Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết và vật lý toán: Nghiên cứu nghiệm lạm phát vũ trụ trong mô hình k-Gauss-Bonnet

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết và vật lý toán "Nghiên cứu nghiệm lạm phát vũ trụ trong mô hình k-Gauss-Bonnet" trình bày mô hình chuẩn của vũ trụ học; Lạm phát vũ trụ; Mô hình lạm phát... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết và vật lý toán: Nghiên cứu nghiệm lạm phát vũ trụ trong mô hình k-Gauss-Bonnet

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ PHẠM MẠNH TUYẾN PHẠM MẠNH TUYẾN VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành vật lý lý thuyết và vật lý toán 2022 Hà Nội - 2022
B GIÁO D C VI N HÀN LÂM VÀ ĐÀO T O KHOA H C VÀ CÔNG NGH VN H C VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH PH M M NH TUY N NGHIÊN C U NGHI M L M PHÁT VŨ TR TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET Chuyên ngành: V t lý lý thuy t và lý thuy t toán Mã s : 8 44 01 03 LU N VĂN TH C SĨ NGÀNH KHOA H C V T CH T NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: TS. Đ Qu c Tu n Hà N i - 2022
L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đ tài nghiên c u trong lu n văn này là công trình nghiên c u do tôi th c hi n dư i s hư ng d n c a TS. Đ Qu c Tu n. Các k t qu do chính tôi làm vi c và tính toán do đó các k t qu nghiên c u đ m b o trung th c và khách quan nh t. Các k t qu có trong lu n văn "Nghiên c u nghi m l m phát vũ tr trong mô hình k-Gauss-Bonnet" là các k t qu m i và không trùng l p v i b t c m t nghiên c u nào đư c công b trư c đó. Các k t qu và tính toán nêu trong lu n văn là trung th c n u sai tôi hoàn toàn ch u trách nhi m. Hà N i, Ngày tháng năm 202 Ph m M nh Tuy n 1
L I C M ƠN Đ u tiên, cho phép tôi đư c g i l i c m ơn chân thành và sâu s c nh t t i TS. Đ Qu c Tu n, ngư i th y đã tr c ti p hư ng d n, t n tình giúp đ , quan tâm và ch d y tôi trong su t quá trình th c hi n đ tài lu n văn này. Th y đã đ nh hư ng công vi c, giúp tôi trau d i ki n th c chuyên môn cùng k năng nghiên c u và t o m i đi u ki n thu n l i nh t đ tôi hoàn thành lu n văn v i các k t qu t t nh t. Tôi xin g i l i c m ơn H c vi n khoa h c công ngh đã giúp tôi trau d i các ki n th c chuyên môn đ hoàn thi n lu n văn này. Tôi cũng g i l i c m ơn đ n vi n nghiên c u tiên ti n Phenikaa (PIAS) và trư ng đ i h c Phenikaa đã giúp đ , t o đi u ki n và môi trư ng làm vi c thu n l i nh t cho tôi trong su t th i gian h c t p và làm vi c t i Hà N i. Tôi xin c m ơn qu phát tri n khoa h c và công ngh qu c gia Nafosted đã tài tr m t ph n kinh phí cho lu n văn này trong đ tài v i mã s 103.01-2020.15. Tôi xin g i l i c m ơn và l i tri ân t i gia đình và b n bè, nh ng ngư i luôn bên đ ng viên, ng h và giúp đ tôi trong th i gian tôi th c hi n lu n văn này. M c dù tôi đã có nhi u c g ng nhưng do trong th i gian ng n và lư ng ki n th c c a b n thân cũng chưa th c s đư c hoàn thi n nên lu n văn v n không tránh kh i nh ng thi u sót và h n ch , tôi r t mong nh n đư c s góp ý, ch d n c a các th y, cô giáo và các b n đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn. 2
M cl c 1 M Đ U 6 2 MÔ HÌNH CHU N C A VŨ TR H C 10 2.1 Vũ tr đ ng nh t và đ ng hư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Friedmann-Robertson-Laimaitre-Walker Metric . . . . . . . . . 12 2.1.2 D ch chuy n đ và t a đ đ ng chuy n đ ng . . . . . . . . . . . 13 2.2 Các phương trình trư ng Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Mô hình vũ tr h c ch t l ng hoàn h o . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 M t đ t i h n và các tham s m t đ . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Phương trình b o toàn năng lư ng . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Mô hình ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Kho ng cách trong vũ tr h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Kho ng cách đ ng chuy n đ ng và kho ng cách riêng . . . . . . 