BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH CAO NGUYÊN HOÀNG
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN
NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH
PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
CAO NGUYÊN HOÀNG
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN
NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH
PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS TRẦN TUẤN NAM
Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
2
MỤC LỤC
Lời cảm ơn! ................................................................................................................ 3
Phần mở đầu .............................................................................................................. 4
Bảng ký hiệu .............................................................................................................. 7
Chương 1: Kiến thức cơ sở .................................................................................... 8
1.1
Iđêan nguyên tố liên kết ............................................................................... 8
1.2 Độ cao của một iđêan ................................................................................... 9
1.3 Chiều của một iđêan ................................................................................... 10
1.4 Độ sâu của môđun ...................................................................................... 11
1.5 Hàm tử xoắn ............................................................................................... 12
1.6 Môđun đối đồng điều địa phương .............................................................. 14
1.7 Vành và môđun phân bậc ........................................................................... 16
1.8 Các phép biến đổi iđêan ............................................................................. 20
1.9 Chiều hữu hạn của môđun .......................................................................... 22
Chương 2: Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của của các thành
phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương......................................... 24
2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận .............................................................. 24
2.2
Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân
bậc của môđun đối đồng điều địa phương ............................................................. 24
2.3 Ổn định tiệm cận ở chiều hữu hạn.............................................................. 25
2.4 Một tính chất khác về tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố
liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương ....... 34
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 48
3
Lời cảm ơn!
Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS. TS. Trần Tuấn Nam
thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, TS. Trần Huyên,
PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong Khoa Toán –
Tin Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cám ơn Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu và tập thể giáo viên
trường THPT Nguyễn Chí Thanh nơi tôi công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
nhất để tôi hoàn thành kế hoạch học tập của mình.
Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những
người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011
Tác giả
Cao Nguyên Hoàng
4
Phần mở đầu
Cho
là họ các vành Noether,
>
0≥
n
n nR ) ≥
0
0
i
R ( R trong đó họ R + = ⊕n = ⊕n R là n
một iđêan của R và M là một R – môđun phân bậc hữu hạn sinh.
RH M là môđun
+
đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với
+R được trang bị tính phân bậc tự
(
)
, ta có
H M là thành phần phân bậc thứ n của môđun
nhiên. Với mỗi ∈ n
n
i R +
i
)
(
) (
RH M , tập hợp
n
+
i R +
(
)
R 0
(
)
H M . Trong quá trình nghiên cứu và tìm hiểu về mô đun đối đồng điều địa
n
i R +
i
(
)
phương
RH M , các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả hết sức thú vị và một
+
trong những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp
( ) Ass H M là tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của
n
i R +
(
)
R 0
( ) Ass H M . Đi đầu trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của
n
i R +
(
)
R 0
= ) 0
sao cho
với mọi
và mọi ≥n
r ; hơn thế nữa
rằng: “Tồn tại ∈ r
i RH M (
0∈ i
+
i
)
”. Tiếp sau đó
và mọi ∈ n
RH M là (
0R - mô đun hữu hạn sinh với mọi
0∈ i
+
) ( Ass H M là nhà toán học M.Brodmann, M.Brodmann đã chứng minh được
M.Brodmann cũng chứng minh được rằng: “
n
f R +
(
)
R 0
=
f
= :
i inf{
:
0< với H M không hữu hạn sinh}”. Vấn đề đặt ra ở ) ( ) ∈ (
f M
R
+ i
R
+ đây là khi thêm giả thiết R là ảnh đồng cấu của vành chính quy thì ) ( )
f
Ass H M
R
+ ( R
0 n ) ( Ass H M ổn định tiệm cận khi f thì có gì đặc biệt? Và khi >i n i
R
+ ( ) R
0 Năm 2002 trong một bài báo (xem [11]), M. Brodman, M. Katzman và R.Y. Sharp đã trả lời cho các câu hỏi trên một cách chính xác. Kết quả được thể hiện trong định lí sau: ( ) Ass H M còn ổn định tiệm cận không? (1) (Định lí 2.3.8) Cho R là vành phân bậc và là ảnh đồng cấu của vành Noether giao hoán 5 chính quy, ∈ n là +R -xoắn. = f =
: i
inf{ : Đặt hữu hạn sinh} thì ) )
H M không ( ∈ (
f M
R
+ i
R
+ M M là R-môđun phân bậc khác không, hữu hạn sinh và không = ⊕ n ( ) (
Proj R ) ( ) 0 : p {
= ∩
p } f
R
+ (
Ass H M ) R
0 n 0< với mọi n minh rằng khi >i ∈ + + = R và depthM ht / f p p p R
+ f thì tập , ( ) i
R
+ Cũng trong bài báo đó, họ đã dùng một ví dụ của Singh (xem [9]) để chứng
) ( R
0 n cụ thể họ thu được định lí sau: (2) (Định lí 2.4.15) Ass H M không ổn định tiệm cận khi → −∞ Kí hiệu /R là vành [ ] [
X Y Z U V W XU YV ZW
/ ] 3 Cho d− ∈ với d ≥ , p ∈ là số nguyên tố. Khi đó: / ∈ ∈ p i) nếu và chỉ nếu )2 p
) (
−∏
d 3
/
R
+ − (
(
Ass H R ) d / = ∈ , : , , 2 ,
X Y Z ,
q X Y Z q ii) ) }
) {
( }
) ) (
−∏
d 3
/
R
+ − (
(
Ass H R ) /
R
0 d / ≥ : 3 j không xác định iii) Tập các số nguyên (
Ass H R ) 3
/
R
+ − /
R
0 j ) ( ) + + , , , , , {
(
{
( / iv) Các tập sau và ( ) (
Ass H R ) R
0 3
/
R
+ − j ( }
) / ∈ ≥ ∈ j : j v
3 à p X Y Z
, , , là vô hạn ( ) (
Ass H R ) R
0 3
/
R
+ − j {
( }
) { / v) không ổn định tăng với n → −∞ ) 3
/
R
+ − (
(
Ass H R ) /
R
0 n Những vấn đề trên có vai trò quan trọng trong chuyên ngành đại số, đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau ∈ ≥ ∉ j : j v
3 à p X Y Z
, , , đó trình bày lại chi tiết bài chứng minh cho kết quả (1). Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả (2). Bài luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau. Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh kết quả (1). Phần 2 trình bày các bổ đề liên quan sau đó dẫn đến kết quả (2). Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp. 6 7 tập hợp số tự nhiên 0 tập hợp số nguyên tổng trực tiếp của họ các vành nR nR≥⊕ 0n R/I vành thương của R theo I Spec(R) tập hợp các iđêan nguyên tố của R *Spec(R) tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R V(I) tập hợp các iđêan nguyên tố chứa I 1S R− vành các thương của vành R vành địa phương tại p Rp dim( )R số chiều của vành R vành đa thức lấy hệ số trên R l
2,
R l
1 inf cận dưới đúng của một tập hợp sup cận trên đúng của một tập hợp
l
,..., r
}
...
}
... {
i ∈
{
i ∈ Hom(A,B) tập hợp tất cả các đồng cấu từ A đến B Supp(M) tập hợp các iđêan nguyên tố có 0M ≠p Ann(M) linh hóa tử của M Var(I) ∈ Spec R
* ( ) : Proj(R) p ⊇
/ R+ tập hợp Supp(R/I)
tập {
p } 8 nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn tại một phần tử x∈M sao cho Ann(x) = p . (ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p . Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu AssR(M). x ≠ 0}. Khi đó p ∈ AssR(M). 1 1 'R S R−= 'M S M−= , . Khi đó = = ∩ ') ( ')) ) Ass M
(
R f Ass M
(
R Ass M
(
R ' {
p p
| }
S
∩ = ∅ f Spec R → ( : ') Spec R
( ) là một đồng cấu tôpô. Trong đó = ∈ ⊆ As | As ), Đặc biệt, q q s M
(
R p ) {
R
pq }
p (
s M
R
p SuppR(M), và với mọi phần tử tối tiểu của SuppR(M) đều nằm trong AssR(M). của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I. 9 0M ≠ . M M = ⊂ M M
= (0) ⊂ ⊂
... Khi đó tồn tại dãy các mô đun con sao cho n n 0 −
1 M
i R ≤ ≤ ≅ ( ),1 i n
. i Spec R
∈
p p với mọi i M −
i
1 M M M 0 '' ' → → → → là một dãy khớp các R – mô đun thì ⊆ Ass M Ass M
⊆ ∪ Ass M
( ') ( ( ) ') Ass M
( '') khi đó ( ) ( ( )) Ass(M) là hữu hạn. Hơn nữa, và mỗi phần tử tối tiểu của RAss M V Ann M
⊆ ( ) ( ( V Ann M đều thuộc
)) RAss M . Vì thế Ann(M) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M. Ass M Ass M N ⊆ ⊆ ∪ ( ) ) ( ( / ) ( ) Ass N
R R R Ass N
R 0R ≠ . Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan .... p được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n.
n p
nguyên tố 0 ⊃ ⊃ ⊃ ⊃
p
2 p
1 Spec A
( ) thì cận trên của chuỗi nguyên tố với Nếu ∈p 0=p p được gọi là độ cao của p kí hiệu là ht( p). (i) Nếu ht( p) = 0 điều đó có nghĩa p là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R. (ii) Nếu I là một iđêan chính của R. Độ cao của I là độ cao thấp nhất của ht I =
( ) inf{ht( )| I} . iđêan nguyên tố chứa I. Tức là: ⊇p p 10 cao của các iđêan nguyên tố trong R. Spec R = R
dim( ) ht
sup{ ( ) | ( )} ∈pp Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất trong R. ht ∈ ), Spec R
( ) (i) =
( ) dim(
p p R
p R ht I + ≤ ) R
( ) dim( ) (ii) Với mọi iđêan I của R ta có: dim( I 0M ≠ là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun M được định nghĩa M dim( ) dim R
= Ann M
( )
Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1. 0M ≠ là hữu hạn sinh trên R thì ta có các điều kiện tương đương sau: (i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn. R (ii) Vành Ann M là vành Artin. ( ) (iii) dim(M) = 0. 11 a R∈ được gọi là dãy M – chính quy nếu: a
sinh khác 0. Dãy các phần tử 1,..., n ,..., ) (i) a M ≠
0
n M a
/ (
1 i n = 1,.., ,..., . (ii) ai là phần tử a M - chính quy, với mọi
)n M a
/ (
1 Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy. M – dãy không có phần tử nào gọi là M – dãy có độ dài 0. (i) a R∈ là phần tử M – chính quy nếu a không là ước của 0 trong M. (ii) R∈ được gọi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi a
a
1,..., n ,..., 0 ) ,..., ) với mọi ∈p a M ≠ và
n a M
)
n ia ∉p với mọi M a
/ (
1 RAss M a
(
/ (
1 i n = 1,.., . a a là M – dãy sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M M≠ a và 1,..., n chính quy tối đại trong a nếu không tồn tại phần tử 1na + ∈a sao cho ,..., n a a + là M – dãy chính quy có độ dài n +1.
