Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số phức và một số dạng toán hình học phẳng liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán về tam giác đồng dạng, tam giác đều, diện tích tam giác, các điểm đặc biệt và các khoảng cách đặc biệt trong tam giác. Ngoài ra, luận văn còn trình bày một số bài toán về đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn và một số bài toán quỹ tích và dựng hình. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số phức và một số dạng toán hình học phẳng liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN KIÊN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN KIÊN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách kí hiệu iv Mở đầu 1 1 Số phức và hình học trên mặt phẳng phức 3 1.1 Mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tích thực của hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Tích phức của hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Áp dụng số phức vào giải một số bài toán tam giác 9 2.1 Tam giác đồng dạng và tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Một số điểm quan trọng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Một số khoảng cách quan trọng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Bất biến cơ bản của một tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Khoảng cách OI, ON, OH, OG . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Một số bài toán về diện tích trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Áp dụng số phức vào giải một số bài toán về đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn 37
ii 3.1 Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Hai tam giác cùng nội tiếp một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Một số bài toán về đa giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 Bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích 52 4.1 Một số bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 Một số bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59
iii Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Ngô Văn Định. Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Ngô Văn Định, người đã đưa ra đề tài và dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc của em trong suốt quá trình nghiên cứu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã tham gia giảng dạy và Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em học tập và nghiên cứu. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học K7B đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Hùng Thắng - Huyện Tiên Lãng - Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tập. Tôi cảm ơn đại gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
iv Danh sách kí hiệu R tập hợp số thực C tập hợp số phức Im z phần ảo của số phức z Re z phần thực của số phức z arg z argument của số phức z |z| môđun của số phức z z số phức liên hợp của số phức z A(a) điểm A biểu diễn cho số phức a z·w tích thực của hai số phức z và w z×w tích phức của hai số phức z và w
1 Mở đầu Số phức là một tập hợp số quan trọng trong toán học. Trong chương trình toán học ở trường phổ thông trung học hiện nay, số phức mới chỉ được giới thiệu về định nghĩa, các phép toán, dạng đại số, dạng lượng giác và một số tính chất cơ bản. Tuy nhiên, số phức có rất nhiều ứng dụng trong giải toán. Đặc biệt, trong giải toán sơ cấp, số phức có thể được sử dụng để giải các bài toán thuộc các chuyên đề khác nhau như: hình học, đại số tổ hợp, tích phân, lượng giác, ... Mục đích của luận văn là trình bày ứng dụng của số phức vào giải một số dạng toán hình học phẳng, đặc biệt là các dạng toán giải tam giác (tức là các bài toán liên quan đến các vấn đề trong tam giác). Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng 2 chiều và ngược lại, mỗi điểm trong mặt phẳng hai chiều biểu diễn một số phức. Với tương ứng 1 − 1 này, ta có thể chuyển đổi các tính chất hình học trên mặt phẳng về các phép toán đối với các số phức. Từ đó, ta chuyển được các bài toán hình học phẳng thành các bài toán đại số trên tập hợp số phức. Các bài toán giải tam giác thường được quan tâm rất nhiều trong chương trình hình học phẳng ở trường phổ thông. Ngay từ khi học sinh được làm quen với hình học phẳng thì tam giác là hình đa giác được giới thiệu rất kĩ lưỡng với nhiều yếu tố. Các bài toán về tam giác vô cùng phong phú. Luận văn trình bày ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán về tam giác đồng dạng, tam giác đều, diện tích tam giác, các điểm đặc biệt và các khoảng cách đặc biệt trong tam giác. Ngoài ra, luận văn còn trình bày một số bài toán về đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn và một số bài toán quỹ tích và dựng hình.
