Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày lại kết quả rất gần đây của Panda và Ray [5] về một số mối liên hệ giữa các số cân bằng, các số đối cân bằng với các số Pell và các số Pell liên kết. Đặc biệt, sự liên hệ của các loại số này còn được thể hiện qua nghiệm của một số phương trình Diophant thú vị. Các mối liên hệ này được tìm ra dựa trên công thức Binet đối với các loại số này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ LIÊN HỆ CỦA SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG VỚI SỐ PELL VÀ SỐ PELL LIÊN KẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ LIÊN HỆ CỦA SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG VỚI SỐ PELL VÀ SỐ PELL LIÊN KẾT Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2016
Mục lục Danh sách kí hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1 . Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất . . . . . . . . . . 4 1.2 Số Pell và số Pell liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Số cân bằng và số đối cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Số Lucas-cân bằng và số Lucas-đối cân bằng . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2 . Một số liên hệ quan trọng 11 2.1 Một số mối liên hệ liên quan đến tổng và tích . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Một số mối liên hệ liên quan đến các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Một số mối liên hệ liên quan đến các hàm số học . . . . . . . . . . . 21 Chương 3 . Nghiệm của một số phương trình Diophant 26 3.1 Phương trình x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) . . . . . . . . 26 3.2 Phương trình 1 + 2 + · · · + x = y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Phương trình 1 + 2 + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y 2 . . . . 33 3.4 Một số phương trình Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 i
Danh sách kí hiệu Bn số cân bằng thứ n Rn hệ số cân bằng thứ n bn số đối cân bằng thứ n rn hệ số đối cân bằng thứ n Cn số Lucas-cân bằng thứ n cn số Lucas-đối cân bằng thứ n Pn số Pell thứ n Qn số Pell liên kết thứ n √ α1 số vô tỷ 1 + 2 √ α2 số vô tỷ 1 − 2 ii
Lời mở đầu Từ xa xưa, nghiên cứu về các con số luôn là nguồn cảm hứng bất tận đối với các nhà toán học. Đã có rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu các số tam giác, tức là các số tự nhiên có dạng 1 + 2 + · · · + n, với n là một số tự nhiên nào đó. Khi nghiên cứu về phương trình Diophant 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), Behera và Panda [2] đã phát hiện ra mối liên hệ giữa số n trong nghiệm (n, r) với những số tam giác chính phương. Họ đã gọi n là số cân bằng và r là hệ số cân bằng tương ứng. Đồng thời, họ cũng tìm ra được rất nhiều tính chất đẹp và thú vị của số cân bằng. Một trong số các tính chất đó là nếu B là một số cân bằng thì 8B 2 + 1 là một √ số chính phương và ngược lại. Số C = 8B 2 + 1, với B là số cân bằng, được gọi là số Lucas-cân bằng. Panda và Ray [4] đã nghiên cứu một phương trình Diophant khác 1 + 2 + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r). Với nghiệm (n, r) của phương trình này, họ gọi n là số đối cân bằng và r là hệ số đối cân bằng tương ứng. Trong nghiên cứu này, Panda và Ray đã tìm ra nhiều mối liên hệ chặt chẽ giữa các số cân bằng với các số đối cân bằng, giữa các số đối cân bằng với các số chính phương. Đặc biệt, nếu b là một số đối cân bằng thì 8b2 + 8b + 1 là một số √ chính phương và ngược lại. Số c = 8b2 + 8b + 1, với b là một số đối cân bằng, được gọi là số Lucas-đối cân bằng. Một số tính chất thú vị nói trên về các số cân bằng và các số đối cân bằng đã được Hoàng Thị Hường [1] trình bày lại bằng tiếng Việt. 1
