Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------------------------------

NGUYỄN DUY CƯỜNG

NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT

TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

NGHỆ AN - 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------------------------------

NGUYỄN DUY CƯỜNG

NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT

TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN

Chuyên ngành: QUANG HỌC

Mã số: 9440110

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:

1. GS.TS. Đinh Xuân Khoa

2. GS.TSKH. Marek Trippenbach

NGHỆ AN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan nội dung của luận án này là công trình nghiên cứu của riêng

tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Đinh Xuân Khoa và GS.TSKH.

Marek Trippenbach. Các kết quả trong luận án là trung thực và được công bố

trên các tạp chí chuyên ngành ở trong nước và quốc tế.

Tác giả

Nguyễn Duy Cường

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TS. Đinh Xuân Khoa

và GS.TSKH. Marek Trippenbach là những Thầy đã định hướng nghiên cứu,

cung cấp các tài liệu quan trọng, nhiều lần thảo luận góp ý và tận tình chỉ dẫn

cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy giáo GS.TSKH. Cao Long Vân,

TS. Bùi Đình Thuận, TS. Nguyễn Việt Hưng và các Thầy cô giáo Ngành Vật lý

thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên cùng nhóm Nghiên cứu sinh chuyên ngành

Quang học đã giúp đỡ, nhiệt tình giảng dạy các kiến thức chuyên ngành, chỉ dẫn

các kỹ năng nghiên cứu, có nhiều đóng góp ý kiến quý báu và giải đáp các thắc

mắc về mặt khoa học trong quá trình tôi thực hiện đề tài.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Viện Sư phạm Tự nhiên,

Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi

nhất, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ kịp thời các thủ tục hành chính trong thời

gian tôi học tập và nghiên cứu.

Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp

Vinh đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian cho tôi trong việc học tập và

nghiên cứu trong những năm qua.

Cuối cùng, tôi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, người thân và bạn bè đã quan

tâm động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành luận án này.

Trân trọng cảm ơn!

Tác giả luận án

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

TỔNG QUAN ...................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1

2. Mục tiêu nghiên cứu .......................................................................................... 4

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................... 5

4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 5

5. Bố cục của luận án ............................................................................................ 6

Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN ................... 7

1.1. Phương trình đạo hàm riêng mô tả một số hệ vật lý ...................................... 7

1.2. Phi tuyến kiểu Kerr và phương trình Schrödinger phi tuyến mô tả một số hệ

quang học .............................................................................................................. 9

1.2.1. Hiệu ứng phi tuyến Kerr.............................................................................. 9

1.2.2. Hiện tượng hấp thụ hai photon .................................................................. 12

1.2.3. Phương trình Schrödinger phi tuyến mô tả một số hệ quang học ............. 13

1.3. Solitons và lời giải solitons .......................................................................... 14

1.4. Một số phương pháp số để tính toán phương trình Schrödinger phi tuyến . 16

1.4.1. Phương pháp thời gian ảo để tìm kiếm lời giải solitons của phương trình

Schrödinger phi tuyến ......................................................................................... 17

1.4.2. Phương pháp Split - Step Fourier (SSF) ................................................... 19

1.5. Một số phương pháp dùng để xét tính chất ổn định của các trạng thái ....... 23

1.5.1. Phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của mode nhiễu loạn ..................... 23

1.5.2. Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov - Kolokolov (V-K) .................................... 27

1.6. Sự phá vỡ đối xứng tự phát .......................................................................... 28

1.6.1. Khái niệm về sự phá vỡ đối xứng tự phát ................................................. 28

1.6.2. Đặc trưng rẽ nhánh trong hệ phi tuyến bảo toàn ....................................... 29

1.6.3. Trạng thái hỗn loạn và một số kịch bản dẫn đến hỗn loạn ....................... 31

1.7. Kết luận chương 1 ........................................................................................ 34

Chương 2. SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ

QUANG HỌC PHI TUYẾN BẢO TOÀN ....................................................... 36

2.1. Hệ ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính kép ........ 36

2.1.1. Mô hình và phương trình mô tả hệ........................................................... 36

2.1.2. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự hội tụ và thế tuyến tính kép ................... 39

2.1.3. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự phân kỳ và thế tuyến tính kép ................ 46

2.2. Hệ hai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu và liên kết tuyến

tính ....................................................................................................................... 48

2.2.1. Hệ phương trình một chiều mô tả hệ nghiên cứu .................................... 48

2.2.2. Các trạng thái solitons, giản đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định của các

trạng thái ............................................................................................................. 49

2.3. Kết luận chương 2 ........................................................................................ 53

Chương 3. SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG HỆ HAI VÒNG

CỘNG HƯỞNG QUANG KÍCH THƯỚC CỠ MICRO MÉT .................... 54

3.1. Mô hình nghiên cứu và hệ phương trình mô tả ............................................ 54

3.2. Một số loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ cộng hưởng vòng

quang ................................................................................................................... 57

3.2.1. Trạng thái dừng và sự phá vỡ đối xứng .................................................... 58

3.2.2. Trạng thái dao động................................................................................... 63

3.2.3. Trạng thái hỗn loạn ................................................................................... 65

3.3. Sự phá vỡ đối xứng của hệ với hàm liên kết Gauss kép .............................. 68

3.3.1. Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phá vỡ đối xứng của hệ ............ 69

3.3.2. Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên sự phá vỡ đối xứng của hệ ......... 77

3.3.3. Ảnh hưởng của tham số mất mát lên sự phá vỡ đối xứng của hệ ............. 83

3.4. Kết luận chương 3 ........................................................................................ 85

KẾT LUẬN CHUNG ........................................................................................ 87

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ .............................................................. 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 90

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH

DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Từ viết tắt Viết đầy đủ Nghĩa tiếng việt

SSB Spontaneous Symmetry Breaking Sự phá vỡ đối xứng tự phát

Phương trình Schrödinger NLSE Nonlinear Schrödinger Equation phi tuyến

Hệ ngưng tụ Bose - BEC Bose - Einstein condensation Einstein

AI Artificial Intelligence Trí tuệ nhân tạo

Tên của hai nhà khoa học V-K Vakhitov - Kolokolov Vakhitov và Kolokolov

Tên của phương pháp số SSF Split - Step Fourier Split - Step Fourier

Phần thực Re Real

Phần ảo Im Image

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Nội dung Trang Hình

Hai cách làm thay đổi chiết suất hiệu dụng của môi trường: (a) 10 1.1 tự điều biến pha và (b) điều biến pha chéo [33].

Lan truyền của các solitons sau một chu kỳ: (a) soliton bậc 15 1.2 nhất và (b) soliton bậc bốn.

Lan truyền của xung qua bước nhỏ ℎ theo phương pháp Split - 22 1.3 Step bậc hai.

Phổ ổn định tuyến tính của các trạng thái solitons của phương

trình Schrödinger phi tuyến (1.84) với hằng số lan truyền 𝜇 = 26 1.4

1, tương ứng với ba trường hợp phi tuyến (1.84a)-(1.84c).

Hình (a) là đường cong công suất trạng thái solitons (1.85); (b,

c) là phổ ổn định tuyến tính của trạng thái solitons tại hai giá 27 1.5

trị 𝜇 = 1 và 𝜇 = 3 tương ứng với các điểm tròn ở hình (a).

28 1.6 Hiện tượng phá vỡ đối xứng trục của dây thép thẳng.

Sự rẽ nhánh trên tới hạn của các trạng thái solitons trong mô 30 1.7 hình một chiều [44].

Sự rẽ nhánh dưới tới hạn của các trạng thái solitons trong mô 31 1.8 hình hai chiều [45].

Quỹ đạo của hệ Lorenz khi các giá trị tham số ρ = 28, σ = 10, 32 1.9 β = 8/3.

33 1.10 Ba kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn.

⁄ 37 2.1 Thế tuyến tính Gauss kép được chuẩn hóa 𝑈(𝑥) |𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥 theo tọa độ không gian 𝑥.

Trạng thái soliton bất đối xứng trái (a) và bất đối xứng phải (b)

(các đường nét liền) nằm trong thế tuyến tính kép (đường nét

đứt). Các tham số: độ rộng của hàm thế Gauss kép là 𝑎 = 0.5, 38 2.2

công suất xung là 𝑁 = 2, trường hợp này là phi tuyến tự hội tụ

𝜎 = −1.

Các trạng thái solitons của hệ và thế Gauss kép lần lượt tương

ứng các đường màu xanh và màu đỏ nét đứt: (a) trạng thái 39 2.3

soliton đối xứng, (b) trạng thái soliton bất đối xứng.

Hình (a), (b) lần lượt là độ bất đối xứng như là hàm của hằng 40 2.4 số lan truyền 𝜇, và công suất xung 𝑁.

Hình (a) là công xuất xung phụ thuộc vào hằng số lan truyền;

hình (b) là tiến triển trong không gian trạng thái soliton đối

xứng với 𝑁 = 0.5, 𝑎 = 0.5; hình (c), (d) lần lượt là tiến triển 41 2.5

trạng thái soliton đối xứng và trạng thái soliton đối xứng khi

𝑁 = 2, 𝑎 = 0.5.

Hình (a), (b), (c) tương ứng là hình dạng solitons của các trạng

thái ứng với các điểm A, B, C (hoặc D). Các hình (a1), (b1), (c1) 43 2.6 tương ứng là phổ trị riêng của các mode nhiễu loạn khi tiến triển

các solitons ứng với (a), (b), (c) trong không gian thực.

Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng

được tính theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và 44 2.7 công suất xung 𝑁 ứng với trường hợp độ rộng của thế Gauss

kép 𝑎 = 0.2.

Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng

được tính theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và 44 2.8 công suất của xung vào 𝑁 ứng với trường hợp độ rộng của thế

Gauss kép 𝑎 = 1.0.

45 Hình (a) công suất xung vào ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn); hình (b) hằng số lan truyền 2.9

ngưỡng 𝜇𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn).

Sự phụ thuộc của độ bất đối xứng Θ vào công suất xung trong

trường hợp phi tuyến tự phân kỳ, độ rộng thế tuyến tính Gauss 46 2.10

kép 𝑎 = 1.0.

Các trạng thái solitons trong thế Gauss kép ứng với độ rộng

khác nhau, hình (a) tương ứng độ rộng a =1/3, công suất 𝑁=2 47 2.11

và hình (b) tương ứng với a =1.0, công suất 𝑁=2.

Tiến triển trong không gian thực các trạng thái solitons, hình

(a) ứng với trường hợp độ rộng a =1/3, công suất xung 𝑁=2, 47 2.12 hình (b) ứng với trường hợp độ rộng a =1.0, công suất xung

𝑁=2.

Các loại trạng thái solitons: hình (a) là trạng thái đối xứng,

hình (b) trạng thái phản đối xứng và hình (c) trạng thái không 50 2.13 đối xứng của hệ trong trường hợp hệ số liên kết 𝜅 = 1 và hằng

số lan truyền 𝜇 = 4.

Hình (a) miêu tả công suất xung và hình (b) miêu tả năng

lượng của các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và không đối 51 2.14

xứng theo hằng số lan truyền 𝜇.

Hình (a), (b) miêu tả độ bất đối xứng được định nghĩa theo

biểu thức (2.25) theo hằng số lan truyền 𝜇 và tổng công suất 52 2.15

𝑁.

Mô hình nghiên cứu gồm hai vòng cộng hưởng quang học với

sự có mặt của khuếch đại tuyến tính, mất mát phi tuyến và liên 55 3.1

kết tuyến tính với nhau [31].

Một số loại trạng thái cuối cùng của hệ khi liên kết giữa hai 58 3.2 vòng là hằng số, tham số mất mát cố định Γ = 1 [31].

59 3.3

Trạng thái dừng trong trường hàm liên kết Gauss đơn với các tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝐽0 = 2, 𝑎 = 1. Các trạng thái dừng trong trường hợp liên kết Gauss đơn, các

tham số 𝛾 = 3, 𝛤 = 1 và 𝑎 = 1, với cường độ liên kết khác 60 3.4

nhau là 𝐽0 = 1, 𝐽0 = 2, 𝐽0 = 3. Hình (a) là kết quả tính toán của luận án, (b) là kết quả của công trình [48].

Trạng thái dừng đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm

61 3.5

sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 = 0.55 [50, 51]. Trạng thái dừng phản đối xứng, hình (a) là mô đun của các

61 3.6

hàm sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 = 1.1 [50, 51]. Trạng thái dừng bất đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm

62 3.7

sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 = 0.60 [50, 51]. Trạng thái không đồng nhất trong trường hợp liên kết hằng số, 63 3.8 các tham số Γ = 1, 𝛾 = 1.5 và 𝑐 = 1.75 [31].

Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng số.

Hình (a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo

thời gian [31], (b) là biến đổi Fourier của tổng công suất, (c) là 64 3.9

tiến triển của hàm sóng theo thời gian và (d) là mô đun của các

hàm sóng. Các tham số của hệ Γ = 1, 𝛾 = 1 và 𝑐 = 1.25.

Sự tiến triển của hàm sóng theo thời gian trong một vòng

quang học của hệ trong trường hợp liên kết Gauss đơn với các 65 3.10 tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 1; hình (a) ứng với cường độ liên

kết 𝐽0 = 4, hình (b) ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 5 [48]. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong hệ trong trường hợp liên

kết hằng số (trong đó hình nhỏ của hình vẽ (a) là kết quả của 66 3.11

[31]), khi các tham số đặc trưng của hệ Γ = 1, 𝛾 = 2 và 𝑐 = 2.

Biến đổi Fourier của tổng công suất trong hai vòng của hệ mô

tả kịch bản dẫn đến hỗn loạn. Hình (a) ứng với hằng số liên kết 67 3.12 𝑐 ∈ [1.74,1.82], hình (b) chi tiết vùng nhỏ khung vuông màu

đỏ ứng với 𝑐 ∈ [1.790,1.810] [52].

Mô đun của các hàm sóng ứng với các giá trị khác nhau của

70 3.13

71 3.14

73 3.15

cường độ liên kết: hình (a), (b), (c) và (d) tương ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 0.9, 𝐽0 = 0.95, 𝐽0 = 1.0 và 𝐽0 = 1.1. Trạng thái dao động ứng với ba trường hợp khác nhau của cường độ liên kết 𝐽0 = 2.598, 𝐽0 = 2.6 và 𝐽0 = 2.61. Tổng công suất và biến đổi Fourier của các trạng thái lần lượt tương ứng với các tham số cường độ liên kết 𝐽0 = 2.84, 𝐽0 = 3.19 và 𝐽0 = 3.20; hình (a1-b1) một trạng thái hỗn loạn, (a2-b2) trạng thái dao động nhiều tần số, (a3-b3) trạng thái dao động với một tần số.

𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 0.01 theo cường độ 74 3.16 Sơ đồ rẽ nhánh sự chuyển đổi trạng thái của hệ khi các tham số liên kết 𝐽0 ∈

[1.97, 3.57].

Mô đun của các hàm sóng trong vùng trạng thái dừng ứng với 75 3.17 các giá trị khác nhau của cường độ liên kết.

Sơ đồ rẽ nhánh mô tả sự chuyển đổi trạng thái của hệ ở vùng 76 3.18 cường độ liên kết lớn khi độ rộng của hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

77 3.19

Giản đồ rẽ nhánh sự biến đổi các trạng thái của hệ, khi các tham số cố định Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 thay đổi. Mô đun của các hàm sóng trong hai vòng quang học hình (a)

khi tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.12 mô tả trạng thái dừng đối 78 3.20 xứng và hình (b) khi tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.22 mô tả trạng

thái không đối xứng.

Tổng công suất của hệ mô tả trạng thái dao động, trạng thái

hỗn loạn của hệ, hình (a1-b1) biểu diễn trạng thái dao động ứng 79 3.21 với tham số khuếch đại 𝛾 = 2.42, hình (a2-b2) biểu diễn trạng

thái hỗn loạn ứng với tham số khuếch đại 𝛾 ≈ 2.62.

Mô đun của các hàm sóng, hình (a) và (b) lần lượt mô tả trạng

thái phản đối xứng và trạng thái bất đối xứng ứng với các tham 80 3.22

số khuếch đại là 𝛾 = 3.06 và 𝛾 = 3.65.

81 3.23

Giản đồ rẽ nhánh biểu diễn sự biến đổi các trạng thái động lực học của hệ, khi các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 12,75, 𝑎 = 1. Biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ miêu tả các trạng

thái dao động một tần số, ba tần số, nhiều tần số và trạng thái 82 3.24 hỗn loạn. Các hình (a), (b), (c) và (d) lần lượt tương ứng với

các tham số 𝛾 = 0.16, 𝛾 = 2.65, 𝛾 = 4.75 và 𝛾 = 5.03.

83 3.25

Giản đồ rẽ nhánh của quá trình biến đổi trạng thái của hệ khi cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi.

84 3.26

Sơ đồ rẽ nhánh biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ khi các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi.

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ Nội dung Trang

Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của cường độ liên 69 3.1 kết khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của cường độ liên 74 3.2 kết khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số 77 3.3 khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số 81 3.4 khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất 83 3.5 mát khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất 85 3.6 mát khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

TỔNG QUAN

1. Lý do chọn đề tài

Sự phá vỡ đối xứng tự phát (Spontaneous Symmetry Breaking - SSB) là hiện

tượng thường thấy trong tự nhiên và trong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau như:

vật lý hạt cơ bản với Mô hình chuẩn [1], vật liệu từ và hệ ngưng tụ Bose -

Einstein (Bose - Einstein condensation - BEC), v.v… Tuy nhiên, theo định nghĩa

chung SSB là một số trạng thái cơ bản của hệ vật lý nào đó bị “phá vỡ” đối xứng

khi tham số điều khiển vượt quá giá trị nhất định (gọi là giá trị tới hạn), ví dụ như

trong mô hình chiếc mũ Mexico [2]. Trong quang học, sự phá vỡ đối xứng có thể

được hiểu như là kết quả của sự tương tác giữa các số hạng phi tuyến với các

cấu trúc ống dẫn sóng. Khi thành phần phi tuyến mạnh, nó sẽ triệt tiêu các liên

kết tuyến tính giữa các lõi trong ống dẫn sóng song song, ví dụ trong môi trường

Kerr tự hội tụ [2]. Trong hệ cộng hưởng vòng quang học, SSB là sự cạnh tranh

giữa hiệu ứng tuyến tính và hiệu ứng phi tuyến, ví dụ như giữa khuếch đại tuyến

tính và mất mát phi tuyến, dẫn tới xuất hiện trạng thái không đối xứng, thậm chí

dẫn tới trạng thái hỗn loạn [3].

