Luận văn Thạc sĩ Toán học: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Lê Đình Nghĩa IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

Mục Lục

Lời cảm ơn ....................................................................................................... 3

Phần mở đầu .................................................................................................... 4

Bảng kí hiệu ..................................................................................................... 8

Chương 1: Kiến thức cơ sở ............................................................................. 9

1.1. Iđêan nguyên tố liên kết ......................................................................... 9

1.2. Độ cao của một iđêan ........................................................................... 10

1.3. Chiều của một iđêan ............................................................................. 10

1.4. Độ sâu của mô đun ............................................................................... 11

1.5. Vành Cohen – Macaulay ...................................................................... 13

1.6. Vành phân bậc ...................................................................................... 13

1.7. Hàm tử xoắn ......................................................................................... 14

1.8. Mô đun đối đồng điều địa phương ....................................................... 16

1.9. Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương .................... 18

Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô

đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé ........................................... 20

2.1. Khái niệm về sự ổn định tiệm cận ........................................................ 20

2.2. Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần

phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương. ........................................... 21

2.3. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1. 21

2.4. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc trong mô đun đối

đồng điều nửa địa phương có số chiều 2. ........................................................ 28

KẾT LUẬN .................................................................................................... 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 36

Lời cảm ơn

Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành

phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS. TS. Trần

Tuấn Nam thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp

này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành

luận văn này.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T.S Trần

Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong

Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận

tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả

những người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên

cứu.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012

Học viên

Lê Đình Nghĩa

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

= ⊕ trong đó họ

R n

(R ) ≥ là họ các vành Noether, R + =

n n 0

≥

là một iđêan của R và M là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh.

⊕ > n 0

Cho

RH (M)

là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với R+ được

là thành phần

i R

RH (M)

)

, tập hợp là tập hợp các phân bậc thứ n của mô đun trang bị tính phân bậc tự nhiên. Với mỗi n ∈ ta có RH (M) ( Ass H (M)

RH (M ) n

. Trong quá trình nghiên cứu và tìm iđêan nguyên tố liên kết của

RH (M)

các nhà toán học đã thu hiểu về mô đun đối đồng điều địa phương

RH (M)

và một trong được nhiều kết quả hết sức thú vị và đặc biệt về mô đun

những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp

i R

. Đi đầu trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của

i R

( Ass H (M) ( Ass H (M)

) )

là nhà toán học M. Brodmann, M. Brodmann đã chứng

minh được một số kết quả quan trọng:

là hữu hạn sinh với mọi j < i, thì ta có (1) [2.2.1] “ Nếu R – mô đun

i R

RH (M) ( Ass H (M)

)

sự ổn định tiệm cận thứ i của ”.

(2) [2.2.2] “ Nếu R0 là vành (nửa địa phương) địa phương và có dim(R0) ≤

i R

( Ass H (M)

)

1 thì chúng ta có tập hợp ổn định tiệm cận tại mọi i”,

i R

( Ass H (M)

sự ổn định tiệm cận của thay đổi như thế nào? Trong Vấn đề đặt ra ở đây là trong kết quả (2) khi mở rộng thêm giả thiết thì )

trường hợp R0 không là địa phương thì chúng ta có sự ổn định tiệm cận hay

không hoặc cần bổ sung những điều kiện gì nữa để tính ổn định tiệm cận vẫn

i R

( Ass H (M)

vẫn ổn định tiệm cận? kiện gì của R0 để cho còn? Trong trường hợp không có điều kiện địa phương thì cần những điều )

Năm 2003 trong một bài báo của M. Bordmann, S. Fumasoli, và C.S.

Lim đã trả lời cho những câu hỏi trên một cách chính xác. Kết quả được thể

hiện trong các định lý sau.

Để mở rộng (2) trong trường hợp bỏ đi tính địa phương R0, chúng ta

cần thêm một số điều kiện nhỏ thể hiện trong các kết quả sau:

∩ =

q 0

0A 0

0q của R0. Thì với mỗi i∈ .

i Τ = Τ

∩ ≤

(3) [2.3.3] Giả sử R0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền nguyên A0 sao cho

R) 1}

(M) : { Ass (H (M)) | ht( R

i R

∈

(M) : {

Ass

(H (M) ) | ht(

≤ ) 1}

là hữu hạn. (i) với mỗi iđêan tối tiểu p = ∈

i Τ = Τ n

i n

i R

p 0

(ii) ổn định tiệm cận.

i∈ .

i Τ = Τ

∩ ≤

(4) [2.3.6] Giả sử R0 chủ yếu hữu hạn trong một trường. Thì với mỗi

R) 1}

p = ∈

(M) : { Ass (H (M)) | ht( R

i R

∈

(M) : {

Ass

(H (M) ) | ht(

≤ ) 1}

(i) là hữu hạn.

i Τ = Τ n

i n

i R

p 0

(ii) ổn định tiệm cận.

dim(R ) 1≤ 0

Trong trường hợp đặc biệt, khi ta có kết quả:

dim(R ) 1≤ và R0 hoặc là vành nữa đơn hoặc là mở rộng

(5) [2.3.9] Giả sử

của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trên một trường. Thì với

(

) i Ass (H M ) R

mỗi i∈ . (i) là hữu hạn.

(

)

i Ass (H M ) R n

ổn định tiệm cận. (ii)

dim R 2

(

)0 =

Ngoài ra còn có một hướng mở rộng (2) trong trường hợp

nhưng vẫn giữ nguyên tính địa phương của R0, ta có kết quả yếu hơn:

dim

(

)0R

2= . Với i∈ . Thì

(6) [2.4.7] Giả sử R0 là vành nửa địa phương với

RH (M)

là thuần hóa.

Đặc biệt, khi thêm vài điều kiện nhỏ thì ta có kết quả:

dimR 2≤ . Nếu R0 hoặc

(7) [2.4.8] Giả sử R0 là vành nửa địa phương với

mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn

i R

( Ass H (M)

)

ổn định tiệm trong một trường. Thì với mọi i∈ tập hợp

cận.

Những vấn đề trên có vai trong quan trọng trong chuyên ngành đại số,

đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều

nhà toán học.

2. Mục đích của đề tài

Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về

đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên

cứu, sau đó trình bày lại chi tiết các bài chứng minh cho các kết quả (3), (4).

Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết

quả (6), (7).

3. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

Bài nghiên cứu sẽ trình bày một vài khái niệm cơ bản cùng các kiến

thức hỗ trợ và tập trung làm việc trên tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của

các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương

i R

( Ass H (M)

)

để thấy rõ tính chất ổn định tiệm cận hoặc những tính chất

khác của nó. Đặc biệt là bài nghiên cứu dừng ở mức độ số chiều của R0 thấp

0,1,2 cũng như chỉ thêm vào R0 những điều kiện nhỏ và cần thiết.

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số

đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau.

Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần

này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh các

kết quả (3), (4) cùng với hệ quả liên quan. Phần 2 trình bày các bổ đề liên

quan sau đó dẫn đến kết quả (6), (7).

Bảng kí hiệu

{0,1,2...}

- tập hợp các số tự nhiên

{...,-1,0,1,2...}

= = ⊕ - tổng trực tiếp của họ các vành Rn ≥ n 0

- tập hợp các số nguyên

Spec(R) - tập hợp các iđêan nguyên tố của R

V( )a - tập hợp các iđêan nguyên tố chứa a

1S R−

R/p – vành thương của R theo p

R p - vành địa phương tại p.

Spec(R ) | M 0}

( = ∈ Supp M { p

)

≠p

Var(

) Supp

(

) m

- vành các thương của vành R theo tập con nhân S

dim

(

)0R

Ann(M) - linh hóa tử của M

R [l ,l ,...,l ] - vành đa thức lấy hệ số trên R0

inf{i

} ...

∈ - cận dưới đúng của một tập hợp

} ...

sup{i

∈ - cận trên đúng của một tập hợp ( Hom A,B

)

- số chiều của vành R0

- tập hợp tất cả các đồng cấu từ A đến B

Chương 1: Kiến thức cơ sở

1.1. Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun. Một

iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó

thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau:

(i) Tồn tại một phần tử x∈M sao cho Ann(x) = p. (ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p.

Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu AssR(M).

Tính chất 1.1.2. Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) |

x∈M, x ≠ 0}. Thì p ∈AssR(M).

Hệ quả 1.1.3. AssR(M) = 0 ⇔ M = 0

M ' S M−=

∩

f (Ass (M ')) Ass (M)

R ' S R−= } ∩ = ∅ S

{ p p |

Ass (M ') R

R '

→

Hệ quả 1.1.4. Giả sử S là tập con nhân của R. Đặt , . Thì

Spec(R)

∈

⊆

là một đồng cấu.

Ass (M), R

{ R | pq

} p

( Ass M R p

Đặc biệt, Trong đó f :Spec(R ') )

⊆ SuppR(M), và với mọi phần tử tối tiểu của SuppR(M) đều nằm trong

Định lý 1.1.5. Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun. Thì AssR(M)

AssR(M).

Hệ quả 1.1.6. Giả sử I là iđêan của vành R. Thì iđêan nguyên tố liên kết tối

tiểu của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.

⊂ ⊂

⊂

Định lý 1.1.7. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh,

= M M

M 0≠ . Thì tồn tại dãy các mô đun con

(0) M ... M 0

− n 1

≤ ≤

sao

∈ i Spec(R),1 i n. p

R ≅ p với mọi

M − i 1

→ → → → là một dãy khớp các R – mô đun

cho

∪

⊆

Bổ đề 1.1.8. Nếu 0 M ' M M ''

. thì khi đó Ass(M ') Ass(M) Ass(M ') Ass(M '')

Tính chất 1.1.9. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh.

⊆ RAss (M) V(Ann(M))

và mỗi phần tử tối Thì AssR(M) là hữu hạn. Hơn nữa,

RAss (M) . Vì thế Ann(M) là giao các iđêan

tiểu của V(Ann(M)) đều thuộc

nguyên tố liên kết của M.

⊆

∪

⊆ Ass (N) Ass (M)

Ass (M / N) Ass (N)

Tính chất 1.1.10. Nếu N là R – mô đun con của M. Thì

1.2. Độ cao của một iđêan

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử R là một vành. Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan

....

p được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n. n

p 0

⊃ ⊃ ⊃ ⊃ p 2

p 1

nguyên tố

Spec(A)

∈p

0=p p

Nếu , thì cận trên của chuỗi nguyên tố với được gọi là độ

cao của p kí hiệu là: ht( p).

Nhận xét 1.2.2.

(i) Nếu ht( p) = 0 điều đó có nghĩa p là một iđêan nguyên tố tối tiểu

của R.

(ii) Nếu I là một iđêan của R. Độ cao của I là độ cao thấp nhất của

inf{ht( )|

⊇p p

iđêan nguyên tố chứa I. Tức là: ht(I)

1.3. Chiều của một iđêan

Định nghĩa 1.3.1. Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của

dim(R)

sup{ht( ) |

Spec(R)}

∈pp

độ cao của các iđêan nguyên tố trong R.

Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất

trong R.

∈

= (i) ht( ) dim(R ),

Spec(R)

Nhận xét 1.3.2.

dim(

≤ + ) ht(I) dim(R)

(ii) Với mọi iđêan I của R ta có:

Tính chất 1.3.3. Giả sử M 0≠ là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun

Ann(M) . Tức là:

Ann(M)

dim(M) dim  =  

  

M được định nghĩa là chiều của vành thương R

Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1.

Tính chất 1.3.4. Với R là vành Noether và M 0≠ là hữu hạn trên R thì ta có

các điều kiện tương đương sau:

(i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn.

Ann(M) là vành Artin.

(ii) Vành R

(iii) dim(M) = 0.

1.4. Độ sâu của mô đun

Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu

R∈ được gọi là dãy M – chính quy

1a ,...,a

hạn sinh khác 0. Dãy các phần tử

nếu:

≠ 0

(a ,...,a )M

(i)

(a ,...,a )M - chính quy, với mọi i 1,..,n

. (ii) ai là phần tử

Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy. M – dãy không có phần tử nào gọi

là M – dãy có độ dài 0.

Lưu ý 1.4.2.

(i) a R∈ là phần tử M – chính quy nếu a không là ước của 0 trong M.

R∈ được gọi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi

1a ,...,a

(ii)

≠ và 0

)

∈p

MAss ( R

ia ∉p với mọi

(a ,...,a )M

với mọi

= i 1,..,n

Định nghĩa 1.4.3. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu

hạn sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M M≠ a và

1a ,...,a là M – n n 1a + ∈a sao cho

a ,...,a ,a + là M – dãy chính quy có độ dài n + 1. 1

n 1

dãy chính quy tối đại trong a nếu không tồn tại phần tử

Định nghĩa 1.4.4. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu

hạn sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M M≠ a . Khi đó mọi dãy

chính quy của M trong a đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại

trong a và các dãy chính quy tối đại của M trong a có cùng độ dài. Độ dài

này gọi chung là độ sâu của M trong a .

Kí hiệu là depth(a , M).

Nhận xét 1.4.5.

≠

chính quy Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại m . Khi đó mọi M – dãy 1a ,...,a phải có các phần tử thuộc m , đơn giản vì

M≠ m theo bổ đề Nakayama. Do đó dãy

1M (a ,...,a )M

. Chú ý ta có M

các phần tử của R là M – dãy chính quy khi và chỉ khi nó là M – dãy chính

quy trong m . Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của

M và kí hiệu là: depth(M).

1.5. Vành Cohen – Macaulay

Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành Noether địa phương và M là R – mô đun

hữu hạn sinh. M được gọi là Cohen – Macaulay (CM) nếu M 0≠ và depth(M)

= dim M.

Nếu R là R – mô đun Cohen – Macaulay thì R được gọi là vành Cohen –

Macaulay.

Định nghĩa 1.5.2. Cho R là vành Noether ta gọi R là vành CM nếu R m là

vành CM địa phương với mọi iđêan tối đại m của R.

Tính chất 1.5.3. Cho R là vành Noether địa phương. M là CM R – mô đun.

Thì

∈p

( Ass M

)

(i) Với mọi , depth M = dim R/p.

(ii) x = x1, x2,…xn là một M – dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M – r.

Tính chất 1.5.4. R là vành Noether M là R – mô đun hữu hạn sinh. Giả sử x

là một M – dãy. Nếu M là CM thì M/xM cũng CM.

Đặc biệt, nếu R là vành địa phương và M/xM là CM thì M là CM.

1S M−

Tính chất 1.5.5. Cho M là CM và S là tập con nhân đóng trong R. Thì

1S R−

SuppM

∈p

là CM - mô đun. Đặc biệt, Nếu thì Mp là CM R p- mô đun.

Supp M

Tính chất 1.5.6. Cho R là vành Noether và M là CM R – mô đun hữu hạn

∈p

(

)

với mọi . sinh. Thì dim M dim M dim M / M

1.6. Vành phân bậc

= ⊕ trong đó

R R

R +⊆

n m

≥ n 0

Định nghĩa 1.6.1. Vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có dạng:

Định nghĩa 1.6.2. Một R - mô đun phân bậc là một R – mô đun M nếu

⊆ R M M + m n m

= ⊕ ∈ n Z

sao cho

Nhận xét 1.6.3.

Một đồng cấu của R – mô đun phân bậc là một đồng cấu f : M N→ sao

f (M ) N⊆ n

cho với mọi n 0≥ .

= ⊕ ∩

Một mô đun con N của M được gọi là mô đun con phân bậc nếu

(N M ) n

N cũng là R - mô đun

= ⊕

Nếu N là mô đun con phân bậc của M thì M

∩ N M

. phân bậc

R +

= ⊕ > n 0

là một iđêan của R. Nếu R là vành phân bậc thì

Tính chất 1.6.4. Cho R là vành phân bậc, các mệnh đề sau tương đương:

(i) R là vành Noether.

(ii) R0 là vành Noether và R là R0 – đại số hữu hạn sinh.

Nhận xét 1.6.5.

= ⊕ thì tồn tại các phần tử 1

l ,l ,...,l r

≥ n 0

Cho R là một vành phân bậc

R R [l ,l ,...,l ] 1 r

1R∈ sao cho Tính chất 1.6.6. Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R – mô

đun phân bậc khi đó.

(i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M là iđêan phân bậc và tồn tại

∈p

một phần tử thuần nhất x của M sao cho p = Ann(x).

(0)

Q( )

chúng ta có thể chọn một p – nguyên sơ phân (ii) Với mỗi Ass(M)

p .

Ass(M)

bậc Q( )p sao cho

=  ∈ p

1.7. Hàm tử xoắn

= ∈

∃ ∈

Định nghĩa 1.7.1. Cho M là một R – mô đun, tập hợp

(M)

(0:

) {m M | n

, m 0}

là mô đun con của M.

Γ a

a

 ∈ n N

Nếu f : M N→ là đồng cấu các R - mô đun.

(M)

(N)

Thì ta có f

Γ a

⊆ Γ a

 

 

(M)

⇒ ∃ ∈ n

= x 0

Thật vậy với mọi

∈Γ a

a :

= ⇒

f (x) 0

n f ( x) 0

. Khi đó

(f )

(M)

(N)

. Ta định nghĩa ánh xạ

Γ a

→ Γ a

(M)

f | Γ a

Γ −a ( )

Thì là một hàm tử hiệp biến trong phạm trù các R – mô đun.

Γ −a ( )

Ta gọi là hàm tử a – xoắn.

Bổ đề 1.7.2. Cho a là một iđêan của vành Noether R. Giả sử M là hữu hạn

≠

sinh. Các phát biểu sau đây là đúng:

(M) 0

ZD(M)

⊆a

nếu và chỉ nếu . (i)

Γ a

= ∈ ∃ ≠ ∈ Trong đó ZD(M) {a R: 0 m M sao cho a.m = 0}

Ass

(M) Ass(M) V( )

(M) Ass(M) \ V( )

a và

a .



(

)

( Ass M /

)

(ii)

Γ a

Γ −a ( )

Tính chất 1.7.3. bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn.

g → → → là dãy khớp.

Chứng minh

Cho

Γ −a ( )

→

Tác động và ta được

Γ (f ) → a

Γ (g) → a

(M)

(N)

(L)

Γ a

(f )

(g)

Khi đó là đơn cấu. Ta chứng minh ker

a

⊇ Γ Im (f ) a

Γa

= Γ

(g)

(f )

(gf ) 0

Thật vậy

a

Γ a

∈

⊆

(g)

= ker g Imf

. Giả sử x ker

Γ a

∃ ∈

∈

m M,n

: f (m) x,

= x 0



f (m)

n a f ( m)

Khi đó

nm 0=

⇒ m

(M), x

(f )

Do f đơn cấu nên

a

∈Γ a

⇒ ker

(g)

Γ a

Γ im (f ) a

1.8. Mô đun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.8.1. Cho M là R – mô đun và a là iđêan của R. Cho giải nội xạ

µ → → →

i d →

1 I

→ → ....

→ .....

của M

Γ −a ( )

+ i 1

→

vào dãy khớp trên ta được phức. Tác động hàm tử a - xoắn

i(d ) Γ → a

→

0 (I )

i (I )

)

.....

là dãy khớp

Γ a

→ → Γ .... a

Γ a

ker(

i (d ))

Γ a

Im(

(d ))− i 1

Khi đó là mô đun đối đồng điều thứ i của phức và

Γ a

ker(

i (d ))

được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a .

Γ a

(M)

Kí hiệu là .

i H a

Im(

(d ))− i 1

Γ a

= ∀ >

Nhận xét 1.8.2.

iH (M) 0,

i 0

(i) Nếu M là R – mô đun nội xạ thì

a

≅

(M) H (M)

(ii) .

Γ a

0 a

na với n nào đó.

(iii) Mọi phần tử của linh hóa bởi

iH (M) a

Tính chất 1.8.3. Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R –

= Γ

− 1 S (

(M))

− 1 (S M)

mô đun, a là ideal của R. Thì

Γ a

− S

1 a

−

≅ S (H (M)) H (S M)

với mọi i.

i a

i − S

1 a

Đặc biệt với mọi iđêan nguyên tố p của R.

≅ (H (M)) H (M ) p

p

i a

p

Tính chất 1.8.4. Giả sử (R, m ) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu

hạn sinh. Thì

iH (M) m

là mô đun Artin với mọi i.

→

→ khi đó với

N → →

M 0

→

Tính chất 1.8.5. Cho dãy khớp ngắn

và những đồng cấu mỗi

i H (N) a

+ i 1 H (L) a

i∈ . Tồn tại một đồng cấu nối

nối tạo nên một dãy khớp dài

0 H (f ) → a

0 H (g) → a

→

0 H (L)

1 H (g) → a

1 H (f ) → a

E →

0 H (M) a 1 H (M) a

0 H (N) a 1 H (N) a

E →

i H (f ) → a

i H (g) → a

E →

i H (M) a

→

E →

...

0 a 1 H (L) a .... i H (L) a + i 1 H (L) a

= ⊕ là vành Noether, R là  – phân bậc, R0 là

≥ n 0

⊆ là một iđêan của R.

Định nghĩa 1.8.6. Cho

= ⊕ > n 0

vành Noether.

= ⊕ ∈ n Z

Giả sử là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh.

RH (M)

là mô đun đối đồng điều địa phương của M đối với

Với i∈ ta có iđêan R+.

i R

RH (M)

H (M) +

= ⊕ ∈ n Z

là R - mô đun phân bậc và . Khi đó

Tính chất 1.8.7. Giả sử (R, m ) là vành địa phương và M là R – mô đun phân

bậc hữu hạn sinh. Thì

và n đủ lớn. (i)

i H (M) m

= ∀ ∈ i

(ii) là R0 – mô đun Artin với mọi i, với mọi n.

i H (M) m

Tính chất 1.8.9. Cho (R, m ) là vành Noether địa phương với số chiều d, a

= Ass H (M) Ass Hom R /

là một iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì

. (i)

i ,H (M) aa

i a

(

)

(

)

(ii) hữu hạn với i = 0,1.

i a

)

) 1≤a

(iii) . hữu hạn với mọi i nếu dim(R /

i a

( RAss H (M) ( Supp H (M)

)

i H ( R

R (

Γm

là mô đun Tính chất 1.8.10. Với mọi i ∈  thì R – mô đun

dim(R ) 1≤ , với mọi i ∈  thì

i RH M+

)

Γm

và Artin. Định lý: Giả sử (

1 m

i H M) R( (

là các R – mô đun Artin.

Tính chất 1.8.11. Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn

sinh với số chiều d 3≤ . Thì hữu hạn với mọi iđêan a của R.

i a

( RAss H (M)

)

∈

p ⇔ ∈

Tính chất 1.8.12. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

( i Ass H (M) a

)

i R a p

( R Ass H (M ) p

)

= ⊕ là vành Noether, R là  – phân bậc, R0 là

≥ n 0

⊆ là một iđêan của R.

Tính chất 1.8.13. Cho

= ⊕ > n 0

vành Noether.

= ⊕ ∈ n Z

i∈ ta có:

Ass

R | +

i R

p 0

(H (M) ) n +

( i Ass H (M) R

)

∈ 

∈ n Z

    

    

là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó với mỗi Giả sử

1.9. Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.9.1. Cho M là R – mô đun. Một phần tử x của M được gọi là

phần tử xoắn khi nó có một phần tử linh hóa khác không.

Nếu R là miền nguyên, tập hợp các phần tử xoắn của M kí hiệu : T(M)

là một R – mô đun xoắn con của M.

Khi T(M) = M thì M được gọi là mô đun xoắn.

Khi T(M) = 0 thì M được gọi là mô đun không xoắn.

Định nghĩa 1.9.2. Cho R là một vành tùy ý, M là một R – mô đun, S là tập

con nhân của R. Một phần tử m của M được gọi là phần tử S – xoắn nếu tồn

tại s trong S linh hóa m.

∈ s R {0} 0 \

⊗

Định lý 1.9.3. Cho R0 là miền nguyên, giả sử

R R +

)

(

)

= R (R ) 0

và giả sử i∈ . Thì ta có các mệnh đề tương đương và (

H (M)

(R ) - mô đun không xoắn.

i R

(i) là

(R ) - mô đun không xoắn.

H (M ) s

i (R ) s

(ii) là

∈p

i Ass (H (M)) R

∩ = 0R

(iii) Nếu thì s∈p hoặc

⊗

d dim

M) 0

Bổ đề 1.9.4. Giả sử R0 là một miền nguyên vô hạn với trường các thương K.

x , x ,..., x là những phần tử bất kì.

⊗

≥ và 1

Nếu

∈ t R \{0} 0

→

và một đồng cấu: Thì tồn tại phần tử

(

)

(

)

x , x ,...x 1 2

x    

 

 

⊗

≅

= và

M ) d t

(M ) H t

(M ), t

∀ ∈

(R ) t

dim (K K x  

 

(R ) t0

 

 

(R ) x t0

sao cho

⊗

Bổ đề 1.9.5. Giả sử R0 là miền nguyên vô hạn với trường các thương K và

d dim

⊗

= ∀ > i d

(M ) 0, t

∈ t R \{0} 0

i (R )H

Thì tồn tại sao cho

R x , x ,...x 1

R R x   

 

 

là vành đa thức trên miền Bổ đề 1.9.6. Giả sử

Noether R0 với trường các thương K và giả sử M là R – mô đun phân bậc hữu

M⊗

R K x  

⊗ 0RK

0RK

là - mô đun tự do thì tồn tại hạn sinh. Khi đó nếu

∈ s R \{0} 0

sao cho: một phần tử

(M ) s

)0 s R - mô đun tự do.

i (R )s

= .

Nếu i d= thì là (

(M ) 0 s

i (R )s

Nếu i d≠ thì

∈ s R \{0} 0

Định lý 1.9.7. Giả sử R0 là một miền nguyên. Thì tồn tại phần tử

i∀ ∈ .

i R

H (M) +

)0 s R - mô đun không xoắn

sao cho là (

Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của

các thành phần phân bậc của mô đun

đối đồng điều địa phương có đối chiều

bé

2.1. Khái niệm về sự ổn định tiệm cận

n n Z

(S ) ∈ là họ các tập hợp. Ta nói Sn là ổn định tiệm

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử

n n≤

S n

S= n

0n ∈ sao cho

Ass

với mọi . cận khi n → −∞ nếu tồn tại

i R

(H (M) ) n +

Như vậy, tập hợp được gọi là ổn định tiệm cận khi n → −∞

0n ∈ sao cho:

Ass

∀ ≤ ), n n

(H (M) ) Ass n

i R

i (H (M) R +

nếu tồn tại

Lưu ý 2.1.2.

Sn là ổn định tiệm cận khi n → −∞ ta có thể gọi ngắn gọn là ổn định

tiệm cận.

n n Z

(S ) ∈ là họ các tập hợp. Ta nói Sn là thuần hóa

Định nghĩa 2.1.3. Giả sử

0= với n đủ nhỏ hoặc nS

nếu nS

= với n đủ nhỏ hoặc

0≠ với n đủ nhỏ. RH (M)

RH (M)

≠ với n đủ nhỏ.