Mục đích của luận văn này là trình bày lại kết quả rất gần đây của Panda và Ray [5] về một số mối liên hệ giữa các số cân bằng, các số đối cân bằng với các số Pell và các số Pell liên kết. Đặc biệt, sự liên hệ của các loại số này còn được thể hiện qua nghiệm của một số phương trình Diophant thú vị. Các mối liên hệ này được tìm ra dựa trên công thức Binet đối với các loại số này. Cấu trúc luận văn Luận văn được trình bày thành ba chương • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương đầu tiên này, chúng tôi trình bày sơ lược về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất; về khái niệm các số cân bằng, số đối cân bằng, số Pell, số Pell liên kết, số Lucas-cân bằng và số Lucas-đối cân bằng. • Chương 2: Một số liên hệ quan trọng. Trong chương này, chúng tôi trình bày các tính chất thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa các loại số nói trên. Chúng tôi đã phân loại các tính chất này và trình bày thành ba mục khác nhau: một số mối liên hệ liên quan đến các tổng riêng và phân tích thành tích; một số mối liên hệ có liên quan đến các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng; một số mối liên hệ liên quan đến các hàm số học như trung bình cộng, ước chung lớn nhất, hàm phần nguyên. • Chương 3: Nghiệm của một số phương trình Diophant. Chương cuối cùng này chúng tôi trình bày các kết quả của Panda và Ray về nghiệm của bốn loại phương trình Diophant đặc biệt được biểu diễn hoàn toàn thông qua các loại số đã trình bày ở các chương trước. Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của thầy hướng dẫn TS. Ngô Văn Định trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư, tiến sĩ đang công tác tại Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức để nâng cao trình độ của mình. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn 2
sâu sắc tới tất cả các thầy, cô. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, 2016 Nguyễn Thị Huệ 3
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương đầu tiên này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức được sử dụng trong nội dung chính của luận văn. Cụ thể, chúng tôi nhắc lại sơ lược về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất; nhắc lại về khái niệm các số Pell, số Pell liên kết, số cân bằng và số đối cân bằng. Ngoài ra, chúng tôi nhắc lại một vài tính chất của số cân bằng và số đối cân bằng. Tài liệu tham khảo chính của chương này là [1], [2] và [4]. 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày về công thức nghiệm của phương trình này trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt. Đây là những kiến thức cần thiết cho các nội dung sau. Định nghĩa 1.1.1. Phương trình có dạng un+2 = Aun+1 + Bun , n = 1, 2, ..., (1.1) trong đó A, B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất. Để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1), chúng ta xét phương trình bậc hai α2 − Aα − B = 0. (1.2) 4
Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1.1). Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình sai phân (1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt. Định lý 1.1.2 ([3, Theorem 10.1]). Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α1 và α2 . Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là un = C1 α1n + C2 α2n , n = 1, 2, ..., (1.3) trong đó C1 và C2 là những số bất kì. Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì các hằng số C1 và C2 hoàn toàn được xác định. Khi đó, dãy số {un }∞ n=1 được xác định bởi aα1n−1 − bα2n−1 un = (1.4) α1 − α2 trong đó α1 , α2 là hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.2) và a = u2 − u1 α2 , b = u2 − u1 α1 . Ví dụ 1.1.3. Ta sẽ xét ở đây một ví dụ rất quen thuộc về dãy số Fibonacci {Fn } được xác định bởi phương trình sai phân Fn+2 = Fn+1 + Fn (1.5) với điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = 1. Phương trình đặc trưng của phương trình (1.5) là λ2 − λ − 1 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là √ √ 1+ 5 1− 5 λ1 = và λ2 = . 2 2 Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) là √ !n √ !n 1+ 5 1− 5 Fn = C1 + C2 , n = 1, ... 2 2 5
Từ điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = 1 ta có hệ phương trình  √ ! √ !  1+ 5 1− 5 C1 + C2 = 1,   2 2  √ !2 √ !2  1 + 5 1 − 5 C1 + C2 = 1.    2 2 1 Giải hệ phương trình này ta được C1 = −C2 = √ . Từ đó suy ra số hạng tổng quát 5 của dãy số Fibonacci là " √ !n √ !n # 1 1+ 5 1− 5 Fn = √ − , n = 1, 2, ... 5 2 2 1.2 Số Pell và số Pell liên kết Với n = 1, 2, . . . , số Pell Pn và số Pell liên kết Qn lần lượt được xác định bởi P1 = 1, P2 = 2, Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , n = 2, 3, ... (1.6) và Q1 = 1, Q2 = 3, Qn+1 = 2Qn + Qn−1 , n = 2, 3, ... (1.7) Như vậy số Pell và số Pell liên kết được xác định bởi cùng một phương trình sai phân nhưng với các điều kiện ban đầu khác nhau. Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân xác định hai dãy số này là α2 − 2α − 1 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là √ √ α1 = 1 + 2 và α2 = 1 − 2. Áp dụng công thức nghiệm (1.4) ta thu được α1n − α2n α1n + α2n Pn = √ , Qn = . (1.8) 2 2 2 Các công thức này được gọi là công thức Binet cho dãy số Pell và dãy số Pell liên kết. 6
1.3 Số cân bằng và số đối cân bằng Khái niệm về số cân bằng được Behera và Panda [2] đưa ra. Khái niệm về số đối cân bằng được Panda và Ray [4] đưa ra. Các tác giả này cũng tìm ra được rất nhiều tính chất thú vị của các số này. Các kết quả đó đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường. Ở đây, chúng tôi chỉ nêu ra định nghĩa và một số ít các tính chất của hai số này. Định nghĩa 1.3.1. Số nguyên m được gọi là số cân bằng nếu 1 + 2 + · · · + (m − 1) = (m + 1) + (m + 2) + · · · + (m + r) với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số cân bằng của m. Ta coi 1 là số cân bằng đầu tiên với hệ số cân bằng là 0. Kí hiệu Bn là số cân bằng thứ n. Behera và Panda [2] đã chứng minh được dãy {Bn }∞ n=0 được xác định bởi phương trình sai phân Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , n = 1, 2, ..., (1.9) với điều kiện ban đầu B0 = 1, B1 = 6. Như vậy, ta có {Bn }∞ n=0 = B(6, −1, 1, 6). Phương trình đặc trưng của phương trình (1.9) là λ2 − 6λ + 1 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt √ √ λ1 = 3 + 2 2 và λ2 = 3 − 2 2. Áp dụng công thức (1.4) ta được công thức Binet λn+1 − λn+1 Bn = 1 2 , n = 0, 1, 2, ... (1.10) λ1 − λ2 7
