Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của lớp ánh xạ tăng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của lớp ánh xạ tăng gồm có 5 chương trình bày về các khái niệm sử dụng, điểm bất động của toán tử đơn điệu liên quan đến tính compắc; điểm bất động của toán tử T-đơn điệu; điểm bất động của toán tử hỗn hợp đơn điệu; ứng dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của lớp ánh xạ tăng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ Bùi Thị Doan ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA LỚP ÁNH XẠ TĂNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010
LỜI CẢM ƠN Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến : Quý Thầy Cô thuộc khoa toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh đã nhiệt tình dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và học tập của khóa học. Ban giám hiệu, các quý thầy cô phòng sau đại học trường ĐHSP đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt khóa học. Ban giám hiệu, các thầy cô đồng nghiệp trường THPT Xuyên Mộc đã tạo điều kiện và giúp đỡ mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn. Đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này. TP.Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 10 năm 2010 Học viên: Bùi Thị Doan
MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được xây dựng từ những năm 1940 và đựơc phát triển, hoàn thiện cho đến tận nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rất đa dạng và có ý nghĩa để nghiên cứu nhiều lớp phương trình cụ thể xuất phát từ Toán học, Khoa học Tự nhiên, Y học, Kinh tế học,… Trong lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình với ánh xạ tăng đóng vai trò rất quan trọng. Khi nghiên cứu các phương trình dạng này ta có thể nghiên cứu sâu hơn các tính chất nghiệm như sự duy nhất, tính ổn định của nghiệm, tính gần đúng của nghiệm nhờ các dãy lặp đơn điệu,…. Các định lý đầu tiên của Tarskii và Krasnoselskii về điểm bất động của ánh xạ tăng đòi hỏi các điều kiện khá ngặt đặt lên nón (nón Minihedral) hoặc lên ánh xạ (điều kiện hoàn toàn liên tục). Với việc sử dụng các nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự như bổ đề Zorn, Nguyên lý đệ quy tổng quát, Nguyên lý Entropy thì điều kiện liên tục của ánh xạ đã được bỏ qua và điều kiện Compact đã được giảm nhẹ rất nhiều trong các định lý điểm bất động của Krasnoselskii, Carl, Heikkila, …được tìm ra gần đây. Để nghiên cứu các lớp phương trình mới xuất phát từ khoa học thì gần đây các nhà nghiên cứu đã khảo sát các lớp ánh xạ có thể nghiên cứu bằng cách đưa về các ánh xạ tăng hoặc bằng các phương pháp tương tự khi xét ánh xạ tăng, đó là lớp ánh xạ T-đơn điệu và hỗn hợp đơn điệu. Gần đây các ánh xạ đa trị đơn điệu cũng đã được nghiên cứu và ứng dụng. Các kết quả về phương trình với ánh xạ tăng thu được cho đến nay rất phong phú và đa dạng nhưng chỉ được trình bày trong các bài báo khoa học. Luận văn muốn giới thiệu một cách hệ thống với các chứng minh chi tiết cho các kết quả về một số lớp ánh xạ tăng quan trọng và thường gặp nhất. Luận văn có 5 chương. Chương 1.Các khái niệm sử dụng. Chương 2. Điểm bất động của toán tử đơn điệu liên quan đến tính compắc. Chương 3. Điểm bất động của toán tử T-đơn điệu. Chương 4. Điểm bất động của toán tử hỗn hợp đơn điệu. Chương 5.Ứng dụng . Chương 1. Ở chương đầu này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản trên không gian Banach có thứ tự như nón, nón sinh, nón chuẩn ,nón chính quy,ánh xạ tăng ( ánh xạ đơn điệu)…, đặc biệt là nguyên lý Entropi (Brezis, Browder) mà sẽ được dùng để chứng minh các định lý cơ bản của luận văn.
Chương 2. Chương này trình bày về điểm bất động của các toán tử compact đơn điệu, compact đơn điệu tới hạn và điểm bất động của toán tử đơn điệu trên không gian với nón Minihedral- mạnh. Chương 3. Trình bày về điểm bất động của toán tử T-đơn điệu, nguyên lý ánh xạ co trên các phần tử so sánh được và phương trình toán tử ngược dương. Chương 4. Trình bày về toán tử hỗn hợp đơn điệu và điểm bất động, điểm bất động của toán tử hỗn hợp đơn điệu Chưong 5. Là chương kết thúc của nội dung luận văn, trình bày một vài ứng dụng điểm bất động của một số lớp ánh xạ tăng vào bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân.
Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach có thứ tự 1.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.1.1: Cho X là không gian Banach thực. 1. Tập K chứa trong X được gọi là nón nếu i. K là tập đóng ii. K  K  K ,  K  K   0 iii. K  ( K )    2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi nón K được định bởi x  y hay y  x  y  xK Mỗi x  K \   gọi là dương Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “  ” là thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó: i. x y  x  z  y  z ,  x   y z  X ,   0 ii. ( xn  yn ( n  * ),lim xn  x, lim yn  y ) x y iii. Nếu dãy {xn} tăng, hội tụ về x thì xn  x n  * Chứng minh i. Với mọi z  X ta có y + z –(x + z) = y- x  K (vì x  y ) nên xz yz Với mọi   0 , ta có y - x  K nên  ( y  x)  K suy ra  x   y ii. Vì xn  yn  yn  xn  K Mà lim ( y  xn )  y  x và K là tập đóng n n Nên ( y  x)  K  x  y iii. Vì dãy  xn  tăng nên xn  xnm m  Cố định n, cho m   ta có xn m  x suy ra xn  x n  1.1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K được gọi là nón chuẩn nếu: N > 0 : 0  x  y  x  N y
Mệnh đề 1.1.2 Giả sử "  " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K. Khi đó i. u  v thì đoạn u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn ii. Nếu xn  yn  zn và lim x  a, lim zn  a n n n Thì lim y  a n n iii. Nếu dãy  xn  đơn điệu, có dãy con hội tụ về a Thì lim x  a n n Chứng minh i. Với x  u , v  u  x v  0 xu vu Mà K nón chuẩn nên  N > 0 sao cho x  u  N v  u  x  u  xu  N vu  x  N vu  u  u , v bị chặn theo chuẩn ii. Ta có 0  yn  xn  zn  xn Mà K nón chuẩn nên  N > 0 sao cho yn  xn  N zn  xn  yn  xn  N zn  a  N a  xn  yn  a  xn  a  N zn  a  N a  xn  yn  a  N zn  a  ( N  1) a  xn Vì lim x  a, lim zn  a suy ra lim yn  a  0 suy ra lim yn  a n n n n n iii. Giả sử dãy  xn  tăng có dãy con xnk   hội tụ về a Với n cố định, k đủ lớn ta có xn  xnk Cho k   ta có xn  a n  *  Cho   0 , chọn k0 để xnk  a  thì ta có 0 N n  nk0  a  xn  a  xnk 0  a  xn  a  xnk   0 Vậy lim x  a n n 1.1.3 Nón chính quy (Regular cone)
Định nghĩa 1.1.3: Nón K được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ Mệnh đề 1.1.3: Nón chính quy là nón chuẩn. Chứng minh Giả sử K là nón chính quy nhưng K không là nón chuẩn Khi đó n  N * xn , yn  X sao cho: 0  xn  yn mà xn  n 2 yn xn Đặt un  ta có un  1 xn yn yn 1 vn  ta có vn   2 xn xn n  1   Vì  2 hội tụ nên  vn hội tụ suy ra  vn hội tụ n 1 n n 1 n 1  Đặt v   vn , sn  u1  u2  u3  ...  un n 1 Ta có dãy (sn) tăng và bị chặn trên (vì sn  v n  ) K là nón chính quy nên dãy (sn) hội tụ  Suy ra  un hội tụ suy ra lim u n  0 điều này là vô lý vì un  1 n 1 n  1.1.4 Nón sinh (Repro ducing cone) Định nghĩa 1.1.4: Nón K được gọi là nón sinh nếu X= K – K hay x  X, u,v  K sao cho x  u  v Mệnh đề 1.1.4: Nếu K là nón sinh thì tồn tại M>0 sao cho x  X, u,v  K : x  u  v, u  M. x , v  M. x Chứng minh: Đặt C  K  B ( ,1)  K  B ( ,1)  Vì K là nón sinh nên x   nC n 1  Thật vậy x   nC suy ra n0  N * : x  n0C n 1 Suy ra u, v  B ( ,1)  K mà x  n0u  n0v , x  X (vì K nón sinh và n0u, n0v  K ) Ngược lại x  X suy ra u , v  K mà x uv 1 1 Ta có u  B ( , ), v  B( , ) u v
