zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Mặt cầu Phần 02 (Đáp án bài tập tự luyện)

Chia sẻ: Lê Hoài | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:1

Báo xấu

80
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Mặt cầu Phần 02 (Đáp án bài tập tự luyện) giúp các bạn có thể tự kiểm tra, củng cố lại kiến thức của mình chuẩn bị cho kỳ thi đạt được kết quả cao. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Mặt cầu Phần 02 (Đáp án bài tập tự luyện)

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu MẶT CẦU (Phần 02) ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Mặt cầu (Phần 02) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Mặt cầu (Phần 02). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang cân và AB // CD. ðường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang có bán kính r. Biết SO vuông góc (ABCD) và SO = 2r. Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD. Giải: Gọi M, N, P, Q là các tiếp ñiểm của ñường tròn nội tiếp hình thang với các cạnh của hình thang. Do SO vuông góc mp(ABCD) S nên các tam giác SOM, SON, SOP, SOQ bằng nhau và mọi ñiểm trên SO cách ñều các mặt bên của hình chóp. Tâm mặt cầu nội tiếp là giao của ñường phân giác trong SON với SO. Ta có: SN = SO 2 + ON 2 = r 5 Theo tính chất phân giác: I IO NO = IS NS A Suy ra bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là: ON .OS 2r 5 −1 M R = IO = = = r B ON + NS 1 + 5 2 O Q N D P C Bài 2: Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Từ 1 ñiểm S trên mặt cầu kẻ ba dây cung SA, SB, SC sao cho SA = SB = SC và ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = α . a) Tính thể tích khối chóp SABC theo R và α S b) Xác ñịnh α ñể thể tích khối chóp SABC lớn nhất. Giải: a) Vì SA = SB = SC và ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = α suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC ñều. - Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC) khi ñó ta có : O HA = HB = HC nên H là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. C - Ta có : SH ⊥ ( ABC ); OH ⊥ ( ABC ) ⇒ 3 ñiểm S, O, H thẳng hàng 1 1 1  3 3 A H VS . ABC = dt (∆ABC ).SH = . AB.  AB.  .SH = . AB 2 .SH 3 3 2  2  12 B Mặt khác : Gọi S’ là ñiểm ñối xứng với S qua O và ñặt SA = x . S' Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu Khi ñó vì tam giác SAS’ vuông tại A nên ta có : x2 SA2 = SH .SS ' ⇔ x 2 = SH .2 R ⇒ SH = 2R Trong tam giác SAB ta có : AB 2 = SA2 + SB 2 − 2 SA.SB.cosα = x 2 + x 2 − 2.x.x.cosα = 2 x 2 (1 − cosα ) 2  2 AB 3  Trong tam giác SHA ta có : SA = SH + AH ⇔ SA = SH +  . 2 2 2  2 2 3 2   AB 2 ⇔ SA2 = SH 2 + 3 x2 2 x 2 (1 − cosα ) x2 2 ⇔ x2 = 2 + ⇔ 1 = 2 + (1 − cosα ) 4R 3 4R 3 4 R 2 (1 + 2 cos α ) 2 R(1 + 2 cos α ) 8 R 2 (1 + 2 cos α )(1 − cosα ) ⇔ x2 = ⇒ SH = ; AB 2 = 3 3 3 3 8 R 2 (1 + 2 cos α )(1 − cosα ) 2 R(1 + 2 cos α ) 4 3.R 3 Vậy VS . ABC = . . = (1 − cosα )(1 + 2 cos α ) 2 2 3 3 27 b) ðặt t = cosα ( −1 < t < 1) 4 3R 3 Khi ñó : V = (1 − t )(1 + 2t )2 , − 1 < t < 1 27 4 3R 3 4 3R 3 Ta có : V ' = .3(1 + 2t )(1 − 2t ) = ( −4t 2 + 1) 27 9 1 V ' = 0 ⇔ −4t 2 + 1 = 0 ⇔ t = ± 2 Bảng biến thiên : 1 1 t -1 − 1 2 2 V’ - 0 + 0 - 8 3R3 8 3R 3 V 27 27 0 0 1 1 π Từ bảng biến thiên suy ra V lớn nhất ⇔ t = ⇔ cosα = ⇔ α = 2 2 3 Bài 3 : Cho mặt cầu (S) ñường kính AB = 2R, H là ñiểm nằm giữa A và B. Mặt phẳng (P) ñi qua H và vuông góc với AB cắt mặt cầu (S) theo một ñường tròn (C). Xét hình nón có ñỉnh A và có ñáy là hình tròn giới hạn bởi (C). ðặt AH = x a. Tìm x ñể thể tích V của khối nón giới hạn bởi hình nón ñó là lớn nhất. b. Tìm x ñể diện tích xung quanh của hình nón lớn nhất Giải : a) Lấy M thuộc (C) khi ñó hình nón có bán kính r = HM. - Vì tam giác AMB vuông tại M và MH ⊥ AB nên ta có: MH 2 = HA.HB ⇒ r = HM = HA.HB = x(2 R − x) Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu A - Hình nón có chiều cao AH = x . Do ñó ta có: 1 1 V = π .r 2 . AH = π .x 2 (2 R − x) 3 3 3 π π  x + x + 4R − 2 x  32.π .R3 = .x.x.(4 R − 2 x) ≤   = (Bất ñẳng thức Côsi) 6 6 3  81 4R Suy ra V lớn nhất ⇔ x = 4 R − 2 x ⇔ x = 3 H b) Hình nón có ñường sinh là l = AM = AH . AB = 2 R.x M S xq = π .r.l = π x(2 R − x). 2 Rx = π 2 Rx 2 (2 R − x) 3  x + x + 4R − 2x  8 3π .R 2 B = π R x.x.(4 R − 2 x) ≤ π . R .   = (bất ñẳng thức Côsi)  3  9 8 3.π .R 2 4R Suy ra S xq lớn nhất bằng ⇔ x = 4R − 2x ⇔ x = 9 3 Bài 4: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = b; AC = BC = AD = BD = a. Xác ñịnh tâm và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (mặt cầu ñi qua 4 ñiểm A, B, C, D). Giải: A - Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và CD - Vì ACD, BCD là các tam giác cân nên CD vuông góc với AN và BN Suy ra CD ⊥ ( ANB ) ⇒ CD ⊥ MN M Tương tự ta có: AB ⊥ MN MN ⊥ AB   Q MN ⊥ CD  ⇒ MN là ñoạn vuông góc chung của AB và CD B D M ∈ AB, N ∈ CD  - Gọi O là trung ñiểm MN thì OA = OB = OC = OD. N Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính của nó là R = OA. 2 2 C  MN   b  MN 2 b 2 Ta có: R 2 = OA2 = OM 2 + AM 2 =  +    = +  2  2 4 4 b2 Mà MN 2 = AN 2 − AM 2 = AD 2 − ND 2 − AM 2 = a 2 − ( với 2a 2 > b 2 ) 2 a 2 b 2 b 2 a 2 b 2 2a 2 + b 2 2a 2 + b 2 ⇒ R2 = − + = + = ⇒R= 4 8 4 4 8 8 8 Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a 2, SA = SB = SC. Góc giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. Giải: Gọi H là trung ñiểm của BC ⇒ HA = HB = HC . Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC Suy ra SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) và ∠SAH = 600 Tam giác ABC vuông cân tại A: AC = AB = a 2 ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu Tam giác SHA vuông: S SH = AH tan 600 = a 3 1 1 3a 3 ⇒ VS . ABC = . . AB. AC.SH = . 3 2 3 Gọi O, R lần lượt là tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ⇒ O thuộc ñường thẳng SH ⇒ O thuộc mặt phẳng (SBC) ⇒ R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. B C SH H Xét ∆SHA , ta có: SA = = 2a ⇒ ∆SBC ñều có ñộ dài cạnh bằng 2a sin 600 2a 2a 3 ⇒R= 0 = A 2 sin 60 3 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.