Chú ý rằng √ √ √ √ 3 + 2 2 = (1 + 2)2 và 3 − 2 2 = (1 − 2)2 . Do đó, công thức Binet (1.10) có thể viết dưới dạng α12n − α22n Bn = √ . (1.11) 4 2 Định nghĩa 1.3.2. Số nguyên m được gọi là số đối cân bằng nếu 1 + 2 + · · · + m = (m + 1) + (m + 2) + · · · + (m + r) với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số đối cân bằng của m. Khái niệm về số đối cân bằng được Panda và Ray [4] đưa ra. Coi 0 là số đối cân bằng đầu tiên và kí hiệu bn là số đối cân bằng thứ n. Khi đó ta có quan hệ truy hồi tuyến tính b1 = 1, b2 = 2, bn+1 = 6bn − bn−1 + 2. (1.12) Từ đây ta có được công thức Binet cho các số đối cân bằng α12n−1 − α22n−1 1 bn = √ − . (1.13) 4 2 2 Ngoài các mối quan hệ truy hồi tuyến tính nói trên, các số cân bằng và các số đối cân bằng còn có một số quan hệ truy hồi phi tuyến sau Các công thức truy hồi phi tuyến là [1, 3] p B1 = 1, Bn+1 = 3Bn + 8Bn2 + 1, (1.14) p b1 = 1, bn+1 = 3bn + 8b2n + 8bn + 1 + 1. (1.15) Và p Bn−1 = 3Bn − 8Bn2 + 1, (1.16) p bn−1 = 3bn − 8b2n + 8bn + 1 + 1. (1.17) Hai khái niệm số cân bằng và số đối cân bằng có mối quan hệ rất chặt chẽ với nhau. Mối quan hệ này được thể hiện bởi định lý dưới đây Định lý 1.3.3. Mọi số cân bằng là một hệ số đối cân bằng và mọi số đối cân bằng là một hệ số cân bằng. Cụ thể ta có Bn = rn+1 và Rn = bn với n = 1, 2, . . ., trong đó Rn là hệ số cân bằng thứ n và rn là hệ số đối cân bằng thứ n. 8
1.4 Số Lucas-cân bằng và số Lucas-đối cân bằng Một trong những đặc trưng quan trọng của số cân bằng và số đối cân bằng là 8Bn2 + 1 và 8b2n + 8bn + 1 là số chính phương. Với n = 1, 2, ..., ta gọi p Cn = 8Bn2 + 1 là số Lucas-cân bằng thứ n và p cn = 8b2n + 8bn + 1, là Lucas-số đối cân bằng thứ n. Các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng có nhiều tính chất thú vị và có mối quan hệ chặt chẽ với các số cân bằng và đối cân bằng (xem trong [1]). Ở đây, chúng tôi chỉ trình bày một vài tính chất của các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng. Định lý 1.4.1. Các dãy số Lucas-cân bằng và dãy số Lucas-đối cân bằng thỏa mãn các công thức truy hồi tương tự như dãy các số cân bằng. Cụ thể, ta có C1 = 3, C2 = 17, Cn+1 = 6Cn − Cn−1 và c1 = 1, c2 = 7, cn+1 = 6cn − cn−1 với n = 2, 3, . . . . Chứng minh. Từ (1.14) ta có 2 2 Cn+1 = 8Bn+1 +1 p 2 2 = 8 3Bn + 8Bn + 1 + 1 p 2 2 = 3 8Bn + 1 + 8Bn = (3Cn + 8Bn )2 . Do đó Cn+1 = 3Cn + 8Bn . (1.18) Tương tự, từ (1.16) ta có Cn−1 = 3Cn − 8Bn . (1.19) Kết hợp (1.18) và (1.19) ta thu được Cn+1 = 6Cn − Cn−1 . 9
Một cách tương tự ta có cn+1 = 3cn + 8bn + 4, (1.20) và cn−1 = 3cn − 8bn − 4. (1.21) Kết hợp (1.20) và (1.21) ta thu được cn+1 = 6cn − cn−1 . (1.22) Nhận xét 1.4.2. Từ định lý 1.4.1 và công thức nghiệm tổng quát (1.4) của phương trình sai phân tuyến tính ta thu được công thức Binet cho các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng: α12n + α22n α12n−1 + α22n−1 Cn = , cn = , n = 1, 2, . . . . (1.23) 2 2 10
