Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HƢƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HƢƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2018
iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 3 Chương 1. Một số giá trị trung bình sơ cấp 5 1.1 Một số giá trị trung bình sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Giá trị trung bình thông thường . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Trung bình có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Một số tính chất của trung bình Mr (a) . . . . . . . 7 1.2 Hàm so sánh được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Bất đẳng thức thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Một số hàm so sánh được . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan 18 2.1 Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình . . . . . . . . . 18 2.1.1 Các giá trị trung bình tương đương . . . . . . . . . 20 2.1.2 Tính chất đặc trưng của giá trị trung bình Mr . . 21 2.2 Một số lớp hàm lồi liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Hàm lồi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Hàm lồi hai lần khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Hàm lồi nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Một số dạng toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 Mở rộng bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . 39
iv Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44
1 Bảng ký hiệu N∗ tập các số tự nhiên dương (a) dãy các số thực Mr (a) trung bình bậc r A(a) trung bình cộng G(a) trung bình nhân
3 Mở đầu Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn v.v. . . Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng. Trong bất đẳng thức, thứ tự sắp xếp giữa các đại lượng trung bình của bộ số thực dương đóng một vai trò quan trọng trong việc so sánh giá trị giữa các đại lượng trung bình đó. Ngoài thứ tự sắp xếp của một số đại lượng trung bình thông thường như trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa v.v. . . , người ta còn quan tâm đến giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan. Mục đích của luận văn nhằm khảo sát các tính chất của giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan. Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong 2 chương. Chương 1 "Một số giá trị trung bình sơ cấp": trình bày các kiến thức về giá trị trung bình thông thường, định lý về trung bình cộng và trung bình nhân, một số tính chất của trung bình. Các kiến thức của chương này được viết trên cơ sở tổng hợp từ các tài liệu [1] và [2]. Chương 2 "Giá
4 trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan": trình bày tính chất đặc trưng của giá trị trung bình với hàm tùy ý và một số lớp hàm lồi liên quan. Các kiến thức của chương này được viết trên cơ sở các tài liệu [1], [2], [3] và [4]. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô của khoa Toán - Tin và các thầy cô trong trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Bạch Đằng, Thủy Nguyên, Hải Phòng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hương
5 Chương 1 Một số giá trị trung bình sơ cấp Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của giá trị trung bình sơ cấp. Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]. 1.1 Một số giá trị trung bình sơ cấp Mục này trình bày các kiến thức về: giá trị trung bình thông thường, định lý về trung bình cộng và trung bình nhân, một số tính chất của trung bình. 1.1.1 Giá trị trung bình thông thường Giả sử n ∈ N∗ . Xét tập dãy các số dương (a) := (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an ); (b) := (b1 , b2 , . . . , bi , . . . , bn ). Ký hiệu dãy không là dãy gồm toàn số 0, nghĩa là (0) := (0, 0, . . . , 0). Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy (a) tỷ lệ với dãy (b) nếu tồn tại hai số α và β không đồng thời bằng 0 sao cho αai = βbi (i = 1, 2, . . . , n). Nhận xét 1.1.2 (i) Từ định nghĩa này ta thấy dãy (0) tỷ lệ với mọi dãy (a).
6 (ii) Nếu hai dãy (a) và (b) tỷ lệ và cả hai dãy đều khác dãy (0) thì bi = 0 nếu ai = 0. Sau đây là định nghĩa về trung bình bậc r với r 6= 0 là một số thực cho trước. Định nghĩa 1.1.3 Tổng Mr (a) được định nghĩa bởi: n 1 X 1/r Mr (a) := ari , (1.1) n i=1 được gọi là một trung bình bậc r, ở đây (a) := (a1 , a2 , . . . , an ) là một dãy gồm n số không âm. Nếu đặt A(a) := M1 (a) (1.2) H(a) := M−1 (a) (1.3) và √ G(a) := n a1 a2 . . . an , (1.4) thay tương ứng vào công thức (1.1), ta nhận được trung bình cộng thông thường n 1X A(a) = ai , n i=1 trung bình điều hòa n 1 X −1 H(a) = a−1 i n i=1 và trung bình nhân G(a) tương ứng. 1.1.2 Trung bình có trọng Giả sử pi > 0 (i = 1, . . . , n) (1.5)
7 và đặt n pi ari !1/r P i=1 Mr = Mr (a) = Mr (a, p) = Pn , (1.6) pi i=1 Mr = 0 (r < 0 và một số số a = 0) (1.7) và n 1/ P pi G = G(a) = G(a, p) = ap11 ap22 . . . apnn i=1 . (1.8) Vì trung bình là hàm thuần nhất bậc không đối với p, nên không làm n P mất tính tổng quát ta giả sử pi = 1. Khi đó ta sẽ viết qi thay cho pi i=1 như sau: n X 1/r n X Mr (a) = Mr (a, p) = qi ari qi = 1 (1.9) i=1 i=1 và n X G(a) = G(a, p) = aq11 aq22 . . . aqnn qi = 1 . (1.10) i=1 Định nghĩa 1.1.4 Xét các số thực r khác 0. Khi đó tổng Mr (a, p) xác định theo công thức (1.9) được gọi là trung bình bậc r theo trọng (q). Nhận xét 1.1.5 (i) Ứng với r = −1, r = 1 và r = 2 ta lần lượt nhận được các trung bình điều hòa, trung bình cộng và trung bình bình phương. (ii) Trung bình có trọng trở thành trung bình thông thường khi pi = 1 với mọi i = 1, . . . , n. 1.1.3 Một số tính chất của trung bình Mr (a) Để chứng minh các tính chất của trung bình Mr (a), ta cần sử dụng bất đẳng thức sau đây.
8 Định lý 1.1.6 Giả sử (a), (b), . . . , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số, α, β, . . . , λ là các số dương với α + β + · · · + λ = 1. Khi đó, Xn n X n α X β n X λ α β λ ai bi . . . li < ai bi . . . li , i=1 i=1 i=1 i=1 trừ các trường hợp (1) hoặc tất cả các dãy (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ, (2) hoặc có dù chỉ một trong các dãy đó là dãy (0). Tính chất 1.1.7 (i) Nếu 0 < r < s thì Mr (a) < Ms (a), (1.11) trừ trường hợp tất cả các phần tử của dãy (a) bằng nhau. (ii) Nếu 0 < r < s < t thì Ms (a)s < (Mr (a)r )(t−s)/(t−r) (Mtt (a))(s−r)/(t−r) . (1.12) Chứng minh. (i) Đặt r = sα và pas = u, p = v. Khi đó 0 < α < 1, v > 0 và pasα = (pas )α p1−α = uα v 1−α . Sử dụng Định lý 1.1.6 ta nhận được Xn X n n α X 1−α α 1−α ui vi < ui vi , (1.13) i=1 i=1 i=1 trừ trường hợp ui /vi không phụ thuộc vào i, tức là khi ai không phụ thuộc vào i. Vì vậy, (P )1/sα ( P )1/s n sα n s p a i=1 i i p a i i P n < Pi=1 n . i=1 pi i=1 pi (ii) Đặt s = rα + t(1 − α), (0 < α < 1). Khi đó bất đẳng thức (1.12) có dạng X Xn n α X 1−α s r t qi ai < qi ai qi ai , i=1 i=1 i=1 và đặt u = qar , v = qat ta đưa được về trường hợp riêng của Định lý 1.1.6. Điều kiện để xảy ra dấu bằng là các dãy (u) và (v) là tỷ lệ. Nhận xét 1.1.8 Tính chất (1.11) vẫn đúng trong trường hợp r, s bất kỳ thỏa mãn r < s (xem Định lý 5, Định lý 6 trong [1]).
9 1.2 Hàm so sánh được Mục này trình bày các kiến thức về bất đẳng thức thuần nhất và một số hàm so sánh được. 1.2.1 Bất đẳng thức thuần nhất Định lý 1.2.1 Với hai dãy số thực (a) và (b) ta có n X 2 n X n X ai bi ≤ a2i b2i . (1.14) i=1 i=1 i=1 Bất đẳng thức này đúng với mọi giá trị thực a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn . Ta cũng gọi a1 , . . . , an , b1 . . . , bn là những biến của bất đẳng thức. Cả hai vế của bất đẳng thức (1.14) là các hàm thuần nhất bậc hai của (a) và (b). Định lý 1.2.2 Giả sử k 6= 0, k 6= 1 và k 0 liên hợp với k, tức là 1/k + 1/k 0 = 1. Khi đó, n n X n 1/k X 1/k0 0 X ai bi < aki bki , k>1 (1.15) i=1 i=1 i=1 trừ trường hợp các dãy (ak ) và (bk ) tỷ lệ và n n X n 1/k X 1/k0 0 X ai bi > aki bki , k 1, lúc đó (1.15) là trường hợp riêng của Định lý 1.1.6 với hai dãy và α = 1/k, β = 1/k 0 . Trường hợp này là dạng thông thường của bất đẳng thức H¨older. (ii) Bây giờ giả sử 0 < k < 1, do đó k 0 < 0. Nếu một trong các phần tử của dãy (b) bằng không thì thừa số thứ hai trong vế phải của (1.16) phải coi là bằng không, do đó (1.16) đúng nếu dãy (ab) khác dãy (0).
10 Nếu mỗi phần tử trong dãy (b) dương, ta xác định l, u, v bằng các đẳng thức 1 l= do đó l > 1, k 0 = −kl0 k và 0 0 0 u = (ab)k , v = b−k do đó ab = ul ak = uv, bk = v l . Khi đó (1.16) trở về (1.15) với u, v, l thay cho a, b, k. (iii) Nếu k < 0 thì 0 < k 0 < 1. Trường hợp này được đưa về (ii) bằng cách đổi chỗ (a) và (b), k và k 0 . Cả (ii) và (iii) đều nằm trong (1.16). Sau đây là định nghĩa và một số tính chất của tổng Sr (a) với r > 0 là một số thực tùy ý. Định nghĩa 1.2.3 Tổng Sr (a) được xác định bởi n nX o1/r Sr (a) := ari i=1 với r > 0 là một số thực tùy ý được gọi là tổng bậc r của bộ số (a). Tổng bậc r của bộ số (a) có các tính chất sau đây. Tính chất 1.2.4 (i) Nếu 0 < r < s < t thì (t−s)/(t−r) (s−r)/(t−r) s r t Ss (a) < Sr (a) St (a) (1.17) trừ trường hợp tất cả các phần tử của dãy (a) khác không bằng nhau. (ii) Nếu 0 < r < s thì Ss (a) < Sr (a) (1.18) trừ trường hợp có duy nhất một phần tử của dãy (a) khác không. Nhận xét 1.2.5 (i) Tính chất 1.2.4(i) chính là Tính chất 1.1.7(ii). Thật vậy, Sr (a) = n1/r Mr (a), (1.19) trong đó trung bình Mr (a) được thành lập với trọng đơn vị và (1.17) đưa về (1.12).
11 P (ii) Tính thuần nhất đối với dấu của (1.12) và (1.17) giải thích sự tương ứng giữa Tính chất 1.1.7(ii) và Tính chất 1.2.4(i). Ứng với Tính chất 1.1.7 ta có Tính chất 1.2.4(ii) đối với tổng nhưng với dấu bất đẳng thức ngược lại. Do (1.18) thuần nhất theo (a), ta có thể giả sử ni=1 ari = 1 tức là Sr (a) = 12 . Khi đó, ai ≤ 1 với mỗi i, do P vậy asi ≤ ari và n X n X asi ≤ ari = 1. i=1 i=1 Nếu có hơn một phần tử của dãy (a) dương thì sẽ có ít nhất một phần tử của dãy (a) nhỏ hơn 1, khi đó ta có dấu bất đẳng thức. Tính đơn điệu của tổng Sr (a) được nêu trong đinh lý dưới đây. Định lý 1.2.6 Với mỗi bộ n số dương (x), tổng Sr (x) nghịch biến trong các khoảng (−∞, 0) và (0, +∞). Ngoài ra, lim Sr (x) = min{xi ; i = 1, 2, . . . , n} r→−∞ và lim Sr (x) = max{xi ; i = 1, 2, . . . , n}. r→+∞ Chứng minh. Vì Sr (x) khả vi trong các khoảng (−∞, 0) và (0, +∞), nên ta kiểm tra tính đơn điệu bằng cách tính đạo hàm và xét dấu của nó trong các khoảng tương ứng. Sử dụng đẳng thức n X r ln Sr (x) = xri i=1 để tính đạo hàm hai vế theo r, ta suy ra kết luận của định lý. Định lý 1.2.7 Với mỗi bộ n số dương (a), hàm số f (r) := r ln Sr (a) là một hàm lồi theo r. Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ tính chất lồi của hàm số F (r) := r ln Mr (a, α). Thật vậy, vì F (r) là hàm khả vi, nên ta kiểm tra tính lồi trực tiếp thông qua tính đạo hàm của hàm số Xn r g(r) = ln αi ai . i=1
12 Ta có n αi ari ln ai P i=1 g 0 (r) = n , αi ari P i=1 n P n P n P 2 αi ari αi ari (ln ai )2 − αi ari ln ai 00 i=1 i=1 i=1 g (r) = n P 2 . αi ari i=1 Theo bất đẳng thức Cauchy, thì n X n X n X 2 αi ari αi ari (ln ai )2 − αi ari ln ai > 0, i=1 i=1 i=1 nên kéo theo g 00 (r) > 0. Tương tự, ta có thể kiểm tra được tính lồi của các hàm số g1 (r) := Sr (a) và g2 (r) := ln Sr (a) trong (0, +∞). Từ đây, ta thu được hệ quả sau. Hệ quả 1.2.8 Với mỗi bộ n số dương (a) và bộ số dương (α), xét bộ số (h) = (h1 , h2 , . . . , hn ) sao cho tổng α1 h1 + α2 h2 + · · · + αn hn = M không đổi. Khi đó n X αi Shαii (x) > SM (a). i=1 Hệ quả 1.2.9 Với mỗi bộ n số dương (a) và bộ số dương (α), xét bộ số (h) = (h1 , h2 , . . . , hn ) sao cho tổng α1 h1 + α2 h2 + · · · + αn hn = M không đổi. Khi đó n Y Shαii (a) > SM (a). i=1
13 1.2.2 Một số hàm so sánh được Mục này giới thiệu về hàm so sánh được và trình bày điều kiện về tính so sánh được của hàm tổng. Định nghĩa 1.2.10 Ta nói các hàm f (a) = f (a1 , a2 , . . . , an ), g(a) = g(a1 , a2 , . . . , an ) là so sánh được nếu giữa hai hàm ấy có một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị thực và không âm của dãy (a). Chú ý 1.2.11 (i) Hai hàm cho trước, nói chung là không so sánh được. Chẳng hạn hai đa thức thuần nhất dương bậc khác nhau là không so sánh được. (ii) Định nghĩa này có thể mở rộng cho các hàm f (a, b, . . . ) phụ thuộc nhiều dãy biến. Sau đây ta xét tính so sánh được của một số hàm số. Trước hết, trung bình cộng và trung bình nhân của dãy (a) là so sánh được. Ta có định lý sau đây. Định lý 1.2.12 Ta luôn có G(a) ≤ A(a). Chứng minh. Bất đẳng thức phải chứng minh có thể được viết lại dưới một trong hai dạng sau: p a + · · · + p a p1 +···+pn p1 pn 1 1 n n a1 . . . an < (1.20) p1 + · · · + p n hay n X n X aq11 . . . anqn < qi ai , qi = 1 . (1.21) i=1 i=1 Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có biểu diễn a + a 2 a − a 2 a + a 2 1 2 1 2 1 2 a1 a2 = − ≤ . 2 2 2 Dấu đẳng thức ở bất đẳng thức sau xảy ra khi a1 = a2 . Mở rộng kết quả này ta nhận được: a + a 2 a + a 2 a + a + a + a 4 1 2 3 4 1 2 3 4 a1 a2 a3 a4 ≤ ≤ . 2 2 4
14 Dấu bất đẳng thức thật sự sẽ xảy ra ở một trong các trường hợp a1 , a2 , a3 , a4 không đồng thời bằng nhau. Tiếp tục mở rộng bất đẳng thức này cho a1 , a2 , . . . , a2m , ta được: a + · · · + a m 2m 1 2 a1 . . . a2 ≤ m m . (1.22) 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi tất cả các số ai bằng nhau. Đây chính là bất đẳng thức (1.20) với trọng đơn vị và n = 2m . Bây giờ ta giả sử n là một số bất kỳ nhỏ hơn 2m . Đặt b1 = a1 , . . . , bn = an a1 + · · · + an bn+1 = . . . = b2m = =A n và áp dụng (1.22) cho dãy (b), ta nhận được b + · · · + b m 2m nA + (2m − n)A 2m 2m −n 1 2 2m a1 a2 . . . an .A < = = A 2m 2m hay a1 . . . an < An trừ trường hợp tất cả các phần tử của dãy (b) bằng nhau và vì thế tất cả các phần tử của dãy (a) bằng nhau. Đây là bất đẳng thức (1.20) với trọng đơn vị. Thứ hai, hàm G(a + b) và hàm G(a) + G(b) là so sánh được. Đó là nội dung của định lý sau. Định lý 1.2.13 Giả sử (a), (b), . . . , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số. Khi đó, G(a) + G(b) + · · · + G(l) < G(a + b + · · · + l), (1.23) trừ các trường hợp (1) hoặc là mỗi cặp bất kỳ trong các dãy (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ, (2) hoặc là tồn tại số i sao cho ai = bi = · · · = li = 0.