,n a
1 1 sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M M≠ a . Khi đó mọi dãy chính quy của M trong a đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong a và các dãy chính quy tối đại của M trong a có cùng độ dài. Độ dài này gọi chung là độ sâu của M trong a , kí hiệu là depth(a , M). 12 dãy chính quy a phải có các phần tử thuộc m , đơn giản vì a
1,..., n . Chú ý ta có M ,..., M≠ m theo bổ đề Nakayama. Do đó dãy các a M
)n M a
≠
1( phần tử của R là M – dãy chính quy khi và chỉ khi nó là M – dãy chính quy trong m . Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth(M). depth M = ) inf{ | ( ≠
) 0} ( ,
a n n M = = ∈ m M n N m
∃ ∈ = ( ) (0 : ) { | 0} là mô đun con của M. a ,
a
n N
∈ Nếu :f M N→ là đồng cấu các R - mô đun. f M N ( ) ( ) Khi đó ta có
n x M n N x ⇒ ∃ ∈ = ( ) : 0 Thật vậy với mọi a n n f x = ⇒ f x
( ) 0 =
) 0 . Khi đó a (
a f M N = f
( ) : ( ) ( ) Ta định nghĩa ánh xạ . Thì là một M ( ) Γ −a
( ) hàm tử hiệp biến trong phạm trù các R – mô đun. Ta gọi là hàm tử a – xoắn. Γ −a
( ) 13 phát biểu sau đây là đúng: ≠ ) 0MΓ ( ZD M
( ) (i) nếu và chỉ nếu ⊆a ZD M = ∈ ∃ ≠ ∈ ) {a R: 0 m M sao cho a.m = 0} ( Trong đó M M = = s
As ( s M V
) As / ( s M V
) \ và . (ii) a
( ) a
( ) ( )
) As ( (
s M )
) As ( bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn. Γ −a
( ) f M N L Cho 0 g
→ → → là dãy khớp. Tác động và ta được Γ −a
( ) ) → M N 0 ( ) ( ) L
( ) f Γ g
( ) là đơn cấu. Ta chứng minh ker Khi đó ( )fΓa gf = Γ g
( ) f
( ) ( =
) 0 Thật vậy x g f ∈ ⊆ = ker g
( ) ker Im . Giả sử n m M n N f m x x ∃ ∈ ∈ = = ) ( : , 0 a
, n n n x = = f m f m
=
( ) ) Khi đó 0 a a a
( R L X Y Z U V W
, , , , , m nm = ( M x
), f
( ) 0 Do f đơn cấu nên
=
f = g
( ) . ■ ⇒ ker 14 nghĩa: = ) 0M⇔ Γ
( i) M là môđun không xoắn a ⇔ Γ ( )M M
= ii) M là môđun xoắn a i) Nếu a chứa một phần tử khác uớc của không trên M thì M là môđun không xoắn ii) Giả sử M hữu hạn sinh. Khi đó M là môđun xoắn khi và chi khi a chứa một phần tử khác ước của không trên M. i) Cho M là môđun xoắn. Khi đó với mọi i > 0 (
) 0
iH M = a = ) 0 ii) Với mỗi R−môđun N, ta có với mọi i > 0 ( ) iH
a NΓ
(
a iii) Với mỗi R−môđun N, tồn tại toàn cấu tự nhiên N N N π → Γ / : ( ) a và đẳng cấu H N → Γ : / ( ) với mọi i > 0 )
(
π ) ) i
a (
i
H N
a (
i
H N
a a M M Ass M M AssM Ass
= Γ Γ Γ ∩ Γ = ∅ ( ) / ( ) ( ) / ( ) và ( ) (
Ass M ) ( ) (
Ass M ) a a a a M 0 d 0 i µ
→ → → i
d
→ 0 M I 1
I → →
.... I I →
..... vào dãy khớp trên ta được phức: Tác động hàm tử a - xoắn Γ −a
( ) +
i 1 → → là dãy khớp 0 0
(I ) i
(I ) (I ) ..... ker( i
(d )) 15 Khi đó là mô đun đối đồng điều thứ i của phức và Im( (d ))−
i 1 được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a . Kí hiệu ker( i
(d )) = (M) . là Im( (d ))−
i 1 = ∀ > (i) Nếu M là R – mô đun nội xạ thì iH (M) 0, i 0 ≅ (ii) (M) H (M) (iii) Mọi phần tử của linh hóa bởi na với n nào đó. đun, a là ideal của R. Thì = Γ −
1
S ( (M)) −
1
(S M) −
1 −
1 với mọi i. ≅
S (H (M)) H (S M) Đặc biệt với mọi iđêan nguyên tố p của R. R sinh. Thì là mô đun Artin với mọi i. g f → → khi đó với mỗi 0 L N
→ → M 0 → và những đồng cấu nối tạo i N∈ . Tồn tại một đồng cấu nối nên một dãy khớp dài 16 → 0 H (L) E
→ E
→ E
→ E
→ ... → ∃ ∈ = p
= ∈
{ p
} (
RAss H (M) ) iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì (i) =
Ass H (M) Ass Hom R / R R R ( ) ( ) (ii) hữu hạn với i = 0,1. (
RAss H (M) ) . (iii) hữu hạn với mọi i nếu dim(R / ) 1≤a R (
Supp H (M) ) chiều d 3≤ . Thì hữu hạn với mọi iđêan a của R. (
RAss H (M) ) ∈ p p
⇔ ∈ p ) (
R Ass H (M )
p ) R R R R R +⊆ n m n m = ⊕ trong đó
n ≥
n 0 sao cho phân bậc nếu M M ⊆
R M M +
m
n m n n = ⊕
∈
n Z 17 i) Một đồng cấu của R – mô đun phân bậc là một đồng cấu f : M N→ sao cho với mọi n 0≥ . n ii) Một mô đun con N của M được gọi là mô đun con phân bậc nếu = ⊕ ∩ . N (N M )
n iii) Nếu N là mô đun con phân bậc của M thì M N cũng là R - mô đun phân M n M = ⊕ bậc . N ∩
N M n R là một iđêan của R. iv) Nếu R là vành phân bậc thì R + n = ⊕
>
n 0 f (M ) N⊆
n (i) R là vành Noether. (ii) R0 là vành Noether và R là R0 – đại số hữu hạn sinh. = ⊕ thì tồn tại các phần tử R R n ≥
n 0 = . l ,l ,...,l R∈ sao cho
1 2 1 r R R [l ,l ,...,l ]
1
r 0 2 phân bậc khi đó. (i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M là iđêan phân bậc và tồn tại một phần tử thuần nhất x của M sao cho p = Ann(x). ∈p chúng ta có thể chọn một p – nguyên sơ phân bậc (ii) Với mỗi Ass(M) (0) Q( ) Q( )p sao cho p . Ass(M) 18 R R = ⊕ là vành Noether, R là N0 – phân bậc, R0 là vành n ≥
n 0 Noether, ⊆ là một iđêan của R. R R R + n = ⊕
>
n 0 Giả sử là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. M M n = ⊕
∈
n Z i là mô đun đối đồng điều địa phương của M đối Với RH (M) i N∈ ta có
0 + với iđêan R+. i Khi đó là R - mô đun phân bậc và . n i
R i
R RH (M) H (M)
+ H (M)
+ + = ⊕
∈
n Z hữu hạn sinh. Thì = ∀ ∈ (i) và n đủ lớn. i N 0, n (ii) là R0 – mô đun Artin với mọi i, với mọi n. n R R = ⊕ là vành Noether, R là N0 – phân bậc, R0 là vành n ≥
n 0 Noether. ⊆ là một iđêan của R. R R R + n = ⊕
>
n 0 Giả sử là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó với M M n = ⊕
∈
n Z mỗi i N∈ ta có
0 = + Ass R |
+ R R i
R p
0 p
0 + (H (M) )
n
+ (
i
Ass H (M)
R ) 0 ∈ ∈
n Z
R = ⊕ ' ' f R
: ' là vành phân bậc giao hoán và R→ là đồng cấu vành. n n R∈ R⊆ ' Ta nói f thuần nhất nếu với mọi n ∈ n (
f R
n ) M = ⊕ ' ' Giả sử là R’−môđun phân bậc thì sự phân hoạch tổng trực tiếp dẫn n n M∈ đến R−môđun ' RM có cấu trúc như R−môđun phân bậc R R → ' Vì vậy hàm có tính thu hẹp :
C C R ) ( / M M = với mọi n ∈ R /
n (
Do đó ta có thể viết ( ) ) )
( R
n n R = ⊕ 19 là vành phân bậc và n n R∈ R = ⊕ ' ' là vành phân bậc Noether giao hoán iđêan a cũng phân bậc, n n R∈ / R→ là đồng cấu vành thuần nhất. Khi đó: i H H / và có tính thu hẹp R R ( )
(
i
a ) Giả sử
( :f R
) R ( ) a i
∈ i
∈ 0 0 i H H ≅
→ Λ = : / Đẳng cấu có tính thu hẹp R R ( )
(
i
a ) ( ) (
i
λ ) R ( ) a i
∈ i
∈ i
∈ 0 0 0 Do đó với mỗi i ∈ và mỗi R’−môđun M’ phân bậc tồn tại R−đẳng cấu 0 i / ≅→ / / : ) (
iH M
a )/ (
H M
R i
λ
M a R = ⊕ là vành phân bậc và n n R∈ R = ⊕ ' ' là vành phân bậc Noether giao hoán iđêan a cũng phân bậc, n n R∈ / :f R i / / H R ⊗ H R ⊗ / có tính thu hẹp và R R ( )
( )
i
a Giả sử
( R→ là đồng cấu vành thuần nhất. Khi đó:
) ( ) R a ( ) i
∈ i
∈ 0 0 i / / H R i
ρ ⊗ ≅
→ H R ⊗ : / có tính thu hẹp R R ( )
( )
i
a Đẳng cấu ( ) ( ) ( ) R a ( ) i
∈ i
∈ i
∈ 0 0 0 Do đó với mỗi i ∈ và mỗi R’−môđun M’ phân bậc tồn tại R’−đẳng cấu 0 i ≅ i R /
⊗ → : ' / Mρ R⊗
R R ) ) (
i
H M
a (
H M
R a ∈ phân bậc, sinh bởi các phần tử có bậc dương. Giả sử sao cho ,..., n
p 2,
p p
1 (
Spec R ) i n = 1,2,..., ... \ ta có với mọi p thì tồn tại phần tử trong a i⊄a p
1 p
2 ( )
p
n R = ⊕ 20 là vành phân bậc, giả n n R∈ 0 sử M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó: i) Với mọi hữu hạn sinh i ∈ và mọi n ∈ , 0 0R −môđun ) (
i
H M
R
+ n 0 = với mọi i ∈ và mọi n r≥ ii) Tồn tại r ∈ sao cho 0 ) (
i
H M
R
+ n ,A m là vành Noether địa phương, 0 0 ) ... giả sử = ⊕ ⊕ ⊕ là /A m đóng đại số, A A
0 A
2 A
1 0A −đại số phân bậc và 0 0 H là A−môđun phân bậc. Giả sử tồn tại tập U A⊆ thỏa các điều kiện sau: n n 1 V ⊆ A u U V − = = ∈ / mod | có dạng với i) m là k−không gian A
1 A
1 0 m
0 1 ( )0 H∈
= ⊕
{
U u u } vectơ có số chiều bằng 2 vU h =
0 x 0 : là A−môđun có chiều dài hữu hạn ii) Với mọi h H∈ , tồn tại v ∈ sao cho
iii) Với mọi x U∈ , ( ) H Khi đó H là A−môđun có chiều dài hữu hạn. n Ho m → =
: R
( ) R
( ) Ta kí hiệu là hàm R-tuyến tính. Khi đó với a C C R D
a ( )
,• : lim
n
∈
Hom M ,n là phép biến đổi iđêan của môđun mỗi R-môđun M, ta gọi a R D
a ( ) =
lim:
n
∈
M theo a . Id R
( ) i) Kí hiệu :
C R→
( )
C Id ) : Khi đó tồn tại các phép biến đổi tự nhiên:
(
ξ ξ=
a Γ →
a D → (
η η=
a a 0 1 H → : D
a a (
0
ζ ζ=
a ) : Id
) Sao cho với mỗi R−môđun M ta có: M M → ( ) a) là ánh xạ bao hàm ξ Γ
:
M a f Hom M ∈ ,n ) là ảnh trong của đồng cấu b) Với mỗi g M∈ , a R n g
, (
M gη ) D M
(
a ( ) n rg= cho bởi với mọi r ∈a (với n ∈ ) n gf r
, ( ) ξ
M η
M M → Γ M
→ → 0
ζ
→
M → 0 0 c) Dãy sau khớp: ( ) ) ) a (
D M
a (
i
H M
a n n Ext M M R / : , , là đẳng cấu dẫn đến R-đẳng cấu a a i
+→
1
Ext
R i
R i
β
n M
, ii) Cho i ∈ , M là R−môđun. Với mỗi n ∈ , đồng cấu nối
( ) ) ( n n Ext M Ext R M ≅
→ , / , a a i
β
M i
R i
+
1
R ( ) ( ) : lim
n
∈
lim
n
∈
i ≅
→ : Ta định nghĩa cho bởi R M i
γ
M i
M , ) ) (
D M
a (
i
+
1
H M