SSB trong quang học có nhiều ứng dụng trong công nghệ quang tử. Hiệu

ứng chuyển đổi năng lượng quang giữa các kênh có thể được sử dụng làm cơ sở

cho việc thiết kế các thiết bị chuyển mạch toàn quang [4, 5] và các ứng dụng

khác, chẳng hạn như bộ khuếch đại phi tuyến [6], ổn định trong mạch phân chia

bước sóng [7], cổng logic [8] và truyền dẫn lưỡng ổn định [9]. Bộ ghép hai sợi

quang phi tuyến dùng để nén solitons hiệu quả bằng cách tạo độ tán sắc khác

nhau trong hai sợi [10]. Trong hệ cộng hưởng vòng quang học cũng có nhiều

ứng dụng trong các thiết bị quang tử như: chọn lọc bước sóng [11], trạng thái

hỗn loạn được ứng dụng trong thông tin quang như đồng bộ và bảo mật thông

tin [12, 13], phát tín hiệu số ngẫu nhiên “0”, “1” [13] và đặc biệt động lực học

dao động hỗn loạn cực nhanh của laser giải quyết triệt để bài toán giả định ứng

dụng vào trí tuệ nhân tạo (AI) [14].

Với nhiều ứng dụng quan trọng như vậy, SSB đã và đang được các nhà khoa

học trên thế giới quan tâm nghiên cứu [6-25]. Đặc biệt là nhóm của B. A.

Malomed đã nghiên cứu rất chi tiết kể từ hơn hai thập kỷ qua. SSB được nghiên

cứu trong nhiều hệ quang học khác nhau cả trong lý thuyết và thực nghiệm. Đối

với trong ống dẫn sóng mà chủ yếu trong môi trường Kerr tự hội tụ [2], ảnh

hưởng của hiệu ứng SSB lên solitons quang học không gian đã được chứng minh

bằng thực nghiệm trong ống dẫn sóng phẳng phi tuyến [15]. Nghiên cứu giải tích

của SSB cho các mode solitons được thực hiện trong các mô hình lõi kép có tính

chất phi tuyến Kerr [16], và các ống dẫn sóng quang học phi tuyến bậc ba - năm

[17]. Hiệu ứng SSB trong quang học có thể xảy ra trong cấu trúc có sự phân bố

đối xứng của chiết suất với phi tuyến tự hội tụ, hệ được mô tả bởi phương trình

Schrödinger phi tuyến (nonlinear Schrödinger equation - NLSE) có thêm thành

phần thế tuyến tính [18]. Trong các sợi quang học lõi kép ghép tuyến tính với

nhau cũng có SSB, đó là thành phần trọng yếu trong chuyển mạch toàn quang

điều khiển công suất, với hiệu ứng phi tuyến Kerr [19]. SSB của trạng thái sóng

liên tục [20] và sự hình thành các solitons bất đối xứng trong các sợi quang lõi

kép [21] cũng được nghiên cứu chi tiết về mặt lý thuyết. Gần đây SSB trong ống

dẫn quang với sự cạnh tranh của phi tuyến bậc ba - năm và thế tuyến tính đối

xứng chẵn lẻ thời gian được nghiên cứu [22]. Qua đó cho thấy, SSB với sự có mặt

của thế tuyến tính không ngừng quan tâm nghiên cứu và ứng dụng bằng cách xem

xét với các loại thế tuyến tính mới.

Hầu hết những nghiên cứu về SSB trước 2008 được đề cập ở trên được thực

hiện trong các hệ quang học có hệ số phi tuyến là hằng số. Một cách khác để thực

hiện phá vỡ đối xứng tự phát trong hệ quang học đó là môi trường phi tuyến biến

điệu. Năm 2008 lần đầu tiên SSB được nghiên cứu trong hệ với phi tuyến biến

điệu dạng kép tương đương như thế phi tuyến kép dạng hàm hai delta được

nghiên cứu [23] và được mở rộng trong trường hợp hai chiều [24], gần đây vào

năm 2017 phi tuyến biến điệu dạng hàm mũ cũng được nghiên cứu có số đỉnh

tăng dần từ hai đến năm đỉnh [25]. Như vậy, chúng ta có thể nghiên cứu SSB

trong hệ mới với việc thay đổi dạng phi tuyến biến điệu.

Một loại hệ khác để thực hiện SSB đó là hệ cộng hưởng vòng quang. SSB

trong hệ này gây ra sự biến đổi trạng thái của hệ, trong đó có dẫn tới trạng thái

hỗn loạn. Đây là trạng thái đã có nhiều ứng dụng và được nhiều quan tâm

nghiên cứu hiện nay. Sau khi laser được phát minh, vào năm 1963, Lorenz là

người đầu tiên phát biểu khái niệm hỗn loạn. Theo đó, hỗn loạn được hiểu là sự

mất trật tự, lộn xộn. Đến năm 1983 hỗn loạn quang được thực hiện trong phòng

thí nghiệm bởi Gioggia and Abraham [26]. Những năm 1990 hỗn loạn laser

được nghiên cứu để ứng dụng vào thông tin quang, đồng bộ quang [27] và đến

năm 2000 ứng dụng trở thành hiện thực. Sau đó hỗn loạn laser không ngừng

được nghiên cứu ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác như trong các mạch tích hợp

quang tử đối với thông tin quang [28] như kỹ thuật phát số ngẫu nhiên “0”, “1”

[29] ứng dụng trong kỹ thuật mật mã, bảo mật thông tin [30] và gần đây vào

năm 2017 nhóm của Marek Trippenbach đã đề xuất một hệ cộng hưởng mới

gồm hai vòng quang học kích thước cỡ micro mét liên kết tuyến tính với nhau,

động lực học của hệ xuất hiện nhiều trạng thái và hiện tượng thú vị hứa hẹn

nhiều ứng dụng trong tương lai [31].

Qua tìm hiểu SSB trong các hệ quang học chúng tôi nhận thấy có một số hệ

chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ hoặc có thể mở rộng nghiên cứu thêm.

Việc nghiên cứu SSB trong các hệ quang học khác nhau một cách đầy đủ, hệ

thống là rất cần thiết, sẽ giúp định hướng trong thực nghiệm và ứng dụng. Đặc

biệt, trạng thái hỗn loạn của SSB hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong cuộc cách

mạng 4.0. Vì vậy chúng tôi chọn “Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong

một số hệ quang học phi tuyến” làm đề tài luận án của mình góp phần vào hệ

thống lý thuyết về SSB của một số hệ quang học.

Động lực học của một hệ vật lý nói chung được mô tả bằng các phương

trình vi phân. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu các hệ quang học đóng (hệ

bảo toàn) và mở (hệ không bảo toàn) được mô tả bằng các phương trình vi phân

đạo hàm riêng phi tuyến kiểu Schrödinger. Các môi trường phi tuyến kiểu Kerr là

một ví dụ điển hình của các phương trình kiểu này. Khó khăn chung trong mọi bài

toán phi tuyến là về mặt toán học của chúng. Các phương trình vi phân phi tuyến

khó giải hơn nhiều so với các phương trình tuyến tính. Chỉ các phương trình vi

phân tuyến tính mới cho ta những lời giải giải tích chính xác qua việc dùng phép

biến đổi Fourier nổi tiếng “phân lời giải thành các sóng phẳng”. Phương pháp

giải tích chỉ có thể đưa ra trong một số rất ít các bài toán phi tuyến và không thể

có phương pháp giải chung cho tất cả các bài toán được. Chẳng hạn, phương trình

Schrödinger phi tuyến có thể giải bằng phương pháp tán xạ ngược nhưng không

áp dụng được cho phương trình Schrödinger phi tuyến suy rộng. Để giải quyết

vấn đề, người ta đã phải vận dụng nhiều phương pháp tính toán gần đúng khác

nhau. Phương pháp hữu hiệu nhất là phương pháp số cùng với việc phát minh ra

các máy tính thế hệ ba có sức tính toán khổng lồ. Chúng đã được sử dụng trong

rất nhiều bài toán thực tế khác nhau và hiệu quả trong bài toán lan truyền xung và

xét tính chất ổn định của các trạng thái. Mục đích quan trọng của đề tài này là tìm

hiểu và vận dụng một số phương pháp số để nghiên cứu SSB và xét tính chất ổn

định của trạng thái trong một số hệ quang học đóng và mở. Chúng tôi sử dụng

ngôn ngữ thông dụng của các tính toán bằng số là ngôn ngữ Matlab để viết

chương trình cho máy tính. Những kết quả này không chỉ mang tính lý thuyết mà

có nhiều hướng ứng dụng to lớn trong kỹ thuật và công nghệ như ứng dụng các

solitons vào truyền thông. Các hệ quang học phi tuyến trở nên “phòng thí nghiệm”

cho các nghiên cứu giải tích và số đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng phi

tuyến hiện nay.

2. Mục tiêu nghiên cứu

2.1. Mục tiêu tổng quát

- Nghiên cứu ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá

vỡ đối xứng tự phát (SSB) trong hệ ống dẫn sóng với sự có mặt của phi tuyến

Kerr và thế tuyến tính Gauss kép, hệ hai ống dẫn sóng liên kết tuyến tính và phi

tuyến Kerr biến điệu dạng hàm delta (hai hệ này có Hamiltonian không đổi theo

thời gian - gọi tắt là hệ bảo toàn).

- Nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số điều khiển như cường độ liên kết,

tham số khuếch đại, tham số mất mát, độ rộng của hàm liên kết lên SSB và quá

trình động lực học của hệ hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến tính với

sự có mặt của khuếch đại tuyến tính và mất mát phi tuyến (hệ này có

Hamiltonian thay đổi theo thời gian - gọi tắt là hệ không bảo toàn).

2.2. Mục tiêu cụ thể

- Xác định các khoảng tham số như công xuất xung, hằng số lan truyền để

tồn tại các loại trạng thái solitons khác nhau trong hệ bảo toàn.

- Xét tính chất ổn định của các loại trạng thái solitons đồng thời xác định

đặc trưng rẽ nhánh của SSB trong hệ bảo toàn.

- Xác định các vùng tham số điều khiển như: cường độ liên kết, tham số

khuếch đại, mất mát để tồn tại các loại trạng thái dừng, trạng thái dao động,

trạng thái hỗn loạn trong hệ không bảo toàn.

- Thiết lập sơ đồ, giản đồ rẽ nhánh về SSB và chuyển đổi giữa các trạng

thái trên, xác định kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn của hệ không bảo toàn.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các hệ quang học có phi tuyến kiểu Kerr và hệ

cộng hưởng vòng quang học kích thước cỡ micro mét với sự có mặt của khuếch

đại tuyến tính và mất mát phi tuyến.

3.2. Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là các hệ quang học được xét trong trường hợp một

chiều và phi tuyến kiểu Kerr.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý thuyết: Sử dụng phương pháp tách biến để giải hệ

phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc hai; Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov -

Kolokolov (V-K) để xác định tính chất ổn định của các trạng thái solitons.

- Phương pháp số: Phương pháp thời gian ảo để tìm lời giải solitons trong

môi trường quang học phi tuyến Kerr. Phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của

các mode nhiễu loạn và phương pháp Split - Step Fourier (SSF) tiến triển

solitons dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn để xác định tính chất ổn định của

solitons. Đồng thời sử dụng phương pháp SSF để tìm trạng thái cuối cùng trong

hệ cộng hưởng vòng quang.

5. Bố cục của luận án

Ngoài phần tổng quan và kết luận chung, luận án gồm có ba chương có nội

dung tóm tắt như sau:

Chương 1. Một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân

đạo hàm riêng phi tuyến

Trong chương này chúng tôi trình bày những vấn đề sau đây: thứ nhất khái

quát về phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, đặc biệt là phương trình

Schrödinger phi tuyến. Đây là phương trình cơ sở của một số hệ quang học phi

tuyến với các phi tuyến bậc ba (gồm phi tuyến Kerr tự hội tụ, tự phân kỳ và hiện

tượng hấp thụ hai photon được trình bày). Thứ hai là các phương pháp tính toán

số áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến, solitons và các loại solitons

cũng được trình bày. Cuối cùng là khái quát về khái niệm sự phá vỡ đối xứng,

giản đồ rẽ nhánh, ý nghĩa của giản đồ rẽ nhánh, trạng thái hỗn loạn và một số

kịch bản dẫn tới hỗn loạn.

Chương 2. Sự phá vỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học phi tuyến

bảo toàn

Chương 2 chúng tôi nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng trong hai hệ quang học

đó là: hệ thứ nhất là ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính

có dạng hàm Gauss kép, hệ thứ hai là hệ hai ống dẫn sóng song song có phi

tuyến Kerr không đồng nhất và liên kết tuyến tính. Bằng các phương pháp khác

nhau chúng tôi xét ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá

vỡ đối xứng tự phát, đồng thời xét tính chất ổn định của các trạng thái solitons

của hai hệ bảo toàn trên.

Chương 3. Sự phá vỡ đối xứng tự phát trong hệ hai vòng cộng hưởng quang

kích thước cỡ micro mét

Chương này chúng tôi nghiên cứu SSB và quá trình biến đổi trạng thái của

hệ hai vòng cộng hưởng quang liên kết tuyến tính với nhau. Bằng phương pháp

SSF với kỹ thuật tiến triển theo thời gian với ảnh hưởng của nhiễu loạn, chúng

tôi đi xác định được các vùng tham số tồn tại SSB và các loại trạng thái khác

nhau, đồng thời xem xét kịch bản dẫn tới hỗn loạn.

Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

Mục tiêu chính của chương này là tìm hiểu và trình bày các phương pháp

tính toán áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến và xét tính chất ổn

định của các trạng thái. Đồng thời chúng tôi tìm hiểu các khái niệm cơ bản liên

quan đến sự phá vỡ đối xứng sẽ áp dụng để nghiên cứu trong Chương 2 và

Chương 3.

1.1. Phương trình đạo hàm riêng mô tả một số hệ vật lý

Hầu hết các hiện tượng vật lý trong thực tế được mô tả bởi các phương

trình đạo hàm riêng. Phương trình có chứa các đạo hàm riêng của hàm hai hoặc

nhiều biến được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Tùy theo cách phân chia mà

phương trình đạo hàm riêng được chia làm các loại khác nhau. Nếu phân chia

theo mức độ phi tuyến chúng ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và

phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là

phương trình được viết ở dạng chung như sau [32]:

(1.1) 𝐿𝑢(𝑥⃗) = 𝑓(𝑥⃗),

ở đây 𝐿 là một toán tử tuyến tính, nghĩa là thõa mãn tính chất sau:

(1.2) 𝐿(𝑎𝑢⃗⃗ + 𝑏𝑣⃗) = 𝑎𝐿𝑢⃗⃗ + 𝑏𝐿𝑣⃗,

𝑎, 𝑏 là các hằng số, 𝑢⃗⃗ và 𝑣⃗ là các hàm riêng. Ngược lại, phương trình đạo hàm

riêng phi tuyến là phương trình không tuyến tính nghĩa là 𝐿 không thõa mãn tính

chất trên.

Nếu phân chia theo sự phụ thuộc vào thời gian, chúng ta có phương trình

biến đổi theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi

là phương trình dừng. Trong tình huống này người ta thường kí hiệu biến thời

gian là 𝑡, các biến còn lại là biến không gian.

Trong nghiên cứu vật lý, bước đầu tiên chúng ta thường thực hiện đó là

toán học hóa các hiện tượng vật lý. Dưới đây là một số phương trình đạo hàm

riêng mô tả các hệ vật lý mà chúng ta thường gặp đó là:

 Phương trình Poisson: ∆𝑢 = 𝑓. Phương trình này thường xuất hiện khi

nghiên cứu thế tĩnh điện, từ trường tĩnh, thủy động lực học, thế hấp dẫn,

truyền nhiệt dừng. Đặc biệt, khi 𝑓 = 0 thì phương trình Poisson trở thành

phương trình Laplace;

1 𝑎2

𝜕2𝑢 𝜕𝑡2, mô tả quá trình lan truyền sóng

 Phương trinh D’ Alember: ∆𝑢 =

như: sóng đi điện từ, các sóng đàn hồi;

 Các phương trình Maxwell mô tả các hiện tượng điện từ;

2𝜓 = 0, mô tả chuyển động

1 𝑐2

𝜕2𝜓 𝜕𝑡2 − 𝑘0

 Phương trình Klein-Gordon: ∆𝜓 −

của vi hạt trong trường hợp tương đối tính.

 Phương trình lan truyền nhiệt, phương trình Korteweg de Vries (KDV)

𝑢𝑡 + 6𝑢𝑢𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0, miêu tả sóng nước ở vùng nước nông.

 Phương trình Sine-Gordon 𝑢𝑡𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑢 được ứng dụng trong hình

học vi phân, trong vật lý (miêu tả trong nhiều bối cảnh lan truyền sóng

trên một đường thẳng, không địa phương trong tinh thể, từ trường hóa,…),

 Trong vật lý siêu dẫn, Ginzburg-Landau đã đưa ra lý thuyết hiện tượng

luận về chuyển pha siêu dẫn (1951). Giả thuyết của Ginzburg-Landau là

trạng thái siêu dẫn trật tự hơn trạng thái thường như vậy từ lý thuyết

chuyển pha có thể diễn tả được bằng một thông số trật tự (𝜓), phương

𝑖

trình này có dạng:

ℏ2 2𝑚

𝑐

− [∇⃗⃗⃗ − 𝐴⃗] 𝜓(𝑟⃗) + 𝛼𝜓(𝑟⃗) + 𝛽|𝜓(𝑟⃗)|2𝜓(𝑟⃗) = 0, (1.3)

đây là lần đầu tiên phương trình Schrödinger phi tuyến xuất hiện, đóng vai trò

quan trọng trong các nghiên cứu vật lý hiện đại sau này. Phương trình

Schrödinger phi tuyến và các phương trình dạng của nó (chứa số hạng |𝜓|2𝜓)

được sử dụng để mô tả nhiều hiện tượng vật lý trong nhiều lĩnh vực khác nhau

như trong cơ học lượng tử, trong quang học, trong vật chất ngưng tụ,….có dạng

như sau:

(1.4) 𝑖𝜓𝑡 = −Δ𝜓 + 𝑎|𝜓|2𝜓.

Một số hệ quang học phi tuyến được mô tả bởi dạng phương trình Schrödinger

phi tuyến (1.4) sẽ là đối tượng mà chúng tôi quan tâm trong đề tài này, điển hình

là phi tuyến kiểu Kerr.

1.2. Phi tuyến kiểu Kerr và phương trình Schrödinger phi tuyến mô tả một

số hệ quang học

1.2.1. Hiệu ứng phi tuyến Kerr

Phi tuyến kiểu Kerr là hiện tượng phi tuyến liên quan đến phân cực phi

tuyến bậc ba của cường độ điện trường [33]. Dưới tác dụng của trường ánh sáng

mạnh, chiết suất hiệu dụng của môi trường phụ thuộc vào cường độ trường ánh

sáng theo hệ thức[33]:

(1.5) 𝑛 = 𝑛0 + 𝑛̅2〈𝐸̃(𝑡)2〉,

trong đó, 𝑛0 là chiết suất tuyến tính, 𝑛̅2 là hệ số mô tả tốc độ tăng chiết suất hiệu

dụng với sự tăng của cường độ ánh sáng. Cường độ trường ánh sáng có dạng:

(1.6) 𝐸̃(𝑡) = 𝐸(𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡 + 𝑙ℎ𝑝,

trong đó kí hiệu 𝑙ℎ𝑝 nghĩa là liên hợp phức của số hạng đầu.

Do đó:

(1.7) 〈𝐸̃(𝑡)2〉 = 2𝐸(𝜔)𝐸∗(𝜔) = 2|𝐸(𝜔)|2,

(1.8) 𝑛 = 𝑛0 + 2𝑛̅2|𝐸(𝜔)|2.

Sự thay đổi chiết suất hiệu dụng mô tả bởi phương trình (1.8) được gọi là hiệu

ứng phi tuyến Kerr, trong đó chiết suất của môi trường thay đổi một lượng tỷ lệ

với bình phương mô đun của cường độ trường ánh sáng. Như vậy, nếu sự thay

đối chiết suất hiệu dụng được gây ra bởi chính ánh sáng đó thì hiệu ứng được

gọi là tự điều biến pha, còn sự thay đổi chiết suất hiệu dụng được gây bởi chùm

ánh sáng khác thì hiệu ứng được gọi là điều biến pha chéo như được mô tả trên

Hình 1.1.

Hình 1.1. Hai cách làm thay đổi chiết suất hiệu dụng của môi trường: (a) tự điều

biến pha và (b) điều biến pha chéo [33].

Thành phần phân cực phi tuyến ảnh hưởng đến sự lan truyền của chùm ánh sáng

tần số 𝜔 có dạng:

(1.9)

𝑃𝑁𝐿(𝜔) = 3𝜀0𝜒(3)(𝜔)|𝐸(𝜔)|2𝐸(𝜔), trong đó 𝜀0 = 8.85 × 10−12𝐹/𝑚 là độ điện thẩm của chân không. Độ lớn véctơ phân cực toàn phần của môi trường đối xứng tâm được cho bởi:

𝑃(𝜔) = 𝜀0𝜒(1)(𝜔)𝐸(𝜔) + 3𝜀0𝜒(3)(𝜔)|𝐸(𝜔)|2𝐸(𝜔) = 𝜀0𝜒ℎ𝑑𝐸(𝜔), (1.10) trong đó, độ cảm hiệu dụng là [33]:

(1.11) 𝜒ℎ𝑑 = 𝜒(1) + 3𝜒(3)|𝐸(𝜔)|2.

Để tìm hệ thức giữa độ cảm phi tuyến 𝜒(3) và hệ số phi tuyến 𝑛2, chúng ta viết [33]:

(1.12) 𝑛2 = 1 + 𝜒ℎ𝑑.

Thay phương trình (1.8) vào vế trái và phương trình (1.11) vào vế phải của

phương trình (1.12), chúng ta được:

(1.13)

[𝑛0 + 2𝑛̅2|𝐸(𝜔)|2]2 = 1 + 𝜒(1) + 3𝜒(3)|𝐸(𝜔)|2. 2, chúng ta thu được: Sau khi khai triển và bỏ qua số hạng bậc cao 𝑛̅2

2 = 4𝑛0𝑛̅2|𝐸(𝜔)|2 = (1 + 𝜒(1)) + 3𝜒(3)|𝐸(𝜔)|2. 𝑛0

(1.14)

Từ đây, các hệ thức liên hệ giữa chiết suất tuyến tính và phi tuyến với độ cảm

tuyến tính và phi tuyến, tương ứng được cho bởi:

𝑛0 = √1 + 𝑅𝑒(𝜒(1)) ,

3𝑅𝑒(𝜒(3)) . 4𝑛0

(1.15) 𝑛̅2 =

Kết quả trên đây thu được đối với trường hợp tự điều biến pha như Hình 1.1a.

Tuy nhiên, trong trường hợp điều biến pha chéo như Hình 1.1b, sự có mặt của

trường ánh sáng mạnh với biên độ 𝐸(𝜔) dẫn tới sự thay đổi chiết suất đối với

trường ánh sáng dò với biên độ 𝐸(𝜔′). Thành phần phân cực phi tuyến tác dụng

bởi trường ánh sáng dò được cho bởi [33]:

(1.16) 𝑃𝑁𝐿(𝜔′) = 6𝜀0𝜒(3)(𝜔)|𝐸(𝜔)|2𝐸(𝜔′).

Trong trường hợp này độ phân cực lớn hơn hai lần so với trường hợp tự điều

biến pha. Do đó, chiết suất hiệu dụng điều biến pha chéo được cho bởi:

𝑐ℎ|𝐸(𝜔)|2,

(1.17) 𝑛 = 𝑛0 + 2𝑛̅2

trong đó:

𝑐ℎ =

3𝑅𝑒(𝜒(3)) . 2𝑛0

𝑐ℎ trong điều biến pha chéo

(1.18) 𝑛̅2

So sánh (1.15) với (1.18) cho thấy hệ số phi tuyến 𝑛̅2

lớn gấp hai lần hệ số phi tuyến 𝑛2 trong tự điều biến pha. Do đó, trường ánh

sáng mạnh ảnh hưởng lên chiết suất hiệu dụng của trường ánh sáng dò có cùng

tần số sẽ lớn gấp hai lần so với ảnh hưởng lên chính ánh sáng đó.

Mặt khác, sự thay đổi của chiết suất hiệu dụng theo cường độ trường ánh sáng

có thể được biểu diễn bởi hệ thức sau đây [33]:

(1.19) 𝑛 = 𝑛0 + 𝑛2𝐼,

trong đó, I là cường độ trường ánh sáng tới, 𝑛0 là chiết suất tuyến tính của môi

trường và 𝑛2 là hệ số phi tuyến Kerr. Cường độ ánh sáng được liên hệ với bình

phương của mô đun biên độ theo hệ thức [33]:

(1.20) 𝐼 = 2𝑛0𝜀0𝑐|𝐸(𝜔)|2.

So sánh các phương trình (1.8) và (1.19), chúng ta rút ra được:

𝑛̅2 𝑛0𝜀0𝑐

. (1.21) 𝑛2 =

Thay phương trình (1.15) vào phương trình (1.21), chúng ta thu được biểu thức

cho hệ số phi tuyến Kerr (trường hợp tự điều biến pha):

3 2𝜀0𝑐 4𝑛0

(1.22) 𝑅𝑒(𝜒(3)). 𝑛2 =

Do chiết suất hiệu dụng trong biểu thức (1.21) là đại lượng không thứ nguyên

nên đơn vị của 𝑛2 phải tỷ lệ nghịch với đơn vị của cường độ. Thông thường, đơn vị của hệ số phi tuyến Kerr được xác định theo [𝑚2/𝑊] hoặc [𝑐𝑚2/𝑊].

1.2.2. Hiện tượng hấp thụ hai photon

Hấp thụ hai photon (Two photon absorption - TPA) được định nghĩa là sự

hấp thụ đồng thời của hai photon, có cùng năng lượng hoặc năng lượng khác

nhau, dẫn đến sự kích thích lên trạng thái điện tử cao hơn. Mặc dù hiện tượng

này đã được dự đoán trong lý thuyết vào năm 1931 bởi Maria Göppert - Mayer

[34] và quan sát bằng thực nghiệm năm 1961 [35]. Vì TPA là một quá trình phi

tuyến bậc ba, trong đó sự hấp thụ trực tiếp tỷ lệ với bình phương cường độ ánh

sáng tới, vì vậy một nguồn sáng mạnh như laser là cần thiết. Ở cường độ ánh

sáng cao, xác suất hấp thụ của hai và nhiều photon cùng một lúc tăng lên. Chúng

ta hãy xem xét sự lan truyền ánh sáng thông qua một mẫu có độ dày 𝑙. Nếu 𝐼𝑖𝑛 là

cường độ ánh sáng trước một mẫu, thì sau mẫu cường độ là [36],

(1−𝑅2)𝑒−𝛼𝑙 , 𝛽 𝐼𝑖𝑛(1−𝑅)(1−𝑒−𝛼𝑙) 𝛼

(1.23) 𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑖𝑛

trong đó 𝑅 là hệ số phản xạ của mẫu, 𝛼 là hệ số hấp thụ tuyến tính và 𝛽 là hệ số

đặc trưng cho sự hấp thụ hai photon được gọi là hệ số hấp thụ hai photon. Bỏ

qua sự phản xạ ánh sáng của mẫu và sự hấp thụ tuyến tính của mẫu người ta có

thể viết một phương trình đơn giản cho cường độ đầu ra trong trường hợp chỉ có

hấp thụ hai photon:

𝐼𝑖𝑛 1+𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛

. (1.24) 𝐼𝑜𝑢𝑡 ≈

Từ đó suy ra được độ hấp thụ hai photon:

𝐼𝑖𝑛−𝐼𝑜𝑢𝑡 𝐼𝑖𝑛

𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 1+𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛

1+(𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛)−1.

(1.25) ≈ = 𝑎2𝑝ℎ =

Độ hấp thụ hai photon phụ thuộc vào cường độ ánh sáng vào. Khi mà 𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 nhỏ

thì độ hấp thụ hai photon tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng, hay nói cách khác là

xác suất hấp thụ tỉ lệ thuận với bình phương cường độ, đây là hiện tượng phi

tuyến bậc ba.

1.2.3. Phương trình Schrödinger phi tuyến mô tả một số hệ quang học

Phương trình Schrödinger là một phương trình cơ bản của vật lý lượng tử

mô tả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay thế

cho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển. Erwin

𝜕𝜓

Schrödinger là người đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926 và có dạng:

𝜕𝑡

ℏ2 2𝑚

(1.26) 𝑖ℏ = (− ∆2 + 𝑉) 𝜓.

Phương trình Schrödinger có nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào các lĩnh vực vật

lý khác nhau, hay trong các điều kiện vật lý khác nhau của cùng một hệ vật lý.

Trong quang học, sự lan truyền của xung ánh sáng được biểu diễn bằng

hàm bao biến thiên chậm. Phương trình hàm bao trong môi trường phi tuyến

Kerr được miêu tả bởi phương trình Schrödinger phi tuyến có dạng chuẩn hóa

𝜕𝑈

𝑖

[37]:

𝜕𝜉

𝜕2𝑈 𝜕𝜏2 + 𝑖𝑁2(|𝑈|2𝑈),

(1.27) = −𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛽′′(𝜔0))

trong đó 𝑠𝑖𝑔𝑛 là hàm dấu. Phương trình này được áp dụng cho sự lan truyền của

xung ngắn, sau khi đã bỏ qua các hiệu ứng như tán sắc bậc ba, tự dụng xung và

tự dịch chuyển tần số do tính chất của xung ngắn. (Lưu ý rằng, xung ngắn là

xung có thời gian xung vào bậc picô giây hoặc lớn hơn). Đối với các xung cực

ngắn thì sự lan truyền xung được miêu tả bởi phương trình Schrödinger phi

𝜕𝑈

𝑖

𝜕

tuyến mở rộng dạng chuẩn hóa [37]:

𝜕𝜉

𝜕2𝑈 𝜕𝜏2 + 𝛿3

𝜕3𝑈 𝜕𝜏3 + 𝑖𝑁2 (|𝑈|2𝑈 + 𝑖𝑆

𝜕𝜏

(|𝑈|2𝑈) − = −𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛽′′(𝜔0))

𝜕|𝑈|2 𝜕𝜏

(1.28) ). −𝜏𝑅𝑈

Khi chùm ánh sáng lan truyền trong môi trường ống dẫn sóng kép có phi

tuyến Kerr và có chiết suất thay đổi theo không gian dạng kép, chiết suất thay

đổi đó được xem như tạo thành một thế kép bẫy ánh sáng. Phương trình đã

𝜕𝜑

chuẩn hóa trong trường hợp đó có dạng [38]:

𝜕𝜁

𝜕2𝜑 𝜕𝜉2 + 𝑉(𝜉)𝜑 + 𝜂|𝜑|2𝜑 = 0.

(1.29) 𝑖 +

Một hệ liên kết tuyến tính của hai vòng cộng hưởng quang (gồm các vòng ống

dẫn sóng hoạt động liên kết với nhau và được chiếu bằng ánh sáng laser bên ngoài)

[31]. Ánh sáng định xứ trong hệ cộng hưởng hai vòng quang học đó được mô tả

bởi hệ phương trình Schrödinger sau đây:

2𝜓1 + 𝑖𝛾𝜓1 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓1|2𝜓1 + 𝐽(𝑥)𝜓2 2𝜓2 + 𝑖𝛾𝜓2 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓2|2𝜓2 + 𝐽(𝑥)𝜓1

. (1.30) { 𝑖𝜕𝑡𝜓1 = −𝜕𝑥 𝑖𝜕𝑡𝜓2 = −𝜕𝑥

Ý nghĩa vật lý của các ký hiệu trong các phương trình Schrödinger phi tuyến sẽ được

chúng tôi sẽ chỉ rõ khi xem xét các hệ vật lý cụ thể trong Chương 2 và Chương 3.

Khi chúng ta có được dạng các phương trình toán học miêu tả các hiện

tượng vật lý thì nhiệm vụ tiếp theo đó là: giải chúng như thế nào? Phương pháp

giải nào là tối ưu, cho kết quả nhanh và chính xác nhất? Nghiệm của chúng ra

sao? Trong số các lớp nghiệm của phương trình Schrödinger phi tuyến có một

lớp nghiệm đặc biệt được gọi là “solitons” đã được quan tâm nghiên cứu vì

solitons có nhiều ứng dụng trong khoa học và công nghệ.

1.3. Solitons và lời giải solitons

Solitons đã được quan sát trước đó và vào năm 1895 G. De Vries đã mô tả

nó lần đầu tiên trong phương trình Korteweg de Vries (KdV). Sau này vào

những năm sáu mươi của thế kỷ trước, phương trình KdV được xem xét kỹ hơn

và lớp các sóng cô đơn (solitary wave) được tập trung sự chú ý. “Sóng cô đơn”

nghĩa là sự tiến triển của nó được mô tả như là chuyển động của một hình dạng

“cứng” không biến đổi [39]. Do lúc đó các nhà vật lý có tiềm vọng là dùng

chúng để mô hình hóa các hạt cơ bản, nên đã đưa ra tên gọi là solitons [1]. Thực

ra solitons là trường hợp riêng của các sóng cô đơn [32], song trong quang học

hai thuật ngữ được hiểu nghĩa là trạng thái giống nhau. Solitons có một tính chất

rất đặc biệt đó là khi chúng ta cho hai solitons tương tác với nhau, trong một thời

gian ngắn chập làm một sau đó lại tách ra thành những hình dáng và vận tốc ban

đầu của chúng. Kruskal đã giải thích xuất phát điểm của tên gọi “solitons”,

nghĩa là nó xem như các hạt vật chất. Kể từ đó solitons đã được quan sát trong

nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau. Đặc biệt trong quang học solittons hứa hẹn có

nhiều ứng dụng trong viễn thông, vì chúng có thể lan truyền trong quãng đường

dài mà không bị méo. Chính vì vậy solitons và ứng dụng của nó đã và đang

được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ.

Lời giải solitons lần đầu tiên cũng được đưa ra năm 1895 sau khi G. De

Vries dẫn ra phương trình KdV từ phương trình cơ bản của thủy động học [39].

Lời giải solitons cũng đã được tìm thấy trong phương trình Schrödinger phi

tuyến (1.27) bằng phương pháp tán xạ ngược (Inverse scattering method - ISM ).

Lớp nghiệm đặc biệt đó được gọi là các nghiệm solitons. Bằng phương pháp

ISM các solitons bậc nhất và bậc hai thu được như sau [40]:

(1.31) + Soliton bậc nhất: 𝑈1(𝜉, 𝜏) = 𝑒−𝑖𝜉/2sech (𝜏).

cosh(3τ)+3e−4iξcosh(τ) cosh(4τ)+4cosh(2τ)+3cosh(4τ)

. (1.32) + Soliton bậc hai: 𝑈1(𝜉, 𝜏) = 4𝑒−𝑖𝜉/2

Trong trường hợp tán sắc dị thường ((𝛽′′(𝜔0) < 0) nghiệm solitons xuất hiện khi xung đầu vào có dạng,

(1.33)

cosh (𝑥)

𝑒𝑥−𝑒−𝑥 là hàm secant hyperbolic, 𝑁 =1, 2, 3,…tương ứng với bậc của solitons. Chúng mô tả các xung lan truyền với các hàm bao

𝑈𝑁(0, 𝜏) = 𝑁. sech (𝜏), 2 với sech(𝑥) = =

không thay đổi (soliton bậc nhất) hoặc có thay đổi nhưng tuần hoàn theo chu kỳ

(soliton bậc cao, đây chính là ví dụ sóng cô đơn mà không phải là solitons theo

định nghĩa chính xác của nó). Các nghiệm solitons bậc cao, ví dụ như soliton

bậc 4, trong một số tài liệu còn có tên gọi là lời giải 4 - soliton được mô tả quá

trình lan truyền ở hình vẽ dưới đây.

Hình 1.2. Lan truyền của các solitons sau một chu kỳ: (a) soliton bậc nhất và (b)

soliton bậc bốn [39].

Tùy thuộc vào tính chất của môi trường mà tác động của các hiệu ứng tán

sắc và hiệu ứng tự biến điệu pha có thể triệt tiêu lẫn nhau khi xung lan truyền

trong môi trường tán sắc phi tuyến. Khi đó hiện tượng mở rộng xung do hiện

tượng tán sắc và hiện tượng tự dịch chuyển tần số cân bằng. Kết quả là hình

dạng xung không thay đổi và ta có solitons thời gian [40]. Khi 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛽′′(𝜔0)) trong (1.27) bằng +1 (tức là 𝛽′′(𝜔0) dương đó là tán sắc thường) ứng với solitons sáng (bright solitons), còn khi 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛽′′(𝜔0)) mang dấu -1 (𝛽′′(𝜔0) âm đó là tán sắc dị thường) ứng với solitons tối (dark solitons). Một loại solitons

khác liên quan đến các hiệu ứng không gian được gọi là solitons không gian.

Nếu môi trường có chiết suất phi tuyến 𝑛2 > 0 và hai hiệu ứng gồm: tự hội tụ làm nhọn xung và sự mở rộng xung do hiệu ứng nhiễu xạ bù trừ lẫn nhau thì

hình dạng (hay phân bố cường độ theo tiết diện ngang) của xung lan truyền

trong môi trường sẽ không thay đổi và được gọi là solitons không gian [41]. Đối

với môi trường có hệ số chiết suất phi tuyến 𝑛2 < 0, không bao giờ chúng ta thu được solitons không gian. Bởi vì khi đó ngoài sự phân kỳ do nhiễu xạ, chùm tia

còn bị phân kì do sự kết hợp giữa phân bố không gian của chùm tia và sự phụ

thuộc của chiết suất vào cường độ của trường ngoài. Có nghĩa là trong quá trình

lan truyền chùm tia luôn bị phân kỳ.

1.4. Một số phương pháp số để tính toán phương trình Schrödinger phi

tuyến

Đối với các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính việc giải dễ dàng hơn

phương trình phi tuyến. Chúng ta có thể giải chúng bằng các phương pháp giải

tích như: phương pháp tách biến, phép biến đổi tích phân (tức là biến đổi các

toán tử vi tích phân sang không gian ảnh để dễ tính toán hơn) đặc biệt là phép

biến đổi Fourier truyền thống chuyển chúng thành các phương trình đại số trong

không gian Fourier [32]. Đối với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến việc giải

chúng khó khăn hơn nhiều, bậc càng cao thì càng khó hơn. Phương pháp giải

tích chỉ có thể đưa ra được trong một số rất ít các bài toán phi tuyến và không

thể có phương pháp giải tích chung cho tất cả các bài toán được. Chẳng hạn,

phương trình Schrödinger phi tuyến có thể giải bằng phương pháp tán xạ ngược

nhưng không áp dụng được cho phương trình Schrödinger phi tuyến suy rộng

hay phương trình phương trình Schrödinger phi tuyến có thêm thế tuyến tính.

Điều đó lại càng khó hơn khi chúng ta xét hệ phương trình Schrödinger phi

tuyến (sẽ được nghiên cứu trong Chương 3). Để giải quyết vấn đề trên người ta

đã phải vận dụng nhiều phương pháp tính toán gần đúng khác nhau. Nhưng

phương pháp hữu hiệu nhất là phương pháp số. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày

chi tiết một số phương pháp số có thể áp dụng để tính toán và sẽ được dùng

trong luận án này.

1.4.1. Phương pháp thời gian ảo để tìm kiếm lời giải solitons của phương

trình Schrödinger phi tuyến

Để tìm trạng thái solitons của phương trình Schrödinger phi tuyến chúng ta

có nhiều cách khác nhau như: phương pháp Petviashvili, phương pháp Squared-

Operator Iteration, phương pháp Newton Conjugate-Gradient, phương pháp

Accelerated Imaginary-Time Evolution (phương pháp thời gian ảo) [42]. Mỗi

phương pháp có những ưu điểm riêng đối với từng hệ vật lý khác nhau. Trong

đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp thời gian ảo, cho thấy sự hội tụ

nhanh của nó. Cụ thể phương pháp này được trình bày như sau. Chúng ta xét

một phương trình nhiều chiều sau đây [42]:

(1.34) 𝑖𝑈𝑡 + ∇2𝑈 + 𝐹(|𝑈|2, 𝒙)𝑈 = 0,

ở đây 𝐹(. , . ) là hàm giá trị thực, 𝒙 “đậm” được hiểu là biến không gian nhiều

chiều. Lưu ý rằng phương trình (1.27), (1.29) và (1.34) có dạng giống nhau. Do

đó việc đi tìm trạng thái solitons của phương trình (1.34) cũng tương tự như việc

tìm trạng thái solitons của hai phương trình kia. Sau đây chúng tôi trình bày

phương pháp theo phương trình (1.34).

Trạng thái solitons của phương trình (1.34) có dạng:

(1.35) 𝑈(𝒙, 𝑡) = 𝑢(𝒙)𝑒𝑖𝜇𝑡,

trong đó 𝑢(𝒙) là hàm giá trị thực và 𝜇 là hằng số lan truyền. Hàm 𝑢(𝒙) thỏa

mãn phương trình:

(1.36) 𝐿00𝑢 = 𝜇𝑢,

với

(1.37) 𝐿00 = ∇2 + 𝐹(|𝑢|2, 𝒙)

Trong phương pháp thời gian ảo gốc người ta tích phân số phương trình sau đây

(1.38) 𝑢𝑡 = 𝐿00𝑢

Phương trình (1.38) thu được bằng cách thay “𝑡” bằng “– 𝑖𝑡” trong phương trình

(1.34) (chính vì vậy nên được gọi là thời gian ảo), và sau đó chuẩn hóa các

nghiệm sau mỗi bước của thời gian tích phân để cố định công suất. Công suất

của trạng thái dừng 𝑢(𝒙) được định nghĩa như sau:

+∞ −∞

(1.39) 𝑢2(𝒙, 𝜇) 𝑑𝒙 𝑃(𝜇) = ∫

Thực hiện đơn giản nhất đó là tích phân số theo thời gian phương trình (1.38) sử

dụng thuật toán Euler và thời gian ảo

1/2 ]

𝑃 〈𝑢̂𝑛+1,𝑢̂𝑛+1〉

(1.40) 𝑢𝑛+1 = [ 𝑢̂𝑛+1,

(1.41)

và 𝑢̂𝑛+1 = 𝑢𝑛 + [𝐿00𝑢]𝑢=𝑢𝑛∆𝑡. Ở đây 𝑢𝑛 là nghiệm sau 𝑛 phép lặp và ∆𝑡 độ dài bước của thời gian tích phân là

một tham số ban đầu của thuật toán. Nếu các bước lặp từ (1.36) đến (1.41) hội tụ

về nghiệm 𝑢(𝒙) cần tìm, thì nghiệm 𝑢(𝒙) đó thõa mãn phương trình (1.36) với

công suất của nó là 𝑃 và hằng số lan truyền 𝜇 sẽ được tính:

𝑃

(1.42) 𝜇 = 〈𝑢, 𝐿00𝑢〉.

Thuật toán gốc thì máy tính tính toán rất chậm, bởi vì thời gian tích phân của

phương trình vi phân (1.38) phải rất nhỏ để thuật toán Euler hội tụ. Một ý tưởng

đó là sử dụng phương pháp ngầm định bước thời gian để tích phân theo thời

gian ảo của phương trình (1.38). Trong ý tưởng tăng tốc độ đó, thay vì tiến triển

theo phương trình thời gian ảo ở trên chúng ta thêm vào một số hạng phía trước

như sau:

(1.43) 𝑢𝑡 = 𝑀−1[𝐿00𝑢 − 𝜇𝑢],

ở đây 𝑀 là một toán tử dương và tự liên hợp phức. Trạng thái dừng của phương

trình (1.36) vẫn là 𝑢(𝒙), áp dụng phương pháp Euler cho phương trình mới, biểu

thức tiến triển thời gian ảo tăng tốc là:

1/2 ]

𝑃 〈𝑢̂𝑛+1,𝑢̂𝑛+1〉

(1.44) 𝑢𝑛+1 = [ 𝑢̂𝑛+1,

(1.45) 𝑢̂𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑀−1[𝐿00𝑢]𝑢=𝑢𝑛,𝜇=𝜇𝑛∆𝑡,

và

〈𝑀−1𝑢,𝐿00𝑢〉 〈𝑀−1𝑢,𝑢〉

𝑢=𝑢𝑛

. (1.46) | 𝜇𝑛 =

Ở đây, 𝑃 được định nghĩa ở (1.39) vẫn giữ cố định. Lưu ý rằng biểu thức (1.46)

ở trên cho 𝜇𝑛 khác với biểu thức (1.42). Để thuật toán của phương pháp thời

gian ảo hội tụ nhanh chúng ta cần chọn 𝑀 hợp lý, thông thường 𝑀 có dạng:

(1.47) 𝑀 = 𝑐 − ∇2,

ở đây 𝑐 là hằng số dương tùy chọn sao cho hợp lý.

Sai số của thuật toán được kiểm tra bằng độ lệch sau:

(1.48) 𝐿0 = 𝐿00𝑢 − 𝜇𝑢.

Nếu sự sai khác đó là rất nhỏ thì chứng tỏ hệ đã hội tụ về trạng thái dừng và

chúng ta có thể dừng việc tính toán.

Các kết quả về tính toán các trạng thái dừng của hệ quang học phi tuyến và

giếng thế kép đã sử dụng phương pháp thời gian ảo sẽ được trình bày trong

Chương 2 của luận án.

1.4.2. Phương pháp Split - Step Fourier (SSF)

Phương pháp SSF là phương pháp tiến triển trạng thái dưới ảnh hưởng của

nhiễu loạn nhỏ. Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp này cho cả hai

mục đích, cụ thể sử dụng để kiểm tra tính ổn định của trạng thái dừng ở Chương

2 và tìm trạng thái cuối cùng (thời gian đủ dài) trong hệ quang học ở Chương 3.

Sau đây, chúng tôi trình bày chi tiết về phương pháp này. Chúng ta xét phương

𝜕𝐴

trình Schrödinger phi tuyến có dạng sau [37]:

𝜕𝑧

(1.49) = (𝐷̂ + 𝑁̂)𝐴,

𝛼

ở đây 𝐷̂ và 𝑁̂ lần lượt là toán tử tuyến tính và phi tuyến tác dụng lên hàm bao 𝐴,

𝑖𝛽2 2

𝜕2 𝜕𝑇2 +

𝛽3 6

𝜕3 𝜕𝑇3 −

𝜕

, (1.50) 𝐷̂ = −

𝐴

𝜕𝑇

𝜕|𝐴|2 𝜕𝑇

𝑖 𝜔0

(1.51) 𝑁̂ = 𝑖𝛾 (|𝐴|2 + ). (|𝐴|2𝐴) − 𝑇𝑅

Nói chung, cả hiệu ứng tuyến tính và phi tuyến tác dụng cùng nhau dọc theo

chiều dài lan truyền. Phương pháp SSF thu được nghiệm gần đúng bằng cách giả

sử rằng, trong sự lan truyền của trường quang học qua khoảng lan truyền dài ℎ

hiệu ứng tuyến tính và phi tuyến có thể tác dụng độc lập. Cụ thể hơn nữa, sự lan

truyền từ 𝑧 đến 𝑧 + ℎ được chia thành hai bước. Trong bước thứ nhất chỉ có hiệu

ứng phi tuyến tác động, và 𝐷̂ = 0 ở trong phương trình (1.49). Trong bước thứ

hai, chỉ có hiệu ứng tuyến tính tác động và 𝑁̂ = 0 trong phương trình (1.49).

Tính toán chúng ta được:

(1.52) 𝐴(𝑧 + ℎ, 𝑇) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂ + ℎ𝑁̂)𝐴(𝑧, 𝑇).

Lũy thừa 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂) có thể được tính trong miền không gian Fourier qua sử dụng

biến đổi sau:

−1𝑒𝑥𝑝[ℎ𝐷̂(−𝑖𝜔)]𝐹𝑇𝐵(𝑧, 𝑇),

(1.53) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂)𝐵(𝑧, 𝑇) = 𝐹𝑇

ở đây, 𝐹𝑇 là ký hiệu của toán tử biến đổi Fourier, 𝐷̂(−𝑖𝜔) thu được từ phương trình (1.49) bằng cách thay 𝜕 bằng – 𝑖𝜔 và 𝜔 là tần số trong miền không 𝜕𝑇⁄

gian Fourier. 𝐷̂(−𝑖𝜔) trở thành một hàm số trong không gian tần số, chứ không

phải là toán tử nữa. Đây là lý do mà thuật toán Split - Step Fourier nhanh hơn

thuật toán Finite - Difference.

Theo biểu thức Baker - Campbell - Hausdorff đối với hai toán tử không giao

hoán 𝑎̂ và 𝑏̂ chúng ta có:

(1.54) 𝑒𝑥𝑝(𝑎̂)𝑒𝑥𝑝(𝑏̂) = 𝑒𝑥𝑝 (𝑎̂ + 𝑏̂ + [𝑎̂, 𝑏̂] + [𝑎̂ − 𝑏̂, [𝑎̂, 𝑏̂]] + ⋯ ).

Nếu ta đặt (1.55) {𝑎̂ = ℎ𝐷̂ 𝑏̂ = ℎ𝑁̂

Thì biểu thức (1.54) trở thành:

𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂)𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑁̂)

= 𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝐷̂ + ℎ𝑁̂ + ℎ2[𝐷̂, 𝑁̂] + ℎ3 [𝐷̂ − 𝑁̂, [𝐷̂, 𝑁̂]] + ⋯ ). 1 2 1 12

(1.56)

Trước khi áp dụng công thức này, chúng ta lưu ý rằng muốn mô tả tiến triển của

xung càng chính xác khoảng lan truyền ℎ cần phải càng nhỏ. Vì nếu ℎ đáng kể

thì các phép biến đổi gần đúng sau đây sẽ không còn chính xác.

Từ (1.56) có thể thấy nếu ℎ nhỏ thì lũy thừa bậc cao của nó sẽ nhỏ hơn rất nhiều

so với lũy thừa bậc nhất và trong phép gần đúng bậc nhất chúng ta bỏ các lũy

thừa bậc cao đi. Kết quả thu được:

(1.57) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂ + ℎ𝑁̂) ≈ 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂)𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑁̂).

Áp dụng công thức này vào tích phân của phương trình (1.52) thì chúng ta sẽ

suy ra được phương trình gần đúng sau:

(1.58) 𝐴(𝑧 + ℎ, 𝑇) ≈ 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂)𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑁̂)𝐴(𝑧, 𝑇),

và phép gần đúng này được gọi là gần đúng bậc nhất nên sai số có thể ước lượng

là cùng bậc với ℎ2.

Chúng ta có thể áp dụng công thức Baker-Campbell-Hausdorff để tăng độ

chính xác cao hơn biểu thức (1.57).

Ta có biểu thức (1.54) rằng:

+ 𝑏̂ + 𝑒𝑥𝑝 ( , 𝑏̂] + [ , 𝑏̂]] + ⋯ ) = exp (𝑐̂) 𝑎̂ 2 𝑎̂ ) 𝑒𝑥𝑝(𝑏̂) = 𝑒𝑥𝑝 ( 2 1 2 ̂ 𝑎 [ 2 1 12 ̂ 𝑎 2 𝑎̂ − 𝑏̂, [ 2

và

exp(𝑐̂) 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝑒𝑥𝑝(𝑏̂)𝑒𝑥𝑝 ( ) = ) = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑎̂ 2 𝑎̂ 2

𝑎 [

(1.59) ̂ + 𝑏,̂ [𝑏,̂ 𝑎 𝑎̂ 2 ̂]] + ⋯ ). = 𝑒𝑥𝑝 (𝑎̂ + 𝑏̂ +

Thay 𝑎̂ và 𝑏̂ ở (1.55) vào (1.59) chúng ta suy ra được:

ℎ𝐷̂ 2

𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑁̂)𝑒𝑥𝑝 ( ) = 𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝐷̂ + ℎ𝑁̂ + ℎ2 [ ]] + ⋯ ) . ̂ 𝐷 2 ̂ + 𝑁,̂ [𝑁,̂ 𝐷 2

(1.60)

Số hạng ℎ2 bị triệt tiêu nên nếu chúng ta xét gần đúng bậc hai thì (1.60) trở

thành:

ℎ𝐷̂ 2

(1.61) 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑁̂)𝑒𝑥𝑝 ( ) ≈ 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂ + ℎ𝑁̂).

Áp dụng phương trình (1.60) vào phương trình (1.51) chúng ta thu được:

ℎ𝐷̂ 2

(1.62) 𝐴(𝑧 + ℎ, 𝑇) ≈ 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑁̂)𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝐴(𝑧, 𝑇).

và sai số của phép gần đúng ước lượng bậc ℎ3.

Quá trình lan truyền xung qua bước nhỏ ℎ có thể được phân tích như sau:

ℎ

Trong nửa bước đầu, hiệu ứng tuyến tính tác dụng. Quá trình này chúng ta xem

thì hiệu ứng phi tuyến sẽ tác dụng. Nửa như 𝐴(𝑧, 𝑇) đã biết. Đến vị trí 𝑧 +

bước sau từ 𝑧 + ℎ thì hiệu ứng tuyến tính lại tác dụng. Sự mô tả có vẻ phức tạp

nhưng gần thực tế hơn và chính xác hơn.

Hình 1.3. Lan truyền của xung qua bước nhỏ ℎ theo phương pháp Split -

Step bậc hai [37].

Trên đây là cơ sở phương pháp gần đúng để giải gần đúng phương trình

đạo hàm riêng phi tuyến (1.49) mô tả lan truyền của các xung ánh sáng. Nguyên

tắc của nó là chia nhỏ quãng đường lan truyền thành nhiều bước nhỏ, trên mỗi

bước lại sử dụng gần đúng về tác dụng độc lập của các hiệu ứng. Nó có tên gọi

là phương pháp Split - Step. Các công thức gần đúng ở trên vẫn mang tính chất

lý thuyết và chưa thể áp dụng để giải trên máy tính được. Muốn giải được trên

máy tính chúng ta cần sử dụng phép biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược.

Chính vì sự kết hợp cả phương pháp Split - Step và các phép biến đổi Fourier

nên được gọi là phương pháp Split - Step Fourier.

 Phương pháp Split - Step Fourier áp dụng cho hệ phương trình

Schrödinger

Bây giờ chúng ta vận dụng phương pháp SSF cho hệ phương trình (1.30). Hệ

phương trình (1.30) viết dưới dạng ma trận như sau:

2 [

] + [ ] + 𝑖𝜕𝑡 [ ] = −𝜕𝑥 (1 − 𝑖𝛤)|𝜓1|2 0 𝜓1 𝜓2 𝜓1 𝜓2 𝜓1 𝜓2 0 (1 − 𝑖𝛤)|𝜓2|2] [

] [ ]. 𝑖𝛾 [ 𝐽(𝑥) 𝐽(𝑥) 𝑖𝛾 𝜓1 𝜓2

(1.63)

2 , 𝐿̂ = [

0 ] , 𝑁̂ = [ Đặt 𝐷̂ = −𝜕𝑥 𝑖𝛾 𝐽(𝑥) 𝐽(𝑥) 𝑖𝛾 (1 − 𝑖𝛤)|𝜓1|2 0 (1 − 𝑖𝛤)|𝜓2|2] , Ψ =

], phương trình (1.62) được viết gọn lại như sau: 𝜓1 [ 𝜓2

(1.64) 𝑖𝜕𝑡Ψ = (𝐷̂ + 𝐿̂ + 𝑁̂)Ψ.

Áp dụng công thức gần đúng bậc hai (1.60) chúng ta thu được:

Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑖(𝐷̂+𝐿̂ +𝑁̂)𝑑𝑡 ≈

(1.65) 𝑒−(𝑖𝐷̂/2)𝑑𝑡𝑒−(𝑖𝐿̂ /2)𝑑𝑡𝑒−(𝑖𝑁̂)𝑑𝑡𝑒−(𝑖𝐷̂/2)𝑑𝑡𝑒−(𝑖𝐿̂ /2)𝑑𝑡Ψ(𝑥, 0).

Nếu biết trước Ψ(𝑥, 0) thực hiện tiến triển thời gian theo công thức (1.65) chúng

ta sẽ biết được Ψ(𝑥, 𝑡).

1.5. Một số phương pháp dùng để xét tính chất ổn định của các trạng thái

Tính chất ổn định của solitons rất quan trọng trong việc ứng dụng vào khoa

học và công nghệ như lan truyền thông tin đường dài. Vì vậy, nghiên cứu tính

chất ổn định của solitons là cần thiết. Ngoài phương pháp tiến triển trực tiếp

trạng thái dừng ở trên sử dụng thuật toán Split - Step Fourier, chúng ta có thể sử

dụng hai phương pháp: phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của mode nhiễu

loạn, tiêu chuẩn ổn định (V-K), được trình bày chi tiết sau đây.

1.5.1. Phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của mode nhiễu loạn

Theo phương pháp này, chúng ta đưa vào trạng thái dừng các mode nhiễu

loạn có tốc độ nhiễu loạn 𝜆, sau đó thay thế vào phương trình ban đầu, dẫn ra

phương trình trị riêng bằng cách tuyến tính hóa. Sử dụng phần mềm matlab để

tìm phổ trị riêng của các mode nhiễu loạn. Để hiểu rõ phương pháp này chúng

tôi xét ví dụ đã được nghiên cứu trong tài liệu [42].

(1.66) Xét phương trình NLS tổng quát: 𝑖𝑈𝑡 + 𝑈𝑥𝑥 + 𝐹(|𝑈|2)𝑈 = 0,

(1.67) với 𝐹(|𝑈|2) = 𝛼|𝑈|𝜎 + 𝛾|𝑈|2𝜎.

Trạng thái solitons có dạng 𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥)𝑒𝑖𝜇𝑡 và trạng thái solitons khi thêm

nhiễu loạn có dạng:

(1.68) 𝑈(𝑥, 𝑡) = [𝑢(𝑥) + 𝑈̃(𝑥, 𝑡)]𝑒𝑖𝜇𝑡, 𝑈̃ ≪ 1.

Thế trạng thái nhiễu loạn vào phương trình (1.66) và tuyến tính hóa (tức là bỏ

qua các số hạng của 𝑂(𝑈̃2) và bậc cao hơn, chúng ta thu được phương trình

tuyến tính hóa cho nhiễu loạn 𝑈̃:

𝑖𝑈̃𝑡 + 𝑈̃𝑥𝑥 − 𝜇𝑈̃ + [𝐹(𝑢2) + 𝑢2𝐹′(𝑢2)]𝑈̃ + 𝑢2𝐹′(𝑢2)𝑈̃∗ = 0. (1.69)

Nghiệm của phương trình này có thể tách thành tổng của các mode tùy ý có

dạng:

(1.70) 𝑈̃𝑚𝑜𝑑𝑒(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑒𝜆𝑡 + 𝑔∗(𝑥)𝑒𝜆∗𝑡,

ở đây, 𝜆 = 𝜆𝑟 + 𝑖𝜆𝑖 là trị riêng của mode chuẩn hóa này.

Thế (1.70) vào phương trình tuyến tính hóa (1.69), chúng ta sẽ tìm được các

mode chuẩn hóa xác định bởi bài toán trị riêng tuyến tính sau đây:

(1.71) 𝑓𝑥𝑥 + [𝐹(𝑢2) + 𝑢2𝐹′(𝑢2) − 𝜇]𝑓 + 𝑢2𝐹′(𝑢2)𝑔 = −𝑖𝜆𝑓,

(1.72) −𝑔𝑥𝑥 − [𝐹(𝑢2) + 𝑢2𝐹′(𝑢2) − 𝜇]𝑔 − 𝑢2𝐹′(𝑢2)𝑓 = −𝑖𝜆𝑔.

Để đơn giản hơn, chúng ta đổi biến:

(1.73) 𝑓(𝑥) = 𝜐(𝑥) + 𝑤(𝑥), 𝑔(𝑥) = 𝜐(𝑥) − 𝑤(𝑥).

Với cách đổi biến như vậy, bài toán trị riêng đưa về đơn giản hơn:

(1.75)

𝑳 = 𝑖 [

] , 𝑌 = (

𝜐 𝑤

𝐺0 ∇2 + 𝐺2

∇2 + 𝐺1 𝐺0

và

(1.76)

𝐺0 =

(𝑢2 − 𝑢∗2)𝐹|𝑢|2(|𝑢|2, 𝑥),

(1.77)

𝐺1 = −𝜇 + 𝐹(|𝑢|2, 𝑥) + [|𝑢|2 −

(𝑢2 + 𝑢∗2)] 𝐹|𝑢|2(|𝑢|2, 𝑥),

(1.74) 𝑳𝑌 = 𝜆𝑌,

(1.78)

𝐺2 = −𝜇 + 𝐹(|𝑢|2, 𝑥) + [|𝑢|2 +

(𝑢2 + 𝑢∗2)] 𝐹|𝑢|2(|𝑢|2, 𝑥).

Để tìm trị riêng của toán tử 𝑳 chúng tôi sử dụng các cách sau đây:

- Sử dụng phương pháp số thời gian ảo để tìm trạng thái dừng của hệ, kết

hợp với phương pháp Fourier Collocation để tìm trị riêng của toán tử 𝑳.

- Sử dụng phương pháp số thời gian ảo để tìm trạng thái dừng của hệ, kết

hợp với phương pháp Finite - Difference để tìm trị riêng của toán tử 𝑳.

Theo phương pháp này nếu như phần thực của tốc độ nhiễu loạn 𝜆 khác

không thì trạng thái không ổn định, phần thực của tốc độ nhiễu loạn 𝜆 bằng

không thì trạng thái ổn định. Vậy phương pháp Fourier Collocation như thế nào?

𝐿

Trong miền một chiều, chúng ta bắt đầu cắt ngắn trục 𝑥 vô hạn thành hữu hạn

[− , ], 𝐿 là chiều dài đoạn ta xét. Trong khoảng ta xét, chúng tôi khai triển 2

hàm riêng có dạng 𝜓 = [𝜐, 𝑤]𝑇, cũng như hàm 𝐺0, 𝐺1 và 𝐺2 thành chuỗi Fourier:

(1.79) , 𝑤(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛𝑒𝑖𝑛𝑘0𝑥, 𝑛

𝑛

(1.80) 𝜐(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑒𝑖𝑛𝑘0𝑥 𝑛 (𝑗)𝑒𝑖𝑛𝑘0𝑥, 𝑗 = 1, 2, 3, 𝐺𝑗 = ∑ 𝑐𝑛

𝐿⁄ . Thế những khai triển này vào bài toán trị riêng (1.75) và

ở đây 𝑘0 = 2𝜋 cân bằng các hệ số của cùng mode Fourier, hệ trị riêng đối với các hệ số {𝑎𝑗, 𝑏𝑗}

𝑛

(1)𝑏𝑗−𝑛 = −𝑖𝜆𝑎𝑗,

sẽ thu được như sau:

(0)𝑎𝑗−𝑛 − (𝑘0𝑗)2𝑏𝑗 + ∑ 𝑐𝑛

∑ 𝑐𝑛 𝑛

𝑛

(0)𝑏𝑗−𝑛

𝑛

(2)𝑎𝑗−𝑛 − ∑ 𝑐𝑛

(1.81) = −𝑖𝜆𝑏𝑗, −(𝑘0𝑗)2𝑎𝑗 + ∑ 𝑐𝑛

ở đây, −∞ < 𝑗 < +∞. Đối với tính toán số, chúng ta cắt ngắn với số mode đủ

lớn −𝑁 < 𝑗 < +𝑁, bài toán trị riêng có số chiều vô hạn trở thành bài toán có số

chiều hữu hạn:

(1.82) ] = 𝜆 [ ], 𝑖 [ ] [ 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝒞0 𝒟 + 𝒞2 𝒟 + 𝒞1 −𝒞0

ở đây

𝒟 = (−𝑖𝑘0)2𝑑𝑖𝑎𝑔(−𝑁, −𝑁 + 1, … , 𝑁 − 1, 𝑁)2,

các ma trận 𝒞0, 𝒞1và 𝒞2 có dạng

𝑐−1 … 𝑐−𝑁 𝑐−1 𝑐0 𝑐0 𝑐1

𝒞 = 𝑐0 𝑐1 ⋮ 𝑐𝑁

𝑐𝑁

⋯

[ 𝑐−𝑁 ⋮ 𝑐−1 𝑐0 ]

𝑐𝑁 … 𝑐1 (𝑗)của các ma trận 𝒞𝑗 và với các 𝑐𝑛 là các giá trị riêng 𝑐𝑛

(1.83) 𝐴 = (𝑎−𝑁, 𝑎−𝑁+1, … , 𝑎𝑁)𝑇, 𝐵 = (𝑏−𝑁, 𝑏−𝑁+1, … , 𝑏𝑁)𝑇.

Bài toán trị riêng (1.81) có thể được giải bằng thuật toán QR (Gloub và Van

Loan (1996)) hoặc thuật toán Arnoldi (Arnoldi (1951)).

Sau đây, chúng ta xét một ví dụ áp dụng phương pháp Fourier Collocation

ở trên để xét tính chất ổn định của trạng thái solitons.

Xét phương trình NLS một chiều:

(1.84) 𝑖𝑈𝑡 + 𝑈𝑥𝑥 + 𝐹(|𝑈|2)𝑈 = 0,

với ba trường hợp:

(1.84a) 𝐹(|𝑈|2) = |𝑈|2,

(1.84b) 𝐹(|𝑈|2) = |𝑈|2 + 3|𝑈|4,

(1.84c) 𝐹(|𝑈|2) = −1.5|𝑈|1.5 + |𝑈|3.

Thực hiện thuật toán số chúng ta thu được kết quả phổ trị riêng tốc độ nhiễu

loạn 𝜆 như hình vẽ sau.

Hình 1.4. Phổ ổn định tuyến tính của các trạng thái solitons của phương trình

Schrödinger phi tuyến (1.84) với hằng số lan truyền 𝜇 = 1, tương ứng với ba

trường hợp phi tuyến (1.84a)-(1.84c) [42].

Như vậy qua kết quả thu được như ở hình (1.4) chúng ta thấy trường hợp (a)

và (b) có phần thực của 𝜆 luôn bằng không nên trạng thái ứng với trường hợp đó

là ổn định, còn trường hợp (c) phần thực của 𝜆 có giá trị khác không nên trạng

thái ứng với nó không ổn định.

1.5.2. Tiêu chuẩn ổn định Vakhitov - Kolokolov (V-K)

Chúng ta cũng xét trạng thái solitons của phương trình (1.84) có dạng sau [42]:

(1.85) 𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥)𝑒𝑖𝜇𝑡.

Đại lượng đặc trưng cho công suất trong quang học được định nghĩa:

+∞ −∞

. (1.86) |𝑈(𝑥, 𝑡)|2𝑑𝑥 𝑃 = ∫

Thay phương trình (1.85) vào (1.84) chúng ta có 𝑢(𝑥) thõa mãn phương trình

sau đây:

(1.87) ∇2𝑢 − 𝜇𝑢 + 𝐹(𝑢2)𝑢 = 0.

Để xét tính ổn định của trạng thái (1.85) chúng ta sử dụng tiêu chuẩn (V-K) như

sau: Trạng thái (1.85) ổn định nếu 𝑃′(𝜇) > 0 và bất ổn định nếu 𝑃′(𝜇) < 0. Một

ví dụ được trình bày ở hình vẽ sau. Ở đây chúng ta xét tính chất ổn định của

trạng thái dừng của phương trình (1.84) với phi tuyến có dạng (1.84c).

Hình 1.5. Hình (a) là đường cong công suất trạng thái solitons (1.85); (b, c) là

phổ ổn định tuyến tính của trạng thái solitons tại hai giá trị 𝜇 = 1 và 𝜇 = 3

tương ứng với các điểm tròn ở hình (a) [42].

Trên đây là một số phương pháp số dùng để tính toán phương trình

Schrödinger phi tuyến và xét tính chất ổn định của các trạng thái. Mục tiếp theo

chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm chính liên quan đến đề tài nghiên cứu đó

là sự phá vỡ đối xứng tự phát.

1.6. Sự phá vỡ đối xứng tự phát

1.6.1. Khái niệm về sự phá vỡ đối xứng tự phát

Trước hết chúng ta cần phân biệt hai điều quan trọng khi bàn luận về tính

đối xứng và phá vỡ đối xứng: Một là định luật vật lý diễn tả bởi phương trình,

hai là trạng thái của hệ vật lý diễn tả bởi các nghiệm của phương trình trên. Sự

phá vỡ tự phát của tính đối xứng hàm ý là định luật (hay phương trình) cơ bản

mang một phép đối xứng nào đó, trong khi nghiệm của phương trình ấy lại

không đối xứng theo định luật ấy. Phá vỡ đối xứng tự phát là một hiện tượng

thường thấy trong tự nhiên. Bản chất của hiện tượng này được Yoichiro Nambu

làm rõ trong bài giảng nhân dịp ông nhận giải thưởng Nobel năm 2008 (do phát

hiện ra hiện tượng phá vỡ đối xứng tự phát trong vật lý siêu nhỏ dưới nguyên tử)

như sau: Ta hãy tưởng tượng có một đoạn dây thép thẳng đàn hồi đặt thẳng đứng

trong không gian. Rõ ràng nó có tính đối xứng trục. Ta có thể quay nó xung

quanh trục đối xứng một góc bất kỳ mà nó vẫn giữ nguyên hình dạng. Bây giờ ta

ấn đoạn dây này từ trên xuống dọc theo trục của nó. Rõ ràng hệ dây và lực vẫn

có tính đối xứng trục, khi lực ấn là nhỏ. Khi ấn với một lực mạnh thì đoạn dây bị

cong đi theo một hướng nào đó mà ta không biết được, song chắc chắn đối

tượng xem xét đã mất tính đối xứng trục. Đó chính là SSB. Nếu độ lớn của lực

là một tham số, thì hệ được xem xét sẽ mất đi đối xứng ban đầu ở một giá trị nào

đó của tham số được gọi là giá trị tới hạn.

Hình 1.6. Hiện tượng phá vỡ đối xứng trục của dây thép thẳng.

SSB phổ biến trong hầu hết các lĩnh vực vật lý. Trong vật liệu từ, đường

cong từ nhiệt thể hiện sự mất tính chất từ khi nhiệt độ vượt quá nhiệt độ tới hạn

nào đó (gọi là nhiệt độ Curi). Trong BEC là sự phân bố mất đối xứng của mật độ

hạt boson (hạt có spin nguyên) khi nhiệt độ của hệ thấp hơn nhiệt độ tới hạn.

Trong quang học, SSB có thể là ánh sáng bị bẫy trong một lõi này của ống dẫn

sóng dạng lõi kép lớn hơn trong lõi khác, hiệu ứng xảy ra khi hiệu ứng phi tuyến

mạnh tương ứng với công suất xung lớn [43]. Hiệu ứng SSB thì phổ biến đối với

các mô hình kết hợp của hiệu ứng phi tuyến tự hội tụ và các thế bẫy đối xứng.

Trong nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng thông thường chúng ta cần thiết lập

được giản đồ rẽ nhánh (có khi gọi là giản đồ pha). Giản đồ rẽ nhánh cũng có

nhiều loại khác nhau như: rẽ nhánh trên tới hạn, rẽ nhánh dưới tới hạn tùy thuộc

vào đặc trưng rẽ nhánh của hệ (sẽ được chúng tôi trình bày ngay sau đây). Qua

giản đồ pha đó chúng ta sẽ biết được những thông tin gì? Hai mục tiếp theo

chúng tôi sẽ trình bày về giản đồ rẽ nhánh và một số thông tin từ giản đồ đó.

1.6.2. Đặc trưng rẽ nhánh trong hệ phi tuyến bảo toàn

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày hai loại rẽ nhánh và những thông tin

thu được từ giản đồ đó của sự phá vỡ đối xứng trong hệ quang học bảo toàn (tức

là hệ chỉ xảy ra các hiện tượng tuyến tính và phi tuyến, không có khuếch đại hay

mất mát). Để dễ hiểu chúng ta xét ví dụ cụ thể phương trình Schrödinger phi

tuyến rút gọn mô tả sự lan truyền xung ánh sáng trong hệ quang học phi tuyến

đồng nhất có cấu trúc giếng thế tuyến tính kép (do chiết suất thay đổi theo không

𝜕𝜓

gian) có dạng như sau [44, 45]:

𝜕𝑧

(1.88) 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + 𝜎|𝜓|2𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓 ,

ở đây, 𝑧 là khoảng cách lan truyền theo trục lan truyền, σ là hệ số phi tuyến, σ =

+1 và σ = -1 tương ứng với trường hợp phi tuyến tự phân kỳ và tự hội tụ, 𝜓𝑥𝑥 là

đạo hàm bậc hai của hàm bao biến thiên chậm 𝜓(𝑥, 𝑧) theo 𝑧, 𝑈(𝑥) là thế dạng

bậc có dạng giếng kép đối xứng qua trục lan truyền. Bình thường, trạng thái

solitons của hệ tuân theo đối xứng của giếng thế. Tuy nhiên, thực tế rằng trạng

thái solitons của hệ lại phụ thuộc nhiều vào công suất xung được tính theo mô

đun của hàm bao biến thiên chậm:

+∞ −∞

(1.89) |𝜓(𝑥, 𝑧)|2 |𝑢(𝑥)|2𝑑𝑥 , 𝑁 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫

với 𝑢(𝑥) là hàm thực của trạng thái dừng 𝜓(𝑥, 𝑧) = 𝑢(𝑥)𝑒𝑖𝜇𝑧 mà chúng ta sẽ

phân tích trong Chương 2. Sự bất đối xứng của solitons được đặc trưng bởi độ

|u(x)|2

dx)

dx−∫

+∞ (∫ 0

bất đối xứng được ký hiệu 𝜈:

N+−N− N

0 −∞ |u(x)|2dx

|u(x)|2 +∞ ∫ −∞

. (1.90) ν = =

Tồn tại giá trị công suất 𝑁𝑏𝑖𝑓 được gọi là giá trị tới hạn (hay gọi là giá trị công

suất ngưỡng) mà khi công suất xung có giá trị thấp hơn giá trị đó thì solitons có

dạng đối xứng. Nếu công suất xung có giá trị lớn hơn giá trị này thì solitons sẽ

không còn đối xứng nữa. Tuy nhiên cũng có trường hợp xuất hiện solitons

không đối xứng dưới giá trị ngưỡng này. Vì vậy người ta chia thành hai loại đặc

trưng rẽ nhánh phá vỡ đối xứng đó là: đặc trưng rẽ nhánh trên tới hạn và đặc

trưng rẽ nhánh dưới tới hạn. Sự xuất hiện các solitons không đối xứng ổn định

với điều kiện là công suất xung vượt mức giá trị tới hạn, loại phá vỡ đối xứng

𝑁𝑏𝑖𝑓

này được gọi là trên tới hạn [44].

Hình 1.7. Sự rẽ nhánh trên tới hạn của các trạng thái solitons trong mô hình một

chiều [44].

Trong trường hợp thứ hai, các solitons không đối xứng ổn định xuất hiện tại giá

trị công suất xung nhỏ hơn giá trị tới hạn, loại phá vỡ này gọi là rẽ nhánh dưới

tới hạn [44]. Quá trình rẽ nhánh dưới tới hạn là điển hình cho solitons trong ống

𝑁𝑏𝑖𝑓

dẫn sóng lõi kép với phi tuyến Kerr tự hội tụ [45].

Hình 1.8. Sự rẽ nhánh dưới tới hạn của các trạng thái solitons trong mô hình hai

chiều [45].

Từ hai giản đồ rẽ nhánh ở trên chúng ta sẽ thu được một số thông tin sau

đây: loại rẽ nhánh của SSB, giá trị tới hạn, tính chất ổn định của các trạng thái

và vùng tham số điều khiển tồn tại các trạng thái khác nhau.

1.6.3. Trạng thái hỗn loạn và một số kịch bản dẫn đến hỗn loạn

Các hệ vật lý trong thực tế hầu hết là hệ mở, hệ đóng chỉ là trường hợp

riêng lý tưởng khi chúng ta bỏ qua các nhiễu bên ngoài tác động vào hệ. Chính

vì vậy mà hầu hết năng lượng của các hệ vật lý thì không bảo toàn. Trong

nghiên cứu vật lý, bằng cách chúng ta bù vào phần năng lượng đã mất mát, do

đó mà năng lượng của hệ được duy trì. Trong quang học một hệ mở đã được

nghiên cứu trong công trình [31], đó là hệ cộng hưởng vòng quang học liên kết

tuyến tính với nhau, với sự có mặt của khuếch đại tuyến tính và mất mát phi

tuyến trong mỗi vòng. Trong hệ đó có sự chuyển đổi giữa các trạng thái bao

gồm trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn khi tham số điều

khiển thay đổi. Sự thay đổi đó chính là kết quả của sự phá vỡ đối xứng của hàm

sóng mô tả trạng thái của hệ. Đặc biệt là trạng thái hỗn loạn đã và đang hứa hẹn

có rất nhiều ứng dụng trong khoa học, công nghệ và đời sống. Sau đây chúng tôi

sẽ trình bày một số khái niệm về trạng thái đó.

 Trạng thái hỗn loạn

Năm 1963, Edward Lorenz nghiên cứu và dẫn ra hệ phương trình toán học

𝑑𝑥

đơn giản cho hiện tượng đối lưu của khí quyển:

𝑑𝑡

𝑑𝑦

(1.91) = 𝜎(𝑦 − 𝑥),

𝑑𝑡

𝑑𝑧

(1.92) = 𝑥(𝜌 − 𝑧) − 𝑦,

𝑑𝑡

(1.93) = 𝑥𝑦 − 𝛽𝑧.

Trong đó, 𝑥 tỉ lệ thuận với tốc độ đối lưu, 𝑦 là sự biến đổi nhiệt độ theo chiều

ngang, 𝑧 là sự biến đổi nhiệt độ theo chiều dọc, 𝜎, 𝜌 và 𝛽 là các tham số dương.

Bài toán này được gọi là bài toán Lorenz. Hình vẽ 1.8 mô tả quỹ đạo của hệ

Lorenz trong một trường hợp giá trị của các tham số ρ = 28, σ = 10, β = 8/3.

Hình 1.9. Quỹ đạo của hệ Lorenz khi các giá trị tham số ρ = 28, σ = 10, β = 8/3.

Trong quá trình thay đổi các tham số trong hệ, ông đã tìm thấy trạng thái

“hỗn loạn”. Trạng thái hỗn loạn được hiểu là trạng thái lộn xộn, không trật tự.

Tuy nhiên, để hiểu một cách chính xác chúng ta cần phân biệt hỗn loạn với ngẫu

nhiên. Theo đó, đối với hỗn loạn nếu biết hiện tại (có thể là trạng thái đầu) thì

tương lai (có thể là trạng thái cuối) sẽ xác định và nếu có một nhiễu loạn nhỏ ở

hiện tại (trạng thái đầu) thì tương lai (trạng thái cuối) sẽ không xác định được

nữa. Ngược lại, ngẫu nhiên thì nếu biết trước hiện tại (có thể trạng thái ban đầu)

thì tương lai (trạng thái cuối) sẽ không xác định được, mang tính chất ngẫu

nhiên. Hỗn loạn có tính chất rất quan trọng đó là tính chất nhạy cảm với điều

kiện ban đầu. “Hiệu ứng cánh bướm” là một ví dụ nói về tính chất này. Hiệu ứng

cánh bướm đó là nếu chúng ta thực hiện một thay đổi nhỏ ở trạng thái ban đầu

của hệ phi tuyến có thể dẫn tới kết quả là thay đổi lớn của trạng thái sau đó.

 Một số kịch bản dẫn đến hỗn loạn [46]

Kịch bản dẫn đến hỗn loạn là một sự biến đổi từ trạng thái dừng đến trạng

thái hỗn loạn thông qua các trạng thái dao động hoặc gần dao động tùy từng

trường hợp, khi một giá trị tham số của hệ thay đổi. Ba kịch bản dẫn đến hỗn

loạn đã được Berge và các cộng sự miêu tả năm 1984. Hình vẽ 1.9 miêu tả ba

kịch bản dẫn tới hỗn loạn thường được quan sát trong nhiều hệ động lực học khi

một tham số của hệ thay đổi. Hình (a) là kịch bản nhân đôi tần số dẫn tới hỗn

loạn; hình (b) là kịch bản gần tuần hoàn dẫn tới hỗn loạn; hình (c) là kịch bản

không liên tục (không trơn) dẫn đến hỗn loạn.

Hình 1.10. Ba kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn [46].

Trong hình vẽ 1.9, các kí hiệu “S” nghĩa là trạng thái dừng, “P1”,

“P2”,…lần lượt là trạng thái dao động một tần số, hai tần số,…, “C” là trạng thái

hỗn loạn, “QP” là trạng thái gần tuần hoàn, “IM” là trạng thái không liên tục

(không trơn).

- Kịch bản nhân đôi tần số bắt đầu từ trạng thái dừng, dao động một tần số

nào đó, dao động gấp đôi tần số, dao động gấp bốn tần số, …, dao động 2n tần

số (n là một số nguyên dương), …, cuối cùng dẫn tới hỗn loạn.

- Kịch bản gần dao động tuần hoàn dẫn tới trạng thái hỗn loạn bắt đầu từ

trạng thái dừng, trạng thái dao động nào đó, trạng thái dao động gần tuần hoàn,

rồi đến trạng thái dao động hỗn loạn.

- Kịch bản không liên tục (không trơn) dẫn đến hỗn loạn có đặc trưng như

sau, khi tham số điều khiển vượt qua giá trị tới hạn, trạng thái dao động thường

và trạng thái dừng (được gọi là “pha laminar”) của động lực học xuất hiện tùy ý

sự gián đoạn tại các thời gian ngẫu nhiên đặc trưng bởi hành vi bất thường

(“bùng nổ pha”), như trong hình 1.9c. Trong quá trình pha hỗn loạn cũng kèm

theo trạng thái dao động thường (nhưng yếu) phụ thuộc vào tham số điều khiển,

và quá trình dao động yếu đó của các pha laminar giảm khi tham số điều khiển

tăng, và cuối cùng là các pha laminar biến mất để trở thành một trạng thái hỗn

loạn hoàn toàn. Kịch bản không tuần hoàn dẫn đến hỗn loạn là liên quan với các

rẽ nhánh saddle-node, Hopf và Subharmonic, và có thể tương ứng với rẽ nhánh

các loại không liên tục loại-I, -II và -III (Berg e et al., 1984). Kịch bản này còn

được gọi là “kịch bản của vụ nổ Pom-Pomeau-Manneville đến hỗn loạn”[46].

Sơ đồ ba kịch bản dẫn tới hỗn loạn được gọị là giản đồ rẽ nhánh. Qua giản

đồ đó sẽ cung cấp cho chúng ta một số thông tin sau đây: thứ nhất giá trị ngưỡng

của tham số điều khiển mà tại đó có sự chuyển đổi trạng thái, thứ hai vùng tham

số điều khiển xuất hiện các trạng thái và thứ ba là loại kịch bản dẫn tới hỗn loạn.

1.7. Kết luận chương 1

Trong chương này chúng tôi đã tìm hiểu và trình bày các nội dung sau đây:

- Các khái niệm cơ bản và một số phương pháp tính toán về phương trình

vi phân đạo hàm riêng. Đặc biệt, phương trình Schrödinger phi tuyến là phương

trình cơ sở mô tả các hệ quang học phi tuyến khác nhau sẽ được chúng tôi áp

dụng trong hai chương tiếp theo.

- Khái niệm về trạng thái solitons và các trạng thái solitons, đây là trạng

thái mà chúng tôi sẽ nghiên cứu trong Chương 2.

- Phương pháp SSF được trình bày chi tiết dùng để tìm trạng thái solitons

của hệ, cũng như sử dụng trong kỹ thuật tiến triển để tìm trạng thái cuối cùng

của hệ cộng hưởng vòng được nghiên cứu trong Chương 3.

- Các phương pháp để xác định tính chất ổn định của trạng thái solitons như:

tiêu chuẩn ổn định V-K, phương pháp ổn định tuyến tính hóa trị riêng của các

mode nhiễu loạn, các khái niệm như: rẽ nhánh dưới tới hạn, rẽ nhánh trên tới

hạn, trạng thái hỗn loạn, kịch bản dẫn tới hỗn loạn cũng được trình bày chi tiết.

Trong hai chương tiếp theo chúng tôi sẽ nghiên cứu SSB và sự biến đổi các

trạng thái của một số hệ phi tuyến trên cơ sở các phương pháp đã được trình bày

ở trên.

Chương 2

SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC

PHI TUYẾN BẢO TOÀN

Chương này chúng tôi xét ảnh hưởng của công suất xung và hằng số lan

truyền lên sự phá vỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học bảo toàn. Đồng

thời xét tính chất ổn định của các trạng thái solitons tồn tại trong hai hệ đó.

2.1. Hệ ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính kép

2.1.1. Mô hình và phương trình mô tả hệ

Chúng tôi nghiên cứu sự lan truyền ánh sáng trong ống dẫn sóng với sự có

mặt của hiệu ứng phi tuyến Kerr đồng nhất đồng thời bị bẫy trong ống dẫn sóng có

chiết suất biến đổi theo không gian. Phương trình Schrödinger phi tuyến rút gọn mô

𝜕𝜓

tả sự lan truyền ánh sáng có dạng sau đây:

𝜕𝑧

(2.1) 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + 𝜎|𝜓|2𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓,

trong đó 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑧) là hàm bao biến thiên chậm; 𝜓𝑥𝑥 là đạo hàm bậc hai của 𝜓(𝑥, 𝑧) theo tọa độ không gian 𝑥; 𝜎 là hệ số phi tuyến (𝜎 = −1 ứng với phi

tuyến tự hội tụ, 𝜎 = +1 ứng với phi tuyến tự phân kỳ); thế tuyến tính (do chiết

(𝑥+1)2

(𝑥−1)2

suất của ống dẫn sóng biến đổi theo không gian) có dạng hàm Gauss kép:

𝑎2 ) + 𝑒𝑥𝑝 (−

𝑎2 )],

𝑎√𝜋

(2.2) 𝑈(𝑥) = − [𝑒𝑥𝑝 (−

trong đó a là độ rộng của hàm thế.

⁄ theo tọa Hình 2.1. Thế tuyến tính Gauss kép được chuẩn hóa 𝑈(𝑥) |𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥

độ không gian 𝑥.

Hình vẽ 2.1 mô tả thế tuyến tính dạng hàm Gauss kép (có biểu thức (2.2))

với các độ rộng 𝑎 khác nhau. Khi độ rộng của thế tăng lên chúng ta thấy rằng

hàm thế Gauss kép dần tới hàm thế Gauss đơn bắt đầu tại giá trị độ rộng 𝑎 ≈

1.35. Lưu ý rằng sự phá vỡ đối xứng không xảy ra trong trường hợp một kênh.

Chúng tôi tìm kiếm các trạng thái solitons của hệ có dạng 𝜓(𝑥, 𝑧) =

𝑢(𝑥)𝑒𝑖𝜇𝑧 trong đó 𝜇 là hằng số lan truyền, 𝑧 là chiều dài lan truyền và 𝑢(𝑥) là

hàm thỏa mãn phương trình:

(2.3) −𝜇𝑢 + 𝑢𝑥𝑥 − 𝑈(𝑥)𝑢 − 𝜎𝑢3 = 0,

trong đó 𝑢𝑥𝑥 là đạo hàm bậc hai của 𝑢(𝑥) theo tọa độ không gian 𝑥 và 𝑢 = 𝑢(𝑥). Công suất của xung của hệ là một đại lượng bảo toàn có biểu thức:

+∞ −∞

(2.4) |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 |𝑢(𝑥)|2𝑑𝑥 . 𝑁 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫

|𝑢(𝑥)|2

𝑑𝑥)

𝑑𝑥−∫

+∞ (∫ 0

0 −∞

Độ bất đối xứng được định nghĩa như sau:

N+−N− N

|𝑢(𝑥)|2𝑑𝑥

|𝑢(𝑥)|2 +∞ ∫ −∞

, (2.5) Θ = =

nó đặc trưng cho sự bất đối xứng của solitons.

Nếu Θ = 0 thì solitons đối xứng và Θ ≠ 0 thì solitons bất đối xứng. Tính

chất đối xứng solitons của hệ phụ thuộc vào độ rộng của thế Gauss kép a, công

suất xung 𝑁 và hằng số lan truyền 𝜇. Ở đây, độ bất đối xứng Θ có thể mang dấu

“-” hoặc “+” tùy thuộc vào sự lệch đối xứng về phía bên trái hay bên phải của

trạng thái solitons (xem hình vẽ 2.2), điều đó thể hiện sự tự phát trong phá vỡ

(a)

(b)

đối xứng tùy thuộc vào hình dạng của xung vào.

Hình 2.2. Trạng thái soliton bất đối xứng trái (a) và bất đối xứng phải (b) (các

đường nét liền) nằm trong thế tuyến tính kép (đường nét đứt). Các tham số: độ

rộng của hàm thế Gauss kép là 𝑎 = 0.5, công suất xung là 𝑁 = 2, trường hợp

này là phi tuyến tự hội tụ 𝜎 = −1.

Lưu ý rằng, nguyên nhân sự phá vỡ đối xứng tự phát của hệ là do số hạng

thứ hai trong phương trình (2.1), số hạng này đặc trưng cho phi tuyến tự hội tụ

hoặc tự phân kỳ của xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến. Nếu bỏ qua số

hạng này chúng ta luôn có dạng đối xứng của solitons, có thể đối xứng hoặc

phản đối xứng. Đối với hệ như vậy chúng ta có sự đối xứng về cường độ sáng

qua phương lan truyền.

Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng công suất xung,

hằng số lan truyền lên tính chất chất đối xứng và ổn định của solitons. Cụ thể

xác định các vùng tham số trên để tồn tại các loại trạng thái: trạng thái solitons

đối xứng và solitons không đối xứng. Đồng thời trong mỗi trường hợp chúng tôi

xét tính chất ổn định của chúng. Để thực hiện các nghiên cứu trên chúng tôi sử

dụng các phương pháp số khác nhau. Phương pháp thời gian ảo để tìm lời giải

solitons, phương pháp SSF, phương pháp ổn định tuyến tính hóa trị riêng của

các mode nhiễu loạn và phương pháp V-K để xét tính chất ổn định của solitons.

Những phương pháp này đã được trình bày trong chương trước. Sau đây, lần

lượt chúng tôi nghiên cứu tính chất đối xứng và ổn định của solitons trong hai

trường hợp hệ phi tuyến tự hội tụ và hệ phi tuyến tự phân kỳ.

2.1.2. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự hội tụ và thế tuyến tính kép

Xét trường hợp phi tuyến trong ống dẫn sóng là tự hội tụ thì 𝜎 = −1,

𝜕𝜓

phương trình mô tả hệ trở thành:

𝜕𝑧

(2.6) 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 − |𝜓|2𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓.

Lời giải solitons của phương trình Schrödinger phi tuyến (2.6) được tính

toán bằng phương pháp thời gian ảo. Trạng thái ban đầu của phương trình (2.3)

được giả sử có dạng như sau:

(2.7) 𝑢(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑐ℎ[(𝑥 + 1)] + 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑐ℎ[(𝑥 − 1)]

ở đây 𝐴 = 𝐵 ứng với trạng thái đối xứng, 𝐴 ≠ 𝐵 ứng với trạng thái bất đối xứng.

Kết quả thu được các loại trạng thái (trạng thái solitons đối xứng và bất đối xứng)

được miêu tả trên các hình vẽ 2.3 trường hợp phi tuyến tự hội tụ 𝜎 = −1 và các

tham số: độ rộng của thế Gauss kép là a = 0.5, công suất xung là 𝑁=2. Trong

hình 2.3 đường màu xanh là hình dạng soliton, đường màu đỏ nét đứt là dạng

thế tuyến tính kép. Từ hình vẽ 2.3a chúng ta thấy soliton có dạng đối xứng chẵn

𝑥 → −𝑥 tương ứng với soliton đối xứng và hình vẽ 2.3b cho thấy trạng thái

soliton bị lệch trái tương ứng với trạng thái không đối xứng.

(b) (a)

Hình 2.3. Các trạng thái solitons của hệ và thế Gauss kép lần lượt tương ứng các

đường màu xanh và màu đỏ nét đứt: (a) trạng thái soliton đối xứng, (b) trạng thái

soliton bất đối xứng.

Muốn xác định vùng các tham số tồn tại các trạng thái solitons, chúng tôi

xây dựng giản đồ rẽ nhánh Θ(𝑁) và Θ(𝜇), bằng cách cố định độ rộng của thế

Gauss kép, thay đổi hằng số lan truyền 𝜇. Sử dụng phương pháp thời gian ảo, mỗi

giá trị 𝜇 chúng tôi xác định được một trạng thái soliton và tính được công suất

xung 𝑁 theo công thức (2.4). Giản đồ sự phụ thuộc của độ bất đối xứng Θ vào

công suất xung 𝑁 và hằng số lan truyền µ đối với trường hợp độ rộng thế Gauss

𝑎 = 0.5 được trình bày ở hình vẽ 2.4 dưới đây. Trong hình vẽ 2.4, các đường nét

liền tương ứng tập hợp các trạng thái của solitons ổn định, đường nét đứt là tập

hợp của các solitons không ổn định (lưu ý: tính chất ổn định của chúng tôi sẽ xem

xét ở ngay sau đây). Ở đây, chúng tôi nhận thấy tồn tại giá trị công suất tới hạn

𝑁𝑏𝑖𝑓 = 0.925 (hay hằng số lan truyền tới hạn 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 0.646), mà khi công suất

xung 𝑁 > 𝑁𝑏𝑖𝑓 (hay hằng số lan truyền 𝜇 > 𝜇𝑏𝑖𝑓) thì solitons của hệ trở nên bất

đối xứng. Trên hình 2.4b, điểm A ứng với trạng thái soliton đối xứng (có độ bất

đối xứng bằng không), điểm C, D tương ứng là các trạng thái soliton bất đối xứng

lệch phải và lệch trái (có độ bất đối xứng khác không). Lưu ý rằng tại các giá trị

công suất 𝑁 lớn hơn công suất tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 cũng tồn tại soliton đối xứng, tập hợp

các trạng thái đó được biểu diễn bằng đường nét đứt màu đỏ trên hình vẽ 2.4, một

trường hợp trong số đó là trạng thái tại điểm B, hình dạng đối xứng của chúng

cũng giống như trạng thái tại điểm A. Điểm khác biệt ở đây là trạng thái soliton

(a)

(b)

của chúng không ổn định khi lan truyền với nhiễu loạn nhỏ.

