Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Thảo

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA

ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thanh Thảo

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA

ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

Mã số : 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi. Mọi sự

kế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõ

ràng và đúng quy định. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm

hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêu

cầu của đề tài cần nghiên cứu, chưa từng được công bố trong bất kỳ nghiên

cứu nào khác.

Học viên

Trần Thị Thanh Thảo

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được

sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ

Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè.

Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam.

Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp

tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình

học tập. Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường

Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, cô Phạm Thị Thu Thủy, quý

thầy cô đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tôi nhiều kiến thức về Toán học, đặc

biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số, làm nền tảng vững chắc để tôi học tập

và nghiên cứu.

Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lí thuyết số Khóa 27 cũng như

bạn bè và người thân đã hết lòng động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và

làm luận văn.

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên

tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2018

Trần Thị Thanh Thảo

BẢNG KÍ HIỆU

Tập tất cả các iđêan nguyên tố của

Giá của

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của

Linh hóa tử của

Môđun đối đồng điều địa phương thứ

Môđun đối đồng điều địa phương thứ theo một cặp iđêan

Tích mở rộng chiều trên

Tích xoắn chiều trên

Hàm tử xoắn

Hàm tử xoắn

MỤC LỤC

Trang

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

BẢNG KÍ HIỆU

MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ..................................................................................... 5

1.1. Một số kiến thức cơ bản .................................................................................... 5

1.2. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan

............................................ 8

1.3. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

.................... 11

1.4. Bao nội xạ ......................................................................................................... 14

1.5. Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck .................................................................. 14

Chương 2. Môđun Lasker yếu và môđun

Cofinite .................................. 18

2.1. Môđun Lasker yếu và môđun

cofinite yếu ....................................... 18

2.2. Sự hữu hạn của tập

....................................... 24

2.3. Sự hữu hạn của tập

............................................................. 28

2.4. Tính cofinite yếu của

....................................................................... 31

Chương 3. Phạm trù con Serre .................................................................................. 34

3.1. Định nghĩa ......................................................................................................... 34

3.2. Tính chất của

trong phạm trù con Serre ...................................... 34

KẾT LUẬN .................................................................................................................. 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 41

1

MỞ ĐẦU

Đối đồng điều địa phương chiếm một vị trí quan trọng trong Đại số

hiện đại nói chung và Đại số giao hoán cũng như Hình học đại số nói riêng,

hiện nay vẫn tiếp tục được nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác

nhau. Trong luận văn này, ta sẽ nghiên cứu sự hữu hạn của các tập

và , cũng như một vài tính chất

của môđun đối đồng điều địa phương theo quan điểm của phạm trù

con Serre.

Trong toàn bộ luận văn này, ta luôn giả thiết là vành Noether giao

hoán và là các iđêan của vành . Trong [1], các nhà toán học Takahashi,

Yoshino và Yoshizawa đã giới thiệu về khái niệm của môđun đối đồng điều

địa phương theo một cặp iđêan , chính là sự mở rộng của định nghĩa

môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan của Grothendieck. Cho là

một môđun, khi đó môđun là môđun

con xoắn của . Vì vậy tồn tại hàm tử hiệp biến từ phạm trù

môđun vào chính nó. Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ theo cặp

iđêan , kí hiệu là , là hàm tử dẫn xuất phải thứ của . Nếu

thì chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thông thường

của Grothendieck.

Trong [2], Grothendieck đã đưa ra giả thuyết: Với mọi iđêan của

vành và với mọi môđun hữu hạn sinh , môđun

là hữu hạn sinh với mọi . Một năm sau Hartshorne đã đưa ra một phản ví dụ

cho giả thuyết của Grothendieck. Ông đã định nghĩa môđun cofinite và

đặt câu hỏi: “Với vành và iđêan như thế nào thì môđun là

2

môđun cofinite với mọi môđun hữu hạn sinh ?”. Vấn đề đặt ra tương tự

cho cặp iđêan , môđun cho ta được các kết quả như thế nào?

Luận văn này được trình bày làm ba chương. Chương một sẽ trình bày

mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán và đối đồng điều

địa phương trong bài báo [1]. Trọng tâm của luận văn nằm ở chương hai và

chương ba sẽ trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài

báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a

pair of ideals [3] của PGS. TS. Trần Tuấn Nam và Nguyễn Minh Trí. Trong

đó chương hai sẽ giới thiệu về môđun Lasker yếu và môđun cofinite

yếu, từ đó rút ra một số kết quả quan trọng đặc biệt là tập các iđêan nguyên tố

liên kết của và , với là số nguyên không

âm cho trước. Chương ba sẽ giới thiệu về phạm trù con Serre, cung cấp cho ta

một cái nhìn khác về môđun và các tính chất của môđun này trong

phạm trù đang xét. Cụ thể như sau:

Phần (2.1.1) và (2.1.2), ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của

môđun Lasker yếu dựa trên kết quả của hai tác giả K. Divaani- Aazar và A.

Mafi trong bài báo [4].

Dựa vào định nghĩa về môđun cofinite ở (2.1.3) mà A.

