Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử

§¹i Häc Quèc �ia Hµ Néi Tr­êng ®¹i häc khoa häc tù nhiªn ?

¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡

Hoµng §×nh TriÓn

Nghiªn cøu sù hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm

trong d©y l­îng tö

Chuyªn ngµnh :

VËt lý lý thuyÕt vµ VËt lý to¸n

62 44 01 01

M∙ sè

:

LuËn ¸n TiÕn sÜ VËt lý

Ng­êi h­íng dÉn khoa häc GS. TS. NguyÔn Quang B¸u

Hµ Néi � 2012

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i. C¸c kÕt

qu¶, sè liÖu, ®å thÞ,... ®­îc nªu trong luËn ¸n lµ trung thùc vµ ch­a tõng

Hµ Néi, th¸ng 01 n¨m 2012

®­îc ai c«ng bè trong bÊt kú c¸c c«ng tr×nh nµo kh¸c.

T¸c gi¶ luËn ¸n

Hoµng §×nh TriÓn

Lêi c¶m ¬n

T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt ®Õn GS. TS. NguyÔn Quang

B¸u, ng­êi thÇy ®· hÕt lßng tËn tôy gióp ®ì, h­íng dÉn t«i trong qu¸ tr×nh

häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n.

T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù gióp ®ì, h­íng dÉn tËn t×nh cña GS.

TSKH. NguyÔn Xu©n H·n, GS. TS. NguyÔn V¨n Tháa, PGS. TS. NguyÔn

§×nh Dòng vµ c¸c thÇy trong Khoa VËt lý, Tr­êng §¹i häc Khoa häc Tù

nhiªn.

T«i xin göi lêi c¶m ¬n ®Õn Quü ph¸t triÓn khoa häc vµ c«ng nghÖ Quèc

gia (Nafosted) ®· tµi trî cho t«i trong viÖc c«ng bè c¸c c«ng tr×nh khoa häc.

Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ®Õn tÊt c¶ nh÷ng ng­êi th©n, b¹n bÌ vµ ®ång

nghiÖp ®· gióp ®ì, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh nghiªn cøu. Tõ ®¸y

Hµ néi, th¸ng 01 n¨m 2012

lßng t«i xin göi lêi tri ©n ®Õn tÊt c¶ mäi ng­êi.

T¸c gi¶ luËn ¸n

Hoµng §×nh TriÓn

DANH MỤC CÁC BẢNG

2.1 Các thông số cơ bản của dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn. . . . . . . . . . 48

4.1 Các thông số cơ bản của dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn . . . . . 90

- 1 -

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

1.1 Mô hình cấu trúc các hệ bán dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

22

1.2 Mô hình tương tác giữa vật chất và sóng điện từ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1

49

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kinh dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn (tán xạ điện tử-phonon âm). . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

50

2.3

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và trong hố lượng tử . . . . . . . . . . Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào cường độ sóng điện từ cho trường hợp tán xạ điện tử -phonon âm trong dây lương tử hình trụ hố thế cao vô hạn và trong hố lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang (Trường hợp hấp thụ gần ngưỡng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 51

2.5

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang (hấp thụ xa ngưỡng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

51

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn vào nhiệt độ của hệ tại các giá trị khác nhau của bán kính dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.7

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào cường độ của sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.8

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon tại các giá trị khác nhau của bán kính dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây lượng tử khi có mặt của từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ và cường độ sóng điện từ khi có mặt của từ trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 54 54 55

2.11 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon khi có mặt của từ trường ngoài. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.12 Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng cyclotron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.1

Sư phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kinh dây trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol với các giá trị khác nhau của nhiệt độ của hệ, trường hợp hấp thụ gần ngưỡng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.2

72

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây với các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế trong dây lượng tử hình trụ hố thế parabol, trường hợp hấp thụ xa ngưỡng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ với

3.3

- 2 -

73

3.4

74

các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ, trường hợp hấp thụ gần ngưỡng. . Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ với các giá trị khác nhau của tần số song điện từ, trường hợp hấp thụ xa ngưỡng. . .

3.5

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng sóng điện từ với các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế, trường hợp hấp thụ gần ngưỡng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng phonton tại các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế, trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7

75 75 76

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính dây với các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế, trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng cyclotron với các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế. . . . . . .

3.9

76 77

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon với các giá trị khác nhau của tần số hiệu dụng của hố thế. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1

90

4.2

91

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào kích thước dây. . . . . Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ tại các giá trị khác nhau của cường độ điện trường, trường hợp tán xạ điện tử- phonon âm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

92

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn vào cường độ điện trường tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ của hệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

92

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào nhiệt độ của hệ tại các giá trị khác nhau của kích thước dây lượng tử hình chữ nhật cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến vào cường độ sóng điện từ. . . . . . . . .

4.5

93

4.6

94

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào vào năng lượng photon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng photon khi có mặt của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật. . . . . . . . . . . . . . .

4.8

5.1

95 95 104

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng lượng cyclotron của từ trường trong dây lượng tử hình chữ nhật. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn vào năng lượng photon cho cả hai trường hợp phonon giam cầm và phonon không giam cầm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ chữ nhật hố thế cao vô hạn vào nhiệt độ cho cả hai trường hợp phonon giam cầm và phonon không giam cầm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

- 3 -

Môc lôc

1

Danh môc c¸c b¶ng

Danh môc c¸c h×nh vÏ, ®å thÞ

2

4

Môc lôc Më ®Çu

8

Ch­¬ng1. Tæng quan vÒ d©y l­îng tö vµ hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

16

m¹nh trong b¸n dÉn khèi

1.1. Kh¸i qu¸t vÒ d©y l­îng tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.1. CÊu tróc cña d©y l­îng tö b¸n dÉn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.2. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh

trô víi hè thÕ v« h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1.3. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh

19

trô víi hè thÕ parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö

20

h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong b¸n dÉn khèi . . . . . . . . . . .

22

1.2.1. Sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.2. Lý thuyÕt l­îng tö vÒ hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong

b¸n dÉn khèi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Ch­¬ng 2. HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong

26

d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n

2.1. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ

cao v« h¹n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

- 4 -

27

2.1.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y

29

l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.1. Tr­ênghîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.4. KÕt qu¶ tÝnh sè vµ th¶o luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.5. KÕt luËn ch­¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Ch­¬ng 3. HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong

59

d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol

3.1. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong d©y l­îng tö h×nh trô

hè thÕ parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

59

3.1.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.2. Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng

tö h×nh trô hè thÕ parabol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . .

61

- 5 -

3.2.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm

65

trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi. . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.3.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi. . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.4. KÕt qu¶ tÝnh sè vµ th¶o luËn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.4.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.4.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

78

3.5. KÕt luËn ch­¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ch­¬ng 4. HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y

l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n

80

4.1. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong d©y l­îng tö h×nh ch÷

80

nhËt hè thÕ cao v« h¹n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

81

4.1.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng

82

tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.2.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.2.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm

84

trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n . . . . . . . . . . . .

84

4.3.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.3.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- 6 -

89

4.4. KÕt qu¶ tÝnh sè vµ th¶o luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

4.4.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.5. KÕt luËn ch­¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ch­¬ng 5. ¶nh h­ëng cña sù giam cÇm phonon lªn sù hÊp thô phi tuyÕn

98

sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö

99

5.1. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon giam cÇm trong d©y l­îng tö .

5.2. Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö khi

100

phonon giam cÇm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3. HÖ sè hÊp thô sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y

102

l­îng tö h×nh ch÷ nhËt khi cã sù giam cÇm phonon . . . . . . . . . . . . .

104

5.4. TÝnh to¸n sè vµ bµn luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

106

5.5. KÕt luËn ch­¬ng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

KÕt luËn

109

Danh môc c¸c c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ liªn quan ®Õn luËn ¸n

Tµi liÖu tham kh¶o

111

Phô lôc

122

- 7 -

Më ®Çu

1. Lý do chän ®Ò tµi

Trong nh÷ng thËp niªn gÇn ®©y, ngµnh vËt lý hÖ thÊp chiÒu (vËt lý nano)

®­îc nhiÒu nhµ vËt lý quan t©m bëi nh÷ng ®Æc tÝnh ­u viÖt mµ cÊu tróc tinh

thÓ 3 chiÒu kh«ng cã ®­îc. Trong c¸c cÊu tróc cã kÝch th­íc l­îng tö, n¬i

c¸c h¹t dÉn bÞ giíi h¹n bëi trong nh÷ng vïng cã kÝch th­íc ®Æc tr­ng vµo cì

b­íc sãng De Broglie, c¸c tÝnh chÊt vËt lý cña ®iÖn tö thay ®æi kÞch tÝnh. T¹i

®©y, c¸c quy luËt cña c¬ häc l­îng tö b¾t ®Çu cã hiÖu lùc, tr­íc hÕt, th«ng

qua viÖc biÕn ®æi ®Æc tr­ng c¬ b¶n nhÊt cña hÖ ®iÖn tö lµ hµm sãng vµ phæ

n¨ng l­îng cña nã. Phæ n¨ng l­îng trë thµnh gi¸n ®o¹n däc theo h­íng to¹

®é giíi h¹n. D¸ng ®iÖu cña h¹t dÉn trong c¸c cÊu tróc kÝch th­íc l­îng tö

t­¬ng tù nh­ khÝ hai chiÒu [3, 4, 61, 68, 71, 73, 75-79, 81, 84] hoÆc khÝ mét

chiÒu [3, 4, 10, 16, 24, 40], .... Tõ ®ã, hÇu hÕt c¸c tÝnh chÊt quang, ®iÖn ®Òu

cã nh÷ng thay ®æi ®¸ng kÓ [11, 27, 37, 45]. §Æc biÖt, mét sè tÝnh chÊt míi

kh¸c, ®­îc gäi lµ hiÖu øng kÝch th­íc, ®· xuÊt hiÖn.

Sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña c«ng nghÖ chÕ t¹o vËt liÖu, ®Æc biÖt lµ c«ng

nghÖ epitaxy chïm ph©n tö, rÊt nhiÒu hÖ vËt liÖu víi cÊu tróc nano nh­ cÊu

tróc hè l­îng tö, siªu m¹ng b¸n dÉn, c¸c d©y l­¬ng tö vµ chÊm l­îng tö

®­îc chÕ t¹o. Víi ®Æc tÝnh ­u viÖt cña nã, hµng lo¹t c¸c hiÖu øng ®· ®­îc

nghiªn cøu nh­: c¸c c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon [31, 52, 56 ,60, 70, 72],

tÝnh dÉn ®iÖn tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn [66, 79, 89-91], ®é linh ®éng cña ®iÖn

tö [59, 62, 69], c¸c tÝnh chÊt quang [32, 55, 71], .... VËt liÖu nano ngµy cµng

®­îc ph¸t triÓn m¹nh mÏ vÒ c¶ lý thuyÕt lÉn thùc nghiÖm.

D©y l­îng tö lµ cÊu tróc ®Æc tr­ng cña hÖ mét chiÒu (1D), nã cã thÓ

®­îc t¹o ra nhê kü thuËt lithography (®iªu kh¾c) vµ photoetching (quang

kh¾c) tõ c¸c líp giÕng l­îng tö. B»ng kü thuËt nµy, c¸c d©y l­îng tö cã h×nh

d¹ng kh¸c nhau ®­îc t¹o thµnh nh­ d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt, d©y l­îng

tö h×nh trô,... §Æc ®iÓm chung cña c¸c lo¹i d©y l­îng tö lµ chuyÓn ®éng cña

8

¡

¡

®iÖn tö bªn trong nã bÞ giíi h¹n trong c¸c hè thÕ giam cÇm theo hai chiÒu

øng víi c¸c chiÒu bÞ giíi h¹n cña d©y. Cã nghÜa lµ ®iÖn tö chØ cã thÓ chuyÓn

®éng tù do theo trôc cña d©y l­îng tö (chiÒu kh«ng bÞ giíi h¹n). Sù giam

cÇm ®iÖn tö trong c¸c d©y l­îng tö lµm thay ®æi ®¸ng kÓ c¸c tÝnh chÊt vËt

lý cña hÖ, c¸c hiÖu øng vËt lý bªn trong cã nhiÒu sù kh¸c biÖt so víi cÊu

tróc ba chiÒu vµ hai chiÒu. VÝ dô, t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon vµ tØ lÖ t¸n x¹ [10,

26, 49, 57, 83], tÝnh dÉn ®iÖn tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn [65, 82], hÊp thô sãng

®iÖn tõ yÕu [15] vµ hµng lo¹t c¸c hiÖu øng kh¸c [12, 28-30, 34, 35, 41-44,

51, 92].

Chóng ta ®· biÕt khi chiÕu chïm bøc x¹ sãng ®iÖn tõ vµo vËt chÊt, sù

t­¬ng t¸c cña sãng ®iÖn tõ víi vËt chÊt xÈy ra, mét phÇn bøc x¹ ®­îc truyÒn

qua vËt chÊt, mét phÇn bÞ ph¶n x¹ vµ phÇn cßn l¹i bÞ hÊp thô bëi m«i tr­êng

vËt chÊt. Sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ cña vËt chÊt ®· vµ ®ang ®­îc nghiªn cøu

vµ ph¸t triÓn c¶ vÒ lý thuyÕt lÉn thùc nghiÖm víi nhiÒu øng dông m¹nh mÏ

vµ s©u réng trong khoa häc kü thuËt. §Æc biÖt lµ lÜnh vùc kü thuËt qu©n sù,

vËt liÖu hÊp thô sãng ®iÖn tõ ®Æc biÖt ®­îc quan t©m nghiªn cøu nh»m øng

dông cho kü thuËt “tµng h×nh” cho c¸c ph­¬ng tiÖn qu©n sù.

Trªn ph­¬ng diÖn lý thuyÕt, bµi to¸n hÊp thô sãng ®iÖn tõ ®­îc xem xÐt

d­íi hai quan ®iÓm kh¸c nhau theo sù ph¸t triÓn cña vËt lý hiÖn ®¹i. Trªn

quan ®iÓm lý thuyÕt cæ ®iÓn, bµi to¸n nµy ®· ®­îc gi¶i quyÕt chñ yÕu dùa trªn

viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh ®éng cæ ®iÓn Boltzmann [36, 88]. Trªn quan ®iÓm lý

thuyÕt l­îng tö, bµi to¸n hÊp thô sãng ®iÖn tõ ®· ®­îc gi¶i quyÕt b»ng nhiÒu

ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau nh­ lý thuyÕt hµm Green, lý thuyÕt nhiÔu lo¹n [6],

ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö [5, 8], ph­¬ng ph¸p Kubo-Mori më

réng [76, 78].Víi hÖ b¸n dÉn thÊp chiÒu, bµi to¸n hÊp thô tuyÕn tÝnh sãng

®iÖn tõ ®­îc ®Æc biÖt ph¸t triÓn nghiªn cøu b»ng ph­¬ng ph¸p Kubo-Mori

më réng nh­: hÊp thô sãng ®iÖn tõ yÕu trong hè l­¬ng tö [13], trong siªu

m¹ng pha t¹p [14], trong d©y l­îng tö [15].

Bªn c¹nh sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña vËt liÖu b¸n dÉn thÊp chiÒu còng

nh­ nh÷ng nghiªn cøu vµ øng dông ®èi víi sãng ®iÖn tõ, vµo ®Çu thËp niªn

9

¡

¡

60 cña thÕ kØ tr­íc, sù ra ®êi cña laser cho ta nh÷ng nguån bøc x¹ ®iÖn tõ

cã c­êng ®é lín, ®é ®ång bé cao víi biªn ®é vect¬ c­êng ®é sãng ®iÖn tõ

vµo kho¶ng 107-1010 V/cm, khi t­¬ng t¸c víi vËt liÖu, c¸c tÝnh chÊt quang

cña vËt liÖu b¾t ®Çu kh«ng nh÷ng phô thuéc vµo b¶n chÊt cña vËt liÖu mµ

cßn phô thuéc vµo c­êng ®é cña tr­êng laser. Tõ ®ã, c¸c hiÖn t­îng míi

xuÊt hiÖn gäi lµ hiÖu øng quang phi tuyÕn. Cïng víi sù ph¸t triÓn cña c«ng

nghÖ laser, quang phi tuyÕn ngµy cµng ®­îc më réng vµ trë thµnh mét ngµnh

®éc lËp nghiªn cøu t­¬ng t¸c cña sãng ®iÖn tõ m¹nh víi vËt chÊt. C¶ lý

thuyÕt lÉn thùc nghiÖm, quang phi tuyÕn ngµy cµng ®­îc quan t©m nghiªn

cøu nh»m liªn tôc c¶i thiÖn sù ®¸nh gi¸ chÝnh x¸c hÊp thô phi tuyÕn còng

nh­ hÖ sè khóc x¹ [32, 33, 39, 46, 47, 53, 58, 71, 93, 94]. HÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ trong b¸n dÉn khèi ®· ®­îc V. V. Pavlovich vµ E. M. Epshtein

nghiªn cøu vµ c«ng bè vµo n¨m 1977 [64], b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh

®éng l­îng tö c¸c t¸c gi¶ ®· x©y dùng biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ th«ng qua viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö vµ

biÓu thøc cña mËt ®é dßng h¹t t¶i.

Trong thêi gian gÇn ®©y, bµi to¸n hÊp thô sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong hÖ hai chiÒu còng ®· ®­îc nghiªn cøu [16, 19]. Tuy nhiªn, ®èi

víi hÖ mét chiÒu, bµi to¸n hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vÉn cßn bá ngá vµ

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö”. Víi

®­îc chóng t«i lùa chän cho ®Ò tµi luËn ¸n víi tiªu ®Ò “Nghiªn cøu sù hÊp

®Ò tµi nµy cña luËn ¸n, lÇn ®Çu tiªn sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong

d©y l­îng tö ®­îc nghiªn cøu cã hÖ thèng vµ tæng thÓ trong hÖ cÊu tróc mét

chiÒu víi c¸c d©y l­îng tö ®Æc tr­ng cho c¶ hai tr­êng hîp v¾ng mÆt vµ cã

mÆt cña tõ tr­êng. ¶nh h­ëng cña sù giam cÇm phonon lªn hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ lÇn ®Çu tiªn còng ®­îc xem xÐt trong d©y l­îng tö.

2. Môc tiªu nghiªn cøu

LuËn ¸n nghiªn cøu sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong c¸c lo¹i d©y l­îng tö ®Æc tr­ng cho hÖ b¸n dÉn mét chiÒu cho c¶

10

¡

¡

hai tr­êng hîp v¾ng mÆt vµ cã mÆt cña tõ tr­êng víi hai c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn

tö-phonon ©m vµ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang. BiÓu thøc gi¶i tÝch cña hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®­îc thu nhËn, tõ ®ã thùc hiÖn tÝnh sè ®Ó

®¸nh gi¸ vÒ c¶ ®Þnh tÝnh lÉn ®Þnh l­îng sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi

tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo c¸c tham sè bªn ngoµi nh­ c­êng ®é vµ tÇn sè cña

sãng ®iÖn tõ, nhiÖt ®é cña hÖ. Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ vµo tham sè cña d©y l­îng tö còng ®­îc xem xÐt ®Ó ®¸nh gi¸ ¶nh

h­ëng cña cÊu tróc cña hÖ lªn sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ. C¸c kÕt

qu¶ thu ®­îc trong d©y ®­îc so s¸nh víi kÕt qu¶ ®· ®­îc nghiªn cøu trong

b¸n dÉn khèi [64] còng nh­ hÖ hai chiÒu [16], ®ång thêi so s¸nh kÕt qu¶

thu ®­îc gi÷a c¸c d©y l­îng tö cã h×nh d¹ng vµ hè thÕ kh¸c nhau ®Ó xem

xÐt ¶nh h­ëng cña thÕ giam gi÷ ®iÖn tö vµ h×nh d¹ng vµ kÝch th­íc d©y lªn

sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ. Bªn c¹nh ®ã, hÊp thô sãng ®iÖn tõ bëi

®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö còng ®­îc nghiªn cøu cho tr­êng hîp

phonon giam cÇm, tõ ®ã ®¸nh gi¸ sù ¶nh h­ëng cña sù giam cÇm phonon

lªn sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ.

3. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu

Nh­ ®· nãi ë trªn, theo quan ®iÓm lý thuyÕt l­îng tö, bµi to¸n hÊp thô

sãng ®iÖn cã thÓ ®­îc gi¶i quyÕt theo nhiÒu ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau, mçi

ph­¬ng ph¸p cã nh÷ng ­u nh­îc ®iÓm nhÊt ®Þnh. V× vËy, tïy vµo bµi to¸n

cô thÓ ®Ó lùa chän ph­¬ng ph¸p gi¶i quyÕt phï hîp. Trong khu«n khæ cña

luËn ¸n, bµi to¸n hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iªn tö giam cÇm trong

d©y l­îng tö ®­îc t¸c gi¶ nghiªn cøu b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng

l­îng tö, ®©y lµ ph­¬ng ph¸p ®· ®­îc sö dông cho bµi to¸n t­¬ng tù trong

b¸n dÉn khèi [55, 64] còng nh­ c¸c hÖ hai chiÒu [16, 67] vµ ®· thu ®­îc

nh÷ng kÕt qu¶ cã ý nghÜa khoa häc nhÊt ®Þnh. XuÊt ph¸t tõ viÖc gi¶i ph­¬ng

tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong d©y l­îng tö, hµm ph©n bè ®iÖn tö

kh«ng c©n b»ng ®­îc t×m thÊy, tõ ®ã biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ m¹nh ®­îc tÝnh to¸n gi¶i tÝch. KÕt hîp víi ph­¬ng ph¸p tÝnh

11

¡

¡

sè b»ng phÇn mÒm tÝnh sè Matlab, ®©y lµ phÇn mÒm tÝnh sè vµ m« pháng

®­îc sö dông nhiÒu trong vËt lý còng nh­ c¸c ngµnh khoa häc kü thuËt, hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong c¸c d©y l­îng tö ®­îc ®¸nh

gi¸ vµ th¶o luËn c¶ vÒ ®Þnh tÝnh lÉn ®Þnh l­îng.

4. Néi dung nghiªn cøu vµ ph¹m vi nghiªn cøu

B»ng nh÷ng c«ng nghÖ chÕ t¹o vËt liÖu hiÖn ®¹i, ng­êi ta cã thÓ chÕ t¹o

rÊt nhiÒu lo¹i d©y l­îng tö víi h×nh d¹ng vµ thÕ giam gi÷ kh¸c nhau, Víi

môc tiªu ®· ®Ò ra, luËn ¸n nghiªn cøu víi ba lo¹i d©y l­îng tö ®Æc tr­ng:

d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n, d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol

vµ d©y l­îng tö h×nh chö nhËt hè thÕ cao v« h¹n. Bµi to¸n hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ ®­îc xem xÐt cho c¶ hai tr­êng hîp cã mÆt vµ v¾ng mÆt cña tõ

tr­êng ngoµi víi hai c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang vµ ®iÖn tö-phonon

©m. Bªn c¹nh ®ã luËn ¸n còng quan t©m nghiªn cøu ®Õn sù ¶nh h­ëng cña

phonon giam cÇm lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng

tö, cô thÓ lµ d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt víi hè thÕ cao v« h¹n.

5. ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiÔn cña luËn ¸n

Nh÷ng kÕt qu¶ thu ®­îc cña luËn ¸n ®ãng gãp mét phÇn vµo viÖc hoµn

thiÖn lý thuyÕt vÒ c¸c hiÖu øng ®éng trong hÖ thÊp chiÒu mµ cô thÓ lµ lý

thuyÕt hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong cÊu tróc

d©y l­îng tö. Sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö lÇn ®©u

tiªn ®­îc nghiªn cøu mét c¸ch hÖ thèng vµ tæng thÓ trªn quan ®iÓm lý thuyÕt

l­îng tö. Kh¶o s¸t tÝnh sè cho sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ vµo c¸c tham sè cho phÐp cã ®­îc nh÷ng ®¸nh gi¸ trùc quan

vÒ mÆt ®Þnh tÝnh còng nh­ ®Þnh l­îng cña sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

trong vËt liÖu cã cÊu tróc nano mét chiÒu.

VÒ mÆt ph­¬ng ph¸p, víi nh÷ng kÕt qu¶ thu ®­îc tõ viÖc sö dông ph­¬ng

ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm, luËn ¸n gãp phÇn

kh¼ng ®Þnh thªm tÝnh hiÖu qu¶ vµ sù ®óng ®¾n cña ph­¬ng ph¸p nµy cho c¸c

12

¡

¡

hiÖu øng phi tuyÕn trªn quan ®iÓm l­îng tö.

Bªn c¹nh ®ã, t¸c gi¶ còng hi väng kÕt qu¶ cña luËn ¸n cã thÓ ®ãng gãp

mét phÇn vµo viÖc ®Þnh h­íng, cung cÊp th«ng tin vÒ tÝnh hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ cña d©y l­îng tö cho vËt lý thùc nghiÖm trong viÖc nghiªn cøu

chÕ t¹o vËt liÖu nano. Sù phô thuéc cña c¸c ®¹i l­îng vËt lý nãi chung vµ

hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn nãi riªng vµo tham sè ®Æc tr­ng cho cÊu tróc d©y

l­îng tö cã thÓ ®­îc sö dông lµm th­íc ®o, lµm tiªu chuÈn hoµn thiÖn c«ng

nghÖ chÕ t¹o vËt liÖu cÊu tróc nano øng dông trong ®iÖn tö siªu nhá, th«ng

minh vµ ®a n¨ng hiÖn nay.

6. CÊu tróc cña luËn ¸n

Ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn, danh môc c¸c c«ng tr×nh liªn quan ®Õn

luËn ¸n ®· c«ng bè, c¸c tµi liÖu tham kh¶o vµ phÇn phô lôc, néi dung cña

luËn ¸n gåm 5 ch­¬ng, 22 môc víi 33 h×nh vÏ vµ ®å thÞ, tæng céng 140

trang. Néi dung cña c¸c ch­¬ng nh­ sau:

Ch­¬ng 1 tr×nh bµy tæng quan vÒ d©y l­îng tö vµ hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ m¹nh trong b¸n dÉn khèi. §©y ®­îc xem lµ nh÷ng kiÕn thøc

c¬ së cho c¸c nghiªn cøu ®­îc tr×nh bµy trong c¸c ch­¬ng sau. Hµm sãng

vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong ba lo¹i d©y l­îng tö (d©y l­îng tö h×nh

trô hè thÕ cao v« h¹n, d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol vµ d©y l­îng tö

h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n) cho c¶ hai tr­êng hîp v¾ng mÆt vµ cã mÆt

cña tõ tr­êng. HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong b¸n dÉn khèi víi

ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö còng ®· ®­îc tr×nh bµy.

Ch­¬ng 2 nghiªn cøu sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn

tö-phonon, c¸c ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö còng nh­ hÖ sè hÊp

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô

hè thÕ cao v« h¹n ®­îc thiÕt lËp cho c¶ hai tr­êng hîp v¾ng mÆt vµ cã mÆt

cña tõ tr­êng ngoµi. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh ®­îc tÝnh

13

¡

¡

to¸n, nghiªn cøu cho c¶ hai c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m vµ t¸n x¹ ®iÖn

tö phonon quang cho tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng. HÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ m¹nh trong tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ®­îc nghiªn cøu

cho c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang. C¸c kÕt qu¶ gi¶i tÝch cña hÖ sè hÊp

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö

h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n ®­îc ¸p dông tÝnh sè vµ bµn luËn cho d©y l­îng

tö b¸n dÉn GaAs/GaAsAl.

Ch­¬ng 3 nghiªn cøu sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol. C¸c néi dung nghiªn cøu

trong ch­¬ng nµy t­¬ng tù nh­ ch­¬ng 2 nh­ng ¸p dông cho d©y l­îng tö hè

thÕ parabol, ®ång thêi tËp trung tÝnh sè vµ bµn luËn ®Ó xem xÐt ¶nh h­ëng

cña thÕ giam cÇm ®iÖn tö lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh.

T­¬ng tù nh­ ch­¬ng 2 vµ ch­¬ng 3, néi dung cña ch­¬ng 4 nghiªn

cøu sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ manh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y

l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n, ®ång thêi xem xÐt ¶nh h­ëng cña

kÝch th­íc d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ vµ so s¸nh víi c¸c kÕt qu¶ thu ®­îc ®èi víi d©y l­îng tö h×nh trô, tõ ®ã

®¸nh gi¸ sù ¶nh h­ëng cña h×nh d¹ng d©y l­îng tö lªn sù hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ.

Ch­¬ng 5 nghiªn cøu ¶nh h­ëng cña sù giam cÇm phonon lªn hÖ sè hÊp

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö.

Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö giam cÇm-phonon giam cÇm, ph­¬ng tr×nh ®éng

l­îng tö còng nh­ hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm

khi cã sù giam cÇm phonon trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v«

h¹n ®­îc thiÕt lËp. C¸c kÕt qu¶ tÝnh sè ®­îc tr×nh bµy vµ bµn luËn ®Ó thÊy

râ møc ®é ¶nh h­ëng cña sù giam cÇm phonon lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tö m¹nh trong d©y l­îng tö.

PhÇn phô lôc ®­a ra c¸c ch­¬ng tr×nh tÝnh sè b»ng phÇn mÒm Matlab

cho viÖc tÝnh sè vµ vÏ c¸c ®å thÞ.

C¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu chÝnh cña luËn ¸n ®­îc c«ng bè trong 9 c«ng

14

¡

¡

tr×nh d­íi d¹ng c¸c bµi b¸o vµ b¸o c¸o khoa häc ®¨ng trong c¸c t¹p chÝ

vµ ký yÕu héi nghÞ khoa häc trong n­íc vµ quèc tÕ, trong ®ã cã 02 bµi

USA-Progress In Electromagnetics Research Letters; 01 bµi trong cuèn s¸ch

Wave Propagation; 02 bµi ®¨ng trong tuyÓn tËp héi nghÞ khoa häc quèc tÕ vµ

trong t¹p chÝ chuyªn ngµnh quèc tÕ Korean Physical Society vµ Journal of

04 bµi ®¨ng trong t¹p chÝ VNU Journal of Science, Mathematics - Physics

15

¡

¡

cña §¹i häc Quèc gia Hµ Néi.

Ch­¬ng 1

Tæng quan vÒ d©y l­îng tö vµ hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ m¹nh trong b¸n dÉn khèi

1.1. Kh¸i qu¸t vÒ d©y l­îng tö

1.1.1. CÊu tróc cña d©y l­îng tö b¸n dÉn

D©y l­îng tö (quantum wires) thuéc hÖ cÊu tróc b¸n dÉn mét chiÒu

(one-dimension systems) [3, 4]. M« h×nh cÊu tróc cña c¸c hÖ b¸n dÉn cã thÓ

H×nh 1.1: M« h×nh cÊu tróc c¸c hÖ b¸n dÉn: (3D) B¸n dÉn khèi; (2D) HÖ hai chiÒu; (1D)

hÖ mét chiÒu; (0D) HÖ kh«ng chiÒu

®­îc m« t¶ nh­ h×nh (1.1).

16

¡

¡

Trong d©y l­îng tö (hÖ mét chiÒu - 1D), chuyÓn ®éng cña c¸c h¹t t¶i bÞ

giíi h¹n theo hai chiÒu giíi h¹n cña d©y vµ nã chØ cã thÓ chuyÓn ®éng tù do

theo chiÒu cßn l¹i. Sù giam cÇm ®iÖn tö trong d©y l­îng tö lµm xuÊt hiÖn

c¸c hiÖu øng gi¶m kÝch th­íc, hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng trë nªn gi¸n

®o¹n vµ l­îng tö theo hai chiÒu.

D©y l­îng tö ®­îc chÕ t¹o b»ng nhiÒu ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau, vÝ dô

nh­ ph¸p epitaxy (Molecular beam epitaxy-MBE), ph­¬ng ph¸p kÕt tña hãa

h÷u c¬ kim lo¹i (metal organic chemical vapor deposition-MOCVD ) hoÆc

sö dông c¸c cæng (gates) trªn mét Transistor hiÖu øng tr­êng, b»ng c¸ch nµy

cã thÓ t¹o ra c¸c kªnh thÊp chiÒu h¬n trªn khÝ ®iÖn tö hai chiÒu. Víi c«ng

nghÖ chÕ t¹o vËt liÖu hiÖn ®¹i, ng­êi ta cã thÓ t¹o ra c¸c d©y l­îng tö cã

h×nh d¹ng kh¸c nhau, nh­ d©y h×nh trô, d©y h×nh ch÷ nhËt,... Mçi d©y l­îng

tö ®­îc ®Æc tr­ng bëi mét thÕ giam gi÷ kh¸c nhau, viÖc kh¶o s¸t lý thuyÕt vÒ

d©y l­îng tö chñ yÕu dùa trªn hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö thu

®­îc nhê gi¶i ph­¬ng tr×nh Schrodinger víi hè thÕ ®Æc tr­ng cña nã. Trong

luËn ¸n nµy, chóng t«i quan t©m ®Õn ba lo¹i d©y l­îng tö víi h×nh d¹ng vµ

thÕ giam gi÷ kh¸c nhau: d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n; d©y l­îng

tö h×nh trô hè thÕ parabol vµ d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n.

1.1.2. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö

h×nh trô víi hè thÕ v« h¹n

a). Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng

Chóng ta xem xÐt mét d©y l­îng tö h×nh trô b¸n kÝnh R víi chiÒu

dµi d©y Lz. §iÖn tö bªn trong d©y ®­îc giam gi÷ bëi mét hè thÕ cao v« h¹n cã d¹ng:

�1.1)

0 nÕu r < R V (~r) =

nÕu r > R 8 < 1

17

¡

¡

Hµm sãng cña ®iÖn tö bÞ giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô víi hè thÕ :

�1.2)

t­¬ng øng thu ®­îc tõ viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh Schrodinger [94], [38]

r < R; Ãn;`;~p(r; Á; z) = einÁeipz zÃn;`(r); 1 pV0

2; ::: lµ sè l­îng tö 1 § §

�1.3)

trong ®ã V0 = ¼R2Lz lµ thÓ tÝch cña d©y, n = 0; ph­¬ng vÞ, ` = 1; 2; 3; ::: lµ sè l­îng tö xuyªn t©m, ~p = (0; 0; pz) lµ vect¬ sãng cña ®iÖn tö däc theo trôc z cña d©y, vµ Ãn;`(r) lµ hµm sãng xuyªn t©m cña ®iÖn tö chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng (Oxy) cã d¹ng:

); Ãn;`(r) = Jn(Bn;` r R 1 Jn+1(Bn;`)

�1.4)

trong ®ã Bn;` lµ nghiÖm thø ` cña hµm Bessel cÊp n t­¬ng øng víi ph­¬ng tr×nh Jn(Bn;`) = 0, vÝ dô, B01 = 2:405 vµ B11 = 3:832. Phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö bÞ giam gi÷ trong d©y l­îng tö h×nh trô ®­îc viÕt nh­ sau [94]:

"n;`(~p) = "(pz) + "n;`;

trong ®ã "(pz) = p2 z=2m lµ ®éng n¨ng theo ph­¬ng chuyÓn ®éng tù do (Oz) n;`=2mR2 lµ n¨ng l­îng bÞ l­îng tö theo c¸c ph­¬ng cña electron vµ "n;` = B2 cßn l¹i, m lµ khèi l­îng hiÖu dông cña ®iÖn tö (trong luËn ¸n nµy chóng t«i

®· chän ~=1).

b). Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng

§Æt mét tõ tr­êng ®ång nhÊt song song víi trôc cña d©y, gi¶i ph­¬ng

tr×nh Schrodinger víi thÕ giam cÇm ®iÖn tö cao v« h¹n khi cã mÆt cña tõ

tr­êng ngoµi, hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö thu ®­îc nh­ sau [1,

�1.5)

3, 4]:

»=2»j

=2F1( n j

;1;

n j j

�1.6)

a + 1; ») eilµeipze¡ ªn;` = n j j ¡ N ¤ p2¼L

;l +

n j j

a + "n;`(~p) = + !c + j p2 2m n 2 1 2 n j 2 ³ ´ trong ®ã » = r2=2a2 c=eB lµ b¸n kinh cyclotron; !c = 1=mac lµ tÇn

c; ac = lµ thõa sè chuÈn hãa: p »R

�1.7)

sè cyclotron; N ¤

2 = a2 c

n »»j jF 2 1 (

;1; n j j

0

18

¡

¡

a + 1; »)d» N ¤¡ e¡ n j j ¡ Z

;1;

n j j

n j j

a n + 1; ») lµ d¹ng tæng qu¸t cña hµm siªu béi, h÷u h¹n t¹i » = 0; j j F1( a

¡ ;l lµ nghiÖm cña hµm siªu béi. Víi hµm sãng chøa hµm siªu béi nh­ trªn, thõa sè d¹ng phô thuéc ®Æc

tr­ng cña d©y l­îng tö vµ tõ tr­êng sÏ kh«ng cho ®­îc biÓu thøc gi¶i tÝch.

Tuy nhiªn ta cã thÓ xÐt tr­êng hîp giíi h¹n víi tõ tr­êng m¹nh, b¸n kÝnh

j

;l n j xÊp xØ lµ mét sè kh«ng ©m. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong

cña d©y lóc nµy lín h¬n rÊt nhiÒu so víi b¸n kÝnh cyclotron ac, tri riªng a

d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n khi cã mÆt cña tõ tr­êng cã thÓ ®­îc

viÕt l¹i nh­ sau:

�1.8)

»=2»j

n j

=2F1(

2

�1.9)

n )! N; + 1; ») eilµeipze¡ ªn;` = j (N + j N ! n j j ¡ N ¤ p2¼Lr

; + N + + j + !c "H n;`;N (~p) = n 2 1 2 n j 2 ~pz 2m ³ ´ trong ®ã N=0, 1, 2, ... lµ chØ sè c¸c møc Landau

1.1.3. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö

h×nh trô víi hè thÕ parabol

a). Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng

�1.10)

Gi¶ sö hè thÕ giam gi÷ d¹ng parabol ®èi xøng trong mÆt ph¼ng xy:

0R2

m!2 V = 1 2

!¤0 lµ tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng thu ®­îc tõ viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh Schrodinger

` j

r2 2a2 0

�1.11)

cho hè thÕ d¹ng parabol nh­ sau:

` jLj jn

�1.12)

e¡ ª = (n + )! 1 a0 r a0 r2 a2 0 eikz pLs 2n! ` j j ³ ´ ³ ´

19

¡

¡

+ 1) + !¤0(2n + "n;`(¡!p ) = ` j j p2 z 2m¤

trong ®ã,

l Lj jn lµ ®a thøc Lagrangre tæng qu¸t

a0 = 1 m!¤0 s

b). Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng

XÐt d©y l­îng tö h×nh trô d­íi t¸c dông cña tõ tr­êng ngoµi, thÕ giam

�1.13)

gi÷ ®iÖn tö cã dang parabol bÊt ®èi xøng:

xx2 + ­2

yy2);

(­2 V (x; y) = m 2

trong ®ã ­x,­y lµ tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ theo hai ph­¬ng bÞ l­îng tö

hãa x vµ y. Khi ®ã, hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö cã d¹ng [45,

x2=2l2

y2=2l2

76, 84]:

xHn

yHn

�1.15)

; e¡ e¡ Ãn;`;~p(x; y; z) = x lx 1 2nn!lxp¼ 1 2``!lyp¼ eipz pL ³ ´ ³ y ly ´ �1.14)

+ !1(n + 1=2) + !2(` + 1=2); "H n;`(~p) = ~p2 M

x + !2

y + !2

y, !2

1 = ­2

2 = ­2

1=4m­x, ly =

p trong ®ã !x = eBx=mc, !y = eBy=mc lµ tÇn sè cyclotron theo hai ph­¬ng x, y, !2 1=4m­y, vµ x, lx = M = m[1 + (!x=­y)2 + (!y=­x)2], Hn(x) lµ ®a thøc Hermite. p

1.1.4. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö

h×nh ch÷ nhËt

a). Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

Víi c¸c cÊu tróc d©y l­îng tö ®­îc chÕ t¹o b»ng c¸ch ®Æt c¸c cæng

trªn hÖ 2 chiÒu, d©y l­îng tö th­êng cã d¹ng h×nh häc kh«ng x¸c ®Þnh vµ

20

¡

¡

tïy thuéc vµo c«ng nghÖ chÕ t¹o. Do yªu cÇu thùc nghiÖm, m« h×nh d©y

l­îng tö h×nh ch÷ nhËt còng hay ®­îc ®Ò cËp ®Õn trong c¸c c«ng tr×nh mang

tÝnh lý thuyÕt [67, 80]. Chóng ta xÐt tr­êng hîp ®¬n gi¶n, thÕ giam gi÷ ®iÖn

tö lµ cao v« h¹n, lóc nµy viÖc t×m hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng cña trë nªn

®¬n gi¶n nhê sö dông ph­¬ng ph¸p ph©n ly biÕn sè [7]. Hµm sãng vµ phæ

n¨ng l­îng ®iÖn tö lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Schrodinger vµ ®­îc viÕt d­íi

d¹ng[3, 4]:

1 Lz

2 Lx

2 Ly

0 < x < Lx eipzz ) ); sin( n¼x Lx sin( `¼x Ly 8 0 < y < Ly 8 < q q q : ªn;`;pz(x; y; z) =

x > Lx 0

�1.16)

y > Ly : 8 <

�1.17)

: >>>>>>>< >>>>>>>:

+ ( + ) "n;`(¡!p ) = p2 z 2m ¼2 2m `2 L2 y

n2 L2 x 1; trong ®ã: n; ` lµ c¸c sè l­îng tö, n = 0; 2; :::, ` = 1; 2; 3:::; Lx; Ly lµ § § kÝch th­íc cña d©y l­îng tö theo hai ph­¬ng x, y.

b). Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng

Gi¶ sö d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt víi thÕ giam gi÷ ®iÖn tö ®­îc ®Æt

trong tõ tr­êng yÕu, hµm sãng cña ®iÖn tö nh­ trong tr­êng hîp kh«ng cã tõ

�1.18)

tr­êng:

eipzz sin( sin( ) ªn;`;pz(x; y; z) = 1 Lx 2 Lx n¼x Lx 2 Ly `¼x Ly ) s r r

Tuy nhiªn, cÊu tróc cña phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö d­íi ¶nh h­ëng cña tõ

tr­êng cã thay ®æi, nã ®Æt thªm mét sù giam h·m ®iÖn tö bªn c¹nh sù giam

h·m do gi¶m kÝch th­íc. Phæ n¨ng l­¬ng cña ®iÖn tö lóc nµy ®­îc viÕt nh­

�1.19)

sau:

) + ( + ); "n;`;N (~p) = + !c(N + p2 z 2m 1 2 ¼2 2m n2 L2 x `2 L2 y

21

¡

¡

trong ®ã N=1, 2, ... lµ chØ sè vïng Landau.

1.2. HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong b¸n

dÉn khèi

1.2.1. Sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ

Khi chiÕu mét chïm bøc x¹ lazer (sãng ®iÖn tõ m¹nh) vµo tinh thÓ b¸n

dÉn, mét phÇn bøc x¹ bÞ ph¶n x¹ trë l¹i, mét phÇn ®­îc truyÒn qua vµ phÇn

H×nh 1.2: T­¬ng t¸c gi÷a vËt chÊt vµ sãng ®iÖn tõ (1) sãng tíi, (2) sãng ph¶n x¹, (3) sãng

truyÒn qua, (4) sãng hÊp thô

cßn l¹i ®­îc hÊp thô bëi tinh thÓ b¸n dÉn.

Phæ hÊp thô sãng ®iÖn tõ cña b¸n dÉn rÊt phøc t¹p, bao gåm ba phÇn

chÝnh: ChuyÓn dÞch trùc tiÕp, chuyÓn dÞch gi¸n tiÕp gi÷a c¸c vïng hãa trÞ

hoÆc chuyÓn dÞch néi vïng. Sù hÊp thô do chuyÓn dÞch trùc tiÕp gi÷a c¸c

vïng dÉn vµ vïng hãa trÞ xuÊt hiÖn khi ®iÖn tö vïng hãa trÞ hÊp thô mét

¡ photon cã n¨ng l­îng lín h¬n ®é réng vïng cÊm vµ dÞch chuyÓn lªn vïng dÉn víi vect¬ sãng ~k gÇn nh­ kh«ng ®æi, khi ®ã vïng hãa trÞ xuÊt hiÖn mét ~k. Sù hÊp thô nµy x¶y ra ®èi víi nh÷ng chÊt b¸n lç trèng cã vect¬ sãng dÉn cã khe vïng cÊm trùc tiÕp nh­ InSb, InAs, GaAs, GaSb. Sù hÊp thô do

chuyÓn dÞch gi¸n tiÕp gi÷a vïng dÉn vµ vïng hãa trÞ ®­îc thùc hiÖn víi sù

hÊp thô hay ph¸t x¹ mét phonon. §iÖn tö vïng hãa trÞ hÊp thô mét photon,

22

¡

¡

®ång thêi nã hÊp thô hoÆc ph¸t x¹ mét phonon ®Ó cã thÓ di chuyÓn tíi ®¸y

vïng dÉn. ChuyÓn dÞch gi¸n tiÕp cña ®iÖn tö th­êng xuÊt hiÖn ë tinh thÓ b¸n

dÉn cã khe vïng cÊm gi¸n tiÕp nh­ Si, Ge, GaP,....

Ngoµi hÊp thô do chuyÓn dÞch gi÷a c¸c vïng, sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ

cßn phô thuéc vµo chuyÓn dÞch néi vïng, ®­îc thÓ hiÖn râ khi tÇn sè sãng

®iÖn tõ nhá h¬n ®é réng vïng cÊm. Sù chuyÓn dÞch néi vïng lµ sù hÊp thô

sãng ®iÖn tõ bëi c¸c ®iÖn tö tù do cã sù ®ãng gãp cña phonon. Khi ®ã c¸c

®iÖn tö tù do hÊp thô hay ph¸t x¹ phonon liªn tôc ®Ó cã thÓ chuyÓn dÞch lªn

c¸c tr¹ng th¸i kh¸c.

Nh­ vËy, sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ trong b¸n dÉn cã ®ãng gãp ®¸ng kÓ

c¸c phonon, cô thÓ lµ t­¬ng t¸c gi÷a ®iÖn tö vµ phonon.

HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ x¶y ra khi chiÕu mét bøc x¹ ®iÖn tõ m¹nh

(tr­êng laze) vµo tinh thÓ b¸n dÉn. Lóc nµy phæ hÊp thô sãng ®iÖn tõ phô

thuéc vµo bËc cao cña c­êng ®é sãng ®iÖn tr­êng m¹nh.

1.2.2. Lý thuyÕt l­îng tö vÒ hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh

trong b¸n dÉn khèi

Lý thuyÕt hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong b¸n dÉn khèi ®· ®­îc

V. V. Pavlovich vµ E. M. Epshtein nghiªn cøu vµ c«ng bè vµo n¨m 1977

[26], t¸c gi¶ b¾t ®Çu tõ viÖc x©y dùng Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö - phonon

(phonon quang) trong b¸n dÉn khèi khi cã mÆt sãng ®iÖn tõ

~p a~p +

~q b~q +

~p+~qa~p(b~q + b+

~q): ¡

~q X

~p;~q X

~p X

�1.20)

~A(t))a+ "(~p H = C~qa+ ~!~qb+ ¡ e ~c

~p ; a~p lµ to¸n tö sinh hñy ®iÖn tö ë tr¹ng th¸i

~q ; b~q lµ to¸n tö , ~p; ~q lµ xung l­îng cña ®iÖn tö vµ phonon

Trong ®ã: a+ , b+ ~p i j sinh hñy phonon ë tr¹ng th¸i ~q i j

23

¡

¡

trong b¸n dÉn khèi, !~q lµ tÇn sè cña phonon, C~q lµ h»ng sè t­¬ng t¸c gi÷a ®iÖn tö vµ phonon trong b¸n dÉn khèi, ~A(t) lµ thÕ vect¬ cña tr­êng ®iÖn tõ

�1.21)

®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau:

= ~Eo sin(­t); d ~A(t) cdt ¡

trong ®ã c lµ vËn tèc ¸nh s¸ng (vËn tèc truyÒn sãng ®iÖn tõ), ~Eo vµ ­ lµ vect¬ c­êng ®é vµ tÇn sè cña sãng ®iÖn tõ m¹nh. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

�1.22)

sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö trong b¸n dÉn khèi ®­îc tÝnh bëi c«ng thøc:

t: i

1

® = ~j(t) ~Eo sin (­t) 8¼ cp E2 o h

1

víi  lµ ®é thÈm ®iÖn m«i cao tÇn, ~j(t) lµ mËt ®é dßng h¹t t¶i trong b¸n

�1.23)

dÉn ®­îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:

~p X

(~p ~j(t) = ~A(t))n~p e m e c ¡

§Ó thu ®­îc biÓu thøc cña mËt ®é dßng h¹t t¶i còng nh­ hÖ sè hÊp thô phi

tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong b¸n dÉn khèi, chóng ta cÇn thiÕt lËp ph­¬ng

tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong b¸n dÉn khèi. Ta b¾t ®Çu tõ ph­¬ng

�1.24)

tr×nh ®éng cho to¸n tö sè h¹t ®iÖn tö trong b¸n dÉn:

t:

t = i

~p a~p; H] i

i = i a+ ~p a~p @n~p(t) @t @ @th [a+ h

Sö dông Hamiltonian (1.20) vµ hÖ thøc giao ho¸n cña to¸n tö, thùc hiÖn c¸c

phÐp tÝnh cÇn thiÕt ta thu ®­îc biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho

2 1

®iÖn tö trong b¸n dÉn khèi:

k;l=

¡1

t

= i(l k)­t] Jk( @n~p(t) @t e ~Eo~q m­2 )Jl( i ¡ C~q j j ¡ ¡ £ e ~Eo~q m¤­2 ) exp[ X

~q X [n~p(t0)N~q

¡1

k­+i±)(t + dt0 t0) "~p !~q n~p+~q(t0)(N~q+1)] exp i("~p+~q £ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Z k­ + i±)(t i + t0) n +[n~p(t0)(N~q + 1) "~p + !~q n~p+~q(t0)N~q] exp ¡ ¡ ¡

~q(t0)N~q +[n~p ¡ +[n~p ~q(t0)(N~q + 1) ¡

24

¡

¡

k­ + i±)(t + i t0) n~p(t0)(N~q + 1)] exp "~p !~q h i("~p+~q ¡ h i("~p+~q ¡ ¡ ¡ ¡ i : k­ + i±)(t t0) n~p(t0)N~q] exp ¡ "~p + !~q h i("~p+~q ¡ ¡ ¡ ¡ h io �1.25)

ë ®©y m vµ e lµ khèi l­îng hiÖu dông vµ ®iÖn tÝch cña ®iÖn tö trong b¸n dÉn 0+) ®­îc ®­a bëi gi¶ thiÕt ®o¹n nhiÖt. Gi¶i khèi, tham sè v« cïng bÐ ± (± ! ph­¬ng tr×nh (1.25) trong gÇn ®óng bËc nhÊt råi thay vµo ph­¬ng tr×nh (1.23)

+

1

vµ (1.22) ta thu ®­îc biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô ® trong b¸n dÉn khèi:

2 N~qn~p (t) j

1

~p;~q X

�1.26)

8¼2­ ® = C~q kJ 2 k e ~Eo~q m­2 j cp E2 0 à ! £

k= X ¡1 " (~p + ~q)

q ¡

; ± " (~p) + !* k~­ £ ¡ ´ ³

2 = e2!o (1=Â

1 ¡

1

quang, C~q ´ j j Cop 2 ~q j j cña phonon quang, Â

trong ®ã ±(x) lµ hµm Delta-Dirac. XÐt cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon 1=Â0) =2²0q2V , trong ®ã !o lµ tÇn sè vµ Â0 lÇn l­ît lµ ®é thÉm ®iÖn m«i cao tÇn vµ ®é thÉm ®iÖn m«i tÜnh. XÐt hai tr­êng hîp giíi h¹n: hÊp thô gÇn ng­ìng vµ

hÊp thô xa ng­ìng.

¹" ph¶i ®­îc XÐt tr­êng hîp hÊp thô xa ng­ìng, ®iÒu kiÖn !o j À k­ j ¡ tháa m·n, ¹" lµ n¨ng l­îng trung b×nh cña chuyÓn ®éng nhiÖt cña electron.

HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong b¸n dÉn khèi trong tr­êng hîp

nµy ®­îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:

�1.27)

0

1

1

3(­ 1 + ® = (­ !0) 1  !o)e2 20m­4 E2 ¡ ¡ ¡ 1 Â0 16¼e4n0kBT ­3 3cp n ³ ´ ¹" Víi tr­êng hîp hÊp thô gÉn ng­ìng, ®iÒu kiÖn giíi h¹n o !o k­ j ¡ j ¿ ®­îc tháa m·n. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ thô phi tuyÕn sãng

1=2

®iÖn tõ thu ®­îc:

1

�1.28)

4 i

­ 3kBT !o 4¼e4n0(kBT )5=2m 1 + ® = 1  ¡ ¼ ­3 4(­ !o) 1 Â0 3cp ¡ ¡ 1 3(­ ´³ !o)e2 ³ 1 + 1 + ´ E2 0 ¡ 20m­4 (­ ´³ 3kBT !o) + 3kBT ¡ h o n

Nh­ vËy, b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong

b¸n dÉn, biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô sãng ®iÖn tõ trong b¸n dÉn khèi ®· thu

25

¡

¡

®­îc.

Ch­¬ng 2

HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm

trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n

M« h×nh d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n ®· ®­îc sö dông nhiÒu

trong c¸c nghiªn cøu lý thuyÕt, sù l­îng tö hãa do gi¶m kÝch th­íc trong

d©y l­îng tö t¸c ®éng ®¸ng kÓ ®Õn c¸c tÝnh chÊt vËt lý cña hÖ, c¸c hiÖu øng

®éng trong d©y l­îng tö cã nhiÒu sù kh¸c biÖt so víi b¸n dÉn khèi còng nh­

hÖ hai chiÒu. Trong ch­¬ng nµy, trªn quan ®iÓm lý thuyÕt tr­êng l­îng tö,

b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö, luËn ¸n nghiªn cøu sù hÊp

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô

hè thÕ cao v« h¹n cho c¶ hai tr­êng hîp v¾ng mÆt vµ cã mÆt cña tõ tr­êng.

Kh¶o s¸t sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn vµo c¸c tham sè nh­ nhiÖt

®é cña hÖ, c­êng ®é vµ tÇn sè cña sãng ®iÖn tõ, tÊn sè cyclotron (tr­êng hîp

cã mÆt cña tõ tr­êng) vµ b¸n kÝnh cña d©y. C¸c kÕt qu¶ thu nhËn ®­îc ®¸nh

gi¸, so s¸nh víi bµi to¸n t­îng tù trong b¸n dÉn khèi vµ hÖ hai chiÒu ®Ó thÊy

®­îc ¶nh h­ëng cña hiÖu øng gi¶m kÝch th­íc trong hÖ mét chiÒu lªn sù hÊp

26

¡

¡

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ.

2.1. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong d©y l­îng

tö hè thÕ cao v« h¹n

2.1.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng

Gi¶ sö mét d©y l­îng tö ®­îc ®Æt trong tr­êng leser cã vect¬ c­êng ®é ®iÖn tr­êng ~E(t) = ~E0sin(­t) vu«ng gãc víi ph­¬ng truyÒn sãng. Bá qua t­¬ng t¸c cña c¸c h¹t cïng lo¹i, Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong

�2.1)

ph

d©y l­îng tö ®­îc viÕt nh­ sau:

H = He + Hph + He ¡

�2.2)

Trong ®ã

n;`;~p an;`;~p

n;`;~p X

~A(t))a+ He = "n;`(~p e c ¡

�2.3)

lµ Hamiltonian cña ®iÖn tö kh«ng t­¬ng t¸c,

~q b~q

~q X

Hph = !~q b+

�2.4)

ph =

lµ Hamiltonian cña phonon kh«ng t­¬ng t¸c,

~q)

n;`;~p+~q an0;`0;~p (b~q + b+

¡

e c

C~qIn;`;n0;`0(~q)a+ He ¡

n;`;n0;`0;~p;~q X ~A(t)) lµ phæ n¨ng l­îng lµ Hamiltonian t­¬ng t¸c ®iÖn tö-phonon, "n;`(~p cña ®iÖn tö d­íi t¸c dông cña sãng ®iÖn tõ víi thÕ vect¬ ~A(t) ®­îc viÕt theo biÓu thøc (1.4) nh­ sau:

¡

�2.5)

n;`=2mR2

(~p + B2 ~A(t)) = "n;`(~p ¡ ¡

27

¡

¡

~A(t))2 2m víi e lµ ®iÖn tÝch cña electron, c lµ vËn tèc ¸nh s¸ng, ~E0 vµ ­ lµ c­êng ®é vµ tÇn sè cña sãng ®iÖn tõ , a+ n;`;~p (an;`;~p) lµ to¸n tö sinh (huû) cña mét electron trong d©y l­îng tö b+ ~q (b~q) lµ to¸n tö sinh (huû) mét phonon ë tr¹ng th¸i cã vect¬ sãng ~q, !~q lµ tÇn sè cña phonon, C~q lµ hÖ sè t­¬ng t¸c ®iÖn tö-phonon,

R

�2.6)

In;`;¶n;¶`(~q) lµ thõa sè d¹ng ®Æc tr­ng cho sù giam nhèt ®iÖn tö trong d©y l­îng tö ®­îc cho bëi:

n

n0

?

?

¡

0 Z

j trong ®ã hµm sãng Ãn;`(r) ®­îc x¸c ®Þnh theo (1.2). Do hµm sãng chøa c¸c hµm Bessel, biÓu thøc cña thõa sè h¹ng (2.6) kh«ng thÓ tÝnh to¸n gi¶i tÝch,

) = (q R)rdr: (r)Ãn;`(q R)än0 ;`0 In;`;n0 `0 (q ? 2 R2 J j

tuy nhiªn theo [38] chóng ta cã thÓ tÝnh nã b»ng c¸ch ¸p dông biÓu thøc gÇn

�2.7)

®óng cho hµm sãng vµ tr¹ng th¸i n¨ng l­îng cña ®iÖn tö nh­ sau:

?

�2.8)

p3(1 x2); ) = 24 Ã0;1 I01;0;1(q ? J3(q (q R) ? R)3 ¼ ¡

1;1

§

1;1;0;1(q ? §

? J4(q (q

?

à I p12(x x2); ) = 48 R) R)3 : ¼ ¡

2.1.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

Gi¶ sö cã mét tõ tr­êng ®Òu ®Æt song song víi trôc cña d©y. Hamiltonian

cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong d©y l­îng tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng ®­îc viÕt

nh­ sau:

°;~p a°;~p +

~q b~q

°;~p X

�2.9)

~A(t)) a+ H = !~qb+ "H ° (~p ¡

~q X C~q In;`;n0 ;`0 (~q)JN;N 0(u)a+

°0;~p+~q

+ a°;~p (b~q + b+ ~q); ¡

n;`(~p

e c

X°;°0 ;~p;~q

¡

1

?

�2.10)

Trong ®ã ° vµ °0 lÇn l­ît lµ c¸c bé sè l­îng tö (N; n; `) vµ (N 0; n0; `0) cña ®iÖn tö d­íi t¸c dông cña tõ tr­êng ngoµi, N, N 0 lµ c¸c chØ sè vïng Landau ~A(t)) lµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö d­íi t¸c dông (N = 0; 1; 2; :::), "H cña sãng ®iÖn tõ víi thÕ vect¬ ~A(t) khi cã mÆt cña tõ tr­êng ®­îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc (1.9) , a+ °;~p (a°;~p) lµ to¸n tö sinh (huû) cña mét electron trong d©y l­îng tö khi cã mÆt tõ tr­êng ngoµi, JN;N 0 (u) ®Æc tr­ng cho t¸c ®éng cña tõ tr­êng lªn d©y l­îng tö ®­îc x¸c ®Þnh theo tÝch ph©n nh­ sau:

pzÁN (r

?

? ¡

? ¡

¡1

28

¡

¡

q ))eiq a2 c(pz a2 cpz) JN;N 0 (u) = drÁN 0 (r ¡ Z

?

=2, r vµ ac = c=eB lÇn l­ît lµ vÞ trÝ vµ b¸n kÝnh quü ®¹o

ë ®©y u = acq2 ? cyclotron.

2.2. Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm

trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n

2.2.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi

§Ó thu ®­îc biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö chóng ta b¾t ®Çu tõ ph­¬ng tr×nh ®éng cho to¸n tö

t ta cã: i

sè h¹t ®iÖn tö trong d©y l­îng tö nn;`;~p(t) = a+ n;`;~pan;`;~p h

n;`;~pan;`;~p; H] t i

�2.11)

i =

n;`;~pan;`;~p; Hph]

n;`;~pan;`;~p; He

t + i

t: ph] i ¡

= [a+ @nn;`;~p(t) @t [a+ h [a+ h n;`;~pan;`;~p; He] t + i h [a+ h

Sö dông Hamiltonian (2.2)-(2.4) vµ c¸c phÐp biÕn ®æi to¸n tö ta ®­îc trªn c¬

së lý thuyÕt tr­êng l­îng tö cho hÖ nhiÒu h¹t [1]:

~q;n;`;~p;

~q(t)

~q;~q(t) + F ¤n0;`0;~p C~qIn;`;n0;`0(~q)[Fn;`;~p;n0;`0;~p ¡ ¡

¡

n0;`0;~q X

�2.12)

i = @nn;`;~p(t) @t

~q(t)] F ¤n;`;~p;n0;`0;~p+~q; ¡

Fn0;`0;~p+~q;n;`;~p;~q(t) ¡ ¡

t = F (t)

trong ®ã

Fn1;`1; ~p1;n2;`2; ~p2;~q(t) = an2;`2; ~p2b~q a+ n1;`1; ~p1 h i

�2.13)

§Ó t×m F (t) ta x©y dùng ph­¬ng tr×nh ®éng cho F (t) nh­ sau:

t

n1;`1; ~p1

i = i = @F (t) @t @Fn1;`1; ~p1;n2;`2; ~p2;~q(t) @t [a+ h an2;`2; ~p2b~q; H] i

Mét c¸ch t­¬ng tù chóng ta thu ®­îc:

~A(t)) ~A(t)) !~q]F (t) = i["n1;`1( ~p1 "n2;`2( ~p2 @F (t) @t e c ¡ ¡

t + i

n3;`3;~q1 X

29

¡

¡

+ i )b~q e c ¡ C~q1 ¡ In1;`1;n3;`3(~q) a+ n3;`3; ~p1+ ~q1 h an2;`2; ~p2(b ~q1 + b+ ~q1 ¡ h

�2.14)

t

~q1

¡

a+ n1;`1; ~p1an3;`3 ; ~p2 In2;`2;n3;`3h ¡ ) i b~q(b ~q1 + b+ ~q1 ¡ i Gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n trªn theo ph­¬ng ph¸p biÕn ph©n, ta thu ®­îc biÓu

t

thøc cña F (t):

t2 ¡

n3;`3;~q1 X

F (t) = i )b~q C~q1 In1;`1;n3;`3(~q) a+ n3;`3; ~p1+ ~q1 h i an2;`2; ~p2(b ~q1 + b+ ~q1 ¡ Z

¡1 h In2;`2;n3;`3(~q)

~q1

t2 i

¡

t

) a+ n1;`1; ~p1an3;`3; ~p2 h £ b~q(b ~q1 + b+ ~q1 ¡

¡1

exp !~q](t t2) (~p1 i ~p2) ~A(t1)dt1 dt2 i["n1;`1( ~p1) "n2;`2( ~p2) ie mc ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ Z n o �2.15)

Thay (2.15)vµo (2.12) ta cã:

n3;`3;~q1 X

n0;`0;~q X t

~q

i = C~q1 C~qIn;`;n0;`0(~q) @nn;`;~p(t) @t

t2

¡1 h In0;`0;n3;`3(~q1)

b~q In;`;n3;`3(~q) a+ n3;`3;~p+~q1 an0;`0;~p ¡ b~q1 + b+ ~q1 ¡ £ ( Z E ´

t

t2

D a+ ~q1b~q n;`;~pan3;`3;~p ~q ¡ ¡ ¡ i ³ i t exp "n;`;~p !~q dt2 + t2 D "n0;`0;~p ~q ¡ ³ b~q1 + b+ ~q1 t2 ¡ ´E ie ~p: ~A(t1)dt1 mc ¡ ¡ £ ¡ ¡ h ³ t i

t2

¡1 h ¡

b + In0;`;n3;`3(~q1) ´ ´³ a+ n;`;~pan3;`3;~p ¡ ¡ Z ´E In0;`0;n3;`3(~q1) D a+ ~q1b~q n;`;~pan3;`3;~p ~q ¡ ¡

~q

t2 i ´E ~p: ~A(t1)dt1

¡

t2

! i (t exp D "n;`;~p dt2 ³ t2) "n0;`0;~p ~q ¡ Z ~q1b+ ~q1 + b+ ~q ~q ~q1 ¡ ¡ ¡ ³ b~q1 + b+ ~q1 ¡ t ie mc ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ Z ´ i h ³ t

t2

¡1 h In;`;n3;`3(~q1)

t2 i ~p: ~A(t1)dt1

~q1b~q(b~q1 + b+ a+ n0;`0;~p+~qan3;`3;~p ~q1 ¡ ¡ t ie mc

t2

t

)b~q In0;`0;n3;`3(~q1) a+ n3;`3;~p+~q+~q1 ¡ an;`;~p(b~q1 + b+ ~q1 ¡ Z D E ) ¡ E t i exp !~q D "n;`;~p dt2 t2 "n0;`0;~p+~q ¡ ¡ ¡ ¡ £ ´ h ³

t2

~q(b ¡

¡1 h

30

¡

¡

+ ´³ In;`;n3;`3(~q1) Z n0;`0;~p+~qan3;`3;~pb+ a+ i ~q1 + b+ ) ~q1 ¡ ¡ ¡ Z E D

~q1

~q1 + b+ ~q1

t2

¡

t

) a+ n3;`3;~p+~q an;`;~pb~q(b ¡ £ E

~q)(t

¡

t2

! exp + In0;`0;n3;`3(~q1) D i("n;`;~p ~p: ~A(t1)dt1 dt2 t2) "n0;`0;~p+~q i ie mc ¡ ¡ ¡ ¡ £ ¡ Z h i ) �2.16)

t

t

2

2

Thùc hiÖn mét sè phÐp chuyÓn ®æi ta cã thÓ viÕt l¹i nh­ sau:

¡1

n0;`0;~q X

= dt2 exp ~p: ~A(t1)dt1 @nn;`;~k(t) @t ie mc C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j ¡ £ Z

¡1 nn;`;~p(t2)(N~q + 1)] exp

h i("n;`;~p !~q)(t i t2) ¡ ¡

~q(t2)N~q [nn0;`0;~p ¡ ¡ n + [nn0;`0;~p ~q(t2)(N~q + 1) ¡

i t2) h nn;`;~p(t2)N~q] exp i("n;`;~p ¡ ¡ i Z "n0;`0;~p ~q ¡ ¡ ~q + !~q)(t "n0;`0;~p ¡ "n;`;~p !~q)(t [nn;`;~p(t2)N~q t2) nn0;`0;~p+~q(t2)(N~q + 1)] exp ¡ ¡ i ¡ "n;`;~p+!~q)(t +[nn;`;~p(t2)(N~q +1) nn0;`0;~p+~q(t2)N~q] exp ¡ ¡ ¡ ¡ h i("n0;`0;~p+~q h i("n0;`0;~p+~q h ¡ t2) io�2.17)

1

�2.18)

Sö dông biÓu thøc cña thÕ vect¬ ~A(t) vµ c«ng thøc chuyÓn ®æi hµm Bessel

s= X ¡1 ta thu ®­îc biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong d©y

exp(izsin') = Js(z) exp f is' g

2

2 1

l­îng tö

k;s=

¡1

= Jk( @nn;`;~k(t) @t e ~E0~q m­2 )Js( e ~E0~q m­2 ) C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j £

t

n0;`0;~q X i(k

X

~q(t0)N~q [nn0;`0;~p ¡

exp s)­ nn;`;~p(t0)(N~q + 1)] £ f¡ ¡ g ¡ £

~q

~q(t0)(N~q +1) +[nn0;`0;~p ¡

31

¡

¡

exp t0) i("n;`;~p nn;`;~p(t0)N~q] £ ¡ Z ¡1 n !~q)(t ¡ ¡ £ h i exp t0) i("n;`;~p +[nn;`;~p(t0)N~q nn0;`0;~p+~q(t0)(N~q +1)] £ ¡ ¡ £ i exp t0) "n0;`0;~p ¡ ¡ ~q +!~q)(t "n0;`0;~p ¡ "n;`;~p !~q)(t +[nn;`;~p(t0)(N~q +1) nn0;`0;~p+~q(t0)N~q] £ ¡ ¡ ¡ h i("n0;`0;~p+~q h £ �2.19) exp t0) dt0 ¡ "n;`;~p + !~q)(t £ ¡ ¡ ¡ i i("n0;`0;~p+~q h io

trong ®ã Jk(x) lµ hµm Bessel, m lµ khèi l­îng hiÖu dông cña ®iÖn tö, N~q lµ hµm ph©n bè kh«ng phô thuéc thêi gian cña phonon, vµ ± lµ ®¹i l­îng v«

cïng bÐ xuÊt hiÖn do gi¶ thiÕt ®o¹n nhiÖt khi cã sù t­¬ng t¸c víi sãng ®iÖn

tõ. L­u ý r»ng trong biÓu thøc (2.19) chóng ta ®· thay t2 b»ng t0.

2.2.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

T­¬ng tù víi tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, ®Ó thu ®­îc biÓu

thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng

tö chóng ta b¾t ®Çu tõ ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho to¸n tö sè h¹t ®iÖn tö

t ta cã:

�2.20)

trong d©y l­îng tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng n°;~p(t) = a+ °;~pa°;~p h i

°;~pa°;~p; H]

t i

i = @n°;~p(t) @t [a+ h

Sö dông Hamiltonian (2.9) vµ c¸c phÐp biÕn ®æi to¸n tö ta ®­îc:

~q;°;~p;

~q;~q(t) + F ¤°0;~p C~qIn;`;n0;`0(~q)JN;N 0(u)[F°;~p;°0;~p ¡ ¡

~q(t) ¡

°0;~q X

�2.21)

i = @n°;~p(t) @t

~q(t)] F ¤°;~p;°0;~p+~q; ¡

F°0;~p+~q;°;~p;~q(t) ¡ ¡

trong ®ã

t = F (t) i

F°1; ~p1;°2; ~p2;~q(t) = a°2; ~p2b~q a+ °1; ~p1 h

�2.22)

§Ó t×m F (t) ta x©y dùng ph­¬ng tr×nh ®éng cho F (t) nh­ sau:

°1; ~p1

i = i = @F (t) @t @F°1; ~p1;°2; ~p2;~q(t) @t [a+ h a°2; ~p2b~q; H] t i

Mét c¸ch t­¬ng tù chóng ta thu ®­îc:

°1( ~p1

= i["H ~A(t)) ~A(t)) !~q]F (t) "H °2( ~p2 @F (t) @t e c ¡

~q1

t i

°3;~q1 X

�2.23)

+ i )b~q ¡ C~q1JN;N 0 (u) e c a+ °3; ~p1+ ~q1 h ¡ ¡ a°2; ~p2(b ~q1 + b+ ¡ ¡ In1;`1;n3;`3(~q) h

~q1

t i

32

¡

¡

) In1;`2;n1;`3(~q) a+ °1; ~p1a°3; ~p2¡ h b~q(b ~q1 + b+ ~q1 ¡ i

t

Gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n trªn theo ph­¬ng ph¸p biÕn ph©n ta thu ®­îc:

t2 + i

¡1

°3;~q1 X

t2

~q1

F (t) = i )b~q C~q1 JN;N 0 (u) a+ °3; ~p1+ ~q1 h a°2; ~p2(b ~q1 +b+ ~q1 ¡ Z

¡

t

In1;`1;n3;`3(~q) h a+ °1; ~p1a°3 ; ~p2 In1;`2;n1;`3(~q) h ) i ¡ b~q(b ~q1 + b+ ~q1 ¡

°1( ~p1)

¡1

exp i["H !~q](t t2) (~p1 £ i ~p2) ~A(t1)dt1 dt2 "H °2( ~p2) ie mc ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Z n o �2.24)

Thay vµo (2.21) ta thu ®­îc

°0;~q X t

~q

i = C~qIn;`;n0;`0(~q)JN;N 0(u) @n°;~p(t) @t C~q1 £

°3;~q1 X a+ °3;~p+~q1

t2

b~q In;`;n3;`3(~q)JN;N3(u) a°0;~p ¡ b~q1 + b+ ~q1 ¡ £ ( Z E ´

t2

¡1 h In0;`0;n3;`3(~q1)JN 0;N3(u) D

~q

t2

t

D a+ ~q1b~q °;~pa°3;~p ~q ¡ ¡ ¡ ³ t i exp ³ b~q1 + b+ ~q1 ¡ t ´E ~p: ~A(t1)dt1 i dt2 + "°;~p !~q t2 "°0;~p ¡ ie mc ¡ ¡ ¡ ¡ £ h ³

t2

b + ´³ In;`;n3;`3(~q1)JN;N3(u) ´ a+ °;~pa°3;~p ¡ ¡ Z ´E

¡1 h ¡

D a+ ~q1b~q °;~pa°3;~p ~q ¡ ¡ Z i ~q1b+ ~q1 + b+ ~q ~q ~q1 ¡ ¡ ¡ ³ b~q1 + b+ ~q1 ¡ t

t2 i ´E ~p: ~A(t1)dt1

t2

! i (t exp dt2 + "°;~p t2) In0;`0;n3;`3(~q1)JN 0;N3(u) D ~q ¡ "°0;~p ~q ¡ ³ ie mc ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ ´ h t

t2

¡1 h ¡

i )b~q 1)JN 0;N3(u) a+ °3;~p+~q+~q1 ³ In0;`0;n3;`3( ~q ¡ ¡ Z a°;~p(b~q1 + b+ ~q1 ¡ Z E ) In;`;n3;`3(~q1)JN;N3(u)

t2

D t i exp i dt2 + "°;~p !~q t2 D ~q1b~q(b~q1 + b+ a+ °0;~p+~qa°3;~p ~q1 ¡ t2 ¡ t E ie ~p: ~A(t1)dt1 mc ¡ ¡ ¡ ¡ £ Z ´³ "°0;~p+~q ³ h t

t2

~q(b ¡

~q1

t2

¡

t

�2.25)

In;`;n3;`3(~q1)JN;N3(u) ´ °0;~p+~qa°3;~pb+ a+ ¡ ¡ E ) a°;~pb~q(b Z ¡1 h + In0;`0;n3;`3(~q1)JN 0;N3(u) D a+ °3;~p+~q i ~q1 + b+ ) ~q1 ¡ ~q1 + b+ ~q1 ¡

t2

33

¡

¡

! exp i("°;~p E ~p ~A(t1)dt1 i dt2 t2) "°0;~p+~q D ~q)(t ¡ ie mc ¡ ¡ ¡ ¡ £ ¡ ) Z h i

2

2

2

Thùc hiÖn mét sè phÐp chuyÓn ®æi ta cã thÓ viÕt l¹i nh­ sau :

°0;~q X

t

t

= JN;N 0(u) @n°;~k(t) @t C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j £

¡1

dt2 exp ¯ ¯ ~p ~A(t1)dt1 ie mc £ ¯ ¯ ¡ £ Z Z

~q(t2)N~q [n°0;~p £ ¡ n + [n°0;~p ~q(t2)(N~q + 1) ¡ + [n°;~p(t2)N~q

!~q)(t i("°;~p h ¡1 n°;~p(t2)(N~q + 1)] exp t2) ¡ ¡ ¡ i h i("°;~p n°;~p(t2)N~q] exp t2) ¡ ¡ i i "°0;~p ~q ¡ ¡ ~q + !~q)(t "°0;~p ¡ "°;~p !~q)(t t2) n°0;~p+~q(t2)(N~q + 1)] exp ¡ ¡ ¡ i ¡ "°;~p + !~q)(t + [n°;~p(t2)(N~q + 1) t2) n°0;~p+~q(t2)N~q] exp ¡ ¡ ¡ ¡ h i("°0;~p+~q h i("°0;~p+~q h io�2.26)

2 1

2

2

Sö dông biÓu thøc cña thÕ vect¬ ~A(t) vµ c«ng thøc chuyÓn ®æi hµm Bessel (2.18), thay t2 = t0 ta thu ®­îc biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n khi cã mÆt cña tõ

k;s=

¡1

= Jk( JN;N 0(u) tr­êng ngoµi @n°;~k(t) @t e ~E0~q m­2 )Js( e ~E0~q m­2 ) C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j £

°0;~q X

t

X ¯ ¯ exp i(k n°;~p(t0)(N~q + 1)] ¯ ¯ ~q(t0)N~q [n°0;~p ¡ £ f¡ s)­ g ¡ ¡ £

~q(t0)(N~q + 1)

¡1 n ¡

°;~p ¡

~q ¡ ¡ ~q + !~q)(t

°;~p ¡

¡ "H °;~p ¡

°0;~p+~q ¡

°0;~p+~q ¡

exp i("H t0) Z !~q)(t n°;~p(t0)N~q] "H °0;~p + [n°0;~p ¡ ¡ £ £ i h exp i("H t0) + [n°;~p(t0)N~q n°0;~p+~q(t0)(N~q + 1)] "H °0;~p £ ¡ ¡ £ i exp h i("H t0) !~q)(t + [n°;~p(t0)(N~q + 1) n°0;~p+~q(t0)N~q] £ h £ �2.27) ¡ exp i i("H t0) dt0 ¡ "H °;~p + !~q)(t ¡ £ io h Nh­ vËy, chóng ta thÊy r»ng, khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, ph­¬ng

tr×nh ®éng l­îng tö cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v«

h¹n xuÊt hiÖn thªm c¸c yÕu tè míi ®Æc tr­ng cho sù t­¬ng t¸c cña tõ tr­êng

34

¡

¡

lªn ®iÖn tö trong d©y l­îng tö.

2.3. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi

®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè

thÕ cao v« h¹n

2.3.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

§Ó thu ®­îc biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn

tö giam cÇm trong d©y l­îng tö, hµm ph©n bè ®iÖn tö trong d©y l­îng tö cÇn

thiÕt thu ®­îc tõ viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö, Tuy nhiªn viÖc gi¶i

chÝnh x¸c ph­¬ng tr×nh nµy lµ viÖc rÊt khã kh¨n, ®Ó ®¬n gi¶n luËn ¸n nµy sö

~q,

dông ph­¬ng ph¸p xÊp xØ gÇn ®óng nh­ sau:

~q(t0) nn;`;~p+~q, nn;`;~p ¡

nn;`;~p(t0) nn;`;~p, nn;`;~p+~q(t0) nn;`;~p ¡ ¼ ¼ ¼

ë ®©y nn;`;~p lµ hµm ph©n bè kh«ng phô thuéc thêi gian cña ®iÖn tö. §©y lµ ph­¬ng ph¸p ®· ®­îc sö dông cã hiÖu qu¶ cho bµi to¸n t­¬ng tù trong b¸n

dÉn khèi [64]. Hµm ph©n bè kh«ng cÇn b»ng thu ®­îc tõ viÖc gi¶i gÇn ®óng

il­t

xÊp xØ ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö:

2 1 j

2 j

k;l=

¡1

e¡ nn;`;~p(t) = C~q Jk Jk+l In;`;n0 ;`0 (~q) e ~E0~q m­2 e ~E0~q m­2 1 l­ ¡ j j ³ ´ X

¹nn0;`0 ;~p+~qN~q ´ ¹nn0;`0 ;~p+~q(N~q + 1) ¡ + k­ + i± k­ + i± ¡ "n;`;~p + !~q ¡ "n;`;~p !~q £(¡ ¡ ¡

�2.28)

¡ ¹nn;`;~pN~q ¹nn;`;~p(N~q + 1) + + k­ + i± "n;`;~p "n;`;~p !~q ¡ ~q + !~q ; k­ + i± ) X~q;n0 ;`0 ¹nn;`;~p(N~q + 1) "n0;`0 ;~p+~q ¡ ¹nn0 ;`0 ;~p ~q(N~q + 1) ¡ "n0;`0 ;~p ¡ ¡ ¡ ³ ¹nn;`;~pN~q "n0 ;`0;~p+~q ¡ ¹nn0 ;`0;~p ~qN~q ¡ ¡ "n0 ;`0 ;~p ~q ¡ ¡ ¡ ¡

MËt ®é dßng h¹t t¶i ë biÓu thøc (1.23) ®­îc ¸p dông cho m« h×nh d©y l­îng

�2.29)

tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n:

n;`;~p X

~p ~A(t) ~j(t) = nn;`;~p(t) e m e c ¡

¢ ¡

35

¡

¡

nn;`;~p(t) ®­îc x¸c ®Þnh ë (2.28) víi phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö vµ thõa sè h¹ng trong d©y h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n theo (1.4), (2.7) vµ (2.8).

Sö dông biÓu thøc cña hµm ph©n bè ®iÖn tö kh«ng c©n b»ng (2.28) víi

�2.30)

l­u ý r»ng

n;`;~p X

nn;`;~p = n0;

thùc hiÖn c¸c b­íc chuyÓn ®æi cÇn thiÕt chóng ta thu ®­îc biÓu thøc cña mËt

1

�2.31)

®é dßng h¹t t¶i trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n

l=1 X

~j(t) = ~jlsin(l­t) n0 ~E0cos­t + e2 mc ¡

2 1

trong ®ã

2 j

~jl = 2¼ C~q ~qJk e m 1 l­ e ~E0~q ? m­2 j In;`;n0;`0(~q) j j £ ³ ´

k= X ¡1 N~q(¹nn;`;~p

n;`;n0;`0 X ~p;~q X e ~E0~q m­2

�2.32)

l ¡ ±("n0;`0;~p+~q

+ Jk Jk+l ¹nn0;`0;~p+~q) ¡ £ ´ h : e ~E0~q m­2 £ ´i "n;`;~p + !~q k­) + [!~q £ !~q] ³ £ ³ ¡ ¡ ! ¡ n o L­u ý r»ng, ®Ó thu ®­îc biÓu thøc (2.32) chóng ta ®· sö dông phÐp gÇn ®óng

1. Trong (2.32), sè h¹ng thø hai trong dÊu N~q víi lý do N~q À fg !~q] ®­îc hiÓu lµ sè h¹ng nh­ sè h¹ng thø nhÊt nh­ng ! ¡ N~q + 1 ' víi ký hiÖu [!~q !~q. thay !~q ! ¡

Tõ biÓu thøc cña mËt ®é dßng h¹t t¶i thu ®­îc, chóng ta tÝnh to¸n hÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng

tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n theo biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ tæng qu¸t (1.22). §Æt biÓu thøc mËt ®é dßng h¹t t¶i vµo (1.22)

ta cã:

1

�2.33)

® = 8¼ cp E2 0 h

t

1 8¼ cpÂ

1

l=1 X

= sin­tcos­t + ~j(t) ~E0sin­t t = i e2n0E2 0 m­ h ~jl ~E0sin­tsinl­t i h¡ E2 0 n

T

Sö dông c¸c tÝnh chÊt cña hµm bessel vµ l­u ý c¸c tÝch ph©n:

0 Z

36

¡

¡

cos­tsin­t = 0

T

0 nÕu l > 1 sin­tsinl­t =

0 Z

1=2 nÕu l = 1 8 <

BiÓu thøc tæng qu¸t cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng :

tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n cho c¶ hai tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon

1

thu ®­îc:

2N~q

2 j

1

~q;~p X

k= X

8¼2­ ® = C~q ¹nn;`;~p In;`;n0;`0 (~q) ¹nn0 ;`0 ;~p+~q j j j ¡ £ cp E2 0 Xn;`;n0 ;`0

¡1 £ k­) + [!~q

¤ �2.34) ; "n;`;~p + !~q !~q] kJ 2 k ±("n0;`0;~p+~q eE0~q m­2 ¡ ¡ ! ¡ £ o ³ ´n trong ®ã ±(x) lµ hµm Delta-Dirac

a). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang

2

�2.35)

2 =

Trong tr­êng hîp nµy , !~q !o lµ tÇn sè cña phonon quang. HÖ sè t­¬ng ´ t¸c ®iÖn tö-phonon quang ®­îc cho bëi [49]

1

1

C~q 1 Â Cop ~q j ´ j ¡ j j e2!o 2²0q2V µ

1 Â0 ¶ vµ Â0 lÇn l­ît lµ ®é thÈm ®iÖn m«i cao trong ®ã ²0 lµ h»ng sè ®iÖn m«i,  tÇn vµ ®é thÈm ®iÖn m«i tÜnh, V lµ thÓ tÝch chuÈn hãa. BiÓu thøc cña hÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn (2.34) ®­îc viÕt l¹i cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon

quang

2

1

1

1

1 8¼2e2­kbT ® = ¹nn;`;~p ¹nn0 ;`0 ;~p+~q 1  E2 £ ¡ In;`;n0 ;`0 (~q) j j ¡ 2V ²0cp Â0 ¶ Xn;`;n0 ;`0 ;~q;~p ¤

k

0 µ eE0~q m­2

k= X ¡1

; !o] £ k­) + [!o "n;`;~p + !o ±("n0;`0;~p+~q 1 q2 kJ 2 £ ¡ ¡ ! ¡ ³ ´n o �2.36)

T­¬ng tù nh­ bµi to¸n trong b¸n dÉn khèi, trong luËn ¸n nµy chóng t«i xem

xÐt sù hÊp thô cho hai tr­êng hîp giíi h¹n, hÊp thô gÇn ng­ìng vµ xa ng­ìng

víi c¸c gÇn ®óng t­¬ng øng

HÊp thô gÇn ng­ìng

37

¡

¡

§Ó cã ®­îc sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ë gÇn ng­ìng, ®iÒu kiÖn

k­ ¹" ph¶i ®­îc tháa m·n. Víi ®iÒu kiÖn nµy biÓu thøc trong hµm !0 j ¿ ¡ j Delta-Dirac ± kh«ng thÓ bá qua sù cã mÆt cña vect¬ sãng ~p cña ®iÖn tö.

§Ó thuËn tiÖn cho viÖc tÝnh to¸n gi¶i tÝch, trong biÓu thøc hÖ sè hÊp thô phi

�2.37)

tuyÕn (2.36) chóng ta ®Æt

~p X

k­) A1 = "n;`;~p + !0 ¹nn0;`0;~p2+~q] ± ("n0;`0;~p+~q [¹nn;`;~p2 ¡ ¡ ¡

�2.38)

BiÓu thøc bªn trong hµm Delta-Dirac ®­îc viÕt l¹i

+ ­ = ­ "n;` + !0 "n;`;~p + !0 "n0;`0;~p+~q ~q m ~q2 2m ¡ ¡ ~p + "n0;`0 ¡ ¡

�2.39)

§Æt

­ A2 = "n;`) + !0 q2 2m + ("n0;`0 ¡ ¡

�2.40)

ta viÕt l¹i biÓu thøc A1

~p X

A1 = A2 + ¹nn0;`0;~p2+~q] ± ~q m [¹nn;`;~p2 ¡ ~p ¶ µ

1

�2.41)

Thùc hiÖn chuyÓn tæng thµnh tÝch ph©n

0 Z

~p X

(::::) = dp(::::); 1 2¼

1

�2.42)

vµ sö dông c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n

0 Z

i X

; f (x)±[Á(x)]dx = Á(xi) = 0; f (xi) Á0(xi) j j

chóng ta thu ®­îc biÓu thøc cña A1

exp exp exp A1 = A2 mn¤0 2¼q q2 2m + "n0;`0 ¡ ¡ mA2 2 ¡ 2kbT q2 "n;` ¡ kbT 1 ¡ kbT ´ h ³ £ ¡ ¤n ¢io�2.43)

L­u ý r»ng ®Ó thu ®­îc biÓu thøc (2.43) chóng ta ®· sö dông hµm ph©n bè

2

�2.44)

®iÖn tö ®iÖn tö kh«ng suy biÕn [2]

2

38

¡

¡

; ; víi n¤0 = ¹nn0;`0;~p+~q = n¤0 exp ¡ "n0;`0;~p+~q kbT n0(e¼) 3 V (m0kbT ) 3 ¶ µ

trong ®ã V lµ thÓ tÝch chuÈn hãa, n0 lµ mËt ®é ®iÖn tö trong d©y l­îng tö, m0 lµ khèi l­îng cña electron, vµ kb lµ h»ng sè Boltzmann.

Thay (2.43) vµo biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn (2.36) vµ khai triÓn

2

4

�2.45)

hµm Bessel trong giíi h¹n gÇn ®óng bËc hai

k X

; + = kJ 2 k e¡!E0¡!q m­2 e¡!E0¡!q 2m­2 e¡!E0¡!q 2m­2 ! Ã ! Ã ! 1 2 Ã

ta thu ®­îc:

2 1 q3

1

1

® = 1  ¡ j 1 Â0 8¼2mn¤0­e2kbT V E2 "0cp 0

2

4

¡

�2.46)

q n;`;n0;`0 X ´ X mA2 2 ¡ 2kbT q2 1 kbT

2¼

1

�2.47)

exp exp + In;`;n0;`0(~q) j e ~E0~q 2m­2 1 2 e ~E0~q 2m­2 £ "n;` ¡ kbT ³ ´ i ­) ³ exp ´nh 1 ³ + [!o ´ !o] ´h³ (!0 ¡ ! ¡ £ ¡ ´ii o h ³ ChuyÓn tæng thµnh tÝch ph©n theo c«ng thøc

0

0 Z

q X

dÁ qdq; (:::) = 1 (2¼)2 Z

vµ sö dông c«ng thøc tÝch ph©n

1

2

0 Z

exp( (1 + ax2) exp( cx2)dx = (2c + 2apbc + a) p¼ 4 b x2 ¡ ¡ 2pbc) ¡ c 3

ta thu ®­îc biÓu thøc gi¶i tÝch cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong

2

tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng

1

1

exp ® = B1 In`;n0;`0(~q) 1  ¡ j j £ 1 kbT 1 Â0 p2¼e4n¤0(kbT )3=2 ­3V 4c²0pm ( o h n ³

3e2E2 ´ Xn`;¶n;¶` 0 kbT exp ­) 1 1 + 1 + (!o + [!o !o] 8m­4 ¡ ¡ ! ¡ £ 1 kbT B1 2kbT o ih h n ¡ ¢ii ; ) �2.48)

n;`)=2mR2 + !o

n0 `0 ¡

39

¡

¡

B2 ­. ë ®©y B1 = (B2 ¡

HÊp thô xa ng­ìng

Trong tr­êng hîp nµy, hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ x¶y ra khi ®iÒu kiÖn

k­ ¹" ®­îc tháa m·n, ë ®©y ¹" lµ n¨ng l­îng trung b×nh cña mét !o j À ¡ j ®iÖn tö. Khai triÓn hµm Bessel trong giíi h¹n gÇn ®óng bËc hai theo (2.45),

sö dông c«ng thøc chuyÓn tæng thµnh tÝch ph©n (2.47) vµ hµm ph©n bè ®iÖn

tö ®iÖn tö kh«ng suy biÕn, biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

2¼

tõ ®­îc viÕt l¹i:

1

2

n;`;n0;`0

1

0 µ

0 Z

2

4

1 dq dÁ ® = 1 q 1 Â ¡ In;`;n0;`0(~q) j j

0 Z q2 2m

1 1 2 q2 2m

2¼

2¼

( cos2Á + cos4Á 1 exp[ + "n0;`0)] 4¼n0­e2kbT V E2 "0cp e ~E0~q 2m­2 Â0 ¶ X e ~E0~q 2m­2 £ ¡ ¡ 1 kbT h³ ´ o �2.49) ±( ­) in "n;` + !o + [!o !o] ³ ´ + "n0;`0 ¡ ! ¡ ¡ nh o i £ Chó ý ®Õn c¸c kÕt qu¶ tÝch ph©n

0

0 Z

1

; cos4 ÁdÁ = cos2 ÁdÁ = 1 2¼ 1 2 1 2¼ 3 8 Z chóng ta cã thÓ viÕt l¹i biÓu thøc (2.49) nh­ sau:

2

1

0 Z

¼2e4n0kbT dq q + ® = 1  V ­3m2 3 8 e2E2 0q3 4m2­4 ¡ In;`;n0;`0(~q) j j 1 Â0 "0cp h i

n;`;n0;`0 ´ X q2 [±( 2m

1 1 kbT

1 exp[ ( ­]+[!o "n;`+!0 ³ +"n0;`0)] q2 2m ¡ £ ¡ +"n0;`0¡ ¡ ! ¡ n on !o] o�2.50)

Sö dông c«ng thøc tÝch ph©n (2.42), biÓu thøc gi¶i tÝch cho hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö trong tr­êng

hîp hÊp thô xa ng­ìng thu ®­îc:

2 j

1

1

¼2e4kbT n0 ® = In;`;n0;`0(~q) 1  ¡ j ­3m²0V 1 Â0 cp ³

n;`;n0;`0 ´ X 3e2E2 0 16m­4 ("n0;`0 ¡ "n;`

�2.51)

40

¡

¡

­) 1 + "n;` + !o ¡ £ i !o + ­ exp ½hh 1 + [!o !o] ¡ ! ¡ ¡ ¡ kbT : ) h h iii

b). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m

­ nªn Trong tr­êng h­îp nµy !~q lµ tÇn sè cña phonon ©m, v× !~q ¿ trong biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn (2.34) ta cã thÓ bá qua sè h¹ng

2

�2.52)

2 = »2q=2½ÀsV

!~q. HÖ sè t­¬ng t¸c ®iÖn tö-phonnon ©m ®­îc x¸c ®Þnh viÕt [15]:

C~q j j Cac ~q j ´ j

trong ®ã V , ½, Às, vµ » lÇn l­ît lµ thÓ tÝch chuÈn hãa, mËt ®é tinh thÓ, vËn tèc sãng ©m vµ h»ng sè thÕ biÕn d¹ng. BiÓu thøc (2.34) ®­îc viÕt l¹i cho

1

2

tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m:

1

® = ¹nn;`;~p ¹nn0;`0 ;~p+~q £ In;`;n0;`0 j j ¡ cp 8¼2­»2kbT E2 0 ½À2 sV Xn;`;n0;`0

k= X ¡1 £ ±("n0;`0;~p+~q

~q;~p X eE0~q m­2

¤ k­) �2.53) "n;`;~p kJ 2 k £ ¡ ¡ ³ ´ L­u ý r»ng trong biÓu thøc (2.53) ta ®· sö dông biÓu thøc cña hµm ph©n

' kbT =Às~q. ChuyÓn tæng bè kh«ng phô thuéc thêi gian cña phonon ©m N~q thµnh tÝch ph©n theo (2.47) vµ (2.41) vµ thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n t­¬ng tù nh­

1

tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon quang vµ sö dông c«ng thøc tÝch ph©n:

0

�2.54)

x2(1 + ax2) exp( cx2)dx b x2 ¡ ¡ Z

2

; exp( 1 + 2pbc[1 + = 2pbc) f ¡ (4bc + 3pbc + 3)] g p¼ 4c 3 a 4cpbc

ta thu ®­îc biÓu thøc gi¶i tÝch cho hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi

®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n cho tr­êng

hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m:

2 D1 2kbT j

s­3V

1

0 (kbT )2

�2.55)

n;`)=2mR2

n0 `0 ¡

41

¡

¡

exp ® = D1 In;`;n0;`0(q) p2m¼e2n¤0»2(kbT )5=2 ½À2 j £ 1 2kbT 4cp o Xn;`;n0 ;`0 3e2E2 ; exp + 3 1 1 + £ ¡ ­ kbT D2 1 4(kbT )2 + n 3D1 4kbT 4m­4D1 ´i h ³ ªih B2 ­. © trong ®ã D1 = (B2 ¡ Nh­ vËy, b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö,

biÓu thøc gi¶i tÝch cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n ®· thu ®­îc cho c¶ hai

tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon. Tõ c¸c biÓu thøc thu nhËn ®­îc nµy ta

cã thÓ thÊy r»ng sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö phô

thuéc kh«ng tuyÕn tÝnh vµo c¸c tham sè cña sãng ®iÖn tõ nh­ tÇn sè, c­êng

®é, vµo nhiÖt ®é cña hÖ vµ b¸n kÝnh cña d©y l­îng tö. Sù phô thuéc nµy

sÏ ®­îc ®¸nh gi¸ vµ bµn luËn trong phÇn tÝnh sè. Mét giíi h¹n cã thÓ nhËn

®­îc tõ biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ lµ khi hÖ sè phô

thuéc bËc hai cña c­êng ®é sãng ®iÖn tiÕn ®Õn 0 th× kÕt qu¶ hÊp thô phi

tuyÕn nµy sÏ quay trë l¹i kÕt qu¶ tuyÕn tÝnh ®· ®­îc nghiªn cøu theo ph­¬ng

ph¸p Kubo-Mori më réng [15]. Kh¸c víi kÕt qu¶ nghiªn cøu cña cïng bµi

to¸n ®· ®­îc tÝnh to¸n ®èi víi b¸n dÉn khèi, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ trong d©y l­îng tö cã mÆt cña tæng theo hai chØ sè l­îng tö theo hai

ph­¬ng bÞ gíi h¹n cña d©y.

2.3.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

T­¬ng tù nh­ tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, ®Ó thu ®­îc

biÓu thøc cña hµm ph©n bè ®iÖn tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi ta sö dông

ph­¬ng ph¸p xÊp xØ gÇn ®óng nh­ sau:

~q(t0) n°;~p+~q, n°;~p ¡

~q: n°;~p ¡

n°;~p(t0) n°;~p, n°;~p+~q(t0) ¼ ¼ ¼ ë ®©y n°;~p lµ hµm ph©n bè kh«ng phô thuéc thêi gian cña ®iÖn tö. Hµm ph©n

2 1

2

2

bè cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng thu ®­îc:

n°;~p(t) = Jk Jk+l JN;N 0(u) e ~E0~q m­2 e ~E0~q m­2 1 l­ ¡ C~q j j In;`;n0;`0 j j ´ ³ ´

il­t

£

~q;°0 X ~q(N~q + 1) ¹nn0;`0 ;~p ¡ "H + !~q n0 ;`0 ;~p

k;l= X ¯ ¡1 ¯ ¹nn0;`0 ;~p + ¡ "H "H °0;~p °;~p ¡

~q ¡

42

¡

¡

³ ~qN~q ¡ + e¡ ¯ ¯ ¹n°;~pN~q k­ + i± ¹n°;~p(N~q + 1) k­ + i± !~q ( "H °;~p ¡ ¡ ¡ ¡ ~q ¡ ¡

�2.56)

¹n°;~p(N~q + 1) ¹n°;~pN~q ¹n°0;~p+~qN~q ¹n°0;~p+~q(N~q + 1)

¡ k­ + i± ¡ !~q ¡ "H °;~p + !~q ; k­ + i± ) "H °0;~p+~q ¡ ¡ "H °0;~p+~q ¡ ¡ "H °;~p ¡ ¡

MËt ®é dßng h¹t t¶i ë biÓu thøc (1.23) ®­îc ¸p dông cho m« h×nh d©y l­îng

�2.57)

tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi:

°;~p X

~p ~A(t) ~j(t) = n°;~p(t) e m e c ¡

¢ ¡

n°;~p(t) ®­îc x¸c ®Þnh ë (2.56) víi phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng theo (1.9). Sö dông biÓu thøc cña hµm ph©n bè ®iÖn tö kh«ng

c©n b»ng (2.56) víi c¸c b­íc biÕn ®æi cÇn thiÕt chóng ta thu ®­îc biÓu thøc

1

�2.58)

cña mËt ®é dßng h¹t t¶i trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n:

l=1 X

~j(t) = ~jlsin(l­t) n0 ~E0cos­t + e2 mc ¡

2 1

2

trong ®ã

2 j

k= X ¡1

°;°0 X X Jk+l

l ¡

�2.59)

~jl = 2¼ ~qJk C~q JN;N 0 (u) e m 1 l­ e ~E0~q ? m­2 j £ ³ ´ ¯ ¯ + Jk ¯ ¯ N~q(¹n°;~p ¹n°0;~p+~q) j ~p;~q e ~E0~q m­2 ¡ £ ³ h : ´ ±("H k­) + [!~q £ !~q] In;`;n0;`0(~q) j e ~E0~q m­2 £ ´i "H °;~p + !~q £ ³ °0;~p+~q ¡ ¡ ! ¡ n o §Æt biÓu thøc mËt ®é dßng h¹t t¶i vµo biÓu thøc tÝnh hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ (1.22).

1

1

�2.60)

® = 8¼ cpÂ

t +

t

1

l=1 X

= ~j(t) ~E0sin­t t = i e2n0E2 0 m­ sin­tcos­t i h ~jl ~E0sin­t i h¡ E2 0 h 8¼ cp E2 0 n o

Thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n, biÓu thøc tæng qu¸t cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n khi cã mÆt cña

43

¡

¡

tõ tr­êng ngoµi:

1

2

2

2N~q j

1

~q;~p X

k= X ¡1

8¼2­ ® = C~q kJ 2 k eE0~q m­2 In;`;n0;`0(~q) j j JN;N 0(u) j j j £ cp E2 0

°;°0 X ¹n°0;~p+~q

°0;~p+~q ¡

´ �2.61) ; ±("H ¹n°;~p ³ !~q] k­) + [!~q "H °;~p + !~q ¡ ¡ £ o £ ´ ! ¡ ¤n !o, hÖ sè t­¬ng t¸c ®iÖn tö- XÐt cho t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang, !~q phonon quang ®­îc cho bëi (2.35). BiÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

®­îc viÕt l¹i

2

2 1

°;°0;~q;~p

1

1

0 µ

k= X ¡1

1 ® = 1 Â 1 q2 k ¡ In;`;n0 ;`0 (~q) j j JN;N 0(u) j j £ 16¼3e2­kbT E2 V ²0cpÂ

°0;~p+~q ¡

; Â0 ¶ X ±("H ¹n°;~p k­) + [!o !o] J 2 k "H °;~p + !o ¹n°0;~p+~q eE0~q m­2 ¡ ! ¡ ¡ £ ³ o �2.62) ´£ ¤n

�2.63)

XÐt tr­êng hîp ®iÖn tö kh«ng suy biÕn ta cã:

¹n°;~p = n¤0exp ¡ "H °;~p kBT ¾ ½

1 2 m!c

�2.64)

Sö dông c«ng thøc chuyÓn tæng thµnh tÝch ph©n:

1 2 m!c

¡

?

~p X

(:::) = dpz = 1 2¼ m!c 2¼ Z

1

ta thu ®­îc:

2 j

2 j

1

1

k= X ¡1

8¼2e2­kBT n¤0m!c ® = ) ( In;`;n0;`0(~q) JN;N 0(u) j ¡ j £ 1 Â0 ²0cp V E2 0

°;°0 X ~q X "H ° ) kBT

�2.65)

exp( ) exp( ¡ ¡ £ £ "H °0 kBT

k­) + 1 Â e ~E0¡!q 2m­2 )2 ±("H !o !o ¡ "H °;~p + !o kJ 2 k ( 1 q2 £ £ °0;~p+~q ¡ ¡ ¤ ! ¡

¤ £ n£ ¤o H¹n chÕ gÇn ®óng bËc hai cña hµm Bessel, thùc hiÖn c¸c biÕn ®æi ta thu

®­îc:

2 j

2 j

~q

1

1

°;°0 X X

44

¡

¡

8¼2e2­kBT n¤0m!c ( ) ® = In;`;n0;`0(~q) JN;N 0(u) 1  ¡ j j £ 1 Â0 ²0cp V E2 0

4q2

2 +

) exp( ) exp( e ~E0 2m­2 ¡ ¡ £ ¡ £ "H ° kBT "H °0 kBT

�2.66)

¢ ¡¡ k­) + !o !o "H °;~p + !o 1 2 1 ¡ q2 £ e ~E0 2m­2 ¢£ ¢ ±("H °0;~p+~q ¡ ¡ ¤ ! ¡

2¼

2¼

1

1

�2.67)

¤ £ n£ ¤o Sö dông c«ng thøc chuyÓn tæng thµnh tÝch ph©n:

?

0

0 Z

0 Z

0 Z

?

~p X

dÁ dp dÁ ; (:::) = = q ? 1 (2¼)2 1 2(2¼)2 dq2 ? Z

biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tö (2.66) ®­îc tÝnh to¸n vµ

2

2

viÕt l¹i nh­ sau:

0 V

1

1

8¼2e2­kBT n¤0m!c ® = In;`;n0;`0(~q) 1  e ~E0 2m­2 ¡ £ ²0E2 1 Â0 cp ³

°;°0 ¯ X ¯ °0;~p+~q ¡

2

exp ¢ ±("H exp k­) + ¯ ¯ "H °;~p + !o ¡ £ ¡ ´¡ "H °0 kBT "H ° kBT ´ ³ 2¼ ³

0 Z

0 Z

dÁ ¤ 2q2 + 1 + h !o !o JN;N 0(u) ¡ 1 2(2¼)2 1 2 ¡ e ~E0 2m­2 ´in£ 1 dq2 ? j j ! ¡ ³ £ ¤o ¢ ¡ ´ �2.68)

2¼

1

XÐt tÝch ph©n:

2 =

2 1 q2

dÁ dq2 A = JN;N 0(u)

2

1

0 Z =

e ~E0~q 2m­2 ³ 2¼ ´

0 Z eE0 2m­2

cq2 a2 ?

2 2 a2 c

1

�2.69)

0 Z =

cq2 a2 ? 1 2

1

?

cos2ÁdÁ ) = ¯ ¯ JNN 0( 1 2 ³ ´ 1 2 ³ 2 : JNN 0 eE0 2m­2 1 2 ¯ ¯ cq2 a2 ¯ ? ´ cq2 a2 ? ¯ ¯ 0 Z ¯ 2 2¼ ¯ ¯ a2 0 c Z ´ ³ ´ ³ ³ Sö dông c«ng thøc: ´¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

~r ?ÁN (~r

cq2 a2 ?

? ¡

? ¡

0 Z

N )

N

Sgn(N 0¡ 2

j

j

N 0¡ 2

) = )ei~q ) = a2 c~p JNN 0( drÁN 0(~r a2 c~q ? a2 c~p ? 1 2

exp( = 2¡ a2 cqxqy) exp i 2 ¡ ¡ N! N 0!

�2.70)

N N 0 ¡ min(N 0;N)

? ¡ 1 4 1 2

45

¡

¡

¡ j Lj ´ Sgn(N 0 £ N )acqy + iacqx a2 cq ? ¢ cq2 a2 ? ³ £ ¡ h i ³ ´

Trong ®ã

N N

¡ ¡

j

N 0 N 0 j 0

khi N = N 0 6 Sgn(N 0 N) = ¡ khi N = N 0 8 <

N

N )

Ta thu ®­îc:

1

¡

N 0 j

¡

j

2 2¼ a2 c

j

�2.71)

cq2 a2 ? cq2 a2 ?

cq2 a2 ? ´ 1 cq2 a2 2 ?

0 Z cq2 a2 ?

: Sgn(N 0 exp A = eE0 2m­2 1 2 ¡ £ ³ ´ ³ Lj Lj o³ d N! N 0! ´ N N 0 ¡ min(N 0;N ) n N N 0 j ¡ min(N 0;N) 1 2 1 2 1 2 £ ³ ´ ³ ´ ³ ´ ¸p dông tÝnh trùc giao cña hµm Laguerre suy réng:

1

�2.72)

xxP LP

a (x)LP

b (x)dx =

0

khi a = b 6 e¡ khi a = b ( 0 (a+P +1) a!

2

�2.73)

Z Ta cã:

4

4

2¼

1

�2.74)

A = eE0 2m­2 2¼ a2 c µ ¶ T­¬ng tù ta cã:

2 = j

0 Z

0 Z

dÁ dq2 JN;N 0(u) e ~E0~q 2m­2 eE0 2m­2 1 q2 j ! Ã 3¼ a4 c µ ¶

Thay (2.73) vµ (2.74) vµo (2.68)ta cã:

0

2 j

c­3

c­4 E2

1

1

1 + ® = In;`;n0;`0(~q) 1  3e2 8m2a2 ¡ £ 1 Â0 ¼e4n¤0!cKBT ²0ma2 2cp ³ j ´

°;°0 ³ ´ X "H °0 kBT

°0;~p+~q ¡ +

±("H exp exp k­) + "H °;~p + !o ¡ ¡ £ ¡ "H ° kBT ´ ³ h ³ ´in£ ¤ �2.75) ¡ !o !o ! ¡

£ ¤o Tõ (2.75) ta sö dông c«ng thøc [31]:

�2.76)

°0 ¡

N;N 0

° ¡ trong ®ã °N;N 0 lµ nghÞch ®¶o thêi gian phôc håi, vµ lµ ®é réng cña møc Landau t­¬ng øng ta thu ®­îc biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

46

¡

¡

°N;N 0 ; ±("H ­) !o 1 ¼ ("H + ­ "H ° § ¡ ¼ !o)2 + °2 "H °0 ¨

®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n

khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi thu ®­îc nh­ sau:

2 j

c­3

1 1 + ® = e4n¤0!ckbT ma2 1  8a2 £ ¡ In;`;n0 `0 (~q) j 2²0cp 3e2E2 0 cm2­4 µ Â0 ¶ X°°0

1 1 2

1 !c ¡ kbT

exp exp [N + + + £ [N 0 + j + j + j n 2 n0 2 1 2 n0 2 f ¤ ] g £ f £ !c ¡ kbT

£ n j 2 A ¤ �2.77) : + ] g ¡ M ¤j j !o !o ! ¡ M ¤(­ £ (" !o + M ¤!c)2 + A# p h

¡ n0)=2 + (` `0)=2, M = N ) i N 0, vµ trong ®ã M ¤ = M + (n ¡ ¡

2 víi N0 = kbT =!o:

~q X

A = N0 j ¡ 2 C0 j 4¼2 In;`;n0 `0 (~q) j j

Nh­ vËy, b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö, hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm khi cã mÆt cña tõ tr­êng

ngoµi ®· ®­îc x¸c ®Þnh (2.77). Tõ biÓu thøc gi¶i tÝch nµy chóng ta thÊy r»ng

sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ khi cã mÆt cña tõ tr­êng chÞu ¶nh h­ëng

cña c¸c yÕu tè ®Æc tr­ng cña tõ tr­êng ngoµi nh­ tÇn sè cyclotron, chØ sè

møc Landau. §Ó thÊy râ h¬n sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn vµo

c¸c tham sè cña hÖ, biÓu thøc (2.77) sÏ ®­îc tÝnh sè vµ bµn luËn. BiÓu thøc

(2.77) còng cho thÊy r»ng nÕu cho sè h¹ng phô thuéc bËc 2 vµo c­êng ®é

®iÖn tr­êng E0 tiÕn ®Õn 0 th× kÕt qu¶ phi tuyÕn trªn sÏ trë vÒ kÕt qu¶ tuyÕn tÝnh.

