MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG<br />
CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH<br />
LƯƠNG THỊ MINH THỦY<br />
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br />
<br />
Tóm tắt: Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu cho mỗi m ∈<br />
N il(M ) và mỗi đồng cấu f : mR → M , thì tồn tại một đồng cấu<br />
f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ mR. Đây là lớp môđun<br />
được xây dựng dựa trên định nghĩa về tích của hai môđun con và được<br />
xem là một trong những trường hợp tổng quát của lớp môđun P -nội xạ.<br />
Bài báo đã đưa ra được một số đặc trưng của lớp các môđun tựa nội xạ<br />
linh đồng thời một số kết quả được suy ra từ các đặc trưng này.<br />
Từ khóa: Môđun tựa nội xạ linh<br />
<br />
1 GIỚI THIỆU<br />
Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị<br />
1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Với vành R đã cho, viết MR (R M )<br />
để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài báo,<br />
khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản chúng ta viết môđun M<br />
thay vì MR . Chúng ta dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ A là môđun con<br />
(t.ư., thực sự) của M . Nếu A là môđun con cực đại (hạng tử trực tiếp) của môđun<br />
M , chúng ta viết A ≤max M (t.ư., A ≤⊕ M ). Căn Jacobson, đế của môđun M được<br />
ký hiệu tương ứng là Rad(M ) và Soc(M ), đặc biệt, J(R) được dùng để ký hiệu cho<br />
căn Jacobson của vành R. Chúng ta viết Mn (R) để chỉ vành các ma trận vuông cấp<br />
n với hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập hợp với card(I) = α và M là một môđun,<br />
chúng ta sẽ ký hiệu tổng trực tiếp α bản sao của M bởi M (I) hoặc M (α) , tích trực<br />
tiếp α bản sao của M bởi M I hoặc M α . Chúng ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm<br />
trù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải. Đồng cấu từ<br />
M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N .<br />
Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂ M . Linh hóa tử phải của X trong R<br />
được ký hiệu là rR (X) và được xác định như sau<br />
rR (X) = {r ∈ R | xr = 0 (∀x ∈ X)}.<br />
Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br />
ISSN 1859-1612, Số 03(31)/2014: tr.14-21<br />
<br />
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH<br />
<br />
15<br />
<br />
Khi không sợ nhầm lẫn chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR (X). Khi X =<br />
{x1 , x2 , . . . , xn } thì chúng ta viết r(x1 , x2 , . . . , xn ) thay vì r({x1 , x2 , . . . , xn }). Ta có<br />
rR (X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con của M thì r(X)<br />
là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R được ký hiệu là<br />
lR (X) và được định nghĩa tương tự.<br />
Năm 2007, Wei và Chen ([3]) đã đưa ra một trường hợp tổng quát của môđun P-nội<br />
xạ đa là môđun nội xạ linh, theo đó một môđun M được gọi là nội xạ linh nếu cho<br />
mỗi phần tử lũy linh a của R và mỗi đồng cấu f : aR → M , thì tồn tại một đồng<br />
cấu f¯ : RR → M sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ aR. Một cách tự nhiên, năm 2011<br />
nhóm tác giả Lương Thị Minh Thủy và Trương Công Quỳnh đã đưa ra khái niệm<br />
môđun "tựa nội xạ linh" và một số đặc trưng. Tác giả tiếp tục nghiên cứu, chứng<br />
minh được một số đặc trưng nữa của lớp môđun này, và đây chính là nội dung của<br />
bài báo.<br />
2 KẾT QUẢ<br />
Theo [1], Lomp đã định nghĩa<br />
H ? K := ϕ(φ × 1M )(H, K) = ϕ(Hom(M, H), K) = Hom(M, H)K<br />
=<br />
<br />
X<br />
<br />
