Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm tử Tor và hàm tử Ext trên miền Dedekind

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu miền Dedekind, hàm tử Tor và hàm tử Ext trên vành giao hoán có đơn vị và trên miền Dedekind, mục đích của luận văn là tìm hiểu sâu hơn, toàn diện và hệ thống hơn về hàm tử Tor và Ext trên một miền nguyên bất kỳ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm tử Tor và hàm tử Ext trên miền Dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hoàng HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố HỒ CHÍ MINH - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hoàng HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - Năm 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Mỵ Vinh Quang. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội dung từ các sách được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình.
LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô và các bạn cao học toán K28. Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc, chân thành đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tâm huyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn, có thể nói luận văn này sẽ không được hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo của thầy. Ngoài ra, với lòng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy cô khoa Toán của trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh cùng GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Ban giám hiệu, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, hoàn thành và bảo vệ luận văn. Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn. Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2019 Cao Văn Hoàng
MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục các kí hiệu Mở đầu Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 1.1 Hàm tử Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm tử Tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Môđun xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Hàm tử đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2 HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 14 2.1 Phép giải xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Xây dựng hàm tử Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Hai dãy khớp đối với hàm tử Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Ứng dụng của dãy khớp đối với Tor . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Xây dựng hàm tử Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Hai dãy khớp dài đối với Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7 Ứng dụng của dãy khớp đối với hàm tử Ext . . . . . . . . . . . . 32 Chương 3 HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 38 3.1 Môđun trên miền Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Hàm tử Tor trên miền Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Hàm tử Ext trên miền Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Hom(X, Y ) : Tập tất cả các đồng cấu từ X tới Y . M od : Tập các môđun trên vành. f ⊗g : Tích tenxơ của hai đồng cấu f và g . X ⊗Y : Tích tenxơ của hai môđun X và Y . Hom(f, g) : Hom của hai đồng cấu. X ⊕Y : Tổng trực tiếp trong của hai môđun X và Y . L6K : L là môđun con của K . f 'g : Hai ánh xạ dây chuyền f và g đồng luân. Hn (K) : môđun đồng điều chiều n của phức K . H n (L) : môđun đối đồng điều chiều n của phức L. T orn (X, Y ) : Tích xoắn n- chiều của các môđun X và Y . T orn (h, g) : Tích xoắn n- chiều của các đồng cấu h và g . Extn (X, Y ) : Tích mở rộng n- chiều của các môđun X và Y . Extn (h, g) : Tích mở rộng n- chiều của các đồng cấu h và g . X = hx1 , x2 , ..., xn i : X là môđun hữu hạn sinh được sinh bởi các phần tử x1 , x2 , ..., xn .
1 MỞ ĐẦU Hàm tử T or và hàm tử Ext cùng với các hàm tử Tenxơ và hàm tử Hom được xem như bốn cột trụ của Đại số đồng điều, chính vì vậy các hàm tử T or và Ext đóng vai trò quan trọng trong nhiều chuyên ngành khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Đại số giao hoán, Hình học đại số, tô pô hình học... Chính bởi vậy, tôi chọn đề tài : "Hàm tử T or và hàm tử Ext trên miền Dedekind" làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ Toán của mình với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn, được tiếp cận nhiều hơn với một hướng nghiên cứu đang phát triển và có nhiều ứng dụng của Toán học hiện đại. Với đối tượng, phạm vi nghiên cứu là miền Dedekind, hàm tử T or và hàm tử Ext trên vành giao hoán có đơn vị và trên miền Dedekind, mục đích của luận văn là tìm hiểu sâu hơn, toàn diện và hệ thống hơn về hàm tử T or và Ext trên một miền nguyên bất kỳ. Sau đó dựa trên một số tính chất của miền Dedekind và môđun trên miền Dedekind để chứng minh một số tính chất sâu sắc và thú vị của hàm tử T or và hàm tử Ext trên miền Dedekind. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày thành ba chương. Chương 1: Các kiến thức cơ bản. Nội dung chính của chương 1 trình bày các định nghĩa, tính chất về hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, hàm tử đồng điều, đồng luân. Chương 2. Hàm tử T or và Ext trên vành giao hoán có đơn vị. Chương này trình bày cách xây dựng hàm tử T or và Ext như là dẫn xuất của các hàm tử Tenxơ và hàm tử Hom. Chương này cũng trình bày và chứng minh một số kết quả về các tính chất của T or và Ext.
2 Chương 3. Hàm tử T or và Ext trên miền Dedekind. Chương này trình bày một số tính chất của miền Dedekind, môđun trên miền Dedekind và ứng dụng chúng để nghiên cứu các hàm tử T or và Ext trên miền Dedekind.
3 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong suốt luận văn này, môđun đều được xét trên vành cơ sở là vành R giao hoán có đơn vị. 1.1 Hàm tử Hom Định nghĩa 1.1.1. Cho X, Y là các R- môđun. Tập tất cả các đồng cấu từ X tới Y , ký hiệu là Hom(X, Y ). Trên Hom(X, Y ) ta định nghĩa: ∀f, g ∈ Hom(X, Y ) : f + g :X −→Y x 7−→(f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀r ∈ R, ∀f ∈ Hom(X, Y ) : rf :X −→Y x 7−→(rf )(x) = r · f (x). Khi đó Hom(X, Y ) là một môđun trên R. Định nghĩa 1.1.2. Cho đồng cấu α : A −→ B và X là môđun cố định. Xét các ánh xạ cảm sinh: α∗ : Hom(X, A) −→Hom(X, B) f 7−→α∗ (f ) = αf α∗ : Hom(B, X) −→Hom(A, X) g 7−→α∗ (g) = gα α∗ , α∗ là các đồng cấu môđun. Định nghĩa 1.1.3. Xét môđun X thuộc phạm trù các R- môđun (ký hiệu là M od)
4 * Hàm tử Hom(X, −) : M od −→ M od • Mỗi môđun A ∈ M od tương ứng với Hom(X, A). • Mỗi R- đồng cấu α : A −→ B với đồng cấu môđun α∗ : Hom(X, A) −→Hom(X, B) β 7−→α∗ (β) = αβ Hom(X, −) là hàm tử hiệp biến. * Phản hàm tử Hom(−, X) : M od −→ M od. • Mỗi môđun A ∈ M od tương ứng với Hom(A, X). • Mỗi R- đồng cấu α : A −→ B với đồng cấu môđun α∗ : Hom(B, X) −→Hom(A, X) β 7−→α∗ (β) = βα Hom(−, X) là hàm tử phản biến. Định lí dưới đây cho thấy tính khớp trái của hàm tử Hom. Định lí 1.1.4. Với mỗi môđun X và với bất kỳ dãy khớp ngắn χ σ 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 Các dãy sau đây là khớp χ∗ σ∗ 0 −→ Hom(X, A) −→ Hom(X, B) −→ Hom(X, C) σ∗ χ∗ 0 −→ Hom(C, X) −→ Hom(B, X) −→ Hom(A, X) Định lí 1.1.5. Với mỗi môđun X và với bất kỳ dãy khớp ngắn χ σ 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 là chẻ thì các dãy sau đây là khớp và chẻ χ∗ σ∗ 0 −→ Hom(X, A) −→ Hom(X, B) −→ Hom(X, C) −→ 0 σ∗ χ∗ 0 −→ Hom(C, X) −→ Hom(B, X) −→ Hom(A, X) −→ 0
5 1.2 Hàm tử Tenxơ Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y, G là các R- môđun. Ánh xạ ϕ : X × Y −→ G gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa: a) ϕ là song cộng tính, tức là: ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y) ϕ(x, y1 + y2 ) = ϕ(x, y1 ) + ϕ(x, y2 ) ∀x, x1 , x2 ∈ X và ∀y, y1 , y2 ∈ Y . b) ϕ là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên X và Y , tức là ϕ(xr, y) = ϕ(x, ry), ∀r ∈ R, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y . Định nghĩa 1.2.2. Ta gọi tích tenxơ trên R của các môđun A và B là một môđun T trên R cùng với một hàm song tuyến tính f : A × B −→ T sao cho, với mọi hàm song tuyến tính g : A × B −→ X từ A × B vào một môđun X trên R, tồn tại một đồng cấu duy nhất h : T −→ X của môđun T vào môđun X , thỏa mãn quan hệ giao hoán h ◦ f = g trong tam giác sau: f A×B T g h X Ánh xạ song tuyến tính f gọi là ánh xạ tenxơ. Tích tenxơ của hai môđun bất kỳ luôn luôn tồn tại và duy nhất (sai khác một đẳng cấu). Định nghĩa 1.2.3. Cho f : X −→ X 0 và g : Y −→ Y 0 là các đồng cấu R- môđun. Xét biểu đồ ϕ X ×Y X0 × Y 0 τ τ0 h X ⊗Y X0 ⊗ Y 0
