Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của không gian Lorentz và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Không gian Lorentz được đưa ra từ năm 1950 bởi nhà toán học George Lorentz và có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các bài toán về sự tồn tại và tính chính quy nghiệm. Gần đây, nhiều kết quả về đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic dạng divergence thu được trên không gian Lorentz, hoặc trên không gian L p yếu (không gian Marcinkiewicz), thường được xem như một trường hợp đặc biệt của không gian Lorentz.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của không gian Lorentz và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hoài Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hoài Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 1 năm 2020 Bùi Hoài Nhân
Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi cũng gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Toán Giải tích K28 đã hết lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn. Tp.HCM, ngày 30 tháng 1 năm 2020 Tác giả Bùi Hoài Nhân
Mục lục Lời nói đầu 1 Bảng ký hiệu 3 1 Không gian Marcinkiewicz 4 1.1 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Không gian Lp yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Không gian Lorentz 20 2.1 Hàm hoán vị giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Hàm cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Không gian Lorentz Lp,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Ứng dụng sự tồn tại nghiệm của phương trình p-Laplace 45 3.1 Xây dựng ánh xạ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình (3.1) . . . . . 50 Tài liệu tham khảo 52
1 Lời nói đầu Không gian Lorentz được đưa ra từ năm 1950 bởi nhà toán học George Lorentz và có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các bài toán về sự tồn tại và tính chính quy nghiệm. Gần đây, nhiều kết quả về đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic dạng divergence thu được trên không gian Lorentz, hoặc trên không gian Lp yếu (không gian Marcinkiewicz), thường được xem như một trường hợp đặc biệt của không gian Lorentz. Nhờ vào các đánh giá này, sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng như phương trình p-Laplace, phương trình dạng Ricatti, . . . cũng được chứng minh. Nội dung luận văn tập trung khảo sát một số tính chất trong không gian Lorentz, các định nghĩa về chuẩn và nửa chuẩn trong không gian này. Ngoài ra luận văn khảo sát mối liên hệ về sự tương đương giữa chuẩn và nửa chuẩn trong không gian Lorentz. Các kết quả này là công cụ hữu ích để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng Riccati trên không gian Lorentz. Cụ thể, trong luận văn này chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm renormalized (tham khảo trong [8]) của phương trình dạng p-Laplace   −∆ u = |∇u|q + µ trong X, p (1)  u = 0 trên ∂X, trong không gian Lorentz Ls,t . Các kết quả tham khảo chủ yếu trong các bài báo [14], [16], [17]. Nội dung chính của luận văn “Một số tính chất của không gian Lorentz 1
2 và ứng dụng ” là tìm hiểu về một số tính chất quan trọng của không gian Lorentz và chỉ ra được sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình p- Laplace trong không gian Lorentz. Nội dung luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1: Không gian Marcinkiewicz. Nội dung chính của phần này là hệ thống lại một số kiến thức liên quan đến không gian Lp và không gian Lp yếu được tham khảo trong 2 quyển sách của L. Grafakos là [4] và [3]. Chương 2: Không gian Lorentz. Nội dung của chương gồm định nghĩa không gian Lorentz và chuẩn của không gian Lorentz với tài liệu tham khảo chính của là [7] và quyển sách [13] của F. L. Santos. Chúng tôi sẽ trình bày lại khái niệm không gian Lorentz như một trường hợp khái quát hơn của không gian Lp và không gian Lp yếu. Đồng thời cũng trình bày hai chuẩn tương đương trong không gian Lorentz để thuận tiện hơn trong chương 3. Chương 3: Ứng dụng sự tồn tại nghiệm của phương trình p- Laplace. Nội dung chính của chương là trình bày lại kết quả tồn tại nghiệm của phương trình dạng p- Laplace trong không gian Lorentz. Chúng tôi đã chứng minh kết quả này bằng cách áp dụng định lý điểm bất động Schauder của một toán tử liên tục xác định trên một tập lồi, đóng và có ảnh là một tập compact. Nội dung của chương được tham khảo trong các bài báo [14],[16],[15] và [17] của các tác giả M.-P. Tran và T.-N. Nguyen.