Chương 2 Một số liên hệ quan trọng Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số mối liên hệ quan trọng và thú vị giữa các số cân bằng và các số đối cân bằng với các số Pell và số Pell liên kết. Tương tự chương trước, trong chương này chúng tôi tiếp tục sử dụng kí hiệu α1 = √ √ 1 + 2, α2 = 1 − 2. Ngoài ra, chúng tôi sử dụng kí hiệu (m, n) cho ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương m và n. Ta cũng chú ý ngay rằng α1 α2 = −1 và tích này sẽ được sử dụng ở các chứng minh tiếp theo mà không có chú thích gì thêm. 2.1 Một số mối liên hệ liên quan đến tổng và tích Định lý sau đây cho chúng ta thấy rằng số cân bằng chính là tích của số Pell và số Pell liên kết cùng cấp (tức là cùng số thứ tự). Định lý 2.1.1. Với n = 1, 2, . . ., số cân bằng thứ n là tích của số Pell thứ n và số Pell liên kết thứ n. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn và Qn từ (1.8) và của Bn từ (1.11) ta thu được α12n − α22n Bn = √ 4 2 αn − αn αn + α22 = 1√ 2 · 1 = Pn Qn . 2 2 2 Định lý sau cho ta thấy rằng mỗi số đối cân bằng được phân tích thành tích của một số Pell và một số Pell liên kết. 11
Định lý 2.1.2. Với n = 1, 2, . . . hệ số cân bằng thứ 2n bằng với tích của số Pell thứ 2n và số Pell liên kết thứ (2n − 1); hệ số cân bằng thứ (2n + 1) bằng với tích của số Pell thứ 2n và số Pell liên kết thứ (2n + 1). Chứng minh. Áp dụng Định lí 1.3.3 và các công thức Binet của Pn và Qn trong (1.8) và của bn trong (1.11), ta thu được α12n − α22n α12n−1 − α22n−1 P2n Q2n−1 = √ · 2 2 2 4n−1 4n−1 α − α2 − α1 − α2 = 1 √ 4 2 4n−1 4n−1 α −α 1 = 1 √ 2 − = R2n , 4 2 2 và α12n − α22n α12n+1 − α22n+1 P2n Q2n+1 = √ · 2 2 2 4n+1 4n+1 α − α2 − α1 + α2 = 1 √ 4 2 2(2n+1)−1 2(2n+1)−1 α1 − α2 1 = √ − = R2n+1 . 4 2 2 Định lí được chứng minh. Behera và Panda [2] đã chứng minh được rằng nếu n là số cân bằng với hệ số cân bằng r thì số tam giác thứ n + r là n2 . Định lý sau đây se cho chúng ta sự tương ứng giữa tổng n + r với tổng riêng bậc lẻ của dãy các số Pell. Định lý 2.1.3. Tổng riêng thứ 2n − 1 của dãy các số Pell bằng tổng của số cân bằng thứ n và hệ số làm cân bằng của số đó. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và của Bn và bn trong (1.11), ta có α1 − α2 α12 − α22 α12n−1 − α22n−1 P1 + P2 + · · · + P2n−1 = √ + √ + ··· + √ 2 2 2 2 2 2 12
α12n−1 −1 α2n−1 −1 α1 ( − α2 ( 2α2 −1 ) α1 −1 ) = √ 2 2 α1 (α12n−1 − 1) − α2 (α22n−1 − 1) = 4 2n 2n α1 + α2 1 = − 4 2 α1 (1 − α2 ) − α22n (1 − α1 ) 1 2n = √ − 4 2 2 α12n − α22n α12n−1 − α22n−1 1 = √ + √ − 4 2 4 2 2 = Bn + bn . Theo Định lí 1.3.3 ta có bn = Rn và do đó ta có điều phải chứng minh. Panda và Ray [4] cũng đã chứng minh rằng nếu n là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng r thì số tam giác thứ (n + r) là số pronic thứ n. Định lí sau chứng tỏ mối liên quan của số n + r này với các tổng riêng bậc chẵn của dãy các số Pell. Định lý 2.1.4. Tổng của 2n số Pell đầu tiên bằng với tổng của số đối cân bằng thứ (n + 1) và hệ số đối cân bằng của số đó. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và Bn và bn trong (1.11), ta có α1 − α2 α12 − α22 α2n − α2n P1 + P2 + · · · + P2n = √ + √ + ··· + 1 √ 2 2 2 2 2 2 2 2n 2n −1 −1 α1 ( αα11 −1 ) − α2 ( αα22 −1 ) = √ 2 2 α1 (α1 − 1) − α2 (α22n − 1) 2n = 4 2n+1 2n+1 α1 + α2 1 = − 4 2 α1 (1 − α2 ) − α22n+1 (1 − α1 ) 1 2n+1 = √ − 4 2 2 α12n+1 − α22n+1 1 α12n − α22n = √ − + √ 4 2 2 4 2 = bn+1 + Bn . Theo Định lí 1.3.3 ta có Bn = rn+1 và do đó ta có điều phải chứng minh. 13