Suy ra u  u B ( ,1), v  v B ( ,1)  u , v  n0 B ( ,1) , n0  max  u , v    u , v   nB ( ,1) n 1   x   nC n 1 Ta chứng minh : r  0 sao cho B( , r )  C  Vì X   nC mà X là không gian Banach nên n0  * , G mở trong X sao n 1 cho G  n0 C 1 1 Vì C lồi , đối xứng nên C  CC 2 2 1 1 Suy ra G   C 2n0 2n0 1 1 Ta có G  G mở chứa  nên r  0 Sao cho 2n0 2n0 1 1 B( , r )  G  G 2n0 2n0 II, Đặt B  B( ,1) r Ta chứng minh : BC 2 r Lấy a  B ta chứng minh a  C 2 1 n r Ta xây dựng dãy  xn  thoả mãn xn  n C , a   xk  n1 2 k 1 2 r 1 r 1 Thaät vậy: Vì n B nC neân y  n B,   0, x  n C 2 2 2 2 Sao cho y  x   . r 1 r Ta có a  B nên x1  C sao cho a  x1  2 2 2 2 r 1 r a  x1  2 B nên x2  2 C sao cho a  x1  x2  3 2 2 2 r 1 r a  x1  x  3 B nên x3  3 C sao cho a  x1  x2  x3  2 2 24
Cứ tiếp tục quá trình trên ta được dãy (xn) thỏa xn  1 r n 1  C hay xn  n K  B ( ,1)  K  B( ,1) r  Vì xn  1 r n  2 1 2 1 K  B ( ,1)  K  B ( ,1) nên un , vn  K : un  n , vn  n mà Ta có xn  un  vn    1 Do 2 n 1 n hội tụ nên u n 1 n , v n 1 n hội tụ     Đặt u   un , v   vn ta có u   un  1 , v   vn  1 n 1 n 1 n 1 n 1 n Suy ra lim (  x )  u  v (1.1.1) n k 1 k n r  Mặt khác a   x  n Suy ra a   xn (1.1.2) k 1 k 2 n 1 Từ (1.1.1) và (1.1.2) suy ra a uv u , v  K (do un , vn  K) Mà  nên u, v  K  B( ,1)  u  1, v  1 III) x  X , x   r x r r x Ta có  B  C nên u ', v '  K : u '  1, v '  1 và  u ' v ' 2 x 2 2 x 2 2 Suy ra x  x u ' x v ' r r  2 u  r x u ' Đặt  v  2 x v '  r  u , v  K   2 2 Ta có xuv và  u  x . u'  x  r r  2 2  v  r x . v '  r x 2 Đặt M  khi đó ta có điều phải chứng minh r 1.1.5 Nón Minihedral Định nghĩa 1.1.5 - Nón K được gọi là nón Minihedral nếu x1 , x2  K thì tồn tại a  sup  x1 , x2  .
- Nón K được gọi là nón Minihedral mạnh nếu A  K thì tồn tại a  sup A 1.1.6 Nón liên hợp Định nghĩa 1.1.6: Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của nón K là K *   f  X * / f ( x)  0 x  K  K * có các tính chất sau:  K * đóng  K *  K *  K * ,  K *  K *   0 Mệnh đề 1.1.6 x0  K  f ( x0 )  0 f  K * Chứng minh: Chiều  ) Hiển nhiên Chiều  ) Giả sử trái lại tức là f ( x0 )  0 f  K * , x0  K Suy ra x0  X \ K nên theo định lý tách tập lồi g  X * : g ( x0 )  g ( y ) y  K x  K , cố định x ta có g ( x0 )  g (tx) t  0 . Cho t   ta có g ( x)  0  g  K*  g(x0) < 0 điều này là vô lý. 1.2 Ánh xạ tăng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y là các không gian Banach thực; P và K là các nón tương ứng trong X và Y. Ánh xạ F : X  Y gọi là ánh xạ tăng (hay ánh xạ đơn điệu) nếu x1 , x2  X và x1  x2 ta có F ( x1 )  F ( x2 ) Ánh xạ F : X  Y gọi là dương nếu x  X , x   ta có F ( x)   Chú ý Nếu F là ánh xạ tuyến tính thì : F là ánh xạ tăng  F dương Thật vậy : x  X , x   và F tăng nên F ( x)  F ( )   suy ra F dương x1 , x2  X và x1  x2  x1  x2   mà F dương  F ( x1  x2 )    F ( x1 )  F ( x2 ) . Vậy F tăng Ñịnh lý 1.2.1 Giả sử P là nón sinh trong X, K là nón chuẩn trong Y và F : X  Y là toán tử tuyến tính dương. Khi đó F liên tục. Chứng minh : Vì F là toán tử tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh F bị chặn.
