BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ Trần Hồng Mơ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA VỚI LỆCH KHÔNG BỊ CHẶN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HOÁ
Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hoá đã tận tình
hướng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy Cô trong khoa Toán của Trường Đại Học
Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ
Chí Minh đã giảng dạy cho tôi trong quá trình học tập.
Tôi xin cảm ơn Phòng KHCN & SĐH, Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư
Phạm TP. HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khoá học này.
Tôi xin cảm ơn người thân trong gia đình đã động viên, tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành khoá học này.
Sau cùng, tôi xin cảm ơn các bạn học viên giải tích khoá 16 đã giúp đỡ
tôi trong khoá học.
Tp.Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008
Tác giả
Trần Hồng Mơ
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng
trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực đều có thể ứng dụng : y khoa,
xây dựng, điện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu,
nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn
đã được Hernán .R. Henríquez sử dụng công cụ nửa nhóm các toán tử tuyến
tính liên tục mạnh để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương
trình vi phân trung hoà với lệch không bị chặn.
Mục đích của luận văn này là thiết lập những kết quả về sự tồn tại nghiệm
tuần hoàn cho phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn và luận
văn chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình trung hoà với lệch
không bị chặn cụ thể. Đó là lý do tôi chọn đề tài .
2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng toán tử tuyến tính của nửa nhóm liên tục mạnh và các kết quả
trong không gian pha để chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn của phương trình
vi phân trung hòa với lệch không bị chặn.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Lời giải nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân trung hòa với lệch
không bị chặn.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Toán tử tuyến tính của nửa nhóm liên tục là một công cụ rất mạnh đã
được nhiều nhà toán học sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của
phương trình vi phân.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn chúng tôi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể :
Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài
Phần nội dung :
Chương 1 : Giới thiệu bài toán
Chương 2 : Các kiến thức bổ trợ.
Chương 3 : Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn.
Chương 4: Các ví dụ.
Phần kết luận : Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt
được .
Chương 1
GIỚI THIỆU BÀI TOÁN
Luận văn trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương
trình vi phân trung hoà với tính lệch không bị chặn được cho bởi dạng sau:
0
t
t
d x( t ) F( t, x ) Ax( t ) G( t, x ), t dt
trong đó:
* F, G thoả các điều kiện thích hợp
* A là phần tử vi phân của nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến
tính xác định trên không gian Banach X.
Trong suốt luận văn này, X là không gian Banach với chuẩn . .
Khi đó phần tử vi phân A của nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử
tuyến tính T(t) (
0t ) xác định trên X được định nghĩa như sau:
x
x X
toàn taïi
D A ( )
A D A )
(
:
X
X
với
: lim 0 t
T t x ( ) t
Ax
, với
.
và
x D A ( )
lim t 0
( ) T t x x t
( ) dT t x dt
t
0
Hơn nữa nếu T là nửa nhóm giải tích và bị chặn đều với A là phần tử vi
phân sao cho 0
( )A
thì xác định lũy thừa (
1)
A ) (0
như là toán tử
. Khi đó
trù mật trong X và
tuyến tính đóng xác định trên
((
((
D A ) )
D A ) )
ta định nghĩa chuẩn trên
như sau :
((
D A ) )
x
A x )
,
x D A ((
) )
.
(
D A ) )
Từ đây về sau ta sẽ kí hiệu X thay cho ((
với chuẩn . .
Với các điều kiện trên ta có các bổ đề sau: ( trong [17] )
1.1. Bổ đề 1.1
Cho 0
1 thì X là không gian Banach.
1.2. Bổ đề 1.2
1
Nếu 0
thì X
X
( )A là
là phép nhúng compact với mọi
compact.
1.3. Bổ đề 1.3
Với mỗi a > 0,
tồn
tại hằng số dương
:
aC sao cho
A T t ( ) )
, 0
(
. t a
aC t
1.4. Bổ đề 1.4
Với mỗi a > 0,
tồn
tại hằng số dương
:
aC sao cho
I
A )
, 0
(
. t a
T t ( )
C t a
* Và
phụ thuộc vào không gian pha
X
:(
;0]
x t (
( )
với
)
tx
;0]
vào X
với chuẩn .
tx B nào đó. B là không gian tuyến tính các ánh xạ đi từ ( . Không gian B thỏa các tiên đề sau:
B
(B.1) Nếu
:(
)
;
0
x
a
, X a
,
liên tục trên [
)a
và xB thì
ta có các tính chất sau :
với mỗi
t
)
i)
[ , a tx B
ii)
x t ( )
H x t
B
K t (
)sup
x s ( ) :
s
)
iii)
.
t M t (
tx
B
x B
với
K M ,
:[0,
[0,
)
)
0H ;
, K liên tục, M bị chặn địa phương và H,
K, M không phụ thuộc vào x(.) .
,
.
(B.2) Với x(.) ở trên (B.1),
)a
tx là hàm liên tục trong B trên [
(B.3) B là không gian đầy đủ.
, nếu B ta viết ˆ
Kí hiệu ˆB là không gian thương Banach B/ .
B
cho lớp tương đương xác định bởi.
Khi
đó
toán
tử
W(t)
xác
định
bởi
t
(0),
0
W t ( )
( )
t
T t ) t ), (
(
là nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính xác định trên B.
Sau đây là ví dụ cụ thể về không gian pha .
1.5. Ví dụ1.1
p
),
,
0
, 1 p gồm các hàm
Xét không gian B =
rC L g X r (
;0]
:(
X
sao cho liên tục trên [-r ; 0], đo được ( Lesbesgue) và
)r
;
g
:(
(.) p
r
)
;
g khả tích Lesbesgue trên (
, trong đó
(cid:0) là hàm
dương đo được Borel . Nửa chuẩn trên B được xác định bởi:
p
r
p
sup
( ) :
r
g
d
.
0
1/ ( ) ( )
Ta luôn giả sử g thoả hai điều kiện sau:
(g-1) g khả tích trên (
)r
. ;
(g-2) Tồn tại hàm không âm và bị chặn địa phương xác định
trên (
sao
cho:
g
( ):
g
)
,
với mọi
và
0
;0]
( ( )
;
(
)
;
, trong đó
r
(
) \r N
N là tập có độ đo bằng 0.
Khi đó B là không gian pha thoả các tiên đề trên( [13], Định lý 1.3.8).
Chương 2
CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ
2.1. Định nghĩa 2.1
Cho E là không gian Banach, A là tập con bị chặn. Độ đo phi compact
Kuratowski định bởi:
0
)
inf
/
,...,
A ñöôïc phuû bôûi moät soá höõu haïn caùc taäp hôïp A coù ñöôøng kính nhoû hôn hay baèng d ,
d A ( A A 2
1
n
2.2. Tính chất 2.2
a)
)
)
)
A
A
coA
(
(
(
b)
(
) 0A A compact tương đối.
c)
)
)
nếu A B
A
B
(
(
d)
)
)
)
A
B
(
A B
(
(
e)
)
)
.
tA
A
(
t (
2.3. Định nghĩa 2.3
Ánh xạ liên tục
(0,1)
:f D E
E
được gọi là k- cô đặc nếu tồn tại
k
sao cho :
))
)
với mọi A bị chặn chứa trong D .
f A (
(
k A (
2.4. Định lý 2.4
Cho D là tập lồi đóng bị chặn khác rỗng trong không gian Banach E và
:f D D là ánh xạ k- cô đặc thì f có điểm bất động .
, ]
X
2.5. Định lý 2.5( [19], Định lý 2.1 ) Với B là không gian pha thỏa các tiên đề nói ở chương I và E là không t là hai tập bị chặn tương ứng trong B [
gian Banach. Nếu X và
và
C
thì bất đẳng thức sau xảy ra:
t E [ , ],
X
)
K t (
)
[
)
(
(
t M t , ]) (
( )
ˆ tX
ˆ X
X
t , ]
x
((
a E ),
[
[
t x X , ]:
,
Trong đó
)
X
:
((
a E ),
x X
,
và
B
t
x t
)
x
:(
)
,
X
((
a E ),
), 0
a
, là tập các ánh xạ
E a
với
,
.
