Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THỊ HIẾU NGHĨA

TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THỊ HIẾU NGHĨA

TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

Chuyên ngành : Đại số và Lí thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn

PGS.TS. Trần Tuấn Nam

Thành phố Hồ Chí Minh 2012

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 4

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU .......................................................................... 8

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 9

1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN ................................................. 9

1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN ............... 11

1.3 GIỚI HẠN THUẬN ............................................................................................. 13

1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ...................................................... 15

1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG................................. 17

1.7 DÃY PHỔ ............................................................................................................. 23

CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC .................................................. 28

2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC ........... 28

2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG

ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC ...................................................... 29

KẾT LUẬN .................................................................................................... 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 46

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS

Trần Tuấn Nam. Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy vì đã lựa chọn một đề tài mà

qua đó tác giả củng cố được các kiến thức về đại số giao hoán, đại số đồng điều và

làm quen được với những kiến thức cơ bản của lí thuyết đối đồng điều địa phương.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy trong khoa Toán - Tin

học trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại học Khoa học Tự nhiên TP.

Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm

việc hiệu quả trong quá trình học tập tại trường.

Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.

Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này, tác giả muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và

tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trong suốt thời gian qua.

Và tôi cũng tỏ lòng biết ơn tới những tác giả các tài liệu mà tôi đã tham khảo

trong quá trình thực hiện đề tài này.

MỞ ĐẦU

Năm 1974, J. Herzog đã giới thiệu khái niệm đối đồng điều địa phương suy

rộng lần đầu tiên trong tài liệu [7]. Đây là khái niệm mở rộng của khái niệm đối

đồng điều địa phương cổ điển của Grothendieck. Một cách tự nhiên, các tính chất

của đối đồng điều địa phương cổ điển được tổng quát hóa thành các tính chất của

đối đồng điều địa phương suy rộng. Chúng ta sẽ xét đến một trong những tính chất

quan trọng được tổng quát lên, đó là tính Artin của các môđun đối đồng điều địa

phương.

Tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương đã được nghiên cứu bởi

các nhà toán học S.H.Tahamtan, H.Zakeri, Reza Sazeedeh, ... và thu được nhiều kết

quả quan trọng. Sau đó, nhiều nhà toán học đã mở rộng các kết quả này cho các

môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Việc nghiên cứu tính Artin của các

môđun đối đồng điều địa phương cổ điển và suy rộng đến nay vẫn là vấn đề mở.

Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, chúng tôi bắt đầu bằng việc tìm

hiểu những kết quả cơ bản về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương

suy rộng phân bậc trong các bài báo:

[1.] “On graded generalized local cohomology” của Nazer Zamani (2006,

Achiv der Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel).

[2.]“Artinianess of graded generalized local cohomology modules” của

Tahamman S. (2011, Mathematics Scientific Journal, Vol. 7, No. 1, 107 -117).

[3.]“Some finiteness properties of generalized graded local cohomology

modules” của Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012, International

Journal of Algebra, Vol. 6, no. 11, 539 – 547).

Từ các bài báo này, chúng tôi chọn trình bày lại chi tiết một số kết quả về

tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc trong một số

trường hợp đặc biệt nào đó. Và do vậy luận văn mang tên: "Tính Artin của các

môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc". Luận văn bao gồm phần mở

đầu, hai chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề.

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giới thiệu các khái niệm cơ bản về môđun

đối đồng điều địa phương và trình bày những kiến thức về vành và môđun cần thiết

cho các chứng minh ở chương 2.

Chương 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

SUY RỘNG PHÂN BẬC

(

Giới thiệu môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

IH M N với R là )

vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M , N là các R -môđun phân bậc.

Sau đó, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ để một số môđun đối đồng điều địa

phương suy rộng phân bậc là Artin.

Phần kết luận: Đưa ra nhận xét và những vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu.

Trong khuôn khổ một luận văn cao học, chúng tôi cố gắng trình bày lại các

kết quả đã có trong một hệ thống, với các chứng minh chi tiết nhất có thể và nêu ra

được các tính chất cơ bản mà các tác giả đã sử dụng. Một số kết quả trong phần

kiến thức chuẩn bị chúng tôi không nêu chứng minh vì đã được trình bày rõ trong

các tài liệu tham khảo. Chúng tôi trình bày một số bổ đề liên quan trực tiếp đến các

kết quả chương 2 hay một số bài tập mà các tác giả đưa ra trong tài liệu tham khảo.

Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng

hoặc sẽ được giải thích khi sử dụng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu). Để trích

dẫn một số kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem [[3],

Theorem 2.3] nghĩa là xem Định lí 2.3 trong tài liệu [3].

Cuối cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn cũng khó tránh khỏi

những thiếu sót. Vì vậy rất mong sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012.

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

Ký hiệu

Ý nghĩa



Tập hợp các số tự nhiên

Ab

Phạm trù các nhóm abel

)C R (

Phạm trù các R -môđun

Phạm trù các R -môđun phân bậc

( *C R

)

R là vành địa phương với m là iđêan tối đại duy nhất

(

)R m ,

Tập tất cả các R -đồng cấu từ M đến N

RHom M N ( )

Tập tất cả các ước của 0 của R -môđun M

RZ M ( )

Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R

Spec R ( )

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R -môđun M

( ) RAss M

Giá của môđun M

( ) Supp M

Chiều Krull của R -môđun M

( ) dimR M

Chiều xạ ảnh của R -môđun M

Chiều nội xạ của R -môđun M

( ) RPd M

Các hàm tử mở rộng

)

Các hàm tử xoắn

( RId M ) ( i RExt M − ) ( i N− Rt , Ex ) ( R iTor A − ) ( B− iTor ,

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, chúng tôi luôn giả sử R là

vành giao hoán có đơn vị 1 0≠ . Chương này trình bày một số kết quả đã được đề

cập trong đại số đại cương, đại số giao hoán và đại số đồng điều có liên quan đến

chương 2 của luận văn.

1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN

Mệnh đề 1.1.1:

,...,

i. Cho

, P P 1 2

P là các iđêan nguyên tố và I là iđêan của R thỏa mãn n

⊂  . P i

= 1

sao cho

Khi đó tồn tại

{ 1, 2,....,

} n

P⊂ . i

I là các iđêan và P một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn

ii. Cho 1 I

2, I

,..., n

⊂ I

= 1

∈ i

. Khi đó tồn tại

sao cho

P⊂ .

{ 1, 2,....,

} n

∈ i

Bổ đề 1.1.2: (Bổ đề Nakayama)

M là R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R và I là con của căn

Jacobson của R . Khi đó, nếu IM M=

thì

0M = .

Mệnh đề 1.1.3 Cho R là một vành, I là iđêan của R và M là một R -môđun. Ta

có (

)

⊗ ≅ M M IM R I / /

Mệnh đề 1.1.4 Cho R là vành địa phương, M và N là các R -môđun hữu hạn

N⊗

sinh. Khi đó, nếu

= thì 0

0M = hoặc

0N = .

Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy khớp ngắn các R -môđun

M N

→ → → → . Khi đó ta có N Artin khi và chỉ khi M và P Artin.

Từ điều này ta suy ra nếu dãy các R -môđun

M N

→ → khớp tại N và M , P là các môđun Artin thì N cũng là môđun Artin.

Mệnh đề 1.1.6 Vành R Artin khi và chỉ khi R Noether và dim

0R = .

Mệnh đề 1.1.7

Cho R là vành, I là một iđêan của R và M là một R -môđun. Khi đó, với mọi số

≅

tự nhiên n tồn tại đẳng cấu:

0 : M

( Hom R I M

)

(

)

Định nghĩa 1.1.8

Cho R là một vành, M là một R -môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là

sao cho

iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại

{ } \ 0

( ) P Ann x

Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R -môđun M được kí hiệu là

)

RAss M . (

≠

Giá của R -môđun M , kí hiệu

( Supp M

)

( P Spec R M

)

{ = ∈

} 0 .

\R P .

PM là địa phương hóa của môđun M theo tập con nhân

⊂

P Spec R I

Đặt

( ) V I

(

)

{ = ∈

} P

= Supp M V Ann M

= x M∈

Mệnh đề 1.1.9 Nếu M là R -môđun hữu hạn sinh thì

(

)

(

)

(

)

Mệnh đề 1.1.10

p Su p

(

R I /

)

I ( )

Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì

Mệnh đề 1.1.11 Cho R là vành Noether, M là một R -môđun hữu hạn sinh, I là

một iđêan của R . Khi đó

khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao

( ) ) Supp M V I

(

kI M = .

cho

⊂

Mệnh đề 1.1.12

Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó

( Supp M

)

) ∩ Supp M Supp N

(

)

Từ mệnh đề trên và Mệnh đề 1.1.3 ta suy ra kết quả sau:

⊗ = N

Hệ quả 1.1.13

∩

V I Ann M

V Ann M

(

)

( ) Supp M IM V I /

(

)

(

)

Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan bất kì của R , khi đó (

(

)

Mệnh đề 1.1.14

Cho R là vành Noether, M là R -môđun khác 0.

x M∈

là iđêan nguyên tố liên kết của M , hay

i. Phần tử tối đại của

( ) Ann x

{

}

(

) As Rs M ≠ ∅ .

ii. Tập hợp tất cả các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố

liên kết của M .

Mệnh đề 1.1.15

M N

Cho M , N , P là các R -môđun và dãy khớp 0

→ → → → thì ta có các kết 0

quả sau:

)

( s N R

( s M R

( s P R

⊂ ∪ As As As

ii.

