intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST
Báo xấu
191
lượt xem 33
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh nhằm nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp giải tích để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh và tìm hiểu một vài ứng dụng của nó. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

  1. M cl c L i nói đ u 1 1 Ki n th c chu n b 9 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Toán t liên h p, giá tr riêng, véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Toán t Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Toán t liên t c Lipschitz, toán t th năng . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Đ nh lý hàm n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh 13 2.1 Lý thuy t r nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 M t vài kí hi u và b đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Các k t qu chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 ng d ng 50 3.1 Ki n th c b tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 K t lu n 57 i
  2. L i nói đ u Lý thuy t r nhánh nghiên c u nh ng phương trình ph thu c tham s , đ c bi t nó tìm nh ng giá tr c a tham s mà t i đó c u trúc t p nghi m b thay đ i. Th i gian g n đây, lý thuy t này đư c s d ng nhi u đ gi i quy t nh ng v n đ n y sinh trong v t lý h c, sinh h c và nh ng môn khoa h c t nhiên khác. Nhi u k t qu c a lý thuy t r nhánh đã và đang gi i quy t có hi u qu nh ng v n đ n y sinh trong khoa h c cũng như trong th c t cu c s ng và vai trò c a nó ngày càng tr nên quan tr ng hơn. Vi c nghiên c u nh ng nghi m r nhánh đ i v i phương trình phi tuy n ph thu c tham s đã đư c nhi u ngư i quan tâm và nghiên c u trong nhi u đ tài khoa h c. V i m t tham s c a phương trình đã cho có nghi m, v i s thay đ i c a tham s , tính duy nh t c a nghi m có khi không đư c b o đ m, nó có th có hai ho c nhi u nghi m khác nhau. V m t toán h c ta có th mô t như sau: Cho F là m t hàm s trên tích c a không gian Metric (Λ, d) v i D là lân c n c a đi m 0 c a không gian đ nh chu n (X, . ) vào không gian đ nh chu n (Y, . ). Gi thi t r ng v i λ có v(λ) đ F (λ, v(λ)) = 0. B ng cách t nh ti n, ta có th gi thi t v(λ) = 0. M i nghi m (λ, 0) đư c g i là nghi m t m thư ng c a 1
  3. L i nói đ u phương trình F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D. (1) Ta s tìm nh ng nghi m t m thư ng (λ, 0) mà t i nh ng lân c n c a nó có tính ch t v i δ >0, >0 cho trư c, t n t i nghi m không t m thư ng (λ, u) ∈ Λ × D c a phương trình trên v i d(λ, λ) < δ và 0 < u < . Nghi m t m thư ng (λ, 0) này s đư c g i là nghi m r nhánh c a phương trình (1), λ đư c g i là đi m r nhánh. Nh ng bài toán nghiên c u nghi m r nhánh c a phương trình (1) đư c g i là bài toán r nhánh. Trong lý thuy t r nhánh, ngư i ta thư ng đ c p t i nh