BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ
ĐỊNH THỨC DIEUDONNE
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ
ĐỊNH THỨC DIEUDONNE
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS BÙI XUÂN HẢI
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Bùi Xuân Hải - người thầy đã tận tình giúp
đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô của Trường, Phòng Sau đại học, Khoa
Toán học, bộ môn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt
khóa học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này.
Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và
bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn.
TP. HCM, ngày 27 tháng 9 năm 2013
1
An Thị Thúy Nga
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÍ HIỆU ........................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN ...................................... 5
1.1. Một số khái niệm cơ bản ............................................................................................. 5
1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán ................................................................ 6
1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán ................................................ 6
1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán ........................................ 8
1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch ........................................ 12
1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán ..................................... 13
1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa ............................................................................... 13
1.6.2. Phương pháp khai triển ......................................................................................... 14
1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác ............................................... 15
1.6.4. Phương pháp quy nạp ............................................................................................ 15
1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán ................................................... 16
CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE ............................................................ 22
2.1. Một số khái niệm cơ bản ........................................................................................... 22
2.2. Định nghĩa định thức Dieudonne ............................................................................. 26
2.3. Một số tính chất của định thức Dieudonne .............................................................. 26
2.4. Sự tồn tại của định thức Dieudonne ......................................................................... 29
2.5. Một số kết quả suy từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne ............ 32
2.6. Một số phương pháp tính định thức Dieudonne ..................................................... 36
2.6.1. Phương pháp 1 ....................................................................................................... 36
2.6.2. Phương pháp 2 ....................................................................................................... 36
2.7. So sánh định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne ......................... 37
2.7.1. Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức .................................................... 37
2.7.2. Một số tính chất khác nhau giữa hai định thức ..................................................... 38
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 40
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41
BẢNG KÍ HIỆU
a
=
+
+
a b ,
a a ,
,
, 1
,..., 2
,a b ∈ và a b<
{
} b
*R - Nhóm nhân của vành R
TA - Ma trận chuyển vị của ma trận A
nM R - Vành ma trận vuông cấp n trên vành R
(
)
nGL R - Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành R
(
)
nE R - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R
(
)
− 1
− 1 a b ab
=
,a b
trong đó
[
]
[
,H K - Nhóm con của G sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng [
]
],a b với
∈
a H b K ,
∈ (
,H K là các tập con khác rỗng của G
3
- Giao hoán tử của các phần tử a và b trong nhóm G
MỞ ĐẦU
Đại số tuyến tính nói chung và Lý thuyết định thức nói riêng được xây dựng trên
trường. Trường là cấu trúc trọn vẹn nhất nên việc xây dựng định thức trên đó có
nhiều kết quả đa dạng và phong phú. Tuy nhiên nếu thay đổi trường bằng một cấu
trúc đại số khác, mà cụ thể là vành giao hoán có đơn vị và vành chia thì kết quả đã
biết còn đúng, hay được thay đổi như thế nào.
Mặt khác, định thức trên vành giao hoán được nghiên cứu dựa trên tính giao
hoán của phép nhân giữa các phần tử. Còn đối với định thức Dieudonne nghiên cứu
trên vành chia. Sự khác biệt của vành giao hoán và vành chia dẫn đến sự khác biệt
của hai định thức trên.
Trên đây là một số lý do chúng tôi chọn đề tài “Định thức trên vành giao hoán
và định thức Dieudonne” để nghiên cứu và tìm hiểu.
Luận văn sẽ tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức trên vành giao hoán và định
thức Dieudonne, sau đó so sánh những điểm giống và khác nhau giữa hai định thức
này.
Bố cục luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1 - Định thức trên vành giao hoán
Chương 2 - Định thức Dieudonne
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn
này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và
4
các bạn. Xin chân thành cảm ơn.
CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
X
=
,..,
1.1. Một số khái niệm cơ bản
nS là tập hợp các
{ 1 2,
} n
Định nghĩa 1.1.1. Xét với n là số nguyên dương. Đặt
.X Ta định nghĩa
song ánh từ X vào
nSs ∈ được gọi là một phép hoán vị bậc n hay một phép thế bậc
n và được biểu diễn bởi ma trận loại 2 n×
...
s
1) Mỗi phần tử
...
s
s
s
n ( ) n
2 ( ) 2
1 ( ) 1
=
,
trong đó ở dòng thứ nhất, các phần tử của X được sắp xếp theo một thứ tự nào đó (thường
.s
k ≥
2,
là 1, 2,…, n), dòng thứ hai gồm ảnh của dòng thứ nhất qua song ánh
nSs ∈ được gọi là k - chu trình có
X∈ sao cho
i ,..., k
2) Với mỗi số nguyên phép hoán vị
i , 2
=
=
=
;
;...;
;
s
s
s
s
s
= và
= j
i k
i k
i k
(
)
(
)
(
)
(
)
( )j
i 1
i 2
i 2
i 3
− 1
i 1
j
∉
,
,...,
.
...i
.
s =
chiều dài k nếu tồn tại các phần tử phân biệt 1 i
k
i k
)
{ i k
}
(
i i 2 1
i 2
s =
t =
Khi đó ta viết với mọi
i ... k
j ... l
(
)
(
)
i i 2 1
j j 2 1
∩
,
,...,
,
,...,
= ∅ .
i k
j l
}
{
}
{ i 1
i 2
j 1
j 2
Hai chu trình và được gọi là rời nhau nếu
i
j
≤ ≠ ≤
n .
s =
Mỗi 2 - chu trình được gọi là một chuyển vị. Như vậy, mỗi chuyển vị có dạng
(
) i j
với 1
Định lý 1.1.2. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chu trình rời
nhau. Cách phân tích duy nhất, sai khác một sự đổi chỗ các chu trình.
Bổ đề 1.1.3. Mọi chu trình được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách phân tích
không duy nhất.
Định lý 1.1.4. Mọi phép hoán vị đều được phân tích thành tích các chuyển vị. Cách
phân tích không duy nhất nhưng tính chẵn lẻ của số các chuyển vị là duy nhất.
.s Gọi k là số chuyển vị trong phân tích s thành tích
Chú ý 1.1.5. Xét phép hoán vị
5
các chuyển vị. Đặt
k
) ( sgn s = −
(
)1 .
sgn s không phụ thuộc vào cách phân tích
.s
(
)
Theo Định lý 1.1.4,
sgn s = thì s được phân tích dưới dạng tích của một số chẵn các
(
) 1
- Nếu
1
sgn s = − thì s được phân tích dưới dạng tích của một số lẻ các chuyển
chuyển vị. Ta nói s là một hoán vị chẵn.
(
)
- Nếu
vị. Ta nói s là một hoán vị lẻ.
,t ta có
sgn
sgn
sgn
sgn
sgn
=
⋅
s
s
st
s
t
- Với các phép hoán vị s và
(
)
(
)
(
)
(
) .
(
) − = 1
k
− 1
và
( sgn s
)
( = −
) 1
s =
. - Với s là một k - chu trình, ta có
)(
) ( 1 3 6 2 8 5 10 9 .
s =
)(
)(
)(
)(
) )( ( 1 3 1 6 2 9 2 10 2 5 2 8 .
Ví dụ 1.1.6. Xét hoán vị Ta có
sgn s = do đó s là hoán
) 1,
(
Vậy s được phân tích dưới dạng tích của 6 chuyển vị nên
chẵn.
1.2. Định nghĩa định thức trên vành giao hoán
A
Xét R là vành giao hoán, có đơn vị.
a
ij
là ma trận Định nghĩa 1.2.1. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Cho
vuông cấp n trên R . Định thức của ma trận A trên R , được kí hiệu là detA hay A và
detA
sgn
xác định bởi
a 2
s
a s 1 1 s
2
a ... n n s
s
S n
.
TA là ma trận chuyển vị
1.3. Một số tính chất của định thức trên vành giao hoán
Tính chất 1.3.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên R và
T
detA
detA
của ma trận A . Khi đó
n
A
TA
, 1
.
a ,
. Khi đó ta có i j ,
ji
b ij
a
ij
b
ij
6
Chứng minh. Giả sử và thì
T
detA
sgn
b 2
s
b s 1 1 s
2
b ... n n s
s
S n
sgn
1 1
a s
a ... s
a s s
2 2
n n
s
S n
1
sgn
1
1
1
s
a 2
a 1 s
s
a ... n s
1
2
n
1
s
S n
sgn
a 2
t
a t 1 1 t
2
a ... n n t
S n
t detA
j
n
A
i j ,
Tính chất 1.3.2. Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu.
1
a
ij
A
Chứng minh. Đặt , giả sử trong ma trận A đổi dòng i và dòng
ta được ma trận mới .
ij a
sgn
detA
a ....
a ... i s
j s
a s 1 1 s
i
j
a .... n n s
s
S n
sgn
=
a ...
.
j
a .... i s
s
a s 1 1 s
a .... n n s
j
i
s
S n
Khi đó
t sao cho
nSs , đặt
nS
t
s
i j ,
.
s
k
i j k
j i s k ,
t t
sgn
sgn
Với mỗi
t
s
a ...
a ...
Khi đó, và
a ... i
j
j
a ... i s
t
s
t
a 1 1 s
a ... n n s
a 1 1 t
j
i
i
j
a ... n n t
.
detA
sgn
a ...
a ... i
j
t
t
i
a ... n n t
j
a t 1 1 t
t
S n
sgn
a ...
-
a ... i
j
t
t
a t 1 1 t
i
a ... n n t
j
t
S n
-
detA .
Do đó
detA 0.
A
Tính chất 1.3.3. Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì
.R Nếu nhân vào dòng thứ i
a
ij
Tính chất 1.3.4. Cho ma trận vuông cấp n trên
của ma trận A với k R thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A
7
nhân với k .
A
Chứng minh. Giả sử trong ma trận A tất cả các hệ số của dòng i được nhân lên k
. Khi đó lần, còn các dòng khác giữ nguyên ta nhận được ma trận mới
ij a
detA
sgn
a ... i s
a s 1 1 s
i
a .... n n s
s
S n
sgn
...
ka i s
a s 1 1 s
i
a .... n n s
s
S n
k
sgn
a ... i s
a s 1 1 s
a .... n n s
i
s
S n
kdetA .
0
Hệ quả 1.3.5. Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội k R của một dòng khác
detA .
A
thì
a
ij
Tính chất 1.3.6. Cho ma trận vuông cấp n trên R và giả sử dòng thứ
R . Khi đó, ta có
a ij
với c ij
b ij
, b c ij ij
1, n
i i
...
...
...
a 11 ...
a 12 ...
...
a n 1 ...
...
...
detA
...
...
...
b i
c i
b in
c i 1
2
2
...
...
...
...
... ...
... a n
c in ... a nn
a 12 ... b i 2 ... a n
a 12 ... c i 2 . .. a n
b i 1 ... a n 1
2
a a n 1 11 ... ... b b in i 1 ... ... a a nn n 2 1 detB
a a n 1 11 ... ... c c in i 1 ... ... a a nn n 2 1 detC
của A có tính chất
detA
sgn
a ... i s
a s 1 1 s
i
a ... n n s
s
S n
sgn
...
b i s
c i s
a s 1 1 s
i
i
a ... n n s
Chứng minh.
s
S n
sgn
sgn
b ... i s
c ... i s
a s 1 1 s
i
a ... n n s
a s 1 1 s
i
a ... n n s
s
s
S n
S n
detB
detC
Tính chất 1.3.7. Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội k R
của một dòng khác thì định thức của nó không đổi.
Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.3.3 và tính chất 1.3.4
A
1.4. Một số định lý khai triển định thức trên vành giao hoán
.R Với mỗi ,i j ta gọi
a
ij
i
j
;
A ij
1
detA i j
8
là ma trận vuông cấp n trên Định nghĩa 1.4.1. Cho
ija , trong đó
;A i j là ma trận vuông cấp
1n có được từ
A bằng cách xóa dòng ,i cột .j
A
là phần bù đại số của hệ số
.R Với mỗi bộ k số
a
ij
n
...
n ,
,
1
1
là ma trận vuông cấp n trên Định nghĩa 1.4.2. Cho
và ...
ta gọi
i k
i 2
i 1
j k
i ,..., k
j ,..., k
j 2
j 1
i , 2
j 1
j , 2
i 1
...
a i j 1 1
a i j 1 2
a i j k 1
...
a i j 2 1
a i j 2 2
a i j k 2
M
...
...
... a i j k k
... a i j k 1
... a i j k 2
,..., k
j ,.., .k
thỏa và
i , 2
i và các cột 1 j
j , 2
...
...
i k
j k
i 1
j 1
M
,...,
;
,...,
là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng 1 i
,M trong
i k
j k
1
detA i 1
j 1
,...,
;
,...,
i và các cột
là phần bù đại số của Ta gọi
i k
j k
A i 1
j 1
,..., k
i , 2
j ,.., .k
j 1
j , 2
A
đó là ma trận có từ A bằng cách xóa các dòng 1 i
.R Nếu tồn tại ,i j sao cho
a
ij
0
j thì
ika với mọi k
Bổ đề 1.4.3. Cho là ma trận vuông cấp n trên
detA a A ij
ij
,
ija .
ijA là phần bù đại số của
0
trong đó
j nên
ika với mọi k
detA
sgn
Chứng minh. Do
a 2
s
a s 1 1 s
2
a ... n n s
j
s s
S ; n i
j
s , đặt t asb
.
i
j
...n
b
a
, trong đó Với mỗi s thỏa
1 j
n 1 ...
i i
n j
n i
và .
1
1
sgn a
sgn b
sgn
sgn
sgn
sgn
t
a
s
b
n i j - -
2
sgn
-
1
s
j
i
sgn
1
s
i
j
sgn
.
1
s
và nên Khi đó,
9
Và đồng thời
t
asb
as
a
n
n
n
i
j
t
t là một tương ứng 1 1 giữa
1nS
j
k
, 1
s
n , ta có 1
nS
i
1nS . Hơn nữa, với mỗi
s
và
t
asb
nên có có thể xem như và phép tương ứng s
i thì k
k
a s
k
<
j;
( τ k
)
−
>
j.
) ( σ k khi σ k ) ( 1 khi σ k
) )
( ( σ k
=
k
t
asb
nên Nếu k
nên
i thì k
k
1
a s
+
j;
)
( τ k
+
>
j.
) + < σ k 1 khi σ k 1 ) 1 khi σ k 1
( (
) ( ) ( + − σ k 1
=
=
=
B A i; j
b
Nếu k
(
)
(
)kl
=
a
a
...a
...b
.
−
a b ij
( ) 1σ 1
( ) 2σ 2
( nσ n
)
( ) 1τ 1
( ) − n 1τ n 1
thì Do đó nếu đặt
detA
sgn
a 2
s
a s 1 1 s
2
a ... n n s
j
s s
S ; n i
i
j
sgn
a b ij
1
t
b ... n
n
1 t
1 1 t
1
t
S n 1
i
j
sgn
a ij
1
b ... n
n
1 t
b t 1 1 t
1
t
S n 1
i
j
a detB ij
1 a A ij ij
A
Suy ra
ijA là
a
ij
là ma trận vuông cấp n trên R . Với mỗi i, j gọi Định lý 1.4.4. Cho
ija . Ta có
phần bù đại số của
n
detA
a ik
A . ik
k=1
:j
i) Công thức khai triển detA theo dòng thứ i :
n
detA
a kj
A . kj
k=1
ii) Công thức khai triển detA theo cột thứ
10
đặt Chứng minh. i) Với mỗi k 1, n∈
a
a
...
a
a
...
a
11
1k
1n
( ) − 1 k 1
( ) + 1 k 1
...
...
...
...
...
...
...
=
B
...
0
0
a
0
...
0
k
...
...
...
ik ...
...
...
...
a
a
... a
a
... a
nk
n1
nn
) ( − n k 1
) ( + n k 1
.
n
detA
.
det B k
k=1
Khi đó, theo tính chất 1.3.6 ta có
a A ik ik
det B
k
n
detA
.
a A ik ik
k=1
nên Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2 có
a 11 ...
a 1n ...
a
... .... ...
0 0 0
... ... ... a
(
) − k 1 1
(
) − k 1 n
B
a
a
đặt ii) Với mỗi k 1, n∈
k
k1
kn
a
... ...
a kj 0
... ... a
(
) + k 1 1
(
) + k 1 n
... a
... ...
0 0
... ...
... a
n1
nn
=
.
n
detA
.
det B k
k=1
Khi đó, theo tính chất 1.3.6 ta có
a A kj kj
det B
k
n
detA
.
a A kj kj
k=1
A
Mặt khác, theo Bổ đề 1.4.2 có nên
.R Khi đó detA
a
ij
Hệ quả 1.4.5. Cho là ma trận tam giác trên (dưới) trong
bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính của A .
.R Khi đó,
( A a=
)ij
là ma trận vuông cấp n trên Định lý 1.4.6. (Định lý Laplace ). Cho
với k dòng cho trước, định thức của A bằng tổng tất cả các tích của định thức con
i
< < ...
i
n
≤ , ta có
cấp k lấy ra từ k dòng đó với phần bù đại số của nó, nghĩa là
≤ < 1 i 1
2
k
11
i) với mỗi
n
detA
M M .
,
n
...
kj
1 j 1
1
< < ...
n
≤ , ta có
≤ < j 1
j 2
j k
n
detA
M M .
,
n
ki
1 i ... 1
i , i ,..., i và các cột
ii) với mỗi
k
2
j , j ,..., j và M′ là phần bù đại số của M.
1
2
k
=
detA detB ⋅ .
trong đó M là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng 1
)
Định lý 1.4.7. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp trên R . Khi đó ( det AB
.R Ma trận A được gọi là khả
1.5. Điều kiện để ma trận trong vành giao hoán khả nghịch
AB BA I
=
=
Định nghĩa 1.5.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên
.n
T
B
A
nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n trên R sao cho
b ij
A ij
a
ij
Định lý 1.5.2. Cho là ma trận vuông cấp n trên R và đặt , trong
ijA là phần phụ đại số của phần tử ija . Khi đó ta có
AB BA
đó
detA I . n
. i)
AB
ii) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch.
( c=
n
=
=
+
+ + ...
c ij
a b ik kj
j
j
a b in nj
a b i 1 1
a b i 2 2
∑
=
+
k = 1
+ + ...
j
j
a A in
jn
a A i 1
1
a A i 2
2
j
j
+
j n +
+ 1
2
=
+
+ + ...
;
.
2
(
) − 1
) ( detA j ; 1
(
) − 1
( detA j ;
)
(
) − 1
( detA j n
)
a i
a in
a i 1
2
=
+
=
+ + ...
detA .
j= thì
, ta có i) Đặt Chứng minh. )ij
c ij
a A in in
a A i i 1 1
a A i i 2
2
Nếu i
j≠ thì ta thay dòng thứ j trong A bằng dòng thứ i ta nhận được ma trận A′
12
Nếu i
...
...
...
...
A
=
′ A ⇒ =
... ...
... ...
a 11 ... a i 1 ... a
a 12 ... a i 2 ... a
a n 1 ... a in ... a
...
...
...
...
...
...
j 2 ... a n
jn ... a nn
a 12 ... a i 2 ... a i 2 ... a n
a n 1 ... a in ... a in ... a nn
j 1 ... a n 1
2
a 11 ... a i 1 ... a i 1 ... a n 1
2
. hay
′
=
;
A bằng cách xóa dòng j cột k , nghĩa là
Trong A′ nếu ta xóa dòng j cột k thì ta nhận được ma trận bằng ma trận thu được từ
( A j k
)
( A j k ;
)
j
j
+
j n +
+ 1
2
′
+
=
det
det
+ + ...
det
;
2
( ) ′ A j ; 1
(
) − 1
( ′ A j ;
)
(
) − 1
( A j n
)
a i
a in
2
( ) − 1 ′ A
=
a i 1 det
c ij = 0.
. Khi đó ta có
A
det
n
=
i j ∀ = ,
, 1
Vậy ta có
c ij
j j
= ≠
khi i khi i
0
AB
BA
=
=
.
(
(
). n detA I
). n detA I
AB BA =
=
Suy ra . Tương tự, ta cũng chứng minh được . Vậy
(
). n detA I
.
AB BA I
=
=
ii) Giả sử A là ma trận khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho
n
detA detB detB detA =
.
.
1
= . Do đó detA khả nghịch.
,
T
AB BA =
=
B
suy ra
(
). n detA I
)ij ( A=
với Ngược lại, nếu detA khả nghịch mà theo i) ta có
− 1
− 1
detA
=
=
B .
B A I .
.n
( A detA
)
(
)
thì suy ra
Vậy ma trận A khả nghịch.
1.6. Một số phương pháp tính định thức trên vành giao hoán
1.6.1. Phương pháp dùng định nghĩa
A
)
a= ij(
detA
sgn
Để tính định thức của ma trận vuông cấp n ta dùng định nghĩa
a 2
s
a s 1 1 s
a 2 ... n n s
s
S n
13
.
Tuy nhiên, phương pháp này chỉ nên áp dụng đối với định thức cấp 2, cấp 3 còn dùng
( ,n n ≥
)4
để tính định thức cấp thì không đơn giản.
A
Ví dụ 1.6.1. Tính định thức của ma trận
a 11 a 21
a 12 a 22
;
a)
( 1 2
S 2
{ Id=
} )
sgn
detA sgn
s
2
a 2
a 2
a 1 s
s
2
1
2
2
2
s 1
.
s 1 a a 11 22
a 1 1 s 1 a a 12 21
B
Ta có nên
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
=
,
,
,
,
b)
}
S 3
{ , s s s s s s 3
4
5
2
1
6
Id
,
,
,
,
,
s
s
s
s
s
s 1
3
4
5
6
2
1 2 3
1 3 2
1 3
2 3
1 2
, trong đó Ta có
detB
sgn
i
s
a 2
a 3
a 1 s
s
s
i
i
i
1
2
3
s
i
S 3
= a
11
a a 22 33
a a a 12 23 31
a a a 13 32 21
a a a 13 22 31
a a a 11 23 32
a a a 12 21 33
Do đó
1.6.2. Phương pháp khai triển
Để tính định thức của ma trận vuông A cấp n , ta dùng công thức khai triển
theo dòng thứ i hay cột thứ j , thường chọn dòng hay cột có nhiều phần tử 0.
1 0 2 3
0 2 3
+
D
=
=
. 1
Ví dụ 1.6.2. Tính định thức
(
)4 4 − 1
2 0 3 0 3 2 1 4
0 3 0 2 1 4
1 0 0 0
0 2 1
+
2 1
=
=
.
0 3 0
2
(
)3 3 − 1
(Khai triển định thức theo dòng thứ 4)
3 0
2 1 4
=
−
.
= − . 6
( . 2 2 0 1 3
)
14
(Khai triển định thức theo cột thứ 1)
1.6.3. Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất
của định thức biến đổi định thức về dạng tam giác. Khi đó, định thức cuối cùng bằng
tích các phần tử nằm trên đường chéo chính.
n
...
D
... ...
Ví dụ 1.6.3. Tính định thức
0 0 ...
... ...
1 − 1 = − 1 ... − 1
2 0 − 2 ... − 2
0
3 0 0 ... − 3
.
n
D
n
=
=
=
n n
n . . ...
!
1 2 3
Cộng dòng 1 vào các dòng 2, 3,…, n ta được
1 0 0 ...
2 2 0 ...
3 3 3 ...
... ... ... ...
... n
...
0
0
0
.
1.6.4. Phương pháp quy nạp
Áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng
hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có
cùng dạng. Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi. Sử dụng công thức truy hồi và
tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2,…, để suy ra định thức cần tính.
5
3
0
0
0
0
... ...
2
5
3
0
0
0
...
nD =
0 ...
2 ...
5 ...
3 ...
0 ...
0 ...
... ...
0
0
0
0
2
5
Ví dụ 1.6.4. Tính định thức sau
=
−
=
+
−
5
6
2
3
2 3.
Khai triển theo hàng 1 ta được:
D n
D n
D n
D n
D n
D n
−
−
− 1
2
− 1
− 1
2
.
−
2
−
=
−
=
−
=
=
−
...
2
3
. . 2 3
3
2
n 3
2
(
)
(
)
Khi đó ta có
D n
D n
D n
D n
D n
D n
−
−
− 1
− 1
2
2
− 1
D 2
D 1
15
.
n
−
2
−
=
−
=
−
=
=
−
...
2
. . 2 3
2
3
2
3
(
)
(
)
D n
D 3 n
D n
D n
D n
D n
−
−
− 1
2
− 1
2
− 1
D 2
D 1
=
19
Hoặc .
5D = . Do đó có
D = 2
1
5 3 2 5
−
−
2
2
−
=
=
.
.
2
n 3
n 3
n = 9 3
D n
D n
− 1
n
n
n
−
−
2
2
−
=
=
.
.
3
2
2
= 4 2
) )
( − 19 2 5 ( − 19 3 5
D n
D n
− 1
+ 1
−
=
6
n 3
− 1
và Mà
n
+ 1
−
=
2
6
2
D n D n
D n D n
− 1
3
+ 1
=
−
n 3
n + 1 2 .
Suy ra
nD
Do đó
1.7. Hệ phương trình tuyến tính trên vành giao hoán
Định nghĩa 1.7.1. Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là
=
+
+ + ...
+
=
+ + ...
a x 11 1 a x 21 1
a x 12 2 a x 22 2
a x n n 1 a x n n 2
một hệ có dạng
=
+
+ + ...
a x mn n
a x m 2 2
b 1 b 2 ........................................... b a x m m 1 1
(1.1)
i
n
=
=
m j ,
, 1
, 1
b R∈ với ,
trong đó
i
a • ij,
x
,
x : các ẩn số nhận giá trị trong ;R
,..., n
x • 1
2
x
x
=
,
,...,
,...,
a
: các hệ số;
n
n
• Mỗi bộ số (
)
(
)
x 1
2
, a a 1
2
thỏa tất cả các phương trình trong (1.1) được
gọi là một nghiệm của hệ (1.1). Khi hệ có nghiệm ta còn nói hệ tương thích.
...
A
=
=
a ij
(
)
m n ×
... ...
...
a 12 a 22 ... a m
a n 1 a n 2 ... a mn
a 11 a 21 ... a m 1
2
Định nghĩa 1.7.2. Ma trận
B
=
được gọi là ma trận hệ số của hệ (1.1).
b 1 b 2 b m
16
Ma trận được gọi là ma trận các hệ số tự do của hệ (1.1)
A B
)
(
... ... ... ...
a 12 a 22 ... a m
a n 1 a n 2 ... a mn
b 1 b 2 ... b m
a 11 a 21 ... a m 1
2
==
Ma trận
được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (1.1).
AX B=
,
Khi đó, hệ (1.1) được viết dưới dạng ma trận
x 1
x
X
=
(1.2)
2 x
n
là ma trận cột các ẩn số. trong đó
=
=
=
...
= . 0
b m
b 1
b 2
j
m∈ 1,
Định nghĩa 1.7.3. Hệ (1.1) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu
jb ≠ 0.
,...,
, 0 0
0
sao cho Hệ (1.1) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất nếu tồn tại
)
làm một nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường. Nhận xét 1.7.4. Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ luôn luôn có nghiệm vì nó nhận (
Định nghĩa 1.7.5. Cho Q là tập hợp các phần tử thuộc R và a là một phần tử của R .
Khi đó, a gọi là linh hóa tử của Q nếu tích của a với mọi phần tử của Q bằng 0.
Nhận xét 1.7.6. Nếu Q chỉ chứa đúng một phần tử 0 thì mỗi phần tử của R là một
.Q Nếu R là vành không có ước của 0 thì tập hợp Q các phần tử của
R có một linh hóa tử khác 0 khi và chỉ khi Q chứa đúng một phần tử 0.
A
linh hóa tử của
nM R Ma trận A có hạng bằng
( a=
)ij
(
).
0
0, kí hiệu là
rank A = nếu tập hợp tất cả các phần tử
ija của A có linh hóa tử khác
(
)
0.
0,
r > kí hiệu
r= nếu r là số nguyên dương lớn nhất
trong vành Định nghĩa 1.7.7. Cho ma trận
( rank A
)
Ma trận A có hạng
sao cho tập hợp tất cả các định thức con cấp r của A không có linh hóa tử khác 0.
17
Định lý 1.7.8. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
n
m
=
=
i , 0
, 1
a x ij
j
∑
j
= 1
(1.3)
.n
A
.
Hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn
c ,..., n
)
c c , 1 2
)ij ( a=
.
0,
Chứng minh. Đặt Giả sử hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường (
n< Với m n< thì điều khẳng định hiển nhiên đúng, do
kc ≠
( rank A
)
.
m n≥ Gọi D là định thức cấp n gồm n dòng đầu tiên của ma trận
.A
với ta chứng minh
đó ta có thể giả sử
n
m
=
=
i , 0
, 1
Từ giả thiết trên ta có
a c ij
j
∑
j
= 1
i
i
,
n= , 1
(1.4)
ikA của
ika trong D ta có
+
=
+ + ...
0
+
=
+ + ...
0
k
k
a c A k 11 1 1 a c A 21 1 2
a c A k 12 2 1 a c A 22 2 2
a c A n n k 1 1 a c A n n 2 2
Nhân 2 vế của các phương trình thứ trong hệ (1.4) tương ứng với phần bù đại số
=
+
+ + ...
0
a c A nn n
nk
nk
nk
k ........................................................ a c A n 1 1
a c A n 2 2
(1.5)
+
+
+ + ...
+ + ...
k
nk
k
nk
a A 21 2
a A n 1
12
a A 22 2
a A n 2
Cộng vế với vế của các đẳng thức trong hệ (1.5) ta được
+
+
+
+
=
+ + ...
( c a A k 2 1 ....
+ + ...
0
k
a A nk
nk
k
) a A nn
nk
) + )
+ + ... )
( c a A k 1 11 1 ( c a A k k k 1 1
a A k 2 2
( c a A n n k 1 1
a A n 2 2
i
i
,
n= , 1
(1.6)
+
+ + ...
= ; 0
k
nk
a A k 11 1
a A 21 2
a A n 1
+
=
+ + ...
; 0
k
k
nk
a A 12 2
a A 22 2
a A n 2
+
=
+ + ...
D ;
k
a A nk
nk
a A k k 1 1
a A k 2 2
+
+ + ...
= 0
k
a A nn
nk
a A k n 1 1
a A n 2 2
18
ta có Trong D lần lượt thay cột thứ k bởi cột thứ
0.
kc D =
kc với mọi
Do đó, từ đẳng thức (1.6) suy ra Chứng minh tương tự, ta suy ra tích
kc là linh hóa tử của tập hợp các định thức cấp n
0
n< .
định thức cấp n của A bằng 0, suy ra
kc ≠ do dó
( rank A
)
r = <
n .
của A . Mà
( rank A
)
Ngược lại, giả sử có Nếu r m= thì ta có thể thay thế hệ (1.3)
tương đương với hệ phương trình gồm các phương trình của hệ (1.3) cùng với
∈
i
∀ =
k R k ,
m j ,
n .
r m< .
0
= ∀ = , 0
, 1
, 1
0
phương trình khác có tất cả các hệ số bằng 0. Vì vậy để không mất tính tổng quát, ta
r = thì tồn tại
≠ sao cho
ka ij
j
n
k = ≠
=
, 0
, 1
Nếu Vậy tồn xét với
jx
r > vì 0,
r= nên theo định nghĩa về hạng ma trận thì tồn tại định thức con
thỏa mãn hệ (1.3), do đó hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường. tại
( rank A
)
rD cấp r của A không là ước của 0. Giả sử đặt
...
a i j 1 1
a i j 1 2
a i j r 1
...
a i j 2 1
a i j 2 2
a i j r 2
=
∈
∈
,
,..,
.
D r
i ,..., r
j ,..., r
{ , 1 2
{ , 1 2
} n ,..,
i 1
i , 2
} m j ; 1
j , 2
...
...
... a i j r r
... a i j r 1
... a i j r 2
a R∈
0
Xét
= với
1r + bất kì của A. Khi
r
a D + ⋅
{ }0\
1
1rD + là định thức con cấp
sao cho Gọi
≠ . 0
a D⋅ r
...
) + 1
a i j 1 1
a i j 1 2
a i j r 1
C
r
=
∪
,
,
,..,
,
,..,
+ ∉ 1
đó, ta có
i r
j r
}
{
}
{ i 1
i 2
j 1
j 2
... ...
r
... a i j r r
... a i j r 1
... a i j r 2
(
) + 1
a ( i r 1 ... a i r
...
r
r
r
r
r
a (
) + 1
a (
) + 1
a (
) + 1
a (
)( + 1
) + 1
j r
j 1
j 2
j
r
∈
+
,
,..,
. Đặt
j ,r
jd với
(
j 1
j 2
{
} ) 1
T
n
R
=
∈
,...,
,
e
e
.C Gọi
lần lượt là phần bù đại số của các phần tử dòng cuối Gọi
n
(
)
2, e e 1
∈
+
j ,
j
j , 2
j 1
e
j
j
r
+
,
,..,
\
,
,
0
} ) 1 j ,..., r
{ { ∈ , 1 2
j ,..., r } n
(
j 1
j 2
( r , {
} ) 1
⋅ a d =
r
+
2
ad
a
=
=
−
0.
0
e ≠
e
trong đó cùng trong ma trận
≠ nên
r
r
D aD = r
r
+
+
(
)2 1
1
1
Vì Ta cần chứng minh e là nghiệm của hệ
19
(1.3). Thật vậy, e là nghiệm của hệ (1.3) khi và chỉ khi
i
⋅
m .
= ∀ = , 0
, 1
j
∑
( a a d ij
)
r
+
,
,..,
( ,
j r
j 1
j 2
{ j ∈
} ) 1
i
∈
• Nếu
Xét hai trường hợp:
i ,..., r
}
{ i 1
i , 2
a
⋅
=
=
.
0
j
j
a d ij
∑
∑
( a a d ij
)
r
r
,
,..,
,
,..,
( ,
( ,
j r
j r
j 1
j 2
j 1
j 2
{ j ∈
} ) + 1
{ j ∈
} ) + 1
i
∈
,..,
• Nếu
thì
i ,..., r
{ 1 2,
}
} { i m \ 1
i , 2
...
) + 1
a i j 1 1
a i j 1 2
a i j r 1
...
a
⋅
=
=
.
0
j
∑
( a a d ij
)
...
r
r
,
,..,
... a i j r r
... a i j r 1
... a i j r 2
(
) + 1
a ( i r 1 ... a i r
( ,
j r
j 1
j 2
{ j ∈
} ) + 1
...
a ij r
a ij 1
a ij 2
a ( i r
) + 1
thì
A
Do đó e là nghiệm của hệ (1.3). Vậy hệ (1.3) có nghiệm không tầm thường.
(
)
nM R khi và chỉ khi
( a=
)ij
detA là ước của không trong
.R
A
(
)
là ước của không trong vành Định lý 1.7.9. Ma trận
nM R , khi đó tồn
)ij
( a=
X
Chứng minh. Giả sử ma trận là ước của không trong vành
AX = với 0
(
)
nM R sao cho
klx ≠ 0,
( x=
)ij
tại ma trận khác ma trận không trong vành
n
i
n
=
=
, 0
, 1
a x ij
jl
∑
j
= 1
a R a∈
,
n< ,
0
suy ra hệ phương trình thuần nhất
≠ sao cho
( rank A
)
a detA
⋅
=
0.
có nghiệm không tầm thường. Do đó suy ra tồn tại
.R
z R z∈
,
0
.R Khi đó tồn tại
≠ sao cho
Vậy detA là ước của không trong
z detA
⋅
=
0.
n< ,
Ngược lại, giả sử detA là ước của không trong
( rank A
)
Vậy, nên theo Định lý 1.7.8 thì hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm
n
i
=
=
n .
, 0
, 1
j
a x ij
∑
j
= 1
20
không tầm thường
n
=
=
z
R z∈
n .
,
i , 0
, 1
0
≠ sao cho
j
j
j
a z ij
∑
j
= 1
...
...
X
=
0 0 ...
...
0 0 ...
0
0
0
z 1 z 2 ... z n
AX =
0.
Do đó suy ra tồn tại ma trận Khi đó tồn tại
( ) . nM R
21
Vậy ma trận A là ước của không trong vành khác ma trận 0 thỏa mãn
CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE
2.1. Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 2.1.1. Cho K là một vành có đơn vị. Vành K gọi là vành chia nếu mọi
phần tử khác 0 của K đều khả nghịch.
*K là nhóm nhân của K ,
nM K là vành ma trận
Định nghĩa 2.1.2. Xét vành chia K ,
nGL K là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên K .
n
V
K là không gian véc tơ các dòng độ dài n trên K . :
vuông cấp n trên K ,
nI là ma trận đơn vị (với 1 là phần tử đơn vị trong K )
Kí hiệu:
nI
... ... ...
0
1
1 ...
0 ...
ije là ma trận có 1 ở vị trí
,i j , những vị trí còn lại đều bằng 0
j
0
0
i .
e ij
1 ...
0
0
khi
j
k
.
e e . ij kl
khi
j
k
0 e il
0
1
Ta luôn có
,n n của nó
d m
m
nI 0
là ma trận chỉ khác ma trận đơn vị ở chỗ, tại vị trí
a
Ka và i
j gọi ma trận
không phải là 1, mà là m .
t ij
I n
e ij
a
j
...
0
...
i .
t ij
a
...
a ...
0
1 ...
1
là một phép co sơ cấp Định nghĩa 2.1.3. Với
t ij
t ij
t ij
a b
a
b
22
. Thật vậy, ta có Hơn nữa,
I
a
b
t ij
t ij
e ij
n
e ij
a
b
I n I
n
e ij
e e ab ij ij
a b
I
do i
0
n
e ij
j suy ra e e ij
ij
a b
.
t ij
a b
1
a a
a
a
nI
t ij
t ij
t ij
t ij
t 0ij
a
, suy ra t ij
a
. Do đó,
Khi đó, ta có
n
t GL K ij
K
.
nGL K sinh bởi mọi phép
t ij
nE K
: a a
Định nghĩa 2.1.4. là nhóm con của
A
co sơ cấp.
a ij
M K n
Định nghĩa 2.1.5. Xét ma trận . Việc nhân ma trận A về bên trái với
ijt a tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với
A :
một phép co sơ cấp
(E) Thay dòng thứ i của ma trận A bởi dòng thứ i cộng với a “lần” dòng thứ j
...
...
...
...
0
0
, A
... ...
... ...
t ij
a
... ... ...
... ... ...
...
...
a 0
...
...
...
...
0
0
1
a j 1 ... a ij ... a nj
a n 1 ... a in ... a nn
a 11 ... a i 1 ... a n 1
1 ... 0 ...
0 ... 0 ...
...
...
a 11 ...
...
a j 1 ...
...
a n 1 ...
a
a
a
A
j
jj
a in
jn
a ij
a i 1
1
t ij
a
... ...
... ...
...
...
a ... a nj
a ... a nn
a ... a n 1
( a được nhân từ bên trái)
ijt a tương
:A
Tương tự, việc nhân ma trận A về bên phải với một phép co sơ cấp
đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với
(E’) Thay cột thứ j của ma trận A bởi cột thứ j cộng với a “lần” cột thứ i ( a
A là các ma trận cùng cấp trên
được nhân từ bên phải).
,..., n
A A , 1 2
K . Với i Kl khi đó
23
Định nghĩa 2.1.6. Xét vành chia K và gọi
n
iA ( il được nhân từ bên trái).
Al i i
gọi là một tổ hợp tuyến tính trái của các
i
1
n
a.
iA ( il được nhân từ bên
A l i i
gọi là một tổ hợp tuyến tính phải của các
i
1
b.
,..,
A gọi là độc lập tuyến tính trái nếu từ tổ hợp tuyến tính trái n
phải).
A A , 1 2
n
i
n .
, 1
, 0 l
0
c. Hệ
i
Al i i
i
1
,..,
A gọi là độc lập tuyến tính phải nếu từ tổ hợp tuyến tính phải n
suy ra
A A , 1 2
n
n
, 0
, 1
0
d. Hệ
l . i i
A l i i
i
1
,...,
A là các dòng của ma trận A và
B là các
suy ra
,..., n
n
A A , 1 2
B B , 1 2
Định nghĩa 2.1.7. Nếu
...
...
A
B
...
,
...
...
...
a n 1 ... a nn
b n 1 ... b nn
a 11 ... a n 1
b 11 ... b n 1
b a 11 11
b a n n 1 1
b a 11 12
b a n n 1
2
b a n 11 1
b a n nn 1
BA
dòng của ma trận B
... ... ...
... ... ...
... ... ...
... ... ...
b a nn n
b a nn nn
b a n 1 11
b a nn n 1
b a n 1 12
2
b a n n 1 1
thì . Do đó, mỗi dòng
iA .
A GL K
của ma trận BA là một tổ hợp tuyến tính trái của các dòng
n
. Trong trường hợp ngược lại Ta nói A là ma trận không suy biến nếu
BA
AB I
B sao cho
. Từ đẳng thức
BA I suy ra các dòng của ma trận đơn vị là
n
n
nK
ta nói A là ma trận suy biến. Ma trận A không suy biến khi và chỉ khi tồn tại ma trận
các tổ hợp tuyến tính trái của các dòng của ma trận A . Do đó, không gian con của
sinh bởi các dòng của ma trận A chứa n véc tơ độc lập tuyến tính (là các dòng của nI ).
A GL K
d
Điều này xảy ra khi và chỉ khi các dòng của A độc lập tuyến tính (trái).
n
B E K n
A B m
*.Km
Định lý 2.1.8. Mọi ma trận đều viết dưới dạng , với
A GL K
và
n
2
n , giả sử
Chứng minh. Với , bằng cách nhân về bên trái lần lượt với các phép co sơ
24
cấp, ta sẽ đưa ma trận A về dạng Định lý. Thật vậy, với
...
...
A
...
...
a 12 a 22 ... a n
a n 1 a n 2 ... a nn
a 11 a 21 ... a n 1
2
.
0
Vì A là ma trận khả nghịch nên trên cột thứ nhất của A có ít nhất một phần tử khác 0
a thì bằng cách cộng dòng thứ hai với một dòng thích hợp nào đó ta nhận
21
0
. Nếu
a . Thay dòng
2 1,
21
. Vậy có thể giả sử được ma trận có phần tử khác 0 tại vị trí
1 bằng dòng 1 cộng với
1 a 11
1 a 21
n
k
lần dòng 2 ta nhận được ma trận mới có 1 nằm ở
, ta làm phép biến đổi loại (E) sau: Thay dòng k bởi
1 1,
. Với mọi 2 vị trí
1ka lần dòng 1. Khi đó, ta sẽ nhận được một ma trận mới mà trên cột thứ
dòng k trừ
1 1,
1
A
như sau: nhất chỉ toàn số 0 ngoại trừ 1 ở vị trí
... ... ... ...
0
a 12 a 22 ... a n
0 ...
a n 1 a n 2 ... a nn
2
.
Ta thấy với các phép biến đổi vừa áp dụng thì tính độc lập tuyến tính của các dòng
của ma trận vẫn được bảo toàn, do đó các dòng của ma trận mới nhận được độc lập
1n nhận được bằng cách xóa
tuyến tính với nhau. Từ đó suy ra ma trận vuông cấp
đi dòng thứ nhất và cột thứ nhất của ma trận cuối cùng cũng là một ma trận khả
nghịch. Do đó, ta có thể áp dụng các phép biến đổi loại (E) để làm cho tất cả các vị trí
2 2,
1n ta nhận được ma trận dạng
. Tiếp tục quá trình như vậy, ở bước ở cột thứ hai đều là 0 , ngoại trừ 1 ở vị trí
*
1
thứ
d m
m
nI 0
d
.
t A t . . ... 2 1
t n 1
1
1
d .
B d .
