Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất hữu ích của đường cong hyperbol

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày các định nghĩa và các khái niệm cơ bản về đường cong hyperbol, cách vẽ một hyperbol, thiết lập phương trình dạng chuẩn của hyperbol, đường tiệm cận của hyperbol, cách vẽ đồ thị một hyperbol, quan hệ hyperbol với các đường cônic khác và tính chất phản xạ của hyperbol. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất hữu ích của đường cong hyperbol

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TS. TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2016
i Mục lục Danh sách hình vẽ iv Mở đầu 1 Chương 1. ĐƯỜNG CONG HYPERBOL 4 1.1 Định nghĩa và các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phương trình chuẩn của hyperbol . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Đường tiệm cận của hyperbol . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Hyperbol với tâm là điểm cho trước . . . . . . . . . . . 13 1.5 Quan hệ với các đường cônic khác . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Tính chất phản xạ của hyperbol . . . . . . . . . . . . . 21 1.7 Một số bài tập ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HYPER- BOL 33 2.1 Giới thiệu khái quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Hyperbol trong hàng hải . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Hyperbol trong kiến trúc, xây dựng . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Kiến trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2 Năng lượng hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Hyperbol trong Vật lý thiên văn . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.1 Khoa học không gian . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.2 Hyperbol với hệ mặt trời . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Hyperbol trong đời sống . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.1 Gương hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.2 Hệ thống định vị từ xa . . . . . . . . . . . . . . 44
ii 2.5.3 Mô hình hóa bằng hyperbol . . . . . . . . . . . 45 2.5.4 Nghệ thuật nhiếp ảnh . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6 Một số bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54
iii Danh sách hình vẽ 1.1 Hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Vẽ một Hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Hyperbol với tiêu điểm trên Ox. . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Hyperbol với tiêu điểm trên Oy . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Đường tiệm cận của hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Hyperbol với tiêu điểm trên Ox. . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Hyperbol với tiêu điểm trên Oy . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Ví dụ 1.2a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Ví dụ 1.2b.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.10 Ví dụ 1.2c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.11 Tâm của hyperbol tại điểm (h, k ) trong hai trường hợp: trục thực nằm ngang và trục thực nằm dọc. . . . . . . . . 13 1.12 Tâm của hyperbol tại điểm (h, k ) = (2, 2). . . . . . . . . 14 1.13 Các đường tiệm cận của hyperbol tâm là (h, k ). . . . . . 14 1.14 Tìm phương trình chuẩn nhờ đường tiệm cận. . . . . . . 15 1.15 Ví dụ 1.4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.16 Đồ thị của hyperbol ở Ví dụ 1.4.6. . . . . . . . . . . . . . 17 1.17 Tâm sai e lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.18 Tâm sai e nhỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.19 Thiết diện cônic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.20 Tiêu điểm và đường chuẩn của các đường cônic . . . . . . 20 1.21 Tính chất phản quang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
