Mô hình hóa các trường véc-tơ vận tốc với đa thức Legendre

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Mô hình hóa các trường véc tơ vận tốc với đa thức Legendre tác giả giới thiệu phương pháp nội suy bằng đa thức trực giao Legendre, với kết quả được đánh giá cao trong các hội nghị khoa học về lĩnh vực đo lường không xâm nhập (NonIntrusive Measurements).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mô hình hóa các trường véc-tơ vận tốc với đa thức Legendre

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 MÔ HÌNH HÓA CÁC TRƯỜNG VÉC-TƠ VẬN TỐC VỚI ĐA THỨC LEGENDRE Nguyễn Văn Tuệ Trường Đại học Thủy lợi, email: nguyenvantue@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG nội suy là hàm F(X,Y) xác định trên một miền Trong dòng chảy, các thông số luôn có một vuông S = [1, +1]  [1, +1] trong hệ tọa mối quan hệ mật thiết với nhau. Do vậy, việc độ Descartes. Như vậy, giá trị tại mỗi điểm mô hình hóa trường véc-tơ vận tốc của dòng M(X,Y) xác định trên miền S sẽ đại diện cho chảy dưới dạng hàm toán học là việc làm hết giá trị tại điểm m(x,y) thuộc miền . Phép sức có ý nghĩa, nó giúp cho việc xác định các biến đổi tỷ lệ giữa miền đa thức S và miền thông số của dòng chảy trở nên vô cùng đơn quan sát  được thể hiện qua biểu thức (1) và giản nhờ vào khả năng trợ giúp của máy tính. hình 1 dưới đây. Thông thường, khi xác định trường vận tốc 2 2 X = x -1; Y = y -1 (1) của dòng chảy, dù bằng phương pháp trực tiếp l L hay gián tiếp chúng ta chỉ có thể thu được một tập hợp dữ liệu rời rạc vận tốc tại các điểm đo. Muốn mô hình hóa trường véc-tơ vận tốc, phương pháp được ứng dụng phổ biến đó là nội suy bằng các hàm toán học. Trong bài báo này, tác giả giới thiệu phương pháp nội suy bằng đa thức trực giao Legendre, với kết quả được đánh giá cao trong các hội nghị khoa học Hình 1. Miền quan sát và miền đa thức về lĩnh vực đo lường không xâm nhập (Non- Hàm vận tốc chưa xác định f(x,y) liên tục Intrusive Measurements). trên miền  sẽ được chiếu lên cơ sở đa thức 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU có bậc  n. Hay nói cách khác, ta sẽ mô hình hóa f(x,y) bằng đa thức có bậc  n, ký hiệu Để đơn giản, trước tiên chúng ta nghiên Fn(X,Y). cứu đối với trường chuyển động hai chiều. n n-1 Phương pháp này được phát triển dựa trên Fn ( X , Y ) = å å Fij Pij ( X , Y ) (2) nghiên cứu của Martin Druon (Druon, 2009). i=0 j=0 Trong nghiên cứu đó, Martin đã sử dụng cơ Trong đó Fij là hệ số chiếu, được xác định sở đa thức trực giao của Legendre để mô hình bởi công thức sau: hóa trường véc-tơ vận tốc. Giả sử ta có một òò F ( X , Y ) Pij ( X , Y ) dXdY tập hợp giá trị vận tốc đo được tại các điểm Fij = S (3) P òòS ij 2 ( X , Y ) dXdY của một dòng chuyển động trong hệ tọa độ (x,y) thuộc miền phẳng  = [0, l]  [0, L], Pij(X,Y) là đa thức trực giao Legendre 2 được xem là một hàm f(x, y) chưa xác định. biến bậc n, được xác định bằng: Để xác định f(x,y), ta sử dụng đa thức Pij ( X , Y ) = Pi ( X ) Pj (Y ) (4) Legendre để nội suy, với kết quả của phép Với i + j = n 42
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 Pi(X) và Pj(Y) là các đa thức trực giao Legendre 1 biến. Vij  t   S V  X ,Y ,t  Pij  X ,Y  dXdY S Pij  X ,Y  dXdY 2 Các đa thức trực giao Legendre 1 biến xác định trong khoảng [1, +1], chúng được định nghĩa như sau: Lấy ví dụ, với cơ sở đa thức có bậc n = 2, Nếu Pn(x); Pm(x) lần lượt là các đa thức Legendre ta có: 2 2i bậc n và m, ta có: U 2  X ,Y ,t    U ij  t  Pij  X ,Y  +1 ò-1 Pn ( x) Pm ( x) dx = 0 (5) i 0 j 0 2 2i Nếu n  m V2  X ,Y ,t    Vij  t  Pij  X ,Y  +1 2 2 ò-1 ( Pn ( x)) dx = (6) i 0 j 0 (2n + 1) Các hàm mô hình hóa có dạng như sau: Các đa thức Legendre cũng có thể thu được U 2  t   U 00  t  P00  U 01  t  P01 từ công thức của Rodriguès.  U 02  t  P02  U10  t  P10 1 dn 2 n Pn ( x) = n 2 n! dx n x - 1 ( )(7)  U11  t  P11  U 20  t  P20 Đặc biệt, với bậc n = 0 và n = 1, ta có: V2  t   V00  t  P00  V01  t  P01 P0 ( x) = 1 (8)  V02  t  P02  V10  t  P10 P1 ( x) = x (9)  V11  t  P11  V20  t  P20 Ta có thể xây dựng họ đa thức cho các bậc Với các hàm đa thức: tiếp theo: 1 3 1 P00  ; P01  Y; 2 ( P2 ( x) = 3x 2 -1 ) 2 2 1 ( P3 ( x) = 5 x 2 - 3 x ) P02  4 5  3Y 2  1 ; P10   2 3 X; 2 1 ( P4 ( x) = 35 x 4 - 30 x 2 + 3 8 ) 3 P11  XY ; 2 P20  4 5 3X 2 1   ... 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Như vậy, trong miền các thành phần vận Phương pháp nghiên cứu được áp dụng để tốc u(x,y) và v(x,y) sẽ được xấp xỉ bằng U(X,Y) mô hình hóa cho dòng chảy thực nghiệm do R. và V(X,Y). Các hàm xấp xỉ bậc n thu được tại Leroux thiết lập (Leroux, 2014). Trong nghiên mỗi thời điểm sẽ có dạng: cứu của mình, Leroux thiết lập dòng với v0  n n 1 16,7mm/s, bao quanh profil NACA0012 với góc U n (X,Y,t)   U ij  t  Pij  X,Y  (10) tới 30o, chiều dài dây cung c = 60mm hình 2. i 0 j 0 Trường vận tốc tức thời thu được bằng phương n n 1 pháp PIV (Particle Image Velocimetry) với Vn (X,Y,t)   Vij  t  Pij  X,Y  (11) nguồn laser Nd-YAG của hãng Quantel có công i 0 j 0 suất 2×120mJ; các hạt polyamide có đường Trong đó Pij(X,Y) là họ đa thức trực giao kính trung bình 15µm và khối lượng riêng  = bậc n; Uij(t), Vij(t) là các hệ số chiếu. 10-6kg/mm3; độ nhớt động học của nước  = Các hệ số chiếu thu được từ (3): 1mm2/s. Miền quan sát với kích thước l =  U  X ,Y ,t  Pij  X ,Y  dXdY U ij  t   S 212mm; L = 106mm được chia thành 233117 điểm. Hai camera có độ phân giải 2048×2048  Pij  X ,Y  dXdY 2 S pixels; tần số chụp 12,8Hz hình 3. 43
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 nhận thấy, hình ảnh của hai trường véc-tơ là tương đồng, sai số trung bình tính trên toàn miền giữa chúng là 0,35% (Hình 6). Hình 1. Profil NACA0012 với góc tới 30o Hình 3. Trường véc-tơ gốc của R. Leroux Hình 2. Miền quan sát trong nghiên cứu của R. Leroux Hình 4. Trường véc-tơ mô hình với n = 25 Việc số hóa và lập trình để mô hình hóa các trường véc-tơ từ số lượng khổng lồ files ảnh (10.000files/lần chụp) được thực hiện trên hệ thống máy tính tầm trung của Viện Pprime, Cộng hòa Pháp. Ban đầu, việc mô hình hóa được thực hiện thử nghiệm với nhiều bậc đa thức khác nhau (5, 10, 15, 20, 25, 27 và 28). Kết quả nhận được cho thấy, sai số giữa trường gốc và trường mô hình hóa giảm nhanh theo sự Hình 5. Sai số trung bình giữa trường véc-tơ tăng dần của bậc đa thức. Tuy nhiên, thời gian mô hình với trường véc-tơ gốc xử lý của máy tính cũng lâu hơn theo sự gia tăng của bậc đa thức (10.000files/~0,1 giờ với 4. KẾT LUẬN bậc n = 5; 10.000files/~50 giờ với bậc n = 25). - Sử dụng hàm đa thức trực giao trong việc Mặt khác, sai số trung bình giữa các trường mô hình hóa các hàm vận tốc là một giải véc-tơ được mô hình hóa với bậc đa thức là 25, pháp có tính hiệu quả cao do phép xấp xỉ 27 hay 28 là gần như không đáng kể, đồng thời hàm hoàn toàn độc lập với các đặc tính vật lý sai số của chúng đối với trường véc-tơ gốc của dòng chảy, giúp đơn giản hóa việc cũng là rất nhỏ, nên bậc n = 25 được chọn để nghiên cứu các dòng chảy phức tạp (ví dụ giảm thời gian tính toán cho máy tính. dòng chảy rối trong đường ống, dòng chảy Để minh chứng cho tính hiệu quả của bao quanh các vật thể như máy bay, tầu phương pháp, vùng phía sau profil là nơi có thuyền, tua-bin vv…). cấu trúc phức tạp nhất trong miền quan sát đã - Phương pháp có thể phát triển để áp dụng được chọn để thực hiện việc mô hình hóa. cho các bài toán dòng chảy trong không gian 3 Trên Hình 4 là trường véc-tơ gốc của Leroux, chiều. Tuy nhiên, sẽ phải cần đến những máy trường véc-tơ mô hình hóa được thực hiện tính đủ mạnh để đáp ứng yêu cầu về tốc độ xử với bậc đa thức n = 25 (Hình 5). Dễ dàng lý nhanh và một khối lượng dữ liệu lớn. 44