Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Coatomic

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Tấn

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

MÔĐUN COATOMIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Tấn

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

MÔĐUN COATOMIC

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh -2014

3

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 4

1.1 Môđun, môđun con, môđun thương .................................................. 4

1.2 Đồng cấu môđun ..................................................................................... 7

1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp .................................................................. 11

1.4. Môđun cốt yếu và môđun đối cốt yếu .................................................. 16

1.5 Môđun nội xạ ......................................................................................... 17

1.6 Chiều Krull và định lí cơ bản của lí thuyết chiều .................................. 19

Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ............................................................ 21

MÔĐUN COATOMIC ....................................................................................... 21

2.1. Một số khái niệm và tính chất của môđun coatomic ............................ 21

2.2. Một số tính chất môđun coatomic trên vành địa phương ..................... 31

2.3. Môđun con đối cốt yếu coatomic ......................................................... 40

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 47

1

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến ngày nay được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Một trong các hướng nghiên cứu vành là đặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng.

Vì thế ngày nay có khá nhiều lớp môđun được nghiên cứu. Trong đó môđun Coatomic là một môđun khá quan trọng trong đại số hiện đại nói chung và đại số giao hoán nói riêng, hai lớp quan trọng có mối quan hệ khá gần gũi với môđun Coatomic được chúng ta biết đến là môđun hữu hạn sinh và môđun nửa đơn. Trong [9], Zöschinger đã định nghĩa môđun Coatomic trên một vành Noether. Gần đây, Güngöroğlu và Harmanci (trong [8]) cũng đã nêu lên một số kết quả về lớp môđun này.

Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu nghiên cứu về lớp môđun coatomic

với đề tài “Một số tính chất của môđun coatomic”.

Bố cục luận văn chia làm hai chương:

♦ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản

của lý thuyết môđun có liên quan đến nội dung của đề tài. Cụ thể tôi sẽ trình

bày tóm tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chất cấu trúc đại số của môđun, và

khái niệm tính chất về môđun nội xạ, môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt

yếu.

♦ Chương 2: Một số tính chất của môđun coatomic.

Trong chương này chúng tôi đề cập đến ba nội dung chính.

Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng

minh các tính chất của môđun coatomic và nghiên cứu về cấu trúc đại số của

môđun coatomic.

2

Nội dung thứ hai tôi nghiên cứu môđun coatomic trên một vành địa

phương với iđêan tối đại m .

Nội dung thứ ba tôi sẽ đi nghiên cứu môđun đối cốt yếu trên K -vành.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí

Minh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên

tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận

văn.

Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin của

trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy trong

tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Xin cảm ơn các bạn học viên nghành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có

nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn.

Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu

sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy cô và các bạn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Văn Tấn

3

BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT

 : Vành các số nguyên.

: Nhóm cộng các số hữu tỉ.

⊕ : Tổng trực tiếp ngoài các môđun

I∈ .

A i

,iA i

∈ i I

f

i

⊕ : Tổng trực tiếp của họ các đồng cấu (

) I∈ .

i

,if

∈ i I

i

f

) I∈ .

,if

i

∏ : Tổng trực tiếp của họ các đồng cấu (

∈ i I

N M≤

M⊆

: N là môđun con của M .

eN

M⊆

: N là môđun cốt yếu trong M .

sN

: N là môđun đối cốt yếu trong M .

4

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Môđun, môđun con, môđun thương

Định nghĩa 1.1.1. ([1, §1]) Giả sử R là vành. Một R -môđun phải M là

× → M R M mr m r , ) (



nhóm cộng aben cùng với ánh xạ được gọi là phép nhân vô

,

hướng nếu thỏa các hệ thức sau:

'm m M∈ và mọi

,

r r R∈ . , '

) ' + + =

= mr r m rr ( ( '), + = m m r mr m r ( ' + = mr mr m r ( ', m .1

') ') r m .

với mọi

∈

∈ r R m M ,

)

Tương tự, một R -môđun trái là một nhóm aben M cùng với phép nhân

thỏa: vô hướng rm (

'm m M∈ và mọi

,

r r R∈ . , '

'

= , ( ') ( ' r r m ) rr m + = + r m m rm rm ( ') ', + = + r m rm r m r ') ( , = m m 1. .

với mọi

Nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm R -môđun phải và R -

môđun trái trùng nhau và được gọi là R -môđun.

Ví dụ 1.1.2.

- Phép nhân bên phải trên vành R là phép nhân vô hướng của R lên nhóm aben R và thỏa mãn các tiên đề của môđun. Bởi vậy, R là R -môđun phải. Tương tự, R là R -môđun trái. Do đó, R là R -môđun.

- Mỗi iđêan phải của R là R -môđun phải, mỗi iđêan trái của R là R -môđun trái.

- Giả sử R =  là vành các số nguyên. Mỗi nhóm aben A có cấu trúc như  - môđun.

5

Có thể nói khái niệm môđun là mở rộng của khái niệm nhóm aben và

không gian vectơ.

Định nghĩa 1.1.3. ([1, §1]) Giả sử M là R -môđun phải. Tập con A của M được gọi là môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế trên A .

Bổ đề 1.1.4. ([1, §1]) Giả sử M là R -môđun phải. Nếu A là tập con khác

∈ ta có ar A∈ ,

∈ , a A r R + ∈ .

,a b A∈ và

,r s R∈ , ta có ar bs A

rỗng của M thì các phát biểu sau tương đương:

(i) A là môđun con của M , (ii) A là nhóm con cộng của M và với mọi (iii) Với mọi

Ví dụ 1.1.5.

(a) Mỗi môđun M đều có các môđun con tầm thường là 0 và M .

0A ≠ và A M≠

=

,

0m M∈ . Khi đó tập con ∈ là môđun con của M . Nó được gọi là môđun con cyclic

0

Môđun con A của M được gọi là thực sự nếu .

(b) Giả sử M là R -môđun tùy ý và } m R m r r R 0{ 0m . sinh bởi phần tử

R . Tập hợp các phần tử

0m là phần tử của R -môđun M , I là iđêan phải của vành 0mα trong đó α chạy khắp I là một môđun con của

M . Kí hiệu

0m I .

+ =

+

(c) Giả sử

A B

/

,

∈ cũng là môđun con của M .

(d) Giả sử A và B là hai môđun con của M thì A B∩ cũng là môđun ∈ a b a A b B { } con của M và

Mệnh đề 1.1.6. ([1, §1]) Giao của một họ bất kì những môđun con của R -

môđun M là một môđun con của M .

Ví dụ 1.1.7.



∩ = 3 

 . 6

0

1) 2

= p

∈ p P

2) , với P là tập tất cả các số nguyên tố.

6

Định nghĩa 1.1.8. ([1, §1]) Giả sử X là một tập con của R -môđun M . Môđun con bé nhất A chứa X gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A . Trong trường hợp A M= ta nói X là hệ sinh của M và M được sinh bởi X . Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R - môđun hữu hạn sinh.

Nếu môđun con sinh bởi một phần tử thì ta gọi môđun đó là môđun con

cyclic.

Mệnh đề 1.1.9. ([1, §1]) Giả sử X là một tập con của R -môđun M . Khi

∈

=

R }

A

/

{ ∑

đó, các mệnh đề sau tương đương:

xr x

(i) A là môđun con sinh bởi tập X , ∈ x X r , (ii) x , trong đó rx bằng 0 hầu hết trừ một số hữu

hạn.

=

X

a

Ví dụ 1.1.10.  -môđun  các số hữu tỉ không có hệ sinh hữu hạn.

a

{a a ,..., }n

1

2

1

1 2

∈

Thật vậy, giả sử là hệ sinh hữu hạn của . Khi đó

a =x a +

a x a ,

 .

∑

i

i

i

1 1

1

i

≠ 1

1 2

∈

a =2x a + 2

a x a ,

có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn

∑

i

i

i

1 1

1

 .

i

≠ 1

= −

∈

m

1 2

x

ma = 2

a x a ,

Suy ra

∑

1

1

i

i

i

 với

i

≠ 1

∈

. Từ đó

a =y a +

a y y ,

∑

1 1

1

i

i

i

 .

i

≠ 1

1 m

=

+

=

a =my a +

my a

2

x a y

my a

ra

Giả sử

∑

∑

∑

∑

i

1

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

≠ 1

i

≠ 1

i

≠ 1

i

≠ 1

1

X a cũng là hệ sinh của . Tiếp tục quá trình này sau

. Khi đó

{0}=

\{ } Điều này chứng tỏ n bước ta được tập rỗng là hệ sinh của  và do đó

!.

7

∈ ) là một họ tùy ý những môđun

I

/A i i

S

A

Định nghĩa 1.1.11. ([1, §1]) Giả sử (

i

=  được gọi là

∈ i I

con của R -môđun M . Khi đó môđun con sinh bởi tập

A ∑ .

i

iA và được kí hiệu bởi

∈ i I

tổng của các môđun con

A M≠

Định nghĩa 1.1.12. ([1, §1]) Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu

và nó không chứa trong một môđun con thật sự nào của M .

Định lý 1.1.13. ([1, §1]) Trong những môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con

thật sự được chứa trong một môđun con tối đại.

Bổ đề Zorn 1.1.14. ([1, §1]) Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp

M ≠

{0}

thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại.

Hệ quả 1.1.15. ([1, §1]) Mỗi môđun hữu hạn sinh đều chứa môđun

con tối đại.

→

,

Định nghĩa 1.1.16. ([1, §1]) Cho A là môđun con của R -môđun M . Khi

M A / + mr A

( (

× M A R ) / + m A r , )



+

= m A r mr A

là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm đó tương ứng

+ và

/M A là R -môđun với phép nhân vô hướng (

)

thương

được gọi là môđun thương.