2.4. KÕt qu¶ tÝnh sè vµ th¶o luËn

§Ó thÊy ®­îc t­êng minh sù phô thuéc vÒ c¶ ®Þnh tÝnh lÉn ®Þnh l­îng

cña c¸c hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong

d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n vµo c¸c tham sè cña hÖ, trong phÇn

47

¡

¡

nµy, luËn ¸n tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ tÝnh sè cã ®­îc b»ng viÖc sö dông phÇn

mÒn tÝnh sè Matlab vµ nh÷ng bµn luËn cña t¸c gi¶ tõ kÕt qu¶ nµy. D©y l­îng

tö ®­îc chän lµ GaAs=GaAsAl, ®©y lµ vËt liÖu th­êng ®­îc sö dông nhiÒu

trong tÝnh sè. C¸c sè liÖu ®­îc sö dông tÝnh sè ë b¶ng (2.1). HÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®­îc xem nh­ lµ c¸c hµm phô thuéc ®éc lËp vµo c¸c

B¶ng 2.1: C¸c th«ng sè c¬ b¶n cña d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n

Tham sè

Ký hiÖu

Gi¸ trÞ

34kg

6:006

Khèi l­îng hiÖu dông cña electron

10¡

£

VËn tèc sãng ©m

5220 m/s

me Às ½

5:3

MËt ®é tinh thÓ

»

£ 2:2

H»ng sè biÕn d¹ng

10¡

£

1:38

H»ng sè Boltzmann

103kg=m3 18 J 23 J/K

10¡

£

kb ²

H»ng sè ®iÖn m«i

12.5

Â

§é thÉm ®iÖn m«i cao tÇn

10.8

§é thÉm ®iÖn m«i tÜnh

13.1

1 Â0

tham sè nh­ b¸n kÝnh d©y R, nhiÖt ®é T cña hÖ, tÇn sè ­ vµ c­êng ®é E0 cña sãng ®iÖn tõ.

2.4.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi

a). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö -phonon ©m

H×nh 2.1 cho thÊy sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ vµo b¸n kÝnh d©y t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña c­êng ®é ®iÖn tr­êng E0. Nã cho thÊy r»ng hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn phô thuéc kh«ng tuyÕn tÝnh vµo

b¸n kÝnh d©y. Gi¸ trÞ cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ t¨ng lªn khi

b¸n kÝnh cña d©y l­îng tö gi¶m xuèng. Tuy nhiªn ®Õn mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh

cña b¸n kÝnh d©y, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i

råi gi¶m dÇn khi b¸n kÝnh d©y tiÕp tôc gi¶m. Gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña b¸n kÝnh

48

¡

¡

d©y mµ t¹i ®ã hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn cã ®­îc cùc ®¹i lµ kh¸c nhau vµ phô

H×nh 2.1: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y l­îng

tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n (t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m)

£ 106 V=m vµ 106 V =m, ®Ønh hÊp thô xuÊt hiÖn t¹i c¸c gi¸ trÞ cña b¸n kÝnh

thuéc vµo c­êng ®é ®iÖn tr­êng ngoµi. VÝ dô, víi E0 = 1:6 E0 = 3:6 d©y R 28 nm. Mét ®iÒu ®¸ng chó ý n÷a lµ hÖ sè hÊp thô £ 23 nm vµ R » » phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö cã thÓ cã ®­îc gi¸ trÞ ©m, ®ång

nghÜa víi viÖc nã cã thÓ bøc x¹ sãng ®iÖn tõ khi héi tô c¸c ®iÒu kiÖn phï

hîp. §©y lµ mét sù kh¸c biÖt râ ®èi víi b¸n dÉn khèi [64] còng nh­ hÖ hai

chiÒu nh­ hè l­îng tö [16], siªu m¹ng [19]. Tuy nhiªn nã lµ phï hîp so víi

tr­êng hîp hÊp thô tuyÕn tÝnh ®· ®­îc nghiªn cøu tr­íc ®©y b»ng ph­¬ng

ph¸p Kubo-Mori [15].

H×nh 2.2 thÓ hiÖn sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ vµo n¨ng l­îng sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n

víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña b¸n kÝnh d©y trong d©y l­îng tö (a) vµ trong

hè l­îng tö (b) [16], Tõ kÕt qu¶ tÝnh sè nµy chóng ta cã thÓ thÇy r»ng ®·

cã sù kh¸c biÖt gi÷a hÖ mét chiÒu vµ hÖ hai chiÒu. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon ©m trong d©y l­îng tö cã ®Ønh hÊp thô

mµ trong b¸n dÉn khèi [64] vµ hè l­îng tö [16] kh«ng ®­îc nh×n thÊy. HÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v«

h¹n còng lín h¬n nhiÒu so víi trong b¸n dÉn khèi vµ hè l­îng tö.

49

¡

¡

H×nh 2.3 cho thÊy r»ng, vÒ mÆt ®Þnh tÝnh, sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp

H×nh 2.2: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng photon

trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n (a), vµ trong hè l­îng tö (b)[16]

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo c­êng ®é ®iÖn tr­êng cho tr­êng hîp t¸n x¹

®iÖn tö-phonon ©m trong d©y l­îng tö vµ trong hè l­îng tö gÇn nh­ gièng

nhau. Tuy nhiªn vÒ mÆt ®Þnh l­îng, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

H×nh 2.3: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo c­êng ®é sãng ®iÖn

tõ cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö -phonon ©m trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n

(a) vµ trong hè l­îng tö (b)

trong d©y l­îng tö lín h¬n nhiÒu.

b). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö - phonon quang

50

¡

¡

H×nh 2.4 thÓ hiÖn sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

H×nh 2.4: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y l­îng

tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang (Tr­êng hîp hÊp

thô gÇn ng­ìng)

H×nh 2.5: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y l­îng tö

h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang (hÊp thô xa ng­ìng)

®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y trong tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang. Nã

cho thÊy r»ng, còng gièFng nh­ tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m, sù

phô thuéc nµy lµ phi tuyÕn vµ hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn ®¹t c¸c gi¸ trÞ cùc ®¹i

t¹i c¸c gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña b¸n kÝnh d©y vµ cã thÓ nhËn gi¸ trÞ ©m khi gi¶m

b¸n kÝnh d©y ®Õn mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh nµo ®ã. C¸c gi¸ trÞ nµy cña b¸n kÝnh

d©y phô thuéc vµo c¸c tham sè kh¸c nh­ c­êng ®é ®iÖn tr­êng, nhiÖt ®é cña

hÖ, ....

H×nh 2.5 còng thÓ hiÖn sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

51

¡

¡

®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô nh­ng ë tr­êng hîp hÊp thô xa ng­ìng,

Nã cho thÊy ®· cã sù kh¸c biÖt so víi tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng, hÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong tr­êng hîp xa ng­ìng kh«ng nhËn gi¸

H×nh 2.6: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh

trô hè thÕ cao v« h¹n vµo nhiÖt ®é cña hÖ t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña b¸n kÝnh d©y

trÞ ©m. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong tr­êng hîp xa ng­ìng bÐ h¬n rÊt nhiÒu, cì 103 lÇn so víi hÊp thô gÇn ng­ìng.

H×nh 2.6 cho thÊy sù phô thuéc m¹nh vµ phi tuyÕn cña hÖ sè hÊp

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é T cña hÖ víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau

cña b¸n kÝnh d©y. Nã còng cho thÊy r»ng hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ ® trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i t¹i

c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña nhiÖt ®é, gi¸ trÞ nµy phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña b¸n

kÝnh d©y. VÝ dô: t¹i R = 26 nn vµ R = 25 nn, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ cã ®­îc gi¸ trÞ cùc ®¹i khi nhiÖt ®é lÇn l­ît lµ T 145 K vµ » 160 K. §©y còng lµ ®iÓm kh¸c biÖt mµ trong b¸n dÉn khèi kh«ng cã ®­îc.

HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn t¨ng lªn khi nhiÖt ®é t¨ng, tuy nhiªn khi ®¹t ®­îc

gi¸ trÞ cùc ®¹i, hÖ sè hÊp thô l¹i gi¶m khi nhiÖt ®é cña hÖ tiÕp tôc t¨ng lªn.

§iÒu nµy cã thÓ ®­îc gi¶i thÝch dùa trªn hiÖu øng gi¶m kÝch th­íc, khi nhiÖt

®é t¨ng, n¨ng l­îng chuyÓn ®éng nhiÖt cña h¹t dÉn còng t¨ng lªn, ®iÒu kiÖn

52

¡

¡

À ¡ kbT dÇn bÞ vi ph¹m, dÉn ®Õn sù En ®Ó quan s¸t c¸c hiÖu øng En+1 ¶nh h­ëng cña hiÖu øng gi¶m kÝch th­íc lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn gi¶m ®i.

H×nh 2.7: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo c­êng ®é E0 cña sãng ®iÖn tõ t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña nhiÖt ®é T

H×nh 2.7 cho thÊy sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

vµo c­êng ®é E0, sù phô thuéc nµy lµ phi tuyÕn vµ kh¸c so víi tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon-©m, hÖ sè hÊp thô t¨ng khi t¨ng dÇn c­êng ®é ®iÖn

H×nh 2.8: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng photon t¹i

c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña b¸n kÝnh d©y

tr­êng, hÖ sè hÊp thô trong tr­êng hîp nµy còng lín h¬n

H×nh 2.8 cho thÊy r»ng, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®¹t gi¸ trÞ

cùc ®¹i (®Ønh hÊp thô) khi tÇn sè sãng ®iÖn tõ trïng víi tÇn sè cña phonon

53

¡

¡

quang, ­ = !o. Sù thay ®æi cña b¸n kÝnh d©y kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ cña

tÇn sè sãng ®iÖn tõ mµ t¹i ®ã hÖ sè hÊp thô ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i. §iÒu nµy

còng gièng nh­ trong b¸n dÉn khèi vµ hÖ hai chiÒu, tuy nhiªn hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn trong d©y lµ lín h¬n.

2.4.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

H×nh 2.9: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y l­îng

tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

H×nh 2.10: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é cña hÖ vµ

c­êng ®é sãng ®iÖn tõ khi cã mÆt cña tõ tr­êng

H×nh 2.9 cho thÊy r»ng, khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, sù phô thuéc cña

54

¡

¡

hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y l­îng tö ®· cã sù

thay ®æi ®¸ng kÓ so víi tr­êng hîp kh«ng cã mÆt cña tõ tr­êng. HÖ sè hÊp

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ kh«ng cã ®Ønh hÊp thô khi thay ®æi b¸n kÝnh d©y.

HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn t¨ng lªn khi b¸n kÝnh d©y gi¶m. §iÒu nµy cã thÓ

®­îc gi¶i thÝch r»ng, khi d©y l­îng tö ®­îc ®Æt trong tõ tr­êng ngoµi, phæ

n¨ng l­îng cña ®iÖn tö cã thªm sù l­îng tö hãa theo chØ sè c¸c møc Landau

N, v× vËy sù phô thuéc vµo b¸n kÝnh d©y cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn ®· cã

sù thay ®æi ®¸ng kÓ. Sù cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi còng ®· lµm thay ®æi

sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é cña hÖ

(H×nh 2.10), hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ t¨ng lªn khi nhiÖt ®é T vµ

H×nh 2.11: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng photon

khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

c­êng ®é E0 cña sãng ®iÖn tõ t¨ng.

H×nh 2.11 thÓ hiÖn sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

vµo n¨ng l­îng photon khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi. Kh¸c víi tr­êng hîp

kh«ng cã mÆt cña tõ tr­êng, ®Ønh hÊp thô nhän h¬n rÊt nhiÒu vµ hÖ sè hÊp

thô chØ cã gi¸ trÞ ®¸ng kÓ gÇn ®Ønh hÊp thô. §iÒu nµy thÓ hiÖn sù t¸c ®éng

cña tõ tr­êng lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm

trong d©y l­îng tö, khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn

tö bÞ gi¸n ®o¹n theo c¸c møc Landau, sù chuyÓn møc n¨ng l­îng cña ®iÖn

55

¡

¡

tö sau khi hÊp thô sãng ®iÖn tõ ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn ­ !o + M ¤!c = 0. ¡

H×nh 2.12: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng cyclotron

H×nh 2.12 cho thÊy sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ® vµo n¨ng l­îng cyclotron (~!c) trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n. Ta cã thÓ thÊy hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ cã nh÷ng ®Ønh

céng h­ëng nhän t¹i nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè cyclotron. HÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ chØ cã gi¸ trÞ ®¸ng kÓ ë vÞ trÝ ®Ønh céng

h­ëng nµy. §iÒu nµy cho thÊy r»ng chØ sè møc Landau mµ ®iÖn tö sau khi

hÊp thô dÞch chuyÓn ®Õn ph¶i ®­îc x¸c ®Þnh vµ ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn

­ ¡

!o + M ¤!c = 0, ®©y lµ sù kh¸c biÖt so víi b¸n dÉn khèi. Mét ®iÒu n÷a cã thÓ nhËn thÊy lµ mËt ®é c¸c ®Ønh hÊp thô dµy khi !c < ­ vµ nã th­a dÇn khi tÇn sè cyclotron !c t¨ng lªn. Nã thÓ hiÖn sù ¶nh h­ëng cña tõ tr­êng lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ, khi tõ tr­êng m¹nh lªn, sù ¶nh h­ëng

cña nã cµng lín, phæ hÊp thô cµng trë nªn gi¸n ®o¹n.

2.5. KÕt luËn ch­¬ng 2

Trong ch­¬ng nµy, b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö, biÓu

thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng

tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n ®· ®­îc thiÕt lËp. Tõ ®ã hÖ sè hÊp thô phi

56

¡

¡

tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh ®· thu ®­îc cho c¶ hai tr­êng hîp v¾ng mÆt vµ cã

mÆt cña tõ tr­êng. Trong ®ã, víi tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng, hai c¬

chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m vµ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang ®· ®­îc ®­îc

xem xÐt. C¸c biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi

®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô cho thÊy sù phô thuéc cña hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo c¸c tham sè nh­ nhiÖt ®é T cña hÖ,

c­êng ®é E0 vµ tÇn sè ­ cña sãng ®iÖn tõ vµ b¸n kÝnh R cña d©y l­îng tö

h×nh trô lµ kh«ng tuyÕn tÝnh. §ång thêi nã còng cã nh÷ng kh¸c biÖt so víi

b¸n dÉn khèi còng nh­ hÖ hai chiÒu. BiÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ m¹nh khi cã mÆt cña tõ tr­êng trong d©y l­îng tö h×nh trô hè

thÕ cao v« h¹n khi cã mÆt cña tõ tr­êng cã sù tham gia cña c¸c tham sè ®Æc

tr­ng cña tõ tr­êng nh­ tÇn sè cyclotron !c, c¸c chØ sè møc Landau N , N 0. §iÒu nµy cho thÊy cã sù t¸c ®éng m¹nh mÏ cña tõ tr­êng lªn hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong d©y l­îng tö.

C¸c biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®· ®­îc ¸p dông

tÝnh sè cho d©y l­îng tö GaAs=GaAsAl, ®©y lµ vËt liÖu th­êng ®­îc sö

dông tÝnh sè bëi c¸c nghiªn cøu tr­íc ®ã. KÕt qu¶ tÝnh sè cho thÊy r»ng hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong d©y l­îng tö lín h¬n nhiÒu so

víi b¸n dÉn khèi còng nh­ hÖ hai chiÒu ®ång thêi cã sù kh¸c biÖt míi so víi

c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu tr­íc ®ã. VÝ dô: Trong sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp

thô phi tuyÕn vµo nhiÖt ®é cña hÖ, c¸c nghiªn cøu tr­íc ®ã ®èi víi b¸n dÉn

khèi còng nh­ hÖ thÊp chiÒu cho thÊy hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

t¨ng lªn khi nhiÖt ®é cña hÖ t¨ng. Tuy nhiªn trong ch­¬ng nµy ta thÊy r»ng

hÖ sè hÊp thô chØ t¨ng lªn ®Õn mét gi¸ trÞ cùc ®¹i nµo ®ã t­¬ng øng víi mét

nhiÖt ®é x¸c ®Þnh, nÕu tiÕp tôc t¨ng nhiÖt ®é, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ m¹nh l¹i gi¶m xuèng. §iÒu nµy cã thÓ ®­îc lý gi¶i r»ng ë nhiÖt ®é

cao ®iÒu kiÖn ®Ó quan s¸t c¸c hiÖu øng gi¶m kÝch th­íc kh«ng ®­îc tháa

m·n. Sù t¸c ®éng cña hiÖu øng gi¶m kÝch th­íc lªn sù hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ m¹nh trong d©y l­îng tö gi¶m ®¸ng kÓ. KÕt qu¶ tÝnh sè còng

cho thÊy r»ng hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn

57

¡

¡

tö-phonon quang lín h¬n nhiÒu so víi t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m. Sù hÊp thô

gÇn ng­ìng lín h¬n rÊt nhiÒu so víi sù hÊp thô xa ng­ìng, ®Æc biÖt khi tÇn

sè sãng ®iÖn tõ m¹nh trïng víi tÇn sè cña phonon quang, hÖ sè hÊp thô phi

tuyÕn sãng ®iÖn tõ cã ®­îc gi¸ trÞ cùc ®¹i.

Khi cã sù tham gia cña tõ tr­êng ngoµi, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ cã sù thay ®æi ®¸ng kÓ do t¸c ®éng m¹nh mÏ cña tõ tr­êng lªn phæ

n¨ng l­îng cña ®iÖn tö giam cÇm. Phæ hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh

trë nªn gi¸n ®o¹n râ rÖt bao gåm c¸c ®Ønh hÊp thô rÊt nhän vµ gi¸n ®o¹n.

Sù gi¸n ®o¹n nµy cµng lín khi tÇn sè cyclotron !c cña tõ tr­êng t¨ng lªn. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh khi cã mÆt cña tõ tr­êng còng

58

¡

¡

lín h¬n.

Ch­¬ng 3

HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm

trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol

Trong ch­¬ng nµy bµi to¸n hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö

giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol ®­îc nghiªn cøu víi

môc ®Ých thu nhËn nh÷ng kÕt qu¶ vÒ sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô víi hè thÕ parabol vµo c¸c tham

sè cña hÖ nh­ nhiÖt ®é, c­êng ®é vµ tÇn sè sãng ®iÖn tõ, tÇn sè cyclotron,

b¸n kÝnh d©y l­îng tö vµ tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ, tõ ®ã ®¸nh gi¸ sù ¶nh

h­ëng cña hè thÕ giam cÇm tõ viÖc so s¸nh víi kÕt qu¶ thu ®­îc trong d©y

l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n ®· ®­îc nghiªn cøu ë ch­¬ng 2.

3.1. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong d©y l­îng

tö hè thÕ parabol

3.1.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng

M« h×nh d©y l­îng tö h×nh trô víi hè thÕ parabol ®èi xøng nh­ (1.10).

Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng ®­îc x¸c ®Þnh trong (1.11) vµ (1.12). Bá qua

59

¡

¡

t­¬ng t¸c cña c¸c h¹t cïng lo¹i, Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong

d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol ®­îc viÕt nh­ sau:

n;`;~p an;`;~p +

n;`;~p X +

~A(t)) a+ H = "n;`(~p e c ¡

~q b~q +

~q) �3.1)

n;`;~p+~q an0;`;~p (b~q + b+

¡

n;`;n0;`0;~p;~q X

!~q b+ C~qIn;`;¶n;¶`(~q)a+

e c

~q X trong ®ã "n;`(~p ~E0cos(­t), In;`;n0;`0(~q) lµ thõa sè d¹ng ®­îc x¸c ®inh: c ­

R

�3.2)

~A(t)) ®­îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc (1.12), ~A(t) = ¡

0 Z

(r)rdr; In;`;n0 `0 (~q) = Ãn;`(r)eiqrän0;`0 2 R2

j

r2 2a2 o

trong ®ã hµm sãng Ãn;`(r) ®­îc x¸c ®Þnh theo (1.11):

` ` jLj jn

e¡ ª = (n + 1 ao r ao r2 a2 o eikz pLs 2n! ` j )! j ³ ´ ³ ´

` jn lµ ®a thøc Laguerre tæng qu¸t.

Víi Lj

3.1.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

Gi¶ sö cã mét tõ tr­êng ®Òu ®Æt song song víi trôc cña d©y. Hamiltonian

cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong d©y l­îng tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng ®­îc viÕt

nh­ sau:

°;~p a°;~p +

~q b~q

°;~p X

�3.3)

~A(t)) a+ H = !~qb+ "H ° (~p e c ¡

~q X C~q In;`;n0 ;`0 (~q)JN;N 0(u)a+

°0;~p+~q

n;`(~p

e c

+ a°;~p (b~q + b+ ~q); ¡ X°;°0 ;~p;~q

¡

2

Trong ®ã ° vµ °0 lÇn l­ît lµ c¸c bé sè l­îng tö (N; n; `) vµ (N 0; n0; `0) cña ®iÖn tö d­íi t¸c dông cña tõ tr­êng ngoµi, N, N 0 lµ c¸c chØ sè vïng Landau ~A(t)) lµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö d­íi t¸c dông (N = 0; 1; 2; :::), "H cña sãng ®iÖn tõ víi thÕ vect¬ ~A(t) khi cã mÆt cña tõ tr­êng ®­îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc (1.15) nh­ sau:

60

¡

¡

~p ~p ~A(t) = ¡ + !1(n + 1=2) + !2(` + 1=2); "H n;` e c ~A(t) e c M ¡ ¢ ¡ ¢ ¡

y, !2

1 = ­2

2 = ­2

1=4m­x, ly =

trong ®ã !x = eBx=mc, !y = eBy=mc lµ tÇn s« cyclotron theo hai ph­¬ng x, y, !2 y + !2 x + !2 1=4m­y, vµ x, lx = M = m[1 + (!x=­y)2 + (!y=­x)2] p p

cã mÆt tõ tr­êng ngoµi b+ ~q

1

�3.4)

a+ °;~p (a°;~p) lµ to¸n tö sinh (huû) cña mét electron trong d©y l­îng tö khi (b~q) lµ to¸n tö sinh (huû) mét phonon ë tr¹ng th¸i cã vect¬ sãng ~q, !~q lµ tÇn sè cña phonon, C~q lµ hÖ sè t­¬ng t¸c ®iÖn tö-phonon, In;`;n0;`0(~q) lµ thõa sè d¹ng ®Æc tr­ng cho sù giam nhèt ®iÖn tö trong d©y l­îng tö vµ trong mét sè tr­êng hîp riªng ®­îc x¸c ®inh nh­ sau:

zl2 y)

0 Z

I0;0;0;0(qz) = (2³ + q2 e³d³ x)(2³ + q2 zl2

1

�3.5)

zl2 y zl2 x

zl2 q2

zl2 q2

0 y Z

x ¡

2 d³ (1 ³)e³ I1;0;0;0(qz) = I0;0;0;0(qz) + 2³ + q2 2³ + q2 ¡ s

1

?

�3.6)

JN;N 0 (u) lµ tÝch ph©n ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau:

pzÁN (r

?

? ¡

? ¡

q ))eiq a2 c(pz a2 cpz) JN;N 0 (u) = drÁN 0 (r ¡

?

Z ¡1 =2, r vµ ac = c=eB lÇn l­ît lµ vÞ trÝ vµ b¸n kÝnh quü ®¹o

ë ®©y u = acq2 ? cyclotron.

3.2. Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm

trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol

3.2.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi

§Ó thu ®­îc biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö

giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol chóng ta b¾t ®Çu tõ

ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho to¸n tö sè h¹t ®iÖn tö trong d©y l­îng tö

t ta cã: i

�3.7)

nn;`;~p(t) = a+ n;`;~pan;`;~p h

n;`;~pan;`;~p; H]

t i

61

¡

¡

i = @nn;`;~p(t) @t [a+ h

Sö dông Hamiltonian (3.1)vµ c¸c phÐp biÕn ®æi to¸n tö ta ®­îc:

~q;n;`;~p;

~q(t)

~q;~q(t) + F ¤n0;`0;~p C~qIn;`;n0;`0(~q)[Fn;`;~p;n0;`0;~p ¡ ¡

¡

n0;`0;~q X

�3.8)

i = @nn;`;~p(t) @t

~q(t)] F ¤n;`;~p;n0;`0;~p+~q; ¡

Fn0;`0;~p+~q;n;`;~p;~q(t) ¡ ¡

t = F (t)

trong ®ã

Fn1;`1; ~p1;n2;`2; ~p2;~q(t) = an2;`2; ~p2b~q a+ n1;`1; ~p1 h i

�3.9)

§Ó t×m F (t) ta x©y dùng ph­¬ng tr×nh ®éng cho F (t) nh­ sau:

n1;`1; ~p1

t i

i = i = an2;`2; ~p2b~q; H] @F (t) @t @Fn1;`1; ~p1;n2;`2; ~p2;~q(t) @t [a+ h

Mét c¸ch t­¬ng tù chóng ta thu ®­îc:

~A(t)) ~A(t)) !~q]F (t) = i["n1;`1( ~p1 "n2;`2( ~p2 @F (t) @t e c ¡

t i

n3;`3;~q1 X

�3.10)

+ i )b~q C~q1 ¡ ¡ In1;`1;n3;`3(~q) a+ n3;`3; ~p1+ ~q1 h ¡ e c ¡ an2;`2; ~p2(b ~q1 + b+ ~q1 ¡ h

~q1

t i

) In2;`2;n3;`3h a+ n1;`1; ~p1an3;`3; ~p2¡ b~q(b ~q1 + b+ ~q1 ¡ i Gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n trªn theo ph­¬ng ph¸p biÕn ph©n vµ sö dông gi¶

t

thiÕt ®o¹n nhiÖt, ta thu ®­îc biÓu thøc cña F (t) :

t2 ¡

¡1 h

F (t) = i )b~q C~q1 In1;`1;n3;`3(~q) a+ n3;`3; ~p1+ ~q1 h i an2;`2; ~p2(b ~q1 + b+ ~q1 ¡ Z

n3;`3;~q1 X In2;`2;n3;`3(~q)

t2

~q1

¡

t i

~p2 2 exp + i[ a+ n1;`1; ~p1an3;`3 ; ~p2 h ) i £ b~q(b ~q1 + b+ ~q1 ¡

¡1

~p2 1 ¡ 2m n ~p2) ~A(t1)dt1 (~p1 dt2 2n1 2n2 + `2 t2) !~q](t + !¤0 ie mc ¡ ¡ `1 j j ¡ j ¡ ¡ ¡ Z j ¢ ¡ o �3.11)

t

t

2

2

Thay(3.11)vµo (3.8) ta cã vµ thùc hiÖn mét sè phÐp chuyÓn ®æi ta thu ®­îc:

¡1

n0;`0;~q X

= dt2 exp ~p ~A(t1)dt1 @nn;`;~p(t) @t ie mc C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j ¡ £ Z i

62

¡

¡

nn;`;~p(t2)(N~q + 1)] Z h ¡1 ~q(t2)N~q [nn0;`0;~p ¡ ¡ £ n

~p2 ~q)2 i exp ) (t 2n0 + `0 ¡ ¡ !~q t2) + !¤0(2n £ ¡ j ¡ h i ¡ ` j ¡ j ¡ j nn;`;~p(t2)N~q]

�3.12)

~p2 i exp (t ¡ 2n0 + `0 t2) ¡ ¡ + !¤0(2n (~p 2m + [nn0;`0;~p ~q(t2)(N~q + 1) ¡ ~q)2 (~p 2m £ ¡ ` j ¡ j ¡ j h i ¡ ¢ [nn;`;~p(t2)N~q ¢ £ ) + !~q j nn0;`0;~p+~q(t2)(N~q + 1)] ¡ ~p2 i (t 2n + exp `0 !~q t2) ¡ + !¤0(2n0 (~p + ~q)2 2m ¡ ¡ ` j ¡ j j ¡ £ i h ¢ ¡ + [nn;`;~p(t2)(N~q + 1) £ ) j nn0;`0;~p+~q(t2)N~q] £ ~p2 i exp ¡ 2n + (t ¡ ) + !~q t2) + !¤0(2n0 (~p + ~q)2 2m j ¡ j ¡ `0 j ` j ¡ h io ¡ ¢

£ Sö dông biÓu thøc cña thÕ vect¬ ~A(t) vµ c«ng thøc chuyÓn ®æi hµm Bessel ta thu ®­îc biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong d©y

2

2 1

l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol

k;s=

¡1

= Jk( @nn;`;~p(t) @t e ~E0~q m­2 )Js( e ~E0~q m­2 ) C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j £

t

n0;`0;~q X i(k

X

~q(t0)N~q [nn0;`0;~p ¡

s)­ exp nn;`;~p(t0)(N~q + 1)] £ f¡ ¡ £

¡1 n + !¤0(2n

~p2 g Z ~q)2 i ` (t exp ) + 2n0 + `0 t0) !~q ¡ ¡ ¡ £ ¡ j j h i ¢ ¡ j ¡ j ¡ nn;`;~p(t0)N~q]

~p2 ¡ (~p 2m + [nn0;`0;~p ~q(t0)(N~q + 1) ¡ ~q)2 i exp + (t ¡ 2n0 + `0 t0) ¡ ¡ + !¤0(2n (~p 2m £ ` j ¡ j ¡ £ ) + !~q j ¡ h ³ i ¢ j nn0;`0;~p+~q(t0)(N~q + 1)]

�3.13)

+ [nn;`;~p(t0)N~q ~p2 i exp 2n + ) + (t `0 t0) ¡ £ !~q ¡ + !¤0(2n0 £ ¡ j j ¡ j ` j ¡ h i ¡ ¢ ¡ nn0;`0;~p+~q(t0)N~q] ¡ (~p + ~q)2 2m + [nn;`;~p(t0)(N~q + 1) ~p2 i ` exp (t 2n + t0) dt0 `0 ¡ + !¤0(2n0 (~p + ~q)2 2m £ ¡ ¡ £ ) + !~q j j j ¡ j h io ¡ ¢

63

¡

¡

L­u ý r»ng trong biÓu thøc (3.13) chóng ta ®· thay t2 = t0

3.2.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

T­¬ng tù víi tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, ®Ó thu ®­îc

biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y

l­îng tö chóng ta b¾t ®Çu tõ ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho to¸n tö sè h¹t

®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol khi cã mÆt cña tõ tr­êng

t ta cã: i

�3.14)

n°;~p(t) = a+ °;~pa°;~p h

°;~pa°;~p; H]

t i

i = @n°;~p(t) @t [a+ h

Sö dông Hamiltonian (4.3) vµ c¸c phÐp tÝnh gi¶i tÝch t­¬ng tù ta thu ®­îc

biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong d©y l­îng tö

2 1

2

2

h×nh trô hè thÕ parabol khi cã mÆt cña tõ tr­êng:

k;s=

¡1

= Jk( JN;N 0(u) @n°;~k(t) @t e ~E0~q m­2 )Js( e ~E0~q m­2 ) C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j £

°0;~q X

t

X ¯ ¯ exp i(k n°;~p(t0)(N~q + 1)] ¯ ¯ ~q(t0)N~q [n°0;~p ¡ £ f¡ s)­ g ¡ ¡ £

~q(t0)(N~q + 1)

¡1 n ¡

~q + !~q)(t

exp t0) n°;~p(t0)N~q] i("°;~p Z !~q)(t + [n°0;~p ¡ ¡ ¡ ¡ £ £ i h exp t0) i("°;~p + [n°;~p(t0)N~q n°0;~p+~q(t0)(N~q + 1)] £ ¡ ¡ £ i exp t0) "°0;~p ~q ¡ "°0;~p ¡ "°;~p !~q)(t + [n°;~p(t0)(N~q + 1) n°0;~p+~q(t0)N~q] ¡ ¡ ¡ £ ¡ h i("°0;~p+~q h £ �3.15) ¡ exp t0) dt0 "°;~p + !~q)(t i i("°0;~p+~q £ ¡ ¡ h io Sö dông phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ

parabol khi cã mÆt cña tõ tr­êng (1.15) ta viÕt l¹i ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng

2 1

2

2

tö:

k;s=

¡1

°0;~q X

= Jk( JN;N 0(u) @n°;~k(t) @t e ~E0~q m­2 )Js( e ~E0~q m­2 ) C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j £

t

¡1 n

X ¯ ¯ exp i(k n°;~p(t0)(N~q + 1)] ¯ ¯ ~q(t0)N~q [n°0;~p ¡ f¡ ¡ £ ¡ £

64

¡

¡

~p2 s)­ g Z ~q)2 i exp (t + `0) t0) !~q + !1(n n0) + !2(` ¡ ¡ (~p M £ ¡ ¡ ¡ ¡ h i ¡ ¢

~q(t0)(N~q + 1) + [n°0;~p ¡

n°;~p(t0)N~q]

�3.16)

~p2 ¡ ~q)2 i exp + (t t0) ¡ ¡ `0) + !~q + !1(n £ n0) + !2(` £ ¡ ¡ h i ¡ ¢ ¡ n°0;~p+~q(t0)(N~q + 1)] ¡ £ (~p M + [n°;~p(t0)N~q ~p2 i exp `) + (t t0) ¡ !~q + !1(n0 n) + !2(`0 £ ¡ ¡ ¡ h i ¡ ¢ n°0;~p+~q(t0)N~q] ¡ (~p + ~q)2 M ¡ + [n°;~p(t0)(N~q + 1) ~p2 i exp (t t0) dt0 £ `) + !~q + !1(n0 n) + !2(`0 ¡ (~p + ~q)2 M £ ¡ ¡ ¡ h io ¡ ¢

Nh­ vËy, chóng ta thÊy r»ng, khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, ph­¬ng tr×nh

®éng l­îng tö cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol xuÊt

hiÖn thªm c¸c yÕu tè míi ®Æc tr­ng cho sù t­¬ng t¸c cña tõ tr­êng lªn ®iÖn

tö trong d©y l­îng tö.

Víi m« h×nh d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol, hai ph­¬ng tr×nh ®éng

l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm ®· ®­îc thu nhËn. Sù thay ®æi thÕ giam gi÷

®iÖn tö ®· t¸c ®éng lµm thay ®æi hµm sãng còng nh­ phæ n¨ng l­îng cña

®iÖn tö, kÕt qu¶ ®· thu ®­îc c¸c ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö còng cã sù thay

®æi.

3.3. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi

®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè

thÕ parabol

3.3.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

Tõ (3.13), ®Ó ®¬n gi¶n cho viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö nµy ta sö

~q,

dông ph­¬ng ph¸p xÊp xØ gÇn ®óng nh­ sau:

~q(t0) nn;`;~p+~q, nn;`;~p ¡

65

¡

¡

nn;`;~p(t0) nn;`;~p, nn;`;~p+~q(t0) nn;`;~p ¡ ¼ ¼ ¼ ë ®©y nn;`;~p lµ hµm ph©n bè kh«ng phô thuéc thêi gian cña ®iÖn tö. Hµm ph©n

bè kh«ng cÇn b»ng thu ®­îc tõ viÖc gi¶i gÇn ®óng xÊp xØ ph­¬ng tr×nh ®éng

l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol

il­t

khi v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi thu ®­îc:

2 j

2 1 j

k;l=

¡1

e¡ nn;`;~p(t) = C~q Jk Jk+l In;`;n0 ;`0 (~q) e ~E0~q m­2 e ~E0~q m­2 1 l­ ¡ j j ³ ´ ³ X~q;n0 ;`0

~p2 (~p + ~q)2 ¡ 2n + k­ + i± ) + !~q £ ( ¡ j ´ ¹nn0 ;`0;~p+~qN~q ` `0j ¡ j j ¡ ¡

+ ~p2 ¡ (~p + ~q)2 k­ + i± ¡ !~q ¡ ¡ ¡

¡ + ~p2 k­ + i± ¢ ~q)2 (~p ) + !~q ¡ ¡ ¡ ¡

�3.17)

¡ + ¡ ~p2 ) (~p ~q)2 !~q X ¹nn;`;~p(N~q + 1) =2m + !¤0(2n0 ¡ ¹nn;`;~pN~q ¢ ¡ =2m + !¤0(2n0 ¡ 2n + ¹nn0 ;`0 ;~p ~q(N~q + 1) ¡ =2m + !¤0(2n ¹nn0 ;`0 ;~p ~qN~q ¢ ¡ =2m + !¤0(2n ; k­ + i± ) ¹nn0;`0 ;~p+~q(N~q + 1) ` `0j ¡ j ) j j ¹nn;`;~pN~q ¡ `0j ` 2n0 + j ¡ j j ¹nn;`;~p(N~q + 1) `0j ` 2n0 + j j ¡ j ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¢

Sö dông biÓu thøc cña hµm ph©n bè ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh trô hè

thÕ parabol (3.17), thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n t­¬ng tù trong d©y h×nh trô hè thÕ

cao v« h¹n, biÓu thøc tæng qu¸t cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol cho c¶ hai tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn

1

tö-phonon thu ®­îc:

2N~q

2 j

~q;~p X

8¼2­ ® = C~q ¹nn;`;~p In;`;n0;`0 (~q) ¹nn0 ;`0 ;~p+~q j j j ¡ £ cp E2 0

k= X 2n +

¡1 £ `0

1 eE0~q m­2

` Xn;`;n0 ;`0 ± ¤ k­ kJ 2 k (~q2 + 2~p~q)=2m + !¤0(2n0 ¡ ) + !~q j ¡ j ¡ j £ ³ ´nh ¡ ¢i �3.18) ; !~q] j + [!~q ! ¡ o

a). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang

´ §èi víi tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang, h»ng sè t­¬ng t¸c C~q ®­îc !o lµ tÇn sè phonon quang. Chóng x¸c ®Þnh theo (2.35), tÇn sè phonon !~q ta xem xÐt theo hai tr­êng hîp: hÊp thô gÇn ng­ìng vµ hÊp thô xa ng­ìng.

HÊp thô gÇn ng­ìng

66

¡

¡

§Ó cã ®­îc sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ë gÇn ng­ìng, ®iÒu kiÖn

k­ ¹" ph¶i ®­îc tháa m·n. BiÓu thøc gi¶i tÝch cña hÖ sè hÊp thô phi !o j ¿ ¡ j tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol, tr­êng

hîp hÊp thô gÇn ng­ìng thu ®­îc:

2 j

1

1

exp ® = B2 In`;¶n;¶`(~q) 1  1 kbT 1 Â0 ¡ j £ p2¼e4n¤0(kbT )3=2 ­3V 4c²0pm ³ o ( h n

3e2E2 ´ Xn`;¶n;¶` 0 kbT exp 1 + ­) 1 1 + (!o + [!o !o] 8m­4 ¡ ¡ ! ¡ £ 1 kbT B2 2kbT o ih n h ¢ii ¡ ; ) �3.19)

2n + ­. ë ®©y B2 = !¤0(2n0 ¡ ` `0j ¡ j ) + !o j j ¡

HÊp thô xa ng­ìng

Trong tr­êng hîp nµy, hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ x¶y ra khi ®iÒu kiÖn

k­ ¹" ®­îc tháa m·n, biÓu thøc gi¶i tÝch cho hÖ sè hÊp thô phi !o j À ¡ j tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ

parabol trong tr­êng hîp hÊp thô xa ng­ìng thu ®­îc:

2 j

1

n;`;n0;`0 ´ X

¼2e4kbT n0 ® = In;`;n0;`0(~q) 1 Â ¡ j ­3m²0V 1 Â0 cpÂ

2n + ­) 1 + ) + !o ¡ `0 j ` j j ¡ j ¡ £

1 ³ 3e2E2 0 16m­4 (!¤0(2n0 !¤0 (2 n + + 1)

�3.20)

!o + ­ ½hh exp 1 + [!o i !o] ¡ j ¡ ! ¡ ¡ ` j kbT : ) h h iii

b). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m

­ nªn trong Trong tr­êng hîp nµy !~q lµ tÇn sè cña phonon ©m, v× !~q ¿

biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn (3.18) ta cã thÓ bá qua sè h¹ng !~q. HÖ sè t­¬ng t¸c ®iÖn tö-phonnon ©m ®­îc x¸c ®Þnh theo (2.52). T­¬ng tù

nh­ víi d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n, biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol cho tr­êng

67

¡

¡

hîp t¸n x¹ ®iÖn tö -phonon ©m thu ®­îc nh­ sau:

2

s­3V

1

exp ® = 1 p2m¼e2n¤0»2(kbT )5=2 ½À2 j ¡ £ ­ kbT 4cpÂ

�3.21)

ªi Xn;`;n0 ;`0 3e2E2 In;`;n0 ;`0j 0 (kbT )2 ; exp + 3 1 + D1 3D2 4kbT ´i o n ) h © D2 2 4(kbT )2 + ³ ­. BiÓu thøc (3.21) lµ hÖ sè hÊp 4m­4D2 `0j ¡ j j ¡ D2 1 2kbT 2kbT h ` 2n + trong ®ã D2 = !¤0(2n0 ¡ j thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ cho tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng víi c¬ chÕ

t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m.

3.3.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

T­¬ng tù nh­ tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, ®Ó thu ®­îc biÓu

thøc cña hµm ph©n bè ®iÖn tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi ta sö dông sö

dông ph­¬ng ph¸p xÊp xØ gÇn ®óng nh­ sau:

~q(t0) n°;~p+~q, n°;~p ¡

~q: n°;~p ¡

n°;~p(t0) n°;~p, n°;~p+~q(t0) ¼ ¼ ¼

ë ®©y n°;~p lµ hµm ph©n bè kh«ng phô thuéc thêi gian cña ®iÖn tö. Hµm ph©n bè cña ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol khi cã mÆt cña tõ

tr­êng ®­îc thay lÇn l­ît vµo biÓu thøc cña mËt ®é dßng h¹t t¶i (1.23) vµ hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ (1.22), thùc hiÖn tÝnh to¸n, biÓu thøc tæng

qu¸t cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô

1

hè thÕ parabol khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi nh­ sau:

2

2

2N~q j

1

~q;~p X

k= X ¡1

8¼2­ ® = C~q kJ 2 k eE0~q m­2 In;`;n0;`0(~q) j j JN;N 0(u) j j j £ cp E2 0

°;°0 X ¹n°0;~p+~q

°0;~p+~q ¡

´ �3.22) ; ±("H ¹n°;~p k­) + [!~q ³ !~q] "H °;~p + !~q ¡ ¡ £

¤n £ ! ¡ o !o . HÖ sè t­¬ng ´ XÐt cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang , !~q t¸c ®iÖn tö-phonon quang ®­îc cho bëi (2.35). BiÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn ®­îc viÕt l¹i cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon quang

2

2 1

°;°0;~q;~p

1

1

0 µ

k= X ¡1

68

¡

¡

1 ® = 1  1 q2 k ¡ In;`;n0 ;`0 (~q) j j JN;N 0(u) j j £ 16¼3e2­kbT E2 V ²0cp Â0 ¶ X

°0;~p+~q ¡

; ±("H ¹n°;~p k­) + [!o !o] J 2 k "H °;~p + !o ¹n°0;~p+~q eE0~q m­2 £ ¡ ¡ ! ¡ ³ o �3.23) ´£ ¤n

1

XÐt tr­êng hîp ®iÖn tö kh«ng suy biÕn víi ¹n°;~p ®­îc x¸c ®inh theo (2.63), sö dông c«ng thøc chuyÓn tæng thµnh tÝch ph©n (2.64) ta thu ®­îc:

2

2

~q

1

1

k= X ¡1

8¼2e2­kBT n¤0m!c ) ( ® = ¡ j JN;N 0j j £ 1 Â0 ²0cp V E2 0

°;°0 X X "H ° ) kBT

�3.24)

exp( ) exp( £ ¡ ¡ £ In;`;n0;`0j "H °0 kBT

1 Â e ~E0¡!q 2m­2 )2 ±("H k­) + !o !o ¡ "H °;~p + !o kJ 2 k ( 1 q2 £ ¡ £ °0;~p+~q ¡ ¤ ! ¡

n£ ¤o ¤ £ H¹n chÕ gÇn ®óng bËc hai cña hµm Bessel vµ sö dông c«ng thøc chuyÓn tæng

2

2

thµnh tÝch ph©n (2.67) ta thu ®­îc:

1

1

°;°0 ¯ X ¯ °0 ¡

0 V "H ° kBT

2¼

1

2

8¼2e2­kBT n¤0m!c ® = In;`;n0;`0(~q) 1  e ~E0 2m­2 ¡ £ ²0E2 1 Â0 cp ³ ¯ ¯ ¢ ±("H exp k­) + exp "H ° + !o ¡ £ ¡ ¡ ¡ ´¡ "H °0 kBT

0 Z

0 Z

2q2 ´�3.25) Sö dông c«ng thøc (2.70) vµ tÝnh trùc giao cña hµm Laguerre suy réng (2.72)

³ dÁ + 1 + h !o ³ !o JN;N 0(u) ´ 1 2(2¼)2 1 2 e ~E0 ¤ 2m­2 ! ¡ j ´in£ dq2 ? j ³ £ ¤o ¢ ¡

chóng ta cã:

2

0

c­3V

c­4 E2

°;°0 ³

¼e4n0!cKBT ® = 1 + 1  3e2 8m2a2 ¡ £ In;`;n0;`0j j ²0ma2 1 Â0 2cp ´ ³

1 "H ° kBT

1 "H °0 kBT

exp ´ X ±( k­) + exp `)+!o ±(!1(n0 n)+!2(`0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ ¡ ³ ´ h ³ ´in£ £ ¤ �3.26) + !o !o

£ ¤o ! ¡ Trong (3.26) tån t¹i hµm Delta-Dirac ±(x), sö dông c«ng thøc:

�3.27)

N;N 0

69

¡

¡

`) ­) !o ±(!1(n0 ¡ ¡ § ¡ ¼ °N;N 0 ; n) + !2(`0 1 ¼ `) + ­ !o)2 + °2 ¼ (!1(n0 ¡ n) + !2(`0 ¡ ¨

trong ®ã °N;N 0 lµ nghÞch ®¶o thêi gian phôc håi, vµ lµ ®é réng cña møc Landau t­¬ng øng, ta cã:

�3.28)

`) k­) = !o ±(!1(n0 n) + !2(`0 ¡ ¡ ¡

; = M j j M(­ n)!2)2 + A A !o + M !1 + (n0 ¡ p ¨

�3.29)

` trong ®ã M = n0 ¡

2 víi N0 = kbT =!:

~q X

A = N0 j § 1 ¼ n + `0 ¡ 2 C0 j 4¼2 In;`;n0 `0 (~q) j j

Thay (3.28) vµo (3.26), hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn

tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol khi cã mÆt cña tõ

tr­êng ngoµi thu ®­îc nh­ sau:

2 j

c­3V

1

1

1 1 + ® = e4n¤0!ckbT ma2 1  8a2 ¡ In;`;n0 `0 (~q) j £ 2²0cp 3e2E2 0 cm2­4 Â0 ¶ X°°0 ¤

exp + £ [!1(n + 1=2) + !2(` + 1=2)] g f £

£ exp ¡ f [!1(n0 + 1=2) + !2(`0 + 1=2)] g £ µ 1 ¡ kbT 1 ¡ kbT

x + !2

y + !2

c , !2

2 = ­2

: ¤ + j !o !o M (­ ! ¡ £ (" `)!2)2 + A# A M j n)!1 + (`0 ¡ !o + (n0 ¡ p ¡ h ) i �3.30)

trong ®ã A ®­îc x¸c ®Þnh theo (3.29), In;`;n0;`0(~q) x¸c ®Þnh theo (3.4) vµ (3.5), 1 = ­2 !2 c , ­x vµ ­y lµ tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ theo hai ph­¬ng x vµ y, !c lµ tÇn sè cyclotron cña tõ tr­êng.

Nh­ vËy, b»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö, c¸c hÖ sè hÊp

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh

trô hè thÕ parabol cho c¶ hai tr­êng hîp v¾ng mÆt vµ cã mÆt cña tõ tr­êng

®· ®­îc thu nhËn. Tõ c¸c biÓu thøc gi¶i tÝch nµy chóng ta thÊy r»ng c¸c

70

¡

¡

biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh

trô hè thÕ parabol cã d¹ng t­¬ng tù nh­ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ

cao v« h¹n, kÕt qu¶ phi tuyÕn trªn còng sÏ trë vÒ kÕt qu¶ tuyÕn tÝnh khi

cho sè h¹ng phô thuéc bËc 2 vµo c­êng ®é ®iÖn tr­êng E0 tiÕn ®Õn 0. Tuy nhiªn ®· cã sù kh¸c biÖt c¬ b¶n trong c¸c biÓu thøc nµy, ®ã lµ sù tham gia

cña tham sè ®Æc tr­ng cña hè thÕ giam gi÷a parabol (tÇn sè hiÖu dông cña

hè thÕ) trong c¸c biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn trong d©y l­îng

tö h×nh trô parabol. §Ó thÊy râ h¬n sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi

tuyÕn vµo c¸c tham sè cña hÖ còng nh­ sù ¶nh h­ëng cña thÕ giam gi÷

®iÖn tö trong d©y l­îng tö, c¸c biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol sÏ ®­îc tÝnh sè vµ bµn luËn.

3.4. KÕt qu¶ tÝnh sè vµ th¶o luËn

§Ó thÊy ®­îc t­êng minh sù phô thuéc vÒ c¶ ®Þnh tÝnh lÉn ®Þnh l­îng

cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y

l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol, trong phÇn nµy, c¸c tÝnh to¸n sè ®­îc thùc

hiÖn cho d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol GaAs=GaAsAl. C¸c sè liÖu

tÝnh sè ®­îc cho ë b¶ng (2.1).

3.4.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi

a). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang

H×nh 3.1 cho thÊy sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña nhiÖt ®é T cña hÖ. Nã

cho thÊy r»ng, gièng nh­ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n, hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol

71

¡

¡

xuÊt hiÖn c¸c ®Ønh hÊp thô t¹i mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña b¸n kÝnh d©y. Tuy

H×nh 3.1: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y l­îng

tö trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña nhiÖt ®é T cña

hÖ, tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng

nhiªn, kh¸c víi d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n, gi¸ trÞ cña b¸n kÝnh

d©y mµ t¹i ®ã hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i kh«ng thay ®æi khi

H×nh 3.2: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè hiÖu dông !¤0 cña hè thÕ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol, tr­êng hîp hÊp thô xa ng­ìng.

nhiÖt ®é cña hÖ thay ®æi.

H×nh 3.2 cho thÊy r»ng gi¸ trÞ cña b¸n kÝnh d©y mµ ë ®ã hÖ sè hÊp thô

72

¡

¡

phi tuyÕn ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i thay ®æi khi ta thay ®æi gi¸ trÞ cña tÇn sè hiÖu 1, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn ®¹t cùc dông cña hè thÕ. VÝ dô: khi !¤0 = 1012s¡

1 1012s¡ th× hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn ®¹t cùc ®¹i ë b¸n kÝnh R = 35nm. §iÒu nµy

®¹i t¹i ë b¸n kÝnh R = 48nm vµ nÕu t¨ng tÇn sè hiÖu dông lªn 2 £

cho thÊy r»ng, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ phô thuéc m¹nh vµo tÇn

sè hiÖu dông cña hè thÕ. Mét sù kh¸c biÖt n÷a khi so s¸nh víi d©y l­îng

tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n lµ víi d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol,

hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ kh«ng nhËn gi¸ trÞ ©m khi thay ®æi

b¸n kÝnh d©y. Nh­ vËy, h×nh 3.1 vµ h×nh 3.2 cho ta thÊy r»ng hÖ sè hÊp

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol phô

thuéc m¹nh vµo c¸c tham sè cÊu tróc cña d©y nh­ b¸n kÝnh R, tÇn sè hiÖu

dông cña hè thÕ !¤0 vµ cã nh÷ng kh¸c biÖt so víi tr­êng hîp d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n. §iÒu nµy cho thÊy sù ¶nh h­ëng ®¸ng kÓ cña

H×nh 3.3: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é T cña hÖ víi

c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè sãng ®iÖn tõ ­, tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng.

thÕ giam cÇm ®iÖn tö trong d©y l­îng tö vµo sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ.

H×nh 3.3 thÓ hiÖn sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é T cña hÖ. Còng nh­ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ

cao v« h¹n, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö còng

®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i ë mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña nhiÖt ®é T , Tuy nhiªn hÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn khi ®· ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i kh«ng gi¶m nhanh khi t¨ng nhiÖt

73

¡

¡

®é cña hÖ nh­ trong d©y h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n. Nh­ vËy ®· cã sù thay

®æi vÒ mÆt ®Þnh tÝnh còng nh­ ®Þnh l­îng cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

H×nh 3.4: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng sãng ®iÖn tõ m¹nh víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ !¤0, tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng.

®iÖn tõ trong d©y l­îng tö khi sö dông c¸c thÕ giam cÇm ®iÖn tö kh¸c nhau.

H×nh 3.4 cho thÊy r»ng, vÒ mÆt ®Þnh tÝnh, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol kh«ng thay ®æi d¹ng

phô thuéc vµo n¨ng l­îng photon khi so s¸nh víi d©y l­îng tö h×nh trô hè

thÕ cao v« h¹n. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®¹t ®­îc ®Ønh hÊp thô

1, tuy nhiªn t¹i !¤0 = 1; 3

khi tÇn sè sãng ®iÖn tõ trïng víi tÇn sè phonon quang (­ = !), Tuy nhiªn,

£

vÒ mÆt ®Þnh l­îng hÖ sè hÊp thô sãng ®iÖn tõ phô thuéc m¹nh vµo tham sè 1, gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hÖ sè cÊu tróc cña hè thÕ !¤0. VÝ dô: t¹i !¤0 = 1012s¡ 12 gi¸ trÞ nµy cña hÖ sè hÊp hÊp thô lµ 1; 5m¡ 10¡ 1. §iÒu nµy cho thÊy r»ng ®· cã sù thay ®æi ®Þnh thô t¨ng ®Õn kho¶ng 3; 4m¡ l­îng cña sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ m¹nh khi thay ®æi thÕ giam cÇm ®iÖn tö

trong d©y l­îng tö.

Trong tr­êng hîp hÊp thô xa ng­ìng, h×nh 3.5 cho thÊy r»ng, sù phô

thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é cña hÖ ®· cã sù

74

¡

¡

kh¸c biÖt so víi tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

H×nh 3.5: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é T cña hÖ víi

c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè sãng ®iÖn tõ ­, tr­êng hîp hÊp thô xa ng­ìng.

sãng ®iÖn tõ t¨ng khi nhiÖt ®é cña hÖ t¨ng. Tuy nhiªn ë nhiÖt ®é cao, hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn gÇn nh­ ®­îc b·o hßa. H×nh 3.5 còng cho thÊy tÇn sè

sãng ®iÖn tõ ­ lín h¬n th× hÖ sè hÊp thô l¹i bÐ h¬n. Cã nghÜa lµ cµng xa

ng­ìng th× kh¶ n¨ng hÊp thô sãng ®iÖn tõ cµng gi¶m.

b). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m

H×nh 3.6: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng phonton t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ !¤0, tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m.

75

¡

¡

Víi tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m, h×nh 3.6 vµ 3.7 cho thÊy sù

H×nh 3.7: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y R víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ !¤0, tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m.

1 1013s¡

H×nh 3.8: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng cyclotron ~!c víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè hiÖu dông ­x cña hè thÕ t¹i ­y = 2

£

phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng photon

vµ b¸n kÝnh d©y t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ

giam cÇm !¤0. VÒ mÆt ®Þnh tÝnh, sù phô thuéc nµy gièng nh­ trong t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang. Tuy nhiªn, gi¸ trÞ ®Þnh l­îng ®· cã sù thay ®æi lín.

HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon

76

¡

¡

©m bÐ h¬n nhiÒu. TÇn sè hiÖu dông !¤0 cña hè thÕ giam gi÷ ®iÖn tö còng ¶nh h­ëng lín ®Õn sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ, khi thay ®æi tÇn sè !¤0, gi¸ trÞ cña hÖ sè hÊp thô còng thay ®æi.

3.4.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

H×nh 3.9: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng photon 1. C¸c h×nh

1013s¡

£

víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ ­x, ­y = 2 a, b, c t­¬ng øng víi c¸c kho¶ng kh¸c nhau cña n¨ng l­îng photon

H×nh 3.8 cho thÊy sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ vµo n¨ng l­îng cyclotron cña tõ tr­êng t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè

hiÖu dông cña hè thÕ ­x. Ta cã thÓ thÊy r»ng, t­¬ng tù nh­ trong d©y l­îng tö

h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong tr­êng

hîp nµy còng xuÊt hiÖn c¸c v¹ch hÊp thô t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè

77

¡

¡

cyclotron !c. Tuy nhiªn c¸c gi¸ trÞ nµy phô thuéc m¹nh vµo tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ giam gi÷ ®iÖn tö, gi¸ trÞ cña tÇn sè cyclotron !c mµ t¹i ®ã cã c¸c v¹ch hÊp thô cã thÓ dÞch chuyÓn nÕu thay ®æi tÇn sè hiÖu dông ­x cña hè thÕ.

H×nh 3.9 cho thÊy phæ hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö

giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol khi cã mÆt cña tõ tr­êng

ngoµi lµ phæ v¹ch vµ gi¸n ®o¹n theo tõng nhãm v¹ch phæ t­¬ng øng víi sù

chuyÓn møc Landau cña n¨ng l­îng ®iÖn tö, ®iÒu nµy lµ phï hîp víi kÕt qu¶

nghiªn cøu cña t¸c gi¶ G.B. Ibragimov [43] cho tr­êng hîp hÊp thô tuyÕn

tÝnh. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn còng gi¶m nhanh khi tÇn sè ­ cña sãng ®iÖn

tõ cµng t¨ng. MÆt kh¸c, h×nh 3.9 còng cho ta thÊy sù phô thuéc cña phæ

hÊp thu phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo tÇn sè hiÖu dông ­x cña hè thÕ giam gi÷ ®iÖn tö. Khi thay ®æi tÇn sè ­x, ®é réng cña c¸c nhãm v¹ch phæ hÊp thô phi tuyÕn còng thay ®æi. Cô thÓ nh­ ta nh×n thÊy ë h×nh 3.9, khi ­x t¨ng lªn

th× ®é réng cña c¸c nhãm v¹ch phæ hÊp thô gi¶m. §©y lµ kÕt qu¶ hoµn toµn

míi, ch­a ®­îc c«ng bè trong c¸c nghiªn cøu tr­íc ®©y. Nã chØ ra r»ng thÕ

giam cÇm cña ®iÖn tö cã t¸c ®éng lín ®Õn sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

trong d©y l­îng tö.

3.5. KÕt luËn ch­¬ng 3

Ch­¬ng 3 cña luËn ¸n ®· nghiªn cøu sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol. C¸c

ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö vµ c¸c biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol ®· ®­îc

tÝnh to¸n vµ thiÕt lËp. Bµi to¸n còng ®­îc xem xÐt cho c¶ hai c¬ chÕ t¸n x¹

®iÖn tö-phonon. Sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong d©y l­îng tö

h×nh trô hè thÕ parabol còng ®· ®­îc nghiªn cøu cho c¶ hai tr­êng hîp v¾ng

mÆt vµ cã mÆt cña tõ tr­êng. Bªn c¹nh viÖc kh¶o s¸t sù phô thuéc cña hÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm vµo c¸c tham sè

cña tr­êng ngoµi nh­ c­êng ®é vµ tÇn sè cña sãng ®iÖn tõ, tÇn sè cyclotron

78

¡

¡

cña tõ tr­êng, nhiÖt ®é cña hÖ, chóng t«i ®· kh¶o s¸t sù ¶nh h­ëng cña c¸c

tham sè cÊu tróc ®Æc tr­ng cña d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol lªn sù

hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ.

KÕt qu¶ tÝnh sè cho tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng cho thÊy r»ng vÒ

mÆt ®Þnh tÝnh sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh

vµo nhiÖt ®é T cña hÖ, c­êng ®é vµ tÇn sè sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö

h×nh trô hè thÕ parabol kh«ng ®æi so víi d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v«

h¹n. Tuy nhiªn, vÒ mÆt ®Þnh l­îng hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn cã sù thay ®æi

vµo phô thuéc m¹nh vµo tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ giam gi÷ ®iÖn tö. Sù

phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo b¸n kÝnh d©y còng

®· cã sù thay ®æi, kh¸c víi d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n, gi¸ trÞ

b¸n kÝnh mµ t¹i ®ã hÖ sè hÊp thô ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i kh«ng phô thuéc vµo

c¸c tham sè bªn ngoµi cÊu tróc nh­ nhiÖt ®é, c­êng ®é ®iÖn tr­êng mµ phô

thuéc vµo tÇn sè hiÖu dông cña thÕ giam gi÷ ®iÖn tö. Víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c

nhau cña tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn cã sù thay ®æi

rÊt lín vÒ ®é lín.

Khi cã sù t­¬ng t¸c víi tõ tr­êng ngoµi, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ m¹nh còng cã sù thay ®æi ®¸ng kÓ. Phæ hÊp thô lµ phæ v¹ch vµ gi¸n

®o¹n theo tõng nhãm v¹ch t­¬ng øng víi sù dÞch chuyÓn mçi møc Landau,

kÕt qu¶ nµy lµ phï hîp víi nghiªn cøu cña G.B. Ibragimov [43]. Tuy nhiªn

trong nghiªn cøu nµy chóng t«i chØ ra r»ng cã sù phô thuéc rÊt lín cña hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh vµo tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ. §é

réng cña c¸c v¹ch phæ thay ®æi khi ta thay ®æi tÇn sè hiÖu dông cña hè thÕ

giam gi÷ ®iÖn tö. §©y lµ nh÷ng kÕt qu¶ míi mµ c¸c nghiªn cøu tr­íc ®©y

79

¡

¡

ch­a thÓ hiÖn.

Ch­¬ng 4

HÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm

trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n

4.1. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong d©y l­îng

tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n

4.1.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng

Chóng ta xÐt m« h×nh d©y l­îng tö ch÷ nhËt víi hè thÕ giam gi÷ ®iÖn

tö cao v« h¹n. Hµm sãng vµ phæ n¨ng l­îng ®­îc x¸c ®Þnh trong (1.16) vµ

(1.17). Bá qua t­¬ng t¸c cña c¸c h¹t cïng lo¹i, Hamiltonian cña hÖ ®iÖn

tö-phonon trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n ®­îc viÕt nh­

sau:

n;`;~p an;`;~p +

�4.1)

n;`;~p X +

~A(t)) a+ H = "n;`(~p e c ¡

~q b~q +

n;`;~p+~q an0;`0;~p (b~q + b+

~q); ¡

~q X

n;`;n0;`0;~p;~q X

e c

!~q b+ C~qIn;`;n0;`0(~q)a+

¡

trong ®ã "n;`(~p kÝch th­íc cña d©y theo hai chiÒu bÞ giíi h¹n, a+ (huû) cña mét electron trong d©y l­îng tö, b+

80

¡

¡

~A(t)) ®­îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc (1.17), Lx vµ Ly lµ n;`;~p (an;`;~p) lµ to¸n tö sinh ~q (b~q) lµ to¸n tö sinh (huû) mét phonon ë tr¹ng th¸i cã vect¬ sãng~q, !~q lµ tÇn sè cña phonon, In;`;n0;`0(~q) lµ

thõa sè d¹ng ®­îc x¸c ®inh nh­ sau:

2)2]2 £

�4.2)

32¼4(qxLxnn0)2(1 ¡ ¡ In;`;n0;`0(~q) = [(qxLx)4 1)n+n0cos(qxLx)) n0 ¡ ( 2¼2(qxLx)2(n2 + ¶n2) + ¼4(n2 32¼4(qyLy`¶`)2(1 ¡ 1)`+¶`cos(qyLy)) ¡ ¶`2)2]2 ( ¡ 2¼2(qyLy)2(`2 + ¶`2) + ¼4(`2 [(qyLy)4 ¡ ¡

4.1.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

Chóng ta xem xÐt mét d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n

®Æt trong mét tõ tr­êng, ®Ó ®¬n gi¶n chóng ta chän mét tõ tr­êng ®Òu yÕu

®Æt song song víi trôc cña d©y. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon trong

d©y l­îng tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng ®­îc viÕt nh­ sau:

°;~p a°;~p +

~q b~q

°;~p X

�4.3)

~A(t)) a+ H = !~qb+ "H ° (~p e c ¡

~q X C~q In;`;n0 ;`0 (~q)JN;N 0(u)a+

°0;~p+~q

n;`(~p

e c

+ a°;~p (b~q + b+ ~q); ¡ X°;°0 ;~p;~q

¡ Trong ®ã ° vµ °0 lÇn l­ît lµ c¸c bé sè l­îng tö (N; n; `) vµ (N 0; n0; `0) cña ®iÖn tö d­íi t¸c dông cña tõ tr­êng ngoµi, N, N 0 lµ c¸c chØ sè vïng Landau ~A(t)) lµ phæ n¨ng l­îng cña ®iÖn tö d­íi t¸c dông (N = 0; 1; 2; :::), "H cña sãng ®iÖn tõ víi thÕ vect¬ ~A(t) khi cã mÆt cña tõ tr­êng ®­îc x¸c ®Þnh

2

theo biÓu thøc (1.19) nh­ sau:

e c 2m

~p ~A(t) ~p ~A(t) ) + ( = + ); ¡ + !c(N + "H n;` e c 1 2 ¼2 2m ¡ n2 L2 x `2 L2 y ¢ ¡ ¡

°;~p (a°;~p) lµ to¸n tö sinh (huû) cña mét ~q (b~q) lµ to¸n tö sinh (huû) mét phonon ë tr¹ng th¸i cã vect¬ sãng ~q, !~q lµ tÇn sè cña phonon, C~q lµ hÖ sè t­¬ng t¸c ®iÖn tö-phonon, In;`;n0;`0(~q) lµ thõa sè d¹ng ®Æc tr­¬ng cho sù giam nhèt ®iÖn tö trong d©y l­îng tö, víi hµm sãng ®­îc x¸c ®Þnh ë

¢ trong ®ã !c lµ tÇn sè cyclotron, a+ electron trong d©y l­îng tö khi cã mÆt tõ tr­êng ngoµi, b+

81

¡

¡

(1.18), thõa sè h¹ng cã thÓ ®­îc lÊy nh­ (4.2), JN;N 0(u) lµ tÝch ph©n ®­îc

1

?

�4.4)

x¸c ®Þnh nh­ sau:

pzÁN (r

?

? ¡

? ¡

q ))eiq a2 c(pz a2 cpz) JN;N 0 (u) = drÁN 0 (r ¡

?

Z ¡1 =2, r vµ ac = c=eB lÇn l­ît lµ vÞ trÝ vµ b¸n kÝnh quü ®¹o

ë ®©y u = acq2 ? cyclotron.

4.2. Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm

trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v«

h¹n

4.2.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi

§Ó thu ®­îc biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n chóng ta b¾t ®Çu

tõ ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho to¸n tö sè h¹t ®iÖn tö trong d©y l­îng tö

t ta cã: i

�4.5)

nn;`;~p(t) = a+ n;`;~pan;`;~p h

n;`;~pan;`;~p; H]

t i

i = @nn;`;~p(t) @t [a+ h

Thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n t­¬ng tù nh­ trong ch­¬ng 2, chóng ta thu ®­îc

biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm trong d©y

2

2 1

l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n nh­ sau:

k;s=

¡1

= Jk( @nn;`;~p(t) @t e ~E0~q m­2 )Js( e ~E0~q m­2 ) C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j £

t

n0;`0;~q X i(k

X

2

2

exp s)­ nn;`;~p(t0)(N~q + 1)] ¡ £ £

~q(t0)N~q [nn0;`0;~p ¡ n0

¡1 n ¼2 + 2m

f¡ ~p2 n2 `2 g Z ~q)2 `0 i + + (t exp t0) !~q ¡ ¡ ¡ (~p 2m ¡ ¡ £ ¡ L2 x ¡ L2 y i ´ h ³

82

¡

¡

£ ~p2 n2 `2 ¡ ~q(t0)(N~q + 1) + [nn0;`0;~p ¡ ~q)2 ¢ nn;`;~p(t0)N~q] ¡ 2 2 n0 `0 i + + + exp (t t0) + !~q ¡ ¡ (~p 2m ¼2 2m £ ¡ ¡ L2 x ¡ L2 y i h ³ ´ ¡ ¢

2

2

+ [nn;`;~p(t0)N~q nn0;`0;~p+~q(t0)(N~q + 1)]

~p2 `2 £ n2 n0 `0 i + + + (t exp t0) ¡ !~q ¡ (~p + ~q)2 2m ¼2 2m ¡ £ ¡ ¡ L2 x ¡ L2 y i ´ h ¡ ¡

�4.6)

¡ £ + [nn;`;~p(t0)(N~q + 1) 2 ~p2 `2 n0 ¢ nn0;`0;~p+~q(t0)N~q] 2 n2 `0 i + + (t exp t0) dt0 ¡ + !~q (~p + ~q)2 2m ¼2 2m ¡ £ ¡ L2 x ¡ L2 y io ´ h ¡ ¢ ¡

4.2.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

T­¬ng tù chóng ta còng cã ®­îc ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn

tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n khi cã mÆt

2 1

2

2

cña tõ tr­êng ngoµi:

k;s=

¡1

= Jk( JN;N 0(u) @n°;~k(t) @t e ~E0~q m­2 )Js( e ~E0~q m­2 ) C~q j j In;`;n0;`0(~q) j j £

°0;~q X

t

2

2

¡1 n

X ¯ ¯ exp i(k n°;~p(t0)(N~q + 1)] £ s)­ g £

n2 `2 ~p2 ¡ ~q)2 ¡ n0 `0 i (t + + exp N 0)+ t0) Z +!c(N !~q ¡ ¡ f¡ (~p 2m ¯ ¯ ~q(t0)N~q [n°0;~p ¡ ¼2 2m ¡ ¡ £ ¡ L2 x ¡ L2 y i h ¡ ¢ ¢ ¡

2

£ ~p2 ¡ n°;~p(t0)N~q] ¡ 2 `2 n2 n0 `0 i exp (t + + N 0)+ t0) +!c(N ¡ ¡ +!~q + [n°0;~p ~q(t0)(N~q + 1) ¡ ¼2 ~q)2 2m (~p 2m £ ¡ ¡ ¡ L2 x ¡ L2 y h i ¡ ¡ ¢ ¢

2

¡ £ 2 + [n°;~p(t0)N~q ~p2 n2 `2 n°0;~p+~q(t0)(N~q + 1)] 2 `0 n0 i N )+ + + exp (t t0) ¡ +!c(N 0 !~q (~p + ~q)2 2m ¼2 2m ¡ £ ¡ ¡ L2 x ¡ L2 y i h ¡ ¡ ¢ ¢

�4.7)

83

¡

¡

£ 2 + [n°;~p(t0)(N~q + 1) ~p2 n2 `2 ¡ n°0;~p+~q(t0)N~q] `0 n0 i N )+ + exp (t t0) dt0 ¡ +!c(N 0 +!~q (~p + ~q)2 2m ¡ ¼2 2m ¡ £ ¡ ¡ L2 x ¡ L2 y io h ¡ ¢ ¢ ¡

4.3. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn

tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè

thÕ cao v« h¹n

4.3.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

Tõ (4.6), ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö nµy ta sö dông ph­¬ng

~q,

ph¸p xÊp xØ gÇn ®óng nh­ sau:

~q(t0) nn;`;~p+~q, nn;`;~p ¡

nn;`;~p(t0) nn;`;~p, nn;`;~p+~q(t0) nn;`;~p ¡ ¼ ¼ ¼

ë ®©y nn;`;~p lµ hµm ph©n bè kh«ng phô thuéc thêi gian cña ®iÖn tö. Hµm ph©n bè kh«ng cÇn b»ng thu ®­îc tõ viÖc gi¶i gÇn ®óng xÊp xØ ph­¬ng tr×nh

il­t

®éng l­îng tö (4.6)

2 j

2 1 j

k;l=

¡1

2

`2

e¡ nn;`;~p(t) = C~q Jk Jk+l In;`;n0 ;`0 (~q) e ~E0~q m­2 e ~E0~q m­2 1 l­ ¡ j j ³ ´ ³ X~q;n0 ;`0

~p2 (~p + ~q)2 k­ + i± + !~q £ ( ¡ ¡

2

2

`2

+ ¡ n2 ¡ ~p2 ´ X ¹nn;`;~p(N~q + 1) ¹nn0 ;`0;~p+~qN~q ¡ 2 =2m + ¼2 n2 n0 + `0 ¡ ¡ L2 L2 2m x y ¹nn0;`0 ;~p+~q(N~q + 1) + `0 n0 k­ + i± ¡ (~p + ~q)2 ¢ !~q ¡ ¡

2

2

¡ L2 ¡ y ¹nn;`;~pN~q ¢ `0 ¡ L2 y

¡ + ~p2 ¡ + `2 k­ + i± ¢ ~q)2 (~p + !~q ¡ ¡ ¡

�4.8)

2

2

`0 ¡ L2 y

¡ + ¡ ¡ n2 ~p2 (~p ~q)2 !~q ; k­ + i± ) ¡ ¹nn;`;~pN~q ¢ ¡ =2m + ¼2 ¡ L2 2m x ¹nn0 ;`0 ;~p ~q(N~q + 1) ¡ ¡ n2 =2m + ¼2 n0 ¡ L2 2m x ~qN~q ¹nn0 ;`0 ;~p ¢ ¡ =2m + ¼2 2m ¹nn;`;~p(N~q + 1) ¢ + `2 n0 ¡ L2 x ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¢ ¡ ¢ Sö dông biÓu thøc cña hµm ph©n bè ®iÖn tö trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt

hè thÕ cao v« h¹n (4.8), thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n t­¬ng tù ch­¬ng 2, biÓu thøc

tæng qu¸t cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh ch÷

84

¡

¡

nhËt hè thÕ cao v« h¹n cho c¶ hai tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon thu ®­îc:

1

2(~q) j

2N~q j

2

k= X ¡1 £ 2 `0

1 eE0~q m­2

~q;~p X ¼2 2m

8¼2­ ® = C~q ¹nn;`;~p In;`;n0;`0 (~q) ¹nn0 ;`0 ;~p+~q j j ¡ £ cp E2 0 Xn;`;n0 ;`0 n2 `2 n0 ± + ¤ k­ (~q2 + 2~p~q)=2m + + !~q kJ 2 k ¡ £ ¡ L2 y ¡ L2 x ³ ´nh ¡ ¡ ¢i �4.9) ; + [!~q !~q] ¢ ! ¡ o

a). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang

´ §èi víi tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang, h»ng sè t­¬ng t¸c C~q !o lµ tÇn sè phonon quang. ®­îc x¸c ®Þnh theo (2.35), tÇn sè phonon !~q Trong tr­êng hîp nµy ta còng xÐt ë hai giíi h¹n: hÊp thô gÇn ng­ìng vµ hÊp

thô xa ng­ìng.

HÊp thô gÇn ng­ìng

§Ó cã ®­îc sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ë gÇn ng­ìng, ®iÒu kiÖn

k­ ¹" ph¶i ®­îc tháa m·n. BiÓu thøc gi¶i tÝch cña hÖ sè hÊp thô !0 j ¿ ¡ j phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v«

h¹n, tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng thu ®­îc:

2 j

1

1

exp ® = B1 In;`;n0;`0(~q) 1  ¡ j £ 1 kbT 1 Â0 p2¼e4n¤0(kbT )3=2 ­3V 4c²0pm ³ o ( h n

2

2

`2

n0

3e2E2 ´ Xn`;¶n;¶` 0 kbT exp ­) 1 1 + 1 + (!o + [!o !o] 8m­4 £ ¡ ! ¡ ¡ 1 kbT B1 2kbT h n o ih ¡ ¢ii ; ) �4.10)

n2 ¡ L2 x

¡ L2 y

+ `0 ­. + !o trong ®ã B1 = ¼2 2m ¡

HÊp thô xa ng­ìng

¡ ¢

Trong tr­êng hîp nµy, hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ x¶y ra khi ®iÒu kiÖn

85

¡

¡

k­ ¹" ®­îc tháa m·n, biÓu thøc gi¶i tÝch cho hÖ sè hÊp thô phi !o j À ¡ j tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt

hè thÕ cao v« h¹n trong tr­êng hîp hÊp thô xa ng­ìng thu ®­îc:

2 j

1

2

¼2e4kbT n0 ® = In;`;n0;`0(~q) 1 Â ¡ j ­3m²0V 1 Â0 cpÂ

n;`;n0;`0 ´ X 2 n0

�4.11)

n2 `2 `0 1 + + ­) + !o ¼2 2m ¡ ¡ L2 x ¡ L2 y £ ( hh i

1 ³ 3e2E2 0 16m­4 ( n2 ¼2 L2 2m x

exp 1 + ­ + !o ¢ + [!o !o] ¡ ¡ ! ¡ 1 ¡ kbT ¡ `2 L2 y : ) h h ¢ ¡

¢iii ¡ b). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m

­ nªn trong Trong tr­êng hîp nµy !~q lµ tÇn sè cña phonon ©m, v× !~q ¿

biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn (4.9) ta cã thÓ bá qua sè h¹ng !~q. HÖ sè t­¬ng t¸c ®iÖn tö-phonnon ©m ®­îc x¸c ®Þnh theo (2.52). T­¬ng tù nh­

víi d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n, biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi

tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n cho

2

tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö -phonon ©m thu ®­îc nh­ sau:

s­3V

1

exp 1 ® = In;`;n0 ;`0(~q) p2m¼e2n¤0»2(kbT )5=2 ½À2 j j ¡ £ ­ kbT 4cpÂ

0 (kbT )2

�4.12)

2

2

`2

n0

Xn;`;n0 ;`0 3e2E2 ; exp ªi + 3 1 + D1 £ 1 2kbT D1 2kbT h D2 1 4(kbT )2 + © 3D1 4kbT 4m­4D1 ´i ³

¡ L2 y

­. o n trong ®ã D1 = ¼2 2m h n2 + `0 ¡ L2 x ¡ B»ng ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö, c¸c biÓu ¢ ¡

thøc gi¶i tÝch cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n trong tr­êng hîp

v¾ng mÆt cña tõ tr­êng ®· ®­îc x¸c ®Þnh trong c¸c biÓu thøc (4.11), (4.10)

vµ (4.12) t­¬ng øng víi hÊp thô xa ng­ìng, gÇn ng­ìng trong t¸n x¹ ®iÖn tö

-phonon quang vµ hÊp thô gÇn ng­ìng cña tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon

©m. C¸c biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn nµy sÏ ®­îc tÝnh sè ®Ó nhËn

thÊy râ d¹ng phô thuéc cña nã vµo c¸c tham sè nh­ nhiÖt ®é cña hÖ, c­êng

®é vµ tÇn sè cña sãng ®iÖn tõ, ®Æc biÖt lµ sù phô thuéc vµo tham sè ®Æc tr­ng

86

¡

¡

Lx vµ Ly cña d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt ®Ó xem xÐt ¶nh h­ëng cña h×nh

d¹ng vµ kÝch th­íc d©y lªn sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ.

4.3.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

2 1

2

2

Mét c¸ch t­¬ng tù, b»ng viÖc sö dông ph­¬ng ph¸p xÊp xØ gÇn ®óng,

k;l=

~q;°0 X

n°;~p(t) = Jk Jk+l JN;N 0 (u) gi¶i ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö (4.7), hµm ph©n bè cña ®iÖn tö n°;~p(t) trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt khi cã mÆt cña tõ tr­êng thu ®­îc: e ~E0~q m­2 e ~E0~q m­2 In;`;n0;`0 (~q) j C~q j ¡ j j ³ ´ ³ ´

2

2

~p2

~q)2

n2

¡

(~p 2m + !c(N ¡

¯ ¯ ¡ + £ k­ + i± + !~q 1 l­( ¡

2

2

~p2

~q)2

¡

(~p 2m + !c(N ¡

¢ + k­ + i± !~q ¡ ¡ ¡

~p2

(~p+~q)2

¡

2m + !c(N 0 ¡ ¹n°;~pN~q

+ ¡ ¡ n0 ¡ X ¡1 ¹n°;~pN~q + `2 `0 ¡ L2 y ¹n°;~p(N~q + 1) ¡ ¡ + `2 n2 n0 `0 ¡ ¡ L2 L2 x y ¹nn0 ;`0 ;~p+~qN~q `2 n2 + `0 k­ + i± ¢ + !~q ¯ ¯ ¹nn0 ;`0 ;~p ~q(N~q + 1) ¡ N 0) + ¼2 n0 ¡ L2 2m ¡ x ¹nn0 ;`0 ;~p ~qN~q ¡ N 0) + ¼2 2m ¹n°;~p(N~q + 1) N) + ¼2 2m ¡

il­t;

~p2

(~p+~q)2

2 2 ¡ ¡ L2 L2 x y ¹nn0;`0 ;~p+~q(N~q + 1) `2 n2

n0

¡

2 ¡ L2 x

2 ¡ L2 y

2m + !c(N 0 ¡

�4.13)

¡ ¢ e¡ ¡ + `0 !~q k­ + i± ) ¡ N ) + ¼2 2m ¡ ¡

¡ ¢

Sö dông biÓu thøc tÝnh mËt ®é dßng h¹t t¶i vµ hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tö ta thu ®­îc biÓu thøc tæng qu¸t cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n khi cã mÆt

1

cña tõ tr­êng ngoµi nh­ sau:

2

2

2N~q j

°;°0 X

~q;~p X

k= X 2

2

8¼2­ ® = C~q ¹n°;~p ¹n°0;~p+~q In;`;n0;`0(~q) j j JN;N 0(u) j j j ¡ cp E2 0

1 eE0~q m­2

¡1 £ n2 ¡ L2 x

~p2 `2 n0 `0 ± N)+ + ¤ + ¡ +!c(N 0 kJ 2 k (~p + ~q)2 2m ¼2 2m ¡ £ ¡ L2 y ³ ´n£ ¡ ¢ �4.14) ; k­ ¡ + + !~q !~q !~q ¡

87

¡

¡

¢¤ ´ ! ¡ ¤o £ !o . HÖ sè t­¬ng XÐt cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang , !~q t¸c ®iÖn tö-phonon quang ®­îc cho bëi (2.35). BiÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn ®­îc viÕt l¹i cho tr­¬ng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon quang

2

2

°;°0;~q;~p

1

1

k

1 eE0~q m­2

2

1 ® = ¹n°;~p ¹n°0;~p+~q 1  ¡ In;`;n0 ;`0 (~q) j j JN;N 0(u) j j ¡ 16¼3e2­kbT E2 0V ²0cp Â0 ¶ X ¤ ~p2 ± £ N) + + !c(N 0 ¡ (~p + ~q)2 2m ¡ £

�4.15)

k= X ¡1 ¼2 2m

`0 µ 1 q2 kJ 2 ³ n2 n0 ; + + k­ + + !o !o !o ¡ ! ¡ ´n£ ¡ 2 `2 ¡ L2 y ¡ L2 x

¢¤ £ ¢ ¤o ¡

XÐt tr­êng hîp ®iÖn tö kh«ng suy biÕn víi ¹n°;~p ®­îc x¸c ®inh theo (2.63), sö dông c«ng thøc chuyÓn tæng thµnh tÝch ph©n (2.64), h¹n chÕ gÇn ®óng

bËc hai cña hµm Bessel vµ sö dông c«ng thøc chuyÓn tæng thµnh tÝch ph©n

2

2

(2.67) ta thu ®­îc:

1

® = In;`;n0;`0(~q) 1  e ~E0 2m­2 ¡ £ ²0E2 1 Â0 e2­kBT n0m!c 0V cp ³

exp + + ¯ ¯ ) ´¡ ¢ (!c(N + 1=2) + £ ´ `2 L2 y 2

°;°0 ¯ X n2 ¼2 ¯ L2 2m x 2 ¼2 2m

1 1 ¡ kBT ³ 1 ¡ kBT

2

2¼

¢ ) + h exp (!c(N 0 + 1=2) + £ ¡ ¡ n0 L2 x `0 L2 y ´i `2 n2 n0 ¡ 2 `0 ± N) + + k­ + ³ !c(N 0 ¢ + !o ¼2 2m £ ¡ ¡ L2 x ¡ L2 y

2

�4.16)

? j

0

0 Z

n£ ¡ dÁ ¡ 1 dq2 ¢¤ 2q2 + ¢ 1 + !o !o JN;N 0(u) 1 2 ¡ e ~E0 2m­2 ! ¡ j ³ ´ ¡ ¤o Z ¢ £ Sö dông c«ng thøc (2.70) vµ tÝnh trùc giao cña hµm Laguerre suy réng (2.72)

chóng ta thu ®­îc:

2

0

c­3V

1

1

¼e4n0!cKBT ® = 1 + 1  3e2 8m2a2 ¡ j £ In;`;n0;`0(~q) j ²0ma2 1 Â0 2cp ´ ´ X

°;°0 ³ (!c(N + 1=2) +

c­4 E2 `2 L2 y

2

88

¡

¡

exp + ) + ¼2 2m £ ³ 1 ¡ kBT n2 L2 x h ³ ´ 2 ¡ ) + exp (!c(N 0 + 1=2) + ¼2 2m £ ¡ 1 ¡ kBT ¢ n0 L2 x `0 L2 y ´i ³ ¡ ¢

2

2

n2 `2 n0 `0 ±( N)+ + k­) + ±(!c(N 0 +!o !o !o ¼2 2m ¡ £ ¡ ! ¡ ¡ L2 x ¡ L2 y

n£ £ ¤ £ ¢ ¡ ¤o �4.17)

Khai triÓn hµm Delta-Dirac ±(x) trong (4.17) theo [17] vµ thùc hiÖn tÝnh to¸n

chóng ta thu ®­îc biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong

d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhÊt hè thÕ cao v« h¹n khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

víi t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang nh­ sau:

2

c­3V

1

1

1 1 + ® = e4n¤0!ckbT ma2 1  8a2 ¡ £ 2²0cp 3e2E2 0 cm2­4

¤

+ £ + Â0 ¶ X°°0 [!c(N + 1=2) + ] g exp f £ `2 L2 y 2

£ exp + [!c(N 0 + 1=2) + In;`;n0 `0 j j n2 ¼2 L2 2m x 2 ¼2 2m ¡ f ¢ ] g £ µ 1 ¡ kbT 1 ¡ kbT ¡ n0 L2 x `0 L2 y

¡

2

n2

`2

¡ L2 y

: ¢ + ¤ !o !o ! ¡ + `0 )2 + A M (­ p A M j j 2 !o + M !c + ¼2 n0 ¡ L2 2m x i h £ 8 < h ¡

¢ ¡ 9 = i �4.18) ; :

2

2 víi N0 = kbT =!:

N , lµ hiÖu chØ sè hai møc ph©n vïng tõ Landau Trong ®ã, M = N 0 ¡

~q X

A = N0 j C0 j 4¼2 In;`;n0`0 j j

4.4. KÕt qu¶ tÝnh sè vµ th¶o luËn

Trong phÇn nµy, c¸c biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt ®­îc tÝnh sè cho

89

¡

¡

d©y GaAs=GaAsAl . C¸c sè liÖu tÝnh sè ®­îc cho ë b¶ng (4.1).

B¶ng 4.1: C¸c th«ng sè c¬ b¶n cña d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n

Tham sè

Ký hiÖu

Gi¸ trÞ

34kg

6:006

Khèi l­îng hiÖu dông cña electron

10¡

£

VËn tèc sãng ©m

5220 m/s

me Às ½

5:3

MËt ®é tinh thÓ

»

£ 2:2

H»ng sè biÕn d¹ng

10¡

£

1:38

H»ng sè Boltzmann

103kg=m3 18 J 23 J/K

10¡

£

kb ²

H»ng sè ®iÖn m«i

12.5

Â

§é thÉm ®iÖn m«i cao tÇn

10.8

§é thÉm ®iÖn m«i tÜnh

1

2

Vect¬ sãng cña phonon

13.1 105m¡

1 Â0 qx = qy

£

4.4.1. Tr­êng hîp v¾ng mÆt tõ tr­êng ngoµi

a). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon ©m

H×nh 4.1: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo kÝch th­íc d©y Lx, Ly

H×nh 4.1 cho thÊy sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ vµo kÝch th­íc d©y Lx, Ly. Còng nh­ d©y l­îng tö h×nh trô, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn phô thuéc phi tuyÕn vµo kÝch th­íc giíi h¹n Lx, Ly cña d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt. Gi¸ trÞ cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ t¨ng lªn khi gi¶m kÝch th­íc cña d©y, ®Õn mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh, hÖ sè hÊp

90

¡

¡

thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i råi gi¶m dÇn khi kÝch th­íc cña

d©y tiÕp tôc gi¶m. Tuy nhiªn, kh¸c víi d©y l­îng tö h×nh trô, hÖ sè hÊp thô

H×nh 4.2: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é T cña hÖ t¹i

c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña c­êng ®é ®iÖn tr­êng, tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt kh«ng nhËn gi¸ trÞ ©m.

H×nh 4.2 cho thÊy sù phô thuéc m¹nh vµ phi tuyÕn cña hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é T cña hÖ víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña

c­êng ®é ®iÖn tr­êng E0. Nã còng cho thÊy r»ng hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ ® trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n ®¹t gi¸

trÞ cùc ®¹i t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña nhiÖt ®é, gi¸ trÞ nµy phô thuéc vµo

c¸c tham sè kh¸c cña hÖ, cô thÓ lµ c­êng ®é cña sãng ®iÖn tõ. VÝ dô: t¹i 106V =m, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng 106V =m vµ E0 = 2; 6 £ £ E0 = 2 ®iÖn tõ cã ®­îc gi¸ trÞ cùc ®¹i khi nhiÖt ®é lÇn l­ît lµ T 175 K vµ 200 K. »

H×nh 4.3 cho thÊy r»ng hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong tr­êng

hîp t¸n x¹ ®iÖn tö -phonon ©m phô thuéc phi tuyÕn vµo c­êng ®é E0 cña sãng ®iÖn tõ. Còng gièng nh­ trong d©y l­îng tö h×nh trô, hÖ sè hÊp thu

gi¶m khi c­êng ®é sãng ®iÖn tõ t¨ng lªn.

b). Tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö - phonon quang

91

¡

¡

H×nh 4.3: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh

ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n vµo c­êng ®é ®iÖn tr­êng E0 t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña nhiÖt ®é T cña hÖ.

H×nh 4.4 cho thÊy, t­¬ng tù nh­ tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m,

hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ t¨ng lªn khi nhiÖt ®é cña hÖ t¨ng, ®Õn

khi ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i hÖ sè hÊp thô l¹i gi¶m xuèng nÕu tiÕp tôc t¨ng nhiÖt

®é. T­¬ng tù nh­ trong d©y l­îng tö h×nh trô, nhiÖt ®é mµ t¹i ®ã hÖ sè hÊp

thô ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i phô thuéc vµo kÝch th­íc d©y. Khi kÝch th­íc Lx, Ly thay ®æi, ®Ønh hÊp thô thay ®æi c¶ vÒ ®éi lín lÉn vÞ trÝ cña nã trªn thang

nhiÖt ®é. Tuy nhiªn, ë ®©y cã mét sù kh¸c biÖt so víi d©y l­îng tö h×nh trô

(h×nh. 2.3), sù thay ®æi kÝch thøc d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt lµm biÕn ®æi

rÊt m¹nh ®Ønh hÊp thô. VÝ dô: khi Ly = Lx = 26nm, hÖ sè hÊp thô ®¹t gi¸ 1 t¹i nhiªt ®é T = 135K, thay ®æi kÝch th­íc cña trÞ cùc ®¹i ®max = 1; 6m¡ d©y gi¶m mét l­îng M Ly =M Lx = 1nm (Ly = Lx = 25nm), gi¸ trÞ vµ vÞ 1 t¹i nhiªt ®é trÝ cña hÖ sè hÊp thô trªn thang nhiÖt ®é t¨ng, ®max = 2; 9m¡ T = 180K (M T = 45K). Trong khi ®ã, víi d©y l­îng tö h×nh trô, khi b¸n kÝnh cña d©y còng thay ®æi mét l­îng t­¬ng ®èi lín M R = 1nm nh­ng vÞ trÝ cña nã trªn thang nhiÖt ®é chØ biÕn ®æi mét l­îng M T = 15K. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong tr­êng hîp nµy còng lín h¬n so víi

92

¡

¡

tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m.

H×nh 4.4: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é cña hÖ t¹i

c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña kÝch th­íc d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn

tö-phonon quang.

H×nh 4.5: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo c­êng ®é sãng ®iÖn

tõ E0

Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo c­êng ®é sãng

®iÖn tõ E0 trong tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang cã sù kh¸c biÖt râ rÖt so víi tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m (h×nh 4.5). HÖ sè hÊp thô phi

tuyÕn t¨ng lªn khi c­êng ®é ®iÖn tr­êng t¨ng. §iÒu nµy lµ phï hîp víi hai

lo¹i d©y l­îng tö ®· xÐt ë ch­¬ng 2 vµ ch­¬ng 3. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

trong tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang lín h¬n nhiÒu so víi tr­êng

93

¡

¡

hîp t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m.

H×nh 4.6: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo vµo n¨ng l­îng photon

H×nh 4.6 cho thÊy r»ng, gièng nh­ c¸c d©y l­îng tö ®· xÐt ë hai

ch­¬ng tr­íc, sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo

n¨ng l­îng photon trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt còng ®¹t ®Ønh hÊp thô

khi tÇn sè sãng ®iÖn tõ b»ng víi tÇn sè cña phonon quang. §iÒu nµy cho

thÊy sù kh¸c nhau vÒ h×nh d¹ng d©y l­îng tö kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ tÇn

sè sãng ®iÖn tõ mµ t¹i ®ã hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®¹t cùc ®¹i.

Sù hÊp thô sÏ lín nhÊt khi ­ = !o.

4.4.2. Tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi

H×nh 4.7: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng photon

khi cã mÆt cña tõ tr­êng trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt

94

¡

¡

Khi cã mÆt cña tõ tr­êng, sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö

h×nh ch÷ nhËt còng ®· thay ®æi ®¸ng kÓ. H×nh 4.7 cho thÊy phæ hÊp thô phi

tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt lµ phæ v¹ch. C¸c v¹ch

hÊp thô x¶y ra t¹i c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña n¨ng l­îng photon, t­¬ng øng

víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tÇn sè sãng ®iÖn tõ. Cã thÓ nãi sù hÊp thô phi

2

2

`2

n0

tuyÕn sãng ®iÖn tõ khi cã mÆt cña tõ tr­êng trong d©y l­îng tö cã sù läc lõa

n2 ¡ L2 x

¡ L2 y

+ `0 k­. Phæ hÊp !o ¡ ¡ §

¢

N) + ¼2 tháa m·n ®iÒu kiÖn !c(N 0 2m thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ còng phô thuéc vµo kÝch th­íc gíi h¹n Lx vµ Ly ¡ cña d©y l­îng tö. Phæ hÊp thô sãng phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ dÞch chuyÓn khi

H×nh 4.8: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng cyclotron

cña tõ tr­êng trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt

thay ®æi kÝch th­íc d©y .

H×nh 4.8 thÓ hiÖn sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt vµo n¨ng l­îng cyclotron. Nã cho thÊy

hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ chÞu sù t¸c ®éng rÊt lín cña tÇn sè

cyclotron cña tõ tr­êng. Sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ chØ x¶y ra ®¸ng

kÓ t¹i c¸c tÇn sè cyclontron x¸c ®Þnh vµ gi¸n ®o¹n, nã t­¬ng øng víi c¸c chØ

sè møc Landau mµ ®iÖn tö dÞch chuyÓn ®Õn sau khi hÊp thô, chØ sè nµy ph¶i

95

¡

¡

®­îc x¸c ®Þnh.

4.5. KÕt luËn ch­¬ng 4

Ch­¬ng 4 cña luËn ¸n nghiªn cøu sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn

tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n. Ph­¬ng

tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö giam cÇm vµ c¸c hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ ®· ®­îc tÝnh to¸n gi¶i tÝch cho c¶ hai tr­êng hîp v¾ng mÆt

vµ cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi. C¸c biÓu thøc gi¶i tÝch cña hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ cho thÊy sù phô thuéc cña nã vµo c¸c tham sè nh­

nhiÖt ®é cña hÖ, c­êng ®é vµ tÇn sè cña sãng ®iÖn tõ, kÝch th­íc cña d©y

vµ tÇn sè cyclotron cña tõ tr­êng (trong tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng

ngoµi). KÕt qu¶ gi¶i tÝch ®­îc ¸p dông tÝnh sè cho d©y l­îng tö h×nh ch÷

nhËt GaAs=GaAsAl.

KÕt qu¶ tÝnh sè cho thÊy sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ m¹nh trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n vµo c¸c

tham sè cña hÖ lµ phi tuyÕn vµ cã nh÷ng kh¸c biÖt so víi trong b¸n dÉn

khèi vµ hÖ hai chiÒu. Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn

tõ vµo c¸c ®¹i l­îng bªn ngoµi cÊu tróc d©y nh­ nhiÖt ®é, c­êng ®é vµ tÇn

sè sãng ®iÖn tõ kh«ng thay ®æi vÒ mÆt ®Þnh tÝnh so víi d©y l­îng tö h×nh

trô. Tuy nhiªn cã sù kh¸c biÖt lín so víi d©y l­îng tö h×nh trô trong sù phô

thuéc cña hÖ sè hÊp thô vµo kÝch th­íc cña d©y, khi kÝch th­íc d©y thay ®æi

gi¸ trÞ ®Þnh l­îng vµ vÞ trÝ cña ®Ønh hÊp thô trªn thang nhiÖt ®é cña hÖ ®æi

nhanh h¬n. VÝ dô: khi Ly = Lx = 26nm, hÖ sè hÊp thô ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i 1 t¹i nhiªt ®é T = 135K, thay ®æi kÝch th­íc cña d©y gi¶m ®max = 1; 6m¡ mét l­îng M Ly =M Lx = 1nm (Ly = Lx = 25nm), gi¸ trÞ vµ vÞ trÝ cña hÖ 1 t¹i nhiªt ®é T = 180K. sè hÊp thô trªn thang nhiÖt ®é t¨ng, ®max = 2; 9m¡ Trong khi ®ã, víi d©y l­îng tö h×nh trô, khi b¸n kÝnh cña d©y còng thay ®æi mét l­îng t­¬ng ®èi lín M R = 1nm nh­ng vÞ trÝ cña nã trªn thang nhiÖt ®é chØ biÕn ®æi mét l­îng M T = 15K. §iÒu nµy chøng tá h×nh d¹ng vµ kÝch th­íc d©y l­îng tö cã ¶nh h­ëng ®¸ng kÓ ®èi víi sù hÊp thô phi tuyÕn sãng

96

¡

¡

®iÖn tõ.

Khi cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi, phæ hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ lµ

phæ v¹ch vµ gi¸n ®o¹n, møc ®é gi¸n ®o¹n cña c¸c v¹ch phæ cµng lín khi tÇn

sè cyclotron cña tõ tr­êng cµng t¨ng. Sù thay ®æi kÝch th­íc d©y l­îng tö

h×nh ch÷ nhËt còng lµm dÞch chuyÓn vÞ trÞ c¸c v¹ch hÊp thô. HÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ khi cã mÆt cña tõ tr­êng lín h¬n khi kh«ng cã mÆt

97

¡

¡

cña tõ tr­êng, ®ång thêi t¨ng lªn khi t¨ng tÇn sè cyclotron cña tõ tr­êng.

Ch­¬ng 5

¶nh h­ëng cña sù giam cÇm phonon lªn sù hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong

d©y l­îng tö

HiÖu øng gi¶m kÝch th­íc ®· lµm thay ®æi kÞch tÝnh c¸c tÝnh chÊt vËt

lý cña vËt liÖu b¸n dÉn thÊp chiÒu. §èi t­îng t¸c ®éng trùc tiÕp cña hiÖu

øng gi¶m kÝch th­íc lµ c¸c ®iÖn tö trong b¸n dÉn, chuyÓn ®éng cña nã bÞ

giíi h¹n theo c¸c chiÒu gi¶m kÝch th­íc. ChÝnh sù giíi h¹n chuyÓn ®éng nµy

mµ tÝnh chÊt vËt lý cña hÖ thÊp chiÒu cã tÝnh ­u viÖt h¬n h¼n so víi b¸n dÉn

khèi. Bªn c¹nh sù giam cÇm ®iÖn tö, trong c¸c hÖ thÊp chiÒu, c¸c phonon

còng cã thÓ bÞ giam gi÷ do hiÖu øng gi¶m kÝch th­íc. Trong thêi gian võa

qua, ®· cã rÊt nhiÒu c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vËt lý cña b¸n

dÉn cã tÝnh ®Õn yÕu tè giam cÇm phonon [9, 17, 18, 24, 50, 54, 63]. Sù giam

cÇm phonon trong c¸c hÖ thÊp chiÒu ®· lµm thay ®æi ®¸ng kÓ c¸c hiÖu øng

vËt lý so víi tr­êng hîp phonon khèi, vÝ dô, sù t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon trong

siªu m¹ng pha t¹p [25], trong d©y l­îng tö [80], .... HÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ cã tÝnh ®Õn yÕu tè giam cÇm còng ®· ®­îc nghiªn cøu trong hÖ hai

chiÒu. §Ó cã ®­îc nh÷ng nhËn ®Þnh hoµn thiÖn h¬n vÒ sù hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö, trong ch­¬ng nµy t¸c

gi¶ nghiªn cøu sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö cã tÝnh

98

¡

¡

®Õn yÕu tè giam cÇm phonon. M« h×nh d©y l­îng tö ®­îc chän lµ d©y l­îng

Ly n»m trong mÆt ph¼ng (x; y), chiÒu dµi £ tö h×nh ch÷ nhËt cã tiÕt diÖn Lx Lz.

5.1. Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon giam cÇm trong

d©y l­îng tö

M« h×nh giam gi÷ phonon t­¬ng tù nh­ víi ®iÖn tö, tr¹ng th¸i cña

phonon còng ®­îc m« t¶ bëi 2 sè l­îng tö m, k øng víi sù giam cÇm theo 2

, qy = k¼ Ly

ph­¬ng Ox, Oy cña phonon, vect¬ sãng cña phonon ®­îc biÓu diÔn theo c¸c ph­¬ng ~q = (qx; qy; qz), trong ®ã qx = m¼ . §Æt d©y l­îng tö trong Lx tr­êng Laser ~E(t) = ~E0 sin(­t) h­íng theo trôc Oz cã thÕ vect¬ t­¬ng øng ~A(t) = c ~E0 cos(­t), Hamiltonian cña hÖ ®iÖn tö-phonon quang giam cÇm ­

biÓu diÔn th«ng qua to¸n tö sè h¹t:

n;`;~pan;`;~p +

m;k;~qbm;k;~q +

�5.1)

n;`;~p X +

m;k;

~A(t))a+ H(t) = "n;`(~p !ob+ e c ¡

m;k;~q X n0;`0;~p+~qan;`;~p(b+ a+

~q + bm;k;~q): ¡

n;`;n0;`0;~p X

m;k;~q X

Cm;k ~q Im;k n;`;n0;`0

m;k;~q; bm;k;~q lµ to¸n tö sinh hñy phonon ë tr¹ng th¸i

Trong ®ã: b+ ; !o m; k; ~q i j lµ tÇn sè phonon quang;

�5.2)

2 =

H»ng sè t­¬ng t¸c ®iÖn tö-phonon quang:

1

( ) 1 Â Cm;k ~q j j ¡ ¼e2!o 2V "0 1 Â0 )2 ~qz 1 2 + ( m¼ )2 + ( k¼ Ly Lx

1

, Â0 lµ hÖ sè ®iÖn

ë ®©y V lµ thÓ tÝch chuÈn hãa, "0 lµ h»ng sè ®iÖn m«i, Â thÈm cao tÇn vµ hÖ sè ®iÖn thÈm tÜnh.

�5.3)

Thõa sè d¹ng ®Æc tr­ng ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau [80]:

m;k=~q;

m;k=1;3;5;::: X

99

¡

¡

16P 2 I m;k n;` (qz) = (2¼)2

Lx

Ly

trong ®ã

0

0 Z

�5.4)

dx dy cos( ) cos( ) Pm;k = 2 Ly n¼x Lx n0¼x Lx 2 Lx Z

cos( ) cos( ) cos( ) cos( ): £ `¼x Lx `0¼y Ly £ m¼y Ly k¼y Ly

�5.5)

~A(t) lµ thÕ vect¬ cña tr­êng ®iÖn tõ ®­îc x¸c ®Þnh:

= ~E0 sin(­t): d ~A(t) cdt ¡

5.2. Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cña ®iÖn tö trong d©y

l­îng tö khi phonon giam cÇm

Ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong d©y l­îng tö khi phonon

giam cÇm ®­îc x©y dùng dùa trªn ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö tæng qu¸t cho

�5.6)

to¸n tö sè h¹t:

t =

t

n;`;~pan;`;~p; H] i

i (t) = i [a+ a+ n;`;~pan;`;~p @nn;`;~p @t @ @th i h

Sö dông Hamiltonian (5.1) vµ c¸c phÐp biÕn ®æi to¸n tö, ®Æt

t i

Fn1;`1; ~p1;n2;`2; ~p2;m;k;~q(t) = an2;`2; ~p2bm;k~q a+ n1;`1; ~p1 h

ta thu ®­îc:

~q;m;k;~q(t)

n1;`1 X

m;k;~q X

i = (~q) Cm;k ~q I m;k n;`;n1;`1 Fn;`;~p;n1;`1;~p ¡ @nn;`;~p @t

~q;n;`;~p;m;k;

~q(t)

~q(t) ¡

: ³ Fn1;`1;~p+~q;n;`;~p;m;k;~q(t) + F ¤n1;`1;~p ¡ F ¤n;`;~p;n1;`1;~p+~q;m;k; ¡ ¡ ¡

´ �5.7)

§Ó thu ®­îc biÓu thøc cho ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö ta thiÕt lËp biÓu thøc

�5.8)

ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho to¸n tö Fn1;`1; ~p1;n2;`2; ~p2;m;k;~q(t) :

t iE

100

¡

¡

: i Fn1;`1; ~p1;n2;`2; ~q1;m;k;~q(t) = an2;`2; ~p2bm;k;~q; H a+ n1;`1; ~p1 @ @t Dh

Thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n cÇn thiÕt ta thu ®­îc:

m1;k1;

~q1

¡

F (t) = i ~A(t)) ~A(t)) F (t) + !o "n2;`2( ~p2 @ @t e c ¡ "n1;`1( ~p1 h i +i )bm;k;~q ¡ an2;`2; ~p2(bm1;k1; ~q1+b+ e c ¡ I m1;k1 n3;`3;n1;`1 C m1;k1 ~q1 ¡ a+ n3;`3; ~p1+ ~q1

n3;`3 m1;k1; ~q1 X X

t E �5.9)

hD

~q1bm;k;~q(bm1;k1; ~q1 + b+

m1;k1;

~q1

¡

t E

) Im1;k1 n3;`3;n2;`2 a+ n1;`1; ~p1 an3;`3; ~p2¡ ¡ D i

trong ®ã F (t) = Fn1;`1; ~p1;n2;`2; ~p2;m;k;~q(t). Ph­¬ng tr×nh (5.9) lµ ph­¬ng tr×nh vi ph©n kh«ng thuÇn nhÊt, gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy b»ng ph­¬ng ph¸p biÕn ph©n

t=

¡1

t

= 0 ta t×m ®­îc vµ dïng ®iÒu kiÖn biªn theo gi¶ thiÕt ®o¹n nhiÖt: F (t) j nghiÖm:

~q1 £

Cm1;k1 F (t) = i dt2

Z

¡1 I m1;k1 n3;`3;n1;`1

n3;`3 m1;k1; ~q1 X X a+ n3;`3; ~p1+ ~q1

m1;k1;

~q1

t2

¡

)bm;k;~q an2;`2; ~p2(bm1;k1; ~q1 + b+ £

m1;k1;

~q1

¡

~q1bm;k;~q(bm1;k1; ~q1 + b+ ¡ t

t2

) an3;`3; ~p2 hD Im1;k1 n3;`3;n2;`2 a+ n1;`1; ~p1 ¡ E : exp !o](t ( ~p1 E £ t2 i ~p2) ~A(t1)dt1 t2) "n2;`2( ~p2) D i["n1;`1( ~p1) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ ie m¤c Z n o �5.10)

Thay (5.10) vµo (5.7) víi c¸c sè h¹ng t­¬ng øng. Sö dông c«ng thøc (5.5)

1n=

¡1

iz sin x) = vµ exp( Jn(z) exp( § § inx) (Jn(z) lµ hµm Bessel ®èi sè thùc) kÕt hîp víi biÕn ®æi dùa trªn tÝnh ®èi xøng cña c¸c ®¹i l­îng trung P

2

2 1

b×nh thèng kª ta thu ®­îc:

r;s=

¡1

m;k;~q X t

= Jr( @nn;`;~p(t) @t ¡ Cm;k ~q j j I m;k n1;`1;n;`(~q) j j £ e ~E0~q m¤­2 )Jr+s( e ~E0~q m¤­2 ) X

n1;`1 X dt2

¡1

exp(is­t) [nn;`;~p(t2)Nm;k;~q nn1;`1;~p+~q(t2)(Nm;k;~q + 1)] £ ¡ £ n r­ + i±](t + exp !o "n;`(~p) t2) Z i["n1;`1(~p + ~q) ¡ ¡ £ o n +[nn;`;~p(t2)(Nm;k;~q + 1) ¡ ¡ nn1;`1;~p+~q(t2)Nm;k;~q] £

101

¡

¡

r­ + i±](t + exp ¡ "n;`(~p) + !o t2) i["n1;`1(~p + ~q) ¡ ¡ ¡ £ o n

nn;`;~p(t2)(Nm;k;~q + 1)] ¡

~q(t2)Nm;k;~q [nn1;`1;~p ¡ exp

�5.11)

~q) £ r­ + i±](t ¡ i["n;`(~p !o t2) "n1;`1(~p) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ o nn;`;~p(t2)Nm;k;~q] n ¡ £

: r­ + i±](t exp ¡ ¡ [nn1;`1;~p ~q(t2)(Nm;k;~q + 1) ¡ i["n;`(~p) ¡ ~q) + !o t2) "n1;`1(~p ¡ ¡ ¡ ¡ £ ¡ oo n Trong ®ã ± lµ tham sè v« cïng bÐ ®­îc ®­a vµo ®Ó ®¶m b¶o gi¶ thiÕt ®o¹n

nhiÖt. Ph­¬ng tr×nh (5.11) chÝnh lµ ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho hµm ph©n

bè kh«ng c©n b»ng cña ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö khi cã sù giam

cÇm phonon.

5.3. HÖ sè hÊp thô sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt khi cã sù

giam cÇm phonon

§Ó tÝnh to¸n hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam

cÇm trong d©y l­îng tö cã xÐt ®Õn sù giam cÇm cña phonon, tr­íc hÕt chóng

ta t×m hµm ph©n bè ®iÖn tö kh«ng c©n b»ng tõ viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh ®éng

l­îng tö (5.11). T­¬ng tù c¸c ch­¬ng tr­íc, ®Ó ®¬n gi¶n cho viÖc g¶i ph­¬ng

tr×nh nµy, ph­¬ng ph¸p lÆp xÊp xØ gÇn ®óng:

~q(t2) ¹nn;`;~p ; nn;`;~p ¡

¹nn;`;~p nn;`;~p(t2) ¹nn;`;~p ; nn;`;~p+~q(t2) ¼ ¼ ¼

2 1

TÝch ph©n 2 vÕ cña (5.11) ta ®­îc:

2 j

r;s=

n1;`1 X

m;k;~q X exp(is­t)

nn;`;~p(t) = Jr( Cm;k ~q 1 s­ £ Im;k n1;`1;n;`j j j

102

¡

¡

+ r­ + i± £ ¡ e ~E0~q e ~E0~q m¤­2 )Jr+s( m¤­2 ) X ¡1 ¹nn1;`1;~p+~q(t2)(Nm;k;~q + 1) "n;`(~p) !o ¹nn;`;~p(t2)Nm;k;~q "n1;`1(~p + ~q) h ¡ ¡ ¡ ¹nn;`;~p(t2)(Nm;k;~q + 1) ¡ ¹nn1;`1;~p+~q(t2)Nm;k;~q + r­ + i± ¡ ¡ "n;`(~p) + !o "n1;`1(~p + ~q) ¡ ¡

~q(t2)Nm;k;~q "n1;`1(~p

�5.12)

+ + ¡ ~q) ¹nn;`;~p(Nm;k;~q + 1) r­ + i± ¹nn1;`1;~p ¡ "n;`(~p) ¡ ¡

: ¹nn;`;~pNm;k;~q r­ + i± ¡ ~q) + !o "n1;`1(~p !o ¡ ¡ ¹nn1;`1;~p ~q(t2)(Nm;k;~q + 1) + ¡ "n;`(~p) ¡ ¡ ¡ i §©y lµ biÓu thøc gi¶i tÝch cña hµm ph©n bè kh«ng c©n b»ng cña ®iÖn tö trong

d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt khi cã sù giam cÇm phonon.

Sö dông biÓu thøc tÝnh mËt ®é dßng h¹t t¶i vµ hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

sãng ®iÖn tõ, thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n cÇn thiÕt dùa trªn c¸c tÝnh chÊt cña hµm

1

Bessel ta thu ®­îc:

2

2N~q

n;`;n0;`0;m;k X

�5.13)

8¼2­ ® = [¹nn;`;~p ¹nn0;`0;~p+~q] Cm;k ~q j j I m;k n;`;n0;`0 j (qz) j ¡ cp E2 0

s= X ¡1 !o

~q;~p X ±("n0;`0;~p+~q

1 eE0~q m­2

­) + "n;`;~p + !o !o J 2 s ¡ ¡ ! ¡ £ h io ¡ ¢nh ¤ Víi môc ®Ých xem xÐt ¶nh h­ëng cña sù giam cÇm phonon ®Õn hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tö bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö,

trong ch­¬ng nµy chóng ta chØ xem xÐt víi tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng.

­ ¹" ®­îc tháa m·n. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn Lóc nµy ®iÒu kiÖn !o j ¿ j ¡ sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt khi cã

2

2

sù giam cÇm phonon thu ®­îc nh­ sau:

2 exp

1

1

32e4¼4n0(kbT )3=2 ( ( ) + ) ® = 1  ­3V ¡ P 2 m;kj j ¼2 2mkbT 1 Â0 c"0p n0 L2 x `0 L2 y

ª

n;`;n0;`0;m;k X 3e2E2 0kbT 8me­4 (1 +

2

2

exp © )] + ­) 1 + 1 (!o !o ¡ g ¡ ! ¡ f £ 1 kbT B 2kbT i h ih nh !o io�5.14)

y]=2me + !o

x + (`0

n2)=L2 `2)=L2 ¡ ¡ trong ®ã B = ¼2[(n0 ­, Pm;k lµ tÝch ¡ ph©n ®­îc x¸c ®Þnh theo (5.4). Tõ (5.14) ta thÊy r»ng sù giam cÇm phonon

trong d©y l­îng tö ®· lµm thay ®æi hÖ sè t­¬ng t¸c gi÷a ®iÖn tö vµ phonon

dÉn ®Õn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö còng thay

®æi, trong biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô xuÊt hiÖn c¸c chØ sè l­îng tö cña

103

¡

¡

phonon giam cÇm. §Ó thÊy râ sù ¶nh h­ëng cña phonon giam cÇm lªn hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö,

biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô (5.14) sÏ ®­îc tÝnh sè ë phÇn tiÕp theo.

5.4. TÝnh to¸n sè vµ bµn luËn

§Ó cã ®­îc sù ®¸nh gi¸ tèt h¬n vÒ sù ¶nh h­ëng cña phonon giam cÇm

lªn sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng

tö, phÇn nµy cña luËn ¸n sÏ kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp

thô vµo c¸c ®¹i l­îng ®Æc tr­ng cña hÖ cho c¶ hai tr­êng hîp phonon giam

cÇm (5.14) vµ phonon kh«ng giam cÇm (4.10) trªn cïng mét ®å thÞ. C¸c th«ng

H×nh 5.1: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh

ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n vµo n¨ng l­îng photon cho c¶ hai tr­êng hîp phonon giam cÇm

vµ phonon kh«ng giam cÇm

sè sö dông ®­îc lÊy theo b¶ng 4.1 (th«ng sè cña d©y ch÷ nhËt GaAs/GaAsAl).

H×nh 5.1 biÓu diÔn sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ vµo n¨ng l­îng sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ

cao v« h¹n c¶ hai tr­êng hîp phonon giam cÇm vµ phonon kh«ng giam cÇm.

Ta cã thÓ nhËn thÊy r»ng trong c¶ hai tr­êng hîp phonon giam cÇm vµ phonon

104

¡

¡

khèi, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ ®Òu cã ®­îc gi¸ trÞ cùc ®¹i khi tÇn sè sãng ®iÖn tõ trïng víi tÇn sè cña phonon quang (~­ = ~!o = 0; 03625eV ),

sù thay ®æi chØ sè l­îng tö cña phonon còng kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ nµy

cña tÇn sè sãng ®iÖn tõ. Nh­ vËy, sù giam cÇm phonon trong d©y l­îng tö

kh«ng lµm thay ®æi ®Þnh tÝnh vÒ sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn

vµo tÇn sè sãng ®iÖn tõ. Tuy nhiªn ®· cã sù thay ®æi ®Þnh l­îng cña hÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong tr­êng hîp

phonon giam cÇm lín h¬n, ®iÒu nµy còng ®­îc thÊy trong h×nh 5.2, nÕu thay

®æi chØ sè l­îng tö cña phonon giam cÇm, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn còng thay

H×nh 5.2: Sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö h×nh

ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n vµo nhiÖt ®é T cho c¶ hai tr­êng hîp phonon giam cÇm vµ

phonon kh«ng giam cÇm

®æi theo tØ lÖ thuËn.

H×nh 5.2 cho ta thÊy sù phô thuéc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ vµo nhiÖt ®é cña hÖ cho c¶ hai tr­êng hîp phonon giam cÇm vµ

phonon khèi. VÒ mÆt ®Þnh tÝnh, h×nh d¹ng cña c¸c ®­êng cong nµy gÇn nh­

gièng nhau vµ ®Òu cã ®­îc ®Ønh hÊp thô cùc ®¹i. Tuy nhiªn, khi cã sù giam

cÇm phonon còng nh­ khi chØ sè l­îng tö cña phonon giam cÇm t¨ng lªn,

c¸c ®Ønh hÊp thô ®­îc thÓ hiÖn râ nÐt vµ nhän h¬n, ®ång thêi c¸c ®Ønh hÊp

thô dÞch chuyÓn vÒ phÝa cã nhiÖt ®é thÊp h¬n. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

105

¡

¡

®iÖn tõ khi cã sù giam cÇm phonon còng lín h¬n.

5.5. KÕt luËn ch­¬ng 5

Ch­¬ng 5 cña luËn ¸n nghiªn cøu ¶nh h­ëng cña phonon giam cÇm lªn

hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö. KÕt qu¶ thu ®­îc

biÓu thøc cña ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tõ trong d©y l­îng tö

h×nh ch÷ nhËt khi cã sù giam cÇm phonon. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ còng ®­îc thiÕt lËp cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö giam cÇm-phonon

quang giam cÇm. KÕt qu¶ gi¶i tÝch ®­îc tÝnh sè vµ cho thÊy r»ng sù giam

cÇm phonon trong d©y l­îng tö kh«ng lµm thay ®æi ®Þnh tÝnh sù phô thuéc

cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn vµo c¸c tham sè cña hÖ. Tuy nhiªn nã ®· ¶nh

h­ëng ®Þnh l­îng lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong d©y. HÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ khi cã sù giam cÇm phonon lµ lín h¬n. §Ønh

106

¡

¡

hÊp thô còng dÞch chuyÓn vÒ phÝa nhiÖt ®é thÊp khi cã sù giam cÇm phonon.

KÕt luËn

Sö dông ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö, luËn ¸n ®· nghiªn

cøu sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng

tö víi c¸c d¹ng thÕ kh¸c nhau. C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña luËn ¸n cã thÓ ®­îc

tãm t¾t nh­ sau:

1. ThiÕt lËp ®­îc c¸c ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö trong ba

lo¹i d©y l­îng tö (d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n, d©y l­îng tö h×nh

trô hè thÕ parabol vµ d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n) cho c¶

hai tr­êng hîp v¾ng mÆt vµ cã mÆt cña tõ tr­êng. Thu ®­îc c¸c biÓu thøc

cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong

c¸c d©y l­îng tö cho tr­êng hîp v¾ng mÆt cña tõ tr­êng víi hai c¬ chÕ t¸n

x¹ ®iÖn tö-phonon ©m vµ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang, biÓu thøc cña hÖ sè

hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong c¸c d©y

l­îng tö khi cã mÆt cña tõ tr­êng cho c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang.

2. C¸c kÕt qu¶ cho thÊy r»ng sù l­îng tö hãa do gi¶m kÝch th­íc trong

d©y l­îng tö cã ¶nh h­ëng ®¸ng kÓ lªn sù hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ víi

sù xuÊt hiÖn cña c¸c chØ sè l­îng tö theo hai chiÒu cña d©y. Sù phô thuéc

cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ vµo c¸c tham sè nh­ nhiÖt ®é T

cña hÖ, c­êng ®é E0 vµ tÇn sè ­ cña sãng ®iÖn tõ, tÇn sè cyclotron !c cña tõ tr­êng (tr­êng hîp cã mÆt cña tõ tr­êng ngoµi) vµ c¸c tham sè cÊu tróc

cña d©y l­îng tö cã nhiÒu sù kh¸c biÖt so víi b¸n dÉn khèi vµ hÖ hai chiÒu.

HÖ sè hÊp thô trong d©y l­îng tö lµ lín h¬n. HÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng

®iÖn tõ x¶y ra víi c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang lín h¬n nhiÒu so víi

c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m . Khi sè h¹ng chøa bËc hai c­êng ®é ®iÖn

tr­êng trong c¸c biÓu thøc cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn tiÕn ®Õn 0 th× kÕt qu¶

thu ®­îc nµy sÏ trë vÒ tuyÕn tÝnh nh­ ®· ®­îc nghiªn cøu b»ng ph­¬ng ph¸p

Kubo-Mori.

3. C¸c kÕt qu¶ thu ®­îc chøng tá r»ng thÕ giam gi÷ ®iÖn tö trong c¸c d©y

l­îng tö ¶nh h­ëng ®¸ng kÓ lªn hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong

d©y l­îng tö. LuËn ¸n còng cho thÊy hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

bëi ®iÖn tö giam cÇm trong c¸c d©y l­îng tö h×nh d¹ng kh¸c nhau còng cã

mét sè kh¸c biÖt c¶ vÒ ®Þnh l­îng lÉn ®Þnh tÝnh.

4. Khi cã mÆt cña tõ tr­êng, víi sù t¸c ®éng m¹nh cña nã lªn phæ n¨ng

l­îng cña ®iÖn tö, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ bëi ®iÖn tö giam cÇm

trong c¸c d©y l­îng tö thay ®æi râ rÖt, phæ hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

lóc nµy trë thµnh phæ v¹ch vµ gi¸n ®o¹n. Khi tÇn sè cyclotron !c cµng t¨ng,

mËt ®é c¸c ®Ønh hÊp thô (v¹ch hÊp thô) cµng gi¶m dÇn.

5. ThiÕt lËp ®­îc ph­¬ng tr×nh ®éng l­îng tö cho ®iÖn tö vµ hÖ sè hÊp thô

phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh bëi ®iÖn tö giam cÇm trong d©y l­îng tö h×nh

ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n khi cã sù giam cÇm phonon víi c¬ chÕ t¸n x¹

®iÖn tö phonon quang. KÕt qu¶ tÝnh sè cho thÊy sù giam cÇm phonon kh«ng

lµm thay ®æi ®¸ng kÓ vÒ mÆt ®Þnh tÝnh (h×nh d¹ng) cña sù phô thuéc cña hÖ

sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ m¹nh trong d©y l­îng tö. Tuy nhiªn ®· cã

sù thay ®æi ®¸ng kÓ vÒ mÆt ®Þnh l­îng, hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ

khi cã sù giam cÇm lµ lín h¬n, ®ång thêi ®Ønh hÊp thô dÞch chuyÓn vÒ phÝa

108

¡

¡

nhiÖt ®é thÊp h¬n.

Danh môc c¸c c«ng tr×nh khoa häc cña t¸c gi¶ liªn

quan ®Õn luËn ¸n

1. Hoang Dinh Trien, Nguyen Vu Nhan (2011), “The nonlinear ab-

sorption of a strong electromagnetic waves caused by confined electrons in

Research Letters, Vol. 20, pp. 87-96.

a cylindrical quantum wire”, Journal of USA-Progress In Electromagnetics

2. Nguyen Quang Bau and Hoang Dinh Trien (2011), “The nonlinear

Waves propagation-INTECH, pp. 461-482.

absorption of a strong electromagnetic wave in low-dimensional systems”,

3. Nguyen Quang Bau and Hoang Dinh Trien (2010), “The nonlinear

absorption coefficient of strong electromagnetic waves caused by electrons

confined in quantum wires”, Journal of the Korean Physical Society, Vol.

56, pp. 120-127.

4. Nguyen Quang Bau and Hoang Dinh Trien (2010), “The nonlinear

absorption of a strong electromagnetic wave by confined electrons in rectan-

Proceedings, Xi’an, China, pp. 336-341

gular quantum wires”, Progress In Electromagnetics Research Symposium

5. Nguyen Quang Bau, Hoang Dinh Trien, Nguyen Thi Thanh Nhan

(2008), “Influence of magnetic field on the nonlinear absorption coefficient

VNU Journal of Science, Mathematics - Physics, Vol. 25, pp. 123-128.

of a strong electromagnetic wave by confined electrons in quantum wires”,

6. Hoang Dinh Trien, Nguyen Quang Bau, Do Quoc Hung (2009), “The

dependence of the nonlinear absorption coefficient of strong electromagnetic

waves caused by confined electrons on the radius of cylindrical quantum

nology and Application 2009, Vung Tau, Vietnam, pp. 147-151.

wires”, Proceeding of Proceeding of International Workshop on Nanotech-

7. Hoang Dinh Trien , Bui Thi Thu Giang, Nguyen Quang Bau (2010),

“The dependence of the nonlinear absorption coefficient of strong electro-

magnetic waves caused by electrons confined in rectangular quantum wires

Physics, Vol. 26, pp. 115-120.

on the temperature of the System”, VNU Journal of Science, Mathematics -

8. Hoang Dinh Trien, Le Thi Ha, Bui Thi Thu Giang, Nguyen Quang

Bau (2011),“Calculations of the Nonlinear Absorption coefficient of Strong

Electromagnetic Waves Caused by Confined Electrons in One-dimensional

Systems”, VNU Journal of Science, Mathematics - Physics, Vol. 27, pp.

266-269 .

9. Hoang Dinh Trien , Bui Duc Hung, Nguyen Thi Thanh Nhan, Nguyen

Quang Bau (2011), “Influence of Phonons Confinement on the Nonlinear

Absorption of a Strong Electromagnetic Wave caused by confined Electrons

Physics, Vol. 27, pp. 262-265.

110

¡

¡

in Rectangular Quantum Wires”, VNU Journal of Science, Mathematics -

Tµi liÖu tham kh¶o

cho hÖ nhiÒu h¹t, Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Hµ Néi.

[1] NguyÔn Quang B¸u, Hµ Huy B»ng (2002), Lý thuyÕt tr­êng l­îng tö

thèng kª, Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Hµ Néi.

[2] NguyÔn Quang B¸u, Bïi B»ng §oan, NguyÔn V¨n Hïng (1998), VËt lý

Lý thuyÕt b¸n dÉn, Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Hµ Néi.

[3] NguyÔn Quang B¸u, §ç Quèc Hïng, Vò V¨n Hïng, Lª TuÊn (2004),

b¸n dÉn thÊp chiÒu, Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Hµ Néi.

[4] NguyÔn Quang B¸u, NguyÔn Vò Nh©n, Ph¹m V¨n BÒn (2007), VËt lý

[5] NguyÔn Quang B¸u (1988), “�nh h­ëng cña sãng ®iÖn tõ m¹nh biÕn

®iÖu lªn sù hÊp thô sãng ®iÖn tõ yÕu trong b¸n dÉn”, T¹p chÝ VËt lý,

TËp VIII (3-4), tr. 28-33.

[6] NguyÔn Quang B¸u, NguyÔn Vò Nh©n, Hµ Kim H»ng, NguyÔn V¨n

H­íng (1992), “ �nh h­ëng cña tõ tr­êng lªn hÖ sè hÊp thô sãng ®iÖn

tõ ®èi víi c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang trong siªu m¹ng b¸n

dÉn”, B¸o c¸o Héi nghÞ VËt lý Lý thuyÕt lÇn thø 17, TP. Hå ChÝ Minh,

tr. 11.

[7] NguyÔn Xu©n H·n (1998), C¬ häc l­îng tö, Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc

gia Hµ Néi.

[8] NguyÔn V¨n H­íng, NguyÔn Quang B¸u, NguyÔn Vò Nh©n (1991),

111

¡

¡

“�nh h­ëng cña sãng ®iÖn tõ m¹nh biÕn ®iÖu lªn sù hÊp thô sãng ®iÖn

Hµ néi, sè 3, tr. 16-20.

tõ yÕu trong siªu m¹ng”, T¹p chÝ khoa häc, Tr­êng §¹i häc tæng hîp

[9] Alexander Balandin and Kang L. Wang (1998), “Effect of phonon con-

Appl. Phys. 84, pp. 6149-6153.

finement on the thermoelectric figure of merit of quantum wells”, J.

[10] Antonyuk V. B., MalŠ shukov A. G., Larsson M. and Chao K. A. (2004),

“Effect of electron-phonon interaction on electron conductance in one-

dimensional systems”. Phys. Rev. B 69, pp. 155308-155314.

[11] Ando T., Fowler A. B. and Stern F.(1982), “Electronic properties of

two-dimensional systems”, Rev. Mod. Phys. 54, pp. 437-672.

[12] Ariza-Flores A. D. and Rodriguez-Vargas I. (2008), “Electron subband

PIER Letters 1, pp. 159-165.

structure and mobility trends in p-n delta-doped quantum wells in Si”.

[13] N. Q. Bau and T. C. Phong (1998), “Calculations of the absorption

coefficient of a weak electromagnetic wave by free carriers in quantum

wells by the Kubo-Mori method”, J.Phys. Soc. Japan 67, pp. 3875-

3880.

[14] N. Q. Bau, N. V. Nhan, and T. C. Phong (2002), “Calculations of the

absorption coefficient of a weak electromagnetic wave by free carriers in

Soc 41, pp. 149-154.

doped superlattices by using the Kubo-Mori method”, J. Korean. Phys.

[15] N. Q. Bau, L. Dinh and T. C. Phong (2007), “Absorption coefficient of

weak electromagnetic waves caused by confined electrons in quantum

wires”, J. Korean. Phys. Soc 51, pp. 1325-1330.

[16] N. Q. Bau, D. M. Hung, N. B. Ngoc (2009), “The nonlinear absorp-

tion coefficient of a strong electromagnetic wave caused by confined

112

¡

¡

electrons in quantum wells”, J. Korean Phys. Soc 54, pp. 765-773.

[17] N. Q. Bau, L. T. Hung, and N. D. Nam (2010), “The nonlinear absorption

coefficient of a strong electromagnetic wave by confined electrons in

of Electromagnetic Waves and Appl. 24, pp. 1751-1761.

quantum wells under the influences of confined phonons”, JEMWA, J.

[18] N. Q. Bau, D. M. Hung, and L. T. Hung (2010), “The influences of

confined phonons on the nonlinear absorption coefficient of a strong

PIER Letter 15, pp. 175-185.

electromagnetic wave by confined electrons in doping superlattices”,

[19] N. Q. Bau and D. M. Hung (2010), “Calculation of the nonlinear absorp-

tion coefficient of a strong electromagnetic wave by confined electrons

in doping superlattices”, PIER B25, pp. 39-52.

[20] N. Q. Bau and H. D. Trien (2010), “The nonlinear absorption coefficient

of strong electromagnetic waves caused by electrons confined in quan-

tum wires”, Journal of the Korean Physical Society 56, pp. 120-127.

[21] N. Q. Bau and H. D. Trien (2010), “The nonlinear absorption of a

strong electromagnetic wave by confined electrons in rectangular quan-

tum wires”, PIERS Proceedings, Xi’an, China, pp. 336-341.

[22] N. Q. Bau and H. D. Trien (2011), “The nonlinear absorption of a strong

electromagnetic wave in low-dimensional systems”, Wave propagation

INTECH, Croatia, pp. 461-482.

[23] N. Q. Bau, H. D. Trien, and N. T. T. Nhan (2008), “Influence of magnetic

field on the nonlinear absorption coefficient of a strong electromagnetic

Mathematics - Physics 25 (1S), pp. 47-50.

wave by confined electrons in quantum wires”, VNU Journal of Science,

[24] Bennett R., Guven K., and Tanatar B. (1998), “Confined-phonon ef-

Phys. Rev. B 57, pp. 3994-3999.

113

¡

¡

fects in the band-gap renormalization of semiconductor quantum wires”,

[25] Borisenko S. I. (2004), “The effect of acoustic phonon confinement on

electron scattering in GaAs/AlxGa1-xAs superlattices,” Semiconductors

38, pp. 824-829.

[26] Brandes T. and Kawabata A. (1996), “Conductance increase by electron-

phonon interaction in quantum wires”, Phys. Rev. B 54, pp. 4444-4447.

[27] Butscher S. and Knorr A. (2006), “Occurrence of Intersubband Polaronic

Repellons in a Two-Dimensional Electron Gas”, Phys. Rev. Lett. 97, p.

197401-197404.

[28] Briggs S. and Leburton J. P. (1998), “Size effects in multisubband quan-

tum wire structures”, Phys. Rev. B 38, pp. 8163-8170.

[29] Bruus H., Flansberg K. and Smith H. (1993), “Magnetonconductivity of

quantum wires with elastic and inelastic scattering”, Phys. Rev. B 48,

pp. 11144-11155.

[30] Buonocore F., Iadonisi G., Ninno D. and Ventriglia F. (2002), “Polarons

in cylindrical quantum wires”, Phys. Rev. B 65, pp. 205415-205421.

[31] Chaubey M. P. and Viliet C. M. V.(1986), “Transverse magnetoconduc-

tivity of quasi-two-dimensional semiconductor layers in the presence of

phonon scattering”, Phys. Rev. B 33, pp. 5617-5622.

[32] Chernoutsan K., Dneprovskii V., Gavrilov S., Gusev V., Muljarov E.,

Romano S., Syrnicov A., Shaligina O. and Zhukov E. (2002), “Linear

and nonlinear optical properties of excitons in semiconductor{dielectric

quantum wires”, Physica E 15, pp. 111-117.

[33] Culpepper R. M. and Dixon J. R. (1968), “Free-Carrier Absorption in

n-Type Indium Arsenide” , J. Opt. Soc. Am. 58, pp. 96-101.

[34] Cui H. L. and Horing N. J. M. (1989) ,“Dynamical conductivity of a

114

¡

¡

quantum-wire superlattice”, Phys. Rev. B 40, pp. 2956-2961.

[35] Da Cunha Lima I. C., Wang X. F., and Lei X. L. (1997), “Nonlinear

Rev. B 55, pp. 10681-10687.

transport in GaAs/AlAs harmonically confined quantum wires”, Phys.

[36] Esaki L., Tsu R. (1970), “Superlattice and negative differential conduc-

tivity in simeconductors”, IBM. J. Res. Develop., 14, pp. 61-77.

[37] Gaggero-Sager M. L., Moreno-Martinez N., Rodriguez-Vargas I., Perez-

Alvarez R., Grimalsks V. V. and Mora-Ramos M. E. (2007), “Electronic

Structure in Funtion of the Temperature by Si Delta-doped Quantum

Wells in GaAs”. PIERS 3, pp. 851-854.

[38] Gold, A. and Ghazali, A. (1990), “Analytical results for semiconductor

Phys. Rev. B 41, pp. 7626-7640.

quantum-well wire: Plasmons, shallow impurity states, and mobility”,

Soc. Am. 55, pp. 1457-1458.

[39] Grant R. M.(1965), “Free-Carrier Absorption in Silver Bromide”, J. Opt.

[40] Hashimzade F. M., Babayev M. M., Mehdiyev B. H., and Kh A Hasanov

(2010), “Magnetothermoelectric Effects of 2D Electron Gas in Quantum

J. Phys.: Conf. Ser. 245, pp. 012015

Well with Parabolic Confinement Potential in-plane Magnetic Field ”,

[41] Heon Ham and Harold N. Spector (2000), “Exciton linewidth due to

scattering by polar optical phonons in semiconducting cylindrical quan-

tum wire structures”, Phys. Rev. B 62, pp. 13599-13603.

[42] Herbst M., Glanemann M., Axt V. M., and Kuhn T. (2003), “Electron-

Phys. Rev. B 67, pp. 195305-19522.

phonon quantum kinetics for spatially inhomogeneous excitations”,

[43] Ibragimov G.B. (2004), “Optical intersubband transitions in quantum

tum Electronics and Optoelectronics 7, pp. 283-286.

115

¡

¡

wires with an applied magnetic field”, Semiconductor Physics, Quan-

[44] Jai Yon Ryu, Hu G. Y., and O'Connell R. F. (1994), “Magnetophonon

resonances of quantum wires in tilted magnetic fields”, Phys. Rev. B

49, pp. 10437-10443.

[45] Jangil Kim and Bongsoo Kim (2002), “Optical transition for a quasi-two-

dimensional system with an electron-phonon interaction”, Phys. Rev. B

66, pp. 073107-073110.

[46] Johnson A. M., Pidgeon C. R., and Dempsey J. (1980), “Frequency

Rev. B 22, pp. 825-831.

dependence of two-photon absorption in InSb and Hg1-xCdxTe”, Phys.

[47] Kang N. L., Lee H. J. and Choi S. D. (2003), “A New Theory of

Phys. Soc.44, pp. 938-943.

Nonlinear Optical Conductivity for an Electron-Phonon System”, Korean

[48] Kent A. J., Naylor A. J., Hawker P., and Henini M. (2000), “Phonon-

induced conductivity of ballistic quantum wires”, Phys. Rev. B 61, pp.

R16311-R16314.

[49] Kim K.W., Stroscio M. A., Bhatt A., Mickevicius R. and Mitin V. V.

(1991),”Electron-optical-phonon scattering rates in a rectangular semi-

conductor quantum wire”, J. Appl. Phys. 70, pp. 319-327.

[50] Komirenko S. M.,Kim K. W. , Kochelap V. A., Stroscio M. A. (2002),

“Confinement and amplification of terahertz acoustic phonons in cubic

heterostructures” Physica B 316, pp. 356-358.

[51] Lee J. and Vassell M. O. (1984), “Low-field electron transport in quasi-

one-dimensional semiconducting structures”, J. Phys. C: Sol. Stat. Phys

17, pp. 2525-2530.

[52] Lee S. C. and Galbraith I. (1999), “Intersubband and intrasubband elec-

tronic scattering rates in semiconductor quantum wells”, Phys. Rev. B

116

¡

¡

59, pp. 15796-15805.

[53] Lee H. J., Kang N. L., Sug J. Y. and Choi S. D. (2002), “Calculation

Phys. Rev. B 65, pp. 195113-195119.

of the nonlinear optical conductivity by a quantum-statistical method”,

[54] Li W. S., Shi-Wei Gu, Au-Yeung T. C., and Y. Y. Yeung (1992), “Effects

of the parabolic potential and confined phonons on the polaron in a

quantum wire”, Phys. Rev. B 46, pp. 4630-4637.

[55] Malevich V. L. and Epstein E. M. (1974), “Nonlinear optical properties

of conduction electrons in semiconductors”, Sov. Quantum Electronic

4, pp. 816-817.

[56] Masale M., and Constantinou N. C. (1993), “Electron{LO-phonon scat-

tering rates in a cylindrical quantum wire with an axial magnetic field:

Analytic results”, Phys. Rev. B 48, pp. 11128-1134.

[57] Mickevicius R. and Mitin V. (1993), “ Acoustic-phonon scattering in a

rectangular quantum wire”, Phys. Rev. B 48, pp. 17194-171201.

[58] Miller A., Johnson A., Dempsey J., Smith J., Pidgeon C. R., and Holah

Phys. C 12, pp. 4839 -4844.

G. D. (1979), “Two-photon absorption in InSb and Hg1-xCdxTe”, J.

[59] Mokerov V. G., Galiev G. B., Pozela J., Pozela K., and Juciene V.

Semiconductors 36, pp. 674-678.

(2002), “Electron mobility in a AlGaAs/GaAs/AlGaAs quantum well”,

[60] Mori N. and Ando T. (1989), “Electron{optical-phonon interaction in

single and double heterostructures”, Phys. Rev. B 40, pp. 6175-6188.

[61] Mozyrsky D., Privman V., and Lawrence Glasser M. (2001), “Indirect

Phys. Rev. Lett. 86, pp. 5112-5115.

117

¡

¡

Interaction of Solid-State Qubits via Two-Dimensional Electron Gas”,

[62] Nag B. R., and Gangopadhyay S. (1995), “Electron mobility limited

Semicond. Sci. Technol. 10, pp. 813-816.

by deformation potential acoustic phonon scattering in quantum wires”,

[63] Osswald S. et al (2009), “Phonon confinement effects in the Raman

spectrum of nanodiamond”, Phys. Rev. B 80, pp. 75419-75427.

[64] Pavlovich V. V. and Epshtein E. M. (1977), “Quantum theory of absorp-

Phys. Solid State 19, pp. 1760-1768.

tion of electronmagnetic wave by free carries in simiconductors”, Sov.

[65] Palasantzas G., Barnas J., and De Hosson J. Th. M. (2001), “Correlated

Phys. 8, pp. 8002-8005.

roughness effects on electrical conductivity of quantum wires”, J. Appl.

[66] Pi X. D., Zalloum O. H. Y., Knights A. P., Mascher P. and Simpson

P. J. (2006), “Electrical conduction of silicon oxide containing silicon

quantum dots”, J. Phys.: Condens. Matter 18, pp. 9943-9950.

[67] T. C. Phong, L. Dinh, N. Q. Bau and D. Q. Vuong (2006) “Rate of

Phonon Excitation and Conditions for Phonon Generation in Rectangular

Quantum Wires”, J. Korean. Phys. Soc, 49, pp. 2367-2372.

[68] Ploog K., Doller G. H (1983), “Compositional and doping superlattices

in III-V semiconductors”, Asv. Phys. 32, p. 285.

[69] Doan Nhat Quang, Le Tuan, Nguyen Thanh Tien (2008), “Electron

Rev. B 77, pp. 125326-125335.

mobility in Gaussian heavily doped ZnO surface quantum wells”, Phys.

[70] Ridley B. K (1982), “The electron-phonon intraction in quasi two-

dimensional semiconductor quantum well structures”, J. Phys. C 15,

118

¡

¡

p. 5899-5917.

[71] Rossi Fausto and Molinari Elisa (1996), “Linear and nonlinear optical

properties of realistic quantum-wire structures: The dominant role of

Coulomb correlation”. Phys. Rev B 53, pp. 16462-16473.

[72] Rucker H., Molinari E. and Lugli P. (1992), “Microscopic calculation

of the electron-phonon interaction in quantum wells”, Phys. Rev. B 45,

pp. 6747-6756.

[73] Ryu J. Y., Kang Y. B., Sangshik Oh, Suzuki A., and Choi S. D. (1995),

“Hot-electron magnetophonon resonance of quantum wells in tilted mag-

netic fields”, Phys. Rev. B 52, pp. 11089-11095.

[74] Samuel E. P. and Patil D. S. (2008), “Analysis of Wavefunction Dis-

tribution in Quantum Well Biased Laser Diode Using Transfer Matrix

Method”, PIER letters 1, pp. 119-128.

[75] Shik A. Y., and Challis L. J. (1993), “Electron-phonon energy relax-

ation in quasi-one-dimensional electron systems in zero and quantizing

magnetic fields”, Phys. Rev. B 47, pp. 2082-2088.

[76] Shmelev G. M., N. Q. Bau and N. H. Shon (1981), “ Light absorption

by free carriers in the presence of laser wave”, Sov. Phys. Semicond.

24, pp.674-678.

Tech. Semicond 12, p. 1932.

[77] Shmelev G. M., Chaikovskii L. A. and N. Q. Bau(1978). Sov. Phys.

[78] N. H. Shon and H. N. Nazareno (1994), “Propagation of elastic waves

Rev. B 50, pp. 1619-1627.

in semiconductor superlattices under the action of a laser field”, Phys.

[79] Sinyavskii E. P. and Khamidullin R. A. (2002), “Special features of

Semiconductors 36, pp. 924-928.

119

¡

¡

electrical conductivity in a parabolic quantum well in a magnetic field”,

[80] Stroscio M. A. (1989), “Interaction between longitudinal-optical-phonon

modes of a rectangular quantum wire and charge carriers of a one-

dimensional electron gas”, Phys. Rev. B 40, pp. 6428-6431.

[81] Suzuki, A. (1992), “Theory of hot-electron magnetophonon resonance in

quasi-two-dimensional quantum-well structures”, Phys. Rev. B 45, pp.

6731-6741.

[82] Souto E. , Nunes O. A. C., Fonseca A. L. A., Agrello D. A., da Silva

Jr E. F. (2005), “Transverse magneto-conductivity of diluted magnetic

semicon-ductor quantum wires”, physica status solidi (c) 2, pp. 3145-

1348.

[83] Telang N., andBandyopadhyay S. (1993), “Effects of a magnetic field

on electron-phonon scattering in quantum wires”, Phys. Rev. B 48, pp.

18002-18009.

[84] Timofeev V. B., Larionov A. V., Dorozhkin P. S., Bayer M., Forchel

A., Straka J. (1997), “Two-dimensional electron gas in double quantum

wells with tilted bands”, JETP Letters, 65, pp. 877-882.

[85] H. D. Trien, N. Q. Bau and D. Q. Hung (2009), “The dependence of the

nonlinear absorption coefficient of strong electromagnetic waves caused

ceeding of IWNA, Vung Tau, Vietnam, pp. 147-151.

by confined electrons on the radius of cylindrical quantum wires”, Pro-

[86] H. D. Trien, B. T. T. Giang and N. Q. Bau (2010), “The dependence of the

nonlinear absorption coefficient of strong electromagnetic waves caused

by electrons confined in rectangular quantum wires on the temperature

of the System”, VNU Journal of Science, Mathematics - Physics, 26,

pp. 115-120.

[87] H. D. Trien and N. V. Nhan (2011), “The nonlinear absorption of a

120

¡

¡

strong electromagnetic waves caused by confined electrons in a cylin-

Research Letters 20, pp. 87-96.

drical quantum wire”, Journal of USA-Progress In Electromagnetics

[88] Tsu R. and Esaki L. (1971), “Nonlinear optical response of conduction

electrons in a superlattice”, Appl. Phys. Lett., 19, pp. 246-248.

[89] Tworzydo J.,Tajic A., Schomerus H., Brouwer P. W., andBeenakker C. W.

J. (2004), “Exponential Sensitivity to Dephasing of Electrical Conduc-

tion Through a Quantum Dot”, Phys. Rev. Lett. 93, pp. 186806-186809.

[90] Vasilopoulos P., Charbonneau M., and Vlier C. N. V. (1987), “Linear

and nonlinear electrical conduction in quasi-two-dimensional quantum

wells”, Phys. Rev. B 35, pp. 1334-1344.

[91] Wang X. F. and Lei X. L. (1994), “Polar-optic phonons and high-field

B 49, pp. 4780-4789.

electron transport in cylindrical GaAs/AlAs quantum wires”,Phys. Rev.

[92] Wherrett B. S. (1984), “Scaling rules for multiphoton interband absorp-

tion in semiconductors,” J. Opt. Soc. Am. B 1,p p. 67-72.

[93] Yusuf Yakar, Bekir Cakýr and Ayhan Ozmen2 (2010),“Calculation of

linear and nonlinear optical absorption coefficients of a spherical quan-

tum dot with parabolic potential}, Opt. Commun. 283, pp. 1795-1800.

[94] Zakhleniuk N. A., Bennett C. R., Constantinou N. C., Ridley B. K.

and Babiker M. (1996), “Theory of optical-phonon limited hot-electron

121

¡

¡

transport in quantum wires”, Phys. Rev. B 54, pp. 17838-17849.

Phô lôc

C¸c hµm Matlab cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong

d©y l­îng tö h×nh ch÷ nhËt hè thÕ cao v« h¹n.

1. Hµm hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon ©m:

function ham=PTCN4(E0,T,a,Ly,Lx)

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e23 m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=0;

Ome=a.*1e-3.*e./h;

c=3.*1e8;

v=5378;

p=5320;

f=2.2.*1e-49 q=2*1e5;

V=Lx.*Ly.*1e-9;

m: e: f: A = (e: pi): (3:=2): sqrt(2: pi): 2: n0: 2: (kb: T ): ¤ ^ h: ¤ Ome: ¤ c: ^ v: p: ¤ V: 5: 3: ¤ ¤ sqrt(k2): ¤ 2: ^ 2: ¤ (m): (5:=2):=(4: ^ ¤ (3=2)); ^ ¤ ¤ ^ ¤ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ham1=0;

for l1=1:6

for n1=1:6

for l2=1:6

for n2=1:6

pi: Lx: I1 = 32: 4: (q: n1: n2): 2: (1 ( 1): (n1 + n2): ¤ ^ ¤ ^ ¡ ¤ ¤ pi: Lx)):=((q: ¤ Lx): ¤ 2: 4 ¤ (q: 2: cos(q: ¡ Lx): 2: ^ (n1 2 + n2 ¤ ¡ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ^ ¤ 2): ^ 2): ^ n2: (n1: 2 ¤ 2) + pi: 4: ;

¡ Ly: ¤ pi: ^ (q: ^ l1: ^ l2): 4: ^ 2: ^ I2 = 32: (1 1): (l1 + l2): cos(q: ¤ ¤ ¤ ^ ^ ¤ ¤ ( ¡ ¡ ^ ¤ ¤ ¤

pi: Ly)):=((q: Ly): 2: 2: (q: Ly): 2: (l1 2 + l2 2) + pi: 4 ¤ ¤ ^ ¤ ^ ^ ^ ^ ¤ 2 l2: ¡ 2): ¤ 2): 4: (l1: ^ 2; ¡ ^ ^ ^ ¤ ^ I=I1.*I2;

h: 2: 2: (n1: 2:=Lx: 2 + l1: 2:=Ly: 2):=(2: E1=pi: m); ^ ¤ ^ ¤ ^ ^ ^ ^ ¤ h: 2: 2: (n2: 2:=Lx: 2 + l2: 2:=Ly: 2):=(2: E2=pi: m); ^ ^ ¤ ^ ^ ^ ^ ¤ ¤ B=E2-E1+h.*(-Ome);

C=1-exp(h.*(-Ome)./(kb*T));

D=exp(-E2./(kb.*T));

e: kb: T: 2: E0: 2: (kb: T ): 2: (B: :=(4: 2: 2) + F=1 + (1 + 3:

¤ m: ¤ Ome: ¤ h: ^ kb: ¤ kb: ^ ¤ ^ T )+3):=(4: ^ 4: ^ 2: ¤ B)): ¤ ^ B:=(2: T ); 3: B:=(4: ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ C: ¤ D: ¤ ham1 = ham1 + I: F ; 2: ¤ ¤ ^ ¤ end end end end t=double(A.*ham1);

ham=t;

2. Hµm Malab cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn cho c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-

phonon quang, tr­êng hîp hÊp thô xa ng­ìng

function ham=PTCN1(E0,T,a,Ly,Lx) k1=12.9

k2=10.9

n0=1e23

m=(9.1095*1e-31).*0.066

e=1.60219*1e-19

kb=1.3807*1e-23

h=1.05459*1e-34

ome=0.03625.*e./h

Ome=(a).*e./h

c=3*1e8

q=2*1e5

V=1e-18

123

¡

¡

e: kb T Ome: c m: A = (pi: 2 4 n0:=(h: 2 3 sqrt(k2) ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤

V )) (1=k2 1=k1) ham1=0 ¡ ¤ for n1=1:9

for n2=1:9

for l1=1:9

for l2=1:9

pi: Lx: I1 = 32: 4: (q: n1: n2): 2: (1 ( 1): (n1 + n2): ¤ ^ ¤ ^ ¡ ¤ ¤ pi: Lx)):=((q: ¤ Lx): ¤ 2: 2: 4 ¤ (q: ¡ Lx): 2: ^ (n1 2 + n2 cos(q: ¤ ¡ ¤ ^ ¤ ^ ^ ¤ 2): ^ 2): ¤ 2 ^ n2: (n1: 2 4: ¤ 2) + pi:

¡ Ly: ¤ pi: ^ (q: ^ l1: ^ l2): ^ 2: 4: (1 1): (l1 + l2): cos(q: ^ I2 = 32: ¤ ( ¡ ¡ ^ ¤ ¤ pi: ^ Ly): 4 ¤ 2: ¤ 2: ^ (q: ¤ Ly): 2: (l1 2 + l2 ¤ 2) + pi: ¤ Ly)):=((q: ^ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ^ ^ l2: ¤ 2 ¡ 2): ¤ 2): ^ 2 4: (l1: ¡ ^ ^ ^ ^ ¤ I=I1.*I2

h: 2: 2: (n1: 2:=Lx: 2 l1: 2:=Ly: 2):=(2: m) E1 = pi: ¤ ^ ^ ¤ ^ ^ ¡ ^ ^ ¤ h: 2: 2: (n2: 2:=Lx: 2 l2: 2:=Ly: 2):=(2: m) E2 = pi: ¤ ^ ^ ¤ ^ ^ ¡ ¤ e: ^ Ome: ^ h: m: 2: 4: 2)): (E1 B1 = 1 + (3: E0: 2:=(16 ^ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¡ ¤ (Ome ^ ¤ ome)) E2 + h: ¤ m: Ome: h: ¡ e: B2 = 1 + (3: 2: E0: 2:=(16 4: 2)): (E1 ¤ ^ ^ ^ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ E2 + h: ¤ (Ome + ome)) C1=1-exp(-(E1+h.*(Ome-ome))./(kb*T)) ¤ C2=1-exp(-E1-h.*(ome-Ome)./(kb*T))

ham1=ham1+I: 2.*(C1.*B1+C2.*B2) ^ end

end

end

end

t=double(A.*ham1)

ham=abs(t)

3. Hµm Malab cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn cho c¬ chÕ t¸n x¹ ®iÖn tö-phonon

124

¡

¡

quang, tr­êng hîp hÊp thô gÇn ng­ìng

function ham=PTCN2(E0,T,a,Ly,Lx)

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e23;

m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=0.03625.*e./h;

Ome=(a).*e./h;

c=3*1e8;

q=2*1e5;

V=Lx.*Ly.*1e-8;

pi: kb: h: A = (e: 4: ((2: T ): (3=2)) n0: (e: pi): (3:=2):=(4: 3: ^ c V: Ome: ^ 3 ¤ ¤ sqrt(m): 2: ^ (3=2))) ¤ (1=k2 ^ ¤ 1=k1) ¤ ¤ sqrt(k2): ¤ ¤ ¤ ^ ¤ (kb: ¤ ¤ T: ¤ ¤ m): ¤ ^ ¤ ¡ ^ ¤ ham1=0;

for l1=1:3

for n1=1:3

for l2=1:3

for n2=1:3

pi: Lx: I1 = 32: 4: (q: n1: n2): 2: (1 ( 1): (n1 + n2): ¤ ^ ¤ ^ ¡ ¤ ¤ pi: cos(q: Lx)):=((q: ¤ Lx): ¤ 2: 2: 4 ¤ (q: ¡ Lx): 2: ^ (n1 2 + n2 ¤ ¡ ¤ ^ ¤ ^ ^ ¤ 2) + pi: ¤ 2): ^ 2): ^ n2: (n1: 2 4: ¤ 2;

¡ Ly: ¤ pi: ^ I2 = 32: ^ (q: ^ l1: ^ l2): ^ 2: 4: (1 1): (l1 + l2): cos(q: ¤ ( ¡ ¡ ^ ¤ ¤ pi: ¤ Ly)):=((q: ^ Ly): 4 ¤ 2: ¤ 2: ^ (q: ¤ Ly): 2: (l1 2 + l2 ¤ 2) + pi: ^ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ^ ^ 4: (l1: l2: ¤ 2 ¡ 2): ¤ 2): ^ 2; ^ ¡ ^ ^ ^ ¤ I=I1.*I2

125

¡

¡

h: 2: 2: (n1: 2:=Lx: 2 + l1: 2:=Ly: 2):=(2: E1=pi: m); ^ ¤ ^ ¤ ^ ^ ^ ^ ¤ h: 2: 2: (n2: 2:=Lx: 2 + l2: 2:=Ly: 2):=(2: E2=pi: m); ^ ^ ¤ ^ ^ ^ ^ ¤ ¤ B=E2-E1+h.*(ome-Ome);

B1=E2-E1+h.*(-ome-Ome);

C=1-exp(h.*(ome-Ome)./(kb*T));

C1=1-exp(h.*(-ome-Ome)./(kb*T));

D=exp(-E2./(kb.*T));

kb: T: kb: m: e: E0: 2: (1 + B:=(2: T )):=(8: F = 1 + 3: 2: ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ^ Ome: ¤ h: 4: ¤ 2);

kb: T: kb: m: ^ e: E0: 2: (1 + B1:=(2: T )):=(8: ¤ ^ F 1 = 1 + 3: 2: ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ h: Ome: 4: ^ 2); ^ ¤ ^ ham1 = ham1 + I: 2: (C: F + C1: F 1): D; ^ ¤ ¤ ¤ ¤ end

end

end

end

t=double(A.*ham1);

ham=t

4. Hµm Malab cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn khi cã mÆt tõ tr­êng

function ham=PTHTTTCN2(E0,T,a,a1,Lx,Ly)

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e23;

m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=0.03625.*e./h;

Ome=(a).*e./h;

Omec=a1.*e./h;

126

¡

¡

c=3*1e8;

V=Lx.*Ly.*1e-8;

ac=h./(m.*5.*1e20);

N0=kb.*T./(h.*ome);

pi: kb: T: Ome: c 4: 2: n0: Omec:=(h: 2: 3 A = (e: ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ m: ¤ ac: ¤ V )) ¤ 2: ¤ (1=k2 sqrt(k2): 1=k1); ¤ ^ ¤ ¤ ¡ ¤ q=2*1e13;

ham1=0;

for N1=1:7

for n1=1:3

for N2=1:7

for n2=1:3

for l1=1:4

for l2=1:4

pi: Lx: I1 = 32: 4: (q: n1: n2): 2: (1 ( 1): (n1 + n2): ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¡ ¤ pi: cos(q: Lx)):=((q: ¤ Lx): ¤ 2: 2: 4 ¤ (q: ¡ Lx): 2: ^ (n1 2 + n2 ^ ¤ ¡ ¤ ^ ¤ ^ ¤ 2) + pi: ¤ 2): ^ 2): ^ n2: (n1: 2 4: ¤ 2;

¡ Ly: ¤ pi: ^ I2 = 32: ^ (q: ^ l1: ^ l2): ^ 2: 4: (1 1): (l1 + l2): cos(q: ¤ ¤ ( ¡ ¡ ^ ¤ pi: ¤ Ly)):=((q: ^ Ly): 4 ¤ 2: ¤ 2: ^ (q: ¤ Ly): 2: (l1 2 + l2 ¤ 2) + pi: ^ ^ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ^ 4: (l1: l2: ¤ 2 ¡ 2): ¤ 2): ^ 2; ¤ ¡ ^ ^ ^ ^ I=I1.*I2;

h: E1 = pi: 2: 2: (n1: 2:=Lx: 2 + l1: 2:=Ly: 2):=(2: m) + h: ¤ ^ ^ ^ ^ ¤ ¤ ^ Omec: ^ ¤ (N1 + 1:=2);

h: 2: 2: (n2: 2:=Lx: 2 + l2: 2:=Ly: 2):=(2: m) + h: ¤ E2 = pi: ¤ ^ ^ ^ ^ ¤ ¤ ^ Omec: ^ ¤ (N2 + 1:=2); ¤ e: m: ac: Ome: B1 = 1 + 3: 2: E0: 2:=(8: 2: 2: 4); ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ C=exp(-E1./(kb.*T))-exp(-E2./(kb.*T));

e: ome: pi: I h: h: A1 = N0: 2: (1:=k1 1:=k2):=4: 2: 2: ¤ ¡ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ q: V: ¤ k1: 2: 2: ¤ 2; ¤ ¤ ^ ¤ ¤ M=N1-N2;

127

¡

¡

Ome h: h: F = h: sqrt(A1: M ):=(M: (h: ome + M: Omec + ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¤

E1 E2) + h: 2); ^ h: ¡ F 1 = h: sqrt(A1: M ):=(M: (h: Ome + h: ome + M: Omec + ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ E1 ¤ E2) + h: ¤ 2); ¡ ^ ham1=ham1+B1.*(F+F1).*C;

end

end

end

end

end

end

t=double(A.*ham1);

ham=abs(t);

C¸c hµm Matlab cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong

d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ cao v« h¹n.

1. Hµm hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon

quang cho hÊp thô xa ng­ìng:

function ham=PTHT1(E0,T,R,a)

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e28;

m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=0.03625.*e./h;

Ome=(a).*e./h;

128

¡

¡

c=3*1e8;

q=2*1e5;

R: V = pi: 2; ^ e: kb T Ome: c m: ¤ A = (pi: 2 4 n0:=(h: 2 3 sqrt(k2) ¤ ¤ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ V )) ^ (1=k2 ^ 1=k1) ¤ ¡ B=[2.4048265, 5.5200781, 8.6537279, 11.7915344, 14.9309177, 18.0710640

3.8317060, 7.0155867, 10.1734681, 13.3236919, 16.4706301, 19.6158585

5.1356223, 8.4172441, 11.6198412, 14.7959518, 17.9598195, 21.1169971

6.3801619, 9.7610231, 13.0152007, 16.2234640, 19.4094148, 22.5827295

7.5883427, 11.0647095, 14.3725367, 17.6159660, 20.8269330, 24.0190195

8.7714838, 12.3386042, 15.7001741, 18.9801339, 22.2177999, 25.4303411]

ham1=0;

for n1=1:6

for n2=1:6

for l1=1:6

for l2=1:6

bessel(3; q: R):=(q: R): 3 I = 24: ¤ ^ m: R: ¤ E1 = h: 2: B(n1; l1): ¤ 2:=(2: 2); ^ ¤ ^ ¤ ¤ ^ m: R: E2 = h: 2: B(n2; l2): 2:=(2: 2); ¤ ¤ ^ ^ ^ ¤ B1=E2-E1+h.*(ome-Ome);

C1=1-exp(-E1+h.*(ome-Ome)./(kb*T));

C2=1-exp(-E1+h.*(-ome-Ome)./(kb*T));

e: m: Ome: h: F 1 = 1 + (3: 2: E0: 2:=(16 4: 2)): (E1 ^ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¡ ¤ E2 + h: (Ome ^ ¤ ome)); ¤ m: Ome: h: ¡ e: F 2 = 1 + (3: 2: E0: 2:=(16 4: 2)): (E1 ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¡ ¤ ¤ ^ E2 + h: ^ (Ome + ome));

¤ ham1 = ham1 + I: 2: (C2: F 2 + C1: F 1); ^ ¤ ¤ ¤ end

129

¡

¡

end

end

end

t=double(A.*ham1);

ham=abs(t);

2. Hµm hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn cho tr­êng hîp t¸n x¹ ®iÖn tö phonon

©m:

function ham=PTHT2(E0,T,R,a)

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e28;

m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=0.03625.*e./h;

Ome=(a).*e./h;

c=3*1e8;

%R=5*1e-8;

%Ly=20.*1e-9;

q=2*1e5;

R: 2; V = pi: ¤ ^ pi: kb: h: Ome: A = (e: 4: ((2: T ): (3=2)) n0:=(4: 3: 3 ¤ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¤ c ^ sqrt(k2): ¤ sqrt(m): ¤ V )) ^ (1=k2 ¤ 1=k1) ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ B=[2.4048265, 5.5200781, 8.6537279, 11.7915344, 14.9309177, 18.0710640

3.8317060, 7.0155867, 10.1734681, 13.3236919, 16.4706301, 19.6158585

5.1356223, 8.4172441, 11.6198412, 14.7959518, 17.9598195, 21.1169971

6.3801619, 9.7610231, 13.0152007, 16.2234640, 19.4094148, 22.5827295

130

¡

¡

7.5883427, 11.0647095, 14.3725367, 17.6159660, 20.8269330, 24.0190195

8.7714838, 12.3386042, 15.7001741, 18.9801339, 22.2177999, 25.4303411]

ham1=0;

for n1=1:4

for n2=1:4

for l1=1:4

for l2=1:4

bessel(3; q: R):=(q: R): 3; I = 24: ¤ ^ m: R: ¤ E1 = h: 2: B(n1; l1): ¤ 2:=(2: 2); ^ ¤ ^ ¤ ¤ ^ m: R: E2 = h: 2: B(n2; l2): 2:=(2: 2); ¤ ¤ ^ ^ ^ ¤ B1=E2-E1+h.*(ome-Ome);

B2=E2-E1+h.*(-ome-Ome);

C1=1-exp(h.*(ome-2.*Ome)./(kb*T));

C2=1-exp(h.*(-ome-2.*Ome)./(kb*T));

D1=exp(B1./(kb.*T));

D2=exp(B2./(kb.*T));

e: kb: T: kb: m: 2: F 1 = 1 + 3: E0: 2: (1 + B1:=(2: T )):=(8: ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ h: Ome: ^ 2); 4:

^ e: kb: T: kb: m: 2: ¤ ^ F 2 = 1 + 3: E0: 2: (1 + B2:=(2: T )):=(8: ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ h: Ome: ^ 2); 4: ^ ¤ ^ ham1=ham1+(C1.*D1.*F1+C2.*D2.*F2);

end

end

end

end

t=double(A.*ham1);

ham=t;

3. T¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m

131

¡

¡

function ham=PTHTa(E0,T,R,a)

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e40 m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=36.25*e*1e-3./h;

Ome=(a).*e./h;

c=3*1e8;

v=5378;

p=5320;

f=2.2.*1e-23 %ome=36.25*e*1e-3./h %R=5*1e-8;

%Lx=20*1e-9;

%Ly=20.*1e-9;

q=2*1e5;

R: V = pi: 2; ¤ m: e: f: ^ A1 = sqrt(2: pi): 2: n0: 2: (kb: T ): (5:=2):=(4: ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ^ h: ¤ Ome: c: v: p: 5: 3: ¤ ¤ ^ sqrt(k2): 2: ¤ V ); ^ ¤ ¤ ¤ ^ ^ ¤ ¤ ¤ A=[2.4048265, 5.5200781, 8.6537279, 11.7915344, 14.9309177, 18.0710640

3.8317060, 7.0155867, 10.1734681, 13.3236919, 16.4706301, 19.6158585

5.1356223, 8.4172441, 11.6198412, 14.7959518, 17.9598195, 21.1169971

6.3801619, 9.7610231, 13.0152007, 16.2234640, 19.4094148, 22.5827295

7.5883427, 11.0647095, 14.3725367, 17.6159660, 20.8269330, 24.0190195

8.7714838, 12.3386042, 15.7001741, 18.9801339, 22.2177999, 25.4303411]

ham1=0;

for l1=1:6

for n1=1:6

for l2=1:6

for n2=1:6

132

¡

¡

m: R: E1 = h: 2: A(n1; l1): 2:=(2: 2); ^ ¤ ^ ¤ ¤ ^

m: R: E2 = h: 2: A(n2; l2): 2:=(2: 2); ¤ ^ ¤ ¤ ^ ^ B=E2-E1+h.*(-Ome);

C=exp(h.*(-Ome)./(kb*T))-1;

D=exp(-E2./(kb.*T));

e: kb: T: F = 1+(1+3: 2: E0: 2: (kb: T ): 2: (B: 2:=(4: 2: 2)+ ^ ¤ kb: ¤ m: ¤ Ome: ¤ h: ^ kb: ^ ¤ T )+3):=(4: ^ 4: ^ 2: ¤ B)): ¤ ^ B:=(2: 3: B:=(4: T ); ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ C: ¤ D: ¤ ham1 = ham1 + I: F ; 2: ¤ ¤ ^ ¤ end

end

end

end

t=double(A1.*ham1);

ham=t;

4. Tr­êng hîp cã tõ tr­êng

function ham=PTHTTT2(E0,T,R,a,a1)

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e23;

m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=0.03625.*e./h;

Ome=(a).*e./h;

Omec=a1.*e./h;

c=3*1e8;

q=2*1e5;

133

¡

¡

R: V = pi: 2; ¤ ^

ac=h./(m.*5.*1e20);

N0=kb.*T./(h.*ome);

pi: kb: T: Ome: c A = (e: 4: 2: n0: Omec:=(h: 2: 3 ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ m: ¤ ac: sqrt(k2): ¤ V )) ¤ 2: ¤ (1=k2 1=k1); ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¡ B=[2.4048265, 5.5200781, 8.6537279, 11.7915344, 14.9309177, 18.0710640

3.8317060, 7.0155867, 10.1734681, 13.3236919, 16.4706301, 19.6158585

5.1356223, 8.4172441, 11.6198412, 14.7959518, 17.9598195, 21.1169971

6.3801619, 9.7610231, 13.0152007, 16.2234640, 19.4094148, 22.5827295

7.5883427, 11.0647095, 14.3725367, 17.6159660, 20.8269330, 24.0190195

8.7714838, 12.3386042, 15.7001741, 18.9801339, 22.2177999, 25.4303411];

ham1=0;

for N1=1:9

for n1=1:1

for N2=1:9

for n2=1:2

for l1=1:2

for l2=1:2

I = 24: bessel(3; q: R):=(q: R): 3; ¤ ¤ ¤ ^ E1=h.*Omec.*(N1+n1+1./2);

E2=h.*Omec.*(N2+n2+1./2);

e: m: ac: Ome: B1 = 1 + 3: 2: E0: 2:=(8: 2: 2: 4); ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ C=exp(-E1./(kb.*T))-exp(-E2./(kb.*T));

e: ome: I: pi: h: h: A1 = N0: 2: (1:=k1 1:=k2): 2:=4: 2: ¤ ¡ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ q: V: ¤ k1: 2: 2: ¤ 2; ¤ ¤ ^ ¤ ¤ M=N1-N2+n1./2-n2./2+l1./2-l2./2+1./2;

134

¡

¡

Ome h: h: F 1 = h: sqrt(A1: M ):=((h: ome+M: Omec)+h: A1) 2: ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ^ h: F 2 = h: sqrt(A1: M ):=((h: Ome+h: ome+M: Omec)+h: A1) 2: ¤ ¤ ¤ ¤ ^ ¤ ¤ ham1 = ham1 + I: ¤ B1: 2: (F 1 + F 2): C; ¤ ^ ¤ ¤

end

end

end

end

end

end

t=double(A.*ham1);

ham=abs(t);

C¸c hµm Matlab cña hÖ sè hÊp thô phi tuyÕn sãng ®iÖn tõ trong

d©y l­îng tö h×nh trô hè thÕ parabol.

1. T¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang trong tr­êng hîp xa ng­ìng

function ham=PTHT1P(E0,T,R,a)

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e28;

m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=0.026.*e./h;

Ome=(a).*e./h;

ome0=1e12;

c=3*1e8;

R: V = pi: 2: 1e 10; ¤ ^ ¤ ¡ a0=sqrt(h./(m.*ome0));

135

¡

¡

e: kb T Ome: c m: A = (pi: 2 4 n0:=(h: 2 3 sqrt(k2) ¤ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ V )) ^ (1=k2 ^ 12 ¤ (x ^ 2:=a0 ¤ 2) (x 4( 3): ¤ 1=k1) syms x B = [ ^ ¤ ^ ¡ ¡ ¤ 2:=a0 ¡ 2 + 18: 2): (x 2:=a0 ¡ 2) ¤ 184: (x ^ 2:=a0 48: 2): 3 ^ ^ ¤ ^ ^ ¡ ¤ ^ ¤ ^ ^ ¡

2): 2 + 144 (x 2:=a0 2) (x 2:=a0 96; ^ ^ ¡ ^ 2:=a0 2): ¤ 2 + 18: ^ 2:=a0 2) (x 182 6: (x 2:=a0 ^ 3: (x ¡ ^ ^ (x ^ ^ 2:=a0 2): (x ¤ 2 ^ 96: ^ ¡ 2:=a0 ¡ ^ ¤ 2) + 1812: ¤ 2) + 144; ^ ^ ¡ ^ ¤ ^ 2:=a0 2): 2 + 18: ¤ ^ 2:=a0 (x 18 2) 6: (x 2:=a0 3: (x ¤ ^ ¡ ¡ ¤ ^ ^ ^ 624: ^ (x ^ 2:=a0 2) ¡ ¤ 2) + 18 ^ 96; ¤ ^ ^ ¡ ¡ ham1=0;

for l1=1:4

for n1=1:4

for l2=1:4

for n2=1:4

x hsong1 = sqrt(2: factorial(n1):=factorial(n1 + l1)): exp( 2:=(2: ^ ¡ x: ¤ x: ¤ (x:=a0): a0 2)): l1: exp( 2:=(2: a0: 2)): ¤ B(n1; l1):=a0; ^ ¤ ¡ ^ ^ ¤ x ¤ hsong2 = sqrt(2: ^ ¤ factorial(n2):=factorial(n2 + l2)): ¤ exp( 2:=(2: ^ ¡ ¤ x: x: l2: exp( 2:=(2: a0: 2)): ¤ (x:=a0): a0 2)): ¤ B(n2; l2):=a0; ¤ ¡ ^ ¤ ^ ¤ ¤ ^ ^ ¤ f=hsong1.*hsong2;

I=int(f,0,R)

I1=double(I)

E1=h.*ome0.*(2*n1+l1+1);

E2=h.*ome0.*(2*n2+l2+1);

e: m: Ome: h: B = 1 + (3: 2: E0: 2:=(16 4: 2)): (E1 E2 + ^ ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¡ ¤ h: (Ome ^ ¤ ome)); ¤ ¡ C=1-exp(-(E1+h.*(Ome-ome))./(kb*T));

m: h: D = (2: (E1 E2 (Ome ome)):=h: 2): (1:=2); ¤ ¡ ^ ^ ¡ ¡ C: ¤ B: ¤ ham1 = ham1 + I: 2: D; ¤ ¤ ^ ¤ end

end

end

end

t=double(A.*ham1);

136

¡

¡

ham=t;

2. T¸n x¹ ®iÖn tö-phonon quang trong tr­êng hîp gÇn ng­ìng

function ham=PTHT2P(E0,T,R,a,ome0)

syms x %R

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e13;

m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=36.25*e*1e-3./h;

ome=0.03625.*e./h;

Ome=(a).*e./h;

c=3*1e8;

q=2*1e5;

R: V = pi: 2; ¤ ^ a0=sqrt(h./(m.*ome0));

pi: kb: h: A = (e: 4: ((2: T ): (3:=2)) n0: ((pi: e): (3:=2):=(m: ¤ ^ ¤ ¤ ^ ¤ ¤ h: Ome: c kb: 3: ¤ 3 ¤ sqrt(k2): sqrt(m): V )) ^ T ): ¤ ¤ (3:=2)):=(4: ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ (1=k2 ^ 1=k1); ¡ x x: x x: x: x B = [ 12 4( 3): 2+18: 184: 3 48: 2+144 96; ¤ ¡ ¤ ¡ ¡ ^ ¡ x ^ x: ¡ x: ^ 182 ¤ ¡ 2 + 18: ¤ x + 1812: 6: 2 ¤ 96: ¤ x + 144; 3: ¤ ¡ ¤ ¤ ¡ ^ x ^ x x: 18 2 + 18: ¡ 6: ¤ x + 18 ¤ 624: ¡ 96; 3: ¡ ¡ ¤ ¡ ¤ x: x ¡ x: x ¤ x: 48: 2 + 144 9612: 2 ¤ 96: x + 14424: 9624] ¡ 4: ^ 3 ¤ ^ ¡ ¤ ¡ ¤ ^ ¡ ¤ ¤ ¡ ¤ ^ ham1=0

for l1=1:1

for n1=1:1

137

¡

¡

for l2=1:1

for n2=1:1

x hsong1 = sqrt(2: factorial(n1):=factorial(n1 + l1)): exp( 2:=(2: ^ ¡ x: ¤ x: ¤ (x:=a0): a0 2)): l1: exp( 2:=(2: a0: 2)): ¤ B(n1; l1):=a0; ^ ¤ ¡ ^ ^ ¤ x ¤ hsong2 = sqrt(2: ^ ¤ factorial(n2):=factorial(n2 + l2)): ¤ exp( 2:=(2: ^ ¡ x: ¤ x: ¤ (x:=a0): a0 2)): l2: exp( 2:=(2: a0: 2)): ¤ B(n2; l2):=a0; ^ ¤ ^ ¤ ¡ ^ ¤ ^ ¤ ¤ f=hsong1.*hsong2.*exp(q.*x);

I=int(f,0,R);

I1=double(I);

E1=h.*ome0.*(2*n1+l1+1);

E2=h.*ome0.*(2*n2+l2+1);

B1=E2-E1+h.*(ome-Ome);

B2=E2-E1+h.*(-ome-Ome);

C=1-exp(h.*(ome-Ome)./(kb*T));

C1=1-exp(h.*(-ome-Ome)./(kb*T));

D=exp(-E2./(kb.*T));

kb: T: kb: m: e: E0: 2: (1 + B1:=(2: T )):=(8: F = 1 + 3: 2: ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ^ Ome: h: 4: ¤ 2);

kb: T: kb: m: ^ e: 2: E0: 2: (1 + B2:=(2: T )):=(8: ¤ ^ F 1 = 1 + 3: ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ h: Ome: ^ ¤ 2); 4 4: ^ ¤ ^ D: D: ham1 = ham1 + I1 2: (C: F + C1: F 1) ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ end

end

end

end

t = A: ham1:=(R 2); ^ ¤ ham=t

3. T¸n x¹ ®iÖn tö-phonon ©m

function ham=PTHT2Pa(E0,T,R,a,ome0)

syms x

138

¡

¡

k1=12.9;

k2=10.9;

n0=1e28;

m=(9.1095*1e-31).*0.066;

e=1.60219*1e-19;

kb=1.3807*1e-23;

h=1.05459*1e-34;

ome=0.03625.*e./h;

Ome=(a).*e./h;

c=3*1e8;

v=5378;

p=5320;

R: 2: 1e f=2.2.*1e-23 V = pi: 10; ^ ¤ ¡ ¤ a0=sqrt(h./(m.*ome0));

m: e: f: h: A = sqrt(2: pi): 2: n0: 2: (kb: T ): (5:=2):=(4: ¤ ^ ¤ ^ ¤ ^ ¤ c: Ome: ¤ v: ^ p: ¤ 3: sqrt(k2): 5: ¤ 2: ¤ V );

¤ B = [ ^ (x ¤ ¤ 2:=a0 12 ¤ 3): ^ (x ¤ ¤ 2:=a0 2) 4( 2): 2+18: (x 2:=a0 2) ¡ ^ ¤ ¡ (x 184: ¤ ^ 2:=a0 2): ^ 3 ¡ 48: (x ¤ ^ 2:=a0 2): ^ 2+144 ^ 2:=a0 (x ^ 2) ¡ 96; ¤ ^ ^ ^ (x 3: ^ 2:=a0 ^ 2): ¡ ¤ 2 + 18: ^ (x ^ 2:=a0 ¤ 182 ^ 6: ¡ 2:=a0 (x 2) ¡ ^ ^ ¡ ^ ¤ 2) + 1812: ^ ^ 2:=a0 2): ¤ 2 ^ 96: (x (x ^ ¡ 2:=a0 ¤ 2) + 144; ^ ^ ¡ ^ 2): 2 + 18: ¤ ^ 2:=a0 ¤ ^ 2:=a0 3: (x (x 18 2) 6: (x 2:=a0 ^ ¤ ^ ¡ ¡ ¤ ^ ^ ¤ ¡ 2) + 18 624: ^ (x ^ 2:=a0 ^ 96; 2)

¡ 2:=a0 ¤ 2): ^ 3 48: ¡ 2:=a0 ^ (x 2): 2+144 2:=a0 2) 9612: (x (x 4: ^ ^ ^ ¤ ^ ^ 2): ^ 2 ¡ 96: ¤ (x ^ 2:=a0 2) + 14424: 2:=a0 ¡ 2) ¤ 9624] (x ¤ (x ^ 2:=a0 ^ ^ ¡ ¤ ^ ^ ^ ¡ ¤ ^ ^ ham1=0;

for l1=1:2

for n1=1:2

for l2=1:2

for n2=1:2

139

¡

¡

x hsong1 = sqrt(2: factorial(n1):=factorial(n1 + l1)): exp( 2:=(2: ^ ¡ x: ¤ x: ¤ (x:=a0): a0 2)): l1: exp( 2:=(2: a0: 2)): ¤ B(n1; l1):=a0; ^ ¤ ^ ¤ ¡ ^ ¤ ^ ¤ ¤

x hsong2 = sqrt(2: factorial(n2):=factorial(n2 + l2)): exp( 2:=(2: ^ ¡ x: ¤ x: l2: exp( 2:=(2: a0: 2)): ¤ (x:=a0): a0 2)): ¤ B(n2; l2):=a0; ¤ ¡ ^ ¤ ^ ¤ ¤ ^ ^ ¤ f=hsong1.*hsong2;

I=int(f,0,R);

% he so tuong tac %I1=collect(I) I1=double(I);

E1=h.*ome0.*(2*n1+l1+1);

E2=h.*ome0.*(2*n2+l2+1);

B1=E2-E1+h.*(-Ome);

C=1-exp(h.*(-Ome)./(kb*T));

D=exp(-E2./(kb.*T));

e: kb: T: F = 1+(1+3: 2: E0: 2: (kb: T ): 2: (B1: 2:=(4: 2: 2)+ ^ ¤ kb: ¤ m: ¤ Ome: ¤ h: ^ kb: 3: B1:=(4: ^ ¤ ^ T )+3):=(4: ^ 4: 2: B1)): ¤ ^ ¤ B1:=(2: T ); ¤ ¤ ^ ¤ ^ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ C: ¤ D: F ¤ ham1 = ham1 + I1: 2: ¤ ¤ ^ ¤ end

end

end

end

140

¡

¡

t = A: ham1:=(R: 2); ^ ¤ ham=t;