a i
γ φ+=
1
:
M
,
a i
i
β ϕ
a
M n H ≅
→ : / , Với a i
a ( ) (
i
φ+
1
a ) (
i
Ext R
R i
∈ i
∈ 0 0 lim
n
∈
•
)
i
∈ 0 i n ≅
→ • : / , a D
a (
i
ϕ
a ) (
R ) (
i
Ext R
R ) i
∈ i
∈ 0 0 lim
n
∈
i
∈ 0 i H γ ≅→ :i Suy ra R D
a i
a i j i i +
1 H → i
γ : là iii) Với mỗi i ∈ , đặt (
= −
: )
1 D
a j
a thì (
ζ ) (
R ) ( ) (
i
=
ζ ζ
a ) j
∈ j
∈ j
∈ 0 0 0 đồng cấu duy nhất của những dãy nối mà dẫn đến phép biến đổi tự nhiên i H ζ → 0 : D
a a : ' 21 e M M→ là đồng cấu các R−môđun mà Kere và Cokere là a − xoắn thì: D e D M
: ' i) Ánh xạ là đẳng cấu ( ) ( ) ) a a (
D M→
a M → ϕ
' : ' ' ii) Tồn tại duy nhất R−đồng cấu sao cho biểu đồ sau giao hoán ) (
D M
a eM M→ '
/ϕ Mη ) (
D Ma − = ϕ
' Tức là η
M ' ( ) 1 D e
a iii) 'ϕ đẳng cấu khi và chỉ khi Mη đẳng cấu D = ω
' : ,n a R a 22 . Khi đó tồn tại:
)
( )
• → • a lim
n
∈
∈ ∈ ,t Sao cho với R−môđun M và được biểu thị bởi (với a f D M
R ( ) a (
f Hom R M
t
R ) t f f = ω
' / a t
a t ∈ ), ta có M t ( ) ( ) định nghĩa chiều hữu hạn của M theo a như sau: ) (
f M
a i H = i
inf{ : ∈ ) (
f M
a a không hữu hạn sinh} ∈ i
inf { 0 : = ⊆
:
a
/ ) (
i
H M
a ( )
} hoặc là một số dương hoặc bằng ∞ • ) Chú ý:
(
f M
a i 0H H = i
inf{ : • Vì ∈ 0 ) a hữu hạn sinh nên suy ra (
f M
a a không hữu hạn sinh} b ( ) i ∈ = inf 0 : ⊆
:
b
/ ) (
i
H M
a Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và b là một iđêan của R sao cho ⊆b
af M của M đối với iđêan a như sau:
nghĩa b -chiều hữu hạn
)
)
(
b
f M
a ( a . Ta định \ ∈p iđêan nguyên tố , ta định nghĩa a -độ sâu điều chỉnh )
(
Spec R Var ( )
a adj depthM của M tại p như sau: a p + + adj depthM depthM ht
=
: / a p p ( ) a p p 23 ∈ : \ adj depthM p )
(
Spec R Var a p a , như sau:
b
λ =
inf
a + = ∈ inf / \ +
a p :
p p ( ) }
( )
b
)
(
Spec R Var p {
{
depthM ht }
( )
b M f M
= Noether giao hoán chính quy, M là R−môđun hữu hạn sinh thì ) ( ) a
λ
a a không hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu Tức là tồn tại i ∈ sao cho ) (
iH M
a )
sup p M Var⊄ ( ( )
a không hữu hạn sinh bằng ) (
iH M
a + ∈ min / \ +
a p p : p ( ) )
(
Supp M Var ( p Hơn thế nữa, số i ∈ bé nhất sao cho
{
depth M ht }
)
a cấu của vành Noether giao hoán chính quy, iđêan a phân bậc; giả sử b là iđêan = ∈ inf \ ) )
(
Spec R Var
* ( (
b
f M
a a :
p p a . Giả sử M là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh thì
}
)
b + = ∈ inf / \ +
a p :
p p ( )
(
Spec R Var
* ( ) p phân bậc của R sao cho ⊆b
{
adj depthM
{
depthM ht }
)
b = + ∈ inf / \ +
a p :
p p ( )
(
Spec R Var
* ) Đặc biệt:
)
(
f M
a p {
depthM ht }
( )
a f =
: sinh, giả sử ổn định tiệm cận khi n → −∞ ∈ thì ) ( ) (
f M
R
+ ) f
R
+ R
0 n 24 là họ các tập hợp. Ta nói nS là ổn định tiệm cận S nếu tồn tại =n 0n n . S với mọi
n
0 n nS
0 ∈ n
As ( ( Như vậy, tập hợp ) )
n s H M được gọi là ổn định tiệm cận khi → −∞
R
0 sao cho: nếu tồn tại 0 ∈ n As ), ( ( ) =
) ) As
n ∀ n
0 n i
n n
s H M
(
0
R
R
+
0
ta có thể gọi ngắn gọn là i
s H M
(
R
R
+
0
nS là ổn định tiệm cận khi → −∞ nS ổn nS là thuần hóa nếu n ) ∈
sao cho
i
R
+ là họ các tập hợp. Ta nói
với mọi n đủ nhỏ. ) ∈ i =
) 0 ) ( n nS
với mọi n đủ nhỏ hoặc
Tập với mọi n đủ nhỏ hoặc i
RH M
( + + ≠ 0 ) + i As ( ( ) ( ≠ ∅nS ) )
n RH M là thuần hóa. RH M được gọi là thuần hóa khi
với mọi n đủ nhỏ.
i
R
+ + s H M ổn định tiệm cận thì
R
0 Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn chúng ta nhìn lại một số kết quả
đã có về tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng
điều địa phương mà các nhà toán học đã nghiên cứu được. j 0R là vành địa phương và M là R – môđun phân bậc hữu hạn
RH M là R – môđun hữu hạn sinh với mọi j < i. Khi
sao cho + ( As ) ( s H M ổn định tiệm cận.
R
0 = i
inf{ =
: : H M không hữu hạn sinh} ( ∈ ( ( (
f M
R
+
Khi đó
As ) )
n f
R
+ )
i
R
+
s H M ổn định tiệm cận.
R
0 ( ( 25 . ) )
n 0 0∈ i i
R
+ s H M ổn định tiệm cận với mọi
R
0 As ( ( . 0R là vành địa phương (nửa địa phương) có số chiều
As
0R là một vành Cohen – Macaulay với dim 0R = 1 và M là
) )
n 0∈ i i
R
+ s H M ổn định tiệm cận với mọi
R
0 ) 1≤R ∈ ≠ n : L
n ∈ ≠ inf =
: : jL : thành phần thứ j của −môđun phân bậc L ( j ∈ )
}
(
end L
0
}
(
beg L
0 {
=
: sup
{
n )
) L
n end L có thể bằng ∞ beg L có thể bằng ∞ ∈p )
(
(
)
{ }
sup ∅ = −∞
(
Spec R = )
depth M depthM
p , ta viết tắt
p R
p = proj dim M M •
•
•
Lưu ý:
•
•
•
Với
•
• p p R
p . Đặt thì ( ) / 0R < n beg M dim
proj
(
)
oj R
với mọi = Pr ht 1 p p =
p R++ p
0 sao cho
) ( 1
R Ass M
R
( p
) ∈p
0 ∈
) R
0 n ) R (
M+ Γ / =
Đặt
:
M M
Khi đó: (
oj R ) . )
)
≅
H M H M ( 1
R
+ 1
R
+ (
Ass M
R
( Pr Ass M
R Γ Suy ra ) 0
= Và tồn tại đẳng cấu
(
R M+ Ta sử dụng phép địa phương hóa tại =
) R++p 0 0 = = p . Giả định R là vành địa phương phân bậc với
0 ht 1 p p 0=m p và bảo đảm tồn tại đủ để chứng minh khẳng định với
giả thiết cộng thêm là R vành địa phương với iđêan tối đại phân bậc duy nhất m và
=
:
m m
( 1g R 1 \ /R + R∈ = +
p p R
0
) /
R++ R+ g
1 ) (
Ta xét phép biến đổi iđêan N của môđun N theo ( ) gRD 1gR 1 p mà
Khi đó tồn tại t ∈ sao cho M có R−môđun con phân bậc N đẳng cấu với
)(
t−p 26 1g không phải ước của không trên N D≅→ ( ) ( )
1 D
R
g
1 R
g
1 /R p (b) ( ) với mọi n ∈ R
0 n Vì
Theo Bổ đề 1.8.4 chỉ ra rằng
(a) Phép nhân
1g cho ta đẳng cấu
)
(
)
(
Từ (a) dẫn đến kết luận phép nhân ≅→ N N với mỗi ( ) ) Ass N ∈p
0 D
R
g
1 0 (
i
H D
R
R
+
g
1 (
i
H D
R
R
+
g
1 i = Đặc biệt trong trường hợp 1g cho ta đẳng cấu
)( )
(
1
R+∈ ta suy ra N = với
0 1g
( ) )
vì
0,1
(
i
H D
R
R
+
g
1 N )
η →
N
: có đối hạt nhân đẳng cấu với Theo Bổ đề 1.8.2 thì đồng cấu nhúng i ∈ N D
R
g
1 i =
( 0,1
) và N bị linh hóa tử bởi p nên tồn tại đẳng cấu 1g R 1 ≅ N )
) (
( N . Nhưng vì
1
H +
R + p = +
p R+ . ( ) ) R (
D N+ 1Rg ≅ D N Do đó ) với mọi n ∈ R ) (
D N+ R
0 n 1
RgH
1
H
Rg
1
Do đó Coker Nη là R+ −xoắn.
Theo bổ đề 1.8.3 thì tồn tại đẳng cấu
(
( ) → Lưu ý :
Vì (
D M ) R
+ → → → 0 M D M ( ) (
)
D N
R
+
)
→
0 RD + là hàm tử khớp trái nên tồn tại R−đơn cấu
(
1
H M
R
+ R
+ ■ ,R m là vành địa phương chính quy có số chiều bằng d và ) 0 0 = X r Ass ∈p
0 Pr p [
0
Giả sử sao cho ]
là vành đa thức phân bậc theo cách thông thường.
(
Supp M 0 )
+ m . Khi đó: + (
)
oj R
depthM ht r d proj dim M p ( R
+ p p R =
0
= + − p
) / Ta có ( ( ) ( )
1 = − − depthM proj dim dim dim M p ( )
2 )
= + −
/
Hơn thế nữa theo Định lí Auslander−Buchsbaum−Serre thì
proj
R
p =
M ht
p p p ■ = + − + ht ht ht d r ht p p p p p R
+ R
+ ) 0 0 X là vành đa thức phân bậc theo cách thông thường. ] 0 r /
0 / = ⊗
R R )
m . Giả sử mà ta đồng nhất với 0R sao cho
X theo cách trên. r [
/
R X
0 1,..., /
R
0 ,R m là vành địa phương chính quy có số chiều bằng d và /
0 R
0 / / R⊗ Kí hiệu /M là R’−môđun phân bậc hữu hạn sinh ; sao cho /
∈p RM (
Pr oj R ) /
m
0
/ /
R =
0
=
: p p /
p
Đặt thì , (
Pr oj R ) 27 / + + ≤ + + / / / depthM ht ht p p p /
p R
( ∈p
) R
+ /
R
+ p depth M
R /
p /
p' p R =
0 / −đẳng cấu sau / / m và
0
)
(
Chứng minh /Rp
⊗ ⊗ / / / / / M M R R p Ta có các
( R
p R /
R
p ≅ ⊗ ≅ ⊗
M M / / /
R
p
dim p
R
dim /
p
Vì p /
p + + = + − d r proj M / dim p p )
≅
R
/Rp là Rp đại số phẳng,
Do đó theo Bổ đề 2.3.3 ta có
)
depthM ht ( R
+ p p ≤ + − / d r proj M ■ /
p / / ≤ + + / depthM ht / p p /
R
+ ) dim
( /
p ,R m là vành địa phương chính quy có số chiều bằng d sao ) 0 = R R X X là vành đa thức phân bậc theo 0
/R m đóng đại số và [ ] r 0 1,... 0 0 0 ≤ proj M proj M với n << . Khi đó tồn tại ( = ( ( )
Rf M r ∈m
0 r
R + (
Ass H M+ R
0 , )
)1r > ,
)
n
Γ
m sao cho y không phải ước của không trên
/
RM 0 / = − và
1 )
(
M+
n <<
0 với mọi \ R
1 ) ( Rf M yM r
/ ∈m
0 + ( R
0 ∈
y R
1
( Đặt ) R Γ =
:
M M / (
M+
≅
M yM M yM . Với mỗi y thuộc R ta có
( ) ( ) ( ) ) ( ) R
+ R
+ ( ) ≅ + Γ + Γ M yM
/ M / / yM M / yM / và với mọi i >
0 ( )
≅
H M yM H M yM ( + i
R i
R
+ (
Suy ra các đẳng cấu sau:
)
i
i
≅
H M H M+
R
R
+ ( ) ⊆ Γ Pr (
oj R ) / / )
(
Vì vậy ta có thể thay M bằng M
(
)
= và
Ta thừa nhận
R M+
0
Giả sử
và đặt RAss M )
thì
= − ht ht ht p p +
R R
+ (
RAss M
=
:
R
p
0
+ −
r
p
0 ∈p p
0 0 = = + ht ht / p p p (
( ) +
R R
+ R
+ p
0 = + + / p p /
( (
) R
+ p
= ≥ p
0
Rht )
)
depthM ht
(
)
f M r
R
+
0R⊆p m
0R=p p và R
0 + U : \ = = p để mà p
0 p
0 ( ( }
)
×m m Vì vậy
ht R ht
ht
Kí hiệu U là tập con của
\R
1
{
=
:
a X
1 1
a X
2 ∈ ×
R
0 a a
,
1
2 R
0 1 2 0 0 Rm được định nghĩa như sau:
) J ) R ∈
n = ⊕ Γ ( ) ) ( (
r
H M
R
+ m
0 m
0 n 28 Khi đó U ∩ = ∅p
. Vì vậy mỗi phần tử của U không phải là ước của không trên M.
