Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng của định lý Stolz Cesàro và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

90
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định lý được xuất bản lần đầu tiên trong và kể từ đó, đã được xuất bản lại trong nhiều tài liệu khác nhau có chủ đề về dãy số và chuỗi số. Định lý được xem như là phiên bản rời rạc của quy tắc L’Hopital trong giới hạn của hàm số và nó cho ta một phương pháp hữu hiệu để tính các giới hạn có dạng không xác định ∞ ∞ và 0 0 trong các bài toán tính giới hạn, đặc biệt là trong các bài toán tính giới hạn liên quan tới tổng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng của định lý Stolz Cesàro và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trần Văn Thắng THÁI NGUYÊN - 2018
i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1. Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro 3 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro . . . 8 1.2.2 Một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro . . 14 1.2.3 Một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro . . . . . 22 Chương 2. Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro 26 2.1 Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Tổng các lũy thừa với số mũ nguyên . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Bài toán 11174 của P. P. Dalyay . . . . . . . . . . . . . . 47 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52
1 MỞ ĐẦU Các định lý Stolz-Cesàro cổ điển được các nhà toán học Otto Stolz (1842-1905) và Ernesto Cesàro (1859- 1906) đưa ra. Định lý đề cập tới an+1 − an an sự tồn tại của các giới hạn lim và lim cùng các điều kiện n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn để các giới hạn này bằng nhau. Định lý được xuất bản lần đầu tiên trong [11] và kể từ đó, đã được xuất bản lại trong nhiều tài liệu khác nhau có chủ đề về dãy số và chuỗi số. Định lý được xem như là phiên bản rời rạc của quy tắc L’Hopital trong giới hạn của hàm số và nó cho ta một ∞ phương pháp hữu hiệu để tính các giới hạn có dạng không xác định ∞ 0 và trong các bài toán tính giới hạn, đặc biệt là trong các bài toán tính 0 giới hạn liên quan tới tổng. Gần đây, định lý được sử dụng tính hệ số của đa thức được định nghĩa là tổng các lũy thừa của các số nguyên ([7]) và nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số ([5]). Với những ứng dụng kể trên, định lý Stolz-Cesàro ngày càng được các nhà toán học quan tâm mở rộng, phát biểu ở những dạng khác nhau và có thêm được những ứng dụng mới, điển hình là các kết quả của C. Mortici ([8]), G. Nagy ([9]) và S. Puspană ([10]). Luận văn này sẽ tổng hợp và trình bày một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro; một số dạng mở rộng của G. Nagy và S. Puspană; và một số dạng mới được đưa ra bởi C. Mortici. Tiếp theo, luận văn trình bày một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trong việc tính giới hạn của dãy số, trong đó có tính giới hạn của một tổng, đây là bài toán hay thường xuất hiện trong các đề thi toán dành cho học sinh và sinh viên. Một ứng dụng khác của định lý Stolz-Cesàro là tính tổng hữu hạn của các lũy thừa nguyên cũng được chúng tôi trình bày trong luận văn này.
2 Cuối cùng, chúng tôi sẽ sử dụng một dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro của G. Nagy để nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bài toán 11147 của P. P. Dalyay. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro. Phần đầu của chương trình bày một số khái niệm cơ bản phục vụ cho các mục sau của luận văn. Tiếp theo, chúng tôi trình bày các dạng cổ điển, một số dạng mở rộng và mới của định lý Stolz-Cesàro. Chương 2. Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro. Chương này tìm hiểu một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trong việc tính giới hạn của dãy số, tính tổng lũy thừa của các số nguyên và nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bài toán 11147 của P. P. Dalyay. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Thắng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn. Xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp tại trường THPT Tiên Du số 1 và gia đình thân yêu đã tạo điều kiện về thời gian và luôn ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Nga
3 Chương 1 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản, dạng cổ điển và một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1.1. Dãy số là một hàm số từ N vào một tập hợp số (N, Q, R). Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu là un , vn , xn , yn . . . Dãy số được ký hiệu là {un }, {vn }, {xn }, {yn }. . . . Nhận xét 1.1.2. Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính chất của một hàm số. Định nghĩa 1.1.3. (i) Dãy số {xn } được gọi là dãy giảm nếu xn+1 ≤ xn với mọi n ∈ N∗ . (ii) Dãy số {xn } được gọi là dãy tăng nếu xn+1 ≥ xn với mọi n ∈ N∗ . (iii) Dãy số {xn } được gọi là dãy giảm ngặt nếu xn+1 < xn với mọi n ∈ N∗ . (vi) Dãy số {xn } được gọi là dãy tăng ngặt nếu xn+1 > xn với mọi n ∈ N∗ . Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Định nghĩa 1.1.4. Dãy số {xn } được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho xn ≤ M với mọi n. Dãy số {xn } được gọi là bị chặn dưới
4 nếu tồn tại số thực m sao cho xn ≥ m với mọi n. Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn. Định nghĩa 1.1.5. (i) Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô cùng nếu với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } và ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn − a| nhỏ hơn . Ta viết lim xn = a ⇔ > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < . n→∞ (ii) Dãy số {xn } dần đến dương vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thực dương M lớn tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } và M ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn | lớn hơn M . Ta viết lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M. n→∞ (iii) Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ. Giả sử {xn } là một dãy bị chặn. Với mỗi n ta đặt un = sup{xn+1 , xn+2 , ...} = sup xn+k , k=1,2,... vn = inf{xn+1 , xn+2 , ...} = inf xn+k . k=1,2,... Dễ thấy un đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn. Giới hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy {xn } và ký hiệu là lim sup xn . n→∞ Tương tự, dãy {vn } là dãy tăng và bị chặn trên, nên tồn tại giới hạn. Giới hạn này được gọi là giới hạn dưới của dãy {xn } và ký hiệu là lim inf xn . n→∞ Định lý 1.1.6. Điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy đó bằng nhau. Định lý 1.1.7. (Sự hội tụ của dãy đơn điệu) Dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
5 Định lý 1.1.8. Nếu {xn }, {yn } là các dãy hội tụ và cógiớihạn tương xn ứng là a, b thì các dãy số {xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn }, cũng hội yn a tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a − b, ab và (trong trường hợp b dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không). Định lý 1.1.9. Giả sử an ≤ bn ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N và lim an = a, n→∞ lim bn = b. Khi đó, ta có a ≤ b. n→∞ Định lý 1.1.10 (Nguyên lý kẹp). Giả sử lim an = lim bn = a và n→∞ n→∞ an ≤ zn ≤ bn với mọi n ∈ N. Khi đó, ta có lim zn = a. n→∞ 1.1.2 Chuỗi số Định nghĩa 1.1.11. Cho dãy số u1 ; u2 ; . . . ; un ; . . .. Khi đó gọi tổng vô hạn u1 + u2 + . . . + un + . . . ∞ P là chuỗi số và ký hiệu là un . un là số hạng tổng quát; sn = u1 + u2 + n=1 . . . + un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số; rn = un+1 + un+2 + . . . được gọi là phần dư thứ n. Nếu lim sn = s (hữu hạn) thì chuỗi được gọi n→∞ là hội tụ và s là tổng của chuỗi. Nếu sn không dần tới một giá trị hữu hạn thì chuỗi đó gọi là phân kỳ. ∞ P Định lý 1.1.12. Chuỗi số un hội tụ thì lim un = 0. n=1 n→∞ ∞ P Chuỗi số un được gọi là chuỗi số dương nếu un > 0 với mọi n ∈ N. n=1 ∞ P Định lý 1.1.13. (Tiêu chuẩn so sánh) Cho 2 chuỗi số dương un và n=1 ∞ P ∞ P vn nếu un ≤ vn với ∀n ≥ n0 (n0 ∈ N ) thì từ sự hội tụ của vn suy n=1 n=1 ∞ P ∞ P ra sự hội tụ của un và từ sự phân kỳ của un suy ra sự phân kỳ của n=1 n=1 ∞ P vn . n=1
6 Định lý 1.1.14. (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương P∞ P∞ un un và vn và lim = k . Khi đó, ta có: n=1 n=1 n→∞ vn Nếu (0 < k < +∞) thì hai chuỗi đã cho cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ∞ P ∞ P Nếu k = 0 thì từ sự hội tụ của vn suy ra sự hội tụ của un . n=1 n=1 ∞ P Nếu k = +∞ thì từ sự phân kỳ của vn , ta suy ra sự phân kỳ của n=1 ∞ P un . n=1 1.1.3 Hàm số Cho hàm số thực f (x) xác định trên một miền trong R. Định nghĩa 1.1.15. Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D và (a; b) là một khoảng con của D. Hàm số gọi là hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) gọi là đơn điệu trên khoảng (a; b). Định nghĩa 1.1.16. Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của a (có thể trừ điểm a). Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a nếu: ∀ > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < . Định nghĩa 1.1.17. Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của a (có thể trừ điểm a). Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn trái
7 (phải) của hàm số f (x) khi x → a nếu: ∀ > 0, ∃δ > 0 : −δ < x − a < 0(0 < x − a < δ) ⇒ |f (x) − l| < . Định nghĩa 1.1.18. Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của x0 . Khi đó hàm f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Định nghĩa 1.1.19. Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu hàm f (x) xác định trong một lân cận trái (phải) của x0 (kể cả x0 ) và lim f (x) = f (x0 )( lim+ f (x) = f (x0 )). x→x− 0 x→x0 Định nghĩa 1.1.20. Hàm f (x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu f (x) liên tục tại mọi x thuộc khoảng (a; b). Hàm f (x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f (x) liên tục trong khoảng (a; b), liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b. Định nghĩa 1.1.21. Hàm f (x) được gọi là liên tục đều trên D nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D thỏa mãn |x − y| < δ ta có |f (x) − f (y)| < ε. Định lý 1.1.22. Hàm f (x) liên tục trên tập compact D thì liên tục đều trên tập D. Một hệ quả được suy ra từ định lý trên. Hệ quả 1.1.23. Mọi hàm liên tục tuần hoàn trên R là liên tục đều. Định lý 1.1.24 (Định lý giá trị trung gian). Cho f (x) là một hàm số liên tục trên [a; b], f (a) 6= f (b). Khi đó f (x) đạt mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b) trên [a; b]. Định nghĩa 1.1.25. Hàm f (x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T > 0 trên miền D nếu x ± T ∈ D với mọi x ∈ D và f (x ± T ) = f (x), ∀x ∈ D.
8 Định nghĩa 1.1.26. Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng (a; b), x0 ∈ (a; b). Nếu giới hạn f (x) − f (x0 ) lim x→x0 x − x0 tồn tại hữu hạn thì giá trị giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 , ký hiệu là f 0 (x0 ). Định lý 1.1.27 (Định lý giá trị trung bình Cauchy). Cho các hàm số f và g cùng liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a, b). Khi đó tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho (f (b) − f (a))g 0 (c) = (g(b) − g(a))f 0 (c). Nếu g(a) 6= g(b) và g 0 (c) 6= 0, điều này tương đương với f 0 (c) f (b) − f (a) = . g 0 (c) g(b) − g(a) 1.2 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro Mục này trình bày một số dạng cổ điển, một số dạng mở rộng và một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro. 1.2.1 Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro Phần này, chúng tôi trình bày ba dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro được các nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro đưa ra. Định lý 1.2.1. Cho {an } và {bn } là hai dãy số thực, dãy {bn } tăng ngặt và không bị chặn trên. Nếu tồn tại giới hạn an+1 − an lim = l ∈ R, n→∞ bn+1 − bn an thì lim = l. n→∞ bn
9 Chứng minh. Xét trường hợp l ∈ R và giả sử rằng {bn } là dãy tăng và lim bn = ∞. Cho V là một lân cận của l, khi đó tồn tại α > 0 sao cho n→∞ an+1 − an (l − α, l + α) ⊆ V . Cho β ∈ R sao cho 0 < β < α. Do lim =l n→∞ bn+1 − bn nên tồn tại k ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ k thì an+1 − an ∈ (l − β, l + β), bn+1 − bn từ đó suy ra rằng: (l − β)(bn+1 − bn ) < an+1 − an < (l + β)(bn+1 − bn ), ∀n ≥ k. Ta lại có: (l − β)(bk+1 − bk ) < ak+1 − ak < (l + β)(bk+1 − bk ), (l − β)(bk+2 − bk+1 ) < ak+2 − ak+1 < (l + β)(bk+2 − bk+1 ), ...... (l − β)(bn − bn−1 ) < an − an−1 < (l + β)(bn − bn−1 ). Cộng từng vế các bất đẳng thức này ta được: (l − β)(bn − bk ) < an − ak < (l + β)(bn − bk ). Vì lim bn = ∞ nên bắt đầu từ một chỉ số n nào đó ta có bn > 0. Do đó n→∞ (l − β)(bn − bk ) < an − ak < (l + β)(bn − bk ) bk an ak bk ⇔(l − β)(1 − ) < − < (l + β)(1 − ) bn bn bn bn Do ak + (β − l)bk ak − (β + l)bk lim = lim = 0, n→∞ bn n→∞ bn nên tồn tại một chỉ số p ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ p chúng ta có: ak + (β − l)bk ak − (β + l)bk , ∈ (β − α, α − β). bn bn Do vậy chúng ta có các bất đẳng thức sau: ak + (β − l)bk ak − (β + l)bk > β − α, < α − β. bn bn
10 Chọn m = max{k, p}, khi đó, ∀n ≥ m chúng ta có: an l−α< < l + α. bn an an Điều này có nghĩa ∈ V . Suy ra lim = l. bn n→∞ bn Trong trường hợp l = ±∞ ta có thể chứng minh tương tự khi ta chọn V = (α, +∞) và V = (−∞, α). Nhận xét 1.2.2. Dạng phát biểu đảo của định lý Stolz-Cesàro sẽ không an còn đúng, nghĩa là với giả thiết {bn } tăng, không bị chặn và lim =l n→∞ bn thì chưa chắc có khẳng định an+1 − an lim = l. n→∞ bn+1 − bn Để thấy điều này ta lấy an = 3n − (−1)n và bn = 3n + (−1)n , ta có an lim = 1 và n→∞ bn an+1 − an 3 + 2(−1)n = . bn+1 − bn 3 + 2(−1)n+1 Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn an+1 − an lim . n→∞ bn+1 − bn Từ kết quả của định lý trên chúng ta thu được các hệ quả sau. Hệ quả 1.2.3. Cho dãy số thực dương {un }. Nếu tồn tại giới hạn un+1 lim = l thì chúng ta có: n→∞ un √ un+1 lim n un = lim . n→∞ n→∞ un Chứng minh. Chúng ta có √ ln un lim ln n un = lim . n→∞ n→∞ n Đặt an = ln un và bn = n, áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an } và {bn } ta thu được an+1 − an ln un+1 − ln un un+1 lim = lim = lim ln = ln l. n→∞ bn+1 − bn n→∞ (n + 1) − n n→∞ un
11 Do đó √ √ √ n lim ln n un lim n un = lim eln un = en→∞ = eln l = l. n→∞ n→∞ Nhận xét 1.2.4. Hệ quả trên còn được phát biểu dưới dạng tương đương sau: Cho dãy số thực dương {un } với lim un = l. Khi đó chúng ta có n→∞ √ lim n u1 u2 . . . un = l. n→∞ Chứng minh. Đặt an = u1 u2 . . . un , ta có an+1 lim = lim un+1 = l. n→∞ an n→∞ Áp dụng Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro cho dãy {an } ta thu được an+1 √ √ lim = lim n an = lim n u1 u2 . . . un = l. n→∞ an n→∞ n→∞ Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.3 và dạng phát biểu tương đương của nó là Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro. Hệ quả 1.2.5 (Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro). Cho dãy số {un }, lim un = l. Khi đó chúng ta có n→∞ u1 + u2 + . . . + un lim = l. n→∞ n Chứng minh. Đặt an = u1 + u2 + . . . + un và bn = n, ta có an+1 − an lim = lim un+1 = l. n→∞ bn+1 − bn n→∞ Áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an } và {bn } ta thu được an u1 + u2 + . . . + un lim = lim = l. n→∞ bn n→∞ n
12 Nhận xét 1.2.6. Bằng cách đặt vn = u1 + u2 + . . . + un ta thu được phát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau. Cho dãy số thực {vn }. Nếu tồn tại giới hạn lim (vn+1 − vn ) = l thì ta có n→∞ vn lim = lim (vn+1 − vn ). n→∞ n n→∞ Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.5 và dạng phát biểu tương đương của nó là Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro. Tiếp theo chúng tôi trình bày một dạng khác của định lý Stolz-Cesàro. 0 Định lý 1.2.7 (Trường hợp ). Nếu {an } và {bn } là hai dãy số thực 0 thỏa mãn i. lim an = lim bn = 0, n→∞ n→∞ ii. {bn } là dãy số giảm, an+1 − an iii. lim = l ∈ R, n→∞ bn+1 − bn an thì lim = l. n→∞ bn Chứng minh. Ta chia ba trường hợp sau: an+1 − an - Trường hợp 1: lim = l ∈ R. Khi đó, với bất kỳ > 0, tồn n→∞ bn+1 − bn tại một chỉ số N sao cho an+1 − an l−< < l + , bn+1 − bn với mọi n ≥ N . Vì {bn } là dãy số giảm, nên bn+1 − bn < 0 với mọi n. Suy ra (l − )(bn+1 − bn ) > an+1 − an > (l + )(bn+1 − bn ), với mọi n ≥ N . Cố định số n, viết các bất đẳng thức trên tương ứng với n, n + 1, . . . , n + p, ta được (l − )(bn+2 − bn+1 ) > an+2 − an+1 > (l + )(bn+2 − bn+1 ) (l − )(bn+3 − bn+2 ) > an+3 − an+2 > (l + )(bn+3 − bn+2 )
13 ...... (l − )(bn+p − bn+p−1 ) > an+p − an+p−1 > (l + )(bn+p − bn+p−1 ). Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta nhận được (l − )(bn+p − bn ) > an+p − an > (l + )(bn+p − bn ). Cho p → ∞, ta được (l − )(−bn ) ≥ −an ≥ (l + )(−bn ). Do vậy ta kết luận được rằng an (l − ) ≥ ≥ (l + ) với mọi n ≥ N. bn an+1 − an + Trường hợp 2: lim = ∞. Khi đó với > 0, tồn tại một chỉ n→∞ bn+1 − bn số N sao cho an+1 − an > với mọi n ≥ N. bn+1 − bn Với m > n ≥ N ta có: m−1 X m−1 X an − am = (ak − ak+1 ) > (bk − bk+1 ) = (bn − bm ), (1.1) k=n k=n và do đó an bm am > 1− + . bn bn bn an Giữ n cố định và cho m → ∞, ta nhận được > với mọi m > n ≥ N . bn an Từ đó ta kết luận lim = ∞. n→∞ bn an+1 − an - Trường hợp 3: lim = −∞. Trường hợp này được chứng minh n→∞ bn+1 − bn tương tự như ở Trường hợp 2. Nhận xét 1.2.8. Dạng phát biểu đảo của Định lý 1.2.7 sẽ không còn đúng, nghĩa là với giả thiết lim an = lim bn = 0, {bn } là dãy số giảm n→∞ n→∞ an và lim = l thì chưa chắc có khẳng định n→∞ bn an+1 − an lim = l. n→∞ bn+1 − bn
14 1 1 an Thực vậy, chọn an = 3n −(−1)n và bn = 3n +(−1)n , ta có lim = 1 và n→∞ bn an+1 − an (3n + (−1)n )(3n + 3 + (−1)n+1 ) 3 + 2(−1)n = · . bn+1 − bn (3n − (−1)n )(3n + 3 − (−1)n+1 ) 3 + 2(−1)n+1 Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn an+1 − an lim . n→∞ bn+1 − bn Dạng đảo của định lý Stolz-Cesàro được phát biểu như sau. Định lý 1.2.9. Nếu {an } và {bn } là hai dãy số thực thỏa mãn i. {bn } là dãy số dương, tăng ngặt và không bị chặn trên. bn+1 ii. lim = L ∈ R \ {1}, n→∞ bn an iii. lim = l ∈ R, n→∞ bn an+1 − an Khi đó, lim = l. n→∞ bn+1 − bn Chứng minh. Chúng ta có an+1 an+1 − an bn+1 an bn = (1 − )+ bn+1 bn+1 − bn bn bn bn+1 Lấy qua giới hạn hai vế của đẳng thức trên ta thu được: an+1 − an l = (1 − L) lim + lL. n→∞ bn+1 − bn an+1 − an Suy ra lim = l. n→∞ bn+1 − bn 1.2.2 Một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro Phần đầu của mục này chúng tôi trình bày một số mở rộng của định lý Stolz-Cesàro được đưa ra bởi Gabriel Nagy ([9]). Định lý mở rộng của Định lý 1.2.1 được phát biểu như sau.
15 ∞ X Định lý 1.2.10. Nếu {bn } là dãy số thực dương sao cho bn = ∞, thì n=1 với bất kì dãy {an } ⊂ R ta có các bất đẳng thức a1 + a2 + . . . + an an lim sup ≤ lim sup ; (1.2) n→∞ b1 + b2 + . . . + bn n→∞ bn a1 + a2 + . . . + an an lim inf ≥ lim inf . (1.3) n→∞ b1 + b2 + . . . + bn n→∞ bn an Đặc biệt, nếu dãy có giới hạn, thì bn a1 + a2 + . . . + an an lim = lim . n→∞ b1 + b2 + . . . + bn n→∞ bn Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (1.2), bất đẳng thức (1.3) được chứng minh bằng cách thay thế an bởi −an . Bất đẳng thức (1.2) là tầm thường, nếu vế phải là +∞. Giả sử rằng an giá trị L = lim sup là hữu hạn hoặc −∞. Lấy l > L, theo định nghĩa n→∞ bn của lim sup, tồn tại một số chỉ số k ∈ N sao cho an ≤ l, ∀ n > k. (1.4) bn Sử dụng (1.4) ta có bất đẳng thức a1 +a2 +. . .+an ≤ a1 +. . .+ak +l(bk+1 +bk+2 +. . .+bn ), ∀n > k. (1.5) Đặt a1 + a2 + . . . + an = An và b1 + b2 + . . . + bn = Bn , bất đẳng thức trên trở thành An ≤ Ak + l(Bn − Bk ), ∀n > k. Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho Bn ta được An Ak − lBk ≤l+ . (1.6) Bn Bn Vì Bn → ∞, cố định k lấy giới hạn cận trên trong (1.6) ta nhận được An lim sup ≤ l. Nói cách khác, ta được bất đẳng thức n→∞ Bn a1 + . . . + an lim sup ≤ l, ∀l ≥ L, n→∞ b1 + . . . + bn
16 suy ra a1 + . . . + an lim sup ≤ L. n→∞ b1 + . . . + bn Để thấy rõ định lý trên là mở rộng của Định lý 1.2.1 chúng ta phát biểu lại dưới dạng tương đương sau. Định lý 1.2.11. Nếu {yn } là dãy tăng ngặt với lim yn = ∞, thì với bất n→∞ kì dãy {xn } có các bất đẳng thức sau xn xn − xn−1 lim sup ≤ lim sup ; (1.7) n→∞ yn n→∞ yn − yn−1 xn xn − xn−1 lim inf ≥ lim inf . (1.8) n→∞ yn n→∞ yn − yn−1 xn − xn−1 Đặc biệt, nếu dãy có giới hạn thì yn − yn−1 xn xn − xn−1 lim = lim . n→∞ yn n→∞ yn − yn−1 Chứng minh. Do lim yn = ∞, không mất tính tổng quát ta giả sử tất cả n→∞ các yn đều dương. Xét các dãy {an } và {bn }, xác định bởi a1 = x1 , b1 = y1 và an = xn − xn−1 , bn = yn − yn−1 , ∀n ≥ 2, khi đó ta có xn = a1 + . . . + an và yn = b1 + . . . + bn . Như vậy định lý được chứng minh. Từ kết quả mở rộng trên chúng ta thu được các hệ quả sau. Hệ quả 1.2.12. Bất kì dãy {an } ⊂ R ta có các bất đẳng thức sau a1 + a2 + . . . + an lim sup ≤ lim sup an ; (1.9) n→∞ n n→∞ a1 + a2 + . . . + an lim inf ≥ lim inf an . (1.10) n→∞ n n→∞ Đặc biệt, nếu dãy {an } có giới hạn thì a1 + a2 + . . . + an lim = lim an . n→∞ n n→∞ Chứng minh. Trường hợp đặc biệt của Định lý 1.2.10 với bn = 1.
17 Nhận xét 1.2.13. Bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến thích hợp, đặt xn = a1 + a2 + . . . + an ta thu được phát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau: Cho dãy bất kỳ {xn }, ta có các bất đẳng thức sau xn lim sup ≤ lim sup(xn − xn−1 ); (1.11) n→∞ n n→∞ xn lim inf ≥ lim inf (xn − xn−1 ). (1.12) n→∞ n n→∞ Đặc biệt, nếu dãy (xn − xn−1 )∞n=1 có giới hạn thì xn lim = lim (xn − xn−1 ). n→∞ n n→∞ Hệ quả 1.2.12 và dạng phát biểu tương đương của nó ta gọi chung là Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng. Hệ quả sau là mở rộng cho định lý trung bình nhân. Hệ quả 1.2.14. Với bất kì dãy số dương {an } có các bất đẳng thức sau √ lim sup n a1 a2 . . . an ≤ lim sup an ; (1.13) n→∞ n→∞ √ lim inf n a1 a2 . . . an ≥ lim inf an . (1.14) n→∞ n→∞ Đặc biệt, nếu dãy {an } có giới hạn thì √ lim n a1 a2 . . . an = lim an . n→∞ n→∞ Chứng minh. Đặt bn = ln an , ta có b1 + b2 + . . . + bn √ n a1 a2 . . . an = e n . Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng, ta có b1 + b2 + . . . + bn lim sup e n ≤ lim sup ebn ; n→∞ n→∞ b1 + b2 + . . . + bn lim inf e n ≥ lim inf ebn . n→∞ n→∞ Từ đây ta có điều phải chứng minh.