Tehranian và A. Pour Eshmanan Talemi đã đề cập đến trong bài báo [5], kết

hợp với định nghĩa môđun cofinite yếu của K. Divaani- Aazar và A. Mafi

trong bài báo [6], ta được định nghĩa hoàn chỉnh và một số tính chất của

môđun cofinite yếu trong (2.1.4) và (2.1.5).

Tiếp đến phần (2.1.6) và (2.1.7), ta thu được kết quả về tính Lasker yếu

với mọi , trong đó là số nguyên không âm của môđun

cho trước.

3

Bằng việc chứng minh quy nạp hoặc sử dụng dãy phổ Grothendieck

trong [7], ta có hai cách để chứng minh Định lý quan trọng (2.2.1) về tính

Lasker yếu của từ đó dễ dàng suy ra sự hữu hạn của

tập cũng như các Hệ quả 2.2.2 và 2.2.3.

Trong Định lý 2.3, từ tính Lasker yếu của ta suy ra được tập

là hữu hạn.

Ta cũng sẽ nghiên cứu về tính cofinite yếu của môđun trong

Định lý 2.4.1 và từ đó ta được hai Hệ quả 2.4.2 và 2.4.3.

Tiếp đến phần 3.1 trong chương ba, ta trình bày hai cách định nghĩa

tương đương về phạm trù con Serre.

Định lý 3.2.1, cho ta khẳng định nếu với mọi thì

với mọi .

Bổ đề 3.2.2 đã sử dụng một kết quả của M. Asgharzadeh và M. Tousi

trong [8], cho ta Định lý 3.2.3 khi nào thì thuộc phạm

trù con Serre.

Cuối cùng, ta nhận thấy lớp các môđun hữu hạn sinh là phạm trù

con Serre ở Bổ đề 3.2.4, kết hợp thêm tính Artin trong bài báo [9] của C.

Huneke trên vành địa phương cho ta khẳng định

có độ dài hữu hạn trong Hệ quả 3.2.5.

Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hoàn thành luận văn nhưng do

sự hạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn

4

còn có những sai sót không mong muốn. Rất mong nhận được sự đánh giá,

nhận xét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.

5

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Một số kiến thức cơ bản

Mệnh đề 1.1.1. Hàm tử là một hàm tử khớp trái.

Định nghĩa 1.1.2. Với là các môđun và

là phép giải xạ ảnh của . Phức thu gọn tương ứng với là:

.

Từ phức

Với mỗi số nguyên dương , ta định nghĩa tích mở rộng chiều trên là

.

Định lý 1.1.3. Đối với môđun cố định , các hàm tử hiệp biến

được lấy cùng với các đồng cấu tự nhiên

đối với các dãy khớp ngắn các môđun được đặc trưng chính xác tới một đẳng

cấu tự nhiên bởi các tính chất sau:

i. .

nếu xạ ảnh hoặc nội xạ, với mọi ii.

iii. Dãy sau là khớp

6

Mệnh đề 1.1.4. Hàm tử tenxơ là một hàm tử khớp phải.

Định nghĩa 1.1.5. Với là các môđun và

là phép giải xạ ảnh của . Phức thu gọn tương ứng với là:

.

Từ phức

Với mỗi số nguyên dương , ta định nghĩa tích xoắn chiều trên là

.

Định lý 1.1.6. Đối với môđun cố định , các hàm tử hiệp biến

được lấy cùng với các đồng cấu tự nhiên đối

với các dãy khớp ngắn các môđun được đặc trưng chính xác tới một đẳng cấu

tự nhiên bởi các tính chất sau:

. i.

ii. nếu hoặc xạ ảnh, với mọi

Dãy sau là khớp

Định nghĩa 1.1.7. Cho là iđêan của vành

i. Tập gọi là tập đại số xác định bởi .

7

được gọi là phổ nguyên tố của vành là tập con của

.

ii. Cho là tập con của tập , được gọi là đóng trong

nếu tồn tại iđêan của sao cho .

Định nghĩa 1.1.8. Cho là môđun. Một iđêan nguyên tố

gọi là iđêan nguyên tố liên kết của nếu tồn tại sao cho

. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của

ký hiệu là .

Tính chất 1.1.9. Với , khi và chỉ khi tồn tại môđun

con của sao cho .

Định nghĩa 1.1.10. Tập được gọi là giá

của môđun , trong đó với (được gọi là môđun địa

phương hóa tại iđêan nguyên tố ).

Định lý 1.1.11. Cho là iđêan của vành . Khi đó .

Định lý 1.1.12. [1, 9.2.7] Cho là vành và là hai môđun. Khi đó

. nếu hữu hạn sinh thì

Định lí 1.1.13. Cho là dãy khớp ngắn các

môđun. Khi đó ta có:

i.

ii. .

8

Mệnh đề 1.1.14. Nếu là môđun thì . Hơn nữa

nếu có giá hữu hạn thì khi đó là hữu hạn, với là môđun

con bất kì của .

Mệnh đề 1.1.15. Cho là các môđun con của , khi đó dãy sau đây

là khớp:

Mệnh đề 1.1.16. Cho là vành Noether và là một môđun hữu hạn

sinh. Khi đó là một tập hữu hạn.