3 Bảng ký hiệu Lp Không gian Lebesgue. Lp,∞ Không gian Marcinkiewicz. Lp,q Không gian Lorentz. k.kLp (X,µ) Tựa chuẩn trong không gian Lp (X, µ) với 0 < p ≤ ∞. |||.|||Lp,∞ Chuẩn của không gian Lp yếu với p > 1. k.kLp,q Tựa chuẩn trong không gian Lorentz Lp,q , là chuẩn trong trường hợp 1 ≤ q ≤ p hoặc p = q = ∞. µ(E ) Độ đo µ của tập E. |||.|||Lp,q Chuẩn tương đương trong không gian Lorentz Lp,q với 1 < p < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞. df Hàm phân phối của hàm f với độ đo µ. mf Hàm phân phối của hàm f với độ đo m. f∗ Hàm hoán vị giảm của hàm f . f ∗∗ Hàm cực đại của hàm f . ∇u Gradient của hàm u. ∆p Toán tử p-Laplace. M0 (X ) Không gian độ đo có biến phân bị chặn và liên tục tuyệt đối. 3
4 Chương 1 Không gian Marcinkiewicz 1.1 Không gian Lebesgue Định nghĩa 1.1.1. ([3]) Cho X là một không gian độ đo, µ là một độ đo dương và không nhất thiết phải hữu hạn trên X. Cho 0 < p < ∞, Lp (X, µ) là một tập các hàm đo được trên X được định nghĩa Z p p L (X, µ) = f đo được trên X : |f | dµ < ∞ . X Tập L∞ (X, µ) là tập tất cả các hàm f đo được trên X sao cho tồn tại B > 0 để tập {x : f (x) > B} có độ đo bằng 0. Hai hàm được gọi là bằng nhau trong Lp (X, µ) nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên X, nghĩa là hai hàm bằng nhau trên X, ngoại trừ tập có độ đo bằng 0. Kí hiệu Lp (Rn ) nghĩa là không gian Lp (Rn , |·|), trong đó |·| là độ đo Lebesgue n chiều. Độ đo Lebesgue trong Rn cũng được kí hiệu là dx. Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết Lp (X, µ) đơn giản là Lp . Không gian Lp (Z) được trang bị độ đo kí hiệu là `p (Z) hoặc đơn giản là `p . Cho 0 < p < ∞, ta định nghĩa tựa chuẩn của một hàm f trong Lp bởi   p1 Z p kf kLp (X,µ) =  |f (x)| dµ (x) , (1.1) X 4
5 và nếu p = ∞ kf kL∞ (X,µ) = ess.sup|f | = inf {B > 0 : µ({x : f (x) > B}) = 0}. (1.2) Sau đây là một số tính chất của k·kLp (X,µ) với 0 < p ≤ ∞. Mệnh đề 1.1.2. (Bất đẳng thức H¨older [3]) Cho 0 < p, p1 , p2 , ..., pk ≤ ∞ với k ≥ 2, và fj ∈ Lpj = Lpj (X, µ). Giả sử 1 1 1 = + ... + . p p1 pk (i) Với f1 , f2 , ..., fk ∈ LP thì kf1 ...fk kLp ≤ kf1 kLp1 ...kfk kLpk . (1.3) (ii) Nếu pj là hữu hạn, với j = 1, k thì dấu đẳng thức trong (i) xảy ra trong p1 pk trường hợp c1 |f1 | = ... = ck |fk | hầu khắp nơi với mỗi cj ≥ 0. −1 (iii) Cho 0 < q < 1. Với r < 0 và g > 0 hầu khắp nơi, kgkLr = g −1 L|r| . Khi đó với f ≥ 0, g > 0 hầu khắp nơi ta có kf gkL1 ≥ kf kLq kgkLq0 , (1.4) q với q 0 = là liên hợp H¨older của q. q−1 Chứng minh. Ta chứng minh (i) bằng phương pháp quy nạp. Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với trường hợp k = 2. Nghĩa là với 1 1 1 = + thì kf1 f2 kLp ≤ kf1 kLp1 kf2 kLp2 . p p1 p2 Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p = 1, khi đó ta sẽ chứng minh 1 1 + = 1 thì kf1 f2 kL1 ≤ kf1 kLp1 kf2 kLp2 . p1 p2 Vì kf1 f2 kL1 ≤ kf1 kLp1 kf2 kL∞ và kf1 f2 kL1 ≤ kf1 kL∞ kf2 kLp2 với mọi x nên trường hợp p1 = 1, p2 = ∞ và p1 = ∞, p2 = 1 đã dược chứng minh.
6 Do đó ta có thể giả sử 1 < p1 , p2 < ∞. Nếu kf1 kLp1 = 0 hoặc kf2 kLp2 = 0 thì f1 = 0 hầu khắp nơi hoặc f2 = 0 hầu khắp nơi . Suy ra f1 f2 = 0 hkn. Do đó kf1 f2 kL1 = 0 hkn nên kf1 f2 kL1 ≤ kf1 kLp1 kf2 kLp2 . Từ đó ta có thể giả sử rằng kf1 kLp1 > 0, kf2 kLp2 > 0. Bằng cách thay thế f1 f2 f1 bời , f2 bởi ta có thể giả sử kf1 kLp1 = kf2 kLp2 = 1. Đặt kf1 kLp1 kf2 kLp2 cp1 1 f (c) = + − c với c ≥ 0. Ta có f 0 (c) = cp−1 − 1. Khi đó: p1 p2 c 0 1 +∞ f 0 (c) − 0 + Ta thấy min f (c) = 0 khi c = 1. Cho a, b > 0, lấy c = ab−p2 /p1 thì [0,+∞) ap1 1 0 ≤ f (c) = + − ab−p2 /p1 (1.5) p1 bp2 p2 ap1 bp2 1 1 Suy ra + ≥ abp2 −p2 /p1 = ab vì p2 1 − = p2 = 1 . Dấu đẳng thức p1 p2 p1 p2 xảy ra nếu và chỉ nếu 1 = c = ab−p2 /p1 ⇔ ap1 = bp2 . Sử dụng bất đẳng thức (1.5) với a = kf1 kLp1 , b = kf2 kLp2 ta có: Z kf1 f2 kL1 = |f1 (x) f2 (x)| dµ (x) Z
1 1 ≤
[f1 (x)]p1 + [f2 (x)]p2
dµ (x)
p1 p2 1 1 = kf1 kLp1 + kf2 kLp2 p1 p2 1 1 = + = 1. p1 p2 Vậy kf1 f2 kL1 ≤ kf1 kLp1 kf2 kLp2 . Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với k − 1, nghĩa là kf1 ...fk−1 kLp0 ≤ kf1 kLp1 ...kf2 kLpk−1 , (1.6)
7 1 1 1 với = + ... . Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với k bằng p0 p1 pk−1 k−1 Q cách đặt g = fj . Khi đó j=1 kf1 ...fk−1 fk kLp = kgfk kLp ≤ kgkLp0 kfk kLpk . Áp dụng (1.6) thì bất đẳng thức đã được chứng minh. Từ cách chứng minh ở trên ta thấy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi |f1 |p1 |fk |pk = ... = hkn. kfk kLp1 kfk kLpk Áp dụng (i) ta có q q −q q −q k|f | kL1 = |f g| |g| ≤ k|f g| k 1q |g| . (1.7) 1 L1 L L 1−q Mặt khác, ta lại có Z Z 1q .q q q q q k|f | kL1 = |f | dµ = |f | dµ = kf kLq , X X Z q Z q 1 q q q q k|f g| k 1 = |f g| dµ = |f g| dµ = kf gkL1 , Lq X X Z 1 1−q 1−q Z q 1−q q .q −q −q