RH (M)

được gọi là thuần hóa khi Tập

Ass

Nhận xét 2.1.4.

i R

RH (M)

(H (M) ) n +

Nếu ổn định tiệm cận thì là thuần hóa.

Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn chúng ta nhìn lại một số

kết quả đã có về tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của mô

đun đối đồng điều địa phương mà các nhà toán học đã nghiên cứu được.

2.2. Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần

phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương.

RH (M)

Ass

là R – mô đun hữu hạn sinh với mọi j

i R

(H (M) ) n +

Định lý 2.2.1. Cho R0 là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Giả sử i∈ sao cho < I thì ổn định tiệm cận.

höõu haïn

Định lý 2.2.2. Cho M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Đặt

(M)

inf{i

| H (M) không

sinh}

i R

∈

Ass

f R

(H (M) ) n +

ổn định tiệm cận. Khi đó

Ass

i R

dim(R ) 1≤ thì 0

(H (M) ) n +

Định lý 2.2.3. Nếu R0 là vành địa phương (nữa địa phương) có số chiều

ổn định tiệm cận với mọi i∈ .

Ass

Định lý 2.2.4. Nếu R là một vành Cohen – Macaulay với dim(R0) = 1 và M là

i R

(H (M) ) n +

i∈ .

ổn định tiệm cận với mọi Cohen – Macaulay R – mô đun thì

Tiếp theo ta sẽ đi tìm hiểu phần chính của luận văn, phần mở rộng (4)

dim R = chúng ta có một kết quả

về hướng bỏ qua tính địa phương của R0 đồng thời thêm vào một số điều kiện

0 1

nhỏ cho R0. Trong trường hợp đặc biệt

hoàn chỉnh hơn về sự mở rộng của (4).

2.3. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1.

i Τ = Τ

∩ ≤

(M) { Ass (H (M)) | height(

R) 1}

Chú ý 2.3.1.

i R

∈

Ass

≤ ) 1}

Giả sử i∈ ta kí hiệu p = ∈

i n

(H (M) ) | height( n

i R

p 0

Với n ∈ ta kí hiệu i = Τ = Τ (M) { n

i nΤ = ∅ với n đủ lớn. Hơn thế nữa

i Τ =

R | +

i T n

p 0

Ta có

}

∈  ∈ n Z

S ⊆ Τ . Khi đó với mọi số nguyên n đặt

∈

{

i ∈Τ n

thì

{ Bổ đề 2.3.2. Giả sử i∈ và p | +R S n 0

p 0

S } n

p S { +R | + 0

p 0

∈  ∈ n Z

(i) .

(ii) S là hữu hạn khi và chỉ khi Sn ổn định tiệm cận.

∈

Chứng minh

⇒ ∃ ∈ n

+R + ∈

S } n

S n

p ⇒ 0

p 0

p +R { +R | + 0

p 0

 p : 0

∈  ∈ n Z

(i) Nếu

+R + ∈

i n

⇒ n∃ ∈ 

0 T∈p

⇒

∈

{

S n

S } n

0 S∈p n

p 0

∈

p 0 ∈⇒ p

∈ n Z

⇒

S } n

p S { +R | + 0

p 0

∈  ∈ n Z

Ngược lại, lấy

~ S

=  thì S n

S là tập hữu hạn.

∈ n Z

(ii) Cho S hữu hạn. Đặt

)

~ 0 S∈p

là vành địa phương. Giả sử thì (

p 0

)

Ta có dim( = ht( 0p ) 1≤

p 0

Ass

Theo định lý 2.2.3 thì

(M ) p 0

(

)

p 0

i   

  +

   

   

ổn định tiệm cận

≅

i R

H (M ) n +

Mặt khác, ta có

p 0

(M ) p 0

p 0

i   

  

i R

( ∈p 0 Ass H (M ) n

)

( ∉p 0 Ass H (M ) n

)

Nên hoặc với n đủ nhỏ hoặc với n

đủ nhỏ.

0 S∈p n

0 S∉p n

với mọi n đủ nhỏ hoặc với mọi n đủ nhỏ. Điều đó có nghĩa

S hữu hạn nên nS ổn định tiệm cận.

Vì

Ngược lại,

Cho Sn ổn định tiệm cận. Nên Sn hữu hạn với mỗi n nguyên dương

S n

 ∈ n Z

Và Sn = 0 với mọi n đủ lớn. suy ra hữu hạn.

S } n

p S { +R | + 0

p 0

∈  ∈ n Z

hữu hạn. Vậy

∩ =

q sao cho 0

0A 0

0q của R0 thì với mỗi i∈ ta có:

Tính chất 2.3.3. Giả sử R0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền nguyên A0

với mỗi iđêan tối tiểu

i(M)

(i) là hữu hạn.

nT (M) ổn định tiệm cận.

(ii)

Chứng minh

Theo bổ đề 2.3.2. ta chỉ cần chứng minh (i) là đủ.

l ,l ,....l R∈ sao cho 0 1

R R [l ,l ,...l ] r 0 0 1

A : A [l ,l ,...l ] r 0 0 1

và đặt . Gọi

+= Khi đó, A là một vành con Noether của R và A R R

như vậy R là mở rộng

nguyên hữu hạn của A.

Trong trường hợp M là A – mô đun phân bậc hữu hạn sinh.

≅ H (M) H (M)

i R

i A

. Theo định lý 1.9.7 và định lý 1.9.3 đối với M Ta có

τ ∩ = hoặc

∈ s A \{0} 0

0A 0

∈τ ∩ với mỗi 0

τ∈

i AAss (H (M)) R

height(sR ) 1≥ .

q Vì 0

∩ = 0R

sao cho hữu hạn sinh ta có

với mọi 0q nguyên tố tối tiểu của R0. Ta có

∩ =

∩ ∈

i(M)

∈Τp

i R

0A 0

A Ass (H (M)) A

Giả sử lấy . Thì và do đó

∈ ∩p

∩ =

hoặc

0A 0

0R∩p

Nếu thì là một trong hữu hạn các iđêan nguyên tố

∩

≤ ≤

tối tiểu của R0.

height(

∈ ∩p

R ) 1 height(sR ) 0

0R∩p

i ∈Τ

∩

i(M)

0R |

Nếu thì do đó là một

} (M)

trong hữu hạn iđêan nguyên tố tối tiểu hữu hạn của sR0. Vậy { p cũng là tập hữu hạn. là hữu hạn nên

Hệ quả 2.3.4. Giả sử R0 là một miền nguyên thì với mỗi i∈ những kết luận trong tính chất trên vẫn đúng.

(

) M )

Τ Γq (

(

)

và là những tập Bổ đề 2.3.5. Giả sử với i∈ ,

0R q

 i M  Γ

  

i(M)

(0 : M)

0q của R0 với

⊇q 0

. Thì là hữu hữu hạn với mọi ideal tối tiểu

hạn.

Chứng minh

,...,

(1) q 0

(2) q 0

(t) q 0

q là những iđêan nguyên tố tối tiểu khác nhau của R0 0

Giả sử

)∈ .

0R(0: M),(t

∩

≤

chứa

i(M)

height(

∈Τp

R ) 1 0

∩ ⊇ 0R

(0 : M) 0R

thì và . Với mỗi

MM : =

(0: M) ⊄ q .

(M)

Γq

i Τ

rõ ràng Đặt

(M) \

(M)

i(M)

là hữu hạn. Ta chỉ cần chứng minh hữu Theo giả thiết

i ∈Τ

i Τ

hạn là được.

(M) \

(M)

p = ∩

p 0

và giả sử . Lấy

δ →

→

(M)) H (M) H (M)

i R

− i 1 H (M) R +

i H ( R +

Xét dãy khớp

Γ q 0

(M))

i H ( R +

Γ q 0

∈

Ass

δ im

   

   

∈

⊆

Ta có

Supp(

(M)) Var( R)

p .

0⊆q

q 0

Trong trường hợp đặc biệt, ta có và 0

Γ 0R q

− t 1

0p phải là iđêan nguyên tố tối tiểu của

p . Khi đó 0

( j) 0

⊆q

= j 1

− t 1

Trường hợp

( j) 0

p 0

+q

= j 1

iđêan

p p =

0p và

+ 0 R +

− t 1

Điều này khẳng định rằng ta chỉ có thể chọn hữu hạn các

( j) 0

p . 0

⊄q

= j 1

Trường hợp

(0: M) ⊆ p thì

0p chứa một iđêan nguyên tố tối tiểu 0τ của

0R(0: M) .

Nếu

( j) 0

− và 0

τ ≠ q điều này dẫn đến 0τ

τ ≠ q với mọi j 1,...t 1

Khi đó nếu

tối tiểu trong R0. Do đó không 0=τ p . Lặp lại quá trình trên ta có hữu hạn 0

p p =

+ 0 R +

(0: M) ⊄ p thì

M 0=p

= H (M) H (M) 0

i R

− ⇒ i 1 R +

− i 1 H (M) R +

H (M) +

. Suy ra Nếu

p 0

δ→

→

(M)) H (M)

i R

i H ( R +

Khi đó

Γ q 0

≅

(M)) H (M)

i R

i H ( R +

Suy ra

Γ q 0

∈

(M)))

(

) M )

i R

Γq

∈Τ Γq (

Ass (H ( R +

và do đó hữu hạn. Nhưng

i(M)

Định lý 2.3.6. Giả sử R0 là loại chủ yếu hữu hạn trong một trường thì với mỗi i∈ ta có: Τ là hữu hạn. (i)

nT (M) ổn định tiệm cận.

(ii)

Chứng minh

Ta chỉ cần chứng minh (i) là đủ.

Tồn tại vành con A0 của R0 và tập nhân S0 của A0 sao cho A0 là hữu hạn

S A−= 1 0

. trong một trường nào đó. Và

l ,l ,...l R∈ sao cho 0 1

R R [l ,l ,...l ] r 0 0 1

A A [l ,l ,...l ] r 0 0 1

và ta đặt khi đó Giả sử

R S A−= 0

A là vành con Noether của R sao cho .

2m ,m ,...m M∈ là những phần tử thuần nhất sao cho

= ∑ và Rm

= j 1

Giả sử

− 1 = 0S N M

= ∑

= j 1

≅

ta đặt khi đó N là A – mô đun hữu hạn sinh thỏa

H (M) H

i R

− (S N) S H (N) 0

i A

− 0

i − 1 (S A) 0

i Τ

i ∈Τ

Ta có

(N)}

i(N)

− 1 = (M) {S | q q 0

,...,

Nên do đó ta chỉ cần chứng minh hữu hạn.

(1) q 0

(2) q 0

(t) q là những iđêan nguyên tố tối tiểu khác nhau của R0 chứa 0

(0 : M),(t

)∈  .

Giả sử

height(0 : M) 0> 0R

∩

≤

Nếu t = 0 ta có

i(M)

height(

∈Τp

⊆ ∩p

và với mỗi

p

R ) 1 0

(0: M) 0R

MM : =

(t) q và 0=q 0

(M)

Γq

,...,

. Nếu t > 0 đặt

Ass (M) Ass (M) \ Var( R) R

(1) q 0

(2) q 0

− (t 1) q 0

q 0

. Khi đó là những iđêan Thì

i(M)

0R(0: M) . Do đó

là hữu hạn. nguyên tố tối tiểu khác nhau của R0 chứa

(M))

Τ Γq (

hữu hạn. Theo bổ đề 2.3.5 ta cần chứng minh

Γq

0R (M)

. Do vậy ta thay thế M bằng

n q 0M 0=

. Do đó M trở thành mô đun phân bậc Ta có tồn tại n N∈ sao cho

n Rq 0

. hữu hạn sinh trên

≅

(M)

RH (M) H

n Rq 0

Ta có . Do đó ta thay thế R bởi từ đó suy ra

n q 0

i   

  

là iđêan nguyên tố tối tiểu của R0.

∩ =

Theo bổ đề Noether R0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền Noether

0q là iđêan nguyên tố tối tiểu duy nhất của R0 và

. Theo A0 ta có

q 0

0A 0

i(M)

tính chất trên thì hữu hạn.

Chú ý 2.3.7.

i S

≥ − ) d 1}

p = ∈

S (M) { Ass (H (M)) | dim( R

i R

∩p

Giả sử R0 có chiều hữu hạn là d. Với i∈ ta đặt

∈

S (M) {

Ass

(H (M)) | dim(

≥ − ) d 1}

i n

i R

p 0

Hơn thế nữa với mọi n ∈ ta đặt

∈

Rõ ràng với kí hiệu trên thì

S (M) {

i S }

i i S ⊆ Τ và

i ∈Τ n

p 0

với mọi n nguyên.

Tính chất 2.3.8. Giả sử dim(R0) < ∞ và R0 là một mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên A0 thì với mỗi i∈ ta có:

iS (M) là hữu hạn.

(i)

i nS (M) ổn định tiệm cận.

(ii)

Chứng minh

Theo chú ý 2.3.7 và bổ đề 2.3.2 ta chỉ cần chứng minh (i) là đủ. cách

≤

− cho

height(sR ) 1≥ .

dim

dim(R ) 1

  

  

chứng minh giống như tính chất 2.3.3. Bằng cách thay bất đẳng thức

dim(R ) 1≤ và R0 hoặc là vành nửa địa phương hoặc là

Hệ quả 2.3.9. Giả sử

mở rộng của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trên một trường

thì với mỗi i∈ ta có:

(

) i Ass (H M ) R

(i) là hữu hạn.

(

)

i Ass (H M ) R n

ổn định tiệm cận. (ii)

Chứng minh

= Ass (H (M)) S (M) T (M)

i R

dim(R ) 1≤ thì 0

Khi

= Ass (H (M) ) S (M) T (M)

i R

và

Nếu R0 là vành địa phương ta sử dụng định lý 2.2.3 kết hợp bổ đề 2.3.2.

Nếu R0 là mở rộng hữu hạn của một miền nguyên thì ta sử dụng tính chất

2.3.8.

Nếu R0 là loại chủ yếu hữu hạn của một trường ta sử dụng định lý 2.3.6.

dim R

2≤ nhưng vẫn giữ nguyên tính địa phương

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu về hướng mở rộng số chiều

của R0 trong trường hợp

của R0. Tuy nhiên ở đây chúng ta chỉ sẽ tìm hiểu một số kết quả yếu trong

hướng mở rộng này và một trường hợp đặc biệt.

2.4. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc trong mô đun

R ,m là vành địa phương với số chiều nhỏ hơn 2. Giả sử

đối đồng điều nửa địa phương có số chiều 2.

)

dim

Bổ đề 2.4.1. Cho (

≤ thì với

(M)

x ∈m là phần tử

x R 0

  

  

Γm

)

i R

( H M +

- chính quy sao cho

Γm

(

)

i x H M R0 +

   

   

là mô đun mỗi i∈ ta có R – mô đun phân bậc

artin.

M /

Chứng minh

(

)

Γm

Giả sử

→ → →

M M x M

→ 0

Xét dãy khớp ngắn

→

x → 0

→

...

)

H M x M

(

)

→ ...

i H M ( R +

i R +

−

Lấy đối đồng điều của dãy khớp trên ta được

(

)

Tác động hàm tử

m

0RΓ

→

→

)

H M x H M ) /

(

)

i R +

( R H M x M (

)

m

i R +

(

ta được dãy khớp )

≅

)

(

M x M /

)

H M x M H 0

i (

)

i R +

R x R / 0

≤

≅

dim

Mặt khác ta có

(

R x R /

) 0 0

R x R / 0

x R 0

  

  

)

Vì và

i R +

( ( R H M x M

)

Γm

là R – mô đun Artin Nên theo định lý 1.8.9 ta có

H M x H M ) /

(

)

Γm

i R +

cũng là mô đun Artin. Do đó

(

)

(

) )

R M (

Γm

j H + R

j ∈ 

Theo tính chất 1.8.8 ta lại có là mô đun Artin với mọi

→ →

(

)

A H M

→ → U

i R +

→ →

0 U

)

→ → B

i ( H M R +

Chúng ta có hai dãy khớp R – mô đun phân bậc.

Trong đó A và B là mô đun Artin. Do đó ta có thể xây dựng hai dãy khớp R –

→ →

→

) /

(

)

A H M x H M

/ U x U

i R +

→ →

→

(

)

B U x U

) / H M x H M

i R +

mô đun phân bậc.

)

B R x R . Do đó A , B cũng là mô đun Artin.

RT or ( 1

Trong đó A là ảnh đồng cấu của A, B là ảnh đồng cấu của R – mô đun Artin

−

(

)

Tác động hàm tử vào hai dãy khớp trên ta có điều phải chứng

m

0RΓ

R ,m là vành địa phương với số chiều d > 0. Giả sử

)

x ∈m là một phần tử tùy ý của R0 và i∈ . Nếu với mọi số nguyên n mà

)

i R

( H M +

dim

≥ − . d 1

(

)

i x H M R0 +

   

   

≥ −

dim

d 1

minh. Bổ đề 2.4.2. Cho (

i R

∈p 0

Spec(R ) 0

∈p 0 Ass

(H (M) ) n +

p 0

  

  

với và với Thì tồn tại

mọi n vô cùng nhỏ.

dim(

= − ) d 1

Chứng minh

i R

H (M) +

Supp

Theo giả thiết tồn tại q nguyên tố tối tiểu của x0R0 sao cho

∈q

i x H (M) R0 +

   

   

= với n đủ lớn.

RH (M)

≅

≠

với vô hạn số nguyên n. Vì và

với mọi n < 0. Ta có

(M ) q

i R

H (M) +

(

)

q

)

i (

q

là vành địa phương có số chiều bé hơn 1. Nên tồn tại Do (

q

) ( R=q 0

∈

Ass

sao cho với n đủ nhỏ.

s

(M ) ) n q

( Spec (R ) q

q

)

i (

(

s = ∩

0p thỏa bài toán.

p 0

Đặt . Thì

dim R

)

R ,m 0

2≤ . Giả sử i∈

là vành địa phương với Bổ đề 2.4.3. Cho (

= với mọi n < 0 thì

= với mọi n đủ nhỏ.

) H M 0

(

) H M 0

(

i R

= ⇔

= ∅

H M 0 Ass

và

(

)

i R

( (H M ) n

Ta có Chứng minh )

dim(R ) 1≤ theo hệ quả 2.3.9. khẳng định trên đúng.

Khi

dim(R ) 2= . Chọn

x ∈m sao cho x0 không thuộc iđêan nguyên tố tối 0

Khi

Ass (M) \ Var( R)m .

tiểu nào của R0 và không thuộc các phần tử của tập

dim(

= và x0 là ) 1

(M)

x R 0

Γm

)

i R

( H M +

Thì - chính quy.

Γm

(

)

i x H M R0 +

   

   

)

i R

( H M +

Theo 2.4.1 thì là vành Atin.

≠ với n < 0. Thì theo Nakayama

≠ 0

) H M 0

(

i R

(

)

i x H M R0 +

Giả sử

)

i R

( H M +

dim

≥ với n < 0.

với n < 0.

(

)

i x H M R0 +

   

   

≠ với mọi n đủ nhỏ. (Mâu thuẫn)

Nếu

) H M 0

(

i R

)

i R

( H M +

dim

Theo 2.4.2 thì

= 0

(

)

i x H M R0 +

   

   

( H M

)

( H M

)

i R

= Γ

≠

Do vậy

Suy ra với n < 0.

m

(

)

(

)

i x H M R

   

   

   

   

)

i R

( H M +

là artin. Vì

m 0

(

)

i x H M R0 +

    

    

)

i R

( H M +

≠

với n đủ nhỏ. Nên

m 0

(

)

i x H M R0 +

   

   

≠ với mọi n đủ nhỏ ( Mâu thuẫn)

) ( H M 0

i R

Suy ra

)

R ,m 0

i R

H (M) +

Bổ đề 2.4.4. Cho ( là vành địa phương. Giả sử i∈ , n ∈ và

∈m

i R

x ∈m là phần tử 0

( 0 Ass H (M)

)

Γm

i R

(H (M) ) n +

= Γ

⊄

. Giả sử -

i R

(H (M)) +

(H (M) ) n +

i x H (M) R0 +

chính quy. Thì

m 0

Chứng minh

(H)

≠ (H) 0

∈m

(

)

0 Ass

i H H M+ R

Đặt . Thì có nghĩa là .

m 0

(H)

Γm

= Γ

- chính quy. Ta có 0x là phần tử

(H)

do đó Ta có

m 0

x R 0 0

∩

= Γ

∩

(H)

x H x

(H) x

(H)

x H 0

= Γ 0

m

m 0

R 0 0

⊄

(H)

⊂ Γ x 0

x H 0

và . Theo Nakayama.

m 0

R ,m là vành địa phương với số chiều nhỏ hơn 2. Giả sử

)

Bổ đề 2.4.5. Cho (

iS (M) là hữu hạn khi đó với

∈m

i∈ và

i R

 0 Ass H (M)  

  

với mọi n <

∈m

i R

 0 Ass H (M)  

  

với mọi n << 0. 0. Thì

Chứng minh

dim(R ) 1≤ theo hệ quả 2.3.9 ta có điều cần chứng minh

Khi

iS (M) hữu hạn.

dim(R ) 2= . 0

Khi

S (M)

Ass

(H (M) ) \{

}

m cũng hữu hạn.

i n

i R

  = S



∈ n Z

Đặt

0∈mx

sao cho x0 không thuộc các phần tử của S , không thuộc iđêan Chọn 0

nguyên tố tối tiểu nào của R0 và không thuộc các phần tử của tập

dim(

= và x0 là ) 1

Ass (M) \ Var( R)m . Khi đó

(M)

x R 0

Γm

)

i R

( H M +

- chính

)

Γm

i R

( (H M ) n

)

i R

( H M +

quy. Hơn thế nữa x0 còn là - chính quy, n∀ ∈ 

Γm

(

)

i x H M R0 +

   

   

(

)

(

)

i R

i R0

(

) + H M x H M

Theo bổ đề 2.4.1 thì là vành artin.

m 0

(

)

i x H M R0 +

)

i R

( H M +

Đặt là mô đun con của

0Rm - xoắn.

(

)

i x H M R0 +

)

i R

( H M +

và là

Γm

)

(

i x H M R0 +

   

   

⊄

do đó U là artin. U là mô đun con của

i R

(H (M) ) n +

i x H (M) R0 +

Theo bổ đề 2.4.4 ta có với n < 0.

m 0

Do đó thành phần phân bậc thứ n của U không bị triệt tiêu với n < 0. Do U

nU 0≠ với n đủ nhỏ.

= Γ

≠

Atin nên

(H (M) ) 0

i R

(H (M)) +

Điều này có nghĩa với n đủ nhỏ.

m 0

dim

(

)0R

2≤ . Với i∈

Định lý 2.4.6. Giả sử R0 là vành nửa địa phương với

Thì.

RH (M)

(i) là thuần hóa.

iS (M) là hữu hạn thì

i R

( Ass H (M)

)

(ii) Nếu ổn định tiệm cận.

Chứng minh

,...

(1) m m , 0

(2) 0

(r) 0

∈

≅

Giả sử là những iđêan tối đại khác nhau của R0.

i R

H (M) +

  

  

Ta có với j {1,2,...r} và n ∈ .

(M ) ( j) m 0

( j) m 0

i      

     

Do đó ta có thể làm việc trên vành địa phương là đủ.

(M) {

} Ass

(i) Dễ dàng dựa vào bổ đề 2.4.3

i n

i R

∩m 0

(H (M) ) n +

∪ Κ

Ass

(M)

. (ii) Đặt

(H (M) ) S (M) n

i n

i R

với mọi n nguyên dương. Khi đó

iS (M) hữu hạn nên

i nS (M) ổn định tiệm cận

Ta có

i n (M)

Theo bổ đề 2.4.5 thì ổn định tiệm cận.

dim R ≤ . Nếu R0 hoặc

Hệ quả 2.4.7. Giả sử R0 là vành nửa địa phương với

i R

mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên hoặc chủ yếu hữu hạn trong

( Ass H (M)

)

một trường. Thì với mọi i∈ tập hợp ổn định tiệm cận.

KẾT LUẬN

Tóm lại, trong toàn bộ luận văn này chúng tôi đã trình bày và hệ thống

lại các nội dung chính trong bài báo: “Low – codimensional associated primes

of graded components of local cohomology modules” của M.Brodmann, S.

Fumasoli và C.S.Lim. Kết quả chính của luận văn gồm những phần sau:

1. Hệ thống lại các kiến thức cơ sở về iđêan nguyên tố liên kết, chiều và độ

sâu của iđêan, mô đun phân bậc, mô đun đối đồng điều địa phương.

2. Chứng minh lại các kết quả của bài báo về sự ổn định tiệm cận của tập các

iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng

điều địa phương trong các trường hợp mở rộng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A.K. Singh, p-torsion elements in local cohomology modules, in: Math. Res.

Lett., vol. 7, 2000, pp. 165– 176.

[2] A.K. Singh, I. Swanson, Associated primes of local cohomology modules

and Frobenius powers, Internat. Math. Res. Notices, in press.

[3] C.S. Lim, Graded local cohomology modules and their associated primes:

the Cohen–Macaulay case, preprint.

[4] C.S. Lim, Graded local cohomology modules and their associated primes,

Comm. Algebra, in press.

[5] C.S. Lim, Graded local cohomology and its associated primes, PhD Thesis,

Michigan State University, 2002.

[6] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Towards Algebraic

Geometry, Springer-Verlag, New York, 1996.

[7] M. Brodmann, S. Fumasoli, C. S. Lim, Low – codimensional associated

primes of graded components of local cohomology modules, Proc Journal

of Algebra 275 (2004) 867–882.

[8] M. Brodmann, S. Fumasoli, R. Tajarod, Local cohomology over

homogeneous rings with one-dimensional local base ring, Proc. Amer.

Math. Soc. 131 (2003) 2977–2985.

[9] M. Brodmann, M. Hellus, Cohomological patterns of coherent sheaves over

projective schemes, J. Pure Appl. Algebra 172 (2002) 165–182.

[10] M. Brodmann, M. Katzman, R.Y. Sharp, Associated primes of graded

components of local cohomology modules, Trans. Amer. Math. Soc. 354

(11) (2002) 4261–4283.

[11] M. Brodmann, R.Y. Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction

with geometric applications, in: Cambridge Stud. Adv. Math., vol. 60,

Cambridge Univ. Press, 1998.

[12] M. Brodmann and A.L. Faghani, A finiteness result for associated primes

of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., (10) 128(2000),

2851 - 2853.

[13] M. Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc.

Camb. Phil. Soc., 86 (1979), 35 - 39.

[14] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local

cohomology module, J. Algebra 252 (2002) 161–166.

[15] M. Katzman, R.Y. Sharp, Some properties of top graded local cohomology

modules, J. Algebra 259 (2003) 599–612.

[16] T. Marley, The associated primes of local cohomology modules of small

dimension, Manuscripta Math. 104 (2001) 519–525.