Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự phân bố nghiệm và nghiệm số của phương trình đại số một ẩn

Chia sẻ: Thuan Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn "Sự phân bố nghiệm và nghiệm số của phương trình đại số một ẩn" được hoàn thành với mục tiêu nhằm tìm hiểu các khái niệm về nghiệm của phương trình đa thức một ẩn; Tìm hiểu về sự phân bố của nghiệm phương trình đa thức một ẩn (các phương trình đại số một ẩn đều có thể đưa về được phương trình đa thức một ẩn, do đó trong luận văn này tôi chỉ nghiên cứu đối với phương trình đa thức một ẩn).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự phân bố nghiệm và nghiệm số của phương trình đại số một ẩn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÂM QUANG THUẬN SỰ PHÂN BỐ NGHIỆM VÀ NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ MỘT ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 Đà Nẵng, năm 2022
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÂM QUANG THUẬN SỰ PHÂN BỐ NGHIỆM VÀ NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ MỘT ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. CHỬ VĂN TIỆP Đà Nẵng, năm 2022
Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Hàm liên tục, hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Đa thức, nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Khoảng chặn nghiệm của đa thức . . . . . . . . . 12 1.3 Ước chung lớn nhất của hai đa thức . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Một số bổ đề và định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Sự phân bố nghiệm phương trình đa thức một ẩn 20 2.1 Định lý Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Quy tắc dấu Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Dãy Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Định lý Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Phương pháp số giải gần đúng phương trình phi tuyến 45 3.1 Phương pháp chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Phương pháp lặp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.2 Cách chọn điểm x0 để đảm bảo thuật toán hội tụ 59 2
3.4.3 Thuật toán Newton cải tiến cho trường hợp nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Phương pháp dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6 Phương pháp Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu tham khảo 71 3
Lời nói đầu Lời nói đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, sự tri ân sâu sắc đến thầy TS. Chử Văn Tiệp, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu, động viên để tôi nghiên cứu và thực hiện đề tài luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô khoa Toán của trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng, những người đã tận tâm giảng dạy và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập và tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn. Đà Nẵng, tháng 6 năm 2022. Tác giả Lâm Quang Thuận 4
