BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP.HOÀ CHÍ MINH
Tröông Kim Hoàng Phöôùc
Chuyeân ngaønh : Toaùn Giaûi tích Maõ soá
: 60 46 01
LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC
NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS.TS. LEÂ HOAØN HOÙA
Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2008
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hóa, thầy đã
tận tình hướng dẫn cho tôi trong quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô đã tận tâm giảng dạy cho tôi rất
nhiều kiến thức quý báu trong quá trình tôi học cao học.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quí thầy cô và các anh chị làm công
tác quản lý ở phòng sau đại học đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành khóa học.
Người viết
Trương Kim Hồng Phước
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán áp dụng định lý điểm bất động của Krasnosel’skii vào
phương trình tích phân đã được nhiều tác giả nghiên cứu ví dụ trong [1]-
[4],[6],]7].
Trong [2], tác giả đã áp dụng định lý điểm bất động của
Krasnosel’skii trên không gian Fréchet để chứng minh sự tồn tại nghiệm
của phương trình tích phân.
Trong [6] Hoa, Schmitt cũng đã trình bày định lý điểm bất động của
Krasnosel’skii trên không gian lồi địa phương.
Trên cơ sở ý tưởng và kỹ thuật trong [2,6] luận văn này trình bày
một định lý điểm bất động của krasnosel’skii .
2. Mục đích nghiên cứu
Ap dụng định lý về điểm bất động để chứng minh sự tồn tại nghiệm
của phương trình tích phân phi tuyến.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Với giả thiết thích hợp đối với các ánh xạ U và C, ta chứng minh sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Định lý điểm bất động là công cụ mạnh đã được nhiều nhà toán học
sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân.
Luận văn chỉ trình bày các kết quả đẹp cho bài toán.
5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn được chia làm các chương như sau:
Mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài
Chương 1 : Giới thiệu
Trong chương này sẽ giới thiệu hai định lý về điểm
bất động của krasnosel’skii.
Chương 2 : Trình bày một định lý điểm bất động của Krasnosel’
Skii.
Chương 3: Sự tồn tại nghiệm, gồm các định lý và bổ đề.
Chương 4: Nghiệm tiệm cận ổn định
Chương 5 : Trường hợp tổng quát, gồm các định lý.
Chương 1 : GIỚI THIỆU
MỘT ĐỊNH LÝ RẤT PHỔ BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
KRASNOSEL’SKII
1.1. Định lý 1.1
Cho M là một tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng trong không gian
X
, . )
. Giả sử
là ánh xạ co và
là ánh xạ
Banach (
:U M X
:C M X
hoàn toàn liên tục sao cho:
( )
( )
,
,
.
U x C y M x y M
Khi đó U
có một điểm bất động trong M.
C
Định lý của Kranosel’skii đã được mở rộng bởi nhiều tác giả ,ví dụ chúng ta
tham khảo [1],[2],[3],[4],[6],[7] và kiểm tra ở đó.
Trong tài liệu này chúng ta đưa ra một định lý điểm bất động của
Krasnosel’skii và ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến
t
t
(cid:0)
0
0
x t ( ) q t ( ) f t x t ( , ( )) v t s x s ds , ( )) ( , G t s x s d , ( )) ( , , (1.1) s t ,
[0,
)
:q
E
(cid:0)
(cid:0)
:G V ,
E
E
giả
sử
liên
tục,
:f
E
;
được
E
,
s
.
t
(cid:0) t s ( , )
(cid:0) (cid:0)
d
V t s x ( , , )
và hàm
là tuyến tính theo biến thứ
Trong trường hợp
E (cid:0)
ba, phương trình (1.1) đã được nghiên cứu bởi C. Avramescu và
C.Vladimirescu [2]. Các tác giả này đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm
tiệm cận ổn định phương trình tích phân sau:
t
t
x t ( )
q t ( )
V t s x s ds ( , ) ( )
G t s x s ds t , ( )) ,
( ,
, , Trong đó E là không gian Banach với chuẩn . ,
0
0
(cid:0) , (1.2)
d
d
d
Trong đó :
q
:
,d
f
:
:
V
:
(cid:0)
(cid:0)
G (cid:0)
d
được giả sử liên tục,
và
)
là tập hợp các
t
t s ( , )
(d M ) (cid:0) ,
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ,
(cid:0)
dM (cid:0) (
ma trận thực cấp hai. Trường hợp đó đã được làm bởi sử dụng định lý điểm
bất động sau của Krasnosel’skii
(cid:0) (cid:0) , s
1.2. Định lý 1.2
là không gian Fréchet và cho
:C D X
,
là hai ánh xạ.
Cho (
X
X
, . ) n
Giả sử các giả thiết sau được thỏa:
a) C là ánh xạ compact
b) D là ánh xạ co với sự liên quan của .
n tương đương với .
n
,
(0,1)}
là bị chặn
c) Tập hợp {
x X
x
, Cx
x D
Khi đó C + D có một điểm bất động.
Trong [6] Hoa, Schmitt cũng đã trình bày vài định lí điểm bất động của
Krasnosel’skiii đối với ánh xạ U+C trên tập hợp con lồi, đóng, bị chặn, lồi
nU
của không gian lồi địa phương, ở đó C là hoàn toàn liên tục và
thỏa mãn
điều kiện co (Định lý này chúng ta sẽ nêu ra trong phần phụ lục). Hơn nữa đa
ứng dụng vào phương trình tích phân trong không gian Banach.
Trên cơ sở ý tưởng và kỹ thuật trong [2,6] chúng ta xét phương trình
(1.1). Tài liệu này bao gồm 5 phần. Trong phần 2 chúng ta chứng minh một
định lý điểm bất động của Krasnosel’skii. Kết quả chính của chúng ta sẽ được
trình bày trong phần 3,4. Ở đây sự tồn tại của nghiệm và nghiệm tiệm cận ổn
định của (1.1) đã được thiết lập khi điều kiện đưa ra thỏa. Cuối cùng trong
phần 5, một trường hợp chung được đưa ra. Chúng ta trình bày sự tồn tại
nghiệm của phương trình dạng:
t
x t ( )
q t ( )
f
t x t x ( , ( ), (
t ( ))
v t s x s x ( , , ( ), (
s ( )))
d
s
0
t
G t s x s x , ( ), (
( ,
s ( )))
ds t ,
(cid:0) (1.3)
0
và trong trường hợp( )tt . Nghiệm tiệm cận ổn định (1.3) cũng được xét.
Kết quả chúng ta đạt được ở đây là trong phần chung của [2], tương ứng
phương trình (1.2).
Chương 2 : MỘT ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
KRASNOSEL’SKII
Trên cơ sở định lý 1.2 ([1]) và ([6] và định lí 3), chúng ta có được định lý
sau:
2.1. Định lý 2.1
:C U X
,
X
Cho (
X
là không gian Fréchet và cho
là hai ánh xạ.
, . ) n
Giả sử
U là ánh xạ k - co, k [0,1) ( đôc lập đối với n )Với họ chuẩn .
i)
n
tương đương với .
n ;
C là hoàn toàn liên tục
ii)
*
n
iii)
n
Cx 0, n (cid:0) . lim x x
Khi đó U + C có một điểm bất động.
