Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nội suy các hàm P-adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Hà

NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Hà

NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

Mã số

: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Mục lục

MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede..........................................................................3

1.2. Xây dựng các tập số p-adic .................................................................................5

1.2.1. Chuẩn p-adic.................................................................................................5

1.2.2. Xây dựng trường

...................................................................................5

p(cid:0)

1.2.3. Xây dựng vành

p(cid:0) .......................................................................................7

1.2.4. Xây dựng trường

..................................................................................8

p(cid:0)

1.3. Hàm chỉnh hình p-adic........................................................................................9

1.4. Xây dựng tương tự p-adic của hàm log .............................................................16

Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN

p(cid:0)

2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic ............................19

2.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic ..................................................................25

2.3. Nội suy p-adic hàm số mũ.................................................................................26

2.4. Nội suy hàm gamma p-adic...............................................................................30

Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ

TRONG

p(cid:0)

3.1. Độ cao của hàm chỉnh hình ...............................................................................35

3.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản..........................................................35

3.1.2. Một số ví dụ minh họa.................................................................................38

3.1.3. Công thức p-adic Poisson – Jensen .............................................................42

3.2. Độ cao của dãy điểm và nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị....43

3.2.1. Độ cao của dãy điểm ...................................................................................43

3.2.2. Nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị.....................................44

KẾT LUẬN ................................................................................................................56

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................57

1

MỞ ÐẦU

Ta biết rằng, một đa thức bậc n hoàn toàn có thể xác định được hay nói cách

khác là nội suy được khi biết giá trị của đa thức đó tại (n + 1) điểm phân biệt. Từ

đây nảy sinh vấn đề tổng quát hóa bài toán nội suy một hàm trong đó yêu cầu đặt ra

là làm thế nào có thể khôi phục lại hàm số khi biết giá trị của nó từ một dãy rời rạc

các điểm?

Nội suy các hàm p-adic là một công cụ quan trọng trong giải tích p-adic để xây

dựng các hàm p-adic và đặc biệt là xây dựng các tương tự p-adic của các L_hàm số

học. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC để tìm hiểu sâu

hơn về cách nội suy các hàm p-adic và các ứng dụng của nó.

Luận văn đi sâu vào 2 nội dung chính: nội suy các hàm liên tục trên

p(cid:0) và nội

suy các hàm chỉnh hình p – adic trên đĩa đơn vị của

p(cid:0) , thể hiện trong 3 chương:

 Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích p – adic gồm chuẩn

p – adic, các tập số p – adic, hàm chỉnh hình p – adic và hàm log.

 Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p – adic các hàm liên tục trên

p(cid:0) từ

đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách xây dựng hàm số mũ và hàm gamma p – adic.

 Chương 3: trình bày khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình, độ cao của dãy

điểm, nội suy của hàm chỉnh hình p – adic trên đĩa đơn vị trong đó quan trọng nhất

là chứng minh chặt chẽ điều kiện cần và đủ để một dãy điểm là dãy nội suy của một

hàm chỉnh hình cho trước và những ứng dụng của kết quả này.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình, tận tâm của thầy

Mỵ Vinh Quang. Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của

mình về sự hướng dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Lời

cảm ơn tiếp theo tôi xin dành cho tất cả những người thân đã luôn động viên và

giúp đỡ để tôi yên tâm học tốt. Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến các thầy trong

2

bô môn Đại số, khoa Toán – Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết và

phòng sau đại học đã tạo điều kiện để tôi thực hiện bảo vệ luận văn này.

Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc không tránh khỏi

những thiếu sót nhất định. Người viết rất mong nhận được sự đóng góp của quý

thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này.

TP.HCM, ngày 30 tháng 8 năm 2009

3

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede

Định nghĩa 1.1

Cho F là một trường. Chuẩn trên trường F là một ánh xạ, kí hiệu là

sao cho với mọi

,x y F ta có:

x

0

i)

x  , 0

   x 0

x y

ii) xy



y

x

y

iii) x







Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên các trường

,

, (cid:0) (cid:0) (cid:0) .

Ví dụ 2: Cho F là một trường bất kì. Ánh xạ

: F  (cid:0) được định nghĩa bởi:

khi x

0



x

là chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường.

với mọi x F ,

khi x

0

0



1    

: F  (cid:0)

Định nghĩa 1.2

)

:

Giả sử

là một chuẩn trên trường F. Khi đó hàm

d F F   xác định [0,

bởi

d x y ( ,

)

x

y

  là một metric trên trường F gọi là metric cảm sinh bởi chuẩn

.

Hai chuẩn

và

trên F gọi là tương đương nếu tôpô cảm sinh bởi hai

1

2

.

metric tương ứng là như nhau. Kí hiệu

1

2(cid:0)

Định lý 1.3 (Các điều kiện tương đương của chuẩn)

Giả sử

và

là hai chuẩn trên trường F. Các khẳng định sau là tương

1

2

đương:

x

1

1

x

i)

   với mọi x F

1

2

x

1

1

x

ii)

   với mọi x F

1

2

4

C

x

iii) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho

với mọi x F

x

1

2

là dãy Cauchy đối với

là dãy Cauchy đối với

iv)  nx

  nx

1

2

v)

1

2(cid:0)

Định nghĩa 1.4

Chuẩn

trên trường F gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu ngoài 2 điều

iii’)

x y ,

max

x

y





kiện i và ii trong định nghĩa 1.1 nó thỏa thêm điều kiện: 



Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede.

Mệnh đề 1.5 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)

Cho

là chuẩn trên trường F. Các khẳng định sau là tương đương:

i)

là chuẩn phi Archimede

ii) 2

1

1

iii)

n  với mọi n  (cid:0)

iv) Tập (cid:0) bị chặn, nghĩa là tồn tại số c > 0 sao cho n

c với mọi n  (cid:0)

Mệnh đề 1.6 (Tính chất của chuẩn phi Archimede)

Cho

là chuẩn phi Archimede trên trường F. Khi đó:

x

y

max

x y ,

thì

.

i) Nếu





,x y F , x

y





ii)

D a r

( , ) {

x F x a :

r

}

,

vừa đóng vừa mở.

 

 

D a r

( , ) {

x F x a :

r

}

 

 

là dãy Cauchy.

iii) Giả sử  nx

Nếu

 . 0

x n

n

nx  thì lim 0 

với mọi n > N)

Nếu nx  0 thì

nx là dãy dừng (tồn tại N sao cho

x n

x   1n

5

1.2. Xây dựng các tập số p – adic

1.2.1. Chuẩn p – adic

Định nghĩa 1.7

Cho p là số nguyên tố.

0

ord a là số mũ của p trong sự phân tích a thành

a  , ta gọi

p

Với mỗi a  (cid:0) ,

các thừa số nguyên tố. Nếu a = 0,

ord a   .

p



ord m ord n 

r

Với mỗi

.

ord r p

p

p

  (cid:0) ,

,m n  (cid:0) , (m, n) = 1, ta đặt

m n

Mệnh đề 1.8

được xây dựng như sau:

Trên trường (cid:0) , ta xét ánh xạ

p

ord x p

0

khi x



x

1 p

p

  

0

khi x



      0 

Khi đó

là chuẩn phi Archimede gọi là chuẩn p – adic.

p

Định lý 1.9 (Ostrowski)

Mọi chuẩn không tầm thường trên (cid:0) đều tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với chuẩn p – adic với p là số nguyên tố nào

đó.

1.2.2. Xây dựng trường

p(cid:0)

 Gọi S là tập các dãy Cauchy trong (cid:0) . Trên S ta xây dựng quan hệ tương đương như sau:

0

y







x { } n

y { } n

x n

n p

(cid:0)

lim n 

Ta gọi

p(cid:0) là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị

cho

p(cid:0) hai phép toán cộng và nhân như sau:



     y x  n

n

n

y   x n

6

.



    y x  n

n

x y . n

n

Khi đó ta có thể chứng minh (

, , ) p  

(cid:0)

là trường với đơn vị  1 .

Ngoài ra, với   0

nx  0 , theo mệnh đề 1.6, tồn tại N sao cho với

nx  tức là

mọi n > N :

1  

  y

là   x n

n

nx

n N 

y

trong đó

n

n N 

0 1 x n

     

 Chuẩn trên

p(cid:0) được xác định như sau:

x

x

Với mỗi

x



 n

 (cid:0) , p

p

p

x lim n n 

Ta có thể chứng minh được chuẩn

trên

p(cid:0) là chuẩn phi Archimede.

p

p(cid:0) nhờ ánh xạ nhúng:

 Trường (cid:0) có thể xem là trường con của

0 a  . Khi đó, phần tử nghịch đảo của  nx

p

j : (cid:0)

trong

và

p(cid:0) là mở rộng của chuẩn p - adic trong (cid:0) .

p

a (cid:0)   a 

.

Chú ý: Với

x x x  { }n  (cid:0) thì p x lim n n 

Định lý 1.10 (mô tả

p(cid:0) )

Với mỗi

p

p

n

1 x  , có duy nhất dãy đại diện { }na của x thỏa mãn: x  (cid:0) ,

i) 0

na

p  

ii)

với n = 1, 2,…

1 (mod

p )n a n a  n

Nhận xét

Với các { }na thỏa mãn những điều kiện trên ta có thể viết:

a 1 b 0

  a 2 b 0 b p 1

7

…

n 1 p 

1 

  ...   a n b n b 0 b p 1

trong đó

ib

Khi đó:

 Với

{0,..., p 1}   với mọi i = 0, 1, …

p

x  (cid:0) ,

p



n

n

n



1 

1 x  ,

1 

1 

 b 0

1

n

0



m

u

m p x

 Với

: đặt

suy ra



x p p )   ...     ...   b p 1 b n b p 1 b n b p n   b lim( 0 n 

p

(cid:0)

p

p



m

i

m



m 1  

x

x , x p 1 1    u  nên theo trên





...  

b p 0

b p 1

b m

   ... c p i

i m 



i

Tóm lại, mọi

x

p

c p i

x  (cid:0) sẽ có biểu diễn dạng

  với m  (cid:0) ,

i m 

p

0



 0,...,

  , 1

mc  gọi là khai triển p – adic của x.

ic

u ...   ...    hay b 0 b p 1 b p m

1.2.3. Xây dựng vành

p(cid:0)

Tập hợp

cùng với phép cộng và nhân trong

:

x

1}

x {  



p

p

p(cid:0) lập

(cid:0)

(cid:0)

p

thành một vành gọi là vành các số nguyên p – adic.

Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của

p(cid:0) , kí hiệu là:

1 

x

:

:

x





* p

p

p

p

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

 x  

p

 1

  x   Định lý 1.11 (Tính chất tôpô của

p(cid:0) và

p(cid:0) )

i)

p(cid:0) compact từ đó

p(cid:0) compact địa phương

ii)

p(cid:0) đầy đủ

8

Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Eisenstein)

n

f x ( )

x [ ]

p 0 (mod )

trong đó

với

Cho đa thức





...  



a 0

a x 1

a x n

p

ia

 (cid:0)

2

i

0, 1,...,

n

0 (mod

)p . Khi đó f(x) bất khả quy trên



 ; 1

0a 

na  0 (mod )p và

p(cid:0) .

1.2.4. Xây dựng trường

p(cid:0)

Gọi

p(cid:0) là bao đóng đại số của

p(cid:0) tức là tập tất cả các phần tử đại số trên

p(cid:0) .

Irr

x , )

bất khả

Với mọi

,  đại số trên

p

p (cid:0)

p(cid:0) do đó tồn tại đa thức

( ,  (cid:0)

quy, hệ số thuộc

p(cid:0) mà hệ số đầu tiên là 1 nhận  làm nghiệm dạng:

n

n

1 

Irr

x , )

x

x

( , 





...  

a x a  1 0

p

a n

1 

(cid:0)

n

. Có thể chứng minh được

là chuẩn trên trường

Ta định nghĩa

a 0

p

p

p(cid:0) và là mở rộng của chuẩn p – adic trên

p(cid:0) .

Trường

p(cid:0) cùng với chuẩn vừa xây dựng không đầy đủ. Làm đầy đủ

p(cid:0) theo

ta sẽ được trường các số phức p – adic kí hiệu là

p(cid:0) .

p

thì

Với

 và khi

0 ,

n

n    ,

n

p (cid:0)

 p

p

p

  với n đủ p

lim n n

lớn. Chúng ta cũng mở rộng

.

log

x

 

ord cho p

ord x p

p

p(cid:0) :

p

Từ đây trên các tập số p-adic ta sẽ xét chuẩn p-adic và quy ước viết

nghĩa là

.

p

  p

Định lý 1.13 (Tính chất của trường

p(cid:0) )

i)

p(cid:0) đóng đại số

,

0

:r

x

x

x

p

r

ii) Với mọi

,







p

(cid:0)



  (cid:0)

9

Mệnh đề 1.14

Giả sử  là một căn nguyên thủy bậc

np của đơn vị với số tự nhiên n nào đó.

n

n

)

p

p

1  

1

1/( p

.

Khi đó,





p



Chứng minh

1

Đặt

u   .

n

n

n

p

p

p

1 

n

n

1 

p

p



Xét

n

n

n

1 

1 

p

n p X 1 n  p X

n p X 1 n  p X

1 

f X (

)

[

X

]

(1 X 1   ) ( f X X p    ...   ) p X p  1  ...   1  (1 ) 1 X X    ...  