20 2.4.2 Kho ng cách và chân tr i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.3 Kho ng cách đ trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.4 Kho ng cách đư ng kính góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 L ch s nhi t c a vũ tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 L M PHÁT VŨ TR 25 3.1 Các khái ni m cơ b n v l m phát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Các v n đ trong vũ tr h c BigBang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 V n đ đ ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 V n đ chân tr i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Cơ ch gây ra l m phát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Cơ s lý thuy t cho l m phát vũ tr . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 L m phát cu n ch m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4.1 Đi u ki n cho l m phát cu n ch m . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.2 Các tham s cu n ch m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.3 S e - folds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3
3.4.4 T ng k t l m phát cũ và slow roll inflation . . . . . . . . . . . . 42 3.5 Mô hình l m phát k (k inflation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6 Mô hình l m phát Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6.1 Vai trò c a s h ng Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6.2 T ng quan mô hình l m phát Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . 46 4 MÔ HÌNH L M PHÁT k-GAUSS-BONNET 50 4.1 Thi t l p cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 L m phát theo quy lu t lũy th a (power-law inflation) . . . . . . . . . 52 4.3 Phân tích s n đ nh (stability analysis) . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1 Phương pháp đ ng l c h c (Dynamical system method) . . . . . 54 4.3.2 Phương pháp nhi u lo n lũy th a (power-law perturbation method) 61 4.4 Nhi u lo n tensor trong mô hình k GB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4.1 T ng quan v lý thuy t nhi u lo n vũ tr . . . . . . . . . . . . 64 4.4.2 Nhi u lo n tensor trong mô hình k GB . . . . . . . . . . . . . . 66 5 K T LU N 70 6 PH L C 72 6.1 D n ra phương trình trư ng Einstein t phi m hàm tác d ng . . . . . 72 6.2 Phương trình trư ng trong không th i gian ph ng đ ng nh t đ ng hư ng 79 6.3 Code Mathematica ki m tra chéo các tính toán . . . . . . . . . . . . . 84 6.4 Code Mathematica xét tính n đ nh c a mô hình b ng phương pháp đ ng l c h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.5 Code Mathematica xét tính n đ nh c a mô hình b ng phương pháp nhi u lo n lũy th a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 TÀI LI U THAM KH O 97
Danh sách hình v 2.1 S phân b c a các thiên hà thành đám trên thang đo nh nhưng tr nên đ ng đ u hơn trên thang đo l n và th i kỳ đ u. [74] . . . . . . . 11 2.2 Kho ng cách đư ng kính góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1 B c x n n vi sóng vũ tr (CMB) - Hình nh cung c p b i v tinh Planck Cơ quan Vũ tr châu Âu ESA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Các vùng ng t k t n i nhân qu [74]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Trư ng lư ng t và đ th th năng tương ng v i cư ng đ trư ng. . . 31 3.4 Tr ng thái chân không c a trư ng lư ng t . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Tr ng thái gi chân không hay m c năng lư ng t i thi u c c b . . . . . 32 3.6 Trư ng vô hư ng trong không th i gian Minkowski và d ng th năng c a nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7 Trư ng inflaton trong cơ ch slow-roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.8 L m phát cũ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.9 L m phát cu n ch m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.10 H s thang đo như m t hàm c a th i gian v i C = 0 và λ = 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 10 (t trên xu ng dư i) [32, 33] . . . . . . . . . . . . 48 3.11 S phát tri n theo th i gian c a bình phương t c đ âm thanh hi u d ng c2 c a mô hình đư c v dư i d ng hàm c a s l n e g p [46] . . . 49 s 4.1 ζ± là hàm c a λ. Trong đó,Đư ng màu đ phía trên tương ng v i ζ+ và đư ng cong nét li n màu xanh ζ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Tính ch t n đ nh trong không gian pha 3 chi u. . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Tính ch t n đ nh trong không gian pha 2 chi u. . . . . . . . . . . . . 61 5