Mệnh đề 1.1.17. ([9]) Cho là vành Noether địa phương và là một

môđun. Khi đó là Artin khi và chỉ khi và

là hữu hạn sinh.

Định nghĩa 1.1.18. (Căn Jacobson): Căn Jacobson của , ký hiệu là

được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan cực đại của .

Mệnh đề 1.1.19. (Bổ đề Nakayama): Cho là môđun hữu hạn sinh và

là iđêan của nằm trong . Nếu thì .

1.2. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan

Định nghĩa 1.2.1. Với mọi môđun , ta định nghĩa tập

{ với nào đó}. Khi đó là

môđun con của .

9

Với đồng cấu môđun , ta có , ánh xạ

: được xác định. Do đó là hàm tử cộng tính

hiệp biến và gọi là hàm tử xoắn.

Mệnh đề 1.2.2. Hàm tử là hàm tử khớp trái.

Định nghĩa 1.2.3. Hàm tử dẫn xuất phải thứ của được kí hiệu là và

được gọi là hàm tử đối đồng điều thứ theo iđêan

Với môđun , ta có là môđun đối đồng điều địa phương thứ

của theo iđêan . là môđun con xoắn của .

là xoắn nếu .

là xoắn tự do nếu .

Tính chất 1.2.4. Cho là môđun tùy ý.

i. Để tìm được , lấy phép giải nội xạ của :

Vì vậy có đồng cấu thỏa dãy sau là khớp

Tác động hàm tử vào phức ta được

và lấy môđun đối đồng điều thứ của phức trên, ta có

. Việc làm này không phụ thuộc vào

cách chọn phép giải nội xạ của .

10

là hàm tử cộng tính hiệp biến (kế thừa từ tính chất của ). ii.

tương đương tự nhiên với (do khớp trái). iii.

iv. Cho dãy khớp ngắn các

môđun. Khi đó ta có dãy khớp dài:

Mệnh đề 1.2.5. i. Nếu chứa một phần tử không là ước của không trong

thì là xoắn tự do, tức là .

ii. Giả sử hữu hạn sinh. Khi đó là xoắn tự do khi và chỉ khi chứa

một phần tử không là ước của không trong .

Mệnh đề 1.2.6. Với mọi môđun , là môđun xoắn tự do.

Mệnh đề 1.2.7. Nếu là một môđun xoắn, tức là thì

mọi môđun con của và ảnh các đồng cấu của cũng đều là xoắn.

Với mỗi môđun , môđun đối đồng điều địa phương thứ là

môđun xoắn. Hơn nữa, nếu là môđun xoắn thì với

mọi .

Mệnh đề 1.2.8. Cho là môđun nội xạ, khi đó cũng là môđun nội xạ.

Mệnh đề 1.2.9. Cho là môđun nội xạ. Khi đó dãy khớp sau là chẻ ra:

.

Mệnh đề 1.2.10. Cho là môđun xoắn. Khi đó tồn tại một phép giải nội

xạ của mà mỗi thành phần là các môđun xoắn.

11

Mệnh đề 1.2.11. Cho môđun , khi đó:

với mọi nếu là xoắn. i.

với mọi . ii.

với mọi . iii.

1.3. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

Định nghĩa 1.3.1. Cho là một môđun, môđun con xoắn của

là tập với .

Với đồng cấu các môđun, dễ thấy ,

và vì ánh xạ là xác định. Khi đó là hàm

tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù môđun vào chính nó, ta gọi là

hàm tử xoắn.

Khi , hàm tử xoắn trở thành hàm tử xoắn ở trên.

Mệnh đề 1.3.2. Hàm tử là hàm tử khớp trái.

Định nghĩa 1.3.3. Hàm tử dẫn xuất phải thứ của được kí hiệu là

và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ theo cặp iđêan .

Với môđun , ta có là môđun đối đồng điều địa phương thứ

của môđun theo cặp iđêan .

xoắn nếu là .

là xoắn tự do nếu

12

Chú ý: Nếu thì trở thành hàm tử đối đồng điều địa phương thông

thường .

Tính chất 1.3.4.

i. là hàm tử cộng tính hiệp biến.

ii. tương đương tự nhiên với .

iii. Cho dãy khớp ngắn các

môđun. Khi đó ta có dãy khớp dài:

Định nghĩa 1.3.5. Kí hiệu là tập tất cả các iđêan nguyến tố của

thỏa với số nghuyên nào đó. Khi đó

{ với }.

Chú ý: Nếu thì trùng khớp với tập tất cả các iđêan

nguyên tố chứa .

Định lý 1.3.6. Cho là môđun. Những mệnh đề sau là tương đương:

là xoắn. i.

ii. .

iii. .

iv. .

Hệ quả 1.3.7. Với , những điều sau là tương đương:

13

. i.

. ii.

Hệ quả 1.3.8. Cho dãy khớp ngắn các môđun.

Khi đó là môđun xoắn khi và chỉ khi và là các môđun

xoắn.

Hệ quả 1.3.9. Nếu là môđun xoắn thì là môđun xoắn.

Chiều ngược lại xảy ra khi là môđun hữu hạn sinh.