)
(
R
= Γ
Đặt
H M
:
R
+
Suy ra J không là R−môđun hữu hạn sinh. Ta sẽ chỉ ra rằng một trong những phần
tử của U có thể là y.
Để làm được điều này, ta giả sử với x U∈ thì tồn tại . Đây xn ∈ sao cho x / chính là trường hợp ta chứng minh điều này mâu thuẫn. ( ) ∉m
0 ) −
r
1
Ass H M xM
R
+ n −
1 Γ = n≤ n 0 với mọi (
H M xM x (
R
0
Giả thiết này có nghĩa là với mỗi x U∈ , ta có
( r
R
+ m
0 n −
1 n n≤ n
n≤ ( ) /
= nên tồn tại n ∈ sao cho )
Rf M r r
R )
)
(
H M+ + n Vì
Với mỗi x U∈ , áp dụng đối đồng điều địa phương theo R+ đối với dãy khớp x 0 M M xM M / →
0 )
→ − → →
1 ( Ta được 0 = với mọi ( ) Rf M xM r
/ + −
1 → → / n với ) (
H M xM ) (
r
H M
R
+ Từ đó dẫn đến dãy khớp các
(
r
H M
R
+ r
R
+ n n n 0
−
1
Vì vậy tính khớp trái của hàm tử 0 x → = Γ
J J ) ) n n −
1 ) ) (
r
H M
R
+ m
0 m
0 −
1 n n ≥ −
1 x 0R −môđun
)
x
→
n≤
Γm dẫn đến kết luận với mỗi x U∈ thì ánh xạ
(
(
r
H M
R
+
} (
= Γ
{
n n
, ) 0 :J x là R−môđun có chiều dài hữu hạn với mọi x U∈
/R m đóng đại số ta có thể kết luận J là R−môđun có chiều dài hữu hạn (theo 0 0 là nội xạ với mọi
Do đó (
Và vì
Bổ đề 1.7.15) và dẫn đến mâu thuẫn Vì vậy ta đã chứng minh được tồn tại y U∈ sao cho n <
0 với ( ≤ n min −
r
1
Ass H M yM
R
+ R
0 Suy ra + = −
1 ( ) (
/
)
(
Rf M yM r
/ Rf M yM r
/ + + )
)
n
≤ −
Rf M yM r
/
1
)
(
≥ − nên
Mà
1
Vì vậy, theo Bổ đề 1.9.7 ta có
/ ổn định tiệm cận với n → −∞ ( ) R
0 n )
với mọi n <<
0 ■ ( ) −
1
r
Ass H M yM
R
+
)
( (
−
1
r
Ass H M yM
R
+ R
0 n ,R m là vành địa phương chính quy có số chiều bằng d và /
) 0 0 = X là vành đa thức phân bậc theo cách thông thường. N F M 0 → → → → là dãy khớp của các R−môđun phân bậc + = + depthM depthN min , p ) p p cảm sinh bởi dãy khớp ngẵn trên là ) (
Supp N
) ∈m
0 với mọi
+→
i
R
+ i 1 i r< − và là đơn cấu khi ∈p
(
1
H M
r= −
1 ii) Với
0
đẳng cấu khi = f N iii) ( ) ) 1
+ R
+ (
f M
R
+ 29 F 0N ≠ vì =
r ( ) Rf + Lưu ý:
i) Suy ra trực tiếp từ dãy khớp 0 p i M N 0 → → → →
F
p ii) Suy ra trực tiếp từ giả thiết p
= với mọi i r< ■ )
(
RH F+
)
(
<
Rf M r + ,R m là vành địa phương chính quy. Khi đó tồn tại vành mở ) 0 0 0R sao cho /
R =m
0
0 /
m và
0 /
/R m đóng
0 /
0 /
0 )
/
,R m của
0 0 là đầy đủ của 0 0 Giả sử dim 0 =R 0R để 0 0 ) 0R sao cho 0R có số chiều bằng d.
/
0 =m m R thì (
, mR
0
0 / / / m và . d . Ta kí hiệu (
, mR
0
là vành mở rộng phẳng địa phương chính quy của
Khi đó tồn tại vành mở rộng phẳng địa phương ( 0=
mR /
/ mR
0 /
0 )
/
,R m của
0
0m được sinh bởi d phần tử nên /
0 0 Theo tính phẳng thì 0=
mR
là vành địa phương chính quy có số /
0 /
0 ) đóng đại số. Mà
dim R d nên (
/
, mR
0 ■ là R−môđun phân bậc khác không, hữu hạn sinh và /
m
0
0 n = H f =
: : M∈
n = ⊕ ) i
R
+ vaø = ∈ + + = }
depthM ht R f Pr / p p p p khoâng höõu haïnsinh thì
(
oj R ) ( ) ( R
+ 0 : ∈
{ } p {
i
inf
)
) n (
f M
R
+
(
f
Ass H M
R
R
+
0
n <<
0 với mọi
Lưu ý:
i) Tập bên phải của biểu thức trên khác rỗng
ii) f hữu hạn Đầu tiên ta quy nạp theo f . Với thì ta có ++
R (
với mọi )
) = f ht p p ∈p
R
0 + + = ≥ vì thế nếu thì ( ( ) / RAss M p ) /
n <<
0
) /
R+
p
f =
1 Mà
Theo Bổ đề 2.3.2 suy ra phát biểu đúng trong trường hợp 1 Giả sử f > . Ta địa phương hóa 1 ht 1 p p p ∈p ∈p
(
f
Ass H M+
R
R
0
f = và
1 R++ R++p để thấy rằng điều kiện đủ để hoàn
thành bước quy nạp với giả thuyết cộng thêm R là vành địa phương phân bậc có
iđêan tối đại phân bậc duy nhất m mà 0 = =
m m R
0 p
0 Đặt . Theo Bổ đề 1.5.6 thì tồn tại đẳng cấu ) R (
M+ Γ =
:
M M / )
≅
H M H M ( với mỗi i ∈ i
R
+ i
R
+ ( ) Γ p nên ta có thể thừa nhận trong bước quy nạp này =
0 ) (
R M+ 30 RAss M ∈p d d Vì M M≅
p
Trường hợp 1:
Theo Bổ đề 1.7.13 thì tồn tại số nguyên dương d và phần tử thuần nhất
ước của không trên M. Cho q là iđêan nguyên tố tối tiểu của
thì dgR+p g R∈ khác = / 1 q )
q Ta có ∈q m
0 R =
0 f > ) và
1
)
)
Ass M g M / (
Pr oj R
(
(
ht
∈q f
) d + = − f / 1 ≤ +
0 q ) ( R
+ ) ( q
− /
∈q ht
q
dg như sau:
/
q (vì
++
R
(
Suy ra
Áp dụng Bổ đề 1.9.6 ta được
)
(
f M g M
/
d
R
+
, ta chọn
RAss M
/+ ⊆ Rp
, ta có RAss M / ∉p /⊂p /
∈q q với thì Trường hợp 2:
Với mỗi
Thật vậy
Giả sử ) (
R M+ p
/ R+ ⊂
⊇ Γ q (vì = )
0 Và vì 0 / / / = q R
0 R
0 ( ) ( ) ( )
p / / (
< = < = + / ht ht ht / q q /
m q /
m p p R
+ R
+ / )
(mâu thuẫn) Suy ra RAss M
m nên ta có
)
)
)
+ q p
(
(
+ − depthM / ht f 1 q q R
+ ht
) /+ ⊆ Rp +
(
(
/
q d R
d Vậy ta có
Theo Bổ đề 1.7.13 thì tồn tại số nguyên dương d vào phần tử thuần nhất
∈ p
g
Lưu ý: khác ước của không trên M.
(
= ) d p depth M g M depthM 1 / −p Theo Bổ đề 1.9.6 thì
/ ) ( ) ( ) ( ) d d p dg khác ước của = + + − / ht / f 1 p p R
+ ≤
f M g M depth M g M
R
+ ( ) dg ≤ f −
1 f M g M
/
R
+ (
Tóm lại trong cả hai trường hợp ta đều tìm được phần tử thuần nhất
không trên M sao cho
d
Áp dụng đối đồng điều địa phương theo R+ với dãy khớp ngắn
(
M d )
→ − → → d ≥ ta được −
1 f M g M
/
R
+ có môđun con đẳng cấu với ) f
R )
f
0R −môđun (
H M+ n −
1 M M g M 0 / →
0 d f
R
+ | n d = f 1 H ) d (
d
n << ,
Và với mọi
0
)
(
+
Suy ra
f M g M
/
R
+ ∈ Ass M g M Pr / q / , − và ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho
(
oj R ) ) ( d dM g M
R =
q
0 M g M
/
(
Trong trường hợp 1 khi m
0 và ( ) RAss M
)
+
R
/
+ ta có
) d q + = − depth M g M / ht f 1 q q ∈p
(
( 31 RAss M
/ Ta sử dụng q để dẫn đến kết luận từ giả thiết quy nạp
∉p
Trong trường hợp 2 khi
( ta có
)
+ ) ( ( ) d p −
1 M g M
/ với mọi n <<
0 ) ( d Vì thế trong trường hợp này ta sử dụng p để dẫn đến kết luận từ giả thiết quy nạp
Trong cả hai trường hợp, giả thiết quy nạp cho ta
) f
R
+ +
n d Do đó n << . ∈m
0
( ∈m
0 f
R R
0 n ∈ + + = Pr oj R v depthM ht à / f R Suy ra với p p p ) ( ) ) 0
( R
+ 0 : } (
Ass H
R
0
)
)
với mọi
{
p p (
Ass H M+
)
(
(
⊇
Ass H M f
R
+ n R
0
n <<
0 n <<
0 mọi
Đề chứng minh chiều ngược lại ta lấy f
R ∈p
0 R
0 n (
+ + f )
p ∈p với Ta cần chỉ ra )
( (
Pr oj R ) R
+ + = − depth M g M ht / f 1 p p R
+ p =
) p và
0 R =
0 (
với mọi
Ass H M+
) /
depthM ht
p
. Rõ ràng từ giả thuyết suy ra (
0R p là ảnh đồng 0 là ảnh của vành đa thức /
0 )
/
,R m và
0 ) / , =
: ,..., 0 RR
(
++p
phân bậc theo cách thông thường qua đồng cấu vành thuần [
R X X /
0 2 1 /R −môđun phân bậc hữu hạn sinh = f và ta đủ điều kiện để thiết lập sự tồn tại (
f M
/R ∈p của Áp dụng địa phương hóa tại
cấu của vành địa phương chính quy (
]
R
X
r
nhất được mô tả trong Định nghĩa 1.7.10
Xét M như
Theo Bổ đề 1.7.11 ta thấy rằng
) )
,R m là vành 0 0 = )
với những tính chất đặc biệt với giả thiết cộng thêm (
, ,... X là vành đa thức phân bậc theo ] [
R R X X
0 1 2 r 0=p m và 0 1r = . Khi đó f =
1 p
0 R++p ) R (
Pr oj R
địa phương chính quy,
cách thông thường
Đầu tiên ta giải quyết trường hợp
(
Đặt
M+ Khi đó tồn tại đẳng cấu với mỗi i ∈ 1
R
+ 1
R
+ q ∈q với mọi )
nên ta có thể tận dụng giả thiết (
( ( ) (
)
≅
H M H M
)
Spec R Var R+
\ Γ =
:
M M / ) Vì M M≅
q
(
R M+ Γ =
0 n <<
0 Theo giả thiết ta có ) ( 1 không hữu hạn sinh 1
(
RH M+
Suy ra R−môđun phân bậc ) R 0 0 1 d
→ d
→ → 0 * * ... Giả sử → là phép )
≠m
0
(
Γm
(
1
E M (
RH M+
) (
0
E M ) ) (
i
E M
) → →
*
...