( Supp N

)

) ∪ Supp M Supp P

(

)

Mệnh đề 1.1.16

Cho R là vành Noether và M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có:

(

)

As Rs M có hữu hạn phần tử

ii.

)

( Supp M

)

( As Rs M

iii. Phần tử tối tiểu của

⊂

)

(

)

( As Rs M và

Supp M như nhau.

Mệnh đề 1.1.17

(

)

(

n> .

Cho M , N là các R -môđun và

RExt M N = với mọi i ) 0

RPd M n= . Ta có:

1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN

a. Độ dài: Một dãy các R -môđun con của môđun M là dãy (

i n

)0i

⊃

= M M

⊃ ⊃ ...

của M thỏa mãn

= . 0

Ta nói n là độ dài của dãy này.

Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M , tức là không thể

thêm vào một môđun con nào nữa hay các môđun thương

M ≤ ≤ các môđun con phân biệt

/ i

M M + là đơn. 1

Độ dài của chuỗi hợp thành của một R -môđun M là đại lượng không đổi và được

kí hiệu là

(

)

Rl M và gọi là độ dài của R -môđun M .

Nhận xét:

Độ dài của R -môđun M tồn tại khi và chỉ khi R -môđun M Artin và Noether.

Mệnh đề 1.2.1

Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là

tương đương:

(

) Rl M < ∞

ii. Mọi phần tử thuộc

(

)

iii. Mọi phần tử thuộc

As Rs M đều là iđêan tối đại của R .

(

)

Supp M đều là iđêan tối đại của R .

Hệ quả 1.2.2

Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì. Nếu

)

(

)

Rl N < ∞ thì

l Hom M N < ∞ . , R

(

)

Do đó nếu N là R -môđun Artin thì

(

)

RHom M N cũng là R -môđun Artin.

b. Dãy chính quy:

Định nghĩa 1.2.3

Cho M là một R -môđun, một phần tử r R∈ được gọi là M -chính quy nếu

{ } \ 0

≠ ∀ ∈ rx x M 0,

Định nghĩa 1.2.4

Một dãy các phần tử

,...,

a a , 1 2

a của R là một M -dãy chính quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: n

1a là M -chính quy,

2a là

,...,

/M a M -chính quy,…,

-chính quy;

na là

< M a a 2

a n

> M− 1

≠<

,...,

> a M

ii.

a a , 1 2

Chú ý: Khi ta hoán vị các phần tử của M –dãy chính quy thì không chắc dãy mới là

M -dãy chính quy.

Mệnh đề 1.2.5

Cho R là vành Noether địa phương, M là R -môđun hữu hạn sinh và

,...,

, a a 1 2

a là một M -dãy chính quy thì ta có: n

dim

,...,

> a M

dim

− M n .

)

( M a a 2

< a M a a 2

(

)

1.3 GIỚI HẠN THUẬN

Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ xét khái niệm giới hạn thuận trong phạm

trù các R -môđun.

a. Định nghĩa giới hạn thuận:

Định nghĩa 1.3.1 (Tập sắp thứ tự thuận)

Một tập hợp Λ sắp thứ tự bộ phận được gọi là tập sắp thứ tự thuận nếu với mọi

j ∈ Λ tồn tại k ∈ Λ sao cho i

k≤ và j

k≤ .

Định nghĩa 1.3.2 (Hệ thống thuận)

Cho (

iM ∈Λ là một họ các R -môđun được đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận

Λ . Với mỗi cặp phần tử ,i

j ∈ Λ mà i

j≤ cho R -đồng cấu

các điều kiện sau:

M M → thỏa mãn :i µ j

i µ = i

MId

i , ∀ ∈ Λ

ii.

i µ µ µ= j

j k

i k

Ω =

các R -môđun

Khi đó, họ

jµ được gọi là một

i M µ ; i j

iM và R -đồng cấu

(

∈Λ

i j

) ;

hệ thống thuận.

Ω =

j , ° ∀ ≤ ≤ i k

Định nghĩa 1.3.3 Giới hạn thuận của hệ thống thuận

là môđun

i M µ ; j i

(

∈Λ

i j

) ;

và họ các đồng cấu

thỏa mãn những điều kiện sau:

µ i

M lim i  ∈Λ i

→  lim ∈Λ i

với mọi i

j≤ ,

i µµ µ= j i

ii. Với N là một R -môđun bất kì, các đồng cấu

N→ thỏa mãn

i j

f M :i

→

mọi i

j≤ . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu

sao cho biểu đồ sau giao

M : lim i  ∈Λ i

hoán.

Ω =

f fµ = với i

Mệnh đề 1.3.4 Giới hạn thuận của một hệ thống thuận

luôn tồn tại.

i M µ ; i j

(

∈Λ

i j

) ;

, với D là R -môđun con của

Ta có thể chỉ ra giới hạn thuận đó là tập

M D /i

= ⊕ ∈Λ i

m M∈

với

, i

j≤ ,

→ M

i µµ j j

µ :i

⊕ được sinh bởi các phần tử ∈Λ i

là đơn cấu.

( ) ( ) m i µ− i m i

b. Đồng cấu giữa hai hệ thống thuận

Ω =

Φ =

Cho hai hệ thống thuận các R -môđun

và

cùng

i M µ ; i j

N v ; i

i j

(

∈Λ

i j

) ;

i j

) ;

đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận Λ .

Gọi M , N là các giới hạn thuận tương ứng và

→ , M

N→ là các đồng

µ :i

v N :i

cấu tự nhiên. Một đồng cấu

:Ψ Ω → Φ được định nghĩa là một họ các R -môđun

→ thỏa mãn

i = ψ µ ν ψ j i

i j

→ M N

:Ψ Ω → Φ sẽ cảm sinh R -đồng cấu

thỏa mãn

Khi đó, đồng cấu

lim :  ∈Λ i

∀ ∈ Λ .

ψµ νψ= i

° j , ° ∀ ≤ i .

c. Tính chất:

Một dãy các hệ thống thuận Ω → Φ → Π được gọi là khớp nếu các dãy tương ứng

của các R -môđun và R -đồng cấu là khớp.

Ta có các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3.5 Cho một dãy khớp các hệ thống thuận Ω → Φ → Π . Khi đó, dãy

Ω → Φ → Π

cảm sinh sau cũng là khớp: lim  ∈Λ i

lim  ∈Λ i

{( ) ;

Mệnh đề 1.3.6 Cho R là một vành, N là một R -môđun và

; i j

i j

⊗

≅

⊗

)

thống thuận các R -môđun. Khi đó ta có: lim(

(lim ) i

 ∈Λ i

1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Trong mục này ta giả sử R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị khác 0, M ,

N là các R -môđun và I là một iđêan của R . Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và

một số tính chất về môđun đối đồng điều địa phương cần sử dụng trong chương sau.

Các chứng minh cho các tính chất này có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [6].

M µ ∈Λ là một hệ }

a. Định nghĩa hàm tử I -xoắn:

= :

Với mỗi R -môđun M ,

là một R -môđun con của M .

(

)

0 : M

(

)



∈ n



⊂ Γ

:f M N→ , ta có

nên ta có thể

Với mỗi đồng cấu R -môđun

(

)

(

)

(

)

là đồng cấu thu hẹp của f lên

định nghĩa

(

)

(

)

(

)

( I MΓ

:h N

Hơn nữa với

:g M N→ và

L→ là các đồng cấu R -môđun và r là phần tử

thuộc R ta có các tính chất:

Γ Γ → Γ : f M N

(

)

(

)

( ) h

Γ = Γ Γ hg g

(

)

(

)

(

)

Γ + = Γ + Γ f g f g

(

)

(

)

(

)

IdΓ

(

)

Do đó

(

)

IΓ − là hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R -môđun vào chính nó.

(

)

IΓ − còn được gọi là hàm tử I -xoắn.

Nhận xét:

Hàm tử

(

)

IΓ − là hàm tử khớp trái.

Γ rf = Γ r f

Ta có đẳng cấu:

(

)

( Hom R I M

)

≅  lim ∈ n 

)

(

Định nghĩa 1.4.1 Với mỗi i ∈  , hàm tử dẫn xuất phải thứ I của

IΓ − được kí

hiệu là

(

)

IH − và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I .

Ta nói M là I -không xoắn nếu

) 0 = và M là I -xoắn nếu

( I MΓ

( ) I M M

n R I M

và

(

)

IH M được gọi là môđun đối đồng điều địa

( i H M I

i R

Ta kiểm tra được (

)

≅  lim Ext ∈ i 

phương thứ i của môđun M theo iđêan I .

Γ =

Mệnh đề 1.4.2 Cho M là một R -môđun. Khi đó ta có:

i. Nếu I chứa một phần tử không là ước của không đối với M thì M là I -không

xoắn.

ii. Giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó M là I -không xoắn khi và chỉ khi I chứa

phần tử không là ước của không đối với M .

Chứng minh:

≠ ⇒ ∃ ∈

∈

m M

∃ ∈ n

(

)

{ } \ 0 ,



0 : M

(

)

∈

Đặt



n 0 min

(0 : M

{

} )n

n 0

n 0 1

Khi đó,

= . 0

( I m I I m−

)

− 1

n 0

≠ ⇒ ∃ ∈

− n 1 I m 0

Do cách đặt

≠ . 0

0n nên

abm = . Suy ra

Khi đó với mọi a thuộc I ta có

)

( Z M R

Ngược lại, M hữu hạn sinh nên

(

)

⊂ I

As Rs M hữu hạn (theo Mệnh đề 1.1.6). Giả sử

) { =

}

( s M R

⊂

As ,..., p p , 1 2 p r

suy ra

{ 1, 2,...,

}

)

( Z M R

= 

∈ p

( s M

)

As R

∃ ∈ i r I : ⊂ . (theo Mệnh đề 1.1.1) p i

Mà

)

( s M R

∈ As p i

{ } \ 0 :

( ) Ann v

⇒ ∃ ∈ = v M p i

(

)

(

I M⇒ Γ

) 0 ≠ . 