)a
, sao cho xB và x(t) liên tục trên [
2.6.Định lý 2.6: ( Định lý Schauder )
Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và
:f C C liên tục
sao cho
(
)
f C là tập compact tương đối .
Khi đó f có điểm bất động trong C .
2.7.Định lý 2.7: ( [17], Bổ đề 2.3 ).
Nếu T(t) là nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn thì
t
là hàm liên tục từ
với mọi x X,
T t x ( )
0
(cid:0) vào X
2.8.Định lý 2.8: ( [1], Bài tập 18 chương VI )
Cho ne là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H, n là dãy số hội
tụ đến 0. Khi đó toán tử
:A X
X được xác định bởi :
n
, là Ax x e e , n n n 1
toán tử compắc.
Chương 3
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN
Đầu tiên luận văn bắt đầu nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán
Cauchy trừu tượng:
t
t
d x( t ) F( t, x ) Ax( t ) G( t, x ), t dt
(3.1)
x
, ]a
X
là các hàm liên tục
(3.2)
trong đó là tập mở trong B . F, G: [
và 0 a .
Ta giả sử A luôn là phần tử vi phân của nửa nhóm T(.) của các toán tử
và nửa nhóm T(.) tuyến tính bị chặn xác định trên X . Ta giả sử rằng 0 )A (
bị chặn đều tức là 0 . t 1, ( )T t M với M
3.1. Định nghĩa 3.1
x X b Ta nói rằng hàm :( ) , , b > 0, là một nghiệm yếu của bài
AT t (
( ,
),
s
[ t , )
, )b liên tục toán Cauchy (3.1)- (3.2) nếu x ; thu hẹp của x(.) trên [
s F s x ) s
và với mỗi b t là khả tích và thoả hàm
t
mãn:
)
( ) ,
s
t
T t (
s G s x ds ) ( ,
)
,
t
s
(3.3) x t ( ) T t ( (0) F ) AT t ( s F s x ds ) ( , ) F t x ( , t
Để thuận lợi cho việc chứng minh, xin giới thiệu vài kí hiệu cần thiết :
* Với mỗi cặp số dương r, ta đặt:
[
X u : (
u C
,
C r , ) , ]; u t ( ) r t . ( , ) 0,
là tập khác rỗng lồi đóng bị chặn trong Dễ thấy C , r ( , )
[
C ]; , trong đó C , ]; X có chuẩn là sup.
, [ X *VớiB,
ta kí hiệu S là tập hợp các ánh xạ ( , r , ) ,
,
t
,
, x(.) liên tục trên [
:( x X , ]
]
tx
x s ( )
T t (
(0)
)
r .
sup s
S
,
,
)
S
,
,
r , )
(
(
và sao cho x ,
r thì
r , 1 1
. Rõ ràng nếu 1 và 1r
C C , S Trong trường hợp 0 , ta viết r thay cho ( , ) r và ( , ) r ( , , )
thay cho S r , ) ( , , .
Để liên hệ các kí hiệu này ta xét mệnh đề sau đây:
3.2. Mệnh đề 3.2
y t ( , Xét y (., ):( X ) , ) định bởi (0), t t t ), ) T t (
(
)
Và đặt u t ( ) x t ( ) với , r , ), t y t ( , ) x S ( , .
x t
u W t ( t
và , Khi đó u C r ( , ) , t .
Chứng minh
. Ta chứng minh u C r ( , ) ,
(
(
t
t
( ) x t
+ Ta thấy u(t) = 0 với mọi t .
x S
x ) )
x t ( )
( ) u t
y t ( ,
) 0 .
Thật vậy : vì , , ) r ( , nên x
r
x t ( )
)
(
(0)
( ) u t
T t
+ ( )u t
( )u t
. Thật vậy t
r .
x S
Do , , ) r nên ( ,
u C
. Như vậy ( , ) , r
)
t
x t
u W t ( t
x t (
y t (
)
)
, )
u t Ta có (
Bây giờ ta chứng minh , .
t
với và 0 .
t thì
T t (
)
(0)
W t [ (
)
( )
( )
( )
]( )
Nếu 0 ( ) t
u t
x t
x t
.
W t [ (
)
( )
( ) t ) (
( )
]( )
Nếu t thì ( t )
u t
x t
x t
. ■
u C
r
Ngược lại, với mỗi ( , ) , r chúng ta định nghĩa u là mở rộng của u
. t
u
bởi : ( ) 0 với với và ( ) ( ) u t u t
Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán (3.1)-
(3.2)
3.3. Định lý 3.3
Cho và giả sử các điều kiện sau xảy ra:
)A F
liên (a-1) Tồn tại (0,1) sao cho F nhận giá trị trong X và (
tục .
0, r sao 0
(a-2) Tồn tại hằng số dương cho ánh xạ
)
C
];
X
( ,
F C :
r , 0 0
[ , 0
t
được cho bởi ( , ) ( ) F t u W t ( )( ) F u t
b
là hoàn toàn liên tục.
r sao cho
)[
(
rB và ]
t b ) (
) 0 (b-1)Tồn tại hằng số 0 ( ) a và (
X sao cho
tU
T t G s ( ) ( ,
)
b
s
với mỗi 0 , có tập compact
U với mọi t
và mọi ( . ) ] )[ rB (
x xác định trên ( (.,
, , Thì bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm yếu ) )b
b > 0.
Chứng minh
Để đơn giản ta giả sử = 0.
)A F
Vì ( và G liên tục và là tập mở trong B nên tồn tại
0
r
(
) ) ( , A F t
r )
;
C 1
rB [ ]
sao cho ( và ( , G t , với ) C 2
.
] [
rB
Theo định lý 2.7,
(.)W liên tục nên ta có thể chọn > 0 sao cho :
( )
.
(3.4)
W t
với mọi 0 t
B
r 2
và ( ) t b C1, C2 là các hằng số, mọi 0
Đặt
):
x S
r ( , , )
và min , . r K r 0 K t max ( ) t 0 r K 2
F t x ( , t
)
F ) (0,
x S
r ( , ) ,
là tập compact Từ (a-2) suy ra tập các ánh xạ
F t x t
lim ( , t 0
tương đối nên suy ra đều trên .
) 0
0 min b , ( , sao Từ đó ta suy ra có 0 đủ nhỏ để tồn tại
cho các bất đẳng thức sau xảy ra :
(3.5) T t ( ( ) (0, ) , I F )
F (0, F t x ( , (3.6) và ) )t
aC C 1
x S
r ( , ) ,
(3.7) r MC 2 2
với mọi 0 t và , trong đó Ca được giới thiệu trong tính
chất 3 chương I .
x t ( )
u t ( )
y t ( ,
t ),
)
với
y t đã định nghĩa ở mệnh đề 3.2. ( ,
Nếu x(.) thỏa phương trình (3.3), chúng ta có thể phân tích
t
u t ( )
T t F ( )
(0,
)
AT t (
( ,
)
Rõ ràng ánh xạ u(.) thỏa phương trình
F t u ( , t
y t
s F s u ) s
y ds ) s
0
t
T t (
( ,
, 0
t
s G s u ) s
y ds ) s
0
(3.8)
trong đó ta viết tắt là y(.) thay cho (., ) y .
,
, xác định trên
1
2
Từ (3.8) ta định nghĩa các ánh xạ C r như ( , )
t
AT t (
( ,
sau:
y ds ) s
u t )( ) ( 1
s F s u ) s
0
t
u t )( )
T t F ( )
(0,
)
T t (
( ,
)
(3.9)
( 2
y t
y ds ) s
F t u ( , t
s G s u ) s
0
(3.10)
1 2
và với mọi 0 t .
