Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Alliptic á tuyến tính cấp hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày nguyên lý Dirichlet mô tả mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm năng lượng và nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Euler-Lagrange, một lớp quan trọng trong số các phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình Alliptic á tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ KIỀU THU NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ KIỀU THU NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 7 năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Kiều Thu i
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường ĐHSP Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trong, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và chia sẻ với tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 7 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Kiều Thu ii
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 2 1.1. Một số khái niệm ....................................................................................... 2 1.1.1. Không gian 𝐿𝑚 (Ω) .............................................................................. 2 1.1.2. Bất đẳng thức Holder .......................................................................... 2 1.1.3. Không gian𝑊𝑚1 (Ω) ............................................................................. 4 1.1.4. Định lý nhúng ...................................................................................... 4 1.1.5. Định lý vết ........................................................................................... 4 1.1.6. Công thức tích phân từng phần ........................................................... 5 1.1.7. Bất đẳng thức Cauchy suy rộng .......................................................... 5 1.2. Đạo hàm Frechet cấp một .......................................................................... 6 1.2.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet ............................................................... 6 1.2.2. Các ví dụ.............................................................................................. 6 1.2.3. Các tính chất ........................................................................................ 9 1.3. Đạo hàm Frechet cấp hai ........................................................................... 9 1.3.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet cấp hai ................................................. 10 1.3.2. Các ví dụ............................................................................................ 11 1.3.3. Vi phân cấp hai của phiếm hàm ........................................................ 12 1.3.4. Phân tích Taylor của phiếm hàm ....................................................... 12 1.4. Điểm dừng của phiếm hàm...................................................................... 13 1.4.1. Khái niệm .......................................................................................... 13 1.4.2. Điều kiện cần đối với cực trị của phiếm hàm ................................... 13 1.5. Điều kiện đủ của cực trị........................................................................... 14 1.5.1. Điều kiện đủ của cực tiểu địa phương ............................................... 14 1.5.2. Điều kiện đủ của cực tiểu toàn cục ................................................... 15 iii
Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE. NGUYÊN LÍ DIRICHLET. ................................................................................................... 17 2.1. Phiếm hàm năng lượng ............................................................................ 17 2.1.1. Phiếm hàm năng lượng sinh bởi hàm Lagrange ............................... 17 2.1.2. Điều kiện của hàm Lagrange............................................................ 17 2.1.3. Miền xác định của phiếm hàm năng lượng ....................................... 17 2.2. Phương trình Euler-Lagrange .................................................................. 18 2.3. Sự tồn tại cực tiểu toàn cục của phiếm hàm năng lượng ....................... 21 2.3.1. Điểm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng ....................................... 21 2.3.2. Đạo hàm cấp hai của hàm số 𝐽(𝑡) ..................................................... 21 2.3.3. Sự tồn tại cực tiểu địa phương của phiếm hàm năng lượng.............. 22 2.3.4. Sự tồn tại cực điểm toàn cục của phiếm hàm năng lượng ................ 22 2.4. Nghiệm yếu của bài toán biên đối với một lớp phương trình elipptic á tuyến tính cấp hai. Nguyên lí Dirichlet .......................................................... 23 2.4.1. Phương trình Euler - Lagrange.......................................................... 23 2.4.2. Nghiệm yếu của bài toán (2.16) và (2.17)......................................... 23 2.4.3. Nguyên lý Dirichlet ........................................................................... 23 2.4.4. Ví dụ .................................................................................................. 25 KẾT LUẬN....................................................................................................... 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 29 iv