i. Trước tiên ta chứng minh rằng : m  0 sao cho x  P, F ( x)  m x Giả sử trái lại tức là n  * , xn  P : F ( xn )  n3 . xn 1 1 Đặt zn  2 xn ta có zn  , F ( zn )  n n . xn n2    1 Vì n n 1 2 hội tụ nên  n 1 zn hội tụ suy ra z n 1 n hội tụ .  n Đặt z =  zn và sn = n 1 z k 1 k Ta có zk  P , z  lim sn và P đóng nên suy ra z  P n  n p n 1 n p Vì sn  p  zn   zk  zn   zk  z k nên sn  p  zn  P k 1 k 1 k  n 1 Suy ra zn  sn  p . Cho p   ta được zn  z Mặt khác F là ánh xạ tăng, tuyến tính nên F là ánh xạ dương nên   F ( zn )  F ( z ) mà K là nón chuẩn nên N  0 : F ( zn )  N . F ( z ) Suy ra n  F ( zn )  N . F ( z ) . Cho n   ta có F ( z )   , vô lý. Vậy m  0 để x  P, F ( x)  m x x  u  v  ii. x  X , vì P là nón sinh nên u, v  P, M  0 :  u  M . x   v  M. x Ta có F ( x)  F (u )  F (v)  F (u )  F (v)  F (u )  m1 u Do u, v  P nên theo chứng minh trên m1 , m2  0 :   F (v)  m2 v  F (u )  M .m1 x Suy ra   F (v)  M .m2 x Suy ra F ( x)  F (u )  F (v)  (m1  m2 ).M . x Vậy F bị chặn mà do F tuyến tính nên F liên tục. 1.3 Nguyên lý Entropi (Brezis, Browder) Giả sử có : 1. X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy tăng trong X có một cận trên, nghĩa là nếu un  un 1 n  * thì v  X : un  v n  *
2. Phiếm hàm S : X   ,   là tăng và bị chặn trên , nghĩa là nếu u  v thì s (u )  s(v) và tồn tại một số thực c sao cho S (u )  c u  X Thế thì  v  X : u  X , v  u   S (u )  S (v) Chứng minh: Lấy tùy ý u1  X , rồi xây dựng các phần tử u1  u2  u3  .... như sau: Giả sử có un , ta đặt M n  u  X : u  un  ,  n  sup S(u) uM n i. Nếu  n  S (un ) Với u  X , un  u  u  M n Suy ra S (u )  S (un ) Mặt khác un  u  S (un )  S (u ) (do S tăng) Vậy u  X , un  u  S (un )  S (u ) nên un là phần tử cần tìm ii. Nếu  n  S (un ) ta tìm được un+1 thỏa : un 1  M n   1 F ( x1 )  F ( x2 )  .....  F ( xn )........, xn  M  S (un 1 )   n  (  n  S (un )) 2 n (1.1.3)  2  n  S (un ) Ta thấy (1.1.3)  S (un 1 )  2 * Quá trình trên là hữu hạn thì ta tìm được un+p nào đó mà  n  S (un  p ) và chứng minh như trên ta được un+p là phần tử cần tìm * Quá trình trên là vô hạn thì ta có dãy tăng {un} thỏa 2S (un 1 )  S (un )   n  * Do {un} là dãy tăng nên theo giả thiết thì dãy {un} có cận trên. Gọi u0 là cận trên của dãy {un}. Ta chứng minh u0 là giá trị cần tìm Với u  u0 , Ta có u ³ un "n Î *  u Î M n "n Î *  S (u )   n  2.S (un 1 )  S (un ) Do dãy {un} tăng trong X nên dãy {S(un)} tăng trong  ,   và bị chặn trên nên tồn tại giới hạn. suy ra S (u )  lim S (un ) n   S (u )  S (u0 )  S (u )  S (u0 ) (vì u ³ u0  S( u ) ³ S( u0 )