15 n P Định lý khẳng định rằng nếu qi = 1 thì i=1 aq11 aq22 . . . aqnn + bq11 bq22 . . . bqnn + · · · + l1q1 l2q2 . . . lnqn < (a1 + b1 + · · · + l1 )q1 (a2 + b2 + · · · + l2 )q2 · · · (an + bn + · · · + ln )qn trừ các trường hợp hai cột bất kỳ trong bảng a1 , b1 , . . . , l 1 a2 , b2 , . . . , l2 ..., ..., ..., ... an , bn , . . . , ln tỷ lệ hay khi một hàng gồm toàn số không. Điều kiện cần và đủ để tất cả các cột tỷ lệ (tức là mọi cặp cột của bảng tỷ lệ) là hệ các đẳng thức: aj bi − ai bj = 0, aj ci − ai cj = 0, ... với mọi j và i. Đây cũng là điều kiện cần và đủ để tất cả các hàng tỷ lệ. Nếu trong Định lý 1.1.6 ta thay các dãy (a), (b), . . . , (l) bằng (qar/α ), (qbr/β ), . . . , (qlr/λ ) thì ta nhận được định lý so sánh sau đây. Định lý 1.2.14 Giả sử (a), (b), . . . , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số, r, α, β, . . . , λ là các số dương với α + β + · · · + λ = 1. Khi đó, Mr (ab . . . ) < Mr/α (a)Mr/β (b) . . . Mr/λ (l) trừ các trường hợp (1) hoặc các dãy (a1/α ), (b1/β ), . . . , (l1/λ ) tỷ lệ, (2) hoặc một trong các thừa số của vế phải bằng không. Đối với r < 0 thì có bất đẳng thức ngược lại. Sau đây là một mở rộng của Định lý 1.2.13.
16 Định lý 1.2.15 Giả sử (a), (b), . . . , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số, r hữu hạn khác 1. Khi đó, Mr (a) + Mr (b) + · · · + Mr (l) < Mr (a + b + · · · + l), r < 1 (1.24) Mr (a) + Mr (b) + · · · + Mr (l) > Mr (a + b + · · · + l), r > 1 (1.25) trừ các trường hợp (1) hoặc là mỗi cặp bất kỳ trong các dãy (a), (b), . . . , (l) tỷ lệ, (2) hoặc là r ≤ 0 và tồn tại số i sao cho ai = bi = · · · = li = 0. Chú ý, nếu r = 1 thì đẳng thức nghiệm đúng với mọi dãy (a), (b) . . . . Định lý 1.2.13 là trường hợp riêng của Định lý 1.2.15 khi r = 0. Chứng minh. Lấy trung bình với trọng (q) và đặt a + b + · · · + l = s, Mr (s) = S. Khi đó, n X n X n X n X r s = qi sri = qi ai sr−1 i + qi bi sr−1 i + ··· + qi li sr−1 i i=1 i=1 i=1 i=1 n n 1/r 1/r 1/r 1/r X X = (qi ai )(qi si )r−1 + · · · + (qi li )(qi si )r−1 . i=1 i=1 Trước hết, ta giả sử r > 1. Áp dụng (1.15) của Định lý 1.2.2 cho mỗi tổng ở vế phải ta nhận được n n ( n ) X 1/r X 1/r0 X 1/r Sr ≤ qi ari qi sri + · · · = S r−1 qi ari + ... . i=1 i=1 i=1 (1.26) Đẳng thức xảy ra khi tất cả các dãy (qar ), (qbr ) . . . tỷ lệ với (qsr ), tức là khi các dãy (a), (b) tỷ lệ. Vì S dương nên từ (1.26) suy ra (1.25). Bây giờ giả sử 0 < r < 1. Nếu không phải tất cả các dãy (a), (b), . . . là dãy (0) thì si > 0 với i nào đó. Nếu si = 0 với một giá trị cụ thể nào đó của i thì ai = bi = · · · = li = 0 và ta có thể loại giá trị i ấy. Vậy ta có thể xem như tất cả các si > 0. Với giả thiết này (1.16) của Định lý 1.2.2 cho ta bất đẳng thức (1.26) với dấu bất đẳng thức ngược lại.
17 Cuối cùng, giả sử r < 0. Nếu một si nào đó bằng 0 thì tất cả trung bình bằng không. Do đó, ta có thể giả sử si > 0 với mọi i. Nếu một ai nào đó bằng không thì Mr (a) = 0 và ta có thể bỏ chữ a. Do đó, ta có thể giả thiết mọi dãy (a), (b) . . . dương và khi đó kết luận của định lý được suy ra từ (1.16) của Định lý 1.2.2.