 𝑙1 , 𝑙2 , 𝑙3 , …, được gọi là các độ dài của dây. Lưu ý rằng ∑∞𝑗=1 𝑙𝑗 là hữu hạn và bằng độ đo Lebesgue của Ω. Từ đó không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng 𝑙1 ≥ 𝑙2 ≥ 𝑙3 ≥ ⋯ ≥ 0 (1.1) trong đó mỗi độ dài được đếm tương ứng với bội của nó. Ta cho phép Ω là hợp hữu hạn các khoảng mở và trong trường hợp như vậy dãy có hữu hạn các độ dài. Trong mục này, dây fractal thông thường ℒ được xác định hoàn toàn bằng dãy các độ ∞ dài của nó. Vì thế chúng ta thường biểu thị một dây như vậy bởi ℒ = {𝑙𝑗 }𝑗=1 . Dây fractal thông thường có thể được xem như cái trống một chiều với biên fractal (Một trống fractal là một tập con mở bị chặn của ℝ𝑚 với một biên fractal). Một thuật ngữ khác về dây fractal thông thường có thể dễ hình dung hơn: tập mở Ω có thể được gọi là đàn hạc fractal, và mỗi khoảng liên thông của Ω có thể được gọi là một dây đàn; xem Hình 1.1.
5 Hình 1.1. Một đàn hạc fractal Hàm đếm các nghịch đảo của độ dài , còn được gọi là hàm đếm hình học của ℒ, là hàm xác định bởi 𝑁ℒ (𝑥 ) = #{𝑗 ≥ 1: 𝑙𝑗−1 ≤ 𝑥} = ∑ 1, (1.2) 𝑗≥1: 𝑙𝑗−1 ≤𝑥 với 𝑥 > 0. Ước lượng đối với hàm này liên hệ mật thiết với ước lượng đối với dãy các độ dài. Mệnh đề sau sẽ cho thấy rõ điều này. Mệnh đề 1.1. Cho ℒ là dây fractal thông thường với các độ dài 𝑙1 , 𝑙2 , 𝑙3 , …. Khi đó: 1 𝑁ℒ (𝑥 ) = 𝑂(𝑥 𝐷 ) khi 𝑥 → ∞ nếu và chỉ nếu 𝑙𝑗 = 𝑂 (𝑗 −𝐷 ) khi 𝑗 → ∞. Chứng minh: Giả sử ta có ước lượng 𝑁ℒ (𝑥 ) ≤ 𝐶. 𝑥 𝐷 . Lấy 𝑥 = 𝑙𝑗−1 , khi đó 𝑗 ≤ 𝐶. 𝑙𝑗−𝐷 . Do đó 1 𝑙𝑗 = 𝑂(𝑗 −𝐷 ). Mặt khác, giả sử 1 𝑙𝑗 ≤ 𝐶. 𝑗 −𝐷 , với mọi 𝑗 = 1,2,3, …. Nếu 𝑗 ≥ (𝐶. 𝑥 )𝐷 thì với 𝑥 > 0 cho trước ta có 𝑙𝑗−1 ≥ 𝑥. Như vậy 𝑁ℒ (𝑥 ) ≤ (𝐶. 𝑥)𝐷 .
6 Biên của ℒ, ký hiệu là 𝜕ℒ, được định nghĩa là biên 𝜕Ω của Ω. Gọi 𝑑(𝑥, 𝐴) là khoảng cách từ 𝑥 đến tập hợp con 𝐴 ⊂ ℝ và gọi 𝑣𝑜𝑙1 là độ đo Lebesgue một chiều trên ℝ. Giả sử 𝑉(𝜀) là thể tích của lân cận hình ống bên trong của 𝜕Ω với bán kính 𝜀: 𝑉(𝜀 ) = 𝑣𝑜𝑙1 {𝑥 ∈ Ω: d(x, ∂Ω) < 𝜀 } (1.3) Định nghĩa 1.2. Số chiều của dây fractal thông thường ℒ được định nghĩa là số chiều địa phương Minkowski của ∂ℒ: 𝐷 = 𝐷ℒ = inf {𝛼 ≥ 0: 𝑉(𝜀 ) = 𝑂(𝜀 1−𝛼 ) 𝑘ℎ𝑖 𝜀 → 0+ } (1.4) Dây fractal ℒ được gọi là đo được Minkowski với dung lượng Minkowski ℳ = ℳ (𝐷; ℒ) = lim+ 𝑉(𝜀). 𝜀−(1−𝐷) (1.5) 𝜀→0 nếu giới hạn này tồn tại trong khoảng (0, ∞). Dung lượng trên và dung lượng dưới Minkowski lần lượt được định nghĩa là ℳ∗ = ℳ∗ (𝐷; ℒ) = lim+ sup 𝑉(𝜀 ). 𝜀 −(1−𝐷) , (1.6𝑎) 𝜀→0 và ℳ∗ = ℳ∗ (𝐷; ℒ) = lim+ inf 𝑉 (𝜀 ). 𝜀 −(1−𝐷) . (1.6𝑏) 𝜀→0 Do đó 0 ≤ ℳ∗ ≤ ℳ∗ ≤ ∞ và ℒ là đo được Minkowski nếu và chỉ nếu ℳ∗ = ℳ∗ = ℳ là số thực khác 0. 1.1.1.b Số bội của các độ dài Một cách khác để biểu diễn một dây fractal thông thường ℒ bằng cách liệt kê các độ dài 𝑙 khác nhau, cùng với bội 𝒲𝑙 của chúng 𝒲𝑙 = #{𝑗 ≥ 1: 𝑙𝑗 = 𝑙} (1.7) Như vậy 𝑁ℒ (𝑥 ) = ∑ 𝒲𝑙 (1.8) 𝑙 −1 ≤𝑥 Hình 1.2. Dây Cantor
7 Hình 1.3. Lân cận hình ống bán kính trong 0,037 của dây Cantor 1.1.1.c Ví dụ: Dây Cantor Ta xét dây fractal thông thường Ω = CS, phần bù trong [0,1] của tập Cantor một phần ba thông thường (Hình 1.2). Như vậy: 1 2 1 2 7 8 1 2 7 8 19 20 25 26 𝐶𝑆 = ( , ) ∪ ( , ) ∪ ( , ) ∪ ( , ) ∪ ( , ) ∪ ( , ) ∪ ( , ) ∪ 𝑠̇ 3 3 9 9 9 9 27 27 27 27 27 27 27 27 1 1 1 Như vậy 𝑙1 = , 𝑙2 = 𝑙3 = , 𝑙4 = 𝑙5 = 𝑙6 = 𝑙7 = , …, hoặc một cách khác, độ 3 9 27 dài là các số 3−𝑛−1 với bội 𝒲3−𝑛−1 = 2𝑛 , với 𝑛 = 0,1,2,3, …. Nhận xét rằng, theo cách đang xây dựng, biên 𝜕Ω của dây Cantor là tập Cantor một phần ba. Một cách tổng quát, thể tích lân cận hình ống của biên của ℒ được cho bởi (xem [13. Phương trình (3.2), tr. 48]). 1 𝑉 (𝜀 ) = ∑ 2𝜀 + ∑ 𝑙𝑗 = 2𝜀. 𝑁ℒ ( ) + ∑ 𝑙𝑗 (1.9) 2𝜀 𝑗:𝑙𝑗 ≥2𝜀 𝑗:𝑙𝑗
8 trong đó 𝑛 thỏa mãn 3−𝑛 ≥ 2𝜀 > 3−𝑛−1 ; nghĩa là 𝑛 = [− log 3 (2𝜀)] (n là phần nguyên của  log3 (2 ) ). Hình (1.3) cho hình ảnh một lân cận hình ống bán kính trong bằng 0,037. Trong hình này độ dài của dây Cantor được đặt thẳng đứng. Hình 1.4. Hàm 𝜺𝑫−𝟏 (𝑽𝑪𝑺 (𝜺) + 𝟐𝜺), cộng tính 1 Công thức trên đúng với điều kiện 𝑛 ≥ 0, nghĩa là, 𝜀 ≤ . Lưu ý rằng 𝑉𝐶𝑆 (𝜀 ) là 2 1 1 4 độc lập với dạng hình học của dây. Chẳng hạn, chúng ta có thể lấy (0, ) ∪ ( , ) ∪ 3 3 9 4 5 5 16 ( , ) ∪ ( , ) ∪ ⋯ cho dây Cantor. 9 9 9 27 Để xác định 𝛼 nhỏ nhất sao cho 𝑉𝐶𝑆 (𝜀 ) = 𝑂(𝜀 1−𝛼 ) 𝑘ℎ𝑖 𝜀 → 0+ , ta viết 𝑏 𝑛 = 𝑏 [− log3(2𝜀)] = 𝑏 − log3(2𝜀)−{− log3(2𝜀)} = (2𝜀)− log3 𝑏 . 𝑏 −{− log3(2𝜀)} với 𝑏 = 2 và với 𝑏 = (ở đây  log3 (2 ) ký hiệu phần phân của  log3 (2 ) ). 2 3 Đặt log 2 𝐷 = log 3 2 : = (1.10) log 3 1 ta thấy rằng với mọi số dương 𝜀 ≤ , 2 1−𝐷 1 {− log3(2𝜀)} 3 {− log3(2𝜀)} 𝑉𝐶𝑆 (𝜀 ) = (2𝜀) . (( ) +( ) ) − 2𝜀. (1.11) 2 2 Hàm giữa dấu ngoặc đơn là bị chặn, khác hàm hằng và tuần hoàn nhân: nó có 𝜀 giá trị như nhau tại 𝜀 và (xem Hình 1.4 và 1.5). Nó không có giới hạn khi cho 𝜀 → 3 0+ . Đây là ví dụ cơ bản của dao động hình học. Điều đó dẫn đến dây Cantor có số chiều Minkowski là 𝐷 = log 2 3 và nó không đo được Minkowski. Dung lượng trên và dung lượng dưới Minkowski được tính trong [13, Định lý 4.6, tr. 65] lần lượt là: ℳ∗ = 22−𝐷 = 2,5830,
9 ℳ∗ = 21−𝐷 . 𝐷−𝐷 . (1 − 𝐷)−(1−𝐷) = 2,4950. (1.12) Hình 1.4 chỉ ra một biểu đồ của nhân tử tuần hoàn trong dấu ngoặc của công thức (1.11) với thang (tỉ lệ) tuyến tính trên trục hoành (nghĩa là trên 𝜀 − 𝑡𝑟ụ𝑐). Để làm rõ hơn tính tuần hoàn nhân của hàm này, trong Hình 1.5, ta giới thiệu đồ thị cũng của hàm này với thang (tỉ lệ) loga trên trục hoành. Hình 1.5. Hàm 𝜺𝑫−𝟏 (𝑽𝑪𝑺 (𝜺) + 𝟐𝜺) tuần hoàn nhân Chúng ta tiếp tục phân tích lân cận hình ống bên trong 𝑉𝐶𝑆 (𝜀 ) của dây Cantor bằng cách sử dụng chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 𝑢 → 𝑏 −{𝑢} , với 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1: −{𝑢} 𝑏−1 𝑒 2𝜋𝑖𝑛𝑢 𝑏 = .∑ (1.13) 𝑏 log 𝑏 + 2𝜋𝑖𝑛 𝑛∈ℤ (Theo định lý Dirichlet [3, Định lý 8.43, tr. 266] chuỗi này hội tụ.) Viết 𝐩 = 2𝜋⁄log 3 và thay (1.13) vào công thức (1.11) thì với mọi số dương 𝜀 ≤ 1 ta có, 2 ∞ 1 (2𝜀)1−𝐷−𝑖𝑛𝐩 𝑉𝐶𝑆 (𝜀 ) = ∑ − 2𝜀 . (1.14) 2 log 3 (𝐷 + 𝑖𝑛𝐩). (1 − 𝐷 − 𝑖𝑛𝐩) 𝑛=−∞ Số 𝐩 = 2𝜋⁄log 3 được gọi là chu kỳ dao động của dây Cantor. Nhận xét 1.3. (1.14) biểu diễn 𝑉(𝜀) như tổng vô hạn các số phức. Tương tự, với giá trị thực của 𝑏, (1.13) biểu diễn hàm giá trị thực 𝑏 −{𝑢} như là tổng vô hạn các giá trị phức. Tổng này trên thực tế là giá trị thực vì có thể tổ hợp lại số hạng cho 𝑛 và −𝑛 thành một số hạng với 𝑛 ≥ 1. Thực vậy, hai số hạng này là số phức liên hợp của nhau. Do đó tổng giá trị của chúng là giá trị thực. Do đó chúng ta có biểu thức của 𝑉(𝜀):