BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH
NGUYEÃN THÒ MAI LEÂ
TÍNH COÄNG HÖÔÛNG VAØ KHOÂNG COÄNG HÖÔÛNG CUÛA BAØI TOAÙN COÙ GIAÙ TRÒ BIEÂN KÌ DÒ LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC
THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - NAÊM 2006
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH
NGUYEÃN THÒ MAI LEÂ
TÍNH COÄNG HÖÔÛNG VAØ KHOÂNG COÄNG HÖÔÛNG CUÛA BAØI TOAÙN COÙ GIAÙ TRÒ BIEÂN KÌ DÒ Chuyeân ngaønh: Toaùn Giaûi Tích Maõ soá: 60.46.01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC
NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS.TS. LEÂ HOAØN HOÙA
THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - NAÊM 2006
LÔØI CAÛM ÔN
Lôøi ñaàu tieân taùc giaû xin chaân thaønh caûm ôn saâu saéc ñeán
PGS.TS. Leâ Hoaøn Hoùa ñaõ taän tình höôùng daãn taùc giaû hoaøn
thaønh ñeà taøi nghieân cöùu.
Taùc giaû chaân thaønh caûm ôn caùc thaày, coâ khoa Toaùn vaø
phoøng Khoa hoïc coâng ngheä – Sau ñaïi hoïc tröôøng Ñaïi hoïc sö
phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình giaûng daïy vaø truyeàn
ñaït nhieàu kieán thöùc môùi, giuùp taùc giaû laøm quen daàn vôùi vieäc
nghieân cöùu khoa hoïc.
Taùc giaû chaân thaønh caûm ôn caùc thaày, coâ phaûn bieän ñaõ nhaän
xeùt vaø söûa chöõa nhöõng thieáu soùt ñeå luaän vaên hoaøn chænh hôn.
Taùc giaû chaân thaønh caûm ôn Ban Giaùm Hieäu tröôøng THPT
Chuyeân Traàn Höng Ñaïo, thuoäc tænh Bình Thuaän, nôi taùc giaû
ñang coâng taùc.
Cuoái cuøng taùc giaû xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñoái vôùi gia
ñình, baïn beø, ñoàng nghieäp ñaõ ñoäng vieân taùc giaû hoaøn thaønh luaän
vaên naøy.
MUÏC LUÏC
MÔÛ ÑAÀU ................................................................................................. 1
CHÖÔNG 1: CAÙC KHAÙI NIEÄM VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN .................. 5
1.1. Caùc khaùi nieäm cô baûn: ................................................................ 5
1.2. Phöông phaùp ñieåm baát ñoäng trong baøi toaùn bieân kyø dò ........... 8
1.2.1. Caùc ñònh lí cô baûn: ................................................................... 8
CHÖÔNG 2: TÍNH COÄNG HÖÔÛNG VAØ KHOÂNG COÄNG HÖÔÛNG CUÛA BAØI TOAÙN COÙ GIAÙ TRÒ BIEÂN KÌ DÒ ..................................... 27
2.1. Khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn bieân:....................... 27
2.2. Khaûo saùt baøi toaùn giaù trò bieân Sturm Liouville: ..................... 29
2.3. Khaûo saùt baøi toaùn bieân:............................................................. 30
2.4. Khaûo saùt baøi toaùn coù giaù trò bieân kyø dò “coäng höôûng” baäc hai31
KEÁT LUAÄN ........................................................................................... 48
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO.................................................................... 49
1.2.2. ÖÙng duïng:................................................................................ 18
MÔÛ ÑAÀU
1
Cuõng nhö caùc moân khoa hoïc khaùc, phöông trình vi phaân xuaát hieän treân cô sôû
phaùt trieån cuûa khoa hoïc, kó thuaät vaø nhöõng yeâu caàu cuûa ñoøi hoûi thöïc teá. Lí thuyeát
phöông trình vi phaân ñoùng vai troø quan troïng trong öùng duïng thöïc tieãn cuûa Toaùn
hoïc. Haàu heát caùc quaù trình töï nhieân ñeàu tuaân thuû theo moät qui luaät naøo ñoù maø
phöông trình vi phaân coù theå moâ taû ñöôïc. Baèng chöùng laø caùc ngaønh Toaùn hoïc, Cô
hoïc, Vaät lí, Hoùa hoïc, Sinh vaät, Kinh teá, Sinh thaùi moâi tröôøng… vaø Xaõ hoäi hoïc ñeàu
lieân quan ñeán phöông trình vi phaân.
Lí thuyeát phöông trình vi phaân noùi chung vaø lí thuyeát caùc baøi toaùn bieân noùi
rieâng ñaõ aûnh höôûng maïnh meõ ñeán vieäc phaùt hieän ra moät soá löôïng lôùn caùc öùng
duïng, ñaëc bieät laø trong khoa hoïc.
Chaúng haïn nhö:
• Baøi toaùn
( f t,y ,0 t 1
)
y" y ' + = < <
( ) 0. ay ' 1
( ) y 1
b, a 0 = + = > 2 t ( ) y ' 0
( f t,y
)
moâ taû söï coù theå moâ taû caùc quaù trình sinh lí khaùc nhau. Ví duï, khi = y α y κ +
di truyeàn caáu truùc vöõng chaéc cuûa Oxygen taêng trong teá baøo. ÔÛ ñaây ,a,α κ laø
nhöõng haèng soá xaùc ñònh lieân quan ñeán tæ leä phaûn öùng, tính thaám vaø haèng soá
Michaelis. Nghieäm y chính laø söùc caêng cuûa Oxygen vaø t = 1 töông öùng vôùi bieân
( f t,y
)
(
) y ,
cuûa maøng teá baøo. Khi exp 0 , κ β κ β moâ taû söï daãn nhieät trong = − − >
naõo ngöôøi. ÔÛ ñaây f laø tæ leä saûn xuaát nhieät treân moät ñôn vò theå tích, y laø nhieät ñoä
tuyeät ñoái vaø t laø ñoä daøi baùn kính tính töø taâm.
2
• Naêm 1927, L.H Thomas vaø E.Fermi ñoäc laäp vôùi nhau tìm ra baøi toaùn bieân
xaùc ñònh theá naêng tónh ñieän trong nguyeân töû. Söï phaân tích naøy ñöa ñeán phöông
−
1 2
3 2
trình caáp hai kì dò phi tuyeán:
y" t y − = 0
Coù ba ñieàu kieän bieân ñöôïc quan taâm ñoù laø:
i) Nguyeân töû trung hoøa vôùi baùn kính Bohr, cho bôûi:
( ) y 0
( 1. by ' b
)
( y b
)
= − = 0
ii) Nguyeân töû ion hoùa, cho bôûi:
( ) y 0
( 1. y b
)
= 0 =
iii) Nguyeân töû trung hoøa coâ laäp, cho bôûi:
( ) y 0
t
( ) 1, lim y t →∞
= = 0
• Baøi toaùn bieân kì dò sau ñaây thöôøng ñöôïc goïi laø phöông trình Emden-Fowler
−
γ
coù soá muõ aâm:
2
< <
2 + α β
2
2
0, 0 = >
0, a b 0 + >
( ) + y" q t y ( ) y 0 − + α ( ) ay 1 + , α β
a 0 α 0, 0 t 1 = ( ) y ' 0 β ( ) by 1 = , a, b 0 vôùi ≥ + >
xaûy ra trong khi tìm ví duï veà daïng phi tuyeán trong lí thuyeát chaát loûng phi Niutôn,
cuõng nhö vieäc vaän chuyeån buøn than ñaù xuoáng baêng chuyeàn vaø lí thuyeát lôùp bieân.
ÔÛ ñaây 0γ > .
Ñaëc bieät laø lôùp phöông trình bieân cho söï chaûy oån ñònh cuûa chaát giaû nhöïa qua moät
1
baûn nöûa voâ haïn, ñöôïc vieát nhö sau:
0,0 t 1,0 n 1 < < < <
ny y" nt + ( ) y ' 0
0 = = = ( ) y 1
Khi n=1, phöông trình naøy ñöôïc goïi laø phöông trình Blasius….
3
Chính söï öùng duïng roäng raõi ñoù ñaõ höôùng chuùng toâi ñeán nghieân cöùu söï toàn taïi
nghieäm cuûa baøi toaùn “coäng höôûng” vaø “khoâng coäng höôûng” coù giaù trò bieân kyø dò.
Ñaëc bieät chuùng toâi nghieân cöùu veà phöông trình vi phaân baäc hai:
(
)
)
] ( f t,y,y ' haàu khaép nôi treân 0,1
[
py ' ' qy = µ+ 1 p
− <
(tröôøng hôïp khoâng coäng höôûng) < Vôùi: m 1 λ µ λ m
mµ λ=
hoaëc (tröôøng hôïp coäng höôûng), m = 1,2,….
i , i 1, 2,...
0λ = −∞ vaø
laø nhöõng giaù trò rieâng cuûa moät baøi toaùn tuyeán tính ÔÛ ñaây =λ
xaáp xæ. Vaø y seõ thoûa maõn moät trong nhöõng ñieàu kieän bieân sau ñaây:
2
i) Sturm Liouville
2 α β α β ≥
( ) y 0
+
0
( ) ( ) lim p t y ' t β t →
2
2
0, 0, 0 + = ≥ + > α c , 0
( ) ay 1
( ) ( ) b lim p t y ' t
− t 1 → 0 >
{ max a,
} α
b 0 (SL) + = ≥ ≥ + > c ,a 0, b 0,a 1
−
ii) Neumann
0
+
0
( ) ( ) lim p t y ' t t → ( ) ( ) lim p t y ' t − t 1 →
c = (N) = c 1
iii) Tuaàn hoaøn (Periodic)
+
0
( ) ( ) y 1 y 0 = ( ) ( ) lim p t y ' t t →
( ) ( ) lim p t y ' t − t 1 →
1
(P) =
) u C 0,1 C 0,1 vôùi pu' C 0,1
(
)
(
)
(
I Chuù yù: Neáu haøm thoûa ñieàu kieän bieân i) ta ∈ ∈
( SL∈
)
vieát u . Chuù yù töông töï cho caùc ñieàu kieän bieân khaùc. Neáu u thoûa i) vôùi
c
0
=
= ta vieát
( SL∈
o
c 1
)0
u …
Vôùi vaán ñeà ñaët ra nhö treân, chuùng toâi ñaõ nghieân cöùu, giaûi quyeát vaø trình baøy trong
luaän vaên naøy vôùi caáu truùc goàm hai chöông coù noäi dung cuï theå nhö sau:
4
Chöông 1: Trình baøy caùc khaùi nieäm cô baûn lieân quan ñeán kieán thöùc trình baøy
trong luaän vaên, caùc ñònh lí cô baûn veà ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï compact trong
khoâng gian ñònh chuaån, trong ñoù quan troïng nhaát laø ñònh lí Leray-Schauder duøng
ñeå chöùng minh söï toàn taïi nghieäm. AÙp duïng ñònh lí Leray-Schauder vaøo chöùng
minh söï toàn taïi nghieäm cuûa caùc phöông trình:
(
)
( f t,y,py ' , t
)
[
] 0,1
py ' ' ry + = ∈ 1 p
(
)
( ) t py '
( f t,y,py ' , t
)
[
] 0,1
py ' ' ry + + = ∈ κ 1 p
thoûa maõn caùc ñieàu kieän bieân (SL) hoaëc (N) hoaëc (P)
Chöông 2: Laø phaàn chính cuûa luaän vaên. Khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm cuûa caùc baøi
py '
'
ry
+
=
∈
)
( f t,y, py ' , t
)
[
] 0,1
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
py '
'
ry
+
+ κ
=
∈
)
( ) t py '
( f t,y, py ' , t
)
[
] 0,1
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
toaùn “khoâng coäng höôûng” coù giaù trò bieân kì dò:
py '
'
qy
+ λ
=
∈
)
( f t,y, py ' , t
)
[
] 0,1
m
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
o
o
Vaø baøi toaùn “coäng höôûng” coù giaù trò bieân kì dò:
pu'
',m 1,2,3,...
Lu
= λ
= −
=
)
(
[ u hkn treân 0,1 , Lu
]
1 pq
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
∈ u
o
o
Vôùi mλ laø giaù trò rieâng thöù m cuûa:
Chöông 1: CAÙC KHAÙI NIEÄM VAØ ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN
1.1. Caùc khaùi nieäm cô baûn:
5
Ñònh nghóa 1.1
Cho X, Y laø caùc khoâng gian ñònh chuaån.
1) AÙnh xaï lieân tuïc F : X Y→ ñöôïc goïi laø compact neáu F(X) chöùa trong moät
taäp compact cuûa Y.
2) AÙnh xaï lieân tuïc F : X Y→ ñöôïc goïi laø hoaøn toaøn lieân tuïc neáu aûnh cuûa moãi
taäp bò chaën chöùa trong moät taäp compact cuûa Y.
3) AÙnh xaï lieân tuïc F : X Y→ ñöôïc goïi laø compact höõu haïn chieàu neáu F(X)
chöùa trong khoâng gian con tuyeán tính höõu haïn chieàu cuûa Y.
=
{
}
A a ,a ,...,a 1
2
n
Goïi laø moät taäp con cuûa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E
0ε > coá ñònh ñaët:
n
x E : x a
=
−
<
( B a , i
) ( , B a , ε i
i
A ε
U
) { ε = ∈
} ε
i 1 =
R sao cho
→
=
−
x a −
ε
µ i
µ i
i
: A ε
{ max 0,
}
vôùi chuaån . . Vôùi
Goïi co(A) laø taäp loài beù nhaát chöùa A. Ta ñònh nghóa pheùp chieáu Schauder laø aùnh
n
(
) x a
xaï:
i
∑
( co A sao cho P x
(
)
)
ε
i 1 = n
(
)
∑
i 1 =
µ i → = P : A ε ε ,x A ∈ ε x µ i
Nhaän xeùt:
Caùch ñònh nghóa Pε laø hoaøn toaøn coù nghóa vì, neáu:
n
6
(
)
o
i
i
i
∑
o
o
( : x B a ,
) ε ε
i 1 =
0 x 0 i ∃ ∈ ⇒ − x a − x a − ≠ ⇒ 0 ≠ µ ε > ⇒ = − i µ i x A , ∈ ε
Chuù yù:
)
( co A
)
( P xε
( P A ε
) ε ⊂
do moãi laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a1, a2,…,an
Ñònh nghóa 1.2
E→ . Vôùi moãi
0ε > , b laø moät ñieåm trong B sao cho
Cho B laø moät taäp cuûa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E, F : B
) ( b F b ε
− < thì b ñöôïc goïi laø ñieåm
cuûa F. coá ñònh ε−
Ñònh nghóa 1.3
Cho C laø taäp loài trong E. (X,A) laø moät caëp trong C, nghóa laø X laø taäp con tuøy yù
trong C vaø A laø taäp ñoùng trong X.
• Hai aùnh xaï lieân tuïc f,g : X E→ ñöôïc goïi laø ñoàng luaân neáu coù moät aùnh xaï
(
)
) ( f x vaø H x,1
)
(
( g x
)
] H : X 0,1 ×
[
lieân tuïc E vôùi H x,0 → = = , x X∀ ∈
• AÙnh xaï H ñöôïc goïi laø ñoàng luaân lieân tuïc vaø ta vieát H : f g≅ . Vôùi moãi
(
)
tH : X E→ .
[ ] 0,1∈
t aùnh xaï x H x,t ñöôïc vieát laø →
• Chuùng ta deã daøng kieåm tra ñöôïc quan heä ñoàng luaân laø moät quan heä töông
ñöông.
• AÙnh xaï ñoàng luaân lieân tuïc H goïi laø compact neáu noù laø compact.
• AÙnh xaï ñoàng luaân lieân tuïc H goïi laø “fixed point free” treân A X⊆ neáu vôùi
{ } t
] [ 0,1∈
A
t H : A E moãi aùnh xaï lieân tuïc × → khoâng coù ñieåm baát ñoäng.
(
)
AK X,C laø taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc F : X C→ sao
• Goïi
A
cho thu heïp F : A C→ laø “fixed point free” .
(
)
A
) F,G K X,C ñöôïc goïi laø ñoàng luaân (ta vieát F G≅ • Hai aùnh xaï lieân tuïc ∈
(
)
AK X,C neáu coù moät ñoàng
] H : X 0,1 ×
[
luaân lieân tuïc trong C →
7
)
{ } t
( vôùi H u H t
[
] 0,1
X
“fixed point free” treân X vaø = × : X C, t → ∈
)
( ( F x ,H x G x
(
)
)
)
( H x 0
1
. = =
)
( F K X,C A
ñöôïc goïi laø coát yeáu (essential) neáu taát caû caùc aùnh • AÙnh xaï ∈
)
( G K X,C A
A
A
F xaï sao cho coù ñieåm coá ñònh. G= ∈
)
( F K X,C A
ñöôïc goïi laø khoâng coát yeáu (inessential) neáu toàn taïi • AÙnh xaï ∈
)
( G K X,C A
A
A
F aùnh xaï sao cho la ø“fixed point free”. ∈ G=
Ñònh nghóa 1.4
(
)
K
f A, x,x ' X
0,
0,
∀ > ∃ > ∀ ∈ ∀
∈
δ
ε
A C X ñöôïc goïi laø lieân tuïc ñoàng baäc neáu Taäp ⊂
( maø d x,x'
)
( thì f x
)
( f x '
)
δ ε. < − <
2
Ñònh nghóa 1.5
[
]
2
Haøm soá pf : 0,1 R R × → ñöôïc goïi laø haøm L1 – Caratheodory neáu:
(
)
y,q R → ∀ ∈
) ( ) ( p t f t,y,q laø ño ñöôïc, ) →
( ) ( p t f t,y,q lieân tuïc haàu khaép nôi t
)
i) t ( ii) y,q
1 L 0,1 sao cho p t f t,y,q
)
( )
] [ 0,1 ∈ ( ) (
r
r
[
]
h t , haàu khaép nôi ∈ ≤
[ Ñònh nghóa 1.6
b
n
n
*
0,1 vaø vôùi moïi y t r, q r ∈ ≤ ≤ iii) Vôùi baát kyø r>0, toàn taïi h ]
( ) p u t
pL a, b ,n N∈ laø khoâng gian caùc haøm u thoûa:
[
]
∫
a
dt < ∞
Ñònh nghóa 1.7
[
]
(
)
n
n
f AC a, b Haøm f ñöôïc goïi laø lieân tuïc tuyeät ñoái treân [a,b] neáu vôùi moãi ∈
0,ε>
i
i
∑
∑
i=1
i=1
0 sao cho b a thì , ñuùng cho moïi hoï − < − < δ ∃ > δ ε f(b ) i f(a ) i
i
i
{ (
} ) a , b ;i 1,n=
caùc khoaûng khoâng giao nhau.
8
Ñònh nghóa 1.8
(
)
(
)
(
)
2
n
Giaû söû heä haøm y x ,y x ,...,y x khaû vi n -1 laàn treân (a,b), khi ñoù ñònh thöùc 1
) )
) )
) )
Wronski ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
( W y ,y ,...,y W x
)
(
)
n
2
1
≡ = ... ... ...
( y x 1 ( ' y x 1 ... ) (
( y x 2 ( ' y x 2 ... ) (
( y x n ( ' y x n ... ) (
)
)
)
( n 1 − y 1
( n 1 − 2
( n 1 − n
x x y x ... y
( a,b∈
)
)W x (
thì heä haøm ñoäc laäp tuyeán tính x 0≠ taïi moät
( W x
)
(
)
thì heä haøm phuï thuoäc tuyeán tính. a, b 0, x = ∀ ∈
Ñònh nghóa 1.9
Cho B, D laø hai taäp ñoùng rôøi nhau trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. Khi
: E λ →
[
] 0,1
ñoù toàn taïi moät haøm lieân tuïc goïi laø haøm lieân tuïc Urysohn sao cho:
( λ
)
( λ
)
( d x,B ( d x,D
) )
min ,1 ,x D ∉ x . Hay noùi caùch khaùc x ∈ ∈ 0 ,x B = 1 ,x D ,x D ∈ = 1
)
} { ( ∈ d x,B min x y ,y B
1.2. Phöông phaùp ñieåm baát ñoäng trong baøi toaùn bieân kyø dò
1.2.1. Caùc ñònh lí cô baûn:
vôùi − =
Ñònh lí 1.1 (Brouwer)
En laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån höõu haïn chieàu. C laø taäp ñoùng, bò chaën
C→ lieân tuïc ñeàu coù ñieåm baát ñoäng.
trong En thì taát caû caùc aùnh xaï f : C
Ñònh lí 1.2
{
}
1
2
n
Cho ; C laø taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính A C E vôùi A= a ,a ,...,a ⊆ ⊆
)
( P xε
ñònh chuaån E. Neáu laø pheùp chieáu Schauder thì:
9
( co A
)
ε
−
C⊆ 1) Pε laø aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc töø Aε vaøo
< ∀ ∈ , x A ε
2) x P ε
Chöùng minh:
1) Söï lieân tuïc cuûa Pε ñöôïc thaáy tröïc tieáp (vì laø pheùp chieáu). Chuùng ta chöùng
∞
toû tính compact cuûa Pε
( P xε
( P Aε
) ε vôùi:
{
}m 1 )
n
n
Goïi laø moät daõy trong
i
( µ
)
(
)
)
m
( P x ε
∑
∑
m x
i 1 =
i 1 =
( x ( µ
) )
m
m
m
a µ i ⇒ x x = = µ i
,
,...,
∈
[
]n 0,1
( x µ 1 ( x µ
) )
( x µ 2 ( x µ
) )
( x µ n ( x µ
) )
m
m
m
Chuù yù vôùi moãi m:
]n
0,1 laø taäp compact vaø co(A) laø moät taäp ñoùng, neân ta suy ra tính compact Vì [
cuûa aùnh xaï Pε.
n
n
−
=
−
≤
−
)
( µ
) x x
(
) x a
(
) x x a
µ i
i
µ i
i
( x P x ε
∑
∑
i 1 =
i 1 =
1 ( x µ
)
)
n
x
<
=
) µ ε ε
(
i
∑
i 1 =
1 ( x µ 1 ( x µ
)
2) Chuù yù
( ) i x µ ≠
ix-a ε<
bôûi vì neáu 0
Ñònh lí 1.3 (xaáp xæ Schauder)
C→ laø hoaøn
C laø taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. AÙnh xaï F : E
0ε > coù moät taäp
{
}
( F E
)
2
n
C toaøn lieân tuïc thì vôùi moãi ⊂ ⊆ vaø moät A= a ,a ,...,a 1
ε → sao cho: C
aùnh xaï lieân tuïc höõu haïn chieàu F : E
)
( F x
)
( F x ε
1) ε − < ∀ ∈ , x E
)
( co A
)
( F E ε
2) ⊆ ⊆ C
10
Chöùng minh:
Do F hoaøn toaøn lieân tuïc neân F(E) chöùa trong moät taäp compact K cuûa C. Maø K bò
{
}
(
)
(
)
2
n
F E vôùi F E chaën hoaøn toaøn neân toàn taïi moät taäp ⊆ ⊆ A= a ,a ,...,a 1 Aε
( co A
)
ε →
ε → F : E C
Goïi laø pheùp chieáu Schauder vaø ñònh nghóa aùnh xaï P : A ε
)
(
( F x ε
ε=
) ) P F x ,x E
(
∈ theo ñònh lí 1.2 ta coù keát quaû.
Ñònh lí 1.4
E→ laø aùnh
Cho B laø taäp con ñoùng cuûa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. F : B
xaï hoaøn toaøn lieân tuïc. Khi ñoù F coù ñieåm baát ñoäng neáu F coù ñieåm coá ñònh vôùi ε−
0ε >
moãi
Chöùng minh:
0ε > . Vôùi moãi n = 1,2,…ñaët bn laø ñieåm
coá ñònh Giaû söû F coù ñieåm vôùi moãi ε−
( F b
)
n
n
b 1/n _ coá ñònh cuûa F. Ta coù − < (*) 1 n
Do F compact suy ra F(B) chöùa trong moät taäp compact K trong E do ñoù coù moät
)nF x (
x K khi n daõy con caùc soá töï nhieân S vaø x thuoäc K sao cho : → ∈ → ∞ trong
nb
S. Vì vaäy (*) suy ra x khi n → → ∞ trong S vaø do B laø taäp ñoùng cho neân
x B∈ . Do F lieân tuïc treân B suy ra
)
( F x→
)
( nF b
.
( x F x
)
0 Vaäy ta coù − = hay F coù ñieåm baát ñoäng.
Ñònh lí 1.5 (Schauder)
Cho C laø moät taäp con loài cuûa khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E thì taát caû caùc
C→ ñeàu coù ít nhaát moät ñieåm baát ñoäng.
aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc F : C
11
Chöùng minh:
= chuùng ta chöùng minh F coù
=
0ε > . Coá ñònh
0ε > töø ñònh lí 1.3 suy ra toàn taïi moät aùnh xaï lieân tuïc höõu haïn
vôùi moãi coá ñònh Duøng ñònh lí 1.4 vôùi B C E ε−
ε
−
< vôùi x thuoäc E vaø
)
( F x
)
)
( co A
)
( F x ε
ε → vôùi
( F C ε
chieàu F : E C ⊆ ⊆ , C
(
)
( co A
)
(
)
( F co A ε
)
chuùng ta coù theå aùp co A ñoùng bò chaën vaø vôùi A C⊆ . Do ⊆
(
)
( ) co A .
duïng ñònh lí 1.1 suy ra = ∈ x ε F x ,x ε ε ε
)
)
)
( F x ε
( F x ε ε
( F x ε
Vì vaäy − = − < ε x ε
Ñònh lí 1.6
(
)
)
A
] a,t X 0,1 ∈ ×
[
F,G K X,C Cho chuùng ta coù: ∈ , giaû söû vôùi moãi (
( ) tG a
( ( ) ) 1 t F a + −
(
)
AK X,C .
≠ a thì F G trong ≅
Chöùng minh:
( H x,t
)
( tG x
)
) (
)
)
(
] ( 1 t F x ; x,t X 0,1 + −
[
. H lieân tuïc do F, G lieân tuïc. Ñaët = ∈ ×
C
→ laø moät aùnh xaï compact.
] H : X 0,1 ×
[
Tröôùc heát ta chöùng minh
)
n
[ ] X 0,1
. Ñeå khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå giaû ∈ × Laáy moät daõy baát kyø ( x ,t n
nt
[ t → ∈
] 0,1 khi n
söû → ∞ . Do F vaø G compact neân coù moät daõy con S caùc soá töï
( F x
)
) ( F x ,G x
(
)
( G x
)
n
n
nhieân vaø F(x), G(x) thuoäc C sao cho: → → khi n → ∞
=
→
( H x ,t
)
)
)
( H x,t
)
n
n
( t G x n
n
( ( ) 1 t F x + − n
n
khi n → ∞ trong S. Vaäy H(x,t) laø moät pheùp ñoàng luaân lieân tuïc, compact.
Do
≠
∈ ×
neân Ht laø “fixed point free”.
( ) tG a
( ( ) ) 1 t F a + −
)
] ( a vôùi moãi a,t X 0,1
[
H
Cuoái cuøng do
=
F,H G neân F G trong K X,C ≅
=
(
)
0
1
A
trong S, hôn nöõa do C loài neân ta coù
laø moät caëp trong C.
U, U∂
Cho U laø moät taäp con môû cuûa moät taäp loài C E⊆ , (
)
laø coát yeáu trong
Khi ñoù vôùi baát kyø
0
0u U∈ thì aùnh xaï haèng
∂
) ( F U u=
( UK U,C
)
Ñònh lí 1.7
12
. Chuùng ta
G
F
u
=
=
Goïi G : U C→ laø moät aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc vôùi
0
U ∂
U ∂
chöùng minh G coù ñieåm baát ñoäng treân U. Ñònh nghóa:
Chöùng minh:
(
( J x
)
G x neáu x U ∈
) neáu x C\U ∈
0
u =
C→ laø moät aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc. Töø ñònh lí
Deã daøng chöùng minh ñöôïc J : C
( J x
)
u U vôùi x C\U 1.5 suy ra J coù ñieåm baát ñoäng u C∈ . Keát hôïp vôùi ∈ = ∈ 0
( ) ( J u G u vaø do G
)
0
U ∂
u u do u U chuùng ta coù u U∈ , vì vaäy = = = ∈ suy ra G coù
ñieåm baát ñoäng u. Vaäy F laø coát yeáu.
Ñònh lí 1.8
Giaû söû (X,A) laø moät caëp trong C E⊆ . C laø moät taäp loài trong khoâng gian tuyeán
tính ñònh chuaån E. Ta coù caùc tính chaát cuûa F sau ñaây laø töông ñöông:
1) F laø khoâng coát yeáu
)
( G K X,C A
F G≅
(
) trong K X,C A
2) Coù moät aùnh xaï “fixed point free” sao cho ∈
• ⇒ 2) 1)
Chöùng minh:
)
( G K X,C A
A
A
sao cho F laø “fixed point free” . Goïi ∈ G=
a, ≠ ∀
( ) tG a
( ( ) ) 1 t F a + −
(
)
] a,t A 0,1 ∈ ×
[
Ta coù . Thaät vaäy, giaû söû
( ) a A : tG a
( ( ) ) 1 t F a + −
( ) G a
A
a F G a ∃ ∈ = , do = (maâu thuaãn). = ⇒ A
(
)
A
• ⇒ 1) 2)
F G trong K X,C Do ñònh lí 1.6 ta suy ra ≅
13
C
→ laø moät ñoàng luaân hoaøn toaøn lieân tuïc lieân keát giöõa G vaø F
] H : X 0,1 ×
[
Goïi
{ } t×
[ ] 0,1∈
X
H laø moät “fixed point free” vôùi moãi t . sao cho
( x : x H x,t ,t
)
[
{
} ] 0,1
B Ñaët . = = ∈
[ ] 0,1∈
t Neáu B = ∅ thì vôùi moãi , Ht khoâng coù ñieåm baát ñoäng vì theá rieâng F khoâng
coù ñieåm baát ñoäng suy ra F khoâng coát yeáu.
I . Neáu B ≠ ∅ ta coù A B = ∅
( H x ,t
)
nx
n
n
n
n
B laø taäp ñoùng. Thaät vaäy, laáy x vaø x x X B∈ , töùc laø = → ∈ . Khi ñoù
] [ 0,1∈
toàn taïi t t khi n → → ∞ trong vaø moät daõy con caùc soá töï nhieân S sao cho nt
S. Do söï lieân tuïc cuûa H ta coù x=H(x,t) suy ra x B∈ . Vaäy taäp B ñoùng.
: X λ →
[
] 0,1
0.
laø haøm Urysohn lieân tuïc Ta ñaõ coù A, B laø hai taäp ñoùng rôøi nhau.Goïi
=
( λ
( A 1, B λ=
)
)
vôùi
(
( λ
) tJ x H x, =
] ) ) x t ; x,t X 0,1
[
(
) (
Ñònh nghóa haøm ∈ × , ta coù Jt laø moät aùnh xaï hoaøn
t
t
A
A
J ø . Thaät vaäy ta H= toaøn lieân tuïc. Ta chöùng minh Jt laø “fixed point free” vaø
x= nghóa laø
( λ
) x t
)
( tJ x
( H x,
)
x chuù yù = , suy ra x thuoäc B, vì vaäy
) ( x λ =
(
)
0H G=
0 vaø H x,0 x , suy ra maâu thuaãn vì laø“fixed point free”. Do =
ñoù Jt laø “fixed point free”.
( λ
)
) ( 1 vaø J x H x,
( λ
( ( ) x t H x,t H x
)
)
t
t
(
)
Ta coù neáu x A thì x ∈ = = = =
J
H=
t
t
A
A
Vì vaäy .
Ñaët t = 1 suy ra Jt laø aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc vaø laø“fixed point free”, suy ra
treân A. Vaäy F khoâng coát yeáu. F H= 1
14
Ñònh lí 1.9
Giaû söû (X,A) laø moät caëp trong C E⊆ . C laø taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính
(
) AK X,C sao cho:
ñònh chuaån E. Giaû söû F vaø G laø hai aùnh xaï trong
(
)
A
F G trong K X,C thì F coát yeáu neáu G coát yeáu. ≅
Chöùng minh:
Giaû söû F laø khoâng coát yeáu, theo ñònh lí 1.8 thì toàn taïi moät aùnh xaï “fixed point
)
(
)
( T K X,C A
AK X,C . Do ñoù G T≅ trong
(
)
AK X,C . Cuõng theo ñònh lí 1.8 ta suy ra G laø khoâng coát yeáu (maâu thuaãn giaû
free” ∈ sao cho F T≅ trong
thieát).
Ñònh lí 1.10 (Leray – Schauder)
Giaû söû C laø taäp loài trong khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån E. U laø moät taäp con môû
*p U∈ thì taát caû caùc aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc F : U C→ ñeàu coù ít nhaát
moät trong hai tính chaát sau:
1) F coù ñieåm baát ñoäng.
sao cho
2) x U ∃ ∈ ∂
cuûa C,
* p , λ λ
( x= F x λ
)
( 1 + −
)
(
) 0,1
∈
F
Chuùng ta coù theå giaû söû
laø “fixed point free” trong tröôøng hôïp 1) khoâng xaûy
U ∂
ra
*
u
Ñaët G : U C→ laø aùnh xaï haèng
p→ .
Xeùt pheùp ñoàng luaân hoaøn toaøn lieân tuïc
tH : U C→ lieân keát giöõa G vaø F laø
.
=
( H x,t
)
( tF x
)
( ) * 1 t p + −
Xeùt hai tröôøng hôïp:
i) H(x,t) laø “fixed point free” treân U∂
ii)
H(x,t) khoâng laø “fixed point free” treân U∂
Chöùng minh:
Neáu tröôøng hôïp i) xaûy ra thì töø ñònh lí 1.7 vaø 1.9 suy ra F phaûi coù ñieåm coá ñònh.
Ngöôïc laïi neáu tröôøng hôïp ii) xaûy ra thì:
*
x U : x
p , vôùi
15
( F x
)
( 1 + −
) λ
[
] 0,1
*
F
laø “fixed point free”ø.
Ta coù
0 vì p
U vaø
λ
λ
≠
∉ ∂
1 ≠ vì
U ∂
∃ ∈ ∂ = ∈ λ λ
Cho X laø khoâng gian meâtric compact, ta kí hieäu
(
)
KC X laø taäp hôïp caùc haøm lieân
y
vôùi chuaån
.
K R,C=
=
∈
tuïc f : X K→ (
)
} ) ( sup f x ,x X
{
Ñònh lyù 1.11 (Ascoli – Arzela)
laø lieân tuïc ñoàng baäc.
Meänh ñeà
Giaû söû { }
( C X thoûa lim f x
)
(
)
( f x , x X
)
f n
K
n
n
→∞
Khi ñoù
f
∈
−
0 = .
(
) f C X vaø lim f n
K
n
→∞
⊂ = ∀ ∈ vaø { }nf
Cho
laø lieân tuïc ñoàng baäc neân ta choïn
∀ ∈ ,
0δ > thoûa n N
0ε > . Do { }nf
ta ñöôïc
x,x ' X maø d x,x'
Chöùng minh:
n → ∞
)
( thì f x
)
)
(
n
( f x ' n
.
∀ ∈ < − < . Cho δ ε 3
(
)
( f x
)
( f x '
)
f C X K
Töø phuû
laáy phuû höõu haïn
.
( B x,
) δ ∈
) δ =
( kB x ,
{
} : x X
{
} , k 1,2,...,m
neân:
Do
− < . Suy ra ∈ ε 3
)
( f x , k 1,2,...,m ∀ =
)
k
k
( lim f x n n →∞
n
=
Toàn taïi n1 sao cho vôùi
)
)
( n thì f x 1
n
1
( f x 1
n
> − ε < 3
Toàn taïi n2 sao cho vôùi
( n thì f x
)
( f x
)
2
n
2
2
…………………………
n
> − ε < 3
Toàn taïi nm sao cho vôùi
( n thì f x
)
( f x
)
m
n
m
m
> − ε < 3
Ñaët
ta coù:
16
{ n max n ,n ,...,n
}
o
1
2
m
, k 1,2,...,m
=
( n n suy ra f x
)
( f x
)
o
n
k
k
n n , x X suy ra toàn taïi k=1,2,...,m sao cho
Ta
coù
∀ ≥ − < ∀ = ε 3
( d x,x
o
)k
∀ ≥ ∀ ∈ δ<
(
k
m U ) do X= B x ,δ n=1
thì :
)
( f x
)
)
)
)
( f x
)
( f x
)
( f x
)
( f x n
( f x n
( f x n
k
( f x n
k
k
k
− ≤ − + − + − < + + = . ε ε ε ε 3 3 3
Ñònh lyù Ascoli – Arzela:
(
)
K
Taäp laø compact töông ñoái khi vaø chæ khi A bò chaën ñeàu vaø A ñaúng A C X ⊂
lieân tuïc.
Chöùng minh:
0ε > . Do A laø compact töông ñoái neân ta tìm ñöôïc
n
Ñieàu kieän caàn: Cho
(
(
)
K
2
U
{ do B f,
} ) ε
(
)
f A ∈
k 1 =
sao cho ,A compact . A ∈ ⊂ f ,f ,...,f C X 1 n ε 3 B f , k
ta coù f M, Ñaët = + : k 1,n = ≤ ∀ ∈ f A M max f k ε 3
0δ > thoûa
k 1,n=
)
lieân tuïc treân moät taäp compact neân lieân tuïc ñeàu. Neân coù Do fk (
(
)
( thì f x
)
)
k
( f x ' k
k 1,n, x,x ' X sao cho d x,x ' ∀ = ∀ ∈ < − δ ε < . 3
(
)
x,x ' X sao cho d x,x' δ ∀ < thì toàn taïi k, ∈ Vôùi δ tìm ñöôïc ta coù: vôùi moïi f A∈ ,
k 1,n=
)
(
f : − < . Suy ra: f k ε 3
( f x
)
( f x'
)
( f x
)
)
)
)
)
) ( f x ' ε
( f x k
( f x k
( f x ' k
( f x ' k
− ≤ − + − + − < .
Vaäy A lieân tuïc ñoàng baäc.
Ñieàu kieän ñuû:
17
X⊂ truø maät trong X.
coù daõy con hoäi tuï. Do X laø taäp Xeùt tuøy yù daõy { }nf A⊂ , ta chöùng minh { }nf
compact neân coù daõy con { }nx
( f x n 1
( 1 f x n 1
{
} )
{
} )
n
hoäi Daõy sao cho cuûa { }nf bò chaën trong K neân coù daõy con { }1 nf
( 2 f x n 1
( 2 f x n
2
{
} )
{
} )
sao cho , hoäi tuï. tuï. Töông töï, ta coù { }2 nf laø daõy con cuûa { }1 nf
k f n
}k 1 f + n
n
n
x
laø daõy con cuûa Tieáp tuïc quaù trình naøy ta coù caùc daõy { } ( k N∈ thoûa: { )
(
k f n
i
{ }k f n
{
} )
n
n
. , hoäi tuï, vôùi i 1, k=
( n f x n
i
{
} )
n
n
n
vaø hoäi tuï laø daõy con cuûa { }nf f n f n Laäp “daõy ñöôøng cheùo” { }n ta coù : { }n
i N∀ ∈ ( do { }n
n i ≥
). f n laø daõy con cuûa { }i f n n
( n f x n
{
} )
n
hoäi tuï x X Ta chöùng minh ∀ ∈ :
0ε > . Ta choïn
0δ > (trong ñònh nghóa lieân tuïc ñoàng baäc); oi N∈ sao cho:
Cho
δ< (do { }nx
( d x,x
)oi
truø maät trong X).
Ta coù:
)
(
)
)
(
)
( n f x n
m f m
( n f x n
i
m f n
i
m f m
i
m f m
i
m f m
o
o
o
o
( n f x n
)
(
)
(
)
(
)
x x x x x − ≤ − + − + − < 3ε
n
khi m, n ñuû lôùn.
(
nf x laø daõy Cauchy trong K neân hoäi tuï.
{
} )
Vaäy
)
( KC X .
n
hoäi tuï trong f n AÙp duïng meänh ñeà ta coù { }n
Ñònh lí 1.12 (Baát ñaúng thöùc Holder)
n
n
n
1 q
p
q
Vôùi p>1, q>1 thoûa 1 + = thì ta coù baát ñaúng thöùc Holder nhö sau: 1 p 1 q
i
i
i
∑
∑
∑
1 p
i 1 =
i 1 =
i 1 =
x y x y i ≤
Trong ñoù xi, yi coù theå laø soá thöïc hoaëc soá phöùc.
18
Chöùng minh:
t,t
0
≥ . Ta coù
p 1 −= t
( ) t ϕ =
( ) ' t
( ) ' t
pt p
1 + − q
Xeùt haøm soá 1 vaø 0 − = ⇔ = t 1 ϕ ϕ
( ) 1
( ) t
p
q
−
1 p 1 −
0 suy ra 0; = t 0 ≥ ∀ ≥ ϕ ϕ Haøm ϕ ñaït cöïc tieåu taïi t =1;
pt p
n
n
1 p
1 q
p
q
Hay t t 0. Thay t uv ≤ , + ∀ ≥ = vôùi u 0;v 0 ta coù uv ≥ ≥ ≤ + 1 p u p v q
i
i
∑
∑
q
p
p
q
i 1 =
i 1 =
q
p
x x ; y y x 0; y Ñaët . Giaû söû = = > 0 > .
i
i
q
p
i p x
i q y
p
q
i
i
p
q
q
p
n
n
n
p
q
x y Vôùi ta coù u ;v ≤ + ;i 1,n = = = ;i 1,n = x x y y x y i i y x
i
i
i
∑
∑
∑
p
q
i 1 = x
i 1 = p x
i 1 = q y
p
q
p
q
n
n
n
1 q
p
q
x y x y i 1 Laáy toång hai veá ta coù + ≤ = y
i
i
i
∑
∑
∑
q
p
1 p
i 1 =
i 1 =
i 1 =
1.2.2. ÖÙng duïng:
Suy ra x y x y ≤ = x y i
Trong muïc naøy chuùng ta seõ aùp duïng lyù thuyeát veà ñieåm baát ñoäng ñeå chöùng minh söï
toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân daïng:
( f t,y, py ' ,t
)
[
] 0,1
(py ')' ry + = ∈ 1 p
Thoûa maõn moät trong caùc ñieàu kieän bieân sau ñaây:
2
i) (Sturm Liouville)
2 α β α β ≥
( ) y 0
+
( ) ( ) lim p t y ' t β t →
2
2
0, 0, 0 + = ≥ + > α c , 0
0 ( ) ( ) b lim p t y ' t
( ) ay 1
(SL) b 0 = + ≥ ≥ + > c ,a 0, b 0,a 1
− t 1 → >
{ max a,
} α
0 −
ii) (Neumann)
c
=
0
+
0
(N)
=
c 1
( ) ( ) lim p t y' t t → ( ) ( ) lim p t y' t − t 1 →
iii) (Periodic)( Tuaàn hoaøn)
(P)
19
+
0
( ) ( ) y 1 y 0 = ( ) ( ) lim p t y' t t →
( ) ( ) lim p t y' t − t 1 →
=
py'
'
ry
1.2.2.1. Xeùt söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình:
)
)
] ( f t,y, py' hkn treân 0,1
[
(1.1)
(
) SL hoaëc N
)
(
+ =
1
1 ( p ∈ y
[ Vôùi pf : 0,1 R
1
R laø haøm L - Caratheodory
∈
] 2 × → ] [ ) ( I p C 0,1 C 0,1 ) ( 0 treân 0,1
1
p (1.2) >
∫
0
< ∞
ds ( ) p s ] [ 1 r L 0,1 ∈ p
Ñònh lí 1.13
py '
'
ry
+
=
)
] 0 hkn treân 0,1
[
(
)
(
)
1 ( p ∈ y
SL hoaëc N 0
0
Giaû söû caùc ñieàu kieän (1.2) thoûa vaø
coù duy nhaát nghieäm taàm thöôøng.
Giaû söû theâm toàn taïi moät haèng soá M0, ñoäc laäp vôùi λ sao cho:
0
1
] 0,1
[
( ) ( ) ,sup p t y ' t [
] 0,1
M = ≤ ( ) y max sup y t
vôùi y laø nghieäm baát kyø cuûa phöông trình:
20
)
)
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
(
) SL hoaëc N
)
(
py ' ' ry λ + = (1.3)
1 ( p ∈ y
(
)0,1
. Khi ñoù (1.1) coù ít nhaát moät nghieäm. vôùi moãi λ∈
Chöùng minh:
)
] 0 hkn treân 0,1
[
py ' ' rpy , + = Laáy y1, y2 laø hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (
2
' 2
] ' C 0,1 vaø py , py AC 0,1 1
[
]
[
vôùi . ∈ ∈ y ,y 1
a 0;
α
β
= =
b 1. = =
Chuù yù: Ñieàu kieän bieân (N) coù theå ñöôïc coi laø ñieàu kieän (SL) neáu cho
0
+
≠
α −
( ) y 0 2
' 2
( ) ( ) lim p t y t β +→ t 0
. Thaät vaäy, neáu ñieàu naøy khoâng Ta choïn y2 sao cho
0
+
= −
+
=
α −
α
( ) y 0 1
' 1
( ) y 0 2
' 2
+
+
0
0
( ) ( ) lim p t y t β t →
( ) ( ) lim p t y t β t →
. thoûa thì
( u x
)
( )
( )
)
( )
( )
)
( ) ay 1 2
( ' b lim p t y t y x 2
1
( ) ay 1 1
( ' b lim p t y t y x 1
2
− t 1 →
− t 1 →
Ñaët = + − +
)
] 0 haàu khaép nôi treân 0,1
[
0
+
=
+
=
α −
( ) u 0
( ) 0 vaø au 1
( ) ( ) b lim p t u' t
+
0
( ) ( ) lim p t u' t β t →
− t 1 →
pu' ' rpu vôùi + = Ta thaáy u thoûa phöông trình (
0≡ , ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi tính ñoäc laäp cuûa y1 vaø y2.
Suy ra u
] y C 0,1 vôùi py' C 0,1
[
]
[
Giaûi baøi toaùn (1.3) töông ñöông vôùi vieäc tìm moät haøm ∈ ∈
t
2
2
thoûa maõn:
( ) y t
( ) A y t B y t +
( )
2
1
λ
λ
( ( ) f s,y s ,py ' ds
)
0
( ) ( ) ( ) ( ) y t y s y s y t − 1 1 ( ) W s
(1.4) = + ∫ λ
( )W s laø ñònh thöùc Wronski cuûa y1, y2 taïi s vaø
Vôùi
3
5
λ
λ
4
3
Q + vaø A = = B λ c A Q − 0 Q 1 c Q c Q λ − 0 2 1 1 Q Q Q Q − 2 1
= −
+
=
+
α
( )
( ) ( ) b lim p t y t
Q 1
( ) y 0 2
' 2
2
2
' 2
+
t 1 → −
0
( ) ( ) lim p t y t ;Q ay 1 β t →
Vôùi
Q
= −
+
=
+
α
( )
( ) ( ) b lim p t y t
3
( ) y 0 1
' 1
1
4
' 1
+
t 1 → −
0
( ) ( ) lim p t y t ;Q ay 1 β t →
1
2
2
21
( )
( )
5
( ( ) f s,y s , p s y ' s ds
)
∫ 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) y 1 y s y s y 1 − 1 1 ( ) W s
( )
( )
( )
( )
' 2
' 1
2
t
Q aQ =
t 1 → −
t 1 → −
( ( ) f s,y s , py ' ds
)
∫ 2 0
−
bQ +
( ) ( ) y s lim p t y t y s lim p t y t − 1 ( ) W s ( ( ) ( u x Q y x Q y x =
)
)
3 2
1 1
3
2
4
1
rpu 0 hkn
' +
=
−α
+ β
= , 0
ÔÛ ñaây , khi ñoù ta thaáy Q Q Q Q 0 ≠ . Thaät vaäy, ñaët −
)pu'
( ) u 0
]0,1 vaø
( ) ( ) lim p t u' t +→ t 0
0
+
u(x) thoaû phöông trình ( treân [
= . Suy
0≡ , nghóa
( ) au 1
( ) ( ) b lim p t u' t
4
1
3
2
−→ t 1
=
Neáu thì ra u Q Q Q Q 0 = −
)
)
( y x 1
( y x 2
Q 3 Q 1
laø , ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi tính ñoäc laäp cuûa y1 vaø y2
t
2
2
Chuùng ta coù theå vieát (1.4) laïi nhö sau:
( ) y t
( ) Cy t Dy t +
( )
1
2
( ( ) f s,y s , py ' ds
)
∫
0
( ) ( ) ( ) ( ) y t y s y s y t − 1 1 ( ) W s
= + λ
( 1 + −
) λ
( ) Ey t 1
( ) Fy t 2
c
EQ
+
−
0
3
1
0
3
F
; E
;C
; D
=
=
=
=
+
− Q 1
c Q c Q − 0 2 1 Q Q Q Q − 2 1
3
4
Q c Q c Q 1 5 1 2 Q Q Q Q − 2 1
3
4
c CQ − 0 Q 1
N : K
Vôùi
1 B
1 K→ : B
t
2
2
=
Ta ñònh nghóa toaùn töû
( ) Ny t
( ) Cy t Dy t +
( )
1
2
( ( ) f s,y s , py ' ds
)
+ ∫
0
( ) ( ) ( ) ( ) y t y s y s y t − 1 1 ( ) W s
1
u C 0,1 , pu' C 0,1 : u
∈
∈
(1.5)
(
)
(
[
[
]
]
BK
{ = ∈
} ) SL hoaëc N
Vôùi
y
Ny
= λ
Khi ñoù (3) töông ñöông vôùi baøi toaùn ñieåm baát ñoäng:
( 1 + − λ
) * p
*
p
=
+
(1.6)
( ) Ey t 1
( ) Fy t 2
1
N : K
Vôùi
K→ lieân tuïc. Thaät vaäy, laáy
u→ trong
u→ vaø
1 B
1 B
nu
BK nghóa laø
nu
'
pu'→ ñeàu treân [
]0,1 . Do ñoù toàn taïi r>0 sao cho:
npu
Ta coù
r ,
t
≤
≤
≤
≤ ∀ ∈
( ) ( ) r, p t u t
( ) r, u t
( ) ( ) r, p t u' t
[
] 0,1
( ) u t n
' n
22
→
( ) ( ) ( ) p t f t, u t , p t u t
( )
( ) ( ) ( ) p t f t, u t , p t u' t
( )
Do söï hoâïi tuï ñeàu treân neân ta coù:
]0,1
' n
n
(
)
(
)
töøng ñieåm hkn treân [
hkn t
≤
∈
vaø toàn taïi moät haøm khaû tích hr sao cho:
( ) ( ) ( ) p t f t, u t , p t u t
( )
[
] 0,1
' n
n
( ) h t r
)
(
t
2
2
=
(1.7)
( ) Cy t Dy t +
( )
( )
( )
( ) Nu t n
1
2
' n
n
( f s, u s , pu s ds
)
+ ∫
0
( ) ( ) ( ) ( ) y t y s y s y t − 1 1 ( ) W s
=
) ( ) ( )( vaø p t Nu ' t
( )
n
' 1
' 2
t
( )
' 2
2
( )
( )
' n
n
( f s, u s , pu s ds
)
+ ∫
0
( ) ( ) ( ) Cp t y t Dp t y t + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' p t y t y s y s p t y t − 1 1 ( ) W s
Nu
→
→
Ta coù
) ( Nu vaø p Nu '
) ( p Nu '
n
n
t
Theo ñònh lyù hoäi tuï chaën Lebesgue thì töøng ñieåm
] [ 0,1∈
1
Nu→ trong
vôùi moãi . Do (1.6) vaø nhöõng lyù luaän treân thì söï hoäi tuï naøy laø hoäi tuï ñeàu.
nNu
BK , do vaäy N lieân tuïc.
Suy ra
1
Chuùng ta seõ söû duïng ñònh lyù Arzela-Ascoli ñeå chöùng minh N hoaøn toaøn lieân tuïc.
BK , nghóa laø toàn taïi haèng soá M >0 sao cho
y M vôùi moãi y
≤
∈ Ω . Do ñoù cuõng toàn taïi caùc haèng soá C* vaø D* (coù theå phuï thuoäc
1
*
*
C C , D D , y
≤
≤
• Laáy Ω laø moät taäp bò chaën trong
∀ ∈ Ω . Töø (5) suy ra NΩ bò chaën.
vaøo M) sao cho
• NΩ lieân tuïc ñoàng baäc
[
] 0,1
thì: Vôùi y vaø t,z ∈ Ω ∈
*
*
23
( ) Ny t Ny z −
( )
( ) D y t
( ) C y t 1
( ) y z 1
2
( ) y z 2
z
≤ − + −
( ) y t 2
( ( ) f s,y s ,py ' ds
)
∫
t
( ) y s 1 ( ) W s
z
+
( ) y t 2
( ) y z 2
( ( ) f s,y s ,py ' ds
)
∫
0
( ) y s 1 ( ) W s
z
+ −
( ) y t 1
( ( ) f s,y s ,py ' ds
)
∫
t
( ) y s 2 ( ) W s
z
+
( ) y t 1
( ) y z 1
( ( ) f s,y s ,py' ds
)
∫
0
( ) y s 2 ( ) W s
+ −
*
−
−
≤
) ( ) ( )( p t Ny ' t
) ( ) ( )( p z Ny ' z
' 1
' 1
*
−
+
( ) ( ) C p t y t ( ) ( ) D p t y t
( ) ( ) p z y z ( ) ( ) p z y z
' 2
' 2
z
+
( ) ( ) p t y t
' 2
( ( ) f s,y s , py ' ds
)
∫
t
( ) y s 1 ( ) W s
z
+
−
( ) ( ) p t y t
( ) ( ) p z y z
' 2
' 2
( ( ) f s,y s , py ' ds
)
∫
0
( ) y s 1 ( ) W s
z
+
( ) ( ) p t y t
' 1
( ( ) f s,y s ,py ' ds
)
∫
t
( ) y s 2 ( ) W s
z
+
−
( ) ( ) p t y t
( ) ( ) p z y z
' 1
' 1
( ( ) f s,y s , py ' ds
)
∫
0
( ) y s 2 ( ) W s
vaø
N : K
K→ laø hoaøn toaøn lieân tuïc.
Töø hai baát ñaúng thöùc treân suy ra tính ñaúng lieân tuïc cuûa NΩ .
1 B
1 B
1
Vaäy
1 B
1 B
[
]
[
{ = ∈
} ] u C 0,1 sao cho pu' C 0,1
{ = ∈
}
1
Ñaët U u K : u M 1 ,C K ,E K . = + < = ∈
Thì theo ñònh lí 1.10 suy ra N coù moät ñieåm baát ñoäng nghóa laø (1.1) coù moät
∈
∈
∈
1λ= .
] y C 0,1 sao cho py' C 0,1
[
]
[
] py' AC 0,1
[
. Hôn nöõa do (4) vôùi nghieäm
24
1.2.2.2. Xeùt söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình:
)
)
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
(
) P
py ' ' ry + = (1.8)
1 ( p ∈ y
Ñònh lí 1.14
Giaû söû ñieàu kieän (1.2) thoûa vaø
)
] 0 hkn treân 0,1
[
(
) P
py ' ' ry + =
1 ( p ∈ y
coù duy nhaát nghieäm taàm thöôøng.
Giaû söû theâm toàn taïi moät haèng soá M0, ñoäc laäp vôùi λ sao cho:
0
1
] 0,1
[
( ) ( ) ,sup p t y ' t [
] 0,1
M = ≤ ( ) y max sup y t
py '
'
ry
+
=
λ
)
)
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
vôùi y laø nghieäm baát kyø cuûa phöông trình:
(
) P
1 ( p ∈ y
(1.9)
(
)0,1
vôùi moãi . Khi ñoù (1.8) coù ít nhaát moät nghieäm. λ∈
Chöùng minh:
)
] 0 hkn treân 0,1
[
, vôùi py ' ' rpy + = Laáy y1, y2 laø hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (
2
' 2
] ' C 0,1 vaø py ,py AC 0,1 1
[
]
[
. ∈ ∈ y ,y 1
( ) y 0 2
( ) y 1 2
0 − ≠ . Thaät vaäy, neáu ñieàu naøy khoâng thoûa thì Ta choïn y2 sao cho
( ) y 0 2
( ) y 1 2
( ) y 0 1
( ) y 1 1
− = − = . 0
Ñaët
( )
( )
)
( )
( )
)
( u x
)
' 2
1
' 1
2
+
+
0
0
( ) ( ) lim p t y t t →
( ' lim p t y t y x 2 − t 1 →
( ) ( ) lim p t y t t →
( ' lim p t y t y x 1 − t 1 →
− − − =
25
pu'
'
+
=
)
] rpu 0 haàu khaép nôi treân 0,1
[
=
( ) ( ) u 0 =u 1 vaø lim p t u' t
( )
( )
+
t
0
→
( ) ( ) lim p t u' t − t 1 →
vôùi Ta thaáy u thoûa phöông trình (
0≡ , ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi tính ñoäc laäp cuûa y1 vaø y2.
Suy ra u
] y C 0,1 vôùi py' C 0,1
[
]
[
Giaûi baøi toaùn (1.9) töông ñöông vôùi vieäc tìm moät haøm ∈ ∈
thoûa maõn (1.4) vôùi:
2
λ
2
λ
( ) y 0 1 ( ) y 1 2
( ) y 0 2
2
0
1
I λ + I ;A = = B λ − − − I +
( )
' 1
0
' 1
' 2
' 2
+
+
0
0
( ) A y 1 − 1 ( ) y 0 2 ( ) ( ) lim p t y t t →
( ) lim p t y t ;I 1 − t 1 →
[ λ ( ) y 1 I − ( ) ( ) lim p t y t t →
] 3 ( ) ( ) y 0 I y 1 1 1 ( ) ( ) lim p t y t − t 1 →
1
2
2
I = − − =
( )
( )
2
( ( ) f s,y s , p s y ' s ds
)
∫
0
( ) ( ) ( ) ( ) y 1 y s y s y 1 − 1 1 ( ) W s
I =
( )
( )
( ) y s lim p t y t
( )
( )
( ) y s lim p t y t 1
' 2
' 1
2
1
− t 1 →
− t 1 →
( f s,y, py ' ds
)
3
( ) y 0 2
( ) y 1 2
∫
0
( ) W s
− I = −
( ) y 0 2
2
0
( ) y 1 1
( ) y 1 I
( ) ≠ y 0 I 1 1
. 0 Chuù yù: − − −
( u x
)
)
)
( y x 1
( y x 2
( ) y 1 − 1 ( ) y 0 − 2
( ) y 0 1 ( ) y 1 2
Neáu khoâng thì = +
pu'
'
+
=
)
( ) u 0 =u 1 vaø
( )
] rpu 0 haàu khaép nôi treân 0,1
[
vôùi thoûa phöông trình (
0≡ , ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi tính ñoäc
=
( ) ( ) lim p t u' t
+
t
0
→
( ) ( ) lim p t u' t − t 1 →
. Suy ra u
laäp tuyeán tính cuûa y1 vaø y2.
Lí luaän töông töï nhö ñònh lí 1.13 ta coù ñieàu caàn chöùng minh.
1.2.2.3. Xeùt söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình:
)
( ) t py'
)
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
(
( ) ) P hay N hay P
(
)
py ' ' ry κ + + = (1.10)
1 ( p ∈ y
26
Ñònh lí 1.15
1
Giaû söû ñieàu kieän (1.2) thoûa vaø κ thoûa
[ ] pL 0,1
(1.11) κ∈
py '
'
ry
κ
+
+
=
)
] py ' 0 hkn treân 0,1
[
(
( ( SL hay N hay P
)
)
)
1 ( p ∈ y
0
0
Theâm vaøo ñoù
coù duy nhaát nghieäm taàm thöôøng.
Giaû söû theâm toàn taïi moät haèng soá M0, ñoäc laäp vôùi λ sao cho:
0
1
] 0,1
[
( ) ( ) ,sup p t y ' t [
] 0,1
M = ≤ ( ) y max sup y t
vôùi y laø nghieäm baát kyø cuûa phöông trình:
)
)
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
(
( ( SL hay N hay P
)
)
)
py ' ' ry py ' κ λ + + = (1.12)
1 ( p ∈ y
(
)0,1
vôùi moãi . Khi ñoù (1.10) coù ít nhaát moät nghieäm. λ∈
Chöùng minh:
Ta coù:
(
)
( f t,y, py '
)
py ' ' ry py ' + + = κ λ 1 p
(
)
( f t,y, py '
)
ry py ' κ λ ⇔ py" p'y ' + + + = 1 p
( f t,y, py '
)
ry κ λ y" ⇔ + + + = p p' p y '
Ta ñaët . Nhö vaäy ñònh lí naøy ñöa veà daïng töông töï nhö ñònh lí 1.13 vaø = p κ+ p 1 p' p
ñònh lí 1.14. Lí luaän töông töï ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
Chöông 2: TÍNH COÄNG HÖÔÛNG VAØ KHOÂNG COÄNG HÖÔÛNG CUÛA BAØI TOAÙN COÙ GIAÙ TRÒ BIEÂN KÌ DÒ
2.1. Khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn bieân:
27
)
( ) r t y
)
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
py ' ' + = (2.1)
Ñònh lyù 2.1:
1
1
1 ( p ∈ y
(
)
(
(
)
)
∫
0
I (2.2) Giaû söû p C 0,1 C 0,1 vôùi p>0 treân 0,1 vaø ∈ < ∞ ds ( ) p s
] [ 1 r L 0,1 ∈ p
2
pf : 0,1 R
R
× → laø haøm L1-Caratheodory vaø
[
]
py '
'
ry
+
=
)
] 0 hkn treân 0,1
[
Vaø (2.3)
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
0
0
(2.4)
)
( nv g t, u,v
)
f t, u,v vaø giaû söû = + chæ coù nghieäm taàm thöôøng. Ñaët (
] [ 1 u L 0,1 p
1
θ
γ
(2.5) ∈
( g t,u,v
( ) t v : haèng soá, 0
( ) t u ] 0,1 ,
+ ≤ φ 3 φ 1 φ 2 (2.6) 1 ≤ < , γθ , θγ + [
] 1 L 0,1 ,i 1,2,3 p
∈ = pg laø haøm L -Caratheodory ( ) ) t haàu khaép nôi t ∈ [ φ i
1
28
)
( )
( )
t
]
<
) ' pry +
)
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
]
0 hkn treân 0,1 ,y = ∈ vaø (2.7)
( G t,s
)
,0 s t < ≤
( ) ( ) y s y t 1 2 ( ) W s ( ) ( ) y t y s 1 2 ( ) W s
s 1 ,t ≤ < = ∫ ( sup p t G t,s n s ds 1 [ t 0,1 0 ∈ ( G t,s laø haøm Green lieân quan ñeán phöông trình [ ( ) py '
1
Thì (2.1) coù ít nhaát moät nghieäm.
( )
)
0
t
]
∫ ( ) ( sup p t G t,s ds E p s [ t 0,1 0 ∈
Chuù yù:Neáu p’W+W’p=0 thì ≤ , vôùi E0 laø moät
haèng soá naøo ñoù, W laø ñònh thöùc Wronski.
Chöùng minh:
py '
'
ry
λ
+
=
)
)
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
Laáy y laø moät nghieäm cuûa:
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
1
(2.8)
( ) 1. Thì y t
( )
( )
(
( )
)
( ) y t 3
[
] 0,1
)
(
∫
0
0 G t,s f s,y s ,p s y ' s ds,t (2.9) vôùi λ< < = + ∈
(
)
] 0 hkn treân 0,1 ,
[
laø nghieäm duy nhaát cuûa py ' ' pry + = ÔÛ ñaây y3
(
( SL hoaëc N hoaëc P ,G t,s ñöôïc mieâu taû trong 2.7
)
(
)
(
)
)
(
)
1
y ∈
( ) ( ) p t y ' t
( ) ( ) p t y ' t
( ) p t G t,s f s,y s ,p s y ' s ds
( )
( )
( )
(
)
3
t
)
(
0
Ta coù: (2.10) = + ∫
Töø (2.6) vaø (2.9) suy ra:
1
29
( py ' sup G t,s n s ds
( )
)
(
( ) s ds
3
) φ 1
0
0
∫
( ) sup y t [ ] 0,1
( ) sup y t [ ] 0,1
] [ t 0,1 ∈
0
1 ∫ sup G t,s [ ] t 0,1 ∈ 0
1
γ
θ
y ≡ ≤ + +
(
( ) s ds
(
( ) s ds
) φ 2
) φ 3
0
0
∫ py' sup G t,s ] [ t 0,1 ∈
0
1 ∫ y sup G t,s ] [ t 0,1 ∈ 0
+ +
γ
θ
y
A A py '
Do ñoù toàn taïi caùc haèng soá A0, A1, A2, A3 sao cho:
≤
+
+
+
1
0
A y 2
A py ' 3
0
0
0
0
γ ≤
(2.11)
0 ∀ > + Cuõng toàn taïi haèng soá A4: A x 2 x A , x 4 1 2
Thay ñieàu naøy vaøo (2.11) ta ñöôïc:
0
1
3
0
0
0
y 2A py ' θ (2.12) ≤ + + + 2(A A ) 2A py ' 4
1
θ
Töø (2.10) suy ra toàn taïi caùc haèng soá A5, A6, A7,:
( py ' sup p t G t,s n s ds A py '
( )
( )
)
5
7
t
0
0
0
]
∫ [ t 0,1 0 ∈
py ' A ≤ + +
(2.13)
6
0
1
0
γθ 0
+ + + + A 2(A A ) 2A py ' 4 2A py ' 3
(
)
γ
θ
θ γ
A A py '
A py '
−
≤
+
+
+
( 1 sup p t G t,s n s ds py '
( )
( )
)
t
8
9
10
A py ' 11
0
0
0
0
[ ] t 0,1 ∈
*
vaø toàn taïi caùc haèng soá A8, A9, A10, A11:
λ
≤
0M ,ñoäc laäp vôùi
* o
: py ' M 0
Suy ra toàn tai haèng soá . Ñieàu naøy cuøng vôùi (2.12)
0
** 0
** 0
* 0
** 0
{
}
0
suy ra: M : y M . Ñaët M max M ,M ∃ ≤ =
2.2. Khaûo saùt baøi toaùn giaù trò bieân Sturm Liouville:
AÙp duïng ñònh lyù 1.13 hoaëc ñònh lí 1.14 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. (cid:3)
[ ( ( SL hoaëc N hoaëc P
] u hkn treân 0,1 )
)
)
0
0
Lu λ (2.14) = ( u ∈
) 0 treân 0,1
(
(
)
)
(
1 vaø q L 0,1 ,q p
[
]
vôùi Lu pu' ', p thoûa 2.2 (2.15) = − ∈ > 1 pq
30
thì L coù voâ haïn ñeám ñöôïc caùc giaù trò rieâng thöïc vaø chuùng ta coù theå ñaùnh giaù ñöôïc
caùc giaù trò rieâng naøy.
py '
'
+
=
µ
)
( ) q t y
)
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
Ñònh lyù 2.1 tröïc tieáp suy ra söï toàn taïi nghieäm cho baøi toaùn:
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
(2.16)
Ñònh lyù 2.2:
2
vôùi µ khoâng phaûi laø moät giaù trò rieâng cuûa (2.14)
[
]
Neáu pf : 0,1 R R × → laø haøm L1-Caratheodory vaø thoûa (2.2), (2.15) .
( f t,u,v
)
( nv g t, u,v
)
( ) r t
( ) q tµ=
Laáy , vaø thoûa (2.5), (2.6), (2.7) vôùi . Thì = +
(2.16) coù ít nhaát moät nghieäm.
Chöùng minh:
( ) q tµ=
2.3. Khaûo saùt baøi toaùn bieân:
, laøm töông töï nhö trong chöùng minh ñònh lyù 2.1 ta coù ñpcm. Ñaët ( ) r t
)
( ) r t y
(
] ( ) ) t py ' g t,y, py ' hkn treân 0,1
[
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
py ' ' κ + + = (2.17)
1
1 ( p ∈ y
] [ pL 0,1
Ñònh lyù 2.3:
2
vôùi (2.18) κ∈
[
]
py '
'
ry
+
+
=
κ
)
] py ' 0 hkn treân 0,1
[
Neáu pg : 0,1 R R × → laø haøm L1-Caratheodory, thoûa (2.2), (2.3), (2.6), (2.18)
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
0
0
Vaø : chæ coù nghieäm taàm thöôøng.
Thì (2.17) coù ít nhaát moät nghieäm.
31
Chöùng minh:
Lyù luaän töông töï nhö trong ñònh lyù 2.2 suy ra ñpcm (chuùng ta duøng ñònh lyù 1.15
2.4. Khaûo saùt baøi toaùn coù giaù trò bieân kyø dò “coäng höôûng” baäc hai
py '
'
qy
+
=
)
)
λ m
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
trong tröôøng hôïp naøy).
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
0
0
(2.19)
vôùi mλ laø giaù trò rieâng thöù m cuûa:
[ ( ( SL hoaëc N hoaëc P
] u hkn treân 0,1 )
)
)
0
0
Lu λ (2.20) = ( u ∈
(
)
Lu pu' ' ,m=1,2… vaø = − 1 pq
Ta coù hai daïng toàn t(cid:1)i nghieäm. Tröôùc heát khaûo saùt baøi toaùn “beân traùi” cuûa giaù trò
rieâng, sau ñoù khaûo saùt baøi toaùn “beân phaûi” cuûa giaù trò rieâng.
Ñònh lyù toàn taïi I:
1 θ +
1
≤
u 1
, u 1
H
(
)
u 1
, α θ 0
1 +
α 0
1
>
u 1
, u 1
=
Ñònh lyù 2.4:
2
Trong suoát phaàn naøy ñaët :
[
]
Neáu pf : 0,1 R R × → laø haøm L1-Caratheodory vaø thoûa (2.2), (2.15). Giaû söû f
)
( g t,u ,u
)
( h t, u , u
)
1
2
1
2
1
2
1
f t,u ,u = + ñöôïc khai trieån: (
2 × →
[ vôùi pg,ph: 0,1 R
]
R laø haøm L -Caratheodory
vaø:
32
1 vaø moät haøm soá α 0
(
)
( ) A t H
(
)
1
1
2
, α θ 0
(2.21) φ ∈ > ≥ u 1
0
2
1
hkn t < [ ] 0 hkn treân 0,1 vôùi u g t, u , u ≥ α θ 0,1 ,u R, u R; ∈ ∈ toàn taïi haèng soá A>0,0< [ ] 1 L 0,1 , φ p ] [ ∈ φ
1 L 0,1 ,i 1,2,3 vaø caùc haèng soá p
]
[
σ
β 0
sao cho = ∃ ∈ φ i , β σ 0
( h t,u , u
( ) t
( ) t u
1
( ) t u 1
2
0
2
[
] 0,1 ,
hkn t , (2.22) ≤ + + ∈ φ 1 φ 2 φ 3 < β α 0
[ 0 hkn treân 0,1 hoaëc
]
] 0 treân 0,1
[
) α 0 2
σ < > ≡ , φ 3 φ 3 ≤ 0
] [ 1 L 0,1 ,i p
γ
( g t,u , u
)
( ) t
1
2
( ) t u 1
[
] 0,1
−
1
−
) 1 +
1 1 2 + −
γ
( α 0
( α 0
2 γ α 0
q
q
) 1 + − φ
∈
∈
[ ] 1 L 0,1 , p
[ ] 1 L 0,1 p
−
2
1
−
) 1 +
1 1 2 + −
( α 0
( α 0
0
β 0
β α 0
4,5 vaø haèng soá sao cho = ≤ γ α 0 (2.23) hkn t ≤ + ∈ φ 4 φ 5 ∃ ∈ φ i
q
q
) 1 + − φ
∈
∈
[ ] 1 L 0,1 , p
[ ] 1 L 0,1 p
( 2 φ 5 ( 2 φ 2
) )
−
) 1 +
( α 0
1 1 α − 0
q
∈
[ ] 1 L 0,1 p
)
2 φ 4 2 φ 1 ( 2 φ
(
1)
+
1
β 0
1 α β − 0 0
1 α 0
∈
∈
[ ] 1 L 0,1 , p
[ ] 1 L 0,1 p
)
1
γ
1 1 + − α γ
0
1 α 0
(2.24)
∈
∈
[ ] 1 L 0,1 , p
[ ] 1 L 0,1 p
( ) ( 1 α + − φ φ 0 2 ( ) ( 1 + α − φ φ 0 5
)
1
( α 0
1 α 0
q
∈
) 1 + − φ
[ ] 1 L 0,1 p
) ) )
( ) ( 1 α + − φ φ 0 1 ( ) ( 1 + α − φ φ 0 3 (
1
I
∈
∈
(2.25)
] [ y C 0,1 C 0,1 ; py ' AC 0,1
[
[
]
]
Thì (2.19) coù ít nhaát moät nghieäm
Chuù yù: Nhöõng ví duï tieâu bieåu maø (2.21) thoûa laø:
( g t, u , u
)
1
2
m u ,m,n leû n 1
(i) =
hoaëc
=
≥
= −
< 0
( g t, u , u
)
( 0; g t, u , u
)
1
2
1
2
1 u , u 2 1 1
1 u ,u 2 1 1
(ii)
33
Chöùng minh:
py '
'
qy
+
+
)
( f t,y, py '
)
(
)
− µ λ m
] qy hkn treân 0,1
[
= µ λ
Xeùt hoï baøi toaùn:
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
0
0
(2.26)
λ < <
λ µ λ < m
m-1
λ 0
⊥
0 1 vaø ,m 1,2,..., laø nhöõng giaù trò rieâng cuûa2.20 Vôùi < = = −∞ , λ i
{ ψ ψ ψ ψ laø nhöõng haøm rieâng
}
2 pq
1
2
i
] [ L 0,1
m 1 −
,vôùi span ,.., , , Chuù yù = Ω ⊕ Ω Ω =
iλ.
⊥
töông öùng vôùi nhöõng giaù trò rieâng
Laáy y laø nghieäm baát kyø cuûa (2.26). Thì y u w, u ,w = + ∈ Ω ∈ Ω . Nhaân (2.26) vôùi
1
2
(w-u) roài laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 ta ñöôïc:
2 pq w u dt −
(
)( w u py '
)
( w u pf t,y, py ' dt
)
[
]
∫
1 ∫ λ 0
1 ∫ µ 0
0
1
2
'dt − + = −
2 pq w u dt −
(
)
λ µ λ m
∫
0
⊥
+ −
{ }0
1
1
1
2
2
I Laáy tích phaân töøng phaàn vôùi chuù yù , ta ñöôïc: Ω Ω =
(
)( w u py '
)
) ( p w' dt
) ( p u' dt
0
∫
∫
∫
0
0
0
− 'dt Q = − +
2
vôùi
( ) 2 u 1
( ) 2 w 1
( ) 2 w 0
( )
(
)
0
0
SL − − − − ∈ u 0 neáu y a b Q
)
0
∈ α β ( ) ( 0 neáu y N hoaëc P =
( ) y 0
( ) 0 nghóa laø u 0 w 0
( )
( ) 0 vaø do ñoù u 0 w 0
( )
Chuù yù: 0 = + = = =
Töø ñoù ta coù:
1
1
2
2
34
2 pqw dt
2 pqu dt
µ
µ
( p w'
)
( p u'
)
0
∫
∫
0
0
1
1
2 pqw dt
2 pqu dt
Q + − + + − (2.27)
( w u pf t,y, py ' dt
)
(
)
(
)
λ µ λ m
λ µ λ m
[
]
∫
∫
0
1 ∫ λ 0
0
⊥
= − + − − −
vaø y=u+w
,w ∈ Ω ∈ Ω
∞
m 1 −
, ta coù: Vôùi u
i
ψ i
∑
∑
i m =
i 1 =
u vaø w vôùi c y, = = = c ψ i i c ψ i i
i
i
1
1
2
2
Q
2 pqw dt
2 pqu dt
+
−
+
+
−
µ
µ
( p w'
)
( p u'
)
0
∫
∫
0
0
m 1 −
∞
dt
dt
+
=
(
)
( ) − λ µ
− µ λ i
2 ψ i
i
2 ψ i
∑
∑
i 1 =
i m =
1 ∫ 2 c pq i 0
1 ∫ 2 c pq i 0
1
1
2 pqw dt
2 pqu dt
≤
+
(
)
µ λ − m
( ) λ µ − m 1 −
∫
∫
0
0
pq ' 0 = chuùng ta coù: p ψ λ ψ+ i Chuù yù:u=0 neáu m=0 )' Töø (
1
1
Thay ñieàu naøy vaøo (2.27) ta ñöôïc:
2 pqw dt
2 pqu dt
µ λ −
( w u pg t,y, py ' dt
)
(
(
)
) λ λ µ m
m 1 −
[
]
∫
∫
0
0
1 ∫ λ 0
1
2 pqw dt
) − (1 + − − +
(
(
( w u ph t,y, py ' dt
)
)
) λ λ µ m
∫
0
1 ∫ λ 0
+ − ≤ − −
1
1
1
Suy ra :
2 pqu dt
)
(
( ) λ µ −
(
)
m
∫ 2 pug t,y, py ' dt
∫
∫
0
0
0
pyg t,y, py ' dt + ≤
1
1
(2.28)
(
)
)
(
∫ p y h t,y, py ' dt 2 p u h t,y, py ' dt
∫
0
0
+ +
Giaû thieát (2.21) suy ra:
1
1
35
) pyg t,y, py ' dt A p H
(
(
) y dt
, α θ 0
∫
∫
0
0
1
1 +
1 θ +
1 +
α 0
α 0
φ ≥
∫ A p y
0
}
1
1 +
α 0
y y φ = − dt A + p φ dt
∫ A p y
0
∫ { ( ) t: y t 1 ≤ 1 ∫ dt A p dt 0
φ φ − ≥
1
1
1
1
1 +
α 0
2
dt
γ u y dt
+
+
≤
φ
φ
( ) − λ µ
m
φ 4
φ 5
∫ A p y
∫
∫ u dt 2 p +
0
1 ∫ ∫ pqu dt A p dt 2 p 0
0
0
0
1
1
1
1
σ
1 +
β 0
y dt
y
dt
u dt
Thay ñieàu naøy vaøo (2.28), vaø söû duïng (2.22), (2.23) ta ñöôïc:
+
+
+
+
p φ 1
p φ 2
p φ 3
φ 1
∫
∫ y py ' dt 2 p
∫
∫
0
0
0
0
1
σ
β 0
u y
u py' dt
+
φ 2
φ 3
∫ dt 2 p +
1 ∫ 2 p 0
0
(2.29)
Chuù yù: Phaàn coøn laïi cuûa chöùng minh, khoâng maát tính toång quaùt ta giaû söû raèng:
] 0 hkn treân 0,1
[
0, vaø > > σ φ 3
1
1
1 2
2
2 pqu dt
≤
+
φ 4
u dt 2Q ≤ 1
∫ e pqu dt
∫
Q 1 e
0
0
1 ∫ 2 p 0
2
≤
+
φ 1
Q 2 e
1 ∫ u dt e pqu dt 0
1 ∫ 2 p 0
1
1
1
1
γ 1 +
γ
1 +
1 +
α 0
α 0
2
u y dt 2Q
2 pqu dt
dt
dt
≤
≤
+
p y φ
p y φ
φ 5
3
3
∫ eQ pqu dt
∫
∫
∫
Q 3 e
2 γ 1 + α 0
1 2
α 0
0
0
0
0
1 ∫ 2 p 0
1
β 0 1 +
1 +
β 0
α 0
2
u y
dt
p y φ
≤
+
φ 2
∫
Q 4 e
2 α 0
1 ∫ dt eQ pqu dt 4 0
0
1 ∫ 2 p 0
1
1 +
α 0
dt
y dt Q ≤
p y φ
φ 1
5
∫
1 1 α + 0
0
1 ∫ 2 p 0
Laáy e>0. Baát ñaúng thöùc Holder cuøng vôùi (7.24) suy ra:
1
1
1 + 1 +
1 +
1 +
β 0
α 0
36
6
∫
∫
0
0
β 0 α 0
1
1
1
α 0 1 +
) 1 +
σ
1 +
α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
y dt dt Q ≤ p y φ p φ 2
( 1 + α − φ φ 0 3
)
∫
∫
∫
0
0
0
1 1 + α 0
1
1
α 0 1 +
) 1 +
σ
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
y py' dt dt p dt py ' p y φ p φ 3 ≤ α 0
2 pqu dt
7
( 1 + α − φ φ 0 3
)
∫
∫
1 ∫ 2 p 0
0
0
1 2
1
1
) 1 +
2
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
u py ' dt 2Q p dt py ' ≤ φ 3 α 0
7
( 1 + α − φ φ 0 3
)
∫ eQ pqu dt
∫
0
0
2 α 0 1 + α 0
p dt py ' ≤ + Q 7 e
1
1
1
1 +
1 +
α 0
α 0
2
Vôùi Q1,…,Q7 laø caùc haèng soá. Thay ñieàu naøy vaøo (2.29) ta ñöôïc
( λ µ
)
m
3
4
7
8
∫ A p y
∫
∫
2 γ 1 + α 0
0
0
0
1
1
1
β 0 1 +
1 + 1 +
1 +
1 +
1 +
α 0
α 0
α 0
dt pqu dt Q dt φ p y φ + − − 2e eQ eQ eQ − − − ≤ + Q3 e
5
6
∫
∫
∫
2 α 0
1 1 + α 0
β 0 α 0
0
0
0
1
1
α 0 1 +
) 1 +
1 +
α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
dt Q dt Q dt + + + p y φ p y φ p y φ Q 4 e
( 1 + α − φ φ 0 3
)
∫
∫
1 1 + α 0
0
0
1
) 1 +
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
dt dt p py ' p y φ α 0 +
( 1 + α − φ φ 0 3
)
∫
2 α 0 1 + α 0
0
p dt py ' + Q 7 e
Vôùi Q8 laø haèng soá. Chuùng ta coù theå choïn e sao cho:
3
4
m
7
λ µ− − 2e eQ eQ eQ − − − > 0
vaø ta coù :
1
1
1 +
1 +
α 0
α 0
dt
φ
p y φ
dt Q ≤
+
8
∫ A p y
∫
Q3 e
2 γ 1 + α 0
0
0
1
1
1
1 + 1 +
β 0 1 +
1 +
1 +
1 +
α 0
α 0
α 0
dt
Q
dt
Q
dt
p y φ
p y φ
p y φ
+
+
+
5
6
∫
∫
∫
Q 4 e
β 0 α 0
1 1 + α 0
2 α 0
0
0
0
37
1
1
α 0 1 +
) 1 +
1 +
α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
dt
p
dt
py '
p y φ
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
∫
α 0
+
1 1 α + 0
0
0
1
) 1 +
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
p
dt
py'
+
1 + − φ
( α φ 0 3
)
∫
Q 7 e
2 α 0 1 α + 0
0
(2.30)
1
1
0
Baây giôø chuùng ta xeùt hai tröôøng hôïp:
αφ + p y
∫
0
1
1
1
1 +
0
0
Tröôøng hôïp 1: dt 1 >
αφ p y
αφ + p y
∫
∫
1 1 α + 0
0
0
1
1
α 0 1 +
1 2 β − 0 1 α + 0
1 +
1 +
1 +
α 0
α 0
α 0
dt Chia (2.30) cho vaø söû duïng ta ñöôïc: dt 1 >
8
∫
∫
1 2 γ − 1 α + 0
1 ∫ A p y 0
0
0
1
1
β 0 1 +
α 0 1 +
) 1 +
1 +
α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
dt Q dt dt ≤ + + φ p y φ p y φ Q 3 e Q 4 e α 0
6
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
∫
0
0
1
) 1 +
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
dt p dt py ' p y φ + + Q Q + 5 α 0 α 0
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
2 α 0 0 1α +
0
p dt py ' + Q 7 e
{ max 2
}
0
1
1
α 0 1 +
α 0 1 +
) 1 +
1 +
α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
Vì 1,2 1, γ − − < neân toàn taïi caùc haèng soá Q9, Q10, Q11 sao cho: β β α 0 0
10
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
∫
0
0
1
) 1 +
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
dt p dt py ' ≤ p y φ Q Q + 9 α 0 α 0
11
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
2 α 0 1 α + 0
0
Q p dt py ' +
c
c
c
b vôùi a,b,c 0
a b +
≤
+
≥ . Suy ra toàn taïi caùc haèng
38
)
( c 2 a
)
Söû duïng baát ñaúng thöùc (
2
1
1
) 1 +
1 +
α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
soá Q12, Q13 sao cho:
13
12
( 1 + α − φ φ 0 3
)
∫
∫
0
0
1
1
0
(2.31) Q p py ' dt dt Q ≤ + p y φ
αφ + p y
∫
0
Tröôøng hôïp 2: dt 1 ≤
Tröôøng hôïp naøy (2.31) hoaøn toaøn ñuùng vôùi Q12 =1.
Trôû laïi (2.26) chuùng ta coù:
( ) y t
( G s,t
)
( )
( )
(
)
( ) ( ) q s y s ds
( ( ) f s,y s ,p s y ' s
)
1 ∫ λ 0
(2.32) = + − µ λ m
và:
( ) ( ) p t y ' t
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( ) q s y s ds
( ) p t G s,t t
( ( ) f s,y s , p s y ' s
)
1 ∫ λ 0
(2.33) = + − µ λ m
pv'
'
qv
+
=
µ
)
] 0 hkn treân 0,1
[
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ v
0
0
1
Vôùi G(s,t) laø haøm Green cuûa:
(
)
14
t
]
∫ ( ) ( ) sup G t,s p t ds Q p s [ t 0,1 0 ∈
Chuù yù: ≤ , Q14 laø haèng soá.
( ) 0,1∈
1
1
1
1
σ
β 0
: t Töø (2.33) ,(2.23) ,(2.23), v(cid:1)i
( ) ( ) p t y ' t
15
15
15
15
∫ Q p ds Q p
∫
∫ ds Q p
∫
0
0
0
0
1
γ
y py ' ds Q p ds ≤ + + + φ 1 φ 2 φ 3 φ 4
∫ y ds Q pq y ds 16
1 ∫ Q p 15 0
0
+ + φ 5
(Q15 , Q16 laø haèng soá)
Do baát ñaúng thöùc Holder vaø (2.24) suy ra:
1
1
α 0 1 +
β 0 1 +
) 1 +
1 +
α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
Q
Q
dt
Q
p
dt
py '
p y φ
≤
+
+
( ) ( ) p t y ' t
17
18
19
( 1 + α − φ φ 0 3
)
∫
∫
α 0
α 0
0
0
1
1
γ 1 +
1 +
1 +
α 0
α 0
Q
dt
Q
dt
p y φ
p y φ
+
+
20
21
∫
∫
α 0
1 1 + α 0
0
0
(Q17 ,…, Q21 laø haèng soá)
t
ta coù:
Vôùi
( ) 0,1∈
1
) 1 +
1 +
α 0
( σ α 0 α 0
Q
Q
dt
p y φ
≤
+
( ) ( ) p t y ' t
22
23
∫
39
σβ 0 α 0
0
1
) 1 +
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
(2.34)
Q
p
dt
py '
+
24
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
σ
0
1
1
1 +
1 +
α 0
α 0
Q
dt
Q
dt
p y φ
p y φ
+
+
25
26
∫
∫
σγ α 0
σ α 0
0
0
(Q22 ,…, Q26 laø haèng soá)
Ñieàu naøy cuøng vôùi (2.31) suy ra:
1
1
) 1 +
) 1 +
2 σβ 0 α 0
1
1
1 α 0
1 α 0
( σ α 0 α 0
( σ α 0 α 0
28
27
( 1 α + − φ φ 0 3
)
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
∫
0
0
1
) 1 +
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
p py ' Q p dt py ' dt Q ≤ +
29
( 1 + α − φ φ 0 3
)
∫
0
1
) 1 +
2 σγ α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
Q p dt py ' + σ
30
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
0
1
) 1 +
2 σ α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
Q p dt py ' +
31
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
0
Q p dt py ' +
(Q27 ,…, Q31 laø haèng soá)
0
max 1 Do < , , σ suy ra toàn taïi haèng soá Q31 sao cho: 2 σβ 0 α 0 2 2 σγ σ , α α 0
1
) 1 +
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
40
32
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
0
(2.35) p py' dt Q ≤
1
1
0
Ñieàu naøy cuøng vôùi (2.31) suy ra toàn taïi haèng soá Q33 sao cho
αφ + p y
33
∫
0
(2.36) dt Q ≤
Thay baát ñaúng thöùc naøy vaøo (2.34) thì toàn taïi haèng soá Q34 sao cho:
34
( ) ( ) sup p t y ' t ( ) t 0,1 ∈
1
(2.37) Q ≤
(
35
]
∫ ( ) ) sup G t,s ds Q p s [ t 0,1 0 ∈
Töø (2.32) vaø ≤ , Q35: haèng soá, aùp duïng baát ñaúng thöùc
[ ] 0,1∈
1
1
β 0 1 +
α 0 1 +
) 1 +
1 +
α 0
1
1 α 0
( σ α 0 α 0
: t Holder vôùi
( ) y t
36
37
38
( 1 α + − φ φ 0 3
)
∫
∫
0
0
1
1
γ 1 +
1 +
1 +
α 0
α 0
Q Q dt Q p dt py ' ≤ + + p y φ α 0 α 0
39
40
∫
∫
1 1 α + 0
0
0
Q dt Q dt + + p y φ p y φ α 0
(Q36 ,…, Q40 laø haèng soá)
Ñieàu naøy cuøng vôùi (2.35), (2.36) suy ra toàn taïi haèng soá Q41 sao cho:
41
( ) sup y t ] [ t 0,1 ∈
(2.38) Q ≤
Töø (2.37) vaø (2.38) cuøng vôùi ñònh lí 1.13 hoaëc 1.14 suy ra ñieàu phaûi chöùng
minh.
Chuùng ta coù theå chöùng minh ñònh lí treân neáu m = 1 (taïi giaù trò rieâng ñaàu tieân).
py '
'
qy
+
=
)
)
λ 1
] ( f t,y, py ' hkn treân 0,1
[
Ñaëc bieät khaûo saùt:
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
0
0
(2.39)
1λ laø giaù trò rieâng ñaàu tieân cuûa (2.20).
vôùi
Ñònh lyù 2.5
2
41
[
]
Neáu pf : 0,1 R R × → laø haøm L1-Caratheodory vaø (2.2), (2.15) thoûa. Giaû söû f
)
( g t, u , u
)
( h t, u , u
)
1
2
1
2
1
2
1
f t, u , u = + ñöôïc khai trieån: (
2 × →
[ vôùi pg,ph: 0,1 R
]
R laø haøm L -Caratheodory
1 vaø moät haøm soá
α 0
vaø
∈
>
≥
φ
(
)
( ) A t H
(
)
1
1
2
u 1
, α θ 0
hkn t
0,1 , u R, u R; ∈
∈
< [ ] 0 hkn treân 0,1 vôùi u g t, u , u ≥ α θ
1
0
2
toàn taïi haèng soá A>0,0< [ ] 1 L 0,1 , φ p ] [ ∈
φ
(2.40)
1 L 0,1 ,i 1,2,3 vaø caùc haèng soá p
]
[
σ
β 0
sao cho = , β σ 0
)
1
2
2
0
[
] 0,1 ,
( h t,u , u >
(2.41) ≤ + ∈ φ 1 φ 3 β α < 0
( ) ( ) t u t 1 [ 0 hkn treân 0,1 hoaëc
( ) hkn t t u ] [ 0 treân 0,1
≡ φ 3 φ + 2 ] ∃ ∈ φ i φ 3
] [ 1 L 0,1 ,i p
τ
γ
4,5,6 vaø haèng soá , > sao cho = ≤ γ α τ σ 0
)
( ) t u
1
2
2
[
] 0,1
( g t,u , u >
(2.42) ≤ ∈ φ 4 φ 6
( ) ( ) t u + t 1 [ 0 hkn treân 0,1 hoaëc
[
≡ φ 6 φ + 5 ] hkn t ] 0 treân 0,1 ∃ ∈ φ i φ 6
1
(
) 1 +
β 0
1 − α β 0 0
1 α 0
(2.43) min 1, , vaø 1 < < σ τ , α 0 α 0 γ
[ ] 1 L 0,1 , p
[ ] 1 L 0,1 p
)
∈ ∈
( ) ( 1 − + α φ φ 0 2
)
1
1 1 + −
α 0
1 α 0
(2.44)
1 + − φ
[
] [ 1 L 0,1 p
] ( 1 L 0,1 , q p
)
∈ ∈
)
( 1 + α − φ φ 0 1 ( ( ) 1 + α − γ α γ φ φ 0 0 5
vaø
42
1 1 + α 0
[ ] 1 L 0,1 . p
κ
κ
−
1 1 + α 0
σ − τ σ
1 max ∈ + α 0 α 0 − ,2 , φφ 3
)
( φ 6
[ ] 1 L 0,1 , p
[ ] 1 L 0,1 , p
κτ − τ σ
(2.45) ∈ ∈ − φφ 3
] 0 hkn treân 0,1
[
neáu > φ 6
1
I
= κ κ φ 6
∈
∈
] ] y C 0,1 C 0,1
[
[
] py' AC 0,1
[
Thì (2.39) coù ít nhaát moät nghieäm v(cid:1)i
Chöùng minh:
Laáy y laø moät nghieäm cuûa (2.26) vôùi m = 1. Theo chöùng minh ñònh lyù 2.4 vôùi
1
1
1
1
σ
1 +
1 +
α 0
β 0
u =0 vaø y = w chuùng ta coù ñieàu töông töï nhö (2.29):
∫ A p y
∫
∫
∫
1 ∫ dt A p dt 0
0
0
0
0
y dt y dt y py ' dt (2.46) φ φ ≤ + + + p φ 1 p φ 2 p φ 3
1
1
1
1 + 1 +
1 +
1 +
1 +
α 0
α 0
α 0
Baát ñaúng thöùc Holder suy ra:
2
∫ A p y
∫
∫
1 1 + α 0
β 0 α 0
0
0
0
1
σ
dt N dt + ≤ + φ p y φ p y φ dt N N 0 1 (2.47)
∫
0
y py ' dt + p φ 3
(N0, N1, N2 laø haèng soá)
1 max ,2 Ñaët . Neáu , thì theo baát ñaúng thöùc Holder vaø (2.45) = κ = κ α + 0 α 0 1α + 0 α 0
1
1
1
σ
σκ
1 +
α 0
1 1 + α 0
ta coù:
∫
∫
∫
1 1 + α 0
0
0
0
κ
1 κ
y py ' dt dt p py ' dt p y φ ≤ p φ 3 − φφ 3
2κ = ta coù:
Vôùi
1
1
1
1
2
1 − ) 1 +
α 0 ( α 0
σ
σκ
1 +
α 0
1 1 + α 0
43
( ) p t dt
∫
∫
∫
∫
1 1 + α 0
0
0
0
0
κ
1 κ
y py ' dt dt py ' dt p p y φ ≤ p φ 3 − φφ 3
Thay ñieàu naøy vaøo(2.49) vaø vôùi caùc lyù do nhö trong ñònh lí 2.4 suy ra toàn taïi
1
1
σκ
1 +
α 0
1 1 α + 0
p
py '
dt
caùc haèng soá N3, N4 sao cho:
p y φ
+
≤
dt N N 3
4
∫
∫
0
0
− φφ 3
κ
1 α + 0 κα 0
(2.48)
) ( 0,1∈
1
β 0 1 +
1 +
α 0
t ta coù: Töø (2.33)( gioáng nhö trong ñònh lyù 2.4), cho
σ py ' dt
( ) ( ) p t y ' t
6
∫
1 ∫ N p 7 0
0
1
1
dt p y φ ≤ + N N + 5 φ 3 α 0 (2.49)
τ
1 +
1 +
α 0
α 0
8
10
∫
∫
0
1 ∫ N p 9 0
0
1 1 α + 0
γ 1 + N dt py ' dt N dt + + + p y φ p y φ φ 6 α 0
(N5, N6,.., N10 laø haèng soá)
1
1
1
1 ( ) 1 α + 0
σκ
1 Vôùi max ,2 , ta coù: = κ α + 0 α 0
1 1 α + 0
σ py ' dt
∫
∫
∫
0
0
0
κ
1 κ
1
1
1
1 2
σκ
1 1 α + 0
1 py ' dt p ≤ p dt φ neáu = κ p φ 3 + α 0 α 0 − φφ 3
σ py ' dt
2 1 α + p φ 0
∫
∫
∫
0
0
0
κ
1 κ
1
1
1
1 κ
τ py ' dt
τκ py ' dt
( ) p t dt
p dt py ' dt neáu =2 ≤ κ p φ 3 − φφ 3
κ p φ 6
∫
∫
∫
1 κ
1-
0
0
0
p φ 6 ≤
Coù hai tröôøng hôïp caàn xeùt:
] 0 hkn treân 0,1
[
Tröôøng hôïp 1: φ > 6
Thay ñieàu treân vaøo (2.49) vaø töø (2.48) daãn tôùi:
βτ 0 α 0
1
1
τκ
σκ
1 1 α + 0
44
κ p φ 6
12
11
∫
∫
0
0
κ
1
σκ
1 1 α + 0
py' dt N N p py ' dt ≤ + − φφ 3
13
∫
0
κ
1
σκ
1 1 α + 0
(2.50) py' dt N p + − φφ 3 τ
14
∫
0
κ
γτ α 0
κ
τ α
o
τ
−
1
1
σκ
1 1 α+
N p py ' dt + − φφ 3
τκ py ' dt
15
κ 6
16
∫
∫
0
0
p py ' dt N N + p φ +
)
(
φ φ 3
(N11, N12,.., N16 laø haèng soá)
1
1
1
κ
σκ
1 1 α + 0
1 1 α + 0
σ τ σ −
Theo baát ñaúng thöùc Holder ta coù:
τκ py ' dt
κ p φ 6
− φ 6
∫
∫
∫
0
0
0
κ
κτ τ σ −
τ σ − τ
p py ' dt p dt ≤ − φφ 3 − φφ 3 σ τ
1
1
1
βσ 0 α 0
τκ
Thay ñieàu naøy vaøo(2.50) ta ñöôïc;
τκ py ' dt
τκ py ' dt
κ p φ 6
18
17
κ p φ 6
19
κ p φ 6
∫
∫
∫
σ
0
0
0
1
1
1
py ' dt N N N ≤ + +
τκ py ' dt
τκ py ' dt
τκ py' dt
20
κ p φ 6
21
κ p φ 6
22
κ p φ 6
∫
∫
∫
γσ α 0
τ
σ α 0
0
0
0
N N N + + +
0
(N17, N18,.., N22 laø haèng soá)
0
1
τκ
Vì max , 1 < neân toàn taïi haèng soá N23 sao cho: σβ σγ σ , , , σ τ α α α 0 0
κφ p 6
23
∫
0
py' dt N ≤
vaø vôùi nhöõng lyù do töông töï ñònh lí 2.4 suy ra ñieàu phaûi chöùng minh.
45
φ ≡ 6
] 0 hkn treân 0,1
[
Tröôøng hôïp 2:
] 0 hkn treân 0,1
[
, neáu Khoâng maát tính toång quaùt, chuùng ta giaû söû 0 vaø σ > > φ 3
( ) 0,1∈
1
1
β 0 1 +
1 +
σκ
α 0
1 1 α + 0
, töø (2.49) ta coù: khoâng keát quaû quaù deã daøng. Vôùi t
( ) ( ) p t y ' t
23
24
25
∫
∫
0
0
κ
1 κ
1
1
γ 1 +
1 +
1 +
α 0
α 0
N N dt N p py ' dt p y φ ≤ + + α 0 − φφ 3
26
27
∫
∫
0
0
1 1 α + 0
N dt N dt p y φ p y φ + + α 0
(N23, N24,.., N27 laø haèng soá)
βσ 0 α 0
1
1
σκ
σκ
1 1 + α 0
1 1 + α 0
Ñieàu naøy cuøng vôùi (2.48) daãn tôùi:
29
28
∫
∫
0
0
κ
κ
1
1
σκ
σκ
1 1 + α 0
1 1 + α 0
p py ' N p py ' dt dt N ≤ + − φφ 3 − φφ 3
31
30
∫
∫
0
0
κ
κ
γσ α 0
σ
1
σκ
1 1 + α 0
py ' dt N p py ' dt N p + + − φφ 3 − φφ 3
32
∫
0
κ
σ 0 α
N p py ' dt + − φφ 3
(N28, N29,.., N32 laø haèng soá)
1
σκ
0
Do ñoù toàn taïi haèng soá N33 sao cho:
33
∫
0
κ
p py ' dt N ≤ 1 − 1 αφφ + 3
Vaø keát quaû sau ñoù töông töï nhö trong ñònh lyù 2.4.
Ñònh lyù toàn taïi II:
Trong phaàn naøy chuùng ta seõ khaûo saùt baøi toaùn coäng höôûng (2.19) ôû “beân phaûi”
cuûa giaù trò rieâng.
Ñònh lyù 2.6:
2
46
[
]
Neáu pf : 0,1 R R × → laø haøm L1-Caratheodory vaø (2.2), (2.15) thoûa. Giaû söû f
1
ñöôïc khai trieån:
2 × →
)
( g t, u ,u
)
( h t,u ,u vôùi pg,ph: 0,1 R
)
1
2
1
2
1
2
[
]
( f t,u ,u vaø:
R laø haøm L -Caratheodory = +
1 vaø moät haøm soá α 0
(
)
( ) A t H
(
)
1
1
2
, α θ 0
(2.51) φ ∈ > ≤ − u 1
] 0 hkn treân 0,1 vôùi u g t, u , u 0 ≥
1
2
hkn t 0,1 ,u R, u R; ∈ ∈ < [ α 0 toàn taïi haèng soá A>0,0< ] [ 1 L 0,1 , φ p ] [ ∈ φ
1
Theâm giaû thieát (2.22), (2.23, (2.24, (2.25) thoûa. Thì (2.19) coù ít nhaát moät
] ] y C 0,1 C 0,1
[
[
] py ' AC 0,1
[
I . nghieäm v(cid:1)i ∈ ∈
Chöùng minh:
py '
'
qy
+
+
)
( f t,y, py '
)
(
)
µ λ − m
] qy hkn treân 0,1
[
= µ λ
Xeùt hoï baøi toaùn:
(
( ( SL hoaëc N hoaëc P
)
)
)
1 ( p ∈ y
0
0
(2.52)
m 1 +
⊥
vôùi 0 1, ,m 1,2,... = < λ < λ < µ < λ m
}
2 pq
{ , ψ ψ 1
2
m
] [ L 0,1
Chuù yù: ,.., = Γ ⊕ Γ vôùi =span Γ ψ . Nhaân (2.52) cho (w-u) vaø
laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 ta ñöôïc ñieàu nhö trong ñònh lyù (2.4) (Q0 nhö trong ñònh lyù
1
1
2
2
2.4)
2 pqw dt
2 pqu dt
( p w'
)
( p u'
)
0
∫
∫
0
0
1
1
2 pqw dt
2 pqu dt
Q µ µ + − + + − (2.53)
(
( w-u pf t,y, py ' dt
)
)
(
)
(
)
∫
∫
1 ∫ λ 0
0
0
⊥
= + − − − λ µ λ m λ µ λ m
m
∞
vaø y=u+w chuùng ta coù: Vì u ,w ∈ Γ ∈ Γ
i
i
i
i
i
i
∑
∑
i 1 =
i m 1 = +
u c vaø w c vôùi c y, = ψ = ψ = ψ
47
1
1
2
2
Ta coù:
2 pqw dt
2 pqu dt
( p w'
)
( p u'
)
0
∫
∫
0
0
1
1
2 pqw dt
2 pqu dt
Q + − + µ + − µ
)
(
(
)
m 1 +
∫
∫
0
0
= µ − λ + λ − µ m
1
1
2 pqu dt
2 pqw dt
Thay ñieàu naøy vaøo (2.35) ta coù:
(
( w-u pg t,y, py ' dt
)
)
( 1 + −
)(
)
( ) − λ µ m 1 +
∫
∫
0
1 ∫ λ 0
0
1
2 pqw dt
− + λ µ λ m
(
)
(
( w-u ph t,y,py ' dt
)
)
∫
0
1 ∫ λ 0
+ − ≤ − λ µ λ m
) yg t,y, py ' A t H
( )
(
(
) y hkn t
[
] 0,1
0 , α θ
, vaäy vôùi chöùng Vôùi w-u=-y+2w vaø − ≥ φ ∈
1
1
1
2
minh treân ta coù:
(
) y dt
(
)
)
m
, α θ 0
∫ A p H
∫ ( 2 pwg t,y, py ' dt
∫
0
0
0
1
1
pqw φ + µ − λ ≤ −
)
(
)
(
∫
∫ p y h t,y,py ' dt 2 p w h t,y, py ' dt
0
0
1
1
+ +
2 pqw dt
2 pqu dt
∫
∫
0
0
thay vì ), Lyù luaän töông töï ñònh lí 2.4 (chæ khaùc chuùng ta duøng
ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
KEÁT LUAÄN
48
Luaän vaên ñaõ trình baøy ñöôïc moät phaàn cuûa lí thuyeát baøi toaùn bieân kì
dò. Qua ñoù laøm roõ hôn öùng duïng ñònh lí ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï compact
trong khoâng gian ñònh chuaån, cuõng nhö söû duïng linh hoaït lí thuyeát aùnh xaï
ñoàng luaân ñeå chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa caùc baøi toaùn “coäng höôûng”
vaø “khoâng coäng höôûng” coù giaù trò bieân kì dò.
Luaän vaên cuõng chæ ra raèng baøi toaùn “coäng höôûng” chæ coù nghieäm
taàm thöôøng duy nhaát, coøn baøi toaùn “khoâng coäng höôûng” coù nghieäm khoâng
taàm thöôøng.
Qua luaän vaên naøy taùc giaû ñaõ cuûng coá ñöôïc nhieàu phaàn kieán thöùc ñaõ
hoïc, cuõng nhö bieát theâm ñöôïc moät soá maûng kieán thöùc môùi. Tuy nhieân vôùi
trình ñoä coøn nhieàu haïn cheá chaéc chaén luaän vaên coøn nhieàu thieáu soùt, raát
mong söï chæ baûo vaø goùp yù cuûa quí Thaày Coâ.
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
49
[1]. Leâ Hoaøn Hoùa (2000), Giaùo trình Giaûi tích phi tuyeán I.
[2]. Leâ Hoaøn Hoùa, Giaùo trình Pheùp tính vi tích phaân.
[3]. Nguyeãn Bích Huy, Giaùo trình Giaûi tích haøm naâng cao.
[4]. Nguyeãn Theá Hoaøn – Phaïm Phu, Cô sôû phöông trình vi phaân vaø lí
thuyeát oån ñònh, Haø Noäi, NXB GD.
[5]. Nguyeãn Theá Hoaøn – Traàn Vaên Nhung (1979), Baøi taäp phöông trình
vi phaân, Haø Noäi, NXB ÑH vaø THCN.
[6]. Donal O,Regan (1994), Theory of singular boundary value problems,
Singapore, World scientific publishing Co.Pte.Ltd.
