Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về iđêan nguyên tố liên kết và tính confinite của môđun đối đồng điệu địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh

VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ

TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI

ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành : ðại số và lý thuyết số Mã số

60 46 05

:

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh

VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ

TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI

ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành : ðại số và lý thuyết số Mã số

60 46 05

:

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

Lời Cảm Ơn

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm

khắc của thầy giáo TS. Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân

thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo

và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều

kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS

Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS.TS

Bùi Xuân Hải và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao

học chuyên ngành Đại số và lý thuyết số khóa 19 của Trường ĐHSP

Tp Hồ Chí Minh.

Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường THPT

Hòa Hội, Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu nơi tôi công tác và tất cả các bạn

cùng khóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá

trình học tập và làm luận văn.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình

đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt.

Phạm Đăng Minh

Mở Đầu

Cho R là vành Noether, I là iđêan của R, M là R−môđun.

Một vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào

thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều

địa phương thứ i, H i

I(M ) của M là hữu hạn. Nếu R là vành địa I(R) là hữu hạn với i ≥ 0. Điều này đã được chứng minh bởi các nhà toán học Huneke

phương chính quy chứa trong một trường thì H i

và Sharp (với i > 0) sau đó Lyubeznik chứng minh với i = 0. Cho

đến ngày nay vấn đề này vẫn còn nhiều điều chưa được biết, chẳn

I(R) có là hữu hạn sinh với bất kỳ vành Noether tùy ý và với bất kỳ iđêan của nó hay

hạng như tập các iđêan nguyên tố liên kết của H i

không. Trong trường hợp R là vành Noether không địa phương thì

I (R) không là hữu hạn sinh. Khi đi nghiên cứu các vấn đề trên Hartshorne,

Singh đã chỉ ra một ví dụ với một iđêan I nào đó thì H 3

Huneke và Koh đã đưa ra định nghĩa tính cofinite của môđun đối

đồng điều địa phương. Một R−môđun N được gọi là I − cof inite

R(R/I, M ) là hữu hạn sinh với bất kì i ≥ 0, ở đây V (I) được hiểu là tập các iđêan nguyên tố chứa

nếu Supp(M ) ⊆ V (I) và Exti

I. Từ đây cũng thu được một kết quả quan trọng: Nếu R là vành

chính quy địa phương đầy đủ M là R−môđun hữu hạn sinh thì

iii

I(M ) là I − cof inite nếu như dim R/I ≤ 1, gần đây T. Marley, K-I. Kawasiki, K-I. Yoshida, S. Yassemi, Trần Tuấn Nam,... tiếp tục

H i

nghiên cứu và cho ra những kết quả đẹp.

Nội dung của luận văn gồm hai chương cụ thể như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái

niệm và một số kết quả về vành và môđun, iđêan nguyên tố liên

kết và giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa

phương, đồng điều Koszul.

Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite

Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương.

Đầu tiên chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cofinite, tìm

hiểu các tính chất của môđun Cofinite và các điều kiện để một

môđun là môđun Cofinite. Môđun Cofinite được Harshorne định

nghĩa trong [31] như sau:

Định nghĩa 2.1.1 Cho R là vành, I là iđêan của R và M là

R−môđun, M được gọi là I−cofinite nếu Supp(M ) ⊂ V (I) và

R(R/I, M ) là hữu hạn sinh với mọi i.

Exti

D. Delfino đã thiết lập sự thay đổi vành chính cho tính cofinite

([5],Proposition 2)

Mệnh đề 2.1.7 Cho đồng cấu ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một

B−môđun M là IB−cofinite (tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ

khi M là A−môđun I−cofinite (tương ứng với iđêan I).

Sử dụng định lý trên, D. Delfino tổng quát hóa kết quả trước đó

của Harshorne ([5], Theorem 1). Cụ thể:

Vành R là Neother địa phương, I là iđêan nguyên tố của R sao cho

I(M ) là I-cofinite với mọi i và với mọi R-môđun

dim R/I = 1 thì H i

hữu hạn sinh M .

Trong mục này chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn để một môđun là

môđun cofinite, cũng như các điều kiện tương đương:

Mệnh đề 2.1.9 Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M ) ⊂

V (I). Nếu 0 :M x và M/xM là I−cofinite thì M là I−cofinite.

Mệnh đề 2.1.15 Cho (R, m) là vành địa phương với iđêan tối đại

m và I là một iđêan của R với số chiều một hoặc là iđêan chính.

Cho A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun hữu hạn

R(A, H j

I (M )) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0. Mệnh đề 2.1.16 Nếu M là môđun I−cofinite thì M có chiều Goldie

sinh. Thì Exti

hữu hạn.

Mệnh đề 2.1.12 cho chúng ta các điều kiện tương đương của môđun

cofinite.

Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm AF -môđun và F A-

môđun.

Định nghĩa 2.2.1 R-môđun M được gọi là FA môđun nếu tồn tại

R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin.

R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin

A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh.

Từ định nghĩa trên cùng với bổ đề 2.2.2 chúng tôi chứng minh được

định lý 2.2.3, qua đó chúng ta đã đưa ra được tính hữu hạn của tập

I (M )) bởi định lý 2.2.5

R(K, H j Định lí 2.2.5

Exti

R(K, H j

I (M ))

(i). Nếu M và K là FA môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì Exti

là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.

R(K, H j

I (M ))

(ii). Nếu M và K là AF môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì Exti

là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.

Trong phần tiếp theo chúng tôi tìm hiểu về Tính cofinite

của môđun đối đồng điều địa phương.

I (M ) là I- cofinite. Về mối liên hệ giữa môđun F A và tính cofinite chúng tôi

Các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7 cho chúng ta điều kiện để H s

phát biểu và chứng minh mệnh đề 2.3.10 như sau

Mệnh đề 2.3.10 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan

của R, s là số nguyên dương sao cho H i

I(M ) là I-cofinite với mọi i < s và HomR(R/I, H s

I(M ) là F A với mọi i < s. I (M ))

Khi đó H i

là hữu hạn sinh.

Tiếp đó ta có mối liện hệ giữa môđun cofinite và tính hữu hạn của

I (M )) được phát biểu trong định lý 2.3.11.

tập HomR(R/I, H s

Định lí 2.3.11 Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là

R(R/I, M ) là R- môđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu

số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho Exti

I(M ) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR(R/I, H s

I (M ))

hạn. Nếu H i

là hữu hạn.

Tiếp đó chúng ta có mệnh đề 2.3.12 như sau:

R(R/I, M ) và Ext2

R(R/I, ΓI(M ))

I (M )) là hữu hạn.

Giả sử M là R-môđun sao cho Ext1

I (M ))

là các môđun hữu hạn. Khi đó HomR(R/I, H 1 Từ đây chúng ta có hệ quả 2.3.14 nêu lên tính hữu hạn của AssR(H s

Hệ quả 2.3.14 Giả sử M là R-môđun hữu hạn. Gọi s là số nguyên

I (M ))

I(M ) là hữu hạn với mọi i < s. Khi đó AssR(H s

không âm sao cho H i

là tập hữu hạn.

Khi xem xét (R, m) là vành Noether địa phương từ định nghĩa 2.3.15,

định lý 2.3.16, các hệ quả 2.3.17, 2.3.18 chúng ta có định lý 2.3.19

như sau

Định lí 2.3.19 Cho M là R-môđun hữu hạn. Khi đó phát biểu dưới

đây đúng

q(I, M ) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM }

Cuối cùng và cũng là nội dung chính của luận văn chúng tôi

I (M )) là tập hữu hạn. Trong phần này chúng tôi xuất phát từ bổ đề 2.4.1 chỉ ra được rằng

tiếp tục tìm hiểu các điều kiện để AssR(H s

tập {x ∈ R|Mx là Rx − môđun hữu hạn sinh} là một iđêan của R,

tiếp đó chúng ta có bổ đề 2.4.6 được phát biểu như sau

Bổ đề 2.4.6 Cho R là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của một

vành Cohen − M acaulay, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu

hạn sinh. Đặt n = dim M và r = dim M/IM . Giả sử rằng

(i). M là đẳng chiều và

(ii). M thỏa điều kiện Serre0s Sl với l ≤ n − r − 1.

I(M ) là hữu hạn sinh với i < l + 1.

Thì H i

Từ các mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 và nhận xét 2.4.3 chúng ta có

định lý sau 2.4.12 được phát biểu như sau

Định lí 2.4.12 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M

là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt D := D(I, M ) và

vii

giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây đúng:

(i). dim M ≤ 3;

(ii). dim R = 4 và R là miền nguyên chính;

(iii). R là vành thương của vành Cohen−M acaulay, dim M/IM ≤ 2

và hoặc là dim M ≤ 4 hoặc thỏa mãn điều kiện Serre0s Sn−3;

(iv). R là vành địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3 và M thỏa

Sd−3 ở đây d = dim R = dim M .

thì dim R/D ≤ 1.

Từ định lý trên khi đi xem xét (R, m) là vành địa phương chúng ta

có định lý 2.4.15 được phát biểu như sau

Định lí 2.4.15 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M

là R−môđun hữu hạn sinh n chiều. Giả sử rằng một trong các điều

kiện dưới đây được thỏa mãn:

(i). dim M ≤ 3;

(ii). dim R = 4 và m − adic đầy đủ của R là một U F D;

(iii). R là vành thương của vành Cohen − M acaulay, dim R/I ≤ 2

và hoặc dim M ≤ 4 hoặc M thỏa mãn điều kiện Sn−3;

(iv). R là vành chính quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3

và M thỏa điều kiện Sd−3 trong đó d = dim R = dim M .

R(N, H j I(M ) là tập hữu hạn với mọi i.

Lúc đó với mọi R−môđun hữu hạn sinh N sao cho SuppRN ⊆ V (I). Tập AssRExti I (M )) là hữu hạn với mọi i, j. Đặc biệt AssRH i

viii

(R)). Các kết quả tiếp theo chỉ cho chúng ta thấy tính không hữu hạn sinh của tập HomR(R/I, H d−1

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại Học Sư

Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong

quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Tiến

sĩ Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi

hoàn thành luận văn này.

Do thời gian và khả năng còn hạn chế, bản thân vừa giảng

dạy vừa nghiên cứu nên khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi xin ghi

nhận và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô,

bạn bè đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh hơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2011.

Phạm Đăng Minh

Mục lục

Mở Đầu ii

1 Kiến Thức Chuẩn Bị 1

1 1.1 Các khái niệm về vành và môđun . . . . . . . . . . .

4 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá . . . . . . . . . . . .

9 1.3 Số chiều - Chiều cao - Độ sâu . . . . . . . . . . . . .

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . 12

1.5 Đồng điều Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của

Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương 19

2.1 Môđun Cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 FA and AF môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương . 40

2.4 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của

Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương . . . . . . . . . . 51

Kết Luận 68

Tài Liệu Tham Khảo 69

Chương 1

Kiến Thức Chuẩn Bị

1.1 Các khái niệm về vành và môđun

Định nghĩa 1.1.1. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu

tồn tại số nguyên m ≥ 1 sao cho am = 0 ∈ R.

Bổ đề 1.1.2. Giả sử S là tập con nhân của R và S không chứa 0.

Khi đó trong R tồn tại một iđêan tối đại trong tập các iđêan không

giao với S, và mọi iđêan như thế đều nguyên tố.

Mệnh đề 1.1.3. Phần tử a ∈ R là phần tử lũy linh nếu và chỉ nếu

a nằm trong mọi iđêan nguyên tố của vành R.

Định nghĩa 1.1.4. Cho R là vành giao hoán và I là một iđêan của √ R. Radical của I, kí hiệu là I hoặc radR(I), tập các phần tử a ∈ R

sao cho am ∈ I với m là số nguyên dương nào đó.

Radical radR(I) của iđêan I là một iđêan, như vậy chúng ta có thể

viết √ I = {a ∈ R|am ∈ I, m ∈ N∗}

Hệ quả 1.1.5. Phần tử a ∈ R nằm trong radR(I) khi và chỉ khi nó

nằm trong mọi iđêan nguyên tố chứa I.

Định nghĩa 1.1.6. Cho R-môđun M và x ∈ M khi đó linh hóa tử

của x trong R được kí hiệu là annR(x) và được xác định

annR(x) = {a ∈ R|ax = 0}

Định nghĩa 1.1.7. Cho R-môđun M khi đó linh hóa tử của M

trong R được kí hiệu là annR(M ) và được xác định

annR(M ) = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }

Để ý rằng annR(x) và annR(M ) là các iđêan của R.

Mệnh đề 1.1.8. Cho R-môđun M và annR(x) là linh hóa tử của

phần tử x ∈ M . Khi đó ta có đẳng cấu

R/(annR(x)) ∼= Rx

Bổ đề 1.1.9. Giả sử x ∈ M và annR(x) là linh hóa tử của nó. p là

một iđêan nguyên tố. Khi đó (Rx)p 6= 0 khi và chỉ khi annR(x) ⊆ p.

Giả sử a ∈ R và M là R-môđun nào đó, đồng cấu

x 7→ ax, x ∈ M

gọi là đồng cấu chính liên kết với a và còn được ký hiệu là aM .

Định nghĩa 1.1.10. Đồng cấu aM được gọi là lũy linh địa phương nếu với mỗi x ∈ M tồn tại số nguyên n(x) ≥ 1 sao cho an(x)x = 0.

Mệnh đề 1.1.11. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì đồng cấu

aM là lũy linh địa phương nếu và chỉ nếu aM là lũy linh.

Mệnh đề 1.1.12. Giả sử M là R-môđun và a ∈ R. Khi đó aM là

lũy linh địa phương nếu và chỉ nếu a nằm trong mọi iđêan nguyên

tố p mà Mp 6= 0.

Định nghĩa 1.1.13. Giả sử M là một R-môđun. Môđun con Q của

M được gọi là nguyên sơ nếu Q 6= M và a ∈ R bất kỳ đồng cấu aM/Q

hoặc là đơn cấu hoặc lũy linh.

Nhận xét: Cho R là vành và p là một iđêan của R. Khi đó p

là nguyên sơ nếu và chỉ nếu a, b ∈ R sao cho ab ∈ p mà a 6∈ p thì bn ∈ p với n ≥ 1, n ∈ Z nào đó.

Mệnh đề 1.1.14. Giả sử Q là môđun con nguyên sơ của M và p

là iđêan gồm tất cả các a ∈ R sao cho aM/Q lũy linh. Khi đó p là

iđêan nguyên tố.

Mệnh đề 1.1.15. Giả sử M là R-môđun và Q1, Q2, ..., Qr là các

môđun con p-nguyên sơ đối với cùng một iđêan nguyên tố p. Khi đó

môđun con Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr cũng là p-nguyên sơ.

Định nghĩa 1.1.16. Sự phân tích N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr trong đó

Qi là các môđun con nguyên sơ của M được gọi là sự phân tích tối

giản nếu N không thể biểu diễn dưới dạng giao của một họ con thực

sự các môđun con nguyên sơ {Q1, Q2, ..., Qr} và Qi là pi-nguyên sơ

trong đó pi 6= pj với i 6= j.

Định lí 1.1.17. Giả sử N là môđun của M và có hai sự phân tích

nguyên sơ tối giản

1 ∩ Q0

2 ∩ ... ∩ Q0 s

N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr = Q0

r là như nhau.

2, ..., Q0

1, Q0

Khi đó r = s. Tập các iđêan nguyên tố tương ứng với Q1, Q2, ..., Qr và Q0

i với mọi i = 1, 2, ..., m; hay nói khác đi, các môđun nguyên sơ thuộc vào các iđêan nguyên tố cô lập được

Nếu {p1, p2, ..., pm} là tập các iđêan nguyên tố cô lập tương ứng với các sự phân tích đó thì Qi = Q0

xác định duy nhất.

Định lí 1.1.18. Mọi môđun con N của R-môđun Noether M đều

có sự phân tích nguyên sơ.

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá

Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R-môđun. Iđêan nguyên tố p của

R được gọi là iđêan liên kết với M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M

mà annR(x) = p. Để ý p 6= R nên x 6= 0.

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là Ass(M );

Giá của môđun M kí hiệu là Supp(M ) = {p ∈ Spec(R)|Mp 6= 0}.

Đặt V (I) = {p ∈ Spec(R)|I ⊂ p}

Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì

Supp(M ) = V (ann(M ))

Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì

Supp(R/I) = V (I)

Mệnh đề 1.2.2. Giả sử M là R-môđun khác 0 và p là phần tử tối

đại trong tập các iđêan linh hóa các phần tử 0 6= x ∈ M . Khi đó p

là một iđêan nguyên tố.

Hệ quả 1.2.3. Nếu R là vành Noether và M là R-môđun khác 0,

thì tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết với M .

Hệ quả 1.2.4. Nếu R là vành Noether và M là R-môđun Noether

khác 0. Khi đó tồn tại chuỗi các môđun con

0 = Mr ⊂ Mr−1 ⊂ ... ⊂ M2 ⊂ M1 = M

sao cho mỗi môđun thương Mi/Mi+1 đẳng cấu với R/pi, trong đó pi

là một iđêan nguyên tố nào đó của R.

Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun khác

(i). Phần tử tối đại của F = {ann(x)|x ∈ M } là iđêan nguyên tố

liên kết của M . Hay Ass(M ) 6= ∅.

(ii). Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên

tố liên kết của M .

Mệnh đề 1.2.6. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu

hạn sinh, N là một R−môđun bất kì. Khi đó

Ass(HomR(M, N )) = Ass(N ) ∩ Supp(M )

Mệnh đề 1.2.7. Cho R là một vành Noether, M là một R−môđun

hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Khi đó Supp(M ) ⊂ V (I) khi

và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho I kM = 0.

Mệnh đề 1.2.8. Cho M, N là các R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó

Supp(M ⊗R N ) = Supp(M ) ∩ Supp(N )

Hệ quả 1.2.9. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan

bất kì của R, khi đó

Supp(M/IM ) = V (I) ∩ V (ann(M )) = V (I + ann(M ))

Mệnh đề 1.2.10. Cho M, N, P là các R−môđun. Nếu ta có dãy

khớp

0 −→ M −→ N −→ P −→ 0

thì ta có các kết quả sau:

(i). Ass(N ) ⊂ Ass(M ) ∪ Ass(P );

(ii). Supp(N ) = Supp(M ) ∪ Supp(P )

Mệnh đề 1.2.11. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun

hữu hạn sinh. Khi đó ta có:

(i). Ass(M ) là tập hữu hạn.

(ii). Ass(M ) ⊂ Supp(M ).

(iii). Phần tử tối tiểu của Ass(M ) và Supp(M ) giống nhau.

Định nghĩa 1.2.12. Cho R là vành giao hoán, S là một tập con

nhân của R và M là một R - môđun. Trên tập M × S ta định nghĩa

một quan hệ ∼ như sau:

Với mọi (m, s) , (m0, s0) ∈ M × S:

(m, s) ∼ (m0, s0) ⇐⇒ ∃t ∈ S : (ms0 − m0s)t = 0

Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S. Kí hiệu tập thương M × S/∼ là S−1M và lớp tương đương của (m, s)

là m/s.

Tập S−1M có cấu trúc môđun trên vành S−1R với phép toán sau:

+ , = m s m0 s0 = s0m + sm0 ss0 r s m0 s0 rm0 ss0

thì S−1M là S−1R - môđun được gọi là môđun các thương của M

đối với S.

Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của R, S = R\p thì môđun

S−1M thường được kí hiệu là Mp.

Mệnh đề 1.2.13. Cho R là vành giao hoán và M là một R - môđun

hữu hạn sinh. Khi đó:

(i). SuppR(M ) = {p ∈ spec(R) : (0 : M ) ⊆ p} = V (annR(M )).

(ii). Với S là tập con nhân của R thì

(cid:0)S−1M (cid:1) = SuppR(M ) ∩ Spec(S−1R) SuppS−1R

(iii). Với I là iđêan của R, ta có:

SuppR(M ) ⊂ V (I) ⇐⇒ ∃ k ∈ N ∗ : I kM = 0

(iv). Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì

SuppR(R/I) = V (I)

(v). Với I là iđêan của R thì

SuppR(M/IM ) = V (I) ∩ V (ann(M )) = V (I + ann(M ))

Mệnh đề 1.2.14. Giả sử rằng R là vành Noether và a ∈ R. M là

R-môđun. Khi đó đồng cấu aM là đơn cấu khi và chỉ khi a không

nằm trong một iđêan nguyên tố nào liên kết với M .

Mệnh đề 1.2.15. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun và

a ∈ R. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương:

(i). aM lũy linh địa phương;

(ii). a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố liên kết với M ;

(iii). a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố p mà Mp 6= 0.

Hệ quả 1.2.16. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun. Khi

đó các điều kiện dưới đây là tương đương:

(i). Tồn tại chỉ một iđêan nguyên tố liên kết với M ;

(ii). M 6= 0 và với mọi a ∈ R, đồng cấu aM hoặc là đơn cấu hoặc là

lũy linh địa phương. Khi thỏa các điều kiện đó, tập các phần tử

a ∈ R sao cho aM lũy linh địa phương trùng với iđêan nguyên

tố liên kết với M .

Mệnh đề 1.2.17. Giả sử M là R-môđun và N là môđun con của

M . Khi đó

(i). Mọi iđêan nguyên tố liên kết với N cũng liên kết với M .

(ii). Một iđêan nguyên tố bất kỳ liên kết với M cũng liên kết hoặc

với N hoặc M/N .

Định lí 1.2.18. Giả sử R và M đều là Noether. Môđun con Q của

M là nguyên sơ khi và chỉ khi có đúng một iđêan nguyên tố p liên

kết với M/Q. Trong trường hợp đó p tương ứng với Q, tức là Q là

p-nguyên sơ.

Định lí 1.2.19. Giả sử R và M đều là Noether. Các iđêan nguyên

tố liên kết với môđun M đúng là các iđêan nguyên tố tương ứng với

các môđun nguyên sơ trong sự phân tích nguyên sơ tối giản của 0

trong M . Đặc biệt tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M là

hữu hạn.

1.3 Số chiều - Chiều cao - Độ sâu

Một dãy các môđun con của môđun M là dãy (Mi)0≤i≤n các môđun

con của M thỏa M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0. Chiều dài của dãy

là n. Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của

M tức là không thể thêm vào một môđun con nào nữa. Điều này

tương đương với việc nói rằng các môđun thương Mi/Mi+1 là đơn.

Độ dài của chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không thay đổi

và được kí hiệu là l(M ) và gọi là độ dài của môđun M .

Mệnh đề 1.3.1. Cho R là vành Noether, M là R−môđun hữu hạn

sinh. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương

(i). l(M ) < ∞

(ii). Mọi iđêan nguyên tố p ∈ Ass(M ) đều là iđêan tối đại của R

(iii). Mọi iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M ) đều là iđêan tối đại của R.

Hệ quả 1.3.2. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu

hạn sinh, N là R−môđun bất kì. Nếu l(N ) < ∞ thì l(HomR(M, N )) <

∞. Do đó nếu N là R−môđun Artin thì HomR(M, N ) cũng là

R−môđun Artin.

Mệnh đề 1.3.3. Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n.

Khi đó mọi dãy con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp

thành.

Mệnh đề 1.3.4. M là chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa là dãy

điều kiện tăng vừa là dãy điều kiện giảm.

Mệnh đề 1.3.5. Cho dãy khớp ngắn 0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→

0, khi đó ta có

l(M 0) − l(M ) + l(M 00) = 0

Định nghĩa 1.3.6. Số chiều của một vành R, kí hiệu dim R là

chiều dài lớn nhất n của dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn các iđêan nguyên

tố của R. Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài vô hạn thì

ta kí hiệu dim R = ∞.

Định nghĩa 1.3.7. Cho R là một vành khác 0, p là một iđêan

nguyên tố của R. Chiều cao của iđêan nguyên tố p là độ dài lớn

nhất của dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p, kí hiệu là

htp.

Từ định nghĩa trên nếu htp = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu

của vành R. Cho I là một iđêan của vành R, ta định nghĩa chiều

cao của I là chiều cao nhỏ nhất của các iđêan nguyên tố chứa I,

htI = inf{htp|p ∈ V (I)}

Số chiều của vành R cũng có thể được định nghĩa là sup của chiều

cao của tất cả các iđêan nguyên tố của R

dim R = sup{htp|p ∈ SpecR}

Số chiều này còn được gọi là số chiều Krull của R.

Số chiều của R−môđun M , kí hiệu là dim M = dim(R/annM ) nếu

M 6= 0 và ta kí hiệu dim M = −1 nếu M = 0.

Mệnh đề 1.3.8. Cho R là vành Noether và M 6= 0 là một R−môđun

hữu hạn sinh thì các điều kiện dưới đây là tương đương:

(i). M có độ dài hữu hạn.

(ii). Vành R/annM là Artin.

(iii). dim M = 0.

Mệnh đề 1.3.9. Cho R là vành Noether. Khi đó các điều kiện dưới

đây là tương đương:

(i). R là vành Artin.

(ii). Mọi iđêan p ∈ Spec(R) đều là iđêan tối đại của R.

(iii). Mọi iđêan p ∈ Ass(R) đều là iđêan tối đại của R.

Cho M là một R−môđun, phần tử r ∈ R được gọi là M −chính

qui nếu rx 6= 0, ∀x 6= 0, x ∈ M.

Định nghĩa 1.3.10. Một dãy các phần tử a1, a2, ..., an của R gọi là

M −dãy nếu nó thỏa hai điều kiện sau:

(i). a1 là M −chính qui, a2 là M/a1M −chính qui,..., an là M/(a1, ..., an−1)M

-chính qui.

(ii). M/(a1, ..., an)M 6= 0.

Định nghĩa 1.3.11. Cho M là một môđun hữu hạn sinh khác 0

trên vành Noether địa phương (R, m), chiều sâu của M trên R là độ

dài lớn nhất của M −dãy trong m, kí hiệu là depthRM hay depthM .

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.4.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I là

iđêan khác không của R. Với mỗi R - môđun M , tập

n∈N

[ ΓI(M ) = (0 :M I n) = {x ∈ M : ∃n ∈ N, I nx = 0}

gọi là tập các phần tử của M được linh hóa bởi lũy thừa nào đó của

Khi đó ΓI(M ) là một môđun con của M .

Cho f : M → N là đồng cấu R-môđun thì ta có f (ΓI(M )) ⊆ ΓI(N ).

Do đó có ánh xạ cảm sinh ΓI(f ) : ΓI(M ) → ΓI(N ) là ánh xạ thu

hẹp của f trên ΓI(M ).

Hơn nữa, với g : M → N và h : N → L là hai đồng cấu R-môđun

và r ∈ R thì

ΓI(h ◦ f ) = ΓI(h) ◦ ΓI(f ), ΓI(f + g) = ΓI(f ) + ΓI(g)

ΓI(rf ) = rΓI(f ), ΓI(IdM ) = IdΓI (M )

Do đó hàm tử ΓI(−) là hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các

R-môđun vào chính nó. Hàm tử ΓI(−) được gọi là hàm tử I-xoắn.

f −→ M

Bổ đề 1.4.2. Nếu 0 → L

g −→ N → 0 là một dãy khớp của ΓI (g) ΓI (f ) −−−→ −−−→ ΓI(M )

các R- môđun và các R-đồng cấu thì 0 → ΓI(L)

ΓI(N ) → 0 cũng là một dãy khớp.

Định nghĩa 1.4.3. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là

iđêan khác không của R và M là R môđun.

+ M gọi là I−không xoắn khi ΓI(M ) = 0.

+ M gọi là I−xoắn khi ΓI(M ) = M .

Bổ đề 1.4.4. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan

khác không của R và M là R−môđun.

(i). Nếu M là R− môđun hữu hạn sinh thì M là I−không xoắn khi

và chỉ khi I chứa một phần tử M −chính quy.

(ii). M/ΓI(M ) là I−không xoắn.

Định nghĩa 1.4.5. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là

iđêan khác không của R và M là R−môđun. Nếu M là môđun nội

xạ thì dãy khớp chính tắc sau đây là chẻ:

0 → ΓI(M ) → M → M/ΓI(N ) → 0

Định nghĩa 1.4.6. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là

iđêan khác không của R và M là R−môđun.

Xét phép giải nội xạ của M :

N : 0 −→ M α−→ N 0 d0 −→ N 1 −→ ... −→ N i di −→ N i+1 −→ ...

Phức thu gọn tương ứng của N là:

−→ N i+1 −→ ... −→ N 1 −→ ... −→ N i di −−→ N 0 d0 N ∗ : 0 d−1

ΓI(d0) −−−−→ ... −→ ΓI(N i)

ΓI(d−1) −−−−→ ΓI(N 0)

Đưa hàm tử ΓI(−) vào phức này ta được dãy nửa khớp sau:

ΓI(di) −−−→ ΓI(N i+1) −→ ...

ΓI(N ∗) : 0

gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương tương ứng với I, kí hiệu là

H i I.

(cid:0)di−1(cid:1)(cid:1) gọi là môđun đối đồng (cid:0)di(cid:1)(cid:1)(cid:14)Im (cid:0)ΓI

I(−).

I (M ).

Với mọi số tự nhiên i, môđun đối đồng điều thứ i của phức này H i(ΓI(N ∗)) = Ker (cid:0)ΓI điều địa phương bậc i của M đối với I, kí hiệu là H i

I(−) cũng là hàm tử

Ta có ΓI(M ) = H 0 Mặt khác do hàm tử ΓI(−) là hiệp biến nên H i

hiệp biến.

Mệnh đề 1.4.7. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I và √ √ I = J thì với mọi

J (M ) với mọi i > 0.

R−môđun M , H i J là hai iđêan khác không của R sao cho I(M ) = H i

Mệnh đề 1.4.8. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Nếu

f −→ M

g −→ N → 0 là một dãy khớp của các R−môđun và các

0 → L

R−đồng cấu thì với mỗi i ta luôn có dãy sau đây là khớp:

H 0 I (f ) −−−→ H 0

H 0 I (g) −−−→ H 0

H 1 I (f ) −−−→ ...

I (L)

I (M )

I (N ) → H 1

I (L)

0 → H 0

H i I (f ) −−−→ H i

H i I (g) −−−→ H i

H i+1 (f ) I −−−−→ ...

I(L)

I(M )

I(N ) → H i+1

... → H i (L)

Mệnh đề 1.4.9. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan khác

I(M ) = 0

không của R và M là R−môđun. Nếu M là I−xoắn thì H i

với mọi i > 0.

Mệnh đề 1.4.10. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan

khác không của R. Với mỗi R−môđun M , phép chiếu π : M →

I(π) : H i

I(M ) → H i

I(M/ΓI(M )) với

M/ΓI(M ) cảm sinh đẳng cấu H i

mọi i > 0.

Mệnh đề 1.4.11. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan

I(ΓI(M )) = 0 với mọi

khác không của R. Với mỗi R−môđun M , H i

i > 0.

Mệnh đề 1.4.12. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan

khác không của R. Khi đó:

I(M ) ⊂ V (I) với mọi i.

(i). Với mỗi R−môđun M , SuppH i

I(M ) = 0 với mọi

I (M ) ∼= M và H i

(ii). Supp(M ) ⊂ V (I) ⇐⇒ H 0

i > 1.

Mệnh đề 1.4.13. Cho R là vành Noether giao hoán, M là R−môđun

I(M ) 6= 0(cid:9).

khác không hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM 6= M thì depth(I, M ) = min (cid:8)i : H i

Mệnh đề 1.4.14. Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao

hoán, I là iđêan hữu hạn sinh của R và M là R−môđun. Nếu (0 :M

I) là Artin và M là môđun I−xoắn thì M là Artin.

Mệnh đề 1.4.15. Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao

m(M ) là

hoán, M là R−môđun khác không hữu hạn sinh. Khi đó H i

Artin với mọi i > 0.

Mệnh đề 1.4.16. Cho R là vành Noether, I là iđêan của R và M

I(M ) là hữu

là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu với mọi i > 0 mà H i

I(M ) là tập hữu hạn.

hạn sinh với mọi j < i thì Ass H i

Mệnh đề 1.4.17. Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao

hoán, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó:

I(M ))

I(M ) = Ass(HomR(R/I, H i

(i). AssH i

R(R/I, M )) với n = depth(M )

I (M ) = Ass(Extn

(ii). AssH n

1.5 Đồng điều Koszul

Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành địa phương giao hoán và x ∈ R. Phức 0 → R x−→ R → 0 gọi là phức Koszul sinh trên R bởi x và được

kí hiệu là K(x; R).

Nếu x1, x2, ..., xn là các phần tử của R. Ta định nghĩa phức Koszul

sinh trên R bởi x1, x2, ..., xn là K(x1; R) ⊗ K(x2; R) ⊗ ... ⊗ K(xn; R)

và được kí hiệu là K(x1, x2, ..., xn; R).

Cho M là R−môđun và x1, x2, ..., xn là các phần tử của R. Ta định

nghĩa phức Koszul sinh trên R bởi x1, x2, ..., xn theo M là K(x1; R)⊗

K(x2; R)⊗...⊗K(xn; R)⊗M và được kí hiệu là K(x1, x2, ..., xn; M ).

Đồng điều của phức Koszul K(x1, x2, ..., xn; M ) gọi là đồng điều

Kozul và được kí hiệu là Hi(x1, x2, ..., xn; M ).

Mệnh đề 1.5.2. Cho R là vành, x1, x2, ..., xn là dãy trong R và M

là R−môđun. Khi đó ta có các kết quả sau:

(i). H0(x1, x2, ..., xn; M ) ∼= M/ (x1, x2, ..., xn) M .

(ii). Hn(x1, x2, ..., xn; R) ∼= (0 :M (x1, x2, ..., xn)).

(iii). Nếu I = (x1, x2, ..., xn) là iđêan của R thì IHi(x1, x2, ..., xn; M ) =

0 với mọi i > 0.

Mệnh đề 1.5.3. Cho R là vành, x1, x2, ..., xn là dãy trong R và

0 → U → M → N → 0 là dãy khớp các R−môđun. Khi đó dãy sau

là khớp:

... → Hi(x1, ..., xn; U ) → Hi(x1, ..., xn; M ) → Hi(x1, ..., xn; N ) →

→ Hi−1(x1, ..., xn; U ) → ...

Hệ quả 1.5.4. Cho R là vành, x1, x2, ... , xn là dãy trong R và M

là R-môđun. Khi đó dãy sau là khớp:

±xn−−→ Hi−1(x1, ..., xn−1; M ) → ...

... ±xn−−→ Hi(x1, ..., xn−1; M ) → Hi(x; M ) → Hi−1(x1, ..., xn−1; M ) ±xn−−→

Mệnh đề 1.5.5. Cho R là vành, x = x1, x2, ..., xn là dãy trong R,

M là R−môđun. Nếu I = (x) chứa M −dãy chính quy yếu y =

R (R/I, M ).

y1, y2, ..., ym thì Hn+1−i(x, M ) = 0 với mọi i = 0, ..., m và Hn−m(x; M ) ∼= HomR(R/I, M/yM ) ∼= Extm

Mệnh đề 1.5.6. Cho R là vành Noether, x1, x2, ..., xn là dãy trong

R, M là R−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sinh bởi

x1, x2, ..., xn. Khi đó:

(i). Hi(x, M ) = 0, ∀i = 0, ..., n ⇔ M = IM .

(ii). Nếu tồn tại i sao cho Hi(x, M ) 6= 0 thì

depth(I, M ) = n − Sup {i |(Hi(y1, y2, ..., yn; M )) 6= 0}

Mệnh đề 1.5.7. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là

R−môđun khác không hữu hạn sinh và I ⊂ m là iđêan sinh bởi các

phần tử x1, x2, ... , xn. Khi đó các điều sau là tương đương:

(i). depth(I, M ) = n

(ii). Hi(x1, ..., xn; M ) = 0, ∀i > 0

(iii). H1(x1, ..., xn; M ) = 0

(iv). x1, x2, ... , xn là M −dãy chính quy.

Chương 2

Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và

Tính Cofinite Của Môđun Đối

Đồng Điều Địa Phương

2.1 Môđun Cofinite

Định nghĩa 2.1.1. Cho R là vành, I là iđêan của R và M là

R−môđun, M được gọi là I−cofinite nếu Supp(M ) ⊂ V (I) và

R(R/I, M ) là hữu hạn sinh với mọi i.

Exti

Sau đây, ta nghiên cứu một số tính chất của môđun Cofinite.

Mệnh đề 2.1.2. M là R−môđun hữu hạn sinh sao cho SuppR(M ) ⊂

V (I). Khi đó M là I−cofinite.

Chứng minh: Vì R là Noether nên R/I là R−môđun hữu hạn

δ−−→ ...

sinh, theo ([6], §7, Proposition 8) có phép giải tự do:

δ−−→ F0 −−→ R/I −−→ 0

F∗ : ... −−→ Fn

với Fi là hữu hạn sinh. Khi đó, Hom(Fi, M ) hữu hạn sinh với mọi

δ∗

0 −−−→ Hom(R/I, M )

−−−→ Hom(F0, M )

−−−→ ...Hom(Fn, M ) −−−→ ...

i. Xét phức:

i /Imδ∗

i−1 nên hữu hạn sinh với mọi i. Từ

R(R/I, M ) ∼= Kerδ∗

Vì Exti

đó M là I−cofinite.

Mệnh đề 2.1.3. Cho dãy khớp ngắn các R−môđun:

−−→ M σ−−→ M ” −−→ 0 0 −−→ M 0

Nếu hai trong số ba môđun của dãy là I−cofinite thì môđun thứ ba

cũng là I−cofinite.

Chứng minh: Theo mệnh đề [1.2.10(ii)] thì Supp(M ) = Supp(M 0)∪

R(R/I, M ) được suy ra từ dãy khớp dài sau:

... −−−→ Exti

χ∗−−−→ Exti

σ∗−−−→ Exti

R(R/I, M 0)

R(R/I, M )

R(R/I, M ”) −−−→ ... R(R/I, M 0),

R(R/I, M ”) là hữu hạn sinh với mọi i.

Supp(M ”). Từ đó 2 trong số 3 môđun M 0, M, M ” có giá chứa trong V (I) thì môđun thứ 3 cũng vậy. Tính hữu hạn của Exti

Exti

R(R/I, M )(cid:14)

= Exti

∼= imσ∗ ⊂ Exti

R(R/I, M ”)

imχ∗

ker σ∗

Chẳng hạn giả sử M 0, M ” là môđun I−cofinite, khi đó Exti Exti Từ tính khớp của dãy trên ta có:

R(R/I, M ”) hữu hạn sinh, vì Exti imχ∗ cũng hữu hạn sinh. Từ đó Exti

R(R/I, M 0) hữu hạn sinh nên R(R/I, M ) hữu hạn sinh với (cid:3)

Exti

mọi i. Vậy M là I−cofinite.

Hệ quả 2.1.4. Nếu f : M → N là một đồng cấu giữa các R−môđun

I−cofinite và một trong ba môđun Kerf, Imf, Cokerf là I−cofinte

thì tất cả ba môđun đó đều là I−cofinite.

Chứng minh: Áp dụng mệnh đề trên với các dãy khớp sau:

0 → Kerf → M → Imf → 0

0 → Imf → N → Cokerf → 0

Mệnh đề 2.1.5. Cho đồng cấu giữa hai vành Noether f : A → B,

I là iđêan của A và IB là iđêan mở rộng của I trong B, M là

A−môđun và M ⊗R B là B−môđun mở rộng. Khi đó:

(i). Nếu f là A−phẳng, M là I−cofinite thì M ⊗A B là B−môđun

IB−cofinite.

(ii). Nếu f là A−phẳng trung thành thì M ⊗AB là B−môđun IB−cofinite

khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite.

Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét

SuppA(M ) ⊂ V (I) ⇐⇒ SuppB(M ⊗A B) ⊂ V (IB)

(i). Nếu f là A−phẳng thì theo [[11], Chapter 2, §3, (3.E)], với mọi

i, ta có đẳng cấu

A(A/I, M ) ∼= Exti

B(B/I ⊗A B, M ⊗A B)

Exti

Và I ⊗A B ∼= IB theo [[11], Chapter 2, §3, Theorem 1, (3)]. Suy ra:

B(B/IB, M ⊗A B) ∼= Exti

A(A/I, M ) ⊗A B

Exti

Vậy M là I−cofinite thì M ⊗A B là B−môđun IB−cofinite.

(ii). Do f là A−phẳng trung thành nên theo [[1], Chapter I, §6,

Proposition 11 ], một A−môđun N là hữu hạn sinh khi và chỉ khi

A(A/I, M ) ⊗A B ∼= Exti

B(B/IB, M ⊗A B) nên ta có thể suy ra M ⊗A B là B−môđun IB−cofinite khi và chỉ khi M (cid:3)

N ⊗A B là B−môđun hữu hạn sinh. Áp dụng, do Exti

là A−môđun I−cofinite.

Bổ đề 2.1.6. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh và N là R−môđun

R(M, N ) là hữu hạn sinh với mọi i ≤ p. Khi đó với bất kì R−môđun hữu hạn sinh L thỏa

bất kì. Giả sử với một số tự nhiên p nào đó Exti

R(L, N ) là hữu hạn sinh với mọi i ≤ p.

Supp(L) ⊂ Supp(M ), Exti

Chứng minh: Theo định lí Gruson’s trong [45], với bất kì R−môđun

hữu hạn sinh L thỏa Supp(L) ⊂ Supp(M ), tồn tại một cái lọc hữu

hạn:

0 = L0 ⊂ L1 ⊂ ... ⊂ Ln = L

sao cho Li/Li−1 đẳng cấu với tổng trực tiếp của hữu hạn các bản

sao của M .

Ta chứng minh bằng qui nạp theo p. Trường hợp p = 0, theo định

lí Gruson’s có dãy khớp ngắn 0 → Ln−1 → M t → Ln = L → 0

với t là số nguyên dương nào đó. Suy ra dãy 0 → HomA(L, N ) → HomA(M t, N ) là khớp. Suy ra:

HomA(L, N ) ⊂ HomA(M t, N ) = (HomA(M, N ))t : hữu hạn sinh

R(M, N ) là hữu hạn sinh với mọi i ≤ p và L là R−môđun hữu hạn sinh thỏa Supp(L) ⊂ Supp(M ) và có cái lọc có độ dài n. Ta chứng minh Extp

R(L, N ) hữu

Giả sử mệnh đề đúng với mọi i ≤ p − 1, Exti

R(K, N ) là hữu hạn sinh với mọi R−môđun hữu hạn sinh K có Supp(K) ⊂ Supp(M )

hạn sinh bằng qui nạp theo n. Trường hợp n = 1 là hiển nhiên. Giả sử Extp

và K có cái lọc có độ dài n − 1. Theo định lí Gruson’s có dãy khớp

ngắn 0 → Ln−1 → M t → L → 0, với số nguyên dương t nào đó.

Dãy khớp ngắn này cảm sinh dãy khớp dài:

R (Ln−1, N ) → Extp

R(L, N ) → Extp

R(M t, N ) → ...

... → Extp−1

R (Ln−1, N ) hữu hạn sinh theo giả thiết qui nạp. Mặt

Vì Supp(Ln−1) ⊂ Supp(L) ⊂ Supp(M ), Ln−1 có cái lọc có độ dài n − 1 nên Extp−1

khác, theo [[13], §7, Theorem 7.13]

R(M, N ))t

R(M t, N ) ∼= (Extp

R(M, N ) hữu hạn (cid:3)

Extp

R(M t, N ) hữu hạn sinh do giả thiết Extp R(L, N ) là hữu hạn sinh.

nên Extp sinh. Suy ra Extp

Mệnh đề 2.1.7 (Định lí chuyển đổi vành chính). Cho đồng cấu

ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một B−môđun M là IB−cofinite

(tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite

(tương ứng với iđêan I).

Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét

SuppA(M ) ⊂ V (I) ⇐⇒ SuppB(M ) ⊂ V (IB)

Xét dãy phổ Grothendieck:

q (B, A/I), M ) =⇒ Extp+q

2 = Extp

B(T orA

A (A/I, M )

2 = Extp

B(B ⊗A A/I, M ) ∼=

q (B, A/I)) ⊂ là hữu

Ep,q

hạn sinh với tất cả p và q. Dãy phổ là bị chặn nên Extn Giả sử M là IB−cofinite, khi đó Ep,0 Extp B(B/BI, M ) là hữu hạn sinh với tất cả p. Vì Supp(T orA Supp(B/IB) với tất cả q, áp dụng bổ đề [2.1.6] ta có Ep,q 2 A(A/I, M )

là hữu hạn sinh với mọi n.

Ngược lại, giả sử M là I−cofinite. Ta dùng qui nạp theo n để chỉ ra

2 = Extn

A(A/I, M ) là

rằng En,0 B(B/IB, M ) là hữu hạn sinh. Trường hợp n = 0 thì 2 = HomB(B/BI, M ) ∼= HomA(A/I, M ) là hữu hạn sinh. Giả E0,0 là hữu hạn sinh với tất cả p < n. Do bổ đề [2.1.6], Ep,q sử n > 0, Ep,0 2 2

là hữu hạn sinh với mọi p < n và q ≥ 0. Vì H n = Extn hữu hạn sinh nên En,0 là hữu hạn sinh.

Mệnh đề 2.1.8. Giả sử S và T là hai hàm tử cộng tính giữa các

phạm trù Abel A và B, S là phạm trù con Serre của B. Giả sử mọi

dãy khớp ngắn

u−−→ X v−−→ X” −−→ 0

0 −−→ X 0

có thể mở rộng đến dãy khớp

Su−−→ SX Sv−−→ SX” −−→ T X 0

T u−−→ T X T v−−→ T X”

SX 0

Nếu f : M → N là đồng cấu trong A sao cho T Kerf và SCokerf

thuộc S. Khi đó KerT f và CokerSf cũng thuộc S. Hơn nữa, nếu

có thêm T f = 0 (tương ứng Sf = 0) thì T M (tương ứng SN ) cũng

thuộc S.

Chứng minh: Kí hiệu: K = Kerf, I = Imf, C = Cokerf và

f = h ◦ g. Do giả thiết các dãy khớp ngắn:

0 −−→ K i−−→ M −−→ I −−→ 0

h−−→ N −−→ C σ−−→ 0

0 −−→ I

T g

cảm sinh các dãy khớp:

Sg −−→ SI −−→ T K T i−−→ T M

SK Si−−→ SM −−→ T I

Sh−−→ SN −−→ SC −−→ T I

T h−−→ T N T σ−−→ T C

Suy ra CokerSg là vật con của T K, và do đó thuộc S. KerT g

là thương của T K nên cũng thuộc S. Hoàn toàn tương tự, xét

dãy khớp thứ hai ta suy ra được KerT h và CokerSh thuộc S. Vì

f = h ◦ g nên T f = T h ◦ T g và Sf = Sh ◦ Sg. Suy ra các dãy sau

là khớp:

0 → KerT g → KerT f → KerT h

CokerSg → CokerSf → CokerSh → 0

Từ đây KerT f và CokerSf thuộc S.

Đặc biệt nếu T f = 0 (tương ứng Sf = 0) thì T M = KerT f (tương

(cid:3) ứng SN = CokerSf ) thuộc S.

Cho vành R, lấy r ∈ Z(R) và M là R−môđun thì ánh xạ

f : M → M định nghĩa bởi m 7→ rm là đồng cấu, gọi là tích bởi r.

Hàm tử T được gọi là bảo toàn tích nếu fr : M → M là tích bởi r,

với r ∈ Z(R) thì T fr : T M → T M cũng là tích bởi r.

Ta có kết quả ([13], §7, Theorem 7.16): Cho f : M → M là tích bởi

R(M, N ) → Extn

R(M, N ) cũng là tích bởi r.

r, khi đó f ∗ : Extn

Kết quả trên vẫn đúng đối với biến thứ 2. Hơn nữa ([13], §7, Theorem

7.6): Nếu M là giao hoán và rM = 0 thì rT M = 0.

Mệnh đề 2.1.9. Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M ) ⊂

V (I). Nếu 0 :M x và M/xM là I−cofinite thì M là I-cofinite.

Chứng minh Xét đồng cấu:

f : M → N

m 7→ xm

R(R/I, _), R (R/I, _), do Kerf và Cokerf là I−cofinite nên T Kerf và SCokerf là hữu hạn sinh. Mặt khác, x ∈ I nên T f = 0 theo

Ta có Kerf = 0 :M x, Cokerf = M/xM . Kí hiệu T = Exti S = Exti−1

[[13], §7, Theorem 7.6]. Phạm trù các R−môđun hữu hạn sinh là

phạm trù con Serre của phạm trù các R−môđun. Theo mệnh đề

R(R/I, M ) hữu hạn sinh với mọi i. Suy ra M là (cid:3)

[2.1.8], T M = Exti

I−cofinite.

Mệnh đề 2.1.10. Cho I là iđêan của vành R, u : F → G là

đồng cấu giữa hai môđun tự do, hữu hạn sinh, khác 0 sao cho

u(F ) ⊂ IG. M là R−môđun, đặt f = Hom(u, M ) và giả sử rằng

SuppR(M ) ⊂ V (I). Nếu Kerf và Cokerf là R−môđun I−cofinite

thì M là R−môđun I−cofinite.

Chứng minh: Bởi vì f = Hom(u, M ) nên ta có thể viết f =

R(R/I, _), S = Exti−1

jk ajkfj,k với ajk ∈ I và fjk : Hom(F, M ) → Hom(G, M ). Với R (R/I, _). Do Kerf, Cokerf là I−cofinite nên T Kerf, SCokerf là hữu hạn sinh.

mỗi i > 0, kí hiệu T = Exti

Mặt khác, do tính cộng tính của hàm tử T nên:

R(R/I, f ) =

R(R/I, fjk) = 0

X T f = Exti ajkExti

R(R/I, fjk) = 0 theo [[13], §7, Theorem

(ajk ∈ I với mọi j, k nên Exti

7.6] với mọi i).

R(R/I, M ) là hữu hạn sinh với (cid:3)

Áp dụng mệnh đề [2.1.8], T M = Exti

mọi i. Suy ra M là I−cofinite.

Mệnh đề 2.1.11. Cho M là R−môđun với Supp(M ) ⊂ V (I). Giả

sử tự đồng cấu f ∈ EndR(M ) thỏa phương trình đa thức:

f n + a1f n−1 + ... + an = 0 với aj ∈ I, 1 ≤ j ≤ n

Nếu Kerf và Cokerf là I−cofinite thì M là I−cofinite.

Chứng minh: Trước hết ta nhận xét rằng nếu u là một tự đồng

cấu của môđun X nào đó, thì Keru là hữu hạn sinh khi và chỉ khi

Kerun là hữu hạn sinh với mọi n, khi và chỉ khi Kerun là hữu hạn

sinh với một n nào đó. Tương tự với Cokeru. Từ:

f n + a1f n−1 + ... + an = 0

R(R/I, _), ta được:

n X

Do tính cộng tính của hàm tử Exti

R(R/I, f n) =

R(R/I, f n−j)

j=1

Exti −ajExti

R(R/I, _), S = Exti−1

R (R/I, _), do aj ∈ I nên T f n−j = 0 với mọi j [ [13], §7, Theorem 7.6], suy ra T f n = 0. Hơn

Kí hiệu T = Exti

nữa Kerf, Cokerf là I−cofinite nên T Kerf, SCokerf là hữu hạn

sinh. Từ đó T Kerf n, SCokerf n là hữu hạn sinh. Theo mệnh đề

R(R/I, M ) là hữu hạn sinh với mọi i. Vậy M là (cid:3)

[2.1.8], T M = Exti

I−cofinite.

Chúng ta có một số tính chất đặc trưng của môđun cofinite

Mệnh đề 2.1.12. Cho I = (x1, ...xk) là iđêan của R, M là R−môđun

sao cho Supp(M ) ⊂ V (I). Khi đó các khẳng định sau là tương

đương:

(i). M là I−cofinite.

(ii). M là J−cofinite với mọi iđêan J của R sao cho J ⊃ I.

R(N, M ) là hữu hạn sinh với mọi i và tất cả các R−môđun

(iii). Exti

hữu hạn sinh N thỏa I ⊂ ann(N ).

R(N, M ) là hữu hạn sinh với mọi i và tất cả các R−môđun

(iv). Exti

hữu hạn sinh N thỏa Supp(N ) ⊂ V (I).

(v). M là R−môđun I n-cofinite với mọi n ∈ N .

(vi). Với mọi ρ ∈ M in(I), R−môđun M là ρ-cofinite.

m(M ) và M/H 0

m(M ) là I−cofinite.

(vii). Với mọi iđêan tối đại m của R, H 0

m(M )

m(M ) và M/H 0

(viii). Tồn tại một iđêan tối đại m của R sao cho H 0

là I−cofinite.

(ix). Môđun đối đồng điều Koszul H i(x1, ..., xk, M ) là R−môđun hữu

hạn sinh với mọi i = 1, ..., n.

Chứng minh: (i) ⇒ (ii). Do bổ đề [2.1.6], (ii) ⇒ (vi), (v) ⇒ (i),

(iii) ⇒ (i), (vii) ⇒ (viii) : hiển nhiên.

(vi) ⇒ (i). R là Noether nên theo [ [27], §6, Exercises 9 ], M in(I)

R(R/ρj, M ) là hữu hạn sinh nên Exti

R(N, M ) =

R(R/ρj, M ) hữu hạn sinh với mọi i.

là hữu hạn, giả sử M in(I) = ρ1, ..., ρn, đặt N = R/ρ1 ⊕ A... ⊕ A/ρn

là R−môđun hữu hạn sinh do A/ρj hữu hạn sinh với mọi 1 ≤ j ≤ n. Vì Exti L 1≤j≤n Exti

Mặt khác, Supp(R/I) = Supp(N ) nên theo bổ đề [2.1.6] ta có

R(R/I, M ) hữu hạn sinh với mọi i.

Exti

(iii) ⇔ (iv). Gọi α = ann(N ), do N hữu hạn sinh nên từ mệnh

đề [1.2.13] suy ra Supp(N ) ⊂ V (I) ⇔ V (α) ⊂ V (I).

(i) ⇒ (iii). Ta chứng minh bằng qui nạp theo i. Vì I ⊂ ann(N )

nên N là R/I-môđun hữu hạn sinh, theo [[27], §2, Proposition 2.3]

N đẳng cấu với nhóm thương của (R/I)n với số nguyên dương n

nào đó. Ta có dãy khớp ngắn các R/I-môđun:

0 → K → (R/I)n → N → 0

Suy ra dãy sau khớp:

0 → Hom(N, M ) → Hom((R/I)n, M )

Do vậy

Hom(N, M ) ⊂ Hom((R/I)n, M ) ∼= (Hom(R/I, M )n : hữu hạn sinh.

R(X, M ) hữu hạn sinh với mọi R−môđun X thỏa I ⊂

Giả sử Exti

ann(X) và với mọi i ≤ k. Xét dãy khớp dài:

R(K, M ) → Extk+1

R (N, M ) → Extk+1

R ((R/I)n, M ) → ...

... → Extk

do, do đó Exti

R (N, M ) ∼= Extk

Extk+1 Vì R/I là R-môđun hữu hạn sinh nên (R/I)n là R−môđun tự R((R/I)n, M ) = 0 với mọi i. Từ dãy khớp trên ta có R(K, M ). Hơn nữa ann(K) ⊃ ann(R/I)n ⊃ I

nên Extk

R(K, M ) hữu hạn sinh theo giả thiết qui nạp. R (N, M ) là hữu hạn sinh.

Vậy Extk+1

(i) ⇒ (v). Chứng minh qui nạp theo n. Trường hợp n = 1 là hiển

nhiên. Giả sử M là môđun I n-cofinite, I n/I n+1 là R−môđun hữu

R(I n/I n+1, M ) hữu hạn với

hạn sinh và I ⊂ ann(I n/I n+1) nên Exti

mọi i theo (iii). Xét dãy khớp ngắn:

0 → I n/I n+1 → R/I n+1 → R/I n → 0

... → Exti

R(R/I n+1, M ) → Exti

R(R/I n, M ) → Exti

R(I n/I n+1, M ) → ...

Dãy khớp trên cảm sinh nên dãy khớp dài:

R(I n/I n+1, M ) hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0

Vì Exti

R(R/I n, M ) và Exti R(R/I n+1, M ) hữu hạn với mọi i ≥ 0.

nên Exti

m(M ) là I−cofinite với mọi

(i) ⇒ (vii). Vì M là I−cofinite nên H 0

iđêan nguyên tố m của R. Dãy khớp ngắn các R−môđun:

m(M ) → M → M/H 0

m(M ) → 0

0 → H 0

... → Exti

m(M )) → Exti+1

m(M )) → ...

R(R/I, M ) → Exti

R(R/I, M/H 0

R (R/I, H 0

cảm sinh dãy khớp dài:

R (R/I, H 0

Vì Exti

R(R/I, M ) và Exti+1 R(R/I, M/H 0

có Exti

m(M )) hữu hạn sinh nên ta cũng m(M )) hữu hạn sinh. Hơn nữa từ dãy khớp ngắn m(M )) ∪ Supp(M/H 0 m(M )), từ đây

trên ta có Supp(M ) = Supp(H 0

m(M ) là I−cofinite.

suy ra M/H 0

... → Exti

m(M )) → Exti+1

m(M )) → ...

R(R/I, M/H 0

R(R/I, M ) → Exti

R (R/I, H 0

(viii) ⇒ (i). Có được từ dãy khớp dài:

(i) ⇔ (ix). Nhắc lại, phức Koszul tương ứng với dãy (x1, ..., xk):

d(x)j−−−→ K(x)j−1... −−→

K∗(x, M ) : 0 −−→ K(x)k... −−→ K(x)j

K(x)0 −−→ 0

d(x)∗ 1−−−→ ...

Với K(x)j = Vj(Rk), j = 1, ..., k và K(x)0 = 0. Tác động hàm tử Hom(_, M ) lên phức trên ta được phức:

d(x)∗ 0−−−→ Hom(K(x)1, M )

0 −−→ Hom(K(x)0, M )

Môđun đối đồng điều thứ i của phức Koszul:

j/Imd(x)∗

j−1.

H i(x1, ..., xk; M ) = Kerd(x)∗

Nhận xét, nếu ϕ : A → B là đồng cấu vành, khi đó M có cấu trúc B−môđun, hơn nữa H i(x1, ..., xk; M ) ∼= H i(ϕ(x1), ..., ϕ(xk); M ) với mọi i. Thật vậy, theo [[8], p. 95], với mọi R−môđun N có đẳng cấu

tự nhiên:

^ ^ (N ) ⊗A B ∼= (N ⊗A B)

∗ ^

Suy ra các đẳng cấu:

∗ ^

HomA( (An), M ) ∼= HomB( (An) ⊗A B, M )

(Bn), M ) ∼= HomB( (An ⊗A B), M ) ∼= HomB(

Từ đây:

H i(x1, ..., xk; M ) ∼= H i(ϕ(x1), ..., ϕ(xk); M )

Chứng minh (i) ⇔ (ix). Xét đồng cấu:

(2.1) ϕ : R[X1, ..., Xk] → R

(2.2) Xi 7→ xi

Do ϕ là đồng cấu nên M có cấu trúc R[X1, ..., Xk]-môđun. Vì dãy

X1, ..., Xk là chính qui trong R[X1, ..., Xk] nên với mỗi i có đẳng

cấu:

R[X1,...,Xk](R[X1, ..., Xk]/(X1, ..., Xk), M ) ∼= H i(X1, ..., Xk; M )

Exti

Theo nhận xét trên, ta có H i(x1, ..., xk; M ) ∼= H i(X1, ..., Xk; M ). Mặt khác, từ định lí chuyển đổi vành chính ta có

Exti

R[X1,...,Xk](R[X1, ..., Xk]/(X1, ..., Xk), M ) hữu hạn sinh khi và chỉ R(R/I, M ) hữu hạn sinh. Vậy H i(x1, ..., xk; M ) hữu hạn sinh (cid:3)

khi Exti

với mọi i khi và chỉ khi M là I−cofinite.

Từ mệnh đề trên ta có hệ quả trực tiếp:

Hệ quả 2.1.13. Lấy I là iđêan của vành R, x1, ..., xn là các phần

tử sinh của I, R−môđun M là I−cofinite khi và chỉ khi SuppRM ⊂ V (I) và tất cả các môđun đối đồng điều Koszul H i(x1, ..., xn; M ) là

hữu hạn sinh.

Hệ quả 2.1.14. Cho I là iđêan của vành Noether R. Nếu R−môđun

M là I−cofinite thì M/IM là R−môđun hữu hạn sinh.

Chứng minh: Vì M/IM ∼= H n(x1, ..., xn; M ) với I = (x1, ..., xn).

(cid:3)

Hệ quả 2.1.15. Cho (R, m) là vành địa phương với iđêan tối đại m

và I là một iđêan của R với số chiều một hoặc là iđêan chính. Cho

A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun hữu hạn sinh.

R(A, H j

I (M )) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.

Thì Exti

Nhắc lại, một môđun không chứa một tổng trực tiếp vô hạn của

các môđun con khác không được gọi là có chiều Godie hữu hạn. Nếu

M là R−môđun có chiều Godie hữu hạn trên vành R thì bao nội

xạ E(M ) của M có thể phân tích thành tổng trực tiếp của hữu hạn

r M

các môđun nội xạ không thể phân tích:

i=1

E(M ) = E(R/ρi)ni

Với ni là các số nguyên dương, ρ1, ..., ρr là các iđêan nguyên tố liên

kết khác nhau của M .

Mệnh đề 2.1.16. Nếu M là môđun I−cofinite thì M có chiều

Goldie hữu hạn.

Chứng minh: Ta có 0 :M I ∼= HomR(R/I.M ) và do đó 0 :M I là môđun con hữu hạn của M. Lấy x là phần tử khác 0 cùa M ,

vì SuppR(M ) ⊂ V (I) nên có một số n > 0 sao cho I nx = 0 và I n−1x 6= 0 . Từ đó 0 6= I n−1x ⊂ Rx ∩ 0 :M I. Ngược lại mọi môđun

con của M có một môđun con có giao khác rỗng với 0 :A I thì là (cid:3) môđun con hữu hạn của M , cốt yếu trong M .

R(R/J, M ) là I−cofinite với mọi i thì M là I−cofinite.

Mệnh đề 2.1.17. Nếu SuppRM ⊂ V (I), J là iđêan của R, J ⊂ I và Exti

Chứng minh: Lấy I là ảnh của I trong R = R/J. Áp dụng định

R(R/J, M )

lý chuyển đổi vành chính (mệnh đề 2.1.7), R−môđun Exti

δ0

δ1

δ2

là I−cofinite. Xét phép giải nội xạ của M :

0 −−→ M −−→ E0 −−→ E1 −−→ E2 −−→ ...

Ta chẻ phức trên thành các dãy khớp ngắn như sau:

0 → M i → Ei → Ei+1 → 0 với M i = Kerδi, i = 0, 1, ...

Suy ra với mỗi i 6= 0 ta có:

R(R/I, M )

R (R/I, M ) ∼= Exti

Exti+1

R(R/J, M )

R (R/J, M ) ∼= Exti

Exti+1

Ta chứng minh bằng qui nạp theo i rằng Extj (R/I, 0 :M i J) là R R−môđun hữu hạn sinh với mọi j ≥ 1. Vì M 0 ∼= M và 0 :M J là I-môđun nên khẳng định là đúng với i = 0. Giả sử đúng với i nào

đó. Xét đồng cấu R−môđun sau:

E J → 0 :i+1

M J

fi : 0 :i

R(R/J, M i) ∼= Exti+1

M J và Cokerfi

R (R/J, M ).

∼= Ext1

(R/I, Cokerfi) (R/I, Kerfi) và Extj R

(R/I, fi) Ta có: Kerfi = 0 :i Suy ra các R−môđun Extj+1 là hữu hạn sinh với mọi j ≥ 0. Theo hệ quả 2.1.4 CokerExtj R

là R-môđun hữu hạn sinh với mọi j ≥ 0. Với j = 0 ta có:

R(R/I, M i) ∼= Exti+1

R (R/I, M ) hữu hạn sinh.

Ext1

E J là R−môđun nội xạ nên Extj

E J) = 0 với mọi

Vì 0 :i (R/I, 0 :i

j ≥ 1. Từ đây:

M J) với j ≥ 1

(R/I, 0 :1+1 CokerExtj R (R/I, fi) ∼= Extj R

R(R/J, M ) là hữu hạn sinh với mọi j ≥ 1. Trường hợp j = 0 thì dễ dàng kiểm tra được. Vì HomR(R/I, M ) ∼= HomR(R/I, HomR(R/J, M )) nên ta suy ra (cid:3) được M là I−cofinite.

Dùng qui nạp tương tự ta chứng minh được Extj

Sau đây chúng ta có mệnh đề thể hiện mối liên hệ giữa tính Artin

và môđun cofinite:

Mệnh đề 2.1.18. Cho M là một R-môđun Artin, I là iđêan thực

sự của R. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) M là I-cofinite.

(ii) 0 :M I có độ dài hữu hạn, và khi R đầy đủ thì

(iii) Với mỗi iđêan nguyên tố liên kết ρ của M , iđêan I + ρ là m-

nguyên sơ.

Chứng minh: Kí hiệu bR tương ứng là m-đầy đủ của R. Vì M là Artin nên theo [[33], Lemma 2.1], R có cấu trúc bR-môđun và M ∼= M ⊗R bR. Ta có ánh xạ R → bR là phẳng trung thành, áp dụng mệnh

đề [2.1.5(ii)] ta có thể giả sử ngay từ đầu R là đầy đủ. Lấy ρ1, ..., ρr là iđêan nguyên tố liên kết của M . Vì pAnnA(M ) = Tr i=1 ρi nên iđêan I + ρi là m-nguyên sơ với mọi i khi và chỉ khi tồn tại số n sao cho mn ⊂ I + Ann(M ).

(i) ⇒ (ii). Vì M là I-cofinite nên 0 :M I ∼= HomA(A/I, M ) hữu hạn sinh, từ đó là Noether theo [[11],§1, Theorem 3.1 (ii)], và là

Artin do M là Artin. Suy ra 0 :M I có độ dài hữu hạn.

(ii) ⇒ (iii). Lấy D(M ) = HomR(M, E) là đối ngẫu Matlis của

M , vì M là Artin, R là đầy đủ nên theo [[26], §10, Matlis Duality

Theorem 10.2.12], D(M ) là Noether, từ đó hữu hạn sinh. Hơn nữa

AnnR(D(M )) = AnnR(M ) theo [[26], §10, Remarks 10.2.2 (ii)]. Áp dụng [[26], §10, 10.2.15 (ii)], ta có D(0 :R I) ∼= D(M )/ID(M ). Vì (0 :R I) có độ dài hữu hạn nên D(0 :R I) có độ dài hữu

hạn theo [[26], §10, 10.2.13], suy ra D(M )/ID(M ) có độ dài hữu

hạn. Từ đó Supp(D(M )/ID(M )) ⊂ m. Theo mệnh đề 1.2.13 ta

có Supp(D(M )/ID(M )) = V (I + D(M )), suy ra có số n sao cho

mn ⊂ I + AnnRD(M ). Theo nhận xét bên trên, ta có (iii).

mọi j, môđun Artin Extj

(iii) ⇒ (i). Giả sử có n sao cho mn ⊂ I + AnnR(N ), khi đó với R(R/I, M ) được linh hóa bởi mn và do đó (cid:3) có độ dài hữu hạn. Từ đó M là I-cofinite.

Hệ quả 2.1.19. Nếu M là Artin và I-cofinite thì Γm(M ) là Artin

và I-cofinite.

Chứng minh: Đặt L = Γm(M ), do M là Artin và I-cofinite nên

0 :M I có độ dài hữu hạn theo mệnh đề 2.1.18. Vì 0 :L I ⊂ 0 :M I

nên cũng có độ dài hữu hạn. Theo [[11], Theorem 6.10], L là Artin,

(cid:3) và từ đó là I-cofinite theo mệnh đề 2.1.18.

Hệ quả 2.1.20. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun với SuppRM ⊂

V (I). M là Artin và I-cofinite khi và chỉ khi 0 :M I có độ dài hữu

hạn. Nếu có x ∈ I sao cho 0 :R x là Artin và I-cofinite thì M là

Artin và I-cofinite.

Chứng minh: Nếu 0 :M I là Artin và Supp(M ) ⊂ V (I) thì M

là Artin theo [[20], Theorem 1.3]. Từ đây theo mệnh đề 2.1.18 ta có

khẳng định thứ nhất của mệnh đề.

Nếu L = 0 :M x là Artin và I-cofinite thì 0 :L I là tập hữu hạn. Mặt (cid:3) khác 0 :M I = 0 :L I nên ta suy ra M là Artin và I-cofinite.

2.2 FA and AF môđun

Trong mục này chúng ta xét (R, m) là vành địa phương với iđêan

tối đại là m và I là một iđêan của R với số chiều 1 hoặc là iđêan

chính.

Định nghĩa 2.2.1. R-môđun M được gọi là FA môđun nếu tồn

tại R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin.

R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin

R(K, H j

A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh.

Bổ đề 2.2.2. Nếu K là FA môđun sao cho SuppR(K) ⊆ V (I) và M là R-môđun hữu hạn sinh thì Exti I (M )) là hữu hạn sinh

R(K, H j

với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.

Nếu K là AF môđun sao cho SuppR(K) ⊆ V (I) và M là R-môđun hữu hạn sinh thì Exti I (M )) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và

j ≥ 0.

Chứng minh:

Giả sử K là FA môđun khi đó ta có dãy khớp ngắn

0 −→ N −→ K −→ A −→ 0

... −→ Exti

R(A, H j

R(K, H j

R(N, H j

I (M )) −→ Exti

I (M )) −→ ...

trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây ta thu được dãy khớp dài

R(N, H j

R(A, H j

I (M )) là hữu hạn sinh. Vì N I (M )) là (cid:3)

Theo hệ quả [2.1.15] ta có Exti là hữu hạn và SuppR(N ) ⊆ V (I) chúng ta có Exti hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.

Giả sử K là AF môđun khi đó ta có dãy khớp ngắn

0 −→ A −→ K −→ N −→ 0

... −→ Exti

R(N, H j

R(K, H j

R(A, H j

I (M )) −→ Exti

I (M )) −→ ...

R(N, H j

R(A, H j

I (M )) là hữu hạn sinh. Vì N I (M )) là (cid:3)

trong đó A là R-môđun Artin và N là hữu hạn sinh. Từ đây ta thu được dãy khớp dài

Theo hệ quả [2.1.15] ta có Exti là hữu hạn và SuppR(N ) ⊆ V (I) chúng ta có Exti hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.

I (M ) là I-

Định lí 2.2.3. Nếu M là FA hoặc AF môđun thì H j

cofinite môđun với mọi j > 0.

Chứng minh:

Nếu M là AF môđun thì tồn tại dãy khớp ngắn

I (A) = 0 với mọi j > 0, do vậy chúng ta thu được dãy I (M ) ∼=

0 −→ A −→ M −→ N −→ 0

I (N ) với mọi j > 0. Từ đây ta có điều cần chứng minh.

trong đó A là Artin và N là R-môđun hữu hạn sinh. Do A là Artin chúng ta có H j khớp dài của các môđun đối đồng điều địa phương với H j H j

Nếu M là FA môđun thì ta có phép chứng minh của R. Belshoff,

(cid:3) S.-P. Slattery and C.Wickham trong [[2], Theorem 2].

Hệ quả 2.2.4. Nếu A là một R-môđun Artin và M là FA hoặc

R(A, H j

I (M )) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và

AF môđun thì Exti

j > 0.

(cid:3) Chứng minh: Dựa vào định lý [2.2.3] và hệ quả [2.1.15]

Định lí 2.2.5. Chúng ta có các khẳng định sau

R(K, H j

I (M ))

(i). Nếu M và K là FA môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì Exti

là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.

R(K, H j

I (M ))

(ii). Nếu M và K là AF môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì Exti

là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.

Chứng minh:

(i). Chúng ta có dãy khớp ngắn sau đây

0 −→ N −→ K −→ A −→ 0

... −→ Exti

R(A, H j

R(K, H j

R(N, H j

I (M )) −→ Exti

I (M )) −→ ...

R(N, H j

R(A, H j

I (M )) là hữu hạn sinh. Vì N I (M )) là (cid:3)

trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây chúng ta thu được dãy khớp dài

Theo hệ quả [2.1.15] ta có Exti là hữu hạn và SuppR(N ) ⊆ V (I) chúng ta có Exti hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.

(ii). Chúng ta có dãy khớp ngắn sau đây

0 −→ A −→ K −→ N −→ 0

... −→ Exti

R(N, H j

R(K, H j

R(A, H j

I (M )) −→ Exti

I (M )) −→ ...

trong đó N là hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Từ đây chúng ta thu được dãy khớp dài

R(N, H j

R(A, H j

I (M )) là hữu hạn sinh. Vì N I (M )) là (cid:3)

Theo hệ quả [2.1.15] ta có Exti là hữu hạn và SuppR(N ) ⊆ V (I) chúng ta có Exti hữu hạn sinh. Từ đây chúng ta có điều cần chứng minh.

I (M )

Định lí 2.2.6. Nếu M là FA môđun thì Bass numbers của H j

là hữu hạn với mọi j > 0.

R(R/m, H j

m(M )) là hữu hạn sinh. Bây giờ nếu p không phải là iđêan tối đại thì Mp là

Chứng minh: Theo định lý [2.2.5] ta có Exti

FA môđun.

Khi đó với mỗi I ⊆ p chúng ta có (theo [[26], 4.3.3])

R(R/p, H j

I (M )))p

IRp

I (M )) = 0.

(Exti (k(p), H j ∼= Exti (Mp))

I (M ) là hữu hạn với mọi j > 0.

(cid:3) Bây giờ nếu I 6⊆ p thì ta có µi(p, H j Trong cả hai trường hợp trên chúng ta đều có Bass numbers của H j

2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

I(M ) là I-cofinite khi và

√ I = Mệnh đề 2.3.1. Cho I, J là các iđêan của vành R sao cho √ J, khi đó với mỗi số nguyên dương i, H i

J (M ) là J-cofinite.

chỉ khi H i

Chứng minh: Từ định nghĩa các hàm tử ΓI(_), ΓJ (_), ta có

n∈N (0 :M J n). Suy ra:

n∈N

[ ΓI(M ) = (0 :M I n) và ΓJ (M ) = S

√ √ I = J ⇐⇒ ΓI(M ) = ΓJ (M )

J (_) là các hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI(_), ΓJ (_)

I(_), H i

Do H i

L(_) = H i

J (_)

nên: √ √ I = J ⇐⇒ H i

Mệnh đề 2.3.2. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun. Nếu H i

I(M ) R(R/I, M )

là I-cofinite với mọi i (tương ứng với mọi i ≤ n) thì Exti

là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i (tương ứng với mọi i ≤ n).

I(M ) ∼=

I(M ) nếu i > 0

0 nếu i = 0 Chứng minh: Đặt M = M/ΓI(M ), ta có đẳng cấu:   H i H i 

Xét dãy khớp ngắn các R-môđun:

0 → ΓI(M ) → M → M → 0

... → Exti−1

R (R/I, ΓI(M )) → Exti−1

R (R/I, M ) → Exti−1

R (R/I, M ) → ...

I (M ) là I-cofinite nên Exti−1

Suy ra dãy khớp dài:

R(R/I, ΓI(M ) là hữu hạn sinh. Suy ra Exti

Ta có ΓI(M ) = H 0 Exti

R (R/I, ΓI(M ) và R(R/I, M ) hữu hạn R(R/I, M ) hữu hạn sinh. Vậy không mất

sinh khi và chỉ khi Exti

tính tổng quát, ta có thể giả sử ngay từ đầu là ΓI(M ) = 0.

Ta chứng minh mệnh đề bằng qui nạp theo n. Trường hợp n = 0

I(M ) là I- cofinite với mọi i ≤ k+1. Lấy E là bao nội xạ của M , đặt L = E/M .

là hiển nhiên. Giả sử mệnh đề đúng với mọi i ≤ k và H i

Từ dãy khớp ngắn:

0 → M → E → L → 0

... → Extk

R(R/I, M ) → Extk

R(R/I, E) → Extk

R(R/I, L) → Extk+1

R (R/I, M ) → ...

Ta có các dãy khớp dài:

I (M ) → H k

I (E) → H k

I (L) → H k+1

... → H k (M ) → ...

A(A/I n, E) = 0 nên từ dãy khớp trên,

I(E) = lim −−−→ n∈N

Exti Với i ≥ 1, H i

I (L) ∼= H k+1

(M ). Suy ra H i H k

Áp dụng giả thiết qui nạp, Exti

i ≤ k. Mặt khác, E là nội xạ nên Extk

R(R/I, L) ∼= Extk+1

A (A/I, M ). Suy ra Extk+1

I(L) là I-cofinite với mọi i ≤ k. I(R/I, L) hữu hạn sinh với mọi R(R/I, E) = 0, ∀k, suy ra R (R/I, M ) hữu hạn (cid:3)

Extk

sinh.

Từ chứng minh mệnh đề trên ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.3.3. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun sao cho

I(M ) là I-cofinite với mọi i. Khi đó M

Supp(M ) ⊂ V (I) và H i

là I-cofinite.

Mệnh đề 2.3.4. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun sao cho

Exti

I(R/I, M ) là hữu hạn sinh với mọi i và s là một số nguyên I (M )

I(M ) là I-cofinite với mọi i 6= s. Khi đó H s

dương sao cho H i

cũng là I-cofinite.

Chứng minh: Ta chứng minh bằng qui nạp theo k. Đặt M =

M/ΓI(M ), ta có:

I(M ) ∼=

I(M ) nếu i > 0

0 nếu i = 0   H i H i 

I(M ) là I-cofinite với mọi i. Từ đó Exti

I(R/I, M ) hữu hạn sinh với mọi i theo mệnh đề 2.3.2. Từ dãy khớp dài cảm

Nếu s = 0 thì H i

I(R/I, ΓI(M )) hữu hạn sinh với mọi i. Vậy ΓI(M ) là I-cofinite. Giả sử mệnh đề đúng với mọi R-môđun N và mọi s > 0. Bởi vì

sinh bởi dãy khớp ngắn 0 → ΓI(M ) → M → M → 0, suy ra Exti

I(R/I, ΓI(M )) hữu hạn sinh với mọi i. Tương tự trên, từ dãy khớp dài cảm sinh bởi 0 → ΓI(M ) → M → M → 0, ta suy ra Exti

ΓI(M ) là I-cofinite nên Exti

I(R/I, M ) hữu hạn sinh với mọi i khi và chỉ I(R/I, M ) hữu hạn sinh với mọi i. Từ đây ta có thể giả sử

khi Exti

ΓI(M ) = 0.

Kí hiệu E là bao nội xạ của M , M1 = E/M . Do E là mở rộng cốt

yếu của M nên nếu ΓI(E) 6= 0 thì có x 6= 0, x ∈ ΓI(E) ∩ M . Suy ra

(A/I, M ) và H i

x ∈ ΓI(M ) (mâu thuẩn). Vậy ΓI(E) = 0 do đó HomI(R/I, E) = 0. I(M1) ∼= I(A/I, M1) ∼= Exti+1 Suy ra các đẳng cấu Exti (M ) với mọi i ≥ 0 (bao gồm cả trường hợp i = 0). Áp dụng giả

I (M ) (cid:3)

H i+1 I thiết qui nạp cho M1 ta có H s−1 (M1) là I-cofinite. Suy ra H s

là I-cofinite.

Hệ quả 2.3.5. Cho I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn

I(M ) = 0 với mọi i 6= s thì H s

I (M ) là I-cofinite.

sinh sao cho H i

Chứng minh: Vì M là hữu hạn sinh nên Exti

I(R/I, M ) là hữu I(M ) là I-cofinite với mọi i 6= s nên áp dụng (cid:3)

hạn sinh với mọi i. H i

mệnh đề 2.3.4 ta có ngay kết quả.

Hệ quả 2.3.6. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R

I (M ) là I-cofinite với mọi i.

sinh bởi một M -dãy chính qui thì H s

Chứng minh: Giả sử I sinh bởi M -dãy chính qui x1, ..., xn.

I(M ) = 0, ∀i > n theo [[26], §3, Theorem 3.3.1]. Mặt khác x1, ..., xn là M -dãy chính qui nên H i

I(M ) = 0, ∀i < n theo [[26], §1, 1.3.9 (iv)]. Từ đó H s

I (M ) là (cid:3)

Khi đó I sinh bởi n phần tử nên H i

I-cofinite theo hệ quả 2.3.5.

Mệnh đề 2.3.7. Cho I là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn

I(M ) là

I (M ) Artin và H i

sinh, s là số nguyên dương bất kì, nếu H s

I (M ) là I-cofinite.

I-cofinite với mọi i < s thì H s

I (M ))

Chứng minh: Theo hệ quả 2.1.20 ta chỉ cần chứng minh 0 :H t

I có độ dài hữu hạn. Xét dãy phổ Grothendieck:

2 = Exti

R(R/I, H j

R (R/I, M )

I (M )) −−→

I(M )) = E0,t

Exti+j Ei,j

r−1

∼= E0,t ) nên Kerd0,t r−1

Khi đó 0 :H t với r đủ lớn, E0,t nữa Kerd0,t r−1 = Ker(E0,t mọi r 6= 3. Suy ra Kerd0,t ∼= E0,t 2 . Vì E0,t I (M )) I = HomR(R/I, H t r ∞ ∞ đẳng cấu với nhóm con của Extt R(R/I, M ) và hơn r−1 → Er−1,t−r+2 ∞ với r−1 hữu hạn sinh với r đủ lớn. Với mọi r 6= 3

ta có dãy khớp:

r−1 → E0,t

r−1 → Er−1,t−r+2

r−1

0 → Kerd0,t

r−1 hữu hạn là hữu hạn

2 ⊂ (cid:3)

⊂ Er−1,t−r+2 , từ giả thiết suy ra rằng E0,t

H t Vì Er−1,t−r+2 r−1 sinh với r đủ lớn. Tiếp tục quá trình trên ta thấy E0,t 2 cũng là Noether, E0,t sinh. Mặt khác, R là Noether nên E0,t 2 I(M ) nên là Artin. Từ đây suy ra E0,t 2 có độ dài hữu hạn.

Hệ quả 2.3.8. I là iđêan của R sao cho R/I là Artin, R là R-

I(M ) là I-cofinite với mọi i.

môđun hữu hạn sinh. Khi đó H i

I(M ) là Artin với mọi i theo [[26], §7, 7.1.4]. Vì H 0

Chứng minh: Trước hết ta có chú ý là Supp(H i

I(M )) ⊂ V (I), ∀i I (M ) = n∈N (0 :M I n) ⊂ M nên hữu hạn sinh, từ đó là Noether I (M ) I có độ dài hữu hạn. Theo hệ

và H i ΓI(M ) = S do R là Noether. Suy ra 0 :H 0

I (M ) là I-cofinite. Áp dụng 2.3.4 ta được H i

I(M ) là (cid:3)

quả 2.1.20, H 0

I-cofinite với mọi i.

Hệ quả 2.3.9. Cho (R, m) là vành địa phương, M là R-môđun

m(M ) là m-cofinite với mọi i.

Artin và hữu hạn sinh. Khi đó H i

Chứng minh: H i

m(M ) là Artin với mọi i theo [[26], §7, 7.1.3] và m(M ) = Γm(M ) là m-cofinite theo hệ quả 2.1.20. Áp dụng mệnh (cid:3)

H 0

đề 2.3.4 ta có ngay kết quả cần chứng minh.

Sau đây chúng ta có mối liên hệ giữa môđun F A và tính cofinite:

Mệnh đề 2.3.10. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan

của R, s là số nguyên dương sao cho H i

I(M ) là I-cofinite với mọi i < s và HomR(R/I, H s

I(M ) là F A với mọi i < s. I (M ))

Khi đó H i

là hữu hạn sinh.

Chứng minh: Vì R là Noether, M là hữu hạn sinh nên theo

I (M )) và H i

I (M ) I ⊂ H i

[[17], Theorem 2.5], HomR(R/I, H s

I(M ) là hữu hạn sinh I(M ) nên cũng hữu hạn sinh I(M )) ⊂ V (I), ∀i, do đó các F A (cid:3)

với mọi i < s. Lại vì 0 :H i với mọi i < s. Mặt khác, Supp(H i

I(M ) là I-cofinite với mọi i < t theo mệnh đề 2.1.9

môđun H i

Định lí 2.3.11. Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là

R(R/I, M ) là R- môđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu

số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho Exti

I(M ) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR(R/I, H s

I (M ))

hạn. Nếu H i

là hữu hạn.

Với s = 0 thì H 0 Chứng minh: Chúng ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo s. I (M ) ∼= ΓI(M ) và HomR(R/I, ΓI(M )) là hữu hạn

như là R-môđun HomR(R/I, M ).

R(R/I, ΓI(M )) là hữu hạn với mọi i. Sử dụng dãy khớp ngắn 0 −→ ΓI(M ) −→ M −→ M/ΓI(M ) −→ 0 chúng ta có được Exti

Giả sử s > 0 và định lý đúng cho trường hợp s − 1. Từ ΓI(M ) là I-cofinite chúng ta có Exti

I (M/ΓI(M )) = 0 và H i

R(R/I, ΓI(M )) là hữu hạn với mọi i ≤ s. I(M/ΓI(M )) ∼= H i I(M ) với mọi i > 0. Do vậy chúng ta có thể giả thiết rằng ΓI(M )) = 0. Gọi

R(R/I, N ) ∼= Exti+1

Mặt khác H 0

R (R/I, M ) (M ) với mọi i ≥ 0. Theo giả thiết quy nạp ta có

I(N ) ∼= H i+1

E là bao nội xạ của M và lấy N = E/M thì ta có ΓI(E) = 0 và HomR(R/I, E) = 0. Từ đó suy ra Exti và H i

I (M )) cũng (cid:3)

HomR(R/I, H s−1(N )) là hữu hạn vì vậy HomR(R/I, H s

là hữu hạn.

R(R/I, M ) và

Mệnh đề 2.3.12. Giả sử M là R-môđun sao cho Ext1

R(R/I, ΓI(M )) là các môđun hữu hạn. Khi đó HomR(R/I, H 1

I (M ))

Ext2

là hữu hạn.

Chứng minh: Bằng cách sử dụng dãy khớp

0 −→ ΓI(M ) −→ M −→ M/ΓI(M ) −→ 0

chúng ta có dãy khớp

R(R/I, M ) −→ Ext1

R(R/I, M/ΓI(M )) −→ Ext2

R(R/I, ΓI(M ))

Ext1

R(R/I, M/ΓI(M )) là hữu hạn. Mặt khác ta có

Do vậy môđun Ext1

dãy khớp

I (M ) −→ 0

0 −→ M/ΓI(M ) −→ DI(M ) −→ H 1

HomR(I n, −) từ đây ta thu được dãy khớp

I (M )) −→ Ext1

R(R/I, M/ΓI(M ))

trong đó DI(−) ∼= lim −→ HomR(R/I, DI(M )) −→ HomR(R/I, H 1

Ta có thành phần bên trái là 0 và thành phần bên phải là hữu hạn

I (M )) là hữu hạn.

(cid:3) cho ta HomR(R/I, H 1

R(R/I, M ) là hữu hạn với mọi i. Khi đó môđun đối đồng điều đầu tiên của M

Hệ quả 2.3.13. Giả sử M là R-môđun sao cho Exti

theo iđêan I mà không I-cofinite chỉ có một số hữu hạn các iđêan

nguyên tố liên kết.

Hệ quả 2.3.14. Giả sử M là R-môđun hữu hạn. Gọi s là số nguyên

I(M ) là hữu hạn với mọi i < s. Khi đó tập

không âm sao cho H i

I (M )) là hữu hạn.

AssR(H s

Trong phần tiếp theo này chúng ta xét (R, m) là vành

Noether địa phương. Cho I là một iđêan của R. Một R-môđun

M được gọi là m-cofinite nếu và chỉ nếu Supp(M ) ⊆ V (m) và

HomR(R/m, M ) là không gian vectơ hữu hạn chiều. Tập các m−cofinite

môđun như là một phạm trù abel ổn định dưới tác động của môđun

con, môđun thương và các mở rộng của nó, với dãy khớp T1 −→

T −→ T2 của các R-môđun, nếu T là m−cofinite thì ta có T1 và T2

cũng là m−cofinite.

Định nghĩa 2.3.15. Cho M là một R-môđun hữu hạn và I là một

iđêan của R. Chúng ta kí hiệu q(I, M ) là cận trên bé nhất i sao cho

I(M ) không là m-cofinite.

môđun H i

Định lí 2.3.16. Cho I là một iđêan thực sự của R và M, N là các

R-môđun hữu hạn sao cho SuppN ⊆ SuppM . Khi đó q(I, N ) ≤

q(I, M ).

I(M ) là m−cofinite

Chứng minh: Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng H i

với mọi i > q(I, M ). Bây giờ chúng ta chứng minh bằng qui nạp

lùi theo i với q(I, M ) < i ≤ dim(M ) + 1. Bởi vì với i = dim(M ) +

1, dim(M ) + 2, ... chúng ta không cần chứng minh.

Bây giờ giả sử rằng q(I, M ) < i ≤ dim(M ) theo định lý Gruson’s

có một dây chuyền

0 = N0 ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ ... ⊆ Nt = N

sao cho môđun thương Nj/Nj−1 đẳng cấu với tổng trực tiếp các bản

sao của M . Bằng cách sử dụng dãy khớp ngắn thích hợp chúng ta

có thể giả sử t = 1. Do vậy với số nguyên dương n và R-môđun hữu

hạn L ta có dãy khớp ngắn

0 −→ L −→ M n −→ N −→ 0

Từ đây chúng ta thu được dãy khớp dài dưới đây

I(L) −→ H i

I(M ) −→ H i

I(N ) −→ H i+1

... −→ H i (L) −→ ...

I(M n) là m−cofinite

Theo giả thiết qui nạp H i+1 (L) là m−cofinite. Vì H i

I nên chúng ta cũng có H i I(N ) là m-cofinite.

(cid:3)

Hệ quả 2.3.17. Cho dãy khớp ngắn 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0

các R-môđun hữu hạn. Khi đó

q(I, M ) = max{q(I, L), q(I, N )}

Chứng minh:

Theo mệnh đề 1.2.10 ta có SuppM = SuppN ∪ SuppL do vậy

SuppN ⊆ SuppM và SuppL ⊆ SuppM

Theo định lí 2.3.16 ta có

q(I, M ) ≥ q(I, L) và q(I, M ) ≥ q(I, N )

Vậy

q(I, M ) ≥ max{q(I, L), q(I, N )}

Mặt khác từ dãy khớp 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 ta có dãy khớp

I(L) −→ H i

I(M n) −→ H i

I(N ) −→ H i+1

... −→ H i (L) −→ ...

I(N ) cũng không m-

I(M ) không m-cofinite thì H i

suy ra, nếu H i

cofinite, do đó

q(I, M ) ≤ q(I, N )

(cid:3) Từ đây ta có q(I, M ) = max{q(I, L), q(I, N )}.

Bây giờ ta có hệ quả trực tiếp sau:

Hệ quả 2.3.18. Cho I là iđêan của R. Khi đó phát biểu dưới đây

là đúng

q(I, R) = sup{q(I, N )|N là R − môđun hữu hạn}

Định lí 2.3.19. Cho M là R-môđun hữu hạn. Khi đó phát biểu

dưới đây đúng

q(I, M ) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM }

Chứng minh:

Theo hệ quả 2.3.18 ta có q(I, R/p) ≤ q(I, M ) với mọi p ∈ Supp(M ).

Giả thiết phản chứng rằng dấu bằng không xảy ra ∀p ∈ Supp(M ).

Ta có dây chuyền

0 = M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn = M

các môđun con của M sao cho với mỗi i ta có Mi/Mi−1 pi ∈ Supp(M ). Đặt t = q(I, M ) chúng ta có H t ∼= R/pi với I(R/pi) là m−cofinite

với mọi 1 ≤ i ≤ n. Do vậy từ các dãy khớp ngắn

I(Mi−1) −→ H t

I(Mi) −→ H t

I(R/pi), i = 1, 2, ..., n

H t

Từ đây ta có q(I, M1) ≥ t, đây là điều mâu thuẫn.

Vậy dấu bằng xảy ra, hay

q(I, M ) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM }

Định lí 2.3.20. Cho I là iđêan của R và i ≥ 0 là số nguyên sao cho

I(R/J) là m−cofinite với mọi iđêan J của R. Khi đó q(I, R/p) < i với mọi p ∈ Supp(R). Đặc biệt q(I, M ) < i với mọi R−môđun hữu

H i

hạn M .

Chứng minh: Chúng ta chứng minh bằng qui nạp.

I (R/p) là m−cofinite với mọi p ∈ Supp(R). (R/p) không là m−cofinite

Với j ≥ i + 1 ta có H j Ta giả sử rằng, với j = i + 1, thì H i+1

với p ∈ Supp(R) nào đó, giả thiết rằng I 6⊆ p. Trước hết chúng ta

chỉ ra rằng Supp(H i+1 (R/p)) ⊆ V (m).

Giả sử ngược lại tồn tại phần tử x 6= 0 sao cho x ∈ H i+1 (R/p)

mà giá của nó không thuộc về V (m). Vì x linh hóa tử một lũy thừa

của I do đó tồn tại y ∈ I \ p sao cho yx = 0. Bây giờ chúng ta xem

-y

xét dãy khớp ngắn

R/p R/p R/(p + yR) 0 0

-y

cảm sinh ra dãy khớp ngắn

I(R/(p + yR))

(R/p) (R/p) H i H i+1 I H i+1 I

I(R/(p + yR)) = 0, suy ra (R/p) là đơn cấu. Mà yx = 0 suy ra x = 0 (mâu

Vì V (p + yR) ⊂ Supp(R) nên H i

I thuẫn). Do đó ta có Supp(H i+1

(R/p) → H i+1 H i+1 I

(R/p)) ⊆ V (m).

Tiếp theo ta chứng minh H i+1 (R/p) là m−cofinite, nghĩa là phải

(R/p)) là không gian vectơ hữu hạn chiều. chỉ ra HomR(R/m, H i+1

Gọi K là hạt nhân của đồng cấu bằng cách nhân y vào trong

-y

(R/p) và xét dãy khớp H i+1 I

(R/p) (R/p) 0 K H i+1 I H i+1 I

(R/p)),

Do y ∈ m nên ta có HomR(R/m, K) = HomR(R/m, H i+1 lại vì K là môđun thương của H i

I(R/(p + yR)) do đó là m−cofinite theo giả thiết quy nạp, do vậy K cũng là m−cofinite. Điều đó nghĩa là HomR(R/m, H i+1

(cid:3) (R/p)) là có số chiều hữu hạn.

2.4 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của

Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương

Bổ đề 2.4.1. Cho R là vành Noether và M là R-môđun. Khi đó

tập hợp

{x ∈ R|Mx là Rx − môđun hữu hạn sinh}

là một iđêan của R.

Chứng minh: Chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu Mx, My là các

Rx, Ry môđun hữu hạn sinh tương ứng thì Mx+y là Rx+y-môđun.

Lấy A, B là hai R-môđun con hữu hạn sinh của M sao cho Ax =

Mx và By = My. Chúng ta cần chỉ ra rằng (A + B)x+y = Mx+y.

Giả sử m ∈ M từ Rxm ⊂ Ax ta suy ra x ∈ p(A : m). Trong đó (A : m) = {r ∈ R|rm ∈ A}. Tương tự ta có y ∈ p(B : m), vì vậy x + y ∈ p(A + B : m).

(cid:3) Do vậy Rx+ym ⊂ (A + B)x+y.

Định nghĩa 2.4.2. Cho R là vành địa phương với số chiều d, I là

iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Với mỗi i = 0, 1, 2, ...

ta ký hiệu

I(M )x là Ix − cofinite}

Di(I, M ) := {x ∈ R|H i

Theo bổ đề trên ta có ngay Di(I, M ) là một iđêan của R. Hơn thế

d \

ta có

i=0

Di(I, M ) D(I, M ) :=

Chúng ta chú ý rằng nếu p là iđêan và p 6⊃ Di = Di(I, M ) thì

I(M )p là Ip−cofinite.

H i

Nhận xét 2.4.3. Cho R là vành Noether địa phương, I là iđêan

của R và M là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt Di =

Di(I, M ). Ta có

I(M ) là I-cofinite nếu và chỉ nếu Di = R;

(i). H i

(ii). Di là radical iđêan chứa I;

(iii). D0 = R;

(iv). dim R/Dn ≤ 0;

(v). dim R/Dn−1 ≤ 1.

(M ) là hữu hạn theo [[40], Corollary 2.5]. Chứng minh: Các ý (i) − (iv) là rỏ ràng, còn với (v) thì chúng ta biết rằng SuppRH n−1

Mệnh đề 2.4.4. Cho R là vành Noether, I là iđêan của R và M là

R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử rằng tồn tại số nguyên h ≥ 0 sao cho

I(M ) là I−cofinite

I(M ) là I−cofinite với mọi i 6= h. Khi đó H i

H i

với mọi i.

Chứng minh: Chúng ta xem xét dãy sau

2 = Extp

R(R/I, H q

I (M )) =⇒ Extp+q

R (R/I, M )

Ep,q

2 với mọi r ≥ 2, chúng ta giả thiết

Vì Ep,q là môđun thương của Ep,q

r rằng Ep,q

là hữu hạn sinh với mọi r ≥ 2, p ≥ 0 và q 6= h.

Với mỗi r ≥ 2 và p, q ≥ 0 lấy

r = ker(Ep,q Z p,q

r −→ Ep+r,q−r+1 r

r = Im(Ep−r,q+r+1 r

) và Bp,q −→ Ep,q r )

là hữu hạn sinh với mọi p, q và r ≥ 2, do đó hoặc Chú ý rằng Bp,q

r hoặc Ep,q

là hữu hạn sinh. Từ đây với mỗi r ≥ 2 và p ≥ 0 Ep−r,q+r+1

ta có hai dãy khớp

r −→ Z p,h

r −→ Ep,h

r+1 −→ 0

0 −→ Bp,h

và

r −→ Ep,h

r −→ Ep+r,q−r+1 r

0 −→ Z p,h −→ 0

∞ đẳng cấu với môđun thương của Extp+h

R (R/I, M ) do

Bây giờ Ep,h

đó là hữu hạn sinh với mọi p.

r = Ep,h

∞ với r đủ lớn suy ra Ep,h

Từ Ep,h là hữu hạn sinh với mọi p

r+1 là hữu hạn sinh. Từ dãy khớp thứ

và r đủ lớn. Cố định p và r giả sử rằng Ep,h

nhất chúng ta thu được Z p,h là hữu hạn sinh. Từ dãy khớp thứ hai ta

là hữu hạn sinh. Tiếp tục quá trình này ta có Ep,h là hữu hạn

2 = Extp

R(R/I, H R

i (M )) (cid:3)

có Ep,h sinh với mọi r ≥ 2 và với mọi p. Đặc biệt Ep,h

là hữu hạn sinh với mọi p.

Hệ quả 2.4.5. Cho R là vành Noether và I là iđean của R, M là R-môđun hữu hạn sinh và h ∈ Z.

I(M ) là I−cofinite

(i). Nếu R là vành địa phương và dim R ≤ 2 thì H i

với mọi i ≥ 0.

I(M ) là hữu hạn sinh với mọi i < h và H i

(ii). Giả sử H i

I(M ) = 0 I(M ) là I−cofinite với mọi i. Đặc biệt, nếu

với mọi i > h thì H i

I(M ) = 0 với mọi i > 1 thì H i

I(M ) là I−cofinite với mọi i.

H i

I(M ) = 0 với mọi i 6= h, h + 1 thì H h

I (M ) là

(iii). Giả sử rằng H i

I−cofinite nếu và chỉ nếu H h+1 (M ) là I−cofinite.