,
với it là phép co sơ cấp thứ i , suy ra: Khi đó, ta có m
t ... n
B E K n
m
m
1 A t t 2. 1
25
.
*
*
*
*
*
K
/
,
.
K K
2.2. Định nghĩa định thức Dieudonne
0
K K K
và đặt
, a b là những phần tử nằm trong K thì
.a b là phép nhân bình
Định nghĩa phép nhân Xét nhóm thương
*
a K
.a b
a . 0
0
, 0
ab . Ngoài ra, ta đặt 0 a .
trong K như sau: nếu
. Khi
và 0 0 . thường trong K , tức là
A M K
đó, K là một nửa nhóm giao hoán.
n
Định nghĩa 2.2.1. Mỗi ma trận ta cho tương ứng với duy nhất một phần tử
của K mà ta kí hiệu là detA hoặc A và gọi là định thức Dieudonne của A , sao cho
các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
m ( m được nhân về bên trái ) thì
detA
detA ;
m
(I) Nếu ma trận A nhận được từ ma trận A bằng cách nhân một dòng của A với
(II) Nếu ma trận A nhận được từ ma trận A bằng cách cộng một dòng với một
detA
detA ;
dòng khác thì
detI 1.
n
(III)
2.3. Một số tính chất của định thức Dieudonne
Tính chất 2.3.1. Nếu thay dòng thứ i cộng với l dòng thứ j (l nhân về bên trái) thì
0
0
định thức không thay đổi.
l tính chất 2.3.1 hiển nhiên đúng. Với
l , gọi A
Chứng minh. Thật vậy, với
jA bằng cách
jAl . Khi đó theo (I), ta
detA
l
là ma trận nhận được từ A bằng cách thay dòng
detA
có detA . Gọi A là ma trận nhận được từ A bằng cách thay dòng thứ i bởi
j với
1l . Theo (I),
dòng thứ i cộng với dòng thứ j . Theo (II), detA . Gọi A là ma trận nhận
- 1
- 1
A
A
A
A
A
det
det
det
det
det
l
l
- 1 l l
được từ A bằng cách nhân về bên trái dòng thứ
. Mặt khác, A là ma trận được nói đến
trong tính chất 2.3.1.
detA 0.
26
Tính chất 2.3.2. Nếu A là ma trận suy biến thì
A có một dòng là tổ hợp tuyến tính trái của các dòng khác. Lấy dòng này trừ đi tổ
Chứng minh. Thật vậy, nếu A suy biến thì các dòng của A phụ thuộc tuyến tính nên
0
detA .
hợp tuyến tính nói trên ta nhận được ma trận có một dòng bằng 0. Theo tính chất
2.3.1, định thức không thay đổi qua phép đổi như vậy. Theo (I) suy ra
,
'
A A M K
Tính chất 2.3.3. Nếu đổi chỗ hai dòng của ma trận thì định thức sẽ nhân với 1 .
'A là ma trận nhận được từ A bằng cách
n
detA
'
detA .
- 1
trong đó Chứng minh. Xét
đổi chỗ hai dòng i và j cho nhau. Ta cần chứng minh
...
...
...
...
a 11 ... a
a n 1 ... a
...
...
A
A
,
'
...
...
a 11 ... a i 1 ... a
a n 1 ... a in ... a
...
...
...
...
...
...
jn ... a nn
jn ... a in ... a nn
j 1 ... a n 1
j 1 ... a i 1 ... a n 1
'A ta sẽ thực hiện một số phép biến đổi loại (E) như sau:
Thật vậy,
d
d
Đối với
'A thành:
i
d i
j
,
a 11 ...
a
a
j
jn
1
a i 1
A
''
... ... ... ... ... ... ...
a n 1 ... a in ... a in ... a nn
... a i 1 ... a n 1
detA
''
'
detA
khi đó Thay dòng i bởi dòng i cộng dòng j
j bởi dòng
j trừ dòng i
d
d
d
, ta được ma trận
j
j
i
...
a 11 ...
...
a
a
...
j
jn
a i 1
1
A
'''
...
...
... a
1
...
...
jn ... a nn
a n 1 ... a in ... a
j ... a n 1
27
. Sau đó, thay dòng và theo (II) ta có
detA
'''
''.
detA
d
d
và theo (I) Thực hiện tiếp tục bằng cách thay dòng i bởi dòng i cộng
i
d i
j
...
...
A
''''
... ...
1
... ...
...
a 11 ... a i 1 ... a
a n 1 ... a in ... a jn ... a nn
j ... a n 1
detA
detA
detA
detA
'
''
'''
''''
detA . 1
ta có ma trận dòng j
m .
Đưa -1 ra ngoài dấu định thức ta có
detd m
Tính chất 2.3.4.
nI với m
( d m là ma trận có được bằng cách nhân dòng cuối của
)
detd
m
m
m
. 1
Chứng minh. Vì
n
det I
m
nên
A Bd m
A trong Định lý 2.1.8 thì detA m .
0
detA khi và chỉ khi A là ma trận suy biến.
Tính chất 2.3.5. Nếu A là ma trận không suy biến và là sự phân tích của
0
detA . Ngược
Tính chất 2.3.6.
0
Chứng minh. Thật vậy, nếu A suy biến thì theo tính chất 2.3.2 ta có
detA m , điều này mâu
lại, nếu A không suy biến thì theo tính chất 2.3.5 ta có
detA 0.
detA detB .
thuẫn với giả thiết
det AB
Tính chất 2.3.7.
detA detB .
.
0
det AB
d
C E K
,
A Cd
AB Cd
Chứng minh. Nếu A suy biến thì AB suy biến và theo tính chất 2.3.2 ta có
n
m
Bm
. Bm
Giả sử A không suy biến thì, suy ra Ma trận
B
det d
detB .
m
nhận được từ ma trận B bằng cách nhân dòng cuối cùng về bên trái với m nên theo
m
(I) ta có Mặt khác, ma trận C là tích của các phép co sơ cấp nên
detCd
B detd
B
detB detA detB .
.
m
m
m
28
theo tính chất 2.3.1 ta có
'E
Tính chất 2.3.8. Định thức không thay đổi khi ta áp dụng các phép biến đổi loại
đối với ma trận.
'E đối với ma trận A tương đương
1
Chứng minh. Áp dụng các phép biến đổi loại
ij
det t a suy ra
với việc nhân ma trận A với phép co sơ cấp về bên phải. Ta có
detA
theo tính chất 2.3.7 nhận được
det At ij
a
detAdet t ij
a
.
Tính chất 2.3.9. Nếu đổi chỗ hai cột của ma trận thì định thức được nhân với 1 .
Chứng minh. Tương tự như tính chất 2.3.3
Tính chất 2.3.10. Nếu nhân về bên phải một cột của ma trận A với m thì định thức
.m
được nhân với
detA detd .
.
detA . m
m
m
det Ad
Chứng minh. Thật vậy, nếu nhân cột cuối của ma trận với m thì
Do đó, tính chất 2.3.10 đúng với cột cuối cùng. Nếu việc nhân với m xảy ra đối với
một cột không phải là cột cuối cùng thì sử dụng tính chất 2.3.9 cũng suy ra điều cần
chứng minh.
2.4. Sự tồn tại của định thức Dieudonne
Trước tiên, ta sẽ chứng minh sự tồn tại của định thức Dieudonne bằng quy nạp
A
1
n giả sử
theo cấp n của ma trận.
a
det A det
a
a .
detA .
l
a l
l
l
thì detA a . Khi đó, ta kiểm tra các điều kiện: vì Với
l
nên điều kiện (I) thỏa mãn. Điều kiện (II) và (III)
1n , ta sẽ xây dựng định
hiển nhiên đúng.
.K
Giả sử đã xây dựng được định thức Dieudonne cấp
0.
thức cấp n . Thật vây, giả sử A là ma trận vuông cấp n trên vành chia
detA Do A suy biến nên các dòng của A phụ
Nếu ma trận A suy biến thì đặt
29
thuộc tuyến tính. Khi đó, các tiên đề (I) và (II) đều được thỏa mãn vì các phép biến
đổi trong các tiên đề đó không làm thay đổi sự phụ thuộc tuyến tính của các dòng của
detA .
ma trận. Vậy tồn tại
,...,
, 1 0
nK
Nếu A không suy biến. Khi đó, các dòng của A độc lập tuyến tính trái, do đó
.n Véc tơ
0
không gian dòng của A có số chiều bằng biểu diễn một cách
n
,...,
duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các dòng của ma trận A
0
, 1 0
Al k k
k
1
n
,...,
1 2,
(2.1)
l và không đồng thời bằng 0, k K
kA k
,
là các dòng của ma trận A . với
1n . Thay vào (2.1) ta được:
iB là véc tơ độ dài
A i
a B 1, i i
n
n
, 1
0
trong đó Viết
l k
a k
l k
B k
1
k
k
1
1
(2.2)
1n . Với mọi 1 i
, gọi n
iB độ dài
iC là ma trận được từ F bằng cách xóa đi dòng thứ .i Theo giả thiết quy nạp, tồn tại
det
iC . Sau đây là một số tính chất của
:iC
n
0
0
Gọi F là ma trận được lập nên từ n dòng
il thì từ điều kiện
kl không đồng
Bl k k
k
1
0
detC .