2 Cấu trúc luận văn Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 4 chương: • Chương 1: Số phức và hình học trên mặt phẳng phức. Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách sơ lược về số phức và một số phép toán số phức liên quan đến giải tích trên mặt phẳng mà sẽ được sử dụng trong các chương tiếp theo. • Chương 2: Áp dụng số phức vào giải một số bài toán tam giác. Chương này trình bày về ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán về tam giác. Đầu chương chúng tôi trình bày về điều kiện cần và đủ của hai tam giác đồng dạng và tam giác đều. Đồng thời, chúng tôi trình bày thêm một số bài tập áp dụng các tính chất này. Trong mục 2.2 chúng tôi trình bày công thức tổng quát xác định tọa độ của các điểm đặc biệt trong tam giác, như: trọng tâm, trực tâm, điểm Gergonne, điểm Nagel, ... Trong các mục tiếp theo, chúng tôi trình bày về áp dụng số phức trong tính toán khoảng cách và diện tích trong tam giác. • Chương 3: Áp dụng số phức vào giải một số bài toán về đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn. Trong chương này, chúng tôi trình bày về một số tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác như: tam giác pedal, đường Simson-Wallance, tính trực giao cực của hai tam giác cùng nội tiếp một đường tròn. Cuối chương, chúng tôi trình bày áp dụng của số phức vào một số bài toán về đa giác đều. • Chương 4: Áp dụng số phức vào giải một số bài toán dựng hình và một số bài toán quỹ tích. Do khối lượng kiến thức lớn và thời gian nghiên cứu chưa đủ dài, chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Vũ Văn Kiên Email: kien78thptht@gmail.com
3 Chương 1 Số phức và hình học trên mặt phẳng phức Trong chương đầu tiên này, chúng tôi trình bày sơ lược về số phức và một số phép toán của số phức liên quan đến hình học phẳng sẽ được sử dụng cho các chương tiếp theo. Ở đây, chúng tôi không trình bày lại định nghĩa về số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân và chia số phức thông thường. Chúng tôi chủ yếu trình bày trong chương này khái niệm về tích thực và tích phức của hai số phức, Ngoài ra, chúng tôi có trình bày thêm mối liên hệ giữa phép nhân số phức với một số phức có môđun bằng 1 và phép quay trên mặt phẳng. Phần cuối chương, chúng tôi trình bày một số công thức tính diện tích tam giác dựa vào các tọa độ phức của các đỉnh. 1.1 Mặt phẳng phức Ta biết rằng mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng 2 chiều Oxy và mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy là biểu diễn hình học của một số phức duy nhất. Nếu M là điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức m thì ta nói số phức m là tọa vị của điểm M và viết M (m). Trong suốt luận văn này, trừ những chỗ ghi cụ thể, chúng tôi quy ước sử dụng kí hiệu chữ cái in hoa cho điểm nằm trên mặt phẳng và chữ cái thường tương ứng là tọa vị phức của điểm đó.
4 1.2 Tích thực của hai số phức Định nghĩa 1.1. Cho a và b là hai số phức. Tích thực của hai số phức a và b là số, kí hiệu a · b, được xác định bởi công thức sau 1 a·b= ab + ab . 2 Theo định nghĩa, ta có 1 a·b= ab + ab = a · b. 2 Do đó a · b là một số thực, điều đó giải thích cho tên gọi của phép toán này. Giả sử a và b lần lượt có dạng đại số là: a = x1 + y1 i, b = x2 + y2 i, với x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R. Khi đó, ta có a · b = x1 x2 + y1 y2 . Gọi A và B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức a và b. Xét mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy ta dễ thấy rằng tích thực a · b chính là tích vô hướng của hai −→ −−→ véc tơ OA và OB. Với nhận xét này, chúng ta dễ dàng có được các tính chất dưới đây của tích thực. Định lí 1.1. Cho các số phức a, b, c, z ta có các mối quan hệ sau 2 (1) a · a = |a| . (2) a · b = b · a. (3) a · (b + c) = a · b + a · c. (4) (αa) · b = α (a · b) = a · (αb) với mọi α ∈ R. (5) a · b = 0 khi và chỉ khi OA ⊥ OB. 2 (6) (az) · (bz) = |z| (a · b). Chứng minh. Các tính chất (1), (2), (3), (4), (5) được suy ra trực tiếp từ tính chất của tích vô hướng. Tính chất (6) dễ dàng có được từ định nghĩa của tích thực.