ng bài toán sau: (i) S t n t i nghi m r nhánh; (ii) T n t i nh ng nhánh nghi m; (iii) Tìm nh ng giá tr tham s t i đó tính duy nh t b phá v ; (iv) Nghiên c u tính n đ nh c a nghi m r nhánh; (v) Nghiên c u s nhánh nghi m; (vi) Nghiên c u c u trúc c a các t p nghi m r nhánh; (vii) Nghiên c u s r nhánh t i vô cùng; (viii) Nghiên c u s r nhánh toàn c c; Sau đây là m t s ví d v lý thuy t r nhánh trong ho t đông th c ti n: 1. Th i ti t; 2. Quá trình sinh trư ng c a sinh v t; 3. Dòng ch y c a các con sông; 4. Quá trình s ng, yêu đương và trư ng thành c a con ngư i; 2
  4. L i nói đ u 5. S phát tri n c a m t xã h i; 6. S phát tri n c a n n kinh t trong m t th i kỳ; 7. S phát tri n gen c a các t bào sinh v t; 8. Các ph n ng hóa h c, v t lý; Có r t nhi u phương pháp toán h c khác đ nghiên c u nh ng bài toán trên như: + Phương pháp bi n phân đã đư c Wainberg và Krasnoselski đưa ra t nh ng năm 50 c a th k trư c trong [13], [14], [15]; + Phương pháp Tôpô s d ng b c ánh x đã đư c Krasnoselski đưa ra trong [3], [6]; +Phương pháp gi i tích cho nh ng toán t kh vi d a trên các đ nh lý hàm n đã đư c trình bày trong [4], [10]. M i phương pháp đư c ng d ng cho m t phương trình khác nhau. D a vào đ nh lý hàm n, ta d dàng th y r ng m i đi m r nhánh đ u là giá tr riêng c a ph n tuy n tính c a phương trình. Tuy nhiên không ph i giá tr riêng nào c a ph n tuy n tính cũng là đi m r nhánh. Ví d : Xét h phương trình vi phân: u + λ(u + v(u2 + v 2 )) = 0, trong (0, 1) (2) v + λ(v − u(u2 + v 2 )) = 0, trong (0, 1) (3) u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = 0. (4) D th y ph n tuy n tính c a h này có giá tr riêng b i hai λn v i n = 1, 2, . . . . Ta nhân phương trình (2) v i v và phương trình (3) v i u sau đó ta l y tích phân c a t ng phương trình và s d ng đi u ki n (4) r i tr hai phương trình đó cho 3
  5. L i nói đ u nhau thì đư c 1 λ (u2 + v 2 ) dx = 0. 0 Như v y, ta suy ra u = v = 0. T c là v i m i n thì λn không ph i là đi m r nhánh. R t nhi u nh ng công trình c a các tác gi khác nhau cho bài toán (i) − (iii) v i các phương pháp bi n phân, Tôpô, gi i tích cho nh ng trư ng h p đ c bi t, tham s là s th c d ng T (v) − λC(v) = 0 (λ, v) ∈ R × D. Phương pháp gi i tích đ i v i lý thuy t r nhánh d a trên tư tư ng c a Liapunov - Schmidt trong [4] s d ng phép chi u và đưa phương trình nghiên c u thành hai ph n: m t ph n n m trong không gian h u h n chi u v i s chi u là p; ph n còn l i n m trong không gian vô h n chi u tr c giao. T c là, ta chuy n bài toán v p + 1 phương trình p n. Ph n n m trong không gian h u h n chi u thư ng đư c g i là phương trình r nhánh. Phương trình trong không gian vô h n chi u thì gi i đư c duy nh t nghi m. N u phương trình r nhánh gi i đư c thì bài toán cũng gi i đư c. Trong lu n văn này, ta nghiên c u s r nhánh b ng phương pháp gi i tích đ ch ra khi nào thì giá tr riêng c a ph n tuy n tính là nghi m r nhánh và tìm hi u m t vài ng d ng c a nó. Lu n văn g m ba chương: Chương 1. "Ki n th c chu n b " trình bày m t s ki n th c cơ b n trư c khi ti p c n v i lý thuy t r nhánh, bao g m m t s đ nh nghĩa và đ nh lý đư c s d ng trong vi c ch ng minh các b đ và các đ nh lý trong lý thuy t r nhánh. 4
