I. Các đ nh nghĩa v ma tr n:ị ề ậ
1. Đ nh nghĩa 1.1:ị
M t ma tr n A lo i (c p) ộ ậ ạ ấ m x n trên tr ng ườ K (K – là tr ng th c ườ ự R, ho c ph c ặ ứ C) là m t b ngộ ả
ch nh t g m ữ ậ ồ m x n ph n t trong ầ ử K đ c vi t thành m dòng và n c t nh sau:ượ ế ộ ư
Trong đó là ph n t v trí dòng i, c t j c a A. Đôi khi A đ c vi t ng n g n làầ ử ở ị ộ ủ ượ ế ắ ọ
hay
Các ma tr n th ng đ c ký hi u b i A, B, C và t p h p t t c các ma tr n lo i ậ ườ ượ ệ ở ậ ợ ấ ả ậ ạ m x n trên
tr ng K đ c ký hi u b i ườ ượ ệ ở Mm x n(K)
Ví d 1.1:ụ là ma tr n c p 2 x 3. ậ ấ là ma tr n c p 3 x 2. ậ ấ
Ví d 1.2ụ: Vi t ma tr n c p 4 x 4 bi t: ế ậ ấ ế
Nh n xét:ậ
- Ma tr n A có th xác đ nh tr c ti p b ng cách li t kê các ph n t , cũng có th đ c xác đ nhậ ể ị ự ế ằ ệ ầ ử ể ượ ị
theo công th c t ng quát.ứ ổ
- Ma tr n không c p m x n (ma tr n zero), ký hi u ậ ấ ậ ệ 0mxn là ma tr n mà m i ph n t đ u b ng 0.ậ ọ ầ ử ề ằ
- N u m = n thì A đ c g i là ế ượ ọ ma tr n vuông c p n trên ậ ấ K. T p h p t t c các ma tr n vuôngậ ợ ấ ả ậ
c p n trên ấK đ c ký hi u là ượ ệ Mn(K)
- Ma tr n c p 1 x n đ c g i là ậ ấ ượ ọ ma tr n hàngậ; ma tr n c p m x 1 đ c g i là ậ ấ ượ ọ ma tr n c tậ ộ
- N u A là ma tr n vuông c p n, thì đ ng ch a các ph n t aế ậ ấ ườ ứ ầ ử 11, a22, a33,…, ann đ c g i làượ ọ
đ ng chéo chínhườ c a A.ủ
2. Đ nh nghĩa 1.2:ị Cho . Khi đó:
- N u ế(nghĩa là t t c các ph n t bên ngoài đ ng chéo chính c a A đ u b ngấ ả ầ ử ườ ủ ề ằ
0) thì ta nói A là ma tr n đ ng chéoậ ườ .
- Ta th ng dùng ký hi u ườ ệ diag(a1, a2,…, an) đ ch m t ma tr n đ ng chéo c p n có các ph nể ỉ ộ ậ ườ ấ ầ
t trên đ ng chéo l n l t là ử ườ ầ ượ a1, a2, …, an
- Ma tr n chéo có ậ(nghĩa là các ph n t trên đ ng chéo chính đ u b ng 1) đ c g iầ ử ườ ề ằ ượ ọ
là ma tr n đ n v . Ký hi u: Iậ ơ ị ệ n
- M t ma tr n đ ng chéo v i t t c các ph n t trên đ ng chéo chính đ u b ng nhau đ cộ ậ ườ ớ ấ ả ầ ử ườ ề ằ ượ
g i là ọma tr n vô h ngậ ướ .
- N u ế(nghĩa là t t c các ph n t n m bên d i đ ng chéo chính c a A đ uấ ả ầ ử ằ ướ ườ ủ ề
b ng 0) thì ta nói A là ằma tr n tam giác trênậ.
- N u ế(nghĩa là t t c các ph n t n m bên trên đ ng chéo chính c a A đ uấ ả ầ ử ằ ườ ủ ề
b ng 0) thì ta nói A là ằma tr n tam giác d iậ ướ .
- Ma tr n tam giác trên hay tam giác d i đ c g i chung là ma tr n tam giác.ậ ướ ượ ọ ậ
II. Các phép toán trên ma tr n:ậ
1. Đ nh nghĩa 2.1 (hai ma tr n b ng nhau):ị ậ ằ
Cho .
Ta nói A = B khi và ch khi: ỉ
Ví d : ụV i Thì ớ
Hai ma tr n không th b ng nhau do không cùng c p.ậ ể ằ ấ
2. Đ nh nghĩa 2.2 (Ma tr n chuy n v ):ị ậ ể ị
Cho . Ta nói:
là chuy n vể ị c a A (ký hi u B = Aủ ệ T) n u: ế
Ví d : N u ụ ế thì
3. Tính ch t 2.1:ấ
Cho . Khi đó:
1.
2.
Ghi chú:
Cho . Khi đó, n u ếAT = A thì ta nói A là ma tr n đ i x ngậ ố ứ ; n u ếAT = – A thì ta nói A
là ma tr n ph n x ngậ ả ứ .
Ví d : ụlà ma tr n đ i x ng. ậ ố ứ là ma tr n ph n x ng. ậ ả ứ
Nh n xét:ậ N u B là ma tr n ph n x ng thì các ph n t trên đ ng chéo chính c a B đ u b ngế ậ ả ứ ầ ử ườ ủ ề ằ
0.
4. Phép nhân m t s v i m t ma tr n:ộ ố ớ ộ ậ
Cho Ta g i tích a và A (ký hi u aA) là m t ma tr nọ ệ ộ ậ
đ c xác đ nh b i: ượ ị ở
– N uế a = -1 thì ta ký hi u ệ(-1).A b iở -A và g i là ọma tr n đ iậ ố c a A. ủ
5. C ng hai ma tr n:ộ ậ
Cho
Ta g i t ng c a A và B (A + B) là m t ma tr n ọ ổ ủ ộ ậ đ c xác đ nh b i:ượ ị ở
T ng c a A + (-B) đ c ký hi u b i A – B và g i là hi u c a ma tr n A và B. ổ ủ ượ ệ ở ọ ệ ủ ậ
6. Tính ch t 2.2:ấ
Cho . Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT)
7. Ví d :ụ Xác đ nh các giá tr c a x, y sao cho:ị ị ủ
8. Đ nh lý 2.1:ị
Cho . Khi đó:
1.T ng hai ma tr n có tính giao hoán: A + B = B + Aổ ậ
2.T ng hai ma tr n có tính k t h p: A + (B + C) = (A + B) + Cổ ậ ế ợ
3.T n t i ma tr n 0ồ ạ ậ mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A
4. T n t i ma tr n đ i c a A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0ồ ạ ậ ố ủ
5.Phép nhân vô h ng có tính phân ph i: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βAướ ố
6.Chuy n v c a t ng b ng t ng các chuy n v :(A + B)ể ị ủ ổ ằ ổ ể ị T = AT + BT