C
r . ( , )
Để chứng minh bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm yếu ta chứng có điểm
bất động trên
, là hai ánh xạ hoàn toàn liên tục lấy giá
1
2
C
Đầu tiên ta sẽ chứng minh
r . ( , )
r thì , )
C Để chứng minh các nhận định đó, đầu tiên ta chú ý nếu u(.) (
( )
C [0, ) trị trong X ]; và có tập giá trị compact chứa trong
rB ] [
tu W t
( )sup
( ) :0
K t
( )
s
với mọi 0 t . Thật vậy:
tu
t M t u 0
B
B
0
( ) 0,
Theo tiên đề (B-1) ta có : u s
u
Kr
. Với 0 ( ) u
Btu
W t ( )
Suy ra .
u W t ( ) t
u t
B
B
B
Kr
r .
r 2
Kết hợp với (3.4) ta được :
C )(.) là hàm liên tục . r và Vì G liên tục nên 2 xác định trên ( , ) u ( 2
)(.)
u ( 2
Ta sẽ chứng minh là hàm liên tục . Thật vậy : với 0 h ta có:
u t h
)(
)
u t )( )
(
)
(0,
T t F ( )
(0,
(
)
T t h F
)
( 2
( 2
t h
y t h
, F t h u
) t
t h
( ,
)
(
( ,
)
T t (
( ,
y t
y ds ) s
y ds ) s
F t u t
T t h s G s u s
s G s u ) s
0
0
): là tập compact tương đối nên x S r ( , , ) Do tập các ánh xạ F t x ( , t
t
t h
(
( ,
)
T t (
( ,
ta chỉ cần chứng minh
y ds ) s
y ds ) s
T t h s G s u s
s G s u ) s
0
0
t
(
)
T t (
( ,
T t h s
y ds ) s
s G s u ) s
0
t h
h
(
( ,
)
0
0
y ds ) s
T t h s G s u s
t
(
t h s b )
=
(
( ,
)
)
)
(
)
T t h s G s ( ,
Với 0 thì tồn tại C2 > 0 sao cho :
y s
C 2
U t h s
T t h s G s u s
t h
h
0
(
( ,
)
)
0
( do )
y ds C h s
2
T t h s G s u s
t
T t (
( ,
)
Suy ra .
y s
y s
U t s
rB [ ]
u s
s G s u ) s
Mặt khác do ( vì ) và T(.)x,
x U t s
, là đẳng liên tục nên với mọi 0 tồn tại
x U t s
) 0
2
0 min b , ( , sao cho ) và với mọi T t x T t x ( ( ) 1
. t 1 t 2
t
t
(
)
T t (
( ,
T
T t (
T t h s
T h ( )
(0)
y ds ) s
y ds ) s
s G s u ) s
s G s u ( , ) s
0
0
Vì vậy với 0 h ta có:
( ,
)
)
)A F
Vì vậy )(.) là hàm liên tục. u ( 2
y s
A F s u s
)
liên tục nên ( Do F lấy giá trị trong X và (
s
y F s u ( , s s s ( AT t ) liên tục trên tôpô đều các toán tử xác định trên [0, t).
AT t (
( ,
)
liên tục . Hơn nữa vì T(.) là nửa nhóm giải tích nên và
y s
s F s u ) s
liên tục trên [0, t). Vì vậy
AT t (
( ,
)
A
1 )
T t (
s
)(
)
( ,
)
(
Áp dụng bổ đề 1.3 ta được
y s
y s
s F s u ) s
A F s u s
t
(
aC C 1 1 s )
AT t (
( ,
)
(3.11)
y s
s F s u ) s
Suy ra khả tích trên [0, t).
1 được xác định và lấy giá trị trong
C [0, ) . Ta suy ra X ];
1
là hàm liên tục. Ta sẽ chứng minh )(.)u (
t h
)(
)
( ,
)
(
u t h ( 1
u t ( )( ) 1
y ds ) s
AT t h s F s u s
t
t
A T t h s
(
)
T t (
( ,
y ds ) s
s F s u ) s
0 t h
( ,
)
(
y ds ) s
AT t h s F s u s
t t
( ,
I AT t (
y ds ) s
s F s u ) s
- T h ( )
0
Với 0 h ta có:
t
t h
Theo (3.11), bổ đề 1.3 và bổ đề 1.4 ta có:
1 )
t
0
I ds . ds T h ( ) u t h ( )( ) 1 u t ( )( ) 1 t ( C C 1 a t h s ( C C 1 a 1 s )
T h ( )
0
h 0
C C . 1
a
I C C . 1
a
h
.
u t )( )
T t ( ( )
I F )
(0,
F
(0,
(
)
)
y t
F t u ( , t
t
) t
(
A
1 )
T t (
s
)(
)
( ,
T t (
( ,
y ds ) s
y ds ) s
A F s u s
s G s u ) s
0
0
t
t
(
1 )
)(
)
( ,
A
( T t
s
ds
Tiếp theo ta chứng minh u C thì u C r ( , ) . Thật vậy : r ( , )
) y ds s
A F s u s
C C 1 a
(
t
C C 1 a 1 ) s
0
0
t
T t (
( ,
)
Với
2
y ds MC s
s G s u ) s
0
)( )
(
r
. Và
2 u t MC 2
aC C 1
Vì vậy , với mọi 0 t .
) ( 1
(
Bây giờ ta chứng minh : Tập giá trị là compact tương đối.
)( )t 1
* là tập compact tương đối trong X với mỗi 0 t .
t
AT
T t (
( ,
( )
y ds ) s
u t )( ) ( 1
s F s u ) s
0 t
A
1 )
T t (
s
)(
)
( ,
y ds ) s
A F s u s
t
(
)
Thật vậy, ta có thể giả sử rằng t > 0 . Cho 0 t thì
y F s u ( , s s
(
)
A T ( )
Từ (a-2) ta nhận được , 0 s thuộc tập compact và do
t
AT
T t (
( ,
( )
bị chặn nên áp dụng định lý giá trị trung bình của tích phân
y ds ) s
s F s u ) s
0
cũng thuộc tập Bochner. ta suy ra:
compact .
t
t
1 )
)(
)
( ,
0
A
( T t
s
ds
0
) y ds s
A F s u s
C C 1 a
(
t
C C 1 a 1 ) s
t
(
t .
(
Hơn nữa ta có:
)( )t 1
là tập compact tương đối. Do vậy
) ( 1
t
* đẳng liên tục tại t0 .
. Từ định nghĩa của
0 t 0
1 ta có:
)
u t )( ( 1 0
u t )( ) ( 1 t 0
t
A T t [ (
( ,
AT t (
( ,
s )
y ds ) s
y ds ) s
T t ( 0
s F s u )] s
s F s u ) s
0
t 0
t 0
t
T t [ (
)
( ,
AT t (
( ,
t 0
I AT t )] ( 0
y ds ) s
y ds ) s
s F s u ) s
s F s u ) s
0
t 0
t
T t [ (
)
I
)]
)
(
A
1 )
T t (
s
)(
)
( ,
Thật vậy, lấy
y ds ) s
t 0
1
u t ( )( 0
A F s u s
t 0
)(
(
.
)t 1 0
(
A
1 )
T t (
s
)(
)
( ,
)
u C
r ( , )
Từ biểu thức này và sử dụng tính compact của và tính đẳng
y s
A F s u s
với thì ta được khả tích của
) ( 1
đẳng liên tục bên phải của t0 .
) ( 1
Tương tự ta cũng có thể chứng minh đẳng liên tục tại mọi t0 0 .
) ( 2
là compact tương đối. Bây giờ ta đi chứng minh
) ( 2
0
t
* đẳng liên tục tại t0
t 0
. Từ định nghĩa của 2 ta có :
u t )( )
)
)
)
( 2 T t ( )
( 2 F
T t ( 0
y t
F t u ( , t
, F t u ( 0 t 0
y t 0
u t )( ) 0 (0, )
Với 0 cố định, ta lấy
t 0
t
T t (
( ,
( ,
) s
y ds ) s
y ds ) s
T t ( 0
s G s u ) s
s G s u ) s
T t (
t 0
t 0
t 0
( ,
) s
T t (
T t ( 0
y ds ) s
s G s u ) s
0
t 0
( ,
s )
T t (
T t ( 0
y ds ) s
s G s u ) s
0
t 0
=
)
( ,
s
T t (
T t ( 0
y ds ) s
s T G s u ( ) ) s
0
Xét
)
T t x T t x (
là đẳng liên tục nên với mọi tại 0 tồn Do T(.)x, x U ,
( ) 1
2
với mọi x U và
) 0
t 1
t . 2
T
)
( )
0 min b , ( , sao cho
t
) cho nên với
y s
U
y s
rB [ ]
u s
G s u ( , s
t 0
t
( ,
thì ta có:
) s
T t (
t 0
T t ( 0
y ds ) s
s G s u ) s
0
t
T t (
( ,
)
)
( vì Và , 0 s
y ds MC t ( s
2
t 0
s G s u ) s
t 0
t 0
( ,
2
)
s )
Mặt khác ta có:
T t ( 0
y ds MC s 2
s G s u ) s
T t (
t 0
):
x S
r ( , , )
Và .
