Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng phương trình nghiệm nguyên

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

525
lượt xem 209
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng phương trình nghiệm nguyên nhằm nêu ra được mốt số dạng phương trình nghiệm nguyên và phương pháp giải của từng dạng. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng phương trình nghiệm nguyên

Pi ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------- THÂN VĂN CƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Pii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------- THÂN VĂN CƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Chuyên ngành: Công nghệ sinh học Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Piii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M cl c M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 M T S KI N TH C CƠ B N 3 1.1. M t s k t qu c a s h c trong gi i phương trình nghi m nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Phương trình Điôphăng tuy n tính . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Các b s Pitago . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Phương trình Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3. Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 M T S D NG PHƯƠNG TRÌNH NGHI M NGUYÊN 23 2.1. Phương pháp gi i phương trình nghi m nguyên b ng cách phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Phương pháp l a ch n Modulo . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Phương pháp s d ng các tính ch t cơ b n c a s h c . 34 2.3.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Phương pháp lùi vô h n (phương pháp xu ng thang) . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 2.4.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.1. Mô t phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C THÂN VĂN CƯƠNG M TS D NG PHƯƠNG TRÌNH NGHI M NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60.46.40 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Lu n văn đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. Hà Huy Khoái Ph n bi n 1: PGS.TS Đàm Văn Nh , Đ i h c sư ph m Hà N i .................................................................. .................................................................... Ph n bi n 2: PGS. TS Nông Qu c Chinh, Đ i h c khoa h c, Đ i h c Thái Nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Lu n văn đư c b o v trư c h i đ ng ch m lu n văn h p t i Trư ng Đ i h c khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên Ngày 09 tháng 09 năm 2011 Có th tìm hi u t i Trung tâm h c li u - Đ i h c Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M đ u S h c là m t trong nh ng lĩnh v c c xưa nh t c a Toán h c, và cũng là lĩnh v c t n t i nhi u nh t nh ng bài toán, nh ng gi thuy t chưa có câu tr l i. Trên con đư ng tìm ki m l i gi i cho nh ng gi thuy t đó, có nhi u tư tư ng l n, nhi u lí thuy t l n c a toán h c đã n y sinh. Hơn n a, trong nh ng năm g n đây, S h c không ch là m t lĩnh v c c a toán h c lí thuy t, mà còn là lĩnh v c có nhi u ng d ng, đ c bi t trong lĩnh v c b o m t thông tin. Vì th , vi c trang b nh ng ki n th c cơ b n v s h c ngay t trư ng ph thông là h t s c c n thi t. Không như nhi u ngành khác c a toán h c, có r t nhi u thành t u hi n đ i và quan tr ng c a S h c có th hi u đư c ch v i nh ng ki n th c ph thông đư c nâng cao m t bư c. Do đó, đây chính là lĩnh v c thu n l i đ đưa h c sinh ti p c n nhanh v i khoa h c hi n đ i. Tuy nhiên, trong chương trình S h c trư ng ph thông hi n nay, môn S h c chưa đư c giành nhi u th i gian. Cũng vì th mà h c sinh thư ng r t lúng túng khi gi i bài toán S h c, đ c bi t là trong các kì thi ch n h c sinh gi i. Trong ph n S h c, các bài toán v Phương trình nghi m nguyên đóng vai trò quan tr ng trong vi c hình thành và nghiên c u lí thuy t đ hoàn thi n. Vi c gi i các bài toán v phương trình nghi m nguyên chính là vi c áp d ng các ki n th c c a s h c. Đây là m t trong nh ng bài toán cơ b n đư c đ c p nhi u trong các kì thi ch n h c sinh gi i c p t nh (thành ph ), Qu c gia, Qu c t . M c đích chính c a lu n văn là nêu ra đư c m t s d ng phương trình nghi m nguyên và phương pháp gi i c a t ng d ng. C th là phân lo i đư c các d ng phương trình thông qua h th ng bài t p gi i phương trình nghi m nguyên. Đ ng th i đưa ra đư c h th ng các bài t p tham Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 kh o cho t ng d ng. N i dung c a lu n văn g m 2 chương Chương 1: Trình bày các ki n th c cơ b n trong vi c áp d ng gi i phương trình nghi m nguyên. Chương 2: M t s d ng phương trình nghi m nguyên và phương pháp gi i. Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình c a GS.TSKH. Hà Huy Khoái - Vi n Toán H c Hà N i. Th y đã dành nhi u th i gian hư ng d n và gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t quá trình làm lu n văn. Tôi xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n Th y. Tôi xin c m ơn t i S N i V , S Giáo d c và Đào t o t nh B c Giang, trư ng THPT Tân Yên 2, t Toán trư ng THPT Tân Yên 2 đã t o đi u ki n giúp đ tôi hoàn thành khóa h c này. Tôi xin g i t i các Th y Cô khoa Toán, phòng Đào t o sau Đ i h c Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên, cũng như các Th y cô tham gia gi ng d y khóa Cao h c 2009-2011 l i c m ơn sâu s c v công lao d y d trong su t quá trình giáo d c, đào t o c a nhà trư ng. Đ ng th i tôi xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán K3A Trư ng Đ i H c Khoa H c đã đ ng viên giúp đ tôi trong quá trình h c t p và làm lu n văn này. Tuy nhiên do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a lu n văn th c sĩ, nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t mong đư c s đóng góp ý ki n c a các Th y Cô và đ c gi quan tâm t i lu n văn này. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2011 Tác gi THÂN VĂN CƯƠNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 Chương 1 M TS KI N TH C CƠ B N Trong chương này trình bày m t s ki n th c cơ b n c a m t s lo i phương trình như phương trình Điôphăng tuy n tính, phương trình Fermat, phương trình Pell... 1.1. M t s k t qu c a s h c trong gi i phương trình nghi m nguyên Đ nh lý 1.1.1. (Đ nh lý cơ b n v s nguyên t ). Cho n là s nguyên dương l n hơn 1. Khi đó n luôn có th bi u di n đư c m t cách duy nh t dư i d ng sau: n = pα1 .pα2 .....pαk 1 2 k . Trong đó k, αi (i = 1, 2, ..., k) là các s t nhiên và pi là các s nguyên t th a mãn: 1 < p1 < p2 < .... < pk . Đ nh lý 1.1.2. (Đ nh lý Euclid.) T n t i vô h n s nguyên t . Đ nh lý 1.1.3. (Đ nh lý cơ b n v m i liên h gi a tính chia h t và s nguyên t ). Gi s a, b là hai s nguyên dương, còn p là s nguyên t sao . . . cho ab. Khi đó ta ph i có ho c là a. ho c là b. .p. .p, .p. Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho hai s nguyên a và b. Ta nói r ng a đ ng dư vơi b theo Modulo m (m nguyên dương) và ký hi u a ≡ b(mod m) khi . và ch khi (a − b). .m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Các tính ch t cơ b n c a đ ng dư Tính ch t 1. N u a ≡ b(mod m) và c ≡ d(mod m) thì a + c ≡ b + d(mod m) và ac ≡ bd(mod m). Tính ch t 2. N u p là s nguyên t và ab ≡ 0 (mod p) thì a ≡ 0(mod p) hay b ≡ 0(mod p). Đ nh lý 1.1.4. (Đ nh lý Fermat). N u p là m t s nguyên t và a là m t s nguyên tùy ý thì . (ap − a). .p. Khi (a, p) = 1, thì ap−1 ≡ 1(modp). Đ nh lý 1.1.5. (Đ nh lý Euler) N u m là s nguyên dương và (a, m) = 1, thì aφ(m) ≡ 1(mod m) đây φ(m) là s các s nguyên dương nh hơn m và nguyên t cùng nhau v i m. ( φ(m) g i là Phi-hàm Euler) Đ nh lý 1.1.6. (Đ nh lý Wilson). p là s nguyên t khi và ch khi (p − 1)! + 1 chia h t cho p Đ nh lý 1.1.7. (Đ nh lý Fermat-Euler). N u p = 4k + 1, thì t n t i các s nguyên dương a, b sao cho p = a2 + b2 . Đ nh lý 1.1.8. (Đ nh lý ph n dư Trung Hoa). Gi s r và s là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau, a và b là hai s nguyên tùy ý. Khi đó t n t i m t s nguyên N sao cho N ≡ a(mod r) và N ≡ b(mod s). Ngoài ra N đư c xác đ nh m t cách duy nh t. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 1.2. Phương trình Điôphăng tuy n tính 1.2.1. Đ nh nghĩa Phương trình Điôphăng tuy n tính là phương trình có d ng: ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các s nguyên, các giá tr x, y cũng nh n các giá tr nguyên. Gi i phương trình Điôphăng (1) t c là tìm các c p s nguyên (x, y) th a mãn (1) Đ nh lý 1.2.1. Gi s a, b là các s nguyên, d là ư c chung l n nh t c a a và b. Khi đó phương trình ax + by = c không có nghi m nguyên n u d không là ư c c a c. N u d|c thì phương trình có vô s nghi m. Hơn n a n u x = x0 , y = y0 là m t nghi m nào đó c a phương trình thì m i nghi m c a phương trình có d ng: b x = x0 + ( d )n, y = y0 + a n. d Trong đó n là s nguyên. Ch ng minh. Gi s (x, y) là nghi m c a phương trình . Do d|a, d|b nên d|c. Như v y , n u d không là ư c c a c thì phương trình không có nghi m nguyên. Vì (a, b) = d nên t n t i s nguyên t và s sao cho d = as + bt(2) Cũng do d|c nên t n t i e nguyên sao cho de = c. Nhân hai v c a (2) v i c ta đư c : c = de = (as + bt)e = a(se) + b(te). Như v y, ta có m t nghi m c a phương trình cho b i x = x0 = se, y = y0 = te. Ta s ch ng minh t n t i vô s nghi m. Đ t x = x0 + d n, y = y0 − a n b d trong đó n nguyên. Ta th y c p (x, y) xác đ nh như trên là m t nghi m, vì ax + by = ax0 + a. d n + by0 − b a n = ax0 + by0 = c b d Ta ch còn ph i ch ng minh r ng, m i nghi m c a phương trình ph i có d ng nêu trên. Gi s (x, y) là m t nghi m tùy ý, t c là x.y nguyên và th a mãn ax + by = c. Khi đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 (ax + by) − (ax0 + by0 ) = 0 suy ra a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0 T c là a(x − x0 ) = b(y − y0 ) Chia hai v c a đ ng th c này cho d, ta đư c a b d (x − x0 ) = d (y − y0 ) (3) Do d = (a, b) nên a và d nguyên t cùng nhau. T đó suy ra y0 − y d b chia h t cho a , t c là t n t i n nguyên sao cho a n = y0 − y. Suy ra d d a y = y0 − d n. Thay giá tr này c a y vào phương trình (3) ta đư c b x = x0 + d n. Đ nh lý trên giúp ta tìm đư c nghi m c a phương trình Điôphăng tuy n tính. Ví d 1.2.1. Gi i phương trình nghi m nguyên sau: 3x + 17y = 159 (1) L i gi i. Ta nh n th y ư c chung l n nh t c a 3 và 17 b ng 1 nên d = 1. Gi s (x0 , y0 ) là nghi m nguyên th a mãn phương trình (1). Ta nh n th y . . 159 và 3x đ u chia h t cho 3 nên 17y . do đó y . .3 .3. Đ t y0 = 3t0 , t ∈ Z thay vào phương trình ta đư c 3x0 + 17.3t0 = 159 ⇔ x0 + 17t0 = 53 Do đó: x = 53 − 17t y = 3t V i t nguyên tùy ý Đ o l i thay các bi u th c c a x và y vào phương trình ta đư c nghi m đúng. V y phương trình (1) có vô s nghi m nguyên đư c xác đ nh b i công th c trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 1.3. Phương trình Fermat 1.3.1. Các b s Pitago B ba s nguyên dương (x, y, z) th a mãn phương trình: x2 + y 2 = z 2 đư c g i là m t b s Pitago - Tên g i đó xu t phát t Đ nh lý Pitago quen thu c. Như v y, (x, y, z) là m t b s Pitago khi và ch khi t n t i tam giác vuông có s đo hai c nh góc vuông là x và y , s đo c nh huy n b ng z (V i x, y, z là các s nguyên dương). Gi s các b s (3, 4, 5), (6, 8, 10).....là các b s Pitago. Rõ ràng là n u (x, y, z) là b Pitago thì (kx, ky, kz) cũng là m t b s Pitago v i m i s t nhiên k. Do đó, ta ch c n xét b ba s nguyên t cùng nhau. Đ nh nghĩa 1.3.1. B s Pitago (x, y, z) đư c g i là nguyên th y n u (x, y, z) = 1. Ví d 1.3.1. : Các b s (3, 4, 5), (5, 12, 13) là nguyên th y, b s (6, 8, 10) không nguyên th y. N u b ba s (x, y, z) là không nguyên th y, ch ng h n (x, y, z) = d, thì ( x , y , d ) là m t b s Pitago nguyên th y. Đ tìm b s Pitago d d z nguyên th y ta dùng B đ sau đây B đ 1.3.1. N u (x, y, z) là m t b Pitago nguyên th y thì (x, y) = (y, z) = (z, x) = 1.(ký hi u (x, y, z, ...) = d đư c hi u là UCLN c a các s x, y, z, .....). Ch ng minh. Gi s (x, y, z) là m t b s Pitago nguyên th y và (x, y) > 1. Khi đó t n t i s nguyên p sao cho p|(x, y). Vì p|x và p|y nên p|(x2 + y 2 ) = z 2 . Do p nguyên t mà p|z 2 nên p|z. T đó d n đ n mâu thu n v i gi thi t (x, y, z) = 1. V y (x, y) = 1. Tương t (x, z) = (y, z) = 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 B đ 1.3.2. Gi s (x, y, z) là b s Pitago nguyên th y. Khi đó x ch n, y l ho c x l , y ch n. Ch ng minh. Gi s (x, y, z) là m t b Pitago nguyên th y. Do B đ 1.2.1 (x, y) = 1, nên x và y không th cùng ch n. N u x, y cùng l thì ta có x2 ≡ y 2 ≡ 1 (mod 4) Nên z 2 = x2 + y 2 ≡ 2.(mod 4) Đi u đó vô lý. V y x và y không cùng tính ch n l . B đ 1.3.3. Gi s r, s, t là các s nguyên dương sao cho (r, s) = 1 và rs = t2 . Khi đó t n t i các s nguyên h, l sao cho r = l2 và s = h2 . Ch ng minh. N u r = 1 ho c s = 1 thì B đ là hi n nhiên. Ta gi s r > 1 và s > 1. Gi s các phân tích r, s, t ra th a s nguyên t ta đư c các d ng sau r = pα1 pα2 pα3 ....pαn 1 2 3 n α α s = pn+1 pn+2 ....pαm n+1 n+2 m β β β t = q1 1 q2 2 ....qk k Vì (r, s) = 1 nên các s nguyên t xu t hi n trong phân tích c a r và s là khác nhau. Do r.s = t2 nên αn+1 αn+2 2β 2β 2β pα1 pα2 pα3 ....pαn pn+1 pn+2 ....pαm = q1 1 q2 2 ....qk k . 1 2 3 n m T Đ nh lý cơ b n c a S h c ta suy ra r ng, các lũy th a nguyên t xu t hi n hai v c a đ ng th c ph i như nhau. V y m i pi ph i b ng m t qj nào đó, đ ng th i αi = 2βj . Do đó, m i s mũ αi đ u ch n nên αi nguyên. T đó suy ra r = l2 , s = h2 , trong đó l, h là các s nguyên: 2 α1 α2 αn l = p1 p2 ....pn2 2 2 αn+1 αn+2 αm h = pn+1 pn+2 ....pm 2 2 2 Đ nh lý sau mô t t t c các b s Pitago nguyên th y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 Đ nh lý 1.3.1. Các s nguyên dương (x, y, z) l p thành m t b Pitago nguyên th y, v i y ch n, n u và ch n u t n t i các s nguyên dương nguyên t cùng nhau m, n v i m > n, m l , n ch n ho c m ch n, n l sao cho x = m2 − n2 y = 2mn z = m2 + n2 . Ch ng minh. Gi s x, y, z là m t b s Pitago nguyên th y. T B đ 1.2.2 cho th y x l , y ch n, ho c ngư c l i. Vì ta gi thi t y ch n nên x, z đ u l . Do x + z và z − x đ u là s ch n, nên các s x+z = r, z−x = s 2 2 đ u là s nguyên. Vì x2 + y 2 = z 2 nên y 2 = z 2 − x2 = (z + x)(z − x). V y ( y )2 = ( z+x )( z−x ) = rs 2 2 2 Ta đ ý r ng (r, s) = 1. Th t v y, n u (r, s) = d thì do d|r, d|s nên d|(r + s) = z và d|(r − s) = x. Đi u đó có nghĩa là d|(z, x) = 1 nên d = 1. Áp d ng B đ 1.2.3 ta th y r ng t n t i các s nguyên m, n sao cho r = m2 , s = n2 . Vi t x, y, z thông qua m, n ta có x = r − s = m2 − n2 √ √ y = 4rs = 4m2 n2 = 2mn z = r + s = m2 + n2 Ta cũng có (m, n) = 1, vì m i ư c chung c a m và n cũng là ư c c a x = m2 − n2 , y = 2mn, z = m2 + n2 , nên là ư c chung c a (x, y, z). Mà x, y, z nguyên t cùng nhau nên (m, n) = 1. M t khác, m và n không đ ng th i là hai s l nên m ch n, n l ho c ngư c l i. V y m i b s Pitago nguyên th y có d ng đã nêu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 Đ ch ng t r ng b ba s x = m2 − n2 y = 2mn z = m2 + n2 . Trong đó m, n là các s nguyên dương, m > n, (m, n) = 1 và m = n và m ≡ n(mod 2) l p thành m t b s Pitago nguyên th y, trư c tiên ta nh n xét r ng x2 + y 2 = (m2 − n2 )2 + (2mn)2 = (m4 − 2m2 n2 + n4 ) + 4m2 n2 = m4 + 2m2 n2 + n4 = (m2 + n2 )2 = z2. Ta ch ng minh x, y, z nguyên t cùng nhau. Gi s ngư c l i (x, y, z) = d > 1. Khi đó t n t i s nguyên t p sao cho p|(x, y, z). Ta th y r ng p 2 vì x l ( do x = m2 − n2 trong đó m2 và n2 không cùng tính ch n l ). L i do p | x, p | z nên p | (z + x) = 2m2 và p | (z − x) = 2n2 . V y p | m và p | n: Mâu thu n v i (m, n) = 1. Do đó (x, y, z) = 1 t c là (x, y, z) là m t b s Pitago nguyên th y. Ví d 1.3.2. L y m = 5, n = 2 ta tìm đư c x = 21, y = 20, z = 29 là m t b s Pitago nguyên th y. 1.3.2. Phương trình Fermat Ta th y r ng phương trình x+y =z Có vô h n nghi m nguyên (x, y, z). Các b s Pitago cũng cho ta vô Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 h n nghi m nguyên c a phương trình x2 + y 2 = z 2 C như v y n u s mũ c a các bi n tăng lên, li u r ng phương trình xn + y n = z n v i n ≥ 3 có nghi m nguyên hay không? n u có thì s nghi m là h u h n hay vô h n? Đ nh lý 1.3.2. (Đ nh lý Fermat) Phương trình xn + y n = z n không có nghi m nguyên x, y, z khác 0 khi n là s nguyên, n ≥ 3. Đ nh lý Fermat đư c ch ng minh năm 1993 b i A. Wiles, v i vi c s d ng nh ng ki n th c cao nh t c a nhi u ngành toán h c khác nhau. Trong ph n này chúng ta s ch ng minh Đ nh lý l n Fermat cho trư ng h p n = 4. M t trong nh ng m u ch t c a phương pháp lùi vô h n do Fermat đ xu t. Đ nh lý 1.3.3. Phương trình x4 + y 4 = z 4 không có nghi m nguyên x, y, z khác 0. Ch ng minh. Gi s phương trình trên có nghi m nguyên x, y, z khác 0. Vì ta có th thay bi n tùy ý b i s đ i c a nó nên ta có th xem x, y, z là các s nguyên dương. Ta gi thi t (x, y) = 1. Th t v y, n u (x, y) = d thì x = dx1 , y = dy1 , trong đó x1 , y1 là các s nguyên dương. Ta s ch ra phương trình x4 + y 4 = z 2 không có nghi m nguyên dương vì v y phương trình x4 + y 4 = z 4 cũng không có nghi m nguyên dương. Vì x4 + y 4 = z 2 nên (dx1 )4 + (dy1 )4 = z 2 do đó: d4 (x4 + y1 ) = z 2 1 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 V y d4 | z 2 , suy ra d2 | z, nghĩa là z = d2 z1 v i z1 là s nguyên dương. Do đó d4 (x4 + y1 ) = (d2 z1 )2 = d4 z1 1 4 2 nên x4 + y1 = z1 1 4 2 Ta nh n đư c nghi m x4 + y 4 = z 2 v i các s nguyên dương x = x1 , y = y1 , z = z1 , trong đó (x1 , y1 ) = 1. Bây gi ta gi s x = x0 , y = y0 , z = z0 là nghi m c a phương trình x4 + y 4 = z 2 , trong đó (x0 , y0 ) = 1. Ta s ch ra t n t i nghi m khác g m các s nguyên dương x = x1 , y = y1 , z = z1 v i (x1 , y1 ) = 1 sao cho z1 < z0 . Vì x4 + y0 = z0 nên (x2 )2 + (y0 )2 = z0 , 0 4 2 0 2 2 t c là (x2 , y0 , z0 ) là m t b s Pitago. Hơn n a, (x2 , y0 ) = 1, vì n u p là 0 2 0 2 s nguyên t , p | x2 , p | y0 thì p | x0 , p | y0 , mâu thu n v i (x0 , y0 ) = 1. 0 2 Như v y, x2 , y0 , z0 là m t b s Pitago nguyên th y, t n t i các s 0 2 nguyên dương m, n v i (m, n) = 1, m ≡ n(mod2) và x2 = m2 − n2 0 2 y0 = 2mn z0 = m2 + n2 Trong đó có th xem y0 là s ch n. (n u c n thì đ i ký hi u x2 và y0 ). 2 0 2 T đ ng th c c a x2 ta đư c: 0 x2 + n2 = m2 0 Do (m, n) = 1 nên (x0 , n, m) là m t b s Pitago nguyên th y. T n t i các s nguyên dương r, s v i (r, s) = 1, r ≡ s(mod 2) và x 2 = r 2 − s2 0 n = 2rs m = r2 + s2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 2 Vì m l và (m, n) = 1, ta có (m, 2n) = 1. Do y0 = (2n)m nên t n t i các s nguyên dương z1 và w v i m = z1 , 2n = w2 . Vì w ch n, w = 2u, 2 trong đó u là s nguyên dương, nên u2 = n = rs 2 Do (r, s) = 1, t n t i các s nguyên dương x1 , y1 sao cho r = x2 , s = y1 . 1 2 1 4 2 Chú ý r ng vì (r, s) = 1 nên d suy ra (x1 , y1 ) = 1. Như v y, x4 +y1 = z1 , trong đó x1 , y1 , z1 là các s nguyên dương v i (x1 , y1 ) = 1. Hơn n a, ta có z1 < z0 vì z1 ≤ z1 = m2 < m2 + n2 = z0 4 Đ k t thúc ch ng minh đ nh lý, gi s x4 + y 4 = z 4 có ít nh t m t nghi m nguyên. Do nguyên lý s p th t t t, trong s các nghi m nguyên dương, t n t i nghi m nguyên v i giá tr z0 bé nh t. Tuy nhiên ta đã ch ra r ng, t nghi m này ta có th tìm nghi m khác v i giá tr bé hơn c a bi n z. T đó d n đ n mâu thu n. Như v y ta đã đư c đi u ph i ch ng minh. * V Đ nh lý l n Fermat Ta bi t có vô s b ba s nguyên dương th a mãn phương trình x2 + y 2 = z 2 . Đương nhiên xu t hi n m t câu h i: có ba s nguyên dương nào th a mãn phương trình x3 + y 3 = z 3 không? Vào năm 1637, nhà toán h c Pháp Fermat (Pierre de Fermat, 1601 – 1665) đã nêu lên m nh đ sau, đư c g i là đ nh lý l n Fermat: Phương trình xn + y n = z n (v i n là s nguyên l n hơn 2) không có nghi m nguyên dương. Fermat đã vi t vào l cu n S h c c a Điôphăng, c nh m c gi i phương trình x2 +y 2 = z 2 “Không th phân tích đư c m t l p phương đúng thành t ng c a hai l p phương, không th phân tích đư c m t trùng phương thành t ng c a hai trùng phương, và nói chung v i b t c lũy th a nào l n hơn 2 thành t ng c a hai lũy th a cùng b c. Tôi đã tìm đư c cách ch ng minh kì di u m nh đ này, nhưng l sách này quá ch t nên không th ghi l i đư c.” Năm 1670, năm năm sau khi Fermat m t, con trai ông đã công b m nh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn