Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chẵn lẻ của số nhân tử bất khả quy Modulo P của đa thức hệ số nguyên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số kiến thức về kết thức của hai đa thức. biệt thức của đa thức và đồng cấu FErobenius; trình bày về định lý Stickelberger, một số ví dụ mình họa, và một tương tự của định lý này cho đa thức thực; định lý Stickelberger và luật thuận nghịch bậc hai Chương này trình bày về ký hiệu Legendre. luật thuận nghịch bậc hai và một chứng minh của luật này sử dụng Định lý Stickelberger.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chẵn lẻ của số nhân tử bất khả quy Modulo P của đa thức hệ số nguyên

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o M THÀ NGÅC TM V TNH CHN L CÕA SÈ NHN TÛ BT KH QUY MODULO P CÕA A THÙC H SÈ NGUYN LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 5/2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o M THÀ NGÅC TM V TNH CHN L CÕA SÈ NHN TÛ BT KH QUY MODULO P CÕA A THÙC H SÈ NGUYN Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè: 8 46 01 13 LUN VN THC S TON HÅC GIO VIN H×ÎNG DN TS. NGUYN DUY TN THI NGUYN, 5/2019
iii Möc löc Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 K¸t thùc cõa hai a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bi»t thùc cõa a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tü çng c§u Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Ch÷ìng 2. ành lþ Stickelberger 12 2.1 Nghi»m cõa a thùc b§t kh£ quy trong Fp [x] . . . . . . . . 12 2.2 ành lþ Stickelberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguy¶n tè . . . . 17 2.4 T÷ìng tü cõa ành lþ Stickelberger cho a thùc thüc . . . . 19 Ch÷ìng 3. ành lþ Stickelberger v luªt thuªn nghàch bªc hai 21 3.1 Kþ hi»u Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 ành lþ Stickelberger v luªt thuªn nghàch bªc hai . . . . . 22 3.3 ành lþ Stickelberger modulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 26 K¸t luªn 32 T i li»u tham kh£o 33
1 Mð ¦u Cho f (x) ∈ Z[x] l mët a thùc chu©n (monic) h» sè nguy¶n bªc n v khæng câ nghi»m phùc k²p. Gåi D(f ) l bi»t thùc cõa f . Cho p l mët sè nguy¶n tè l´ v gåi Fp = Z/pZ l tr÷íng húu h¤n câ p ph¦n tû. Gåi f¯(x) ∈ Fp [x] l a thùc nhªn ÷ñc tø f b¬ng c¡ch thu gån h» sè modulo p. Gåi r l sè nh¥n tû b§t kh£ quy cõa f¯. Khi â mët ành lþ cõa Stickelberger kh¯ng ành r¬ng r v n câ còng t½nh ch®n l´, tùc l r ≡ n (mod 2), khi v ch¿ khi D(f ) l b¼nh ph÷ìng modulo p. Möc ti¶u cõa luªn v«n l t¼m hiºu v· chùng minh cõa ành lþ Stickel- berger n y công nh÷ ùng döng cõa nâ trong chùng minh luªt thuªn nghàch bªc hai. Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v T i li»u tham kh£o, bè cöc cõa luªn v«n ÷ñc chia l m ba ch÷ìng. Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thùc, bi»t thùc cõa a thùc v çng c§u Frobenius. Ch÷ìng 2. ành lþ Stickelberger Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· ành lþ Stickelberger, mët sè v½ dö minh håa, v mët t÷ìng tü cõa ành lþ n y cho a thùc thüc. Ch÷ìng 3. ành lþ Stickelberger v luªt thuªn nghàch bªc hai Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· kþ hi»u Legendre, luªt thuªn nghàch bªc hai v mët chùng minh cõa luªt n y sû döng ành lþ Stickelberger. Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n v ho n th nh v o th¡ng 5 n«m 2019 t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc- ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Qua ¥y, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi TS Nguy¹n Duy T¥n, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n trong suèt qu¡ tr¼nh l m vi»c º ho n th nh luªn v«n n y. T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n Khoa To¡n-Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, ¢ t¤o måi i·u ki»n º gióp t¡c gi£ håc tªp v ho n th nh luªn v«n công nh÷ ch÷ìng tr¼nh th¤c s¾. T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp cao håc K11D, khâa 05/2017 - 05/2019 ¢ ëng vi¶n gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh luªn v«n
2 n y. çng thíi t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u v c¡c çng nghi»p t¤i tr÷íng THCS H÷ng ¤o, æng Tri·u, Qu£ng Ninh ¢ t¤o i·u ki»n cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh luªn v«n. Xin ch¥n th nh c£m ìn. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2019 X¡c nhªn cõa ng÷íi h÷îng d¨n Ng÷íi vi¸t luªn v«n TS. Nguy¹n Duy T¥n m Thà Ngåc T¥m
3 Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thùc, bi»t thùc cõa a thùc v çng c§u Frobenius. T i li»u tham kh£o sû döng cho ch÷ìng n y l t i li»u [2, Section 6.6] v [3, Chapter 15]. 1.1 K¸t thùc cõa hai a thùc Gi£ sû f, g l hai a thùc bi¸n x vîi c¡c h» sè trong mët tr÷íng F . Gi£ sû K l mët tr÷íng âng ¤i sè chùa F . Gåi α1 , . . . , αn l t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa f trong K , tùc l f (x) = a(x − α1 )(x − α2 )...(x − αn ), vîi a ∈ K n o â. T÷ìng tü, gåi β1 , . . . , βm l t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa g trong K , tùc l g(x) = b(x − β1 )(x − β2 )...(x − βm ), vîi b ∈ K n o â. Ta ành ngh¾a k¸t thùc cõa f v g , R(f, g) l n Y Y m m n R(f, g) = a b (αi − βj ) (n = deg f, m = deg g). i=1 j=1 Ta li»t k¶ d÷îi ¥y mët sè t½nh ch§t cõa k¸t thùc. T½nh ch§t 1.1.1. R(g, f ) = (−1)mnR(f, g).
4 Chùng minh. Ta câ m Y Y n n Y Y m m n m n R(g, f ) = a b (βj − αi ) = a b (αi − βj ) = (−1)mn R(f, g). j=1 i=1 i=1 j=1 Ta câ i·u ph£i chùng minh T½nh ch§t 1.1.2. R(f, g) = 0 n¸u f v g câ mët nh¥n tû chung bªc d÷ìng. Chùng minh. N¸u f v g câ mët nh¥n tû chung l h(x) ∈ F [x]. Khi â gåi α ∈ K mët nghi»m cõa h trong K . Nh÷ vªy tçn t¤i i, j sao cho αi = α v βj = α. Ta suy ra trong t½ch ành ngh¾a R(f, g) câ nh¥n tû αi − βj = 0 v do vªy R(f, g) = 0. n m T½nh ch§t 1.1.3. R(f, g) = a Y Y m g(αi ) = (−1) mn n b f (βj ). i=1 j=1 Chùng minh. V¼ g(x) = b nj=1 (x − βi ), n¶n ta câ g(αi ) = b nj=1 (αi − βj ), Q Q vîi måi i = 1, . . . , n. Do vªy n Y n Y Y n m m n a g(αi ) = a b (αi − βj ) = R(f, g). i=1 i=1 j=1 T÷ìng tü (ho°c sû döng T½nh ch§t 1.1.1) ta suy ra m Y mn n R(f, g) = (−1) b f (βj ). j=1 T½nh ch§t 1.1.4. N¸u g(x) = f q + r, th¼ R(f, g) = am−deg r R(f, r). Chùng minh. Tø T½nh ch§t 1.1.3, ta câ n Y n Y deg g deg g R(f, g) = a g(αi ) = a [f (αi )q(αi ) + r(αi )]. i i=1
5 V¼ αi l nghi»m cõa cõa f , n¶n f (αi ) = 0 v do vªy f (αi )q(αi ) + r(αi ) = r(α). Do â ta câ n Y deg g R(f, g) = a r(αi ). i=1 Qn M°t kh¡c, công theo T½nh ch§t 1.1.3 R(f, r) = adeg r i=1 r(αi ). Do vªy n Y deg g R(f, g) = a r(αi ) = adeg g−deg r R(f, r). i=1 T½nh ch§t 1.1.5. R(f, b) = bdeg f n¸u b l væ h÷îng. Chùng minh. °t g(x) = b. Theo T½nh ch§t 1.1.3 n Y 0 R(f, g) = a g(αi ) = bn . i=1 C¡c T½nh ch§t 1.1.1,1.1.4, 1.1.5 cho ph²p ta t½nh to¡n k¸t thùc cõa b§t k¼ hai a thùc n o b¬ng thuªt to¡n chia cõa Euclid. C¡c t½nh ch§t n y công cho ph²p ta chùng minh ÷ñc r¬ng k¸t thùc R(f, g) l mët ph¦n tû cõa tr÷íng F m°c dò nâ ÷ñc ành ngh¾a düa theo c¡c ph¦n tû trong tr÷íng lîn hìn K . T½nh ch§t 1.1.6. Ta câ R(f, g) n¬m trong F . Chùng minh. Ta chùng minh b¬ng quy n¤p theo deg f . N¸u g = b l h¬ng sè thuëc F . Th¼ theo T½nh ch§t 1.1.1 v 1.1.5, R(f, g) = R(b, f ) = R(f, b) = bn thuëc F. Gi£ sû kh¯ng ành ¢ óng vîi måi måi a thùc f v g vîi f câ bªc nhä hìn ho°c b¬ng n − 1. X²t f v g l hai a thùc tòy þ vîi deg f = n ≥ 1. Khi â theo thuªt to¡n chia a thùc, tçn t¤i hai a thùc q v r trong F [x] sao cho g = f q + r, vîi r = 0 ho°c deg r < deg f = n. Theo T½nh ch§t 1.1.4, T½nh ch§t 1.1.1 v theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f ) thuëc F . Ta câ i·u ph£i chùng minh.
6 T½nh ch§t 1.1.7. Ta câ 1. N¸u f = f1 f2 th¼ R(f, g) = R(f1 , g)R(f2 , g). 2. N¸u g = g1 g2 th¼ R(f, g) = R(f, g1 )R(f, g2 ). Chùng minh. Suy ra tø T½nh ch§t 1.1.3. 1.2 Bi»t thùc cõa a thùc Cho f = f (x) ∈ F [x] l a thùc vîi h» sè trong tr÷íng F v K l mët tr÷íng âng ¤i sè chùa F . Bi»t thùc cõa f ÷ñc ành ngh¾a l D(f ) = (−1)n(n−1)/2 R(f, f 0 ), ð ¥y f 0 l ¤o h m cõa f v n = deg f . Theo T½nh ch§t 1.1.2, ta câ D(f ) 6= 0 n¸u v ch¿ n¸u f v f 0 khæng câ thøa sè chung. Chóng ta câ thº t½nh to¡n D(f ) b¬ng c¡ch sû döng thuªt to¡n Euclid tr¶n f v f 0 . D÷îi ¥y l mët sè v½ dö. V½ dö 1.2.1. X²t f (x) = x − a. Khi â f 0(x) = 1, v¼ vªy D(f ) = (−1)(1.0)/2 R(f, 1) = R(f, 1) = 1deg f = 1. V½ dö 1.2.2. X²t f (x) = x2 + ax + b. Khi â f 0 (x) = 2x + a v D(f ) = −R(f, f ). Ta câ 0 2 a x a2 x + ax + b = (2x + a) + + (b − ). 2 4 4 a2 °t r = b − . Ta câ 4 D(f ) = −R(f, f 0 ) = −R(f 0 , f ) (theo T½nh ch§t 1.1.1) = 2deg f −deg r (−1)R(f 0 , r) ( theo T½nh ch§t 1.1.4) = −22−0 R(f 0 , r) = −4r = a2 − 4b.
7 V½ dö 1.2.3. Cho f (x) = x3 + qx + r. Th¼ f 0(x) = 3x2 + q v thüc hi»n thuªt to¡n Euclid, ta câ x 2q x3 + qx + r = (3x2 + q) + x+r , 3 3 27r2 2 2q 9x 27r 3x + q = x+r − 2 + q+ . 3 2q 4q 4q 2 Do â D(f ) = (−1)3·2/2 R(f, f 0 ) = −R(f, f 0 ) = −R(f 0 , f ) (theo T½nh ch§t 1.1.1) 2qx = −3deg f −1 R(f 0 , + r) (theo T½nh ch§t 1.1.4) 3 2qx = −9R( + r, f 0 ) (theo T½nh ch§t 1.1.1) 2 3 2q 2qx 27r2 = −9 R( + r, q + ) 3 3 4q 2 27r2 = −4q 2 (q + 2 ) = −4q 3 − 27r2 . 4q V½ dö 1.2.4. X²t f (x) = xn − 1 ∈ F [x]. Ta i t½nh bi»t thùc cõa f (x). Gåi α1 , . . . , αn l n nghi»m trong K (mët tr÷íng âng ¤i sè chùa F ) cõa a thùc f (x) = xn − 1. Ta câ f 0 (x) = nxn−1 . Do vªy n Y 0 D(f ) = (−1) n(n−1)/2 R(f, f ) = (−1) n(n−1)/2 f 0 (αk ) k=1 n !n−1 Y n(n−1)/2 n = (−1) n αk k=1 = (−1)n(n−1)/2 nn (−1) n(n−1) = (−1)n(n−1)/2 nn . V¼ theo ành lþ Vi²te α1 · · · αn = (−1)n . a thùc f (x) ∈ F [x] ÷ñc gåi l mët a thùc chu©n (monic) n¸u h» sè ùng vîi sè mô cao nh§t cõa nâ b¬ng 1. M»nh · 1.2.5. Cho f l mët a thùc monic v α1, . . . , αn l c¡c nghi»m
8 cõa nâ trong tr÷íng âng ¤i sè K . Khi â  2 Y j−1 n Y Y D(f ) =  (αi − αj ) = (αi − αj )2 . j=2 i=1 1≤i j . Nh¥n méi thøa sè d¤ng thù hai vîi (−1) ta câ i·u ph£i chùng minh. V½ dö 1.2.6. Ta i t½nh bi»t thùc cõa a thùc monic bªc 2 v bªc 3 sû döng cæng thùc t½nh bi»t thùc trong m»nh · tr÷îc. (a) X²t f (x) = x2 + ax + b ∈ F [x]. Gåi α1 , α2 l hai nghi»m cõa f (trong mët tr÷íng âng ¤i sè n o â chùa F ). Khi â bi»t thùc cõa f l D(f ) = (α1 − α2 )2 = (α1 + α2 )2 − 4α1 α2 = a2 − 4b. (b) X²t a thùc f (x) = x3 +qx+r ∈ F [x]. Gåi α1 , α2 , α3 l c¡c nghi»m cõa f . Khi â bi»t thùc cõa f l D(f ) = (α2 − α1 )2 (α3 − α1 )2 (α3 − α2 )2 . Ta câ x3 + qx + r = (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 ).
9 L§y ¤o h m hai v¸ theo x, ta suy ra 3x2 + q = (x − α1 )(x − α2 ) + (x − α1 )(x − α3 ) + (x − α2 )(x − α3 ). Do vªy, thay x = α1 , α2 v α3 ta ÷ñc 3α12 + q = (α1 − α2 )(α1 − α3 ), 3α22 + q = (α2 − α1 )(α2 − α3 ), 3α32 + q = (α3 − α1 )(α3 − α2 ). Ta suy ra D(f ) = −(3α12 + q)(3α22 + q)(3α32 + q) = −[27(α1 α2 α3 )2 + 9q(α12 α22 + α12 α32 + α22 α32 ) + 3q 2 (α12 + α22 + α32 ) + q 3 ]. Ta câ α1 α2 α3 = −r, v α12 α22 + α12 α32 + α22 α32 = (α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 )2 − 2α1 α2 α3 (α1 + α2 + α3 ) = q2, v α12 + α22 + α32 = (α1 + α2 + α3 )2 − 2(α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 ) = −2q. Do vªy D(f ) = −[27r2 + 4q 3 ] = −4q 3 − 27r2 . M»nh · 1.2.7. Cho f v g l hai a thùc monic trong F [x]. Khi â D(f g) = D(f )D(g)R(f, g)2 . Chùng minh. Gåi n = deg f v m = deg g . Khi â m + n = deg(f g). Ta câ (−1)(m+n)(m+n−1)/2 D(f g) = R(f g, (f g)0 ) = R(f g, f 0 g + f g 0 ) = R(f, f 0 g + f g 0 )R(g, f 0 g + f g 0 )
10 = R(f, f 0 g)R(g, f g 0 ) = R(f, f 0 )R(f, g)R(g, f )R(g, g 0 ) = (−1)n(n−1)/2 D(f )R(f, g)(−1)mn R(f, g)(−1)m(m−1)/2 D(g) = (−1)n(n−1)/2+mn+m(m−1)/2 D(f )D(g)(R(f, g))2 . Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh v¼ (m + n)(m + n − 1) n(n − 1) m(m − 1) = + mn + . 2 2 2 M»nh · 1.2.8. Cho f1, . . . , fr l c¡c a thùc monic trong F [x]. Khi â D(f1 · · · fr ) = D(f1 ) · · · D(fr )R2 , ð ¥y R = R(fi , fj ) ∈ F . Q 1≤i
11 p (Ð ¥y ta ¢ sû döng nhªn x²t r¬ng p | .) Nh÷ vªy φp l tü çng c§u k cõa tr÷íng K . nh x¤ φp nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l tü çng c§u Frobenius cõa K. Bê · 1.3.1. Cho a l mët ph¦n tû trong K . Khi â φp(a) = a khi v ch¿ khi a thuëc Fp . Chùng minh. N¸u a thuëc Fp th¼ theo ành lþ Fermat nhä, ta câ φp (a) = ap = a. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû φp (a) = a. Ta suy ra a ∈ K l nghi»m cõa a thùc x − x. Theo ành lþ Fermat nhä p ph¦n tû trong Fp ·u l nghi»m cõa p a thùc xp − x. V¼ xp − x câ bªc b¬ng p n¶n p ph¦n tû cõa Fp ch½nh l t§t c£ c¡c nghi»m cõa xp − x. Do a l mët trong c¡c nghi»m n y n¶n a thuëc Fp . Ta mð rëng ¡nh x¤ φp l¶n ¡nh x¤ tø K[x] v o K[x] nh÷ sau. Vîi f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , ta ành ngh¾a φp (f (x)) = φp (an )xn + · · · + φp (a1 )x + φp (a0 ) = apn xn + · · · + ap1 x + ap0 . Bê · 1.3.2. Cho f (x) ∈ K[x]. Khi â φp(f (x)) = f (x) khi v ch¿ khi f (x) ∈ Fp [x]. Chùng minh. Suy ra ngay tø bê · tr÷îc.
12 Ch÷ìng 2. ành lþ Stickelberger Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· ành lþ Stickelberger, mët sè v½ dö minh håa, v mët t÷ìng tü cõa ành lþ n y cho a thùc thüc. T i li»u tham kh£o sû döng cho ch÷ìng n y l [3, Chapter 15] v [2, Section 6.6]. Cho f (x) ∈ Z[x] l mët a thùc chu©n (monic) h» sè nguy¶n bªc n v gåi D(f ) l bi»t thùc cõa f . Cho p l mët sè nguy¶n tè l´ v gi£ sû p - D(f ). Gåi f¯(x) ∈ Fp [x] l a thùc nhªn ÷ñc tø f b¬ng c¡ch thu gån h» sè modulo p. Gåi r l sè nh¥n tû b§t kh£ quy cõa f¯. Khi â ành lþ Stickelberger kh¯ng ành r¬ng r v n câ còng t½nh ch®n l´, tùc l r ≡ n (mod 2), khi v ch¿ khi D(f ) l b¼nh ph÷ìng modulo p. ành lþ n y n¬m trong mët k¸t qu£ cõa Stickelberger [4]. Nâ công ÷ñc chùng minh bði Skolem (1952), Phi¶n b£n èi vîi p = 2 cõa ành lþ Stickelberger (s³ ÷ñc tr¼nh b y ð Ch÷ìng 3, möc 3) công n¬m trong mët k¸t qu£ cõa Stickelberger, v nâ công ÷ñc chùng minh bði Carlitz (1953), Dalen (1955), Swan (1962), Berlekamp (1968). 2.1 Nghi»m cõa a thùc b§t kh£ quy trong F [x] p Bê ·p 2.1.1. Gi£ sû α ∈ K l mët nghi»m cõa a thùc f (x) ∈ Fp[x]. Khi â α công l nghi»m cõa f (x). Chùng minh. TaPvi¸t f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ Fp . Khi â 0 = f (α) = ni=0 ai αi . Sû döng çng c§u Frobenius φp , ta câ n ! n n X X X i i 0 = φp (0) = φp ai α = φp (ai )φp (α ) = ai αpi = f (αp ). i=0 i=0 i=0 Ð tr¶n ta ¢ sû döng t½nh ch§t φp (a) = a vîi måi a ∈ Fp .
13 M»nh · 2.1.2. Cho f (x) l mët a thùc monic b§t kh£ quy trong Fp[x] vîi bªc d. Cho K l mët tr÷íng chùa Fp , v α ∈ K l mët nghi»m cõa f (x). Khi â trong K[x], ta câ 2 d−1 f (x) = (x − α)(x − αp )(x − αp ) . . . (x − αp ). 2 Chùng minh. Theo bê · tr÷îc, ta câ α, αp , αp , . . . ·u l nghi»m cõa f (x). V¼ a thùc f (x) ch¿ câ húu h¤n nghi»m trong K , n¶n tçn t¤i hai sè k l l k nguy¶n khæng ¥m ph¥n bi»t k < l sao cho αp = αp . Ta câ 0 = αp −αp = l−k k l−k (αp − α)p . Suy ra αp = α. Nh÷ vªy tçn t¤i sè tü nhi¶n nhä nh§t r r sao cho αp = α. 2 r−1 k h Ta câ α, αp , αp . . . , αp ·u ph¥n bi»t (n¸u khæng gi£ sû ap = αp h−k vîi h, k, 1 ≤ k < h < r n o â; th¼ nh÷ lªp luªn tr÷îc αp = α, m¥u thu¨n vîi t½nh nhä nh§t cõa r). V¼ vªy f câ ½t nh§t r nghi»m ph¥n bi»t trong K . Do â r ph£i nhä hìn ho°c b¬ng bªc cõa f , tùc l r ≤ d. °t r−1 g(x) = (x − α)(x − αp ) · · · (x − αp ). r−1 V¼ (αp )p = α, n¶n r−1 φp (g(x)) = φp (x − α)φp (x − αp ) · · · φp (x − αp ) 2 r = (x − αp )(x − αp ) · · · (x − αp ) = g(x). Do vªy g(x) n¬m trong Fp [x]. Hiºn nhi¶n α l mët nghi»m cõa g(x). Chia a thùc f (x) cho g(x) ta câ f (x) = g(x)q(x) + h(x), vîi q(x), h(x) ∈ Fp [x] v h = 0 ho°c deg h < r. Vîi måi i = 0, . . . , r − 1 ta câ i i i i h(αp ) = f (αp ) − g(αp )q(αp ) = 0. r−1 Nh÷ vªy a thùc h câ ½t nh§t r nghi»m ph¥n bi»t α, αp , . . . , αp . Do â h ph£i l a thùc 0 v do vªy f (x) = g(x)q(x). V¼ f (x) l b§t kh£ quy v monic n¶n f (x) = g(x) v r = d. Ta câ i·u ph£i chùng minh.
14 2.2 ành lþ Stickelberger ành lþ 2.2.1. Cho p l mët sè nguy¶n tè l´, f (x) l mët a thùc monic bªc m vîi c¡c h» sè trong Fp . Gi£ sû D(f ) 6= 0. Gåi r l sè c¡c nh¥n tû b§t kh£ quy cõa f (x) trong Fp [x]. Khi â r ≡ m (mod 2) khi v ch¿ khi D(f ) l mët b¼nh ph÷ìng trong Fp . Chùng minh. ¦u ti¶n chóng ta chùng minh ành lþ cho tr÷íng hñp r = 1. Trong tr÷íng hñp n y f (x) l b§t kh£ quy bªc m. Gåi K l mët tr÷íng âng ¤i sè chùa Fp . Gåi α ∈ K l mët nghi»m cõa f . Khi â t§t c£ c¡c 2 m−1 nghi»m cõa f l α, αp , αp , . . . , αp theo M»nh · 2.1.2. Chó þ r¬ng ta pm công câ α = α. °t m−1 j−1 pi pj i j YY Y δ(f ) = (α − α ) = (αp − αp ). j=1 i=0 0≤i
15 Nh÷ vªy D(f ) l b¼nh ph÷ìng trong Fp ⇔ δ(f ) ∈ Fp ⇔ φp (δ(f )) = δ(f ) ⇔ (−1)m−1 δ(f ) = δ(f ) ⇔ (−1)m−1 = 1. ⇔ m ≡ 1 (mod 2). Nh÷ vªy ành lþ óng vîi r = 1. B¥y gií ta gi£ sû f = f1 f2 . . . fr l t½ch cõa r nh¥n tû b§t kh£ quy ph¥n bi»t. Ta ành ngh¾a δ(f ) v δ(fi ) t÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hñp r = 1 ð tr¶n. Theo M»nh · 1.2.8, ta câ D(f ) = D(f1 f2 . . . fr ) = D(f1 )D(f2 ) . . . D(fr )R2 , vîi R n o â thuëc Fp . Do â, trong K ta câ δ(f ) = δ(f1 )δ(f2 ) . . . δ(fr )S, vîi S = ±R ∈ Fp . Theo tr÷íng hñp r = 1, vîi måi i = 1, . . . , r, ta câ φp (δ(fi )) = (−1)di −1 δ(fi ), ð nìi di = deg fi . Do â φ(δ(f )) = δ(f1 )δ(f2 ) . . . δ(fr )S(−1)d1 −1 (−1)d2 −1 . . . (−1)dr −1 = δ(f )(−1)d1 +d2 +···+dr −r = (−1)m−r δ(f ). (Chó þ r¬ng d1 + · · · + dr = deg f = m.) Tø â ta câ D(f ) l b¼nh ph÷ìng trong Fp ⇔ δ(f ) ∈ Fp ⇔ φp (δ(f )) = δ(f ) ⇔ (−1)m−r δ(f ) = δ(f ) ⇔ (−1)m−r = 1 ⇔ m ≡ r (mod 2). Ta câ i·u ph£i chùng minh. Chùng minh ành lþ Stickelberger ÷a ra ð tr¶n l chùng minh (vîi sûa êi th½ch hñp) cõa Swan(1962) v Berlekamp (1968). V½ dö 2.2.2. X²t f (x) = x2 + x + 1 ∈ F2[x] câ bªc d = 2. V¼ f (0) = f (1) = 1 6= 0 trong F2 n¶n f (x) khæng câ nghi»m trong F2 v do vªy f (x) ∈ F2 [x] l b§t kh£ quy. Trong tr÷íng hñp n y sè nh¥n tû b§t kh£ quy monic cõa f (x) l r = 1.
16 M°t kh¡c bi»t thùc cõa f (x) l D = 1 − 4 · 1 = 1 l b¼nh ph÷ìng trong F2 . Hiºn nhi¶n kh¯ng ành r ≡ d ⇔ D l b¼nh ph÷ìng mod 2 l sai trong tr÷íng hñp n y. Nh÷ vªy ph¡t biºu cõa ành lþ Stickelberger khæng cán óng núa cho tr÷íng hñp p = 2. H» qu£ 2.2.3.3 Cho p 2l mët sè nguy¶n tè l´ v f (x) = x3 +qx+r ∈ Fp[x]. Gåi D = −4q − 27r l bi»t thùc cõa f . Gi£ sû p - D. Gåi Np (f ) l sè nghi»m cõa f tr¶n Fp . Khi â ( 0 ho°c 3 n¸u D l b¼nh ph÷ìng trong Fp Np (f ) = 1 n¸u D khæng l b¼nh ph÷ìng trong Fp . Chùng minh. Gåi r l sè nh¥n tû b§t kh£ quy monic cõa f (x) tr¶n Fp . Rã r ng r ch¿ câ thº nhªn c¡c gi¡ trà 1. r = 1, tùc l f b§t kh£ quy tr¶n Fp v Np (f ) = 0, 2. r = 2, tùc l f câ duy nh§t mët nghi»m tr¶n Fp v Np (f ) = 1, 3. ho°c r = 3, tùc l f câ 3 nghi»m ph¥n bi»t tr¶n Fp v Np (f ) = 3. ành lþ Stickelberger nâi r¬ng D l b¼nh ph÷ìng trong Fp ⇔ r ≡ deg f (mod 2) ⇔ r = 1 ho°c 3 ⇔ Np (f ) = 0 ho°c 3. Ta câ i·u ph£i chùng minh V½ dö 2.2.4. X²t a thùc f (x) = x3 − x − 1. Bi»t thùc cõa f l D = −4q 3 − 27r2 = −23. • N¸u p = 3 th¼ D = −23 ≡ 12 (mod 3) l b¼nh ph÷ìng modulo 3. Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np (f ) = 0 ho°c 3. Thüc t¸ x3 − x − 1 l b§t kh£ quy modulo 3. • N¸u p = 5 th¼ D = −23 khæng l b¼nh ph÷ìng modulo 5. Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np (f ) = 1. Thüc t¸ x = 2 l nghi»m duy nh§t cõa x3 − x − 1
17 modulo 5 v ph¥n ta câ ph¥n t½ch (x3 − x − 1) = (x − 2)(x2 + 2x + 3) (mod 5). • N¸u p = 7 th¼ D = −23 = 5 (mod 7) khæng l b¼nh ph÷ìng modulo 7. Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np (f ) = 1. Thüc t¸ x = 5 l nghi»m duy nh§t cõa x3 − x − 1 modulo 7 v ph¥n ta câ ph¥n t½ch (x3 − x − 1) = (x − 5)(x2 − 2x + 3) (mod 7). • N¸u p = 11 th¼ D = −23 = 10 (mod 11) l khæng b¼nh ph÷ìng modulo 11. Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np (f ) = 1. Thüc t¸ x = 6 l nghi»m duy nh§t cõa x3 − x − 1 modulo 11 v ph¥n ta câ ph¥n t½ch (x3 − x − 1) = (x − 6)(x2 + 6x + 2) (mod 11). • N¸u p = 13 th¼ D = −23 ≡ 3 = 42 (mod 13) l b¼nh ph÷ìng modulo 13. Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np (f ) = 0 ho°c 3. Thüc t¸ x3 − x − 1 b§t kh£ quy modulo 13. • N¸u p = 59 th¼ D = −23 ≡ 36 = 62 (mod 59) l b¼nh ph÷ìng modulo 59. Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np (f ) = 0 ho°c 3. Thüc t¸ x3 − x − 1 câ 3 nghi»m ph¥n bi»t modulo 59 v ta câ ph¥n t½ch x3 − x − 1 = (x − 4)(x − 13)(x − 42) (mod 59). 2.3 a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguy¶n tè K¸t qu£ sau l h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ Stickelberger. H» qu£ 2.3.1. Cho f (x) l mët a thùc monic bªc ch®n h» sè nguy¶n. Gi£ sû bi»t thùc D cõa f l mët sè ch½nh ph÷ìng kh¡c 0. Khi â vîi måi p nguy¶n tè l´ v khæng l ÷îc cõa D th¼ f (x) l kh£ quy modulo p. Chùng minh. Gåi r l sè nh¥n tû b§t kh£ quy monic modulo p cõa f (x). Rã r ng D l sè ch½nh ph÷ìng modulo p. Do vªy theo ành lþ Stickelberger, r ≡ deg f mod 2. Do vªy r l sè ch®n. Nâi ri¶ng r 6= 1 v f (x) l kh£ quy modulo p.