  6. L i nói đ u Chương 2. "Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh" trình bày các khái ni m cơ b n v phép chi u trong không gian Banach và lư c đ Liapunov - Schmidt (xem [4]) đ chuy n phương trình toán t v h phương trình g m hai ph n: ph n d gi i thư ng n m trong không gian vô h n chi u và ph n khó gi i n m trong không gian h u h n chi u. Nh lư c đ này, ta nghiên c u s r nhánh c a phương trình ph thu c tham s . Cho X là không gian Banach v i chu n . . D là t p m ch a 0 trong X và Λ là m t t p m c a không gian đ nh chu n, F : Λ × D −→ X là toán t phi tuy n. Ta xét s r nhánh c a phương trình (1) v i F (λ, v) có d ng F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v), trong đó, T : X −→ Y là toán t tuy n tính liên t c, L(λ, .) là toán t tuy n tính liên t c v i λ ∈ Λ c đ nh, H : Λ × D −→ Y và K : Λ × D −→ Y là các toán t phi tuy n liên t c sao cho ∀λ ∈ Λ ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0, v i (λ, 0) là nghi m t m thư ng c a phương trình (1). Cho λ ∈ Λ, theo đ nh lý hàm n ta ch ra đư c đi u ki n c n đ (λ, 0) là nghi m r nhánh c a phương trình (1) là ker(T − L(λ, .)) = 0. Gi thi t ker(T − L(λ, .)) = Span{v 1 , v 2 , . . . , v p } là không gian con sinh b i các véc tơ v 1 , v 2 , . . . , v p ∈ X. G i (T − L(λ, .))∗ là toán t liên h p c a T − L(λ) và ker(T − L(λ, .))∗ = ∅. Gi s ker(T − L(λ, .))∗ = Span{ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ p } là không gian con sinh b i các véc tơ ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ p ∈ Y ∗ . Trong đó Y ∗ là không gian liên h p c a Y. Ti p theo đ ch ra s t n t i nghi m r nhánh c a phương trình (1) ta đưa ra ba gi thi t: 5
  7. L i nói đ u Gi thi t 1. αL(λ, v) = L(αλ, v), ∀v ∈ D, α ∈ [0, 1]. Gi thi t 2. H là toán t liên t c Lipschitz trên Λ × D t c t n t i h ng s C1 sao cho ||H(λ, v) − H(λ , v )|| ≤ C1 (|λ − λ | + ||v − v ||), trong đó (λ, v), (λ , v ) ∈ Λ × D. Ngoài ra, t n t i m t s th c a > 1 và hàm th c ρ : R −→ R v i ρ = ρ(δ) th a mãn lim ρ(δ) = 0 sao cho: δ→0 (i) PY H(λ, tv) = ta PY H(λ, v), ∀(λ, v) ∈ Λ × D, t ∈ [0, 1]; λ (ii) α−a PY K a−1 , αv → 0 khi α → 0+ đ u theo v v i v ∈ D, và 1+α ||K(λ, v) − K(λ , v )|| ≤ ρ(|λ − λ |Λ + ||v − v ||)(|λ − λ |Λ + ||v − v ||), v i m i (λ, v), (λ , v ) ∈ Λ × D. Trong đó PY là phép chi u t không gian Banach Y lên không gian Y1 = { y ∈ Y | y, ψ i = 0 , i = 1, 2, . . . , p }. Ta đ nh nghĩa ánh x A : Rp −→ Rp , A = (A1 , A2 , . . . , Ap ) v i p p j Ai (x) = T xj v − H λ, xj v j , ψ i , j=1 j=1 i = 1, 2, . . . , p và x = (x1 , x2 , . . . , xp ) ∈ Rp . Khi đó, Ai (x) = A1 (x), A2 (x), . . . , Ap (x) ∈ Rp là toán t liên t c. Gi thi t 3. Gi s Gi thi t 1, 2 là th a mãn, ánh x A đư c đ nh nghĩa như trên là toán t liên t c kh vi, x ∈ Rp , x = 0 sao cho A(x) = 0 6
