Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con C – Chuẩn tắc tối đại và tối tiểu của nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con C – Chuẩn tắc tối đại và tối tiểu của nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn nêu lên kiến thức chuẩn bị; nhóm con C – chuẩn tắc tối đại và tối tiểu của nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con C – Chuẩn tắc tối đại và tối tiểu của nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thu Hà NHÓM CON C – CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU CỦA NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thu Hà NHÓM CON C – CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU CỦA NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Mỵ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Đại số Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (ĐHQG TPHCM) đã trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi đầy đủ những kiến thức cần thiết làm nền tảng trong quá trình viết luận văn. Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã giúp đỡ tôi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành luận văn này. 1
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG KÍ HIỆU........................................................................................................... 3 LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 4 CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................. 6 1.1. Một số khái niệm cơ bản .............................................................................................6 1.2. Định lý Sylow ...............................................................................................................7 1.3. Nhóm giải được..........................................................................................................11 1.4. Nhóm lũy linh ............................................................................................................12 1.5. Nhóm con Frattini và nhóm con Fitting ..................................................................14 1.6. π–Nhóm con Hall và p- nhóm lũy linh .....................................................................16 1.7. Nhóm siêu giải được ..................................................................................................20 CHƯƠNG 2: NHÓM CON C – CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI VÀ TỐI TIỂU CỦA NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM HỮU HẠN .................................................. 22 2.1. Nhóm con c – chuẩn tắc ............................................................................................22 2.2. Các bổ đề ....................................................................................................................24 2.3. Kết quả chính .............................................................................................................33 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 45 2
BẢNG KÍ HIỆU H ≤ G, H < G H là nhóm con, nhóm con thật sự của G H G H là nhóm con chuẩn tắc của G H < ⋅G H là nhóm con tối đại của G xy y −1 xy [ x, y ] x −1 y −1 xy CG ( H ), N G ( H ) Tâm hóa tử, chuẩn hóa tử của H trong G Hg g −1Hg HG Phần trong chuẩn tắc (core) của H trong G Aut (G ) Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G G ' = [G, G ] Nhóm con dẫn xuất của nhóm G Z (G ) Tâm của nhóm G F (G ) Nhóm con Fitting của nhóm G Φ (G ) Nhóm con Fratini của nhóm G 3
LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm hữu hạn có một vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết nhóm nói riêng và đại số nói chung. Việc tìm ra mối quan hệ giữa những tính chất của nhóm con tối đại và nhóm con tối tiểu của một nhóm với tính chất và cấu trúc của nhóm đó là một hướng nghiên cứu đã được nhiều nhà toán học thực hiện đối với nhóm hữu hạn. Năm 1970, Buckley đã chứng minh rằng một nhóm hữu hạn có cấp lẻ là nhóm siêu giải được nếu mọi nhóm con tối tiểu của nó đều chuẩn tắc. Năm 1980, Srinivasan đã chỉ ra rằng một nhóm hữu hạn là siêu giải được nếu mọi nhóm con tối đại của mọi nhóm con Sylow của nó đều chuẩn tắc. Đến năm 1996, Wang đã giới thiệu khái niệm nhóm con c – chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn. Theo định nghĩa mà ông đưa ra thì rõ ràng một nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn là nhóm con c – chuẩn tắc của nhóm đó nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng. Do đó một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là tính chất nào đã đúng với các nhóm thỏa mãn các điều kiện liên quan đến nhóm con chuẩn tắc của một nhóm vẫn còn đúng khi ta thay thế chúng với nhóm con c – chuẩn tắc? Ông đã ứng dụng khái niệm này vào việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn bằng cách thay thế điều kiện chuẩn tắc bằng một điều kiện yếu hơn là c – chuẩn tắc. Từ đó các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả sâu sắc và thú vị là mở rộng của các kết quả đã biết trước đó. Trong phạm vi đề tài này, chúng tôi chỉ xét đến những nhóm hữu hạn. Chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện liên quan đến nhóm con c – chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G để G nằm trong một họ bão hòa chứa lớp các nhóm siêu giải được từ đó xem xét một vài tiêu chuẩn để nhóm hữu hạn là siêu giải được có được bảo toàn khi thay thế điều kiện cho các nhóm con chuẩn tắc của chúng bằng những điều kiện với lớp các nhóm con hẹp hơn, các nhóm con c – chuẩn tắc. Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo [10]. Luận văn được chia làm 2 chương như sau: Chương I. Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản, chứng minh một số định lý và bổ đề được dùng trong luận văn. Chương II. Nhóm con c – chuẩn tắc tối đại và tối tiểu của nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn. Đây là chương chính của luận văn, chương này gồm 3 phần như sau: 4
Phần 1: Nêu khái niệm về nhóm con c – chuẩn tắc và một số tính chất cơ bản của nhóm con c – chuẩn tắc. Phần 2: Đưa ra các bổ đề thể hiện mối quan hệ giữa nhóm con c – chuẩn tắc, nhóm con chuẩn tắc, nhóm lũy linh, nhóm giải được, nhóm siêu giải được …, các tính chất cần thiết để sử dụng trong quá trình chứng minh các kết quả chính trong phần 3. Phần 3: Chứng minh, làm rõ 2 định lý chính của luận văn. Qua đó nêu lên một số tiêu chuẩn để nhóm hữu hạn là nhóm siêu giải được dựa trên các điều kiện có liên quan đến các nhóm con c – chuẩn tắc của chúng. Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn sẽ khó tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp để luận văn được hoàn chỉnh hơn nữa. 5
CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm, H là nhóm con của G . Khi đó: {g ∈ G : H g = NG ( H ) = H } được gọi là chuẩn hóa tử của H trong G . CG ( H ) = {g ∈ G : h g = h, ∀h ∈ H } được gọi là tâm hóa tử của H trong G . Z (G ) = {g ∈ G : g x = g , ∀x ∈ G} được gọi là tâm của G . 1.1.2. Định nghĩa phần trong chuẩn tắc Cho G là nhóm và X là tập con khác rỗng của G . Phần trong chuẩn tắc (hay core hay normal interior) của X trong G là hợp của tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G chứa trong X , kí hiệu là X G hay coreG ( X ) . Nếu không có nhóm con nào như thế thì ta quy ước X G = 1. Nhận xét. Cho H là nhóm con của nhóm G . Khi đó H G là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G chứa trong H và H G =  g∈G g −1Hg . 1.1.3. Mệnh đề (Luật Modular Dedekind) [6, 1.3.14] Cho H , K , L là các nhóm con của G và K ⊆ L . Khi đó HK ∩ L = ( H ∩ L) K . 1.1.4. Định nghĩa nhóm con chuẩn tắc tối đại và tối tiểu Cho G là một nhóm và H  G . H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H < G và không tồn tại N  G sao cho H < N < G . H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu H < G và không tồn tại K  G sao cho 1 < K < H . 1.1.5. Định nghĩa nhóm con đặc trưng Cho G là một nhóm và H ≤ G . H được gọi là nhóm con đặc trưng của G , kí hiệu là H char G , nếu với mọi f ∈ Aut ( G ) ta có f ( H ) = H . 1.1.6. Tính chất nhóm con đặc trưng [1, Mệnh đề 8.2] i) Nếu H char G thì H  G . ii) Nếu H char K , K char G thì H char G . iii) Nếu H char K , K  G thì H  G . 6
1.1.7. Định nghĩa nhóm con á chuẩn tắc Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con á chuẩn tắc của G nếu tồn tại dãy H  H1  H 2  ...  H n = G . 1.1.8. Định nghĩa Nhóm G được gọi là thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc hóa nếu mọi nhóm con thực sự của G đều thực sự chứa trong chuẩn hóa tử của chính nó, nghĩa là H < N G ( H ) với H < G . 1.1.9. Định nghĩa PN – nhóm Một nhóm G được gọi là PN − nhóm nếu mọi nhóm con tối tiểu, nghĩa là nhóm có cấp nguyên tố, đều chuẩn tắc trong G . 1.1.10. Định nghĩa Nếu cấp của các phần tử của nhóm G đều hữu hạn và bị chặn thì G được gọi là có số mũ hữu hạn. Khi đó, số mũ của G là bội chung nhỏ nhất của cấp của tất cả các phần tử trong G . Kí hiệu: exp ( G ) . 1.1.11. Định nghĩa Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H K với H , K  G và H K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G K . 1.2. Định lý Sylow 1.2.1. Định nghĩa tác động của một nhóm lên một tập hợp Cho ( G ,.) là một nhóm, X là một tập hợp khác rỗng. Tác động trái của nhóm G lên tập X là một ánh xạ *: G × X → X ( g, x)  g * x thỏa mãn hai điều kiện: i) 1* x = x, ∀x ∈ X ii) ∀g1 , g 2 ∈ G, ∀x ∈ X , ta có ( g1.g 2 ) * x = g1 * ( g 2 * x ) {g ∈ G : g * x = Khi đó với mỗi x ∈ X , Gx = x} là một nhóm con của G , và gọi là nhóm con ổn định của x trong G . Tập G ( x) = { g * x ∈ X : g ∈ G} được gọi là quỹ đạo của x trong X . 7
1.2.2. Mệnh đề i) Hai quỹ đạo bất kì hoặc bằng nhau hoặc rời nhau. = ii) X  = G ( x )  G ( x ) (hợp rời) i x∈X i∈I = iii) Nếu X là tập hữu hạn thì X ∑= G ( x ) ∑ G : G i∈I i i∈I xi  = iv) Nếu G là nhóm hữu hạn thì G Z ( G ) + ∑ G : Gxi  i∈I 1.2.3. Định nghĩa Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Khi đó: i) G được gọi là p − nhóm nếu mọi phần tử của G có cấp là lũy thừa của p . ii) Nhóm con H của G được gọi là p − nhóm con của G nếu H là p − nhóm. iii) Nhóm con H của G được gọi là p − nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p − nhóm con của G theo quan hệ bao hàm. Nhận xét. Một nhóm G hữu hạn là p − nhóm khi và chỉ khi cấp của G là lũy thừa của p. 1.2.4. Định lý Sylow [6, 1.6.16] = Cho p là số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn với G p= n m, ( m, p ) 1 . Khi đó: i) Với 1 ≤ k ≤ n , tồn tại trong G một p − nhóm con cấp p k . Nói riêng, tồn tại trong G một p − nhóm con Sylow của G . ii) Mọi p − nhóm con H của G đều nằm trong một p − nhóm con Sylow nào đó của G . iii) Tất cả các p − nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. iv) Số các p − nhóm con Sylow của G là ước của m và đồng dư với 1(mod p ) 1.2.5. Định lý Cauchy [1, Định lý 6.2] Nếu G là một nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho một số nguyên tố p thì G chứa một phần tử cấp p . 1.2.6. Mệnh đề i) Nếu G là p − nhóm hữu hạn và G ≠ 1 thì Z (G ) ≠ 1 . ii) Nếu G là p − nhóm hữu hạn và H là một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G thì H ∩ Z (G ) ≠ 1. 8
Chứng minh. i) Xem [1, định lý 6.4] ii) Xét tác động G × H → H , với g ∗ h  ghg −1 ∈ H thì ta có công thức thành quỹ = đạo: H H  Z ( G ) + ∑ G : C ( hi )  và do hi ∉ H  Z ( G ) nên C ( hi ) là nhóm con thực i∈I sự của G , suy ra G : C ( hi )  là lũy thừa của p ; từ đó suy ra H  Z ( G ) là bội của p .  1.2.7. Mệnh đề Cho G là nhóm hữu hạn và P là p − nhóm con Sylow của G . Khi đó P là p − nhóm con Sylow duy nhất của G nếu và chỉ nếu P chuẩn tắc trong G . Chứng minh. Giả sử P là p − nhóm con Sylow chuẩn tắc. Khi đó, theo định lý Sylow mọi p − nhóm con Sylow của G đều liên hợp với P . Do tính chuẩn tắc của P , các nhóm này đều bằng P . Vậy P là p − nhóm con Sylow duy nhất của G . Ngược lại, giả sử P là p − nhóm con Sylow duy nhất của G . Khi đó, do mọi nhóm liên hợp với P đều có cùng cấp với P nên chúng cũng là các p − nhóm con Sylow của G . Vì tính duy nhất của P nên các nhóm liên hợp này đều bằng P . Suy ra P là p − nhóm con Sylow chuẩn tắc.  1.2.8. Mệnh đề Cho P là một p − nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G . Khi đó: i) Nếu N G ( P ) ≤ H ≤ G thì H = N G ( H ) ii) Nếu N  G thì P ∩ N là một p − nhóm con Sylow của N và PN N là một p − nhóm con Sylow của G N . Chứng minh. i) Hiển nhiên H ≤ N G ( H ) . Với x ∈ N G ( H ) , do P ≤ H  N G ( H ) nên P x ≤ H x ≤ H . Khi đó P và P x đều là các p − nhóm con Sylow của H nên P và P x liên hợp với nhau trong H . Suy ra tồn tại h ∈ H sao cho P x = P h . Do đó xh −1 ∈ N G ( P ) ≤ H hay x ∈ H . Vậy H = NG ( H ) . 9
ii) Ta có N ] [ PN = [ N : P ∩= : P] : P n với (n, p ) = 1 . Mà P ∩ N ≤ P nên PN = P ∩ N là p − nhóm con của G . Mặt khác, P ∩ N ≤ N nên P ∩ N là p − nhóm con của N . Do N : P ∩ N= [ N : P ∩ N=] n với (n, p ) = 1 nên P ∩ N là p − nhóm con Sylow của N . Chứng minh tương tự ta được PN N là một p − nhóm con Sylow của G N .  1.2.9. Mệnh đề Nếu H là nhóm con chuẩn tắc hữu hạn của nhóm G và P là p − nhóm con Sylow của H thì G = N G ( P ) H . Chứng minh. Cho g ∈ G , thì P g ≤ H (do tính chuẩn tắc của H ) và P g là p − nhóm con Sylow của H . Theo định lý Sylow, tồn tại h ∈ H sao cho P g = P h . Do đó gh −1 ∈ N G ( P ) hay g ∈ NG ( P ) H .  1.2.10. Định nghĩa Với G là p − nhóm, nhóm con sinh bởi các phần tử x sao cho x p = 1 được kí hiệu là k Ωk ( G ) . 