(
0
E M Γ Γ = Γ 0 0 0 Vì ) m (
R M+ R
+ 1 1 : 0 0 : *
) Do đó 1
m m 1
R
+ R
+ với mọi
)
(
)
2
E M
*
−
1
giải xạ ảnh cực tiểu của M với đồng cấu nối
:
d M
(
(
(
Γ 1 Γ d d →
)
(
0*
E M
)
)
(
là ánh xạ cảm sinh bởi 1d ,… Với (
(
1
E M ) = , suy ra
(
(
2
E M )
= nên
(
)
H M Ker
)
( (
0*
E M
)
(
)
)
→ Γ )
≅
H M Ker
)
) )
và
( R
+ R
+ R
+ Γ Γ * : * d ≅
( 1 1 Γ ≅ Γ Γ = Γ ≅ Ker d Ker d Vì vậy ) ) R R m (
1
H M
m ( ) ( ) ) R
+ m
0 m
0 ) ( ) ( ) (
không hữu hạn sinh Do đó (
1
H M
R
+
) (
(
1H Mm \ Vì vậy theo Bổ đề 1.9.6 thì tồn tại m sao cho ) / (
m p = 1 )
(
∈p
Spec R Var
depthM ht+p
1 32 RAss M
Γ ∈p = p p là dây chuyền các iđêan nguyên tố của R 1 ⊃
=m p
/ 2 1r =
r ≥ ta chỉ cần chứng minh tồn tại
p (
Pr oj R ) ( )
m mà
R 0 + + ≤ f p p ( ) / R
+ p /
0 )
/
,R m của
0 ∈ Var =m p
Nghĩa là
và
/
ht
(
)
= )
Chú ý: R+ ⊄ p (vì
R M+
0
=
Do đó
m
:
R
p
0
0
0
⊃
Nói cách khác
0 R+
m p
Mâu thuẫn với giả thiết
ht
Vậy phát biểu đúng trong trường hợp
Giả sử /
0 /
0 / /R m đóng đại số. /
m và
0
mà ta đồng nhất với [
R X X /
0 1 2 R
0 / Kí hiệu depthM ht
Theo Bổ đề 2.3.7 thì tồn tại vành mở rộng phẳng địa phương chính quy (
0R sao cho
= ⊗
Đặt
R
R
/M là / / Theo Bổ đề 1.7.12 thì ) ]
X
r
R⊗
RM
(
f
/
R
+ /
+ ) /
R
0 n / / / / ∈ + + ≤ / depthM Var ht R f Giả sử tìm được p p /
R
+ /
m
0 /
R =m
0
0
/
R
0
/R −môđun phân bậc hữu hạn sinh
(
)
Ass H M
)
∩
sao cho với mọi
( (
Rf M
(
Pr oj R = và
f
( /
∈m
0
) n <<
0
) /
p / =
: p p ∈ Var p ) ( 0 / / + + ≤ + ≤ / depthM ht ht f / / p p p p Đặt
R
Khi đó theo Bổ đề 2.3.4 thì
( (
Pr oj R
) R
+ /
R
+ p )
m và
R
(
+ ) /
p / depth M
/
R
p 0 0 r≤ ,... , / / , n <<
0 Suy ra
/R m đóng đại số
Ta tiếp tục quy nạp giảm trên f
Chú ý f
Đầu tiên ta giải quyết trường hợp f
Theo Bổ đề 2.3.5 thi tồn tại
R
\
1
) r ry
= − và
1
f M y M r
R
r
+ R
0 ∈ r=
m sao cho
R
0
1
(
r
∈m
0
R
+
Rm khác không nên tồn tại với mọi
− ∈ sao cho ry khác ước của không trên
)
)
n
R
1 (
−
1
Ass H M y M
y
1 1 0 1 r 1R được ,..., y /R
1
trên 0R .
]
và 0 1 0R ,..., y
1 y − độc lập trên
r y−
,
y
1
r
r
X= r r y (
)
(
Γ
RM
M+
/
ry trong
Vì ảnh của
sinh bởi
y
y−
y
,
,...,
1
1
r
r
[
=
Chú ý:
R R y
,...,
1
Vì vậy ta có xem
Xét
/ r / M X M như môđun phân bậc hữu hạn sinh trên R X R
r f / Theo Bổ đề 1.7.11 ta được = − và
1 ) M X M r
r / R X R ( ) ( r + n <<
0 ) ∈m
0 r −
1
r
(
R X R
/ ) ( n r + (
Ass H
R
0 33 Vì r )
1,..., r / X nên từ giả thiết quy nạp ta suy ra tồn tại
) ( ) M X M
/
[
R X
0
( r r với mọi
]
)
+ ∈ oj R X R
/ Var Pr / p R X R đẳng cấu với
( ( ) r r + với
( p + depth M X M / ht R X R / ≤ −
r 1 / p p m
0
( R X R
) )
R X R
/ r ∈ Var p Cho p là ảnh ngược của p theo đồng cấu vành
Khi đó ) ( rX ∈ p và → R Đồng thời (vì ) và ) (
Pr oj R
( )
m
R
0
)
+ R r p p ( ) (
M+ p p ≅ Γ = M M / 1 depthM depth M X M / ( ) ( ) r + + + )
≤ (
depthM ht p p ( + = + ht / ht / / p p p p R
+ R
+ p f r= >
1 Vì vậy
r
Vậy ta đã tìm được p thỏa những tính chất đòi hỏi trong trường hợp Bây giờ giả sử f R X R
) / 0 F M
=
1 N f 0
Theo Bổ đề 2.3.6(iii) ta có + và theo Bổ đề 2.3.6 (ii) ta có + + 1 lớn hơn f
Xét dãy khớp ngắn của các R−môđun phân bậc hữu hạn sinh
N
)
(
n <<
0 → → → → với F tự do.
Rf
với mọi f
R ∈m
0 (
N+ (
Ass H
R
0 ∈ Var R p (
Pr oj R ) ( )
m với 0 + + ≤ f 1 p ( R
+ p p = + depthM 1 )
)
n
Do đó theo giả thiết quy nạp thì tồn tại
) /
+
depthN
ht
p
Chú ý: depthM ht≤p
p
Trường hợp 1: depthM ht
p p
≤ + + f p ( R
+ p p = + + ht ht p Vì vậy ( R
+ m
0 + + = ht ht p p )
R
+ p R
+ + = + ≤ + ≤ ht depthN f r 1 p p và depthN
) /
Vì vậy
depthM ht
p
Trường hợp 2: depthM ht=p
p
ht=p
Theo Bổ đề 2.3.6 (i) thì depthN
)
(
) /
(
) /
(
R
p
+
0R là trường. r< và kết quả đòi hỏi đã được chứng minh với các giá trị Dó đó
Theo Bổ đề 1.9.6. Ta được điều phải chứng minh. ■ 0=m
0 34 = , , , , : kí hiệu vành đa thức phân bậc với U, V, W có bậc bằng 1 và [ ] = , X, Y, Z có bậc bằng 0. Vì vậy ] R
0 R FR
/ [
L X Y Z
, +
≅ / Đặt
Vì XU YV ZW
)
3
/
R
+ =
:F
(
3
RH R /
+ F → − → / →
0 )
1 ) 3
R
+ F R )
R 0 (
3
H R
R
+
(cảm sinh từ dãy khớp ( → ) để nghiên cứu
− − 3 / 3 −
R U V W
, , / :
=
+
,
R
)
(
nên ta sử dụng dãy khớp các R−môđun phân bậc
H R FR
(
(
)(
3
H R
H R FR
R
+
)
→ − → →
R FR
/
1
0
. Hơn thế nữa ta có thể hiểu như môđun ) 0 )
của những /
+ 3 d ≥ thì thành phần thức (−d) là 0R −môđun tự do có hạng bằng với cơ sở ( ) + + =− − ∈ − d , , , α β γ α β γ
−
3 / bằng cách xét đối hạt (
(
RH R+
RH R
đa thức nghịch đảo được mô tả trong [6, 12.4.1]; R−môđun phân bậc này có end
bằng −3 và với mỗi
d −
2
Ta nghiên cứu những thành phần phân bậc của ) (
RH R FR + nhân của các − − − − → ≥ d 0R −đồng cấu
−
R U V W
,
: , −
R U V W
, , 3 ( ) F
− d 0 0
− d − −
d
1 0R −môđun tự do bằng ma trận, ta chỉ rõ 2 1 γ
2 α β γ
1
1 < và 2β β> 1 U V Wα β γ
α β
U V W
2
− ∈ và i i nR (xem như những vectơ cột) đến − , 0 0 0R . Trong những trường hợp này ta kí hiệu C là đồng cấu mà ImC là
nR , là cơ sở của được cho bởi phép nhân F
0R −đồng cấu giữa các
Để biểu diễn các
một thứ tự đối với mỗi cơ sở được đề cập bên trên như sau:
2α α=
2α α>
hoặc
khi
U V W
1
1
1
= ≤ − với i=1,2)
α β γ
+
+
(với
n
3
i
i
0R −môđun tự do
mR (với m,
Xét
n là các số nguyên dương) được cho bởi phép nhân trái với ma trận C cấp m n× với
giá trị trong
môđun con của mR được sinh bởi các cột của ma trận C; ( i 0 0 ) 1,...,
e = i n α β γ
−
,
i
i
0R −đổng cấu từ nR là một vectơ cột có dạng jme với m là một đơn thức trong 0 je là vectơ cở sở thứ j của jCe là cột thức j của ma trận C (với 1
Một đơn thức trong
0R và 0 1 ⇔ >j m e
1 m e
2 1 j
2 < 2 j
2 , n j ≤ ≤ ) với nR . Khi đó
>
m m
2
=
m m v
à
1
{
∈ …
1, j
1
}
n
j
2, j
1 0R và 1 2 ,m m là các đơn thức trong Nếu A là một ma trận cấp m n× với giá trị trong 0 0R và f,h A f nR∈ , khi đó ta nói f tiến
h+→ nếu f tiến về h theo môđun của tập gồm các về h theo môđun A, kí hiệu
cột của ma trận A.
