MÔ HÌNH TÍNH TOÁN Ô NHI M KHÔNG KHÍỄ
I. Ph ng trình c b n đ tính n ng đ ch t ô nhi m trong khí quy n:ươ ơ ả ể ồ ộ ấ ễ ể
Khi mô t quá trình khuy ch tán ch t ô nhi m trong không khí b ng mô hình toán h c thìả ế ấ ễ ằ ọ
m c đ ô nhi m không khí th ng đ c đ c tr ng b ng tr s n ng đ ch t ô nhi m phân b trongứ ộ ễ ườ ượ ặ ư ằ ị ố ồ ộ ấ ễ ố
không gian và bi n đ i theo th i gian.ế ổ ờ
Trong tr ng h p t ng quát, tr s trung bình c a n ng đ ô nhi m trong không khí phân bườ ợ ổ ị ố ủ ồ ộ ễ ố
theo th i gian và không gian đ c mô t t ph ng trình chuy n t i v t ch t (hay là ph ng trìnhờ ượ ả ừ ươ ể ả ậ ấ ươ
truy n nhi t) và bi n đ i hoá h c đ y đ nh sau:ề ệ ế ổ ọ ầ ủ ư
x y z c
C C C C C C C C
u v w k k k C C w
t x y z x x y y z z z
α β
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = + + + − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(1)
Trong đó:
C : N ng đ ch t ô nhi m trong không khí.ồ ộ ấ ễ
x,y,z: Các thành ph n to đ theo tr c Ox, Oy, Oz.ầ ạ ộ ụ
t : Th i gian.ờ
Kx, Ky, Kz : Các thành ph n c a h s khuy ch tán r i theo các tr c Ox, Oy Oz.ầ ủ ệ ố ế ố ụ
u,v,w : Các thành ph n v n t c gió theo tr c Ox, Oy, Oz.ầ ậ ố ụ
Wc : V n t c l ng đ ng c a các ch t ô nhi mậ ố ắ ọ ủ ấ ễ
α
: H s tính đ n s liên k t c a ch t ô nhi m v i các ph n t khác c a môi ệ ố ế ự ế ủ ấ ễ ớ ầ ử ủ
tr ng không khí.ườ
β
: H s tính đ n s bi n đ i ch t ô nhi m thành các ch t khác do nh ng ệ ố ế ự ế ổ ấ ễ ấ ữ
quá trình ph n ng hoá h c x y ra trên đ ng lan truy n.ả ứ ọ ả ườ ề
Tuy nhiên pt (20) trên r t ph c t p và nó ch là m t hình th c mô ph ng s lan truy n ôấ ứ ạ ỉ ộ ứ ỏ ự ề
nhi m. Trên th c t đ gi i ph ng trình này ng i ta ph i ti n hành đ n gi n hoá trên c s th aễ ự ế ể ả ươ ườ ả ế ơ ả ơ ở ừ
nh n 1 s đi u ki n g n đúng b ng cách đ a ra các gi thuy t phù h p v i đi u ki n c th sau:ậ ố ề ệ ầ ằ ư ả ế ợ ớ ề ệ ụ ể
- N u h ng gió trùng v i tr c Ox thì thành ph n t c đ gió chi u lên tr c Oy sế ướ ớ ụ ầ ố ộ ế ụ ẽ
b ng 0, có nghĩa là v = 0.ằ
- T c đ gió th ng đ ng th ng nh h n r t nhi u so v i t c đ gió nên có th bố ộ ẳ ứ ườ ỏ ơ ấ ề ớ ố ộ ể ỏ
qua, có nghĩa là w = 0. Trong nhi u tr ng h p, n u xét b i nh thì Ws = 0 (trongề ườ ợ ế ụ ẹ
tr ng h p b i n ng thì lúc đó ta s cho Ws ườ ợ ụ ặ ẽ ≠0).
- N u b qua hi n t ng chuy n pha (bi n đ i hoá h c) c a ch t ô nhi m cũng nhế ỏ ệ ượ ể ế ổ ọ ủ ấ ễ ư
không xét đ n ch t ô nhi m đ c b sung trong quá trình khuy ch tán thì ế ấ ễ ượ ổ ế
0
α β
= =
.