6 trong đó τ, τ 0 là các ánh xạ tenxơ và ánh xạ ϕ :X × Y −→X 0 × Y 0 (x, y) 7−→ϕ(x, y) = (f (x), g(y)) Dễ thấy τ 0 ϕ là ánh xạ song tuyến tính. Theo định nghĩa của ánh xạ tenxơ τ , tồn tại và duy nhất đồng cấu h : X ⊗ Y −→ X 0 ⊗ Y 0 thỏa hτ = τ 0 ϕ. Đồng cấu h được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g , ký hiệu là h = f ⊗ g . Với mỗi phần tử sinh x ⊗ y ∈ X ⊗ Y , ta có: f ⊗ g(x ⊗ y) = hτ (x, y) = τ 0 ϕ(x, y) = τ 0 (f (x), g(y)) = f (x) ⊗ g(y) Nhận xét 1.2.4. τA1 = A ⊗ − là hàm tử hiệp biến, nghĩa là •τA1 (1X ) = 1A⊗X , ∀X ∈ M od. •τA1 (βα) = τA1 (β).τA1 (α), ∀α, β . Tương tự τB2 = − ⊗ B là hàm tử hiệp biến. Định lí 1.2.5. Các hàm tử (A ⊗ −) và (− ⊗ A) là các hàm tử khớp về bên phải. Nghĩa là cho A là R-môđun và dãy khớp χ σ 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 Khi đó dãy sau là khớp 1A ⊗χ 1A ⊗σ A ⊗ X −→ A ⊗ Y −→ A ⊗ Z −→ 0 χ⊗1A σ⊗1A X ⊗ A −→ Y ⊗ A −→ Z ⊗ A −→ 0 Định lí 1.2.6. Các hàm tử tenxơ (A ⊗ −) và (− ⊗ A) bảo toàn tính khớp chẻ cho các dãy khớp ngắn và chẻ. χ σ Nghĩa là, nếu dãy khớp ngắn 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 chẻ thì 1A ⊗χ A 1 ⊗σ dãy 0 −→ A ⊗ X −→ A ⊗ Y −→ A ⊗ Z −→ 0 khớp chẻ và χ⊗1A σ⊗1 dãy 0 −→ X ⊗ A −→ Y ⊗ A −→A Z ⊗ A −→ 0 khớp chẻ. 1.3 Môđun tự do Định nghĩa 1.3.1. Cho môđun X . Tập S ⊂ X được gọi là hệ sinh của X nếu X = hSi hay ∀x ∈ X thì x = r1 s1 + r2 s2 + · · · + rn sn với r1 , r2 , ..., rn ∈ R và s1 , s2 , ..., sn ∈ S
7 tức x biểu thị được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S . n P Định nghĩa 1.3.2. Tập S ⊂ X được gọi là độc lập tuyến tính nếu ri si = 0 thì i=1 r1 = r2 = ... = rn = 0 với r1 , r2 , ..., rn ∈ R và s1 , s2 , ..., sn ∈ S . Định nghĩa 1.3.3. Một hệ sinh S của môđun X đồng thời là hệ độc lập tuyến tính được gọi là cơ sở của môđun X . Định nghĩa 1.3.4. Môđun X có cơ sở được gọi là môđun tự do. Định lí 1.3.5. Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương của môđun tự do nào đó. Hệ quả 1.3.6. Mỗi môđun X nhúng được vào dãy khớp 0 −→ A −→ F −→ X −→ 0 trong đó F là môđun tự do. 1.4 Môđun xạ ảnh Định nghĩa 1.4.1. Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B −→ C , mỗi đồng cấu f : P −→ C , tồn tại một đồng cấu ϕ : P −→ B sao cho f = σϕ P ∃ϕ f B C σ Mệnh đề 1.4.2. Cho biểu đồ các đồng cấu R- môđun P k h A B g C f Trong đó dòng là khớp, gh = 0 và P là môđun xạ ảnh. Khi đó tồn tại đồng cấu k : P −→ A thỏa f k = h. Mệnh đề 1.4.3. Mỗi môđun tự do X đều là môđun xạ ảnh.
8 Mệnh đề 1.4.4. Tổng trực tiếp của họ môđun P = ⊕ Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi i∈I môđun thành phần Pi là xạ ảnh. Định lí 1.4.5. Với một môđun tùy ý P trên R và tự đồng cấu đồng nhất của nó 1P : P −→ P , các phát biểu sau là tương đương: a) P là xạ ảnh. f g b) Mọi dãy khớp ngắn 0 −→ U −→ V −→ P −→ 0 những môđun trên R đều chẻ ra. c) P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun tự do trên R. d) Với mọi toàn cấu g : A −→ B , g∗ = Hom(1P , g) : Hom(P, A) −→ Hom(P, B) cũng là một toàn cấu. f g e) Với mọi dãy khớp ngắn 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 những môđun trên R, dãy f∗ g∗ 0 −→ Hom(P, A) −→ Hom(P, B) −→ Hom(P, C) −→ 0 với f∗ = Hom(1P , f ) và g∗ = Hom(1P , g) cũng là một dãy khớp ngắn. Mệnh đề 1.4.6. Gọi 1P : P −→ P là tự đồng cấu đồng nhất của một môđun xạ ảnh bất kỳ P trên R. Khi đó mọi dãy khớp ngắn f g 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 những môđun trên R đều gây ra một dãy khớp ngắn f ⊗1P g⊗1P 0 −→ A ⊗ P −→ B ⊗ P −→ C ⊗ P −→ 0 1.5 Môđun nội xạ Định nghĩa 1.5.1. Môđun J được gọi là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu χ : A −→ B , mỗi đồng cấu f : A −→ J , tồn tại đồng cấu fe : B −→ J sao cho f = feχ thỏa sơ đồ χ A B f fe J
9 Mệnh đề 1.5.2. Cho biểu đồ các đồng cấu R- môdun f g A B C h k J Trong đó J là nội xạ, hf = 0, và dòng là khớp. Khi đó tồn tại một đồng cấu k : C −→ J thỏa mãn kg = h. Định lí 1.5.3 (Tiêu chuẩn Baer). R- môđun J là nội xạ khi và chỉ khi và bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f : I −→ J luôn luôn tồn tại phần tử q ∈ J sao cho ∀λ ∈ I , ta có f (λ) = λq . Q Mệnh đề 1.5.4. Tích trực tiếp họ môđun J = Jk là nội xạ khi và chỉ khi mỗi k∈K môđun thành phần Jk là nội xạ. Mệnh đề 1.5.5. Mỗi môđun X có thể nhúng vào một môđun nội xạ J nào đó, xem như là môđun con của J . Hệ quả 1.5.6. Mỗi môđun X có thể nhúng vào dãy khớp ngắn 0 −→ X −→ J −→ A −→ 0 với J là môđun nội xạ. Định lí 1.5.7. Với một môđun tùy ý J trên R và tự đồng cấu đồng nhất của nó 1J : J −→ J , các phát biểu sau là tương đương: a) J là nội xạ. b) Mọi dãy khớp ngắn f g 0 −→ J −→ U −→ V −→ 0 những môđun trên R đều chẻ ra. c) J đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R. d) Với mọi đơn cấu g : A −→ B , g ∗ = Hom(g, 1J ) : Hom(B, J) −→ Hom(A, J) là một toàn cấu.
10 f g e) Với mọi dãy khớp ngắn 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 những môđun trên R, dãy g∗ f∗ 0 −→ Hom(C, J) −→ Hom(B, J) −→ Hom(A, J) −→ 0 với f ∗ = Hom(f, 1J ) và g ∗ = Hom(g, 1J ) cũng là một dãy khớp ngắn. 1.6 Hàm tử đồng điều Định nghĩa 1.6.1. Phức dưới là dãy các môđun và đồng cấu môđun dạng ∂n+1 ∂n ∂n−1 (K) · · · −→ Kn+1 −→ Kn −→ Kn−1 −→ · · · (n ∈ Z) thỏa ∂n ∂n+1 = 0 ⇔ Im∂n+1 ⊂ Ker∂n . ∂ ∂ Định nghĩa 1.6.2. Cho phức K : · · · −→ Kn+1 −→ Kn −→ Kn−1 −→ · · · với mỗi n ∈ Z : Ln 6 Kn đồng thời ∂(Ln ) ⊂ Ln−1 . ∂ ∂ Khi đó phức L : · · · −→ Ln+1 −→ Ln −→ Ln−1 −→ · · · với ∂ = ∂ K |L là phức con của K . Định nghĩa 1.6.3. Cho L là phức con của K (Ln 6 Kn , ∀n). ∂ ∂ Khi đó K/L : · · · −→ Kn+1 /Ln+1 −→ Kn /Ln −→ Kn−1 /Ln−1 −→ · · · với ∂(k) = ∂(k) là phức thương của phức K theo phức con L. Định nghĩa 1.6.4. Cho các phức K và K 0 như sơ đồ sau: ∂n+1 ∂n (K) : ··· Kn+1 Kn Kn−1 ··· fn+1 fn fn−1 0 0 ∂n+1 ∂n0 0 (K 0 ) : ··· Kn+1 Kn0 Kn−1 ··· Ánh xạ dây chuyền f : K −→ K 0 là họ các đồng cấu môđun f = {fn : Kn −→ Kn0 } thỏa ∂n+1 0 fn+1 = fn ∂n+1 , ∀n ∈ Z hay ∂ 0 f = f ∂ . Định nghĩa 1.6.5. Cho f : K −→ K 0 , f 0 : K 0 −→ K 00 là các ánh xạ dây chuyền. Khi đó ta định nghĩa f 0 f = {fn0 fn }, n ∈ Z dễ thấy f 0 f là các ánh xạ dây chuyền từ K −→ K 00 . n ∂n+1 ∂ ∂n−1 Định nghĩa 1.6.6. Cho phức (K) : · · · −→ Kn+1 −→ Kn −→ Kn−1 −→ · · · Ta định nghĩa
11 • Zn (K) = Ker∂n ⊂ Kn hay Z(K) = Ker∂ . • Bn (K) = Im∂n+1 ⊂ Zn (K) hay B(K) = Im∂ ⊂ Z(K). • Đặt môđun thương: Hn (K) = Zn (K)/Bn (K) = Ker∂n /Im∂n+1 Hn (K) gọi là môđun đồng điều chiều n của phức K . • x ∈ Hn (K) (x ∈ Zn (K)) gọi là lớp đồng điều n- chiều của K . • x ∈ Zn (K) gọi là xích (chu trình) n- chiều. • y ∈ Bn (K) gọi là biên (bờ) n- chiều. Định nghĩa 1.6.7. Cho phức K, K 0 ; f : K −→ K 0 là ánh xạ dây chuyền ∂n+1 ∂n (K) : ··· Kn+1 Kn Kn−1 ··· fn+1 fn fn−1 0 0 ∂n+1 ∂n0 0 (K 0 ) : ··· Kn+1 Kn0 Kn−1 ··· Ta định nghĩa (f∗ )n = Hn (f ) : Hn (K) −→Hn (K 0 ) c 7−→Hn (f )(c) = fn (c) Hay H(f )(c) = f (c) hay f∗ (c) = f (c). Mệnh đề 1.6.8. Cho f : K −→ K 0 , f 0 : K 0 −→ K 00 , f 0 f : K −→ K 00 ta có các hệ thức: Hn (f 0 f ) = Hn (f 0 ) · Hn (f ) Hn (1K ) = 1Hn (K) Do vậy với mỗi n ∈ Z, Hn là một hàm tử hiệp biến ta gọi là hàm tử đồng điều. f g Định lí 1.6.9. Cho 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 là dãy khớp ngắn các phức. Khi đó ta có dãy khớp đồng điều: f∗ g∗ ∂ · · · −→ Hn (A) −→ Hn (B) −→ Hn (C) −→ Hn−1 (A) −→ Hn−1 (B) −→ Hn−1 (C) −→ · · · −→ H1 (A) −→ H1 (B) −→ H1 (C) −→ 0. Trong đó ∂ :Hn (C) −→ Hn−1 (A) ∂(c) = f −1 ∂ B g −1 (C)
12 Tương tự như trên ta có định nghĩa dãy phức tiến Định nghĩa 1.6.10. Phức tiến là dãy các môđun và đồng cấu môđun dạng δn−1 δn δn+1 (L) : · · · −→ L0 −→ L1 −→ · · · −→ Ln−1 −→ Ln −→ Ln+1 −→ · · · (n ∈ Z) thỏa δn δn−1 = 0. Định nghĩa 1.6.11. Đặt môđun thương H n (L) = Kerδn /Imδn−1 = Kerδ/Imδ H n (L) gọi là môđun đối đồng điều chiều n của phức L f g Định lí 1.6.12. Cho 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 là dãy khớp ngắn các phức tiến. Khi đó ta có dãy khớp dài sau: f∗ g∗ δ f∗ g∗ 0 −→ H 0 (A) −→ H 0 (B) −→ H 0 (C) −→ H 1 (A) −→ H 1 (B) −→ H 1 (C) −→ · · · −→ f∗ g∗ δ f∗ g∗ H n−1 (A) −→ H n−1 (B) −→ H n−1 (C) −→ H n (A) −→ H n (B) −→ H n (C). Trong đó δ :H n−1 (C) −→ H n (A) δ(c) = f −1 δg −1 (c) 1.7 Đồng luân Định nghĩa 1.7.1. Cho f, g : K −→ K 0 là hai ánh xạ dây chuyền. Ta nói f đồng luân 0 với g bởi s = {sn : Kn −→ Kn+1 đồng cấu môđun}n∈Z 0 Ký hiệu f ' g (hoặc s : f ' g ) nếu thỏa ∂n+1 sn +sn−1 ∂n = fn −gn (hay ∂ 0 s+s∂ = f −g ) ∂n+1 ∂n ∂n−1 Kn+1 Kn Kn−1 Kn−2 sn sn−1 sn−2 fn+1 gn+1 fn gn fn−1 gn−1 0 0 0 Kn+1 Kn0 Kn−1 Kn−2 0 0 ∂n+1 ∂n0 ∂n−1 Tính chất 1.7.2. a) Quan hệ đồng luân là quan hệ tương đương
13 • Phản xạ: Cho f : K −→ K là ánh xạ dây chuyền thì 0 = {0 : Kn −→ Kn+1 } : f ' f . • Đối xứng: Nếu s = {sn } : f ' g thì −s = {−sn } : g ' f • Bắc cầu: Nếu s = {sn } : f ' g và t = {tn } : g ' h thì s + t = {sn + tn } : f ' h b) Quan hệ đồng luân bảo toàn qua phép nhân ánh xạ Nếu f, g : K −→ K 0 và f 0 , g 0 : K 0 −→ K 00 là các ánh xạ dây chuyền và f ' g, f 0 ' g 0 thì f 0 f ' g 0 g với f 0 f, g 0 g : K −→ K 00 . c) Quan hệ đồng luân bảo toàn hàm tử đồng điều Nếu f ' g thì Hn (f ) = Hn (g). Định nghĩa 1.7.3. Cho f : K −→ K 0 là ánh xạ dây chuyền. Ta nói f là tương đương đồng luân nếu tồn tại ánh xạ dây chuyền g : K 0 −→ K sao cho gf ' 1K , f g ' 1K 0 . Mệnh đề 1.7.4. Nếu f : K −→ K 0 tương đương đồng luân thì H(f ) : H(K) −→ H(K 0 ) là đẳng cấu.