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Việc giải phương trình đại số là một trong những dạng toán cơ bản của toán học phổ thông. Đây là một bài toán hay và khó. Trong khoảng ba thiên niên kỷ, cho đến đầu thế kỷ XIX, thuật ngữ "đại số" có nghĩa là giải phương trình đa thức, chủ yếu là bậc bốn trở xuống. Hầu hết các nền văn minh cổ đại lớn, Babylon, Ai Cập, Trung Quốc và Hindu đều phải giải quyết bài toán tìm nghiệm các phương trình đa thức, chủ yếu là các phương trình tuyến tính và bậc hai. Việc giải các phương trình bậc hai đã được bắt đầu từ thời Babylon cách đây gần 4000 năm. Các nhà toán học thời đó sử dụng công thức tương đương với công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong các sách giáo khoa phổ thông hiện nay. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu với phương trình bậc ba, ta có công thức nghiệm tương tự như phương trình bậc hai không? Nghiệm của phương trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = 0 mãi đến thế kỷ XVI mới được tìm ra. Khoảng năm 1515, S. del Ferro tìm ra một nghiệm của phương trình bậc ba nhưng ông không công bố. Nghiệm này cũng được Tartaglia phát hiện vào năm 1535 và ông đã tiết lộ cho G. Cardano công thức này với yêu cầu phải giữ bí mật. Sau này, Cardano đã công bố công thức nghiệm của phương trình bậc ba trong công trình nổi tiếng của ông "Ars Magna" (xem [5]). Bước đầu tiên trong cách giải này là đưa phương trình bậc ba tổng quát về dạng y 3 + py + q = 0 bằng a phép đổi biến y = x + . Từ đó ông xây dựng công thức nghiệm của 3 phương trình bậc ba thu gọn dưới dạng: s r s r 3 q p 3 q 2 3 q p 3 q 2 y= − + + + − − + . 2 3 2 2 3 2 5
Rất nhanh chóng sau đó, một học trò của Cardano là L. Ferrari đã tìm được công thức nghiệm của phương trình bậc bốn. Công thức này cũng là một các biểu thức chỉ chứa các căn thức và các phép toán đại số cơ bản. Từ đây nảy sinh câu hỏi liệu có tồn tại các công thức nghiệm tương tự cho các phương trình đa thức bậc lớn hơn 4 hay không. Đến đầu thế kỷ thứ XIX, Abel chỉ ra rằng không thể tìm thấy một công thức tổng quát như vậy. Ngay sau đó, Galois, thiên tài toán học người Pháp đã xây dựng một hệ thống lý thuyết về sau được gọi là “lý thuyết Galois” nhằm đưa ra tiêu chuẩn để một phương trình đa thức có nghiệm được biểu diễn bởi các biểu thức chứa căn thức. Ý tưởng thiên tài đó của Galois đã mở ra một thời kỳ phát triển rực rỡ và đạt tới đỉnh điểm của không chỉ riêng ngành Toán học hiện đại mà còn là các ngành khoa học khác liên quan như: Cơ học lượng tử, khoa học vũ trụ,. . . Công trình của Abel và Galois đánh chấm hết cho hy vọng giải chính xác nghiệm của mọi phương trình đa thức bậc bậc lớn hơn 4 của nhân loại trong suốt mấy ngàn năm. Tuy nhiên cần lưu ý rằng các phương pháp xấp xỉ để giải gần đúng phương trình bậc ba, bốn đã được sử dụng rộng rãi trước khi các công thức nghiệm chính xác được tìm ra (xem [8, 9]). Hơn nữa, công thức nghiệm bằng căn thức mặc dù chính xác về lý thuyết nhưng khá cồng kềnh nên ít có giá trị trong thực tiễn cuộc sống. Mặt khác, định lý cơ bản của đại số (xem [6]) cho ta biết rằng mọi phương trình đa thức bậc n có tối đa n nghiệm thực kể cả bội, vậy bài toán đặt ra là làm sao có thể định vị được tất cả các nghiệm thực của phương trình đa thức bậc n này. Nói một cách cụ thể hơn, cho trước một phương trình đa thức bậc n Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 (1) với các ai ∈ R là các số cho trước, với an ̸= 0, chúng ta muốn trả lời các câu hỏi sau: 1. Phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm thực đơn, bao nhiêu nghiệm thực bội với số bội tương ứng. 2. Xác định được vị trí tất cả các nghiệm thực của phương trình (1) trên trục số. 6