Nh v y sau các gi thi t và ch p nh n 1 s đi u ki n g n đúng thì ph ng trình ban đ uư ậ ả ế ấ ậ ố ề ệ ầ ươ ầ
đ c vi t d i d ng là:ượ ế ướ ạ
y z
C C C C
u k k
t x y y z z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2)
N u gi s r ng các h s ế ả ử ằ ệ ố
,
y z
k k
là không đ i thì pt (2) đ c vi t l i là :ổ ượ ế ạ
1
2 2
2 2
z
y
C C C C
u k k
t x y z
∂ ∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂
(3)
Trong tr ng h p không tính đ n thành ph n phi tuy n ườ ợ ế ầ ế
C
ux
∂
∂
thì ph ng trình (3) đ c vi tươ ượ ế
là:
2 2
2 2
z
y
C C C
k k
ty z
∂ ∂ ∂
= +
∂∂ ∂
(4)
Ta th y ph ng trình (4) là d ng ph ng trình truy n nhi t 2 chi u. Tuỳ theo đi u ki n banấ ươ ạ ươ ề ệ ề ề ệ
đ u và đi u ki n biên mà ta có các nghi m gi i tích khác nhau.ầ ề ệ ệ ả
Đ tìm nghi m gi i tích ph ng trình (4), đ u tiên xét bài toán truy n nhi t 1 chi u có d ngể ệ ả ươ ầ ề ệ ề ạ
sau:
x−∞< <+∞
, t = 0 (5)
V i đi u ki n ban đ u : ớ ề ệ ầ
( , ) ( )u x t x
ϕ
=
x−∞ < < +∞
( )x
ϕ
: là m t hàm liên t cộ ụ
Đ t u(x, t) = X(x)T(t) vào ph ng trình truy n nhi t ta đ c ặ ươ ề ệ ượ
2
' ''XT a X T=
hay
2
2
'' 'X T const
Xa T
λ
= = − =
(6)
T đó suy ra :ừ
2
'' 0X X
λ
+ =
(7)
2 2
' 0T a T
λ
+ =
(8)
Nghi m c a ph ng trình (7) ệ ủ ươ
1 1 i x
X C e
λ
=
2 2 i x
X C e
λ
−
=
(Xem cách gi i ph ng trình 7 trang 53 [7])ả ươ
Nghi m c a ph ng trình (8) ệ ủ ươ
2 2
3a t
T C e
λ
−
=
Xem cách gi i ph ng trình (8) trang 262 [6]ả ươ
Khi đó nghi m c a ph ng trình vi phân (5) có d ngệ ủ ươ ạ
2 2
( , ) ( ) a t i x
u x t A e
λ λ
λλ
− ±
=
(9)
λ
là s th c b t kỳ ố ự ấ
( )
λ
−∞ < < ∞
.
Vì v y ta ch n d u d ng c a ph ng trình (9) và l p ra hàm sậ ọ ấ ươ ủ ươ ậ ố
2 2
( , ) ( ) a t i x
u x t A e d
λ λ
λ λ
+∞ − +
−∞
=∫
(10)
N u các đ o hàm c a ph ng trình (5) có th tính đ c b ng cách vi phân thành ph n d iế ạ ủ ươ ể ượ ằ ầ ướ
d u tích phân c a (10) thì có nghĩa ph ng trình (10) s tho mãn ph ng trình (5) hay ph ng trìnhấ ủ ươ ẽ ả ươ ươ
(10) s là nngi m c a ph ng trình (5).ẽ ệ ủ ươ
2
Ngoài ra ta còn ph i tho mãn đi u ki n ban đ u t = 0 . Khi đó ta có:ả ả ề ệ ầ
( , ) ( ) i x
x t A e d
λ
ϕ λ λ
+∞
−∞
=∫
(11)
S d ng công th c tính tích phân Fourier ng c ta đ cử ụ ứ ượ ượ
1
( ) ( )
2i
A e d
λζ
λ ϕ ζ ζ
π
+∞ −
−∞
=∫
(12)
thay (12) vào (10) ta đ c ượ
2 2
1
( , ) ( )
2ia t i x
u x t e d e d
λζ λ λ
ϕ ζ ζ λ
π
+∞ +∞ −− +
−∞ −∞
=∫ ∫
2 2 ( )
1( )
2a t i x
e d d
λ λ ζ λ ϕ ζ ζ
π
+∞+∞ − + −
−∞−∞
=∫ ∫
Xét tích phân I
2
2 2 2
( )
( ) 4
2
1 1
22
x
a t i x a t
e d e
a t
ζ
λ λ ζ λ
ππ
− −
− + −
= =
Nh v y ư ậ
2
2
( )
4
2
1
( , ) ( )
2
x
a t
u x t e d
a t
ζϕ ζ ζ
π
− −
+∞
−∞
=∫
(13)
Đ t ặ
2
2
( )
4
2
1
( , , ) 2
x
a t
G x t e
a t
ζ
ζπ
− −
=
Ta có
( , ) ( , , ) ( )u x t G x t d
ζ ϕ ζ ζ
+∞
−∞
=∫
(14)
Hàm s ố
( , , )G x t
ζ
đ c g i là nghi m c s c a ph ng trình truy n nhi t.ượ ọ ệ ơ ở ủ ươ ề ệ
Hàm s này tho mãn ph ng trình truy n nhi t theo các bi n (x,t) và có th ki m tra tr cố ả ươ ề ệ ế ể ể ự
ti p b ng cách l y đ o hàm:ế ằ ấ ạ
2
2
2 3/2
( )
1.
24
2( )
xx
x
G e a t
a t
ζ
ζ
π
− −
−
=−
2 2
2
2 3/2 2 5/2
( ) ( )
1 1 1
2 2 4
( ) 4( )
xx x x
G e a t
a t a t
ζ ζ
π
− − −
= − +
3
2 2 2
2
2
2 3/2 2 5/2
( ) ( )
1
24
2( ) 4( )
t
a x x
a
G e a t
a t a t
ζ ζ
π
− − −
= − +
V y ậ
2
t xx
G a G=
Tr l i v i ph ng trình lan truy n ô nhi m 1 chi u () đ c vi t l i v i ngu n th i Q t i xở ạ ớ ươ ề ễ ề ượ ế ạ ớ ồ ả ạ
= 0
2
2
x
C C
k
tx
∂ ∂
=
∂∂
(15)
Đ t ặ
2
x
a k=
thì nghi m c a ph ng trình (15) đ c vi t l i là:ệ ủ ươ ượ ế ạ
2
4
1/2
( , ) 2x
x
tk
x
Q
C x t e
tk
π
−
=
(16)
Đây là nghi m c u bài toán lan truy n ô nhi m m t chi u v i ngu n th i Q. Cùng v i đi uệ ả ề ễ ộ ề ớ ồ ả ớ ề
ki n biên ệ
x→ ∞
thì
0C→
(N ng đ ô nhi m t i m t đi m càng gi m khi đi m càng ti n xa kh iồ ộ ễ ạ ộ ể ả ể ế ỏ
chân ngu n th i )ồ ả
Đ i v i bài toán hai chi u ta có ph ng trình t ng tố ớ ề ươ ươ ự
2
2
1
4
1/2
( , , ) 4( )( )
x y
y
x
tk k
x y
Q
C x y t e
t k k
π
− +
=
(17)
Đ i v i bài toán 3 chi u ta có:ố ớ ề
2
2 2
1
4
3/2 1/2
( , , , ) 8( ) ( )
z
x y
y
x z
tk k k
z
x y
Q
C x y z t e
t k k k
π
− + +
=
(18)
Trong các công th c trên ứ
Q – l ng phát th i ch t ô nhi m t i ngu n đi m t c th i, g ho c kg.ươ ả ấ ễ ạ ồ ể ứ ờ ặ
II. Công th c xác đ nh s phân b n ng đ ch t ô nhi m theo lu t phân ph i chu n Gaussứ ị ự ố ồ ộ ấ ễ ậ ố ẩ
II.1 Công th c c s :ứ ơ ở
L ng ch t ô nhi m trong lu ng khói có th đ c xem nh t ng h p c a v s khói ph tượ ấ ễ ồ ể ượ ư ổ ợ ủ ộ ố ụ
t c th i, nh ng kh i ph t đó đ c gió mang đi và d n d n n r ng ra khí ra xa ng khói gi ng nhứ ờ ữ ố ụ ượ ầ ầ ở ộ ố ố ư
m t bánh mì đ c c t ra thành nhi u lát m ng và x p ch ng k mép lên nhau (hình 1).ộ ổ ượ ắ ề ỏ ế ồ ề
4
L ng ch t ô nhi m trong t ng lát m ng trong lu ng khói có th đ c xem nh nhau, t c làượ ấ ễ ừ ỏ ồ ể ượ ư ứ
b qua s trao đ i ch t t lát này sang lát n k bên nhau trên tr c x. T cách l p lu n đó, bài toánỏ ự ổ ấ ừ ọ ề ụ ừ ậ ậ
lan truy n ch t ô nhi m đây là bài toán hai chi u và do đó ta ch n công th c (17) đ áp d ng choề ấ ễ ở ề ọ ứ ể ụ
tr ng h p này:ườ ợ
Hình 1:Bi u đ lu ng khói b ng các kh i ph t t c th i và liên t cể ồ ồ ằ ố ụ ứ ờ ụ
N u ta thi t l p s cân b ng v t ch t trong t ng “lát” khói có b dày 1m theo chi u x vá cácế ế ậ ự ằ ậ ấ ừ ề ề
chi u y, z là vô c c khi các lát khói chuy n đ ng cùng v i v n t c gió u thì th i gian đ t ng lát điề ự ể ộ ớ ậ ố ờ ể ừ
qua kh i ng khói là 1 m/u và do đó l ng ch t ô nhi m ch a trong “lát” khói s là Q = M x 1/uỏ ố ượ ấ ễ ứ ẽ
Ngoài ra, c n l u ý r ng bài toán hai chi u đây là chi u y và z thay vì cho chi u x và yấ ư ằ ề ở ề ề
trong công th c (17). ứ
Khi đó công th c (17) s tr thành :ứ ẽ ở
22
1
4
1/2
4 ( )
z
y
yz
tk k
z
y
M
C e
ut k k
π
− +
=
(19)
Đ t :ặ
2
0.5
y y u
kx
σ
=
(20)
2
0.5
z z u
kx
σ
=
(21)
x
tu
=
(22)
Trong đó
y
σ
và
z
σ
- đ c g i là h s khuy ch tán theo ph ng ngang và ph ng đ ng, cóượ ọ ệ ố ế ươ ươ ứ
th nguyên là đ dài b ng m.ứ ộ ằ
Thay (20), (21), (22) vào (19) ta đ c:ượ
5
a)
b)
u
c)
d)