Định lý 1.3.10. Với là môđun, khi đó là xoắn tự

do.

Mệnh đề 1.3.11. Với mỗi môđun , môđun đối đồng điều địa

phương thứ của môđun theo cặp iđêan là xoắn với mọi

số nguyên .

Định lý 1.3.12. Ta có , với môđun

. Đặc biệt, khi và chỉ khi .

Định lý 1.3.13. Cho là môđun xoắn. Khi đó tồn tại phép giải nội

xạ của mà mỗi thành phần là các môđun xoắn.

Định lý 1.3.14. Cho là một môđun.

Nếu là môđun xoắn thì với mọi i.

với mọi . ii.

với mọi . iii.

14

1.4. Bao nội xạ

Định nghĩa 1.4.1. Một môđun được gọi là mở rộng cốt yếu của

nếu với mỗi môđun con khác không của giao với là khác 0. Một mở

rộng cốt yếu được gọi là tối đại nếu không có môđun thật sự nào chứa

là mở rộng cốt yếu của .

Mệnh đề 1.4.2. Một môđun là nội xạ khi và chỉ khi không có mở

rộng cốt yếu thật sự nào.

Mệnh đề 1.4.3. Mọi môđun đều có một mở rộng cốt yếu tối đại.

Định lý 1.4.4. Với môđun , các phát biểu sau là tương đương:

i. là mở rộng cốt yếu tối đại của .

ii. là nội xạ và là mở rộng cốt yếu của .

iii. là nội xạ tối tiểu của .

Định nghĩa 1.4.5. Nếu thỏa một trong ba điều kiện tương đương trong

Định lý 1.4.4 thì được gọi là bao nội xạ của .

Mệnh đề 1.4.6. Mọi môđun đều có bao nội xạ và ta sẽ kí hiệu là .

1.5. Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck

Định nghĩa 1.5.1. Với là số nguyên không âm, dãy phổ (đối đồng điều)

(bắt đầu bởi ) trong phạm trù các môđun, là một họ các môđun

( ), được nối với nhau bởi đồng cấu (từ trái sang phải):

thỏa và đẳng cấu với đối đồng điều của

tại :

.

15

Chú ý: là môđun thương con của . Tổng bậc của là .

Ta qui ước dãy phổ góc phần tư thứ nhất là dãy phổ thỏa với mọi

âm hoặc âm.

Định nghĩa 1.5.2. Sự hội tụ bị chặn:

i. Dãy phổ (đối đồng điều) được gọi là bị chặn nếu chỉ có hữu hạn thành

phần khác không trong mỗi bậc tổng của , và ta kí hiệu cho giá trị

dừng của .

ii. Cho là họ các vật được đánh chỉ số bởi số nguyên . Dãy

phổ được gọi là hội tụ tới , kí hiệu nếu mỗi có

lọc hữu hạn

thỏa .

Ví dụ 1.5.3. Trong dãy phổ (đối đồng điều) góc phần tư thứ nhất:

Nếu với thì là tầm thường. Vì ta có

nên . Hơn nữa dẫn tới và

. Do đó , tổng quát lên ta có , với . Mặt

khác dãy phổ hội tụ tới , khi đó có một lọc hữu hạn có độ dài là :

thỏa

.

16

Định nghĩa 1.5.4. Ta nhắc lại hàm tử giữa hai phạm trù Aben

được gọi là khớp trái nếu hàm tử đó biến mỗi dãy khớp ngắn trong

thành dãy khớp . Nếu biến dãy khớp ngắn trong

thành dãy khớp ngắn trong thì được gọi là hàm tử khớp.

Grothendieck đã giới thiệu dãy phổ nhằm liên kết hai hàm tử. Cho là

các phạm trù Aben đủ nội xạ. Ta thiết lập hàm tử khớp trái và

sao cho biểu đồ sau giao hoán.

Định nghĩa 1.5.5. Vật được gọi là nội xạ nếu hàm tử là

hàm tử khớp. Một phép giải xạ ảnh của là tựa đẳng cấu

trong đó các là nội xạ, là phức chủ yếu bậc

không. Nếu nhúng được vào vật nội xạ nào đó thì ta gọi là đủ nội

xạ.

Khi đó với ta chọn một phép giải xạ ảnh và định nghĩa hàm tử

dẫn xuất phải thứ của hàm tử tác động vào là

. Và việc làm này không phụ thuộc vào phép giải xạ

ảnh.

Chú ý: Vì là khớp nên .

17

Định nghĩa 1.5.6. Cho là hàm tử khớp trái. Một vật của

được gọi là không tuần hoàn phải nếu hàm tử dẫn xuất của là triệt tiêu

tại , tức là với mọi .

Định nghĩa 1.5.7. (Dãy phổ Grothendieck): Cho các hàm

tử cộng tính hiệp biến, trong đó là các phạm trù Aben đủ nội xạ. Giả

sử là hàm tử khớp trái và là không tuần hoàn với mọi vật nội xạ

Khi đó với mọi vật trong phạm trù , tồn tại dãy phổ

.