Hai định lý trên cho chúng ta các mối liên quan giữa các tổng riêng của dãy các số Pell với các số cân bằng và đối cân bằng. Hai định lý tiếp theo cho ta mối liên quan giữa các tổng riêng của dãy các số Pell có bậc lẻ và dãy các số Pell bậc chẵn với các số cân bằng và các số đối cân bằng. Định lý 2.1.5. Tổng của n số Pell có bậc lẻ đầu tiên bằng số cân bằng thứ n (và do đó bằng hệ số đối cân bằng thứ (n + 1)). Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và Bn và bn trong (1.11), ta có α1 − α2 α13 − α23 α12n−1 − α22n−1 P1 + P3 + · · · + P2n−1 = √ + √ + ··· + √ 2 2 2 2 2 2 2n 2n −1 −1 α1 ( αα12 −1 ) − α2 ( αα22 −1 ) = 1 √ 2 2 2 (α − 1) − (α22n − 1) 2n = 1 √ 4 2 α2n − α2n = 1 √ 2 = Bn . 4 2 Chứng minh được hoàn thành. Định lý 2.1.6. Tổng của n số Pell có bậc chẵn đầu tiên bằng với số đối cân bằng thứ (n + 1) (và do đó bằng hệ số cân bằng thứ n + 1). Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và Bn và bn trong (1.11), ta có α12 − α22 α14 − α24 α12n − α22n P2 + P4 + · · · + P2n = √ + √ + ··· + √ 2 2 2 2 2 2 2n 2n −1 −1 α12 ( αα12 −1 ) − α22 ( αα22 −1 ) = 1 √ 2 2 2 α1 (α1 − 1) − α2 (α22n − 1) 2n = √ 4 2 α2n+1 − α22n+1 1 = 1 √ − = bn+1 . 4 2 2 Theo Định lí 1.3.3 ta có bn+1 = Rn+1 và do đó chứng minh được hoàn thành. 14
Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa các tổng riêng của các số Pell liên kết có bậc lẻ với tổng của các số cân bằng và hệ số cân bằng tương ứng. Định lý 2.1.7. Tổng của n số Pell liên kết có bậc lẻ đầu tiên bằng với tổng của số cân bằng thứ n và hệ số cân bằng của số đó. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8) và Bn và bn trong (1.11), ta có α1 + α2 α13 + α23 α2n−1 − α22n−1 Q1 + Q3 + · · · + Q2n−1 = + + ··· + 1 2 2 2 α12n −1 α22n −1 α1 ( α2 −1 ) − α2 ( α2 −1 ) 1 2 = 2 (α − 1) + (α22n − 1) 2n = 1 4 α12n + α22n 1 = − . 4 2 Theo chứng minh trong Định lí 2.1.3 đã chỉ ra rằng α12n + α22n 1 − = Bn + Rn . 4 2 Do đó chứng minh được hoàn thành. Tương tự, định lí sau cho ta mối liên quan giữa các tổng riêng của các số Pell liên kết bậc chẵn với tổng của các số đối cân bằng và các hệ số đối cân bằng của nó. Định lý 2.1.8. Tổng của n số Pell liên kết có bậc chẵn đầu tiên bằng với tổng của số đối cân bằng thứ (n + 1) và hệ số đối cân bằng của số đó. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8), ta có α12 + α22 α14 + α24 α12n − α22n Q2 + Q4 + · · · + Q2n = + + ··· + 2 2 2 2n 2n 2 α1 −1 2 α2 −1 α1 ( α2 −1 ) + α2 ( α2 −1 ) 1 2 = 2 (α12n − 1) + (α22n − 1) = 4 α12n+1 + α22n+1 1 = − . 4 2 15
Theo chứng minh trong Định lí 2.1.4, ta có α12n+1 + α22n+1 1 − = bn+1 + rn+1 . 4 2 Từ đó ta có điều phải chứng minh. Hai định lý tiếp theo cho chúng ta mối liên hệ giữa các tổng riêng bậc chẵn và bậc lẻ của dãy các số Pell liên kết với các số cân bằng và các số đối cân bằng. Định lý 2.1.9. Tổng của 2n − 1 số Pell liên kết đầu tiên bằng hai lần số cân bằng thứ n trừ đi 1. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8) và Bn trong (1.11), ta có α1 + α2 α12 + α22 α2n−1 + α22n−1 Q1 + Q2 + · · · + Q2n−1 = + + ··· + 1 2 2 2 α12n−1 −1 α22n−1 −1 α1 ( α2 −1 ) − α2 ( α2 −1 ) 1 2 = 2 α1 (α12n−1 − 1) − α2 (α22n−1 − 1) = 4 α12n − α22n = −1 4 = 2Bn − 1. Định lý 2.1.10. Tổng của 2n số Pell liên kết đầu tiên bằng với hai lần số đối cân bằng thứ (n + 1). Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8) và bn trong (1.11), ta có α1 + α2 α12 + α22 α2n + α22n Q1 + Q2 + · · · + Q2n = + + ··· + 1 2 2 2 α12n −1 α22n −1 α1 ( α1 −1 ) − α2 ( α2 −1 ) = 2 α1 (α12n − 1) − α2 (α22n − 1) = √ 2 2 16