Kí hiệu lm(f), lc(f) và lt(f) lần lượt là đơn thức đầu, hệ số đầu và số hạng đầu của
nR∈
f 0 35 0 0 Z Y Kí hiệu ma trận cấp (
n× )1 0 Z Y
0 + = n A
n − − − − −
R U V W
, 0R −đồng cấu 0 d 0 − d → , , F
−
Y
0
0
Z
d ≥
Bổ đề 2.4.2. Cho d ∈ với
3
−
i) Khi đó
R U V W
,
:
cho bởi phép như sau: nhân với F được biểu diễn bằng ma trận cấp − −
1
d
−
d
2
− 2 2 d 1
d × 2
0
0 A
−
d
0 0
XI − 3 d 3 =
: 0 XI XI
A
−
d
0 0 − − T
d 4 A
d 4
0 d
A XI
0
1
1
0 với − dA 2 / đều chứa X, Y, Z ) 3
/
R
+ − )
0
được xác định như trong 2.4.1
(
(
Ass H R /
R
0 d / ∈ X Y Z
, , iii) Ta có ( ) ) 3
/
R
+ (
(
Ass H R /
R
0 ,..., A
1 + α β γ +
α α β γ α β γ 1 1 = − − + + − X F U V W U V W Y +
1
U V W Z U V W δ
α δ
γ −
, 1 −
, 1 −
, 1 ) ,α βγta có:
,
(
β γ
δ
1
β ) (
1 ) ) ,i ∈ i) Với mỗi số nguyên không âm
(
(
1
jδ là biệt thức Kronecker
Với
Suy ra điều phải chứng minh
ii) Xét cột cuối cùng của Im d
T dT ta thấy rằng dXe
−
1
2
∈ ∈ , , để vì 2 cột kế cuối của Do đó T
Im d Im d
T dT −
1 −
1 −
1 −
1 d d d d − 2 −
1 2 2 2 2 2
X e
XYe
XYe
2
X e
Co
ker bị linh hóa tử d 2dX − d 2 d 2 = Co ker F− T
d d −
1 −
1 = ker Co ker Z−
, Y F− T
d −
1
U V W ( − cũng linh hóa tử
) 0 = X Y Z
, , Co
) ) R Co 3 Tiếp tục cách này ta thấy rằng mỗi phần tử của
bởi
Do tính đối xứng nên
iii) Từ (i) ta được (
RF
Im :
−
3
)
Do đó (
(
− =
F
ker
0 : 0 X Y Z
, , 36 d − − − 2 2 2 d d d → Co ker Co ker F
− F
−
3 ) ( d ( ( Co Supp , ,X Y Z là thành phần tối tiểu của ⊆ = Co , , , Z Co ker F
− F
−
3 0 :
R
0 0 :
R
0 ) F− d ,
X Y Z
) 0 , A m n > , 0 n + + + , , ker
(
a
=
ij n m q k dòng trên và M, )
■
ker
là ma trận cấp m n× với giá trị
) /M là ma trận gồm ( ∈ f k m n q ∈ với
,
] / và (với k dòng đầu và q dòng cuối bằng 0) f M =
: M =
: 0
nXI
A 0 0
nXI
A /M thành 0 0 0
0 (với số không nằm cuối tương ứng với ma trận không cấp 1q × ) 0 ± A
f Khi đó mỗi S−đa thức gồm 2 cột của M hoặc bằng 0 hoặc rút gọn môđun
t 0
Giả sử f f 0≠ và i i i j j j jiT là các đơn thức trong Y và j c T e =
1 Z; jic là các phần tử của L = c T e
i
i
i
h
h
h ∈ = ∑ f Vì , nên ta có ( )f
Giả sử
lt
Kí hiệu
jm là cột thứ j của M với j=1,…, n+1
[
,L Y Z ] (
lcm T X
i
h )
Tất cả S−đa thức gồm 2 cột của M đều bằng không ngoại trừ những cột 1nm + him và t m + =
m Xe ≤ ≤
i n Chú ý: và (
1 ) + + + + 1 m
n c T e
i
i
i k i +
i k a e
ρ ρ
i k n j j j = ∑ ∑ =
ρ
1 =
1 j = − = − , Ta có + + + 1 1 m
n Xm
n )1 (
S m m
i
n
h m
i
h c T m
i
i
i
h
h
h c T X
i
i
h
h
X
1 c T X
i
i
h
h
T
c
i
i
h
h m t = + − + + + k k n c XT e +
i
i i k c T Xe
i
i
i
h
h
h a c T e
ρ
ρ
i
i
h
h i
h j j j ∑ ∑ ρ
=
1 =
1 j t m = , T X
i
h + + k n i k j j j i
h ∑ ∑ ρ
=
1 =
1
j
≠
j h m t t − = c XT e +
i
i a c T e
ρ
ρ
i
i
h
h /M
+→ + + + k n i k j j j j j j i
h ∑ ∑ ∑ ρ
=
1 =
1
j
≠
j h =
1
j
≠
j h + − c XT e
i
i c T m
i
i
i a c T e
ρ
ρ
i
i
h
h 37 t m 0 ■ + + i k n j j j ∑∑ =
1 =
ρ
1 j 0 = = a c T e
ρ
ρ
i
i XI 0 0 − 2 d 2 A
−
d
0 XI
0 0 − 3 d 3 =
: 0 A
−
d
0 XI 0 − − T
d A
d 4 4
0
0 d
0
A XI
!
1
− 2 bằng quy nạp như sau: cho
G
1
] 2dG − là ma trận
,...,
−
3
[
,L Y Z mà những cột của nó bao gồm những cột
2dA − và cung cấp một cơ sở Grobner cho ,
f
A
0
Định lí 2.2.4. Xét ma trận
G
d 2 ]
[
,L Y Z Định nghĩa các ma trận
G
d
gồm (d−2) dòng có giá trị trong
của ma trận
− > ≥
i
d
1
2
1iG + được định nghĩa như một ma trận (i+1) dòng có giá trị trong
Giả sử [
,L Y Z mà những cột của nó bao gồm ] iG là ma trận gồm i dòng có giá trị trong iAG + và cung cấp một cơ sở Grobner cho 1 i Im dA − với i ∈ thỏa iAG + 1 Cho
những cột của ma trận
i) Khi đó những cột của ma trận Im i − 2 d 2 2 XI 0 0 0 0 − 3 d 3 3 A
−
d
0 XI
0 G
−
d
0 0
0 0 − − − /
T
d 4 4 4 =
: 0 A
−
d
0 XI 0 0 G
−
d
0 0 A
d G
d d
0
A XI
1
1 Im và /
=
Imd
T T
d xác định một cơ sở Grobner đối với
ii) Những cột của ma trận 0 0 2 0 A
−
d
0 − 2 H 0
A A
−
d
d
3
0 0 =
: 0 − − − 0
A A A
d
d d d 4 3 2
0
0 −
A A A
...
d
1
2 2
−
1
d
2
Im sinh ra [
,
L Y Z ] dT / = s S f ,
0
0
0
0
0
G
1
( dT )
Cho
g
Ta xét các trường hợp sau: / Nếu f và g có những số hạng đầu của một trong (d−2) dòng đầu của dT thì hoặc /
dT 38 +→ (vì những cột của − A G−
2
d
d 2
xác định một cơ sở Grobner hoặc s rút gọn − 2 / s 0 theo bổ đề 2.4.3 dT thành một cột 0
A G−
3
d
d
0 Vì các cột của
0
±
− nên trong trường hợp này
2 /
dT
3dG − bao gồm những cột của A G−
3
d
d +→ . − d 2 k d 2 1 i − > > và f, g có số hạng đầu ở dòng thứ Giả sử i ∈ với + ∑ với
j j = +
i 1 ∈ k {
1,..., }
i /
dT s 0 Khi đó hoặc +→ (vì những cột của iG xác định một cơ sở Grobner hoặc s rút s 0 / theo Bổ đề 2.4.3 gọn dT thành một cột 0
0
A G−
i
i
1
0 nên trong trường hợp này Vì các cột của
0
±
/
dT +→
0 /
1iG − bao gồm những cột của A G−
1i
i dT /
dT s
Cuối cùng giả sử f, g có số hạng đầu nằm ở dòng cuối cùng của +→ vì những cột của Trong trường hợp này thì hoặc 1G xác định một cơ sở s 0 = , s với Grobner hoặc [
h L Y Z ] d −
1 d −
1 2 2 he
S Xe
= , s Trong trường hợp thì s tiến về 0 theo môđun d −
1 d −
1 dXe − 1 2 2 2 he
S Xe
/
dT / +→
0
dT xác định một cở sở Grobner ∈ , − và xác định một cơ sở Grobner
2 Vậy trong tất cả mọi trường hợp thì
s
Vì vậy theo [3,3.5.19] thì các cột của
/
=
Ta cần chứng minh
Imd
T
T
Im
d
−
= −
Quy nạp theo i với
d
d
3,...,1
2,
i
Ta có các cột của
iG bao gồm các cột của
đối với
A+
...
Im
1
d A A
i
i A+
...
1
d −
2 A A
i
i 39 − i = −
d 3, d 4,...,1 Vì vậy + − + 1 2 1 = = Im ... Im Im A A
i
i A
d AG
i
i G
i có thể đạt được bằng cách rút gọn môđun Theo Bổ đề 2.4.3 thì mỗi cột của 1 0
0
iAG +
i
0 với
0
dT S−đa thức gồm một cột của dT và một cột của 1 0
0
iG +
0 , ,
0
ii) Vì thứ tự mà ta dùng trên ]
[
L X Y Z là X Y / −
d
1
2
thì giao của tập gồm những cột của
cho ta một cơ sở Grobner đối [
L Y Z
, ] dT với −
1
d
2
Im với [
,
L Y Z ] dT 0 2 3 0
G
−
d
0 0
0 GA
−
−
d
d
2
0
0
0 0 Do đó những cột của xác định một cơ sở Grobner −
0
G
d 4
0
0
0
G
0
1
−
1
d
2
Im ■ ] [
,
L Y Z . Suy ra điều phải chứng minh
dT và dH của Bổ đề 2.4.2. và 2.4.4 r L∈ , khi đó r linh hóa tử một phần tử khác không của Z > > nên theo [3,3.6.6 Theorem] T nếu và chỉ nếu r linh hóa tử một phần tử khác không của ] −
1
d
2
[
L Y Z
, ] Co
[
,L Y Z −môđun Coker ker d
dH của Co
T
ker d sao cho −
1
d
2
∈
v R
0 Khi đó tồn tại
rv
Ta thừa nhận v được chọn để số hạng đầu của nó là tối tiểu trong những số hạng
đầu của mỗi cột \ Im T∈
Im d T
d ,..., Nhưng là tất cả những số hạng đầu của các cột của ,
Xe Xe
1
2 dT vì vậy v Xe − d 1 2
không bao hàm X. −
1
d
2
40 , ta có Do đó theo Bổ đề 2.4.4 thì Im [
v L Y Z ] d d −
1
d
2
∈ rv Im và theo Bổ đề 2.4.4 đây là [
,L Y Z −môđun con ] [
L Y Z
, ] T
d Hơn thế nữa
−
1
d
2
sinh bởi các cột của của [
L Y Z
, ] dH ■ = i 0,..., n − thì
1 là ma trận cấp + ∈ H , \ Im H T⊆
Im
d 2... i n ( )
+
1 )
+ ×
1 A A
+
1
i
i A
n − − j j n i −
n i −
n i − − −
n i n i j j −
n i −
n i Z Z Y Y 0 0 j
Z Z Y Y 0 0 −
n i
j
− − −
n i n i j j −
n i Z Z Y Y 0 0 −
n i
j
1 )
(
1n× )
1i + là i = ta được hệ quả sau
0
A A A là ma trận cấp
1 2... n −
n i = i
Y Z i 0,..., n với mọi × + r r k với giá trị trong + mà giá trị thứ (
1, ( ) ,r k ∈ và ,r r kQ + là ma trận cấp ]
[
,L Y Z cho bởi − k k j j k
n
i
Bổ đề 2.4.8. Cho − k k j j k Z Z Y Y 0 0
k
j
+
r r k
, Z Z Y Y 0 0 Q
k
j
− k k j j k = k j 1,..., r Z Z Y Y 0 0
,r r kQ + (với ,r r kQ + là kết quả thu được từ Y Z= 1 = . Do đó Kí hiệu
,r r kQ + khi
k
j
+ ) và
=
:
jc là cột thứ j của 41 1 1 0 0
k
j
+
r r k
, 1 0 1 0
Q
k
j
j 2 deg i
Y Z Xem 0 0 1 1
=
)
j i và
, [
,L Y Z ]
[
,L Y Z như 0 −vành phân bậc mà r = = = ](
0, i deg ⊕ ⊕
... i 1,..., r và với )0,0
) ( ie ]
[
L Y Z e
,
r r ]
[
]
[
L Y Z e
L Y Z
,
,
1
Khi đó ta có:
i) Với mọi là L−môđun tự do với cơ sở [
L Y Z
, ] 0 ( i )( ),
j − i − +
j j Y ρ
Z (
k
j
L= và
(
= +
i − i j max j r
, }
,1 ,...,min } { { r , ii) [
L Y Z và với mọi ] i ∈ và j ∈ , thành phần
)
ρ
e
ρ ρ
= , Im r r kQ + là mô đun con phân bậc của 0 < neáu i k min { } − + − −
σ σ j i j k = ≥ neáu Im Q LY Z i k c
σ +
,
r r k ( = σ max + −
j k i }
,1 , j i ) )( r ≥ + neáu hoaëc 2 i k r j ≥ +
k r +
,
j r k
{
] , j i ) 2 Co ker iii) Q + triệt tiêu ngoại trừ các trường hợp bậc r r k
, )(
0 −phân bậc ker
0
∑
(
[
,
L Y Z
]
[
,L Y Z −môđun
hữu hạn.
Co Q + là L−môđun hữu hạn sinh với r r k
, 2 i ∈ , j ∈ ta có +
r r k
, +
r r k
, ( i , j )( ) i j + −
+ −
k r
1
k r
1
= ⊕ ⊕
=
=
0
1 k ker Co là L−môđun tự do; và với với 0 i , i j Co ker Q Q ) k k 2 ≤ ≤
i + −
r 1 ker
Co
)( , 1 như một L-môđun đẳng cấu với +r r k
, i j
, Q +
,
r r k
)( ) được hình thành từ những cột của ma trận , +r r kQ ≤ < (và j ∈ ), thành phần (
thì (
đối hạt nhân của ma trận con của
đó được đánh số + + max j + −
k i j r
, k i j 1,..., min { }
,1 , max } { { ≤ ≤ + −
k 1 r j CokerQ i) Với mỗi {
1,..., r } ( )
+
ρ α βα ρ 0 r ρ∈ + = , ,α β∈ và ,k j (với mọi ) , jc là phần tử thuần nhất của = 1,..., k j ii) Chú ý rằng
+ )
r r , [
L Y Z và phần tử thuần nhất của ] , Im r r kQ + là môđun con phân bậc của [
,L Y Z −tổ hợp tuyến tính của những cột của ] , , Vì vậy
Im r r kQ + có thể biểu diễn như
Im r r kQ + mà tất cả hệ số thì thuần nhất.