Mệnh đề 1.5.8. Cho là ánh xạ của vành giao hoán. Khi đó với mọi

môđun và môđun ta có dãy phổ

.

Để thấy điều này, ta chọn thuộc môđun và giả sử các hàm tử thỏa:

Tam giác trên giao hoán, bằng việc tác động hàm tử Hom và Ten-xơ ta có:

.

Vì được thêm vào bên phải của hàm tử khớp, dẫn tới tính nội xạ.

Khi đó giả thiết của dãy phổ Grothendieck được thỏa mãn. Như vậy với mỗi

môđun ta có dãy phổ .

18

Chương 2. Môđun Lasker yếu và môđun Cofinite

2.1. Môđun Lasker yếu và môđun cofinite yếu

Định nghĩa 2.1.1.[4,2.1]: Một môđun được gọi là môđun Lasker yếu

nếu tập các iđêan nguyên tố liên kết của mọi môđun thương của (kí hiệu là

với là môđun con bất kì của là hữu hạn.

Bổ đề 2.1.2.

a. Cho là dãy khớp ngắn các R-môđun.

Khi đó:

i. là môđun Lasker yếu khi và chỉ khi và là môđun Lasker

yếu.

ii. Mọi môđun thương con của môđun Lasker yếu đều là môđun Lasker

yếu.

iii. Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun Lasker yếu cũng là môđun Lasker

yếu.

b. Cho và là hai môđun. Nếu là môđun Lasker yếu và

là môđun hữu hạn sinh, khi đó và là các môđun

Lasker yếu với mọi .

Chứng minh:

a. Ta có thể giả sử là môđun con của và . Ta có dãy

khớp:

19

Nếu là môđun Lasker yếu, ta dễ dàng suy ra và là i.

môđun Lasker yếu.

Với mọi là môđun con tùy ý của , ta có dãy khớp ngắn:

Ta có

Với mọi tồn tại phần tử sao cho

do vậy hay .

Mặt khác và

là hữu hạn (do và là môđun Lasker yếu) nên là hữu

hạn. Dẫn đến là môđun Lasker yếu.

ii. Dễ thấy, được suy ra từ (i).

iii. Với là hai môđun Lasker yếu, từ dãy khớp ngắn chẻ

cho ta cũng là môđun Lasker yếu. Tổng quát lên ta có, tổng trực tiếp

hữu hạn cũng là môđun Lasker yếu.

b. Theo [4, 2.3] ta chỉ cần chứng minh cho ( tương tự).

Vì là vành Noether và hữu hạn sinh nên có một phép giải tự do:

bao gồm các môđun tự do hữu hạn sinh. Tác động hàm tử vào

phép giải trên ta có đối phức:

20

Theo định nghĩa của ta có với mọi

.

Với mọi với nguyên dương nào đó (do là tự do, hữu hạn

sinh).

Do đó nên

là môđun thương con của . Theo (a)

là môđun Lasker yếu với mọi .

Định nghĩa 2.1.3. [5] Một môđun được gọi là cofinite nếu

thỏa hai điều kiện:

i. .

ii. là môđun hữu hạn sinh, với mọi .

Từ định nghĩa trên và định nghĩa môđun cofinite yếu [6], ta có định nghĩa

môđun cofinite yếu.

Định nghĩa 2.1.4. Một môđun được gọi là môđun cofinite yếu

nếu thỏa hai điều kiện:

i. .

ii. là môđun Lasker yếu với mọi

Hệ quả 2.1.5.

i. Mọi môđun cofinite đều là môđun cofinite yếu.

21

và là môđun Lasker yếu thì là ii. Nếu

cofinite yếu.

là dãy khớp ngắn. Nếu hai iii. Cho

môđun bất kì là môđun cofinite yếu thì môđun còn lại cũng là

cofinite yếu.

Chứng minh:

i. Với mọi là môđun cofinite ta suy ra

và là môđun hữu hạn sinh, với mọi

Giả sử là môđun con bất kì của , khi đó

cũng là môđun hữu hạn sinh với mọi

Theo Mệnh đề 1.1.16, là hữu hạn với mọi

Vì vậy là môđun Lasker yếu với mọi , hay là

cofinite yếu.

ii. Do là môđun Lasker yếu và là hữu hạn sinh (do là vành

Noether) nên theo Bổ đề 2.1.2(b) ta suy ra là môđun Lasker

yếu với mọi . Hơn nữa do nên là

cofinite yếu.

iii. Với giả thiết là cofinite yếu, từ dãy khớp ngắn

22

Ta có

Theo Bổ đề 2.2.(a), với và là Lasker yếu , dãy

khớp dài:

cũng là môđun Lasker yếu nên là cofinite cho ta

yếu.

Bổ đề 2.1.6. Cho là một môđun, đặt và là

bao nội xạ của . Khi đó ta có các tính chất sau:

i.

và ii.

với mọi .

Chứng minh:

i. Với mọi , ta có và , suy

với đủ lớn. Dẫn đến mà nên ra

. Theo tính chất của bao nội xạ với môđun hay

cho ta . con

23

ii. Do nội xạ nên với mọi . Từ dãy

khớp ngắn , tác động hàm tử

ta có với mọi

và tác động hàm tử ta có với mọi .