iv 1.22 Góc tới bằng góc phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.23 Hình bài tập 1.7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.24 Hình bài tập 1.7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1 Sao chổi quanh mặt trời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Cung thiên văn St. Louis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Xác định vị trí con tàu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Hyperbol với d1 − d2 = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Xác định vị trí con tàu nhờ ba trạm phát tín hiệu. . . . . 36 2.6 Xác định vị trí của vụ nổ trên một nhánh hyperbol. . . . 37 2.7 Hyperbolic paraboloid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.8 Phần hyperbol của vòm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.9 Tháp làm mát hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.10 Phần hyperbol của vỏ tháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.11 Gương không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.12 Sơ đồ gương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.13 Quỹ đạo của sao chổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.14 Gương hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.15 Hệ thống định vị từ xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.16 Thiết diện hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.17 Tiếng ồn máy bay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.18 Bài tập2.6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.19 Hạt chuyển động bị lệch hướng . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.20 Xác định vị trí vụ nổ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.21 Hai tòa nhà hình hyperbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1 Mở đầu Các đường cônic, nói riêng đường hyperbol, đã rất quen thuộc trong khoa học, ở các trường phổ thông, cũng như trong đời sống. Chúng là mô hình cho nhiều quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên: quĩ đạo của các thiên thể hay quĩ đạo của các hạt điện tích (như electron) là các đường cônic, nói riêng một số sao chổi chuyển động quanh mặt trời theo quĩ đạo là một nhánh hyperbol. Trong thực tế, ta cũng thường thấy một số công trình kiến trúc (nhà thờ, trung tâm văn hóa, cung thiên văn, tháp cao làm mát của nhà máy điện nguyên tử . . . ) hay một số đồ vật có hình dạng đường cong hyperbol, trong kỹ thuật còn có các thấu kính, gương và bánh răng cưa hình hyperbol, . . . Như vậy, đường cong hyperbol có những tính chất rất đáng chú ý, đã và đang được sử dụng nhiều trong toán học, vật lý, thiên văn, địa lý, kiến trúc, xây dựng và cả trong kỹ thuật. Đề tài luận văn "Một số tính chất hữu ích của đường cong hyperbol " có mục đích tìm hiểu và trình bày các tính chất của đường cong hyperbol và một số ứng dụng của đường hyperbol trong khoa học, kỹ thuật và trong đời sống thường ngày. Luận văn chủ yếu tìm hiểu các định nghĩa, các khái niệm và các tính chất cơ bản của hyperbol, đặc biệt là tính chất phản xạ (ánh sáng), cách biểu diễn đại số, các dạng phương trình của hyperbol, . . . , các ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và đời sống, đặc biệt là bài toán xác định vị trí tàu thuyền trên biển, vật bay trên không, xác định nơi xẩy ra tiếng nổ, . . . , cùng với một số bài tập áp dụng đơn giản.
2 Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo lấy từ nguồn Internet, không trùng lặp với bất cứ tài liệu tiếng Việt nào đã có trước đó. Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1 "Đường cong hyperbol " trình bày các định nghĩa và các khái niệm cơ bản về đường cong hyperbol, cách vẽ một hyperbol, thiết lập phương trình dạng chuẩn của hyperbol, đường tiệm cận của hyperbol, cách vẽ đồ thị một hyperbol, quan hệ hyperbol với các đường cônic khác và tính chất phản xạ của hyperbol. Cuối chương, nêu một số bài tập ứng dụng về đường cong hyperbol. Chương 2 "Áp dụng các tính chất của hyperbol " trình bày một số ứng dụng thường gặp của đường cong hyperbol trong kỹ thuật (sóng vô tuyến, thấu kính, gương, bánh răng), trong kiến trúc xây dựng công trình (lâu đài, nhà thờ, cung điện, tháp làm mát ở nhà máy điện hạt nhân . . . ), quĩ đạo hyperbol (vệ tinh, sao chổi) trong các ngành thiên văn, địa lý, xác định vị trí tàu thuyền (trên biển, trên không), nơi xẩy ra tiếng nổ. Cuối chương một số bài tập ứng dụng cũng được chỉ ra. Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra với những lập luận, diễn giải đơn giản, dễ hiểu nhất có thể và với nhiều ví dụ và hình vẽ minh họa phong phú, cụ thể. Sau một thời gian cố gắng và nỗ lực làm việc nghiêm túc dưới sự hướng dẫn của thầy, GS. TS. Trần Vũ Thiệu, đến nay luận văn của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã luôn tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa Toán- Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt
3 Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Yên Bái, nơi tôi công tác và giảng dạy, đã luôn tạo mọi điều kiện thuận lợi về thời gian và tinh thần để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, bạn bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Tuyết Mai
4 Chương 1 ĐƯỜNG CONG HYPERBOL Chương này trình bày các định nghĩa, các khái niệm cơ bản về đường cong hyperbol, cách vẽ một hyperbol, phương trình chuẩn của hyperbol, đường tiệm cận của hyperbol và tính chất phản xạ của hyperbol. Xét mối liên hệ giữa đường hyperbol với các đường cônic khác (elip, parabol). Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ [1- 3] và [5]. 1.1 Định nghĩa và các khái niệm cơ bản Có nhiều định nghĩa về hyperbol. Sau đây là một định nghĩa thông dụng. Định nghĩa 1.1.1. Một hyperbol (hyperbola) là tập hợp của tất cả các điểm P trong mặt phẳng sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai khoảng cách từ P tới hai điểm cố định trong mặt phẳng là một hằng số dương. Hai điểm cố định, ký hiệu F và F 0 , được gọi là hai tiêu điểm (focus). Các giao điểm V và V 0 của đường thẳng đi qua hai tiêu điểm và hai nhánh của hyperbol gọi là các đỉnh (vertices). Đoạn thẳng V V 0 gọi là trục thực (transverse axis). Trung điểm của trục thực gọi là tâm (center) của hyperbol (xem Hình 1.1). Để vẽ một hyperbol ta dùng thước kẻ, bút chì, đinh ghim và một sợi dây (xem Hình 1.2). Cắm hai đinh ghim trên một tấm bìa cứng. Những
5 Hình 1.1: Hyperbol. Hình 1.2: Vẽ một Hyperbol. điểm này tạo thành tiêu điểm của hyperbol. Đặt góc thước kẻ vào tiêu điểm F 0 sao cho nó có thể xoay tự do quanh điểm này. Lấy một đoạn dây ngắn hơn chiều dài thước kẻ và buộc chặt một đầu dây vào góc A của thước kẻ và đầu dây còn lại buộc vào điểm F . Bây giờ dùng bút chì đẩy sợi dây lên sát vào mép thước kẻ tại điểm B . Giữ dây căng và xoay thước kẻ quanh F 0 , luôn giữ góc thước kẻ tại F 0 . Đường cong thu được sẽ là một nhánh của hyperbol. Nhánh còn lại của hyperbol được vẽ bằng cách thay đổi vị trí của thước kẻ và sợi dây. Để thấy đường cong vẽ ra thỏa mãn điều kiện của định nghĩa, ta lưu ý rằng hiệu số khoảng cách BF 0 và BF bằng BF 0 − BF = BF 0 + BA − BF − BA = AF 0 − (BF + BA) = (chiều dài thước kẻ) - (chiều dài sợi dây) = hằng số dương. 1.2 Phương trình chuẩn của hyperbol Sử dụng định nghĩa của hyperbol và công thức khoảng cách giữa hai điểm, ta có thể đưa ra phương trình chuẩn của hyperbol trong hệ tọa độ
6 vuông góc. A. Ta bắt đầu bằng một hyperbol trong hệ tọa độ mà cả hai tiêu điểm nằm trên trục Ox, có tọa độ là F 0 (−c, 0) và F (c, 0) với c > 0, như ở Hình 1.3. Hình 1.3: Hyperbol với tiêu điểm Hình 1.4: Hyperbol với tiêu điểm trên Ox. trên Oy. Để cho tiện, ta biểu diễn hằng số |d1 − d2 | = 2a với a > 0. Ngoài ra trong hình học phẳng, hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác luôn nhỏ hơn cạnh còn lại. Áp dụng kết quả này vào Hình 1.3, ta nhận được kết quả hữu ích sau |d1 − d2 | = 2a < 2c ⇔ a < c. (1.1) Ta sẽ sử dụng (1.1) để rút ra phương trình của hyperbol. Trở lại Hình 1.3, điểm P (x, y) nằm trên hyperbol khi và chỉ khi |d1 − d2 | = 2a ⇔ |d(P, F 0 ) − d(P, F )| = 2a q q ⇔ (x + c) + y 2 − (x − c)2 + y 2 = 2a. 2 Sau khi khử căn bậc hai và dấu giá trị tuyệt đối bằng cách lấy bình
7 phương và rút gọn, ta nhận được (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ) (1.2) x2 y2 ⇔ 2− 2 = 1. (1.3) a c − a2 Ta được phép chia cả hai vế của phương trình (1.2) cho a2 (c2 − a2 ), vì cả a2 và c2 − a2 đều khác 0. Theo (1.1), a < c nên a2 < c2 và c2 − a2 > 0. Hằng số a được chọn từ trước. Để rút gọn phương trình (1.3) hơn nữa, ta đặt b 2 = c 2 − a2 , b > 0 (1.4) và thu được phương trình x2 y 2 − = 1. (1.5) a2 b 2 Từ phương trình (1.5) ta thấy rằng x bị chắn bởi hai giá trị ±a, bởi vì x2 y 2 − =1 a2 b2 x2 y2 ⇔ 2 = 1 + 2 ≥ 1 ⇔ x2 ≥ a2 a b ⇔ x ≥ a hoặc x ≤ −a. Tuy nhiên y không bị chắn, bởi vì x2 y 2 − =1 a2 b2 y2 x2 ⇔ 2 = 2 − 1 ≥ 0 (do x2 ≥ a2 ). b a Bất đẳng thức cuối được thỏa mãn với mọi y ∈ R. B. Nếu ta bắt đầu với các tiêu điểm trên trục Oy với F 0 (0, −c) và F (0, c) như ở Hình 1.4, thay vì trên trục Ox như ở Hình 1.3, thì lập luận tương tự như trên ta thu được phương trình hyperbol y 2 x2 − = 1, (1.6) a2 b 2 trong đó, b2 = c2 − a2 , b > 0. Tâm của hyperbol vẫn ở gốc tọa độ, nhưng trục thực bây giờ là trục Oy .
8 1.3 Đường tiệm cận của hyperbol r b a2 Từ (1.5) ta có y = ± x 1 − 2 . Khi x biến thiên với |x| lớn dần, a x a2 biểu thức 1 − 2 trong căn thức dần tới 1. Cho nên với giá trị |x| lớn x phương trình (1.5) có dáng điệu giống với phương trình b y = ± x. (1.7) a Các đường thẳng có phương trình (1.7) được gọi là các đường tiệm cận (asymptotes) của hyperbol có phương trình (1.5). Hyperbol dần đến các đường thẳng khi điểm P (x, y) trên hyperbol di chuyển xa dần gốc tọa độ (xem Hình 1.5). Hình 1.5: Đường tiệm cận của hyperbol. Hình chữ nhật tâm O với các cạnh độ dài 2a và 2b như ở Hình 1.5 gọi là hình chữ nhật tiệm cận (asymptote rectangle). Hai đường chéo của hình chữ nhật tiệm cận chính là hai đường tiệm cận của hyperbol. • Tương tự, các đường tiệm cận của hyperbol có phương trình (1.6) là a y = ± x. (1.8) b Đường phân đôi hình chữ nhật vuông góc với trục thực, kéo dài từ một cạnh của hình chữ nhật tiệm cận tới cạnh kia của hình chữ nhật đó, được gọi là trục ảo (conjugate axis) của hyperbol.
9 Nhận xét 1.3.1. Khoảng cách từ tâm tới mỗi tiêu điểm bằng khoảng cách từ tâm tới một đỉnh của hình chữ nhật tiệm cận, hay đường tròn có tâm là gốc tọa độ và đi qua tất cả bốn đỉnh của hình chữ nhật tiệm cận cũng đi qua cả hai tiêu điểm của đường hyperbol. Chúng ta tóm tắt các kết quả trên đây trong định lý sau để tiện theo dõi. Định lý 1.3.2. Phương trình chuẩn của một hyperbol với tâm tại (0, 0): x2 y 2 1. 2 − 2 = 1. a b Các điểm chắn x: ±a (các đỉnh), không có các điểm chắn của y . Hai tiêu điểm: F 0 (−c, 0), F (c, 0), c2 = a2 + b2 . Độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b. b Đường tiệm cận y = ± x. a Trục đối xứng: Ox, Oy , tâm đối xứng: O(0, 0). y 2 x2 2. 2 − 2 = 1. a b Các điểm chắn x không có, các điểm chắn y: ±a. Hai tiêu điểm: F 0 (0, −c), F (0, c), c2 = a2 + b2 . Độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b. a Đường tiệm cận y = ± x. b Trục đối xứng: Ox, Oy , tâm đối xứng: O(0, 0). Hình 1.6: Hyperbol với tiêu điểm Hình 1.7: Hyperbol với tiêu điểm trên Ox. trên Oy.
10 Ví dụ 1.3.3. Đường thẳng đi qua tiêu điểm F của một hyperbol và vuông góc với trục thực cắt hyperbol tại hai điểm G và H . Với mỗi một trong hai phương trình chuẩn của hyperbol tâm tại (0, 0), hãy tìm khoảng cách từ G tới H theo a và b. Lời giải. a) Gọi điểm G(c, y ), thay tọa độ điểm G vào (1.5) ta có c2 y 2 y2 c2 c2 − a2 b2 2 b4 b2 − =1⇒ 2 = 2 −1= = 2 ⇒ y = 2 ⇒ |y| = . a2 b 2 b a a2 a a a b2 2b2 Vậy F G = |y| = và khoảng cách GH = 2F G = . a a 2b2 b) Làm tương tự với phương trình (1.6), ta cũng tìm được GH = . a Ví dụ 1.3.4. Vẽ đồ thị, tìm tọa độ các tiêu điểm và độ dài trục thực, trục ảo của mỗi hyperbol xác định bởi các phương trình sau a) 9x2 − 16y 2 = 144; b)16y 2 − 9x2 = 144; c)2x2 − y 2 = 10. Lời giải. a) Ta có 2 2 x2 y 2 9x − 16y = 144 ⇔ − = 1 ⇒ a2 = 16, b2 = 9. 16 9 Xác định các điểm chắn x: x = ±4. Không có điểm chắn y . Vẽ các đường tiệm cận bằng cách dùng hình chữ nhật tiệm cận. Sau đó vẽ hyperbol (Hình 1.8). Ta có c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5. Như vậy hai tiêu điểm là F 0 (−5, 0) và F = (5, 0). Độ dài trục thực bằng 2a = 2 × 4 = 8. Độ dài trục ảo bằng 2b = 2 × 3 = 6. b) Ta có y 2 x2 16y 2 − 9x2 = 144 ⇔ − = 1 ⇒ a2 = 9, b2 = 16. 9 16 Xác định các điểm chắn y : y = ±3. Không có điểm chắn x. Vẽ các đường tiệm cận bằng cách dùng hình chữ nhật tiệm cận. Sau đó vẽ hyperbol (Hình1.9).
11 Hình 1.8: Ví dụ 1.2a). Hình 1.9: Ví dụ 1.2b.) Điều quan trọng là chú ý rằng trục thực là trục Oy và các tiêu điểm nằm trên Oy. Ta có c2 = a2 + b2 = 9 + 16 = 25 ⇒ c = 5. Như vậy hai tiêu điểm là F 0 (0, −5) và F = (0, 5). Độ dài trục thực bằng 2a = 2 × 3 = 6. Độ dài trục ảo bằng 2b = 2 × 4 = 8. c) Ta có 2 2 x2 y 2 2x − y = 10 ⇔ − = 1 ⇒ a2 = 5, b2 = 10. 5 10 √ Xác định các điểm chắn x : x = ± 5. Không có điểm chắn y . Vẽ các đường tiệm cận bằng cách dùng hình chữ nhật tiệm cận. Sau đó vẽ hyperbol (Hình 1.10). Ta có √ c2 = a2 + b2 = 5 + 10 = 15 ⇒ c = 15. √ √ Như vậy hai tiêu điểm là F 0 (− 15, 0) và F = ( 15, 0). Độ dài trục thực √ √ bằng 2a = 2 5 ≈ 4,47. Độ dài trục ảo bằng 2b = 2 10 ≈ 6,32. Nhận xét 1.3.5. Khi vẽ một hyperbol, ta thường gặp một sai lầm chung là vẽ hyperbol ngửa lên, úp xuống mà lẽ ra phải vẽ hyperbol theo hướng trái - phải, hay ngược lại. Để tránh mắc phải sai lầm này, ta nên xác định trước các điểm chắn (trên trục Ox hay Oy ) một cách cẩn thận, tức là trục thực nằm ngang hay dọc.
12 Hình 1.10: Ví dụ 1.2c). Định nghĩa 1.3.6. Hai hyperbol có dạng x2 y 2 y 2 x2 − = 1 và − =1 M N N M với M, N > 0, được gọi là các hyperbol liên hợp (conjugate hyperbolas). Các hyperbol trong Ví dụ 1.3.4 a) và b) là các hyperbol liên hợp. Chúng có các đường tiệm cận như nhau (xem Hình 1.8 và Hình 1.9). Ví dụ 1.3.7. Viết phương trình của một hyperbol với các tiêu điểm là (0, −3) và (0, 3), và các đỉnh có tọa độ (0, −2) và (0, 2). Lời giải. Trục thực của hyperbol là trục dọc, vì các tiêu điểm và đỉnh của hyperbol nằm trên trục Oy . Tâm là gốc tọa độ, bởi vì các tiêu điểm và đỉnh cách đều gốc tọa độ. Các tiêu điểm cách gốc tọa độ 3 đơn vị nên c = 3. Tương tự, các đỉnh cách gốc tọa độ 2 đơn vị nên a = 2. Để tìm b, ta sử dụng công thức √ b2 = c2 − a2 = 32 − 22 = 9 − 4 = 5 ⇒ b = 5. Do trục thực là trục dọc nên phương trình của hyperbol có dạng y2 x2 y 2 x2 − √ = 1 hay − = 1. 22 ( 5)2 4 5
13 1.4 Hyperbol với tâm là điểm cho trước Nếu tâm của hyperbol là điểm (h, k ) trong hệ tọa độ vuông góc thì phương trình chuẩn (1.5) trở thành (x − h)2 (y − k)2 − = 1(trục thực nằm ngang), a2 b2 và phương trình chuẩn (1.6) trở thành (y − k)2 (x − h)2 − = 1(trục thực nằm dọc). a2 b2 Các đỉnh nằm trên trục thực và cách tâm a đơn vị, các tiêu điểm nằm trên trục thực và cách tâm c đơn vị (Hình 1.11), hơn nữa ta vẫn có hệ thức c2 = a2 + b2 . Hình 1.11: Tâm của hyperbol tại điểm (h, k) trong hai trường hợp: trục thực nằm ngang và trục thực nằm dọc. Ví dụ 1.4.1. Viết phương trình của một hyperbol với các tiêu điểm là (−1, 2) và (5, 2), và các đỉnh có tọa độ (0, 2) và (4, 2). Lời giải. Tâm hyperbol là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm nên có tọa độ (2, 2). Hơn nữa, c = 5 − 2 = 3 và a = 4 − 2 = 2. Từ đó, b2 = c2 − a2 = 9 − 4 = 5. Hyperbol có trục thực nằm ngang và phương trình chuẩn có dạng như (x − 2)2 (y − 2)2 sau: − = 1. 4 5
14 Hình 1.12: Tâm của hyperbol tại điểm (h, k) = (2, 2). • Phương trình của đường tiệm cận của hyperbol: Mỗi hyperbol có hai đường tiệm cận cắt nhau tại tâm của hyperbol, như vẽ ở Hình 1.13. Các đường tiệm cận đi qua các đỉnh của một hình chữ nhật với tâm là (h, k ) và độ dài hai cạnh là 2a và 2b. Đoạn thẳng có độ dài 2b nối (h, k − b) và (h, k + b) (hoặc (h − b, k ) và (h + b, k )) và nằm trên trục ảo gọi là trục liên hợp (conjugate axis) của hyperbol. Hình 1.13: Các đường tiệm cận của hyperbol tâm là (h, k). Phương trình các đường tiệm cận của hyperbol là b y = k ± (x − h) (trục thực nằm ngang), a