Chú ý: + + = σ∈ k , deg (với ( {
1,..., r } 42 )
+
σ α β α σ 0 0 = nếu i k< và Q +
,
r r k , j i ) min } { − + − −
σ σ j i j k LY Z Q Im nếu i k≥ c
σ +
r r k
, = σ α β
Y Z c
)(
= ∑ + −
j k i max +
j r k
,
{ }
,1 ) + + − k k 2 k r k r +
k r Z ,..., đều nằm trong 1 e
2 k
Y e
r r , + k s 2 k k Z ,..., Z + −
1
e
s +
r r k
, Vì vậy (
Im
)(
(
i
j
,
Chú thích: các vectơ
Im r r kQ + ; với 1 s
1
,
Z e Z e
2 1 − để được
1 e
s + k r k k ,α β∈ và Lập luận tương tự ta được 1
Y e Y e
,
r r +
r r k
, j i ∈ ≥ ∈ Im Q Im Y Q k r i k Vì vậy nếu −
1
≥ + thì
r với mọi + −
1
1
và
,
e Y
,...,
e
Z e Z e
,
Y
1
2
r
1sZ − và rút gọn theo
< ≤ nhân cột thứ s của
,r r kQ + với
+ −
k s
∈
Q
Im
+ −
1
e
1
− +
ρ
j
e
ρ +
,
r r k − ρ= i j j r
, j Y
,...,
−
ρ
Z ≥ 2
}
,1 ,..., min
Q i k 2 r k k Vì + thì
r < + và
r {
max
−
ρ
e
ρ +
,
r r k i − +
j ∈ Z j − ≥ + và
k
≥ i r r nằm trong + hoặc j
}
{
≥ + trong khi nếu j
nếu j
ρ
Q
e
Im
i
1
+
ρ
,
r r k
+ hoặc j
≥ + thì tất cả các phần tử của cở sở được tìm thấy
Vì vậy nếu
2
k
k
trong phần (i) đối với L−môđun r
[
L Y Z
, ∈ Y Im , i ),
j j
j max Im r r kQ + xem như −môđun được sinh bởi i j , )( ) − − +
j i j = − max ρ
Z ,
j r Y j i }
,1 ,..., min { { ρ
ρ ρ
:
e σ − + − σ
− k j i j σ β γ = 0 Z ,..., }
}
= chỉ ra rằng cột thứ σcủa ta có e
σ ,r r kQ + dẫn đến γ + β β
, 1,..., của ■ = − Q Q
−
1, Q
r +
r r k
, +
r k 1, r r ∈ B nếu và chỉ nếu iđêan sinh bởi định thức con cấp ) (
Ass Co
ker Co Q +
,
r r k 43 k
+ i 1 k
+ −
s i 1
k
i
Ω = k
− 1 2 i k
+ −
s i với 0 i ∈ ,k s ∈ ,
k
i
i k
− +
s 1 i k
− +
s 2
k
i
Qui ước nếu = 0 0η< hoặc η ξ> ξ
η
s −
1 + − − k 1 s j Khi đó ∏ − j 0
Ω = det j s −
1 j
+
i
i
= ∏ j 0 k 1 Ω = det s −
1 = ∏ j 0 k + −
s
+
i
j
+ −
s 1 j
laøthöøa soá nguyeân toá cuûa vôùi ∈ p p
: i =
: {
0,..., }
n ( )
n ∏
n
i
Cho 1 0 0 1
k
j
+
r r k
, 1 1 0 0
Q
k
j
,r k ∈ và ma trận
=
,r r kQ + được tạo thành bởi c (c>0) cột liên tiếp của ma trận s Cho ∆ là ma trận con của
đó; đặt } 1 0 0 1
k
j
s {
=
c r
: min ,
s× của ∆ đều nằm trong p thì ∏ ∈ + −
k p r Ta quy nạp theo r
Chú ý rằng với 1r = thì (
× +
1 k ) 1,1 kQ + là ma trận cấp 1
k
1
k
j
1
1
1r > , và kết quả vẫn đúng với mọi giá trị của k Suy ra kết quả đúng trong trường hợp này
Giả sử với
Nếu s r= thì tồn tại một ma trận con cấp r r× của 44 k
+ i 1 i 1
k
i
Ω = k
− 1 2 i k
+ −
r i
k
i
,r r kQ + có dạng
k
+ −
r
∈ i k mà i k
− +
r 1 i k
− +
r 2
k
i
{
0,..., }
sao cho det
pΩ ∈ ∈ l k r Theo Hệ quả 2.4.11 thị p là thừa số của với {
0,..., }
+ −
1 k 1 / + −
r
l
c = < . Đặt
r r D =
:
Q D−
r
1, /
∆ =
: − − +
r k 1, r r +
r r k
, 1, r Giả sử s
Vì
Q
Q
)1r
(
− × của
c = ∆ là ma trận con cấp
rQ −
r
1, 0 Nhưng và vì vậy các cột của /∆ là tổng của những dòng rQ −
r
1,
0 1 1 0 = s× bất kì của /∆ là tổng của 2s định
s× của ∆ = + −
k 1 ■ )
1
0
1 1
0
(do Nhận xét 2.4.9), suy ra
Q
+ bao gồm những cột như ∆.
r k
0
1
Q −
1,
r
1
Cho ( )n np ( ) ∏ ∈ là dãy các số nguyên tố. Khi đó với mỗi n ∈ , ta có
p p
1
2
1 ■ ... p
n ∈ = ... ... p p
1
2 p p
1
2 p
n p
n
; ∈ ∉ ∈ ≥ ≥ v p v p 3 à 3 à 2 2 j : j j : j }
) }
) { (
−∏
j (
−∏
j ∈ p bởi vì p chia được cho )2 2j − ∈ thì (
−∏
j 45 . Vì vậy tập đầu tiên vô hạn ∈ p Nếu p chia được cho
−
j
1
Để chứng minh tập thứ hai vô hạn ta cần chỉ ra rằng với mọi 1k ≥ )1k (
−∏
p k k k −
1 p p 2 = −
j 2
(
1 (
= +
1 (
1 ) ) k k − − 1 p + ≡ = 0 1 + + ≡ +
1 T T T T p
(mod ) và vì p không chia được cho , quy − 1
1 i Cho T là tập vô định, ta có
p
)
iT ở cả hai vế của đồng dư thức trên thì ta thấy rằng với
và nếu ta so sánh hệ số của
p
i
kp
0
−
1
1k < ≤
i p 0 − thì nạp theo i cho ta p cũng không chia được cho với mọi i thỏa 0
1kp
−
i
■ + + , , , , , /R là vành ] / ∈ ∈ p nếu và chỉ nếu i) p
3
) ≤ ≤
i p 1k
− − d / ∈ = 2 : , , , ,
q X Y Z q ii) (
−∏
d
) {
( }
) ) (
−∏
d 3
/
R
+ − ] [
[
X Y Z U V W XU YV ZW
/
d ≥ , p ∈ là số nguyên tố. Khi đó:
(
(
)2
Ass H R
)
(
(
Ass H R /
R
0 d / ≥ : 3 j iii) Tập các số nguyên (
Ass H R ) 3
/
R
+ − /
R
0 j ) ) )
{
(
,
X Y Z
{
( / iv) Các tập sau và ) }
)
(
( ) (
Ass H R R
0 3
/
R
+ − j { không xác định
}
) / ∈ ≥ ∈ j : j v
3 à p X Y Z
, , , ∈ ≥ ∉ j : v
3 à , , ( ) (
Ass H R ) R
0 3
/
R
+ − j ( { }
) / v) không ổn định tăng với n → −∞ ) 3
/
R
+ − /
R
0 n / ∈ ∈ i) Theo Bổ đề 2.4.2 thì ) p
p
T
ker d (
Ass Co
− d nếu và chỉ nếu Hơn thế nữa theo Bổ đề 2.4.5 thì T
ker d j
(
(
Ass H R p X Y Z
,
) ) d ∈ H ker p
(
Ass Co
/ ∈ nếu và chỉ nếu Theo Bổ đề 2.4.6 thì p
) 3
/
R
+ − với ma trận
(
(
Ass H R ) d − d 2 ker Q i d
, −
1 ) (
Ass Co
∈
p i =
1 ∈ ∈ − p j d để tồn tại sao cho p là thừa số của Giả sử )2 {
1,..., }
3 (
−∏
d 2 −
d
j
Khi đó theo Bổ đề 2.4.8(iii) thì ) (
Ass Co
− d 2, j +
1 ∈ ker p
Q −
1,
1
d 46 ∈ ker Ngược lại, giả sử {
1,..., p
(
Ass Co
∈ ∆ )
ker }
i
2
với ∆ là ma trận con của Từ Bổ đề 2.4.8(iii) ta thấy rằng với
) p
i dQ − 1 , Q −
i d
,
1
(
Ass Co
s {
=
: min ,
c r } s× của ∆ nằm trong p ∈ p (
−∏
d được tạo thành bởi c (c>0) cột liên tiếp của ma trận đó; đặt
Từ Bổ đề 2.4.10 suy ra ∆ có hạng bằng s và vì vậy thoe Nhận xét 2.4.9 thì iđêan
được sinh bởi những định thức con cấp s
)2
Vì vậy
theo Hệ quả 2.4.12
ii) Suy ra trực tiếp từ (i) và Bổ đề 2.4.2
iii) Suy ra trực tiếp từ (ii) và Bổ đề 2.4.13
iv) Suy ra trực tiếp từ (ii), Bổ đề 2.4.2 và Bổ đề 2.4.14
v) Đây là hệ quả của (ii) và (iv) ■ − ∈ d 47 Tóm lại, trong toàn bộ luận văn này tôi đã trình bày và hệ thống lại các nội dung chính trong bài báo: “Associated primes of graded components of local
cohomology modules” của M. Brodmann, M. Katzman và R.Y. Sharp. Kết quả
chính của luận văn gồm những phần sau: 1. Hệ thống lại các kiến thức cơ sở về iđêan nguyên tố liên kết, chiều và độ sâu của iđêan, môđun phân bậc, môđun đối đồng điều địa phương. 2. Chứng minh lại các kết quả của bài báo về tính ổn định ở chiều hữu hạn và từ ví dụ của Singh chỉ ra một tính chất khác về tính ổn định tiệm cận của tập
các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối
đồng điều địa phương. 48 Addition Wesley, 1969. [2] H. Matsumura, Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin, Reading, 1980. [3] W. W. Adams and P. Loustaunau, An introduction to Grobner bases, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1994. [4] M. Brodmann, A lifting result for local cohomology of graded modules, Math Proc. Cambridge Philos. Soc. 92 (1982) 221−229. [5] M. Brodmann and M. Hellus, Cohomological patterns of coherent sheaves over projective schemes, J. Pure and Appl. Algebra 172 (2002) 165−182. [6] M. P. Brodmann and R. Y. Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998. [7] T. Muir, The theory of determinants in the historical order of development, Volume III, Macmillan, London, 1920. [8] R. Y. Sharp, Bass numbers in the graded case, a−invariant formulas, and an analogue of Faltings’ Annihilator Theorem, J. Algerbar 222 (1999) 246−270 [9] A. K. Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math. Research Letter 7 (2000) 165−176 [10] V. van Zeipel, Om determinanter, hvars elementer aro binomialkoefficienter, Lunds Univeritet Arsskrift ii (1865) 1−68 [11] M. Brodmann, M. Katzman, R.Y. Sharp, Associated primes of graded components of local cohomology modules, Trans. Amer. Math. Soc. 354 (11) (2002) 4261–4283. [1] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, [12] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra 252 (2002) 161–166. [13] M. Katzman, R.Y. Sharp, Some properties of top graded local cohomology modules, J. Algebra 259 (2003) 599–612. [14] M. Brodmann and A.L. Faghani, A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., (10) 128(2000), 2851 - 2853. 49}
Bảng ký hiệu
Ký hiệu
Ý nghĩa
Chương 1: Kiến thức cơ sở
1.1 Iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun. Một iđêan
Tính chất 1.1.2. Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) | x∈M,
Hệ quả 1.1.3. AssR(M) = ∅ ⇔ M = 0
Hệ quả 1.1.4. Giả sử S là tập con nhân của R. Đặt
Định lý 1.1.5. Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun. Khi đó AssR(M) ⊆
Hệ quả 1.1.6. Giả sử I là iđêan của vành R. Khi đó iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu
Định lý 1.1.7. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh,
Bổ đề 1.1.8. Nếu 0
Tính chất 1.1.9. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Khi đó
Tính chất 1.1.10. Nếu N là R – mô đun con của M. Khi đó
1.2 Độ cao của một iđêan
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử R là một vành,
Nhận xét 1.2.2.