Chương 1 M Đ U Ngày nay, s phát tri n vư t b c c a khoa h c k thu t v i ti n đ là s phát tri n c a các ngành khoa h c cơ b n. K nguyên c a nhân lo i đang hư ng vào vũ tr nơi mà th c t ph n l n là vùng t i trong hi u bi t c a loài ngư i. G n đây nh t vào 19 gi 20 phút ngày 25 tháng 12 năm 2021 nhân lo i đã phóng thành công kính vi n v ng không gian th h ti p theo James Webb v i kỳ v ng có cái nhìn xa hơn v quá kh nơi nh ng thiên hà đ u tiên đư c hình thành bên c nh đó là kỳ v ng v s xu t hi n c a s s ng ngoài hành tinh. M t trong nh ng lĩnh v c có tác đ ng m nh m nh t đ n hi u bi t c a con ngư i v vũ tr là vũ tr h c. Vũ tr h c nghiên c u s hình thành, quá trình phát tri n và k t thúc c a toàn b vũ tr , khi nghiên c u vũ tr khía c nh lý thuy t ngư i ta kỳ v ng r ng lý thuy t h p d n lư ng t s tr thành m t lý thuy t cu i cùng giúp chúng ta mô t tương tác h pd n m c năng lư ng cao và t o đi u ki n cho s th ng nh t các tương tác cơ b n khác t đó cho ta m t cái nhìn v l ch s hình thành và ti n hóa c a toàn b vũ tr . Tuy nhiên, lý thuy t này cho đ n th i đi m hi n t i v n còn là m t d u h i l n, m c dù v y s quan tâm đ n các lý thuy t h p d n t ng quát v n không suy gi m trong các tài li u khoa h c. Vi c xây d ng các lý thuy t h p d n t ng quát, v i vi c bao g m các trư ng ph hay các s h ng đ cong b c cao trong phi m hàm tác d ng đã thu hút s quan tâm r t l n trong nh ng th p k qua [1–3]. Lý do chính là nh ng lý thuy t này có th cung c p m t khuôn kh mà đó các v n đ n y sinh trong lý thuy t tương đ i r ng c a Einstein có th đư c gi i quy t. Do đó, trong n i dung c a các lý thuy t h p d n s a đ i này, các khía c nh c a l c h p d n như các nghi m vũ tr h c ho c nghi m h đen ph i đư c xem xét l i và trong m t s trư ng h p nó d n đ n các nghi m m i l và thú v . Trong vũ tr h c, s hình thành c a vũ tr đư c phát tri n b i ý tư ng lý thuy t đ c đáo mang tên vi n c nh l m phát [4–6, 8], m t k nguyên mà vũ tr giãn n theo hàm mũ th i đi m ∼ 10−34 s sau đi m kỳ d BigBang [9]. L m phát vũ tr cung c p 6
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ m t cơ ch t nhiên cho các đi u ki n ban đ u c a vũ tr t đó gi i quy t các v n đ trong vũ tr h c bao g m v n đ đ ph ng, v n đ đư ng chân tr i và v n đ đơn c c t . L m phát vũ tr cũng gi i thích ngu n g c c a các nhi u lo n m t đ nguyên th y và d đoán ph c a chúng [10, 11]. Trong vi n c nh l m phát các nhi u lo n m t đ nguyên th y xu t hi n t các thăng giáng lư ng t c a trư ng l m phát. Nh ng thăng giáng này có biên đ thang đo chi u dài Planck (Planck length) và trong quá trình l m phát các thăng giáng này b kéo giãn và tr thành các dao đ ng c đi n t đó t o ra s không đ ng nh t thang đo l n là h t gi ng cho s hình thành c u trúc thang đo l n. Do đó, l m phát vũ tr k t n i c u trúc thang đo l n c a vũ tr v i thang đo m c vi mô. Nh ng nhi u đ ng này cũng t o lên tính ch t b t đ ng hư ng đư c d đoán trên n n b c x n n vũ tr (CMB) quan sát đư c t WMAP và Planck [12–14]. L m phát vũ tr đang đư c đông đ o các nhà khoa h c quan tâm và do v y cơ ch gây ra l m phát là m t câu h i r t c n l i gi i. Có m t s cách ti p c n v cơ ch gây ra l m phát và cách ti p c n đ u tiên cũng là ph bi n nh t đó là d a trên m t trư ng vô hư ng th c đơn gây ra l m phát đư c g i là trư ng inflaton. V cơ b n, trư ng inflaton thư ng đư c cu n ch m xu ng giá tr c c ti u c a th năng V (φ) c a nó trong giai đo n l m phát đ ng th i th năng này ph i đư c coi như g n như ph ng. Sau quá trình này trư ng l m phát dao đ ng xung quanh đi m c c ti u này và các quá trình tái nhi t sau pha l m phát b t đ u trong đó s phân rã c a trư ng inflaton d n đ n s hình thành các h t cơ b n trong mô hình chu n [10,11]. Ngoài ra, m t lo t các nghiên c u v trư ng vô hư ng đã đư c đưa ra đ nh n bi t ngu n g c c a trư ng inflaton cùng v i th năng c a nó [15]. Đáng chú ý có m t mô hình l m phát kỳ l d a vào s h ng đ ng năng c a trư ng vô hư ng (k -inflation), trong đó l m phát có th đ t đư c ngay c khi không có th năng thu n túy c a trư ng vô hư ng [16–18]. Ngoài ra, m t s mô hình có cùng ý tư ng v l m phát vũ tr đư c gây ra b i m t s h ng đ ng năng không t m thư ng v i mô hình k -inflation đã đư c xây d ng như l m phát ma (ghost inflation) [19] hay l m phát Galileon [20, 21, 23, 24]. M c dù k ch b n l m phát gi i quy t đư c v n đ c a lý thuy t v n l n như v n đ đư ng đ ph ng và v n đ chân tr i cũng như v n đ đơn c c t v n còn nh ng câu h i m chưa đư c gi i quy t như v n đ đi m kỳ d ban đ u và l c h p d n lư ng t . Trong vũ tr sơ khai ti m c n v i thang đo Planck, ta có th coi lý thuy t h p d n Einstein cùng m t s hi u ch nh là lý thuy t h p d n lư ng t hi u d ng. Phi m hàm tác d ng siêu h p d n hi u d ng (The effective supergravity action) t các siêu dây t o ra các đi u ki n cho hi u ch nh c a b c cao hơn c a đ cong, có th đóng m t vai trò quan tr ng trong giai đo n vũ tr r t s m này. M t trong nh ng hi u ch nh như v y là s h ng b t bi n tôpô Gauss-Bonnet (GB) G ≡ R2 − 4Rµν Rµν + Rµνρσ Rµνρσ [25] trong phi m hàm tác d ng hi u d ng năng lư ng th p c a dây d lo i (heterotic superstring Ph m M nh Tuy n 7 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ effective action) [26–29]. Ngoài ra, s h ng Gauss-Bonnet phát sinh trong khai tri n b c hai c a lý thuy t h p d n Lovelock [25], là t ng quát hóa c a lý thuy t h p d n Einstein. khai tri n b c nh t lý thuy t Lovelock trùng v i lý thuy t h p d n Einstein, khai tri n b c hai cho ta lý thuy t h p d n Einstein Gauss-Bonnet (EGB), ch a s h ng GB và phép bi n phân s h ng này ch khác không trong m t không gian có s chi u l n hơn ho c b ng năm vì trong không th i gian b n chi u, b t bi n Gauss-Bonnet ho t đ ng như m t đ o hàm toàn ph n và không đóng góp gì vào đ ng l c h c c a trư ng h p d n. Đ xem xét nh hư ng c a nó đ i v i đ ng l c h c c a trư ng h p d n trong không th i gian b n chi u, ngư i ta ph i k t h p b t bi n Gauss-Bonnet v i (các) trư ng khác, thư ng v i (các) trư ng vô hư ng như f (φ)G [30–34, 37–45]. Như v y, ta có th coi phép k t h p không t m thư ng f (φ)G này như m t th năng hi u d ng c a trư ng vô hư ng, các tác gi đã kh ng đ nh trong các bài báo [32,33] cho r ng l m phát có th x y ra trong mô hình Gauss-Bonnet vô hư ng khi không có th năng thu n túy c a trư ng vô hư ng V (φ). Đáng chú ý, các nghi m l đen cũng đã đư c tìm th y trong mô hình này [43–45]. Th t không may, nghi m l m phát vũ tr trong mô hình này đã đư c ch ng minh là không h p l v m t hi n tư ng lu n do tính ch t không n đ nh gradient trong các nhi u lo n tensor [46]. G n đây, m t nghiên c u trên tài li u tham kh o [47] đã tuyên b r ng tính ch t đ o hàm toàn ph n c a b t bi n Gauss-Bonnet có th đư c kh c ph c b ng cách thay đ i t l h s k t h p c a s h ng Gauss-Bonnet là α → α/(D − 4) sau đó l y gi i h n D → 4, trong đó D là s chi u c a không th i gian. Do đó, ta có th không c n ghép f (φ)G n a. Ý tư ng này, do đó, đã nh n đư c r t nhi u s chú ý. Đáng chú ý, m t s l p lu n ph n bi n v tính h p l c a ý tư ng này đã đư c rút ra trong các bài báo ti p theo [48–51]. K t qu là, s k t h p không t m thư ng gi a (các) trư ng vô hư ng và b t bi n Gauss-Bonnet dư ng như là m t ph n thi t y u c a l c h p d n Gauss-Bonnet b n chi u. L y c m h ng t l m phát k [16–18] và l m phát Gauss-Bonnet [32,33], trong khóa lu n này chúng tôi mu n đ xu t nghiên c u m t k ch b n m i l , trong đó b t bi n topo Gauss-Bonnet đư c phép k t h p không t m thư ng v i s h ng đ ng năng c a trư ng vô hư ng φ khi không có th năng V (φ). T đó kh o sát nghi m l m phát c a mô hình, c th là nghi m l m phát vũ tr tuân theo quy lu t lũy th a và ki m tra tính n đ nh c a nghi m trong pha l m phát. Đ ng th i nghiên c u các nhi u lo n tensor trong mô hình và ch ng minh nghi m l m phát n đ nh v i các b t n gradient trong các nhi u lo n tensor. B c c trình bày c a khóa lu n như sau. Chương 2 s trình bày v mô hình chu n c a vũ tr h c, gi i thi u các phương trình chi ph i s ti n hóa c a toàn b vũ tr và Ph m M nh Tuy n 8 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ các v n đ trong mô hình Big Bang và ch ra vi n c nh l m phát như m t gi i pháp cho các v n đ vũ tr h c này. Trong chương 3, tôi trình bày khái quát v l m phát k và l m phát Gauss-Bonnet. Trong chương 4, cũng là ph n chính c a lu n văn s trình bày chi ti t mô hình l m phát k -Gauss-Bonnet ki m tra tính n đ nh c a mô hình và s d ng lý thuy t nhi u lo n trong nghiên c u nhi u lo n tensor c a mô hình. Chương 5 s là ph n k t lu n c a lu n văn và ph n cu i s là ph n ph l c bao g m các tính toán trong chương 4 và ph n tài li u tham kh o. Ph m M nh Tuy n 9 2020B V t lý lý thuy t
Chương 2 MÔ HÌNH CHU N C A VŨ TR H C Tóm t t: Trong chương này chúng ta th o lu n v mô hình chu n trong vũ tr h c ΛCDM. Mô hình vũ tr đóng vai trò quan tr ng trong nghiên c u vũ tr h c hi n đ i khi tuân theo gi đ nh v tính ch t đ ng nh t và đ ng hư ng c a không th i gian t nguyên lý vũ tr . Đ ng th i, thành ph n gi đ nh là nguyên nhân gây ra s giãn n hi n t i c a vũ tr là h ng s vũ tr Λ đ i di n cho năng lư ng t i chi m t l l n nh t trong t ng m t đ năng lư ng t i th i đi m hi n t i c a vũ tr . Mô hình đơn gi n nhưng phù h p m t cách đáng ng c nhiên v i các quan sát. 2.1 Vũ tr đ ng nh t và đ ng hư ng Khám phá tuy t v i nh t mà chúng ta có đư c trong th k XX là chúng ta bi t mình đang s ng trong m t vũ tr đang giãn n t các đóng góp quan tr ng c a Edwin Hubble [70] cùng n l c chung không th b qua c a các nhà thiên văn h c như Vesto Slipher [71] và George Lemaˆtre [72]. i Cùng v i đó, t các quan sát vũ tr h c hi n đ i khi chúng ta càng ti n xa vào vũ tr , nó dư ng như càng đơn gi n (xem Hình 2.1). Vũ tr h c hi n đ i d a trên gi đ nh r ng vũ tr c a chúng ta g n đúng là đ ng nh t và đ ng hư ng trên các thang đo l n, trong đó thang đo l n nghĩa là các thang đo l n hơn 100 Mpc. Tính trung bình trên thang đo l n, s phân b thành đám c a các thiên hà tr nên đ ng nh t và đ ng hư ng, t c là không ph thu c vào v trí và hư ng. Tính đ ng nh t và đ ng hư ng ch ra m t d ng duy nh t c a hình h c không th i gian c a vũ tr và đư c khái quát b ng m t nguyên lý đư c g i là nguyên lý vũ tr h c. Nguyên lý Vũ tr h c tuyên b r ng Vũ tr là đ ng nh t và đ ng hư ng. Hai thu t ng này không gi ng nhau đ ng nh t có nghĩa là gi ng nhau m i đi m và 10
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ Hình 2.1: S phân b c a các thiên hà thành đám trên thang đo nh nhưng tr nên đ ng đ u hơn trên thang đo l n và th i kỳ đ u. [74] đ ng hư ng có nghĩa là gi ng nhau theo m i hư ng, thang đo dư i 100 Mpc thì vũ tr không đ ng nh t và cũng không đ ng hư ng. đây, chúng ta quan sát đư c các c u trúc d ng thiên hà, c m thiên hà, hình s i và kho ng tr ng r ng (xem Hình 2.1). Nhưng thang đo l n hơn, Vũ tr g n như đ ng hư ng. C th , n u chúng ta đ m các thiên hà thành hai kh i 100 Mpc các bên theo hư ng ngư c nhau trên thiên c u, chúng ta s đo đư c cùng m t m t đ phân b v t ch t trung bình ch sai khác trong ph m vi vài ph n trăm. Trong khi v i tính đ ng nh t, chúng ta s không bao gi bi t ch c ch n tính ch t này. Tuy nhiên, t các quan sát CMB (ánh sáng xa nh t c a Big Bang mà chúng ta có th quan sát đư c) cho th y vũ tr c a chúng ta x p x đ ng nh t và đ ng hư ng. S không đ ng nh t và b t đ ng hư ng r t nh trong nhi t đ CMB t o ra các h t gi ng d n đ n tính b t n đ nh h p d n t đó hình thành các c u trúc thang đo l n trong vũ tr . Ngoài ra, chúng ta gi đ nh r ng các nhi u đ ng đư c đ c p trên khi so sánh v i tính đ ng nh t và đ ng hư ng đã đư c t o ra t các thăng giáng lư ng t vi mô đã đư c khu ch đ i trong th i kỳ l m phát vũ tr . Ph m M nh Tuy n 11 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ 2.1.1 Friedmann-Robertson-Laimaitre-Walker Metric Metric mô t gi đ nh đ ng nh t và đ ng hư ng trên thang đo l n đư c g i là metric Friedmann-Robertson-Laimaitre-Walker (FLRW) mô t vũ tr giãn n có d ng như sau dr2 ds2 = −dt2 + a2 (t) 2 + r2 dθ2 + sin2 θdφ2 . (2.1) 1 − Kr Trong đó, a(t) là h s thang đo (scale factor) - vì nó cho chúng ta bi t kho ng cách gi a hai đi m thay đ i như th nào theo th i gian, K là tham s đ cong. K dương tương ng v i vũ tr đóng, b ng 0 trong trư ng h p vũ tr ph ng và âm đ i v i vũ tr m . Metric FLRW l n đ u tiên đư c Friedmann đưa ra trong [64] và [65], sau đó đư c suy ra trên cơ s đ ng hư ng và đ ng nh t b i Robertson và Walker trong [66], [67] và [68]. Công vi c c a Lemaitre [69] cũng r t c n thi t đ phát tri n nó. Trong metric trên, r, θ và φ là các t a đ đ ng chuy n đ ng (comoving coordinate). Kho ng cách v t lý tương ng thu đư c b ng cách nhân r v i h s thang đo, rphys = a(t)r. V n t c v t lý c a m t v t th khi đó có d ng drphys dr da vphys = = a(t) + r ≡ vpec + Hrphys . (2.2) dt dt dt T phương trình trên ta th y r ng v n t c v t lý c a v t th đư c chi ph i b i 2 thành ph n bao g m: v n t c riêng c a v t th (perculiar velocity ), vper ≡ a(t)r và dòng Hubble (Hubble flow), Hrphys . V i đ nh nghĩa tham s Hubble a˙ H≡ , (2.3) a cho ta bi t t c đ giãn n c a vũ tr và có đơn v là ngh ch đ o c a th i gian. Tham s Hubble dương tương ng v i m t vũ tr giãn n và âm ng v i vũ tr co l i. Nó thi t l p thang đo cơ s trong không th i gian FLRW: Thang đo th i gian trong vũ tr đ ng nh t đư c đ c trưng b i th i gian Hubble, tH ∼ H −1 và đ c trưng cho thang đo đ dài là đ dài Hubble, dh ∼ H . Th i gian Hubble cho phép ta thi t l p các tính toán liên quan đ n tu i c a vũ tr trong khi đó đ dài Hubble thi t l p kích thư c (size) c a vũ tr quan sát đư c và thư ng đư c g i là Chân tr i Hubble (Hubble horizon), vì nó cung c p m t ư c lư ng kho ng cách mà ánh sáng có th di chuy n đư c trong m t vũ tr đang giãn n . M t h t a đ khác h u ích thư ng đư c s d ng trong nghiên c u vũ tr h c, đ nh nghĩa th i gian b o giác (conformal time) dt dt dτ = , then τ = . (2.4) a(t) a(t) Ph m M nh Tuy n 12 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ Khi đó y u t đư ng (line element) FLRW có d ng ds2 = a(τ )[dτ + dχ2 + ΦK (χ)2 dΩ2 ]. (2.5) Y u t đư ng trong khuôn kh c a th i gian b o giác đư c nghiên c u trong lý thuy t nhi u lo n vũ tr . 2.1.2 D ch chuy n đ và t a đ đ ng chuy n đ ng M t tính ch t quan tr ng thu đư c t không th i gian FLRW là ánh sáng b d ch chuy n đ khi nó lan truy n trong không th i gian này, d a trên s ph thu c th i gian c a h s thang đo. Xét m t v t th đ ng yên phát x trong h t a đ đ ng chuy n đ ng, v i kho ng cách xuyên tâm r1 , và ngư i quan sát đư c xác đ nh t i r0 = 0. Ánh sáng phát ra t v t th đ u tiên t i th i đi m t1 vơi t n s f1 , và ngư i quan sát thu đư c t i th i đi m t0 v i t n s f0 . Ta c n xác đ nh m i quan h gi a f0 và f1 . Vì ánh sáng di chuy n d c theo đư ng tr c đ a null (null geodesics) v i đ nh nghĩa ds = 0, qu đ o chuy n đ ng xuyên tâm c a ánh sáng th ng t i ngư i quan sát ng ý (dθ = dφ = 0 và dr/dt < 0) d n đ n dt dr =√ . (2.6) a(t) 1 − Kr2 Ti p theo ta xét s phát x đ nh ti p theo c a sóng ánh sáng. Đ nh đ u tiên phát ra (t1 , r1 ) và thu đư c t i (t0 , 0), trong khi đó đ nh th hai c a sóng ánh sáng (t1 + δt1 , r1 ) và thu đư c (t0 + δt0 , 0). T phương trình (2.6) 0 dr t0 dt t0 +δt0 dt √ = = , (2.7) r1 1 − Kr2 t1 a(t) t1 +δt1 a(t) tr tích phân th 3 cho tích phân th 2 bi u th c trên sau đó l y gi i h n tương ng ta thu đư c m i liên h sau δt0 δt1 = , (2.8) a(t0 ) a(t1 ) vì kho ng th i gian gi a 2 đ nh c a sóng ánh sáng b ng ngh ch đ o c a t n s , do đó ta có f1 a(t0 ) = = 1 + z, (2.9) f0 a(t1 ) v i đ ng th c cu i cùng trong phương trình trên là đ nh nghĩa c a d ch chuy n đ z . Đ i lư ng này ch ph thu c và t s gi a h s thang đo t i th i đi m thu tín hi u và t i th i đi m phát x . Ph m M nh Tuy n 13 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ 2.2 Các phương trình trư ng Einstein Đ có th mô t hành vi c a toàn b vũ tr trong m t t ng th th ng nh t d a trên m t đ năng lư ng mà nó ch a đư c chúng ta s d ng lý thuy t tương đ i r ng [73] m t lý thuy t h p d n hi n đ i l n đ u đư c đ xu t b i A. Einstein. Trong cách ti p c n bi n phân, tác d ng Einstein-Hilbert mô t đ ng l c h c c a metric không th i gian có d ng sau 1 √ Sgrav = d4 x −g(R − 2Λ), (2.10) 2κ trong đó κ ≡ 8πG = 8π/m2 = 1/Mpl , v i G là h ng s h p d n Newton, mpl là pl 2 kh i lư ng Planck và Mpl 2.4 × 1018 GeV là kh i lư ng Placnck rút g n. Trong bi u th c trên Λ là h ng s vũ tr , g là đ nh th c c a metric gµν , R là vô hư ng Ricci. Phi m hàm tác d ng t ng quát s có d ng sau S = Sgrav + Smatter (2.11) trong đó Smatter là phi m hàm tác d ng đ i di n cho các thành ph n v t ch t trong vũ tr có th là phi m hàm c a trư ng đi n t , v t ch t ho c b c x ... V i gi đ nh vũ tr g n như đ ng nh t đ ng hư ng t nguyên lý vũ tr v i metric FLRW đã cho, các phương trình Friedmann có th thu đư c b ng cách tính toán tr c ti p t các phương trình trư ng Einstein 2κ δSgrav 1 8πG Gµν + Λgµν = √ = Rµν − Rgµν + Λgµν = 4 Tµν , (2.12) −g δgµν 2 c Trong phương trình trên Tµν là tensor năng xung lư ng thu đư c t 2 δSmatter Tµν = − √ (2.13) −g δgµν T metric (2.1) ta tính toán đư c các thành ph n c a Ricci tensor là ¨ a ¨ a K R00 = −3 , R0i = 0, Rij = gij 2H 2 + +2 2 . (2.14) a a a T đó suy ra đư c đ cong vô hư ng (vô hư ng Ricci) ¨ a K R=6 + H2 + 2 , (2.15) a a Các phương trình trư ng Einstein K 8πG Λ H2 + = T00 + , (2.16) a2 3 3 ¨ a K gij H 2 + 2 + 2 − Λ = 8πGTij . (2.17) a a hai phương trình (2.16),(2.17) đư c g i là các phương trình Friedmann. Ph m M nh Tuy n 14 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ 2.2.1 Mô hình vũ tr h c ch t l ng hoàn h o Câu h i đ t ra ta s s d ng tensor năng xung lư ng nào là phù h p xu t hi n trong các phương trình Friedmann (2.16),(2.17)? Đ tr l i câu h i này, xu t phát t metric FLRW chúng ta s có m t s r ng bu c quan tr ng như sau: • Đ u tiên, ta có G0i = 0 tương ng v i T0i = 0 đi u này th a mãn tính ch t đ ng hư ng vì s không có dòng năng lư ng nào theo b t kỳ hư ng nào. • Th hai, vì Gij ∼ gij , do đó Tij ∼ gij • Cu i cùng Gµν ch ph thu c vào th i gian do đó Tµν cũng ch ph thu c vào th i gian. V m t toán h c v i 3 ràng bu c trên ta có T00 = ρ(t), T0i = 0, Tij = gij P (t) (2.18) Trong đó ρ(t) là m t đ năng lư ng và P (t) là áp su t ch t l ng. D ng t ng quát c a tensor năng xung lư ng P Tµν = ρ + uµ uν + P gµν . (2.19) c2 Trong đó uµ là v n t c 4 chi u c a thành ph n ch t l ng. Trong phương trình (2.19) tensor năng xung lư ng không ch a các s h ng đ nh t và s h ng truy n năng lư ng thư ng có c a các ch t l ng thông hai s h ng thư ng xu t hi n trong trư ng h p ch t l ng không hoàn h o. D ng v t ch t đư c mô t b ng phương trình (2.19) đư c bi t đ n là ch t l ng hoàn h o. K t h p các phương trình (2.16),(2.17) và phương trình (2.18). Phương trình Friedmann tr thành 8πG 2 Λc2 Kc2 H = ρ+ − 2 , (2.20) 3 3 a và phương trình gia t c có d ng ¨ a 4πG 3P Λc2 =− ρ+ 2 + . (2.21) a 3 c 3 S d ng th i gian b o giác τ các phương trình Friedmann có d ng 2 8πG 2 Λc2 a2 H = ρa + − Kc2 , (2.22) 3 3 Ph m M nh Tuy n 15 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ và a 4πG 3P 2Λc2 a2 = ρ− 2 + − Kc2 , (2.23) a 3 c 3 v i d u ph y đ c trưng cho phép l y đ o hàm theo th i gian b o giác τ và a H= , (2.24) a là h s Hubble b o giác (conformal Hubble factor). Trong các phương trình Friedmann, ρ và P là t ng m t đ năng lư ng và áp su t. Do đó, ta có th vi t hai s h ng này b ng t ng các đóng góp c a các thành ph n riêng bi t ρ≡ ρx , P ≡ Px . (2.25) x x Đóng góp c a h ng s vũ tr cũng như đ cong c a vũ tr có th đư c coi là m t thành ph n v t ch t v i m t đ và áp su t tương ng như sau Λc2 ρΛ ≡ , PΛ ≡ −ρΛ c2 . (2.26) 8πG Theo đ nh nghĩa h s thang đo a(t) theo đ nh nghĩa là dương tuy nhiên đ o hàm c a nó có th âm. Đi u này d n đ n m t vũ tr đanng co l i (v i a âm). Lưu ý r ng v trái c a phương trình Friedmann (2.20) là không âm. Do đó, a ch b ng 0 khi K > 0 ˙ tương ng v i không gian vũ tr đóng. Đi u này ng ý r ng, n u K ≤ 0 và n u t n t i m t th i đi m mà a > 0 thì vũ tr s giãn n vĩnh vi n. ˙ 2.2.2 M t đ t i h n và các tham s m t đ Phương trình Friedmann (2.20) khi k t h p Λ vào t ng m t đ ρ ta thu đư c 8πG Kc2 H2 = ρ− 2 . (2.27) 3 a Giá tr c a ρ khi K = 0 đư c g i là m t đ năng lư ng t i h n (critical energy density) và có d ng sau 3H 2 ρcr ≡ , (2.28) 8πG giá tr hi n t i c a nó là ρ0 = 1.878h2 × 10−29 g cm3 . cr (2.29) Th c t ch ra r ng r ng giá tr c a ρ0 r t g n v i ρ0 do đó vũ tr c a ta g n như cr ph ng v m t không gian. Đây như m t v n đ tinh ch nh c a K như m t s trùng Ph m M nh Tuy n 16 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ h p đáng ng c nhiên còn đư c g i là v n đ đ ph ng (the flatness problem). M t gi i pháp kh thi cho v n đ đ ph ng đư c đưa ra b ng lý thuy t l m phát s đư c chúng ta tìm hi u trong chương 3. Ngoài khái ni m m t đ m t khái ni m h u ích khác mà chúng ta thư ng s d ng đó là tham s m t đ Ω đư c đ nh nghĩa như sau ρ 8πG Ω≡ = . (2.30) ρcr 3H 2 T c là m t đ năng lư ng đư c chu n hóa t i m t đ chính. Khi đó phương trình Friedmann đư c vi t l i có d ng Kc2 1=Ω− , (2.31) H 2 a2 v i đ nh nghĩa Kc2 ΩK ≡ − , (2.32) H 2 a2 tương ng v i m t đ năng lư ng 3Kc2 ρK ≡ − , (2.33) 8πGa2 c a đ cong không gian, khi đó phương trình (2.31) có d ng 1 = Ω + ΩK . (2.34) Do đó t ng c a t t c các tham s m t đ bao g m c tham s đ cong không gian s b ng 1. D th y n u Ω 1 đi u này ch ng t r ng ΩK 0 t c là vũ tr g n như ph ng v m t không gian. T các d li u m i nh t c a v tinh Planck [13] ta thu đư c ΩK = 0.0007 ± 0.0019 (68% ,TT,TE,EE+lowE+lensing+BAO). (2.35) Chu n hóa ρ v i m t đ chính t i th i đi m hi n t i có d ng ρ 8πGρ Ω≡ = 2 . (2.36) ρcr,0 3H0 V i đ nh nghĩa c a Ω, phương trìn Friedmann (2.20) đư c vi t l i có d ng H2 ΩK0 2 = H0 Ωi0 gi (a) + a2 (2.37) x Trong đó gi (a) c a thành ph n i ph thu c vào h s thang đo a và gi (a0 = 1) = 1. Do đó Ωi0 + ΩK0 = 1 (2.38) i đây là quan h đóng(closure relation) Ph m M nh Tuy n 17 2020B V t lý lý thuy t
H c vi n khoa h c và công ngh Lu n văn th c sĩ 2.2.3 Phương trình b o toàn năng lư ng Phương trình b o toàn năng lư ng có d ng µν νT = 0, (2.39) như m t h qu trong lý thuy t tương đ i r ng thông qua đ ng nh t th c Bianchi. Đ i v i metric FLRW và m t ch t l ng hoàn h o phương trình này có d ng P ρ + 3H ρ + ˙ = 0. (2.40) c2 K t qu này thu đư c t thàn ph n µ = 0 trong phương trình (2.39) và đư c g i là phương trình liên t c . Phương trình liên t c có l i gi i gi i tích n u chúng ta gi thi t m t phương trình tr ng thái có d ng P = ωρc2 , v i ω là h ng s . Nghi m t ng quát là ρ = ρ0 a−3(1+ω) , (ω = constant), (2.41) và ρ0 ≡ ρ(a0 = 1). Có ba giá tr c th c a ω đóng m t vai trò quan tr ng trong vũ tr h c: • V t ch t l nh (cold matter): ω = 0, P = 0, và ρ = ρ0 a−3 . T "l nh" ng ý r ng các h t c u thành nên lo i v t ch t này có đ ng năng nh hơn r t nhi u so v i năng lư ng ngh (mass energy), hay các h t này là các h t phi tương đ i tính. V t ch t l nh còn đư c g i là b i và nó bao g m t t c các h t cơ b n phi tương đ i tính đã bi t, chúng đư c g i chung là baryon theo thu t ng trong vũ tr h c. Trong khi đó, Các h t phi tương đ i tính chưa bi t (n u chúng t n t i) đư c g i là v t ch t t i l nh (CDM). • V t ch t nóng (hot matter): ω = 1/3, P = ρ/3 v i ρ = ρ0 a−4 . T "nóng" đây ng ý các h t c u t o lên lo i v t ch t này là các h t tương đ i tính. Trong ngôn ng vũ tr h c, lo i v t ch t này đư c g i là b c x , chúng không ch bao g m các h t tương đ i tính đã bi t mà cũng có th bao g m nh ng h t chưa bi t (v t ch t t i nóng). N n neutrino nguyên th y là ng c viên cho lo i v t ch t này, nhưng vì neutrino có kh i lư ng r t nh ∼ 0.1eV, bây gi nó tr thành l nh. • Năng lư ng chân không (vacuum energy): ω = −1, P = −ρ và ρ là m t h ng s . M t d ng v t ch t đ c bi t kỳ l hi n v n là m t bí n l n nh t trong vũ tr h c ho t đ ng như h ng s vũ tr trong vũ tr h c và hi n t i nó cung c p mô t t t nh t (và đơn gi n nh t ) mà chúng ta có v năng lư ng t i. Ph m M nh Tuy n 18 2020B V t lý lý thuy t