  8. L i nói đ u và ∂Ai γ = det (xk ) = 0. ∂xk i,k=1,...,p Ta s ch ra r ng v i > 0 cho trư c và Gi thi t 1 − 3 đư c th a mãn thì (λ, 0) là m t nghi m r nhánh c a phương trình (1). Hơn v y, n u δ > 0 thì t n t i m t lân c n I3 c a 0 trong R sao cho v i m i α ∈ I3 , α = 0, có th tìm đư c x(α) = (x1 (α), x2 (α), . . . , xp (α)) ∈ U ∗ trong đó U ∗ là m t lân c n c a x = 0 trong Rn . Ngoài ra ta có th tìm đư c m t nghi m không t m thư ng (λ(α), v(α)) c a phương trình (1) v i p λ λ(α) = và v(α) = |α|xj (α)v j + o |α| khi α → 0 1 + |α|a−1 j=1 th a mãn |λ(α) − λ| < δ và 0 < v(α) < . T k t qu này ta có đư c m t s h qu c a bài toán tìm nghi m r nhánh c a phương trình (1). Khi vi t b n lu n văn này tác gi đã s d ng các tài li u [5], [7], [8], [10], trong đó đã nêu ra đư c đi u ki n đ đ giá tr riêng c a ph n tuy n tính là đi m r nhánh và công th c bi u di n nghi m c a phương trình theo véc tơ riêng. Chương 3. " ng d ng" trình bày m t s ng d ng c a lý thuy t r nhánh cho h phương trình trong v t lý bán d n t i siêu h p G ⊂ Rn , n = 1, 2, 3. H phương trình này đã đư c Roosbroeck đưa ra đ u tiên vào năm 1950 trong bài báo [11]. Lu n văn đư c hoàn thành t i Vi n Toán h c, Vi n Hàn lâm Khoa h c và Công ngh Vi t Nam, dư i s hư ng d n c a GS. TSKH. Nguy n Xuân T n. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c t i th y hư ng d n GS. TSKH. Nguy n Xuân T n, ngư i đã tr c ti p giúp đ và ch đ o t n tình 7
  9. L i nói đ u tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u và vi t b n lu n văn này. Xin chân thành c m ơn các th y cô giáo ph n bi n đã đ c và có nh ng nh n xét quý báu cho b n lu n văn này và tác gi cũng xin bày t lòng bi t ơn t i Ban lãnh đ o Vi n Toán h c, trung tâm đào t o sau đ i h c, các th y cô và cán b công nhân viên c a Vi n Toán h c đã quan tâm giúp đ , t o m i đi u ki n thu n l i cho tác gi trong su t th i gian h c t p và nghiên c u t i Vi n Toán h c. Tác gi cũng xin chân thành c m ơn các th y cô trong Khoa T nhiên, Ban giám hi u trư ng Cao đ ng Sư ph m T nh Đi n Biên; xin c m ơn gia đình và các b n l p cao h c Toán K19 - Vi n Toán h c đã quan tâm, giúp đ và đ ng viên tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u và vi t b n lu n văn này. Hà N i, ngày 15 tháng 08 năm 2013 Ph m Th Thu Phương 8