1.3 Chiều của một iđêan
Định nghĩa 1.3.1. Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của độ
Nhận xét 1.3.2.
Tính chất 1.3.3. Giả sử
Tính chất 1.3.4. Với R là vành Noether và
1.4 Độ sâu của môđun
Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn
Chú ý 1.4.2.
Định nghĩa 1.4.3. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn
Định nghĩa 1.4.4. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn
Nhận xét 1.4.5. Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại m . Khi đó mọi M –
Tính chất 1.4.6. Giả sử a là iđêan của R và M là hữu hạn sinh. Khi đó
i
i H M
a
1.5 Hàm tử xoắn
Định nghĩa 1.5.1. Cho M là một R – mô đun, tập hợp
Γ
a
Γ
a
⊆ Γ
a
∈Γ
a
Γ
a
Γ
a
→ Γ
a
|
Γ
a
Bổ đề 1.5.2. Cho a là mộ iđêan của vành Noether R. Giả sử M hữu hạn sinh. Các
a
Γ
a
Γ
a
Tính chất 1.5.3.
Chứng minh
f
Γ
(
→
a
g
Γ
( )
→
a
Γ
a
Γ
a
Γ
a
a
⊇ Γ
Im ( )
a
a
Γ
a
Γ
a
Γ
a
a
∈Γ
a
∈Γ
a
Γ
a
Γ
im ( )
a
Định nghĩa 1.5.4. (Xem [6, 1.2.1 Definition]) Cho R−môđun M. Khi đó ta định
Bổ đề 1.5.5. (Xem [6, 2.1.1 Lemma]) Cho M là R−môđun
Bổ đề 1.5.6. (Xem [6, 2.1.7 Corollary])
Bổ đề 1.5.7. (Xem [6, 2.1.12]) Cho M là R−môđun. Ta có
1.6 Môđun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.6.1. Cho M là R – mô đun và a là iđêan của R. Cho giải nội xạ của
i(d )
Γ
→
a
Γ
a
→ → Γ
....
a
Γ
a
Γ
a
Γ
a
Γ
a
i
H
a
Γ
a
Nhận xét 1.6.2.
a
Γ
a
0
a
iH (M)
a
Tính chất 1.6.3. Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R – mô
Γ
a
−
1
S
a
i
a
i
−
1
S
a
≅
(H (M)) H (M )
p
p
i
a
i
a
p
Tính chất 1.6.4. Giả sử (R, m ) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu hạn
iH (M)
m
Tính chất 1.6.5. Cho dãy khớp ngắn
i
H (N)
a
+
i 1
H (L)
a
0
H (f )
→
a
0
H (g)
→
a
1
H (g)
→
a
1
H (f )
→
a
0
H (M)
a
1
H (M)
a
0
H (N)
a
1
H (N)
a
i
H (f )
→
a
i
H (g)
→
a
i
H (M)
a
i
H (M)
a
0
a
1
H (L)
a
....
i
H (L)
a
+
i 1
H (L)
a
Định nghĩa 1.6.6.
i
a
i
Spec(R)| x H (M) : Ann(x)
a
Tính chất 1.6.7. Cho (R, m ) là vành Noether địa phương với số chiều d, a là một
i
,H (M)
aa
i
a
i
a
i
a
Tính chất 1.6.8. Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn sinh với số
i
a
Tính chất 1.6.9. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có
(
i
Ass H (M)
a
i
R
a p
1.7 Vành và môđun phân bậc
Định nghĩa 1.7.1. Vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có dạng:
Định nghĩa 1.7.2. Cho R là vành phân bậc, một R - mô đun M là một R – mô đun
Nhận xét 1.7.3.
Tính chất 1.7.4. Cho R là vành phân bậc, các mệnh đề sau tương đương:
Nhận xét 1.7.5. Cho R là một vành phân bậc
Tính chất 1.7.6. Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R – mô đun
=
∈
p
Định nghĩa 1.7.7. Cho
Tính chất 1.7.8. Giả sử (R, m ) là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc
i
H (M)
m
i
H (M)
m
Định nghĩa 1.7.9. Cho
Định nghĩa 1.7.10. (Xem [6, 13.1.2 Definition]) Cho R là vành phân bậc, giả sử
Định lí 1.7.11. (Xem [6, 13.1.6 Theorem]) Giả sử
Định lí 1.7.12. (Xem [6, 13.1.8 Theorem]) Giả sử
Định lí 1.7.13. (Xem [6, 15.1.2 Theorem]) Cho R là vành phân bậc và iđêan a cũng
Định lí 1.7.14. (Xem [6, 15.1.5 Theorem]) Cho
Bổ đề 1.7.15. (Xem [4, 2.2 Corollary]) Cho (
1.8 Các phép biến đổi iđêan
Định nghĩa 1.8.1. (Xem [6, 2.2.1 Definition])
Bổ đề 1.8.2. (Xem [6, 2.2.4 theorem])
Bổ đề 1.8.3. (Xem [6, 2.2.13 Corollary]) Cho
R∈a
Bổ đề 1.8.4 (Xem [6, 2.2.16 Theorem]) Cho
(
Hom R
R
1.9 Chiều hữu hạn của môđun
Định nghĩa 1.9.1. (Xem [6, 9.1.3 Definition]) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Ta
Định nghĩa 1.9.2. (Xem [6, 9.1.5 Definition])
{
}
Định nghĩa 1.9.3. (Xem [6,9.2.2 Definition]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Với
Định nghĩa 1.9.4. (Xem [6, 9.2.2 Definition]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và
b là một iđêan của R sao cho ⊆b
a . Ta định nghĩa b -tối tiểu a -độ sâu điều chỉnh
của M, kí hiệu λb
Bổ đề 1.9.5. (Xem [6, 9.5.2 Theorem]) Giả thiết R là ảnh đồng cấu của vành
(
Bổ đề 1.9.6. (Xem [6, 13.1.17 Theorem]) Cho R là vành phân bậc và là ảnh đồng
Bổ đề 1.9.7. (Xem [5, 5.6 Proposition]) Cho M là R−môđun phân bậc và hữu hạn
(
Ass H M
Chương 2: Một số tính chất của iđêan nguyên
tố liên kết của của các thành phần phân bậc
của môđun đối đồng điều địa phương
2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử (
khi → −∞
n
Chú ý 2.1.2.
định tiệm cận.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử (
= ∅nS
i
RH M
(
Nhận xét 2.1.4. Nếu
2.2 Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân
bậc của môđun đối đồng điều địa phương
Định lý 2.2.1. Cho
0∈ i
sinh. Giả sử
i
) )
(
n
R
+
đó
Định lý 2.2.2. Cho M là R – môđun phân bậc hữu hạn sinh. Đặt
)
f
Định lý 2.2.3. Nếu
. Khi đó
dim(
Định lý 2.2.4. Nếu
Cohen – Macaulay R – môđun thì
Tiếp theo ta sẽ đi tìm hiểu phần chính của luận văn.
2.3 Ổn định tiệm cận ở chiều hữu hạn
Chú ý 2.3.1.
Bổ đề 2.3.2. Cho
(
Ass H M+
Chứng minh
Dẫn đến dãy khớp sau:
Suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.3.3. Giả sử (
1,...
R R X
∈
p
Chứng minh
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.3.4. Giả sử (
[
=
R R X
1,...
Giả sử (
/
,R m là vành mở rộng phẳng địa phương chính quy của
0
]
/
R =m
0
0
Bổ đề 2.3.5. Giả sử (
cho trường
cách thông thường.
Giả sử
)
)
−
r
1
Ass H M yM
R
n
+
Chứng minh
∈m
Vì vậy
0
Bổ đề 2.3.6. Giả sử (
]
[
R R X
1,...
r
0
)
(
< và 0
Cho
Rf M r
hữu hạn sinh với F tự do. Khi đó:
}
{
i)
ht
1
(
i
i ∈ , đồng cấu nối
H M
R
+
Chứng minh
iii) Suy ra từ (ii) và giả thiết
Bổ đề 2.3.7. Cho (
rộng phẳng địa phương chính quy (
đại số.
Chứng minh
)
chiều bằng d.
Bổ đề 2.3.8. Cho R là vành phân bậc và là ảnh đồng cấu của vành Noether giao
hoán chính quy,
M
không là R+ −xoắn.
Đặt
Chứng minh
(
mà
Pr oj R
)
(
n
depthM ht
2.4 Một tính chất khác về tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố
liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương
Chú ý 2.4.1.
L: kí hiệu của trường hoặc miền các iđêan chính (PID)
R L X Y Z U V W
,
ii) Mỗi iđêan nguyên tố liên kết trong
)
−
d
Chứng minh
3dU − cảm sinh toàn cấu
Phép nhân
Từ phần chứng minh của (ii) ta có
)
)
(
⊆
X
Y
Vì vậy (
Bổ đề 2.4.3. Cho
[
]
[
trong
,L Y Z ,
L Y Z
,
0R được cho như sau:
0
Chứng minh:
là biểu thức của f với
Chứng minh
là S− đa thức khác không gồm 2 cột f và g của ma trận
đối với
dT
Bổ đề 2.4.5. Xét ma trận
{ }
Cho
\ 0
Chứng minh
Giả sử r linh hóa tử một phần tử khác không của
Chiều ngược lại là hiển nhiên
Bổ đề 2.4.6. Với mỗi số nguyên
(
Đặc biệt khi
Hệ quả 2.2.7.
}
+ −
,1
k
Chứng minh
Y Z eα β
ta có
deg
]
[
L Y Z có bậc (
](
+ − và 1
≤ ≤
≤ ≤ + −
iii) Giả sử
1
r
2
k
i
k
1
k
r
}
{
}
{
+
γ =
β =
+ −
Đặt
và
k
,j r
min
i
k
,1
Từ những điều kiện trên ta suy ra β γ≤
Theo phần (i), (
{
Với mỗi
Y
một cột trên những phần tử sinh được trình bày ở trên
Hơn nữa, phần (ii) chỉ ra rằng mọi cột liên quan đến những phần tử sinh đó là một
tổ hợp L−tuyến tính của những cột liên quan từ những cột thứ
,r r kQ +
Nhận xét 2.4.9. Ta có
Cho B là ma trận với các giá trị là các số nguyên và có hạng bằng d, p là số nguyên
tố. Khi đó
p
ker
d d× của B nằm trong p
Bổ đề 2.4.10. Cho
Hệ quả 2.4.11. Ta có
Hệ quả 2.4.12. Với mỗi n ∈ , ta đặt
. Nếu p ∈ là số nguyên tố sao cho mọi định thức con cấp
)1
(
Chứng minh
Bổ đề 2.4.13. Tập các số nguyên
liên tiếp của ∆. Do đó với định thức con cấp s
thức mà mỗi định thức đó hoặc bằng 0 hoặc là một định thức con cấp s
/∆ đều nằm trong p
s× của
Vì vậy mọi định thức con cấp s
)
(
(
∏
∏
− + + −
∈
Vì vậy theo giả thiết quy nạp thì
p
1 1
k
r
r
{
}
( )
∏
:n n ∈
không xác định.
Chứng minh
Suy ra điều phải chứng minh
Bổ đề 2.4.14. Cho p ∈ là số nguyên tố. Khi đó các tập sau là vô hạn
{
∈
Chứng minh
Suy ra điều phải chứng minh.
Định lí 2.4.15. Kí hiệu
Cho d− ∈ với
3
/
R
+
}
(
là vô hạn
Chứng minh
)
(
)
(
3
nếu và chỉ nếu
Ass H R
/
R
+
(
)
∈
p
Ass Co
dH được xác định trong Định lí 2.4.4
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