Mệnh đề 2.1.7. Cho là một môđun và là một số nguyên không âm

thỏa là môđun cofinite yếu với mọi . Khi đó

là môđun Lasker yếu với mọi .

Chứng minh:

Ta chứng minh quy nạp theo .

Khi , do tính khớp trái của , nên từ dãy khớp ngắn

cảm sinh dãy khớp

Mà là xoắn tự do, (đồng thời là xoắn tự do), do đó

nên .

Suy ra:

Mà là cofinite yếu nên là Lasker yếu

hay là môđun Lasker yếu. Vậy mệnh đề đúng với .

24

Với , đặt và là bao nội xạ của . Theo Bổ

đề 2.1.6, ta được và

với mọi . Ta có là

cofinite yếu với mọi , nên là cofinite yếu với

mọi . Khi đó ta có,

cũng là môđun cofinite yếu với mọi . Theo giả

thiết qui nạp là môđun Lasker yếu với mọi và

cũng là môđun Lasker yếu với mọi . Mặt khác,

nên là

Lasker yếu với mọi .

Cuối cùng từ dãy khớp dài

cho ta cũng là Lasker yếu với mọi .

2.2. Sự hữu hạn của tập

Định lí sau sẽ trả lời cho câu hỏi của Grothendieck: “Khi nào thì tập

hữu hạn?”.

Định lý 2.2.1. Cho là môđun thỏa là môđun Lasker

yếu với mọi và là số nguyên không âm thỏa là môđun

25

cofinite yếu với mọi . Khi đó cũng là

Lasker yếu. Đặc biệt tập là hữu hạn.

Chứng minh:

Cách 1: Chứng minh quy nạp theo

Khi , do tính khớp trái của , nên từ dãy khớp ngắn

cảm sinh dãy khớp

Do nên

là môđun Lasker yếu. Vậy định lý đúng với .

Với , giả sử định lý đã đúng tới , ta chứng minh định lý cũng

đúng với . Thật vậy, đặt và là bao nội xạ của .

Ta có và

với mọi (theo Bổ đề 2.1.6). Do

là môđun cofinite yếu suy ra

là môđun Lasker yếu. Mà cũng là

môđun Lasker yếu nên từ dãy khớp dài

26

cho ta cũng là môđun Lasker yếu nên

cũng là môđun Lasker yếu với mọi .

Mặt khác là cofinite yếu với mọi nên

là cofinite yếu với mọi . Ta được

cũng là cofinite yếu với mọi . Theo giả thiết quy nạp, ta được

cũng là môđun Lasker yếu. Vậy

cũng là môđun Lasker yếu.

Cách 2: Chứng minh bằng việc sử dụng dãy phổ

Đặt và . Dễ thấy

Ta có dãy phổ của Grothendieck

.

Theo giả thiết, là cofinite yếu với mọi , từ định nghĩa

của môđun cofinite yếu ta suy ra là

Lasker yếu với mọi và . Mà là môđun thương con của

nên cũng là Lasker yếu. Bây giờ ta có dãy lọc của

27

thỏa .

Dãy khớp ngắn

cho ta là Lasker yếu vì là Lasker yếu.

Ta có các đồng cấu của dãy phổ

.

Vì với mọi , và với mọi

Suy ra và do đó là Lasker yếu. Dãy khớp

cho ta là Lasker yếu với mọi

Đặc biệt , nên là môđun

Lasker yếu.

Khi đó là tập hữu hạn.

Sau đây là một kết quả mạnh hơn Định lý 2.2.1

Hệ quả 2.2.2. Cho là môđun Lasker yếu và là số nguyên không âm.

Nếu là Lasker yếu với mọi thì cũng

là Lasker yếu với mọi môđun con Lasker yếu của . Đặc biệt, tập

là hữu hạn.

Chứng minh:

28

Từ dãy khớp ngắn

cảm sinh dãy khớp

.

Theo Bổ đề 2.1.2.b, ta có là Lasker yếu. Hơn nữa, do

là môđun xoắn nên . Theo Hệ

quả 2.1.5, là Lasker yếu nên cũng là cofinite yếu, dẫn đến

cũng là Lasker yếu (theo Định lý 2.2.1).

Vì vậy cũng là Lasker yếu và tập

là hữu hạn.

Lưu ý rằng từ Mệnh đề 1.1.14 và Mệnh đề 1.1.16, môđun hữu hạn sinh hoặc

môđun có giá hữu hạn đều là Lasker yếu. Vì vậy ta lập tức có kết quả sau.

Hệ quả 2.2.3. Cho là môđun hữu hạn sinh và là số nguyên không

âm. Nếu là hữu hạn sinh hoặc là hữu hạn với

mọi thì là hữu hạn.

2.3. Sự hữu hạn của tập

Định lý 2.3. Cho là môđun Lasker yếu và là một số nguyên không

âm. Giả sử có một iđêan của thỏa và .

29

là môđun Lasker yếu với mọi thì tập là Nếu

hữu hạn.

Chứng minh:

Ta đặt hàm tử và . Khi đó

Từ giả thiết , tồn tại đẳng cấu

.