  10. Chương 1 Ki n th c chu n b Chương này trình bày m t s ki n th c cơ b n trư c khi ti p c n v i lý thuy t r nhánh, bao g m m t s đ nh nghĩa và đ nh lý đư c s d ng trong vi c ch ng minh các b đ và các đ nh lý trong lý thuy t r nhánh. 1.1 Không gian Banach Đ nh nghĩa 1.1.1. M t không gian đ nh chu n X là m t không gian vectơ, trong đó ng v i m i ph n t x ∈ X , ta có m t s ||x|| g i là chu n c a nó, sao cho các đi u ki n sau đư c th a mãn: (i) ||x|| ≥ 0, ∀ x ∈ X ; ||x|| = 0 ⇔ x = 0, (ii) ||λx|| = |λ|||x||, v i m i x ∈ X , m i λ ∈ R, (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈ X . Đ nh nghĩa 1.1.2. M t dãy cơ b n (dãy Cauchy) trong không gian đ nh chu n X là m t dãy xn ∈ X sao cho lim ||xn − xm || = 0. m,n→∞ 9
  11. Chương 1. Ki n th c chu n b Đ nh nghĩa 1.1.3. N u trong không gian đ nh chu n X m i dãy cơ b n đ u h i t , t c: ||xn − xm || → 0 −→ ∃x0 ∈ X sao cho xn −→ x0 , thì không gian y đư c g i là không gian đ nh chu n đ hay không gian Banach. Cho X là không gian tuy n tính. N u trên X có m t hàm song tuy n tính, đ i x ng ·, · : X × X → R th a mãn x, x ≥ 0 v i m i x ∈ X , x, x = 0 thì x = 0. Ta g i X là không gian ti n Hilbert. Hơn v y, n u ta đ nh nghĩa x = x, x , thì (X, . ) là không gian đ nh chu n. N u không gian này đ thì (X, ·, · ) đư c g i là không gian Hilbert. 1.2 Toán t liên h p, giá tr riêng, véc tơ riêng Cho hai không gian vectơ b t kỳ X và Y . M t ánh x A : X −→ Y g i là m t ánh x tuy n tính hay toán t tuy n tính n u (i) A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ), (ii) A(αx) = αA(x) v i ∀x ∈ X, ∀α ∈ R. Đ cho g n ta vi t Ax thay cho A(x) đ ch ph n t ng v i x trong ánh x A. Toán t A đư c g i là liên t c n u xn → x0 luôn kéo theo Axn → A(x0 ) v i m i dãy {xn } ∈ X , x0 ∈ X . Toán t A đư c g i là b ch n n u có m t h ng s K > 0 đ cho (∀x ∈ X) Ax Y ≤K x X Đ nh lý. M t toán t tuy n tính A : X → Y là liên t c khi và ch khi nó b ch n. 10
  12. Chương 1. Ki n th c chu n b Cho X và Y là hai không gian Banach v i X ∗ = {f |f : X −→ R} và Y ∗ = { g|g : Y −→ R } tương ng là các không gian đ i ng u c a X và Y . Cho A : X −→ Y là m t toán t tuy n tính liên t c. Toán t liên h p A∗ : Y ∗ −→ X ∗ c a A là toán t tuy n tính, đư c xác đ nh b i công th c: A∗ y, x = y, Ax (x ∈ X, y ∈ Y ∗ ). Cho X là không gian Hilbert, toán t tuy n tính liên t c A : X → X g i là đ i x ng n u ta có Ay, x = y, Ax . Ta nói m t toán t tuy n tính A trong không gian Banach X là hoàn toàn liên t c n u nó bi n m i t p b ch n thành m t t p hoàn toàn b ch n. M t toán t đ i x ng hoàn toàn liên t c A bao gi cũng có m t giá tr riêng λ v i |λ| = A . Ta nói m t s λ là giá tr riêng c a toán t A : X −→ X n u phương trình Ax = λx có nghi m không t m thư ng (nghĩa là x = 0). Khi y nghi m x này g i là m t véc tơ riêng c a A, ng v i tr riêng λ . 1.3 Toán t Fredholm Cho X , Y là hai không gian Banach, cho A : X −→ Y là m t toán t tuy n tính v i A∗ : Y ∗ −→ X ∗ là toán t liên h p. Xét các không gian con ker A = {x ∈ X|Ax = 0} và ker A∗ = {y ∈ Y ∗ |A∗ y = 0}. Các không gian này đư c g i là không gian riêng c a A và A∗ . N u dim ker A = p (p < +∞) và dim ker A∗ = q (q ≤ p, q < +∞) thì A đư c g i là toán t Fredholm v i ch s s = p − q . 11