3. Xác định được gần đúng tất cả các nghiệm thực của phương trình (1). y y = Pn (x) x Việc tìm nghiệm của phương trình đa thức đóng vai trò quan trọng trong một số ngành toán học hiện đại như lý thuyết số đại số, lý thuyết Galois, lý thuyết trường, lý thuyết số siêu việt, hình học đại số ... Chính vì vậy, dưới sự gợi ý của thầy hướng dẫn TS. Chử Văn Tiệp, tôi chọn đề tài: "Sự phân bố nghiệm và nghiệm số của phương trình đại số một ẩn" để làm luận văn thạc sĩ. 2. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của đề tài là sự phân bố nghiệm của phương trình đa thức một ẩn bậc n và nghiệm số của phương trình phi tuyến một ẩn. 3. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu Tìm hiểu các khái niệm về nghiệm của phương trình đa thức một ẩn. Tìm hiểu về sự phân bố của nghiệm phương trình đa thức một ẩn (các phương trình đại số một ẩn đều có thể đưa về được phương trình đa thức một ẩn, do đó trong luận văn này tôi chỉ nghiên cứu đối với phương trình đa thức một ẩn). Giải gần đúng tất cả các nghiệm của phương trình phi tuyến. 7
4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh điển và các bài báo mới. Tổng hợp và thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu. Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn để cải tiến, thiết lập các kết quả tốt hơn. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết và ứng dụng. Đề tài góp phần bổ sung thêm một hướng tiếp cận khác trong việc giải phương trình đa thức. Luận văn sau khi hoàn thành sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giảo viên và học sinh phổ thông cũng như những độc giả quan tâm đến việc giải gần đúng các phương trình nói chung và phương trình đa thức nói riêng. 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chương chính. Phần mở đầu: Giới thiệu nội dung nghiên cứu của luận văn. Phần nội dung: Luận văn bao gồm ba chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Nêu một số kiến thức hỗ trợ cho chương 2 và chương 3. Chương 2. Sự phân bố nghiệm phương trình đa thức một ẩn. Trình bày một số định lý quan trọng (Định lý Fourier, Quy tắc dấu Descartes, Dịnh lý Sturm) và các ví dụ áp dụng minh họa cho định lý đã nêu. Chương 3. Phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Trình bày một số phương pháp tìm nghiệm số của phương trình phi tuyến, các ví dụ và chạy chương trình MATLAB để minh họa. Phần kết luận: Tổng kết các kết quả đã đạt được, một số vấn đề chưa giải quyết được của luận văn và nêu hướng phát triển tiếp theo của đề tài. 8
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết cho chương sau. Chi tiết độc giả có thể xem thêm tài liệu tham khảo [2, 6, 7]. 1.1 Hàm liên tục, hàm khả vi 1.1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 (Hàm liên tục). Cho X ⊆ R, hàm số f : X −→ R và điểm x0 ∈ X. Nếu với mọi ε > 0 bao giờ cũng tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ {x ∈ X : |x − x0 | < δ} ta đều có |f (x) − f (x0 )| < ε thì ta nói hàm f liên tục tại x0 . Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X thì ta nói f liên tục trên X. Định nghĩa 1.1.2 (Liên tục một bên). Cho A ⊆ R, hàm số f : A −→ R gọi là liên tục phải tại điểm x0 ∈ A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ {x ∈ A : x0 ≤ x < x0 + δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε. Tương tự f liên tục trái tại điểm x0 ∈ A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ {x ∈ A : x0 − δ < x ≤ x0 } ta có |f (x) − f (x0 )| < ε. Như vậy, hàm số f : A −→ R liên tục tại điểm x0 ∈ A khi và chỉ khi f liên tục phải và liên tục trái tại x0 . Định nghĩa 1.1.3 (Liên tục trên đoạn). Cho hàm số f : [a, b] −→ R. Nếu f liên tục trên (a, b), liên tục phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b thì ta nói f liên tục trên đoạn [a, b]. 9
Định nghĩa 1.1.4 (Hàm khả vi). Giả sử f là hàm số xác định trên khoảng U ⊆ R và x0 ∈ U . Nếu tồn tại f (x0 + ∆x) − f (x0 ) lim ∈ R. ∆x→0 ∆x thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f tại điểm x0 và được kí hiệu là f ′ (x0 ). Hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 được gọi là khả vi tại điểm x0 . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm trong U . Khi đó ta cũng nói hàm số f có đạo hàm f ′ trên U . 1.1.2 Định lý giá trị trung bình Định lý 1.1.1 (Định lý Bolzano). Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f (a)f (b) < 0. Khi đó, tồn tại ít nhất một giá trị c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0. Định lý 1.1.2 (Định lý Rolle). Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và f (a) = f (b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f ′ (c) = 0. Với hàm f được xác định như trong Định lý 1.1.2, Định lý Rolle cho ta hệ quả sau: Hệ quả 1.1.3. Giả sử x1 < x2 < ... < xn là n nghiệm của phương trình f ′ (x) = 0. Khi đó, phương trình f (x) = 0 có không quá n + 1 nghiệm phân biệt. Hơn nữa, n + 1 nghiệm này (nếu có) lần lượt nằm trong n + 1 khoảng hoặc nửa khoảng (−∞, x1 ), [x1 , x2 ), ..., [xn , ∞). Ví dụ 1.1.1. Tìm sự phân bố nghiệm phương trình: 3x5 − 25x3 + 60x − 20 = 0. Lời giải. Đặt f (x) = 3x5 − 25x3 + 60x − 20, ta có: f ′ (x) = 15x4 − 75x2 + 60. f ′ (x) = 15(x2 −1)(x2 −4) = 0 ta thu được bốn nghiệm x = ±1, x = ±2. Do đó f (x) = 0 có tối đa năm nghiệm nằm trong năm khoảng (−∞, −2), (−2, −1), (−1, 1), (1, 2), (2, +∞). Xét dấu của f (−∞), f (−2), ... ta có bảng: 10
x −∞ −2 −1 1 2 +∞ f (x) − − − + − + Kết hợp Định lý Bolzano, ta có phương trình vô nghiệm trong khoảng (−∞, −1) và có ba nghiệm thực phân biệt lần lượt trong khoảng (−1, 1), (1, 2), (2, +∞). Định lý 1.1.4 (Định lý Lagrange). Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b). Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho: f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a). Định lý 1.1.5 (Khai triển Taylor). Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n trên khoảng (a, b) và một điểm x0 ∈ (a, b) bất kì, khi đó: f ′ (x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + ... + (x − x0 )n + o((x − x0 )n ). 1! n! 1.2 Đa thức, nghiệm của đa thức 1.2.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 (Đa thức). Cho hàm số: f : R −→ R được cho bởi công thức: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 , với a0 , a1 , ..., an ∈ R, n ∈ N. Hàm số f (x) xác định như thế được gọi là đa thức ẩn x. Các số ai (i ≥ 1) được gọi là hệ số bậc i; a0 được gọi là hệ số tự do. Nếu an ̸= 0 thì an được gọi là hệ số cao nhất, n được gọi là bậc của đa thức f (x), kí hiệu n = deg f (x). Nếu an = an−1 = ... = a0 = 0 thì khi đó đa thức f (x) = 0 được gọi là đa thức không (hay đa thức đồng nhất bằng không). Đa thức không quy ước không có bậc. Định lý 1.2.1. Hàm đa thức bậc n liên tục trên R và khả vi vô hạn lần. 11