Thứ nhất, nếu kết hợp với các
i
iC phụ thuộc tuyến tính, do đó
j
0,
0
thời bằng 0 , suy ra các dòng của
và i
jl . Gọi D và E là ma trận nhận được từ
iC
l i
Thứ hai, giả sử
jB tương ứng bởi
jBl
j
iB . Khi đó, ta có
1
detD
l
và bằng cách thay
detC i
j
. (2.3)
jBl
j
Nếu trong D thay dòng bởi tổng của nó với tất cả các dòng còn lại (tức thay
jBl
j
Bl k k
). Khi đó, từ (2.2) suy ra
k i
dòng bởi
l k
B k
l i
B i
k i
detD
detE
.
- i l
detE
l
. Kết hợp với (2.3) ta được Do đó,
detC i
j
i
1 - l
i
1
j phép biến đổi những dòng kế nhau ta có thể đưa ma trận E thành
.
Thực hiện
jC . Vậy
30
ma trận
i
j
1
detC
detC i
1 l j
- l i
j
1
.
i
j
1
1
1
1
detC
l
Từ đó suy ra
l i
detC i
j
j
1
1
i
1
0
. (2.4)
l i
detC i
il .
1 1
là giống nhau đối với mọi Công thức (2.4) chứng tỏ biểu thức
i
1
detA
Ta gọi đại lượng này là định thức của ma trận A . Vậy, theo định nghĩa
l i
detC i
1 1
(2.5)
Tiếp theo, ta chứng minh rằng định nghĩa nói trên thỏa mãn tất cả các tiên đề (I),
(II) và (III).
'A là ma trận nhận được từ A bằng cách thay dòng
m thì 0
'A có một dòng bằng 0 nên
'A suy biến, do đó
iAm . Nếu
iA bởi
detA
'
detA .
0
0
Xét đối với tiên đề (I): Gọi
m . 0
. Vậy giả sử
il thì 0
1
i
1
1
detA
detC i
1
l m i
i
1
1
ml i
1
detC i
i
1
1
l i
detC i
1 m detA .
m
Nếu
i thì
kl với k 0
k
1
detA
detC
,
l k
k
1 1
Nếu
kC nhận được từ
kC bằng cách nhân dòng
iB về bên trái với m . Theo giả
detC
detCm
trong đó
k
k
k
detA
detC
detA .
m
1 l m k
k
1 1
. Vậy thiết quy nạp,
iA bởi
A . Ta có
A i
j
31
Xét đối với tiên đề (II): Giả sử A nhận được từ A bằng cách thay dòng
n
,...,
l k
A k
, 1 0
0
k
A
,...,
1
l
l k
A k
l i
A i
j
j
, 1 0
0
k i j ,
A
A
,...,
l k
A k
l i
A i
j
l i
j
, 1 0
0
l j
k i j ,
A
,...,
l k
A k
l i
A i
l i
j
, 1 0
0
l j
k i j ,
k
,
i j sao cho
kl thì 0
k
1
detA
detC
Nếu tồn tại
l k
k
1 1
.
kC nhận được từ
kC bằng cách thay một dòng bởi tổng của dòng đó và
detC
detC
detA
Trong đó,
k
k
C và ta có
nên suy ra detA . một dòng khác. Mà
C i
i
il thì 0
i
1
detA
detA
Nếu
l i
detC i
1 1
k
j
, 0
l
. Khi đó, ta có
.
j
, 0 l k
n
B
0
l
l k
B k
j
j
0
k 1 B j
B
B i
j
B i
C
Nếu
C . Do đó, ta có
j
j
j
j
1
1
1
1
detA
detC
detC
detA
l
l
suy ra
j
j
j
j
1
1
.
Vậy, (II) được thỏa mãn trong mọi trường hợp.
nI . Khi đó, trong sự phân tích (2.1)
k
, 0
l và 1
l . Do đó, 1
Xét đối với tiên đề (III): Xét ma trận đơn vị
k
1
1
detI
detI 1
1.
n
n
1 1 1 1
detC 1
1
ta có
Vậy, ta chứng minh sự tồn tại của định thức Dieudonne cấp n.
2.5. Một số kết quả suy từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne
n
GL K n
A M K detA
0
32
Từ định nghĩa và tính chất của định thức Dieudonne ta có
là một nhóm con của
A GL K detA n
SL K n
1
nGL K , gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên K .
Định nghĩa 2.5.1. Tập hợp
E K n
SL K n
. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức ngược lại, nghĩa là trên Hiển nhiên
SL K n
E K n
*
1
c
1 aba b
a b ,
.
2,
n
:
,a b K
thực tế thì .
d c
E K n
2
n , xét một dãy các phép biến đổi sau:
Bổ đề 2.5.2. Cho , với . Khi đó,
d
ad
d
1 a d 1
2
d 1
2
1 1 b a d 1
2
1
1
1
1
1 a
0 a
0 a
0
a 1
1
1
0 1
0 1
1
1
a
ab
d
d
abd
d 1
2
2
d 1
2
1 a d 1
1 ab
1
1
1
0 a
0 b
aba 1 a
0 b
0
a 1 b
a b
1
1 1
d
aba
d 1
2
d
d 1
2
1 1 b c d 1
2
ab a
1 aba d
1
c 1 b
0 b
c 0
1
0 1
0 1
d
d
2
2
d 1
2
d c
d 1
.
0 1
c d 1 c
1 1
0 d c
1 0
0 c
Chứng minh. Với
d c là tích của những phép co sơ cấp. Vậy
d c
E K 2
2
n : Dùng các phép biến đổi như trên nhưng chỉ áp dụng cho ô chính
. Kết quả cho thấy
Với
d c
E K n
0 ...
... ...
0 ...
... ...
.
...
d c
0 c
0 ...
0 ...
1 0
0 1
1 0
1 ... 0 ...
0 ...
1 ... 0 ...
0 ...
cấp 2 phía dưới cùng của ma trận đơn vị, ta cũng suy ra .
n , 2
GL K n
SL K n
E K n
SL K n
*
K .
n
n
GL K SL K
A SL K
Định lý 2.5.3. Với mọi . Ngoài ra, và
n
,
*
B E K
K
,
,
.
A B d .
m
n
m
.
1
m
m 1,
Chứng minh. Với mọi theo Định lý 2.1.8 ta có thể viết
m . Do đó,
detA detB detd m
c c 1... m
ic i
Khi đó, , suy ra 1 1.m hay (các là
d
d c
m
d c m
1 ...
33
các giao hoán tử). Vì vậy, ta có
m
,
d
1,
A E K n
n
(
) m ∈
( E K n
) ,
d c i
E K i
mà suy ra kéo theo . Do đó,
SL K n
SL K n
E K n
E K n
SL K n
E K n
.
. Mặt khác, ta luôn có . Vậy
*
det GL K
K
:
n
A
detA
A B GL K
detA detB .
,
Xét ánh xạ:
n
det A B .
*Km
với mọi nên ánh xạ trên là đồng cấu Do
m . Do đó, det là một toàn cấu. Mặt khác,
det d m
*
er
, ta có nhóm. Mặt khác,
K .
n
n
SL K n
K det
GL K n
GL K SL K
B C
B
A
A
. Do đó,
D
0
0 C D
A detB detD
.
(hoặc ), trong đó B và D là những ma Định lý 2.5.4. Cho
trận vuông. Khi đó, det .
0
detA detB
Chứng minh. Nếu B là ma trận suy biến thì các dòng của nó phụ thuộc tuyến tính,
nên các dòng của A cũng phụ thuộc tuyến tính. Trong trường hợp này,
, do đó công thức thỏa mãn.
Giả sử B là ma trận không suy biến. Khi đó, áp dụng những phép biến đổi loại
d m , kéo
(E) đối với ma trận B (và cũng là đối với ma trận A ) để đưa B về dạng
detA
det
m
theo detB m . Đưa m ra ngoài dấu định thức ta có
rI 0 C D
A
.
rI 0 C D
A
. Dùng các phép biến đổi loại (E) đưa A về dạng Đặt
0 D
rI 0
.
d h . Khi đó
Nếu D suy biến thì A cũng suy biến và công thức được thỏa mãn. Nếu D không suy
I
detA
det h
. 1 h
. h
0 I
r 0
s
detA
detB detD .
.
. m h
biến thì dùng các phép biến đổi loại (E) để đưa D về dạng
34
Từ đó suy ra
Như đã biết, định thức trên vành giao hoán có tính tuyến tính đối với dòng và
cột. Còn đối với định thức Dieudonne tính chất tuyến tính không còn thỏa mãn nữa.
*
K
* K K ,
Tuy nhiên, ta có thể chứng minh được một tính chất gần giống như vậy.