C

A

B

D

𝝁𝒃𝒊𝒇

𝑵𝒃𝒊𝒇

Hình 2.4. Hình (a), (b) lần lượt là độ bất đối xứng như là hàm của hằng số lan

truyền 𝜇, và công suất xung 𝑁.

Tiếp theo, chúng tôi kiểm tra tính chất ổn định của các solitons bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp tiến triển solitons trong không gian thực với nhiễu loạn nhỏ bởi phương pháp SSF, phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của mode nhiễu loạn, phương pháp V-K. Hình vẽ 2.5 mô phỏng tính chất ổn

𝑑𝑁

định của các trạng thái solitons bằng phương pháp tiêu chuẩn ổn định V-K và kết quả tiến triển các trạng thái solitons trong không gian thực. Trong hình 2.5a, đồ thị mô tả sự phụ thuộc của công suất xung vào N theo hằng số lan truyền µ với

𝑑𝜇

𝑑𝑁

trường hợp độ rộng hàm thế Gauss kép a = 0.5. Theo tiêu chuẩn V-K khi > 0

𝑑𝜇

thì trạng thái ổn định và ngược lại < 0 thì trạng thái không ổn định hay nói cách

khác nếu hệ số góc của đường cong (𝜇, 𝑁) dương thì trạng thái ổn định, hệ số góc đường cong (𝜇, 𝑁) âm thì trạng thái không ổn định. Hình vẽ 2.5b mô tả tiến triển của trạng thái soliton tại điểm A theo chiều dài lan truyền, cho thấy hình dạng của soliton được giữ nguyên trên quảng đường lan truyền dài (tương ứng trạng thái ổn định). Hình vẽ 2.5c mô tả trạng thái tại B, chúng ta thấy hình dạng soliton chỉ giữ nguyên trên một quảng đường ngắn rồi sau đó xung bị vỡ (tương ứng với trạng thái không ổn định). Hình vẽ 2.5d mô tả các trạng thái solitons tại C và D, cho thấy hình dạng soliton được giữ nguyên trên quảng đường lan truyền dài (trạng thái soliton bất đối xứng ổn định).

(b)

(a)

(B) (A) (C, D)

(A)

(d)

(c)

(C, D) (B)

Hình 2.5. Hình (a) là công xuất xung phụ thuộc vào hằng số lan truyền; hình

(b) là tiến triển trong không gian trạng thái soliton đối xứng với 𝑁 = 0.5, 𝑎 =

0.5; hình (c), (d) lần lượt là tiến triển trạng thái soliton đối xứng và trạng thái

soliton đối xứng khi 𝑁 = 2, 𝑎 = 0.5.

Cách thứ ba để kiểm tra tính chất ổn định của solitons đó là phương pháp

tuyến tính hóa ổn định trị riêng của các mode nhiễu loạn. Bằng phương pháp này,

chúng tôi thêm vào trạng thái solitons các mode nhiễu loạn có dạng:

(2.8) 𝜓(𝑥, 𝑧) = {𝑢(𝑥) + [𝒱(𝑥) + 𝒲(𝑥)]𝑒 𝜆𝑧 + [𝒱∗(𝑥) + 𝒲∗(𝑥)]𝑒 𝜆∗𝑧}𝑒−𝑖𝜇𝑧,

trong đó, 𝑢(𝑥) là trạng thái soliton của phương trình (2.3) với hằng số lan truyền

𝜇, 𝒱 và 𝒲 là các thành phần của mode nhiễu loạn, 𝜆 ≡ 𝜆𝑟 + 𝑖𝜆𝑖 là trị riêng của

mode nhiễu loạn liên quan đến tốc độ làm mất tính ổn định của solitons. Theo

phương pháp này, nếu phần thực của tốc độ nhiễu loạn 𝜆 có giá trị khác không

thì trạng thái solitons đó sẽ không ổn định, ngược lại các phần thực của 𝜆 luôn

luôn bằng không thì trạng thái solitons ổn định.

Thay biểu thức (2.8) vào phương trình (2.1) và tuyến tính hóa trị riêng (tức

là triệt tiêu các số hạng có lũy thừa lớn hơn hoặc bằng hai của trị riêng 𝜆), chúng

ta thu được hệ phương trình trị riêng sau:

𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝜇 + 𝑢2(𝑥) − 𝑉(𝑥) 0

𝒱 𝒱 0 ) ( ) = 𝜆 ( ) 𝑖 (

𝑑2 𝑑𝑥2 + 𝜇 + 3𝑢2(𝑥) − 𝑉(𝑥)

𝒲 𝒲

(2.9)

Sử dụng phương pháp Fourier Collocation (như đã trình bày ở chương 2), chúng

tôi tìm được trị riêng của các mode nhiễu loạn của các trường hợp, kết quả hoàn

toàn phù hợp với tiêu chuẩn V-K được trình bày ở hình vẽ 2.6 dưới đây.

(a1) (a)

(b) (b1)

(c1) (c)

Hình 2.6. Hình (a), (b), (c) tương ứng là hình dạng solitons của các trạng thái ứng

với các điểm A, B, C (hoặc D). Các hình (a1), (b1), (c1) tương ứng là phổ trị riêng

của các mode nhiễu loạn khi tiến triển các solitons ứng với (a), (b), (c) trong không

gian thực.

Hình vẽ 2.6a1 và 2.6c1 cho thấy trị riêng thực của các mode nhiễu loạn

trong trường hợp này đều bằng không, chứng tỏ các trạng thái này ổn định (ứng

với các trạng thái tại điểm A, C (hoặc D)). Hình vẽ 2.6b1 cho thấy tồn tại một

giá trị riêng của mode nhiễu loạn lớn hơn không, do đó trạng thái này không ổn

định (ứng với trạng thái tại điểm B). Như vậy, chúng tôi thấy rằng cả ba phương

pháp xác định tính chất ổn định của trạng thái solitons đều cho kết quả giống

nhau. Đây là điều khẳng định sự chính xác của các phương pháp.

Chúng tôi tiếp tục xét với các trường hợp độ rộng a khác của thế Gauss kép,

cho thấy có kết quả tương tự. Hệ luôn tồn tại giá trị công suất ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 (hay

của hằng số lan truyền ngưỡng 𝜇𝑏𝑖𝑓). Khi công suất xung 𝑁 nhỏ hơn giá trị tới

hạn (giá trị ngưỡng) thì trạng thái của hệ đối xứng, khi công suất xung 𝑁 lớn

hơn giá trị công suất tới hạn thì hệ chuyển sang trạng thái bất đối xứng. Căn cứ

vào các loại rẽ nhánh chúng tôi nhận thấy sự rẽ nhánh của hệ thuộc loại trên tới

hạn (nghĩa là trạng thái solitons bất đối xứng ổn định tồn tại tại các giá trị công

suất lớn hơn giá trị công suất tới hạn). Các kết quả tính toán về đồ thị rẽ nhánh

với các độ rộng khác với 𝑎 = 0.2 và 𝑎 = 1 được trình bày ở hình vẽ 2.7 và 2.8

(a)

(b)

dưới đây.

Hình 2.7. Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng được

tính theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và công suất xung 𝑁 ứng với

(a)

(b)

trường hợp độ rộng của thế Gauss kép 𝑎 = 0.2.

Hình 2.8. Hình (a), (b) lần lượt miêu tả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng được

tính theo công thức (2.5) vào hằng số lan truyền µ và công suất của xung vào 𝑁

ứng với trường hợp độ rộng của thế Gauss kép 𝑎 = 1.0.

Từ hình vẽ 2.7 và 2.8 chúng tôi xác định được: trường hợp độ rộng 𝑎 =

0.2 công suất ngưỡng có giá trị bằng 𝑁𝑏𝑖𝑓 = 0.625 và hằng số lan truyền

ngưỡng là 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 0.658, còn khi độ rộng 𝑎 = 1.0 thì 𝑁𝑏𝑖𝑓 = 1.900 và 𝜇𝑏𝑖𝑓 =

0.953. Điều đó cho thấy rằng công suất ngưỡng và hằng số lan truyền ngưỡng

trong trường hợp a = 1.0 lớn hơn trong trường hợp a = 0.2. Để thấy rõ sự phụ

thuộc của các giá trị ngưỡng theo độ rộng, chúng tôi tiếp tục thực hiện mười giá

trị khác nhau của độ rộng hàm thế Gauss 𝑎, mỗi giá trị chúng tôi thu được một

điểm ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 và 𝜇𝑏𝑖𝑓 kết quả thu được như hình vẽ 2.9.

Hình 2.9. Hình (a) công suất xung vào ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ rộng 𝑎

(đường cong chấm tròn); hình (b) hằng số lan truyền ngưỡng 𝜇𝑏𝑖𝑓 như là hàm

của độ rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn).

Như chúng tôi đã phân tích ở phần sơ đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định của

solitons, với mỗi trường hợp độ rộng của thế Gauss 𝑎 xác định, nếu công suất

xung 𝑁 nhỏ hơn giá trị tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 thì trạng thái của hệ là đối xứng ổn định,

nếu công suất xung xung 𝑁 lớn hơn giá trị công suất tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 thì trạng thái

của hệ chuyển sang trang thái bất đối xứng ổn định, lưu ý rằng ở vùng giá trị

công suất 𝑁 lớn hơn giá trị tới hạn đó cũng tồn tại trạng thái đối xứng nhưng

không ổn định. Từ nhận xét trên kết hợp với hình vẽ 2.9, chúng tôi suy ra vùng

(1) (vùng gạch chéo) tồn tại đồng thời trạng thái solitons không đối xứng ổn

định và trạng thái solitons đối xứng không ổn định, vùng (2) (vùng không gạch

chéo) tồn tại trạng thái solitons đối xứng ổn định.

2.1.3. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự phân kỳ và thế tuyến tính kép

Trong mục này, chúng tôi xét trường hợp phi tuyến tự phân kỳ nghĩa là

𝜕𝜓

𝜎 = +1 phương trình (2.1) trở thành:

𝜕𝑧

(2.10) 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + |𝜓|2𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓.

Bằng cách cố định độ rộng của thế Gauss kép 𝑎, thay đổi tăng dần giá trị

công suất của xung 𝑁. Thực hiện với nhiều giá trị độ rộng 𝑎 khác nhau, chúng

tôi nhận thấy rằng giá trị độ bất đối xứng Θ luôn luôn bằng không, một ví dụ với

độ rộng thế 𝑎 = 1.0 được miêu tả như hình vẽ 2.10. Điều đó có nghĩa là luôn thu

được trạng thái đối xứng, không xuất hiện sự phá vỡ đối xứng. Nguyên nhân

được giải thích như sau: hiệu ứng phi tuyến tự phân kỳ cũng giống như hiện

tượng nhiễu xạ ánh sáng nó luôn làm cho chùm sáng mở rộng trong không gian.

Mà ánh sáng lại được bẩy trong thế tuyến tính kép, chính sự tương tác đó làm

cho chùm sáng luôn có dạng đối xứng. Trong khi đó hiệu ứng phi tuyến tự hội tụ

làm cho chùm sáng hội tụ tại điểm nào đó trong không gian. Khi mà phi tuyến tự

hộ tụ lớn sẽ xẩy ra sự phân bố ánh sáng hai bên thế kép khác nhau, nghĩa là xuất

hiện SSB.

Hình 2.10. Sự phụ thuộc của độ bất đối xứng Θ vào công suất xung trong trường

hợp phi tuyến tự phân kỳ, độ rộng thế tuyến tính Gauss kép 𝑎 = 1.0.

Một số kết quả tính toán minh họa được mô tả bởi các hình vẽ dưới đây:

hình vẽ 2.11 mô tả các trạng thái solitons ứng với các độ rộng khác nhau 𝑎 =

1/3 và 𝑎 = 1.0, hình vẽ 2.12 miêu tả sự tiến triển của solitons trong không gian

thực, kết quả cho thấy các trạng thái soltion đối xứng của hệ có tính ổn định cao.

Chúng tôi cũng tiến hành khảo sát nhiều giá trị độ rộng của hàm thế Gauss kép

khác nhau và kết quả đều không có sự phá vỡ đối xứng trong hệ phi tuyến tự

(b)

(a)

phân kỳ, các trạng thái solitons có tính ổn định cao.

Hình 2.11. Các trạng thái solitons trong thế Gauss kép ứng với độ rộng khác

nhau, hình (a) tương ứng độ rộng a =1/3, công suất 𝑁=2 và hình (b) tương ứng

(b)

(a)

với a =1.0, công suất 𝑁=2.

Hình 2.12. Tiến triển trong không gian thực các trạng thái solitons, hình (a) ứng

với trường hợp độ rộng a =1/3, công suất xung 𝑁=2, hình (b) ứng với trường

hợp độ rộng a =1.0, công suất xung 𝑁=2.

Trên đây chúng tôi đã nghiên cứu SSB trong hệ một ống dẫn sóng (hay

gọi là hệ một kênh). Để mở rộng khả năng ứng dụng của SSB trong các thiết bị

quang tử như chuyển mạch quang, cổng logic. Sau đây, chúng tôi sẽ nghiên

cứu SSB trong hệ hai ống dẫn sóng (hoặc gọi là hai kênh).

2.2. Hệ hai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu và liên kết

tuyến tính

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong hệ

hai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu địa phương dạng hàm delta

và hai ống liên kết tuyến tính với nhau, mô hình này được đề xuất cụ thể trong

công trình [47] đối với hệ BEC. Sau đây, chúng tôi sẽ áp dụng tương tự trong

hệ quang học, đó là sự lan truyền ánh sáng trong hai ống dẫn sóng có phi tuyến

biến điệu và liên kết tuyến tính với nhau.

2.2.1. Hệ phương trình một chiều mô tả hệ nghiên cứu

Hệ nghiên cứu được mô tả bởi hệ phương trình Schrödinger phi tuyến viết

𝜕𝜙

ở dạng rút gọn như sau:

𝜕𝑧 𝜕𝜓

2 1

𝜕𝑧

𝜕2𝜙 𝜕𝑥2 + 𝑔(𝑥)|𝜙|2𝜙 − 𝑘𝜓 𝜕2𝜓 𝜕𝑥2 + 𝑔(𝑥)|𝜓|2𝜓 − 𝑘𝜙

𝑖 = − , (2.11) { 𝑖 = −

trong giới hạn ống dẫn sóng quang, 𝜙 và 𝜓 là các hàm bao biến thiên chậm của

xung ánh sáng lan truyền trong hai ống, 𝑥 là tọa độ ngang, 𝑔(𝑥) là hệ số phi

tuyến địa phương phụ thuộc tọa độ không gian 𝑥 và 𝑘 là hệ số liên kết, z

khoảng cách lan truyền [47]. Tổng công suất xung của hệ thì bảo toàn:

+∞ −∞

(2.12) [|𝜙(𝑥)|2 + |𝜓(𝑥)|2]𝑑𝑥, 𝑁 ≡ ∫

và Hamilton của hệ cũng bảo toàn:

+∞ ∫ −∞

𝐻 ≡ [|𝜙𝑥|2 + |𝜓𝑥|2 + 𝑔(𝑥)(|𝜙|4 + |𝜓|4) − 2𝑘(𝜙𝜓∗ + 𝜙∗𝜓)]𝑑𝑥

(2.13)

trong đó dấu “*“ là kí hiệu của liên hợp phức hàm bao.

Biểu thức dưới dấu tích phân của (2.13) chính là các mật độ năng lượng của hệ.

Số hạng thứ nhất và thứ hai chính mật độ năng lượng liên quan đến hiệu ứng

nhiễu xạ, số hạng thứ ba liên quan đến hiệu ứn phi tuyến Kerr, số hạng thứ tư

tượng ứng với sự liên kết tuyến tính giữa hai ống dẫn sóng.

Chúng tôi xét phi tuyến địa phương 𝑔(𝑥) có dạng hàm delta:

(2.14) 𝑔(𝑥) = −𝛿(𝑥).

2.2.2. Các trạng thái solitons, giản đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định của

các trạng thái

Các trạng thái solitons có hằng số lan truyền 𝜇 được tìm dưới dạng sau:

(2.15) 𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜇𝑡𝑢(𝑥), 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜇𝑡𝑣(𝑥)

và thay (2.15) vào phương trình (2.11) thu được một hệ phương trình cho các

hàm thực 𝑢(𝑥) và 𝑣(𝑥):

2 1

𝜇𝑢 = + 𝑢′′ + 𝛿(𝑥)𝑢3 + 𝑘𝑣 = 0 (2.16) { 𝜇𝑣 = + 𝑣′′ + 𝛿(𝑥)𝑣3 + 𝑘𝑢 = 0

Ở mọi vị trí của 𝑥, ngoại trừ các điểm 𝑥 = ±0 (tại đó có giá trị của hàm delta

là vô hạn), hệ phương trình (2.16) là tuyến tính và nó có thể được chéo hóa đối

với các trạng thái đối xứng và phản đối xứng 𝑤1 ≡ 𝑢 + 𝑣 và 𝑤2 ≡ 𝑢 − 𝑣, thay

vào hệ phương trình (2.16) chúng ta thu được:

′′ = 0 ′′ = 0

(2.17) −𝜇+𝑤1 + 𝑤1 { −𝜇−𝑤2 + 𝑤2

ở đây, 𝜇± = −2(−𝜇 ± 𝑘). Ta giới hạn xem xét đối với các mode địa phương

hóa với 𝜇± > 0 (hay 𝜇 > 𝜅) để hệ phương trình (2.17) có các phương trình đặc

trưng với hai nghiệm thực riêng biệt, điều này đã nghiên cứu với mô hình một

thành phần ở tài liệu [23], ở đó các tác giả suy ra các nghiệm của phương trình

(2.17) như sau:

𝑢 = { 𝐴𝑒√𝜇+𝑥 + 𝐶𝑒√𝜇−𝑥, 𝑡ạ𝑖 𝑥 < 0, 𝐴𝑒−√𝜇+𝑥 + 𝐶𝑒−√𝜇−𝑥, 𝑡ạ𝑖 𝑥 > 0,

(2.18) 𝑣 = { 𝐴𝑒√𝜇+𝑥 − 𝐶𝑒√𝜇−𝑥, 𝑡ạ𝑖 𝑥 < 0, 𝐴𝑒−√𝜇+𝑥 − 𝐶𝑒−√𝜇−𝑥, 𝑡ạ𝑖 𝑥 > 0.

Các điều kiện để nhảy đạo hàm tại 𝑥 = 0 là Δ(𝑢′)|𝑥=0 = −2(𝑢|𝑥=0)3 và Δ(𝑣′)|𝑥=0 = −2(𝑣|𝑥=0)3. Điều này dẫn đến hệ các phương trình bậc ba:

(2.19)

Đối với trạng thái bất đối xứng, với 𝐴 ≠ 0 và 𝐶 ≠ 0, biên độ là:

(2.20)

Điểm rẽ nhánh phá vỡ đối xứng được xác định bằng cách đặt 𝐶 = 0 trong biểu

thức (2.20), thu được kết quả:

(2.21) .

