Luận văn Thạc sĩ Toán học: Miền ổn định của hệ động lực liên tục

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn sẽ nhắc lại một số khái niệm về ổn định và các tính chất liên quan. Ngoài ra, các lý thuyết về hàm năng lượng, hàm Lyapunov cũng được đề cập đến. Các lý thuyết này được sử dụng để ước lượng miền ổn định của các hệ động lực phi tuyến có số chiều lớn. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Miền ổn định của hệ động lực liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 84 60112. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS. TSKH Vũ Hoàng Linh Chủ tịch hội đồng: GS. TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2020
Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Hệ động lực phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Lý thuyết hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Lý thuyết hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Hàm năng lượng cho hệ động lực cấp hai . . . . . . . 18 Chương 2. Miền ổn định và tựa ổn định của hệ động lực liên tục 23 2.1 Điểm cân bằng trên biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Đặc trưng của biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Miền tựa ổn định và đặc trưng của biên tựa ổn định . . . . . 35 2.4 Thuật toán xác định biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chương 3. Ước lượng miền ổn định của hệ động lực liên tục 46 3.1 Tập mức và đặc trưng của điểm cân bằng không ổn định gần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Miền tựa ổn định và hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Ước lượng miền ổn định theo hàm năng lượng địa phương . . 52 i
Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 62 ii
Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH Vũ Hoàng Linh. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt những vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn này. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán học (khóa 2018-2020), cảm ơn gia đình, bạn bè và cơ quan chủ quản đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập tại đây. Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2020. Học viên Phạm Hồng Quân iii
Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov. . . . . . . . . . . . 5 1.2 Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận. . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Mô tả đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phương của một điểm cân bằng. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ giữa không gian con ổn định và không gian con không ổn định với đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định tại điểm cân bằng hyperbolic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Đa tạp ổn định và không ổn định của (0, 0); các không gian riêng ổn định và không ổn định tương ứng. . . . . . . . . . . 12 1.6 Minh họa quan hệ giữa hình cầu mở và hình cầu đóng trong chứng minh Định lý 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Giao giữa đa tạp không ổn định của x1 và đa tạp ổn định của x2 không thỏa mãn điều kiện hoành. . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Miền ổn định của điểm cân bằng ổn định (0, 0) trong Ví dụ 2.1 35 2.3 Minh họa sự khác nhau giữa miền ổn định và miền tựa ổn định. 38 2.4 Đường cong A và B là giới hạn miền ổn định xác định bởi các phương pháp khác. Đường cong C là biên ổn định thu được bằng phương pháp hiện tại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Bức tranh pha của hệ (2.3) và biên ổn định. . . . . . . . . . 43 2.6 Bức tranh pha của hệ động lực trong Ví dụ 2.3. Biên ổn định là đường in đậm màu đỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1 Mối quan hệ giữa mặt mức năng lượng S(r) tại các giá trị mức khác nhau và miền ổn định A(xs ). . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Cấu trúc mặt mức năng lượng khi tăng giá trị mức. . . . . . 51 iv
3.3 Miền ổn định ước lượng theo mặt năng lượng hằng. . . . . . 55 3.4 Bức tranh pha của hệ trong Ví dụ 3.1. So sánh giữa biên ước lượng và biên ổn định định chính xác. . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 Miền ổn định chính xác và miền ổn định ước lượng trong Ví dụ 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6 Miền ổn định ước lượng trong Ví dụ 3.3. . . . . . . . . . . . 60 3.7 Miền ổn định ước lượng và biên ổn định chính xác trong Ví dụ 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 v
Mở đầu Từ nhiều thế kỷ trước, việc nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực đã được xem là một bài toán khó và hấp dẫn đối với con người, bởi nó xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, cơ học, vật lý, kỹ thuật. Cũng vì đây là một chủ đề rất rộng nên khái niệm độ ổn định có thể được hình thành theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc vào mục đích nghiên cứu tính ổn định. Trong đó, một trong những chủ đề quan trọng liên quan chặt chẽ đến ổn định là miền ổn định của hệ động lực phi tuyến. Trong thực tế, nhiều hệ thống vật lý và kỹ thuật được thiết kế để hoạt động ở một trạng thái cân bằng. Nói cách khác, nó được cấu tạo để vận hành tại một điểm cân bằng hoặc xung quanh một điểm cân bằng nào đó và được mô tả quá trình vận hành bởi một hệ động lực phi tuyến. Yêu cầu quan trọng nhất để vận hành thành công các hệ thống này là duy trì sự ổn định của trạng thái cân bằng này. Tính ổn định đòi hỏi sự chắc chắn của điểm cân bằng đối với nhiễu nhỏ do các tác động ở trong và bên ngoài hệ thống gây ra. Nói cách khác, trạng thái của hệ thống sẽ dần về điểm cân bằng dưới những nhiễu nhỏ nhất định. Tuy nhiên, hầu hết các hệ thống vật lý và kỹ thuật đều không ổn định toàn cục. Có thể hiểu rằng các hệ thống này chỉ có thể quay trở lại trạng thái cân bằng dưới một kích thước có giới hạn của nhiễu. Mặc dù vấn đề này khá quen thuộc nhưng bài toán đặt ở đây là làm thế nào để tính các miền ổn định xung quanh một điểm cân bằng của hệ động lực cho trước. Từ đó, chúng ta cho phép hoặc hạn chế các nhiễu nhỏ chỉ dao động bên trong miền ổn định đã được tính toán. Cho đến nay, có một số phương pháp được dùng tính toán và xấp xỉ miền ổn định của một hệ động lực phi tuyến cho trước nhưng hầu hết các phương pháp này đều dựa trên hàm năng lượng hoặc hàm Lyapunov, [4], [5], [9], [12]. Tuy nhiên, một trong những cách tiếp 1
cận không dựa trên hàm Lyapunov đã được xem xét và trình bày trong [5]. Phương pháp này cho phép chúng ta tìm miền ổn định chính xác của một hệ động lực phi tuyến cho trước. Một cách tiếp cận khác dựa trên các phương pháp mặt mức ẩn và tập mức được nghiên cứu trong [7], [11]. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày về “Miền ổn định của hệ động lực liên tục”. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết về miền ổn định và cách tìm miền ổn định bằng các phương pháp số. Luận văn này được chia thành ba chương như sau. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm về ổn định và các tính chất liên quan. Ngoài ra, các lý thuyết về hàm năng lượng, hàm Lyapunov cũng được đề cập đến. Các lý thuyết này được sử dụng để ước lượng miền ổn định của các hệ động lực phi tuyến có số chiều lớn. Chương 2: Miền ổn định và tựa như ổn định của hệ động lực liên tục. Chương này sẽ tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng của biên ổn định và biên tựa ổn định của các hệ động lực. Ở cuối chương, chúng tôi sẽ đưa ra một thuật toán để xác định một biên ổn định một cách hoàn chỉnh. Chương 3: Ước tính miền ổn định của hệ động lực liên tục. Trong chương cuối, chúng tôi sẽ tập trung vào các phương pháp ước lượng miền ổn định của một hệ động lực cho trước dựa trên hàm năng lượng và tập mức. Bên cạnh đó, một số thử nghiệm số được thực hiện cho một số hệ động lực phi tuyến tiên tục có số chiều thấp cũng được đưa ra. Các tài liệu chính được sử dụng trong luận văn này bao gồm một số sách và bài báo của các tác giả Hsiao-Dong Chiang và Luís Fernando Costa Alberto, [2], [4], [5], [12]. Kết quả của luận văn được báo cáo tại seminar Bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán - Cơ - Tin học và được trình bày tại Hội thảo Một số bài toán chọn lọc trong phương trình vi phân và điều khiển do Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán tổ chức tại Tuần Châu, Quảng Ninh, ngày 05-07/11/2020. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương thứ nhất này, chúng tôi sẽ nhắc lại các định nghĩa và tính chất về tính ổn định và hệ động lực. Bên cạnh đó, lý thuyết về hàm Lyapunov, hàm năng lượng đối với hệ động lực và ứng dụng của nó cũng được trình bày trong mục cuối của chương này. Đây là các kiến thức cơ sở cho nội dung các chương sau. Phần lớn các nội dung ở chương này được trình bày dựa trên các tài liệu [1], [2], [4] và [5]. 1.1 Hệ động lực phi tuyến Trong chương này, chúng ta luôn xét hệ động lực phi tuyến (ô tô nôm) sau đây x˙ = f (x), (1.1) trong đó x ∈ Rn là một biến véctơ và hàm f : Rn → Rn thỏa mãn điều kiện đảm bảo bài toán giá trị ban đầu đối với (1.1) tồn tại và duy nhất nghiệm. Trong luận văn này, chúng ta luôn giả thiết hàm f khả vi r lần và các đạo hàm này liên tục. Điều kiện này đảm bảo rằng với mỗi giá trị ban đầu x0 , tồn tại một khoảng cực đại I = (w− , w+ ) ⊂ R, 0 ∈ I và tồn tại duy nhất hàm khả vi liên tục x(t) : I → Rn là một nghiệm của phương trình (1.1) sao cho x(0) = x0 . Định lý 1.1 ([5]). Cho x(t) là một nghiệm của phương trình (1.1) và [0, w+ ] là một khoảng cực đại tồn tại nghiệm này. Khi đó, nếu tồn tại một tập compact 3
K ⊂ Rn sao cho x(t) ∈ K với mọi t ∈ [0, w+ ] thì w+ = +∞, tức là nghiệm tồn tại và xác định với mọi t ≥ 0. Sau đây, ta sẽ trình bày một số khái niệm cần thiết cho các kết quả về sau. Đường cong nghiệm của phương trình (1.1) xuất phát từ x0 tại thời điểm t = 0 được gọi là một quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 và được ký hiệu là φ(., x0 ). Hơn nữa, quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 là một hàm theo thời gian. Việc tham số hóa t → φ(t, x0 ) sinh ra một đường cong trong Rn , được gọi là một quỹ đạo nghiệm của (1.1) đi qua x0 . Quỹ đạo đi qua x0 được ký hiệu là φt (x0 ) và được xác định bởi φt (x0 ) = {φ(t, x0 ) ∈ Rn , t ∈ R}. Trong một số trường hợp, ta ký hiệu tập {φ(t, x) ∈ Rn , x ∈ A} bởi φ(t, A), A ⊂ Rn . Điểm x ∈ Rn được gọi là một điểm cân bằng của (1.1) nếu f (x) = 0, tức là điểm cân bằng là một nghiệm đặc biệt không thay đổi theo thời gian. Do đó, điểm cân bằng là một quỹ đao nghiệm không dịch chuyển. Tập tất cả các điểm cân bằng của (1.1) được ký hiệu là E = {x ∈ Rn : f (x) = 0}. Một dạng quan trọng khác của quỹ đạo nghiệm đó là quỹ đạo đóng. Một quỹ đạo nghiệm γ là một quỹ đạo đóng nếu γ không phải là một điểm cân bằng và với bất kỳ x ∈ γ , tồn tại T > 0 sao cho φ(T, x) = x. Điểm cân bằng và quỹ đạo đóng có thể ổn định hoặc không ổn định. Tập M ⊂ Rn được gọi là một tập bất biến của (1.1) nếu mọi quỹ đạo nghiệm của hệ (1.1) xuất phát từ M luôn nằm trong M với mọi t. Hợp và giao của các tập bất biến cũng là tập bất biến. Tập M ⊂ Rn được gọi là tập bất biến dương (âm) của (1.1) nếu mọi quỹ đạo nghiệm của (1.1) xuất phát từ M vẫn nằm M với mọi t ≥ 0 (t ≤ 0). Một điểm p nằm trong tập w-giới hạn của x nếu ứng với mỗi ε > 0 và T > 0, tồn tại t > T sao cho |φ(t, x) − p| < ε. Điểm p nằm trong tập α-giới hạn của x nếu ứng với mỗi ε > 0 và T < 0, tồn tại t < T sao cho |φ(t, x) − p| < ε. Nói cách khác, p được gọi là nằm trong tập w-giới hạn (tập α-giới hạn) của x nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một dãy {ti } ∈ R sao cho φ(ti , x) → p khi ti → +∞ (ti → −∞). Định lý 1.2 ([5]). Các tập w-giới hạn và tập α-giới hạn của một quỹ đạo 4
nghiệm φ(t, x) của hệ (1.1) là các tập đóng, bất biến. Ngoài ra, nếu quỹ đạo nghiệm φ(t, x) của (1.1) bị chặn với t ≥ 0 (t ≤ 0) thì tập w-giới hạn (tập α-giới hạn) khác rỗng, compact và liên thông. Hơn nữa, d(φ(t, x), w(x)) → 0 khi t → ∞. Như ta có thể thấy rằng điểm cân bằng ổn định tiệm cận là loại đơn giản nhất của tập giới hạn. Tuy nhiên, tập giới hạn vô cùng phức tạp; nó có thể là điểm cân bằng, quỹ đạo đóng hay một dạng khác. 1.2 Tính ổn định Tiếp theo, ta nhắc lại định nghĩa ổn định Lyapunov và tiệm cận ổn định. Định nghĩa 1.3. Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định Lyapunov nếu với mỗi lân cận mở U of x ∈ Rn , tồn tại một lân cận mở V của x ∈ Rn sao cho φ(t, x) ∈ U với mọi x ∈ V và với mọi t > 0. Ngược lại, x được gọi là không ổn định. U x V x¯ φ(t, x) Hình 1.1: Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov. Một cách trực quan, một điểm cân bằng được gọi là ổn định nếu các quỹ đạo xuất phát từ lân cận của điểm cân bằng vẫn còn nằm gần với điểm cân bằng sau một khoảng thời gian bất kỳ. Mặc dù vậy, trong nhiều bài toán thì yêu cầu về quỹ đạo nằm gần với quỹ đạo là chưa đủ. Thay vào đó, người ta đưa ra một yêu cầu mạnh hơn là các quỹ đạo gần với điểm cân bằng và hội tụ về điểm cân bằng. 5
Định nghĩa 1.4. (i) Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại một lân cận mở U của x sao cho mọi quỹ đạo φ(t, x) xuất phát từ lân cận U đều hội tụ về điểm cân bằng x khi t → ∞ hay lim kφ(t, x) − xk = 0 với mọi x ∈ U . t→∞ (ii) Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu nó ổn định và với mọi x0 ∈ Rn , φ(t, x0 ) → x khi t → ∞. x x¯ U φ(t, x) Hình 1.2: Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận. Định nghĩa 1.5. (i) Một tập đóng, bất biến γ được gọi là ổn định Lyapunov nếu với mỗi lân cận mở U của γ , tồn tại một lân cận mở V của γ sao cho φ(t, x) ∈ U với mọi x ∈ V và với mọi t > 0. Ngược lại, γ được gọi là không ổn định. (ii) Một tập đóng, bất biến γ được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại một lân cận V của γ sao cho tập w-giới hạn của mọi điểm trong V chứa trong γ . (iii) Một tập đóng, bất biến γ ⊂ Rn được gọi là một tập hút nếu tồn tại lân cận mở U của γ sao cho với mọi x0 ∈ U , φ(t, x0 ) ∈ U với mọi t ≥ 0 và φ(t, x) → γ khi t → ∞. Thực tế, tập ổn định và tập hút là một tập bất biến ổn định tiệm cận. Nói cách khác, một tập γ là tập hút nếu mọi quỹ đạo nghiệm trong lân cận γ đủ gần với γ và hội tụ về γ khi t → ∞. 6
Để xác định tính ổn định của một điểm cân bằng x, ta cần một số công cụ để mô tả dáng điệu của quỹ đạo nghiệm, ít nhất là về mặt định tính quỹ đạo nghiệm xung quanh điểm cân bằng x. Đối với hệ động lực tuyến tính x˙ = Ax, việc kiểm tra có thể thực hiện bằng cách tính các giá trị riêng và véctơ riêng tương ứng của ma trận A. Do đó, dáng điệu động lực địa phương của bài toán phi tuyến có thể được nghiên cứu thống qua bài toán tuyến tính hóa. Bây giờ, ta giả thiết rằng x ∈ Rn là một điểm cân bằng của (1.1). Bằng cách đổi biến x(t) = x + y(t) và sử dụng khai triển Taylor tại x, ta có x(t) ˙ ˙ = f (x)+Df (x)y+O(kyk2 ), trong đó Df là đạo hàm của trường = y(t) véctơ f . Vì f (x) = 0 nên phương trình trở thành y˙ = Df (x)y + O(kyk2 ). Do đó, để nghiên cứu dạng điệu quỹ đạo nghiệm, ta xét hệ tuyến tính hóa y(t) ˙ = Df (x)y. (1.2) Định nghĩa 1.6. Điểm cân bằng x của hệ phi tuyến (1.1) được gọi là hy- perbolic nếu ma trận Jacobi tương ứng Df (x) không có giá trị riêng có phần thực bằng 0. Ngược lại, nó được gọi là điểm cân bằng không hyperbolic. Hơn nữa, một điểm cân bằng hyperbolic được gọi là loại k nếu k giá trị riêng của ma trận Jacobi Df (x) có phần thực dương và n − k giá trị riêng có phần thực âm. Đặc biệt, nếu Df (x) có đúng một giá trị riêng có phần thực dương, ta gọi x là điểm cân bằng loại 1. Nói chung, điểm cân bằng loại 1 được xem là tối quan trọng khi nghiên cứu các đặc trưng về biên ổn định và biên tựa ổn định. Ta ký hiệu λ là một giá trị riêng của Df (x) và Eλ là không gian véctơ riêng suy rộng ứng với giá trị riêng λ. Nhắc lại rằng Eλ là bất biến đối với hệ (1.2). Nếu gốc tọa độ là một điểm cân bằng hyperbolic thì ta có thể viết như sau Rn = E s ⊕ E u , trong đó E s = ⊕Eλ với Re(λ) < 0 và E u = ⊕Eλ với Re(λ) > 0. Ngoài ra, nếu điểm hyperbolic là điểm cân bằng loại k thì E s và E u lần lượt có số chiều là n − k và k . Định lý 1.7 (Hartman-Grobman [5]). Xét hệ phi tuyến tổng quát (1.1) có điểm cân bằng x. Nếu Df (x) không có giá trị riêng 0 và không có giá trị riêng thuần ảo, thì sẽ có một đồng phôi h, xác định trên một lân cận U của 7
x, biến quỹ đạo φ(t, .) của hệ động lực phi tuyến (1.1) thành nghiệm của hệ tuyến tính hóa của (1.2) có dạng etDf (x) . Phép đồng phôi bảo toàn các tính chất của các quỹ đạo nghiệm và cách chọn tham số hóa theo thời gian. Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ cho một điểm cân bằng của hệ (1.1) là ổn định tiệm cận. Định lý 1.8 (Tính ổn định tiệm cận, [5]). Giả sử rằng mọi giá trị riêng của ma trận Jacobi Df (x) trong hệ tuyến tính tương ứng (1.2) đều có phần thực âm. Khi đó, nghiệm cân bằng x = x của hệ phi tuyến (1.1) là ổn định tiệm cận. Với x là một điểm cân bằng và U ⊂ Rn là một lân cận của x. Ta sẽ định nghĩa đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phương như sau s Wloc (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → +∞}, u Wloc (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → −∞}. s u Chú ý rằng Wloc (¯ x) và Wloc (¯ x) lần lượt theo thứ tự là các tập bất biến dương và bất biến âm. Hình 1.3 dưới đây mô tả các đa tạp địa phương này. u Wloc (¯ x) s Wloc x¯ x¯ Hình 1.3: Mô tả đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phương của một điểm cân bằng. 8
Định lý 1.9 (Đa tạp ổn định và không ổn định, [5]). Giả sử hệ động lực phi s tuyến liên tục (1.1) có một điểm cân bằng hyperbolic x. Các tập Wloc (x) và u Wloc (x) được gọi là đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phương. Khi đó, các đa tạp này lần lượt có chiều ns , nu giống như các không gian véctơ riêng E s , E u của hệ tuyến tính hóa (1.2). Hơn nữa, các đa tạp s này cũng tiếp xúc với các không gian riêng E s , E u tại x; Wloc u (x) và Wloc (x) trơn giống như f (x) of (1.1). Đây là các tập bất biến của hệ phi tuyến (1.1) và các quỹ đạo nghiệm của hệ phi tuyến trên các đa tạp này có tính chất tiệm cận như nghiệm của hệ tuyến tính hóa trong không gian véctơ riêng tương ứng. Hình 1.4 minh họa định lý đa tạp vừa trình bày. Eu W u (¯ x) x¯ Es W s (¯ x) Hình 1.4: Quan hệ giữa không gian con ổn định và không gian con không ổn định với đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định tại điểm cân bằng hyperbolic. Chú ý 1.10 ([4]). (1) Điểm cân bằng x là tập w-giới hạn của mọi điểm trong W s (x) và là tập α-giới hạn của mọi điểm W u (x). Với điểm cân bằng hyperbolic, chiều của W s (x) bằng số giá trị riêng của Df (x) có phần thực âm. Tổng số chiều W s (¯ x) và W u (¯ x) bằng số chiều của không gian pha. (2) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm đảm bảo rằng cả W s (x) và W u (x) không thể tự giao với chính nó nhưng W s (x) và W u (x) có thể giao với nhau. 9
(3) Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định là các tập bất biến. Mọi quỹ đạo nghiệm trên W s (¯ x) hội tụ về x¯ khi t → +∞, trong khi mọi quỹ đạo nghiệm trên W u (¯ x) hội tụ về x¯ khi t → −∞. Ví dụ 1.1. Ta xét hệ dao động Duffing như sau  x˙ = y y˙ = x − x3 − εy, ε > 0. Bằng cách giải f (x, y) = 0, ta thu được ba điểm cân bằng là (±1, 0), (0, 0). Trong đó, (0, 0) là điểm cân bằng loại 1 và các điểm còn lại là điểm cân bằng ổn định. Thật vậy, sau khi tính toán ma trận Jacobi Df (x), ta có hệ tuyến tính hóa xung quanh điểm cân bằng (0, 0) là  x˙ = y y˙ = x − εy. " # √ 0 1 −ε + ε2 + 4 Từ ma trận , ta thu được hai giá trị riêng λ1 = , 1 −ε 2 √ −ε − ε2 + 4 λ2 = . Từ đó, ta có không gian riêng ổn định và không ổn 2 định tương ứng ( √ ! ) −ε − ε2 +4 E s = (x, y) : y = x , 2 ( √ ! ) −ε + ε2 +4 E u = (x, y) : y = x . 2 Các đa tạp ổn định và không ổn định tiếp xúc với không gian riêng ổn định, không ổn định E s , E u tại điểm cân bằng hyperbolic (0, 0). Ví dụ 1.2. Xét hệ như sau  x˙ = x y˙ = −y + x2 . 10
Giải f (x, y) = 0, ta có điểm cân bằng hyperbolic (x, y) = (0, 0). Khi đó, hệ tuyến tính hóa tương ứng  x˙ = x y˙ = −y, có các giá trị riêng là −1 và 1 ứng với không gian véc tơ riêng ổn định và không ổn định là E s = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}, E u = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}. u Để tìm Wloc (0, 0), ta thấy rằng y˙ dy −y = = + x. x˙ dx x x2 C Bằng cách giải phương trình trên, ta thu được y(x) = + , trong đó C 3 x u là một hằng số. Vì Wloc (0, 0) có thể biểu diễn như là một hàm số với biến x nên ta có y = h(x) với h(0) = h0 (0) = 0. Do đó, suy ra x2 u 2 Wloc (0, 0) = (x, y) ∈ R : y = . 3 Mặt khác, mọi quỹ đạo nghiệm xuất phát từ (0, y) với y ∈ R, nằm trên trục Oy và tiến đến (0, 0) khi t → ∞. Ngoài ra, không gian riêng con không ổn định E u là trục Ox, ta có thể suy ra rằng Wloc s là trục Oy (xem Hình 1.5). Ý tưởng về “điều kiện hoành1 ” là cơ sở để nghiên cứu hệ động lực học và được giới thiệu bởi Palis, 1969; Palis và de Melo, 1981 và Smale, 1967, [4]. Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết cho việc trình bày điều kiện này. Cho M là một đa tạp trơn có biên hoặc không có biên. Một đa tạp con dìm2 của M là một tập con A ⊆ M cảm sinh một cấu trúc tôpô (không cần không gian con tôpô) tương ứng từ đa tạp tôpô (không có biên), và một cấu trúc trơn trong đó A ,→ M là một phép dìm trơn, [8]. Bây giờ, ta giả sử A và B là các đa tạp con dìm thực sự của M , ta nói rằng chúng thỏa mãn điều kiện “hoành” nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn. 1 Tài liệu tiếng Anh: transversality condition 2 immersed manifold 11
y y Es W s (0, 0) W u (0, 0) x Eu x Hình 1.5: Đa tạp ổn định và không ổn định của (0, 0); các không gian riêng ổn định và không ổn định tương ứng. (i) Tại mỗi giao điểm x ∈ A ∩ B , không gian véctơ tiếp xúc của A và B sinh ra không gian véctơ tiếp xúc của M tại x. Tức là, Tx (A) + Tx (B) = Tx (M ), x ∈ A ∩ B. (ii) Chúng hoàn toàn không giao nhau. Một trong những đặc trưng quan trọng nhất của điểm cân bằng hyperbolic x¯ đó là các đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của điểm cân bằng hyperbolic giao hoành tại x ¯. Điểm giao hoành này rất quan trọng vì nó bảo toàn dưới các nhiễu động của trường véctơ. 1.3 Lý thuyết hàm Lyapunov Trong phần này, chúng tôi trình bày tổng quan về hàm Lyapunov. Trước hết, ta sử dụng ký hiệu sau đây như là đạo hàm theo thời gian của hàm V (x) T ∂V (x(t)) V˙ (x(t)) = .x(t) ˙ ∂x ∂V (x)T = .f (x). ∂x 12
Định lý 1.11 ([5]). Giả sử x ˆ là một điểm cân bằng của x˙ = f (x), trong đó f : Rn → Rn . Cho V : U → R là một hàm liên tục xác định trong một lân cận U của x ˆ, khả vi trên U sao cho x) = 0 và V (x) > 0 nếu x 6= xˆ và x ∈ U , (a) V (ˆ (b) V˙ (x) ≤ 0 trong U \ {ˆ x}. Khi đó, x ˆ là ổn định. Hơn nữa, cũng nếu (c) V˙ (x) < 0 trong U \ {ˆ x} thì xˆ là ổn định tiệm cận. U Bδ (ˆ x) U1 Hình 1.6: Minh họa quan hệ giữa hình cầu mở và hình cầu đóng trong chứng minh Định lý 1.11. x) = {x ∈ Chứng minh. Giả sử rằng với δ > 0 đủ nhỏ sao cho hình cầu Bδ (ˆ Rn : kx − x x) := {x ∈ Rn : ˆk < δ} nằm trọn vẹn trong U . Ký hiệu ∂Bδ (ˆ kx − xˆk = δ} là biên của hình cầu Bδ (ˆ x). Đặt α = min V (x), x ∈ ∂Bδ (ˆ x). Vì V (x) là một hàm liên tục và V (x) > 0 nên cách xác định α như ở trên là định nghĩa tốt và α là một số dương. Đặt U1 := {x ∈ Bδ (ˆ x) : V (x) < α}. Bây giờ, ta xét x(0) ∈ U1 bất kỳ. Ta có ngay V (x(0)) < α. Ký hiệu x(t) là quỹ đạo nghiệm thu được xuất phát từ x(0). Từ giả thiết V˙ (x) ≤ 0, ta suy ra V (x(t)) < α. Ta sẽ chứng minh điều này suy ra x(t) ∈ Bδ (ˆ x). Thật vậy, giả sử tồn tại t1 sao cho kx(t1 )− xˆk > δ , vì tính liên tục của x(t) nên ta phải có một thời điểm t2 sớm 13