Chứng minh:

I (M ) và H d

I (M ) đều là I-cofinite theo

(i). Với d = dim R ta có H 0

[[5], Theorem 3].

(cid:3) (ii). và (iii). được suy ra trực tiếp từ mệnh đề 2.4.4.

Bổ đề 2.4.6. Cho R là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của

một vành Cohen − M acaulay, I là iđêan của R và M là R-môđun

hữu hạn sinh. Đặt n = dim M và r = dim M/IM . Giả sử rằng

(i). M là đẳng chiều và

(ii). M thỏa điều kiện Serre0s Sl với l ≤ n − r − 1.

I(M ) là hữu hạn sinh với i < l + 1.

Thì H i

Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng annR(M ) =

0, với M là một R−môđun đẳng chiều và có annR(M ) = 0. Do R là

đẳng chiều nên R là vành thương của một vành Cohen−M acaulay.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng R hoàn toàn tốt. Lấy p ∈ SpecR.

Nếu htp ≤ l thì

depthMp+ht(I+p)/p = htp+ht(I+p)/p = ht(I+p) ≥ htI = n−r ≥ l+1

Nếu htp > l và I 6⊂ p thì

depthMp + ht(I + p)/p ≥ l + 1

Do vậy

min{depthMp + ht(I + p)/p|p 6∈ V (I)} ≥ l + 1

I(M ) là hữu hạn sinh với mọi i < l + 1.

(cid:3) Từ đây ta có H i

Bổ đề 2.4.7. Cho (R, m) là một vành địa phương dây chuyền và

M là một R−môđun hữu hạn sinh không phân tích được thỏa mãn

điều kiện serre0s S2. Thì M là đẳng chiều.

Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta giả sử annR(M ) = 0.

Giả thiết phản chứng rằng M không phải là đẳng chiều, chúng ta

đặt các tập

X := {P ∈ MinR| dim R/P = dim R}

Y := {P ∈ MinR| dim R/P < dim R}

Xét

P ∈X

P ∈Y

\ \ I = P và J = P

Ta có I + J ⊆ m và ht(I + J) ≥ 1. Chúng ta cần phải chỉ ra rằng

ht(I + J) ≥ 2. Giả sử tồn tại Q chứa trong I + J thì nhất thiết

tồn tại P1 ∈ X và P2 ∈ Y sao cho P1 + P2 ⊆ Q. Do R là vành địa

phương dây chuyền và htQ/P1 = htQ/P2 = 1, vì vậy chúng ta có

dim R/P1 = dim R/Q + htQ/P1 = dim R/Q + htQ/P2 = dim R/P2

Từ đây chúng ta có mâu thuẫn.

Lại vì ht(I + J) ≥ 2 và M thỏa S2 suy ra

I+J (M ) = H 1

I+J (M ) = 0

H 0

Vì vậy theo dãy M ayer − V ietoris chúng ta thu được

I∩J

I (M ) ⊕ H 0

J (M )

M = H 0 ∼= H 0

I (M ) và H 0

J (M ) là khác 0 mâu thuẫn với M là không (cid:3)

Nhưng mà H 0

phân tích được. Bổ đề đã được chứng minh.

Nhận xét 2.4.8. Điều kiện M không phân tích được trong bổ đề là

rất cần thiết. Ta lấy thí dụ R = k[[u, v, w, x, y]] là vành các chuổi

lũy thừa trên trường k. Khi đó ta có M = R/(u, v) ⊕ R/(w, x, y) là

S2 nhưng không là đẳng chiều.

Mệnh đề 2.4.9. Cho R là một vành địa phương và là ảnh đồng cấu

của một vành Cohen − M acaulay, M là R−môđun hữu hạn sinh

có số chiều là n, I là iđêan của R sao cho dim M/IM ≤ 2. Giả

sử rằng n ≤ 4 hoặc M thỏa điều kiện Sn−3. Kí hiệu D = D(I, M ).

Chứng minh rằng

dim R/D ≤ 1

Chứng minh: Chúng ta xem xét trường hợp thứ nhất n ≤ 4.

Nếu n ≤ 3 lúc đó kết quả đúng theo định lý [2.4.12(i)]. Ta có thể

I(M ) là hữu hạn sinh với mọi i < 2 theo bổ đề [2.4.6]. Ta đặt

giả sử rằng dim R/p = 4, với mọi p ∈ AssR(M ) thì M thỏa S1 và H i

J = D3(I, M ) ∩ D4(I, M )

thì ta có dim R/J ≤ 1 theo nhận xét [2.4.3]. Bây giờ với mọi x ∈ J

ta có H i

I(M )x là Ix−cofinite với mọi i 6= 2, theo hệ quả [2.4.5] thì I(M )x là Ix−cofinite với mọi i và với mọi x ∈ J. Do đó J ⊂ D và

H i

dim R/D ≤ 1.

Nếu M là một R−môđun hữu hạn sinh tùy ý 4 chiều. Gọi N là

R−môđun con lớn nhất của M thỏa mãn dim N ≤ 3 lúc đó ta có

dim R/p = 4 với mọi p ∈ AssRM/N . Do vậy dim R/D(I, M/N ) ≤ 1

bằng lập luận tương tự. Ta đặt

I (N ) ∪ SuppRH 3

I (N ) và J = J1 ∩ D(I, M/N )

V (J1) = SuppRH 2

Theo nhận xét [2.4.3] ta có dim R/J ≤ 1.

I(M/N )x = 0 với mọi i > 1 và H i ∼= H i

I(M )x

Với mọi x ∈ J và H i

I(M/N )x là I(M/N )x với mỗi i > 1 do I(M )x là Ix-cofinite với mọi i > 1. Theo mệnh đề [2.4.4] ta có

Ix-cofinite với mọi i. Vì H i đó H i

I(M )x là Ix-cofinite với mọi i và x ∈ J, Vì vậy J ⊆ D.

H i

Bây giờ chúng ta xét trường hợp n ≥ 5 và M thỏa điều kiện Sn−3.

Không mất tính tổng quát có thể giả sử rằng M là không phân tích

được. Từ R là vành dây chuyền suy ra M là đẳng chiều theo bổ đề

I(M ) là hữu hạn sinh với mọi

[2.4.7], do vậy theo bổ đề [2.4.6] thì H i

i < n − 2. Đặt

J = Dn−1(I, M ) ∩ Dn(I, M )

ta có dim R/J ≤ 1 và với mọi x ∈ J, i 6= n − 2 do vậy H i

I(M )x là I(M )x là Ix−cofinite với (cid:3)

Ix−cofinite. Từ đây theo mệnh đề [2.4.4] H i

mọi i ≥ 0 và x ∈ J.

Mệnh đề 2.4.10. Cho R là vành U F D địa phương và dim R = 4, I

là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Gọi D = D(I, M ),

khi đó dim R/D ≤ 1.

Chứng minh:

Xét trường hợp thứ nhất htI ≥ 2.

Giả sử rằng M là một R−môđun không xoắn. Do R là miền nguyên

nên tồn tại R−môđun C và dãy khớp ngắn sau đây

0 −→ M −→ Rn −→ C −→ 0

I(R) = 0 với i = 0, 1. Bởi vậy H 1

I (M ) ∼= H 0

I (M ) là các R−môđun hữu hạn sinh. Đặt J = D3(I, M ) ∩ D4(I, M ) thì ta có dim R/J ≤ 1

trong đó n = rankM . Từ R thỏa mãn điều kiện S2 chúng ta có H i

và H i

I(M )x là Ix-cofinite với x ∈ J và i 6= 2. Theo mệnh đề [2.4.4] I(M )x là Ix−cofinite với mọi i và x ∈ J, Vì vậy J ⊆ D.

suy ra H i

Bây giờ lấy M là R−môđun tùy ý, gọi T là môđun con xoắn của

M khi đó ta biết rằng M/T là không xoắn và dim T ≤ 3. Đặt

J = J1 ∩ J2, trong đó

I (T ) ∪ SuppRH 3

I (T )

J1 = D(I, M/T ) và V (J2) = SuppRH 2

Thì ta có dim R/J ≤ 1. Với mỗi x ∈ J từ dãy khớp ngắn

0 −→ Tx −→ Mx −→ (M/T )x −→ 0

I(M )x

chúng ta thu được H i

I(M/T )x với mỗi i ≥ 2. Do vậy I(M )x

H i ∼= H i I(M )x là Ix-cofinite với mọi i 6= 1. Theo mệnh đề [2.4.4] H i

là Ix−cofinite với mọi i. Vì vậy dim R/D ≤ 1.

Xét trường hợp thứ hai htI = 1. √ I, với R là U F D, I = K ∩ (f ) Chúng ta có thể giả sử rằng I =

trong đó htK ≥ 2 và ht(K + (f )) ≥ 3. Đặt

J = D(K, M ) ∩ (K + (f ))

ta có dim R/J ≤ 1 theo trường hợp một. Với mỗi x ∈ J ta có

Kx + (f )x = Rx và (R/I)x ∼= (R/K)x ⊕ (R/(f ))x

Theo dãy M ayer − V ietoris chúng ta thu được

K(M )x ⊕ H i

I(M )x

(f )(M )x

H i ∼= H i

với mọi i. Hơn thế nữa ta còn có

R(R/(f ), H j

R(R/K, H j

K(M ))x

(f )(M ))x = 0 = Exti

Exti

với mọi i, j, với bất kỳ iđêan nguyên tố nào trong giá của chúng

chứa Kx + (f )x = Rx.

Từ tất cả các điều trên với mọi x ∈ J và mọi i, j ta có

R(R/I, H j

R(R/K, H j

R(R/(f ), H j

I (M ))x

K(M ))x⊕Exti

(f )(M ))x

Exti ∼= Exti

Hạng tử thứ nhất là hữu hạn sinh với x ∈ D(K, M ) và hạng tử

thứ hai là hữu hạn sinh theo hệ quả [2.4.5]. Vì vậy J ⊆ D(I, M ) và

(cid:3) dim R/D(I, M ) ≤ 1.

Mệnh đề 2.4.11. Cho R là vành địa phương không rẽ nhánh, I là

iđêan của R và M là R−môđun trung thành hữu hạn sinh. Giả sử

rằng dim R/I ≤ 3 và M thỏa điều kiện Sd−3 với d = dim R. Gọi

D = D(I, M ), khi đó dim R/D ≤ 1.

I(M ) là hữu hạn sinh với i < d−3. Ta lại giả (M )

Chứng minh: Theo mệnh đề [2.4.9] chúng ta giả sử rằng dim R/I =

3, vì theo bổ đề [2.4.6] H i sử rằng R/I là đẳng chiều lúc đó ta cần chỉ ra rằng SuppRH d−2 là hữu hạn sinh. Lấy Q ∈ SuppRH d−2 (M ) ta có htQ ≥ d − 2. Thật vậy theo định lý Hartshorne−Lichtenbaum V anishing T heorem

(R), vì Q là tối tiếu trong

(R) là tập hữu (R) nên Q ∈ AssRH d−2 (R). Mà AssRH d−2

thì ta có htQ ≥ d − 1 cũng như là dim RQ/IQ > 0. Nếu htQ = d − 1 thì Q ∈ SuppRH d−2 SuppRH d−2 hạn, do vậy lúc này chúng ta cần chỉ ra rằng dim R/Dd−2(I, M ) ≤ 1.

Đặt

J = Dd−2(I, M ) ∩ Dd−1(I, M ) ∩ Dd(I, M )

Thì ta có dim R/J ≤ 1 và với mọi x ∈ J, H i

I(R)x là hữu hạn sinh I(R)x là Ix−cofinite với mọi i ≥ 0 và

với mọi i 6= d − 3. Vì vậy H i

x ∈ J, theo mệnh đề [2.4.4]. Do đó J ⊆ D(I, M ).

Bây giờ ta giả sử rằng R/I không là đẳng chiều và giả thiết I = √ I và xét I = K ∩ L trong đó R/K là đẳng chiều. Chúng ta có

dim R/K = 3, dim R/L ≤ 2 và dim R/(K + L) ≤ 1. Bây giờ ta đặt

J = D(K, M ) ∩ D(L, M ) ∩ (K + L)

I(M ) ∼= H i

Thì ta có dim R/J ≤ 1 theo lập luận trước và mệnh đề [2.4.9]. Với

mỗi x ∈ J chúng ta có Kx + Lx = Rx và H i H i

K(M )x ⊕ L(M )x với mọi i. Lập luận theo trường hợp 2 của mệnh đề [2.4.10] I(M )x là Ix−cofinite với mọi i và x ∈ J. Do (cid:3)

chúng ta thu được H i

vậy J ⊆ D(I, M ) và dim R/D(I, M ) ≤ 1.

Từ nhận xét 2.4.3 và các mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 chúng ta có

định lý sau:

Định lí 2.4.12. Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M

là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt D := D(I, M ) và

giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây đúng:

(i). dim M ≤ 3;

(ii). dim R = 4 và R là miền nguyên chính;

(iii). R là vành thương của vành Cohen−M acaulay, dim M/IM ≤ 2

và hoặc là dim M ≤ 4 hoặc thỏa mãn điều kiện Serre0s Sn−3;

(iv). R là vành địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3 và M thỏa

Sd−3 ở đây d = dim R = dim M .

thì dim R/D ≤ 1.

Nhận xét 2.4.13. Cho (R, m) là vành địa phương, I là iđêan của

R và M là R−môđun. Đặt bR là m − adic đầy đủ của R.

bR(M ⊗R bR) là hữu hạn thì AssRM cũng hữu hạn.

(i). Nếu Ass

(ii). Nếu SuppRM ⊆ V (I) thì AssRM = HomR(R/I, M ).

Bổ đề 2.4.14. Giả sử rằng (R, m) là vành hoàn toàn địa phương

và {pi}i∈Z+ là tập đếm được các iđêan nguyên tố của R không chứa

trong I. Khi đó tồn tại phần tử x ∈ I sao cho nó không thuộc về pi

với mọi i.

Chứng minh: Không mất tính tổng quát chúng ta cần giả thiết

không có mối quan hệ bao hàm giữa các pi. Bằng quy nạp chúng ta

xây dựng dãy cauchy {x1, x2, x3, ...} ⊆ I như sau

Chọn x1 ∈ I sao cho x1 6∈ p1.

Giả sử rằng đã chọn được dãy x1, x1, x3, ..., xr−1 ∈ I sao cho với mỗi i, s mà i ≤ s ≤ r − 1 thì ta có xs 6∈ pi và xs − xi ∈ pi ∩ I i.

Nếu xr−1 6∈ pr chúng ta đặt xr = xr−1.

Nếu xr−1 ∈ pr chúng ta chọn yr sao cho

yr 6∈ pr nhưng yr ∈ p1 ∩ p2 ∩ ... ∩ pr−1 ∩ I

Khi đó đặt xr = xr−1 + yr−1 ta có xr ∈ I mà xr 6∈ pi, ∀i ≤ r. Rỏ

ràng ta có

r ∈ p1 ∩ p2 ∩ ... ∩ pr−1 ∩ I r−1

xr − xr−1 = yr−1

Hơn thế nữa với mọi i ≤ r − 1 ta có

xr − xi = xr − xr−1 + xr−1 − xi ∈ pi ∩ I i

r=1 là dãy cauchy trong R, vì R là hoàn toàn địa phương nên dãy trên có giới hạn x. Do các iđêan là đóng trong

Ta có dãy {xr}∞

m − adic tôpô suy ra x ∈ I. Tương tự như vậy, cố định một i ≥ 1

s=i cũng là dãy cauchy trong pi. Vì vậy x − xi ∈ pi (cid:3)

thì dãy {xs − xi}∞

với mọi i và rõ ràng x 6∈ pi.

Định lí 2.4.15. Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M

là R−môđun hữu hạn sinh n chiều. Giả sử rằng một trong các điều

kiện dưới đây được thỏa mãn:

(i). dim M ≤ 3;

(ii). dim R = 4 và m − adic đầy đủ của R là một U F D;

(iii). R là vành thương của vành Cohen − M acaulay, dim R/I ≤ 2

và hoặc dim M ≤ 4 hoặc M thỏa mãn điều kiện Sn−3;

(iv). R là vành chính quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3

và M thỏa điều kiện Sd−3 trong đó d = dim R = dim M .

R(N, H j I(M ) là tập hữu hạn với mọi i.

