Lý thuyết dao động - Chương 1

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

147
lượt xem 36
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do Đ1.1. Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 1.1.1. Dao động tự do không cản Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế. Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ lμ q. Ph−ơng trình Lagrăng II có dạng:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết dao động - Chương 1

Ch−¬ng I Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ mét bËc tù do §1.1. Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do 1.1.1. Dao ®éng tù do kh«ng c¶n XÐt hÖ mét bËc tù do, lùc t¸c dông lªn hÖ cã thÕ. To¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ c¬ hÖ lµ q. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng: d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂π ⎜ ⎟ ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q dt ⎜ ∂ q ⎟ ⎝ ⎠ 1 •2 1 Víi dao ®éng nhá th×: T = a q ; π = cq 2 : Thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn vµ rót gän, 2 2 •• q+ k 2q = 0 ta ®−îc: (1-1) c Trong ®ã: k = gäi lµ tÇn sè vßng (riªng) cña dao ®éng, ®¬n vÞ th−êng dïng rad/s, a nã phô thuéc vµo tÝnh chÊt cña hÖ (khèi l−îng vµ ®é cøng). Ph−¬ng tr×nh (1-1) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do. NTQ cña (1-1) t×m ®−îc ë d¹ng: q = C1coskt + C2sinkt (1-2) §Æt: C1 = Asinα; C2 = Acosα Ta viÕt ®−îc nghiÖm (1-2) d−íi d¹ng biªn ®é: q = Asin(kt +α) (1-3) ë ®©y: A = C1 + C 2 lµ biªn ®é dao ®éng; (kt +α) lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu; 2 2 k lµ tÇn sè vßng (tÇn sè dao ®éng riªng) cña hÖ. 2π a Chu kú dao ®éng T tÝnh theo c«ng thøc: T = = 2π (1-4) k c Gäi f lµ sè dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian (tÇn sè dao ®éng), khi ®ã: 1 1 k c f= = = (1-5) T 2π 2π a C¸c h»ng sè A vµ α ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gi¶ sö t¹i t = 0: q(0) = q0 •2 • • q0 kq 0 vµ q (0) = q 0 ta nhËn ®−îc: A = q 0 + 2 vµ α = arctg . Do ®ã: • 2 k q0 14
⎛ ⎞ 2 ⎜ kq 0 ⎟ q0 2 q= + ⋅ sin ⎜ kt + arctg • ⎟ (1-6) q0 k2 ⎜ q0 ⎟ ⎝ ⎠ Nh− vËy, dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do lµ dao ®éng ®iÒu hoµ. Trong thùc tÕ, viÖc x¸c ®Þnh tÇn sè riªng k lµ nhiÖm vô quan träng cña bµi to¸n nghiªn cøu dao ®éng tù do. B¶ng 2 thèng kª mét sè c«ng thøc ®èi víi k cña mét sè hÖ ®¬n gi¶n. B©y giê ta biÓu diÔn nghiÖm cña bµi to¸n trªn mÆt ph¼ng pha (hÖ täa ®é dÞch chuyÓn - vËn tèc). T¹i mçi thêi ®iÓm tr¹ng th¸i cña hÖ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng dÞch chuyÓn q vµ vËn tèc • v = q . Ta cã trong tr−êng hîp kh¶o s¸t: ⎧q = A sin( kt + α) ⎪ ⎨ (1-7) • ⎪v = q = Ak cos(kt + α) ⎩ TËp hîp c¸c ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ kh¶o s¸t nh− quü ®¹o pha cho ë d¹ng th«ng sè. §Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh quü ®¹o pha cÇn khö t tõ hÖ (1-7) ta ®−îc: q2 v2 + 2 2 =1 (1-8) A2 A k NghÜa lµ ph−¬ng tr×nh EllÝp (H×nh 11a). §iÓm biÓu diÔn ban ®Çu (tõ ®ã chuyÓn ®éng • • ®−îc b¾t ®Çu) t−¬ng øng víi ®iÒu kiÖn ®Çu q(0) = q0 vµ q(0) = q 0 . Khi thay ®æi ®iÒu kiÖn ban ®Çu quü ®¹o pha biÓu diÔn trªn EllÝp kh¸c. TËp hîp tr¹ng th¸i cã thÓ cña hÖ ®−îc m« t¶ b»ng hÖ c¸c EllÝp (H×nh11). Gèc to¹ ®é t−¬ng øng víi tr¹ng th¸i c©n b»ng cña hÖ (q0 =0 vµ • q 0 = 0 ). §iÓm nµy lµ ®iÓm kú dÞ vµ gäi lµ t©m. v v q 0, v 0 q q O O H×nh 11 B¶ng 2: TÇn sè riªng cña mét sè m« h×nh dao ®éng k2 Stt M« h×nh dao ®éng Ph−¬ng tr×nh •• C x x+ x=0 C HÖ khèi l−îng lß C m 1 m xo ®¬n gi¶n m (q = x) 15
•• C y+ y=0 C C HÖ khèi l−îng lß y m 2 xo träng tr−êng m M (q = y) O •• g ϕ+ ϕ=0 ϕ g L L 3 Con l¾c to¸n häc L (q = ϕ) m •• mga O a ϕ+ ϕ=0 mga JO ϕ 4 Con l¾c vËt lý JO (q = ϕ ) C m •• C JO ϕ+ ϕ=0 C JO 5 Bµn quay C JO (q = ϕ) Or JO •• 1 C y+ y=0 1 C JO m1 1+ HÖ khèi l−îng v¾t y JO m1 6 m1 r 2 1+ m1 qua rßng däc m1 r 2 C (q = y) m C − mgL •• ϕ+ ϕ=0 C − mgL ϕ JO 7 C¬ cÊu gâ nhÞp JO L C (q = ϕ) O •• 1 C x+ x=0 x 1 C JC m m 1+ Jm C 8 HÖ con l¨n lß xo rJ mr 2 1 + C2 O C mr (q = x) •• g 1 L ϕ+ ϕ=0 g 1 JC L m ϕ 1+ Con l¨n trªn quü JL 9 r mr 2 1 + C2 C ®¹o trßn JC mr (q = ϕ) 16
rC mgrC •• ϕ+ ϕ=0 mgrC Nöa ®Üa trßn trªn J C + m(r − rC ) 2 10 m J C + (r − rC ) 2 m C mÆt ph¼ng ϕr (q = ϕ) 1.1.2. Dao ®éng tù do cã c¶n. ë trªn ta coi sù hao t¸n n¨ng l−îng trong dao ®éng kh«ng x¶y ra vµ thiÕt lËp ®Æc tÝnh kh«ng t¾t dÇn cña dao ®éng tù do. Tuy nhiªn c¸c dao ®éng gÆp trong thùc tÕ lµ t¾t dÇn, do: ma s¸t trong c¸c bé phËn gi¶m chÊn, phanh h·m, tiÕp xóc víi m«i tr−êng xung quanh v.v... Gi¶ sö lùc t¸c dông lªn hÖ ngoµi lùc cã thÕ cßn cã lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − • dt ⎜ ⎟ ⎝∂q ⎠ ∂q 2 2 1• 1 1• Víi dao ®éng nhá: T = a q ; π = cq 2 ; φ = b q . Thay vµo ph−¬ng tr×nh vµ rót 2 2 2 gän, ta ®−îc: •• • q + 2n q + k 2 q = 0 (1-9) b c ë ®©y: 2n = , k2 = a a Ph−¬ng tr×nh (1-9) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do t¾t dÇn cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do. NTQ cña (1-9) t×m ®−îc d−íi d¹ng: q = e λt . Trong ®ã λ ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng sau: λ2 + 2nλ + k2 = 0 (1-10) Ph−¬ng tr×nh (1-10) cho hai nghiÖm sè: λ 1, 2 = − n ± n 2 − k 2 (1-11) Ta kh¶o s¸t ba tr−êng hîp: 1.1.2a. Tr−êng hîp 1: n < k (lùc c¶n nhá). Trong tr−êng hîp nµy ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cã nghiÖm phøc: λ 1, 2 = − n ± ik 1 ; k 1 = k 2 − n 2 ; i 2 = −1 TÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1-9) cã d¹ng: q = e − nt (C 1 cos k 1 t + C 2 sin k 1 t ) (1-12) q = Ae − nt sin( k 1 t + β) Hay viÕt ë d¹ng biªn ®é: (1-13) 17
• • Khi xÐt ®Õn ®iÒu kiÖn ®Çu t = 0: q(0) = q0, q (0) = q 0 Ta cã: 2 ⎛• ⎞ ⎜ q 0 + nq 0 ⎟ ⎛ ⎞ ⎠ ; β = arctg C 1 = arctg⎜ q 0 k − n 2 2 ⎟ ⎝ A = C1 + C 2 = q 0 + 2 2 2 ⎜• ⎟ k2 − n2 ⎜ q + nq ⎟ C2 ⎝ ⎠ 0 0 2 ⎛• ⎞ ⎜ q 0 + nq 0 ⎟ ⎛ ⎞ ⎠ e − nt sin⎜ k t + arctg q 0 k − n 2 2 ⎟ ⎝ q = q0 + 2 (1-14) VËy: ⎜1 ⎟ • k2 − n2 ⎜ ⎟ q 0 + nq ⎝ ⎠ ë ®©y: k 1 = k 2 − n 2 gäi lµ tÇn sè dao ®éng t¾t dÇn. Chu kú dao ®éng t¾t dÇn ®−îc x¸c ®Þnh b»ng: 2π 2π T1 = = (1-15) k1 k2 − n2 Víi n kh¸ nhá ta viÕt ®−îc: ⎡ 1 ⎛ n ⎞2 ⎤ 2π ⎡ 1 ⎛ n ⎞ ⎤ 2 T ⎥ = T ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ T1 = ≈ ⎢1 + ⎜ ⎟ (1-16) k ⎢ 2⎝k⎠ ⎢ 2⎝k⎠ ⎥ ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛n⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝k⎠ nt NghiÖm (1-13) cña ph−¬ng tr×nh (1-9) chØ ra r»ng: §é lÖch A e cña hÖ cã c¶n gi¶m theo thêi gian víi quy luËt hµm sè mò. Nã tiÖm cËn tíi kh«ng vµ do ®ã dao ®éng lµ t¾t dÇn (H×nh 1-1). q y1 y t O T1 T1 H×nh 1-1 Trong thùc tÕ ®Ó ®Æc tr−ng cho sù gi¶m biªn ®é ng−êi ta th−êng dïng mét ®¹i l−îng, ký hiÖu δ vµ gäi lµ ®é suy gi¶m L«garit cña dao ®éng: 2π y δ = ln ψ = ln = nT1 = (1-17) 2 y1 ⎛k⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎝n⎠ Muèn x¸c ®Þnh δ b»ng thùc nghiÖm, ta dïng c«ng thøc gÇn ®óng: 18
⎡ Δy ⎛ Δy ⎞ 2 ⎤ Δy y y + ⎜ ⎟ + ...⎥ ≈ δ = ln = ln = ln ⎢1 + (1-18) y ⎜y⎟ y − Δy ⎢ ⎥y ⎝⎠ y1 ⎣ ⎦ 1.1.2b. Tr−êng hîp 2: n > k (Lùc c¶n lín). Trong tr−êng hîp nµy c¶ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng ®Òu thùc vµ ©m: λ 1, 2 = −n ± k 2 , k 2 = n 2 − k 2 Ph−¬ng tr×nh (1-9) cã NTQ d¹ng: nt k 2t q = e (C 1 e k 2 t + C 2 e ) (1-19) Khi tÝnh ®iÒu kiÖn ban ®Çu nh− tr−êng hîp 1, ta cã: • • q (k + n) + q 0 q (k − n ) − q 0 C1 = 0 2 ; C2 = 0 2 2k 2 2k 2 ⎡ ⎤ • • ⎢ q 0 (k 2 + n ) + q 0 e k 2 t + q 0 (k 2 − n ) − q 0 e k 2 t ⎥ − nt q=e Tõ ®ã: (1-20) ⎢ ⎥ 2k 2 2k 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ HÖ qua vÞ trÝ c©n b»ng t¹i c¸c thêi ®iÓm tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh: ⎡ ⎤ • • q 0 ( k 2 + n) + q 0 2 k 2t q 0 ( k 2 − n) − q 0 ⎥ −( k 2 + n ) t ⎢ + =0 e e ⎢ ⎥ 2k 2 2k 2 ⎣ ⎦ Víi gi¸ trÞ cña biÓu thøc trong dÊu mãc bÊt kú, vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh → 0 khi t → ∞. Ta cã chuyÓn ®éng kh«ng tuÇn hoµn t¾t dÇn. 1.1.2c. Tr−êng hîp 3: n = k (lùc c¶n tíi h¹n). Trong tr−êng hîp nµy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng lµ thùc, ©m vµ b»ng nhau. NTQ cña (1-9) cã d¹ng: q = e − nt (C1 t + C 2 ) (1-21) ChuyÓn ®éng cña hÖ lµ t¾t dÇn, kh«ng dao ®éng. Trong mét sè tµi liÖu kü thuËt tr×nh bµy vÒ dao ®éng ng−êi ta cßn sö dông kh¸i niÖm ®é c¶n Lehr - §é c¶n Lehr ký hiÖu lµ D, ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: n b b D= = = (1-22) k 2ak 2 ac Ph−¬ng tr×nh (1-9) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng: •• • q + 2Dk q + k 2 q = 0 (1-23) k 2 − n 2 = k 1 − D 2 , nªn chuyÓn ®éng cña hÖ ®−îc ph©n ra c¸c tr−êng hîp: Do D < 1: §é c¶n nhá. D > 1: §é c¶n lín. D = 1: §é c¶n tíi h¹n. 19
Nh− thÕ, khi D < 1 chuyÓn ®éng cña hÖ lµ dao ®éng t¾t dÇn. khi D ≥ 1 chuyÓn ®éng cña hÖ lµ t¾t dÇn kh«ng dao ®éng. Gi÷a ®é c¶n Lehr D víi ®é suy gi¶m L«garit δ, cã liªn hÖ b»ng hÖ thøc sau: D δ = 2π (1-24) 1− D2 ThÝ dô 1-1: XÐt dao ®éng nhá cña con l¾c to¸n häc cã ®é dµi L, khèi l−îng m (H×nh 1-2). LÊy θ lµm täa ®é suy réng. Täa ®é cña khèi l−îng m b»ng: x = Lsinθ; y = Lcosθ. Do ®ã: 1 ⎛• •2⎞ 2 •2 1 1 mv 2 = m⎜ x + y ⎟ = mL2 θ T= 2⎜ ⎟2 2 ⎝ ⎠ x O ThÕ n¨ng cña con l¾c b»ng c«ng cña träng l−îng P = m g thùc hiÖn trªn di chuyÓn cña nã tõ vÞ trÝ kh¶o s¸t θ L (h×nh vÏ) tíi vÞ trÝ c©n b»ng (th¼ng ®øng). π = mgL(1 − cos θ) m 1 12 Do θ bÐ, 1-cosθ ≈ θ nªn: π = mgLθ 2 2 2 y Thay c¸c kÕt qu¶ vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II: H×nh 1-2 d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂π ⎜ ⎟− =− dt ⎜ •⎟ ∂θ ∂θ ⎝∂θ⎠ Ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh dao ®éng nhá cña con l¾c: •• g θ+ θ = 0 L L g §ã lµ dao ®éng ®iÒu hoµ víi tÇn sè riªng k = vµ chu kú T = 2π . g L ThÝ dô 1-2: XÐt dao ®éng xo¾n nhá cña ®Üa g¾n vµo ®Çu mót d−íi cña thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng dµi L. Mót trªn cña thanh bÞ ngµm (H×nh 1-3). Gäi M lµ khèi l−îng cña ®Üa; ρ lµ b¸n kÝnh L qu¸n tÝnh cña ®Üa ®èi víi trôc thanh; G lµ m«®un tr−ît cña vËt liÖu thanh; JP lµ m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña tiÕt diÖn ngang thanh. GJ P . LÊy θ lµ gãc §é cøng cña thanh khi xo¾n b»ng C = L θ quay cña ®Üa ®èi víi vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh. §éng n¨ng cña ®Üa •2 1 b»ng: T = Mρ 2 θ . ThÕ n¨ng ®µn håi cña nã khi θ nhá (tu©n 2 H×nh 1-3 20
12 theo ®Þnh luËt Hooke) lµ π = Cθ . ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ngII nh− thÝ dô 1-1, ta 2 nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh dao ®éng nhá khi xo¾n: • Mρ 2 θ + Cθ = 0 Mρ 2 C vµ chu kú T = 2π §ã lµ dao ®éng ®iÒu hoµ víi tÇn sè riªng k = . Mρ 2 C ThÝ dô 1-3: Ng−êi ta treo t¶i träng träng l−îng P b»ng mét thanh tuyÖt ®èi cøng dµi 2L. ë gi÷a thanh cã g¾n hai lß xo ®µn håi cã cïng L ϕ ®é cøng C. T¶i träng ®−îc ng©m trong b×nh chøa chÊt láng nhít. C C Trong qu¸ tr×nh t¶i träng thùc hiÖn dao ®éng nhá tù do chÊt láng g©y ¶nh h−ëng lµm gi¶m dao ®éng lªn hÖ (H×nh 1-4). T×m hÖ sè L ma s¸t nhít cña hÖ, nÕu chu kú dao ®éng t¾t dÇn cña hÖ T1 = 1s; c¸c tham sè cña hÖ lÊy c¸c gi¸ trÞ sau ®©y: P = 100 N; 2L = 30cm; P §−êng kÝnh lß xo D = 2cm; ®−êng kÝnh d©y cuèn lß xo d = 2mm; M«®un tr−ît cña vËt liÖu lµm lß xo G = 8.106 N/cm2; Sè vßng cña mçi lß xo i = 6. Bµi gi¶i: H×nh 1-4 HÖ cã mét bËc tù do. Chän to¹ ®é suy réng q = ϕ lµ gãc lÖch nhá cña thanh so víi ph−¬ng th¼ng ®øng. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II ¸p dông cho tr−êng hîp nµy cã d¹ng: d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂π ∂φ ⎜ ⎟− =− −• dt ⎜ •⎟ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎝∂ ⎠ 2 2 1 P 2 1 P⎛ ⎞ 2P 2 • • Ta cã: T = V= ⎜ 2L ϕ ⎟ = Lϕ 2 g⎝ ⎠ 2g g Cλ2 ; λ = Lsinϕ lµ ®é co d·n cña lß xo so víi vÞ trÝ c©n b»ng π = P.2L(1 − cos ϕ) + 2 2 ϕ2 th¼ng ®øng cña thanh (khi lß xo chøa biÕn d¹ng), víi ϕ nhá: 1- cosϕ ≈ ; sinϕ ≈ ϕ; 2 Do ®ã thÕ n¨ng cña hÖ b»ng: π = L(P + CL)ϕ 2 Gäi β lµ hÖ sè ma s¸t nhít cña hÖ (chÊt láng), hµm hao t¸n φ x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: 2 1• φ = βϕ 2 Thay c¸c gi¸ trÞ tÝnh ®−îc vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II vµ rót gän, ta nhËn ®−îc: βg • ( P + CL )g •• ϕ+ ϕ+ ϕ=0 2PL 2PL 21
2π Chu kú dao ®éng t¾t dÇn lµ: T1 = (a) k2 − n2 P + CL k lµ tÇn sè dao ®éng tù do (khi kh«ng cã lùc c¶n) b»ng: k = (b) .g 2 PL Gd 4 Gäi C lµ ®é cøng lß xo vµ ®−îc tÝnh theo c«ng thøc sau: C = 8D 3 i Thay sè vµo ta ®−îc: C = 33,3 N/cm. Do ®ã, tõ (b) sÏ tÝnh ®−îc: k=14rad/s. 4π 2 Tõ (a) gi¶i ®−îc: 2n = k 2 − ; thay sè vµo ta cã: 2n = 12,5rad/s. T12 HÖ sè c¶n chuyÓn ®éng t×m tõ ®iÒu kiÖn: βg 4nPL . Thay sè ta ®−îc: β = 76,5 NS. 2n = ⇒β= 2PL g §1.2. Dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do Dao ®éng c−ìng bøc x¶y ra khi hÖ cã t¸c dông cña c¸c kÝch ®éng ngoµi. C¸c kÝch ®éng nµy cã thÓ tuÇn hoµn hoÆc va ch¹m. Gi¶ sö hÖ kh¶o s¸t chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ, c¸c lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc vµ c¸c lùc kÝch ®éng ngoµi lµ hµm cña thêi gian t: P (t ) . Gäi QP lµ lùc suy réng cña lùc kÝch ®éng ngoµi. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II trong tr−êng hîp nµy cã d¹ng: ⎞ ⎛ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − • + Q P ⎟ dt ⎜ ⎝∂q ⎠ ∂q •2 •2 1 1 1 Víi dao ®éng nhá: T = a q ; π = cq 2 ; φ = b q 2 2 2 1P §Æt: Q(t) = Q . Thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn vµ rót gän ta nhËn ®−îc: a •• • q + 2n q + k 2 q = Q( t ) (1-25) Ph−¬ng tr×nh (1-25) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng dao ®éng nhá c−ìng bøc cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do. Trong tr−êng hîp lùc c¶n nhá (n < k), NTQ cña (1-25 ) cã d¹ng: q = Ae − nt sin( k 1 + β) + q (1-26) Trong ®ã q lµ NR cña ph−¬ng tr×nh (1-25). C¸c hÖ sè A, β ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. 22
q = e − nt Z(t ) Ta t×m NR q ë d¹ng: (1-27) Thay (1-27 ) vµo (1-25). Ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh ®èi víi hµm Z(t): •• Z + k 1 Z = Q(t ).e nt 2 (1-28) NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1-28) ®−îc t×m b»ng ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagr¨ng, ta ®Æt: Z(t) = C1(t)sink1t+ C2(t)cosk1t (1-29) Thay (1-29 ) vaß (1-28) ta suy ra: ⎧ • • C1 ( t ) sin k 1 t + C 2 ( t ) cos k 1 t = 0 ⎪ ⎨ ⎛• (1-30) ⎞ • nt ⎪k ⎜ C1 ( t ) cos k 1 t − C 2 ( t ) sin k 1 t ⎟ = e Q( t ) ⎝ ⎠ ⎩ Dïng quy t¾c Crame gi¶i hÖ (1-30) ta cã: • • e nt Q(t ) e nt Q(t ) C 1 (t ) = cos k 1 t; C 2 (t ) = − sin k 1 t; k1 k1 Tõ ®ã ta cã: e nτ Q(τ) e n τ Q ( τ) t t C 1 (t ) = ∫ cos k 1 τ.dτ ; C 2 (t ) = − ∫ sin k 1 τ.dτ (1-31) k1 k1 0 0 Thay (1-31) vµo (1-29) ta nhËn ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1-28): t 1 ∫ e nτ Q(τ) sin k 1 ( t − τ)dτ Z( t ) = (1-32) k1 0 VËy, NR q cña ph−¬ng tr×nh (1-25) b»ng: t 1 ∫ − nt e − n ( t − τ) Q( τ) sin k 1 ( t − τ).dτ q=e Z( t ) = (1-33) k1 0 NTQ cña ph−¬ng tr×nh (1-25) cã d¹ng: t 1 ∫ q = Ae − nt sin(k 1 t + β) + e − n ( t − τ) Q(τ) sin k 1 ( t − τ)dτ (1-34) k1 0 TÝch ph©n theo vÕ ph¶i cña (1-34) dÉn ra theo biÕn τ. V× vËy, khi tÝch ph©n coi t lµ h»ng sè. Sau khi hoµn thµnh viÖc thay cËn tÝch ph©n ta nhËn ®−îc q lµ hµm cña thêi gian t. 1.2.1. TÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc kh«ng c¶n (n = 0). Gi¶ sö lùc kÝch ®éng ngoµi biÕn ®æi theo quy luËt ®iÒu hoµ: Q(t) = P0sinpt. Ph−¬ng tr×nh (1-25) trë thµnh: •• q + k 2 q = P0 sin pt (1-35) Khi p ≠ k, NTQ cña (1-35) cã d¹ng: 23
P0 q = C 1 cos kt + C 2 sin kt + (1-36) sin pt k − p2 2 • • LÊy ®iÒu kiÖn ®Çu t = 0: q(0) = q0; q(0) = q 0 ta cã: • q P0 p C1 = q0; C 2 = 0 − (1-37) k k( k 2 − p 2 ) • q pP0 P q = q 0 cos kt + 0 sin kt + sin kt + 2 0 2 sin pt Tõ ®ã: (1-38) k(k − p ) k −p 2 2 k Trªn c¬ së (1-38) ta cã mét sè nhËn xÐt sau: 1) . Hai sè h¹ng ®Çu cña (1-38) øng víi dao ®éng tù do tÇn sè riªng k. Khi • q (0) = q (0) = 0 , nh÷ng dao ®éng nµy kh«ng x¶y ra. Sè h¹ng thø ba còng lµ dao ®éng ®iÒu hoµ víi tÇn sè riªng k, nh−ng biªn ®é phô thuéc vµo lùc kÝch ®éng. Nã lu«n x¶y ra cïng dao ®éng c−ìng bøc víi ®iÒu kiÖn ®Çu tuú ý. 2) . Sè h¹ng cuèi cña (1-38) ký hiÖu lµ q : P0 q= (1-39) sin pt k − p2 2 BiÓu thÞ dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tuý. Ta chó ý mét sè tÝnh chÊt sau: a). Dao ®éng c−ìng bøc x¶y ra víi tÇn sè lùc kÝch ®éng p. Nã kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ®Çu cña hÖ. b). Khi k > p th× dÊu cña ®é lÖch q cïng dÊu víi lùc kÝch ®éng Q, ta nãi nã cïng pha. Khi k < p chóng ng−îc dÊu nhau (ng−îc pha). Ta cã thÓ viÕt: P0 q= sin( pt + π) k − p2 2 c. Tr−êng hîp k = p, biÓu thøc (1-39) vµ sè h¹ng thø ba trong (1-38) sÏ mÊt ý nghÜa. Tuy nhiªn nÕu xÐt ®ång thêi th× cã: ⎡ − p sin kt + k sin pt ⎤ P0 p P − sin kt + 2 0 2 sin pt = P0 ⎢ ⎥ k( k − p ) k −p k(k 2 − p 2 ) 2 2 ⎣ ⎦ 0 Víi k = p, nã cã d¹ng . ¸p dông quy t¾c L«pitan, lÊy ®¹o hµm ®èi víi p vµ cho 0 p → k, ta thu ®−îc: ⎡ − p sin kt + k sin pt ⎤ ⎡ − sin kt + kt cos pt ⎤ P0 P0 t = lim P0 ⎢ ⎥ = − 2 sin kt − 2k cos kt P0 ⎢ ⎥ − 2kp k(k − p ) 2 2 2k ⎦ k =p p→k ⎣ ⎦ ⎣ TÝch ph©n tæng qu¸t cña (1-38) trë thµnh: • q P Pt q = q 0 cos kt + 0 sin kt + 02 sin kt − 0 cos kt (1-40) 2k 2k k 24
Râ rµng khi p = k c¸c gi¸ trÞ nguy hiÓm cña biªn ®é t¨ng theo quy luËt tuyÕn tÝnh víi thêi gian t vµ trong kho¶ng thêi gian h÷u h¹n nã kh«ng tiÕn tíi v« h¹n (H×nh 1-5). Sù trïng nhau gi÷a tÇn sè cña lùc kÝch ®éng p víi q tÇn sè riªng cña hÖ k vµ c¸c hiÖn t−îng x¶y ra tiÕp sau gäi lµ hiÖn t−îng céng h−ëng. Thùc tÕ khi tÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc kh«ng t c¶n th−êng ph©n ra hai tr−êng hîp: Tr−êng hîp xa céng O h−ëng (p ≠ k) vµ tr−êng hîp gÇn céng h−ëng (p ≈ k). Khi nµy nÕu: p = k+2ε (ε lµ ®¹i l−îng v« cïng bÐ) ta cã H×nh 1-5 hiÖn t−îng ph¸ch, cßn p = k ta cã hiÖn t−îng céng h−ëng. §èi víi c¸c m¸y ®−îc thiÕt kÕ lµm viÖc gÇn céng h−ëng khi t¨ng vËn tèc cña m¸y qua vïng céng h−ëng ph¶i khÈn tr−¬ng cho v−ît qua ®ñ nhanh. ThÝ dô 1-4: §éng c¬ ®iÖn ®Æt trªn sµn m ®−îc ®ì bëi lß xo xo¾n, träng l−îng tæng céng cña sµn vµ ®éng c¬ b»ng 327N. Lß xo cã tÝnh chÊt lµ: ChiÒu cao cña nã ng¾n ®i 1 cm khi chÞu l−c 300N. Ng−êi ta g¾n vµo trôc ®éng c¬ mét t¶i träng m1 nÆng 2N c¸ch ®−êng tim trôc mét kho¶ng r = 1,3cm. VËn tèc gãc cña ®éng c¬ p = 30 rad/s. H·y viÕt ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña sµn, gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm ®Çu nã n»m yªn; lÊy g = 981 cm/s2 (H×nh 1-6a). Bµi gi¶i: Sµn vµ ®éng c¬ chuyÓn ®éng theo ph−¬ng th¼ng ®øng. Gäi x lµ to¹ ®é khèi t©m cña sµn vµ ®éng c¬ tÝnh tõ vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh. C¸c lùc t¸c dông lªn hÖ dao ®éng gåm: Lùc ®µn håi cña lß xo F = Cx; lùc kÝch ®éng do lùc qu¸n tÝnh ly t©m cña khèi l−îng lÖch t©m m1 g©y ra theo ph−¬ng Ox: Fx=m1rp2cospt. •• §Æt lùc qu¸n tÝnh lªn khèi l−îng dao ®éng Fqt = − m x (H×nh 1-6b). r O O x m1 m m rm 1 ϕ = pt m1rp2 Fx C x a) b) H×nh 1-6 25
Theo nguyªn lý §a-l¨m-be, ta cã: •• m x + Cx = m1 rp 2 cos pt m1 rp 2 •• C ⇒ x+ k 2 x = cos pt; k 2 = m m NTQ cña p−¬ng tr×nh t×m ë d¹ng: x = C1sinkt+ C2coskt + Bcospt • => x = C1kcoskt - C2ksinkt - Bpsinpt. • §iÒu kiÖn ®Çu cña bµi to¸n: t = 0 th× x(0) = 0; x(0) = 0 . m1 r 2 p 2 Ta suy ra: C2+B = 0; C1 = 0; B = C − mp 2 Do ®ã ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña sµn m lµ: m1 rp 2 x= (cos pt − cos kt ) c − mp 2 300 / 1 C V× k 2 = = ≅ 30 2 rad / s 2 ⇒ k = 30 rad / s = p m 327 / 981 Trong tr−êng hîp nµy hÖ cã céng h−ëng. V× vËy nghiÖm cña bµi to¸n viÕt ë d¹ng: 2m1 rp(cos pt − cos kt ) + m1 p 2 rt sin pt lim x = lim 2mp p→k p→k Hay lim x = 0,12t.sinpt = 0,12t.sin30t (cm). p→k 1.2.2. TÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc cã c¶n (n ≠ 0). XÐt lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt víi vËn tèc, lùc kÝch ®éng ngoµi biÕn ®æi theo quy luËt ®iÒu hoµ Q(t) = P0sinpt. Ph−¬ng tr×nh (1-25) trë thµnh: •• • q + 2n q + k 2 q = P0 sin pt. (1-41) Víi lùc c¶n nhá (n < k), NTQ cña (1-41) cã d¹ng: − nt q = A e sin( k 1 t + β) + q; k 1 = k 2 − n 2 (1-42) Ta t×m nghiÖm q d−íi d¹ng: q = B sin( pt − ε) (1-43) Chän B, ε sao cho q tháa m·n ®ång nhÊt ph−¬ng tr×nh (1-42). ⎧B( k 2 − p 2 ) = P0 cos ε Tõ ®ã ta nhËn ®−îc: ⎨ (1-44) ⎩2Bnp = P0 sin ε 26
2 np P0 Gi¶i hÖ (1-44), ta cã: B = ; tgε = (1-45) k − p2 2 (k 2 − p 2 ) 2 + 4n 2 p 2 TÝch ph©n tæng qu¸t ph−¬ng tr×nh (1-41) viÕt ë d¹ng: − nt P0 q = A e sin( k 1 t + β) + sin( pt − ε) (1-46) (k − p ) + 4n 2 p 2 2 22 C¸c h»ng sè A, β ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Tõ (1-46) ta còng cã mét sè nhËn xÐt sau: 1) . Sè h¹ng ®Çu cña (1-46) øng víi dao ®éng tù do cã c¶n. Thùc tÕ nã t¾t dÇn theo thêi gian. Sau mét kho¶ng thêi gian nµo ®ã cã thÓ bá qua vµ xem hÖ chØ thùc hiÖn dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tuý: P0 q= sin( pt − ε) (1-47) ( k 2 − p 2 ) 2 + 4n 2 p 2 Ph−¬ng tr×nh (1-47) x¸c ®Þnh chÕ ®é dao ®éng b×nh æn cña hÖ. 2) . Dao ®éng c−ìng bøc kÓ c¶ khi cã c¶n vÉn x¶y ra víi tÇn sè lùc kÝch ®éng p. Biªn ®é cña nã kh«ng phô thuéc vµo thêi gian vµ kh«ng t¾t dÇn v× lùc c¶n. Khi x¶y ra céng h−ëng (p = k) biªn ®é nµy vÉn h÷u h¹n vµ kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ cña biªn ®é. Ta t×m p ®Ó biªn ®é: P0 B= ®¹t cùc ®¹i. ( k 2 − p 2 ) 2 + 4n 2 p 2 ∂B = 0 , ta suy ra: p2 = k2 - 2n2 Tõ ®iÒu kiÖn ∂p VËy B = Bmax khi p2 = k2 - 2n2. Biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc ®¹t cùc ®¹i khi p nhá h¬n k mét chót (tr−íc céng h−ëng). 3) . Trong dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ cã c¶n lu«n x¶y ra ®é lÖch pha gi÷a pha dao ®éng víi pha cña lùc kÝch ®éng. §é lÖch pha ε x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: 2np tgε = k − p2 2 π §é lÖch pha ε cã gi¸ trÞ cùc ®¹i khi céng h−ëng (p = k) vµ b»ng . 2 4) . Gäi ®é lÖch tÜnh cña hÖ lµ B0 (b»ng tû sè biªn ®é lùc kÝch ®éng víi hÖ sè cøng cña P0 ). Ta lËp tû sè gi÷a biªn ®é B vµ B0, ký hiÖu lµ η . HÖ sè η ®−îc gäi lµ hÖ hÖ; ë ®©y B 0 = k2 sè ®éng lùc vµ b»ng: B 1 η= = (1-48) B0 2 ⎛ p⎞ 2 2 2 np ⎜1 − ⎟ +4 ⎜ 2⎟ k4 k⎠ ⎝ 27
1 η= Khi kh«ng cã c¶n (n = 0 ) hÖ sè ®éng lùc b»ng: (1-49) p2 1− 2 k η 2n/p=0 0,1 0,15 4 0,2 0,1 0,3 2n/p=0 3 η 0,4 0,5 2 2 1 1 p/k p/k 0 0 1,5 2,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,5 1,0 a) b) H×nh 1-7 Trªn h×nh vÏ (H×nh 1-7a) ta cã c¸c ®−êng cong céng h−ëng. Nh÷ng ®−êng nµy biÓu diÔn qu¸ tr×nh biÕn ®æi cña gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña hÖ sè ®éng lùc η phô thuéc vµo tÇn sè cña lùc kÝch ®éng víi mét vµi gi¸ trÞ cña hÖ sè c¶n. Tõ ®å thÞ râ rµng lµ: C¸c lùc c¶n (nhít) cã t¸c dông râ rÖt trong vïng gÇn céng h−ëng, ë c¸c vïng nµy th× cã thÓ lÊy η= ηmax (H×nh 1-7b). Do ®ã, mÆc dï biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc khi cã c¶n lµ h÷u h¹n; nh−ng c¸c chi tiÕt cña m¸y vÉn lµm viÖc trong tr−êng hîp nµy th× lu«n x¶y ra nguy c¬ ph¸ huû do øng suÊt mái. V× vËy, khi thiÕt kÕ cÇn chän mèi liªn hÖ c¸c kÝch th−íc vµ ®é bÒn sao cho chÕ ®é b×nh th−êng n»m xa chÕ ®é céng h−ëng. ThÝ dô 1-5: §Ó ghi c¸c qu¸ tr×nh dao ®éng khi cã t¸c ®éng ngÉu nhiªn kh¸c nhau (x« ®Ëp, va ch¹m) ng−êi ta th−êng dïng C c¸c chÊn ®å tÇn sè thÊp cã l¾p thªm bé gi¶m chÊn (d¹ng m gi¶m chÊn ma s¸t nhít). S¬ ®å nguyªn t¾c cña chÊn ®å nµy ®−îc m« t¶ trªn h×nh vÏ (H×nh 1-8). ë ®©y chuyÓn α ®éng cña khèi l−îng m treo b»ng lß xo víi ®é cøng C ®−îc h·m l¹i b»ng lùc c¶n tØ lÖ víi vËn tèc chuyÓn ®éng • t−¬ng ®èi cña t¶i träng, tøc lµ b»ng α y trong ®ã y lµ ®é y1 lÖch cña khèi l−îng m ®èi víi nÒn. T×m gi¸ trÞ ®é lÖch mµ m¸y ghi l¹i nh− hµm cña thêi gian t, nÕu nÒn chuyÓn H×nh 1-8 ®éng theo quy luËt: y1 = y 0 (sin ωt + 2 sin 10ωt ) α C Khi gi¶i bµi to¸n lÊy: k 2 = = 0,01ω 2 ; n = = 0,02ω 2m m 28
Bµi gi¶i: ChuyÓn ®éng lªn xuèng cña t¶i träng m, nhê ngßi bót g¾n vµo nã sÏ ghi nh÷ng dao ®éng cña m¸y lªn b¶ng chia ®é (H×nh 1-8). ChuyÓn ®éng th¼ng ®øng y cña t¶i träng m lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ®èi víi khung chÊn ®å g¾n víi b¶ng chia ®é. Do mãng vµ chÊn ®å thùc hiÖn chuyÓn ®éng theo quy luËt cho tr−íc: y1 = y 0 (sin ωt + 2 sin 10ωt ) Nªn lùc qu¸n tÝnh kÐo theo t¶i cña träng m trong chuyÓn ®éng nµy b»ng: •• − m y 1 = my 0 ω 2 (sin ωt + 200 sin 10ωt ) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng t−¬ng ®èi cña t¶i träng m cã d¹ng: •• • y + 2n y + k 2 y = y 0 ω 2 (sin ωt + 200 sin 10ωt ) α C Trong ®ã: y lµ dÞch chuyÓn cña khèi l−îng m ®èi víi nÒn; 2 n = ; k2 = m m NÕu bá qua dao ®éng tù do, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn trong tr¹ng th¸i chuyÓn ®éng b×nh æn cña t¶i träng m lµ: y 0 ω2 200y 0 ω 2 y= sin(ωt − α 1 ) + sin(100ωt − α 2 ) ( k 2 − ω 2 ) 2 + 4n 2 ω 2 ( k 2 − 100ω 2 ) 2 + 400n 2 ω 2 2nω 20nω ë ®©y: tgα1 = ; tgα 2 = ω −k 100ω2 − k 2 2 2 Thay: k 2 = 0,01ω 2 ; n = 0,02ω ta nhËn ®−îc dÞch chuyÓn t−¬ng ®èi cña khèi l−îng m do m¸y ghi ra: y y = 0 sin(ωt − α 1 ) + 2y 0 sin(10ωt − α 2 ) 5 ThÝ dô 1-6: §Ó ®Çm bª t«ng ë ch©n mãng c¸c c«ng tr×nh ng−êi ta th−êng dïng mét thiÕt bÞ ®Æc biÖt: §ã lµ chÊn tö lÖch t©m gåm mét ®Õ nÆng khèi l−îng m, trªn ®ã ®Æt hai ®Üa quay khèi l−îng mçi ®Üa b»ng m1 . C¸c ®Üa quay trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng theo chiÒu ng−îc nhau víi vËn tèc gãc ω. Trªn mçi ®Üa ng−êi ta g¾n mét t¶i träng m0 c¸ch trôc quay mét kho¶ng lµ e (H×nh 1-9a). Sau mét thêi gian ®Çm, ta cã thÓ m« t¶ c¸c tÝnh chÊt cña mãng bª t«ng mét c¸ch gÇn ®óng bëi m« h×nh l−u biÕn nh− h×nh vÏ (H×nh 1-9b). H·y thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh dao ®éng b×nh æn cña vá chÊn tö. TÝnh biªn ®é dao ®éng. BiÕt r»ng trong qu¸ tr×nh lµm viÖc vá chÊn tö kh«ng bao giê t¸ch rêi khái khèi l−îng ®ang ®Çm. Bµi gi¶i: Gäi x lµ to¹ ®é träng t©m cña vá chÊn tö tÝnh tõ vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh, ¸p dông nguyªn lý §a-l¨m-be. Lùc ly t©m do c¸c ®Üa g¾n khèi l−îng lÖch t©m chuyÓn ®éng ng−îc nhau t¸c dông theo ph−¬ng chuyÓn ®éng cña vá chÊn tö (theo ph−¬ng x th¼ng ®øng) sÏ b»ng: 29
P( t ) = 2m 0 ω 2 e sin ωt P(t) M e ϕ = ωt x m0 α C ω ω m1 m H×nh 1-9 M« M« h×nh tÝnh hÖ dao ®éng ®−îc m« t¶ trªn h×nh 1-9. Ph Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña vá chÊn tö cã d¹ng: •• • M x + α x + Cx = P (t ) ë ®©y: M = m + 2(m 0 + m1 ) , hay cã thÓ viÕt: 2m 0 ω 2 e •• • x + 2n x + k 2 x = sin ωt m + 2( m 0 + m 1 ) α α C C Trong ®ã: n = = , k2 = = 2M 2[m + 2(m 0 + m1 )] M m + 2(m 0 + m1 ) NÕu gäi A0 lµ ®é lÖch tÜnh cña hÖ do biªn ®é lùc kÝch ®éng t¸c dông tÜnh lªn hÖ g©y ra: 2m 0 ω 2 e 2m 0 ω 2 e A0 = =2 k [ m + 2(m 0 + m1 )] C Ta cã biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc cña vá chÊn tö b»ng: A0 A= 2 2 ⎛ ω 2 ⎞ ⎛ 2nω ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ k⎟ ⎠ ⎝k⎠ ⎝ 1.2.3. §Öm ®µn håi cña m¸y. Ta xÐt mét m« h×nh ¸p dông kü thuËt cña lý thuyÕt dao ®éng c−ìng bøc. 1.2.3a. C¸c m¸y quay cã bé phËn kh«ng c©n b»ng sÏ truyÒn c¸c lùc kÝch ®éng cã chu kú lªn nÒn (mãng) cña nã, g©y lªn sù rung vµ tiÕng ån kh«ng mong muèn. §Ó gi¶m hiÖn t−îng nµy th−êng ¸p dông ®Öm ®µn håi. Gi¶ thiÕt m¸y cã träng l−îng Q (H×nh 1-10) vµ ký hiÖu P lµ lùc ly t©m xuÊt hiÖn do phÇn quay kh«ng c©n b»ng víi vËn tèc gãc ω( rad / s) . Nh− ®· chØ trªn h×nh vÏ (H×nh 1-10a). C¸c lùc kÝch ®éng th¼ng ®øng, n»m ngang t−¬ng øng lµ: P sin ωt vµ P cos ωt . NÕu m¸y ®−îc b¾t chÆt víi nÒn cøng th× lùc kÝch ®éng sÏ truyÒn hoµn toµn xuèng nÒn. §Ó gi¶m lùc kÝch ®éng lªn nÒn (mãng) ta ®−a vµo ®Öm ®µn håi nh− h×nh vÏ (H×nh 1-10b), ë ®ã ta h¹n chÕ chuyÓn ®éng ngang cña m¸y bëi c¸c liªn kÕt. Khi nµy ta nhËn ®−îc dao ®éng 30
c−ìng bøc cña vËt Q ®Æt trªn lß xo theo ph−¬ng th¼ng ®øng víi lùc kÝch ®éng P0 sin ωt . NÕu chó ý ®Õn biÓu thøc (1-39) ta cã biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc khi nµy b»ng: P P = η A= (1-50) ⎛ ω⎞ C 2 C⎜1 − 2 ⎟ ⎜ k⎟ ⎝ ⎠ Q Q ωt ωt P P C a) b) H×nh 1-10 ë ®©y: C lµ hÖ sè cøng, k lµ tÇn sè riªng cña hÖ, η lµ hÖ sè ®éng lùc ®−îc x¸c ®Þnh theo (1-49 ). Khi ω > k 2 , hÖ sè η nhá h¬n ®¬n vÞ vµ hiÖu øng ®éng lùc bÞ gi¶m yÕu. Nh− vËy, ®Ó lµm gi¶m lùc kÝch ®éng truyÒn vµo nÒn (mãng) m¸y cÇn ®Æt trªn c¸c lß xo mÒm sao cho tÇn sè riªng cña hÖ dao ®éng nhá so víi sè vßng quay trong mét ®¬n vÞ thêi gian cña m¸y. P(t) 1.2.3b. Trong phÇn trªn ta m« t¶ ®Öm ®µn håi cña m¸y víi gi¶ thiÕt kh«ng tån t¹i lùc c¶n. §iÒu nµy chØ gÇn ®óng trong tr−êng hîp ®èi víi c¸c lß xo xo¾n b»ng thÐp. NÕu sö dông c¸c nhÝp l¸ hoÆc b¶n b»ng cao su th× lùc c¶n lµ ®¸ng kÓ vµ kh«ng thÓ bá qua. Khi ®ã ®Öm ®µn håi m¸y quy ®æi thµnh m« h×nh tÝnh gåm lß xo ®é cøng C vµ gi¶m chÊn cã hÖ sè c¶n b (h×nh 1-11). øng lùc ®éng lùc truyÒn cho nÒn biÓu thÞ b»ng: b C i • R = Cq + b q (1-51) Thay (1-47) vµo (1-51), ta t×m ®−îc: H×nh 1-11 R Max = B C + (bω) 2 2 4n 2 ω 2 P 1+ k2 C Hay: R max = 2 ⎛ ω2 ⎞ 4n 2 ω 2 ⎜1 − 2 ⎟+ ⎜ ⎟ k4 k ⎝ ⎠ 4n 2 ω2 P P Khi chó ý tíi (1-48) ta cã: R max = η 1+ = η* (1-52) 2 C C k 31
4n 2 ω 2 Trong ®ã: η* = η 1 + , η* th−êng * η k2 gäi lµ hÖ sè ®éng lùc gia t¨ng. Sù phô thuéc hÖ 3 ω n/p=0,1 2n sè nµy víi trong c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau chØ 0,2 k k 0,3 2 ra trªn h×nh vÏ (H×nh 1-12). 0,4 TÊt c¶ c¸c ®−êng cong ®i qua mét ®iÓm 0,5 cã hoµnh ®é 2 vµ tung ®é b»ng 1. Trong 1 ω 0,5 0,4 < 2 sù t¾t dÇn lµ cã lîi v× lµm gi¶m hÖ miÒn 0,3 0,2 2n/p=0,1 k ω/k ω > 2 víi sù t¨ng 0 12 sè truyÒn lùc, trong miÒn 2 3 k cña lùc c¶n, hÖ sè truyÒn lùc t¨ng. V× vËy, trong H×nh 1-12 c¸c tr−êng hîp: Khi chÕ ®é lµm viÖc n»m ë vïng sau céng h−ëng lùc truyÒn cho nÒn (mãng) t¨ng do hÖ qu¶ cña gi¶m chÊn. ý nghÜa vËt lý cña hiÖn t−îng nµy lµ ë chç: C¸c dao ®éng truyÒn cho nÒn mãng thùc hiÖn b»ng hai lùc: Theo “con ®−êng ®µn håi” vµ “con ®−êng nhít”. Khi lùc kÝch ®éng cã tÇn sè cao x¶y ra vËn tèc lín vµ t−¬ng øng víi lùc c¶n nhít t¨ng lªn. 1.2.4. ¸p dông phÐp biÕn ®æi Laplace tÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc 1.2.4a. ®Þnh nghÜa phÐp biÕn ®æi Laplace. Gi¶i sö: f(t) lµ hµm liªn tôc tõng khóc trªn kho¶ng [0; + ∞ ). PhÐp biÕn ®æi Laplace lµ mét phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n biÕn ®æi hµm gèc f(t) cña biÕn sè thùc thµnh hµm ¶nh F(s) cña biÕn sè phøc nhê hÖ thøc: ∞ F(s) = L[f ( t )] = ∫ e −st f ( t )dt (1-53) 0 Trong ®ã ký hiÖu: L gäi lµ to¸n tö Laplace. PhÐp biÕn ®æi Laplace ng−îc, ký hiÖu theo to¸n tö L–1 sÏ ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: f ( t ) = L−1 [F(s)] (1-54) To¸n tö L vµ to¸n tö L-1 cã tÝnh chÊt: L−1 {L[f ( t )]} = f ( t ) (1-55) Trong b¶ng d−íi ®©y (b¶ng 3) ta giíi thiÖu mét sè hµm f(t) th«ng dông vµ hµm ¶nh F(s) cña nã qua phÐp biÕn ®æi Laplace. ThÝ dô 1-7: T×m c¸c hµm ¶nh cña c¸c hµm gèc f(t) =1, f(t) = e at b»ng phÐp biÕn ®æi Laplace. Bµi gi¶i: ¸p dông c«ng thøc ®Þnh nghÜa (1-53) ta lÇn l−ît cã: 32
∞ ∞ ∞ e −st 1 L[1] = ∫ e f (t )dt = ∫ e 1dt = − − st − st = = F(s) s s 0 0 0 ∞ ∞ ∞ − 1 − t (s −a ) 1 L[e ] = ∫ e e dt = ∫ e −st −( s −a ) t dt = = ; (s > 0) at at e s−a s−a 0 0 0 1.2.4b. C¸c tÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Laplace Ta nªu mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n (kh«ng chøng minh) cña phÐp biÕn ®æi Laplace. a) . §Þnh lý céng t¸c dông: NÕu L[f1(t)] = F1(s); L[f2(t)] = F2(s) th×: L[C1f1(t)+C2f2(t)] = C1F1(s)+C2F2(s) (1-56) ⎡n ⎤n L ⎢∑ C i fi (t )⎥ = ∑ C i Fi (s); Ci lµ c¸c h»ng sè. Tõ ®ã: ⎣ i =1 ⎦ i =1 b) . §Þnh lý vi ph©n: NÕu L[y(t)]= Y(s) th×: • L[y(n)(t)]=snY(s) – sn-1 y0 – sn-2 y 0 – ... – sn-2 y0(n-2) – y0(n-1) (1-57) Trong ®ã: y(t)(k) lµ ®¹o hµm bËc k cña hµm y(t) theo t: y 0k ) = y ( k ) (0) = lim y ( k ) ( t ) ( + t →0 t c) . §Þnh lý ®ång d¹ng: NÕu L[f(t)]=F(s) th×: L[f ( )] = aF(as) (1-58) a d) . §Þnh lý c¶n: NÕu L[f(t)]=F(s) th×: L [e-atf(t)]=F(s+a) (1-59) e) . §Þnh lý trÔ: NÕu L[f(t)]= F(s) th×: L[f(t-a)] =e-as F(s) (1-60) Mét sè c«ng thøc c¬ b¶n cña phÐp biÕn ®æi Laplace ®−îc tr×nh bµy trong B¶ng 3. ¬ B¶ng 3 - Hµm f(t) vµ hµm ¶nh F(s) qua phÐp biÕn ®æi Laplace. ∞ F(s) = ∫ e −st f ( t )dt STT f(t) Ghi chó 0 1 1 1/s 1/s2 2 t 1/(s+α) e − αt n! 3 n nguyªn t n e − αt (s + α) n +1 1 1 (1 − e −αt ) 4 s(s + α) α 33