Iv v M ⇒ ⊂ ⇒ ∈ Γ p v i

Mệnh đề 1.4.3 Nếu M là R -môđun nội xạ thì

là nội xạ.

)

( I MΓ

Hệ quả 1.4.4 Cho M là R -môđun nội xạ thì dãy khớp

(

)

(

)

→ Γ 0 M → → Γ M M / M 0 → chẻ.

Hệ quả 1.4.5

Cho M là R -môđun I -xoắn. Khi đó có một phép giải nội xạ của M mà tất cả các

thành phần đều là R -môđun I -xoắn.

Mệnh đề 1.4.6 (Định lí Melkersson)

Nếu M là một R -môđun I xoắn và (

)

1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị 1 0≠ , I là một iđêan của vành R ,

M và N

là các R -môđun. Khi đó, với mỗi

số

tự nhiên

i ,

M N ,

(

M I M /

)

được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy

(

)

i I

i R

≅  t lim Ex ∈ n N

rộng thứ i của môđun N ứng với M theo iđêan I .

0 :M I Artin thì M cũng Artin.

Trường hợp riêng, với M là R ta có

( H R N

)

i I

( i H N I

Khi M là một R -môđun hữu hạn sinh thì ta có thể tiếp cận môđun

≅ ,

(

)

IH M N theo một số cách khác (xem ở [16]). Ở đây chúng tôi chọn trình bày cách

tiếp cận mà các hàm tử dùng để mô tả môđun này là các hàm tử quen thuộc: hàm tử

( )

đối đồng điều địa phương cổ điển

IH − , hàm tử Hom và hàm tử đối đồng điều

iH − . ( )

Mệnh đề 1.5.1

≅

H Hom M N

, Hom M H N

( H M N

)

(

)

(

)

0 I

(

)

(

)

Mệnh đề 1.5.2

Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì,

•

≅

( H M N

)

0 I

i I

)

(

)

( ( H Hom M H J

( H H Hom M J

)

(

)

•J là phép giải nội xạ của N . Khi đó, với mọi số tự nhiên i , ta có: ) )

(

Mệnh đề 1.5.3

Cho dãy khớp ngắn các R -môđun 0

→ → → → và M , N là các R -môđun

hữu hạn sinh thì ta có các dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương suy

rộng sau:

( H M X

)

( H M Y

)

( H M Z

)

( H M X

)

0 I

1 I

→ → → → 0 , , , , → ...

( H Z N

)

( H Y N

)

( H X N

)

( H Z N

)

0 I

1 I

Hàm tử I -xoắn cho một môđun có thể được mở rộng cho một cặp môđun như sau:

n I M

(

) :

(

)

=  li m o H ∈ n N

Theo [[6], 1.1.2] ta có mệnh đề:

→ → → → và 0 , , , , → ...

Mệnh đề 1.5.4

= Γ

Nếu I , J là các iđêan của R thì

với mọi R -môđun M .

(

)

( M+ I J

( Γ Γ I

)

Mệnh đề sau là một kết quả tổng quát hơn:

Mệnh đề 1.5.5

= Γ

, M N

với mọi R -môđun M .

(

)

(

)

(

)

+Γ I J

(

)

Cho I , J là các iđêan của R . Khi đó ta có )

(

Mệnh đề 1.5.6

Cho I , J là các iđêan của R , N là R -môđun J -xoắn, M là R -môđun bất kì. Khi

đó

(

)

( H M N

)

i + I J

i I

≅ H M N , , , i ∀ ∈  .

Mệnh đề 1.5.7

⊂

và

) ∩ Supp M Supp N

( ) V I

(

)

(

)

(

)

i Supp H M N I

Cho M , N là các R -môđun trong đó M hữu hạn sinh. Khi đó ta có: (

(

)

Mệnh đề 1.5.8

Cho M là R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì.

(

)

IH M N là I -xoắn với mọi giá trị của i .

ii. Nếu N là I -xoắn thì

( H M N

)

i I

( i t M N R

≅ , Ex ,

Hệ quả 1.5.9 Cho N là R -môđun I -xoắn. Khi đó ta có:

i. Nếu M là R -môđun xạ ảnh thì

)

( IH M N

= ∀ > , 0, 0. i

(

ii. Nếu

Pd M n= thì )

)

( IH M N

, 0, n = ∀ > . i

Id N (

)

iii. Nếu

n= thì

)

( IH M N

, 0, n = ∀ > . i

Mệnh đề 1.5.10

Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh, m là iđêan tối đại của R . Khi đó

là môđun Artin với mọi

i ≥ . 0

( iH M N

)

Từ Mệnh đề 1.5.6 và 1.5.10 ta có hệ quả:

Hệ quả 1.5.11

Cho I , J là các iđêan của R , N là R -môđun J -xoắn, M là R -môđun bất kì,

J+ là iđêan tối đại của R . Khi đó

(

)

IH M N Artin với mọi i ∈  .

Mệnh đề 1.5.12

Cho

/R I Artin và M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó

(

)

IH M Artin với mọi

i ∈  .

1.6 VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC

a. Vành phân bậc:

Định nghĩa 1.6.1 Một vành R được gọi là phân bậc (cụ thể là  -phân bậc) nếu

tồn tại một họ các nhóm con (đối với phép toán cộng) { }n nR ∈ của R thỏa mãn các

điều kiện sau:

R∈ n n

= ⊕ 

ii.

với mọi m , n thuộc 

R R .n m

R +⊆ n m

Từ định nghĩa trên ta suy ra được:

Phần tử đơn vị

1 R∈ 0

0R là vành con của R

Với mọi số nguyên n ,

nR là

0R -môđun con của R

Nếu vành phân bậc

có

0n < thì ta gọi R là vành  -

R∈ n n

nR = với mọi

= ⊕ 

phân bậc (hay là vành phân bậc dương).

= ⊕ :

Cho R là vành phân bậc dương, ta có

là một iđêan của R .

R +

≥ 1

R n

Ta nhắc lại một mệnh đề quan trọng sau:

Mệnh đề 1.6.2 Cho R là vành phân bậc dương, ta có các điều sau tương đương:

i. R là vành Noether.

ii.

0R -đại số hữu hạn sinh.

0R Noether và R là một

Ta xét đến một loại vành phân bậc đặc biệt sau:

Định nghĩa 1.6.3 Vành phân bậc dương R được gọi là thuần nhất nếu R được xem

]

như là một

0R -đại số với biến thuộc

1R (

R R R 1[

Lúc này ta gọi

0R là vành cơ sở của R .

Mệnh đề sau cho ta mô tả R trong một trường hợp cụ thể:

Mệnh đề 1.6.4

Cho R là một vành phân bậc dương. Khi đó các điều sau tương đương:

i. R thuần nhất và Noether

ii.

0R Noether và R+ được sinh bởi hữu hạn phần tử của

iii.

0R Noether và R là

0R -đại số được sinh bởi hữu hạn phần tử của

Phần tử x R∈ được gọi là thuần nhất (homogeneous) nếu tồn tại n ∈  sao cho

x R∈ . Trường hợp

x ≠ thì n là duy nhất và ta gọi số n đó là bậc của x , kí hiệu

deg x ( )

n= .

Iđêan I của vành phân bậc R được gọi là iđêan phân bậc nếu nó được sinh bởi các

phần tử thuần nhất.

Định nghĩa 1.6.5

Iđêan phân bậc tối đại của vành phân bậc R là iđêan m thỏa mãn các điều kiện

i. m là iđêan phân bậc thực sự của R .

ii. Nếu iđêan phân bậc thực sự a thỏa mãn ⊆m a thì

=m a

Chú ý: Một iđêan phân bậc tối đại thì không chắc là iđêan tối đại của R .

Trong trường hợp R là vành phân bậc dương thì ta có thể mô tả các iđêan phân bậc

tối đại của R qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.6.6 Cho R là vành phân bậc dương. Khi đó iđêan phân bậc tối đại của

R có dạng

, với

0 R++m

0m là iđêan tối đại của

0R . Đặc biệt, iđêan phân bậc tối

đại của R cũng là iđêan tối đại của R .

b. Môđun phân bậc:

Định nghĩa 1.6.7 Cho R là vành phân bậc và M là một R -môđun. M được gọi là

R -môđun phân bậc nếu tồn tại một họ {

}n nM ∈ các nhóm con của M (đối với phép

toán cộng) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

M∈ n

= ⊕ 

⊆

ii.

với mọi m , n thuộc 

R M .n

M + n m

Mỗi nhóm con

nM là

0R -môđun con của M và ta gọi nó là \textit{thành phần phân

bậc thứ n } của M .

Bậc của phần tử thuộc môđun phân bậc được định nghĩa tương tự như bậc của phần

tử trong vành.

Cho

là các R -môđun phân bậc, một đồng cấu thuần nhất

M∈ n

N∈ n

= ⊕ 

f M (

N⊆

giữa các R -môđun phân bậc là một R -đồng cấu

:f M N→ thỏa mãn

với mọi n ∈  .

Tập hợp tất cả các R -môđun phân bậc và R -đồng cấu thuần nhất lập thành một

phạm trù, ta kí hiệu phạm trù này là

( *C R .

)

* :

( C R

)

(

)

Cho t ∈  , ta xét hàm tử t -chuyển như sau: ( )( ) t

. C R→ .

Với mỗi M=

ta có

và với mỗi R -đồng cấu thuần nhất

( ) nM t

⊕ ∈ n 

:f M N→ ta có

( ) t

với mọi n ∈  .

( ) M t

+ n t

= M + n t

với mọi

Một đồng cấu

:f M N→ được gọi là thuần nhất cấp i nếu (

n ∈  .

Chú ý rằng đồng cấu thuần nhất cấp i trên có thể được xem là thuần nhất nếu xem

f như là đồng cấu từ

)M i− đến N .

(

f M N +⊆ n i

Ta kí hiệu

(

)

iHom M N là tập tất cả các đồng cấu thuần nhất cấp i từ M đến N .

Khi đó ta có

là một R -môđun con của

)

( RHom M N .

( Hom M N R

( Hom M N i

= ⊕ : ∈ i 

là vành Noether phân bậc, M=

, N=

là các R -môđun phân

Với

R i

⊕ ∈ n 

= ⊕ ∈ i 

bậc. Ta có mệnh đề:

Mệnh đề 1.6.8 (xem [[4], 1.5.19])

Nếu M là hữu hạn sinh thì

)

( Hom M N R

= , ,

Mệnh đề 1.6.9

Cho R là vành phân bậc thuần nhất và M là R -môđun phân bậc hữu hạn sinh.

Khi đó các điều sau tương đương:

= 0

i. Tồn tại t ∈  : (

tR M+ )

ii.

0n sao cho với mọi

nM = với mọi n đủ lớn (nghĩa là tồn tại số tự nhiên

n≥ 0

thì

nM = )

iii. M là R+ -xoắn

Mệnh đề 1.6.10

Nếu M là R -môđun Noether thì

nM là

0R -môđun Noether.

Mệnh đề 1.6.11

Cho R là một vành phân bậc dương và M là một R -môđun phân bậc. Khi đó

(

)

) = l M l M R

R 0

Mệnh đề 1.6.12

(

)

Cho R là vành phân bậc dương với vành cơ sở địa phương

R m và M là một

≤ ⇔ = Γ

(

) 0

)

R -môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó ta có:

dim M R

M+ (

Mệnh đề 1.6.13

(

M >

) 0

Nếu

thì tồn tại phần tử thuần nhất x R+∈ thỏa mãn:

Rdim M

dim M xM

((

) /

(

M xM /

))

(

− ) 1.

dim M R

c. Môđun cofinite tương ứng với một iđêan - Môđun minimax:

Định nghĩa 1.6.14 Cho R là vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M là

R -môđun phân bậc. Ta nói M là I -cofinite nếu

(

)

Supp M V I⊂ ) ( )

(

và

RExt R I M phân bậc hữu hạn sinh với mọi i ∈  .

Định nghĩa 1.6.15 Một R -môđun phân bậc M là minimax nếu tồn tại một R -

môđun con phân bậc hữu hạn sinh

'M sao cho

/M M ′ Artin.

Ta có thể chứng minh được kết quả sau:

L M N

Định lí 1.6.16 Cho 0

→ → → → là dãy khớp các R -môđun phân bậc và R

-đồng cấu thuần nhất. Khi đó M minimax khi và chỉ khi L và N minimax.

1.7 DÃY PHỔ

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm dãy phổ và dãy phổ Grothendieck

cần dùng trong chương 2.

a. Khái niệm dãy phổ

Định nghĩa 1.7.1 Một môđun song phân bậc là một họ các môđun được đánh hai

p q ,

chỉ số

(

)

p q ,

{ = M M

} ∈ ×  .

Phần tử x thuộc

,p qM được kí hiệu lại là

,p qx

′ =

M M /

{

}

Môđun thương của môđun song phân bậc M là

M M , p q

p q ,

′ =

⊂

{M'

}p q ,

là các môđun song phân bậc và

Cho

{ M M=

},p q

{ N=

},p q

(

)

,a b ∈ ×  . Ta nói đồng cấu :f M N→ có song cấp là

⊂

(

) ,a b nếu

với mọi cặp số (

)

N +

p q

p a q b ,

( f M

,p q ∈ ×  .

Đặt

. Khi đó f là họ đồng cấu

(

)

p q ,

{

} p q ∈ ×  . ,

p q ,

Một cặp khớp là một cặp các môđun song phân bậc D , E và các đồng cấu song

cấp

,α β γ sao cho tam giác sau là khớp tại mỗi đỉnh:

f f= : |

Kí hiệu cặp khớp này là(

)

Xét cặp khớp D , E và các đồng cấu

,α β γ có song cấp lần lượt là

. Ta sẽ xây dựng một cặp khớp khác từ cặp khớp này.

( ) 1, 1− , (

)0, 0 , (

)1, 0−

1 1

1 :d E

1 :d βγ=

.Khi đó ta có

d d = nên tồn tại môđun

Xây dựng

d / Im

Kerd

= :

, kí hiệu là

2E . Nó lại là một môđun song phân

đồng điều

( H E d

E→ xác định bởi )1

bậc.

Cho (

)

, , , D E α β γ . ,

nên

1d có song cấp là (

)1, 0−

,p q ∈ ×  bất kì,

2E là một môđun thương của môđun song phân bậc nên ta có

2 p q ,

1 p q ,

1 d + p 1,

2 :

α= Im

Ta xây dựng môđun song phân bậc

= I/ m E er K d

. Vì α có song cấp (

)

⊂

. Tiếp theo ta xây dựng bộ ba đồng cấu song

−

α p

2 p q ,

+ 1

p q ,

(

)

2 : α α=

2 ,α β γ như sau:

cấp

1, 1− nên ta có

: Imi

Ánh xạ đồng nhất

α α= ° có song i

Dα→ có song cấp (

)0, 0 nên đồng cấu

cấp giống α là (

) 1, 1− .

2 β

βα− 1

: D

cls

2 → biến

nên tồn tại

sao cho

Đồng cấu

(

)



2 p q ,

p q ,

(

)

y D∈

∈

. Vì vậy

, tức là

2β có song cấp (

)1,1−

−

− 1,

+ 1

− 1,

+ 1

α − 1, p

+ 1

p q ,

+ 1

(

)

2 γ

: E

→ , D

. Ta kiểm tra được

Đồng cấu

2 γ p q ,

p q ,

−∈ D p 1,

−

2γ được định nghĩa tốt và có song cấp như γ là ( 1, 0)

γ cls z ( ) z 

Định lí 1.7.2 Với cách xây dựng như trên thì ta có

là một cặp khớp với

,α β γ lần lượt có song cấp là (

) ( − 1, 1 ,

) ( 1,1 ,

)

− − 1, 0

D E α β γ được gọi là cặp khớp dẫn xuất của (

)

Cặp khớp (

)

Ta lặp lại quá trình này và thu được một dãy các cặp khớp

Trong đó cặp khớp thứ

1r + là dẫn xuất của cặp khớp thứ r .

, , , D E α β γ . ,

,α β γ có song cấp lần lượt là

, , , , D E α β γ là một cặp khớp với

Định lí 1.7.3 Cho (

)

( ) ( ) ( 1, 1 , 0, 0 ,

)

. Cặp dẫn xuất thứ r (

) r D E α β γ ,

có các đặc điểm sau:

− − 1, 0

α β γ lần lượt có song cấp là (

) ( 1, 1 , 1

) ( 1 ,

)

1rβα γ− +

− − − − r r , 1, 0

r d βγ=

ii.

có song cấp là (

) 1

,r E d

r r− , − và được cảm sinh bởi

Định nghĩa 1.7.4 Một dãy phổ là một dãy {

(có thể viết gọn là {

}rE ) các

≥

môđun song phân bậc và các đồng cấu

} 1 rd thỏa mãn

d d = sao cho 0

+ = 1

như là các môđun song phân bậc.

( H E d

)

1 :E

Kí hiệu

E= thì ta có mỗi cặp khớp cảm sinh một dãy phổ.

}

r , E d

là một dãy phổ thì

2E là một môđun con của môđun thương của

1E .

Cho {

⊆

với

1 ⊆ . E

Do đó ta có thể giả sử

Đến lượt

3E là môđun con của môđun thương của

2E nên nó lại viết được dưới

⊆

3 B B /

3 Z B /

(

) / (

3 B B /

)

dạng

, trong đó

⊆

1 ⊆ E

Suy ra

Tương tự như vậy ta có dây chuyền

⊆

⊆ ⊆ ...

1 ⊆ E

= E Z / B

Định nghĩa 1.7.5 Kí hiệu

∞ , p q

r p q ,

p q ,

r p q ,

p q ,

∞ =  và B

∞ =  , Z

Môđun song phân bậc E ∞ được gọi là giới hạn của dãy phổ {

}rE .

b. Dãy phổ Grothendieck

Định nghĩa 1.7.6 Phạm trù abel  là đủ vật nội xạ (enough injectives) nếu với

mọi vật A thuộc phạm trù  đều tồn tại vật nội xạ E và một đơn cấu từ A đến E

.\\Đối ngẫu lại,  là đủ vật xạ ảnh (enough projectives) nếu với mọi vật A thuộc

phạm trù  đều tồn tại vật xạ ảnh E và một toàn cấu từ A đến E .

Phạm trù các R -môđun và R -đồng cấu là đủ vật xạ ảnh và đủ vật nội xạ.