Định lý 1.2.2. Cho f (x) và g(x) là hai đa thức bất kì, g(x) ̸= 0. Khi đó tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) thỏa mãn deg r(x) < deg g(x) hoặc r(x) = 0 sao cho: f (x) = g(x)q(x) + r(x). Định nghĩa 1.2.2 (Phép chia đa thức, phép chia hết). Các đa thức f (x), g(x), q(x), r(x) có trong Định lý 1.2.2 lần lượt được gọi là đa thức bị chia, đa thức chia, đa thức thương và đa thức dư. Khi đó, ta nói f (x) chia g(x) được thương là q(x) dư là r(x). Đa thức f (x) chia hết cho g(x) khi và chỉ khi r(x) = 0. Định nghĩa 1.2.3 (Nghiệm của đa thức). Với c là một số thực (hoặc phức), nếu f (c) = 0 thì c được gọi là nghiệm của đa thức f (x) (hay nghiệm phương trình f (x) = 0). Định nghĩa 1.2.4 (Nghiệm đơn). Với c là một số thực, nếu đa thức f (x) chia hết cho (x − c) mà không chia hết cho (x − c)2 thì c được gọi là nghiệm đơn của đa thức f (x). Định nghĩa 1.2.5 (Nghiệm bội). Với c là một số thực và số nguyên k ≥ 2, nếu đa thức f (x) chia hết cho (x − c)k mà không chia hết cho (x − c)k+1 thì c được gọi là nghiệm bội k của đa thức f (x). Trong luận văn này, ta quy ước: (1) c là nghiệm được hiểu là nghiệm thực, (2) c là nghiệm bội k = 0 được hiểu là c không là nghiệm, (3) c là nghiệm bội k = 1 được hiểu là c là nghiệm đơn, (4) c là nghiệm bội được hiểu là c là nghiệm bội hai trở lên. Định lý 1.2.3. Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm (nghiệm bội k được tính là k nghiệm). 1.2.2 Khoảng chặn nghiệm của đa thức Sẽ thuận lợi hơn trong việc tìm khoảng nghiệm thực của đa thức nếu chúng ta biết phạm vi nghiệm nó. Ví dụ, dễ dàng nhận thấy nếu tất cả các hệ số của đa thức đều dương, khi đó nếu đa thức có nghiệm 12
thì nghiệm của nó phải bé hơn 0. Tức là ta cần tìm một khoảng D ⊂ R, sao cho nếu đa thức f (x) có nghiệm thì nghiệm của nó nằm trong D. Bổ đề sau sẽ giúp ta tìm được khoảng D đó. Bổ đề 1.2.4. Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 với b an ̸= 0. Đặt b = max{|an−1 |, |an−2 |, ..., |a0 |}, K = + 1. Với mỗi số |an | thực s mà |s| ≥ K thì: |an sn | > |an−1 sn−1 + ... + a1 s + a0 |. Chứng minh. Với mỗi số thực s sao cho |s| ≥ K, ta có: |an−1 sn−1 + ... + a1 s + a0 | ≤ |an−1 sn−1 | + ... + |a1 s| + |a0 | b ≤ b(|s|n−1 + ... + |s| + 1) = (|s|n − 1) |s| − 1 b ≤ (|s|n − 1) = |an |(|s|n − 1) < |an sn |. K −1 Hệ quả 1.2.5. Với K được xác định như Bổ đề 1.2.4, khi |s| ≥ K thì: |f (s)| = |an xn + an−1 sn−1 + ... + a1 s + a0 | ≥ |an sn | − |an−1 sn−1 + ... + a1 s + a0 | > 0. Do đó, nếu đa thức f (x) có nghiệm thì nghiệm của nó nằm trong khoảng (−K, K). Ví dụ 1.2.1. Xét phương trình 2x4 + 12x3 − 36x2 − 38x − 48 = 0. Áp dụng Bổ đề 1.2.4, ta tìm được: b = max{|an−1 |, |an−2 |, ..., |a0 |} = 48, b K= + 1 = 25. |an | Vậy ta chỉ cần tìm nghiệm trong khoảng (−25, 25) để giải phương trình này. 13