1.2.11. Mệnh đề Một p − nhóm G là một PN − nhóm khi và chỉ khi Ω1 ( G ) ≤ Z ( G ) . Chứng minh. Do G là p − nhóm nên mọi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G giao với Z ( G ) đều không tầm thường. Xét tác động G × H → H , g * h  ghg −1 ∈ H . Ta có công thức thành quỹ đạo H =H ∩ Z ( G ) + ∑ G : C ( hi )  và do hi ∉ H ∩ Z ( G ) nên C ( hi ) là i∈I nhóm con thực sự của G , suy ra G : C ( hi )  là lũy thừa của p ; từ đó suy ra H ∩ Z ( G ) là bội của p . Ω1 ( G ) là p − nhóm abel sơ cấp nên Ω1 ( G )= y1 × y2 × ... × yk trong đó các yi là các nhóm con cấp p nên chúng là các nhóm con tối tiểu của G . Theo tính chất PN − nhóm thì chúng là các nhóm con chuẩn tắc trong G . Suy ra yi ∩ Z ( G ) ≠ 1 , và vì yi , từ đó ta có yi ≤ Z ( G ) , ∀i dẫn đến tính chất tối tiểu của các yi nên yi ∩ Z ( G ) = Ω1 ( G ) ≤ Z ( G ) . 10
Ngược lại, giả sử A là nhóm con tối tiểu của G , nhóm con có cấp p . Khi đó A ≤ Ω1 ( G ) ≤ Z ( G ) nên A  G .  1.2.12. Định lý [2, Định lý] Cho E là nhóm con của PN − nhóm G , tối đại chuẩn tắc abel và có số mũ p n > 2 , khi đó mọi phần tử có cấp tối đa là p n giao hoán với mọi phần tử của E đều nằm trong E . Nhận xét. Trong trường hợp n = 1 , định lý này dẫn đến kết luận rằng CG ( E ) là một PN − nhóm. Thật vậy, theo định lý 1.2.12, Ω1 ( CG ( E ) ) (nhóm con sinh bởi các phần tử có cấp p của CG ( E ) hay nhóm con sinh bởi các phần tử có cấp p giao hoán với mọi phần tử của E ) nằm trong E . Theo định nghĩa ta có mọi phần tử trong E đều giao hoán với mọi phần tử nằm trong CG ( E ) nên E ≤ Z ( CG ( E ) ) . Từ đó Ω1 ( CG ( E ) ) ≤ Z ( CG ( E ) ) . Theo mệnh đề 1.2.11 thì CG ( E ) là một PN − nhóm. 1.3. Nhóm giải được 1.3.1. Định nghĩa nhóm giải được Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu có một dãy hữu hạn các nhóm con =1 G= 0  G1  G2  ...  Gn G (1) thỏa mãn điều kiện Gi +1 Gi là nhóm Abel với mọi i,1 ≤ i ≤ n − 1 . Dãy (1) trong định nghĩa trên được gọi là một dãy Abel. 1.3.2. Mệnh đề i) Mọi nhóm giao hoán là nhóm giải được. ii) Mọi nhóm con của một nhóm giải được là nhóm giải được. iii) Nếu G là nhóm giải được và f : G → H là một toàn cấu thì H giải được. iv) Nếu H  G và cả hai nhóm H và G H đều giải được thì G giải được. v) Nếu cả hai nhóm H và K đều giải được thì H × K giải được. vi) Nếu H và K là hai nhóm con chuẩn tắc giải được của G thì HK là nhóm giải được. 1.3.3. Định nghĩa Cho p là một số nguyên tố và G là một p − nhóm hữu hạn. Khi đó G được gọi là một p − nhóm Abel sơ cấp nếu 11
G  Z p × Z p × ... × Z p Nhận xét. Một p − nhóm hữu hạn G là p − nhóm Abel sơ cấp nếu G là nhóm Abel thỏa mãn điều kiện x p = 1, ∀x ∈ G . 1.3.4 Định lý [1, Định lý 11.3] Nếu G là một nhóm hữu hạn giải được thì nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G đều là p − nhóm con abel sơ cấp. 1.3.5. Định lý (The Odd order theorem) Mọi nhóm cấp lẻ đều là nhóm giải được. 1.4. Nhóm lũy linh 1.4.1. Định nghĩa nhóm lũy linh Nhóm G là nhóm lũy linh nếu nó có một dãy hữu hạn các nhóm con chuẩn tắc 1 = G0 ≤ G1 ≤ G2 ≤ ... ≤ Gn = G (2) thỏa mãn điều kiện Gi +1 Gi ⊂ Z ( G Gi ) , ∀i,1 ≤ i ≤ n − 1 Dãy (2) trong định nghĩa trên được gọi là dãy tâm. Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G . 1.4.2. Mệnh đề i) Mọi nhóm lũy linh đều giải được. ii) Mọi nhóm giao hoán đều lũy linh. iii) Mọi nhóm con của một nhóm lũy linh là nhóm lũy linh. iv) Nếu G là nhóm lũy linh và f : G → H là một toàn cấu thì H lũy linh. v) Nếu cả hai nhóm H và K đều lũy linh thì H × K lũy linh. 1.4.3. Mệnh đề [1, Định lý 9.13] Mọi p − nhóm hữu hạn đều lũy linh. 1.4.4. Định lý (Fitting’s Theorem) [6, Định lý 5.2.8] Nếu H và K là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G thì HK là nhóm lũy linh. 1.4.5. Mệnh đề Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó các tính chất sau tương đương: i) G lũy linh ii) Mọi nhóm con của G đều là nhóm con á chuẩn tắc 12
iii) G thỏa điều kiện chuẩn tắc hóa iv) Mọi nhóm con tối đại của G đều là nhóm con chuẩn tắc có chỉ số nguyên tố v) G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó. Chứng minh. (i) → (ii) Cho G là nhóm lũy linh lớp c . Nếu H ≤ G thì H ζ i G  H ζ i +1G vì ζ i +1G ζ i G = Z ( G ζ i G ) . Do đó H = H ζ 0G  H ζ 1G  ...  H ζ cG = G . Ta được H là nhóm con á chuẩn tắc của G sau c bước. (ii) → (iii) Cho H < G . Vì H là nhóm con á chuẩn tắc của G nên tồn tại dãy H H= 0  H1  ...  H n G . Gọi i là số nguyên nhỏ nhất sao cho H ≠ H i , khi đó H = H i −1  H i và H i ≤ N G ( H ) . (vì N G ( H ) là nhóm con lớn nhất của G mà H chuẩn tắc trong N G ( H ) ). Do đó H ≤ N G ( H ) . Vậy G thỏa điều kiện chuẩn tắc. (iii) → (iv) Nếu M là nhóm con tối đại của G , thì M < N G ( M ) , do tính tối đại của M nên N G ( M ) = G hay M  G . (iv) → (v) Cho P là một nhóm con Sylow nào đó của G . Nếu P không chuẩn tắc trong G thì N G ( P ) là nhóm con thật sự của G và do đó nó nằm trong nhóm con tối đại M nào đó của G . Khi đó M  G hay N G ( M ) = G , tuy nhiên điều này mâu thuẫn với mệnh đề 1.2.8. Do đó mọi nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc. Suy ra tồn tại duy nhất một p − nhóm con Sylow với mọi số nguyên tố p và hiển nhiên tất cả chúng đều phân biệt. Tích trực tiếp của tất cả các nhóm con Sylow này rõ ràng phải bằng G . (v) → (i) Do p − nhóm thì lũy linh và tích trực tiếp của các nhóm lũy linh là lũy linh nên hiển nhiên G lũy linh.  1.4.6. Mệnh đề Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó nếu P là p − nhóm con Sylow của G thì P là p − nhóm con Sylow duy nhất của G . Chứng minh. Theo chứng minh mệnh đề 1.4.5, (iv) → (v), ta có P chuẩn tắc trong G . Do đó theo mệnh đề 1.2.7, P là p − nhóm con Sylow duy nhất của G .  1.4.7. Mệnh đề [6, 5.3.5] 13
Trong một nhóm lũy linh có lớp tối đa là 2 ta có ( xy ) = x m y m [ y, x ]( 2 ) . m m 1.4.8. Mệnh đề Cho G là nhóm, và K ≤ Z ( G ) và giả sử G K lũy linh. Khi đó G lũy linh. Chứng minh. Cho M là nhóm con tối đại của G . Ta chứng minh M  G . Thật vậy, nếu K ≤ M thì M K < ⋅ G K . Vì G K lũy linh nên M K  G K (mệnh đề 1.4.5) và do đó M  G . Trường hợp K ≤/ M , ta có K ≤ Z ( G ) ≤ N G ( M ) (do với mọi x ∈ Z ( G ) thì rõ ràng M x = M ), khi đó N G ( M ) > M và do đó N G ( M ) = G . Vậy M  G trong mọi trường hợp nên G lũy linh (mệnh đề 1.4.5).  1.5. Nhóm con Frattini và nhóm con Fitting 1.5.1. Định nghĩa nhóm con Fratini Nhóm con Frattini của nhóm hữu hạn G là giao của tất cả các nhóm con tối đại và bằng G nếu G không có nhóm con tối đại nào. Kí hiệu Φ (G ) . 1.5.2 Mệnh đề Cho G là một nhóm. Khi đó Φ (G ) char G , do đó Φ (G )  G . Chứng minh. Nếu G không có các nhóm con tối đại thì mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử trong G có các nhóm con tối đại. Đặt ( M i )i∈I là họ tất cả các nhóm con tối đại của G . Khi đó, với mọi ϕ ∈ Aut (G ), ϕ −1 ( M i ) cũng là nhóm con tối đại của G với mọi i ∈ I , do đó Φ (G ) ⊆ ϕ −1 ( M i ), ∀i ∈ I . ( ) Suy ra Φ (G ) ⊆ ϕ −1  M i = ϕ −1 ( Φ (G ) ) , hay ϕ ( Φ (G ) ) ⊆ Φ (G ), ∀ϕ ∈ Aut (G ) . i∈I Do đó Φ (G ) char G , suy ra Φ (G )  G .  1.5.3. Định nghĩa phần tử không sinh Cho G là nhóm. Phần tử x ∈ G được gọi là phần tử không sinh của G nếu G = x, Y thì G = Y . 1.5.4. Mệnh đề Nhóm con Frattini của nhóm G là tập tất cả các phần tử không sinh của G . 14
Chứng minh. Lấy x là phần tử không sinh của G . Nếu tồn tại M là nhóm con tối đại của G sao cho x∉M = thì G = x, M M . Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của M . Do đó, x ∈ M với mọi nhóm con tối đại M bất kỳ của G hay x ∈ Φ (G ) . Ngược lại, với x ∈ Φ (G ) , giả sử G = x, Y và G ≠ Y . Khi đó tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho Y ≤ M . Mà x ∈ Φ (G ) nên x ∈ M . Suy ra = G x, Y ≤ M (mâu thuẫn). Vậy G = Y hay x là phần tử không sinh của G .  1.5.5. Mệnh đề Cho G là một nhóm hữu hạn. i) Nếu N  G , H ≤ G và N ≤ Φ ( H ) thì N ≤ Φ (G ) . ii) Nếu K  G thì Φ ( K ) ≤ Φ (G ) . iii) Nếu A là nhóm con chuẩn tắc giao hoán của G sao cho ( Φ (G ) ) ∩ A = 1 thì tồn tại nhóm con H sao cho G = HA và H ∩ A = 1. Chứng minh. i) Nếu N ≤ Φ (G ) thì tồn tại nhóm con tối đại M sao cho N ≤ M . Khi đó G = MN . Do H =∩ H ( MN ) = ( H ∩ M ) N nên theo mệnh đề 1.5.4 ta có H= H ∩ M và H ≤ M , nhưng điều này dẫn đến mâu thuẫn N ≤ M . Vậy N ≤ Φ (G ) . ii) Áp dụng i) với N = Φ ( K ) và H = K . iii) Chọn H ≤ G là phần tử tối tiểu trong tập hợp các nhóm con {T ≤ G : G = TA} . Khi đó H ∩ A  H và H ∩ A  A do tính giao hoán và chuẩn tắc của nhóm con A . Suy ra G . Nếu H ∩ A ≤ Φ ( H ) thì theo i) H ∩ A ≤ Φ (G ) ∩ A =1 . Ngược lại nếu H ∩ A  HA = H ∩ A ≤ Φ ( H ) thì tồn tại nhóm con tối đại M của H sao cho H ∩ A ≤ M , trong trường = hợp này H M ( H ∩ A ) và = = MA mâu thuẫn với tính tối tiểu của H . G HA  1.5.6. Định nghĩa nhóm con Fitting Cho G là một nhóm. Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G được gọi là nhóm con Fitting của G . Kí hiệu là F (G ) . 1.5.7. Mệnh đề Cho G là một nhóm. Khi đó: i) F (G )  G 15
ii) F (G ) char G iii) Φ (G ) ≤ F (G ) 1.5.8. Mệnh đề Nếu G hữu hạn thì F (G ) là nhóm lũy linh. Khi đó F (G ) là nhóm con chuẩn tắc lũy linh lớn nhất của G . 1.5.9. Mệnh đề Cho G là nhóm giải được hữu hạn và Φ (G ) = 1 . Khi đó F (G ) là tích của các nhóm con giao hoán chuẩn tắc tối tiểu của G . Chứng minh. Đặt L = F (G ) . Vì L lũy linh nên theo mệnh đề 1.4.5, mọi nhóm con tối đại của L đều chuẩn tắc và có chỉ số nguyên tố trong L . Khi đó L H là nhóm giao hoán với mọi nhóm con tối đại H của L , do đó L ' ≤ Φ ( L) . Mặt khác L  G nên theo mệnh đề 1.5.5 Φ ( L) ≤ Φ (G ) và L ' ≤ Φ (G ) =1 , suy ra L giao hoán. Gọi N là tích của tất cả các nhóm con giao hoán chuẩn tắc tối tiểu của G . Vì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của nhóm giải được đều là các nhóm abel sơ cấp nên chúng là nhóm lũy linh suy ra N ≤ L . Theo mệnh đề 1.5.5, 1 . Khi đó K ∩ L  K và K ∩ L  L do tồn tại nhóm con K sao cho G = KN và K ∩ N = G . Vì ( K ∩ L ) ∩ N = tính giao hoán và chuẩn tắc của L . Suy ra K ∩ L  KL = 1 nên nhóm con chuẩn tắc K ∩ L không thể chứa một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G ; suy ra 1 và L = K ∩L= L ∩ ( KN ) = N.  1.6. π–Nhóm con Hall và p- nhóm lũy linh 1.6.1. Định nghĩa Cho π là một tập hợp khác rỗng các số nguyên tố và π ' là phần bù của π trong tập tất cả các số nguyên tố. Một số nguyên dương được gọi là π − số nếu các ước nguyên tố của nó thuộc π . Nếu a là π − số và b là π '− số thì a và b nguyên tố cùng nhau. Một phần tử của một nhóm được gọi là π − phần tử nếu cấp của nó là π − số. Một nhóm được gọi là π − nhóm nếu mọi phần tử của nó đều là π − phần tử. Nếu H là nhóm con của G và H là π − nhóm thì H được gọi là π − nhóm con của G . Trường hợp đặc biệt π = {p} thì ta được khái niệm p − nhóm và p − nhóm con quen thuộc. 16
Nhóm con sinh bởi tất cả các π − nhóm con chuẩn tắc của G là một π − nhóm, kí hiệu là Oπ (G ) . Đây là π − nhóm con chuẩn tắc lớn nhất duy nhất của G . 1.6.2. Mệnh đề Cho G là một nhóm và π là một tập hợp khác rỗng các số nguyên tố. Nếu K là nhóm con chuẩn tắc có chỉ số trong G là π − số và H là π '− nhóm con chuẩn tắc của G thì H ⊆K. Chứng minh. Gọi Φ là tập các ước nguyên tố của G . Giả sử Φ ∩ π ={ p1 , p2 ,..., pn } và Φ ∩ π ' ={q1 , q2 ,..., qm } . Ta chứng minh cho trường hợp Φ ∩ π ' ={q1 , q2 } chỉ gồm 2 phần tử ( G = p1α1 p2α 2 ... pnα n q1β1 q2β2 ), các trường hợp khác chứng minh tương tự. Vì H là π '− nhóm con chuẩn tắc của G nên H = q1β '1 q2β '2 ; 0 ≤ β '1 ≤ β1 , 0 ≤ β '2 ≤ β 2 . Gọi H1 , H 2 lần lượt là q1 − nhóm con sylow của H và q2 − nhóm con sylow của H ( H1 q= = β '1 1 , H2 q2β '2 ) . Khi đó H = H1 H 2 đồng thời H1 , H 2 cũng lần lượt là q1 − nhóm con của G và q2 − nhóm con của G . Vì K là nhóm con chuẩn tắc có chỉ số trong G là π − số nên K = p1α '1 p2α '2 ... pnα 'n q1β1 q2β2 ; 0 ≤ α '1 ≤ α1 ,..., 0 ≤ α 'n ≤ α n . Tồn tại trong K các nhóm con K1 , K 2 lần lượt là q1 − nhóm con K ( K1 q= sylow và q2 − nhóm con sylow của = β1 1 , K2 q2β2 ) . Khi đó K1 , K 2 cũng lần lượt là q1 − nhóm con sylow chuẩn tắc của G và q1 − nhóm con sylow chuẩn tắc của G (do K là nhóm con chuẩn tắc). Do mọi p − nhóm con sylow chuẩn tắc của một nhóm luôn chứa p − nhóm con bất kỳ của nhóm đó nên H1 ⊆ K1 , H 2 ⊆ K 2 . Suy ra H = H1H 2 ⊆ K1K 2 ⊆ K .  1.6.3. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm hữu hạn G được gọi là nhóm con Hall của G nếu H là ước Hall của G , nghĩa là ( H , [G : H ]) = 1 . 17
Cho G là nhóm hữu hạn và H là π − nhóm con của G sao cho G : H là π '− số. Khi đó H được gọi là π − nhóm con Hall của G . Cho H là nhóm con của nhóm hữu hạn G . Một nhóm con K của G được gọi là một phần bù của H trong G nếu G = HK và H ∩ K = 1. Cho G là nhóm hữu hạn. Một phần bù của một p − nhóm con Sylow của G được gọi là một p − bù của G . Ta nhận thấy rằng một p − bù của G là một p '− nhóm con Hall của G . Nhóm G được gọi là p − lũy linh nếu G có một p − bù chuẩn tắc. G là nhóm tối tiểu không − p − lũy linh nếu G là không là nhóm p − lũy linh và mọi nhóm con thực sự của G đều là p − lũy linh. Nhận xét. Cho P là p − một nhóm con Sylow của G . Nếu G = PO p ' (G ) thì G có một p − phần bù chuẩn tắc. Thật vậy, nếu G = PO p ' (G ) thì O p ' (G ) là phần bù của p − nhóm con Sylow P . 1.6.4. Định lý [6, Định lý 9.1.7] Cho G là một nhóm hữu hạn giải được. Khi đó: i) Mọi π − nhóm con của G đều chứa trong một π − nhóm con Hall của G. ii) Tất cả các π − nhóm con Hall của G đều liên hợp với nhau. 1.6.5. Mệnh đề [1, Bổ đề 11.14] Nếu G là một nhóm hữu hạn giải được và A là một nhóm con Hall của G thì mọi nhóm con H của G chứa N G ( A) đều tự chuẩn hóa, tức là N G ( H ) = H . 1.6.6. Định lý (P. Hall) [6, 9.1.8] Cho G là một nhóm hữu hạn và giả sử với mọi số nguyên tố p , tồn tại trong G một p '− nhóm con Hall. Khi đó G giải được. 1.6.7. Mệnh đề Cho G là một nhóm hữu hạn giải được và N là một nhóm con Hall cấp k của G . Khi đó N là nhóm con Hall cấp k duy nhất của G nếu và chỉ nếu N  G . Chứng minh. Theo định lý 1.6.4 thì mọi nhóm con Hall cấp k của G đều liên hợp với nhau nên ta có ngay điều cần chứng minh.  1.6.8. Mệnh đề 18