Định nghĩa 1.7.7 Cho  là một phạm trù abel đủ vật xạ ảnh (hoặc đủ vật nội xạ)

:F → Ab



và

là hàm tử cộng tính. Vật B trong  được gọi là F -không tuần hoàn

)

pR F B = với mọi 0

1p ≥ , với

pR F là hàm tử dẫn xuất phải thứ p của F .

phải nếu (

)

Vật B trong  được gọi là F -không tuần hoàn trái nếu (

1p ≥ ,

pL F B = với mọi 0

với

pL F là hàm tử dẫn xuất trái thứ p của F .

Định nghĩa 1.7.8 Cho vật A thuộc phạm trù  . Một lọc của A là một họ các vật

− 1

+ 1

⊆

...

p F A F A F A

⊆ ...

con của A , {

Đặc biệt:

Một lọc của một môđun M là một họ {

}p pM ∈ các môđun con của M sao cho

⊆

...

⊆ ...

+ 1

− 1

pF M ) của môđun phân bậc M là bị chặn nếu với mỗi

}p F A ∈ sao cho

Định nghĩa 1.7.9 Một lọc (

s n= ( )

t n= ( )

n , tồn tại số nguyên

và

sao cho

F M = và

F M M= n

Định nghĩa 1.7.10 Cho H là một môđun phân bậc. Một dãy phổ {

}rE hội tụ đến

}p HΦ

H , kí hiệu

của H sao cho $

2 ,p q

H⇒ nếu có một lọc bị chặn { p

− 1

$ với mọi p , q và n

= + . p q

∞ , p q

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một dãy phổ Grothendieck cần dùng trong chương 2.

Có bốn dãy phổ Grothendieck: hai dãy ở góc phần tư thứ nhất (đồng điều) và hai

dãy ở góc phần tư thứ ba (đối đồng điều). Định lí sau sẽ chỉ ra sự tồn tại một dãy ở

góc phần tư thứ ba.

≅ Φ Φ E H / H

Định lí 1.7.11 (Định lí Grothendieck, xem [[11], Theorem 10.47])

:F →

Cho

:G →  và

 là các hàm tử hiệp biến với  ,  ,  là các phạm trù

đủ vật nội xạ. Giả sử rằng F là khớp trái và GE là F -không tuần hoàn phải với

mọi vật nội xạ E . Khi đó với mọi vật A trong phạm trù  , tồn tại dãy phổ góc

phần tư thứ ba

(

R F R G A

)(

)

R FG A

(

)

p q , E 2

⇒ p

Ta nhắc lại kết quả ở 5.2.2 trong tài liệu [17].

Mệnh đề 1.7.12 Cho một dãy phổ {

}rE hội tụ tới

p qE = với mọi

*H thỏa mãn

1q > . Khi đó tồn tại dãy khớp dài

CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

Cho R là một vành phân bậc, I là một iđêan phân bậc của R , M là R -môđun

phân bậc hữu hạn sinh và N là R -môđun bất kì. Khi đó R -môđun

(

)

IH M N có ,

cấu trúc phân bậc.

Ta sẽ sử dụng Mệnh đề 1.6.8 để chứng minh điều này.

Xét phép giải xạ ảnh của

nM I M trong

( *C R .

)

Áp dụng hàm tử

vào phức trên. Lấy dãy đối đồng điều ta có môđun

(

)

RHom

Rt M I M N là một R -môđun phân bậc.

(

)

* Ex

i t M I M N / R

M hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 1.6.8 ta có: (

)

(

)

Do đó

M N ,

(

M I M /

)

có cấu trúc của một R -môđun phân bậc.

(

)

i I

i R

=  t lim Ex ∈ n N

Trong mục 2.2 của chương này, ta sẽ xét các môđun đối đồng điều địa phương suy

rộng phân bậc được giới hạn như sau:

Cho

là vành Noether phân bậc thuần nhất với vành cơ sở địa phương

R n

= ⊕ ∈ n 

N− ,

(

)

R +

= ⊕ . R n ≥ 1

Đặt

= m m

. Ta chứng minh được nó là iđêan phân bậc tối đại duy nhất của R .

+ 0 R+

Trong phần còn lại của chương 2, chúng tôi chọn trình bày một số kết quả về tính

Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

,R m , M , N là các R -môđun phân bậc và kí hiệu

và một số môđun cảm sinh từ chúng.

)

( iH M N

)

( RH M N

, ,

2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI

ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

Bổ đề 2.2.1

Cho

là vành phân bậc và I là một iđêan sinh bởi các phần tử bậc dương.

R n

= ⊕ ∈ n 

,...,

Cho

{ 1, 2,...,

} n

p là các iđêan nguyên tố (khác nhau) thỏa mãn n

p p , 1 2

...

. Khi đó, tồn tại phần tử thuần nhất x

I∈ và

∉ ∪ ∪ ∪ . p 2

p n

p 1

Chứng minh:

Ta chứng minh quy nạp theo n là số các iđêan nguyên tố trên.

Từ

và I sinh bởi các phần tử bậc dương phải có một phần tử sinh của I

p⊂/ 1

không thuộc

1p . Vì nếu mọi phần tử sinh của I đều nằm trong

1p thì

p⊂ . 1

1n − . Không mất tính tổng quát, giả sử

I , ∀ ∈ i ⊂ / p i

}

Giả thiết rằng bổ đề trên đúng với np là phần tử tối tiểu của tập {

...

thuần nhất x

′∈ và I

′∉ ∪ ∪ ∪ p 2

p 1

p − n 1

Nếu

′ ∉ , ta có điều cần chứng minh.

p n

Nếu

′∈ , ta lại áp dụng bổ đề trên cho trường hợp

1n = thì tồn tại phần tử thuần

p n

− 1

′

nhất

và phần tử thuần nhất

. Khi đó

thuần nhất

(

)

(

)

I p∈ \ n

p i

p n

∈

= 1

với bậc phù hợp (chẳng hạn nếu

,..., p p , 1 2 p . Theo giả thiết quy nạp tồn tại phần tử n

a= )

( deg x

) ′ = và a

( deg ry

)

thỏa mãn x

I∈ và

p 2

p n

p 1

∉ ∪ ∪ ∪ .  ...

b= ta chọn m b= và n

= p Pd M ,R m là vành địa phương, N hữu hạn sinh, < ∞ và

Mệnh đề 2.2.2 ) Giả sử (

(

)

. Khi đó

( dim /

)

( RH M N

Chứng minh:

= d N m N p d i , 0, = ∀ > + .

Với

d = − .

suy ra

0N = . Do vậy ta có điều cần chứng minh.

( dim /

) N = − 1

N m

Tiếp theo ta sẽ chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp theo d .

( H M N

)

d = : N là môđun R+ -xoắn nên

( i t M N R

i R +

≅ , Ex ,

Mà

)

( i Rt M N

( RH M N

Ta giả sử mệnh đề đã đúng với các giá trị nhỏ hơn

d > . 0

Ex , 0, i , 0, p = ∀ > nên ta có p = ∀ > . i

Từ dãy khớp ngắn

(

)

(

)

R +

→

...

(

))

H M N (

)

→ ...

(

)

(

)

R +

i H M ( R +

R +

i R +

R +

( + i 1 H M R +

)

( H M N

→ Γ → → Γ 0 N N N / N 0 → suy ra dãy khớp dài

≅

Vì

. Mặt khác

)

(

)

(

)

là môđun R+ -xoắn nên

( R N+

R +

)

( i H M R +

( i t M R

)

∀ > nên ta có:

) = , ) 0

i t M Ex ( R

( N+

i R +

R +

Γ ≅ Γ , H M N ( , ) H M N ( , / ( N )), ∀ > i p .

Vì vậy ta có thể giả sử

. Vì

) 0 = . Do đó theo Mệnh đề 1.4.2 ta có

)

+ ⊂/ R

( Z N R

( R N+

d > nên 0

.Do đó theo Bổ đề 2.2.1 tồn tại một phần tử thuần nhất

⊂/

R +

 ( ∈ p MinAss N m N

)

) không là ước của không trên N và

(

)

a R+∈ (

dim((

N aN /

) /

(

N aN /

))

n= −

m 0

aN → →

N t ( )

→ (

N aN t )( )

Từ dãy khớp ngắn 0

→ và sử dụng giả thiết quy

+ + + 1

= t deg a

nạp ta có

, với mọi

i ≥ . Mọi phần tử của

(

)

(

)( ) M N t

p d i R +

p d i

+ + + 1

≅ , H , M N H

(

)

đều bị linh hóa bởi một số mũ nào đó của R+

nên ta có điều phải chứng minh. 

pd M (

)

(

)

M N ,

Mệnh đề 2.2.3 Cho

R m là vành địa phương, N hữu hạn sinh,

< ∞

dim(

)

và

. Khi đó, R -môđun

là Artin.

+ p d R +

R 0

Chứng minh:

Chứng minh quy nạp theo d

/ ( ) H , M N R 0 ⊗m 0

Trường hợp

d ≤ : 0

. Suy ra

hữu hạn sinh

)

(

)

(

)

( R N

+ p d R

+ p d R +

và bị linh hóa bởi một số mũ nào đó của R+ .

Γ = ≅ N Ext H , M N , M N

Do đó,

. Suy ra

+ p d R +

R 0

Artin. (theo Mệnh đề 1.2.1)

d > . Giả sử kết quả trên đúng với mọi môđun N' mà

Trường hợp

′

dim N (

′ = − ) d

⊗ ⊂ + ( / H ( M N , )) } / H ( M N , ) m { m R + Supp R 0 R 0 ⊗m 0

(theo Mệnh đề 2.2.2) nên ta có thể giả sử

( H M N

)

i R +

R +

) 0

= .