. Ngoài ra

Do

np

np  và 1

p

 (cid:0)

bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh được f(X) thỏa các điều kiện của

tiêu chuẩn Eisenstein và do đó f(X) chính là đa thức bất khả quy trên

p(cid:0) với hệ số

đầu tiên là 1 nhận u làm nghiệm.

n

n

n

n

p

p

)

p

p

1  

1  

1  nên u là nghiệm của đa thức

1/( p

1/ p

Theo định nghĩa

hay

. ■

p

p

u 1    

1.3. Hàm chỉnh hình p-adic

Mệnh đề 1.15



Một chuỗi vô hạn

p

 với n

n

n

0



 0 a n a n a  (cid:0) là hội tụ khi và chỉ khi lim 

Mệnh đề 1.16



1

r



Xét chuỗi

gọi là bán kính hội tụ của

p

(cid:0) , đặt



n

0



a n

lim sup n n 

chuỗi. Khi đó:

 Với mọi

r : chuỗi hội tụ.

z  (cid:0) , z p

 Với mọi

r : chuỗi phân kì

z  (cid:0) , z p

n

n

0

 Với mọi

r : chuỗi hội tụ khi

na r  , phân kì khi

na r  0 .

z  (cid:0) , z p

,n  a z n a n

10

Định nghĩa 1.17

:

(0, )

Hàm

p

f D r  (cid:0) gọi là hàm chỉnh hình trên D(0, r) nếu f(z) biểu diễn



n

được dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ, tức là

f z ( )

a z n

  hội tụ trong D(0, r).

n

0



Định nghĩa 1.18

n

[[ ]] {

z

f

...

}

Gọi

.







...  





p

a z n

a i

p

a 0

a z 1

(cid:0)

(cid:0)

z [[ ]]

, ta xây dựng 2 phép toán cộng và nhân như sau:

Trong

p

(cid:0)

n

n

z [[ ]]

f

g

...

Với

thì





...  

 , ...





...  

 thuộc

p

a z n

b z n

a 0

a z 1

b 0

b z 1

(cid:0)

n

f

(

)

(

(

a

g  







...  



 ...

b z ) n

n

a 0

b 0

a 1

b z ) 1

n

f g .

...





...  

c z n

c 0

c z 1

 trong đó n c

a b i

j

 

i

j n

 

z [[ ]]

là vành, gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số

Khi đó

p

(cid:0)

thuộc

p(cid:0) .

Định nghĩa 1.19



n

n

(

)

f

z [[ ]]

Cho r > 0, định nghĩa

. Ta chứng







0 

A r

p

a z n

p

a r n

(cid:0)

(cid:0)



0

n



  

  

)

z [[ ]]

minh được

là vành con của

.

p

p

A (cid:0) ( r

(cid:0)

n

f z ( )

(

)

, đặt

Với





...  



a z n

A r

p

a 0

a z 1

(cid:0)

n

r f ( ,

) max





gọi là hạng tử tối đại của f.

a r n

n

n

r f ( ,

) max{ :

r f ( ,

)}









n a r n

Mệnh đề 1.20

n

f z ( )

(

)

Cho r > 0,

. Khi đó:





...  



a z n

A r

p

a 0

a z 1

(cid:0)

)

)

là chuẩn phi Archimede trên vành

.

i)

r f ( ,

p

A (cid:0) ( r

)

)

ii)

đủ đối với

.

r f ( ,

p

A (cid:0) ( r

11

)

iii)

trù mật trong

.

p z [ ]

p

(cid:0)

A (cid:0) ( r

Định lý 1.21

Cho r > 0.

k

k

f z g z ( )

( ),

z [ ]

Giả sử

với

r g ( ,

)

. Gọi





g z ( )

n n b z

p

b r k

 (cid:0)

  sao cho

n

0



Q(z) và R(z) lần lượt là thương và dư trong phép chia f(z) cho g(z) tức là

f z ( )

g z Q z ( ) ( )

R z ( )

r f ( ,

) max{ ( ,

r g

r Q ( ,

),

r R ( ,

)}

. Khi đó

.











) 



Chứng minh

)

r f ( ,

) max{ ( ,

r g

r Q ( ,

),

r R ( ,

)}

r f ( ,







) 



Do định nghĩa

dễ thấy

. Để

chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước tiên ta xét trường hợp r = 1.

) 1

Không mất tính tổng quát giả sử

g (1,

 do đó ta cần chứng minh

max{ (1,

Q

),

(1,

R

)}

(1,

f

)







(*)

Thật

ra

ta chỉ cần chứng minh

(*) đúng

trong

trường hợp

r

max{ (1,

Q

),

(1,

R

)} 1





Q

),

(1,

R

)}

a

p

 . Thật vậy, giả sử max{ (1,

. Khi đó









1

1,



( ) g z

1,

,

1,

1

và max

nên

hay







Q a

R a

( ) f z a

( ) Q z a

( ) R z a

f a

  

   

  

   

  

      

  

f

a

Q

R

(1,

)

max{ (1,

),

(1,

)}

.











Để chứng minh

1

1

 ta giả sử ngược lại

 . Khi đó nếu

 f 1,



 f 1,



n

i

1

(0,1)

(0,1)[ ] z

với mọi i hay

f D 

f

a  suy ra i

ia D

a z i

  thì max

i

i

0



Q

R

Q

R

Q R D

),

(1,

)} 1

(1,

),

(1,

) 1

,

(0,1)[ ] z

.

Do max{ (1,

 nên

 suy ra











D

(0,1)[ ] z

( ) f z

( ) g z Q z

( )

( ) R z

Xét trên vành

ta có 0







D

(0,1)[ ] z

) 1

g

deg

R

deg

R

1

suy ra

Vì

 hay

k  



0Q  và như

g (1,

kb  nên deg

R z Q z D

Q

R

( ),

( )

(0,1)[ ] z

),

(1,

)} 1

vậy

do đó max{ (1,

0R  hay



 (mâu thuẫn





với điều giả sử ban đầu của ta).

12

Q

R

f

)

(1,

),

(1,

)}

(1,

)

Tóm lại (*) đúng hay max{ (1,

.

  g





*

Giờ xét

khi đó tồn tại

r .

* p

r  (cid:0)

a  (cid:0) sao cho a

p

n

h

...

( h az

)

Với





...  

 , đặt





...  

 ...

a 0

a z 1

a 0

a z n

( ) h z a

n n a a z n

n

n

n

(1,

) max

( , ) r h

(**)

Rõ ràng













h a

a a n

a a n

a r n

max n

n

max n

f

( ) z

( ) ( ) g z Q z

và

.





a

a

a

( ) R z a

g

f

Áp dụng chứng minh trên với r = 1 thì

(1,

) max{ (1,

(1,

),

(1,

)}







) 



a

Q a

a

R a

Theo (**) ta có đpcm.



Cuối cùng giả sử

. Do

trù mật trong

sao

* p

* p

(cid:0) nên tồn tại

r  (cid:0) i

r  (cid:0)

* p(cid:0)

( , ) r h

với h là một trong các đa thức f, g, Q, R.







cho ir

r do đó lim ( , ) r h i i



) max

),

Vì ta đã chứng minh ở trường hợp 2,





) 



 

 )

( , r f i

( , r g i

( , r Q i

( , r R i

nên lấy giới hạn 2 vế ta có đpcm. ■

Định lý 1.22

k

k

f

.

(

)

( ) g z

[ ] z

Cho

và

sao cho





...  

r g ( ,

)





b 0

b z 1

b z k

p

A r

p

b r k

(cid:0)

 (cid:0)

Khi đó tồn tại chuỗi lũy thừa

(

)

( ) R z

[ ] z

và đa thức

sao cho

Q A r

p

p

(cid:0)

 (cid:0)

r g

( ) f z

( ) ( ) g z Q z

( ) R z

( , r f

) max{ ( ,

( , r Q

),

( , r R

)}

, degR < k và

.











) 



Chứng minh

f

(

)

Do tính chất iii trong mệnh đề 1.20 nên với

, tồn tại dãy các đa thức

A r

p

(cid:0)

f

[ ] z

hội tụ về f.

n

p

 (cid:0)

( )

z cho ( )

( )g z :

Gọi

nQ z và ( )

nR z lần lượt là thương và dư trong phép chia

nf

f

( ) z

( ) g z Q z

( )





k .

n

n

( ) R z n

(*) với deg nR

f

f

( ) z

( ) z

( )[

( )

( )]

( ) z

với

Khi đó











n

n

n

R n

( ) R z n

n

g z Q z Q z 1 

1 

1 

deg(

)

 k

R n

R n

  1

Áp dụng định lý 1.21 ta có:

f

r g

( , r f

) max{ ( ,

),

)}













) 



n

n

( , r Q n

Q n

( , r R n

R n

1 

1 

1 

13

(

)

( ,

là dãy Cauchy đối với

r  mà )

Do nf là dãy Cauchy nên

, Q R n n

A r

p

(cid:0)

)

( ,

)

( ) Q z

( ) Q z R z

đủ đối với

. Lấy





r  nên tồn tại

p

( A (cid:0) r

lim ( ), n n 

lim ( ) R z n n 

( ) f z

( ) ( ) g z Q z

( ) R z

giới hạn 2 vế của (*) ta có được





k nên

trong đó deg nR

r f ( ,

) max{ ( ,

r g

r Q ( ,

),

r R ( ,

)}

degR < k. Khi đó

. ■







) 



Định lý 1.23 (Định lý Weierstrass)

f

(

)

với r > 0.

Cho

A r

p

(cid:0)

( ) g z

[ ] z

( , r f

)

có bậc

và

Khi đó tồn tại đa thức





...  

 

b 0

b z 1

p

 b r 

 (cid:0)

h z ( )

chuỗi lũy thừa

thỏa:

  z [ ]

p

 (cid:0)

i) f(z) = g(z)h(z)

ii)

r g ( ,

)





b r 

iii)

(

)

h A r

p

(cid:0)

( ,

iv)

r h   1) 1

g

( , r f

)

( , r f

)

v)









x

r

(0, ) D r

và f có đúng

Đặc biệt h không có không điểm trong



:p

 x  



(cid:0)

D r (0, )

 không điểm trong

Chứng minh

( ) f z

Giả sử





 ...

a 0

a z 1

n

. Hiển nhiên

Đặt





...  

( ) g z 1

a 0

a z 1

a z 

   r g ( , 1 a r n a r  ) max n  

1  z

Ta có:

n

n

( f z )( )    ... g 1 a 1  

và

)

n

r f ( , ) r f ( , )       g 1 a r n a r n max n max ( , r f    

Do đó

0  sao cho

Chọn 1( ) 1 h z  .

) )   1  suy ra tồn tại   1  g 1 ) g 1 ) ( , r f  r f ( ,  ( , r f  r f ( , 

14

Giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng tồn tại dãy các đa thức

và

0

ih sao cho:

r g ( ,

(1)





)i

b r i 

  ...   g z ( ) i b i b z 1 i b z i 

(2)

i

r f ( , g ) r f ( , ), 1)         r h ( , i

(3)

i 

Ở phần đầu ta đã chứng minh điều này cho trường hợp i = 1.

Giả sử ta đã xây dựng được dãy các đa thức

r f ( , ) r f ( , )    g h i i

i

(

)

z [ ]

Theo định lý 1.22, tồn tại chuỗi lũy thừa

và đa thức

Q A r

i

p

R i

p

(cid:0)

 (cid:0)

g h thỏa các điều kiện 1, 2, 3. ,i

sao cho

i

i

i

i

với deg iR 

f z ( ) g z h z ( ) ( ) g z Q z ( ) ( )    R z ( ) i

và

i

r f ( , ) max{ ( , r g ), )}     )   g h i i r Q ( , i r R ( , i

Định nghĩa

i

i

1 

1 

g g    R h , i i h Q  i i

Do mệnh đề 1.20

nhưng theo (2) lại có

i

i

r f ( , ) max{ ( , r f ), r g ( , )} g     

nên

và do đó

.

i

i

i

r f ( , g ) r f ( , ) r f ( , g ) r g ( , ) r f ( , ) r g ( ,           )i

Ta có:

và

i 

i ( , r f  r f ) ( , 

i

)  ) )     r Q ( , i  ( , r g g h i i ) ( , r f 

do đó

.

i 

i

i

i

) r f ( , ) r f ( , ) r f ( , ) r g ( , ) r g ( , ) r g ( , )           r R ( , i g h i i   1

Như vậy (1) đúng với i + 1 vì deg

i

Điều kiện (2) cũng đúng với i + 1 vì

deg  g   . R i

i

i

r f ( , ) r f ( , g ) max{ ( , r f g ), )} r f ( , )            R i r R ( , i g  1 i

và

Ngoài ra, chú ý rằng

) max{ ( , 1), )}   1         r h ( , i r h ( , i Q i r h i r Q ( , i 1)    1

i

i

i

i

i

1 

f f ( g )( ) f ( ) (1 )            R h Q i i g h i i g Q R h Q i i R i h Q   i i g h 1 i i 

và

Khi đó

1 i  

1 

như vậy (3) đúng với i + 1.

r f ( , ) ) max{ ( , 1), )} r f ( , )         r R ( , i r h i r Q ( , i g h 1 i i 

và

Hơn nữa,

i 

i 

i

i

  1

  1

r g ( , g ) ) r f ( , ) ) )         r R ( , i r h ( , i h i r Q ( , i

15

Do

i

j

g ) 1  nên { },{ } r  . ( , h là các dãy Cauchy đối với chuẩn i

tức là

Khi đó với 0

j

i 

i  ,

 , 1

j

i

i

1, 

1 

ib { }ij

 là dãy Cauchy với mọi j nên hội tụ. 1



j

r g ( , g ) r f ( , )      b i b r ij

,

Đặt

j

0

j



Rõ ràng

(điều kiện (ii) đúng)

b g z ( )  b ij   . b z j lim i 

)

r g ( ,

r g ( ,









ig

)i

 b r i 

 b r 

g và

sao cho

Vì

đầy đủ nên { }ih hội tụ do đó tồn tại

p

p

ih

(cid:0)

) ( ) h h A r A (cid:0) ( r

Theo điều kiện (3), cho i   ta có

đúng)

Điều kiện (iii) đúng là hiển nhiên do cách định nghĩa h.

Cho i   trong điều kiện (2) ta có điều kiện (iv)

r f ( , gh ) 0    nên f = gh (điều kiện (i)

(điều

Cho i   trong điều kiện (2) ta cũng có

kiện (v) đúng)

n

r f ( , g ) r f ( , ) r f ( , )      

Giả sử

h 1   ...    ... c z 1 c z n

Với z

n

n

t ( , 1) t h ( , 1) r h ( , 1) 1   , do r h   tăng nên      do đó

1 ( ) 1 z  suy ra h z  tức là h không có không điểm trong  c n c t n max n max n

D r . (0, )

Gọi 1,..., z

g z ( ) )...( z )    z 1 z là các không điểm của g. Khi đó b z (  z 

và như vậy

Điều kiện (ii) kéo theo

) r   r g b ( , / 

suy ra

.

j

1,..., 

jz

 max ,









  ... max ,



(0, )

D r nên f

Do đó g có đúng  không điểm, h không có không điểm trong

r  r với r z 1 r z 

cũng có đúng  không điểm trong

D r . ■ (0, )

16

1.4. Xây dựng tương tự p – adic của hàm log

Mệnh đề 1.24

n



n

1 

Miền hội tụ của

là D(0, 1)

n

1 

( 1)  z n

Chứng minh

n

Bán kính hội tụ của chuỗi trên là

n

1 r n   lim n 

lim n  1 n

ord n .p

trong đó (m, p) = 1. Khi đó

Với mọi số tự nhiên n,





ord n p

n

n

ord n .p

n m p 

suy ra

n

chuỗi lũy thừa hội tụ trong D(0, 1).

1

1 p p n n n 1      hay r = 1. Vậy  do đó lim  1 n 1 m 1 n n

Tại

  0 . Vậy tại

p

: lấy dãy số { }kn mà (

kn p  . Khi đó

(cid:0)

1 kn

z

,

z

1

, chuỗi phân kì. ■





p

(cid:0)

n



n

 1

log(1

)

( 1)

z

Trong giải tích phức, hàm log được định nghĩa là

hội







z n

n

 1

tụ trong (–1, 1] . Giờ trong giải tích p – adic, sự hội tụ được xét với chuẩn p – adic

n



n

 1

( 1)

thì

hội tụ trong đĩa D(0, 1) và hàm log lúc này được định nghĩa như



z n

n

 1

sau :

z , z 1 ) 1 ,  

Định nghĩa 1.25

n



n

 1

log :

D

(0,1)

log(1

)

( 1)

z





 (cid:0) với p



z n

n

 1

Định lý 1.26

Hàm log có các tính chất sau đây:

17

p

E

:

z

1 p  1

E

i) log :1 E

  đẳng metric với



p

(cid:0)

  z     

    

np

ii) Tập tất cả các không điểm của log(1 + z) là

1 1 







n

Chứng minh

i) Để chứng minh i, ta cần chứng minh những điều sau:

1z

)z

 Nếu 1

E    thì log(1

  E

,...,

,

 thì E

Thật vậy, nhận xét rằng nếu 1 x

x n

x n

 1

x 1

x 1

1 

1 

ord

ord

n

(

(

...

)

( !)









p

p

ord x 1 p

x n

ord n p

1 

... x n n

... x n n !

  

  

  

 1)!  

p

1 1 

x 1

0

suy ra

.

1









1   và do đó

1... x n

1 1

... x n n

n p

S n p

 

n S  n 1 p 

1  1 

2

3

4

n

p

1 1 

x n p 

hay

Vì vậy, với z E ,

n

log(1

)z

E

  .

z p log(1 )       ... max   z n z 1 z 2 z 3 z 4

.

 Nếu 1

2,z z

2

2

Sử dụng nhận xét trên ta có:

2

1 



1 

log(1 ) log(1 z ) z E thì      z 1 z 1

n

1 

2

n z 1

n z 1

n 2

2

z z  ...   z 1 VT z 1 ( 1) ... VP        z 1  2 z 2 n

2

,…,

(vì

2

2

1 



1 

1 



1 

z z 1 max , 1    2 z 1 2 z 2 2      

n z 1

n z 1

n 2

n z 1

2

).

n z 1 n

n 2 n

E

Tóm lại, hàm log :1 E

  đẳng metric.

z z z  ...   max , ,..., 1   z 2 n n        

18

ii)

n

n

np

p

p

1  

1/ p

 Lấy

1 1

z 

 . Do mệnh đề 1.14 ta thấy

do đó log(1 + z) tồn tại.

n



n

n

np

1 

z 1 (0,1)   nên z D

Vì (

1)

1

do đó log(1+z)=0.

z 

 suy ra



n

1 

log(1 ) log1 0 p z    ( 1)   0 n

 Ngược lại, giả sử có

mà log(1 + z) = 0

np

(0,1) z D

với mọi n trong đó

Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp

n 1  



.

z p

max{ ,

1 }





Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với n = 0. Giả sử nó đúng với n ta cần chứng

minh nó đúng với n + 1.

npz )

(1 z )  1  

. Khi đó:

Đặt (1

1n a   

p

n

n

1 

p

p

p

p

p

1 

a 1    , do giả thiết quy nạp ta có

1 C a p

1 p  C a p

p

p

2

1 



1 

(1 z ) (1 z ) ( a 1) a  1    1    1    ...      

1 C a p

p p

p

p

2

1 



1 

k

1

p 1,

a a C   ...  

,

 nên với

dễ thấy

Vì

1n a   

1 C a p

p p

k pC p

1 

np

2



a C  ...    

do đó

n a   

np

np

(1 z )  1  

Vậy

mà

1 n  

n



np

p

(1 z ) z ) 0 1  1   1 nên lim (1    do đó với n đủ lớn

1 1 p 

E

suy ra (1

npz )

1



  .

E

Vì log :1 E

  đẳng metric nên đơn ánh.

np

np

n

(1 z )  1  

z

p

z

suy ra (1

Do đó log(1

)

log(1

)

0 log1







 

 hay 1

npz )

1 1 z   . ■

19

Chương 2 : PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN (cid:0) p

Trong chương này ta quy ước viết

nghĩa là

.

p

2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p - adic

Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1

Tập hợp các số tự nhiên (cid:0) trù mật trong

p(cid:0) .

Chứng minh

Với mọi

p

n

x  (cid:0) , giả sử x có biểu diễn p – adic dạng

ia

n

. Rõ ràng

Khi đó, với mỗi số tự nhiên n, ta xét

x ... {0,1,..., p   ...    với   1} a p n a 0 a p 1

nx  (cid:0)

n

n

1 



  ...   x n a p n a 0 a p 1

và

1 

nên lim n x n



Từ mệnh đề 2.1 ta có ngay nhận xét:

x p ... p x      . Mệnh đề được chứng minh. ■ x n a n

Nhận xét 2.2

Nếu

là dãy các phần tử của

p(cid:0) thì tồn tại nhiều nhất một hàm

f

:

,... a a 2, 1

p

(cid:0) p

(cid:0) liên tục sao cho

với mọi n  (cid:0) .

f n ( ) a n

Chứng minh

Nhận xét này được suy ra dễ dàng từ mệnh đề 2.1 và một kết quả trong tôpô:

Cho X, Y là các không gian metric.

thì f = g. ■

f g X : , Y là hai hàm liên tục. Giả sử

A X trù mật trong X. Khi đó nếu A f

A

g

là dãy các phần tử của

Sau nhận xét 2.2, ta thấy rằng nếu cho trước

f

:

,... a a 2, 1

p

p(cid:0) thì có tối đa một hàm

(cid:0) p

(cid:0) liên tục sao cho

với mọi n  (cid:0) .

Nhưng một câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại một hàm f có tính chất như vậy? Ta có

định nghĩa sau:

f n ( ) a n

20

Định nghĩa 2.3

các phần tử trong

Dãy 1

p(cid:0) gọi là nội suy p – adic nếu tồn tại một hàm

,... a a 2,

p

(cid:0) liên tục sao cho

với mọi n  (cid:0) .

Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.3 bằng một định nghĩa khác dễ hình dung hơn thông

qua định lý sau :

f : f n ( ) a n (cid:0) p

Định lý 2.4

các phần tử trong

Dãy 1

p(cid:0) là dãy nội suy p – adic khi và chỉ khi ánh xạ

g

:

p

liên tục đều.

(cid:0) n

(cid:0) a n



,... a a 2,

Chứng minh

 Điều kiện cần:

f

:

là dãy nội suy p – adic tức là có hàm

p

Giả sử dãy 1

(cid:0) p

(cid:0) liên tục

,... a a 2,

sao cho

Do

p(cid:0) là tập compact nên f liên tục đều trên

p(cid:0) , suy ra f liên tục đều trên (cid:0)

f n ( ) a n    (cid:0) . n

chứng tỏ rằng

(cid:0)  liên tục đều.

 Điều kiện đủ:

g f : n  a n

Giả sử hàm g liên tục đều. Ta tìm cách xây dựng hàm

p

(cid:0) liên tục mà

f : (cid:0) p

.

(cid:0)

f g

.

Với mỗi

(cid:0) , tồn tại { } x n

: X X   (cid:0) p x (cid:0) n

(*)

Vì g liên tục đều trên (cid:0) nên ( ), x y ,     

(cid:0)

0, : x y g x ( ) g y ( )            

.

Do nx

X n N ( ) :   X nên tồn tại N N      x n

21

,n m N

Do đó với

:

(

X

)

(

) max















 nên theo (*) ta có

x m

x n

x m

X x  n

x m

X x , n



 X 

là dãy Cauchy trong

Như vậy, ta đã chứng minh 

 )ng x (

p(cid:0) mà

p(cid:0) đầy đủ

) )   .  g x ( m g x ( n

.

nên tồn tại

L g x  )n lim ( n 

Giả sử có

' nx

' n

'{ }nx  (cid:0) ,

{ 0 } X suy ra x  . Do g liên tục đều nên x n

.

' g x ( n

' )n

f

:

f X (

)

g x

Giờ ta định nghĩa

, ta đã chứng minh f



p

)n

(cid:0) p

(cid:0) cho bởi

lim ( n 

được xác định tốt và dễ thấy f

. Ta chỉ cần chứng minh f liên tục đều trên

) )} 0 L g x   do đó  g x { ( n lim ( n 

p(cid:0) .

(cid:0)

,

Lấy



 ( được xác định trong (*))

p

X Y  (cid:0) thỏa X Y 

g

nx

ny

Do (cid:0) trù mật trong

X , Y . x n y  (cid:0) sao cho p(cid:0) nên tồn tại { },{ } n

Suy ra, tồn tại

:

. Khi đó

n

X y Y ,       với mọi N 1 N  1( ) n N 1 x n

nên

n

n

n



  Y 

y ( X ) ( ) Y ( y ) max , ,     X Y      X X Y y   x n x n x n

theo (*) ta có

.

n

) g y ( )    với mọi n N 1 g x ( n

Theo cách xây dựng f ta có

do đó tồn tại

n

f X ( ) ), f Y ( ) g y )   g x n lim ( n  lim ( n 

thì

2N sao cho với mọi

2

f X ( ) g x ( f Y ( ) g y (  n N   ,    . Khi đó với )n )n

ta có:

2

n max( )  N N , 1

n

n

f X ( ) f Y ( ) ( f X ( ) )) ) g y ( )) g y ( ( ) f Y ( ))        g x ( n g x ( ( n

n

n





do đó f liên tục đều trên

p(cid:0) .■

max f X ( ) ) , ) g y ( ) , g y ( ) f Y ( )       g x ( n g x ( n

22

Nhờ định lý 2.4 ta xây dựng được một định nghĩa khác tương đương về dãy nội

suy p – adic như sau:

các phần tử của

Dãy các phần tử 1

p(cid:0) là dãy nội suy p – adic nếu

N

,m n

thì

,... a a 2,

0, N

n m p

 





 (cid:0) thỏa

  (cid:0) sao cho

Thật ra, có thể làm mạnh hơn định nghĩa trên như sau:

   (1). a n a m

0, N

 

N

  (cid:0) sao cho n  (cid:0) thì

N

  (2). a  n a n p 

tức là

Thật vậy, giả sử có (2). Khi đó với mọi

N

n m p   ,m n  (cid:0) , n > m,

với b  (cid:0) , ta có:

b

n m bp  



N

N

N

N

N

m



1)

1)

p

p

m jp 

m j (  

m jp 









j

1 

Ta đã có (1). Vậy (2)  (1) còn (1)  (2) là hiển nhiên.

Ta lại tiếp tục có một định nghĩa tương đương sau :

a a a a         a n a m a m bp  a m j (   max j

Định lý 2.5

Dãy

các phần tử của

2, a a 1

p(cid:0) là dãy nội suy p – adic khi và chỉ khi

,...

0  .

j

lim sup j 

n

 a n a n p 

Chứng minh

 Điều kiện cần:

Lấy

0  .

,...

Do dãy

các phần tử của

p(cid:0) là dãy nội suy p – adic nên theo định

a a 2, 1

0j

nghĩa (2) ở trên, tồn tại 0j  (cid:0) sao cho với mọi n  (cid:0) thì

  . a  n a n p 

Khi đó, với mọi

,

j j 0

23

(

a

)

(

)

...(

)















j

j

j

j

j

j 0

j 0

j 0

j 0

a n

a n

a n p 

a n p 

p

p

p

2

n p 



a n p 



a n p 



a n p 

a



 .





 với mọi n suy ra sup



j

j 0

a  n

a i

n p 

a i p 





max i

n

j

Vậy lim sup j 

n

 Điều kiện đủ:

Lấy

  . 0 a n a n p 

0 .

thì

j

0j  (cid:0) sao cho với mọi

Do lim sup j 

n

0  j  nên tồn tại a n j 0 a n p 

j

j

  do đó  a  n a  n  với mọi n  (cid:0) . a n p  a n p  sup n

là dãy nội suy p – adic. ■

Vậy theo định nghĩa (2), 1

Ta tổng kết lại một số định nghĩa tương đương của dãy nội suy p – adic như

sau:

,... a a 2,

(1) Tồn tại một hàm

p

(cid:0) liên tục sao cho

với n  (cid:0) .

f : f n ( ) a n (cid:0) p

(2) Ánh xạ

p

(cid:0) liên tục đều.

: g (cid:0)

N

0, N

n m p

thì

(3)

 

n a n





  (cid:0) sao cho

,m n    a n a m  (cid:0) thỏa

(4)

N

    (cid:0) sao cho n  (cid:0) thì

0, N   a  n a n p 

j

(5) lim sup j 

n

Ta kết thúc mục này bằng một tính chất của dãy nội suy p – adic.

  0 a n a n p 

Định lý 2.6

là dãy

Nếu 1

tồn tại thì dãy 1

là dãy nội suy p – adic và lim n a

n



hằng.

,... ,... a a 2, a a 2,

24

Chứng minh

Giả sử lim n a n



 Cách 1:

a .

Dùng phương pháp phản chứng ta giả sử có số tự nhiên n0 sao cho

0na

a a với mọi n.  . Ta cần chứng minh na

Đặt

là dãy nội suy p – adic nên theo định lý

j

. Do 1

j

A ,...   a a 2, a n a n p  sup n

suy ra

j

j

j

2.5, lim j 

a a  n 0 a a  n 0 A    A 0  do đó với j đủ lớn ta có a n a n p  2 2

a

 ta có

j

với mọi n. Riêng với n0 thì

. Cho j   , do lim n a

p



n



a a  n 0

a a  n 0   a n 0 a n 0 2

suy ra

(trái với giả thiết phản chứng).



0n

a a  n 0

2

Vậy ta có đpcm. ■

 Cách 2:

0 a  hay a a a n 0

là dãy nội suy p – adic nên có hàm :

Do 1

p

(cid:0) liên tục sao cho

,... f a a 2, (cid:0) p

\p

p(cid:0) nên với mọi

x  (cid:0)

(cid:0) , tồn tại dãy số tự nhiên

Vì (cid:0) trù mật trong

f n ( ) a n    (cid:0) . n

Giờ ta chứng minh

f x ( ) ) a x . Do f liên tục nên    (*) { }kn f n k a n k lim ( k  lim k 

(cid:0) trù mật trong

p(cid:0) . Xét số tự nhiên m bất kì. Rõ ràng

n

n

m p

m

}n

dãy {

  khi n   (vì

\p(cid:0)

0 m p m p     khi n   ) do đó

suy ra { }m không là tập mở (**) (vì nếu ngược lại thì

là tập

p

p m \ { }

(cid:0)

m m \ { }  (cid:0)

vô lí). Ngoài ra, {m} là tập 1 điểm trong không

đóng nên

p

p

(cid:0)

(cid:0)

gian metric

p(cid:0) nên {m} là tập đóng và do đó cũng là tập không đâu trù mật (vì giả

sử có

m m \ { } m \ { }  

0 0 { } { } m m 

thì {m} chính là tập mở duy nhất chứa x0 nhưng điều này mâu

thuẫn với (**)).

 x 0

25

Chú ý rằng

là các tập không đâu trù mật nên theo định

p(cid:0) đầy đủ,

lý Baire về phạm trù,

{ }m (cid:0)

(cid:0) trù mật trong

p(cid:0) suy ra với số tự nhiên n bất kì, tồn

\p(cid:0)

tại dãy { }

. Áp dụng tính chất (*) cho { }

p

p

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0) ta có

\ , n \   x k x k x  (cid:0) k

f x ( f n ( ) ) a với mọi k. Khi đó    . ■ a )k a n f x k lim ( k 

2.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p – adic

k

Ví dụ 1: Dãy

na

với k  (cid:0) là dãy nội suy p – adic.

n

Chứng minh

Ta có:

2

k

j

k

j

1 



1 



j k )

j k )

j k )

j  

k

là dãy nội suy p – adic. ■

nên theo định lý 2.5, dãy

( n p n p ( n p ( n p n n p 0 p       ...   

na

n

Ví dụ 2: Dãy n a

với k  (cid:0) là dãy nội suy p – adic.

n k p       

Chứng minh

j

j

k

j k 

p

Với j đủ lớn thì

nên

.

p

j

n p   p k  p n k p            

j k 

k j 

Do đó

khi j   . Theo định lý 2.5,

là dãy nội suy p – adic. ■

a dãy n

n k p

   

  

n p p 0     p k  p n k p            

( 1)n

Ví dụ 3: Dãy

là dãy nội suy p – adic khi và chỉ khi p = 2.

na  

Chứng minh

Dãy an là dãy nội suy p – adic

j

n

jp

n p 

( 1) ( 1) ( 1) 2 0 1 p         . ■    khi j   0

26

2.3. Nội suy p – adic hàm số mũ

Bổ đề 2.7

py

Giả sử 0

1  ,

  thì

p

1y 1 1 y   với y  (cid:0) . Khi đó nếu

.



1   )p

max( , 

Chứng minh

Đặt

p

p

1y a   . Do giả thiết nên a  .

p 1 a 

Ta có:

1 p

2 C a p

k

p

1 

1 

1 

y a ) 1 ( y 1)( C ) 1 (1        ...  

Do

nên

và

p 



1  p

k pC a

k pC p 

py

1, p 1 a k      do đó

. ■

1 p 

y 1 max( , ) 1   

Định lý 2.8

Các khẳng định sau là tương đương:

i)

p

 x  

 1

 (cid:0) p

(cid:0)

np

a

 1

ii) lim n 

a : 1 x  

Chứng minh

 i

np



a

ii

với

.

Nếu



n 1  

p

 (cid:0) thì

Giả sử có i, ta chứng minh kết quả sau bằng quy nạp: 1



Với n = 0: bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Giả sử khẳng định của ta đúng với n, ta sẽ chứng minh nó đúng với n + 1.

max 1 , p a a 1    

Do

p

 (cid:0) nên

n

n

n

2

p

p

p

1 



a a 1 1 1 a    .

Khi đó

n

n

np

p

p

p

a 1 a 1 a a ... 1          a 1 1

ta có (

Áp dụng bổ đề 2.7 với

y a ) 1 a  . 1 1a  và a 

27

1 

2

np



Do đó áp dụng giả thiết quy nạp ta có

. Khẳng định ban đầu của

n 1 

ta được chứng minh.

np

np

a  

1  nên

Vì

n 1  

n

 ii

a 0 a 1    . 1  khi n   . Vậy lim 

n

n

p

p

np

i

1

a

npa   do đó 1 1

 nên với n đủ lớn ta có

Do lim n 

1

suy ra

a  .

a a    1 1 1

Đặt b = a – 1, ta cần chứng minh

1 b  . Bằng phương pháp phản chứng giả sử

n

n

n

n

n

2

p

p

p

p

1 



1 

1 b  .

Ta có:

(*)

1 C b n p

p n p

n

p

1 a b ( 1) b b C  1    1    ...  

Do

với

k 1 C b    (vì

n

n

k p

k p

n

n

n

2

p

p

1 



1 

1 k 1n b  và 1 p 1,  ) nên C p

= 1 mâu thuẫn với (*). ■

n

1 C b p

p n p

b C  ...  

Hệ quả 2.9

p

    p

 p

a a C C

Chứng minh

n

n

p

p

p

)

1

a C

a

a

C

a

1  

Theo định lí 2.8,

p    . ■

   p

 p

lim n 

lim( n 

là dãy nội suy p – adic khi và chỉ khi

.

a C  p

Định lý 2.10 Dãy  na

Chứng minh

j

j

p

n

n p 

a

a

0

n a a

1



  0

 Điều kiện cần: Dãy  na

j

j

là dãy nội suy p – adic nên lim 

 hay lim 

jp

jp

a

 . 1

a

1

0

j

  tức là lim 

j

suy ra lim 

28

Vậy theo định lý 2.8,

.

a C  p

 Điều kiện đủ:

j

j

n

p

n p 

a

a

a

1

a

a

a

1

Giả sử



1  





  với 0

a C  suy ra p

j

 và lim 

lim j 

j

n

n p 

a

a

mọi n (định lý 2.8) suy ra lim sup



 . Vậy theo định lý 2.5, dãy  na 0

j



n

là dãy nội suy p – adic. ■

Định nghĩa 2.11

Với mọi

x .

p

a

là dãy nội suy p – adic

Khi đó với

p

x  (cid:0) , ta đã biết rằng tồn tại dãy số tự nhiên { }nx  (cid:0) , theo định lý 2.10 ở trên, dãy  na

x

a

a

:x

. Hàm số

nên cho phép ta đặt



p

(cid:0) p

(cid:0) gọi là hàm số mũ p – adic.

lim nx a n 

Chúng ta kết thúc mục 2.3 này bằng một số tính chất của hàm số mũ đã định

nghĩa.

Định lí 2.12

a

Với mọi

p

p

x y  (cid:0) , ,

 (cid:0) ta có :

x

a

i)

p

 (cid:0)

y

a

x a a

ii)

x y  

x

x



1 

a

(

a

)



iii)

(

)

ord

x y 

x

y



p

iv)

a

a

a

1

max

a

1 ,

p





 với











1

x

x

ab

)

x a b .

v) (



xy

a

)x y

vi) (

a

Chứng minh

Do

a

a

1 1 1

xa tồn tại và

a    .

p

 (cid:0) nên hàm

29

Với

p

,  ny

x y  (cid:0) , do (cid:0) trù mật trong ,

p(cid:0) nên tồn tại dãy số tự nhiên { }nx

y .

sao cho { }nx

x ,  ny

i) Với mọi n  (cid:0) , ta có:

2

n

n

1 



2

n

n

n

1 



a

a

a

a

a

a

a

a

a

  



   

   do đó 1 1





x

n

a

a



p

 p

 (cid:0) mà

(cid:0) đóng, vì vậy

  (cid:0) . p

1 1 ... 1 1 max , ,.., ,1

y

y



y

x y 

x n

n

n

a

m n a a .

a

a

x a a .

ii) Với

, khi đó

m n  







lim nx a n 

x a a lim . n n 



1

n

n





x

x

1

1







x n

x n

,n m  (cid:0) ta có lim n 

a

a

a

a

a

a

khi đó

.









iii) Với n  (cid:0) ta có

)



m

n

ord m n ( p

( ) ) ( ) lim n  lim( n 

a

a

a

iv) Trước hết ta chứng minh với







 (*)

m n

ord m n (

)

.k p l

1 ,m n  (cid:0) ,

k l ,

k l

với

, tức là

Thật vậy, giả sử

 



 . k





p

(cid:0)

Ta có:

k

k

k

k

k

2

m

n

p

l

p

p

l

p

l

p

m n 

1 



,( , ) 1

a

a

a

a

a

a

a

a











kp

k

( ) 1 ( ) ( ) 1 1   1   ... 1   

a

do đó nếu ta chứng minh được

 (**) thì bất đẳng thức (*) được

a 

chứng minh.

Với k = 1: (**) đúng (bổ đề 2.7).

Giả sử bất đẳng thức đúng với k, ta sẽ chứng minh nó đúng với k + 1.

kp

a

a

Do

p

p

 (cid:0) nên

 (cid:0) (hệ quả 2.9). Khi đó theo giả thiết quy nạp và bổ đề

k

k

k

1 

p

p

p

p

1 

1 1

a

a

a

a

a

2.7 ta có

 tức là bất đẳng



k . 

k 

thức đúng với k + 1.

)



m

n

ord m n ( p

a

a

a

Tóm lại,







 . 1

(

)

(

)

ord

y

ord



x y 

x

y

x n

p

n

p

x n

x m

a

a

a

a

a

a

Khi đó









( ) 1 1   1   1   1  

 1





a b ,

a b .

v) Trước hết ta chứng minh nếu

p

p

 (cid:0) thì

 (cid:0) .

1   lim n  lim n 

30

a b ,

a

b

Thật vậy do

nên



 . Khi đó:

 (cid:0) p

ab

a b (

1 max

1)

a

1 ,

b

1

1  

a    





 1





a b .

tức là

1, 1

p

 (cid:0) suy ra (

n

n

)xab tồn tại.

a b ,

ab

n a b .

.

Với



p

 (cid:0) , n  (cid:0) ta có (

x

x

x n

x n

)

ab

ab

x a b .

.

Khi đó (







x a b lim . n n 

x

a

a

) ) lim( n 

vi) Do

.

p

p

 (cid:0) nên theo i,

 (cid:0) do đó tồn tại (

y

xy

m n .

x n

n

x y . n

n

)x ya

x y )

a

a

a

a







m n ,

a

a

. Khi đó

. ■

Với





(cid:0)

( ) ,( )m n lim( n  lim n 

Hệ quả 2.13

p

n p (

1 

1) 

a

a

Nếu

là dãy nội suy p – adic.

* a  (cid:0) thì dãy p

1, ,..., ,...

Chứng minh

k

a

Với





 với





 ) 1

a 0

a p 1

p a p 0

a p k

ia

* a  (cid:0) , giả sử p

p 1 (mod )

do đó

1  

Do (a0, p) = 1 nên theo định lý Fermat ta có

pa 0

p

p

1 

1 

1 

1 

... 0 , ( , ...  

a

p 1 (mod )

pa

p

a

1p C

suy ra





 tức là

a 0

 . p

p

n p (

1 

1) 

1 1  

a

a

là dãy nội suy p – adic. ■

Theo định lý 2.10, ta có dãy

1, ,..., ,...

2.4. Nội suy hàm gamma p – adic

z ( )

z

z

đơn tại 0, –1, –2… thỏa

Hàm gamma  trong giải tích phức là hàm chỉnh hình trên (cid:0) với các cực điểm do đó

với

\ {0, 1, 2...}  

z 

    



(cid:0)

(1) 1, 1) (

n

n

  

với mọi n  (cid:0) .

Một cách tự nhiên trong trường hợp giải tích p – adic, câu hỏi đặt ra là liệu có

1) ( !

n

tồn tại hàm liên tục

hay không tức là nói cách khác,







p

p n ( )

(cid:0) p

(cid:0) thỏa

! :p

dãy

có phải là dãy nội suy p – adic hay không.

n

na

Tuy nhiên ta lại có mệnh đề sau:

!

31

Mệnh đề 2.14

Dãy

không là dãy nội suy p – adic.

n

na

!

Chứng minh

n

N 1 p 

Chọn

ta

lấy

, m = 1, rõ ràng

1  

 , với mọi N  (cid:0)

N

N

N

1 

N 1  



1 

1 

1 2

p

p

p

p

Np

p

và



n m 













   (do



a n

a m



(1 )! 1 1 (1 )!

Np  1

không là dãy nội suy p – adic. ■

nên



n

na

  p ). Do đó dãy

Định lý sau đây là cơ sở để xây dựng hàm gamma p – adic.

(1 )! 1 !

Định lý 2.15

/

Với p > 2, dãy

j là dãy nội suy p – adic.

a n

  n ( 1)

j n

1  

/

j hiểu là chỉ lấy tích tất cả các số j thuộc [1,n) mà (j, p) = 1)

(dấu



j n

1 

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh bổ đề (định lý Wilson tổng quát) sau:

1 

s

/

(

n

j

)

1(mod

p

)



 

Với số nguyên tố p > 2, n  (cid:0) , s  (cid:0) ta có

sp 

j

0



Chứng minh bổ đề

Gọi G là nhóm nhân các phần tử khả nghịch của

sp(cid:0) /

(cid:0) . Theo định nghĩa,

s

x G

y G x y :

.

1

y

:

xy

1

p

x

   

   





(cid:0)

 p



1 

/

j

)

Ta thấy các thừa số trong

lập thành tập đầy đủ các đại diện của G.

sp  ( n

j

0



1 

/

/

sp

(

n

j

)

Vậy nên, nếu gọi





:  (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) là phép chiếu thì

sp 

 . x

0

j



x G 

    

   

1 

x

x

x

thì các phần tử x và

1x  trong

Nếu



 bị triệt tiêu.

x G 

32

x

Vậy

  . x

2

x G 

x

1 

s

x

1)(

x

p

suy ra

Nếu

2 x  thì ( 1



1)  

s

s

x

1

x

1

p

1,

p

) 1

x

1

1

p

p   

( x  

  

x  







(

x

1)(

x

p





1)  

s

s

x

1

x

1

p

1,

p

) 1

x

1

p

p   

( x  

  

1 x   

  







1 

s

/

. Vậy

. ▪

Tóm lại

(

n

j

)

1(mod

p

)



 

  x 1

sp 

2

j

0



x

1 

Giờ ta đi vào chứng minh định lý.

Ta có:

s

p

1 

s

/

/

n

n

/

/

n p 

( 1)

j

( 1)

j

( 1)

(

n

j



 

 

  



s

a n





a n p 

s

j n

j n

0

j

1  



1  

j n p

1   

   j   

 ) 1    

s

Áp dụng bổ đề vừa chứng minh ta thấy

suy ra

0 (mod

p

)





s

a n

a n p 

s

p

0

do đó với mọi n,





  khi s   .

s

s

a n

a n

a n p 

a n p 

0



s

a n

 chứng tỏ na là dãy nội suy p – adic. ■

a n p 

Vậy lim sup s 

n

Dựa vào định lý 2.15 và nhận xét 2.2 ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.16

/

f

:

f n ( )

( 1)n

Tồn tại duy nhất một hàm

p

(cid:0) p

(cid:0) liên tục thỏa

   j

j n

1  

Định nghĩa 2.17

/

f

:

f n ( )

( 1)n

j

Hàm

p

(cid:0) p

(cid:0) liên tục thỏa

   với n  (cid:0) gọi là hàm

j n

1  

gamma p–adic, kí hiệu là

p .

33

Định lý tiếp theo cho ta một số tính chất của hàm gamma p – adic:

Định lý 2.18

Hàm

p thỏa các tính chất sau đây:

x khi x

1



x

(

x

:

với



1)   

p

x h x ( ) ( ) p

p

h x ( ) p

i) Với mọi  (cid:0) p

khi x

1

1 



    

(0) 1

(1)

ii)

 ,

  , 1

 (2) 1

p

p

p

:

x ( )

1

x  





p

p

(cid:0)

x y ,

:

x ( )

y ( )

y

iii)







 

x  

p

p

p

(cid:0)

Chứng minh

i) Với n  (cid:0) :

n

1 

/

n

)

j

(

)

n khi n p ( )

( ,

n ( 1) ( 



n   

) 1 

p



n

j

1 

n

/

1 

(

n

( 1)

1)

j



  

    

p



n

1 

j

1 

/

j

n khi n p ( )



( 1)   

p





j

1 

  n ( 1) ( 1)  

Vậy

(

n

.



1)   

p

n h n ( ) ( ) p

p

Với mọi

,

x

. Khi



p

x  (cid:0) , do (cid:0) trù mật trong

p(cid:0) nên tồn tại dãy { } x n

x (cid:0) n

(

x

)

(

)

đó



1)  

1)  

p

x n

x h x n p n

lim (  p n 

lim (  p n 

)

x ( )

. Vì vậy, ta cần chứng minh



 

p là hàm liên tục trên

x n

p

p(cid:0) nên lim ( p n



)

.



h x ( ) p

h x lim ( p n n 

với n đủ lớn.

- Nếu

1x

x nên

thì do nx

1nx

)

)

Do đó

h x . ( )

1 

1   

h x ( p n

p

suy ra lim ( h x p n n



với n đủ lớn.

- Nếu

1x

x nên

thì do nx

1nx

)

)

Do đó

h x . ( )

)  





x   

h x ( p n

x suy ra lim ( h x p n n

x n

p

n



lim( n 

n

n

}np

p

0

ii) Xét dãy {

, rõ ràng

p  khi n   . Theo định nghĩa, ta có:

34

n

p

1 

n

n

p

/

(0)

p

)

j

( 1)( 1) 1

(định lý Wilson tổng quát).









 

 

p



lim (  p n 

lim( 1) n 

j

1 

(1)

(2)

và

được tính dựa vào tính chất i:

p

p

(1)

(0)

(0) 1( 1)



 

    1

p

ph

p

(2)

(1)

(1)



 

 

  ( 1)( 1) 1

p

ph

p

n

n

1 

1 

n

/

/

n ( )

( 1)

j

j

Ngoài ra, với mọi số tự nhiên n,



p

   . Vì

  p nên

j

j

1 

1 

n

1 

/

1

hay

.

 do đó

1

p

p

p n ( )

 j

x



x n

j

1 

x ( ) ( ) 1     x n lim , x  (cid:0) n

iii) Trước tiên ta chứng minh

với mọi

p

p

j

n ( ) ( m ) n m      ,n m  (cid:0) (*)

Giả sử

ta xét các trường hợp sau:

j

n m p  

 Trường hợp 1:

j

j

p

m p 

1 

1 

m

m

1 

1 

j

/

m

/

m

/

/

m p 

n m p  

p

p





  j 

j

j

j

j

0

1 

1 

1 



1 

1 

j

/



j

/

n ( ) ( m ) ( 1) j ( 1) j ( 1) (          m j  ) 1 

Do

nên

jp 

jp 

j

0



j

0



j



( ) 1 (mod p ) ( ) 1 p n m m j     m j     

 Trường hợp 2: 

n m kp với

k

j

j

k 1, ( , k p   ) 1

p

p

p

p







i

1 

j

j

j



n ( ) ( m ) ( ) ( 1) p )      m ip    ( m i  

p

p





Cả 2 trường hợp ta đều có khẳng định (*).

Với

p

( ) ( 1) p p n m )   m ip    ( m i      max i

x y  (cid:0) , do (cid:0) trù mật trong ,

x n y  (cid:0) sao cho p(cid:0) nên tồn tại { },{ } n

n

p

p

n

p

x y , y x ( ) y ( ) ) ( y ) y . ■   , khi đó:       x   x n x n lim (  p n 

35

Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH P – ADIC

TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG

p(cid:0)

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề nội suy của các hàm chỉnh

.

hình p – adic trên đĩa

p

(cid:0)

Chúng ta quy ước sử dụng kí hiệu v(z) là mở rộng của

p

D : z 1} { z   

ord z trên (cid:0) p .

3.1. Độ cao của các hàm chỉnh hình

3.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản



n

Giả sử f là hàm chỉnh hình trên D,

0

n



f z ( ) a z n   . Ta có nhận xét đầu tiên:

Nhận xét

Với mọi v(z) = t > 0, tồn tại n để v(an) + nt đạt giá trị nhỏ nhất.

Chứng minh

Đặt bn = v(an) + nt.



n

Do

chỉnh hình

trên D nên

suy

ra

n na z  0

0

n



n

n

f z ( )   a z n

tồn

tại n0 sao cho

p

,...,



) nv z ( ) ) log        do đó b n v a ( n v a z ( n a z n

. Khi đó rõ ràng

và như vậy tồn tại n để

b n

b b min{ , 0 1

nb

b  } n 1 0

min n

bn đạt giá trị nhỏ nhất. ■

Từ nhận xét trên ta có định nghĩa sau:

n    b 0 n 0

Định nghĩa 3.1



H f (

v a

)

nt

}

gọi là độ cao của f tại

.





n

t , ) min { ( 0 n  



t z   log p

đạt

 lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của n để ( , f t

giá trị nhỏ nhất.

n nt n , , f t )nv a

36



h

n

t h . ,

n

t h . ,

h

h

lần lượt là độ cao địa phương bên









 f t ,

 f t ,

 f t ,

 f t ,

f t ,

 f t ,

 f t ,

phải, độ cao địa phương bên trái và độ cao địa phương của hàm f(z) tại

.

 Điểm t thỏa

gọi là điểm tới hạn.

t z   log p

0f th ,

Chú ý:

)

(

Liên hệ giữa các khái niệm

ở chương 1, ta

H f  , ,

)f  ( ,

, )f  ( ,

,fn

 và

rút ra nhận xét sau:

nt

)





 min (



v a n

nt

)





t

( , ) H f t







( v a n

n

t n ) max 

n

n

t



p , f ) max ( p p p p    (  a n

}

đạt max} max{ : ( 

,

f

) max{ :

(

p

t n )



  p (

,f tn

n a n

) nt H f t , )} (   n v a n

Và theo định lý Weierstrass, số không điểm của f trong miền z

r là

t

) r f ( ,

z

) chính là

suy ra số không điểm của f trong miền

p

t

,

f

)

.

  p (

 n , f t

Mệnh đề tiếp theo là những tính chất quan trọng về khái niệm độ cao của hàm

chỉnh hình.

( )v z t (tức

Mệnh đề 3.2

( , ) H f t

.

i) Nếu

f z ( )

p

f th ,

( ) f z không có không điểm tại ( )v z  thì 0 t và

ii) Nếu

f th ,

số không điểm của

( ) f z có không điểm tại ( )v z  thì 0 t và

f th

s

r

iii) Trong [r, s] với 0

    , chỉ có hữu hạn điểm tới hạn.

f z . ( ) t ,  

Chứng minh

i) Giả sử

và như vậy

đạt giá trị nhỏ nhất

 , f t

 n , f t

n

n

n

.

tại đúng một giá trị duy nhất





 , f t

 , f t

h f ( 0 n t  . Khi đó , ) nt )nv a (

37



n

Ta có:

và vì

)

nt

v a (

nt

n

n





   nên

)n

nv a (



n

0

n





n

( , ) H f t

v min{ ( ) nt }   v a n a z n      

hay

.



n

0

n



ii) và iii) Để chứng minh ta đưa ra khái niệm “đa giác Newton”.

d1

hệ số góc của d1 chính là

1,f tn

d2

v f z ( ( )) v min{ ( ) nt } ) nt H f t , ) ( f z ( )       p a z n v a n v a ( n      

 , f t

hệ số góc của d2 chính  là n , f t 1

2

t2

t1

n

n

Với mỗi n, hình dung rằng đồ thị

n biểu diễn hàm

) ) nv z ( )   v a z ( n v a ( n

theo

là một đường thẳng với hệ số góc n.

t v z ( ) 

biểu diễn bằng đồ thị chính là biên của giao

Khi đó,

tất cả các nửa mặt phẳng nằm phía trên các đường thẳng

n . Ta gọi đó là “đa giác

Newton” của hàm f(z).

Tại mỗi đỉnh (t, H(f, t)) của đa giác, có nhiều hơn một đường thẳng

n qua nó

và hệ số góc lớn nhất (nhỏ nhất) trong các hệ số góc của các đường thẳng

n đó

H f t ( ) nt }   v a n , ) min{ ( n

. Do đó, tại các đỉnh này,

nên t chính là một điểm tới

chính là

 , f t

 , f t

 , f t

 n , f t

hạn của f(z).

Còn tại các điểm nằm trên các cạnh mà không phải đỉnh của đa giác đều có



n ( n ) n

. Lúc đó theo tính chất i, f(z) không có không điểm tại

f t

,

, f t

v(z) = t.

n n tức là 0f th ,

38

Trong mỗi đoạn hữu hạn [r, s], chỉ có hữu hạn các đỉnh của đa giác nên cũng

chỉ có hữu hạn các điểm tới hạn của f(z).

Ngoài ra, do cách xây dựng đa giác, với 1 t

2

hạn liên tiếp (“nằm giữa” hiểu theo nghĩa “nằm trong” hoặc “trùng”) thì

t là 2 điểm “nằm giữa” 2 điểm tới

.

 n , f t

 , f t 1

2

t .

Theo chú ý ở trên,

,f tn chính là số không điểm của f(z) trong miền ( )v z

Do đó, khi t là điểm tới hạn của f(z), số không điểm của f(z) khi v(z) = t được

( )v z

tính bằng số không điểm của f(z) khi

t trừ đi số không điểm của f(z) khi

't

n

t là điểm tới hạn gần nhất của t (lưu ý rằng trong khoảng (t’, t)

' t với

không có điểm tới hạn nên f(z) không có không điểm trong khoảng này) tức là bằng

h

.

n

n

n

n

( )v z

 f t ,

 f t , '

 f t ,

 f t ,

f t , t

Tóm lại, khi

 , 0

t  số không điểm của f(z) tại ( )v z

t . ■

f th ,

,f th

   

3.1.2. Một số ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ đưa ra hai ví dụ minh họa về các khái niệm độ cao ở hàm đa thức

và hàm log.

Ví dụ 3.3

3

2

f z ( )

z

14

z

56

z

64

h

,

h

,

h H f , (

t , )









trong

. Tính

?

Cho đa thức

 f t ,

 f t ,

f t ,

2[ ]z

(cid:0)

Giải

y

nt

Xét các đồ thị

với t là biến số thì

n

y

y

v

: )    ( v a n

v  

0 :

1 : 

y

y

v

( 64) 0. t    6  (56) 1. t    3 t

v  

2 :

3 :

Biểu diễn các đường thẳng

n , sau đó ta lấy giao của các nửa mặt phẳng nằm

phía trên của các đường thẳng

n . Biên của phần giao này chính là đa giác Newton

của f(z) được biểu diễn bằng đường in đậm trong hình:

( 14) 2. t 1 2 t 3 t      (1) 3. t   

39

2

y

3

1

0

t

1

2

3

Các điểm tới hạn của f(z) chính là hoành độ giao điểm t của các đồ thị

n với

t > 0. Dễ thấy, f(z) có 3 điểm tới hạn là t = 1, 2, 3 suy ra f(z) có 3 không điểm thỏa

(z có thể là 2, 4, 8). Bằng cách thử trực tiếp ta thấy những không điểm

đó chính là z = 2, 4, 8. Nhưng f(z) là đa thức bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm do đó 2,

4, 8 cũng chính là tất cả các nghiệm của f(z).

Theo định nghĩa và dựa vào đa giác Newton, ta có kết quả sau:

( ) 1, 2, 3 v z 

3

( , ) H f t khi t 2 1 3 2 khi khi  t   t  

0 1 khi t   6    3 t    2 1 t    3 t 

0 khi t 3 0 khi t 3  

 f t ,

 f t ,

n n 2 1 3 2 2 1 3 2 khi khi khi khi

0 1 0 1 khi khi t   t   t   t   t   t     1    2   3    1    2   3 

40

Từ đó suy ra

0 khi t 3 0 3 khi t 

 f t ,

 f t ,

h h 3 2 3 2

0 1 0 1 khi khi  t 2 khi   1 t khi   t   t 2 khi   1 t khi   t     t    2 t   3 t    t    2 t   3 t 

và

0 khi t 1, 2,3

f t ,

h khi t khi t

,

,

,

H

t (log, )

?

3 khi t  1  2     1    2   3 

Ví dụ 3.4 Tính

 h t log,

 h t log,

h t log,

n



n

1 

z log(1 )

Giải Ta đã biết

. Với mỗi t > 0, ta có:

n

1 

k

   ( 1) z n

n

1 





k

k p l .

n

1 

nt nt n log / log p khi n p k     v / n nt nt v n ( ) ( 1)     nt nt n log / log p khi n p  k         

do đó với t > 0,

đạt min khi n có dạng pk. Nói cách khác,





v / n nt ( 1)  

đều có dạng pk với số

 n log

 n ,t log,

t

k

1 

0 k  nào đó.

. Giả sử

.

Xét trường hợp

 n log,

t n t log,

 tn log,

d1

hệ số góc

1kp 

hệ số góc

kp

d2

t

tk

tk + 1

p 

41

Ta xét đa giác Newton biểu diễn H(log, t). Gọi

,

lần lượt là các

1kp 

1kp 

n

1 

với các hệ số góc

đường thẳng biểu diễn hàm

 , kp





k

k

1 

g t ( ) v / n nt nt v n ( )  ( 1)    

k p p ,

lần lượt là

1  . Bằng cách tính toán ta thấy

tại điểm có

 cắt

kp

1kp 

p ,

hoành độ

và

cắt

.

k

k

1 

k

k

k

1kp 

kp

k 1 p 

Giờ ta chứng minh rằng với số tự nhiên m bất kì, hàm

mp t m với

t t   tại điểm có hoành độ  p p p 1  1 1  

đạt giá trị bé nhất khi m = k, hay là, với m  k:

k

k

k

k

1 

m

k

m

k

p t m p t .

k

p

)







p t m k 

 tức (

 (*).

t

,

nên

- Nếu m > k: do

k

k

k

k

1 

p

p

p

p

1 1  

1 

  

   

k

m

m k 

, t p p p p 1 1   1        

m

m k

m k

2

1  

 

k p t )

.

k

p 1 ( p p p ...1       m k   p  1  p k p p p  1  

- Nếu m < k: do

nên

k

k

k

k

1 

m

k

k m 

k

, t p p p p 1 1   1        

m p t )

1 

tức là trong cả 2 trường hợp ta có (*).

( p k m    1   ...     p 1 k m   1 1 k m   1 p p k p p k p  p p p ( 1)   1 

nằm trên

Từ kết quả vừa chứng minh ta thấy, với

, điểm 



k

1

t ) t H f t , , ) ( t t ( , k

không chứa điểm tới hạn nào. Điều đó có nghĩa là

đường thẳng

 hay

k

k

kp

k

p

.



 tn log,

. Ngoài ra:

Vậy hàm log(1 + z) có các điểm tới hạn có dạng

t



k

k

p

1 k p 

1 

k

k

1 

t ( ) t , 1

- Với

,

 h log, t

 h log, t

k

k

k

k

1 

1 

p . . t p     t : k p 1 1 p 1  p  p p p p 1  1 

42

k

1 

1    h log, t p 1 p 1 p  1 

 n log, t

 log, t

k

k

1 

k

p

.k p t





) ( H (log, ) t t ( v n p k p 1) ] t     1)     [log ( p 1 p 1  p p 1 

- Với

do đó

và

 0

 n log, t

 n log, t

 h log, t

 h log, t

th log,

k

   : t 1k

t t

k p t

 n log, t

 log, t

H t (log, ) t v n ( )     . k

Do

nên

k

p t 1) 1 t   k       k log ( p 1) 1) 1 k ( p p 1 1 p ( p  

k p t

do đó

hay

p p

log ( t 1) k H t (log, ) p t 1)       log ( p         . ■

Nhận xét

Thật ra, ta có thể dựa vào các kết quả tính toán về độ cao của hàm log để dự

đoán tất cả các không điểm của nó.

Hàm log có các điểm tới hạn có dạng

t

do đó nó sẽ có các không



n

p

1 n p 

1 

n

n

1 

n

n

p

t

p





p

p

1 1  

1/ n p p

. Nhưng theo mệnh đề 1.14,

nên ta

điểm thỏa

np

z p 1 1 p    

có thể dự đoán log có các không điểm dạng

tất cả các không điểm của log có thể được thực hiện như định lý 1.26.

Qua 2 ví dụ trên ta thấy các khái niệm về độ cao của hàm chỉnh hình có thể giúp

ích cho việc dự đoán các không điểm của hàm chỉnh hình.

Chúng ta kết thúc mục 3.1 bằng một tính chất về độ cao của hàm chỉnh hình là

công thức p – adic Poisson – Jensen sẽ được sử dụng về sau.

1 1  . Việc chứng minh chặt chẽ về

3.1.3. Công thức p – adic Poisson – Jensen

Định lý 3.5 (Công thức p – adic Poisson – Jensen)

Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên D và 0 t

0 t  .

43

Khi đó ta có:

0

 , f t

, f s

 , f t 0

t

s t  

0

H f t ( , ) H f t ( , ) h h      . h

Chứng minh

.

n

Giả sử 1 t

2

n

0,

n

nên ta có:

Chú ý rằng

k  

 , f t

 n , f t

k

k

1 

H f t ( ,

)

H f t ( ,

)

v a

n

t

n

t

n

t (

t

)















k

k

 f t ,

k

 f t ,

k

 f t ,

k

k

1 

1 

1 

k

k

k

1 

v a n

 f

,

t

 f

,

t

t ... t   t   ,..., n t 2, t là các điểm tới hạn của f(z) mà 0 t t   1 t  1 n









k

k

1 

  

  

  

  

Khi đó:

2

n

) H f t ( , ) ) ) H f t ( , ) H f t , ( ) H f t ( , )      ...    H f t ( , 1

0 t (

0 ) ...  

0

2

n

n

n n ) t n      ) t t 1 t ( 1 H f t ( , 1  t ( f t , H f t ( ,  f t , 0 H f t ( , )  f t , 1

 f t ,

 f t ,

 f t ,

 f t ,

 f t ,

0

 f t , 1

0

n

n

n

1 

h

n

)

n

)

t n .







...  





 f t ,

t n ( 1

t n ( n

 f t ,

 f t ,

 f t ,

0

 f t , 1

 f t , 1

n

n

h n ) n ) t n .    ...     t n ( 1 t n ( n

 f t ,

f t ,

f t ,

 f t ,

0

f t , 1

2

n

h h h h h    ...   

 f t ,

 f t ,

f s ,

0

t

s t  

0

h h     . ■ h

3.2. Độ cao của dãy điểm và nội suy p – adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị

3.2.1. Độ cao của dãy điểm

Định nghĩa 3.6

Cho

là một dãy điểm trong D.

u ,...}  u u { , 0 1

Giả sử rằng số các điểm ui thỏa

t là hữu hạn với mọi t > 0. Ngoài ra )iv u (

i = 0, 1…

Với mọi t > 0, định nghĩa:



trong đó

)

) )  v u ( i v u  ( 1 i

là số các điểm ui sao cho (

 h , u t

 n t , . u t

n n ( , u t

 , u t



t ( ( t ) )iv u )iv u

 h , u t

 h , u t



  h u t ,

.

 h , u t

 h , u t

0

s t 

H u t ( , ) )   h u s , v u 0(   trong đó 0 t

44

Chúng ta sẽ luôn giả sử rằng

0

Ta đưa ra một ví dụ minh họa đối với hàm log.

  . H u t lim ( , ) t 

Ví dụ 3.7

np

Với

.

 h , u t

 h log, t

,  1 1 u   , ta có h u t , h log, t





Chứng minh

np

Theo định lý 1.26, tập tất cả các không điểm của log là

. Vì vậy khi

1 1 







n

np

do đó theo công thức,

 n , u t

 n log, t

 h , u t

 h log, t

1 1 u   thì theo định nghĩa 3.6,





. ■

và

t log,

h h u t ,

Mệnh đề 3.8

Nếu

là dãy

tất cả các không điểm của hàm

f(z)

thì

u u { }i

khi

H f t H u t O ( , ) , ) ( (1)   t  . 0

Chứng minh

Theo định nghĩa,

suy ra

nên

với mọi t > 0.

 f t ,

 n u t ,

 f t ,

 h , u t

u t ,

f t ,

Do đó với t’ > t, theo công thức p – adic Poisson – Jensen và định nghĩa H(u, t):

n h h h

 f t , '

 f t ,

f s ,

 h , u t

 h , u t

0





'

s t 

, ) ( H f t ( , ') h h h ( ) H f t H u t ( , )         h u s ,

t )

f s ,

f s ,

f t , '

 f t , '

s t    h  , u t

0



 h u s ,



'

s t 

s t 

s t 

H f t ( ,

')

(

h

h

)

(

h

)

h















 , ' f t

, ' f t

h , u s

, f s

, f s

 h , u t

0







'

s t 

s t 

s t 

H f t ( ,

')

h

h







 , ' f t

 h , u t

, f s

0

  là hằng số do đó ta có đpcm. ■

'

s t 

H f t ( , ') h h h h (      

3.2.2. Nội suy p – adic của các hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị

Khái niệm nội suy của hàm số trên

p(cid:0) được đưa ra với giả thiết cho trước một

:

dãy số

). Nó được gọi là

na trong

p(cid:0) (tức là một hàm

g (cid:0)

(cid:0) mà p

g n ( ) a n

45

nội suy p – adic nếu tồn tại một hàm

p

(cid:0) liên tục sao cho

f : (cid:0) p

với n  (cid:0) .

Khái niệm nội suy của hàm f chỉnh hình trên đĩa đơn vị D được xây dựng với

giả thiết có một dãy điểm { }iu trong D thỏa một số điều kiện như số các điểm ui

f n ( ) ( g n ( ))   a n

và

  .

thỏa (

0

H u t lim ( , ) t 

Tư tưởng nội suy p – adic của hàm chỉnh hình trên D được phát biểu có vẻ “gần

gũi” với khái niệm nội suy ở chương 2. Cụ thể ta có định nghĩa sau :

) ) t là hữu hạn với mọi t >0. Ngoài ra  )iv u v u ( i v u  ( 1 i

Định nghĩa 3.9

Dãy các đa thức { }kP gọi là dãy nội suy của f trên u nếu deg kP

i

k 0,

k ,

với mọi

.

) )  P u ( k i f u ( i

Dãy

được gọi là dãy nội suy của f(z) nếu dãy các đa thức nội suy của f

trên u hội tụ về f(z).

Định lý 3.10 sau đây là định lý quan trọng nhất của chương này đưa ra điều

kiện cần và đủ để một dãy điểm { }iu là dãy nội suy của một hàm chỉnh hình cho

trước.

u u { }i

Định lý 3.10

Dãy

là dãy nội suy của f(z) nếu và chỉ nếu



 lim ( 0 t 

u , ) u H f t H u t ( , )    . { }i

Chứng minh

Gọi { ( )}

là dãy các đa thức nội suy của f trên u.

kP z

Đặt

.

z ( )  S z ( ) k P z ( ) k P  1 k

Theo định nghĩa, deg

kS z ( )

) ) ) ) ) k  , 1     0 S u ( k i u ( i P u ( k i f u ( i f u ( i P  1 k

với

nên

k

kS z do đó

0, k ,..., ( ) u là tất cả các không điểm của i   u u 1, 0

 S tn ,

k

k

1 k   .

46

 Điều kiện cần:

ta chỉ cần chứng minh cho

trường hợp

Do

0

  nên H u t lim ( , ) t 

bị chặn thì hiển nhiên ta có đpcm.

Giờ ta dùng phương pháp phản chứng. Giả sử

H f t , ) H f t , )   vì nếu lim ( 0 t  lim ( 0 t 



 lim ( 0 t 

, ) H f t H u t ( , )    . Khi

đó tồn tại { }

bị chặn.

is  mà 0

, ) )  H f s ( i H u s ( , i

Đặt

.

f z ( )

0

,

)



Do giả thiết

 nên lim (

  do

H S s k i

tức là lim ( ) S z k k

k

P z lim ( ) k k 





A sup{ ( , ) )}   H f s i H u s ( , i

đó tồn tại 0k sao cho với mọi

k , )   : 0 A (1) H S s ( k i k i 0,

Ngoài ra vì

1N sao cho

0

i

H u s ( ,    do đó tồn tại )]i H u t lim ( , ) t    nên lim[ 

với mọi

:

) 1   (2) H u s ( , i i N 1

Khi đó theo (1) và (2) ta có: với mọi

:

1

0

i N k , k  

Đặt

, ) ) A 1 , ) ) 1 , ) , ) 1       hay   (3). H S s ( k i H u s ( , i H f s ( i H u s ( , i H S s ( k i H f s ( i

k

0

0

0

M H S ( ,0)  inf k k  

Do điều giả sử ở trên

2N

i



H f t , ) H f s ,   nên lim (   do đó tồn tại )i lim ( 0 t 

:

sao cho với mọi

N

0

2

H f s ( , ) N N M  1

suy ra

N

N

N

0

, ) H f s ( , ) , ) 1 M     H S s ( k H S s ( k

(4)

kH S (

0

2

,0) 1 M 1 ,     với k    k N N 0

Đặt

, do (3) và (4) ta có

N

N

2

N max( ) , ) H f s ( , ) 1 0 k      hay H S s ( k N N , 1

N

N



nên ta có :

Do giả thiết

, ) H f s ( , )] 1   H S s ( k min[ 0 k 

k

0





(mâu thuẫn)

f z ( ) S z ( ) k  

N

N

N

N



k

0

n



H f s ( , ) H ( , )} H f s ( ,    ) 1  S s , k H S s k ) min{ ( 0 

Điều đó chứng tỏ điều giả sử



 lim ( 0 t 

, ) H f t H u t ( , )    là sai và ta có đpcm.

47

 Điều kiện đủ:

Để chứng minh điều kiện đủ ta sử dụng một số bổ đề sau:

Bổ đề 1

i) Với mọi

n

n

n

n

s t , t v u H S s H u s H S t H u t ( ( , ) ( , ) , ) , ) ) : ( (     

ii) Nếu

thì

n

n

n

n

n

n

n

1 

1 

Chứng minh bổ đề 1

t H S t ( , ) H u t ( , ) H S t ( , ) H u t ( , )    t  1 n

i) Giả sử s > t, theo công thức Poisson – Jensen: 











n

n

n

n

, ) , ) ( ( , ) ( ( ( , ) H S s H u s ( , )  H S t H u t ( , )    H S s H S t , )   H u t H u s ( , ) 

 h , u t

 h , u t

 h , u s

 h , u t

0

0

 h , S s n

 h , S t n

 h ) , u k





k t 

k s 

s k t  

(

)















 h , u t

h , u k

h , u k

 h , u s

 h , S s n

 h , S t n

h , S k n







s k t  

k t 

k s 

( ) ( ) (          h , u k h , S k n

 h , u t

 h , u s

 h , S s n

 h , S t n





s k t  

s k t  

( )        h , u k h , u s h , S k n

 h , u s

 h , u t

 h , S s n

 h , S t n



s k t  

( ) ( ) ( )       h , u k h , S k n

 n u s ,

 n u t ,

 n u k ,

 n u k ,

 S s , n

 S t , n

 S k , n

 n S k , n



s k t  

s n ( ) t n ( ) ) ( )          k n (   

nên

Gọi l là chỉ số lớn nhất để

0

lt

1 

1 

t ... s s tức là       t 1 t l t l t l

nS thỏa

   . Ngoài ra, các u sn ,

1 l ,..., u u 1, 0 u cũng là tất cả các không điểm của l

.

0

,

 n u s ,

   do đó nS sn 1

 n nS s ,

,

Lập luận hoàn toàn tương tự ta có

,





 n u t ,

 n u k ,

 n u k ,

 n S t , n

 n S k , n

 n nS k ,

v u ( ) ) v u ( s l  ...    nên v u ( 1 )l

Tóm lại 







n

n

, ) ( , ) ( 0 H S s H u s ( , )   H S t H u t ( , )   và ta có đpcm.

ii) Cũng theo công thức Poisson – Jensen:  





n

n

n

n

n

n

1 

1 

H S t ( , H S t ( , H u t ( , H u t ( , ) ) ) )   

=







n

n

n

n

n

n

1 

1 

H S t ( , ) H S t ( , ) H u t ( , ) H u t ( , )   

 h u t ,

 h u t ,

 h u t ,

0

 h u t , 0

 h S t , n n

 h S t , n n

n

n

1 

1 





 h ) u k ,

t

k t  

k t 

k t 

n

n

n

n

1 

1 

( ) ( ) (          h u k , h S k , n

48

 h u t ,

 h u t ,

 h S t , n n

 h S t , n n

n

n

1 

1 







t

k t  

k t 

k t 

n

n

n

n

1 

1 

( )        h u k , h u k , h S k , n

 h u t ,

 h u t ,

 h u t ,

 h u t ,

 h S t , n n

 h S t , n n

n

n

n

n

1 

1 





t

t

k t  

k t  

n

n

n

n

1 

1 

( )         h u k , h S k , n

 h u t ,

 h u t ,

 h S t , n n

n

 h S t , n n

n

1 

1 



t

k t  

n

n

1 

( ) ( ) ( )       h u k , h S k , n

 n u t ,

n

 n u t ,

 n u k ,

 n u k ,

1 

 S t , n n

n

 n S t , n n

n

 S k , n

 n S k , n

1 

1 



t

k t  

n

n

1 

) t ( ) k n [( ) ( )]         t n ( n

0

nS có các không điểm

n

n

1

v u ( ) ) v u ( t u và  ...    nên u u 1, 0 v u ( 1 ,..., n )n

  . Ngoài ra, chỉ có

0

n

n

 S tn , n n

v u ( v u ),..., ( ) t ) ... u thỏa    nên u u 1, 0 ,..., n v u  ( n 1

. Lập luận tương tự ta có

 n u t ,

 n u t ,

   tức là nu tn 1 ,

 n S t , n n

n

 n S t , n n

n

1 

1 

,

,

.

 n u k ,

 n u k ,

 n u k ,

 n nS k ,

 n nS k ,

 n nS k ,

n n 1   ,

Vậy 







n

n

n

n

n

n

1 

1 

Bổ đề 2

H S t ( , ) H u t ( , ) H S t ( , ) H u t ( , )     0 và ta có đpcm. ▪

hoặc

.

Với mọi k ta có

k

k

k

k

k

k

1 

1 

Chứng minh bổ đề 2

k

k

1 

n

Đặt

.

H S t ( , ) H f ( , t ) H S t , ( ) H f ( , t )  



0

n



0

i



1

g z ( ) ( )  z u  i b z n  

g(z) có (k + 1) không điểm

nên

k

k

   . kg tn k ,

1 

Vậy

)

t



( t g ,  k

b k

k k

1 

sao cho:

Áp dụng định lý 1.22, tồn tại hàm



,..., ) t i 0, k   u u 1, 0 u thỏa ( v u i

k

z Q z ( ), ( ) k

k



0

i



f z ( ) z ( ) ( )    z g z Q z ( ) ( ) ( )    z u  i Q z ( ) k

trong đó deg

k

k

1, , f t ( ), )} ) ( t  ) max{ (  k     Q z ( ) k t g , k ) t Q ( , ,    k k ( t Q ,  k k

hay

.

k

k

k

H Q t ( , ) H f ( , t ) 

49

i

Theo cách xây dựng này, với mọi

,

mà

k 0,

) ) )   Q u ( k i f u ( i P u ( k i

. Do đó

(1)

k

k

k

deg ,deg ) H f t , ( ) Q k nên   P k Q z ( ) k P z ( ) k H P t ( , k

Hoàn toàn tương tự ta có

(2)

k

k

1 

1 

1 

( ) H f t ( , )  H P t , k

 Nếu

tức là

thì

k

k

v u ( ) ) t  v u  ( k 1 t  k 1

(1),(2) 

k

k

k

k

k

k

k

1 

1 

H S t ( , ) ) min{ ( ( , )} H f t ( , )    H P ( k P t , k H P t H P t , ), k

 Ngược lại, giả sử

:

k

t t  k 1

thì

o Nếu

k

k

1 

( ) H f t , ( )  H P t , k

k

k

k

k

k

k

1 

1 

H S t ( , ) ) min{ ( , ), )} H f t ( , )     H P ( k P t , k H P k t H P t , ( k

o Ngược lại

k

k

k

1 

, t ) H f t ( , ) )   H P ( k H P t ( , k

Khi đó

k

k

k

k

k

k

1 

1 

1 

H S t ( , ) ) min{ ( , ), )} ( )     H P ( k P t , k H P k t H P t , ( k H P t , k

suy ra

trong lân cận của tk.

1

k

Do đó:

H S t , (

)

(

)

k

k

k

k

H P t , k

k

k

k

1 

1 

H S t ( ,

)





k

k

' 





lim t 0  

lim t 0  

t H S t ) , (    t 

t H P t ) , (    t 

H S t ( , ) (  H P t , ) k

suy ra

k

(do deg kP

1 

' 

 P k

k

 n S t , k

k

 P t , k

k

t 1, 

) n 1 k n      k ) H P t ( , k

Giả sử đường thẳng d qua điểm (

có hệ số góc

cắt đường

k

k

 P k

k

t 1, 

, )) n t H P t , ( k

thẳng

tại

.

kt (

x t  1k a , ) 1

a H P t ( ,

)

n

t (

t

)







Khi đó

hay

.

k

k

k

k

1 

 P k

k

t 1, 

 P k

k

t 1, 

k

k

1 

) a  n  , H P t ( k k t t 

50

H(Pk+1,tk)

d

H(Pk,tk)

H(Pk+1,tk+1)

tk

a tk+1

tk

tk+1

Xét đa giác Newton của hàm

(hệ số góc của d) do

kP . Vì

t

 P t , k

k

 P k

k

1,

1 



đó d nằm phía dưới

các

cạnh

của đa giác Newton. Vì

thế,

)

a H P t , (

)

n

t (

t

)

,

t

)

n

t (

t

)

(1)

 











,

H P t ( , k

k

k

k

k

k

H P ( k

k

t ,

t

k

k

1 

1 

1 

1 

 P k

k

 P k

k

1 

1 

n 1 k n   

Giờ lại xét đa giác Newton của hàm

t ,

l ,

1kP  . Vì

 P k

k

 P k

1 

1 

n 1 k n l     nên trong

khoảng

không

thể

có

điểm

tới

hạn

và

vì

vậy

k

k

t ( ) t , 1

k

1 

1 

1 

hay

(2)

k

t ,

k

k

k

1 

1 

1 

1 

t ,

 P k

k

1 

 P k

k

1 

k t

k

k

1 

( ) ( ) H P t , k , t ) n t ( t ) ( ) n     H P ( k H P t , k H P t , k t  

.

Từ (1) và (2) ta có

k

k

k

1 

1 

1 

1 

) ( ) H f t ( , )   H P t ( , k H P t , k

Suy ra

. ▪

k

k

k

k

1 

1 

1 

1 

Trở lại với việc chứng minh điều kiện đủ.

H S t ( , ) ) H f ( , t )    H P ( k P t , k

Theo bổ đề 2, ta có

hoặc

.

n

n

n

n

n

n

1 

1 

H S t ( , ) H f t ( , ) H S t ( , ) H f t ( , )  

 Xét trường hợp

n

n

n

H S t ( , ) H f t ( , ) 

Theo bổ đề 1i, với số

tự nhiên N bất kì

thỏa

ta có

N

t t n

N

n

n

n

n

n

) H u t ( , ) H S t ( , ) H u t ( , ) H f t ( , ) H u t ( , )      H S t ( , n N

 Xét trường hợp

(xảy ra khi

)

n

n

n

n

1 

1 

H S t ( , ) H f t ( , ) t  t  n 1

n

n

n

n

n

N

n

1 

1 

) H u t ( , ) H S t , ( ) H u t ( , ) H S t ( , ) H u t ( , )      H S t ( , n N

n

n

1 

1 

H f ( , t ) H u t ( , )  

51

Ở cả 2 trường hợp, với giả thiết



 lim ( t 0 

, ) H f t H u t ( , )    ta luôn có

là dãy Cauchy nên hội tụ.

nP z

n



) 0  suy ra { ( )} H S t , n N   tức là lim ( ) S z n lim ( n 

Giả sử

, ta cần chứng minh

.

Vì u là dãy nội suy của P(z) nên theo điều kiện cần đã chứng minh

P z ( ) f z ( ) P z ( )   P z lim ( ) n n 



 lim ( t 0 

Lập g(z) = P(z) – f(z) và giả sử

( )g z  0 .

( , )

( , ) min{ (

H P t H u t H f (

( , ),

, )

t H u t , )

( , )}

H g t H u t 







Ta có:

do đó

, ) H P t H u t ( , )    .





iu là các không điểm của g nên điều này mâu

0

thuẫn với mệnh đề 3.8 ở trên.

( )

0

Vậy

g z  và định lý được chứng minh. ■

Sau đây chúng ta sẽ trình bày một số ứng dụng thú vị của định lý 3.10.

H g t H u t ( , )    . Nhưng lim ( , ) t 

Hệ quả 3.11

h



 

Dãy

là dãy nội suy của hàm f(z) nếu

và

h u s ,

f s ,





lim t 0 

s t 

s t 

  

  

bị chặn khi

u u { }i

 h u t ,

 h f t ,

t  0

Chứng minh

Với t’ > t, theo công thức p – adic Poisson – Jensen ta có:

 f t , '

 f t ,

f s ,

 h u t ,

 h u t ,

0



'

t

s t  

s t 

, ) ( H f t ( , ') h h h H f t H u t ( , )                    h  u s , 

f s ,

f s ,

f t , '

 f t , '

 f t ,

 h u t ,

 h u t , 0







'

s t 

s t 

h

h

h

h

H f t ( ,

')

















h u s ,

f s ,

 f t ,

 h u t ,

f s ,

 f t , '

 h u t ,

0







'

s t 

s t 

s t 

  

s t    

trong đó: ▪

h

h

H f t ( ,

')

là hằng số







f s ,

 f t , '

 h u t ,

0



'

s t 

( h h h ) h h H f t ( , ')          h u s ,

52

h

▪

bị chặn khi

 f t ,

 h u t ,

▪

h



 

h u s ,

f s ,





lim t 0 

s t 

s t 

  

  

Vậy

t  0



 lim ( t 0 

, ) H f t H u t ( , )    .

Theo định lý 3.10,

là dãy nội suy của hàm f(z). ■

u u { }i

Hệ quả 3.12

Kí hiệu o(f)

là

lớp các hàm g chỉnh hình

trong D

thỏa mãn

khi

 . 1

r

r





r f z sup ( ) z g z sup ( ) z  o      

Nếu

bị chặn thì u là dãy nội suy của tất cả các hàm thuộc o(f).

 f s ,

 n u s ,

n

Chứng minh

Trong mục 3.1, ta đã định nghĩa “điểm tới hạn” của một hàm chỉnh hình f. Đến

đây, ta cũng đưa ra định nghĩa “điểm tới hạn” cho dãy điểm

có trong định

nghĩa 3.6.

u u { }i

Như giả sử ban đầu ta biết

0

n

v u ( ) ) v u ( ) )  ...     ... v u ( 1 v u  ( n 1

Nhưng

nếu

thì

2

1 



i m 

i m 1  

) ) ) ... v u ( ) v u ( )...      v u ... ( i v u ( i v u ( i

hay

gọi là điểm tới hạn của dãy u. Khi

2

1 



1 

i m 

đó

ta có

thể đánh số

lại các điểm

tới hạn đó. Chẳng hạn, nếu

) ) ... v u ( ) ...      v u ( i v u ( i t i t i m 

0

2

4

v u ( ) ) v u ( ) ) v u ( ) ) ...       thì tương ứng ta có các điểm tới v u ( 1 v u ( 3 v u ( 5

hạn / t 1

/ 2

/ t 3...

, do định nghĩa vừa xây dựng ta có tính chất sau:

Đối với dãy điểm tới hạn

/{ }it

thì

.

t  

nếu / t i

/ t  i 1

 n u t ,

 n u t ,

 n / u t , i

 n / u t , i 1 

t     

53

Quay trở lại với việc chứng minh hệ quả, giả sử 1

s là các điểm tới hạn s s 2, ,..., n

. Như vậy,

và

của cả f và u mà 0 s

 f s , k

 n f s , k

 n u s , k

 n u s , k

1 

1 

k

với mọi

.

n 0,

... n    s   s 1 s n s  n 1

bị chặn nên tồn tại số M > 0 sao cho

. Áp dụng

Do

 f s ,

 n u s ,

 f s ,

 n u s ,

phần chứng minh trong công thức Poisson – Jensen, ta có:

,

)

H f s ( , )

n

)

n

(

s

)

n

(

s

s

)

(











...  



H f s ( 0

s 1

s 1

2

s 0

n

 f s , 1

 f s , n

n n M 

 n u s , n

) ) ( s ) ( (      ...      M s )( 0 s 1 M s )( 1 s 2 M s )( n

 n u s , 0 

 f s , 0  n u s , 1 ...  

 u s , 1

 n u s , 0

 u s , n

 n u s , n

 h u s , 0

)

s n .

1  )





...  







 u s , n 

s n ( 1

Ms 0

s n ( n

 u s ,

 u s , 1

 n u s , 1

 u s , n

 n u s , n

 h u s , 0

) ) s n .      s n ( 1 Ms 0 s n ( n

 h u s ,

 h u s ,

2

 h u s , 0

 h u s , 0

l s  

s 0

  ...         Ms 0 Ms 0 h u s , h u s , 1 h u s , n  h u s ,

 h u s ,

 h u s , 0





l s 

l s  0

( )        Ms 0 h u s , h u s , h u s , 0 h u s , 0        

 h u s ,

 h u s , 0





l s 

l s  0

) ( , )         Ms 0 H u s ( , 0 H u s Ms 0 h u s , h u s ,              

.

hay

Giờ giả sử g là hàm số thuộc o(f). Khi đó:

H f s ( , )



r



( , ) , ) ( , ) , )     H u s H f s H u s ( 0 H f s ( 0 Ms 0

khi

 1



 0



 0

H g s ( , )

lim  r 1 

r

z

r





p lim  p 0 s

f z sup ( ) z sup ( ) g z z

r



{ (

, )

, )}

(

H f s H g s 

( , )}

, )

p



H f s H g s 



0 

  .

lim{ ( s 0 

lim s 0 

Do vậy,

( , )

(

(

[

, )] s  0

( , ) H g s H u s ( , )  H g s H f s , )] ( , ) 



  khi

[ H g s H f s ( [ , )] ( , )    H f s H u s )] , ( ) ( , [    0 0

H u s H f s  Ms 0

Vì vậy, theo định lý 3.11, ta có đpcm. ■

o (sup ( ) ) g z r  f z sup ( ) z

54

Hệ quả 3.13

np Dãy { 1 1}

 với n = 1, 2,… là dãy nội suy của tất cả các hàm thuộc lớp 0(log).

Chứng minh

np

1 1

Điều này được suy ra từ hệ quả 3.12 với chú ý là

u 

 thì

 0

 n log, t

 n u t ,





(ví dụ 3.7). ■

Hệ quả 3.14

là dãy các đa thức thỏa mãn

Cho { }iu

D , { }i

nP z

p

i

deg

(

với mọi

. Khi đó:

n 0,

n và

nP z ( )

P u  ) n i i

,0)

H u t ( ,

)

(

i) Nếu



  thì tồn tại hàm chỉnh hình f(z) sao cho

H P ( n

n

f u  )i i

.

với i = 0, 1,… và ( ) f z



P z lim ( ) n n 

g z ( )

ii) Ngược

lại nếu

tồn

tại hàm

chỉnh hình

thì



P z lim ( ) n n 

,0)

H u t ( ,

)

nt



  

H P ( n

n

n

  (cid:0) . Giả sử { ( )}

Chứng minh

H P t ( ,

)

H u t ( ,

)

,0)

H u t ( ,

)

,0)

H u t ( ,

)

i) Ta có:

mà









 



n

n

n

H P ( n

n

H P n

n

 lim ( n 

)

H u t ( ,

)

nên



  .



H P t , n

n

n

 lim ( n 

Lập luận tương tự như trong chứng minh điều kiện đủ của định lý 3.10 ta suy ra

được

với

t

)

H u t ( ,

)

)

H u t ( ,

)

thì

hoặc







N

t n

H S t ( , n N

H P t , ( n

n

N

n

)

H u t ( ,

)

)

H u t ( ,

)

)

H u t ( ,

)

mà









  nên



H S t ( , n N

H P t ( , n

N

n

n

H P t , n

n

n

1 

1 

 lim ( n 

)

0

là dãy Cauchy nên hội tụ.

 suy ra { ( )}

H S t , n N

  do đó lim ( ) S z n

nP z

n

lim ( n 



f z ( )

(

(

Đặt

. Vì

nên rõ ràng

với i = 0, 1, 2...



P u  ) n i i

f u  )i i

P z lim ( ) n n 

k

i

ii) Giả sử

P z ( ) n

  . a z i

i

0



H P t ( ,

)

it

)}

nt

,0)

nt

Ta có:













n

n

v a i

v a i

n

H P ( n

n

n

} min{ ( i

) min{ ( i k n  

55

g z ( )

Nếu tồn tại hàm chỉnh hình

thì theo phần chứng minh ở bổ đề



P z lim ( ) n n 

H P t , (

)

H g t ( ,

)

và

do

đó

2

trong

định

lý

3.10

ta

có



n

n

n

,0)

H u t ( ,

)

nt

H P t ( ,

)

H u t ( ,

)

H g t ( ,

)

H u t ( ,

)

.













H P ( n

n

n

n

n

n

n

n

Vì u là dãy nội suy của hàm g(z) nên

)

H u t ( ,

)



  do đó



n

n

 H g t lim ( , n 

,0)

H u t ( ,

)

nt





  .



H P n

n

n

 lim ( n 

56

KẾT LUẬN

Sau khi hoàn thành luận văn, chúng tôi đưa ra một số kết luận như sau:

Nội suy các hàm p – adic là một vấn đề khá thú vị trong giải tích p – adic. Thông

qua phép nội suy, chúng ta sẽ thấy cách xây dựng các tương tự p – adic của các hàm

số học và nhiều ứng dung khác.

Trong chương 2, chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa tương đương về khái

niệm nội suy p – adic của các hàm số liên tục trên

p(cid:0) . Từ đó, chúng tôi đã đưa ra

một số ví dụ đơn giản về dãy nội suy p-adic cũng như xem xét cách xây dựng hàm

số mũ và hàm gamma p-adic thông qua phép nội suy và những tính chất cơ bản của

hai loại hàm quen thuộc này.

Trọng tâm của luận văn nằm ở chương 3. Chúng tôi đã nghiên cứu về nội suy

p-adic của các hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị trong

p(cid:0) . Ở đây kết quả quan trọng

nhất là đã chứng minh một cách hoàn chỉnh và chặt chẽ điều kiện cần và đủ để một

dãy điểm là dãy nội suy của một hàm chỉnh hình cho trước. Từ đó chúng tôi đã trình

bày những ứng dụng của kết quả này và ví dụ minh họa qua hàm log.

Tóm lại, bên cạnh những kết quả đã đạt được, do hạn chế về thời gian và kiến

thức, luận văn chắc hẳn vẫn tồn tại những hạn chế nhất định. Người viết hi vọng sẽ

tiếp tục nghiên cứu một cách sâu sắc hơn về vấn đề nội suy p – adic chẳng hạn như

đưa ra những điều kiện khác, dễ hình dung hơn để một dãy là dãy nội suy của một

hàm chỉnh hình và nghiên cứu thêm nhiều ứng dụng của nó.

Người viết chân thành hi vọng nhận được sự góp ý của quý thầy cô và những ai

quan tâm đến đề tài này.

Người viết

57

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Andrew Baker (2009), An introduction to p – adic numbers and p – adic

analysis.

2. Pei-Chu Hu and Chun-Chun Yang (2000), Meromorphic Functions over Non-

Archimedean Fields, Kluwer Academic Publishers.

3. Svetlana Katok (2001), Real and p – adic analysis course notes for math.

4. Ha Huy Khoai (1979), p-adic Interpolation, AMS Translations: Math.

5. Ha Huy Khoai (1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math. J.,

Vol. 50

6. Ha Huy Khoai (1992), “Heights for p-adic meromorphic functions and value

distribution theory”, Journal of Mathematics, 20(1), pp.14-24.

7. Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), On p-adic Nevalinna theory,

Lecture Notes in Math.

8. Neal Koblitz (1977), P-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions,

Springer - Verlag.

9. Iu.Manin (1974), P-adic automorphic

functions, Current Problems

in

Mathematics.

10. W.H.Schikhof (1984), Ultra metric calculus – An introduction to p-adic

analysis, Cambridge University Press.