Ta có dãy phổ Grothendieck

.

Khi đó các đồng cấu của dãy phổ .

Vì với mọi , , tồn tại dãy khớp

Vì vậy .

Với lần lượt ta có:

30

Khi đó

Nên . Mà

Vì vậy

Với mọi thì nên là

môđun Lasker yếu nên cũng là Lasker

yếu. Vì là môđun thương con của , nên từ Bổ đề 2.1.2.a, cho ta

cũng là môđun Lasker yếu. Do đó là tập hữu hạn.

Ta cần chỉ ra tập là hữu hạn. Thật vậy, tồn tại một lọc hữu hạn

của thỏa:

và với mọi . Dẫn đến là

môđun Lasker yếu, vì vậy là hữu hạn với mọi nên

cũng hữu hạn. Mà là môđun xoắn nên ta có

(do Định lý 1.3.6), khi đó:

31

Vậy là hữu hạn.

2.4. Tính cofinite yếu của

Định lý 2.4.1. Cho là môđun thỏa là Lasker yếu với

mọi và là số nguyên không âm. Nếu là cofinite yếu với

mọi , khi đó cũng là cofinite yếu.

Chứng minh: Ta quy nạp theo .

Với , đặt ta có dãy khớp ngắn:

cảm sinh dãy khớp dài

Ta có với mọi (do Mệnh đề 1.3.14) và

nên là cofinite yếu với mọi . Theo Mệnh

đề 2.1.7 , là môđun Lasker yếu với mọi . Kết hợp với giả

thiết là Lasker yếu với mọi , nên từ dãy khớp dài ở trên cho

32

ta là môđun Lasker yếu. Mặt khác từ 1.3.6 ta lại có

nên là cofinite yếu. Vì vậy

cũng là môđun cofinite yếu. Vậy mệnh đề đúng

với .

Khi , với là bao nội xạ của , khi đó ta có

và , với

mọi Vì là cofinite yếu với mọi nên

cũng là cofinite yếu với mọi .

Nên là cofinite yếu với mọi .

Mà là Lasker yếu với mọi nên là

Lasker yếu với mọi . Theo giả thiết qui nạp, là

cofinite yếu, vì vậy là cofinite yếu.

Kết hợp Bổ đề 2.1.2.b và Định lý 2.4.1 ta được kết quả sau.

Bổ đề 2.4.2. Cho là môđun Lasker yếu và là số nguyên không âm.

Nếu là cofinite yếu với mọi , khi đó cũng là

cofinite yếu.

Bổ đề 2.4.3. Cho là iđêan chính của vành và là môđun Lasker yếu.

Khi đó là cofinite yếu với mọi .

Chứng minh:

33

Từ [1, 4.11] ta có với mọi . Hơn nữa, là

môđun Lasker yếu, vì là môđun con của . Điều đó có nghĩa

là cofinite yếu với mọi . Từ Định lý 2.4.1 ta có điều cần

chứng minh.

34

Chương 3. Phạm trù con Serre

3.1. Định nghĩa

Ta nhắc lại định nghĩa của phạm trù con Serre như sau

Định nghĩa 3.1.1. Một lớp không rỗng các môđun được gọi là phạm

trù con Serre của phạm trù môđun nếu nó đóng với môđun con, môđun

thương và mở rộng môđun.

Dựa vào dãy khớp, ta có định nghĩa tương đương.

Định nghĩa 3.1.2. Một lớp không rỗng các môđun được gọi là phạm

trù con Serre của phạm trù môđun nếu với mỗi dãy khớp các môđun

thì , . khi và chỉ khi

3.2. Tính chất của trong phạm trù con Serre

Định lý 3.2.1. Cho là môđun và là số nguyên không âm. Nếu

với mọi

với mọi thì .

Chứng minh:

Ta kí hiệu hàm tử và . Dễ thấy

.

Khi đó ta có dãy phổ Grothendieck:

.

Vì với mọi , với mọi , .

35

Ta có dãy các đồng cấu của dãy phổ với mọi và

Ta có và với mọi . Suy ra

với mọi . Khi đó ta có lọc của thỏa

và với mọi . Khi đó có một dãy khớp ngắn

.

Theo chứng minh trên ta có là môđun thương con của

và với mọi . Dẫn tới với mọi .

Bằng quy nạp theo ta có với mọi . Cuối cùng

với mọi .

Bổ đề 3.2.2. Cho là vành địa phương. Nếu là lớp các môđun

có độ dài hữu hạn thì .

Chứng minh:Tham khảo [8, 2.11]

Định lý 3.2.3 Cho là môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương và

là một số nguyên không âm. Nếu với mọi thì khi đó ta có

.

Chứng minh:

Ta chứng minh quy nạp theo .

36

Khi , vì là hữu hạn sinh, vì vậy cũng là hữu hạn sinh. Vì

có độ dài hữu hạn nên vậy

(do Bổ đề 3.2.2).