R N+ (

≅ Γ , H M N ( , / ( N ))

( deg a

)

Khi đó tồn tại phần tử thuần nhất a R+∈ (

) /

(

N aN /

))

d= −

thỏa mãn

Rdim N aN ((

aN → →

N t ( )

→ (

N aN t )( )

→ suy ra các dãy khớp

Từ dãy khớp ngắn 0

Theo giả thiết

+ − 1

t= ) và không là ước của 0 trên N

Im δ ( )

Artin nên

Artin.

R 0

⊗m 0

p d R +

R 0

Im δ ( )

ker

)

là ảnh đồng cấu của

R 0

⊗m 0

nên nó Artin. 

⊗

R 0

(

M N ,

)

(0 : R 0

R 0

+ p d R +

/ H ( M N aN / , ) R 0 ⊗m 0

Bổ đề 2.2.4

Cho N là R -môđun Artin, M là

0R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó với bất kì i ∈  ,

R 0

R -môđun

(

)

iTor M N Artin. ,

Chứng minh:

...

Lấy một phép giải tự do của M :

← ← ← ← ← ← F ... 1

M F 0

F i

Trong đó các môđun tự do

iF là tổng trực tiếp của hữu hạn bản sao của

R 0

(

)

iTor M N là một ,

0R vì M là

0R -môđun thương

⊗

của

≅ ⊕ là môđun Artin. Do đó

s R 0

F i

s R 0

(

)

R 0

)

0R -môđun hữu hạn sinh. Ta có (

≅ ⊕ ∈Λ s

R 0

(

) iTor M N Artin. 

Mệnh đề 2.2.5

Artin. Khi đó

Cho i ∈  ,

i R +

R 0

Artin.

Chứng minh:

⊗ / H M N ( , / ( N )) / H M N ( , ) m R 0 R 0 ⊗m 0 Γm

Kí hiệu

. Ta có dãy khớp

)

( R N

→ Γ → → → = N N / ( N ) 0 N N 0 Γm

Áp dụng hàm tử

RH M+ (

Từ đó suy ra các dãy khớp:

, − vào dãy khớp trên, ta có dãy khớp: )

i R +

i C H M N R +

Theo giả thiết

Artin. Ta có: A là môđun Artin vì nó là môđun con của

R 0

C⊗m R 0

và

Artin (theo Mệnh đề 1.5.6 và 1.5.10)

(

)

(

)

( + 1 i H M R +

)

( + 1 i H M R +

)

m R 0

(

RTor R

A là R -môđun Artin,

Artin. (theo

, ) Am 0

/R m là 0

0R -môđun nên ta có

Bổ đề 2.2.4)

Từ dãy khớp:

= = = ) / ) / ( ( , , và ( , ). , A H M N Img B H M N Imf

A⊗ →

R Tor R 0 1 0

R 0

Artin.

suy ra:

R 0

B⊗m R 0

Và từ dãy khớp:

→ → ⊗ → B ⊗ → C ... ( / , A ) / / m m m R 0 R 0

B⊗ →

R 0

i H M ( R +

i R +

R 0

→ ⊗ Γ → ⊗ → ... / , ( N ) / H M N ( , ) m m R 0 R 0

Suy ra

Artin. 

i R +

R 0

/ H M N ( , ) R 0 ⊗m 0

Mệnh đề 2.2.6

Artin.

)

Cho i ∈  và

là R+ -cofinite. Khi đó ta có

( RH M N

Γm

(

)

Chứng minh:

là R+ -cofinite suy ra:

RH M N (

≅

(

)

(

)

Hom R R H M N , +

Ext R R H M N , +

0 R

i R +

(

)

(

)

, )

)

nên nó là môđun hữu hạn sinh phân bậc và là R+ -xoắn (vì

là R+ - xoắn).

( RH M N

Theo Mệnh đề 1.1.6 tồn tại các đẳng cấu:

0 : i

(

)

Hom R R H M N , +

R +

Γm

≅ Γm

i R +

(

)

0 : Γ

H M N R

(

)

(

)

( RH M N

)

(

)

m R 0

 ≅  

  

Do vậy

hữu hạn sinh,

R +

0m -xoắn và R+ -xoắn.

0 : Γ

)

( RH M N

(

)

  

  

Suy ra nó bị linh hóa bởi một số mũ của m . Vậy theo Mệnh đề 1.1.9 và 1.2.1 nó là

là Artin.

môđun Artin. Mà

)

là R+ -xoắn nên

( RH M N

Γm

(

)

(

)

(theo Định lí Melkersson) 

Ta nhắc lại vài kết quả cần dùng cho chứng minh của mệnh đề tiếp theo.

(

)

(

)

Kí hiệu

. Khi đó ta có

)

i R

dim N R

c N+= R

( H N+

∈ ≠ = ) : Sup i { : 0}  c N ( + R

Định lí 2.2.7

(

)

= :

(

)

Cho

R m là vành địa phương,

. Ta có:

dim N R

n H N ( R +

Artin.

) / ) m

Mệnh đề 2.2.8

Cho M là R -môđun hữu hạn sinh có số chiều xạ ảnh hữu hạn

(

) RPd M n= và

(

)

. Khi đó ta có

Artin.

c N+= : R

+ n c R +

Chứng minh:

H M N ( , ) / H M N ( , ) m

Ta chứng minh quy nạp theo n .

n = : theo Định lí 2.2.8 ta có điều cần chứng minh.

0n > . Ta cần chứng minh nó

Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi giá trị nhỏ hơn

đúng với n .

Vì

(

)

RPd M n= và M hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t và một dãy

khớp các R -môđun phân bậc 0

→ → → → mà

)

( RPd K

hàm tử

1 n= − . Áp dụng

vào dãy khớp trên ta có dãy khớp sau:

( + − n c ,

)

+ − 1

→

K N ,

M N ,

t R N ,

(

)

(

)

(

)

n c R +

+ n c R +

+ n c

t , R N

nên

= . 0

Để ý rằng

)

) 0 = .Do đó

( c N+

( N+

(

)

vào dãy khớp trên ta có toàn cấu:

Áp dụng hàm tử

R 0

⊗ − R 0

+ − 1

+ > = n c c

(

)

(

)

(

)

(

)

n c R +

+ n c R +

+ − 1

→ H K N , / H K N , H M N , / H M N , . m m

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có môđun

là Artin.

(

)

(

)

n c R +

H K N , / H K N , m

Từ toàn cấu trên ta suy ra

Artin. 

+ n c R +

H M N ( , ) / H M N ( , ) m

Kí hiệu

R +

i R +

a M N ( , = ) : Sup i { | H M N ( , ) không Artin } ∈ 

và

i H N ( R +

Khi đó ta có mệnh đề sau:

= ) : Sup i { | ) không Artin } ∈  a N ( R +

Mệnh đề 2.2.9

Cho M là R -môđun hữu hạn sinh có số chiều xạ ảnh

hữu hạn. Khi đó

)

( pd M R

ta có:

n = :

;

( a M N

)

) Pd M a N

(

)

R +

≤ + ,

ii.

Artin với

và

(

)

(

)

(

)

( a N+

+ a n R +

Chứng minh:

i. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n .

n = : (i) đúng.

a = : = : n Pd M / H , M N H , M N m

Giả sử kết quả trên đã đúng cho mọi giá trị nhỏ hơn

0n > , ta sẽ chứng minh nó

cũng đúng đối với n .

≅

M R M

M là R -môđun hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t sao cho

và

1n − . Từ đó ta có dãy khớp ngắn

1M có số chiều xạ ảnh là

t → → → → 0.

Suy ra dãy khớp

Ta cần chứng tỏ với mọi i > a + n thì

Artin.

)

( RH M N

a n

Ta có

và i

> + > .

( a N

)

( Pd M R

R +

Theo giả thiết quy nạp ta có

− 1

+ i − > + − = a n 1 1

và

Artin. Do đó từ dãy khớp (*) ta có

Artin.

)

( RH M N

( RH N+

ii. Ta tiếp tục chứng minh quy nạp theo n .

n = : (ii) đúng theo [[13], Theorem 2.4].

Giả sử kết quả trên đã đúng cho mọi giá trị nhỏ hơn

0n > , ta sẽ chứng minh nó

cũng đúng đối với n .

Tương tự như mục (i) ta có dãy khớp

+ a n

β=

α=

ImA

⊂ B H

ImB

Đặt

và

. Vì a n

+ > nên a

Artin. Do đó

)

+ a n R

( N+

Artin.

Suy ra

Bm Artin.

Tác động hàm tử

vào dãy khớp

R 0

⊗ − R 0

ta có dãy khớp

+ − 1

a n R +

R 0

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp

+ − 1

⊗ α → → → / Ker H ( ) / H ( ) A / A 0. m m m R 0 M N , 1 M N , 1

Artin nên

Am Artin.

(

)

(

)

a n R +

vào dãy khớp

Tác động hàm tử

R 0

⊗ − R 0

H / H m M N , 1 M N , 1

ta có dãy khớp

+ a n A H M N R +

+ a n R +

→ → A / ( , ) / H M N ( , ) B / B m m m với

Am và

Bm Artin nên

(

)

(

)

Artin. 

+ a n R +

/ H , M N H , M N m

Bổ đề 2.2.10

Cho M là một R -môđun minimax. Nếu M là R+ -xoắn thì các R -môđun

R R (

và

)

Artin với mọi i ∈  .

( iH Mm

Chứng minh:

Vì M là môđun minimax nên tồn tại môđun con phân bậc hữu hạn sinh

'M của M

sao cho

/ M M ′ Artin.

