Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH SỰ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ THÁI NGUYÊN, 10/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH SỰ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN, 10/2018
i Mục lục Một số ký hiệu và chữ viết tắt ii Lời nói đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.4. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Một bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2 Tính ổn định hóa của một số lớp hệ dương phân thứ Caputo 15 2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo 15 2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ii Một số ký hiệu và chữ viết tắt R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn AT ma trận chuyển vị của ma trận A A = (A)ij phần tử Aij của ma trận A I ma trận đơn vị A≥0 A là một ma trận không âm A≥B A−B ≥0 A>0 A là một ma trận dương α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α kết thúc chứng minh của định lí hoặc bổ đề
1 Lời nói đầu Hệ động lực dương đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học vì những ứng dụng của nó trong nhiều bài toán kỹ thuật (xem [9] và các tài liệu tham khảo trong đó) trong khoảng ba thập kỷ gần đây. Nói một cách hình tượng, một hệ động lực được gọi là hệ dương nếu các vectơ trạng thái và vectơ đầu ra của hệ là không âm khi các điều kiện ban đầu và đầu vào là không âm. Tính ổn định và ổn định hóa là một trong những tính chất định tính quan trọng của hệ động lực dương. Vì vậy, nó đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [3, 12, 14, 16, 18]. Chẳng hạn, bằng cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với bài toán quy hoạch tuyến tính, các tác giả trong [16] nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính với điều khiển có hạn chế. Trong [12], một vài tiêu chuẩn cho tính dương và tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ đã được đưa ra. Mặt khác, nhiều nhà khoa học đã chỉ ra rằng nhiều hệ thống, chẳng hạn như các hệ thống điện từ, phân cực điện môi, các hệ thống viscoelastic [8], có thể được mô tả một cách chi tiết và tốt hơn bởi hệ phương trình vi phân phân thứ. Vì vậy hệ phương trình vi phân phân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu (xem [1, 2, 12, 13, 14, 16, 18] và các tài liệu tham khảo trong đó). Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa các hệ động lực dương phân thứ là một bài toán quan trọng, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều kết quả sâu sắc về bài toán này đã được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín (xem [5, 8, 10, 17]). Trong tài liệu [8], các tác giả đã đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa của một số lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn phân thứ Riemann- Liouville. Tuy nhiên như trong bình luận của một số nhà khoa học, việc dùng đạo hàm Riemann-Liouville để mô tả các hệ động lực trong thực tế thì gặp
2 hạn chế do điều kiện ban đầu trong các bài toán giá trị đầu không có nhiều ý nghĩa vật lí. So với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho các bài toán thực tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lí. Vì lí do đó, bằng cách sử dụng một số kỹ thuật tham khảo trong các tài liệu [8] và [17] chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho một số lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn phân thứ Caputo. Các kết quả thu được là những đóng góp nhỏ nhưng có ý nghĩa khoa học của chúng tôi. Luận văn được chia làm hai chương với những nội dung chính như sau: Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo không thuần nhất cũng được chúng tôi trình bày trong chương này. Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến tổng quát cũng được trình bày trong chương này. Chương 2 của luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để đảm bảo một hệ tuyến tính phân thứ Caputo là dương. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa của một số lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo với điều khiển không có hạn chế và có hạn chế. Các kết quả của chương này được chúng tôi đưa ra bằng cách áp dụng các kỹ thuật chứng minh trong các bài báo [8] và [17] trong danh mục tài liệu tham khảo của luận văn. Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ. Với tình cảm chân thành em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS. Mai Viết Thuận - người Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10 khóa 2016 - 2018, các phòng ban chức năng, Khoa Toán - Tin
3 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong thời gian học tập vừa qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám Hiệu trường THPT Hiệp Hòa số 2, tập thể lớp K10, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này. Thái Nguyên, ngày 02 tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn NGUYỄN ĐÌNH SỰ
4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích phân thứ như tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ Riemann- Liouville, mối liên hệ giữa hai loại đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ. Các kiến thức được trình bày trong chương này được chúng tôi tham khảo trong [1, 13, 15]. 1.1. Giải tích phân thứ 1.1.1. Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi: Z t α 1 t0 It x(t) := (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], Γ(α) t0 +∞ tα−1 e−t dt, α > 0. R trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = 0 α Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước t 0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lí sau:
5 Định lí 1.1. Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó, α α tích phân t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có: α Γ(β + 1) t0 It x(t) = (t − a)α+β , t > a. Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có: +∞ α −α X (λt)α+j t0 It x(t) =λ , t > 0. j=0 Γ(α + j + 1) 1.1.2. Đạo hàm phân thứ Định nghĩa 1.2. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi: dn n−α dn t Z RL α 1 (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 Dt x(t):= n t0 It x(t) = n dt Γ(n − α) dt t0 dn trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function):   1 nếu t ≥ 0;  f (t) =  0 nếu t < 0.  Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là: RL α t−α 0 Dt f (t) = . Γ(1 − α) Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau:
6 Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)). a Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau: d AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] (D = )}. dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: n−1 X α f (t) = t0 It ϕ(t) + ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t α 1 t0 It ϕ(t) = (t − s)n−1 ϕ(s)ds. (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có: f (k) (t0 ) ϕ(s) = f (n) (s), ck = (k = 0, 1, . . . , n − 1). k! Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lí 1.2. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm RL α phân thứ t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau: n−1 t f (k) (t0 ) f (n) (s)ds Z RL α X 1 t0 Dt f (t) = (t − t0 )k−α + . Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 k=0 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2. Hệ quả 1.1. Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì Z t 0 RL α 1 f (t0 ) f (s)ds t0 Dt f (t) = [ + ]. Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) α
7 Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là: RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] = λ RL α RL α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có: RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] dn t Z 1 = (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)]ds Γ(n − α) dtn t0 dn t dn t Z Z λ n−α−1 µ = n (t − s) f (s)ds + n (t − s)n−α−1 g(s)ds Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 = λ RL α RL α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α n−α n t0 Dt x(t) := t0 It D x(t), dn trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Đối với một hàm vectơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t))T đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α t0 Dt x(t) := (C α C α C α T t0 Dt x1 (t),t0 Dt x2 (t), . . . ,t0 Dt xd (t)) . Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm phân thứ Caputo cấp α. Định lí 1.3. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo C α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có: (i) Nếu α 6∈ N thì C α t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t C α 1 f (n) (s)ds t0 Dt f (t) = . Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1
8 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 C α 1 f (s)ds t0 Dt f (t) = . Γ(1 − α) t0 (t − s)α (ii) Nếu α = n ∈ N thì C n t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt: C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là: C α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] = λ C α C α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Định lí 1.4. Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có: C α α t0 Dt (t0 It f (t)) = f (t). Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây: Định lí 1.5. Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì n−1 (k) α C α X f (t0 ) t0 It (t0 Dt f (t)) = f (t) − (t − t0 )k . k! k=0 Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It (t0 Dt f (t)) = f (t) − f (t0 ). Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau: Định lí 1.6. Cho α > 0 và đặt n = [α] + 1. Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: n−1 C α X (t − t0 )j t0 Dt x(t) =RL t0 Dtα (x(t) − x(j) (t0 )), j=0 j! với hầu hết t ∈ [a, b].
9 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị vectơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau: kxk∞ := max kx(t)k, t∈[0,T ] trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn . Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo C α (1.1) 0 Dt x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn , (1.2) trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn . Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và (1.2). Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân. Mệnh đề 1.4. Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân: Z t 1 ϕ(t, x0 ) = x0 + (t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ]. (1.3) Γ(α) 0 Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại
10 tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lí sau: Định lí 1.7. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0 k ≤ K}. Giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ G. Đặt M = sup kf (t, x)k và (t,x)∈G   T nếu M = 0;  ∗ T =  min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại.  Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2). Định lí 1.8. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk, ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞). Đối với hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville, ta cũng có các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục tương tự như Định lí 1.8. Chi tiết có thể xem trong [14]. 1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
11 Định nghĩa 1.4. Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi +∞ X zk Eα (z) = , Γ(αk + 1) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có: +∞ +∞ X zk X zk E1 (z) = = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi +∞ X zk Eα,β (z) = , Γ(αk + β) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là: +∞ X Ak Eα,β (A) = , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) k=0 Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của I. Podlubny [15]. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất   C Dα x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0;  0 t (1.4)  x(0) = x0 ∈ Rn ,  trong đó x(t) ∈ Rn , g(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là ma trận thực hằng số cho trước. Ta dễ dàng thu được công thức tường minh của nghiệm bài toán (1.4) như sau: Z t ϕ(t, x0 ) = Φ0 (t)x0 + Φ(t − τ )g(τ ) dτ, 0 trong đó: +∞ α X Ak tαk Φ0 (t) = Eα (At ) = , Γ(kα + 1) k=0 +∞ k (k+1)α−1 X A t Φ(t) = . Γ([k + 1]α) k=0
12 Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày kết quả về công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến  C α 0 Dt x(t) = Ax(t) + f (x(t)), t ≥ 0;   (1.5)  x(0) = x0 ∈ Rn ,  trong đó x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là một ma trận thực hằng số cho trước, f : Rn −→ Rn là một hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = 0. Định lí 1.9. Xét bài toán (1.5). Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz toàn cục trên Rn với hệ số Lipschitz L và f (0) = 0. Khi đó, với mọi x0 ∈ Rn , bài toán giá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(., x0 ). Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn công thức biến thiên hằng số: Z t α x(t, x0 ) = Eα (t A)x0 + (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)f (x(τ, x0 )) dτ, ∀t ≥ 0. 0 1.4. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Dtα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 , (1.6) trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn là vectơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban đầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x. Đạo hàm phân thứ Dtα (.) ở trong công thức (1.6) được hiểu là đạo hàm phân thứ Caputo hoặc Riemann-Liouville. Định nghĩa 1.6. Vectơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.6) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0. Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ (Caputo hoặc Riemann-Liouville), mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.6) có thể chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân
13 bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.6). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ (1.6) trở thành Dtα y(t) = Dtα (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.7) trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t). Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann-Liouville), ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ (1.7). Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann-Liouville) (1.6) có điểm cân bằng là 0. Định nghĩa 1.7. Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann-Liouville) (1.6) có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.6) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn kx(t)k ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )]b , ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≥ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 . Nhận xét 1.3. Nếu hệ (1.6) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim kx(t)k = 0. t−→+∞ Đối với hệ phương trình vi phân thường cũng như hệ phương trình vi phân có trễ phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định. Năm 2010, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny [14] đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Định lí 1.10. [14] Hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện (i) α1 kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2 kx(t)kab , (ii) Dtα V (t, x(t)) ≤ −α3 kx(t)kab , trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn . Nếu tất cả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.
14 Hàm V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) trong Định lí 1.10 được gọi là hàm Lyapunov cho hệ phân thứ (1.6). 1.5. Một bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một bổ đề quan trọng được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. [7] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm vectơ liên tục và có đạo hàm. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau đúng C α xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C α 0 Dt 0 Dt x(t), ∀t ≥ 0.
15 Chương 2 Tính ổn định hóa của một số lớp hệ dương phân thứ Caputo 2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo Mục này, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo. Một số nội dung của chương này (các Định lí 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6) là những kết quả mới của chúng tôi với kỹ thuật chứng minh dựa trên các bài báo [5] và [17] trong danh mục tài liệu tham khảo. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo   C Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0;  0 t (2.1)  x(0) = x0 ∈ Rn ,  trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, A là một ma trận thực vuông cấp n cho trước. Theo như kết quả trình bày ở Chương 1, nghiệm của hệ (2.1) có dạng: x(t) = Eα (Atα )x0 , trong đó Eα (.) là hàm Mittag-Leffler xác định bởi: ∞ α X (Atα )k Eα (At ) = . (2.2) Γ(kα + 1) k=0 Trước khi trình bày một số kết quả về tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính dương, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa sau:
16 Định nghĩa 2.1. Ma trận M = (Mij ) ∈ Rn×m được gọi là một ma trận không âm nếu tất cả các phần tử của ma trận M đều không âm, tức là Mij ≥ 0, ∀i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. Định nghĩa 2.2. Ma trận M = (Mij ) ∈ Rn×m được gọi là một ma trận dương nếu tất cả các phần tử của ma trận M đều lớn hơn 0, tức là Mij > 0, ∀i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. Định nghĩa 2.3. Ma trận A = (Aij ) ∈ Rn×m được gọi là một ma trận Metzler nếu tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của ma trận A đều không âm, tức là Aij ≥ 0, ∀i 6= j. Định nghĩa 2.4. Ma trận A = (Aij ) ∈ Rn×n được gọi là một M − ma trận nếu tất cả các định thức con chính của ma trận A đều dương. Định nghĩa 2.5. Hệ (2.1) được gọi là dương nếu với điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ , ta có x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0. Định lí dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ tuyến tính phân thứ. Định lí 2.1. [11] Hệ tuyến tính phân thứ (2.1) là hệ dương nếu và chỉ nếu A là ma trận Metzler. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.1) là một hệ dương. Ta chứng tỏ A là ma trận Metzler. Vì hệ (2.1) là một hệ dương nên với x0 ∈ Rn+ , ta có x(t) = Eα (Atα )x0 ≥ 0. Từ đó suy ra Eα (Atα ) ≥ 0. Mặt khác, ta lại có: ∞ α X (Atα )k A Eα (At ) = =I+ + ... Γ(kα + 1) Γ(α + 1) k=0 Từ đó suy ra Eα (Atα ) ≥ 0 với t ≥ 0 đủ nhỏ chỉ khi A là ma trận Metzler. Điều kiện đủ: Giả sử A là ma trận Metzler, ta chứng tỏ hệ (2.1) là một hệ dương. Cho x0 ∈ Rn+ , ta chứng tỏ x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0. Vì nghiệm của hệ (2.1) được biểu diễn dưới dạng (2.2) nên để chứng tỏ x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0, ta chỉ phải chỉ ra Eα (Atα ) ≥ 0. Ta sẽ chỉ ra điều này bằng phản chứng. Giả sử ngược lại Eα (Atα ) := Ψ = (Ψij ) không phải là ma trận không âm với mọi