Chứng minh định lí 2.1
Trước hết chúng ta thấy từ giả thiết i) suy ra sự tồn tại và liên tục của ánh xạ
1 ()I U
,n
n
K K 0 2
1
n
n
x
,
n
*
K x 1 n
K x 2 n
(cid:0) .
n
n
n
x
,
x
,
x A là bị chặn,
. Và từ . tương đương với . . Tồn tại sao cho
x A bị chặn nếu và chỉ nếu
n
n
A X n
*
(cid:0) ; ,
*
Điều này suy ra a) Tập hợp
x
0
x
b)Với mỗi dãy ( trong X, . Từ )mx n (cid:0)
0
x m
x lim m
n
n
n
m
lim m
nếu . Dãy (xm) hội tụ tới x với chuẩn .
n
và chỉ nếu (xm) hội tụ tới x với chuẩn .
n
. Do đó điều kiện ii) được thoả mãn với .
ta Mặt khác, cũng có
*
2
n
n
n
n
n
n
x X n ,
2
n
(cid:0) . Do
2
n
n
n
n
n
n
Cx Cx Cx Cx K Cx 1 n , . . K K 1 n K x x x x x K K 1 n
vậy,
n
n
n
n
n
n
Cx Cx 0 , 0 lim x lim x x x
Bây giờ chúng ta chứng minh UC có một điểm bất động. Với
( )
a
X
:a
aU x U x ( )
X
a
bất kì bởi . Dể thấy , định nghĩa ánh xạ U X a X
aU
aU
)(a
là một ánh xạ k - co và do đó có một điểm bất động được đặt ,
là . Khi đó
1 a ( )
aU
m
*
( a ( )) a ( ) U ( a ( )) a a ( ) ( ) a ( ) I U
C xU
( )
0u
U
U (
y ( ))
U U (
y ( ))
C x
( ),
X
Đặt làm điểm bất động của U. Với mỗi ), , ở đó. x X . Xét u m (cid:0) 0(
y U ( )
y
m C x ( )
C x ( )
1 m C x ( )
1 m C x ( )
*
*
.
Chúng ta chú ý hơn rằng n (cid:0) cố định , m (cid:0)
m C x ( )
0
0
1 m C x ( )
0
0
C x ( )
1 m C x ( )
0
C x ( )
1m ( ) C x
0
U U (
u (
)
U u (
)
k U (
u (
)
u
n C x ( )
n
n .
m 1 ( ) C x
0
0
m 1 ( ) C x
0
0
n
n
n
*
U u ( ) u U U ( u ( )) U u ( ) U ( u ( )) U U ( u ( )) U
m
1
Bằng quy nạp, , chúng ta có: m (cid:0)
m C x ( )
0
0
n
n
n
.
U u ( ) u ... (1 k ) C x ( ) (2.1) k C x ( )
n ở trên. Với
(cid:0) M
1 ở đó . Do điều kiện iii) được thỏa mãn với 1 1 k
n
n
n
0 n
0 ) sao cho x Cx x . 0, (ta chọn M u M 1 4 1 4
,
x X
. Như vậy
r M u
n
0
n
x X , ta xét hai Chọn hằng số dương 1
trường hợp:
0
n
Trường hợp 1: . x u r 1n
0
0
n
n
0 n
n
x u Từ x u r M u 1n
, chúng ta có
n
M x
0
0
0
0
0
n
n
n
n
n
( ) C x x u x u x u x u x u 1 4 1 4 1 4 1 2
(2.2)
x u
r 1n
0
n
Trường hợp 2: .
n
, tồn tại một hằng số dương sao cho Do ii) thoả mãn với .
n
C x ( ) . (2.3)
. Đặt Chọn 2nr
nD
,n
n
*
. D n
n (cid:0)
*
x X x : D r 2
0u D
Khi đó và D lồi, đóng,bị chặn trên X . Với mỗi x D và mỗi n (cid:0)
x u
r , khi đó do (2,1) , (2,3)
như trên ta cũng xét hai trường hợp:
0
1 n
n
(2.4)
U
u (
)
u
C x ( )
n
m C x ( )
0
0
r 2
n
r
x u
r + Nếu 1
n
0
2n , khi đó do (2.1), (2.2)
n
)
U
( u
u
( ) C x
(2.5)
( )
0
0
r 2
r 2
m C x
n
n
n
n
1 2
m
)
,
Chúng ta có được
D x D
C xU
( )
u 0(
+ Nếu
m
)
Mặt khác, do
là ánh xạ co nên dãy
hoi tụ về điểm bất động
C xU
( )
u 0(
( )C xU
duy
nhất
( ))C x
của
khi
.
Suy
ra
(
m
(C xU
)
1
( xC (
))
Dx
D
,
.Như vậy
(
I U C )
(
D
)
. D
1
(
I U C )
có một
Áp dụng định lí điểm bất động Schauder suy ra ánh xạ
điểm bất động trong D đó cũng là điểm bất động của U + C trong D.
Chương 3 : SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
Đặt
(
)
là không gian các hàm số liên tục từ
E
tương ứng
X C
E ,
(cid:0)
với họ đếm được nữa chuẩn
x
n
1
.
x t ( ) ,
n
sup 0, n t
X x ,
là không gian mêtric
Khi đó
n
x
y
n
)
2
( , d x y
1
n y
x
n
1
n
và X là không gian Fréchet. Xét trong X một họ nữa chuẩn khác
x được
n
định nghĩa như sau:
x
x
x
,
n
, 1
n
n
h n
)
h t ( n
n
x
x t ( )},
(0, ),
0
tùy ý với sự
trong đó
n
n h n
h n
e sup { [ n , ] t n
x . do đó
tương ứng với chuẩn
n
)
h n ( n
n
e
x
x
2
x
,
1
. x X n ,
n
n
n
sao cho
L
Chúng ta xây dựng giả thiết sau 0,1
1A > Tồn tại hằng số
f
t x ( , )
f
t y ( ,
)
L x
x y E t ,
,
y ,
( ,
( ,
)
,
1 : t s x ( , )
t s ( , )
V t s x V t s y
(cid:0) y ,
(cid:0) ; sao cho x y E , ,
;
2A > Tồn tại một hàm số liên tục , ) 1
G t
( ,.,.) :
I
E
J
liên tục đều theo biến t
3A > G hoàn toàn liên tục sao cho
trong quả cầu bị chặn bất kỳ, với bất kỳ tập bị chặn
[0,
)
I và bất kì tập bị
chặn
J
;
E
4A > Tồn tại hàm liên tục
2 :
(cid:0) sao cho
(cid:0)
t s ( , )
2
0
,
lim x
, ) G t s x ( , x
đều trong (t,s) là tập con bị chặn bất kỳ của
3.1. Định lý 3.1
)
Cho
A thỏa mãn, khi đó phương trình (1.1) có nghiệm trên [0,
14A
Chứng minh định lý 3.1
Phần chứng minh gồm 4 bước:
Bước 1: trong X, ta xét phương trình
x t ( )
q t ( )
f
t x t ( , ( )),
t
(cid:0) (3.1)
Chúng ta có bổ đề sau :
3.2. Bổ đề 3.2
Cho 1A thỏa, phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất .
X
X
Chứng minh: Do giả thiết
: được định nghĩa:
1A , ánh xạ :
x t ( )
q t ( )
f
t x t ( , ( )),
x X t ,
(cid:0)
là ánh xạ L- co trên không gian Fréchet (
X x ,
)
. Ap dụng không gian Banach
n
có duy nhất điểm bất động
X . Bổ đề đã được chứng minh.
Bằng cách thay x
y ta có thể viết phương trình (1.1) ở dạng
y t ( )
Ay t ( )
( )
( ),
t
By t Cy t
(cid:0) (3.2)
ở đó:
Ay t ( )
q t ( )
f
t y t ( , ( )
t ( ))
t ( ),
t
By t ( )
V t s y s ( ) ,
( ,
s ds ( ))
,
0
t
Cy t ( )
G t s y s ( ) ,
( ,
s ds ( ))
0
Bước 2: Đặt U A
B
,
y y ,
X
t
, từ các giả thiết A1, A2 ta có
(cid:0)
t
( )
L y t ( )
t s y s ( , ) ( )
Uy t U y t ( )
y t ( )
y s ds ( )
1
0
[0,1]
( độc lập đối với n ) với họ
Hơn nữa, ta có U là ánh xạ
- co,
nk
nk
.
.
Thật
vậy,
cố
định
tuỳ
ý
n *
chuẩn
(cid:0) ,
n
được chọn sau cùng, ta có:
],
(0, )
tn [0. n
n
t
( )
L y t ( )
t s y s ( , ) ( )
Uy t U y t ( )
y t ( )
y s ds ( )
1
0
(
)
y
y
.
