Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vành Euclide các số nguyên đại số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vành Euclide là khái niệm quen thuộc nhưng khá trừu tượng trong lý thuyết vành. Lớp vành đặc biệt này có những tính chất quan trọng được ứng dụng rất nhiều trong toán phổ thông, đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi trong và ngoài nước. Hiện nay đã xuất hiện nhiều bài toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi mà nếu giải theo kiến thức phổ thông thì ta phải cần nhiều kết quả phụ và những mẹo mực.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vành Euclide các số nguyên đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO VÀNH EUCLIDE CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO VÀNH EUCLIDE CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - 2017
1 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, tôi được nhận đề tài nghiên cứu “ Vành Euclide các số nguyên đại số ” dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ. Đến nay, luận văn đã được hoàn thành. Có được kết quả này là do sự dạy bảo và hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy và gia đình! Tôi cũng xin gửi lờn cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học và Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường và trong thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các thầy, cô giáo, các cán bộ thuộc Phòng Đào tạo, Khoa Toán – Tin đã đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng tốt đẹp. Không biết nói gì hơn, một lần nữa tôi xin trân trọng cảm ơn. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K9N (Khóa 2015-2017) đã quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 5 năm 2017 Tác giả
Mục lục MỞ ĐẦU 3 1 Vành Euclide và bao đóng nguyên 5 √ √ √ 1.1 Vành Z[ d] và Z[ p, q] . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Vành Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Vành các số nguyên đại số. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Chuẩn và vết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Một số vận dụng 28 2.1 Chứng minh tồn tại nghiệm trong Z[α] . . . . . . . . . . 28 2.2 Số nguyên đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 KẾT LUẬN 42 2
MỞ ĐẦU Vành Euclide là khái niệm quen thuộc nhưng khá trừu tượng trong lý thuyết vành. Lớp vành đặc biệt này có những tính chất quan trọng được ứng dụng rất nhiều trong toán phổ thông, đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi trong và ngoài nước. Hiện nay đã xuất hiện nhiều bài toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi mà nếu giải theo kiến thức phổ thông thì ta phải cần nhiều kết quả phụ và những mẹo mực. Nhưng xét bài toán ấy theo con mắt của toán cao cấp thì ta có những cách giải hệ thống hơn. Do vậy vấn đề nhìn bài toán sơ cấp dưới con mắt toán cao cấp cũng rất đáng được quan tâm. Luận văn này đặt vấn đề nghiên cứu về vành Euclid, mở rộng vành, bao đóng nguyên, phần tử nguyên đại số, chuẩn và vết, để từ đó có thể truyền tải một số kết quả của toán cao cấp vào toán sơ cấp. Cấu trúc luận văn được chia làm 2 chương cụ thể như sau. Chương 1 trình bày về vành Euclide và bao đóng nguyên. Trong √ chương này, Tiết 1.1 quan tâm đến hai loại vành đặc biệt là vành Z[ d] √ √ và Z[ p, q] với d, p, q là các số nguyên không có ước chính phương. Tiết 1.2 nghiên cứu khái niệm vành Euclide và đưa ra một số ví dụ √ về vành Euclide như vành Z[ d] với d = −1, 2, 3 (xem Mệnh đề 1.2.8) và vành đa thức một biến với hệ số trên một trường (Định lí 1.2.11). Tiết 1.3 quan tâm đến khái niệm số nguyên đại số, bao đóng nguyên √ đại số, và chỉ ra rằng vành các số nguyên đại số của trường Q( d) với 3
4 d = −11, −7, −3, −2 là vành Euclide (Định lí 1.3.8), đồng thời xác định √ vành các số nguyên đại số của trường Q( d) (Định lí 1.3.26). Phần cuối Chương 1 nghiên cứu về chuẩn và vết của các số đại số. Chương 2 trình bày việc vận dụng kiến thức lí thuyết trong Chương 1 để giải một số dạng toán sơ cấp. Trong phần đầu Chương 2, chúng tôi khai thác các tính chất về chuẩn, vết của các phần tử trong các vành √ √ √ √ √ Euclid Z[i], Z[ 2], Z[ 3], Z[ −2] cũng như các vành Z[ −11], Z[ −7], √ √ √ Z[ 5], Z[ 6], Z[ −6] để giải quyết các bài toán đại số sơ cấp, nhiều √ trong số đó có thể quy về bài toán về sự tồn tại nghiệm trong Z[ d]. Tiết cuối Chương 2 là hệ thống những bài toán sơ cấp mà lời giải của chúng sử dụng các kết quả về vành các số nguyên đại số, đặc biệt là tính đóng của các phép cộng, trừ, nhân trong tập các số nguyên đại số. Do thời gian và kiến thức hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót nhât định, kính mong quý thày cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này.
Chương 1 Vành Euclide và bao đóng nguyên Mục đích của chương 1 là trình bày các kết quả về vành Euclide, trong đó quan tâmhđếni3 lớp n vành√Euclide đặco biệt sau đây: √ - Vành Z d = a + b d |a, b ∈ Z với d ∈ {−1, 2, 3}. - Một số vành các số nguyên đại số. - Vành đa thức một biến trên một trường. √ √ √ 1.1 Vành Z[ d] và Z[ p, q] Nhiều khi để giải một bài toán ta phải sử dụng một vành nào đó. √ Trong mục này chúng tôi sử dụng vành Z[ d] với d là một số nguyên không chứa nhân tử chính phương. Mệnh đề 1.1.1. Cho số nguyên d > 1 không là số chính phương. Khi đó √ √ (1) Tập Z[ d] = {a+b d | a, b ∈ Z} cùng phép cộng và nhân lập thành √ √ một vành giao hoán có đơn vị và ánh xạ f : Z[ d] → Z[ d] cho bởi √ √ f (a + b d) = a − b d, là một tự đẳng cấu. √ √ (2) Tập Z[ −d] = {a + ib d | a, b ∈ Z} cùng phép cộng và nhân lập √ thành một vành giao hoán có đơn vị và ánh xạ f từ vành Z[ −d] √ √ √ đến vành Z[ −d] cho bởi f (a + ib d) = a − ib d là một tự đẳng cấu. 5
6 √ √ √ √ Với z = a + b d ∈ Z[ d], u = a + ib d ∈ Z[ −d], ta ký hiệu N (z) = a2 − db2 , N (u) = a2 + db2 . Ta gọi N (z) là chuẩn của z và N (u) là chuẩn của u. Khi đó ta có tính chất sau đối với chuẩn. √ √ Hệ quả 1.1.2. Với z1 , z2 , . . . , zn ∈ Z[ d] và u1 , u2 , . . . , un ∈ Z[ −d] ta luôn có hệ thức N (z1 z2 . . . zn ) = N (z1 )N (z2 ) . . . N (zn ) N (u1 u2 . . . un ) = N (u1 )N (u2 ) . . . N (un ). √ √ Chứng minh. Giả sử zk = ak + bk d ∈ Z[ d] với k = 1, . . . , n, và viết n Q √ √ tích (ak + bk d) = a + b d. Qua tự đẳng cấu liên hợp ta có ngay k=1 n Q √ √ (ak − bk d) = a − b d. Vì k=1 n n n 2 2 Y √ Y √ Y a −b d= (ak + bk d) (ak − bk d) = (a2k − b2k d) k=1 k=1 k=1 Nên ta suy ra N (z1 z2 . . . zn ) = N (z1 )N (z2 ) . . . N (zn ). Tương tự, ta cũng có N (u1 u2 . . . un ) = N (u1 )N (u2 ) . . . N (un ). Sử dụng định nghĩa của đẳng cấu vành, ta có thể kiểm tra được tính chất sau đây. Mệnh đề 1.1.3. Giả thiết p, q là hai số nguyên dương không có nhân tử chính phương sao cho (p, q) = 1. Khi đó tập √ √ √ √ √ Z[ p, q] = {a + b p + c q + d pq | a, b, c, d ∈ Z} cùng phép cộng và nhân thông thường lập thành một vành giao hoán √ √ √ √ có đơn vị và các ánh xạ φi : Z[ p, q] → Z[ p, q] cho ứng phần tử
7 √ √ √ z = a + b p + c q + d pq với phần tử  √ √ √  φ 1 (z) = a + b p + c q + d pq   √ √ φ (z) = a − b p + c q − d pq √ 2 √ √ √  φ3 (z) = a + b p − c q − d pq φ (z) = a − b√p − c√q + d√pq   4 là những tự đẳng cấu, với i=1,2,3,4. √ √ Với z ∈ Z[ p, q], đặt N (z) = φ1 (z)φ2 (z)φ3 (z)φ4 (z). Ta gọi N (z) là chuẩn của z. Khi đó, sử dụng các đẳng cấu trong mệnh đề trên ta có tính chất sau của chuẩn. √ √ Hệ quả 1.1.4. Nếu z1 , z2 ∈ Z[ p, q] thì N (z1 z2 ) = N (z1 )N (z2 ). √ √ √ √ Chứng minh. Với z1 , z2 ∈ Z[ p, q], ta có z1 z2 ∈ Z[ p, q]. Hơn nữa, φi (z1 z2 ) = φi (z1 )φi (z2 ). Vậy 4 Y 4 Y N (z1 z2 ) = φi (z1 ) φi (z2 ) = N (z1 )N (z2 ). i=1 i=1 Cho α ∈ C. Ký hiệu Q[α] = {f (α) | f (x) ∈ Q[x]}; n f (α) o Q(α) = | f (x), g(x) ∈ Q[x], g(α) 6= 0 . g(α) Khi đó Q [α] là vành con nhỏ nhất của C chứa Q và α. Hơn nữa, Q (α) là trường con nhỏ nhất của C chứa Q và α. Rõ ràng Q (α) chứa Q [α]. Nếu α là số đại số (tức α là nghiệm của một đa thức khác không với hệ số trong Q) thì Q (α) = Q [α] (xem Định lý 1.3.15). Với α, β ∈ C, đặt Q (α, β) = (Q (α)) (β). Khi đó Q (α, β) là trường con nhỏ nhất của C chứa Q, α, β.
8 Mệnh đề 1.1.5. Cho p, q là hai số nguyên dương không có nhân tử chính √ √ √ √ phương sao cho (p, q) = 1. Khi đó Q p, q = Q p + q .Hơn nữa √ √ √ √ Q p, q = Q p, q . √ √ √ √ √ √ √ √ Chứng minh. Vì p+ q ∈ Q p, q nên Q p+ q ⊆ Q p, q . √ √ Đặt u = p + q. Khi đó ta có hệ (√ √ p+ q =u √ √ (p + 3q) p + (q + 3p) q = u3 . √ √ Suy ra p, q ∈ Q(u). Như vậy √ √ √ √ Q p+ q ⊇ Q p, q . √ √ √ √ Tóm lại Q p, q = Q p + q . Dễ dàng chỉ ra √ √ √ √ Q p, q = Q p, q . 1.2 Vành Euclide Trước tiên ta nhắc lại một vài khái niệm. Phần tử p 6= 0 và không khả nghịch thuộc miền nguyên R được gọi là phần tử bất khả quy nếu nó không có ước thực sự. Phần tử p 6= 0 không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R và p|ab thì p|a hoặc p|b. Chú ý rằng trong mọi miền nguyên, mỗi phần tử nguyên tố đều là một phần tử bất khả quy. Miền nguyên R được gọi là một vành chính nếu mỗi iđêan của nó là iđêan chính. Định nghĩa 1.2.1. Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide nếu tồn tại một ánh xạ (Euclide) δ : R∗ = R \ {0} → N thỏa mãn hai điều kiện dưới đây: (i) Với a, b ∈ R∗ , a 6= 0 và b|a, có δ(b) 6 δ(a).
9 (ii) Với a, b ∈ R, b 6= 0, luôn có hai phần tử q, r ∈ R sao cho a = bq + r và δ(r) < δ(b) khi r 6= 0. Ví dụ 1.2.2. Z là vành Euclide với ánh xạ g : Z∗ → N cho tương ứng g (n) = |n|, trong đó Z∗ = Z\ {0}. Ví dụ 1.2.3. Nếu K là một trường thì K là vành Euclide với ánh xạ g : K ∗ → N cho bởi g (a) = 1, với mọi a ∈ K ∗ = K \ {0}. Thật vậy, ta có g (ab) = 1 = g (a) với mọi a, b ∈ K ∗ . Với b ∈ K ∗ , a ∈ K ta luôn có a = b b−1 a + 0. Thực tế với một số nguyên dương n tùy ý, ánh xạ cho ứng mỗi phần tử của K ∗ với n cũng là ánh xạ Euclide. Mệnh đề 1.2.4. Mỗi vành Euclide đều là một vành chính. Chứng minh. Giả sử R là một miền nguyên và là vành Euclide với ánh xạ Euclide δ : R∗ = R \ {0} → N. Giả sử I là một iđêan của R. Nếu I = (0) thì I là iđêan chính sinh bởi 0. Nếu I 6= (0) thì có a ∈ I, a 6= 0, sao cho δ(a) là số nhỏ nhất trong tập δ(I ∗ ), trong đó I ∗ = I \ {0}. Giả sử x ∈ I. Vì R là vành Euclide nên tồn tại q, r ∈ R sao cho x = aq + r. Vì a, x ∈ I nên r ∈ I. Nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(a), điều này mâu thuẫn với giả thiết về cách chọn phần tử a. Vậy r = 0 và do đó I = (a). Vành Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} được gọi là vành các số nguyên Gauss. Chuẩn của phần tử z = a + bi là N (z) = a2 + b2 . Mệnh đề 1.2.5. Vành Z[i] là vành Euclide. Chứng minh. Giả sử z = a + bi và z1 = a1 + b1 i 6= 0. Ta chỉ ra có z2 = a2 + b2 i ∈ Z[i] sao cho N (z − z1 z2 ) < N (z1 ). Thật vậy, từ biến đổi sau z a + bi (a + bi)(a1 − b1 i) (aa1 + bb1 ) − (ab1 − a1 b)i = = = z1 a1 + b 1 i a21 + b21 a21 + b21 và chọn a2 , b2 ∈ Z với
aa + bb
1
a b − ab
1
1 1
1 1 − a2
6 ,
2 − b2
6 .