  13. Chương 1. Ki n th c chu n b 1.4 Toán t liên t c Lipschitz, toán t th năng Cho X và Y là các không gian đ nh chu n, ta nói r ng (i) Toán t f : X −→ Y là liên t c Lipschitz n u t n t i h ng s L > 0 sao cho ||f (x) − f (y)||Y ≤ L||x − y||X v i m i x, y ∈ X , (ii) f là Lipschitz đ a phương t i x n u t n t i lân c n U x đ f là Lipschitz trên U . Xét toán t A : X → X ∗ , A đư c g i là toán t th năng n u t n t i hàm kh vi f : X → R sao cho A(x) = ∂f (x), v i ∂f (x) là vi phân c a f t i x. 1.5 Đ nh lý hàm n Cho X , Y và Z là các không gian Banach, U ⊂ X ×Y là m t t p m , f : U −→ Z là m t ánh x liên t c t i đi m (a, b) ∈ U th a mãn các đi u ki n sau: (i) f (a, b) = 0, (ii) Đ o hàm riêng fy t n t i trong U và liên t c t i (a, b), (iii) fy (a, b) ∈ Isom(Y, Z), (hay fy (a, b) là ánh x 1 − 1 và lên). Khi y, t n t i m t lân c n m V1 c a a trong X , m t lân c n m V2 c a b trong Y sao cho V1 × V2 ⊂ U , và m t ánh x g : V1 −→ V2 liên t c t i a sao cho v i ∀(x, y) ∈ V1 × V2 ta có f (x, y) = 0 ↔ y = g(x). 12
  14. Chương 2 Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh 2.1 Lý thuy t r nhánh Trong su t chương này X , Y luôn đư c coi là không gian Banach th c v i đ i ng u tương ng là X ∗ và Y ∗ . Chu n và tích vô hư ng gi a các ph n t c a X , X ∗ và Y , Y ∗ đư c kí hi u theo th t là ||.|| và ·, · . Λ là m t t p con m c a không gian đ nh chu n. Chu n c a không gian đ nh chu n ch a Λ h n ch trên Λ đư c kí hi u là |.|Λ . G i D là t p m ch a 0 trong X . Xét toán t phi tuy n F : Λ × D −→ Y, v i D là bao đóng c a D trong X . N u v i m i λ ∈ Λ t n t i v(λ) ∈ D sao cho F (λ, v(λ)) = 0 thì (λ, v(λ)) đư c g i là nghi m t m thư ng c a phương trình F (λ, v) = 0, (2.1) B ng cách t nh ti n, ta luôn có th gi thi t v(λ) = 0, ∀λ ∈ Λ, th t v y ∼ Đ t F (λ, v(λ)) := F (λ, v(λ) + v(λ)), 13
  15. Chương 2. Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh ∼ ⇒ F (λ, v(λ)) = 0 ⇔ F (λ, 0) = 0. ⇒ (λ, 0) là nghi m t m thư ng c a phương trình (2.1) M t nghi m t m thư ng (λ, 0) đư c g i là nghi m r nhánh c a phương trình (2.1) n u ∀δ > 0, ∀ > 0, ∃(λ, v) ∈ Λ × D là nghi m không t m thư ng v i |λ − λ|Λ < δ và 0 < ||v|| < . Hay nói cách khác, (λ, 0) là nghi m r nhánh c a phương trình (2.1) n u (λ, 0) ∈ cl{(λ, v) ∈ Λ × D|F (λ, v) = 0, v = 0}, v i cl(A) là bao đóng c a t p A. Khi đó, λ đư c g i là đi m r nhánh. Nh ng bài toán nghiên c u nghi m r nhánh c a phương trình (2.1) đư c g i là bài toán r nhánh. Trong lu n văn này ta luôn xét phương trình (2.1) v i F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v), t c là phương trình T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v), trong đó T : X −→ Y là toán t tuy n tính liên t c; L(λ, .) : X −→ Y là toán t tuy n tính liên t c v i λ ∈ Λ c đ nh; H : Λ × D −→ Y và K : Λ × D −→ Y. là các toán t phi tuy n liên t c sao cho v i m i λ ∈ Λ, ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0 . 14