1.3 Ước chung lớn nhất của hai đa thức Định nghĩa 1.3.1 (Ước của đa thức). Nếu đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) thì ta nói g(x) là một ước của f (x). Kí hiệu g(x) | f (x). Định nghĩa 1.3.2 (Ước chung của hai đa thức). Nếu f (x) và g(x) cùng chia hết cho h(x) thì ta nói h(x) là một ước chung của f (x) và g(x). Kí hiệu h(x) | (f (x), g(x)). Định nghĩa 1.3.3 (Ước chung lớn nhất của hai đa thức). Cho f (x) và g(x) là các đa thức không đồng thời bằng đa thức không. Đa thức d(x) được gọi là ước chung lớn nhất của f (x) và g(x) nếu d(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (1) d(x) có hệ số cao nhất bằng 1, (2) d(x) là một ước chung của f (x) và g(x), (3) nếu d0 (x) là một ước chung của f (x) và g(x) thì d0 (x) cũng là ước của d(x). Ước chung lớn nhất của hai đa thức f (x) và g(x) được kí hiệu là (f (x), g(x)). Định lý 1.3.1. Cho hai đa thức f(x), g(x) (g(x) ̸= 0) trong đó deg f (x) ≥ deg g(x). Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó: (1) nếu r(x) = 0 thì (f (x), g(x)) = a−1 g(x), với a là hệ số cao nhất của g(x), (2) nếu r(x) ̸= 0 thì (f (x), g(x)) = (g(x), r(x)). Chứng minh. Nếu r(x) = 0 thì f (x) = g(x).q(x). Khi đó đa thức a−1 g(x) rõ ràng thoả mãn ba điều kiện của định nghĩa 1.3.3 nên (f (x), g(x)) = a−1 g(x). Nếu r(x) ̸= 0, đặt d1 (x) = (f (x), g(x)) và d2 (x) = (g(x), r(x)). Vì d1 (x) | g(x) nên d1 (x) | (g(x)q(x)) kéo theo d1 (x) | (f (x)−g(x)q(x)) = r(x), suy ra d1 (x) là ước chung của f (x), r(x), theo định nghĩa 1.3.3 thì d1 (x) | d2 (x). Tương tự, d2 (x) | g(x) nên d2 (x) | (g(x)q(x)) kéo theo d2 (x) | (g(x)q(x) + r(x)) = f (x), suy ra d2 (x) là ước chung của 14
f (x), g(x), do đó d2 (x) | d1 (x). Vậy d1 (x) là ước của d2 (x) và d2 (x) cũng là ước của d1 (x). Mặc khác, d1 (x) và d2 (x) đều có hệ số cao nhất bằng 1 nên d1 (x) = d2 (x) hay (f (x), g(x)) = (g(x), r(x)). Định lý 1.3.2 (Thuật toán Euclide). Cho hai đa thức f0 (x), f1 (x) với f1 (x) ̸= 0 và deg f0 (x) ≥ deg f1 (x). Bằng quy nạp, đa thức fi+1 (x) được xác định là phần dư trong phép chia fi−1 (x) cho fi (x) (i ≥ 1). Khi đó: (1) ta thu được dãy hữu hạn f0 (x), f1 (x), ...fm (x), fm+1 (x) (m ≥ 1) với fm+1 (x) = 0, (2) a−1 fm (x) = (f1 (x), f0 (x)), với a là hệ số cao nhất của fm (x). Hơn nữa: a−1 fm (x) = (fm (x), fm−1 (x)) = ... = (f1 (x), f2 (x)) = (f1 (x), f0 (x)). Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được (1), dãy f0 (x), f1 (x), .., fm+1 (x) là hữu hạn vì nếu nó vô hạn thì ta có một dãy bậc giảm vô hạn là deg f0 (x) ≥ deg f1 (x) > ... > deg fm (x) > ..., điều này vô lý. Và fm+1 (x) = 0 vì trong phép chia fm−1 (x) cho fm (x) ta có hoặc là fm (x) bằng hằng số, hoặc là fm−1 (x) chia hết cho fm (x), khi đó ta đều thu được đa thức dư fm+1 (x) = 0. Với Định lý 1.3.1, ta suy ra được (2). Cách tìm fm (x) như thế là một cách để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức. 1.4 Một số bổ đề và định lý Bổ đề 1.4.1. Cho đa thức f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn với |a0 | a0 an ̸= 0. Đặt c = max{|a1 |, |a2 |, ..., |an |} và H = . Khi đó với |a0 | + c mỗi số thực s mà |s| ≤ H thì |a0 | > |a1 s + a2 s2 + ... + an sn |. 15
1 ̸ 0, đặt g(y) = y n f Chứng minh. Với mỗi y = . Khi đó: y g(y) = a0 y n + a1 y n−1 + ... + an−1 y + an . Với đa thức g(y), ta tìm được giá trị b trong Bổ đề 1.2.4 bằng với c và 1 giá trị K trong Bổ đề 1.2.4 bằng với , thật vậy: H 1 |a0 | + c c b = = +1= + 1 = K. H |a0 | |a0 | |a0 |
1