*K các phần tử khác 0 của
′ =
là giao hoán tử của nhóm nhân
*
aK′
=
a K∈
.K Khi đó phần tử
Gọi
có thể được viết dưới dạng a . Định nghĩa vành chia
′
K
a b +
′ aK bK +
=
+
∈
= :
k ,
ak 1
bk k 2 1
2
{
} ′
a b a b + ∈ + ,
tổng của các phần tử a và b bởi
.b Khi đó,
+
⊆ +
ac bc .
) a b c
(
*
a
a K
a b
a = ∀ ∈ ,
,
là tập hợp các tổng các phần tử a và kéo theo
+ = + a b .
Lưu ý rằng, nếu K là trường thì kéo theo
nA , trong
Nếu ta xét định thức như một hàm số của một dòng nào đó, chẳng hạn
nD A . Khi đó, ta
khi ta coi những dòng còn lại là không thay đổi. Kí hiệu hàm này là
có một kết quả sau:
D A n
A n
D A n
D A n
. Định lý 2.5.5.
A A phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại một tổ , n
n
A 1,...,
Chứng minh. Vì các véc tơ dòng
...
r
r
l
m
. 0
A n
A n
A 1 1
A n 1
n 1
l
m thì 0
1n dòng đầu tiên của định thức là phụ thuộc tuyến tính nên các
hợp tuyến tính không tầm thường
Nếu
0
l thì không làm mất tính tổng quát, có thể giả sử
1l . Thay
định thức đều bằng 0 . Do đó bao hàm thức hiển nhiên được thỏa mãn.
r
...
r
Nếu, chẳng hạn
A m n
A n
A 1 1
A n 1
n 1
D m
m
m
dòng cuối của ma trận A bởi , nhận được
A n
D A n
D A n
D A n
.
,...,
,
,
A n
A n
A 1
A n 1
,
r
r
m
...
m
A n
n
A n
A n
A n
A n
A n
A 1 1
1
1
1
Làm như vậy đối với ma trận có các dòng là nhận được
35
D
m
m
D A n
A n
A n
D A n
1
suy ra . Do đó, ta có
1
1.
m
D A n
A n
D A n
D A n
D A n
D A n
m
D A n
1
.
2.6. Một số phương pháp tính định thức Dieudonne
Dựa vào định nghĩa và một số tính chất của định thức Dieudonne ta có thể trình
bày hai phương pháp tính định thức Dieudonne như sau
2.6.1. Phương pháp 1
Phương pháp này dựa vào phép biến đổi loại (E) và (E’), kết hợp với một số tính
chất để đưa định thức về dạng tam giác, sau đó định thức Dieudonne sẽ là tích các
*
,
phần tử trên đường chéo chính.
, a b g i
i
i K i
1 3 ,
2
a 1 b
a b
a 3 b
Ví dụ 2.6.1. Với , tính
2
3
g
g
1 g 1
2
3
a
a
a 1
a 3
2
a 3
2
1
1
a 1 0
b
b
b
b
b
1
3
2
2
3
2
.
1
1
0
g
g
g
g
g
2
b a a 1 1 g a a 1 1
2
3
b a a 1 1 3 g a a 1 1 3
1
2 3
a
2
a 3
1
1
a 1 0
b
b
2
b a a 1 1
2
3
1
1
1
1
0
0
g
b
3
g a a 1 1 3
b a a 1 1
2
3
b a a 1 1 3
1 1
2
2
g 2
b a a 1 1 3 1 g a a b
1
1
1
1
1 b a a g
b
2
1 1
2
3
g a a 1 1 3
2
2
b a a 1 1
2
3
b a a 1 1 3
. a b 1
g 2
1 g a a b 1 1
Ta có
2.6.2. Phương pháp 2
A GL K
Phương pháp này dựa trên phần chứng minh sự tồn tại của định thức Dieudonne.
.kA Khi đó, tồn tại duy nhất tổ hợp tuyến
n
,
giả sử các dòng của A là Cho
36
tính
n
,..., ,..., 0 1
0
Al k k
k
1
i
j
detA
(1 ở vị trí thứ j )
detC i
iC là ma trận nhận được từ A bằng
1
l i
1
. Trong đó, Khi đó,
a
b
detA
c
0 c
cách xóa đi dòng ,i cột j .
0 a
0
0
Ví dụ 2.6.2. Tính
1
1
1
a
b
c
c
c
1 a ba
a
0
0
0
0
0
1
0
a
Ta có
.
1 2
1 2
c
1
1
detA
2 a c .
l 1
detC 1
1
1
a
1
0 a
0
Khi đó, ta có thể tính detA như sau:
2 2
2 2
a
b
1
1
detA
detC
c
2 a c .
l 2
2
1
1
1
a
0
Hoặc
3 2
3 2
b
a
1
1
detA
1 a ba
2 a c .
l 3
detC 3
1
1
1
c
0
Hoặc
2.7. So sánh định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne
2.7.1. Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức
1. Nếu nhân một dòng (cột) của A với m thì định thức được nhân lên với m .
detA 0.
2. Nếu ma trận A có một dòng (cột) bằng 0 thì
3. Nếu đổi chỗ hai dòng (cột) của ma trận thì định thức đổi dấu.
4. Nếu ma trận có hai dòng (cột) bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì định thức sẽ
bằng 0 .
5. Nếu ta cộng một dòng (cột) nào đó của ma trận A với một tổ hợp tuyến tính
37
trái (phải) nào đó của các dòng (cột) còn lại thì định thức sẽ không đổi.
6. Nếu một dòng (cột) nào đó của ma trận A là một tổ hợp tuyến tính trái (phải)
detA 0.
của các dòng còn lại thì
7. Nếu A là ma trận tam giác thì det A bằng tích các phần tử trên đường chéo
1
chính.
detI . n
detA detB .
8.
det A B .
9.
2.7.2. Một số tính chất khác nhau giữa hai định thức
Bảng so sánh một số tính chất khác nhau giữa
định thức trên vành giao hoán và định thức Dieudonne
T
T
detA detA
detA detA
Định thức trên vành giao hoán Định thức Dieudonne
a
a
1. Định thức
A
A
1 b
ab
1 b
ab
của ma trận A Ví dụ a: Cho Ví dụ b: Cho
b
b
T
T
và định thức
A
A
1 a
ab
1 a
ab
của ma trận . . suy ra suy ra
chuyển vị của
a
a
1
detA
detA
ab ab 0
1 b
a ab
1 b
ab
0
ab ba
ab ba -
b
T
detA
ab ab 0
1 a
ab
T
A
det
1 a
b ab
b
1
. 0
0
ab ab
Khi đó, ta có Khi đó, ta có ma trận A .
2. Có thể đưa một thừa số bên Không thể đưa một thừa số
phải của một dòng ra ngoài dấu bên phải của một dòng ra
ngoài dấu định thức. định thức.
a
a
1
b
. 0
1 b
ab
a
1
38
Ví dụ d: Ví dụ c:
a
a
1
1 b
ab
0
ab ba
ab ba -
a
1
b
. 0
Định thức trên vành giao hoán Định thức Dieudonne
a
1
Mà
3. Có thể đưa một thừa số bên trái Không thể đưa một thừa số
của một cột ra ngoài dấu định bên trái của một cột ra
ngoài dấu định thức. thức.
a
0.
1 b
a ab
1 b
1 b
1 b
a ab
1 0
a ab ba
ab ba -
a
Ví dụ f: Ví dụ e:
0.
1 b
1 b
Mà
4. Có tính chất tuyến tính trên Không có tính chất tuyến
0
dòng và cột. tính trên dòng và cột.
det A Các dòng của A độc lập tuyến
5. Khi Các dòng của A độc lập
tính trái và phải. tuyến tính trái.
Các cột của A độc lập tuyến Các cột của A độc lập
39
tính trái và phải. tuyến tính phải.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được những nội dung sau:
- Nhắc lại định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính định thức trong đại số
tuyến tính vẫn còn đúng với vành giao hoán có đơn vị, và đặc biệt chứng minh được
một số tính chất khác với trên trường như điều kiện khả nghịch của ma trận, điều kiện
để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm không tầm thường, điều kiện để ma trận là
( ) . nM R
ước của không trong vành
- Từ định nghĩa, các tính chất, sự tồn tại của định thức Dieudonne chỉ ra một số
phương pháp tính định thức Dieudonne.
- Đặc biệt là chỉ ra được một số tính chất giống và khác nhau giữa định thức trên
40
vành giao hoán và định thức Dieudonne.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Bùi Xuân Hải (2011), Nhóm tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí
Minh.
2. Bùi Xuân Hải (2009), Đại số tuyến tính và ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia Thành
phố Hồ Chí Minh.
Tiếng Anh
3. S. Lang (2002), Algebra, GTM 211, Springer-Verlag, pp. 511-522.
4. N. H. McCoy (1962), Rings and Ideals, The Carus Mathematical Monographs, pp. 155-
41
162.