1.2 Đồng cấu môđun

RN . Một đồng cấu R -

RM và

:f M N→ là một ánh xạ f thỏa các điều

Định nghĩa 1.2.1. ([1, §1]) Cho hai môđun

môđun hay một ánh xạ tuyến tính

+

f y ( ),

= y ) = rf x

+ f x ( f xr ) (

f x ( ) ( ),

,x y M∈ và mọi r R∈ .

kiện :

với mọi

thì f được gọi là tự đồng cấu của M . Nếu N M=

Một đồng cấu R -môđun còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không

cần chỉ rõ vành cơ sở.

8

:f M N→ là đồng cấu môđun khi và chỉ khi

+

=

+

∈

f xr (

ys

)

rf x ( )

sf y ( )

x y M r s R , ,

,

Dễ dàng thấy rằng

∈ .

(

)

, với mọi

RHom M N hay ,

RN , kí hiệu

RM đến

)

(

,

Tập tất cả các đồng cấu từ

+

=

+

∈

(

f

g x )( )

f x ( )

g x ( )

f g Hom M N ,

(

,

)

Hom M N . Tập hợp này là nhóm aben với phép cộng các đồng cấu

, với và x R∈ .

=

f rx (

)

f x r ( )

Nếu R là vành giao hoán thì nhóm cộng này có cấu trúc R -môđun với

f M :

phép nhân vô hướng .

N→ được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng

R

R

Đồng cấu môđun

f M= (

)

cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).

1

=

và

x M f x /

= ( ) 0}

f −

(0)

f

:f M N→ ,kí hiệu imf và gọi imf là ảnh của f và ker f là hạt

ker nhân của f .

Đối với đồng cấu môđun = ∈ {

:f M N→ và

,U V tương

Mệnh đề 1.2.2. ([1, §1]) Cho đồng cấu môđun

,M N . Khi đó :

ứng là môđun con của

−

= ∈

∈ là môđun con của M .

) f U là môđun con của N . 1( f V }

x M f x V /

) {

( )

(i) (

(ii)

,N M .

Đặc biệt, ta có Im f và erK f là những môđun con tương ứng của

Y→ là một đồng cấu R -môđun. Khi

:f X đó các phát biểu sau là tương đương:

f là đơn cấu.

f

Mệnh đề 1.2.3. ([1, §1]) Giả sử

1

2

1

2

= ⇒ = fϕ ϕ ϕ ϕ ,ϕ ϕ là những đồng cấu từ R -môđun tùy ý M tới X .

(i) (ii) f giản ước được bên trái, nghĩa là đẳng thức

1

2

trong đó

9

Y→ là một đồng cấu R -môđun. Khi

:f X đó, các phát biểu sau là tương đương:

= ⇒ =

ϕ ϕ f

f

1

2

1

2

Mệnh đề 1.2.4. ([1, §1]) Giả sử

ϕ ϕ ,ϕ ϕ là những đồng cấu từ Y đến một R -môđun bất kì N .

1

2

(i) f là toàn cấu. (ii) f giản ước được bên phải, nghĩa là đẳng thức trong đó

ϕ → là một đồng cấu R -môđun và

: A

B

,U V

Bổ đề 1.2.5. ([1, §1]) Giả sử

,A B . Khi đó, ta có các phát biểu sau:

0ϕ= .

−

ϕ

ker

U

))

là những môđun con của

−

.

ϕ .

ϕ ϕ 1( ( ϕ ϕ 1( (

V im

))V

ϕ → có sự phân tích

(i) ϕ là đơn cấu khi và chỉ khi ker = + U (ii) = ∩ (iii)

: A

B

δ

→

ϕ

Định lý 1.2.6. ([1, §1]) Mỗi đồng cấu R -môđun

A

B

:

'ϕ là đơn cấu. Hơn nữa,

/ ker Trong đó, 'ϕ là toàn cấu khi và chỉ khi ϕ là toàn cấu.

là toàn cấu tự nhiên, còn

+

≅ B C C B B C

/ (

) /

∩ . )

Định lý 1.2.7. ([1, §1]) ( định lý đẳng cấu thứ nhất)

,B C là hai môđun con của A thì (

Nếu

≅

A B /

(

A C /

) / (

B C /

)

⊂ ⊂ thì

Định lý 1.2.8. ([1, §1]) (định lý đẳng cấu thứ hai)

. Nếu C B A

10

α → là toàn

B

ϕ⊂

ϕ → là đồng cấu môđun và : A . Khi đó, tồn tại đồng cấu :C

: A C λ → sao cho: B

imλ ϕ=

ϕ= .

kerα

Định lý 1.2.9. Giả sử kerα cấu, ngoài ra ker

: A

(i) ϕ λα= . (ii) im . (iii) λ đơn cấu khi và chỉ khi ker

ϕ

ϕ

ϕ

=

Aϕ =

coim

/ ker

co

ker

B im /

B là đối hạt nhân của ϕ và

ϕ → là đồng cấu R -môđun. Khi đó là đối ảnh của

imϕ ϕ≅

Định nghĩa 1.2.10. ([1, §1]) Giả sử

ta đặt ϕ. Như vậy coim .

Định lý 1.2.11. ([1, §1])

Trong biểu đồng các đồng cấu môđun

Dψ ':

ϕ→ ker

0ϕψ = thì tồn tại duy nhất đồng cấu

sao cho

iψ ψ=

với i là phép nhúng chính tắc. Nếu '

0

p co ':

ker

Cϕ→ sao cho

Tương tự, trong biểu đồ các đồng cấu môđun

p

pϕ= thì tồn tại đồng cấu duy nhất với p là phép chiếu chính tắc.

Nếu = p p '

11

Định nghĩa 1.2.12. ([1, §3]) Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn các đồng cấu R -

β

α

...

C

A

B

→ → → → ...

môđun

imα

β= ker được gọi là khớp tại B nếu khớp tại mọi môđun khác hai đầu của dãy.

β

α

C

A

B

→ → → → được gọi là dãy khớp ngắn. 0

. Dãy được gọi là khớp nếu nó

α → . Khi đó, ta có

Dãy khớp dạng : 0

: A

B

Mệnh đề 1.1.13. ([1, §3]) Cho đồng cấu R -môđun

A

→ → là khớp nếu α đơn cấu. Bα→ → là khớp nếu α toàn cấu. → → → là khớp nếu α đẳng cấu. 0

Bα 0 Bα

A

các kết quả sau:

(i) Dãy 0 A (ii) Dãy (iii) Dãy 0

Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là trong dãy khớp ngắn α là đơn

cấu còn β là toàn cấu.

1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp

I∈ ). Khi

/iA i

=

∈

A

{(

a

) /

i

∈ I a A ,

}

Định nghĩa 1.3.1. ([1, §2]) Cho một họ những R -môđun (

∏

i

i

i

i

∈ i I

cùng với phép cộng và phép nhân đó, tích Đề Các

vô hướng theo các thành phần:

i

i

i

i

+ + a b ( ),

i

i

i

) ( = b ( ) = a r ) a ( a r ( ).

I∈ ).

/iA i

I

I∈ ta kí hiệu

là một R -môđun, gọi là tích trực tiếp của họ (

iA A= với mọi i

=∏ Ai A

∈ i I

p

A

. Trường hợp,

I∈ .

→∏ A

:j

i

j

∈ i I

là một R đồng cấu với mọi j Phép chiếu

12

β :

B

A

A→ . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu

→ ∏ sao cho biểu đồ

i

B B :j

j

∈ i I

Định lý 1.3.2. ([1, §2]) Giả sử B là R -môđun cùng với các đồng cấu

j

p →

j

A

sau giao hoán :

I∀ ∈ .

∏

i

j

∈ i I

β

A jβ

,

B

=

f a ((

))

(

f a (

))

f

:

B

Mệnh đề 1.3.3. ([1, §2]) Giả sử là một họ đồng cấu môđun. Khi đó, tương

→∏ A

∏ cho bởi

i

i

i

i

i

∈ i I

∈ i I

i

/

f

là một đồng cấu, được kí hiệu ứng

I∈ . )

∏ và được gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu (

i

if

∈ i I

∈ ). Một

bởi

I

/A i i

0

A

Định nghĩa 1.3.4. ([1, §2]) Cho một họ những R -môđun (

∏ gồm tất cả những phần tử (

i

)ia mà

ia = hầu hết, trừ một

∈ i I

môđun con của

I∈ , được gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng trực tiếp ngoài)

số hữu hạn chỉ số i

I∈ ) và kí hiệu

⊕ . A

/iA i

i

∈ i I

( )I

⊕ =

A A

của họ (

I∈ ta kí hiệu

i

iA A= với mọi i

∈ i I

,

j

j

=

a

)

,

a

I∈ tương ứng

→ ⊕ ,

a→ , (

. Trong trường hợp

A

A

j

i

i

µ :j

j

i

∈ i I

= i ≠

a 0,

j

i

  

là một Với mỗi j

đơn cấu.

B

:

B

α → . Khi đó, tồn tại duy nhất

α → sao cho biểu đồ sau giao

jA

:j

iA

Định lý 1.3.5. ([1, §2]) Giả sử B là R -môđun cùng với các đồng cấu

j

⊕

j

I∀ ∈ .

hoán

j

∈ i I

A i α

,

p A → jα

B

13

f A :

B i /

)

I

→ ∈ là một họ đồng cấu

i

i

i

=

f a ((

))

(

f a (

))

Mệnh đề 1.3.6. ([1, §2]) Giả sử (

f

⊕ → ⊕ cho bởi B

A

:

i

i

i

i

∈ i I

∈ i I

f

⊕ và được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu

môđun. Khi đó tương ứng là một

i

∈ i I

(

/

i

I∈ . )

if

đồng cấu kí hiệu

RA được gọi là tổng trực tiếp trong của

)

I∈ nếu các điều kiện sau thỏa:

Định nghĩa 1.3.7. ([1, §2]) Môđun

iA i /

A

= ∑ , A

một họ các môđun con (

i

∈ i I

∩

=

(i)

A

A

∀ ∈ j

I

0,

.

∑

i

j

≠

i

j

(ii)

RA là tổng trực tiếp trong của họ các môđun

)

Bổ đề 1.3.8. ([1, §2]) Môđun

I∈ nều và chỉ nếu mỗi phần tử a A∈ biểu diễn duy nhất dưới

iA i /

con (

+

∈

= a a

a

+ + ...

a

,

a

A i ,

∈ . I

i

i

j

i 1

i 2

i n

j

j

dạng:

A

A

= ∑ . Khi đó, A là tổng trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ

i

iA ,

∈ i I

=

+

∈

=

a

a

+ + ...

a

, 0

a

A i ,

I

0,1

∈ suy ra

≤ ≤ . j n

i

i

j

i 1

i 2

i n

j

j

jia

Hệ quả 1.3.9. ([1, §2]) Giả sử A là tổng trực tiếp của những môđun con

Hệ quả 1.3.10. ([1, §2]) Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các

I∈ ) nếu và chỉ nếu ánh xạ

/iA i

⊕ → A

A

i

i

∈ i I

môđun con (

(

)

a

a

i

i

∑

là đẳng cấu.

= ⊕ .

Định nghĩa 1.3.11. ([1, §2]) Môđun con B của A được gọi là hạng tử

trực tiếp trong A nếu có môđun con C của A sao cho A B C

14

0A ≠ được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là

Môđun con

những hạng tử duy nhất trong A .

V V=

}

I∈ là cơ sở

Ví dụ 1.3.12.

K

ia i là không gian vectơ trên trường K và { /

= ⊕

1) Giả sử

V

a K

i

∈ i I

m

m≠ 0,

≠ thì 1

của nó. Khi đó, hiển nhiên .

 mọi môđun con đều có dạng m , m∈ . Với

=

⊕

m

m không là hạng tử trực tiếp. Thật vậy, nếu





 thì n

2) Trong

∈ mn m

∩ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 0

m

m

n

0

1



 

n 

(trái giả thiết).

 không phân tích được.

α → của các R -môđun được gọi

Vậy

B

: A

Định nghĩa 1.3.13. ([1, §3]) Đơn cấu

β → được gọi A

: B

là chẻ ra nếu Imα là hạng tử trực tiếp trong B . Toàn cấu

là chẻ ra nếu Kerβ là hạng tử trực tiếp trong B .

Mệnh đề 1.3.14. ([1, §3])

α → là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu

: A

1) Đồng cấu

β → sao cho A

: B

B Aidβα=

β

=

⊕

( ta nói α có nghịch đảo trái). Khi đó

β α Im

Ker

β → là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu

.

: B C

γ → sao cho

2) Đồng cấu

B

:C

Cidβγ=

β

=

β

⊕

γ

( ta nói β có nghịch đảo phải). Khi đó

Ker

Im

.

β

α

0

C

A

B

→ → → → 0

β=

Định nghĩa 1.3.15. ([1, §3]) Dãy khớp ngắn

Kerα

là hạng tử trực tiếp của B. được gọi là chẻ ra nếu Im

15

β

α

0

C

A

B

→ → → → 0

Mệnh đề 1.3.16. ([1, §3]) Đối với dãy khớp ngắn

ta có các phát biểu sau tương đương:

(i) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra.

(ii) α là đơn cấu chẻ ra.

=

⊕

γ

(iii) β là toàn cấu chẻ ra.

γ → là nghịch đảo phải

:C

B

β α Im

Im

A C

⊕

, trong đó Khi đó, ta có

của β .

β

α

0

C

B

A

0

→ → → → .

Định lý 1.3.17. ([1, §3]) Cho dãy khớp ngắn

→

α ∗ →

β ∗ →

Hom M A ( )

,

Hom M B (

,

)

Hom M C (

,

)

Khi đó các dãy sau là khớp

* β →

* α →

→

0

Hom C M (

,

)

Hom B M (

,

)

Hom A M (

,

)

. a) 0

α

∗ =

=

α ( Hom id ,

Hom id

(

α , )

. b)

)M

M

α *

*, β β ).

Trong đó, M là R -môđun tùy ý , (tương

*

tự với

β

α

0

C

B

A

0

→ → → → .

Định lý 1.3.18. ([1, §3]) Cho dãy khớp chẻ ra

Khi đó, các dãy sau cũng là khớp chẻ ra:

16

→

α * →

β * →

0

Hom M A ( )

,

Hom M B (

,

)

Hom M C (

,

)

* β →

* α →

→

0

Hom C M (

,

)

Hom B M (

,

)

Hom A M (

,

)

. a)

. b)

1.4. Môđun cốt yếu và môđun đối cốt yếu

A B

0 .

Định nghĩa 1.4.1. ([3, §8]) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu ( lớn) A B∩ ≠ 0 ∩ = ⇒ = ). Khi đó, ta cũng nói rằng M là

trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có (Một cách tương tự nếu 0 B eA M⊆ mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu

Ví dụ 1.4.2.

Me⊆

. (i) Đối với mỗi môđun M ta đều có M

(ii) Xem vành các số nguyên  như môđun trên chính nó. Khi đó, mỗi

≠ ∈ ∩

 . b

iđêan khác không trong  đều cốt yếu, bởi vì đối với hai iđêan khác

không bất kì a và b ta đều có 0 ab a

⊂ ⊂ thì

Bổ đề 1.4.3. ([3, §8])

A M B

C

⊆ ⇒ ⊆ .

e

e

n

(i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C

A M

eA M⊆

i

e

i

⊆

i

= 1

ϕ−

⊆

N⊆

1(

B

)

M

ϕ → là đồng cấu môđun và

, i=1,2,…,n thì . (ii) Nếu

: M N

eB

e

thì . (iii) Nếu

+ ≠

Định nghĩa 1.4.4. ([3, §8]) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (

+ = ⇒ =

( một cách hay bé) nếu với mỗi môđun con E M≠

).Khi đó, ta kí hiệu . tương đương nếu A E M E M ta đều có A E M sA M⊆

Ví dụ 1.4.5.

. (i) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 s M⊆

(ii) Trong  -môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt yếu.

17

⊂ ⊂ thì

Bổ đề 1.4.6. ([3, §8])

⊆ ⇒ ⊆

B

A M

C

(i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C

s

s

n

.

A M

⊆∑

sA M⊆

i

s

i

= 1

i

ϕ ⊆ ) A

(

N

ϕ → là đồng cấu môđun và

, i=1,2,…,n thì . (ii) Nếu

: M N

sA M⊆

s

a M∈

thì . (iii) Nếu

R

Mệnh đề 1.4.7. ([3, §8]) Đối với phần tử thì môđun con aR không

a K∉ .

là đối cốt yếu trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho

RM . Khi đó

eA M⊆

khi và Bổ đề 1.4.8. ([3, §8]) Cho A là môđun con của

≠

∈ 0 mr A

⊆

,

A M i

I

M

M

chỉ khi với mỗi phần tử khác không m M∈ thì tồn tại r R∈ sao cho

∈ và

= ∑

i

e

i

i

∈ i I

=

= ⊕

A

A

A

Hệ quả 1.4.9. ([3, §8]) Cho môđun và

∑

M

= ⊕ . M

eA M⊆

i

i

i

∈ i I

∈ i I

∈ i I

⊆

A M i ,

I

. Khi đó, ta có và

∈ . Khi đó, ta

M

= ⊕ và M

e

i

i

i

∈ i I

=

= ⊕

A

A

A

Hệ quả 1.4.10. ([3, §8]) Cho môđun

∑

i

i

eA M⊆

∈ i I

∈ i I

có và .

1.5 Môđun nội xạ

đồng cấu

:f A Q→ và mỗi đơn cấu :h B Q→ sao cho hg

Định nghĩa 1.5.1. ([3, §10]) Một môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi B→ của những R -môđun, tồn tại :g A f= , nghĩa là biểu đồ giao hoán. một đồng cấu

18

Q

Q

= ∏ thì Q là nội xạ khi và chỉ khi

i

iQ là nội

∈ i I

Định lý 1.5.2 ([3, §10]) Nếu

I∈ .

xạ với i

Hệ quả 1.5.3. ([3, §10]) Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.

RQ các điều sau tương đương :

:Q B

ϕ → là chẻ ra ( nghĩa là Imϕ là hạng tử trực tiếp

Định lý 1.5.4. ([3, §10]) Đối với môđun

: A

α → , ánh xạ B

(i) Q là nội xạ. (ii) Mỗi đơn cấu trong B ).

→

Hom

α (

,

)

,

)

(iii) Đối với mỗi đơn cấu

,1 ) : Q

Hom B Q ( R

Hom A Q ( R

là toàn cấu.

:f U

Định lý 1.5.5. ([3, §10]) Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi iđêan

U R⊂ và mỗi đồng cấu

Q→ đều tồn tại đồng cấu

Q→ sao

R

h R : R

f= , trong đó I là phép nhúng từ U vào R .

phải

cho hi

0n > ).

Hom R D

( ,

)

Bổ đề 1.5.6. ([3, §10]) Môđun D ( nhóm aben ) là nội xạ khi và chỉ khi nó với mọi số tự nhiên chia được ( nghĩa là nD D=



Bổ đề 1.5.7. ([3, §10]) Nếu D là nhóm aben chia được thì là

một R -môđun phải nội xạ.

Bổ đề 1.5.8. ([3, §10]) Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của nhóm

aben chia được.

19

1.6 Chiều Krull và định lí cơ bản của lí thuyết chiều

Định nghĩa 1.6.1. ([4, §1]) Một xích các iđêan nguyên tố của R là một dãy

P 0

⊂ ⊂ ⊂ ... P n

P 1

1,2,

n

,

hữu hạn, tăng thực sự các iđêan nguyên tố của R có dạng

− ≠ ∀ =  . Số nguyên n được gọi là độ dài của xích.

P i

P i , i

1

trong đó

Định nghĩa 1.6.2. ([4, §1]) Chiều Krull của một vành là cận trên đúng của

R được kí hiệu là dim R .

tất cả độ dài của các xích của các iđêan nguyên tố trong R . Chiều Krull của

Ví dụ 1.6.3.

0R = , vì mỗi iđêan nguyên tố của R

Nếu R là vành Artin thì dim (i)

)0 là một iđêan nguyên tố còn

đều là iđêan tối đại.

1=

, vì ( (ii) Vành số nguyên  có dim

,

mọi iđêan nguyên tố khác không đều là iđêan tối đại.

X . Vành ,

,n

X X , 1

2

=

,

,

X

[ R K X X

]

  có dim R = ∞ , vì xích các iđêan nguyên tố ,

1

,n

2

⊂

X

,

X

(

)

(

)

(

)

⊂ ⊂

, 

n

1

X X , 1

2

X X , 1

2

(iii) Với K là một trường, vành đa thức vô hạn biến

sẽ có độ dài tùy ý.

dim PR được gọi là chiều cao của P , kí hiệu htP . dim /R P được gọi là đối

Định nghĩa 1.6.4. ([4, §1]) Cho P là một nguyên tố của vành R . Khi đó

chiều cao của P . Kí hiệu CohtP .

Nhận xét 1.6.5. ([4, §1])

=

=

CohtI

CohtP

(i) Với mỗi iđêan I của R thì chiều cao của R được xác định bởi

htI

htP

Inf ⊃ P I

Sup ⊃ P I

, còn đối chiều cao của I là .

20

+

≤

htP CohtP

dim

R

+

≤

htI CohtI

R

dim

. (ii) Với mọi iđêan nguyên tố P ta có

, với mọi iđêan I . Do đó

Định nghĩa 1.6.6. ([4, §1]) Cho M là một R -môđun. Khi đó, chiều Krull

1

M = − .

của M được kí hiệu dim M , là dim /R AnnM nếu M khác môđun không.

Nếu M là môđun không thì qui ước dim

0R = .

Định lý 1.6.7. ([4, §1]) Một vành R là một vành Artin khi và chỉ khi R là

một vành Noether có chiều Krull dim

Định lý 1.6.8. ([4, §1]) Cho M là một R -môđun khác không hữu hạn sinh

dim /

0

R AnnM = .

trên vành Noether R . Khi đó, M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi chiều Krull

Mệnh đề 1.6.9. ([4, §1]) Cho P là một iđêan nguyên tố của một vành

Noether R . Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

(i) htP n≤ .

(ii) Tồn tại một iđêan I của R sinh bởi phần tử sao cho P là một iđêan

,A m với tối

nguyên tố cực tiểu của I .

)

=

dim /

dim

A

Mệnh đề 1.6.10. ([4, §1]) Cho một vành điạ phương Noether (

− 1

)

( A a

đại m và a m∈ và không là ước của không. Khi đó, ta có

htP=

a P∈ và không là ước của không thì

− . 1

( htP a /

)

Mệnh đề 1.6.11. ([4, §1]) Nếu P là iđêan nguyên tố của vành Noether R và

=

,

1

n

2

[  R K X X 

]  , X , 

,

Mệnh đề 1.6.12. ([4, §1]) Nếu là một trường và

X thì dim R n= . ,

X X , 1

2

n

là vành các chuỗi lũy thừa hình thức n biến

21

Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

MÔĐUN COATOMIC

2.1. Một số khái niệm và tính chất của môđun coatomic

Trong phần này chúng tôi giả sử vành R là vành Noether giao hoán có đơn vị 1 0≠ . Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày cấu trúc đại số của môđun coatomic.

Định nghĩa 2.1.1. Một R -môđun M được gọi là môđun coatomic nếu

mỗi môđun thực sự của M chứa trong một môđun cực đại của M .

Hệ quả 2.1.2. Nếu M là R -môđun đơn thì M là R -môđun coatomic.

Định nghĩa 2.1.3. Cho R -môđun M . Khi đó, căn của môđun M là giao

tất cả môđun con tối đại của M .

Định nghĩa 2.1.4. Cho R -môđun M . Khi đó, đế của môđun M là tổng tất

M

=

Rad

(

cả môđun con đơn của M .

N

mọi môđun con N của M sao cho thì M N= . Mệnh đề 2.1.5. Một R -môđun M là môđun coatomic nếu và chỉ nếu với )M N

Chứng minh.

( ⇒ ) Hiển nhiên.

( ⇐ ) Giả sử N là môđun con của môđun M nhưng không chứa trong bất

kì môđun con cực đại của M .

N không chứa trong bất kì môđun cực đại nào.

M

=

(

Rad

Do đó M

)M N

N

nên M N= (mâu thuẫn). Suy ra

Ta được điều phải chứng minh.

22

(

)

Rad M là môđun con

Mệnh đề 2.1.6. Nếu M là R -môđun coatomic thì

đối cốt yếu của M .

=

+

Chứng minh.

( M Rad M N

)

với N là môđun con của M . Giả sử

=

P⊂ , do đó

+ ⊂ (mâu thuẩn).

Do M là R -môđun coatomic suy ra tồn tại môđun con tối đại P của môđun M .

)

( Rad M

)

( M Rad M N P

Suy ra

Nên M N= và ta được điều phải chứng minh.

Một kết quả liên quan giữa môđun hữu hạn sinh và môđun coatomic

được trình bày rõ thông qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.7. Nếu R -môđun M là môđun hữu hạn sinh thì M là môđun

coatomic.

Chứng minh.

Giả sử M là R - môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của M .

∆ =

⊆

≤

Tập hợp ∆ môđun con thực sự của M chứa môđun con N . Tức là,

M M N M

'

{

} '

.

Ta có N ∈ ∆ ⇒ ∆ ≠ ∅ .

}i

IN ∈ là dãy dây chuyền tăng theo bao hàm thức trong ∆ .

i

Giả sử {

L

N

k

=  ta sẽ chứng minh L ∈ ∆ .

∈ k I

⊂ N N

N L

k

I

∀ ∈ ⇒ ∈ .

Đặt

,k

Thậy vậy, ta có

Hơn nữa, ta có L là môđun con của M .

Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh L M≠ .

n

M

;n

I∈ với mỗi

. Do M là R - môđun hữu hạn sinh. Giả sử ngược lại L M=

{ 1;2;

}

i ∈  .

m N∈ i

i

k i

= ∑ nên Rm

= 1

i

Suy ra với ik

23

∈

j

k

;

{

}

jN lớn nhất theo quan hệ bao hàm trong tập hợp

k k ; 1

2

n

;

N ;

k

k

 sao cho ; }

N N ; k 1

2

n

m N∈ với mọi

. Chọn {

{ 1; 2;

} ; n

i ∈  .

i

j

Suy ra

jN M=

Do đó (mâu thuẩn).

Theo bổ đề Zorn suy ra ∆ tồn tại phần tử tối đại. Ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.1.8.

=

X

,

,

[ R K X X

]

 . Khi đó, ta có R là R -môđun coatomic. ,

n

1

2

=

X

,

,

(i)  là  -môđun coatomic. (ii) Cho K là một trường và vành đa thức hữu hạn biến

[ R K X X

  . Khi đó, ta có R không là R -môđun coatomic. ,

,n

1

2

(iii) Cho K là một trường và vành đa thức vô hạn biến ]

Hệ quả 2.1.9. Nếu M là R -môđun Noether thì M là R -môđun coatomic.

Tiếp theo chúng tôi xin trình bày một lớp môđun gần gũi với môđun

coatomic đó là môđun nửa đơn thể hiện qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.10. Nếu R -môđun M là nửa đơn thì M là môđun coatomic.

M

M

= ⊕ , trong đó

I∈ .

Chứng minh.

i

iM là môđun con đơn của M , với mọi i

∈ i I

Giả sử

M N

M

J⊆ sao cho

và N là môđun con thực sự của M .

. Suy ra tồn tại I

(

)i

= ⊕ ⊕ ∈ i J

N M J

J

≠ ⇒ ≠ ∅ ⇒ ∃ ∈ .

i 0

= ⊕ M L M

L N

M

Ta có

i

0i

∈ i J



{ }0 i

 = ⊕ ⊕ 

  

Khi đó là môđun con của M chứa N và .

L M∩ '

L

L M

'

Bây giờ, ta cần chứng minh L là tối đại trong M .

'L sao cho

= ∅ .

i 0

⊆  , nên

∈

∈

y L z M ,

∈ x L

' : x

y

Giả sử tồn tại môđun con

= + , với z

i 0

Lấy bất kì

24

z

L M

x L

0

y

z

z

'

'

'L là R -môđun nên

= − ∈ ⇒ ∈ ∩ ⇒ = .

i 0

L L=

'

Do

, nên L là môđun tối đại của M chứa môđun con N . Suy ra

Vậy M là R -môđun coatomic.

Mệnh đề 2.1.11. Cho M là một R -môđun coatomic. Nếu N là R -môđun con của R -môđun M thì N là R -môđun coatomic.

0

/

rad N U ≠ với U là môđun con của N .

Chứng minh.

(

)

:f N

rad

Imf

0

(

)

Giả sử

E→ sao cho

≠ và E là bao nội xạ môđun đơn.

Suy ra tồn tại

'E của E đều hữu hạn sinh.

Nên E là môđun Artin.

Do đó mọi môđun con coatomic

:g M E→ .

⊂

f

Im

g

Từ f xây dựng ánh xạ

Suy ra Im .

g hữu hạn sinh (mâu thuẫn). Ta được điều phải chứng minh.

:f M N→ . Nếu

,M N là R -môđun

Do đó Im , Imf

i

I∀ ∈ là môđun của R -môđun coatomic M thì

Hệ quả 2.1.12. Cho R -đồng cấu môđun coatomic thì Imf , K erf là R -môđun coatomic.

N

,iN

i



∈ i I

Hệ quả 2.1.13. Nếu

i

,iN j

N⊂

I∀ ∈ là môđun của R -môđun coatomic M và thỏa I∈ thì tồn tại k

I∈ sao cho

là môđun của R -môđun coatomic.

N N ,i

k

j

N

i

 là môđun của R -môđun coatomic.

∈ i I

thì Hệ quả 2.1.14. Nếu mãn điều kiện với mọi ,i

Nhận thấy hợp của hai môđun coatomic bất kì chưa chắc là một môđun

coatomic.

=

∈

=

=

∈

= −

A

− ( x)

f

B

− ( x)

f

Ví dụ 2.1.15. Cho K là một trường. Khi đó, ta đặt

[ f K X f

]

[ f K X f

]

{

} (x)

{

} (x)

và .

K X là Noether.

[

]

Do K là một trường nên

25

,A B là môđun Noether nên

,A B là K -môđun coatomic.

Suy ra

Nhưng A B∪ không phải là K -môđun con của K -môđun K .

Suy ra A B∪ không phải là K -môđun coatomic.

/M N là R -môđun coatomic.

/M N là R -môđun coatomic thì M là R -môđun coatomic.

Mệnh đề 2.1.16. Cho M là R -môđun và N là môđun con của M . Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu M là R -môđun coatomic thì (ii) Nếu N và

/K N là môđun con thực sự của

Chứng minh.

(i) Giả sử M là R -môđun coatomic và

/M N .

/P N là môđun con tối đại của môđun

/M N chứa môđun

/K N .

/M N là R -môđun coatomic.

môđun

/M N là môđun coatomic và X là môđun con thực sự của

Suy ra K là môđun con thực sự của môđun M . Do đó tồn tại môđun con tối đại P của môđun M chứa môđun K . Nên Suy ra

≠

+

(ii) Giả sử N và

+

N X N

/M N .

.

/L N của môđun

/M N là R -môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại

+

N X N

là môđun con thực sự của môđun

) /

+

=

X Q Q

'

+ ⊆ .

M . Trường hợp 1: Nếu M N X Suy ra ( ) / Vì /M N chứa ( Suy ra X chứa trong môđun con tối đại L của môđun M . Do đó M là R -môđun coatomic. Trường hợp 2: Nếu M N X . Suy ra X N∩ là môđun con thực sự của môđun N . Vì N là R -môđun coatomic. Do đó tồn tại môđun con tối đại Q của môđun N chứa môđun X N∩ . Nên X Q+ là môđun con của môđun M chứa môđun X . Bây giờ, ta chứng minh X Q+ tối đại của môđun M . Giả sử tồn tại môđun con 'Q của môđun M sao cho ⊆ ∩ môđun con của môđun N chứa X N∩ (mâu thuẩn). Suy ra Q N Q ' Do đó M là R -môđun coatomic.

N M P

→ → → → . Khi đó,

,N P là R

.

0 -môđun coatomic nếu và chỉ nếu M là R -môđun coatomic.

Hệ quả 2.1.17. Cho dãy khớp ngắn 0

26

N M P

0

Chứng minh.

→ → → → .

=

P M N

/

Theo giả thiết, ta có dãy khớp ngắn 0

theo nghĩa sai khác một

Suy ra N là môđun con của môđun M và đẳng cấu.

,N P là R -môđun coatomic.

,N P là R -môđun coatomic thì M là R -môđun coatomic.

Do đó nếu M là R -môđun coatomic thì

Ngược lại, nếu

Mệnh đề 2.1.18. Cho M là R -môđun và N là môđun con đối cốt yếu của /M N là R -môđun M . Khi đó, M là R -môđun coatomic khi và chỉ khi coatomic.

(

)⇒ Hiển nhiên.

/M N là môđun coatomic và P là môđun con thực sự của

)⇐ Giả sử

( môđun M .

Chứng minh.

Trường hợp 1: Nếu N P⊂ .

/P N là môđun con thực sự của môđun

/M N .

/M N là môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại

/Q N của môđun

Suy ra

/P N .

Do /M N chứa môđun

Suy ra Q môđun con tối đại của môđun M chứa môđun P .

+

P N N

/

Trường hợp 2: Nếu N P⊄ .

/M N .

=

+

⇒ +

=

P N N M N

/

/

P N M

Suy ra là môđun con thực sự của môđun

. Thật vậy, nếu

/Q N của

+

=

P N N P N

/

/

/M N là môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại .

/M N chứa môđun

Do N là môđun con đối cốt yếu của M nên P M= (mâu thuẫn).

Mặt khác, do môđun

Suy ra K môđun con tối đại của môđun M chứa môđun P .

Do đó M là R -môđun coatomic.

27

=

+

,M M là R -môđun coatomic thì

M M M 1

2

1

2

. Nếu

Mệnh đề 2.1.19. Cho M là R -môđun coatomic.

Chứng minh.

U M⊆

Giả sử U là môđun con thực sự của R -môđun M .

1

1M .

Trường hợp 1: nếu nên U môđun con của R -môđun

1M là R -môđun coatomic.

Ta có

Suy ra tồn tại môđun tối đại A chứa U .

U M⊆

Nên M là R -môđun coatomic.

2

U M∩

U M∩

, chứng minh tương tự trường hợp 1. Trường hợp 2: nếu

≠ ∅ và

≠ ∅ .

1

2

Trường hợp 3: nếu

,U U lần lượt của

,M M .

1

2

1

2

,M M là R -môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại

,A B của

2

,U U .

Khi đó, tồn tại môđun con

1

2

1

Do 1 ,M M chứa 2

Suy ra A B+ là môđun con tối đại của M chứa U .

,

∀ = i

0,

n

M

Nên M là R -môđun coatomic.

⊕ là R -môđun

iM

i

∈ i I

Hệ quả 2.1.20. Nếu là R -môđun coatomic thì

coatomic.

Nhận thấy môđun coatomic chưa chắc là một môđun hữu hạn sinh được

i

minh họa thông qua ví dụ sau.

R

R = ∀ ∈ , 

 .

i

R i

= ⊕ ∈ i 

, trong đó Ví dụ 2.1.21. Cho

iR là  - môđun coatomic nên R môđun coatomic nhưng R không

Khi đó,

∞

i

phải là môđun hữu hạn sinh.

a M

U

i

= 1

Khi đó nếu a là một iđêan sao cho thìU là a -chia Mệnh đề 2.1.22. Cho M là R -môđun coatomic và U là môđun con của M . ⊂ 

Chứng minh.

28

:f U

a

Im f

0

Giả sử ngược lại, U không là a -chia nên aU U≠ .

E→ với

= sao cho f

0≠ .

Suy ra tồn tại

Trong đó, E là bao nội xạ của một môđun đơn.

:g M E→ sao cho Im g có chiều dài hữu hạn.

∞

Imi

a

g

Ta có mở rộng

a -chia.



= 1

i

Imf

Suy ra

( g U=

)

Do đó là a -chia (mâu thuẫn).

Suy ra U là a -chia.

∞

=

i J M

0

Hệ quả 2.1.23. Nếu M là R -môđun coatomic và J là căn Jacobson từ R



= 1

i

thì .

∞

≠

i J M

0

Chứng minh.



= 1

i

∞

U

i J M

Giả sử ngược lại, .

⊂ 

i

= 1

. Suy ra tồn tại môđun con U khác 0 của R -môđun M sao cho

Mà M là R -môđun coatomic.

Suy ra U là J -chia (mâu thuẫn) và ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.1.24. Cho M là R -môđun. Khi đó, các mệnh đề sau là tương

đương

(i) M là R -môđun coatomic.

mM là mR -môđun coatomic với mọi iđêan cực đại m .

(ii)

mR -môđun coatomic với mọi iđêan cực đại m và

mM là

=

Chứng minh.

)

'N của

mM sao cho

(ii ⇒ i) Giả sử / , trong đó N là môđun con của M . ( X rad M N

0

/

'

rad M N

mM là ( =

)

mR -môđun coatomic nên tồn tại môđun con = với mọi iđêan cực đại m .

m

m

Do X

29

0X = suy ra M là R -môđun coatomic.

Do đó

=

/

/

'

(i ⇒ ii) Giả M là R -môđun coatomic và A là R -môđun con của M .

'N là R -môđun con của

( rad M A

)

( rad X N

)

m

mM .

m

/M A là R -môđun m -chia.

Khi đó, ta có với

/M A là R -môđun m -chia.

∈

0

x M A

/

Suy ra

m⊄ với tất cả

rad M A = . /

(

)

RAnn

m

Suy ra nên Do đó, môđun con của ( ) x

mM là mR -môđun coatomic.

m

(

Suy ra

m sao cho mỗi phần tử của

k

1,...,

m

0

m thì tồn tại

1e ≥ sao cho

ea M = .

}

Mệnh đề 2.1.25. Cho M là R -môđun coatomic và a -nguyên sơ. Khi đó, ) Ass M nằm

1,...,

k

nếu có hữu hạn iđêan tối đại trong tập hợp {

R

k

( E R

)

Chứng minh.

∀ ≤ ≤ . i

/ mi

/ m , 1 i

k

I

R

/ m

là bao nội xạ của Cho

i

= 

i

= 1

∈

, k

P

As

P m

{ 1, 2,

}

( s M

)

)

là đối sinh của M . Suy ra

⊂ ⊂ , với

j ∈  .

( Ann M R

j

Rx

R m→ /

x M≠ ∈ có toàn cấu

Giả sử , sao cho

:g M I→ sao cho

j

có thể mở rộng

0

0

=

M Hom M I ,

(

)

Với mỗi 0 ( ) 0 g x ≠ .

M M→ là đơn ánh.

R

≅

,i

/

M

Đặt . Khi đó, ta có ánh xạ chính tắc

R

( Hom R a M

)

lim →

0

0

0

i

0

≅

≅

M

i R a M

/ M a M

Giả sử M là a -nguyên sơ suy ra .

lim / ←

lim ←

⊗ R

0

f M∈

0M là a -nguyên sơ, và I là Artin với mọi

. Mà

. Suy ra

n

n

∈

0

f

Ann

a

∀ ≥ nên

Suy ra Imf là hữu hạn sinh.

(

)

M

i

0

0M là không gian mêtric đầy đủ hợp với tập con đóng

. Do đó a Imf=0, n 1

(

) a .

MAnn

Ta có

30

0

0

e 1

e 1

e 2

⊂

⇒

0

e a M 2

Ann

a

a M+

= . 0

(

)

M

e

Theo định lý Baire, suy ra

= + , ta được điều phải chứng minh.

e 1

e 2

1

Đặt

1e ≥ tồn tại

e

f

∩

⊂

Hệ quả 2.1.26. Cho M là R -môđun coatomic, U là môđun con hữu hạn f ≥ sao cho

sinh của M và a là iđêan. Khi đó, với mỗi U a M a U .

Chứng minh.

a

(

( Ass N

)

Giả sử N môđun a -nguyên sơ.

) a là môđun con cốt yếu của N nên

NAnn

⊂ 

Suy ra .

e

∩ = U V a U

Giả sử M , N và e thỏa điều kiện trong giả thiết.

eU a U M V→

/

/

. Suy ra tồn tại môđun con tối đại V của M sao cho

e

=

/

/

Suy ra đơn cấu .

( Ass M V

)

/M V là a -nguyên sơ và

( Ass U a U

)

e

f

∩

⊂

0

/

U a M a U

1

fa M V = với

f ≥ nên

hữu hạn. Nên

. Ta được điều phải chứng

Suy ra minh.

Hệ quả 2.1.27. Cho M là R -môđun coatomic và S là một tập đóng nhân

SM là

SR − môđun coatomic.

của R , thì

0

Chứng minh.

SR − môđun coatomic và

SM không phải là

SM ≠ .

( ) x

Giả sử ngược lại

S∩ = ∅ .

RAnn

( ) x

Suy ra tồn tại x M∈ sao cho

p⊂ .

RAnn

SpR là iđêan cực đại trong

SR sao cho

f

∩

∈

=

Rx

⊂ p M pRx

M

Do đó

f ≥ và 1

(

f ) pR M

S

S

S

x 1

sx

f p M∈

, với . Suy ra

S∈ .

− ∈

s

( r Ann x

)

, với s Do đó

p∈ và mâu thuẫn với s

p∈ . Ta được điều phải

R

, với r

Suy ra chứng minh.

31

Mệnh đề 2.1.28. Cho môđun M các điều kiện sau là tương đương:

mR -môđun là hữu hạn sinh và mỗi )

s X hữu hạn.

mM là môđun thương X của M có As (

(i) M là hữu hạn sinh. (ii) Cho iđêan cực đại và

Chứng minh.

(i ⇒ ii) hiển nhiên.

= ⊕ , với mọi Uλlà

Uλ

(ii ⇒ i) Giả sử M hữu hạn chiều Goldie và U

' U M

'/ UU

U ⊂ ⊂ sao cho

cyclic.

'/ UU

nửa đơn. Suy ra tồn tại

Do đó tất cả hữu hạn sinh.

=

/

/

) rad M A M A

(

Suy ra môđun thương của M có số chiều Goldie hữu hạn.

Do đó tồn tại môđun con hữu hạn sinh A của M sao cho .

Mà M là môđun coatomic nên A M= . Ta được điều phải chứng minh.

2.2. Một số tính chất môđun coatomic trên vành địa phương

∞

0

i

=

M Hom M E

,

( L M

)

(

)

/R m . Cho M là R -môđun, đặt

Mục tiêu chính của phần này là chứng minh định lý 2.2.6. Vì vậy, ta luôn luôn giả sử R là vành địa phương với iđêan tối đại m , E là bao nội xạ

R

( Ann m M

)

= ∑

i

= 1

và . Tất

cả các tôpô điều là tôpô m -adic.

0M là m -nguyên sơ. 00M là tách.

Mệnh đề 2.2.1. Cho M là môđun và các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là coatomic. (ii) (iii)

Chứng minh.

(i ⇒ ii ⇒ iii) hiển nhiên.

0

0

=

=

0

0

(ii ⇒ i) Giả sử X là căn môđun thương của môđun M .

( So X

)

( Ra X

)

(

)

(

)

( So X

( Ra X

)

)

XAnn

XAnn

và . Mà

32

0X là đế của môđun con của

0M .

Suy ra

X = suy ra 0

0X = .

Do đó 0

0

(iii ⇒ ii) Chứng minh tương tự trên.

Mλ 1e ≥ sao cho

= ⊕ là môđun coatomic khi và chỉ khi tất cả Mλlà em Mλ = với mọi λ.

Hệ quả 2.2.2. Cho M môđun coatomic và tồn tại

Chứng minh.

( ⇐ ) Hiển nhiên.

( ⇒ ) Giả sử M suy ra Mλlà môđun coatomic. Do đó ta chỉ cần chỉ ra sự

,

,

,

λ λ λ sao cho Mλ 1

2

n

tồn tại của e .

∞

=

Giả sử hầu như Mλcó cấu trúc tôpô rời rạc và tồn tại không rời rạc.

Mλ

nD

D n

(

)0

n

∏ là m -nguyên sơ.

n

= 1

n

f

Đặt , suy ra môđun

1n ≥ sao cho

n

D∈ n

( ) DAnn m .

n

k

=

∈

f

,

f

,

f

(

)

km với

Khi đó, ta chọn

 bị triệt tiêu bởi m nên tồn tại

f 1

2

k

(

)

Ann m D k

) 0

(

em L M = .

. Suy ra

M

( L M

)

Suy ra tồn tại e sao cho

λ ⊂

(

)

Ass M hữu hạn.

Mà với mọi λ, ta được điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.2.3. Nếu M là môđun coatomic thì là

Chứng minh.

Ass L M có ít nhất một phần tử.

(

)

)

(

Giả sử M là môđun coatomic suy ra

Do đó M có chiều Goldie hữu hạn.

=

As

As

)

( s A

)

(

( s M

Suy ra tồn tại môđun con đối cốt yếu hữu hạn sinh A của M .

) Ass M hữu hạn.

nên Mà

33

Mệnh đề 2.2.4. Cho R là vành các điều kiện sau là tương đương:

(i) Mỗi môđun thương của môđun hữu hạn chiều là môđun hữu hạn

dim

1

(

)

R ≤ .

chiều.

(ii) Mỗi môđun hữu hạn chiều là mở rộng của môđun Artin. (iii)

Chứng minh.

1

( dim /

(ii ⇒ i) Hiển nhiên.

) R p > .

=

 M M R p /

/

(

)

 và As Ms

(i ⇒ iii) Giả sử có một iđêan chính p sao cho

  

  

∈

q

vô hạn. Khi đó, ta có M có chiều hữu hạn nhưng

q⊂ và height(q/ p) 1= .

  As M s  

  



=

+

p

q

p

sao cho p Với mỗi iđêan chính

∈  sao cho

( ) s

(

) ( ) r :





=

q

 rx

Suy ra tồn tại s q và x M∈ sao cho 1 sx= .

RAnn

  

  

iii

(

)

ii⇒ Giả sử M hữu hạn chiều.

sao cho . Suy ra sx M∈

height

(

) p = . 0

Trường hợp 1: nếu p m= suy ra M là môđun Artin.

n

( ) n

=

p

( )1 p +

1n ≥ .

Trường hợp 2: nếu p m và theo giả thiết ta có

=  với

p

M=

Suy ra

MAnn

(

)n

(

) p có chiều hữu hạn.

Do đó .

MAnn

( dim /

)

Suy ra môđun

/R p -môđun xoắn có bậc hữu hạng và

R p = nên 1

p = . 0

Suy ra N là

'N là môđun con cốt yếu hữu hạn sinh của N .

∈

q

As

'

0

( / s N N

)

Giả sử

q ≠ nên q m=

Lấy sao cho .

34

N N/

'

→

/

0

Ex

, N m '

( So N N

) / → '

)

Suy ra là m -nguyên sơ.

( 1 t R R

N N/

'

( So N N/

)'

Do đó dãy là khớp.

hữu hạn sinh nên là môđun Artin như yêu cầu bài

Suy ra toán.

Mệnh đề 2.2.5. Cho R là vành nguyên nhưng không phải là thể và M

xoắn và coatomic. Khi đó M là hữu hạn sinh.

=

n

dim

R

(

)

Chứng minh.

. Giả sử

1n = .

(

)

/M Ra M hữu hạn chiều.

Trường hợp 1: nếu

Suy ra

1n > .

Do đó M là hữu hạn sinh.

S =

≠ ∈ và x m

Trường hợp 2: nếu

{ 2 1, x, x ,

}  .

dim

(

)

R > nên 1

Suy ra tồn tại 0

SR vành nguyên Noether.

Do

SM là SR -môđun điạ phương hữu hạn sinh.

SR , suy ra (

)SR  -môđun coatomic

)SM  là (

Suy ra

≤

n

R≅

R

< suy ra tồn tại iđêan p

Với mỗi iđêan tối đại  của xoắn.

= ∩ sao cho (

1 dim pR

)S R

p

(

)



M U/

. Mà

SM .

)S

là môđun thương của Suy ra (

M A/

0

)

= với mọi môđun con hữu hạn sinh

SM là hữu hạn sinh nên (

S

Suy ra tập hợp iđêan nguyên tố liên kết là hữu hạn.

a

( ) x=

Do đó A của M .

0

thì M A/ là a -nguyên sơ. Với iđêan chính

1e ≥ sao cho

ea M A/ = .

Nên tồn tại

35

Suy ra M là hữu hạn sinh.

e

/

M

)

( M Ann m là hữu hạn sinh. em M là hữu hạn sinh.

Định lý 2.2.6. Cho R -môđun M là tương đương:

(i) M là coatomic. (ii) Tồn tại 1e ≥ , để (iii) Tồn tại 1e ≥ , để

Chứng minh.

0M ≠ .

(ii ⇒ iii ⇒ i) Hiển nhiên.

k

I

I

(i ⇒ ii) Giả sử M là môđun coatomic và

= ⊕ là tổng trực tiếp của

jI .

j

= 1

j

I

M

Cho bao nội xa M I⊂ trong đó

)

π → suy ra I j

:j

k ( ⊂ ⊕ Mπ j = 1 j

)

Với phép chiếu .

( j Mπ

là hữu hạn sinh. Do đó

i

i

+ 1

p

Ann

p

i

/

1, 2,

(

) p ,

)

=  là môđun coatomic

MAnn

M

M

(

)

(

) ( ,

Nên M là coatomic và R p/ môđun con cốt yếu R sao cho p m .

i

+ 1

i

Ann

p

/

Ann

p

i

1, 2,

(

) p ,

Suy ra tồn tại Ann xoắn trên vành số nguyên  .

)

=  hữu hạn sinh.

MAnn

M

M

(

)

(

) ( ,

i

1, 2,

p

Nên

)

i =  là R -môđun hữu hạn sinh.

MAnn

(

) ( ,

Suy ra

p

M=

Do đó M là p -nguyên sơ.

1e ≥ sao cho

MAnn

(

)e

− n r

n

r

∩

∩

=

U a M a U a M

)

(

Suy ra tồn tại .

1r ≥ sao cho

r> .

Hệ quả 2.2.7 (Artin-Rees). Cho M là môđun coatomic, U là môđun con với

của M và a là iđêan, khi đó tồn tại mọi n

Chứng minh.

36

Ta xét hai trường hợp sau:

1e ≥ sao cho

ea M hữu hạn sinh.

Trường hợp 1: nếu a R= thì hiển nhiên.

e

f

∩

⊂

U a M a U

1

f ≥ sao cho

Trường hợp 2: nếu a R suy ra tồn tại

e

e

a U a M⊂

. Suy ra tồn tại

+

e

− i r

'

e

r

'

e

∩

=

∩

i

r>

'

+ i e a U a M a

a U a

M

r ≥ sao cho ' 1

. Ta có

(

)

'r

+ ≥ e

f

'r đủ lớn để

với mọi . Nên tồn tại

r

e

r

'

= + , ta được điều phải chứng minh.

. Suy ra tồn tại

^

^

Đặt

M và

R là đầy đủ với tôpô m -adic.

^

^

^ ^ R M M

M là

R -môđun coatomic và ánh xạ chính tắc

ω ⊗ → là song

Hệ quả 2.2.8. Cho M là coatomic, và

:M

R

Khi đó

ánh.

( L L M=

)

Chứng minh.

→

0

^ R M L

/

0

ω

M L /

^ → ⊗ → ⊗ R M R ω ↓ M

^ R L R ω ↓ L

→ ⊗ R ↓

→

^ i →

^ ν →

→

0

^ L

^ M

^ M L /

0

Đặt . Khi đó, ta có sơ đồ sau giao hoán

/M L là hữu hạn sinh, cả hai

Ta có dòng trên cùng là khớp.

/M Lω song ánh.

Lω và

K

L

er

(

)

^ ν là toàn ánh và

Ta có

^ ν ϕ= M

ϕ

→ là phép nhúng.

^ :M M M

^ i

Im

)

^ i là đơn ánh nên

, trong đó Vì L đóng đại số trong M , và

( Lϕ= M

Suy ra L , M có cấu trúc tôpô và

^

^

^

^

Vì Mω là song ánh nên dòng cuối là khớp.

L là

R -môđun rời rạc và

/M L là

R -môđun hữu hạn sinh.

Suy ra

37

^

M là coatomic.

i

)

,

,

M N và Ex (

Rt M N là R - )

Suy ra

môđun coatomic với mọi

R Hệ quả 2.2.9. Nếu M và N là coatomic thì or ( iT i ≥ . 0

Chứng minh.

→

→

T

M

/ L

M

, L

N

T

M

/ L

)

T

M

/ L

/ L

N

(

)

(

) )

(

) M N ,

(

) M N ,

(

) )

R or ( i

R or ( i

R or ( i

Cho dãy khớp

M

/ L

)

,

)

(

M N là coatomic.

trong đó phần tử thứ nhất là rời rạc và thứ ba hữu hạn sinh.

R iT or (

→

→

T

)

T

M N ,

)

T

M

/ L

)

) M N ,

(

) M N ,

Suy ra

R or ( i

R or ( i

( R Trong dãy khớp or (L i phần tử đầu tiên là rời rạc.

)

,

M N là R -môđun coatomic với mọi

i ≥ . 0

R Suy ra or ( iT

i

)

,

trong đó

i ≥ . 0

Rt M N R -môđun coatomic với mọi

Tương tự, ta suy ra Ex (

) ( L M M=

Định nghĩa 2.2.10. R -môđun M được gọi là nửa Artin nếu và chỉ nếu

.

= ⊕

)

( L M

)

Nhận xét 2.2.11.

( L M m

∞

i

)

R và

, trong đó m là iđêan tối đại của (i) Với R -môđun M , ta có

( L M m

.

( Ann m M

)

= ∑

i

= 1

)

Ass M đều là iđêan tối đại.

(ii) Nếu R -môđun M là nửa Artin tương đương đương tất cả phần tử của (

Mệnh đề 2.2.12 .

e

e

+ 1

(i) Nếu Mλ⊕ là môđun coatomic với mọi λthì Mλcoatomic và với mỗi

1e ≥ sao cho

λ

λ

,

= m M m M ) (

M N môđun coatomic với

iđêan tối đại m tồn tại với mọi λ.

R iT or

i

,

(

)

1i ≥ . Hơn nửa, nếu M là hữu hạn sinh và N là môđun coatomic thì 1i ≥ . Ex

Rt M N môđun coatomic với

(ii) Cho M và N là môđun coatomic, thì

38

(

Chứng minh.

)M  là môđun coatomic suy ra

(i) Không mất tính tổng quát ta giả sử

∈

p

As

( s M

)

M là nửa Artin.

e

1

e

m M m M+ =

. Suy ra tồn tại p m sao cho

e

∈

∉

p

As

p

As

. Do đó

)

( s M m M /

( e s m M

)

/R p là m -chia nên M môđun coatomic.

nên Mà

Suy ra

0

/

(ii) Hiển nhiên.

mM là mR -môđun ) M A = . m

Mệnh đề 2.2.13. Cho m là iđêan tối đại của R . Khi đó coatomic nếu tồn tại môđun con coatomic A của M sao cho (

0

/

Chứng minh.

) M A = . m

1e ≥ sao cho

mU triệt tiêu bởi

/

)

M U là hữu hạn sinh.

Giả sử tồn tại môđun con coatomic A của M sao cho (

)e

mmR

m

e

và ( Suy ra tồn tại môđun con U của M và tồn tại (

= . 0

1A của U sao cho

A m U∩ 1

Chọn môđun con tối đại

em A = và ( 0

= . 0

)1 U A /

1

m

M

U+

/ A

)

Suy ra

= . 0

2

2A của M sao cho (

m

=

+

Chọn môđun con hữu hạn sinh

A A A 1 2

, ta được điều phải chứng minh. Chọn

T→ .

Mệnh đề 2.2.14. Cho T là vành Noether giao hoán, đồng cấu vành R

Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:

T M⊗ là T - môđun coatomic.

R

/T mT là Artin.

Nếu M là R -môđun coatomic thì (i)

(ii) Nếu m là iđêan tối đại của R thì vành

Chứng minh.

(i ⇒ ii) Giả sử m là iđêan tối đại của R .

39

(

)

)

/R m  là R -môđun nửa đơn trong T -môđun coatomic

( /T mT  .

/T mT là T -môđun nửa Artin.

Suy ra

Do đó

/T mT có chiều dài hữu hạn suy ra vành

/T mT là Artin.

)

( /M L M là

Nên

= ⊕

M

T M L M /

)

(ii ⇒ i) Giả sử M là môđun coatomic. Khi đó, ta có

(

)

( L M m

⊗ R

T M⊗ là T - môđun nửa Artin.

điạ phương hữu hạn sinh suy ra .

R

Mà

là T - môđun coatomic. Suy ra với mỗi iđêan  của T thì

( T M⊗ L

)

R

R∩ không là iđêan cực đại của R .

Trường hợp 1: nếu

∈

s T



iđêan tối đại m của R sao cho mT ⊄  suy ra

( L M m

As T

⊗ R

=

. Khi đó, với mọi ) ( )

L 

. Suy ra

(

) 0

T M⊗ R

≅

T

T M L

( em e ≥

)1

(

)

)

mL M bị triệt tiêu bới

( L M m

L 



và . Khi đó, ta có Trường hợp 2: nếu (

)

R∩ là iđêan cực đại của R , giống như m . )

(

⊗ R

⊗ R

e

T

/

T mT nên nó là coatomic.

)

(

)

( L M m

⊗ R

Suy ra là môđun trên vành Artin

^

M là đầy đủ. Khi đó, ta có các khẳng định sau

Hệ quả 2.2.15. Cho M là coatomic, a là iđêan của R và M là tôpô a -

^ ^ R M M

ω ⊗ → là đơn ánh.

adic tách, và

:M

R

^

^

M là

R -môđun coatomic.

(i) Ánh xạ chính tắc

(ii) Nếu Mω là toàn ánh thì

Chứng minh.

x U i

a i

x i

) 0, ⊗ = ∀ ∈

. ω M (i) Giả sử tồn tại môđun con hữu hạn sinh U của M sao cho ( ∑

40

^ ω ⊗ → đơn ánh. U

:U

^ R U R

^

^

^

Suy ra

:i U M→ và U có cấu trúc tôpô của M .

^

0

Mà

R U⊗ .

a i

x⊗ = i

∑

R

^ ^ R M M

ω ⊗ → là đơn ánh.

Suy ra trong

:M

R

^

R

Nên

R→ .

^

R - môđun coatomic.

(ii) Giả sử đồng cấu vành

^

^

^

ω +

=

^ ^ a R M M

Suy ra Im Mω là

a R iđêan tối đại của

R .

Im M

ω

=

^ M

Ta có và

^ + Im M Ra M

  

  

^

M là môđun coatomic.

. Nên

Suy ra

2.3. Môđun con đối cốt yếu coatomic

Định nghĩa 2.3.1. Vành R được gọi là K -vành nếu tất cả các môđun con

là môđun đối cốt yếu ( nhỏ) coacomic.

Để mô tả K-vành, đầu tiên chúng ta thấy sự bảo toàn “nhỏ” trong địa

0

)

phương hóa bởi một iđêan tối đại như sau

mM = 0

M U = thì m

Mệnh đề 2.3.2. Nếu U là đối cốt yếu trong M và (

với mọi iđêan tối đại m của R .

∈

,

(

)

Chứng minh.

f Hom M E R

Thật vậy, nếu E là bao nội xạ của R m và lấy bất kì .

= 0

) ( f M f U

(

)

(

)

m

)

(

)

( f U

)

( f M=

)

( f M f U là m - nguyên sơ nên

Suy ra

f = . 0

. Do đó

Vì U là đối cốt yếu trong M suy ra

41

0

0

(

)

RHom M E = nên ,

mM = với mọi iđêan tối đại m của R .

Suy ra

Mệnh đề 2.3.3. Cho U là môđun con của M . Khi đó, nếu U là đối cốt yếu

mU là đối cốt yếu trong

mM với mọi iđêan tối đại m của R .

trong M thì

=

+

Chứng minh.

H V M m

m

H V= m

+

M V U+

0

V U V

)

)

Giả sử U là môđun con của M và sao cho .

= và (

m

H M=

0

= nên

Suy ra ( là đối cốt yếu trong M V .

m

) mM V

. Do đó (

mM .

mU là đối cốt yếu trong

Suy ra

Hệ quả 2.3.4. Nếu U là môđun con đối cốt yếu và nửa Aritn của M , S là

SU là nhỏ trong

SM .

tập đóng nhân trong R thì

0

0

)

Chứng minh.

M U = và cần chứng minh

SM = .

S

0

Giả sử(

SM ≠ .

( ) x

Giả sử ngược lại

S∩ = ∅ và một iđêan nguyên tố p sao cho

RAnn

⊂

p p ,

S

( ) x

∩ = ∅ .

RAnn

Do đó, tồn tại x U∈ sao cho

Theo giả thiết về U nên p là iđêan tối đại.

) M U = 0

p

0

M

Suy ra (

pM = mâu thuẩn với 0

p

x ≠ ∈ 1

. Ta được điều phải chứng minh. Do đó

Định nghĩa 2.3.5. Cho R -môđun M được gọi là rút gọn yếu nếu có căn

môđun con đối cốt yếu của M là bằng không.

Định lý 2.3.6.

(i) R là K -vành nếu và chỉ nếu mR là K -vành với mọi iđêan tối đại m .

42

^

R là đầy đủ.

dim

1

(

)

R ≤ và căn 0 của R có chiều dài hữu hạn.

(ii) Vành địa phương của R là K -vành nếu và chỉ nếu (iii) Cho R là vành địa phương và đầy đủ. Khi đó, R là K -vành nếu

Chứng minh.

(i) “ ⇐ ” Giả sử mR là K -vành và U là môđun con đối cốt yếu của M .

mU là môđun coatomic.

Suy ra tất cả

× →

E

E

'

x

sx=

Suy ra U là môđun coatomic. “ ⇒ ” Giả sử R là K -vành và m là iđêan tối đại của R , E là bao nội xạ của R m .

rx

x

'

,



mR  r  s 

  

sao cho . Khi đó ta có ánh xạ

Suy ra E là mR -môđun con liên kết.

Do đó E là mR -môđun rút gọn yếu.

)

Suy ra mR là K -vành.

,R m và E là bao nội xạ của R m .

→

n

∈

x Ann m

(ii) Cho vành địa phương (

1n ≥ và

r n

+ − ∈ với r m n

1

E

(

)e

,



(

)

^ × R E { } x r n

E r x e

^

sao cho . Suy ra tồn tại

R -môđun với môđun con liên kết.

^

R có cấu trúc đầy đủ, ta được điều phải chứng minh.

Suy ra R -môđun E và

Do đó

(iii) Cho vành địa phương R và đầy đủ, E là bao nội xạ của R .

Suy ra E rút gọn yếu nên R là K -vành.

m

Suy ra iđêan nguyên tố cốt yếu và iđêan tối đại là như nhau.

p 2

2p cốt yếu trong R ).

  là không thể (vì

Khi đó, ta có 1 p

43

∈

dim

p

As

(

)

( s N

)

R ≤ và 1

Vì là cốt yếu trong R nên p m= .

Suy ra căn 0 của N là nửa Artin. Ta được điều phải chứng minh.

thì Hệ quả 2.3.7. Nếu R là K -vành và S là tập nhân con đóng đại số trong R SR là K -vành.

R≅

R

Chứng minh.

= ∩ ,

)S R

p

SR , ta có (



Với mỗi  iđêan tối đại của vành với p

là một K -vành.

pR là một K -vành.

dim

1

(

)

R ≤ iđêan nguyên tố

Trường hợp p là iđêan tối đại của R , thì suy ra

p tối tiểu nên

SR là Artin.

dim

)

}

(

Trường hợp p là không là iđêan tối đại của R , vì

R = và { 1

p 1,

p , k

k

= S R

Mệnh đề 2.3.8. Cho tập hợp cái iđêan nguyên tố,

p i



i

= 1

. Khi đó, các điều kiện sau là tương không phải iđêan tối đại và

đương:

Các căn 0 của N của R có chiều dài hữu hạn.

SR là vành nửa đơn.

(i) (ii) Mỗi iđêan nguyên tố cốt yếu là iđêan tối đại. (iii)

SR là môđun rút gọn yếu.

(iv)

Chứng minh.

0

(i) ⇔ (ii) Hiển nhiên.

SR là Artin suy ra N là nửa Artin nên

SN = .

(i ⇒ iii) Từ

SR là vành nửa đơn.

= U rad

(N)

Do đó

SR và

⊕ =



(iii ⇒ iv) Giả sử N là R -môđun đối cốt yếu của .

U R S

SR .

Suy ra , với  là iđêan của

44

0U = nên

SR là môđun rút gọn yếu.

⊂

Do đó

R S

r 1

  

  

(iv ⇒ i) Giả sử r N∈ . Khi đó, ta có là một R -môđun con đối

+

=

V

cốt yếu.

R S

r 1

  

  

2

3

+

=

+

=

V

V

Suy ra tồn tại V sao cho .

R S

R S

V R= S

r 1

r 1

  

  

  

  

=

0

0

Do đó và nên .

sr = suy ra s

S∈ , ta được điều phải chứng

r  1 

  

Theo giả thiết, suy ra nên

minh.

M U là nửa Artin.

Hệ quả 2.3.9. Nếu R là K -vành và U là môđun con cốt yếu của M thì

dim

1

(

)

Chứng minh.

R ≤ và U là môđun con cốt yếu của M .

∈

( p Ass M U

)

Giả sử

=

. Suy ra U M⊂ và

p Ann R

( ) x

( )1h

với x M∈ . Suy ra

:h R M→ sao cho

x= .

1

p

h U−=

(

)

Nên

là cốt yếu trong R , ta được điều phải chứng minh. Suy ra

Hệ quả 2.3.10. Nếu R là K -vành và M là môđun coatomic thì tồn tại một

môđun hữu hạn sinh U của sao cho M U là nửa Artin.

Chứng minh.

)

Giả sử V là một phần tử tối đại trong tập hợp đế của môđun con của M .

L M là cốt yêu nên M V là nửa Artin.

Do (

45

dim

1

(

)

R ≤ và V có chiều Goldie hữu hạn.

Vì

Suy ra tồn tại môđun con lớn hữu hạn sinh U .

Khi đó, V U là nửa Artin, suy ra M U là nửa Artin.

46

KẾT LUẬN

Luận văn đạt được một số kết quả như sau:

1. Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và chứng minh một số tính

chất cơ bản của môđun coatomic và cấu trúc đại số của môđun

coatomic. Mối quan hệ giữa môđun coatomic và dãy khớp ngắn, cũng

như môđun con đối cốt yếu. Bên cạnh đó đưa ra các ví dụ minh họa cụ

thể như sau:

+ Ví dụ về môđun coatomic và môđun không phải môđun coatomic.

+ Ví dụ hợp hai môđun coatomic chưa hẳn là môđun coatomic.

2. Trình bày một vài ví dụ làm rỏ mối tương quan giữa các lớp môđun

Noether, môđun hữu hạn sinh và môđun coatomic.

3. Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và chứng minh một số tính

chất cơ bản của môđun trên một vành địa phương hóa.

4. Trình bày chi tiết và chứng minh về khái niệm và chứng minh một số

tính chất cơ bản về môđun đối cốt yếu coatomic.

47

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Viết Đông , Trần Huyên (2006), Đại số Đồng Điều, Nxd Đại

Học Quốc Gia, Hồ Chí Minh.

2. Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục.

3. Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết (2006), Đại số đồng điều, Nxd

Giáo dục.

4. Dương Quốc Việt (2008), Lý thuyết chiều, Nxd Đại Học Sư Phạm.

Tiếng Anh

5. Atiyah M.F., Macdonald I.G. (1956), Introduction to Commutative

Algebra, Addison – Wesley.

6. Kaplansky I. (1970),Commutative rings, Boston.

7. Matlis F. (1977),Moduln und Ringe, Teubner.

Tiếng Đức

8. Güngöroğlu, G. and Harmanci (1999), “ Coatomic Modules over

Dedekind Domains”, Hacettepe Bulletin of Natural Sciences 28, pp.25-29.

9. Zöschinger H. (1980), “Koatomare Moduln”, Mathematische

Zeitschrift 170, pp.221-232.