′

→ → →

M M M

Từ dãy khớp ngắn 0

→ suy ra các dãy khớp

'M hữu hạn sinh và R+ -xoắn nên

M / , ) m T m or

và

bị linh hóa bởi một lũy thừa của m . Do đó chúng là

(

)

( iH M ′

)

R iT or 0

môđun Artin.

/ M ′ , m R 0

/ M M ′ Artin nên

và

Artin.

(

)

( iH M M ′

)

R iT or 0

Do vậy từ các dãy khớp trên ta có điều cần chứng minh. 

Kí hiệu:

/ M M ′ / , / m R 0

≥

sup

0 |

không minimax

)

( H M N

)

( s M N R +

i R +

{ i

}

và

≥

inf

0 |

không minimax

)

( H M N

)

( t M N R +

i R +

{ i

}

Bổ đề 2.2.11

Với các kí hiệu như trên, ta có:

Artin khi và chỉ khi

( H M N

)

Với mọi i ∈  , R -môđun

i R +

R 0

⊗

Artin.

(

)

R 0

i R +

( H M N

)

R 0

m 0

Chứng minh:

/ , R 0 ⊗m 0

Tác động hàm tử

) − vào dãy khớp ngắn

( RH M+

ta có dãy khớp

= m m

là iđêan tối đại của R nên

Artin.

(

)

+ 0 R+

iH M ( m

Γ , N )

Mặt khác,

là

(

)

0m -xoắn nên ta có

N Γm

Từ dãy khớp trên ta có minimax khi và chỉ khi

minimax. Tức

(

)

i RH

là ta có (i).

ker

Co α Artin.

Ta cũng có erK α và

, N / ) Γm M+ (

Các dãy khớp

( H M N

)

i R +

cho ta các dãy khớp sau:

→ α → → α → 0 K er , Im 0

i R +

R 0

và

α α ⊗ → ⊗ → ⊗ → / / , ) / 0 Ker ( H M N Im m m m R 0 R 0 R 0

K α er

Cok α er

và

Artin.

Các môđun

(

) Cok α e r

RT or 1

R 0

⊗m 0

R 0

⊗m 0

R 0

/ , m R 0

Do đó

Artin khi và chỉ khi

Artin;

( H M N

)

R 0

i R +

R 0

Imα⊗m R 0

/ , R 0 ⊗m 0

Artin khi và chỉ khi

Artin. Vậy ta có

R 0

i R +

R 0

Imα⊗m R 0

điều cần chứng minh. 

⊗ / H (M, N/ ( N )) m R 0 Γm

Đặt

. Khi đó với mọi i

t≤ ta có:

= , t

Mệnh đề 2.2.12 )

( t M N R +

i. R -môđun

Artin;

)

( RH M N

R 0

Artin với mọi 0

1j≤ ≤ .

(

)

j 0

i H H M N R +

(

)

ii.

Chứng minh:

i. Theo Bổ đề 2.2.10, (i) đúng khi i

t< .

R / , ⊗m 0

Ta chỉ còn phải chứng minh

Artin. Theo Bổ đề 2.2.11 ta có

( H M N

)

t R +

R 0

/ , R 0 ⊗m 0

thể giả sử

. Khi đó tồn tại phần tử

a ∈ m không là ước của không trên

(

)

N .

Ta có dãy khớp ngắn

suy ra dãy khớp dài

Theo dãy khớp trên ta có:

− 1

Γ = N 0

Với i

t< thì

minimax. Do vậy

(

)

(

)

Rt M N aN ,

RH M N aN ,

Với i

t= , từ dãy khớp trên suy ra dãy khớp

t / / 1 ≥ − .

Trong đó,

vì

a ∈ m .

( aH M N

)

t R +

R 0

⊗ = / , 0 m R 0

Do đó nếu

Artin thì

Artin.

(

)

( H M N

)

− 1 t R +

t R +

R 0

Dùng nguyên lí quy nạp ta có điều cần chứng minh.

t< .

ii. Theo Bổ đề 1.1.10 (ii) đúng khi i

t= .

Xét trường hợp i

Xét dãy phổ

= :

(

))

M N ,

(

)

p q , E 2

p m

+ p q m

q H H M N R +

⇒ p

quy ước

= với mọi

0p < .

, p qE 2

− + 1

E +

Vì vậy nếu 0

1j≤ ≤ thì với mọi

i ≥ dãy 2

khớp.

j t , → → E r

j r t r , r

j t , +→ E r 1

− + < . 1

r ≥ là số nguyên mà

là giới hạn của dãy phổ này và 0

Theo Bổ đề 2.2.10 môđun cuối trong dãy là Artin vì Đặt {

},p qE∞

/ H M N aN , / / , R 0 ⊗m 0 R 0 ⊗m 0

j t , E ∞

j t , E + r 1 0

j t , E + r 0

= = = ...

Artin vì nó là môđun con của môđun thương của

( tH M N

)

j t , E ∞

+ j m

, j t E + r 1 0

,j t

j r t r , 0 0

= ,

Ta có dãy

khớp và

− + Artin nên

rE Artin.

rE +

j t , +→ E r 1 0

j t , → → E r 0

− + j r t r 1 , 0 0 r 0

E + 0

Lặp lại suy luận này ta có

và

( H M N

)

j t , E 3

, j t E 2

= m : H

Artin. 

t R +

(

)

, j t E − r 1 0

, j t E − r 0

, ,..,

Mệnh đề 2.2.13

Đặt

. Khi đó R -môđun

Artin với mọi i

s≥ .

)

( H M N

)

( s M N R +

i R +

R 0

Chứng minh:

Theo Bổ đề 2.2.10 mệnh đề trên đúng với mọi i

s> .

= s , / , R 0 ⊗m 0

Artin.

Ta cần chứng minh

( H M N

)

s R +

R 0

/ , R 0 ⊗m 0

Thực hiện quy nạp theo

(

)

n N = : dimR

Nếu

n = thì N Artin. Do đó ta có điều cần chứng minh.

Giả thiết mệnh đề trên đúng với mọi R -môđun phân bậc hữu hạn sinh

'N có số

1n − với

n > . 0

chiều là

. Do đó tồn tại phần tử

a ∈ m không là

Từ Bổ đề 2.2.11 ta có thể xem

(

)

ước của không trên N .

Ta có dãy khớp ngắn

Từ đó suy ra dãy khớp

→

⊗

→

(

))

H M N aH M N ) /

(

)

R Tor R 0 1 0

R 0

s R +

R 0

, (0 : H

(

M N ,

)

+ s 1 R +

Γ = N 0

s R +

R 0

+ 1

→ / H M N aN , ( / ). R 0 ⊗m 0

(0 :

)

là con của môđun minimax

nên cũng là môđun minimax.

)

( RH M N

)

M N a

+ 1 ( s RH +

(

))

Artin.

Vì vậy theo Bổ đề 2.2.11

R Tor R 0 1 0

, (0 : H

(

M N ,

)

+ s 1 R +

Vì

)

(

)

Rs M N aN ,

( / R N aN

/ 1 s dim n= − và 1 ≤ − nên theo giả thiết quy nạp

Artin.

(

)

s R +

R 0

/ H M N aN , / R 0 ⊗m 0

Do đó

( H M N

)

Artin. 

s R +

R 0

⊗ ≅ ⊗ / , / H M N aH M N ) / ( ( , , ) m m R 0 R 0

Mệnh đề 2.2.14

Cho

và

. Khi đó ta có:

)

(

)0 R

( s M N R +

Artin với

− ≤ ≤ và i

s≥ ;

( H M N

)

j m

i R +

(

)

−

− 1

ii.

Artin khi và chỉ khi

Artin.

( H M N

)

( H M N

)

d m

s R +

(

)

(

)

Chứng minh:

i. Xét dãy phổ

= :

(

))

M N ,

(

)

p q , E 2

p m

+ p q m

q H H M N R +

⇒ p

{

là giới hạn của dãy phổ trên.

Gọi

}p qE∞

(

M N ,

)

Vì

nên nó Artin với mọi p , q .

,p qE∞ là môđun thương của

+ p qH m

= = s , d dim

s> : (i) đúng (theo Bổ đề 2.2.11)

• i

s= :

− ≤ ≤ . j

+ − →

Xét đồng cấu

α − j r s r , : E r

j s , E r

Imα

Vì

= với mọi p

d> nên ta có

với mọi

r > . 2

j s , E r

p qE , 2

j s , + = E r 1

Ta có

+ − > nên Imα Artin (theo Bổ đề 2.2.11)

• i

r ≥ là số tự nhiên thỏa

j s , E ∞

Gọi 0

, j s E + r 1 0

, j s E + r 0

,j s

,j sE∞ Artin nên

rE Artin.

rE + và suy ra

j s , 1

= = = ...

Lặp lại suy luận này ta suy ra

Artin.

j s , E 2

s H H M N R +

ii. Tiếp tục sử dụng dãy phổ ở (i) ta suy ra dãy khớp:

−

− 1

K Kerd −

và

trong đó

( H M N

)

( H M N

)

d 2

d E 2

d s , E 2

= m H

s R +

(

)

(

)

d sE − Artin.

Để chứng minh (ii), ta chỉ cần chứng minh K và

+ 1

Xét đồng cấu

β − d E : 2

−→ d E 2

−

K Imβ

E −

và

, với L là một môđun con Artin của

d E ∞

d E 3

d 3

E −

Ta có

+ Artin nên K Artin.

d ∞

d 2

− 1

′

Tương tự, ta có

với

'L là mô đun con Artin của

d sE − . Từ đó ta có

d s , E ∞

d s , E 3

d sE − Artin. 

( ( , ) = m :

Mệnh đề 2.2.15

Cho

dimR ≤ . Khi đó ta có

Artin với mọi i ∈  .

