Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2019
Mục lục 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.1. Tính ổn định hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.2. Tính bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ 20 3 Tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 26 3.1. Tính ổn định hữu hạn thời gian của hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. Tính bị chặn hữu hạn thời gian của hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1
LỜI NÓI ĐẦU Trong những năm gần đây, giải tích phân thứ và hệ phương trình vi phân phân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học do những ứng dụng của chúng trên nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật. Nhiều hệ thống trong kỹ thuật, chẳng hạn như hệ thống viscoelastic, sự phân cực điện môi (dielectric polarization), sự phân cực điện cực (the electrode-electrolyte polarization), mô hình mạng nơ ron, được mô tả tốt hơn và chi tiết hơn bởi hệ phương trình vi phân phân thứ [4, 6, 13]. Như chúng ta đã biết tính ổn định là một tính chất quan trọng của mọi hệ động lực. Do đó bài toán nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov của hệ phương trình vi phân phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều công trình chất lượng đã được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín trong những năm gần đây (xem [5, 7, 11] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong các ứng dụng thực tế, ta luôn cần phải xem xét dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ thống mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ trong một thời gian hữu hạn, khi đó các giá trị lớn của véc tơ trạng thái là không thể chấp nhận. M.P. Lazarevi´c cùng các cộng sự [9, 10] là những tác giả đầu tiên nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả bởi các hệ phương trình vi phân phân thứ. Khác với bài toán ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ phương trình vi phân phân thứ trên một khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái trong một khoảng thời gian hữu hạn. Một số kết quả thú vị về bài toán nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn trong thời gian hữu hạn đã được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín cho một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ như lớp 2
3 hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ [3, 14, 15], lớp hệ tuyến tính phân thứ [13], lớp hệ phân thứ có trễ [12]. Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Luận văn gồm có 3 chương gồm những nội dung như sau: Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [4, 5, 7, 8]. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của của lớp hệ tuyến tính phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [13]. Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến. Kết quả này mở rộng kết quả trong bài báo [13]. Đây chính là nội dung nghiên cứu của luận văn.
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ. Với tình cảm chân thành, tôi xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy cô trong khoa Toán - Tin và khoa sau đại học Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học TS. Mai Viết Thuận, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn đến Hiệu trưởng cùng toàn thể thầy, cô giáo trường THPT Thanh Lâm đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin dành tất cả sự yêu thương và lời cảm ơn vô hạn tới gia đình, bố mẹ, cô, cậu, các anh chị, em và người thân luôn là niềm động viên mạnh mẽ giúp tôi thực hiên luận văn. Xin chân thành cảm ơn! 4
Danh mục ký hiệu R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} p kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = λmax (A> A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t 0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α 5
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [4, 5, 7, 8]. 1.1. Giải tích phân thứ 1.1.1. Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([8]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t α 1 t0 It x(t) := (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], Γ(α) t0 +∞ tα−1 e−t dt, α > 0. R trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = 0 α Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lí sau Định lý 1.1. ([4]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi 6
7 α α đó, tích phân t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([4]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có α Γ(β + 1) t0 It x(t) = (t − a)α+β , t > a. Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có +∞ α −α X (λt)α+j t0 It x(t) =λ , t > 0. j=0 Γ(α + j + 1) Tiếp theo, chúng tôi trình bày định nghĩa của hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.2. [7] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi +∞ X zk Eα (z) = , Γ(αk + 1) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.2, nếu cho α = 1, ta có +∞ +∞ X zk X zk E1 (z) = = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.3. [7] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi +∞ X zk Eα,β (z) = , Γ(αk + β) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là +∞ X Ak Eα,β (A) = , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) k=0 Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [8].
8 1.1.2. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.4. ([7]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi t dn dn Z RL α 1 := n t0 Itn−α x(t) = (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 Dt x(t) dt Γ(n − α) dtn t0 dn trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)   1, nếu t ≥ 0  f (t) =  0, nếu t < 0.  Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.4, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α t−α 0 Dt f (t) = . Γ(1 − α) Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau: n n−1 d AC [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (D f )(t) ∈ AC[a, b] D= }. dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
9 Mệnh đề 1.1. ([8]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: n−1 X α f (t) = t0 It ϕ(t) + ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t α 1 t0 It ϕ(t) = (t − s)n−1 ϕ(s)ds. (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có (n) f (k) (t0 ) ϕ(s) = f (s), ck = (k = 0, 1, . . . , n − 1). k! Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2. ([8]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo RL α hàm phân thứ t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau n−1 t f (k) (t0 ) f (n) (s)ds Z RL α X 1 t0 Dt f (t) = (t − t0 )k−α + . Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 k=0 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2 Hệ quả 1.1. ([8]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì Z t 0 RL α 1 f (t0 ) f (s)ds t0 Dt f (t) = + . Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) α Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([7]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] = λ RL α RL α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
10 Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] dn t Z 1 = (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds Γ(n − α) dtn t0 dn t dn t Z Z λ n−α−1 µ = n (t − s) f (s)ds + n (t − s)n−α−1 g(s)ds Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 = λ RL α RL α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.5. ([7]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α n−α n t0 Dt x(t) := t0 It D x(t), dn trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxn là đạo hàm thông thường cấp n. T Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α C α C α C α T t0 Dt x(t) := t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t) . Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α. Định lý 1.3. ([8]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo C α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có (i) Nếu α 6∈ N thì C α t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t C α 1 f (n) (s)ds D t0 t f (t) = . Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 C α 1 f (s)ds t0 Dt f (t) = . Γ(1 − α) t0 (t − s)α (ii) Nếu α = n ∈ N thì C n t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t).
11 Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([7]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] = λ C α C α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo. Mệnh đề 1.4. ([7]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì C α t0 Dt ξ = 0. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lý 1.4. ([8]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t). Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây Định lý 1.5. ([8]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì n−1 (k) α C α X f (t0 ) (t − t0 )k . t0 It t0 Dt f (t) = f (t) − k! k=0 Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t) = f (t) − f (t0 ). Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau
12 Định lý 1.6. [4] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: ! n−1 C α X (t − t0 )j t0 Dt x(t) =RL α t0 Dt x(t) − x(j) (t0 ) , j=0 j! với hầu hết t ∈ [a, b]. Biến đổi Laplace L[f (t)](s) của một hàm khả tích f (.) được định nghĩa như sau Z +∞ F (s) = L[f (t)](s) = e−st f (t)dt. 0 Định lý 1.7. (xem [7]) Cho hàm khả tích f (.) : R+ −→ R và α ∈ (0, 1), β > 0, h > 0, ta có các khẳng định dưới đây: (i) L[Dα f (t)](s) = sα L[f (t)](s) − sα−1 f (0). 1 (ii) Với k ∈ N, Re(s) > h α , ta có αk+β−1 (k) k!sα−β L[t Eα,β (htα )](s) = α . (s − h)k+1 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau kxk∞ := max kx(t)k, t∈[0,T ] ( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn ). Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo C α (1.1) 0 Dt x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn , (1.2)
13 trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn . Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và (1.2). Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân. Mệnh đề 1.5. [4] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân Z t 1 ϕ(t, x0 ) = x0 + (t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ]. (1.3) Γ(α) 0 Nhận xét 1.2. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau: Định lý 1.8. ([4] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0 k ≤ K} và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ G. Đặt M = sup kf (t, x)k và (t,x)∈G   T, nếu M = 0,  T∗ =  min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại. 
14 Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2). Định lý 1.9. ([1] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk, ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞). 1.3. Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [2]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y. Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [2]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu   T X Z   < 0. Z −Y Bổ đề 1.3. [5] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm véc tơ khả vi liên tục. Khi đó ta có bất đẳng thức sau đúng C α xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C α 0 Dt 0 Dt x(t), ∀t ≥ 0. Bổ đề 1.4. [16] Giả sử x(t) và a(t) là hai hàm không âm, khả tích địa phương trên [0, T ], T ≤ +∞, g(t) là hàm không âm, không giảm, liên tục trên 0 ≤ t < T, g(t) ≤ M, với M là một hằng số, α > 0 thỏa mãn Z t x(t) ≤ a(t) + g(t) (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ [0, T ]. 0
15 Nếu a(t) là hàm không giảm trên [0, T ] thì ta có bắt đẳng thức dưới đây x(t) ≤ a(t)Eα (g(t)Γ(α)tα ), t ∈ [0, T ], ở đó Eα là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Chương 2 Tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian và bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [13]. Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả của chương này, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của một hàm f (t) sẽ được ký hiệu là Dα f (t). 2.1. Tính ổn định hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ Xét hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính   Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0,  (2.1)  x(0) = x0 ∈ Rn ,  ở đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A là ma trận thực, vuông cấp n. Định nghĩa 2.1. Cho trước các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) và R là một ma trận đối xứng, xác định dương cho trước. Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu điều kiện sau đây đúng xT0 Rx0 ≤ c1 ⇒ xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ]. 16
17 Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ tuyến tính phân thứ (2.1). Định lý 2.1. [13] Cho trước các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) và R là một ma trận đối xứng, xác định dương cho trước. Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại một hằng số γ > 0, một ma trận đối xứng, xác định dương Q ∈ Rn×n sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn P A + AT P − γP < 0, (2.2a) c2 Eα (γT α )cond(Q) < , (2.2b) c1 1 1 λmax (Q) ở đó P = R 2 QR 2 và cond(Q) = λmin (Q) . Chứng minh. Xét hàm V (x(t)) = xT (t)P x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (x(t)) như sau Dα V (x(t)) ≤ xT (t) P A + AT P x(t). Từ điều kiện (2.2a), ta có đánh giá dưới đây Dα V (x(t)) < γV (x(t)). (2.3) Từ điều kiện (2.3), tồn tại một hàm không âm M (t) thỏa mãn Dα V (x(t)) + M (t) = γV (x(t)). (2.4) Áp dụng biến đổi Laplace hai vế của (2.4), ta thu được sα V (x(s)) − V (x(0))sα−1 + M (s) = γV (x(s)), ở đó V (x(s)) = L[V (x(t))](s), M (s) = L[M (t)](s). Từ đẳng thức trên suy ra −1 V (x(s)) = (sα − γ) V (x(0))sα−1 − M (s) . (2.5) Áp dụng biển đổi Laplace ngược vào đẳng thức (2.5), ta thu được Z t α M (τ ) (t − τ )α−1 Eα,α (γ(t − τ )α ) dτ. V (x(t)) = V (x(0))Eα (γt ) − 0
18 Vì (t − τ )α−1 và Eα,α (γ(t − τ )α ) là các hàm không âm nên ta có V (x(t)) ≤ Eα (γtα )V (x(0)). 1 1 Bất đẳng thức trên suy ra xT (t)P x(t) ≤ Eα (γtα )xT (0)P x(0). Vì P = R 2 QR 2 nên ta có 1 1 1 1 xT (t)R 2 QR 2 x(t) < Eα (γtα )xT (0)R 2 QR 2 x(0). Từ đó suy ra λmin (Q)xT (t)Rx(t) < λmax (Q)Eα (γtα )xT (0)Rx(0). Kết hợp điều kiện xT (0)Rx(0) ≤ c1 và (2.2b) ta suy ra xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ]. Định lý được chứng minh. Ví dụ dưới đây được đưa ra để minh họa cho kết quả lý thuyết của Định lý 2.1. Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo dưới đây   D0.5 x(t) = Ax(t),  t ≥ 0, (2.6) 2  x(0) = x0 ∈ R ,    1 1 ở đó x(t) ∈ R2 và A =  . Cho R = I, c1 = 1, c2 = 2.7. Ta thấy các điều −1 1 kiện trong Định lý 2.1 được thỏa mãn với γ = 0.1 và   −4.1146 0.0000 Q=  × 108 . 0.0000 −4.1146 Vậy hệ (2.6) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (1, 2.7, I). Từ Định lý 2.1, ta có hệ quả dưới đây. Hệ quả 2.1. Cho trước các số dương c1 , c2 , T, (c1 < c2 ) và R là một ma trận đối xứng, xác định dương cho trước. Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại một hằng số γ > 0, một ma trận đối xứng, xác định dương Q ∈ Rn×n sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn AP + P AT − γP < 0, (2.7a)