  16. Chương 2. Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh Ta s xét s r nhánh c a phương trình (2.1) v i F : Λ × D −→ Y là toán t phi tuy n trong không gian C 1 (Λ × D, Y ) v i F (λ, 0) = 0 cho m i λ ∈ Λ. Ta xét phương trình F (λ, v) = 0 v i (λ, v) ∈ Λ × D. Theo khai tri n Taylor c a hàm F t i (λ, 0) ta có 1 F (λ, v) = F (λ, 0) + F (λ, 0)(v) + F (λ, 0)(v, v) + K1 (λ, v), 2 trong đó 1 K1 (λ, v) = F (λ, v) − F (λ, 0) − F (λ, 0)(v) − F (λ, 0)(v, v). 2 Do (λ, 0) là nghi m t m thư ng c a (2.1) nên 1 F (λ, v) = F (λ, 0)(v) + F (λ, 0)(v, v) + K1 (λ, v). 2 L y λ1 b t kỳ thu c Λ, áp d ng khai tri n Taylor c a F (λ, 0)(v) t i (λ1 , 0) ta có F (λ, 0)(v) = F (λ1 , 0)(v) + Fλ (λ1 , 0)(λ − λ1 )(v) 1 + Fλλ (λ1 , 0)(λ − λ1 , λ − λ1 )(v) + K2 (λ, 0)(v), 2 trong đó K2 (λ, 0)(v) = F (λ, 0)(v) − F (λ1 , 0)(v) − Fλ (λ1 , 0)(λ − λ1 )(v) 1 + Fλλ (λ1 , 0)(λ − λ1 , λ − λ1 )(v). 2 Do đó, F (λ, v) = F (λ1 , 0)(v) − Fλ (λ1 , 0)(λ1 )(v) + Fλ (λ1 , 0)(λ)(v) 1 1 + Fλλ (λ1 , 0)(λ − λ1 , λ − λ1 )(v) + F (λ, 0)(v, v) 2 2 + K1 (λ, v) + K2 (λ, 0)(v). 15
  17. Chương 2. Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh N u λ1 ∈ Λ sao cho t n t i v = 0 đ Fλ (λ1 , 0)(λ1 )(v) − F (λ1 , 0)(v) − Fλ (λ1 , 0)(λ)(v) = 0, thì ta đ t T (v) = Fλ (λ1 , 0)(λ1 )(v) − F (λ1 , 0)(v); L(λ, v) = Fλ (λ1 , 0)(λ)(v); 1 H(λ, v) = F (λ, 0)(v, v); 2 K(λ, v) = F (λ, v) + T (v) − L(λ, v) − H(λ, v). Trong trư ng h p này phương trình (2.1) c a ta có th vi t dư i d ng T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v) trong đó T : X −→ Y là toán t tuy n tính liên t c; L(λ, .) : X −→ Y là toán t tuy n tính liên t c v i λ ∈ Λ c đ nh; H : Λ × D −→ Y và K : Λ × D −→ Y. là các toán t phi tuy n liên t c sao cho v i m i λ ∈ Λ, ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0 . Ta s tìm đi u ki n c n và đ đ (λ, 0) là nghi m r nhánh c a phương trình (2.1) b ng phương pháp gi i tích. 16
  18. Chương 2. Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh 2.2 Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh 2.2.1 M t vài kí hi u và b đ Đ nh nghĩa 2.2.1. Cho T và L như trên, ta g i λ ∈ Λ là giá tr riêng c a c p (T, L) n u t n t i v ∈ X, v = 0 sao cho T (v) = L(λ, v). Xét phương trình T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v), (λ, v) ∈ Λ × D. (2.1) đư c xác đ nh như trên. Gi s λ là giá tr riêng c a c p (T, L) sao cho T − L(λ, .) là toán t Fredholm, t c ker(T − L(λ, .)) = {v ∈ X|T (v) − L(λ, v) = 0}, là không gian con tuy n tính h u h n chi u c a X , ker(T − L(λ, .))∗ = {γ ∈ Y ∗ |(T (v) − L(λ, v))∗ (γ) = 0}, là không gian con tuy n tính h u h n chi u c a Y ∗ . Gi s dim ker(T − L(λ, .)) = p (p < +∞); dim ker(T − L(λ, .))∗ = q (q < +∞, q ≤ p). Đ t s = p − q là ch s c a toán t Fredholm (T − L(λ, .)). Đ đơn gi n ta ch xét trư ng h p s = 0 (trư ng h p s > 0 ta nghiên c u tương t ) Ta có F (λ, 0) = 0. N u λ không là giá tr riêng c a c p (T, L) t c ker ( T − L (λ, .)) = { 0 } và (T − L(λ, .)) là ánh x 1 − 1 và lên, khi đó theo đ nh lý hàm n t F (λ, 0) = 0 suy ra (λ, 0) là nghi m nên t n t i lân c n 17