MỞ ĐẦU Từ lâu trong lĩnh vực Giải tích điều hòa, nhà toán học Dirichlet đã chỉ ra một nguyên lý biến phân quan trọng, đó là: nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Laplace chính là cực tiểu của phiếm hàm năng lượng. Nguyên lý này hiện nay được gọi là Nguyên lý Dirichlet. Nhằm mở rộng phạm vi của nguyên lý biến phân này, khi tìm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng được sinh bởi một hàm được gọi là hàm Lagrange của hệ vật chất nào đó trong miền hữu hạn của không gian nhiều chiều, Euler và Lagrange đã nhận được điều kiện cần cho cực tiểu, đó là hàm cực tiểu của phiếm hàm cần phải thỏa mãn một phương trình đạo nhàm riêng á tuyến tính cấp hai, mà bây giờ được mang tên các ông: Phương trình Euler-Lagrange. Luận văn trình bày nguyên lý Dirichlet mô tả mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm năng lượng và nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Euler-Lagrange, một lớp quan trọng trong số các phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Nội dung luận văn gồm 29 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống phép tính vi phân trong không gian banach, các không gian hàm , đạo hàm frechet cấp một , đạo hàm frechet cấp hai, điều kiện đủ của cực trị. Chương 2: Áp dụng kiến thức chuẩn bị vào chương 2 để kháo sát bài toán cực tiểu của phiếm hàm năng lượng và trình bày nguyên lý Dirichlet đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Luận văn được viết chủ yếu bởi tài liệu tham khảo [1] và [3]. 1
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số khái niệm 1.1.1. Không gian 𝑳𝒎 (Ω) Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền giới nội với biên 𝜕Ω. Giả sử m ≥ 1. Không gian 𝐿𝑚 (Ω) bao gồm các hàm 𝑢(𝑥) sao cho |𝑢(𝑥)|𝑚 ∈ 𝐿𝑚 (Ω) . Tức là 𝐿𝑚 (Ω) = {𝑢(𝑥), ∫Ω|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥 < +∞} . Đại lượng 1 ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω) = ‖𝑢‖𝑚,Ω = ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥)𝑚 (1.1) là chuẩn của hàm 𝑢(𝑥). Nhân xét: + Lm (Ω) là không gian Banach. + Khi m = 2, không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω) = ∫Ω 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥. + Khi m = ∞, không gian L∞ (Ω) gồm các hàm bị chặn đều trong miền Ω với chuẩn sau ‖𝑢‖𝐿∞(Ω) = vrai sup u( x) x 1.1.2. Bất đẳng thức Holder Định lý 1.1. Bất đẳng thức Holder Giả sử 𝑢 ∈ 𝐿𝑚 (Ω), v ∈ 𝐿𝑚′ (Ω) 2
Khi đó 1 1  u( x)v( x)dx  ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖ v ‖𝐿𝑚′ (Ω) với  𝑚 + 𝑚′ =1 Chứng minh. Trước tiên ta đi chứng minh bất đẳng thức cơ bản ′ 𝑋𝑚 𝑌𝑚 𝑋𝑌 ≤ + , 𝑋 ≥ 0, 𝑌 ≥ 0. (1.2) 𝑚 𝑚′ 𝑋𝑚 Thật vậy , xét hàm 𝑋𝑌 − của biến X trên [0; ∞). 𝑚 1 Hàm này chỉ đạt giá trị lớn nhất tại điểm 𝑋 = 𝑌 𝑚−1 và giá trị lớn nhất đó ′ 𝑌𝑚 bằng . Do đó 𝑚′ ′ 𝑋𝑚 𝑌𝑚 𝑋𝑌 − ≤ . 𝑚 𝑚′ Vậy (1.2) được chứng minh. −1 Đặt 𝑋 = |𝑢| ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) 𝑚 , −1 ′ 𝑚′ 𝑌 = |𝑣| ∫Ω( |𝑣(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) . Từ (1.2) ta có −1 −1 ′ ′ |𝑢||𝑣| ∫ (|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑚 𝑑𝑥) ∫ (|𝑣(𝑥)| 𝑑𝑥) 𝑚 𝑚 Ω Ω 1 1 ′ −1 ≤ |𝑢|𝑚 ∫Ω ∫Ω(|𝑢(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥)−1 + ′ 𝑣 𝑚 ∫Ω(|𝑣(𝑥)|𝑚 𝑑𝑥) . 𝑚 𝑚 Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức ta nhận được  u( x)v( x)dx  ‖𝑢‖𝐿𝑚(Ω)‖𝑣‖𝐿𝑚′ (Ω) .  □ Chú ý: Bất đẳng thức Horder suy rộng 3
Giả sử 𝑢𝑖 ∈ 𝐿𝑚𝑖 (Ω), 𝑖 = 1, … , 𝑘. Khi đó bất đẳng thức Holder suy rộng được định nghĩa bởi công thức |∫ 𝑢1 (𝑥) 𝑢2 (𝑥) … 𝑢𝑘 (𝑥)𝑑𝑥| ≤ ‖𝑢1 ‖𝐿𝑚 (Ω)‖𝑢2 ‖𝐿 𝑚 (Ω) … ‖𝑢𝑘 ‖𝐿𝑚 (Ω), 1 2 𝑘 1 1 1 với + + ⋯+ = 1, 𝑚𝑖 > 1. 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑘 1.1.3. Không gian 𝑾𝟏𝒎 (Ω) Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền giới nội với biến 𝜕Ω. Giả sử m ≥ 1. Không 1 gian Wm (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω) và được định nghĩa bởi công thức sau : 𝑊𝑚1 (Ω) = {𝑢(𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω); 𝑢𝑥𝑖 (𝑥) ∈ 𝐿𝑚 (Ω)| với 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 }. Chuẩn 𝑢(𝑥) ∊ 𝑊𝑚1 (Ω) được xác định bới công thức: ‖𝑢‖𝑊𝑚1 (Ω) = ‖𝑢‖𝐿𝑚 (Ω) + ∑𝑛𝑖=1‖𝑢𝑥𝑖 ‖ . (1.3) 𝐿𝑚 (Ω) 1.1.4. Định lý nhúng Định lý 1.2. Các phép nhúng sau đây là liên tục a) 𝑊𝑚1 (Ω)  𝐿𝑞 (Ω), nếu 𝑚 ≤ 𝑛, (𝑛−1)𝑚 trong đó 𝑞 = 𝑣à 𝑞 > 1 𝑙à bất kỳ khi 𝑚 = 𝑛. 𝑛−𝑚 b) 𝑊𝑚1 (Ω)  𝐶(Ω ̅ ), nếu 𝑚 > 𝑛. 1.1.5. Định lý vết Định lý 1.3. Hạn chế của hàm 𝑢(𝑥) trên biên Ω xác định các toán tử vết liên tục sau đây Ω 𝜕Ω 4
𝑎) 𝑊𝑚1 (Ω)  𝐿𝑞 (𝜕Ω) nếu 𝑚 ≤ 𝑛, (𝑛−1)𝑚 trong đó 𝑞 = 𝑣à 𝑞 > 1 𝑙à bất kỳ khi 𝑚 = 𝑛. 𝑛−𝑚 𝑏) 𝑊𝑚1 (Ω)  𝐶(𝜕Ω), nếu 𝑚 > 𝑛. 1.1.6. Công thức tích phân từng phần Giả sử 𝑣𝑥 là pháp tuyến ngoài đơn vị tại 𝑥 ∊ 𝜕Ω, trong đó 𝑣𝑥 = (𝑣1 (𝑥), 𝑣2 (𝑥), … , 𝑣𝑛 (𝑥) 𝜕Ω Ω 𝑥 v x 1 1 Định lý 1.4. Giả sử 𝑓(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 (Ω), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑊𝑚1 ′ (Ω) với + = 1. 𝑚 𝑚′ Ta có công thức tích phân từng phần sau đây   𝑓𝑥𝑖 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = −  𝑓(𝑥)𝑔𝑥𝑖 (𝑥) +    f ( x) g ( x) 𝑣𝑖 (𝑥)𝑑𝑆, (1.4) trong đó dS là phần tử diện tích trên 𝜕Ω. 1.1.7. Bất đẳng thức Cauchy suy rộng Ta có các bất đẳng thức Cauchy suy rộng sau đây: 1 1 |𝑎𝑏| ≤ |𝑎|𝑝 + |𝑏|𝑞 (1.5) 𝑝 𝑞 1 1 với 𝑝 > 1, 𝑝 > 1, + = 1, 𝑝 𝑞 1 1 1 |𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑘 | ≤ |𝑎1 |𝑝1 + |𝑎2 |𝑝2 + ⋯ + |𝑎𝑘 |𝑝𝑘 , (1.6) 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑘 1 1 1 với + + ⋯+ = 1, 𝑝𝑖 > 1, 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑘 |𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘 |𝑝 ≤ 𝑘 𝑝−1 [|𝑎1 |𝑝 + |𝑎2 |𝑝 + ⋯ + |𝑎𝑘 |𝑝 ], 𝑝 ≥ 1. (1.7) 5
1.2. Đạo hàm Frechet cấp một Cho X là không gian Banach trên ℝ, 𝑈  𝑋 là tập mở . Xét phiếm hàm sau: 𝑓: 𝑈  X → . Giả sử 𝑥 𝑜 ∊ 𝑈 là một điểm cố định 𝑥 𝑜̇ 𝑈 1.2.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet Cho 𝒙𝒐 ∊ 𝐔. Khi đó tồn tại 𝜹 > 𝟎: 𝒙𝒐 + 𝒉 ∈ 𝑼, với mọi ∀𝒉 ∈ 𝑿 ta có ‖𝒉‖𝑿 < 𝜹 Định nghĩa 1.3. Ta nói 𝑓(𝑥) là khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục 𝐹 từ 𝑋 vào , 𝐹 ∈ 𝐿 (𝑋, ), sao cho 𝑓(𝑥 𝑜 +ℎ)−𝑓(𝑥 𝑜 )−𝐹(ℎ) lim ‖ℎ‖𝑋 = 0. (1.8) ℎ→0 Ta ký hiệu 𝐹 = 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ). Nhận xét: Tương tự, nếu 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑋 → 𝑌 là một ánh xạ vào không gian Banach Y, thì đạo hàm Frechet 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) ∈ 𝐿(𝑋, 𝑌) được định nghĩa giống như trên. 1.2.2. Các ví dụ 1) 𝑋 = ℝ, 𝑓(𝑥) là hàm số thông thường. Ta có 𝑓(𝑥 𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥 𝑜 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )ℎ + 𝛼(𝑥 𝑜 , ℎ). (1.9) 6
Do đó 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) là đạo hàm thông thường nhận giá trị thực, đồng thời nó sinh ra ánh xa sau 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) = 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )ℎ, với mọi ∀ℎ ∈ ℝ. 2) 𝑋 = ℝ𝑛 , 𝑓(𝑥) là hàm số nhiều biến 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ. Kí hiệu :𝑥 𝑜 = (𝑥1𝑜 , 𝑥2𝑜 , 𝑥3𝑜 , … , 𝑥𝑛𝑜 ), ℎ = (ℎ1 , ℎ2 , … ℎ𝑛 ). Giả sử 𝑓(𝑥) có các đạo hàm riêng liên tục theo tất cả các biến tại 𝑥 𝑜 . Khi đó ta có 𝜕𝑓(𝑥 𝑜 ) 𝑓(𝑥 𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥 𝑜 ) + ∑𝑛𝑖=1 ℎ𝑖 + 𝛼 (𝑥 𝑜 , ℎ), (1.10) 𝜕𝑥𝑖 trong đó 𝛼(𝑥 𝑜 , ℎ) 𝑙𝑖𝑚 = 0. ℎ→0 |ℎ| Khi đó, từ (1.8) và (1.10) suy ra 𝑓(𝑥 𝑜 ) là khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 và 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) 𝜕𝑓(𝑥𝑜 ) 𝜕𝑓(𝑥𝑜 ) là vecto grandient 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) = ( , … , ), đồng thời nó sinh ra ánh xạ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑓(𝑥 𝑜 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) = ∑𝑛𝑖=1 ℎ𝑖 . (1.11) 𝜕𝑥𝑖 3) 𝑋 = 𝐿2 (0,1) 1 𝐿2 (0,1) = {𝑢(𝑥); ∫0 |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥 < +∞}. Xét phiếm hàm sau 𝑓: 𝐿2 (0,1) → ℝ, 1 𝑓(𝑢) = ∫0 𝑔(𝑥)𝑢2 (𝑥)𝑑𝑥, (1.12) trong đó 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿∞ (0,1) là hàm số bị chặn cố định nào đó. 7
Khi đó 1 ′ (𝑢)(ℎ) 𝑓 = 2 ∫ 𝑔(𝑥)𝑢(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥 . 0 Thật vậy, từ (1.12) ta có 1 𝑓(𝑢 + ℎ) = ∫ 𝑔(𝑥)[𝑢(𝑥) + ℎ(𝑥)]2 𝑑𝑥 0 1 = ∫ 𝑔(𝑥) [𝑢2 (𝑥) + 2𝑢(𝑥)ℎ(𝑥) + ℎ2 (𝑥)]𝑑𝑥 0 1 1 1 2 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑢 + 2 ∫ 𝑔(𝑥)𝑢(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)ℎ2 (𝑥)𝑑𝑥 0 0 0 = 𝑓(𝑢) + 𝐹(ℎ) + 𝛼(𝑢, ℎ), trong đó 1 𝐹(ℎ) = 2 ∫0 𝑔(𝑥)𝑢(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥 , (1.13) 1 𝛼(𝑢, ℎ) = ∫0 𝑔(𝑥)ℎ2 (𝑥)𝑑𝑥 . Ta có 𝐹(ℎ) là phiếm hàm tuyến tính, liên tục 𝐹(ℎ1 + ℎ2 ) = 𝐹(ℎ1 ) + 𝐹(ℎ2 ), 𝐹(  ℎ) =  𝐹(ℎ), |𝐹(ℎ)| ≤ 2‖𝑔(𝑥)‖𝐿∞(0,1) ‖𝑢‖𝐿2(0,1) ‖ℎ‖𝐿2(0,1) . Mặt khác 1 |𝛼(𝑢, ℎ)| = |∫0 𝑔(𝑥)ℎ2 (𝑥)𝑑𝑥 | ≤ ‖𝑔‖𝐿∞(0,1) ‖ℎ‖2𝐿2(0,1) . Do đó |𝛼(𝑢, ℎ)| ≤ ‖𝑔‖𝐿∞ ‖ℎ‖ → 0. ‖ℎ‖ 8
1.2.3. Các tính chất a) Đạo hàm của một tổng Tổng của hai phiếm hàm được định nghĩa bởi công thức sau: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥). Định lý 1.5. Giả sử 𝑓 và 𝑔 là các phiếm hàm khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 . Khi đó 𝑓 + 𝑔 cũng khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 và (𝑓 + 𝑔)′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) = 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) + 𝑔′ (𝑥 𝑜 )(ℎ). b) Đạo hàm của tích với một số Tích của một phiếm hàm 𝑓 với số 𝜆 ∊ ℝ được xác định bởi công thức (𝜆𝑓)(𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥). Định lý 1.6. Giả sử 𝑓 và 𝑔 là các phiếm hàm khả vi Frechet tại 𝑥 o . Khi đó tích 𝑓. 𝑔 cũng khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 và (𝜆𝑓)′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) = 𝜆𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ). c) Đạo hàm của tích các phiếm hàm Tích của hai phiếm hàm f và g được định nghĩa bởi công thức sau: (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥). Định lý 1.7. Giả sử 𝑓 và 𝑔 là các phiếm hàm khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 . Khi đó tích 𝑓. 𝑔 cũng khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 và (𝑓. 𝑔)′ (𝑥 𝑜 ) = 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )𝑔(𝑥 𝑜 ) + 𝑓(𝑥 𝑜 )𝑔′ (𝑥 𝑜 ), tức là (𝑓. 𝑔)′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) = 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(𝑔(𝑥 𝑜 )ℎ) + 𝑓(𝑥 𝑜 )(𝑔′ (𝑥 𝑜 )ℎ). 1.3. Đạo hàm Frechet cấp hai Xét phiếm hàm 9
𝑓: 𝑈  𝑋 → ℝ, ta có 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ): 𝑋 → 𝐿(𝑋, ℝ) = 𝑋′ 1.3.1. Định nghĩa đạo hàm Frechet cấp hai Ta có 𝑓(𝑥 𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥 𝑜 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) + 𝛼1 (𝑥 𝑜 , ℎ), trong đó 𝛼1 (𝑥 𝑜 ,ℎ) 𝑙𝑖𝑚 |ℎ| = 0. ℎ→0 Giả sử 𝑓 ′ (𝑥) xác định tại mọi điểm 𝑥 ∈ 𝑈. Ta có 𝑓 ′ : 𝑈  𝑋 → 𝐿(𝑋, 𝑅), 𝑓 ′: 𝑈  𝑋 → 𝑋′. Với mỗi ℎ ∈ 𝑋 cố định thì 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ): 𝑈 ⊂ 𝑋 → ℝ. Giả sử đạo hàm Frechet cấp một 𝐺(ℎ) ∈ 𝑋′ của 𝑓 ′ (𝑥)(ℎ) tại 𝑥 𝑜 tồn tại, tức là 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 + 𝑘)(ℎ) = 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) + 𝐺(ℎ, 𝑘) + 𝛼2 (𝑥 𝑜 , ℎ, 𝑘), trong đó 𝐺(ℎ, 𝜆1 𝑘′ + 𝜆2 𝑘′′) = 𝜆1 𝐺(ℎ, 𝑘′) + 𝜆2 𝐺(ℎ, 𝑘 ′′ ), |𝐺(ℎ, 𝑘)| ≤ 𝐶‖ℎ‖𝑥 ‖𝑘‖𝑥 . Do đó |𝛼2 (𝑥 𝑜 ,ℎ,𝑘)| 𝑙𝑖𝑚 ‖𝑘‖𝑋 = 0. ‖𝑘‖𝑋 →0 10
Định nghĩa 1.4. Ký hiệu 𝐺 = 𝑓 ′′ (𝑥 𝑜 ) (∈ 𝐿𝑜 (𝑋 × 𝑋, ℝ )), khi đó ta có đạo hàm Frechet cấp 2 của 𝑓 tại 𝑥 𝑜 là dạng song tuyến tính sau trên 𝑋 × 𝑋 f ′′ (x o )(h, k) = G(h, k). 1.3.2. Các ví dụ Trong mục này ta sẽ tính đạo hàm frechet cấp hai của các phiến hàm trong các ví dụ của mục 1.2.2. 1) 𝑋 = ℝ, 𝑓(𝑥) là hàm số thông thường. Khi đó 𝑓′′(𝑥 𝑜 ) là đạo hàm cấp hai thông thường và nó sinh ra ánh xạ song tuyến tính sau 𝑓 ′′ (𝑥 𝑜 )(ℎ, 𝑘) = 𝑓 ′′ (𝑥 𝑜 )ℎ. 𝑘 , ∀ℎ, 𝑘 ∈ ℝ. 2) 𝑋 = ℝ𝑛 , 𝑓(𝑥) là hàm số nhiều biến thông thường. 𝑛 𝜕𝑓(𝑥 𝑜 + 𝑔) 𝑓 ′ (𝑥 𝑜  + 𝑔)ℎ (1.11) ∑ ℎ𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑜 2 𝑜  ∑ [𝜕𝑓(𝑥 ) + ∑ 𝜕 𝑓(𝑥 ) 𝑔𝑗 + 𝛼𝑖 (𝑥 𝑜 , 𝑔, ℎ)] ℎ𝑖 (1.10) 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝜕2 𝑓(𝑥 𝑜 ) = 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )ℎ + ∑𝑛𝑖,𝑗=1 ℎ𝑖 𝑔𝑗 + 𝛼̃(𝑥 𝑜 , 𝑔, ℎ). 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 Do đó 𝜕2 𝑓(𝑥 𝑜 ) 𝑓 ′′ (𝑥 𝑜 )(ℎ, 𝑔) = ∑𝑛𝑖,𝑗=1 ℎ𝑖 𝑔𝑗 , 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 và 𝑓′′(𝑥 𝑜 ) được xác định bởi ma trận Hessian 𝜕2 𝑓(𝑥 𝑜 ) 𝐷2 𝑓(𝑥 𝑜 ) = [ ] . 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝑛×𝑛 3) 𝑋 = 𝐿2 (0,1) Ta xét 11
1 𝑓(𝑢) = ∫0 𝑔(𝑥)𝑢2 (𝑥) với 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿∞ (0,1), 1 𝑓 ′ (𝑢)ℎ = 2 ∫0 𝑔(𝑥)𝑢(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥. Vì vậy 1 𝑓 ′ (𝑢  2 ∫ 𝑔(𝑥)[𝑢(𝑥) + 𝑘(𝑥)]ℎ(𝑥)𝑑𝑥, + 𝑘)(ℎ) (1.13) 0 1 𝑓 ′ (𝑢 + 𝑘)(ℎ) = 𝑓 ′ (𝑥)(ℎ) + 2 ∫0 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑘(𝑥)𝑑𝑥. Do đó 1 𝑓 ′′ (𝑢)(ℎ, 𝑘) = 2 ∫0 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑘(𝑥)𝑑𝑥. 1.3.3. Vi phân cấp hai của phiếm hàm Định nghĩa 1.5. Giả sử f(x) là khả vi cấp hai tại 𝑥 𝑜 ∈ 𝑈. Khi đó dạng toàn phương sau trên X f ′′ (x o )(h, h) được gọi là vi phân cấp hai của 𝑓 tại 𝑥 𝑜 . 1.3.4. Phân tích Taylor của phiếm hàm Định lý 1.8.([𝟐]) Giả sử 𝑓 là khả vi cấp hai tai 𝑥 𝑜 ∈ 𝑈  𝑋. Khi đó trong lân cận của 𝑥 𝑜 ta có 1 𝑓(𝑥 𝑜 + ℎ) = 𝑓(𝑥 𝑜 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑜 )(ℎ, ℎ) + 𝛼(𝑥 𝑜 , ℎ) , (1.14) 2 trong đó |𝛼(𝑥 𝑜 , ℎ)| lim = 0. ℎ→0 ‖ℎ‖2 Định lý 1.9. ([𝟐]) Giả sử f(x) là khả vi liên tục Frechet hai lần trên tập lồi 𝑈 ⊂ 𝑋. Khi đó ∀𝑥, 𝑥 𝑜 ∈ 𝑈, ∃𝜆 ∈ (0,1) sao cho 1 f(x) = f(x o ) + f ′ (x o )(x − x o ) + f′′(λx o + (1 − λ)x)(x − x 𝑜 , x − x o ). (1.15) 2 12
1.4. Điểm dừng của phiếm hàm 1.4.1. Khái niệm Định nghĩa 1.6. Cho 𝑓: 𝑈  𝑋 → ℝ. Giả sử f khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 . Điểm 𝑥 𝑜 được gọi là điểm dừng của phiếm hàm f nếu 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) = 0, tức là 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) = 0, ∀ℎ ∈ 𝑋. 1.4.2. Điều kiện cần đối với cực trị của phiếm hàm Định nghĩa 1.7. a) Điểm 𝑥 𝑜 ∈ 𝑈 được gọi là điểm cực trị địa phương của phiếm hàm 𝑓(𝑥) nếu ∃𝛿 > 0, sao cho 𝑓(𝑥 𝑜 ) ≤ 𝑓(𝑥 𝑜 + ℎ), ∀ℎ: ‖ℎ‖𝑋 < 𝛿. b) Điểm cực đại địa phương được định nghĩa tương tự. Định lý 1.10. Giả sử 𝑥 𝑜 là điểm cực trị địa phương của phiếm hàm 𝑓. Khi đó nếu 𝑓(𝑥) là khả vi Frechet tại 𝑥 𝑜 thì 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) = 0. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh 𝑓′(𝑥 𝑜 ) = 0. Từ định nghĩa đạo hàm ta có. 𝑓(𝑥 𝑜 + ℎ) − 𝑓(𝑥 𝑜 ) − 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(ℎ) = 𝛼(𝑥 𝑜 , ℎ), |𝛼(𝑥 0 , ℎ)|𝑅 𝑙𝑖𝑚 = 0. ℎ→0 ‖ℎ‖𝑋 Do đó ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, ∀‖ℎ‖𝑥 < 𝛿: |𝛼(𝑥 0 , ℎ)| < 𝜀‖ℎ‖𝑋 . Giả sử điều ngược lại 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) ≠ 0. Khi đó ∃ℎ ≠ 0, sao cho 𝑓′(𝑥 𝑜 )(ℎ) ≠ 0, và 𝛾 > 0 sao cho 13
|𝑓′(𝑥 𝑜 )(ℎ)| ≥ 𝛾‖ℎ‖. Giả sử 𝑥 𝑜 là điểm cực tiểu địa phương, tức là 𝑓(𝑥 𝑜 + 𝑡ℎ) ≥ 𝑓(𝑥 𝑜 ), ∀𝑡 ∈ [−𝛿, 𝛿]. Khi đó 𝑓(𝑥 𝑜 + 𝑡ℎ) − 𝑓(𝑥 𝑜 ) − 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(𝑡ℎ) = 𝛼(𝑥 𝑜 , 𝑡ℎ). Ta lại có thể chọn 𝑡 ∈ [−𝛿, 𝛿] sao cho 𝑡 ≠ 0 và 𝑓(𝑥 𝑜 + 𝑡ℎ) − 𝑓(𝑥 𝑜 ) ≥ 0, 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 )(𝑡ℎ) ≥ 𝛾|𝑡|‖ℎ‖. Do đó 𝛼|𝑡|‖ℎ‖ ≤ |𝑡|‖ℎ‖𝜀, trong đó ε > 0 nhỏ tùy ý. Vô lý. Vậy 𝑓 ′ (𝑥𝑜 ) = 0. □ 1.5. Điều kiện đủ của cực trị Cho 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑋 → ℝ Giả sử 𝑥 𝑜 ∈ 𝑈 là điểm dừng của phiếm hàm 𝑓, tức là: 𝑓 ′ (𝑥 𝑜 ) = 0. 1.5.1. Điều kiện đủ của cực tiểu địa phương Định lý 1.11. Giả sử 𝑥 𝑜 là điểm dừng của phiếm hàm tại 𝑥 𝑜 và tồn tại 𝛽 > 0, sao cho 𝑓′′(𝑥 𝑜 )(ℎ, ℎ) ≥ 𝛽‖ℎ‖2𝑋 . (1.16) Khi đó 𝑥 𝑜 là điểm cực tiểu địa phương của phiếm hàm 𝑓. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh tồn tại 𝛿 > 0 sao cho 𝑓(𝑥 𝑜 + ℎ) ≥ 𝑓(𝑥 𝑜 ), với mọi ‖ℎ‖ ≤ 𝛿. 14