5 Định lí 1.2. Giả sử A(a), B(b), C(c) và D(d) là bốn điểm phân biệt trên mặt phẳng phức. Các phát biểu sau là tương đương: (1) AB ⊥ CD. (2) (b − a) · (c − d) = 0. b−a b − a (3) ∈ iR∗ , hay tương đương với Re = 0. d−c d−c Chứng minh. Lấy điểm M (b − a) và điểm N (d − c), khi đó OABM và OCDN là hai hình bình hành. Ta lại có AB ⊥ CD khi và chỉ khi OM ⊥ ON . Điều đó có nghĩa là mn = (b − a)(d − c) = 0, theo Định lí 1.1 (5) ở trên. Suy ra (1) tương đương với (2). Mặt khác, từ định nghĩa của tích thực ta dễ thấy rằng (2) tương đương với (3). Nhận xét: Nếu xét mặt phẳng phức với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc thì số −→ −−→ phức b − a và d − c lần lượt là tọa vị của các véc tơ AB và CD. Do đó, ta cũng dễ dàng thấy được (1) tương đương với (2). Định lí 1.3. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ trong mặt phẳng phức. Nếu a, b, c là tọa vị của A, B, C thì trực tâm H có tọa vị là h = a+b+c. Chứng minh. Sử dụng tích thực của số phức, các phương trình đường cao AA0 , BB và CC 0 của tam giác ABC là AA0 : (z − a) · (b − c) = 0, BB 0 : (z − b) · (c − a) = 0, CC 0 : (z − c) · (a − b) = 0. Nhận thấy điểm có tọa vị h = a + b + c nằm trên cả ba đường cao của tam giác. Thật vậy, ta có (h − a) · (b − c) = (b + c) · (b − c) = b · b − c · c = |b|2 − |c|2 = 0. Suy ra H thuộc AA0 . Tương tự, ta có H thuộc BB 0 và H thuộc CC 0 .
6 1.3 Tích phức của hai số phức Định nghĩa 1.2. Cho a và b là hai số phức. Tích phức của hai số phức a và b là một số, kí hiệu a × b, xác định bởi 1 a×b= ab − ab . 2 Chú ý rằng, với hai số phức a, b bất kì, ta có 1 1 a×b+a×b= ab − ab + ab − ab = 0. 2 2 Tức là Re(a × b) = 0 hay tích phức của hai số phức là một số thuần ảo. Từ định nghĩa ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định trong định lý sau: Định lí 1.4. Giả sử a, b, c là các số phức. Khi đó (1) a × b = 0 khi và chỉ khi hoặc a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = λb, với λ là số thực. (2) a × b = −b × a (tích phức không có tính chất giao hoán). (3) a × (b + c) = a × b + a × c. (4) α (a × b) = (αa) × b = a × (αb) với mọi α ∈ R. Nhận xét: Từ khẳng định (1) của định lý 1.4 ta thấy rằng, nếu A(a), B(b) là các điểm riêng biệt thì a × b = 0 khi và chỉ khi ba điểm O, A, B thẳng hàng. 1.4 Phép quay Cho số phức ε = cos α + i sin α. Xét phép biến đổi rε : C → C, rε (z) = εz. Nếu z = p(cos t + i sin t) thì rε (z) = εz = p [cos (t + α) + i sin (t + α)] . Trên mặt phẳng phức, điểm M 0 (rε (z)) chính là ảnh của điểm M (z) qua phép quay tâm O và góc quay α. Tổng quát hơn, mệnh đề sau đây cho chúng ta biểu thức tọa vị phức xác định phép quay góc α với tâm quay là một điểm A bất kỳ.
7 Hình 1.1. Mệnh đề 1.1. Giả sử điểm C là ảnh của B qua phép quay tâm A góc quay α. Nếu a, b, c là tọa vị của A, B, C phân biệt thì c = a + (b − a)ε với ε = cos α + i sin α. Chứng minh. Tịnh tiến gốc tọa độ về điểm A. Khi đó các điểm B và C có tọa vị mới lần lượt là b − a và c − a. Do điểm C là ảnh của B qua phép quay góc α tâm A nên ta có c − a = (b − a)ε. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1.5 Diện tích tam giác Trong mục này chúng tôi giới thiệu một số công thức tính diện tích của tam giác thông qua tọa vị phức của các đỉnh. Định lí 1.5. Diện tích tam giác ABC trong mặt phẳng phức bằng môđun của số phức
a a 1
i