  19. Chương 2. Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh V λ, lân c n U 0 th a mãn (λ, 0) ∈ V × U và t n t i duy nh t ánh x v : V −→ U sao cho F (λ, v(λ)) = 0 ⇒ v(λ) = 0, ∀λ ∈ V. Đi u này ch ng t v i m i lân c n c a (λ, 0) thì (2.1) ch có nghi m d ng (λ, 0) hay (λ, 0) không là nghi m r nhánh c a (2.1). Do đó (λ, 0) là nghi m r nhánh c a (2.1) ch khi λ là giá tr riêng c a c p (T, L) hay ker (T − L(λ, .)) = { 0 } . Tuy nhiên đây ch là đi u ki n c n đ (λ, 0) là nghi m r nhánh c a (2.1) vì không ph i giá tr riêng nào c a ph n tuy n tính cũng là đi m r nhánh. Vì v y, đ nghiên c u s r nhánh c a phương trình (2.1) ta đi tìm đi u ki n đ đ (λ, 0) là nghi m r nhánh c a nó, v i λ là giá tr riêng c a c p (T, L). Gi s {v 1 , v 2 , . . . v p } là cơ s c a không gian ker(T − L(λ, .)) và gi s {ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ p } là cơ s c a không gian ker(T − L(λ, .))∗ . Theo đ nh lí Haln - Banach có th tìm đư c p phi m hàm tuy n tính liên t c γ 1 , γ 2 , . . . γ p trên X và p ph n t z 1 , z 2 , . . . z p c a Y sao cho:   1 khi i = j  v i , γ j = δij =  0 khi i = j,    1 khi n = m  z m , ψ n = δnm =  0 khi n = m,  trong đó i, j, n, m = 1, 2, . . . , p. Ta kí hi u các t p: X0 = ker(T − L(λ, .)) = [v 1 , v 2 , . . . , v p ]; X1 = {x ∈ X| x, γ i = 0, i = 1, 2, . . . , p}; 18
  20. Chương 2. Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh Y0 = [z 1 , z 2 , . . . , z p ]; Y1 = {y ∈ Y | y, ψ j = 0, j = 1, 2, . . . , p}, v i [z 1 , z 2 , . . . , z p ] kí hi u cho không gian sinh b i {z 1 , z 2 , . . . , z p }. D th y X = X0 ⊕ X 1 ; Y = Y0 ⊕ Y1 , toán t T − L(λ, .) h n ch trên X1 là tuy n tính liên t c t X1 lên Y1 . Ti p theo ta xét các phép chi u: PX : X −→ X0 ; PY : Y −→ Y0 ; QX : X −→ X1 ; QY : Y −→ Y1 . xác đ nh b i : p p j j PX (x) = x, γ v ; PY (y) = y, ψ i z i ; j=1 j=1 QX (x) = x − PX (x) ; QY (y) = y − PY (y). v i x ∈ X; y ∈ Y. Do F (λ, v) = 0 ∈ Y , mà m i ph n t y ∈ Y = Y0 ⊕ Y1 nên y đư c bi u di n dư i d ng y = PY (y) + QY (y) do đó   P (y) = 0  Y y=0⇔  QY (y) = 0  Vì th , đ tìm nghi m c a phương trình (2.1) ta đi tìm nghi m c a h phương trình   P  Y T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v) = 0, (2.2)  QY T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v) = 0.  19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài Chính Ngân Hàng
172 tài liệu
837 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2