(cid:0) L w n n 1
n
Ở đó:
t s sup{ ( , );( , ) t s
},
1
n
1 n
[0, ],
{( , ) t s
[0, ] n
n s
} t
n
điều này suy ra:
(
L
)
y
(3.3)
Uy U y
n
1 n n
y
n
Với mọi
t
, tương tự ta cũng có
n ,n
t
n
( )
L y t ( )
y s ( )
y s ( )
U t U t ( )
(3.4)
y
n 1
n 1
y t ( )
y s ds ( )
y s d ( ) s
y
0
n
Từ
(3.4)
và
bất
đẳng
thức
)
h t ( n
n
0
e
1,
t
n , ],
0
, ( được chọn sau cùng )
[ n
h n
nh
Suy ra
)
)
h t ( n
n
h t ( n
n
( )
( )
L y t ( )
y
Uy t U y t e
1 n n
y t e ( )
y
n
t
h t ( n
n
nw 1
y s ( )
y s e ( )
) d
s
(cid:0)
n
L y
y
y
y
(cid:0) w n n 1
n
h n
t
)
)
h s ( n
n
h s t ( n
(cid:0)
nw 1
y s ( )
y s e ( )
e
s d
n
t
)
h s t ( n
.
L y
y
y
e
ds
n n 1
n 1
y
y
y
nh
n
h n
n
L y
y
y
.
1 n n
y
y
y h n
h n
n
1 n h n
Ta được
(
)
(3.5)
L
y
y
y
y
Uy U y
(cid:0) w n n 1
h n
n
(cid:0) w 1 n h n
Kết hợp (3.3) – (3.5), ta suy ra:
(
L
)
y
(
L
)
y
Uy U y
2 1 n n
y
y
n
h n
n
1 n h n
k
y
(3.6)
n
y
n
k
max{
L
,
L
. Chọn
Ở đó
n
2 1 n n
1 }n h n
,
0
n
n h , }; n
1 n 1 L
L 1 min{ 2 n 1
.
Khi đó ta có
, do (3.6), U là ánh xạ
- co với họ chuẩn
1nk
nk
n .
Bước 3:
Chúng ta chứng minh rằng
:C X
là hoàn toàn liên tục. Trước hết ta
X
X
(
y
sao cho
chứng minh C liên tục. Với bất kỳ
X , cho dãy
0y
)m m
*
K
{(
y
)( ) :
s
[0, ],
n m
. Cho
cố định ,đặt
s
y lim m
y 0
m
n (cid:0)
(cid:0) .Khi }
m
đó K compact trong E.
Thật vậy, cho ((
)(
))
là dãy trong K. Ta giả sử rằng
si
i
s lim i
và s 0
imy
i
. Ta có:
0
yy im
lim i
(
y
)(
)
(
)(
)
(
y
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
s i
s i
s i
s i
y 0
s 0
y 0
y 0
y 0
s 0
m i
m i
y
(
)(
)
(
)(
.
s i
y 0
y 0
y 0
0) s
im
n
Điều này chứng tỏ rằng
y
)(
)
(
)(
)
trong E. Có nghĩa rằng
s i
y 0
0s
im
lim( i
K là compact trong E.
[0, ]
Với mỗi
, có sự tồn
n K
0 , từ G là liên tục trên tập compact [0, ] n
tại
cho
0 sao
,
u v K u v ,
,
G t s u ( , , )
( ,G t s
v , )
s t ,
,
n [0, ]
.
n
y
,
Do
nên tồn tại
sao cho với
,
m
y 0
0m
m m 0
lim m
(
y
s )( )
(
s )( )
y
s ( )
s
n [0, ]
.
,
m
m
y 0
y s ( ) 0
Suy ra với mọi
,
[0, ],
n m
t
m 0
t
( )
G t s y ( ,
,(
s )( ))
G t s y ( ,
,(
)( )
s ds
Cy t Cy t ( )
,
0
0
m
m
0
Cy
và tính liên tục của C đã được chứng minh.
Do đó
,
Cy 0
m
m m0
n
Còn lại ta chứng minh C là tập bị chặn các ánh xạ bên trong tập compact
tương đối. Ta gọi lại điều kiện sau đối với tính compact tương đối của tập con
trong X.
3.3. Bổ đề 3.3: ([7, định đề 1])
Cho
là không gian Fréchet đã định nghĩa ở trên và A là tập
(
)
X C
E ,
(cid:0)
*,
con của X. Với mổi
cho
là không gian Banach của
C
([0, ],
n E
)
nX
n (cid:0)
u
u
t ( )
và
các hàm
liên
tục
u
n :[0, ]
, với chuẩn
E
sup [0, ] t n
[0, ] n
x : x A n
A
*,
Tập A trong X là compact tương đối nếu và chỉ nếu với mổi n là A n (cid:0)
nX
đẳng liên tục trong và với mọi s , tập ( ) { ( ) : x s } là n [0, ] A s n x A n
compact tương đối trong E.
Bổ đề này được phát biểu trong [7] và không có chứng minh chi tiết. Chúng ta
chứng minh nó trong phần phụ lục.
Từ định lí Ascoli-Azela ([5]), có sự chứng minh sau:
(cid:0)S
Cho E là không gian Banach với chuẩn . và là không gian mêtric compact.
EC S ( )
x
sup{ ( ) ,
x s
s S
. }
Cho là không gian Banach các ánh xạ liên tục từ tới E với chuẩn: S
EC S ( )
Tập hơp A trong là compact tương đối nếu và chỉ nếu A là đẳng liên
x A
*
tục và A s ( ) x s ( ) : s S tập hợp là compact tương đối trong E.
n (cid:0)
, Bây giờ cho là tập con bị chặn của X, ta phải chứng minh rằng
là đẳng liên tục trong
nX
( a) Tập C ( )nC
n]
(
khi đó S là bị chặn trong E. từ G là hoàn Đặt S y s )( ) : y s [0, ,
2 n ([0, ]
toàn liên tục , tập G S ) là compact tương đối trong E và do đó
2 n 0, ]
nM
G ([ ) 0 S bị chặn, như vậy sao cho
n
G t s y ( , ,( s )( )) M t s , n [0, ], y (3.7) ,
2
t
t 1
2
Với bất kỳ y , t [0, ]n , t 1
2
0
0
t
2
t 1
Cy t ( ) ,( )( )) s ds ,( ( )( )) s ds Cy t ( ) 1 G t s y ( , 1 G t s y , 2
0
t 1
,( s )( )) ,( ( )( )) s ds ,( ( )( )) s ds (3.8) G t s y ( , 1 G t s y , 2 G t s y , 2
3A và (3.7) bất đẳng thức (3.8) chỉ ra rằng
)nC (
là đẳng liên tục Do giả thiết
nX
trên .
n [0, ]
( b ) n [0. ], tập C ( Cy t ( ) : y } t là compact tương đối ) ( ) { t n
trong E. Như
2 n ([0, ]
2 n ([0, ]
G G ) là trên, tập là compact tương đối trong E. suy ra )S s
convG
2 n ([0, ]
)
convG
2 n ([0, ]
)
S
S
, ở đó là compact trong E, do đó là
2 n , ]
G ([0 ) . S bao đóng lồi của
Với mọi t n [0, ], y . Từ
2 n ([0, ]
G t s y ( , ,( s )( )) G S s n [0, ], ),
t
Và
0
Cy t ( ) G t s y ( , ,( )( )) s ds
Suy ra rằng
2 n ([0, ]
nC (
t ) ( ) tconvG (3.9) ). s
nC (
Như vậy tập ) ( ) t là compact tương đối trong E .
Theo bổ đề (3.3), là compact tương đối trong X . Hơn nữa C là hoàn )C (
*
toàn liên tục,bước 3 đã đươc chứng minh.