Lúc đó với mọi R−môđun hữu hạn sinh N sao cho SuppRN ⊆ V (I). Tập AssRExti I (M )) là hữu hạn với mọi i, j. Đặc biệt AssRH i

Chứng minh Theo nhận xét [2.4.13] chúng ta cần giả thiết rằng

R(N, H j

I (M )) là tập vô hạn với i, j nào đó. Theo định lý [2.4.12] dim R/D ≤ 1

R là đầy đủ. Giả thiết phản chứng rằng AssRExti

trong đó D = D(I, M ). Do vậy tồn tại tập con vô hạn đếm được

R(N, H j

I (M )) sao cho D 6⊂ pl với mọi l. Theo bổ đề [2.4.14] tồn tại x ∈ D sao cho x 6∈ pl với mọi l. Do x ∈ D, Extp

R(R/I, H q

các pl của AssRExti

R(N, H j

I (M ))x là một tập vô hạn, điều này dẫn đến mâu (cid:3)

I (M ))x là một Rx−môđun hữu hạn sinh với mọi I (M ))x là một Rx−môđun hữu hạn sinh. Nhưng vì x 6∈ pi với mọi i do đó AssRxExti thuẫn.

p, q. Vì vậy theo [[3], Lemma 4.2] chúng ta có Exti

Định lí 2.4.16. Cho (R, m) là vành địa phương, I là iđêan của R,

M là R−mođun hữu hạn sinh n chiều. Giả sử rằng một trong các

điều kiện dưới đây được thỏa mãn

(i). dim M ≤ 3;

(ii). dim R/I ≤ 2;

(iii). dim R = 4 và R là một U F D;

(iv). R là vành chính quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3

và M thỏa điều kiện Sd−3 trong đó d = dim R = dim M .

Lúc đó H i

I(M )p là Ip−cofinite với mọi p iđêan nguyên tố p của R. I(M )) là hữu hạn với mọi i, j và mọi iđêan

Hơn thế nữa cơ sở µi(p, H i

nguyên tố p của R.

Chứng minh:

Trường hợp (ii)

Theo [[5], Theorem 1] ta có dim RQ/IQ ≤ 1 với mọi Q 6= m.

Trường hợp (i), (iii), (iv)

Theo định lý [2.4.12] chúng ta có dim R/D ≤ 1 với D = D(I, M ).

I(M )p là

Vì vậy V (D) là tập hữu hạn và với mọi p 6∈ V (D), H i

I(M )) (cid:3)

Ip−cofinite với mọi i. Từ đây kết hợp với [[3], Lemma 4.2] chúng ta có được µi(p, H i

là hữu hạn với mọi i, j và mọi iđêan nguyên tố p của R.

Bổ đề 2.4.17. Cho Cho (R, m) là vành hoàn toàn địa phương, I

R(R/I, N ) có độ dài hữu hạn

là một iđêan của R, và N là R−môđun sao cho SuppRN ⊆ {m}. Giả sử rằng HomR(R/I, N ) là hữu hạn sinh. Khi đó N là Artin, I + annRN là m−nguyên sơ và Exti

với mọi i.

Chứng minh: Từ HomR(R/m, N ) là đẳng cấu với một môđun con

của HomR(R/I, N ) chúng ta có HomR(R/m, N ) là hữu hạn sinh. Do đó SuppRN ⊆ {m}, N là Artin và môđun đối ngẫu N ∗ của N là R−môđun hữu hạn sinh.

R(R/I, N )∗ ∼= T orR

i (R/I, N ∗). Như vậy HomR(R/I, N ) là hữu hạn sinh và Artin và nó có độ dài

Bây giờ theo [[13], Theorem 11.57] Exti

hữu hạn. Do đó R/I ⊗R N ∗ có độ dài hữu hạn và I + annR(N ∗) i (R/I, N ∗) là có độ dài là m−nguyên sơ. Điều đó cho chúng ta T orR (cid:3) hữu hạn với mọi i.

Mệnh đề 2.4.18. Cho (R, m) là miền nguyên Cohen − M acaulay

địa phương, chuẩn giải tích, có d−chiều. Giả sử

(i). dim R/I ≥ 2, và

(ii). dim R/Q = 1 với Q ∈ MinRR/I.

(R)) không là hữu hạn sinh. Khi đó HomR(R/I, H d−1

Chứng minh: Chúng ta có thể giả thiết rằng R là miền nguyên

J (R) = H d

(R)) là hữu hạn sinh. Cohen − M acaulay chuẩn đầy đủ. Giả sử phản chứng rằng HomR(R/I, H d−1 √ Với I = I và đặt I = J ∩ K với dim R/J = 1 và dim R/p ≥ √ J + K = m. Theo Hartshorne −

2 với mọi p ∈ MinRR/K và Lichtenbaum V anishing T heorem thì ta có H d K(R) = 0. Vì thế SuppRH h−1 K (R) ⊆ {m}, vì với mọi iđêan nguyên tố một chiều p chứa trong K đều có dim(R/K)p và Rp bất khả quy. Theo dãy

M ayer − V ietoris chúng ta có

m(R) −→ 0

K (R) −→ H d−1

0 −→ H d−1 (R) ⊕ H d−1 (R) −→ H d

Từ đây chúng ta có dãy khớp dài

K (R)) −→

0 −→ HomR(R/J, H d−1 (R)) ⊕ HomR(R/J, H d−1

m(R)) −→

HomR(R/J, H d−1 (R)) −→ HomR(R/J, H d

R(R/J, H d−1

K (R)) −→ ...

(R)) ⊕ Ext1 Ext1

(R)) là hữu hạn sinh và đẳng cấu như là môđun

K (R)) cũng là hữu hạn sinh và K (R) ⊆ {m}, áp dụng bổ đề 2.4.17 ta có được

K (R)) có độ dài hữu hạn với mọi i.

m(R)) là hữu hạn sinh. Cũng theo bổ đề 2.4.17 m(R) là m−nguyên sơ. Điều này dẫn đến (cid:3)

(R)) là hữu hạn sinh với (R)), theo định lý [[5], Theorem 1] ta R(R/J, H d−1

m(R) = 0.

Do HomR(R/J, H d−1 con của HomR(R/I, H d−1 được dim R/J = 1 và Ext1 mọi i. Hơn thế HomR(R/J, H d−1 ta có SuppRH d−1 R(R/J, H d−1 Exti Vì vậy HomR(R/J, H d chúng ta có J + annRH d mâu thuẫn do annRH d

I (R)) không là hữu I(R) không là I−cofinite với i = 1, 2 theo mệnh

Ví dụ: Cho R = k[x, y, z](x,y,z) với k là trường. Đặt I = ((x) ∩ (y, z))R. Khi đó HomR(R/I, H 2 hạn sinh. Vì vậy H i

đề [2.4.4].

Ví dụ: Cho R = k[x, y, z, u, v](x,y,z,u,v) với k là trường.

I(R))P không là RP -môđun hữu hạn sinh theo mệnh đề [2.4.18]. Vì vậy HomR(R/I, h2

I(R))Q không là RQ-môđun hữu hạn sinh với bất kỳ

Đặt I = ((x)∩(y, z))R và P = (x, y, z)R. Khi đó HomR(R/I, h2

iđêan nguyên tố Q của R chứa trong P .

Định lí 2.4.19. Cho (R, m) là miền nguyên Cohen − M acaulay

(R)) địa phương, chuẩn giải tích. I là iđêan của R sao cho dim R/I ≥ 2. Nếu SpecR/I − {m/I} là không rời rạc thì HomR(R/I, H d−1

không là hữu hạn sinh.

Chứng minh: Chúng ta có thể giả thiết rằng R là miền nguyên

I ⊆ {m}. Vì mọi iđêan nguyên tố p có độ cao d − 1 chứa

Cohen − M acaulay chuẩn đầy đủ. Theo mệnh đề [2.4.18] chúng

ta có thể giả sử dim R/Q ≥ 2 với mọi Q ∈ MinRR/I. Do vậy SuppRH d−1 trong I ta đều có dim(R/I)p > 0 và Rp bất khả quy.

Lại vì SpecR/I − {m/I} là không rời rạc và theo dãy M ayer −

m(R). (R) = 0. Vì vậy

V ietoris ta thu được toàn cấu H d−1

I −→ H d m(R) = 0 chúng ta có annRH d−1

Từ annRH d

(R)) HomR(R/I, H d−1

(cid:3) không là hữu hạn sinh theo bổ đề [2.4.17].

Ví dụ: Cho k là trường và R = (k[x, y, u, v]/(xu − yv))(x,y,u,v).

I (R)) không là hữu

Đặt I = (x, y)R ∩ (u, v)R. Khi đó HomR(R/I, H 2

hạn sinh.

Kết Luận

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày được một số kết quả chủ

yếu như sau:

♦ Định nghĩa và một số tính chất của môđun cofinite được trình

bày trong các mệnh đề 2.1.2, 2.1.5, 2.1.7, 2.1.12, 2.1.16,2.1.17.

♦ Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của F A và AF môđun

được trình bày trong các định lý 2.2.3, 2.2.5.

♦ Một số đặc trưng của tính cofinite của môđun đối đồng điều địa

phương được trình bày trong các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7, 2.3.10,

2.3.12 định lý 2.3.11, 2.3.19.

♦ Xét về iđêan nguyên tố liên kết và tính cofinite của môđun đối

đồng điều địa phương được trình bày trong các định lý 2.4.12

và 2.4.15.

(R)) ♦ Luận văn cũng chỉ ra một số trường hợp tập HomR(R/I, H d−1

không là hữu hạn sinh.

Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không tránh khỏi

những thiếu sót. Tôi rất mong những ý kiến đóng góp, phê bình và

bổ sung của quý Thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh.

Tài liệu tham khảo

[1] Bourbaki, Commutative Algebra, Hermann, Publishers in Arts

and Science, 1972.

[2] R. Belshoff, S. -P. Slattery and C.Wickham, The local coho-

mology modules of Matlis reflexive modules are almost cofinite,

Proc. Amer. Math. Soc., 124 (1996), 2649Ọ2654.

[3] C. Huneke, J. Koh, Cofiniteness and vanishing of local cohomol-

ogy modules, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 110 (1991)

421-429.

[4] C. U. Jensen, Les functeurs Dérivés de lim et leurs Applica-

tions en Théories des Modules, Springer-Verlag Berlin Heidel-

berg New York, 1972.

[5] D. Delfino, T. Marley, Cofinite modules and local cohomology,

J.Pure Appl.Algebra 121 (1997) 45-52.

[6] D. G. Northcott, Introduction to Homological Algebra, Cam-

bridge University Press, 1966.

[7] D. G. Northcott, Homological Algebra, Cambridge University

Press, 1973.

[8] D. G. Northcott, Multilinear algebra, Cambridge University

Press, 1984.

[9] E. Matlis, Injective modules over Noertherian rings, Pac. J.

Math. 8, 511-528 (1958).

[10] H. Cartan, S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton Uni-

versity Press, Princeton, 1956.

[11] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univer-

sity Press 1986.

[12] H. Matsumura, Commutative Algebra-Second Edition, The Ben-

jamin/Cummings Publishing Company, Inc. 1980.

[13] J. Rotman, An introduction to Homological Algebra, Academic

Press, San Diego, 1979.

[14] Jan R. Strooker, Homological Questions in Local Algebra, Cam-

bridge University Press, 1990.

[15] K-I. Kawasaki, Cofiniteness of local cohomology modules for

principal ideals, Bull. London Math. Soc. 30 (1998) 241-246.

[16] K-I. Yoshida, Cofiniteness of local cohomology modules for ide-

als of dimension one, Nagoya Math. J. 147 (1997) 179-191.

[17] K. Bahmanpour, R. Naghipour, On the cofiniteness of local co-

homology modules, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008) 2359-

2363.

[18] K. Bahmanpour, R. Naghipour, Cofiniteness of local cohomol-

ogy modules for ideals of small dimension, Journal of Algebra

321 (2009) 1997Ọ2011.

[19] L. Melkersson, P. Schenzel The co-localization of artinian mod-

ules, Proceedings of Edinburgh Mathematical Society (1995)

38, 121-131.

[20] L. Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals

connected with the powers of an ideal, Math. Proc. Cambridge

Philos. Soc. 107 (1990) 267-271.

[21] L. Melkersson, Some applications of a criterion for artinianess

of a modules, J. Pure Appl. Algebra 101 (1995) 291-303.

[22] L. Melkersson, Properties of cofinite modules and applications

to local cohomology, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 125

(1999) 417-423.

[23] L. Melkersson, Modules cofinite with respect to an ideal, J. Al-

gebra 285 (2005) 649-668.

[24] M.T. Dibaei, S. Yassemi, Associated primes and cofiniteness of

local cohomology modules, arXiv:math.AC/0405499 v3 31 May

2004.

[25] T.Marley and J.C. Vassilev, Cofiniteness and Associ-

ated primes and cofiniteness of local cohomology modules,

arXiv:math.AC/0209216 v1 17 Sep 2002.

[26] M. Brodmann, R. Y. Sharp, Local cohomoly: An introduc-

tion with Geometric Applications, Cambridge University Press,

Cambridge, UK, 1998.

[27] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative

Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1969.

[28] Nguyen Tu Cuong, Tran Tuan Nam, The I -adic completion

and local homology for Artinian modules, Math. Proc. Camb.

Phil. Soc. (2001), 131, 61.

[29] Nguyen Tu Cuong, Tran Tuan Nam, A local homology theory

for linearly compact modules, Journal of Algebra 319 (2008)

4712Ọ4737.

[30] R. Hartshorne, Cohomological dimension of algebra varieties,

Ann. of Math. 88 ( 1996) 403-450.

[31] R. Hartshorne, Affine duality and cofiniteness, Invent. Math. 9

(1970) 145-164.

[32] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag New York

Inc, 1977.

[33] R. Y. Sharp, On the attached prime ideals of certain artinian

local cohomology modules.....

[34] S. D. Mac Lane, Homology, Academic Press, New York 1963.

[35] S. Greco, P. Salmon, Topics in m-adic Topologies, Springer-

Verlag Berlin Heidelberg New York, Inc. 1971.

[36] S. Lang, Algebra, Springer-Verlag New York, Inc. 2002.

[37] S. T. Hu, Homology theory, Holden-Day, San Francissco, 1964.

[38] S. Yassemi, Coassociated primes, Comm. Algebra 23 (4) (1995)

1473-1498.

[39] S. Yassemi, Cofinite modules, Comm. Algebra 29 (6) (2001)

2333-2340.

[40] T. Marley, The associated primes of local cohomology modules

over rings of small dimension, Manuscripta Math. 104, 519-525

(2001).

[41] T. Marley, J. Vassilev, Cofiniteness and associated primes of

local cohomology modules, J. Algebra 256 (2002) 180-193.

[42] Tran Tuan Nam, Ideal co-transforms of linearly compact mod-

ules, East-West J. of Mathematics: Vol. 6, No 2 (2004) pp.173-

183.

[43] Tran Tuan Nam, On the finiteness of co-associated primes of

local cohomology modules, J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ)

00-0 (2008), 000-000.

[44] Tran Tuan Nam, Co-support and Coartinian Modules, Algebra

Colloquium 15 : 1 (2008) 83Ọ96.

[45] W. Vasconcelos, Divisor Theory in Module Categories, Noth-

Holland, Amsterdam, 1974.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về iđêan nguyên tố liên kết và tính confinite của môđun đối đồng điệu địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh

VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ

TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI

ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành : ðại số và lý thuyết số Mã số

60 46 05

:

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh

VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ

TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI

ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành : ðại số và lý thuyết số Mã số

60 46 05

:

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN TUẤN NAM

Lời Cảm Ơn

Mở Đầu

Mục lục

Chương 1

Kiến Thức Chuẩn Bị

Chương 2

Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và

Tính Cofinite Của Môđun Đối

Đồng Điều Địa Phương

Kết Luận

Tài liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Độ nhạy của nghiệm hữu hiệu và điều kiện tối ưu

Luận văn Thạc sĩ: Đa thức chia đường tròn và ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ: Đa thức hilbert và chiều noether cho môđun artin

Luận văn Thạc sĩ: Đa thức hoán vị được

Luận văn Thạc sĩ: Đa thức đối xứng và các hệ phương trình đối xứng và bất đẳng thức liên quan

Luận văn Thạc sĩ: Một số tính chất của đa thức đối xứng và ứng dụng trong đại số

Luận văn Thạc sĩ: Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether

Luận văn Thạc sĩ: Cơ sở Wavelet trong không gian L2(R)

Luận văn Thạc sĩ: Cực trị của một số hàm nhiều biến có các dạng đặc biệt

Luận văn Thạc sĩ: Chuỗi luỹ thừa hình thức và hàm sinh

Luận văn Thạc sĩ: Cải tiến phương pháp đơn hình giải quy hoạch tuyến tính

Luận văn Thạc sĩ: Cận sai số cho bất đẳng thức lồi

Luận văn Thạc sĩ: Cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Affine

Luận văn Thạc sĩ: Dưới vi phân suy rộng và ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ: Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2, R)

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ: Giải một số bài toán sơ cấp thông qua số phức và hàm phức

Luận văn Thạc sĩ: Giải một số dạng bài toán thi đại học, cao đẳng bằng công cụ số phức

Luận văn Thạc sĩ: Giải và biện luận phương trình bậc ba trong trường số thực và áp dụng

Luận văn Thạc sĩ: Gradient suy rộng và ứng dụng vào bài toán tối ưu không trơn

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền