Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính siêu lồi, Tính Taut và tính K - Đầy đủ của các tập mở không bị chặn trong Cn

Chia sẻ: Tri Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Tính siêu lồi, tính Taut và tính K - Đầy đủ của các tập mở không bị chặn trong Cn" nhằm tìm hiểu một số các kết quả đại phương về tính hyperbolic, tính taut và tính k- đầy của các tập mở không bị chặn trong Cn. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính siêu lồi, Tính Taut và tính K - Đầy đủ của các tập mở không bị chặn trong Cn

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM VANHNASONE THEPPHAVONG TNH SIU LÇI, TNH TAUT V TNH K - Y CÕA CC TP MÐ KHÆNG BÀ CHN TRONG Cn LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2017
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM VANHNASONE THEPPHAVONG TNH SIU LÇI, TNH TAUT V TNH K - Y CÕA CC TP MÐ KHÆNG BÀ CHN TRONG Cn Chuy¶n ng nh: GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC: TS. TRN HU MINH THI NGUYN - 2017
Líi cam oan Tæi cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v chu ¡o cõa TS. Tr¦n Hu» Minh. Trong khi nghi¶n cùu luªn v«n tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh khoa håc v çng nghi»p vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn ch¥n th nh. Håc vi¶n Vanhnasone THEPPHAVONG i
Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v sü ch¿ b£o nghi¶m khc cõa TS. Tr¦n Hu» Minh, tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u sc ¸n cæ gi¡o. Tæi công xin k½nh gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n công nh÷ c¡c th¦y cæ gi¡o tham gia gi£ng d¤y khâa håc 2015-2017, nhúng ng÷íi ¢ em h¸t t¥m huy¸t v sü nhi»t t¼nh º gi£ng d¤y v trang bà cho chóng tæi nhi·u ki¸n thùc v kinh nghi»m. V cuèi còng, xin gûi líi c£m ìn gia ¼nh, c£m ìn c¡c çng nghi»p, b¤n b± ¢ luæn çng h nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu công nh÷ trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2017 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Vanhnasone THEPPHAVONG ii
Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 nh x¤ ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 ành lþ Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 H m i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 H m a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 H m a i·u háa d÷îi peak v antipeak . . . . . . . . . . 6 1.6 Gi£ m¶tric vi ph¥n Royden Kobayashi . . . . . . . . . . 6 1.7 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 T½nh hyperbolic cõa mët mi·n . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 Mi·n taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 T½nh si¶u lçi, t½nh taut v t½nh k-¦y cõa c¡c tªp mð trong Cn 10 iii
2.1 T½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . . . 10 2.2 T½nh hyperbolic v t½nh taut cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 T½nh hyperbolic ¦y cõa mët mi·n trong Cn . . . . . . . . 20 2.4 T½nh k - ¦y cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 C¡c mi·n Hartogs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 K¸t luªn 38 T i li»u tham kh£o 39 iv
Mð ¦u Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t lþ thuy¸t c¡c khæng gian phùc hyperbolic ra íi v o cuèi nhúng n«m 60 cõa th¸ k tr÷îc, sau nhúng cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa nh to¡n håc Nhªt B£n S. Kobayashi. Cho ¸n nay, lþ thuy¸t n y ¢ trð th nh mët ng nh nghi¶n cùu quan trång cõa gi£i t½ch phùc hyperbolic. Nhi·u k¸t qu£ s¥u sc v µp ³ ¢ ÷ñc chùng minh bði nhúng nh to¡n håc lîn tr¶n th¸ giîi nh÷ S. Kobayashi, M. Greene, J. Noguchi,.... Lþ thuy¸t n y ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷ H» ëng lüc phùc, Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà v x§p x¿ Diophantine. Tuy nhi¶n a sè c¡c k¸t qu£ ch¿ ¤t ÷ñc trong i·u ki»n câ t½nh compact t÷ìng èi cõa c¡c mi·n. Vîi mong muèn t¼m hiºu v nghi¶n cùu v· h¼nh håc cõa c¡c mi·n khæng bà ch°n, em ¢ lüa chån · t i "T½nh si¶u lçi, t½nh taut v t½nh k- ¦y cõa c¡c tªp mð khæng bà ch°n trong Cn " nh¬m t¼m hiºu mët sè c¡c k¸t qu£ àa ph÷ìng v· t½nh hyperbolic, t½nh taut v t½nh k- ¦y cõa c¡c tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . Luªn v«n gçm 39 trang, trong â câ ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v danh möc t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1: H» thèng l¤i c¡c kh¡i ni»m v c¡c k¸t qu£ c¦n thi¸t cho ch÷ìng sau. Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· t½nh hyperbolic, t½nh taut, 1
t½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn , nghi¶n cùu t½nh hyperbolic ¦y cõa mët mi·n khæng bà ch°n trong Cn qua sü tçn t¤i cõa mët h m ch¿nh h¼nh peak àa ph÷ìng t¤i méi iºm bi¶n v t¤i iºm ∞ cõa mi·n n y çng thíi t¼m hiºu mèi li¶n h» giúa t½nh taut àa ph÷ìng v t½nh taut to n cöc cõa mët mi·n trong Cn . Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng tr¼nh b y ùng döng cõa c¡c k¸t qu£ tr¶n º nghi¶n cùu t½nh hyperbolic cõa mi·n Hartogs v ch¿ ra i·u ki»n c¦n v õ º mët mi·n Hartogs l taut (si¶u lçi). B£n luªn v«n chc chn khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t, em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. 2
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n sû döng cho ch÷ìng sau nh÷: ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh, ành lþ Ascoli, h m i·u háa d÷îi, h m a i·u háa d÷îi, h m a i·u háa d÷îi peak v antipeak, gi£ m¶tri vi ph¥n, gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi, t½nh hyperbolic cõa mët mi·n, mi·n taut. C¡c nëi dung trong ch÷ìng n y ÷ñc vi»t theo c¡c t i li»u [1], [2], [5]. 1.1 nh x¤ ch¿nh h¼nh Gi£ sû X l mët tªp mð trong Cn v f : X → C l mët h m sè. H m f ÷ñc gåi l kh£ vi phùc t¤i x0 ∈ X n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ tuy¸n t½nh λ : Cn → C sao cho |f (x0 + h) − f (x0 ) − λ (h)| lim = 0, |h|→0 |h| n 2 1/2 trong â h = (h1 , ..., hn ) ∈ C v |h| = n . P |hi | i=1 H m f ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh t¤i x0 ∈ X n¸u f kh£ vi phùc trong mët l¥n cªn n o â cõa x0 v ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh tr¶n X n¸u f ch¿nh h¼nh t¤i måi iºm thuëc X . 3
Mët ¡nh x¤ f : X → Cm câ thº vi¸t d÷îi d¤ng f = (f1 , ..., fm ), trong â fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m l c¡c h m tåa ë. Khi â f ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh tr¶n X n¸u fi ch¿nh h¼nh tr¶n X vîi måi i = 1, ..., m. nh x¤ f : X → f (X) ⊂ Cn ÷ñc gåi l song ch¿nh h¼nh n¸u f l song ¡nh, ch¿nh h¼nh v f −1 công l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. 1.2 ành lþ Ascoli ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû F l mët hå n o â c¡c ¡nh x¤ tø khæng gian tæ pæ X v o khæng gian tæ pæ Y . Hå F ÷ñc gåi l li¶n töc çng ·u (even continuous) tø x ∈ X tîi y ∈ Y n¸u vîi méi l¥n cªn U cõa iºm y ·u t¼m ÷ñc mët l¥n cªn V cõa iºm x v l¥n cªn W cõa iºm y sao cho n¸u f (x) ∈ W th¼ f (V ) ⊂ U vîi måi f ∈ F . N¸u F l li¶n töc çng ·u vîi måi x ∈ X v måi y ∈ Y th¼ F ÷ñc gåi l li¶n töc çng ·u tø X ¸n Y . ành lþ 1.2.1. (ành lþ Ascoli èi vîi hå li¶n töc çng ·u) Gi£ sû F l tªp con cõa tªp c¡c ¡nh x¤ li¶n töc C(X, Y ) tø khæng gian ch½nh qui compact àa ph÷ìng X v o khæng gian Hausdorff Y v C(X, Y ) câ tæ pæ compact mð. Khi â F l compact t÷ìng èi trong C(X, Y ) n¸u v ch¿ n¸u hai i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: i.) F l hå li¶n töc çng ·u; ii.) Vîi méi x ∈ X , tªp hñp Fx = {f (x)|f ∈ F } l compact t÷ìng èi trong Y . 4
1.3 H m i·u háa d÷îi Gi£ sû G l mët mi·n trong Cn . H m u : G → [ − ∞, ∞) ÷ñc gåi l i·u háa d÷îi trong mi·n G ∈ Cn n¸u u thäa m¢n hai i·u ki»n sau: i) u l nûa li¶n töc tr¶n trong G, tùc l tªp {z ∈ G|u(z) < s} l tªp mð vîi méi sè thüc s, ii) Vîi méi tªp con mð compact t÷ìng èi Ω cõa G v måi h m h : Ω → R ¯ , ta câ n¸u u ≤ h ð tr¶n ∂Ω l i·u háa trong Ω v li¶n töc trong Ω th¼ u ≤ h ð tr¶n Ω. Ta câ ti¶u chu©n i·u háa d÷îi sau: º h m nûa li¶n töc tr¶n trong mi·n G l i·u háa d÷îi trong G, i·u ki»n c¦n v õ l vîi méi iºm z ∈ G, tçn t¤i r0 (z) > 0 sao cho R0 u(z) ≤ 1 2π 2π u(z + reit )dt, vîi måi r < r0 (z). 1.4 H m a i·u háa d÷îi ành ngh¾a 1.4.1. Gi£ sû G l mët mi·n trong Cn . H m ϕ : G → [ − ∞, ∞) ÷ñc gåi l a i·u háa d÷îi trong mi·n G ⊂ Cn (kþ hi»u ϕ ∈ P SH(G)) n¸u i) ϕ l h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n G sao cho ϕ 6= −∞ tr¶n méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa G, ii) Vîi méi iºm a ∈ G, vîi måi b ∈ Cn , b 6= 0, h m λ → ϕ(a + λb) l i·u háa d÷îi ho°c çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp { λ ∈ C : a + λb ∈ G} . 5
ành lþ 1.4.1. Cho ϕ : G → [ − ∞, ∞) l mët h m nûa li¶n töc tr¶n v ϕ 6= −∞ tr¶n b§t cù th nh ph¦n li¶n thæng cõa G. Khi â ϕ ∈ P SH(G) khi v ch¿ khi vîi méi a ∈ G, b ∈ Cn m { a + λb : λ ∈ G, |λ| 6 1} ⊂ G, ta câ ϕ(a) 6 l(ϕ; a, b), R 2π trong â l(ϕ; a, b) = 1 2π 0 ϕ(a + eit b)dt. 1.5 H m a i·u háa d÷îi peak v antipeak Cho D l mët mi·n trong Cn . - Mët h m ϕ ÷ñc gåi l mët h m a i·u háa d÷îi peak àa ph÷ìng t¤i mët iºm p thuëc ∂D ∪ { ∞} n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa p sao cho ϕ ¯ ∩ U v thäa m¢n l a i·u háa d÷îi tr¶n D ∩ U , li¶n töc tr¶n tr¶n D   ϕ(p) = 0  ϕ(z) < 0, vîi måi z ∈ D ¯ ∩ U. - Mët h m ϕ ÷ñc gåi l mët h m a i·u háa d÷îi antipeak t¤i mët iºm p thuëc ∂D ∪ {∞} n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa p sao cho ϕ l a i·u ¯ ∩ U v thäa m¢n háa d÷îi tr¶n D ∩ U , li¶n töc tr¶n tr¶n D   ϕ(p) = −∞  ϕ(z) > −∞, vîi måi z ∈ (D ¯ ∩ U¯ )\{p}. 1.6 Gi£ m¶tric vi ph¥n Royden Kobayashi Cho D l mët mi·n trong Cn . H m FG : G × Cn → [0, ∞) x¡c ành bði FG (z; X) := inf{γ(λ)|α| : ∃ϕ ∈ Hol(∆, D), ∃λ ∈ ∆ : ϕ(λ) = z, α.ϕ0 (λ) = X} 6
÷ñc gåi l gi£ m¶tric vi ph¥n Royden Kobayashi tr¶n D, ð â 1 γ(λ) := , λ ∈ ∆. 1 − |λ|2 Rã r ng a) FD (z, X) = inf{α > 0 : ∃ϕ ∈ Hol(∆, D) : ϕ(0) = z, αϕ0 (0) = X} ¯ D) : ϕ(0) = z, αϕ0 (0) = X}. = inf{α > 0 : ∃ϕ ∈ Hol(∆, b) FD (z, λX) = |λ|.FD (z, X), λ ∈ C, z ∈ D ⊂ Cn , X ∈ Cn . c) FG (F (z); F 0 (z)X) 6 FD (z; X), F ∈ Hol(∆, G), z ∈ D ⊂ Cn , X ∈ Cn . °c bi»t, n¸u F : D → G l ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh, th¼ d) FG (F (z); F 0 (z)X) = FD (z; X), z ∈ D; X ∈ Cn . e) F∆ (λ, X) 6 γ(λ).|X|, λ ∈ ∆, X ∈ C. 1.7 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi Cho D l mët mi·n trong Cn , cè ành hai iºm z00 , z000 thuëc D. Tçn t¤i mët ÷íng cong α : [0, 1] → D nèi hai iºm z00 , z000 . p döng ành lþ x§p x¿ Weierstrass, ta t¼m ÷ñc mët ¡nh x¤ a thùc P : [0, 1] → D m P (0) = z00 , P (1) = z000 . D¹ chån ÷ñc mët mi·n li¶n thæng G ⊂ C, [0, 1] ⊂ G sao cho P (λ) ∈ D vîi λ ∈ G. Theo ành lþ ¡nh x¤ Riemann, ta câ thº k¸t luªn r¬ng z00 , z000 n¬m tr¶n mët ¾a gi£i t½ch ϕ : ∆ → G m ϕ(0) = z00 v ϕ(σ) = z000 , (0 6 σ < 1). L§y z00 , z000 ∈ D. Ta °t ¯ D) : ϕ(λ0 ) = lD (z 0 , z 00 ) := inf{p(λ0 , λ00 ) : λ0 , λ00 ∈ ∆, ∃ϕ ∈ Hol(∆, z 0 , ϕ(λ00 ) = z 00 } 7
¯ D) : ϕ(0) = z 0 , ϕ(λ00 ) = z 00 } , = inf{p(0, λ00 ) : λ00 ∈ ∆, ∃ϕ ∈ Hol(∆, ð ¥y p(z 0 , z 00 ) := inf{Lγ (α)| α : [0; 1] → ∆ l ÷íng cong lîp C 1 , λ0 = α(0), R1 λ00 = α(1)} , Lγ (α) := 0 γ(α(t)|α0 (t)|dt. Ta gåi lD l h m Lempert cõa D. - Vîi z 0 , z 00 ∈ D, ta °t N kD (z 0 , z 00 ) := inf{ lD (zj−1 , zj ) : N ∈ N, z0 = z 0 , z1 , ..., zN −1 ∈ D, P j=1 zN = z }. H m kD ÷ñc gåi l gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n D. 00 Nhªn x²t 1.7.1. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi kD (z 0 , z 00 ) cán ÷ñc ành ngh¾a bði Z 1 0 00 kD (z , z ) = inf FD (γ(t), γ 0 (t))dt, 0 trong â inf l§y theo t§t c£ c¡c ÷íng cong kh£ vi nèi z 0 v z 00 . 1.8 T½nh hyperbolic cõa mët mi·n - Mët mi·n D ⊂ Cn ÷ñc gåi l k - hyperbolic n¸u kD l kho£ng c¡ch tr¶n D. - Mët mi·n k - hyperbolic D ÷ñc gåi l k - hyperbolic ¦y (hay k - ¦y) n¸u nâ ¦y èi vîi kho£ng c¡ch kD . M.L.Royden [Ro] ¢ chùng minh r¬ng mët mi·n D l hyperbolic n¸u vîi måi iºm p ∈ D, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa p v mët h¬ng sè d÷ìng c sao cho FD (y, x) > c||x|| vîi måi y ∈ U . Trong tr÷íng hñp hå c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø ∆ v o D l çng li¶n töc èi vîi kho£ng c¡ch dD , th¼ mi·n hyperbolic D l hyperbolic ¦y n¸u vîi méi iºm z ∈ D v méi sè thüc d÷ìng r, h¼nh c¦u { y ∈ D : dD (z, y) 6 r} l compact trong D. 8
1.9 Mi·n taut Cho D l mët mi·n trong Cn , tr¶n Hol(∆, D) ta trang bà tæ pæ compact mð. ∞ - D¢y { fj } j=1 ⊂ Hol(∆, D) ÷ñc gåi l ph¥n ký compact n¸u vîi méi tªp con compact K cõa ∆, méi tªp con compact L cõa D, tçn t¤i f0 ∈ N sao cho fj (K) ∩ L = ∅ vîi måi j > j0 . Hå Hol(∆, D) ÷ñc gåi l hå chu©n ∞ tc n¸u méi d¢y { fj } j=1 trong Hol(∆, D) chùa mët d¢y con { fjν } ho°c l hëi tö ·u tr¶n méi tªp con compact tîi ¡nh x¤ f ∈ Hol(∆, D) (kþ K hi»u fjν → − f ) ho°c l ph¥n ký compact. → - Mi·n D ÷ñc gåi l mi·n taut n¸u hå Hol(∆, D) l mët hå chu©n tc. - Mi·u D ÷ñc gåi l taut àa ph÷ìng t¤i mët iºm p ∈ ∂D n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa p sao cho D ∩ U l mët mi·n taut. 9
Ch÷ìng 2 T½nh si¶u lçi, t½nh taut v t½nh k-¦y cõa c¡c tªp mð trong Cn 2.1 T½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn Tr÷îc ti¶n ta nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m sau: - Mët iºm bi¶n a cõa mët tªp mð D trong Cn ÷ñc gåi l mët iºm chn cõa D n¸u tçn t¤i mët h m a i·u háa d÷îi ¥m ϕ tr¶n D m lim u(z) = 0, z→a ϕ ÷ñc gåi l mët h m chn cõa D t¤i a. iºm a gåi l iºm chn àa ph÷ìng cõa D n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn mð U cõa a sao cho a l mët iºm chn cõa D ∩ U . - Mët iºm bi¶n a cõa mët tªp mð D trong Cn gåi l mët iºm peak a i·u háa d÷îi cõa D n¸u tçn t¤i mët h m a i·u háa d÷îi ϕ tr¶n D m lim ϕ(z) = 0 v lim sup ϕ(z) < 0 vîi b§t ký b ∈ ∂D\{a}. H m ϕ ÷ñc gåi z→a z→b l h m peak a i·u háa d÷îi cõa D t¤i a. - Mët tªp mð D trong Cn ÷ñc gåi l si¶u lçi n¸u tçn t¤i mët h m v²t c¤n a i·u háa d÷îi li¶n töc, ¥m tr¶n D, tùc l lim ϕ(z) = 0. z→∂D Nhªn x²t 2.1.1. [6] D l si¶u lçi n¸u v ch¿ n¸u måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa nâ l si¶u lçi. 10
Thªt vªy, ta x²t tr÷íng hñp khi D câ væ sè th nh ph¦n li¶n thæng D1 , D2 , ... Gi£ sû måi Dj l si¶u lçi v ϕj l c¡c h m v²t c¤n a i·u háa d÷îi ¥m t÷ìng ùng cõa Dj . Khi thay ϕj , j ∈ N bði ϕ˜ := max{ϕj , −j −1 } th¼ D l si¶u lçi vîi h m a i·u háa d÷îi ϕ˜ tr¶n D, ð â ϕ| ˜ Dj := ϕ˜j . Ta câ m»nh · sau: M»nh · 2.1.1. [6] N¸u ∞ l mët iºm chn cõa mët tªp mð (khæng bà ch°n) D trong Cn th¼ tr¶n D câ mët h m chn a i·u háa d÷îi ng°t bà ch°n t¤i ∞. °c bi»t, b§t ký th nh ph¦n li¶n thæng n o cõa D ·u l hyperbolic. Chùng minh. Gi£ sû ψ l mët h m chn cõa D t¤i ∞. Ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng −1 < ψ < 0 . L§y {Dj } l mët d¢y c¡c tªp mð sao cho Dj ⊂⊂ Dj+1 ∞ v Dj = D. Khi â tçn t¤i c¡c h¼nh c¦u S j=1 B(0, rj ) = {z ∈ Cn : kzk ≤ rj }, j ∈ N, sao cho αj := inf ψ > βj := sup ψ. D\B(0,rj ) Dj   ψ(z), z ∈ D\B(0, rj )  °t ϕj (z) :=  max{ψ(z), r−2 (αj − βj )||z||2 + βj } , z ∈ D ∩ B(0, rj ).  j ∞ D¹ kiºm tra ÷ñc h m ϕ := 2j l h m c¦n t¼m. ϕi P j=1 ành ngh¾a 2.1.1. [6] Cho D l mët tªp con mð cõa Cn v a l mët iºm thuëc D. Ta x¡c ành h m gD (a, · ) := sup{u( · ) : u ∈ La , u ≤ 0}, trong â La = {u ∈ P SH(D) : u( · ) − log k · − ak ≤ o(1) , khi · → a}. H m gD ÷ñc gåi l h m Green a phùc vîi cüc t¤i a. Rã r ng gD (a, ·) l mët h m a i·u háa d÷îi. 11
N¸u D l mët mi·n bà ch°n trong Cn , a ∈ D th¼ ta câ k¸t qu£ sau: M»nh · 2.1.2. [2] N¸u D l mët mi·n bà ch°n trong Cn v a ∈ D th¼ D l si¶u lçi khi v ch¿ khi lim gD (a, z) = 0 , b ∈ ∂D. z→b Trong ph¦n ti¸p theo, ta s³ tr¼nh b y mët k¸t qu£ v· t½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . Tr÷îc h¸t ta câ bê · sau: Bê · 2.1.1. [6] Cho D2 ⊂ D1 ⊂ D l c¡c tªp mð trong Cn vîi D1 6= D v ∂D2 ∩ D ⊂ D1 . Gi£ sû ψ l mët h m a i·u háa d÷îi ¥m tr¶n D sao cho α := inf ψ > β := sup ψ. D∩∂D1 D∩∂D2 Vîi a ∈ D2 , °t d(a) := inf gD1 (a, ·). Khi â D∩∂D2 α gD (a, z) ≥ gD1 (a, z) + d(a) n¸u z ∈ D1 , β−α v ψ(z) gD (a, z) ≥ d(a) n¸u z ∈ D\D1 . β−α Chùng minh. Ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng d(a) > ∞. Khi â h m ψ(z) − α u(a, z) := d(a), z ∈ D β−α thäa m¢n u(a, z) ≤ gD1 (a, z), z ∈ D ∩ ∂D2 , v u(a, z) ≥ 0 ≥ lim sup gD1 (a, ζ), z ∈ D ∩ ∂D1 . D1 ζ→z 12
Do â ta câ  g (a, z) , z ∈ D2   D1    v(a, z) := max{gD1 (a, z), u(a, z)}, z ∈ D1 \D2     u(a, z)  , z ∈ D\D1 l mët h m a i·u háa d÷îi èi vîi bi¸n thù hai vîi cüc logarit t¤i a. Hìn núa α v(a, z) ≤ d(a), z ∈ D. α−β V¼ vªy, tø ành ngh¾a cõa gD , ta câ α gD (a, z) ≥ v(a, z) + α−β d(a). Tø bê · tr¶n, ta chùng minh ÷ñc m»nh · sau v· t½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . Ta câ m»nh ·: M»nh · 2.1.3. [6] Cho D l mët tªp con mð khæng bà ch°n trong Cn v D l si¶u lçi àa ph÷ìng t¤i b§t ký iºm bi¶n húu h¤n (tùc l vîi b§t ký iºm húu h¤n a ∈ ∂D, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa a sao cho måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D ∩ U l si¶u lçi). N¸u ∞ l mët iºm peak a i·u háa d÷îi, th¼ D l si¶u lçi. Chùng minh. Ta ch¿ c¦n chùng tä lim gD (z, w) = 0, (2.1) D w→a vîi måi a ∈ ∂D v z ∈ D. Tr÷îc ti¶n, l§y a = ∞. Ta s³ chùng minh (2.1) d÷îi i·u ki»n y¸u hìn r¬ng ∞ l mët iºm chn. Theo m»nh · 2.1.1, tçn t¤i mët h m chn a i·u háa d÷îi ng°t ϕ t¤i ∞. Chån mët h m trìn χ sao cho χ = 1 g¦n z 13
v sup pχ ⊂⊂ D. Khi â tçn t¤i mët h¬ng sè c > 0 sao cho uz (w) := cϕ(w) + χ(w) log kw − zk , w∈D l mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n D vîi cüc logarit t¤i z . V¼ vªy gD (z, w) ≥ uz (w), w ∈ D, do â ta câ (2.1). B¥y gií, gi£ sû a ∈ ∂D ∩ Cn . L§y r > 0 sao cho a, z ∈ B(0, r). N¸u ψ l mët h m peak a di·u háa d÷îi cõa D t¤i ∞, th¼ sup ψ < 0. D∩∂ B(0,r) Do â tçn t¤i r0 > r sao cho 2 inf ψ> sup ψ. D∩∂ B(0,r0 ) D∩∂ B(0,r) ˆ := D ∩ B(0, r0 ). Khi â, ¡p dung bê · 2.1.1, ta câ °t D gD (z, ω) > gDb (z, ω) + inf gDb (z, ·) > gDb (z, ω) + inf gD (z, ·). D∩∂ B(0,r) D∩∂ B(0,r) ˜ l th nh ph¦n li¶n thæng cõa D K½ hi»u D ˆ chùa z . V¼ D ˜ l mi·n si¶u lçi (trong [6]), n¶n ta câ lim g ˆ (z, w) = 0. ˜ w→a D D M°t kh¡c, gDˆ (z, w) = 0 n¸u w ∈ /D˜ . Do â lim inf gD (z, w) ≥ inf gD (z, ·). w→a D∩∂ B(0,r) V¼ r l tòy þ v theo tr÷íng hñp thù nh§t ta chùng minh ÷ñc inf g(z, ·) → 0 khi r → ∞. D∩∂B(0,r) Do â (2.1) ÷ñc chùng minh. 14