Bước 4: Cuối cùng ta chứng minh rằng n (cid:0) ,
n
y
n
n
Cy . 0 lim y
4A suy ra
0 cho trước, giả thiết 0 sao cho ,u u
n
2
4 n
G t s u ( , , ) u , n [0, ], (3.10) t s ,
Ở đó
2
nw
0 sao cho
. sup{ ( , ) : , t s n [0, ]} w t s 2
Mặt khác, G hoàn toàn liên tục nên ,u u
G t s u , ) ( , t s , , n [0, ] (3.11)
Kết hợp (3.10) , (3.11), n [0, ], u E , t s , ta có
n
4 n
G t s u ( , , ) u (3.12) w 2
t
Cy t ( )
G t s y ( ,
,(
s )( ))
ds
0
(
y
)]
[ n
n
w 2
n
n
4 n
Suy ra n [0, ], t
=
n
n
n
n
y . (3.13) n nw 2 4 4
y n
n
n
Cy
n
, nghĩa là
y
n
Suy ra nếu ta chọn max{ , } . Khi đó với ta có n nw 4 n 4 2 ,
n
y
n
n
Cy 0 . (3.14) lim y
Ap dụng định lý 2.1, ánh xạ U + C có một điểm bất động y trong X. Khi đó
] . Định lý 3.1 đã được
phương trình (1.1) có nghiệm x y trên [0,
chứng minh .
Chương 4 : NGHIỆM TIỆM CẬN ỔN ĐỊNH
Bây giờ ta xét nghiệm tiệm cận ổn định của phương trình (1.1) định
nghĩa như sau:
4.1. Định nghĩa
Một hàm x được gọi là nghiệm tiệm cận của ổn định của phương trình
t
. lim ( ) x t 0 (1.1) nếu với bất kì nghiệm x của (1.1) x t ( )
1
4
Trong phần này ta giả sử (A ) – (A ) thỏa mãn, giả sử thêm
5
V t ( , s ,0) 0, t s ( , ) (A ) ;
: ,
6
3
4
(cid:0) sao cho
(A )Tồn tại hai hàm liên tục
3
4
G t s x ( , , ) ( , ) ( , ) , t s ( , ) w t s w t s x
Khi đó theo định lí 3.1 phương trình (1.1) có nghiệm trên (0, ) .
Mặt khác nếu x là nghiệm của (1.1), khi đó như bước 1 của chứng minh
t (cid:0)
định lý 3.1 y x thỏa mãn phương trình (3.2) . Suy ra
y t ( ) Ay t ( ) By t ( ) Cy t ( ) (4.1)
Ay t ( )
q t ( )
f
t y t ( , ( )
t ( ))
t A ( ), 0 0,
t
By t ( )
V t s y s , ( )
( ,
s ds V t s ( )) ;
( ,
,0) 0,
0
t
Cy t ( )
G t s y s , ( )
( ,
s ds ( )) .
0
Như vậy,
,
t (cid:0)
Ở đó
t
t
y t ( )
L y t ( )
w t s y s ( , ) ( )
s ds ( )
[
( , )
( , )
s ds ( ) ]
1
w t s w t s y s ( ) 4
3
0
0
(4.2)
t
( , )
( ) y t
( ) ( ) w t s y s ds a t
, (4.3)
1
1 L
0
Ở đó
w t s ( , )
( , )
w t s w t s ( , )
1
4
t
t
a t ( )
w t s ( , )
s ds ( )
w t s ds ( , ) .
3
1
L
1
L
1
1
0
0
Ap dụng bất đẳng thức
2
2
2
(
)
2(
a
b
),
a b ,
a b
(cid:0) , ta có
t
2
2
2
( , )
( )
( ) y t
2 2 ( ), a t
(4.4)
2
)
(1
2 L
0
t w t s ds y s ds 0
t
2
( ) v t
2 ( ) , ( ) b t y t
( , ) w t s ds
, (4.4) được viết lại như sau
Đặt
2
)
(1
2 L
o
t
v t ( )
b t ( )
v s ds ( )
2 a t 2 ( )
(4.5)
0
Do (4.5), dựa vào sự đánh giá cổ điển ta có được
t
s
t
b s ds ( )
b u du ( )
2
2
0
0
y t ( )
2 a t ( ) 2 ( ) v t
b t ( )
e
a s ds ( )
,
2
e
t
(cid:0) (4.6)
0
Khi đó ta có định lý về nghiệm tiệm cận ổn định sau:
4.2. Định lý 4.1
Cho (A 1) – (A ) thỏa mãn. Nếu
6
t
s
t
b s ds ( )
b u du ( )
2
0
0
. (4.7)
b t e ( )
a s ds ( )
0
2
e
2 a t lim 2 ( ) t
0
Ở đó
t
t
a t ( )
[
( , )
( , )]
s ds ( )
w t s ds ( , )
,
w t s w t s
4
3
1
L
L
1
1
1
1
0
0
t
ds
b t ( )
[
( , )
2 ( , )]
,
w t s w t s
4
1
2
)
(1
2 L
0
Khi đó mọi nghiệm x của (1.1) là nghiệm tiệm cận ổn định.
Hơn nữa
lim ( ) x t
0
t ( )
t
Chứng minh định lý (4.1)
là nghiệm của
x
,
x
Cho x, x là hai nghiệm của (1.1), khi đó y
y
(3.2)
Từ (4.6) suy ra
t
s
t
b s ds ( )
b u du ( )
2
2
0
0
y t ( )
2 a t 2 ( )
b t e ( )
a s ds ( )
,
2
e
t
(cid:0) (4.8)
0
Tương tự cho
2 y t ( ) .
Từ (4.7),(4.8) suy ra
lim ( ) x t
t ( )
. 0
t
t
s
t
b s ds ( )
b u du ( )
2
0
0
2 a t ( ) 2 ( ) c t
b t e ( )
a s ds ( )
e 2
Đặt
. Khi đó do (4.8)
0
x t ( )
y t ( )
2
c t ( ),
t
x t ( )
y t ( )
(cid:0) (4.9)
Kết hợp (4.7), (4.9) suy ra
0
lim ( ) x t
x t ( )
t
Định lý (4.1) đã được chứng minh.
Nhận xét 1:
Chúng ta đưa ra 1 ví dụ khi điều kiện (4.7) thỏa cho các giả thiết sau:
2
2
(
H
) :
q s ( )
ds
,
f s
( ,0)
ds
;
1
0
0
t
s
(
H
w t s ds ( , )
0,
w s u du ds
( , )
2 ]
;
2
3
3
[
) : lim t
0
0
0
(
:
tụ
c
:
,
i
sao cho
, với
Tồn tại các hàm liên
1,4
)H 3
g h , i i
(cid:0) (cid:0)
1,4
i
i )
t s ( , )
)
s ( ),
t s ( , )
,
w i
g t ( i
h i
ii )
,
g t lim ( ) 0 i t
2
2
g
s ds ( )
,
iii )
.
i
h s ds ( ) i
0
0
Khi đó điều kiện (4.7) thỏa mãn. Th vậy,
ật
, Với
Từ là điểm bất động duy nhất của
, ta có:
t (cid:0)
( )t
q t ( )
f
t
q t ( )
f
t ( ,0)
f
t
f
t ( ,0)
( , ( )) t
( , ( )) t
q t ( )
f
t ( ,0)
L
( ) .
t
Nghĩa là
(
q t ( )
f
t ( ,0) ),
( ) t
1
L
1
Cho nên
2
2
2
(
q t ( )
f
t ( ,0) ),
( ) t
2
)
(1
2 L
Như vậy ,theo giả thiết
2 ( )s ds
.
()H thì 1
0
Hơn nữa, từ
ta suy ra
(H ) 3
2
2
2
s ds ( )
s ( )
ds
1, 4;
, i
h s ( ) i
h s ds ( ) i
0
0
0
t
s ds ( )
s ds ( )
0,
i
1,4;
i
w t s ( , ) i
lim t
lim ( ) i t
0
t g t h s ( ) 0
(H ta có:
Kết hợp điều đó và
)
2
t
t
[
( , )
0,
( ) a t
( ) s ds
( ) ] s ds
khi
( , ) w t s w t s
( , ) w t s 1
3
4
1
1
L
L
1
1
0
0
t
(4.10)
Do
(H ta cũng có:
)
3
t
2
2
w t s ds ( , )
w t s w t s ds
( , )]
( , )
2
2 1
0
t 2 [ 0
t
2
2
2
( )
( )
2
g
s ds ( )
(4.11)
khi t
, 0
4
2 2 g t h s ds 1 1
0
t t h ( ) 4 0
t
2
t
0,
khi
( ) b t
( , ) w t s ds
(4.12)
Suy ra
2
)
(1
2 L
0
(H (iii) suy ra
)
Ngoài ra, từ (4.11),
3
( )b s ds
(4.13)
0
Mặt khác, do
2
t
t
2
( )
2 ( ) a t
( ) s
ds
( , ) w t s ds
2 1
3
2
2
)
(1
)
(1
3 L
3 L
t 2 ( ) g t h s 1 0
0
0
t
( )
,
2 ( ) s ds
2 4
2 4
2
)
(1
3 L
t ( ) g t h s 0
0
(
H
),(
H iii , ta có )
)(
Và
2
3
2
a s ds ( )
. (4.14)
0
Như vậy, từ (4.10), (4.12) – (4.14) ta rút ra
t
s
t
b s ds ( )
b u du ( )
2
0
0
2
e
b t e ( )
a s ds ( )
0
.
2 a t lim 2 ( ) t
0
Nhận xét 2:
i
()H (ii) :
Nếu
:
,
1,4
là liên tục đều khi đó giả thiết
ig
3
(cid:0)
(cid:0)
2
, từ giả thiết
(
s ds ( )
.
) 0
lim (i g t
3)H (iii) suy ra :
ig
t
0
Nhận xét 3:
Ví dụ. Chúng ta đưa ra một ví dụ minh họa cho kết quả trên.
Cho
([0,1],
)
u
u
.
E C
( )
(cid:0) Với chuẩn thông thường
sup [0,1]
Xét (1.1), ở đó
q q t : E t , ( );
); f f ( , t x (cid:0) : ,( , ) E t x E
: v G ,( , , ) E t s x , ) ,( , E t s x , ); ( , V t s x , ), ( , G t s x (cid:0) E : E
(
,
),
0,(
[0,1],
x C
E
s
t s ,
t ),
(cid:0)
Sao cho
t
2
t
t
2
q t q t e ; ( )( ) ( , ) 1 t e k
t
2
s
s
2
sin[ ( f e e ( , )( ) t x ) ( )]; x e k
t
s
s
2
( ( , V t s x e e x , )( ) ) ( ) ; e
t
1 1
( , G t s x e e x , )( ) ( ) , e
k là hằng số dương. Trong đó 2
(
,
),
0,(
[0,1],
E
s
x y X C ,
t s ,
t ),
(cid:0)
t
t
Trước hết ta xét
t 2 sin[
t
2
2
t
2
ke
x
y
( )
( )
2
;
k
x
y
2
và
s
s
2
f f e e e t y ( , ( sin[ ( t x ( , )( ) )( ) x ) ( )] y ) ( )] e k
t
s 22
s
s
s
( , G t s x e e , )( ) ( ) x e 1
( ) , e e e e x 2( 2( e e 1 t ) 1 t )
do bất đẳng thức Cauchy. Kết hợp điều đó và giả thiết đưa ra ở trên, ta có
6
s
s
2
t e e
(
e
1),
( , ) 0,
w t s ( , ) 1
w t s 2
s
s
2
t e e
e
1.
w t s ( , ) 3
w t s ( , ) 4
1 2
thỏa là hiển nhiên.
Ngoài ra
(
)
H
H (
3)
1
, , q f V G , thỏa mãn (A 1)–(A ), với
Trong trường hợp này, chúng ta kết luận định lý 3.1,4.1 thỏa.
Chi tiết hơn chúng ta xét nghiệm x(t) của (1.1) như sau
Cho
,
[0,1].
( )( ) x t
( , ) x t
t
e
1
( , E ) : x X C t , (cid:0) (cid:0)
t
Dễ thấy x đã định nghĩa như trên là nghiệm của phương trình (1.1). Hơn nữa,
t
0, ( ) x t e khi t e 1 sup 0,1
Mặt khác, do
f f t y t ( , k x t ( ) y t ( ) , ( , ( ))( ) t x t ( ))( ) 2
1 ,
*
x y X t , 0, ta có Với mọi , , (cid:0)
f t x t ( , ( )) f t y t ( , ( )) k x t ( ) y t ( ) , n N . 2 sup 0, n t sup 0, t n
Do đó, phương trình
f t x t ( ) q t ( ) t x t ( , ( )), 0
0,1 ,
Có duy nhất nghiệm t ( ) X . Chúng ta thấy rằng
t
t
t
2
2
q t f t ( , ( ))( ) t ( , ) t ( , )
t
3
3
t
t
e e sin[ ( e t ) ( , )] 1 t e e 2 k k 3 t k e ) ke e . (1
t
t
3
.
x t ( )
t ( )
e
e
Suy ra
Do đó
t ( )
0.
t
lim ( ) x t
Chương 5 : TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT
Để không lẫn lộn, ta dùng các chữ tương tự
i
trong phần 3 để định nghĩa V G w i , , , 1,2,3, 4; A B C U , , , , ,
t
Chúng ta xét phương trình sau:
f
0
t
x t ( ) q t ( ) t x t x ( , ( ), ( t ( ))) V t s x s x , ( ), ( ( , s ( ))) d s
0
E f ;
G t s x s x , ( ), ( ( , s ( ))) ds , , (5.1) t (cid:0)
: q E G V ; , : E Ở đó : được giả sử liên E E E E (cid:0)
(cid:0)
tục và , s t : , (cid:0) t s ( , ) , hàm , (cid:0) (cid:0) (cid:0) là liên tục.
Ta giả sử thêm
Tồn tại hằng số [0,1) sao cho L )I 1(
ˆ f t x u ( , , ) t y v ( , , ) ( x y u v ), ˆ f x y u v E t , , , , (cid:0) ; L 2
1 :w
Tồn tại hàm liên tục )I 2( (cid:0) sao cho
, ) ( , ( , , , ( , )( x y u v ), x y u v E , , , t s ( , ) V t s x u V t s y v , ) , ; w t s 1
1
2
G hoàn toàn liên tục sao cho G t ( ,.,.,.) : I J E J liên tục đều )I 3(
với biến t trong khoảng bị chặn bất kỳ, với bất kỳ tập con bị chặn
2
và bất kỳ tập con bị chặn [0, ) I E . J J , 1
)I 4(
2 :w
(cid:0) sao cho
Tồn tại hàm liên tục
2
, ( , 0 , lim x u u , ) G t s x u w t s ( , ) x
đều trong (t,s) trong tập con bị chặn của .
t o , t ( ) t , t , ( ) t ( ) t )I 5( (cid:0) . t
5.1. Định lý 5.1
)
I (
I 1(
)5
Cho thỏa. Khi đó phương trình (5.1) có một nghiệm trên (0, )
Chứng minh định lí 5.1
Phần sau đây tương tự phần 3, chỉ có một ít thay đổi.
Trước hết ta chú ý:
,
t ( )
t
t
)I và 0 1(
(cid:0) , ánh xạ :
a ) Do giả thiết XX định nghĩa
bởi
( ) x t q t ( ) t x t x ( , ( ), ( t ( ))), x X t , ˆ f (cid:0)
n
( X x , ) . Thật vậy, cố định là ánh xạ L – co trên không gian Fréchet
*,
n , [0, ],n x X t (cid:0)
x t ( ) y t ( ) x t ( ) y t ( ) t ( ) t ( ) x y L 2
n
n
n
x y y L x y . (5.2) x L 2
nn
x y L x y . Do đó Như vậy có một điểm bất động trong
X.
Bằng cách thay thế x y , phương trình (5,1) được viết lại như sau
y t ( ) Ay t ( ) ( ) ( ), t By t Cy t (cid:0) . (5.3)
t
( ) Ay t ( ) q t ( , ( ) t y t ( ), t y ( ( ))) t ( ), 0 0, t A ˆ f ( ( )) t
0
t
Ở đây : ( , , ( ) By t , ( ) V t s y s ( ), s y ( )) t ( ))) t ds ( (
0
( , ( ) Cy t , ( ) G t s y s ( ), s y ( )) t ( ))) t . ds ( (
n
*
. Thật b ) Đặt U = A + B, Khi đó U là một ánh xạ co với họ nửa chuẩn .
vậy, cố định số nguyên dương tùy ý n (cid:0) .
[0, ] n
n
min Với mọi t với (0, ), n ( ), t t đã được [0, ]n n ˆ n
chọn sau cùng, Ta có:
t
y s ( )
y
s ( ))
s ( ))
(
(
w t s ( , ) 1
ds
y s ( )
y
0
L
2
y
.
y
w 1 n n
n
Điều này suy ra
L
y
.
(5.4)
Uy Uy
12 w
y
n n
n
n
, tương tự ta cũng có
Với mọi
n , ]
t [ n
y
( )
y t ( )
t ( ))
t ( ))
Uy t Uy t ( )
(
(
y t ( )
y
L 2
L 2
n
s
y s ( )
y
s ( ))
s ( ))
(
(
d
w 1 n
y s ( )
y
0
(5.5)
t
y s ( )
y
s ( ))
s ( ))
d
s
(
(
w 1 n
y s ( )
y
n
Do bất đẳng thức
)
)
h t ( n
n
h n
( t ( ) n
0
e
e
1,
t
, ], n
)
)
( h t n
n
h n
( ( ) t n
0
e
e
1,
t
n , ],
[ n [ n
Ở đó
được chọn sau cùng, ta có
nh
( ) y t ( ) y t ( )) t ( )) Uy t Uy t ( ) ( ( y t ( ) y L 2 L 2
)
h t ( n
n
( )
( )
Uy t Uy t e
)
)
h t ( n
n
h n
t ( ) ( n
2
( ) y t
y
( )) t
( )) t
e
y
(
(
y
( ) y t e
y
w n n 1
n
L 2
L 2
t
)
( h t n
n
y s ( )
y
s ( ))
y
s e ( ))
ds
(
(
w 1 n
y s ( )
n
L y
2
y
y
w 1 n n
y
h n
n
t
)
)
)
h n
( ( ) s n
( h s t n
h s ( n
n
y s ( )
y
s ( ))
s
))
e
ds
(
( (
w n 1
y s e ( )
y
e
n
t
)
( h s t n
L y
2
y
2
e
ds
y
w 1 n n
y
w y 1 n
y
h n
n
h n
n
L y
2
y
y
,
y
w n n 1
y
y
h n
n
h n
w 2 n 1 h n
sup
t s ( , ) : ( , )
;
n [0, ]
[0, ],
n s
t
.
Ở đó
t s ( , )
w t s n 1
n
n
Ta có:
(5.6)
L
y
2
y
.
Uy Uy
y
w n n 1
y
h n
h n
n
w 2 1 n h n
Kết hợp (5.4) – (5.6) ta được
L
L
y
4 n
Uy Uy
w y 1 n
y
y
n
n
h n
w 2 1 n h n
y
,
(5.7)
k n
y
n
Chọn
Ở đây,
max
L
.
k n
4 n
w L , 1 n
w 2 1 n h n
L
0
min
,
n
;
,
(cid:0) w 1 n
n
h n
w 2 1 n L 1
1 w 4 n 1
.
Khi đó ta có
, do (5.7), U là ánh xạ
- co với họ nửa chuẩn
1nk
nk
n
(cid:0) , n
c )
:C X
cũng hoàn toàn liên tục. Trước hết ta chứng minh rằng C
X
là một dãy trong X sao cho
liên tục. Với bất kỳ
y
X , cho
0y
m m
y
my
. 0
lim m
*
Cho
n (cid:0)
y
s ( ) :
s
[0, ],
n m
,
K 1
m
(cid:0)
K
y
s ( )) :
s
[0, ],
n m
,
(
2
m
cố định. Đặt
(cid:0)
Khi đó
K K compact trong E. Với bất kỳ
0 . Từ G liên tục trên tập
1,
2
[0,
n
]
[0, ]
sao
cho
compact
,
Tồn
tại
0
n K 1
2K
,
1,2,
u K i 1
iv
K i , 2
( ,
,
)
( ,
,
)
s t ,
,
n [0, ].
u i
v i
G t s u v , 1
1
G t s u v , 2
2
n
Từ
y
:
,
m
y 0
0
m m m 0
lim m
y
s ( )
s ( )
y
s ( )
s
n [0, ],
,
m
y 0
m
y s ( ) 0
Và
do
đó
y
s ( ))
s ( ))
y
s ( ))
s ( ))
[0, ].
(
(
n s
,
(
(
m
y 0
m
y 0
Điều này suy ra
[0, ],
n m
m
t
, 0
t
( )
G t s y ( ,
,(
s )( ),(
y
s ( )))
Cy t Cy t ( )
)(
m
m
m
0
,(
s ( )))
ds
0 s )( ),(
)(
,
G t s y ( , 0
y 0
Cy
và sự liên tục của C đã được chứng minh.
Do đó
,
Cy 0
m
m m0
n
Phần còn lại chứng minh C là tập các ánh xạ bị chặn trong tập compact
tương đối. Bây giờ , đặt là tập con bị chặn của X, ta phải chứng minh
rằng
*,(
C
, là đẳng liên tục trong
và
n [0, ]
tập
n
t
)n
nX
C (
t ( ) :
y là compact địa phương trong E.
t ) ( ) n
n [0, ]
(cid:0) Cy
Đặt
y
s )( ) :
y
s
,
S 1
.
S
y
s ( )) :
y
s
)(
,
( (
n [0, ] , n [0, ]
2
Khi đó
là bị chặn trong E. Do G là hoàn toàn liên tục, tập
,S S 1
2
G
2 n ([0, ]
trong E và do đó
là compact địa phương
S 1
2)S
G
2 n ([0, ]
S bị chặn. Suy ra tồn tại
)
0
1S
2
nM sao cho
G t s y ( ,
,(
s ( )( ),
y
s ( ))
M t s ,
n [0, ],
y
)(
,
(5.8)
n
kỳ
Với
b
ất
,
t
[0,
]n
y
, t 1
2
t
2
t 1
Cy
)
Cy t (
)
,(
)( ))
s ds
,(
)( ))
s d
s
(t 1
2
G t s y ( , 1
G t s y ( , 2
0
0
t
2
t 1
,(
s )( ))
,(
)( ))
s ds
,(
)( ))
s ds
G t s y ( , 1
G t s y ( , 2
G t s y ( , 2
0
t 1
Do giả thiết
là đẳng liên tục
3A và (3.7) bất đẳng thức trên chỉ ra rằng (
)nC
n [0. ],
.
tập
C (
C
t ( ) :
y
}
mpact tương
đối
t
là co
trên X
t ) ( ) { n
y
n
n [0, ]
trong E
Và
t
Cy t ( )
G t s y ( ,
,(
)( ))
s ds
0
Suy ra rằ
ng
tconvG
2 n ([0, ]
S
).
(5.9)
S 1
2
(C ) ( ) n t
Ap dụng b
là compact địa phương trong X. Hơn nữa C là
ổ đề 3.3,
)C (
hoàn toàn liên t
ục.
*
d ) Cuối cùng ta cũng có
, n N
Cy
lim y
n
y
n 0. n
0
Với
ết
suy ra rằng tồn tại
sao cho
(
)
I
I
0 cho trước, giả thi
) ( ,3
4
, ta có
, t s
n [0, ], u ,
v E
G t s u v , ) ,
( ,
u
v
,
(5.10)
n
w 2
8 n
Ở đó
w t s
t s , )
;
n [0, ]
n s [0, ];
t
. Điều này
t s ( , )
n
2( , ) : (
n
n
w 2
ằng với mọi
suy ra r
t
[0, ],
n
t
Cy t ( )
G t s y ( ,
,(
s )( ),(
y
s ds ( ))
)(
0
(5.11)
y
.
n
n
nw 2
n
n
4
4
khi đó với
ta
Dẫn đến, nếu ta chọn
max
,n
y ,n
n
n
n
nw 4 4 n 2 ,
Cy
n
nghĩa là
có
,
y
n
Cy
n
0.
(5.12)
y
lim
n
y
n
Ap
dụng định lý 2.
1, ánh x
ạ U + C có một điểm bất động y trong X. Khi
đó phương trình (5.1) có một nghiệm
x
(0,
. Suy ra điều
y trên
)
phải chứng minh.
Bây giờ ta cũng xét nghiệm tiệm cận ổn định đối với (5.1) đã định nghĩa
trong phần 4. Ở đây, ta giả sử
(
)
)
thỏa và
giả sử th
êm
I (
I 1
5
t ( )
t
,
t
)I 6(
V t s ( ,
,0,0) 0,
t s ( , )
, (cid:0)
;
)I 7(
tồn tại hai hàm liên tục
:
,
)I 8(
3
4
w w (cid:0) sao cho
G t s x u , ) ,
( ,
x
u
,
t s ( , )
x u E ,
w t s w t s ( , )
;
.
( , ) 34
K
n hi đ áp dụng định lý 5.1, phươ g trình (5.1) có một nghiệm trên
ó
[0,
).
mãn phương trình
M hác, nếu x là nghiệm của
ặt k
(5.1) thì y
x thỏa
ˆf
chú ý thêm với giả thiết
(5.3). Ta
trang bị
, hàm
(
),(
)
I
I 1
6
:
,
f
E
thỏa
t
)A . Do đó với mọi 1(
E
(cid:0)
(cid:0) ,
t
y t ( )
L y t ( )
y s ( )
s ( )
y
s ( ))
ds
(
( ))s
(
w t s ( , ) 1
0
t
s
y s ( )
s ( )
y
(5.13)
)
s ( ))
s ( ))
(
(
w t s ( , ) 3
w t ( , 4
ds .
0
Từ (5.13), suy ra với mọi
t
,
(cid:0)
t
y
y
t (y
)
( , )
y s ( )
s ( ))
s ( ))
ds
w t s w t s ( , )
(
(
1
4
1
1 L
0
t
t s ( , )
s ( )
s ( ))
s ( ))
ds
(
(
w t s w ( , ) 4
1
1
L
1
0
t
(5.14)
w t s ds ( , ) .
3
1
1 L
0
Do
y
đó
t ( ( ))
t ( )
t s w ( ), )
t s ( ), )
y s ( )
y
s ( ))
y
s ( ))
ds
(
(
(
w 1
4 (
1
L
1
0
t ( )
0
( ) t
ds t s ( ), ) s ( ) s ( )) s ( )) ( ( ( ( w 1 t s w ( ), ) 4 L 1 1
0
t
t s ds ( ), ) ( w 3 L 1 1
0
t
y y d t s ( ), ) y s ( ) s ( )) s ( )) ( ( ( ( s (5.15) w 1 t s w ( ), ) 4 L 1 1
0
t
ds t s ( ), ) s ( ) s ( )) s ( )) ( ( ( ( w 1 t s w ( ), ) 4 L 1 1
0
t s ds ( ), ) , ( w 3 L 1 1
Và tương tự cho y t ( ( )) .
Đặt d t ( ) y t ( ) y t ( )) y t ( )) . khi đó kết hợp điều này, ( (
t
, ta có t (cid:0)
0
dt ( ( , ) ( )) t s d s ds e t ( ), (5.16)
t s ( , )
(
( , )
t s ( ), )
w t s w t s ( , )
(
1
4
w 1
1
L
1
Ở đây
t s ( ), ),
(
(
(
w 4
t s w ( ), ) 1
t s w ( ), ) 4
t
(5.17)
0
t
e t ( ) t s ( , ) s ( ) s ( ) s ( )) ( ( ds
t s ds ( ), ) .
3
0
2
2
(5.18) ( , ) ( ( w t s ds w 3 t s w ( ), ) 3 1 1 L
t
2
2
( ) 2( a Ap dụng bất đẳng thức , ta được a b 2) b
2 d t
2 e t 2 ( ),
0
t t s ds d s ds ( , ) 0
(5.19) ( ) 2 ( )
t
2
2
0
t
Đặt z t ( ) d t p t ( ), t s ds ( , ) , (5.19) được viết lại như sau ( ) 2
2 e t 2 ( ).
0
(5.20) z t ( ) p t ( ) z s ds ( )
t
s
t
p s ds ( )
p u du ( )
Từ (5.20), dựa vào sự so sánh cổ điển ta có
0
0
2 d t ( )
2 e t ( ) 2 ( ) z t
2 e s ds ( )
(cid:0)
0
p t e ( ) , . e 2 (5.21) t
Khi đó ta có định lý sau về nghiệm tiệm cận ổn định.
5.2. Định lý 5.2
)
I (
I 1(
)8
t
s
t
p s ds ( )
p u du ( )
Cho thỏa. Giả sử
0
0
2 e s ds ( )
2 e t lim 2 ( ) t
0
2 e p t e ( ) 0, (5.22)
t
Ở đây
1 w t s w t s w 4 1
2
0
p t ( ) ( , ) ( , ) t s ( ), ) ( ( t s w ( ), ) 4 ) (1 2 L
2
t
t s ( ), ) d s , ( ( w 1 t s w ( ), ) 4
0
t
Và e t ( ) t s ( , ) s ( ) s ( ) s ( )) ( ( ds
3
t s ds ( ), ) .
0
( , ) ( ( w t s ds w 3 t s w ( ), ) 3 1 1 L
Khi đó với mọi nghiệm x của (5.1) là nghiệm tiệm cận ổn định. Hơn nữa,
0.
t ( )
t
lim ( ) x t
KẾT LUẬN
Trong luận văn này tôi đã trình bày được các nội dung sau đây:
- Chương 1: Giới thiệu các định lý về điểm bất động của Krasnosel’skii,
gồm các định lý 1.1 và 1.2.
- Chương 2: Trình bày một định lý 2.1 về điểm bất động của
Krasnosel’skii.
- Chương 3: Trình bày sự tồn tại nghiệm, gồm định lý 3.1, bổ đề 3.2,bổ
đề 3.3.
- Chương 4: Trình bày một định lý 4.1 về nghiệm tiệm cận ổn định.
- Chương 5: Trình bày trường hợp tổng quát, gồm các định lý 5.1 và định
lý 5.2.
Thông qua luận văn,tôi thực sự bắt đầu làm quen với việc đọc tài liệu
khoa học một cách có hệ thống hơn. Tôi cũng đã học được phương
pháp chứng minh một vấn đề cũng như mở rộng một vấn đề theo nhiều
góc độ khác. Tuy nhiên, với sự hiểu biết còn hạn chế của mình, tôi rất
mong được sự đóng góp, chỉ dạy của Quý Thầy, cô trong hội đòng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Krasnosel’skii, Electronic J. Qualitative Theory of Equat. 5, 1-15.
1. C.Avramescu (2003), Some remarks on a fixed point theorem of
certain integral equations, Electronic J. Diff. Equat. 126 , 1-10.
2. C. Avramescu (2005), C. Vladimirescu, Asymptotic stability results for
3. T.A.Burton (1998), A fixed – point theorem of Krasnosel’skii, Appl. Math.
Letters, 11 (1), 85 – 88.
type, Math. Nach. 189, 23 – 31.
4. T.A. Burton, C. Kirk (1998), A fixed – point theorm of Krasnosonel’skii
5. J. Dieudonné (1969, Foundations of Modern Analysis, Academic Press,
New York.
type in locally convex spaces and applications to intergral equations,
6. L. H. Hoa, K. Schmitt (1994), Fixed – point Theorem of Krasnosel’skii
Results in Math. 25, 290 – 314.
equations ofretarded and neutral types in Banach spaces, Boundary
value Problems for Funtional Differential Equations, Editor Johnny
7. L. H. Hoa,K. Schmitt (1995), Periodic solutions of functional differential
Henderson, Morld Scientific, 177 – 185.
Theory of Nonlinear Integral Equations, Cambridge University Press,
8. M.A. Krasnosel’skii P.P. Zabreiko (1964), Topological Methods in the
New York.
9. E. Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications,
Springer – Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo, Part I.