1 m

0 1

i R +

Chứng minh:

N H M H ( , ( ))

Trường hợp

dimR = : ta có 0

. Do đó ta có

Artin.

1 m

1 RH m

i R +

= :

H M H (

(

))

M N ,

dimR = : xét dãy phổ

Trường hợp

(

)

p q , E 2

q m

+ p q m

p R +

⇒ p

( N = ) 0 H M H ( , ( N ))

dimR = nên

với mọi

1q > .

Vì

q RH m

( N = ) 0

q ≠

0,1

Suy ra

= với mọi

. Do vậy ta áp dụng [[17], 5.2.2] trong trường hợp

p qE , 2

1,0

2,0

→

+ 1 H M N (

)

(

M N ,

)

đối ngẫu để có dãy khớp:

p E 2

p m

2,0

Artin.

p E 2

p m

p R +

= Γ = Γ H ( M , ( N )) H ( M , ( N ))

Do vậy từ dãy khớp trên ta có

Artin. 

p E 2

1 m

p R +

Ta nhắc lại một kết quả được dùng để chứng minh mệnh đề tiếp theo

= H M H ( , ( N ))

Định lí 2.2.16 (xem [[3], Theorem 2.5])

Cho

dimR ≤ và i ∈  . Khi đó ta có:

0 1

i. R -môđun

Artin.

i R

R 0

/ ) R 0 ⊗m 0 H M+ (

ii. R -môđun

và

Artin.

i R

1 ( m

RH M+ (

( )) ( )) Γm H H M+

Mệnh đề 2.2.17 (xem [[8], 2.11])

Cho

dimR ≤ . Khi đó ta có

Artin với mọi , i

j ∈  .

i R

j m

0 1

Chứng minh:

Trường hợp

dimR = : N hữu hạn sinh nên nó là

0m -xoắn.

H ( ( , )) M H N+

Theo Mệnh 1.5.12

nên nó là

RH N Artin )

0m -xoắn.

(

Do đó,

. Suy ra

Artin.

j R

i R

j R

j m

i M H N R +

i R +

Trường hợp

dimR = : Ta chứng minh quy nạp theo j .

≅ ( ( )) H ( ( , )) Ext M H N , ( ( )) Ext M H N+ ,

j = : Theo Mệnh đề 1.5.1,

. Theo

0 m

i M H N R +

i H N ( R +

≅ Γ H ( ( , )) ( , ( ))) • Hom M R

[[3], Theorem 2.5] ta có

Artin. Vì thế theo kết quả suy ra từ Hệ quả

RH N+ (

( )) Γm

1.2.2 ta có

Artin.

i R

( , ( ))) Hom M R Γm H N+ (

j > : Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi giá trị nhỏ hơn

j > . Ta cần chứng

minh mệnh đề đúng với j .

M hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t và dãy khớp ngắn các R -môđun

sau: 0

t → → → → 0

•

Áp dụng hàm tử

vào dãy khớp trên ta có dãy khớp:

i R

j m

H − ( , )) H N+ (

− j 1 ( R m

j m

i K H N R +

i M H N R +

i R H N R +

→ → H ( , )) H ( ( , )) H ( ( , ))

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có

Artin.

i R

− 1 ( j R m

H ( , )) K H N+

Sử dụng Định lí 2.2.17 mục b) ta có

Artin.

i R

1 m

H ( ( , )) R H N+

Ta cũng có

Artin với mọi

1j > .

i R

j m

H ( ( , )) R H N+

Vậy từ dãy khớp trên ta có

Artin. 

i R

j m

H ( ( , )) M H N+

Mệnh đề 2.2.18

Cho

Artin.

dimR ≤ . Khi đó, với mọi số i ∈  , môđun

0 1

i R +

Chứng minh:

, ) / , ) ( H M N ( H M N m

dimR = : N là 0

Artin.

0m -xoắn. Do đó

Trường hợp

dimR = : 0

, ) ( RH M N

Áp dụng hàm tử

RH M+ (

→ Γ

→ → Γ

→

(

)

(

)

ta được dãy khớp:

, − vào dãy khớp ngắn: )

+ i 1( H M R +

i ( H M R +

i R +

Γ → → Γ → , ( )) , ) , / ( )) , ( N )) N ( H M N ( H M N N Γm

)

là

Artin.

R N (

0m -xoắn nên với mọi i ta có

Γm

i H M ( R +

, ( N )) Γm

Do vậy

Artin khi và chỉ khi

i R +

R 0

Artin.

= ) 0

Vì thế ta có thể giả sử

. Khi đó, tồn tại phần tử

a ∈ m không là ước của

R N (

0 của N .

⊗ / H M N ( , ) / , / ( )) ( H M N N m R 0 R 0 ⊗m 0 Γm

Áp dụng hàm tử

ta được dãy khớp

, − vào dãy khớp ngắn: ) ( RH M+

dimR = nên

/N aN là

Artin.

RH M N aN ,

0m -xoắn. Khi đó

( / )

Ta có

Artin.

i R +

R 0

vào dãy khớp trên ta có:

Áp dụng hàm tử

R 0

⊗ − R 0

/ H M N aH M N ) / ( ( , , ) R 0 ⊗m 0

. Vậy ta có điều phải

i R +

R 0

chứng minh. 

⊗ ≅ ⊗ / H M N ( , ) / H M N aH M N ) / ( ( , , ) m m R 0 R 0

KẾT LUẬN

1. Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày được một số vấn đề chủ yếu như sau:

Mệnh đề 2.2.2 về tính triệt tiêu của môđun

RH M N (

, )

Mệnh đề 2.2.3 về tính Artin của môđun

i R +

R 0

/ H M N ( , ) R 0 ⊗m 0

Mệnh đề 2.2.6 về tính Artin của

RH M N (

, )

Mệnh đề 2.2.7 về tính Artin của

( , )) ( RH M N Γm

Một số mệnh đề về tính Artin của các môđun

i R +

, ) / , ) ( H M N ( H M N m

,...

1 m

i R +

2. Các hướng mở cần tiếp tục nghiên cứu:

Tìm các ví dụ và phản ví dụ minh họa cho các kết quả đã trình bày.

Khái quát các kết quả về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương

phân bậc sang trường hợp suy rộng.

Tìm kiếm các điều kiện đủ khác để môđun đối đồng điều địa phương suy

rộng phân bậc là Artin.

Nghiên cứu các tính chất trên đối với môđun đối đồng điều địa phương suy

rộng phân bậc tổng quát với M , N là các R -môđun phân bậc và I là một iđêan

phân bậc tùy ý của R .

Nghiên cứu các tính chất khác của môđun đối đồng điều địa phương suy

rộng phân bậc và môđun đối đồng điều địa phương suy rộng tổng quát.

Tóm lại, luận văn này chỉ mới là sự tiếp cận lí thuyết về môđun đối đồng

điều địa phương bằng cách tìm hiểu, phân tích và tổng hợp các kết quả đã có sẵn.

Để có những kết quả mới, đòi hỏi tác giả phải tiếp tục đi sâu nghiên cứu. Điều này

cần nhiều thời gian và công sức. Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu

vấn đề này theo các hướng đã nêu. Chúng tôi hi vọng đề tài này cũng sẽ thu hút sự

quan tâm của các bạn học viên cao học và trong các khóa sau đề tài này sẽ ngày

càng hoàn thiện và thu được nhiều kết quả tốt hơn.

, ( )) ( H M H N

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Atiyah M. F., Macdonald I. G. (1969), Introduction to commutative Algebra,

Perseus Books Publishing.

[2] Brodmann M., Fumasoli S., Tajarod R. (2002), “Local cohomology over

homogeneous rings with one-dimensional local base ring”, Mathematics Subject

Classification.

[3] Brodmann M. P., Fumasoli S., Rohrer F. (2007), First lectures on local

cohomology, University of Zürich.

[4] Bruns W., Herzog J. (1993), Cohen - Macaulay Rings, Cambridge.

[5] Brodmann M.P., Hellus M. (2002), "Cohomological patterns of coherent

sheaves over projective schemes", J. Pure Appl. Algebra 172(2002), 165 - 182.

[6] Brodmann M. P., Sharp R.Y. (1998), Local Cohomology: an algebraic

introduction with geometric applications, Cambridge University Press.

[7] Herzog J. (1970), Komplexe, Auflösungen und dualität in der lokalen Algeba,

Habilitationsschrift, Universität Regensburg.

[8] Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012), “Some finiteness

properties of generalized graded local cohomology modules”, International Journal

of Algebra, Vol. 6, no. 11, 539 – 547.

[9] Matsumura H. (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin,

Reading.

[10] Nazer Zamani (2006), “On graded generalized local cohomology”, Achiv der

Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel.

[11] Rotman J. (1979), Introduction to homology algebra, Academic Press.

[12] Rotthaus C., Sega L. M. (2005), “Some properties of graded local cohomology

modules”, Journal of Algebra 283, pp. 232 – 247.

[13] Sazeedeh R. (2007), “Artinianess of graded local cohomology modules”, AMS.

[14] Suzuki N. (1978), “On the generalized local cohomology and its duality”, J.

Math. Kyoto University, pp. 71 – 85.

[15] Tahamman S. (2011), “Artinianess of graded generalized local cohomology

modules”, Mathematics Scientific Journal, Vol. 7, No. 1, 107 -117.

[16] Zamani N. (2003), “On the homogeneous pieces of graded generalized local

cohomology modules”, Colloquium Mathematicum, Vol. 97, No. 2.

[17] Weibel C.A. (1994), An introduction to homological algebra,

Camb.Univ.Press.