F t x ( , t
t
)
)
là tập compact tương Hơn nữa vì tập các ánh xạ
t . 0
y t
F t u ( , t
, F t u ( 0 t 0
y t 0
t
với đối nên
thì
t 0
Như vậy với
0 )
u t )( ) ) T t ( ) T t ( + F (0, ) ( 2 ( 2 u t )( 0
) 2 MC t ( 2 t 0 MC 2
) ( 2
) (
Suy ra đẳng liên tục bên phải tại t0 .
2
(
Tương tự ta có thể chứng minh đẳng liên tục tại mọi t0 0 .
)( )t 2
u C
r ( , )
(0,
( )
)
T t F không phụ thuộc vào
* Ta chứng minh là tập compact tương đối với mỗi 0 t .
), 0
t
và do từ (a-2) Do
y t
F t u ( , t
t
T t (
( ,
, chứa trong tập compact nên ta chỉ cần chứng minh
y ds ) s
s G s u ) s
0
tập các vectơ , 0 t , là tập compact tương đối .
t thì
t
t
T t (
( ,
( ,
T t (
y ds ) s
y ds ) s
s G s u ) s
s T G s u ( ) ) s
0
0
t
+ T t (
( ,
) y ds s
s G s u ) s
t
u C
T
)
r ( , )
( )
Thật vậy, lấy 0 và 0
y s
U
G s u ( , s
T s x
( ) :0
s
t
,
0 s
với mọi và Từ (b-1) ta có
. Khi đó
t
V
x U
là tập compact .
t
T t (
( t
y ds ) s
c V ) ( )
) ( ) ( , s T G s u s
0
)
Theo định lý giá trị trung bình cho tích phân Bochner ta được
c V là bao lồi đóng của V nên nó cũng là tập compact .
t
( ,
)
với (
y ds MC s 2
s G s u ) s
t
T t (
(
Và .
)( )t 2
Do đó là tập compact tương đối.
) ( 1
) ( 2
, là tập compact tương đối. Như vậy theo định lý Ascoli
) (
cũng là tập compact tương đối . Suy ra
u C
r ( , )
u t sao cho ( )
( ),
y t
t
x t Nếu ta xác định ( )
Áp dụng định lý Schauder có điểm bất động, tức là tồn tại u t ( )( ) với 0 t .
u t ( ) ta thấy x(t) là nghiệm yếu của bài toán (3.1)- (3.2) ■
thì từ định nghĩa của
Tiếp theo luận văn xét sự tồn tại nghiệm toàn cục.
3.4.Hệ quả 3.4
) B và giả thiết của định
Giả sử rằng F, G xác định trên [0,
x
:(
)
,
lý 3.1 được thỏa cho mọi 0 . Giả sử thêm F thỏa các điều kiện sau:
X sao cho 0x B ; x liên tục
t
(a-3) Với mọi 0 và tất cả
F t x ( , )t
và bị chặn trên [0, liên tục đều trên [0, ) ; hàm ) .
, b > 0, là nghiệm không mở rộng của (3.1)- (3.2)
x Nếu (., b , ) ):(
(với 0 ), bị chặn trên [0, )b thì b .
Chứng minh
x t )
t
b
x b ( )
x t )
, ]b bởi
. Do đó ta có Nếu giả sử b thì từ (a-3) ta suy ra tồn tại lim ( ,
lim ( , b t
và nó liên tục thể mở rộng của x trên ( (., )
trên [0,b].
bx
Đặt , thì bài toán (3.1) với điều kiện đầu là tại b , có một
,
b )
với nghiệm địa phương là ) x xác định trên ( (., 0 nào đó .
Theo (3.3) dễ thấy ) (., x cũng là một nghiệm của bài toán (3.1) với điều
kiện 0x . Điều này trái với giả thiết .
Vậy b ■
Sau đây là hai bổ đề nói về tính duy nhất nghiệm của bài toán (3.1)-(3.2) .
3.5. Bổ đề 3.5
,
r C C , , 2
1
Giả sử với mỗi và với mỗi 0 tồn tại hằng số dương
sao cho:
A F t ( , )
A F t ( , )
1
2
1 2
B
G t ( ,
)
G t ( ,
)
i) ( ) ) . ( C 1
1
2
C 2
1 2
B
(0) (
A )
1 .
. ii)
C K 1
iii)
rB ] [
, 1 2
. với và mọi t
Khi đó nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.2) là duy nhất .
Chứng minh
(
A )
1 .
Giả sử 0 .
C K 1 1
Do iii) nên gọi 1 0 sao cho
sao cho: Khi đó ta chọn 0 0 1
1
aC C MC
0
0
1 K . 2 0 2
Theo định lý 3.3 ta chỉ cần chứng minh là ánh xạ co .
0
u t ( )( )
v t ( )( )
)
)
y t
y t
F t v ( , t
F t u ( , t t
AT t (
( ,
y
)
y
ds
) .
s
s
s
s F s u )
F s v ( , s
0 t
AT t (
( ,
y
)
y
ds
) .
s
s
s
s G s u )
G s v ( , s
0
t
Thật vậy với u v C , ta có r ( , )
s
B
B
0
. ) A ds ( C 1 u t v t u v s C C a 1 1 ) s ( t t
s
B
+
0
ds MC u 2 v s
1
2 0
0
0
A ) . u v K u v . ( C C MC a K C 1 1
1
2 0
0
0
Suy ra v ( ) A ) K ( u v ( ) u C C MC a K C 1 1
1
2 0
0
2
0
1 Vì K A ) 1 ( C C MC a K C 1 1
C Nên là ánh xạ co trên r . 0( , )
Do đó nghiệm yếu xác định duy nhất.
3.6.Bổ đề 3.6
,
0C ,
0
:[0,
[0,
)
sao cho: )
1 và các hàm số liên tục 1
k k 2,
(
)
( ,
)
)
( ,
)
1 x s ( )
2 x s ( )
(
Giả sử với mỗi và với mỗi 0 tồn tại hằng số dương
k t ( 1
1 A F t x t
2 A F t x t
) sup s t
)
)
1 x s ( )
2 x s ( )
i)
1 G t x ( , t
2 G t x ( , t
k t ( 2
) sup s t
,
i
1, 2.
ii)
ik t Ct ( )
2, x x
:(
X
b
]
,
là các hàm liên tục
iii)
với và tất cả cặp 1 t
x B
2 0
trên [ , ] và 1 x 0
Thì nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.2) là duy nhất .(Chứng minh tương
tự )
Bây giờ ta giả sử rằng F, G và nửa nhóm T thỏa các điều kiện thích hợp
để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình:
0
t
t
d x( t ) F( t, x ) Ax(t ) G(t, x ), t dt
(3.12)
0x
(3.13)
Với những điều kiện đó ta xem (3.12) như là hệ phương trình vi phân trừu
tượng trung hòa (F,G). Một hệ phương trình vi phân trừu tượng trung hòa
( , ) (F,G) được gọi là w – tuần hoàn nếu ( , ) F t và G t là w – tuần hoàn theo
t. Từ đây trở về sau ta sử dụng w là hằng số dương.
3.7. Định nghĩa 3.7
Ta nói rằng hàm :x là một nghiệm w – tuần hoàn của (3.12) nếu X(cid:0)
0x và
x t w x t ( ( ) )
x(.) là một nghiệm yếu của (3.12) với điều kiện đầu
với mọi 0t .
0x B ; thu hẹp của x(.) trên
Rõ ràng nếu :x là hàm sao cho X(cid:0)
[0, . ,0] )w là liên tục và wx thì là w- tuần hoàn trên (
Ngoài ra nếu hệ phương trình vi phân trung hòa trừu tượng (F, G) là w –
tuần hoàn và ) x là một nghiệm yếu của (3.12)- (3.13) thì điều (.,
kiện wx là
đủ để đảm bảo ) (., x là một nghiệm w – tuần hoàn của (3.12) .
Bởi vì nó có tính cần thiết để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của
phương trình (3.12). Vì nhận xét trên nên ta có mệnh đề sau:
3.8. Mệnh đề 3.8
Giả sử rằng hệ phương trình vi phân trung hòa trừu tượng (F, G) là w-
0x xác định
(.,
)
tuần hoàn và nghiệm yếu của (3.12) với điều kiện đầu
wx thì x(.) là một nghiệm w- tuần hoàn.
x của (., )
trên(cid:0) . Nếu
]w , với mỗi
Gọi E là tập con khác rỗng, đóng của sao cho nghiệm yếu
(3.12) – (3.13) là duy nhất và xác định trên [0, E .
:wP E B
Trong trường hợp này ta xác định
(.,
wx
)
Nếu hệ phương trình vi phân trung hòa trừu tượng (F, G) là w- tuần hoàn
thì từ mệnh đề trên ta suy ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của
(3.12) là Pw tồn tại điểm bất động.
Tuy nhiên để chứng minh Pw có điểm bất động thì tập xác định của Pw là
tập lồi đóng bị chặn. Vì vậy chúng tôi giới thiệu giả định sau:
3.9. Giả định (F, G)
Có tập lồi đóng bị chặn E sao cho với mỗi E bài toán Cauchy
(3.12)- (3.13) có nghiệm yếu duy nhất ) , bao ]w , (., x xác định trên (
sx
(., ):0 s w , E là bị chặn và chứa trong và đóng của
wP E (
) E .
Để chứng minh Pw có điểm bất động thì đầu tiên ta đi chứng minh Pw là
liên tục.
3.10. Định lý 3.9
Giả sử rằng giả thiết (F, G) xảy ra. Nếu chúng ta giả sử thêm:
)A F
liên (a-4) Tồn tại (0,1) sao cho F lấy giá trị trong X và hàm (
:
C
([0,
w X ];
)
tục và biến tập đóng và bị chặn thành tập bị chặn.
E ; ánh xạ
F C w r ( , )
( ,
)
(a-5)Với mỗi r > 0 và mỗi cho
F u t ( )( )
F t u W t ( ) t
là hoàn toàn liên tục. bởi
(b-2) Ánh xạ G biến tập bị chặn, đóng thành tập bị chặn và với mỗi tập
T t G s ( ) ( ,
)
đóng bị chặn B và mỗi t > 0 tồn tại tập compact Wt của X sao cho
t
(.,
.
W với mọi B và 0 s w :wP E B,
wx
)
Khi đó ánh xạ liên tục.
Chứng minh
Chúng ta bắt đầu chỉ ra rằng với mỗi tập compact tương đối B trong B
)
( F
B
thì là tập compact tương đối trong C ([0, w X . ]; )
Thật vậy, từ tính liên tục của F và tính compact của [0, w] ta có:
tồn tại Với mỗi sao cho: 0 , và mỗi 0
F t ( ,
F t ( ,
)
)
với mọi sao cho
B
sup 0 t w
.
W t
( )(
)
Vì u C w r , ) ( nên ta có:
C 1
u W t ( ) t
u W t ( ) t
B
B
B
0 t w
và hằng số chắc chắn C1 .
với mọi
( ,
( ,
)
. )
F t u W t ( ) t
F t u W t ( ) t
sup t w 0
(
với
.
) B
Hay
chúng
ta
có:
với
mọi
F u ( )
F u ( )
(
.
u C w r ( , )
và
) B
1
2
n
,...,
,
Vì B là compact tương đối nên tồn tại
sao cho :
n
B
]
.
i [
)
B i (
i
1
Với mọi
]
)
B
:
i [ 0
i 0
i ( 0
i 0
)
B i 0 (
B
u ( )
( )]
, với mọi
u C w r , ) (
.
F u ( )
F u ( )
B F u [ i 0
F i 0
n
(
( )]
.
) F
B F u [ i
B
i
, ) ( u C w r
1
( )]
[0]
nên ta có:
Mà
B F u [
B
F u ( )
Nên tồn tại ( sao cho ) 0
(
)
(
)
.
F
B [0]
F i
B
n 1 i
n
Do (a-5) nên ta suy ra
là tập compact tương đối và > 0 tùy ý
( F )i
i
1
C
([0,
];
)
)
nên
là tập compact tương đối trong
w X .
F (
B
)n
Bây giờ ta chứng minh nếu (
n wP
n là dãy trong E hội tụ tới thì
hội tụ tới wP .
n
x
)
n x (.,
Đặt
:nx n(cid:0) là tập
compact tương đối trong
. Đầu tiên ta sẽ chỉ ra rằng tập w X . Thật vậy :
([0,
C
];
)
n
n x t ( )
z
t ( )
)
Vì
trong đó : với 0 t w
n F t x ( , t
t
t
n
z
t ( )
(0)
T t ( )
F
(0,
)
AT t (
s F s x ds ) ( ,
)
T t (
s G s x ds ) ( ,
)
n
n s
n s
0
,
:0
0 t w n
n tx
(cid:0) bị chặn .
n Theo giả định (F, G) tập
nz
(.):
n(cid:0) là tập compact tương đối trong
:0
t w n
,
)
C
([0,
n tx
(cid:0) bị chặn nên tồn tại r > 0 sao
Theo định lý 3.3 ta có w X . Hơn nữa do ];
),
n
(
.
n F t x ( , t
cho:
F )n
(cid:0)
n (cid:0)
C
([0,
];
)
w X nên suy ra
Do
B
C
([0,
];
)
w X .
),n F t x ( , t
n(cid:0) là tập compact tương đối trong
nx
(.)
) là tập compact tương đối trong F (
([0,
w X ];
)
u C
mà ta có thể kí hiệu cùng một Vì vậy ta có thể tìm dãy con của dãy
. chỉ số sao cho dãy con đó hội tụ tới
bởi ( ) với ]w , u ( ) Chúng ta định nghĩa hàm u xác định trên (
, với 0 t w u t ( ) . 0 và u t ( )
Theo đề gian pha
n x s ( )
n x t
B
n
n
K t ( )sup u s ( ) ,0 t s u t tiên không
, 0 t w u
nên suy ra n x t
u t
.
t
n x t ( )
T t ( )
(0)
F
(0,
)
AT t (
s F s x ds ( , )
)
n
Mà n x
n F t x ( , t
n s
n
)
0
t
T t (
s G s x ds ( , )
)
, 0
t w
Từ
n s
0
.
t
u t ( )
T t ( )
(0)
F
(0,
)
AT t (
)
)
s
F t u ( , t
s F s u ds ) ( ,
0
t
T t (
)
, 0
t w
Và định lý hội tụ bị chặn ta suy ra
s
s G s u ds ) ( ,
0
.
)
( )
n
là nghiệm yếu của (3.12)- (3.13) và Vì vậy (.)u
P w
n x w
u w
lim n
P lim ( w n
)n
( n bởi bất kì dãy con của nó.
. Điều này vẫn đúng nếu ta thay dãy
Vậy Pw liên tục ■
3.11.Định lý 3.10
Giả sử rằng (a-4) và (a-5) được thoả . Và các điều kiện sau được thoả:
a) Hệ phương trình vi phân trung hoà trừu tượng (F, G) là w- tuần hoàn và
giả định (F, G) xảy ra.
G
X
:[0,
)
b) Nửa nhóm T(.) là compact.
biến tập đóng bị chặn thành tập bị chặn.
c) Ánh xạ
sao cho: d) Tồn tại (0, )w
M w ( K T s H M ( ) 1 . ) ( ( ) ) sup 0 s
Thì phương trình (3.12) có một nghiệm w- tuần hoàn .
Chứng minh
(.,
)
E ,
Vì T(.) là nửa nhóm compact và G biến tập đóng bị chặn thành tập bị
wx
chặn nên từ định lý 3.9 ta suy ra Pw (viết tắt là P ) : E
ˆ
ˆ P
(cid:0) ˆ( ) P ( )
liên tục.
ˆ :P E
E thoả điều kiện
Do đó tồn tại ánh xạ cảm sinh ˆ
ˆE và mọi
ˆ .
với mọi
C
)
D
)
(
(
Ta sẽ chứng minh ˆP là ánh xạ cô đặc . Thật vậy:
ˆC D
(
(
))
ˆ ˆ P D
(
và . Với mỗi tập con C của ˆE có D E sao cho
) 0D .
w
0
với mỗi D E với Chúng ta đi đánh giá
] [ ;
1 2
1
2
Đặt
]
. Ta định nghĩa các tập ánh xạ xác định trên
; [ 1 2
sau đây: ] (., D x : ) [ D ; 1 2
]
; [ 1 2
D ] T (.) (0) : D 1 [ ; 1 2
]
; [ 1 2
[
z t : ( , x t ( , T t ( ) D . ] (., z ) ) (0), ) D 2 [ ; 1 2
[
2
2
D , ] ; 1
2
D , ; ] 1
1
2
[ là các tập con của Rõ ràng D ] ; 1
C ([ ]; X ) ; 1 2
]
]
]
Hơn nữa
[ D ; 1 2
D 1
[ ; 1 2
D 2
[ ; 1 2
(.,
):
D
(3.14)
w ta đặt
D
x
. Mặt khác với 0
[
]
;
D là tập compact
1
2
C
X
([
];
)
Chứng minh tương tự định lý 3.9, chúng ta thấy 2
; 1 2
tương đối trong .
2
1
2
Nên 0 ] [ D . ;
2
1
2
2
1
1
2
1
D [ ] [ ] [ [ ] ; ; ; ; ] Suy ra D 2 D 1 D 1
1
2
0 ] [ Hơn nữa vì T là nửa nhóm compact nên D . ; 1
Ta được: D w 0 [ ] . ;
ˆ ˆ P D (
))
K w (
D [
)
])
(
)
M w (
)
(
, (
w M w
) (
( )
Từ định lý 2.5 ta có:
ˆ D
ˆ D
K
D
M
ˆ D
)
[0,
)
]
( ( )
.
( )
ˆ D (
D
[0,
H
T s ( )
D
)
]
(
. Cũng từ định lý 2.5 ta có:
sup s 0
D
(0)
D
. Mà
(0):
. Thật vậy, ta đặt
D
(0)
)
( H D
Từ tiên đề (B-1) ta có :
(0)D
d
thì từ định
(3.15)
X , i =
Hơn nữa nếu ta chọn d > 0 nhỏ nhất sao cho
iY
*
Y
T
(.)
x
:
x Y
thì rõ ràng
nghĩa của ta nhận được bao hữu hạn của D(0) với các tập
[0;
]
n
*
*
Với Y là tập con của X đặt 1,2,…,n , có đường kính nhỏ hơn d .
* (0)
i
1
( ) T s d ( ) và D diam Y i . Y i sup s 0
* (0) )
D T s d ( ) . Ta nhận được ( sup s 0
Hay ta có D ]) T s d ( ) ( [0, 1 sup 0 s
D
[0,
H
T s ( )
D
)
]
(
sup 0 s
. Kết hợp với (3.14) và (3.15) ta suy ra:
Như vậy ta được:
ˆ H T s M D )) ( ( ) ( ( ) ) với mỗi 0 ( w , ˆ P D M w sup 0 s K ) ) ( (
ˆ
ˆ
(
)P hay (cid:0) ˆ (
)P .
Do điều kiện d) ta suy ra ˆP là ánh xạ cô đặc. Theo định lý 2.4, ˆP có điểm
k
( , )
bất động . Tức là tồn tại E : ˆ
(cid:0) .Nên
m
n
m
P
P
( )
( )
(cid:0) (cid:0) n P P ( )
( )
. 0
B
(cid:0) B
k
k
( )
P là dãy Cauchy. Cho nên
k P ( )
và do P liên tục
Suy ra
k
nên P có điểm bất động (
(
)P ).
Vậy bài toán (3.12) tồn tại nghiệm w- tuần hoàn ■
Sau đây ta xét lớp hệ thoả giả định (F, G) .
Khi đó (cid:0) kP ,m n (cid:0) ta có :
3.12. Mệnh đề 3.11
Giả sử rằng các ánh xạ
F G ,
:[0,
X thoả các điều kiện (a-3), (a-
B )
4), (a-5) và (b-2). Giả sử thêm các điều kiện sau:
i) Hàm K(.) bị chặn và
( )
0
M t khi t .
t
ii) Có
0 sao cho
T t ( ) , t 0 . M e .
iii) Tồn tại hằng số dương N1, N2, N3 và N4 sao cho :
) A F t ( , )
2
B
(3.16) ( N và N 1
4
B
G t ( , N (3.17) ) N 3
3N
) x của bài toán (., đủ nhỏ và với mọi B , nghiệm yếu thì với N1 và
được xác định và bị chặn trên (cid:0) . Khi đó giả định (F, G) được thoả.
Chứng minh
Đặt x là nghiệm yếu của (3.1) – (3.2) tương ứng với (., ) x 0 .
t
, )b Theo định lý 3.3 thì x xác định trên ( , với b > 0 nào đó.
)
s
0
t
T t (
s G s x ds ) ( ,
)
,
t
0
s
0
x t ( ) T t ( ) (0) F (0, ) AT t ( s F s x ds ) ( , ) Khi đó F t x ( , t
Từ tiên đề (B-1) ta suy ra tồn tại hằng số dương C1, C2 độc lập với sao
cho
t
tx
K t C e 1
B
B
B
(3.18) ( ) M t ( ) với 0 t b . C 2
Từ đánh giá này và hệ quả 3.4, x xác định và bị chặn trên (cid:0) .
0
R .
R với mọi B sao cho
Bwx
B
K ) và w đủ lớn thì Hơn nữa từ (3.18) nếu chọn R > C2.K ( K t sup ( ) t
[0]
E B R
. Khi đó giả định (F, G) được thoả với
3.13. Hệ quả 3.12
Giả sử rằng F, G, T thoả các điều kiện (a-3), (a-4), (a-5) và a), b), c) trong
định lý 3.10 .
Nếu K(.) là hàm bị chặn và ( ) 0 M t khi t thì (3.12) có một nghiệm
mw- tuần toàn với m(cid:0) nào đó . Chứng minh Ta sẽ áp dụng định lý 3.10 trên [0, mw] . Rõ ràng với
m đủ lớn và lấy . thì M w ( K T s H M ( ) 1 ) ( ( ) mw 2 ) sup s 0
Tức là điều kiện d) được thoả.
Chương 4 CÁC VÍ DỤ Sau cùng luận văn xét sự tồn tại nghiệm tuần hoàn trong một phương
trình cụ thể . Đầu tiên sẽ xét ví dụ tổng quát.
4.1. Ví dụ 4.1
Nếu hàm F thoả điều kiện sau:
(a-6) Có hai hàm bị chặn :[0, ] w ) [0, L L 2, 1
2
L h L h ( ) ( ), 0, khi h 0 f :[0, ) và hàm bị chặn địa phương ) [0, với 1
)
)
s f )
s
)sup
f
x
:
s
t
( )
sao cho
F t x ( , t
F s x ( , s
L t ( 1
x s
L t ( 2
B
x
:(
b , )
X
, liên tục trên [0, b) và
,
t b
và với mọi ánh xạ
, thì F thoả điều kiện (a-3).
tx , với 0 t b
F t
( ,.)
với 0 s
, thì F cũng
hoàn toàn liên tục với mỗi 0 t w Hơn nữa, nếu
thoả điều kiện (a-5).
,
),
Tiếp theo luận văn nghiên cứu một toán tử tuyến tính trong không gian
p rC L g X (
với r = 0, đã được giới thiệu trong ví dụ 1.1. B =
4.2.Ví dụ 4.2
,
),
với r = 0 và p > 1 . Đặt
Đặt B =
p rC L g X (
0
C t ( ,
d
)
t ( , )
( )
,
là một hàm đo được xác định trên [0, ) ( trong đó C t ( , L X ( ) ,0] )
thoả các điều kiện sau:
là một toán tử tuyến tính compact và có tính đều
t i) Với mỗi , ) C t , ( ,
x x ) : C t ( , 1, 0 s địa phương tại . Điều này có nghĩa là với s > 0 thì tập
là tương đối compact trong X;
q
0
d
là q - khả tích trên ( ii) Với mỗi và ,0] 0t , hàm g C t ( , ) ( ) p 1/
C t g
( , ) 1 q ( )
sup 0 t b
(ii-1) ;
q
q
0
h )
0
d
h 0,
(ii-2)
L h ( ) 1
sup 0 t w
, C t h ( 1/ p ( ) g
( , ) C t 1/ p g ( )
1/
,
với mọi b > 0, trong đó 1 p 1 1 . q
Thì thoả điều kiện (a-3) và (a-5).
q
p
q
0
0
0
p
p
.
d ( )
g
g
d
t ( , )
1/ ( )
C t g
C t ( , ) p 1/ g ( )
( , ) q 1 ( )
1/ ( ) ( )
1/ d
q
q
0
.
d
B
C t g
( , ) 1 q ( )
1/
Thật vậy, ta có :
Từ điều kiện (ii-2) ta suy ra được xác định và (t, .) là ánh xạ tuyến
tính bị chặn từ B vào X .
0
Hơn nữa, (t, .) là toán tử compact. Bởi vì nếu ta đặt
s
s t là toán tử tuyến tính bị chặn và hơn
s
C t ( , d ) thì ( ,.) t ( , ) ( )
nữa nó là toán tử compact từ B vào X .
1,
( )
s
: B
0
( ,
. Thật vậy, với mỗi s > 0 ta lấy
s t ),
là tập compăc tương đối trong Khi đó ta sẽ chứng minh
X.
( ,
s t ),
bị chặn đều . +
C t ( , ) 1, 0 là tập compăc tương đối s ( ) ( ): Theo i) ta có
trong X nên tồn tại M > 0 sao cho ( , ) ( ) C t M,
( ,
Suy ra M s . . ( , ) s t
s t ),
là liên tục đồng bậc. +
C t ( , ) 1, 0 là tập compăc tương đối nên với s ( ): ( ) Do
, 2,
1
2
1
thì mọi > 0, 0 :
. s
0
C t ( , ) C t ( , ) ( ) 1 ( ) 2
s
s
2
s
( ,
Hay ta có t ( , t ( , ) C t ( , ) C t ( , ) d . ( ) ) 1 2 ( ) 1
s t ),
là tập compăc tương đối Theo định lý Arzela – Ascoli
( ,.)
trong X.
( ,.)t khi s nên ta suy ra (t, .) là toán tử
s t hội tụ đều tới
Vì
compact.
Mặt khác, nếu (.) x S thì rõ ràng ( , , ) b r
) ) ( x s ( ) h C s ) C s h , ( , ) . d t x ( , t s x ( , s
0 0 -h
+ C s h ( x s h ( , ) d )
( ) x
L h x ( ) 1
L h 2
Bs
( ) sup t s
.
q
q
p
0
0
.
g
d
( ) d
L h ( ) 2
sup 0 t b
C t ( , ) 1/ p ( ) g
h
h
1/
1/
và h = t – s . trong đó
Từ (ii-2) và tính khả tích của g chỉ ra rằng điều kiện (a-6) được thoả. Theo
ví dụ 4.1 thì (a-3) và (a-5) cũng thoả.
4.3. Ví dụ 4.3
Luận văn sẽ kết thúc với một áp dụng cho các kết quả đã đưa ra về sự tồn
t
2
u t
u t
q u s , ) ( ( , ))
d ds
b s (
t
( , )
( ) ( , ) u t
( , )
,
a 0
( , ) a t 1
2
0
t
(4.1)
t
,
0, 0
a(s-t)u(s, )ds t
-
(4.2)
u t
( ,0)
t
( , u t
) 0,
0,
(4.3)
( , )
( , ) 0,
0, 0
u
,
trong đó các hàm a0, a1, a, b, q và thoả các điều kiện thích hợp.
Để xét bài toán này như là bài toán Cauchy (3.1) và (3.2) chúng ta lấy
2([0,
])
và định nghĩa x(t) = u(t, .) . Toán tử A được cho bởi công thức
X L
Af
f ( )
( )
với miền xác định
D A ( )
f
(.)
2 L
([0,
]):
f
(.)
2 L
([0,
]),
f
(0)
f
( )
2 n t
Ta thấy A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh T(.),
T t f ( )
e
f z z , n
n
i
1
với f X , là nửa nhóm compact, giải tích, tự liên hợp và ổn định đều.
tại nghiệm tuần hoàn của bài toán giá trị biên sau đây:
2 n t
n
Thật vậy, do
0
e
( t > 0 ) và theo định lý 2.8 suy ra T(t ) là
compắc
2
2
2
2 n t
2 t
Đặc biệt,
T t f ( )
e
e
f
f z z , n
n
i
1
,
t
T t ( )
t e
. 0
Hơn nữa, A có phổ rời rạc, giá trị riêng là
n
2,n
(cid:0) , với vectơ riêng
.
tương ứng được chuẩn hoá là
( )
n ) sin(
nz
1/ 2
2
Bởi vì
Af
f
thì
f
sin(
.
và do
f
(0)
nên
( ) ( )
w ( )
)
f ( )
ta suy ra
2n (cid:0) .
1/ 2
Toán tử
được định bởi:
1/ 2 A )
f
xác định trên
)A (
(
n f z , n
z n
n
1
không gian
)
f
.
(.)
X
:
X
1/ 2 D A (( )
n f z , n
z n
n
1
,với r = 0, đã được giới thiệu trong ví
2( ,
)
Đặt B là không gian
rC L g X
dụ 1.1
Trong trường hợp này
0
1/ 2 )
t
1/ 2
2 ((
H 1; K t ( ) 1 g và M t ( ) d ( ) t ( 0t
,0] [0, ]) trong đó Rõ ràng B đẳng cấu và đẳng cự với X L
. là độ đo ( )g ( , ) d d
Tiếp theo ta giả sử các điều kiện sau xảy ra:
(i) Hàm b(.) là đo được và
2 b
0 0 0
(i-1) Với mỗi r > 0, d d ( , , ) ; sup r
2 ( , b
0 0
h ) d d , ) 0 đều trên (i-2) Với r > 0, ( , b , lim h 0
,0] ; r [
2 0 b ( , , ) g 0 0
. (i-3) d d d ( )
b ( , , )
(ii) Hàm đo được; ( , b ,0) 0 ) 0; và , ( , b
2
0 0 0
2
0
N d d d , ) . : ( , b g 1 ( )
và
d
( ) a g ( )
])
2 L ([0,
a t 1( ,.)
t
với mỗi
liên tục.
0t và hàm
1( ,.)
a t
( )q
, với hằng số
(iv) Hàm
C 1
C 2
:q (cid:0)
(cid:0) là liên tục Lipschitz và
C C nào đó . 0
, 1
2
( )( )
(v) Hàm được xác định bởi
( , )
thuộc B.
Với các điều kiện trên ta định nghĩa
F G ,
:[0,
B X bởi )
G t ( ,
)
h t ( )
( )
F t ( ,
)
Q
và
, trong đó
2
( ) 1
(4.4)
Q
q ( ( , )),
( )( , )
0
(4.5)
d d
( , b , ) ( , )
( )( ) 1
0
0
(4.6)
( )( )
( ) (0, )
( ) ( , ) d a ,
2
a 0
h t ( )
(4.7)
,
a t ( ,.) 1
với 0 .
a ]); a(.) đo được với L ([0, (iii) Hàm 0(.)
Sử dụng (i) và (iii) chỉ ra rằng
1 và
2 là hai toán tử tuyến tính bị chặn
trên B và hàm h(.) liên tục.
2
, ) ( , )
d d
d
( , b
Thật vậy:
( )( ) 1
0 0
0
2
2
2 b
g
d d
d d d
( ) ( , )
( , , ) g ( )
0 0 0
0 0
0
.
Suy ra
với
d d d
M 1
( ) 1
.M 1
2 b , )
( , g
( )
0
0
0
2
Tương tự ta có:
( )
( ) 2
a 0
a g
( ) ( )
sup 0
d
1/ 2
1/ 2
Hơn nữa,
)
và
)A
.Thật vậy, từ (4.5) ta
1/ 2 D A (( )
N (
1( )
1
suy ra
n ) ( ),cos(
nz
( ), 1
1/ 2
1 2 n
trong đó được định nghĩa bởi
0
d d
( )
. ( , b , ) ( , ) 0
Từ (ii) ta nhận được rằng : B X là toán tử tuyến tính bị chặn với
1/ 2N
.
0
, ) ( , )
d d
d
Bởi vì
( )
0
( , b 0
2
1/ 2
0
0
2
d d d
, )
.
g
d d
2 ( , b
( ) ( , )
g
1 ( )
0
0
0
1/ 2
1/ 2
1/ 2N
1/ 2N
Do đó
1/ 2
1 2
) A
n
.
Mà
) ( ),cos( n
(
( ) 1
( ), 1
z n
z n
z n
2
n
n
1
1
2
1/ 2
2
1 2
Suy ra
A )
n ( ),cos( )
d ( )
(
( ) 1
z n
2
n
1
2
0
1/ 2 )
.
(
A ( ) ( ) 1
1/ 2
1/ 2
Từ đó ta suy ra
)A
.
N (
1
Vì vậy hệ ( 4.1- 4.2 - 4.3) thoả điều kiện (a-4) và (b-2).
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng F thoả giả thiết của ví dụ 4.2.
Ta định nghĩa
C [
d ( )
, )
( )C trên 2([0,
L bởi ])
( ) f ]( )
. ( , f b
0
0
Rõ ràng
C
.
( ) ( ) d
1( )
Từ (i-1) ta kết luận
( )C là toán tử tuyến tính compắc từ
2([0, L vào ])
C
d d
2 b
( [2],bài tập IV, 9.52)
( )
( , , )
2([0, L với ])
0 0
1/ 2
Hơn nữa, từ (i-1), (i-2) và tính chất của tập compact tương đối trong
])
( )C là compact đều địa phương.
2([0, L ta suy ra toán tử
là 2- khả vi trên (
Điều kiện (i-3) suy ra
. ,0]
C ( ) 1/ 2 ( ) g
Sau đây chúng ta đánh giá 1( )L h như sau:
2
2
0
0
C
(
( )
d
d
L h ( ) 1
) h h )
) h C g ( )
( g 1 g ( ) 1
) h C ( g ( 1
( ) C g ( ) 1
2
2
2
0
0
1
d
d
) h ) h
( ) C ( ) g
( ) h g 1 ( ) g 1
( C ( g 1
( ) C ( ) g 1
( ) g h 1 ( ) g 1
2
2
1/ 2
g
trong đó
.
1g
2
Sử dụng tính chất của g và tính khả tích của
ta nhận thấy vế phải
( ) C ( ) g
của bất đẳng thức trên hội tụ về 0 khi
h . 0
Từ ví dụ 4.1 và ví dụ 4.2 ta suy ra
1 thoả điều kiện (a-3) và (a-5) .
Mặt khác, Q là toán tử thay thế liên tục và biến tập bị chặn thành tập bị
chặn. Hơn nữa, từ tính liên tục Lipschits hoặc Holder của q ta suy ra Q có
tính chất tương tự.
Vì F là toán tử Hammerstein định bởi phép hợp của toán tử tuyến tính
1
và toán tử Q chúng ta nhận được F thoả các tính chất đã chứng minh cho
1.
Vì vậy, hệ ( 4.1- 4.2 - 4.3) thoả điều kiện (a-3) và (a-5).
Ngoài ra ta thấy F thoả các giả thiết trong Bổ đề 3.5 và Bổ đề 3.6 nên với
, )b , với b > 0 nào
mỗi có nghiệm yếu duy nhất
x xác định trên ( (., )
đó.
Thêm vào đó, nếu
C và 1
1
2 đủ nhỏ và h bị chặn thì nghiệm
- bị chặn trên [0,
) .
x là (., )
2.
Liên hệ với sự tồn tại nghiệm tuần hoàn, nếu h là w - tuần hoàn, từ Mệnh
đề 3.11 và Hệ quả 3.12 ta nhận được : với
C và 1
1
2 đủ nhỏ tồn tại một
nghiệm yếu mw- tuần hoàn.
KẾT LUẬN
Như vậy nội dung luận văn đã giải quyết vấn đề đặt ra của bài toán là:
chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hoà
với lệch không bị chặn.
Quá trình chứng minh trên được tóm tắt như sau:
Đầu tiên, luận văn xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán
(3.1)-(3.2) được thể hiện trong định lý 3.3 và các bổ đề 3.5, 3.6.
Tiếp theo, luận văn nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn được trình
bày trong định lý 3.8.
Sau cùng, luận văn cho ví dụ minh hoạ về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn
của phương trình vi phân trung hoà với lệch không bị chặn.
Luận văn là kết quả của bài báo do đó tôi chỉ trình bày lại các kết quả và
chứng minh thêm những phần mà tác giả bài báo không chứng minh.
Do thời gian không cho phép nên tôi chưa đi nguyên cứu sâu về phương
trình loại này trong đó toán tử A phụ thuộc vào tham số. Sau này tôi sẽ dành
thời gian để nghiên cứu về vấn đề này.
Vì đây là lần đầu tiên tôi thực sự làm quen với việc nghiên cứu khoa học
một cách có hệ thống nên khó tránh khỏi sai sót. Kính mong quý Thầy Cô và
các bạn đóng góp ý kiến, tôi xin chân thành cảm ơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lê Hoàn Hoá (2005), Tài liệu giải tích phi tuyến 1 (Dành cho học viên
cao học).
2. Nguyễn Xuân Liêm ( 2003), Bài tập Giải Tích Hàm, NXBGD.
3. K. Deimling (1985), Non Linear Functional Analysis, Springer- Verlag,
Berlin.
4. N. Dunford and J. T. Schwartz (1988), Linear Operators. Part I, John
Wiley and Sons, New York.
5. J. Hale and J. Kato (1978), Phase space for retarded equations with
infinite delay, Funkcialaj Ekvac., 21, pp. 11-41.
6. H. R. Henríquez (2000), Existence of periodic solutions of neutral
functional
differential
equations with
unbounded
delay.
Proyecciones., 19(3), pp. 305-329.
7. H. R. Henríquez (1994), Periodic solutions of quasi-linear partial
functional differential equations with unbounded delay. Funkcialaj
Ekvac., 37(2), pp. 329-343.
8. H. R. Henríquez (1985), On non-exact controllable systems, Int. J.
Control, 42(1), pp. 71-83.
9. E. Hernández and H. R. Henríquez (1998), Existence Results for partial
neutral functional differential equations with unbounded delay, J.
Math. Anal. Appl. 221, pp. 452-475.
10. E. Hernández and H. R. Henríquez (1998), Existence of periodic
solutions of partial neutral functional differential equations with
unbounded delay, J. Math. Anal. Appl. 221, pp. 499-522.
11. E. Hernández M (2002), A Massera type criterion for a partial neutral
functional differential equation, E. J. D. E, Vol. 2002, No. 40, pp
1-17.
12. E. Hernández (2002), Regularity of Solutions of Partial Neutral
Functional Differential
equations with
unbouned
delay,
Proyecciones, Vol. 21, pp. 65-95.
13. Y. Hino, S. Murakami and T. Naito (1991), Functional Differential
Equations with Infinite Delay, Lect. Notes in Math., 1473. Springer-
Verlag, Berlin.
14. C-M. Marle (1974), Mesures et Probabilités, Hermann, Paris.
15. R. H. Martin (1987), Nonliear Operators Differential Equations in
Banach Spaces, Robert E. Krieger Publ. Co., Florida.
16. R. Nagel (1986), One-parameter Semigroups of Positive Operators,
Lect. Notes in Math. 1184 (editor), Springer-Verlag, Berlin.
17. A. Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and applications to
Partial Differential Equations, Springe-Verlag, Berlin.
18. B. N. Sadovskii (1967), On a fixed point principle. Funct. Anal. Appl., 1,
pp. 74-76.
19. S. J. Shin (1987), An existence theorem of a functional differential
equation, Funkcialaj Ekvac., 30, pp. 19-29.