PHỤ LỤC
s
Chứng minh bổ đề 3.3
nA là đẳng liên tục trong
nX
n (cid:0)
và với mổi , Giả sử với mọi , * [0, ] n
x A n
Tập ( ) : x s là compact tương đối trong E. ( ) A s n
là một dãy trong A. Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một Cho ( )k kx
kx
C
0,
. dãy con hội tụ của () k
n E ,
nX
nA là đẳng liên tục và với
s
n [0, ]
Trong không gian Banach , do
x
x A n
, ( ) : s là compact tương đối trong E, do đó mọi ( ) A s n
n
áp dụng định lý Ascoli – Arzela ( [5] ), A là compact tương đối trong . nX
là compact tương đối trong không gian Với n = 1, do
X C
0,1 ,
1
1A E
(1)
k
1
Banach , tồn tại một dãy con của ( , được biểu diển )k kx
x trong
k .
(1) x k
[0,1]
1X
, khi ( )k như sau: x
k
(1)
X
0,2
C
Với n = 2, do là compact tương đối trong không gian
, E , tồn tại một dãy con của
2
x )k
k
2A
(2)
k
2
Banach ( , được biểu diển
x trong
k .
(2) x k
[0,2]
2X
, khi )kx ( như sau:
k
2
x
1 x .
[0,1]
(2)
Do tính duy nhất của giới hạn, ta dễ thấy rằng
x )k
k
kx )k
1
( ( , sao cho của
x trong
(2) x k
[0,1]
1X
k
2
,
k
, khi k
x trong
(2) x k
[0,2]
2X
k
2
x
1 x .
[0,1]
, khi Như vậy, Tồn tại một dãy con
*
n
1)
Như vậy, với mọi ng phép qui nạp, ta có thể thiết lập một dãy
( x k
k
n
m
1 )
x
( ) con
k
m ,n ,
( x k
[0
m
]
,
mX
k
n
1
n
1)
trong , khi 1 ,
( x k
[0,
n
1]
1n
trong x
n (cid:0) , bằ kx )k sao cho
k
n
m
1
x
x
,
1,
n .
m
[0,
m
]
)k
i , k X kh của (
y
k
( x k
kx )k
. Nh ư vậ y ( là dãy con của ( và ( hội tụ tới x Đặt )k ky )k ky
*
X, ở đó nghĩ trong x được định a bởi
n
n x t ( )
x t ( )
, nếu t [0, ],n
(cid:0) . . ợc chứng minh
Sự hội tụ là hiển n ề đã đư hiên và bổ đ
mitt Định lý điểm bất động của Krasnosel’skii trong [6] L. H. Hoa, K. Sch
Điều kiện (A): Cho X là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương và P là
X , Với
họ nữa chuẩn trên X. cho D là một tập con của X và Cho :U D
X bởi
.
aU x U x) a
bất kỳ a thuộc X, định nghĩa ( ) ( :aU D
Anh xạ i là thoả m ản đi ều kiện (A) trên tập con :U D K được gọ
của X nế u
a
)
,
D
( U D a
(A.1) V ới bất kỳ
a
p P k (cid:0) với tính chất:
p
, (A.2) Với bất kỳ a và
r
x y D ,
a x y ( ,
(cid:0)
0 : với ) thì 0, ,
U x U y ( ( ),
r a
r a
p a
(
x y ,
) max
p U x U y
( )
( )), ,
i j
(
0,1,2,...,
k
( )) ,
p a
i a
j a
a
đó Ở ;
1,2
.. ;
0
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
,3,. .
Định lý: Cho X là dãy không gian đầy đủ, lồi địa phương với họ tách nửa
chuẩn P. Cho U và C là là các toán tử trên X sao cho:
(i) U thỏa mản điều kiện (A) trên X.
(ii) Với mổi p thuộc P, tồn tại k > 0 (độc lập đối với p) sao cho
p U x U y ( )
kp x (
x y X ,
y ),
.
( )) (
X với tính chất: Với mổi p thuộc P, tồn tại
0x
(iii) Tồn tại
r (cid:0) và
p U x U y ( )
( ))
(
p x (
y
).
r x 0
r x 0
[0,1) ( r và độc lập đối với p) sao cho
p C A hơn nữa
p A )
c ( )) ( ( , (iv) C là hoàn toàn liên tụ
với A X .
x X
.
p C x ( )) ( p x ( )
(v) 0, lim p x ( )
Khi đó U + C có một điểm bất động.
inh: Chứng m
Do U thỏa mãn điều kiện (A) trên X, khi đó ( I – U ) là đồng phôi trên X.
Điều đó suy ra rằng tồn tại một tập D con lồi, đóng , bị chặn của X sao cho
( )C xU
với bất kỳ x tr ong D sự tồn tại duy nhất điểm bất động của diễn ra trong
1
U
y U y U U ( ) ( )
(
(
y ( ))
C x ( ( )
)
y U U ( )
D. Với bất kỳ x X và p P , ta có
.
r C x ( )
x 0
1 r C x ( )
r x 0
r x 0
, y X
p U (
(
)
z
)
(
(
z
)
(
z
))
rn C x ( )
x 0
0
r p U U C x ( )
1) ( r n C x ( )
0
1) ( r n C x ( )
0
r U U x 0
(
(
z
)
))
1) r n ( C x ( )
0
0
r p U U x 0
r U z ( x 0
(
(
z
)
(
z
))
1 r kp U U C x ( )
1) ( r n C x ( )
0
1) ( r n C x ( )
0
1 r U U x 0
(
)
(
)
)).
( ) p C x
( p U
z
z
(
x 0
1) r n ( C x ( )
0
0
Tương tự, ta có
r
1
p U (
(
z
)
)
(1
...
k
k
)
p C x ( )
(
)
p U (
(
z
)).
Do (ii) – (iii), suy ra
z
rn C x ( )
0
0
x 0
1) r n ( C x ( )
0
Bằng phương pháp qui nạp,
n (cid:0) , ta có
r
n
1
1
i
p U (
(
z
)
z
)
p C x ( )
(
)
i
0
0
x 0
rn ( ) C x
0
0
i
i
k
r
1
i
pC x ( )
p
(
)]
/(1
k
)[
x 0
(*)
),
0 i ( )) p C x (
p x ( 0
Ở đó
1 r ik 0i
/(1 ).
Từ điều kiện (V), ta có
0
(
p x x 0
p C x ( )) / ( p x ( z ) 0. lim )
pR sao cho
1
0 Do đó tồn tại
0
p
0
p C x p x ( z ) nếu p x ( z ) . ( )) ( (1/ 2 ) R 1
2 pR
Từ (IV), tồn tạ i 0 sao ch o với mọi x
0
p
p x ( z ) R 1
Suy ra
p C x ( )) ( R 2 .p
p
p
) Cho 2 R 3 p x ( 0 R 2 .
Đặt
p
0
p
) D x X p x : ( z R 3
p
D . Khi đó 0z D và D là đóng bị chặn và lồi.
Và D p P
Với mổi x D và p P . Ta xét hai trường hợp:
N
p
0
ếu p x ( ) , K hi đó d o (*) z R 1
0
0
rn ( ) C x
p
3 p
p U ( ( z ) ( z )) ) R p x ( 0 R 2
T a được
rn ( ) C x
p
U ) . D z 0(
Nếu
1R
p
0
p
p U (
(
z
)
(
z
))
) 1/ 2(
p x (
z
)
0
p x ( 0
0
rn C x ( )
0
p x ( z ) , khi đó do (*) R 3
3
p
(1/ 2) p xR ) ( 0
rn
)
D . p
C xU
( )
z 0(
rn
Ta được
( )
C xU
Điều này ) D x D . suy ra , z 0(
) ) hội tụ n
z 0(
rnU ( ) C x
t ( Do D đóng và do dãy ( tớ i điểm bất động duy nhấ ( ))C x
1 I U C D )
( )C x
( C x ( )) D x , ( ( ) của U , khi đó .Vậy D . D
1 I U C D )
1 I U C D )
n tục của C ( ( ) ( ) là Do tính chất hoàn toàn liê , Tập (
1
compact tươn g đố i. Khi đ ó,theo định lý điể m bất động của Schauder-
Tychonoff suy ra ( I U C ) có một điểm b ất động trong D cũng là điểm bất
động của U C trong D.
