Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm về số cân bằng được tìm ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Behera và Panda. Sau đó, rất nhiều tính chất đẹp của số cân bằng được tìm thấy. Năm 2012, Keskin và Karaatli đã tìm ra một số tính chất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương. Bên cạnh việc nghiên cứu các tính chất của số cân bằng, nhiều nhà toán học cũng đã nghiên cứu việc sử dụng các số cân bằng để giải một số dạng phương trình Diophant.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2018
Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Chương 1 . Một số tính chất của số cân bằng 3 1.1 Khái niệm về số cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Khái niệm số tam giác chính phương . . . . . . . . . . 4 1.3 Khái niệm số đối cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Một số dãy liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Một số kết quả của Keskin và Karaatli . . . . . . . . . 13 Chương 2 . Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng 24 2.1 Nghiệm nguyên dương của phương trình Pell . . . . . 25 2.2 Nghiệm nguyên dương của một số phương trình Diophant 26 2.3 Lũy thừa trong dãy các số cân bằng và các số Lucas cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Lũy thừa trong tích các số hạng của các số cân bằng . . 45 i
2.5 Lũy thừa trong tích của các số Lucas cân bằng . . . . . 49 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 ii
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Văn Định, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Ngô Văn Định, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Thương iii
Mở đầu Một số tự nhiên n được gọi là số cân bằng với hệ số cân bằng r nếu nó là nghiệm của phương trình Diophant 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r). Khái niệm về số cân bằng được tìm ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Behera và Panda. Sau đó, rất nhiều tính chất đẹp của số cân bằng được tìm thấy (xem [1]). Năm 2012, Keskin và Karaatli [4] đã tìm ra một số tính chất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương. Bên cạnh việc nghiên cứu các tính chất của số cân bằng, nhiều nhà toán học cũng đã nghiên cứu việc sử dụng các số cân bằng để giải một số dạng phương trình Diophant. Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số tính chất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương và một số kết quả về việc sử dụng số cân bằng, số Pell, số Lucas cân bằng trong việc giải phương trình Diophant. Cấu trúc của luận văn Luận văn được trình bày thành 2 chương: 1
• Chương 1. Một số tính chất mới của số cân bằng. Mục đích của Chương này là giới thiệu sơ lược về số cân bằng, số tam giác chính phương và trình bày lại kết quả của Keskin và Karaatli [4]. • Chương 2. Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng. Mục đích của Chương này là trình bày lại một số kết quả về phương trình Diophant có liên quan đến số cân bằng. Tài liệu tham khảo chính của chương này là [2, 3]. 2
Chương 1 Một số tính chất của số cân bằng Chương này trình bày các khái niệm về số cân bằng, số đối cân bằng, số tam giác, số tam giác chính phương và một số tính chất của số cân bằng được trình bày trong tài liệu [4]. 1.1 Khái niệm về số cân bằng Định nghĩa 1.1.1. Số nguyên dương n được gọi là số cân bằng nếu 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.1) với một số nguyên dương r nào đó. Ở đây r được gọi là hệ số cân bằng ứng với số cân bằng n. Ví dụ 1.1.2. Các số 6, 35 và 204 là các số cân bằng với các hệ số cân bằng lần lượt là 2, 14 và 84. Mệnh đề 1.1.3. Nếu n là một số cân bằng với hệ số cân bằng tương ứng là r thì (n + r)(n + r + 1) n2 = (1.2) 2 và do đó √ −(2n + 1) + 8n2 + 1 r= (1.3) 2 3
Chứng minh. Từ (1.1), ta có 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (n − 1)n r(r + 1) ⇒ = rn + 2 2 ⇒ n2 − n = 2rn + r2 + r (∗) ⇒ 2n2 = n2 + 2rn + r2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)(n + r + 1) (n + r)(n + r + 1) ⇒ n2 = 2 Thêm nữa, từ (*) suy ra r2 + (2n + 1)r − n2 + n = 0. Ta có ∆ = 8n2 + 1 > 0 , suy ra √ −(2n + 1) ± 8n2 + 1 r= . 2 Vì r nguyên dương nên √ −(2n + 1) + 8n2 + 1 r= . 2 Mệnh đề được chứng minh. 1.2 Khái niệm số tam giác chính phương Định nghĩa 1.2.1. Số tam giác là số có dạng 1+2+· · ·+n với n ∈ Z+ . 4
Nhận xét 1.2.2. Dễ thấy số N là số tam giác nếu N có thể viết dưới n(n + 1) dạng N = . 2 Định nghĩa 1.2.3. Số N là số tam giác chính phương nếu nó vừa có n(n + 1) thể viết dưới dạng N = m2 vừa có thể viết dưới dạng N = , 2 tức là nghiệm nguyên của phương trình n(n + 1) m2 = . 2 Nhận xét 1.2.4. 1. Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và chỉ nếu n2 là số tam giác. Do đó n là số cân bằng nếu và chỉ nếu n2 là số tam giác chính phương. 2. Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và chỉ nếu 8n2 + 1 là số chính phương. 1.3 Khái niệm số đối cân bằng Định nghĩa 1.3.1. Số nguyên dương n được gọi là số đối cân bằng nếu 1 + 2 + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.4) với một số nguyên dương r nào đó. Ở đây r được gọi là hệ số đối cân bằng ứng với số đối cân bằng n. Ví dụ 1.3.2. Các số 2, 14 và 84 là các số cân bằng với các hệ số đối cân bằng lần lượt là 1, 6 và 35. Mệnh đề 1.3.3. Nếu n là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng 5
tương ứng là r thì (n + r)(n + r + 1) n(n + 1) = (1.5) 2 và do đó √ −(2n + 1) + 8n2 + 8n + 1 r= (1.6) 2 Chứng minh. Từ (1.4), ta có 1 + 2 + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) n(n + 1) r(r + 1) ⇒ = rn + 2 2 ⇒ n(n + 1) = 2rn + r2 + r (∗) ⇒ 2n(n + 1) = n(n + 1) + 2rn + r2 + r ⇒ 2n(n + 1) = (n + r)2 + n + r (n + r)(n + r + 1) ⇒ n(n + 1) = 2 Thêm nữa, từ (*) suy ra r2 + (2n + 1)r − n2 − n = 0. Ta có ∆ = 8n2 + 8n + 1 > 0 , suy ra √ −(2n + 1) ± 8n2 + 8n + 1 r= . 2 Vì r nguyên dương nên √ −(2n + 1) + 8n2 + 8n + 1 r= . 2 Mệnh đề được chứng minh. 6
Định nghĩa 1.3.4. Một số được gọi là số pronic nếu nó có thể viết dưới dạng n(n + 1) với n là số nguyên dương nào đó. Nhận xét 1.3.5. 1. Số nguyên dương n là số đối cân bằng nếu và chỉ nếu n(n + 1) là số tam giác. Do đó, n là số đối cân bằng nếu và chỉ nếu n(n + 1) là số tam giác pronic. 2. Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và chỉ nếu 8n2 + 8n + 1 là số chính phương. 1.4 Một số dãy liên quan Trong mục này, chúng tôi trình bày lại khái niệm về dãy Fibonaci (Un ) và dãy Lucas (Vn ). Định nghĩa 1.4.1. Cho k và t là hai số tự nhiên khác không. Dãy số Fibonaci được định nghĩa như sau: U0 = 0, U1 = 1, Un+1 = kUn + tUn−1 , ∀n > 1. Dãy số Lucas được định nghĩa như sau: V0 = 2, V1 = k, Vn+1 = kVn + tVn−1 , ∀n > 1. Các số Fibonaci và số Lucas với chỉ số âm được định nghĩa bởi: −Un Vn U− n = , V− n = , ∀n > 1. (1.7) (−t)n (−t)n Trong trường hợp k = t = 1 thì (Un ) và (Vn ) lần lượt được gọi là dãy Fibonaci và dãy Lucas cổ điển và được ký hiệu là (Fn ) và (Ln ). 7
Các số đầu tiên của dãy (Fn ) là 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Các số đầu tiên của dãy (Ln ) là 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, .... Trong trường hợp k = 2, t = 1 thì (Un ) và (Vn ) lần lượt được gọi là dãy Pell và dãy Pell-Lucas và được ký hiệu là (Pn ) và (Qn ). Như vậy, ta có P0 = 0, P1 = 1, Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , ∀n > 1 và Q0 = 2, Q1 = 2, Qn+1 = 2Qn + Qn−1 , ∀n > 1. Một vài số đầu tiên của dãy (Pn ) là 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, .... Một vài số đầu tiên của dãy (Qn ) là 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, .... Trong trường hợp k = 6, t = −1 ta sẽ ký hiệu lại (Un ) và (Vn ) lần lượt bởi các (un ) và (vn ). Khi đó u0 = 0, u1 = 1, un+1 = 6un − un−1 , ∀n > 1 và v0 = 2, v1 = 6, vn+1 = 6vn − vn−1 , ∀n > 1. Một vài số đầu tiên của dãy (un ) là 0, 1, 6, 35, 204, .... Một vài số đầu tiên của dãy (vn ) là 2, 6, 34, 198, 1154, .... Hơn nữa, từ (1.7) ta thấy rằng u−n = −un , v−n = vn , ∀n > 1. 8
1.5 Một số tính chất Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số tính chất của các dãy (Pn ), (Qn ), (un ) và (vn ). Các tính chất này sẽ hữu ích trong phần chứng minh các vn − 2 tính chất mới của dãy (yn ) với yn = . 4 Định lý 1.5.1. Cho γ và δ là các nghiệm của phương trình đặc trưng x2 − 2x − 1 = 0. γ n − δn Khi đó ta có Pn = √ và Qn = γ n + δ n , với n ≥ 0. 2 2 Định lý 1.5.2. Cho α và β là các nghiệm của phương trình đặc trưng x2 − 6x + 1 = 0. Khi đó ta có αn − β n un = √ (1.8) 4 2 và vn = α n + β n , với n ≥ 0. Các công thức trên được gọi là công thức Binet cho các dãy tương ứng. Đặt Bn là số cân bằng thứ n. Khi đó, theo tài liệu [1] ta có số cân bằng tuân theo công thức truy hồi sau Bn+1 = 6Bn − Bn−1 và B0 = 1, B1 = 6. Do vậy, ta dễ dàng suy ra được √ n √ n (3 + 8) − (3 − 8) αn − β n Bn = √ = √ . (1.9) 2 8 4 2 9
Từ Định lý 1.5.1 và Định lý 1.5.2 ta dễ dàng thấy rằng Bn = un = 2 , P2n Q2n = vn với n là số nguyên dương. Do đó, theo tài liệu [4] ta có một số tính chất đã biết của (Pn ), (Qn ), (Bn ) và (vn ) sau đây: Q2n − 8Pn2 = 4(−1)n , (1.10) vn2 − 32Bn2 = 4, (1.11) Bn2 − 6Bn Bn−1 + Bn−1 2 = 1, (1.12) Q2n = Q2n + 2(−1)n , (1.13) B2n = Bn vn , (1.14) P2n = Pn Qn , (1.15) vn2 = v2n + 2, (1.16) Pn+1 + Pn−1 = Qn . (1.17) Để thấy rõ mối quan hệ mật thiết giữa số cân bằng và số tam giác chính phương, chúng ta có thể nhắc lại định lý sau đây, đặc trưng cho tất cả các số tam giác chính phương. Định lý này được suy trực tiếp từ nhận xét 1.2.4. Định lý 1.5.3. Một số tự nhiên x là một số tam giác chính phương nếu và chỉ nếu x = Bn2 với n là số tự nhiên. vn − 2 Vì yn = nên suy ra 4 vn2 − 4 1 (vn − 2) 2 (vn − 2) yn (yn + 1) Bn = = +1 = . 32 2 4 4 2 10
y(y + 1) Do đó, có thể thấy x2 = với x, y là các số nguyên dương nếu 2 và chỉ nếu x = Bn và y = yn với n là số tự nhiên. Bây giờ ta sẽ chứng minh bổ đề sau đây. Bổ đề 1.5.4. Dãy số (yn ) thỏa mãn hệ thức truy hồi yn+1 = 6yn − yn−1 + 2, với n ≥ 1, trong đó y0 = 0 và y1 = 1. vn − 2 Chứng minh. Ta có yn = nên 4 vn − 2 vn−1 − 2 6yn − yn−1 + 2 = 6 − +2 4 4 6vn − vn−1 − 2 = 4 vn+1 − 2 = 4 = yn+1 . Một số phần tử đầu tiên của dãy (yn ) là 0, 1, 8, 49, 288.... Với n = 1, 2, ... ta ký hiệu bn là số đối cân bằng thứ n và (bn ) là dãy các số đối cân bằng. Ta thấy chuỗi các số đối cân bằng thỏa mãn hệ thức truy hồi đưa ra trong Bổ đề 1.5.4. Tức là bn+1 = 6bn − bn−1 + 2, với n ≥ 1, trong đó b0 = 0 và b1 = 2. Một số phần tử đầu tiên của dãy số đối cân bằng là 0, 2, 14, 84, 492, ..... Mối quan hệ mật thiết giữa số đối cân bằng, số cân bằng và dãy (yn ) được thể hiện qua các bổ đề sau đây. 11
Bổ đề 1.5.5. Với mọi số n ≥ 1, bn = yn + Bn và bn = yn+1 − Bn+1 . Bổ đề 1.5.6. Với mọi số n ≥ 1, y2n = 8Bn2 và y2n+1 = 8Bn Bn+1 + 1. Chứng minh. Áp dụng các đẳng thức (1.11) và (1.16), ta có (vn2 − 4) (v2n − 2) y2n Bn2 = = = . 32 32 8 Suy ra y2n = 8Bn2 . Mặt khác, từ yn+1 = 6yn − yn−1 + 2 yn+1 + yn−1 − 2 dễ dàng thấy yn = . Sử dụng y2n = 8Bn2 ta được 6 (y2n+2 + y2n − 2) y2n+1 = 6 (8Bn+1 + 8Bn2 − 2) 2 = 6 8(Bn+1 + Bn2 ) − 2 2 = . 6 Từ Bn2 + Bn−1 2 = 6Bn Bn−1 + 1 theo tính chất 1.12, ta có 2 8(Bn+1 + Bn2 ) − 2 y2n+1 = 6 8(6Bn Bn−1 + 1) − 2 = 6 = 8Bn Bn+1 + 1. Suy ra điều cần chứng minh. Từ tính chất 1.13, ta dễ dàng thu được định lý sau đây. Q2n Định lý 1.5.7. Nếu n là số tự nhiên lẻ thì yn = . Nếu n là số tự 4 Q2n nhiên chẵn thì yn = − 1. 4 12
vn −2 Q2n −2 Chứng minh. Ta có yn = 4 = 4 Theo tính chất 1.13 ta có: Nếu n lẻ thì Q2n = Q2n +2, nếu n chẵn thì Q2n = Q2n −2. Do đó, nếu n là số Q2n Q2n tự nhiên lẻ thì yn = , nếu n là số tự nhiên chẵn thì yn = −1. 4 4 Theo các bổ đề và định lý trên, ta có nhận xét sau. Q22n+1 Nhận xét 1.5.8. 1. Vì y2n+1 = 8Bn Bn+1 + 1 và y2n+1 = nên 4 Bn Bn+1 là số tam giác. 2. Theo bổ đề 1.5.6 thấy rằng yn là số lẻ nếu và chỉ nếu n là số lẻ và yn là số chẵn nếu và chỉ nếu n là số chẵn. 1.6 Một số kết quả của Keskin và Karaatli Dựa vào các tính chất đã nêu ở mục trước, trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất mới của các số cân bằng và các số tam giác chính phương mà Keskin và Karaatli đã tìm ra được trình bày trong tài liệu [4]. Vấn đề quan tâm chính của các kết quả này là liệu tích của hai số cân bằng lớn hơn 1 có phải là một số cân bằng không? Tích của hai số tam giác chính phương lớn hơn 1 liệu có phải là một số tam giác không? Ta sẽ thấy rằng câu trả lời là không. Tương tự, liệu tích của hai số pronic có phải là một số pronic không? Ví dụ đơn giản: 2 và 6 là hai số pronic. Tích của chúng 2 × 6 = 12 và 12 = 3(3 + 1) là một số pronic khác. Tương tự 3 và 15 là hai số tam giác. Tích của chúng 9(9 + 1) 3 × 15 = 45 và 45 = là một số tam giác. Dễ dàng thấy tích 2 13
của hai số pronic liên tiếp là một số pronic vì [(x − 1)x][x(x + 1)] = (x2 − 1)x2 . Trước khi trình bày các kết quả chính của Keskin và Karaatli, chúng ta nhắc lại một số tính chất sau đây cần thiết cho việc chứng minh sau này. Định lý 1.6.1. Cho n ∈ N ∪ {0} và m, r ∈ Z. Khi đó P2mn+r ≡ (−1)(m+1)n Pr (modQm ), (1.18) Q2mn+r ≡ (−1)(m+1)n Qr (modQm ), (1.19) P2mn+r ≡ (−1)mn Pr (modPm ) (1.20) và Q2mn+r ≡ (−1)mn Qr (modPm ). (1.21) Định lý 1.6.2. Cho n ∈ N ∪ {0} và m, r ∈ Z. Khi đó B2mn+r ≡ Br (modBm ), (1.22) v2mn+r ≡ vr (modum ), (1.23) B2mn+r ≡ (−1)n Br (modvm ) (1.24) và v2mn+r ≡ (−1)n vr (modvm ). (1.25) Từ hai định lý trên, ta có thể chứng minh được các định lý sau đây. 14
Định lý 1.6.3. Cho m, n ∈ N và m ≥ 2. Khi đó Pm | Pn nếu và chỉ nếu m | n. Định lý 1.6.4. Cho m, n ∈ N và m ≥ 2. Khi đó Qm | Qn nếu và chỉ n nếu m | n và là số nguyên lẻ. m Định lý 1.6.5. Cho m, n ∈ N và m ≥ 2. Khi đó Qm | Pn nếu và chỉ n nếu m | n và là số nguyên chẵn. m P2n Vì Bn = và vn = Q2n nên từ các định lý trên và đẳng thức 1.24 2 ta có các định lý sau. Định lý 1.6.6. Cho m, n ∈ N và m ≥ 2. Khi đó Bm | Bn nếu và chỉ nếu m | n. Định lý 1.6.7. Cho m, n ∈ N và m ≥ 1. Khi đó vm | vn nếu và chỉ nếu n m | n và là số nguyên lẻ. m Định lý 1.6.8. Cho m, n ∈ N và m ≥ 1. Khi đó vm | un nếu và chỉ nếu n m | n và là số nguyên chẵn. m Ta nhắc lại thêm hai định lý sau đây. Định lý 1.6.9. Cho m ≥ 1 và n ≥ 1. Khi đó (Bm , Bn ) = B(m,n) . Hệ quả 1.6.10. Cho m ≥ 1 và n ≥ 1. Khi đó (Bm 2 , Bn2 ) = B(m,n) 2 . Định lý 1.6.9 nói rằng ước chung lớn nhất của hai số cân bằng bất kỳ lại là một số cân bằng. Như một kết luận của định lý, Hệ quả 1.6.10 nói rằng ước chung lớn nhất của hai số tam giác chính phương bất kỳ 15