{f (K)| f ∈ Hom(M, H)}.<br />
<br />
Từ đó chúng tôi định nghĩa:<br />
Định nghĩa 2.1. Cho H, K là các môđun con của M . Khi đó H ? K được gọi là<br />
tích của hai mô đun con của H và K và được ký hiệu là HK.<br />
Cho N là một môđun con của M và n ∈ N. Chúng ta xác định các môđun con của<br />
N như sau:<br />
N 1 = N, N 2 = N N, N 3 = N 2 N, . . . , N n = N n−1 N.<br />
Khi đó chúng ta có<br />
N n ≤ N n−1 ≤ · · · ≤ N 2 ≤ N 1 = N.<br />
Môđun con N được gọi là lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho N n = 0. Chúng ta ký<br />
hiệu<br />
N il(M ) = {m ∈ M | mR là lũy linh }<br />
Dựa trên định nghĩa tích hai môđun con chúng ta có định nghĩa về môđun tựa nội<br />
xạ linh như sau:<br />
<br />
16<br />
<br />
LƯƠNG THỊ MINH THỦY<br />
<br />
Định nghĩa 2.2. Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu cho mỗi m ∈ N il(M )<br />
và mỗi đồng cấu f : mR → M , thì tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho<br />
f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ mR, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:<br />
M<br />
<br />
p<br />
6Ip p f¯<br />
pp<br />
f<br />
pp<br />
<br />
0<br />
<br />
-<br />
<br />
mR<br />
<br />
i<br />
<br />
pp<br />
- M<br />
<br />
với i : mR → M là đơn cấu chính tắc.<br />
Vành R được gọi là tự nội xạ linh phải nếu RR là tựa nội xạ linh.<br />
Ví dụ 2.3. Đặt R = Z vành các số nguyên. Khi đó đó R là tựa nội xạ linh, nhưng<br />
không là tựa nội xạ chính.<br />
Định lý 2.4. Các điều kiện sau là tương đương với môđun M và S = End(M ):<br />
(1) M là tựa nội xạ linh.<br />
(2) lM (r(m)) = Sm với mọi m ∈ N il(M )<br />
(3) Nếu r(m) ≤ r(m0 ) với mỗi m ∈ N il(M ), m0 ∈ M , thì Sm0 ≤ Sm.<br />
Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho m ∈<br />
xác định bởi f (mr) = xr với mọi r<br />
tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M<br />
x = f (m) = f¯(m) ∈ Sm. Từ đó suy<br />
<br />
N il(M ) và x ∈ lM (r(m)). Xét f : mR → M<br />
∈ R. Khi đó f là một đồng cấu. Theo (1), thì<br />
sao cho f¯(y) = f (y) với mọi y ∈ mR. Suy ra<br />
ra lM (r(m)) = Sm.<br />
<br />
(2) ⇒ (3) là hiển nhiên.<br />
(3) ⇒ (1). Cho mỗi m ∈ N il(M ) và mỗi đồng cấu f : mR → M . Khi đó r(m) ≤<br />
r(f (m)). Suy ra tồn tại f¯ ∈ S sao cho f (m) = f¯(m). Vậy M là tựa nội xạ linh.<br />
Tiếp theo chúng ta có một tính chất khác của môđun tựa nội xạ linh:<br />
Mệnh đề 2.5. Nếu M là tựa nội xạ linh, thì lS (Ker(α) ∩ mR) = Sα + lS (m) với<br />
mọi m ∈ M, α ∈ S và α(m) ∈ N il(M ).<br />
Chứng minh. Với mỗi m ∈ M, α ∈ S và α(m) ∈ N il(M ), thì Sα + lS (m) ≤<br />
lS (Ker(α) ∩ mR). Ngược lại với mỗi s ∈ lS (Ker(α) ∩ mR) thì s(Ker(α) ∩ mR)) = 0.<br />
Hơn nữa chúng ta lại có α(m) ∈ N il(M ) và r(α(m)) ≤ r(s(m)). Khi đó theo Định<br />
lý 2.4, ta suy ra tồn tại s0 ∈ S sao cho s(m) = s0 α(m) hay s − s0 α ∈ lS (m) và vì vậy<br />
s ∈ Sα + lS (m). Tóm lại chúng ta có lS (Ker(α) ∩ mR) = Sα + lS (m).<br />
<br />
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH<br />
<br />
17<br />
<br />
Mệnh đề 2.6. Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun tựa nội xạ linh là tựa nội xạ<br />
linh.<br />
Chứng minh. Giả sử M là môđun tựa nội xạ linh và N là hạng tử trực tiếp của<br />
M . Gọi ι : N → M là đơn cấu chính tắc, p : M → N là toàn cấu chính tắc.<br />
Lấy n ∈ N il(N ) và f : nR → N là đồng cấu. Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho<br />
P<br />
(nR)k = 0. Ta có (nR)k = {f (nR)| f ∈ Hom(N, (nR)k−1 )}. Mặt khác, với mọi<br />
P<br />
g ∈ Hom(M, (nR)k−1 ), thì g(nR) = gι(nR) ≤ {f (nR)| f ∈ Hom(N, (nR)k−1 )} =<br />
(nR)k , điều này suy ra<br />
X<br />
{f (nR)| f ∈ Hom(M, (nR)k−1 )} = 0.<br />
Do đó n ∈ N il(M ). Vì M là môđun tựa nội xạ linh, nên tồn tại đồng cấu f¯ ∈ End(M )<br />
sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ nR. Từ đó ta có pf¯ι ∈ End(N ) và pf¯ι(x) = f (x)<br />
với mọi x ∈ nR. Vậy N là môđun tựa nội xạ linh.<br />
Bổ đề 2.7. Giả sử φ : N → M là một đẳng cấu và A, B ≤ N . Khi đó<br />
φ(AB) = φ(A)φ(B) và φ(Ak ) = φ(A)k .<br />
P<br />
Chứng minh. Theo định nghĩa của tích A và B ta có AB = {f (B)| f ∈ Hom(N, A)}<br />
P<br />
P<br />
và φ(A)φ(B) = {g(φ(B))| g ∈ Hom(M, φ(A))}. Khi đó φ(AB) = {φ(f (B))| f ∈<br />
Hom(N, A)}. Tiếp theo ta lấy f ∈ Hom(N, A) và đặt g = φ|A f φ−1 , thì g ∈<br />
Hom(M, φ(A)) và g(φ(B)) = φ|A f φ−1 (φ(B)) = φ|A f (B) = φ(f (B)). Từ đây suy<br />
ra φ(AB) ≤ φ(A)φ(B). Ngược lại với mỗi g ∈ Hom(M, φ(A)), đặt f = φ−1 |φ(A) gφ,<br />
thì f ∈ Hom(N, A). Ta có φ(f (B)) = φφ−1 |φ(A) gφ(B) = gφ(B) và do đó gφ(B) ≤<br />
φ(A)φ(B). Suy ra φ(A)φ(B) ≤ φ(AB). Vậy φ(AB) = φ(A)φ(B).<br />
Hơn nữa, φ(Ak ) = φ(Ak−1 .A) = φ(Ak−1 ).φ(A) = φ(A)φ(A) . . . φ(A) = φ(A)k .<br />
Sử dụng bổ đề trên chúng ta có.<br />
Mệnh đề 2.8. Giả sử M là môđun tựa nội xạ linh và N ' M . Khi đó N cũng là<br />
tựa nội xạ linh.<br />
Chứng minh. Gọi φ : N → M là một đẳng cấu. Giả sử n ∈ N il(N ) và f : nR → N<br />
là một đồng cấu. Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho (nR)k = 0. Theo Bổ đề 2.7 thì<br />
φ(nR)k = φ((nR)k ) = 0. Suy ra (φ(n)R)k = 0 hay φ(n) ∈ N il(M ). Suy ra tồn<br />
tại một đồng cấu g ∈ End(M ) sao cho g là mở rộng của đồng cấu φf (φ−1 |φ(n)R )<br />
bởi vì M là tựa nội xạ linh. Đặt f¯ = φ−1 gφ ∈ End(M ), thì với mọi x ∈ R ta có<br />
f¯(nx) = φ−1 gφ(nx) = φ−1 (φf (φ−1 |φ(n)R ))(φ(nx)) = f (nx). Vậy f¯ là mở rộng của f .<br />
Do đó N là tựa nội xạ linh.<br />
<br />
18<br />
<br />
LƯƠNG THỊ MINH THỦY<br />
<br />
Như chúng ta được biết một iđêan phải cực tiểu I của vành R thì hoặc I là hạng tử<br />
trực tiếp của vành hoặc là I 2 = 0. Định lý sau cho chúng ta một kết quả tương tự<br />
như trong vành đối với môđun.<br />
Định lý 2.9. Nếu M là môđun tựa nội xạ linh và N là một môđun con đơn của M ,<br />
thì hoặc N là một hạng tử trực tiếp của M hoặc N 2 = 0.<br />
Chứng minh. Cho N là một môđun con đơn của M . Giả sử N 2 6= 0. Suy ra<br />
P<br />
{f (N )| f ∈ Hom(M, N )} 6= 0. Khi đó tồn tại một đồng cấu f : M → N sao<br />
cho f (N ) 6= 0. Vì N là đơn, nên f (N ) = N . Từ đó suy ra N = f (N ) = f (M ) và<br />
từ đó chúng ta cũng có M = N + Kerf . Mặt khác, ta có N ∩ Kerf = Ker(f |N )<br />
và f |N : N → N là một đẳng cấu (bởi vì N đơn). Suy ra N ∩ Kerf = 0 và vì vậy<br />
M = N ⊕ Kerf .<br />
Từ Định lý trên chúng ta có kết quả sau:<br />
Hệ quả 2.10. Nếu M là tựa nội xạ linh, thì M là tựa nội xạ đơn.<br />
Chứng minh. Cho f : mR → M là một đồng cấu với mR là môđun con đơn của M .<br />
Theo Định lý 2.9, thì hoặc mR là hạng tử trực tiếp của M hoặc (mR)2 = 0.<br />
Nếu mR là hạng tử trực tiếp của M , thì f π : M → M với π : M → mR toàn cấu<br />
chính tắc là mở rộng của f .<br />
Nếu (mR)2 = 0 thì m ∈ N il(M ). Suy ra f được mở rộng đến đồng cấu M → M bởi<br />
vì M là tựa nội xạ linh.<br />
Giả sử N là một môđun con đơn của M . Ký hiệu<br />
SocN (M ) =<br />
<br />
X<br />
<br />
{X ≤ M | X ' N }<br />
<br />
được gọi là thành phần thuần nhất của Soc(M ) chứa N .<br />
Mệnh đề 2.11. Giả sử M là tựa nội xạ linh và S = End(M ). Khi đó:<br />
(1) Nếu N là môđun con đơn của M , thì SocN (M ) = SN .<br />
(2) Nếu mR là môđun con đơn của MR , thì Sm là môđun con đơn của S M.<br />
(3) Soc(MR ) ⊂ Soc(S M ).<br />
<br />