Chương 2 : ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT Trong chương này ta xét X là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K. 2.1 Điểm bất động của toán tử compact đơn điệu Định nghĩa 2.1.1 Cho M  X Toán tử F : M  X được gọi là Compact đơn điệu nếu nó biến mỗi dãy tăng trong M thành dãy hội tụ. Định lý 2.1.1 Giả sử : 1) M là tập đóng trong X 2) F : M  X là toán tử tăng, compact đơn điệu và F ( M )  M 3) Tồn tại x0  M sao cho x0  F ( x0 ) Khi đó F có điểm bất động trên M. Chứng minh: Đặt M 0   x  M : x  F ( x) và Với mỗi x  M 0 , g ( x)  sup  F ( y )  F ( z ) / y, z  M 0 ; y  z  x Từ giả thiết 2) và 3) ta có M 0   và F ( M 0 )  M 0 Ta sẽ áp dụng nguyên lý Entropy vào tập M0 và phiếm hàm (-g) i. Trước tiên ta chứng minh: Mỗi dãy tăng  xn   M 0 đều có cận trên Thật vậy dãy tăng  xn  tăng nên dãy {F(xn)}n hội tụ (vì F là compact đơn điệu) Đặt x  lim F ( xn ) ta có x  M ( vì M đóng và n  F ( xn )  M )  xn  x (vì xn  F ( xn )  x ) ii. Phiếm hàm (-g) là tăng và bị chặn trên Ta có g ( x)  0 x  X   g ( x)  0 x  X nên ( g ) bị chặn trên x, x '  X , giả sử x  x ' ta chứng minh  g ( x)   g ( x ' ) Xét y  M 0 / x '  y và  y  M 0 / x  y Vì x  x ' nên y  M 0 / x '  y   y  M 0 / x  y Suy ra sup  F ( y )  F ( z ) / y, z  M 0 , y  z  x '   sup  F ( y )  F ( z ) / y, z  M 0 , y  z  x  g ( x ' )  g ( x)   g ( x ' )   g ( x) suy ra (-g) là hàm tăng
Vậy theo nguyên lý Entropi tồn tại u0  M 0 sao cho x  M 0 , x  u0 ta có  g ( x)   g (u0 )  g ( x)  g (u0 ) Ta chứng minh g (u0 )  0 Giả sử g (u0 )  c  0 ta có y1  M 0 , y1 >u 0 : F ( y1 )  F (u0 ) >c Do g ( y1 )  g (u0 )  c nên y2  M 0 , y 2  y1  u 0 : F ( y2 )  F ( y1 ) >c Cứ tiếp tục như vậy ta có dãy  yn  là dãy tăng trong M Mà F ( y2 n )  F ( y2 n 1 )  c điều này là vô lý (vì F biến dãy tăng thành dãy hội tụ) Vậy g (u0 )  0 Đặt b  F (u0 ) ta có b  u 0 (vì u0  M 0  F(u 0 )  u 0 ) Ta có F (b)  F (u0 )  g(u 0 )=0  F (b)  F (u0 )  b vậy F có điểm bất động là b  F (u0 ) Hệ quả 2.1.1 Giả sử 1. K là nón chuẩn, u0  A(u0 ) , A(v0 )  v0 2. Toán tử A : u0 , v0   u0 , v0  là toán tử đơn điệu và tập A( u0 , v0 ) là tập compact tương đối. Khi đó A có điểm bất động trên  u0 , v0  Thật vậy: 1. Do K là nón chuẩn nên tập  u0 , v0  là tập đóng 2. Toán tử A là compact đơn điệu vì: với mọi dãy tăng  xn n chứa trong  u0 , v0  Do A là ánh xạ tăng nên dãy  A( xn )n là dẫy điệu tăng Vì A   u0 , v0   là tập compact tương đối nên dãy  A( xn )n có dãy con ( xn ) k  ( xn ) n sao k cho lim A  xk   a k  Vì  u0 , v0  đóng nên a  u0 , v0  K là nón chuẩn Dãy  A( xn ) tăng có dãy con  A( xn ) hội tụ vì a  u0 , v0  k k Nên dãy  A( xn ) hội tụ
3. A( u0 , v0 )   u0 , v0  Vậy theo định lý 2.1.1 thì A có điểm bất động. Hệ quả 2.1.2 Giả sử 1. K là nón chính quy, u0  A(u0 ) , A(v0 )  v0 2. A :  u0 , v0    u0 , v0  là toán tử đơn điệu. Khi đó A có điểm bất động. Thật vậy: 1. Vì K là nón chính quy nên K là nón chuẩn suy ra Tập  u0 , v0  là tập đóng và bị chặn 2. A là oán tử compact đơn điệu vì: Với mọi dãy  xn n tăng trong  u0 , v0  suy ra dãy  A( xn ) bị chặn trên và dãy tăng trong  u0 , v0  Do K là nón chính quy và  A( xn ) dãy tăng, bị chặn trên nên suy ra dãy  A( xn )n hội tụ Vậy theo định lý 2.1.1 A có điểm bất động trên  u0 , v0  . Hệ quả 2.1.3: Giả sử 1. X là không gian phản xạ, K là nón chuẩn, A(v0 )  v0 , u 0  A(u0 ) 2. A : u0 , v0    u0 , v0  là toán tử đơn điệu Khi đó A có điểm bất động trên  u0 , v0  . Thật vậy:  Do K nón chuẩn nên  u0 , v0  là tập đóng, bị chặn, lồi. Nên  u0 , v0  là compact yếu vì X là không gian phản xạ  Với mọi dãy  xn  đơn điệu tăng trong  u0 , v0  Ta có dãy  A( xn ) n là dãy đơn điệu tăng tong  u0 , v0  Suy ra dãy  A( xn ) có dãy con  A( xn ) hội tụ yếu, về y trong  u0 , v0  k k Đặt yk  A( xn ) , ta có dãy k  yk k là dãy tăng trong  u0 , v0  với mọi f  X * , f ( ym )  f ( yk ), m  k Cho m   ta có f ( yk )  f ( y )  y  yk k Ta chứng minh lim yk  y k 
Do K nón chuẩn nên N  0 sao cho x, y  K , 0  x  y yeáu Ta có x  N . y vì yk  y trong  u0 , v0  nên theo định lý Mazur tồn tại  z  t1 yk1  t2 yk2  ...  tm ykm  C0 ( yk k ) sao cho z  y  2N 1 Đặt k  max k1 , k2 , k3 ,..., km  Khi đó k  k Ta có y  z  k  z  0 nên yk  z  N . y  z Ta có yk  y  yk  z  z  yk   N  1 yk  z   Suy ra lim yk  y k  Vậy dãy  A( xn ) là dãy tăng nên có dãy con hội tụ về y và K nón chuẩn nên dãy  A( xn ) hội tụ. Vậy A là đơn điệu compact. Kết luận: Theo định lý 2.1.1 thì A có điểm bất động. 2.2 Điểm bất động của toán tử đơn điệu tới hạn. Định nghĩa 2.2.1 Toán tử F : M  X  X gọi là compact đơn điệu tới hạn nếu mỗi dãy F n ( xn )n thỏa mãn điều kiện F ( x1 )  F 2 ( x2 )  F 3 ( x3 )  ..., xn  M (2.2.1) đều hội tụ Định lý 2.2.1 Giả sử 1.Tập M đóng, và bị chăn trong X. 2. Toán tử F : M  M đơn điệu, compact đơn điệu tới hạn. 3. Tồn tại x0  M sao cho x0  F ( x0 ) Khi đó F có điểm bất động. Chứng minh * Đặt M 0   x  M / x  F ( x) Ta có M 0   (vì x0  F ( x0 ) ) (Theo giả thiết 3) và F ( M 0 )  M 0 * Trên M 0 ta định nghĩa dãy các phiếm hàm Sn như sau:   S n ( x)  sup F n (u )  F n (v) / u, v  M 0 , x  F n (u )  F n (v) Ta đặt M ( x )  (u, v) : u, v  M n 0 ; x  F n (u )  F n ( v )  Ta có M n ( x)   vì x  F n ( x)  F n (u ) và M n ( x) là tập bị chặn trên X  X Vậy Sn được xác định.
Ngoài ra: Nếu x  x, thì M n ( x)  M n ( x, ) nên Sn ( x)  Sn ( x, ) Suy ra Sn là hàm giảm trên M 0 Ta nhận xét thấy F    (u)  Fn1(v) : u, v M0 , x  Fn1(u)  Fn1(v)  Fn1(u, )  Fn1(v) : u, vM0 , x  Fn1(u)  Fn (v) Nên n1 Sn 1 ( x )  Sn ( x )  S ( x ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên hội tụ. n Đặt S( x )  lim Sn ( x )  Sn ( x )  S( x ) n và S cũng là hàm giảm trên M 0 (do Sn giảm trên n  M0 ) (Ta sẽ áp dụng nguyên Entropi cho tập M 0 và phiếm hàm (-S)) 1. Xét dãy tăng  xn n  M 0 ta chứng minh dãy số  xn n có cận trên. Ta lập bảng vô hạn 2 phía sau: F ( x1 )  F 2 ( x1 )  ...  F n ( x1 )  ... F ( x2 )  F 2 ( x2 )  ...  F n ( x2 )  ... .…………………………………. …………………………………. .…………………………………. F ( xn )  F 2 ( xn )  ...  F n ( xn )  ... …………………………………. Vì ( xn ) là dãy tăng nên các phần tử trên một cột là dãy tăng(do F là toán tử tăng). Do vậy dãy chéo F ( x ) n n n là dãy tăng, vì F là toán tử compact đơn điệu tới hạn nên dãy này hội tụ về x và xn  F n ( xn )  x nghĩa là x là cận trên của  xn n , Ta kiểm tra x  M0 Thật vậy F n ( xn )  x , n  F n 1 ( xn )  Fx  F n ( xn )  F n 1 ( xn )  F ( x ) , n Cho n   ta được x  F ( x )  x  M0 2. Áp dụng nguyên lý Entropi ta tìm được a  M 0 sao cho x  M 0 , x  a Ta có S (a)  S ( x) Ta chứng minh S (a)  0 Giả sử S (a)  2  0
 Ta có S1 (a)  S(a)  2  0 nên tồn tại u1 , v1  M 0 sao cho thỏa mãn F 1 (v1 )  F 1 (u1 )  a ta có F1 (v1 )  F (u1 )    Do F 1 (v1 )  a nên S(F 1 (v1 ))  S(a)=2 >0  S2 (F 1 (v1 ))  S(a)   nên tồn tại u2 , v2  M 0 sao cho F 2 (v2 )  F 2 (u2 )  F 1 (v1 )  a và F 2 (v2 )  F 2 (u2 )    Do F 2 (v2 )  a nên S3 (F 2 (v2 ))  S(a)  2  0 nên tồn tại u3 , v3  M 0 sao cho F 3 (v3 )  F 3 (u3 )  F 2 (v2 ) và F 3 (v3 )  F 3 (u3 )    Cứ tiếp tục như trên ta sẽ xây dựng được các dãy un  , vn   M 0 sao cho F 1 (u1 )  F 1 (v1 )  F 2 (u2 )  F 2 (v2 )  ...  F n (un )  F n (vn )  ... (2.2.2) Thỏa mãn F n (vn )  F n (un )   (2.2.3) Rõ ràng dãy (2.2.2) là dãy hội tụ theo định nghĩa F là toán tử compact tới hạn mà điều này thì mâu thuẩn với (2.2.3). Vậy s(a) = 0 3. Bây giờ ta chứng minh F có điểm bất động trên M0 Ta có a  F (a )  F 2 (a )  F 3 (a)  F 4 (a)  ... Do F là toán tử compact tới hạn nên dãy F n (a ) hội tụ, đặt b  lim F n (a ) mà do  F n (a ) là dãy tăng nên F n 1 (a )  b n   F n (a )  F (b) n  1, n  Cho n   ta có b  F (b)  b  M 0 a  F n (a )  F n (b)n nên F n (a )  F n (b)  S n (a ) Do lim Sn (a)  S (a)  0 nên lim F n (a)  F n (b)  0 n  n  Từ 0  F (b)  b  F n (b)  F n (a) Ta có F (b)  b hay F có điểm bất động trong M 0 * Chú ý: Trong định lý 2.2.1 ta giữ nguyên các giả thiết1. và 2. còn giả thiết 3 ta thay bằng giả thiết 3’ là x0  M sao cho F ( x0 )  x0 thì ta vẫn có kết luật: “Khi đó F có điểm bất động trong M” Định nghĩa 2.2.2 Cho u0   toán tử F được gọi là u0 - lõm đều trên nếu. 1. A đơn điệu trên
2. x  u, v ,   0,  >0 sao cho  u0  F ( x)   u0 3.   a, b   (0,1),    (a, b)  0 sao cho x  u, v , t  (a, b) thì F (tx)  (1   )tF ( x) Từ định nghĩa u0 - lõm đều ta thấy  ,   0 và phụ thuộc vào x Nếu F là u0 - lõm thì F (tx)  tF ( x) t  (0,1), x  u, v  Định lý 2.2.2 Giả sử 1. K là nón chuẩn 2. F là toán tử u0 - lõm đều trên 3. u  Fu, Fv  v Khi đó F có điểm bất động trên Thật vậy:  Do K là nón chuẩn nên đóng, bị chặn  Do giả thiết 3, mà ta có F ( u, v )  u, v  ta chứng minh toán tử F compact đơn điệu tới hạn.  * Giả sử  ,   0 :  u0  u, v   u0 vaø 1  Thật vậy nếu u, v không có tính chất trên thì từ điều kiện 2. trong định nghĩa F là u0-lõm đều suy ra   0,   0 sao cho  u0  F (u ), F (v)   u0  Ta đặt u1  F (u ), v1  F (v) ta có  u0  u1 , v1   u0 , 0  1   F (v1 )  v1 và  ( do F(v)  v  v1  v)  F (v1 )  F (v)  v1 )  F (u1 )  u1 Khi đó ta xét F là u0 - lõm đều trên u, v Do K là nón chuẩn nên u, v đóng, bị chặn  x  u, v , M  0 : x  M * F là toán tử compact đơn điệu tới hạn vì: Giả sử  xn n   u, v  thỏa điều kiện F  x1   F 2  x2   ...  F n  xn   ... (*) Ta sẽ chỉ ra F n  xn  là dãy cauchy (khi đó sẽ hội tụ vì X là không gian Banach)   Lấy   0 đủ bé để  1 (N là hằng số chuẩn của nón K)  M .N    Do F là u0 - lõm đều trên u, v nên   0 sao cho x  u, v , t   ,1  ta có  M .N  F  tx   1    tF  x 
    1    N 0 1  1 M .N Chọn N 0 là số tự nhiên thỏa điều kiện    1    N0  1     M .N  1     1 N Bằng cách giảm số  , ta có thể coi 0  Ta chứng minh n  n0 , k  N thì F n  k  xn  k   F n  xn    Do F k  xn  k   u, v và xn  u, v nên  u0  F k  xn  k  và xn   u0 F k  xn  k  xn    u0   F k  xn  k   x    n    Ta có F k 1  xn  k   F  xn   1    F  xn         2  F k  2  xn  k   F 1    F  xn    1    F 2  xn      …………………………………………………. ………………………………………………... .............…………………………………………..  N 1   N  F k  N0  xn  k   F 1    0 F N0 1  xn    1    0 F N0  xn       N   F n  k  xn  k   F n  N0  F k  N0  xn  k    F n  N0 1    0 F N0  xn       n N   1    F  xn   1    F n  xn  N 0 1 0      n  1   F  xn   M .N   Kết hợp điều kiện: F n  k  xn  k   F n  xn  ta có 0  F n  xn   F n  k  xn  k   F n  xn  M .N   Do đó F n  xn   F n  k  xn  k   .N . F n  x n   .M   (do F n  xn   u , v ) M .N M Vậy dãy F n  xn  là dãy cauchy, mà do X là không gian Banach nên dãy F n  xn  hội tụ. Vậy theo định lý 2.2.1 ta có F có điểm bất động trên u, v 2.3 Điểm bất động của toán tử đơn điệu trên không gian với nón Minihedral - mạnh Giả sử X là không gian Banach thực, sắp bởi nón Minihedral K. Ta có kết quả sau: