Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chính quy nghiệm của một lớp phương trình Elliptic với dữ liệu độ đo

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực thu hút nhiều nhất sự quan tâm của các nhà toán học. Liên quan đến việc nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm phương trình đạo hàm riêng, một trong các bài toán được nghiên cứu ban đầu là bài toán về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính chính quy nghiệm.... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chính quy nghiệm của một lớp phương trình Elliptic với dữ liệu độ đo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài "Về tính chính quy nghiệm của một lớp phương trình elliptic với dữ liệu độ đo" do chính tôi thực hiện. Các kết quả trong luận văn là trung thực và không sao chép bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã thừa kế những kết quả trong nhiều bài báo đã được công bố của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cám ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc và được phép công bố. Học viên thực hiện Trịnh Thị Ngọc Nga
LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, động viên từ quý cô, gia đình và bạn bè. Vì vậy, trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và TS. Nguyễn Thành Nhân đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán - Tin học, Phòng Sau Đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện tốt luận văn. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Toán Giải tích K27 đã hết lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Chân thành cảm ơn. Học viên thực hiện Trịnh Thị Ngọc Nga
MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Toán tử tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Độ đo Radon hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Điều kiện p-capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Nghiệm renormalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Các toán tử cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Đánh giá gradient trong không gian Lorentz 20 2.1 Đánh giá địa phương bên trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Đánh giá địa phương trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Kết quả chính quy nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 3. Ứng dụng vào phương trình dạng Riccati 47 3.1 Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Chuẩn trong không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình dạng Riccati 51 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 61
CÁC KÝ HIỆU Ω Miền mở, bị chặn trong Rn Ωc Phần bù của miền Ω trong Rn ∂Ω Biên của miền Ω diam(Ω) Đường kính của miền Ω Br (x) Quả cầu mở tâm x, bán kính r trong Rn |E| Độ đo Lebesgue của tập đo được E ⊂ Rn ∇u Gradient của hàm u : Rn → R div(F ) Divergence của hàm F : Rn → Rn Mb (Ω) Không gian độ đo Radon với biến phân bị chặn trên Ω Lp (Ω) Không gian Lebesgue các hàm đo được, có lũy thừa p khả tích trên Ω L∞ (Ω) Không gian các hàm đo được, bị chặn hầu khắp nơi trên Ω ffl E f (x)dx Tích phân trung bình của hàm f trên E ⊂ Rn W 1,p (Ω) Không gian Sobolev trên Ω 1,p Wloc (Ω) Không gian Sobolev địa phương trên Ω k.k Chuẩn C n (Ω) Tập các hàm khả vi liên tục cấp n trên Ω C ∞ (Ω) Tập các hàm khả vi liên tục vô hạn lần trên Ω Kết thúc chứng minh.
1 MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực thu hút nhiều nhất sự quan tâm của các nhà toán học. Liên quan đến việc nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm phương trình đạo hàm riêng, một trong các bài toán được nghiên cứu ban đầu là bài toán về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính chính quy nghiệm. Với sự phát triển liên tục, hiện nay có khá nhiều phương pháp được sử dụng để khảo sát các tính chất nghiệm này của phương trình đạo hàm riêng. Trong một số kỹ thuật gần đây, việc chứng minh được sự tồn tại, duy nhất nghiệm và nghiên cứu tính chính quy của nghiệm các phương trình đạo hàm riêng thường được áp dụng từ công cụ hữu hiệu từ tính bị chặn của các toán tử cực đại trong lĩnh vực Giải tích điều hòa, hoặc các kết quả đánh giá gradient cho nghiệm của phương trình đạo hàm riêng. Các phương pháp này dần chứng tỏ được sự hiệu quả, khi chứng minh được các kết quả chính quy nghiệm cho các lớp bài toán khá tổng quát với dữ liệu độ đo. Từ đó, các nghiên cứu về đánh
2 giá gradient cho nghiệm cũng bắt đầu được nhiều nhà toán học nghiên cứu sôi động, kéo theo rất nhiều kết quả được công bố trên các tạp chí toán học uy tín. Liên quan đến chủ đề này, có thể kể đến các công trình mới và tiêu biểu của các nhà toán học lớn như L.A. Caffarelli, E. DiBenedetto, L. Boccardo, F. Murat, G. Mingione, F. Duzaar, M. Colombo, T. Kuusi, L. Grafakos, T. Kilpelainen, J. Maly, Y. Sire, P. Baroni, L. Veron, S. Byun, T. Mengesha, . . . Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình elliptic tựa tuyến tính với dữ liệu độ đo, có dạng như sau:  −div(A(x, ∇u)) = µ trong Ω,  trên ∂Ω,   u = 0 trong đó Ω là miền mở, bị chặn trong Rn với n ≥ 2, µ là độ đo Radon hữu hạn trong Ω, toán tử phi tuyến A là hàm giá trị vector Carathédory thỏa: tồn tại p > 1 và hai hằng số dương ζ , ν sao cho |A(x, ξ)| ≤ ζ|ξ|p−1 , p−2 hA(x, ξ) − A(x, η), ξ − ηi ≥ ν |ξ|2 + |η|2 2 |ξ − η|2 , với mọi (ξ, η) ∈ Rn × Rn \ {(0, 0)}. Về sự tồn tại nghiệm của phương trình này, kết quả đầu tiên được đưa ra bởi L. Boccardo và các cộng sự [1, 2]. Trong đó, các tác giả chỉ ra rằng sự tồn tại
3 và duy nhất của nghiệm yếu cho lớp phương trình này có thể không còn đúng khi dữ liệu là một độ đo hữu hạn. Do đó, các tác giả giới thiệu một loại nghiệm khác của phương trình này, gọi là nghiệm entropy, và chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm entropy của phương trình trên với dữ liệu độ đo. Sau đó, nhóm tác giả G. Dal Maso [7] đưa ra một bức tranh toàn cảnh và đầy đủ hơn về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình này, bao gồm định nghĩa các loại nghiệm mới như nghiệm renormalized, nghiệm entropy, nghiệm SOLA (Solution Obtained as Limit of Approximations). Các tác giả còn chứng minh một số kết quả về các mối liên hệ và sự tương đương giữa các định nghĩa này. Từ sau các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình trên với dữ liệu độ đo, nhiều kết quả về tính chính quy nghiệm bắt đầu được nghiên cứu sâu hơn. Một trong các kết quả nổi bật đầu tiên có thể kể đến các bài báo của Mingione [9, 10] năm 2010. Trong đó, G. Mingione lần đầu đưa ra phương pháp sử dụng toán tử cực đại bậc không nguyên để thu được đánh giá gradient địa phương, xung quanh các điểm bên trong miền Ω cho trường hợp chính quy, tức là khi p > 2. Năm 2014, N. C. Phuc [13, 14, 15] mở rộng phương pháp này để thu được kết quả trên biên cho trường hợp p > 2 − n1 khi Ω là miền Reifenberg và áp dụng kết quả này để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng Riccati với dữ liệu độ đo. Gần đây, Q.-H. Nguyen và N. C. Phuc [11] thu được
4 3n−2 kết quả đánh giá gradient toàn cục trong trường hợp kỳ dị, khi 2n−1 < p ≤ 2 − n1 trên miền Reifenberg. Tiếp theo loạt nghiên cứu này, tác giả M.-P. Tran [16] 3n−2 1 cũng thu được đánh giá gradient cho trường hợp 2n−1 < p ≤ 2− n trên miền xác định Ω thỏa điều kiện p-capacity uniform thickness, một dạng miền yếu hơn miền thỏa điều kiện Reifenberg, trong không gian Lorentz. Kết quả này vừa được công bố đầu năm 2019. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu rõ hơn kỹ thuật good-λ được sử dụng để thu được kết quả đánh giá gradient của nghiệm phương trình trên, được giới thiệu trong một số bài báo gần đây của các tác giả kể trên, mà gần nhất là bài báo của các tác giả N.Q. Hung, N. C. Phuc [11] và M.-P. Tran [16]. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một ứng dụng của kết quả này để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình p-Laplace với dữ liệu độ đo, có thể xem như một dạng ổn định của phương trình Jacobi-Hamilton. Kết quả này được tham khảo trong [17]. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương. • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình elliptic dạng divergence và giả thiết
5 về miền xác định của phương trình này dưới điều kiện p-capacity. Ngoài ra, các khái niệm về độ đo Radon hữu hạn, nghiệm renormalized, không gian Lorentz và tính bị chặn của các toán tử cực đại trong các không gian Lebesgue và Lp -yếu cũng được nhắc đến trong chương này. Tuy nhiên, phải nhấn mạnh rằng các khái niệm về nghiệm renormalized cũng chỉ được nhắc dưới góc nhìn thật đơn giản trong luận văn này. Bởi vì một nghiên cứu đầy đủ về loại nghiệm này tương đối phức tạp, rất khó để trình bày đầy đủ trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ. Chúng tôi nghĩ rằng tài liệu [7] có thể cung cấp định nghĩa chi tiết về loại nghiệm này cho phương trình elliptic với dữ liệu độ đo. Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm bài báo của G. Dal Maso và cộng sự [7], cùng một số bài báo của tác giả Mingione [9, 10], N. Q. Hung, N. C. Phuc [11] và quyển sách của Grafakov [6]. • Chương 2: Đánh giá gradient trong không gian Lorentz. Chương này trình bày nội dung chính của luận văn về kết quả chính quy nghiệm cho phương trình elliptic tựa tuyến tính dạng divergence với dữ liệu độ đo trong không gian Lorentz. Đánh giá gradient trong không gian Lorentz dựa trên một số đánh giá địa phương bên trong và đánh giá trên biên của miền xác định. Bên cạnh các đánh giá địa phương bên trong và gần biên
6 miền xác định, để thu được kết quả đánh giá gradient trong không gian Lorentz, công việc chính là xây dựng một bất đẳng thức dạng good-λ trong Định lý 2.3.2. Việc chứng minh bất đẳng thức này dựa trên Bổ đề 2.3.1, được biết đến như một dạng của bổ đề phủ Vitali hoặc một dạng phân tích Calderón-Zygmund-Krylov-Safonov. Kết quả chính của chương này được phát biểu trong Định lý 2.3.3, đưa ra một bất đẳng thức đánh giá tính bị chặn của gradient nghiệm thông qua toán tử cực đại tác động lên dữ liệu độ đo. Tài liệu tham khảo chính của chương này là bài báo [16] của tác giả M.-P. Tran. • Chương 3: Ứng dụng phương trình dạng Riccati. Trong Chương 3, chúng tôi ứng dụng kết quả đánh giá gradient cho phương trình dạng divergence ở Chương 2 để chứng minh sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình dạng Riccati trong không gian Lorentz. Phương trình này được biết đến như phương trình Kardar-Parisi-Zhang trong vật lý [3, 4], hoặc một dạng ổn định thời gian của phương trình Jacobi-Hamilton. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của lớp phương trình này dựa trên định lý điểm bất động Schauder của một toán tử liên tục, xác định trên tập lồi, đóng và có ảnh là tập tiền compact. Tài liệu tham khảo của chương này là bài báo [17].
7 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi mô tả giả thiết của toán tử phi tuyến trong phương trình elliptic dạng divergence và giả thiết về điều kiện p-capacity của miền xác định. Ngoài ra, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của các khái niệm về độ đo Radon hữu hạn, khái niệm nghiệm renormalized của phương trình có dữ liệu độ đo, định nghĩa không gian Lorentz và tính bị chặn của các toán tử cực đại trong các không gian Lebesgue và Lp -yếu cũng được nhắc đến trong chương này. Chúng tôi lưu ý rằng khái niệm về nghiệm renormalized trong luận văn này cũng chỉ được nhắc dưới góc nhìn thật đơn giản. Định nghĩa chi tiết về loại nghiệm này cho phương trình elliptic với dữ liệu độ đo có thể tham khảo trong tài liệu [7]. Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm bài báo của G. Dal Maso và cộng sự [7], cùng một số bài báo của tác giả Mingione [9, 10], N. Q. Hung, N. C. Phuc [11] và quyển sách của Grafakos [6].
8 1.1 Toán tử tựa tuyến tính Trong luận văn này, chúng tôi tập trung khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic tựa tuyến tính dạng divergence với dữ liệu độ đo, như sau:  −div(A(x, ∇u)) = µ trong Ω,  (1.1) = 0 trên ∂Ω.   u Toán tử tựa tuyến tính A : Ω × Rn → Rn trong phương trình (1.1) là hàm Carathédory, nghĩa là A(·, ξ) đo được trên Ω và A(x, ·) liên tục trên Rn với x ∈ Ω hầu khắp nơi, thỏa mãn hai điều kiện: |A(x, ξ)| ≤ ζ|ξ|p−1 , (1.2) p−2 hA(x, ξ) − A(x, η), ξ − ηi ≥ ν |ξ|2 + |η|2 2 |ξ − η|2 , (1.3) với mọi (ξ, η) ∈ Rn × Rn \ {(0, 0)} và x ∈ Rn . Trong đó 1 < p ≤ n, ν và ζ là các hằng số dương. Với hai điều kiện này, ta thấy hA(x, ξ), ξi ' |ξ|p , ξ ∈ Rn . Một trong những dạng đặc biệt của phương trình trên là khi A(x, ξ) = |ξ|p−2 ξ, ξ ∈ Rn . Trong trường hợp này, phương trình (1.1) trở thành phương trình p-Laplace  −∆p u = µ trong Ω,  trên ∂Ω,   u = 0
9 trong đó toán tử p-Laplace ∆p được định nghĩa bởi ∆p = div |∇u|p−2 ∇u . Chú ý rằng từ (1.2) và tính liên tục của A theo biến ξ có thể suy ra được A(x, 0) = 0. Từ giả thiết trên, ánh xạ u 7→ −div(A(x, ∇u)) là toán tử cưỡng bức, liên tục, 0 bị chặn, đơn điệu trên W 1,p (Ω) và nhận giá trị trên W −1,p (Ω), trong đó p0 là liên hợp H¨older của p, tức là 1 1 + 0 = 1. p p 0 Hơn nữa, với mỗi µ trong không gian W −1,p (Ω), tồn tại duy nhất nghiệm yếu v ∈ W01,p (Ω) của bài toán  −div(A(x, ∇v)) = µ trong Ω,  (1.4) trên ∂Ω,   v = 0 theo nghĩa phân phối, tức là ˆ hA(x, ∇v), ∇ϕidx = hµ, ϕi, ∀ϕ ∈ W01,p (Ω), Ω 0 với h., .i là ký hiệu tích trong giữa W −1,p (Ω) và W01,p (Ω). 1.2 Độ đo Radon hữu hạn Đầu tiên, ta định nghĩa Mb (Ω) là không gian các độ đo Radon trên Ω với biến ´ phân bị chặn, Cb0 (Ω) không gian các hàm bị chặn, liên tục trên Ω sao cho Ω ϕdµ
10 hữu hạn với mọi ϕ ∈ Cb0 (Ω) và µ ∈ Mb (Ω). Phần dương, phần âm và biến phân toàn phần của độ đo µ trong Mb (Ω) lần lượt được ký hiệu là µ+ , µ− và |µ|. M0 (Ω) là tập hợp gồm các độ đo µ trong Mb (Ω) liên tục tuyệt đối ứng với p-capacity, nghĩa là µ(B) = 0 với mỗi tập Borel B ⊂ Ω thỏa mãn capp (B, Ω) = 0. Ms (Ω) là tập hợp gồm các độ đo µ trong Mb (Ω) kì dị ứng với p-capacity, nghĩa là tồn tại tập Borel E ⊂ Ω với capp (E, Ω) = 0 sao cho µ(B) = µ(E ∩ B) với mọi tập Borel B ⊂ Ω. Định nghĩa 1.2.1 ([7]). Dãy µn trong Mb (Ω) hội tụ về µ trong Mb (Ω) nếu: ˆ ˆ lim ϕdµn = ϕdµ, (1.5) n→+∞ Ω Ω với ϕ ∈ Cb0 (Ω). Chú ý 1.2.2 ([7]). Nếu µn là độ đo không âm, thì µn hội tụ về µ nếu và chỉ nếu µn (Ω) hội tụ về µ(Ω) và thỏa (1.5) với ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Đặc biệt, nếu µn ≤ 0, µn hội tụ về µ nếu và chỉ nếu thỏa (1.5) với ϕ ∈ C ∞ (Ω). Chú ý 1.2.3 ([7]). Mỗi độ đo µ trong Mb (Ω) tồn tại duy nhất cặp độ đo (µ0 , µs ), với µ0 trong M0 (Ω) và µs trong Ms (Ω), sao cho µ = µ0 + µs , µ là độ đo không âm, µ0 và µs cũng vậy.
11 1.3 Điều kiện p-capacity Chúng tôi sẽ mô tả sơ lược qua điều kiện p-capacity uniform thickness, và trước hết là định nghĩa p-capacity. Cho p và p0 là các số thực sao cho 1 ≤ p ≤ n và p0 là liên hợp H¨older của p. Ta định nghĩa p-capacity capp (B, Ω) của tập B ⊆ Ω bất kỳ như sau. Định nghĩa 1.3.1 ([7]). • p-capacity của tập compact bất kỳ K ⊂ Ω được định nghĩa là ˆ capp (K, Ω) = inf |∇ϕ|p dx : ϕ ∈ Cc∞ , ϕ ≥ χK , Ω trong đó χK là hàm đặc trưng trên tập K . • p-capacity của tập mở bất kỳ U ⊆ Ω được định nghĩa là capp (U, Ω) = sup capp (K, Ω), K compact, K⊆U . • Kế tiếp, p-capacity của tập bất kỳ B ⊆ Ω được định nghĩa là capp (B, Ω) = inf capp (U, Ω), U mở, B⊆U . Một hàm u xác định trên Ω được gọi là liên tục capacity nếu với mọi ε > 0, tồn tại tập con B ⊆ Ω với capp (B, Ω) < ε sao cho hạn chế của hàm u trên tập Ω \ B là liên tục. Ta biết rằng mỗi hàm trên W 1,p (Ω) có một biểu diễn là hàm
12 liên tục capacity, ngoại trừ một tập con của Ω có p-capacity bằng 0. Khi ta khảo sát giá trị từng điểm của hàm u ∈ W 1,p (Ω), với mọi tập con B của Ω ta có ˆ p 1,p capp (B, Ω) = inf |∇v| dx : v ∈ W (Ω) , Ω trong đó v = 1 trên B và v ≥ 0 trên Ω. Định nghĩa 1.3.2 ([7]). Ta nói rằng phần bù Rn \Ω là thỏa điều kiện p−capacity uniform thickness ứng với các hằng số r0 , c0 > 0 nếu tồn tại hằng số c0 , r0 > 0 sao cho với mọi 0 < t ≤ r0 và mọi x ∈ Rn \ Ω: capp (Bt (x) ∩ Rn \ Ω, B2t (x)) ≥ c0 capp (Bt (x), B2t (x)). (1.6) Chú ý rằng miền thỏa mãn điều kiện này bao gồm miền có biên Lipschitz hoặc thậm chí là miền thỏa điều kiện “uniform exterior corkscrew”, nghĩa là tồn tại hằng số c0 , r0 > 0 sao cho với mọi 0 < t ≤ r0 và mọi x ∈ Rn \ Ω, tồn tại y ∈ Bt (x) sao cho Bt/c0 (y) ⊂ Rn \ Ω. 1.4 Nghiệm renormalized Với mỗi số nguyên k > 0, ta định nghĩa toán tử Tk : R → R xác định bởi: Tk (s) = max{−k, min{k, s}}, s ∈ R.