Với , ta có với mọi . Bằng cách

thay thế bằng , ta có thể giả sử, là xoắn tự do. Vì

, theo đó cũng là xoắn tự do. Vì vậy, tồn tại một

phần tử không là ước của 0 trong . Đặt , dãy khớp ngắn

cảm sinh dãy khớp

Vì với mọi , với mọi . Vì vậy

theo giả thiết quy nạp. Tác động hàm tử

vào dãy khớp ngắn

ta có dãy khớp dài

Vì , vì vậy . Bây giờ từ dãy khớp

37

ta có dãy khớp

.

Dễ thấy .

Vì vậy .

Mệnh đề 3.2.4. Lớp các môđun hữu hạn sinh là phạm trù con Serre của

phạm trù các môđun.

Chứng minh:

Thật vậy từ dãy khớp

Nếu là môđun hữu hạn sinh thì và đều là các môđun hữu hạn

sinh . Mặt khác từ dãy khớp

với là các môđun hữu hạn sinh. Khi đó là một mở rộng của

nhờ và là hữu hạn sinh. Như vậy, lớp các môđun hữu hạn sinh là

phạm trù con Serre của phạm trù các môđun.

Từ Mệnh đề 1.1.17, ta thấy rằng nếu , nếu là môđun hữu hạn sinh trên

vành địa phương với thì là Artin. Sau đây là

một kết quả của Định lý 3.2.3.

Hệ quả 3.2.5. Cho là môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương

, và là một số nguyên không âm. Nếu là hữu hạn sinh với mọi

khi đó có độ dài hữu hạn.

38

Chứng minh:

Theo Định lý 3.2.3 ta có là hữu hạn sinh. Hơn nữa,

. Vì vậy, là

Artin và nó có độ dài hữu hạn.

39

KẾT LUẬN

Luận văn này đã trình bày một số kết quả liên quan đến môđun đối đồng điều

địa phương theo một cặp iđêan , cụ thể như sau:

1. Trình bày lại định nghĩa về môđun Lasker yếu và môđun cofinite yếu

và nghiên cứu tính Lasker yếu và cofinite yếu của môđun

và môđun .

2. Với là số nguyên không âm, tập là hữu

hạn khi là môđun Lasker yếu và là môđun

cofinite yếu với mọi .

3. Tập là hữu hạn nếu là môđun Lasker yếu

với mọi , với là số nguyên không âm, trong đó là

môđun Lasker yếu thỏa và , với

là một iđêan của vành .

4. Bên cạnh đó ta cũng chỉ ra được

thuộc phạm trù con Serre dựa vào tính chất môđun với

mọi . Ngoài ra ta có hệ quả về độ dài hữu hạn của

trong trường hợp là vành địa phương và

là hữu hạn sinh.

Như vậy, tính Lasker yếu và cofinite yếu của môđun Đối đồng điều địa

phương theo một cặp iđêan đã mang lại cho ta một số kết quả khá hay về sự

40

hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết và

. Ngoài ra, đối đồng điều địa phương theo một cặp

iđêan vẫn giữ được vai trò quan trọng để ta nghiên cứu một số tính chất theo

quan điểm của phạm trù con Serre.

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] R. Takahashi, Y. Yoshino and T. Yoshizawa, “Local cohomology based

on a nonclosed support defined by a pair of ideals”, J. Pure Appl.

http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.09.008

Algebra, vol. 213, no. 4, pp. 582–600, 2009.

[2] A. Grothendieck, “Cohomologie local des faisceaux coherents et

theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2)”, North-Holland,

Amsterdam, vol. 2, 1968.

[3] T. T. Nam and N. M. Tri, “Some Results on Local Cohomology

Modules with Respect to a Pair of Ideals”, Taiwanese J. Math, vol. 20,

https://projecteuclid.org/euclid.twjm/1498874488

no. 4, pp. 743–753, 2016. doi:10.11650/tjm.20.2016.5805.

[4] K. Divaani-Aazar and A. Mafi, “Associated primes of local cohomology

https://doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07728-7

modules”, Proc. Amer. Math. Soc, vol. 133, no.3, pp. 655–660, 2005.

[5] A. Tehranian and A. Pour Eshmanan Talemi, “Cofiniteness of local

cohomology based on a non-closed support defined by a pair of ideals”,

Bull. Iranian Math. Soc, vol. 36, no. 2, pp. 145–155, 2010.

[6] K. Divaani-Aazar and A. Mafi, “Associated primes of local cohomology

modules of weakly Laskerian modules,” Commun. Algebr., vol. 34, no.

2, pp. 681–690, 2006. http://dx.doi.org/10.1080/00927870500387945

[7] J. J. Rotman, “An Introduction to Homological Algebra”, Second

http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-68324-9

edition, Universitext,Springer, New York, 2009.

[8] M. Asgharzadeh and M. Tousi, “A Unified Approach to Local

Cohomology Modules Using Serre Classes”, Canad. Math. Bull, vol 53,

42

no. 4, pp. 577-586, 2010. http://dx.doi.org/10.4153/cmb-2010-064-0

[9] C. Huneke, “Problems on local cohomology, Free Resolutions in

commutative algebra and algebraic geometry, (Sundance, Utah, 1990),”

Res. Notes Math. 2, Boston, MA, Jones Bartlett Publ, pp. 93–108, 1994.