Lưu ý rằng khi liên kết giữa các lõi không đáng kể, tức là 𝜅 = 0, các trạng thái

không đối xứng có 𝜇 > 0, do đó chúng tồn tại ở mọi nơi trong vùng mode bẫy.

Mặt khác, sự phá vỡ đối xứng không diễn ra khi cho 𝑘 → ∞, nghiệm giữ dạng

𝑢 = 𝑣.

Biên độ của các trạng thái đối xứng và phản đối xứng (𝑢 = 𝑣 và 𝑢 = −𝑣) cũng

có thể dễ dàng tìm thấy. Cụ thể, biên độ của trạng thái đối xứng bình phương

𝐴2 = √𝜇+/2 và 𝐶2 = √𝜇−/2. Hàm bao của các trạng thái đối xứng, phản đối

xứng và không đối xứng của trường hợp 𝜅 = 1, 𝜇 = 4 được mô tả như hình vẽ

(c)

(b)

(a)

Hình 2.13. Các loại trạng thái solitons: hình (a) là trạng thái đối xứng, hình (b)

trạng thái phản đối xứng và hình (c) trạng thái không đối xứng của hệ trong

trường hợp hệ số liên kết 𝜅 = 1 và hằng số lan truyền 𝜇 = 4.

Qua hình vẽ 2.13 chúng ta thấy rằng: đối với hình (a) thì hàm bao của hai

trạng thái trong hai ống dẫn sóng trùng nhau nên được gọi là trạng thái đối

xứng, hình (b) thì hai hàm bao đối xứng nhau qua trục nằm ngang nên được gọi

là trạng thái phản đối xứng, còn đối với hình (c) chúng ta thấy hai hàm bao

lệch nhau nên được gọi là trạng thái không đối xứng.

Tổng công suất xung dạng (2.12) của các trạng thái đối xứng và phản đối

xứng là 𝑁𝑠𝑦𝑚𝑚 = 𝑁𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚 = 2. Tổng công suất của trạng thái bất đối xứng là:

(2.22)

với giá trị giới hạn 𝑁𝑎𝑠𝑦𝑚𝑚(𝜇 → ∞) = 1. Các tổng công suất của các solitons

đối xứng và bất đối xứng phụ thuộc vào hằng số lan truyền 𝜇, được vẽ ở hình

2.14a dưới đây.

Giá trị của năng lượng được tính dựa theo công thức (2.13), áp dụng tính cho tất

cả trạng thái được xem xét, có biểu thức tổng quát là:

(2.23)

Các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và bất đối xứng tương ứng năng lượng

là 𝐸𝑠𝑦𝑚𝑚 = −𝑘 và 𝐸𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚 = 𝑘, và

2(𝜇+𝜅) 2(𝜇−𝜅)

2(𝜇−𝜅) 2(𝜇+𝜅)

(2.24) ]. 𝜅 [√ + √ 𝐸𝑎𝑠𝑦𝑚 = −

Tại điểm rẽ nhánh 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 𝜅 thay vào biểu thức (2.24) suy ra 𝐸𝑠𝑦𝑚𝑚 = −𝑘.

Hình 2.14. Hình (a) miêu tả công suất xung và hình (b) miêu tả năng lượng của các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và không đối xứng theo hằng số lan truyền 𝜇.

Độ bất đối xứng giữa hai ống dẫn sóng được định nghĩa là:

. (2.25)

Θ =

[|𝑢2(𝑥)|−|𝑣2(𝑥)|]𝑑𝑥 [|𝑢2(𝑥)|+|𝑣2(𝑥)|]𝑑𝑥

+∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞

Thế các giá trị 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥) đã xác định ở trên vào (2.25) và tính tính phân chúng

ta suy ra:

(2.26)

Nó được vẽ như là hàm của tổng công suất và hằng số lan truyền trong hình

2.15. Lưu ý rằng khi hằng số lan truyền 𝜇 → +∞. Tất cả các trạng thái

bất đối xứng là không ổn định trong mô hình với phi tuyến biến điệu là hàm

delta dạng (2.14).

Hình 2.15. Hình (a), (b) miêu tả độ bất đối xứng được định nghĩa theo biểu

thức (2.25) theo hằng số lan truyền 𝜇 và tổng công suất 𝑁.

Để xác định tính chất ổn định của các trạng thái chúng tôi sử dụng tiêu

chuẩn ổn định V-K. Từ hình vẽ 2.14a chúng ta thấy hệ số góc của đường cong

tổng công suất 𝑁 theo hằng số lan truyền 𝜇 luôn luôn âm, do đó theo tiêu

chuẩn V-K các trạng thái không đối xứng luôn luôn không ổn định. Trong các

hình vẽ trên, đường liền nét và nét đứt tương ứng với trạng thái ổn định và

không ổn định. Từ hình vẽ 2.15 chúng tôi suy ra được: thứ nhất công suất tới

hạn và hằng số lan truyền tới hạn lần lượt là 𝑁𝑏𝑖𝑓 = 2 và 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 1.25; thứ hai

solitons đối xứng và solitons phản đối xứng của hệ tồn tại chỉ khi công suất

𝑁 = 2, hệ tồn tại solitons bất đối xứng khi công suất 1 < 𝑁 < 2 (hay khi hằng

số lan truyền 𝜇 > 1.25); thứ ba các trạng thái solitons bất đối xứng không ổn

định, đối chiếu với cách phân loại sự rẽ nhánh chúng ta thấy SSB của hệ này

thuộc loại dưới tới hạn.

2.3. Kết luận chương 2

Chúng tôi đã nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng trong hai hệ quang học bảo

toàn kết quả thu được.

- Đối với hệ ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính

Gauss kép:

+ Chúng tôi sử dụng phương pháp thời gian ảo để tìm các trạng thái

solitons của hệ, từ đó lập được giản đồ rẽ nhánh sự phụ thuộc của độ bất đối

xứng vào công suất xung và hằng số lan truyền, xác định được khoảng các

tham số của công suất xung, hằng số lan truyền để tồn tại các loại trạng thái

solitons đối xứng, không đối xứng.

+ Sử dụng ba phương pháp để kiểm tra tính chất ổn định của các trạng

thái solitons: phương pháp SSF tiến triển theo không gian thực, phương pháp

ổn định tuyến tính hóa trị riêng của các mode nhiễu loạn, phương pháp V-K.

+ Hiện tượng SSB xảy ra với trường hợp tự hội tụ và đặc trưng rẽ nhánh

thuộc loại trên tới hạn (supercritical); ngược lại không có SSB đối với phi

tuyến tự phân kỳ.

+ Đã xác định được các vùng tham số của công suất xung, hằng số lan

truyền theo từng độ rộng của thế Gauss kép khác nhau tồn tại các loại trạng

thái của solitons.

- Đối với hệ hai ống dẫn sóng có mặt phi tuyến biến điệu dạng hàm delta

và liên kết tuyến tính với nhau. Chúng tôi sử dụng phương pháp giải tích, đã

xác định được khoảng các tham số như công suất xung, hằng số lan truyền để

tồn tại các loại trạng thái, loại rẽ nhánh trong sự phá vỡ đối xứng của trường

hợp này là dưới tới hạn (subcritical), các trạng thái bất đối xứng luôn không ổn

định, các trạng thái đối xứng thì luôn ổn định.

Chương 3

SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG HỆ HAI VÒNG CỘNG

HƯỞNG QUANG KÍCH THƯỚC CỠ MICRO MÉT

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu SSB của trạng thái ánh sáng định

xứ trong hai vòng cộng hưởng quang học kích thước cỡ micro mét. Chúng liên

kết tuyến tính với nhau và được khuếch đại bằng cách chiếu nguồn ánh sáng

laser bên ngoài. Do sự cạnh tranh giữa khuếch đại tuyến tính và mất mát phi

tuyến trong hệ dẫn đến tồn tại các loại trạng thái thú vị như: trạng thái dừng,

trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn. Đầu tiên chúng tôi giới thiệu mô hình

nghiên cứu và trình bày một số loại trạng thái tồn tại trong hệ thông qua các kết

quả của hai trường hợp đã được nghiên cứu trước đó: liên kết hằng số và liên kết

Gauss đơn. Sau đó, chúng tôi lần lượt nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số

như cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số mất mát lên sự phá vỡ đối

xứng của hệ trong trường hợp liên kết Gauss kép.

3.1. Mô hình nghiên cứu và hệ phương trình mô tả

Mô hình nghiên cứu được đề xuất lần đầu tiên vào năm 2017 bởi nhóm của

Marek Trippenbach [31], gồm hai vòng quang học (có thể là hai vòng dẫn sóng

quang hoặc hai vòng sợi quang) có bán kính cỡ micro mét, được chiếu sáng

bằng một nguồn laser bên ngoài. Giả sử khuếch đại là tuyến tính trên toàn bộ các

vòng được mô tả bởi hằng số 𝛾 > 0. Tham số này đặc trưng cho số photon đi

vào bên trong và lan truyền mỗi vòng. Mất mát trong mỗi vòng được đặc trưng

bởi hằng số Γ > 0. Sự định xứ của ánh sáng trong mỗi vòng được mô tả bởi

phương trình Schrödinger phi tuyến:

2𝜓 + 𝑖𝛾𝜓 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓|2𝜓,

(3.1) 𝑖𝜕𝑡𝜓 = −𝜕𝑥

trong đó 𝑡 là thời gian tiến triển, 𝑥 là tọa độ góc (biến thiên trong khoảng 0 đến

2𝜋) xác định vị trí tại một điểm trên chu vi của vòng, 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑡) là hàm sóng

miêu tả trạng thái ánh sáng trong mỗi vòng. Cho hai vòng quang học này liên

kết với nhau, sự liên kết đó được đặc trưng bởi hàm số liên kết 𝐽(𝑥), khi đó hệ

. (3.2) { phương trình miêu tả hệ cộng hưởng giữa hai vòng quang học là: 2𝜓1 + 𝑖𝛾𝜓1 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓1|2𝜓1 + 𝐽(𝑥)𝜓2 2𝜓2 + 𝑖𝛾𝜓2 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓2|2𝜓2 + 𝐽(𝑥)𝜓1 𝑖𝜕𝑡𝜓1 = −𝜕𝑥 𝑖𝜕𝑡𝜓2 = −𝜕𝑥

Trong đó 𝜓1, 𝜓2 lần lượt là hàm sóng miêu tả trạng thái ánh sáng trong vòng thứ nhất và vòng thứ hai. Tùy thuộc vào vị trí tương đối giữa hai vòng mà hàm

số liên kết 𝐽(𝑥) có thể là hằng số (gọi tắt là liên kết hằng số) được nghiên cứu

bởi Nguyễn Việt Hưng và cộng sự, hàm liên kết dạng Gauss đơn [48] (gọi tắt là

liên kết Gauss đơn) được nghiên cứu bởi Aleksandr Ramaniuk và cộng sự, hay

hàm liên kết Gauss kép (gọi tắt là liên kết Gauss kép) đã được chúng tôi nghiên

cứu và công bố trong các công trình [49, 50]. Hàm liên kết Gauss đơn và Gauss

kép gọi là liên kết địa phương tức là chúng tương ứng liên kết tại một điểm và

hai điểm. Các dạng hàm liên kết đó được miêu tả bởi các biểu thức sau đây:

(3.3) với liên kết hằng số: 𝐽(𝑥) = 𝑐 = ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố,

𝑥2 𝑎2),

𝐽0 √𝜋𝑎

(𝑥−

)

(𝑥+

)

𝜋 2

(3.4) với liên kết Gauss đơn: 𝐽(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 (−

𝑎2 ) + 𝑒𝑥𝑝 (−

𝑎2 )} .

𝐽0 √𝜋𝑎

với liên kết Gauss kép: 𝐽(𝑥) = {𝑒𝑥𝑝 (−

(3.5)

Trong đó 𝐽0 là cường độ liên kết đặc trưng cho liên kết mạnh hay yếu giữa các vòng; 𝑎 là độ rộng của hàm liên kết, nó phụ thuộc vào độ nghiêng tiếp xúc của

các vòng. Độ rộng đó hẹp hay rộng khi so sánh với chu vi của các vòng quang,

độ rộng rất hẹp nếu 𝑎 ≪ 𝜋, độ rộng rất rộng nếu 𝑎 ≫ 𝜋.

Hình 3.1. Mô hình nghiên cứu gồm hai vòng cộng hưởng quang học với sự có mặt

của khuếch đại tuyến tính, mất mát phi tuyến và liên kết tuyến tính với nhau [31].

Trong hình vẽ 3.1, các ký hiệu 𝛾 và Γ lần lượt là tham số khuếch đại và tham số

mất mát trong mỗi vòng; 𝑗1, 𝑗2, 𝑗⊥ lần lượt là mật độ dòng trong vòng 1, vòng 2 và mật độ dòng ngang trao đổi giữa hai vòng.

Mục đích của chương này là nghiên cứu SSB trong hai vòng cộng hưởng

quang học nói trên. Để nghiên cứu SSB của hệ chúng ta cần sử dụng một số đại

lượng vật lý đặc trưng được định nghĩa sau đây:

Công suất ánh sáng trong mỗi vòng:

2𝜋 0

, (3.6) 𝑁𝑖(𝑡) = ∫ |𝜓𝑖(𝑥, 𝑡)|2𝑑𝑥

với 𝑖 = 1, 2 là chỉ số chỉ tương ứng công suất trong vòng 1 và vòng 2 mô tả bởi

hai hàm sóng 𝜓1, 𝜓2. Tổng công suất ánh sáng trong hai vòng:

2𝜋 0

(3.7) 𝑁(𝑡) = ∫ [|𝜓1(𝑥, 𝑡)|2 + |𝜓2(𝑥, 𝑡)|2]𝑑𝑥.

Biến đổi Fourier của tổng công suất:

(3.8) 𝑁̃(𝜔) = ℱ(𝑁(𝑡)).

với ℱ là kí hiệu của phép biến đổi Fourier, 𝜔 là tần số trong miền không gian

Fourier.

Mật độ dòng quang giữa bên trong mỗi vòng quang học:

2𝑖

∗ 𝜕𝜓𝛼 𝜕𝑥

(3.9) ), với 𝛼 = 1,2. 𝑗𝛼(𝑥, 𝑡) = (𝜓𝛼 + 𝜓𝛼

𝐶

Mật độ dòng ngang giữa các vòng quang học:

∗𝜓1),

∗𝜓2 + 𝜓2

2𝑖

(3.10) 𝑗⊥(𝑥, 𝑡) = (𝜓1

và tổng dòng giữa hai vòng là:

2𝜋 𝐽⊥(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑗⊥(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 0

. (3.11)

Nguồn tô-pô đặc trưng sự xoáy của trạng thái ánh sáng trong các vòng được

𝜕

định nghĩa:

2𝜋 ∫ 0

2𝜋

𝜕𝑥

(3.12) 𝜅 = 𝑎𝑟𝑔(𝜓𝑖)𝑑𝑥.

Đây là một đại lượng được lượng tử hóa, nếu 𝜅 = 0 thì ứng với trạng thái không

xoáy và nếu 𝜅 nguyên khác không thì ứng với trạng thái xoáy [31].

Độ bất đối xứng trong mỗi vòng:

0 ∫ |𝜓𝑖|2𝑑𝑥 −𝜋 |𝜓𝑖|2𝑑𝑥

𝜋 ∫ |𝜓𝑖|2𝑑𝑥− 0 +𝜋 ∫ −𝜋

(3.13) . Θ𝑖 =

với 𝑖 = 1, 2 là chỉ số tương ứng với vòng 1 và vòng 2. Nếu Θ𝑖 = 0 thì trạng thái

của hệ có tính chất đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥, nếu Θ𝑖 ≠ 0 thì trạng thái của hệ mất

tính chất đối xứng trên hay gọi là có SSB.

Chúng tôi sử dụng phương pháp SSF (cụ thể là kỹ thuật tiến triển) để

nghiên cứu SSB của hệ. Điều kiện đầu được chọn là trạng thái dừng trong mỗi

vòng khi không có liên kết. Khi các vòng chưa liên kết với nhau (𝐽0 = 0), trạng

𝛾 Γ

+𝜅2)𝑡,

thái dừng của hệ có dạng sau đây:

(3.14) 𝜓1,2(𝑡) = 𝜌1,2𝑒𝑖𝜅𝑥−𝑖(

trong đó, 𝜌1,2 lần lượt là mô đun của các hàm sóng miêu tả trạng thái ánh sáng

trong vòng 1 và vòng 2, 𝜅 là nguồn tô-pô [31].

Với điều kiện đầu không xoáy (𝜅 = 0) và thêm nhiễu vào (3.14) thì biểu thức đó

𝛾

sẽ trở thành:

(3.15) (1 ± 𝛽sin (k𝑥)), 𝜓1,2(𝑥, 𝑡 = 0) = √

trong đó 𝛽 = 0.01 là hệ số nhiễu, k là số nguyên.

Khi các vòng liên kết với nhau, sự bất ổn định xảy ra dẫn tới xuất hiện

nhiều loại trạng thái như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn

loạn và các hiện tượng như hiện tượng phá vỡ đối xứng, hiện tượng xoáy. Trước

khi chuyển sang phần nghiên cứu chính của chúng tôi về SSB của hệ trong

trường hợp liên kết Gauss kép, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về các loại trạng

thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ.

3.2. Một số loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ cộng hưởng

vòng quang

Một số trạng thái đặc trưng của hệ hai vòng cộng hưởng được tìm thấy lần

đầu tiên trong trường hợp liên kết hằng số như: trạng thái đối xứng, phản đối

xứng, trạng thái đồng nhất, trạng thái không đồng nhất, hiện tượng phá vỡ đối

xứng, hiện tượng xoáy [31]. Một ví dụ trong trường hợp liên kết hằng số các

trạng thái cuối cùng của hệ thu được khi thực hiện tiến triển theo thời gian của

trạng thái đầu đối xứng với nhiễu loạn nhỏ (𝑐𝑜𝑠 (3𝑥)) được miêu tả ở hình vẽ 3.2.

Trong đó, vùng màu xám là vùng có trạng thái cuối cùng ổn định. Các điểm tròn

màu xanh tương ứng với các trạng thái phản đối xứng (antisymmetric); các điểm

hình sao màu đỏ tương ứng với các trạng thái dao động có số tần số giới hạn

(limit cycle); các điểm hình tam giác màu đỏ tương ứng với các trạng thái xoáy

(vortex); điểm hình tròn màu đỏ tương ứng với trạng thái hỗn loạn (chaotic

behavior); các điểm hình vuông màu đỏ tương ứng với các trạng thái không

đồng nhất (inhomogeneous); một vệt dài màu đen tương ứng với các trạng thái

không đối xứng (asymmetric state).

Hình 3.2. Một số loại trạng thái cuối cùng của hệ khi liên kết giữa hai vòng là hằng số, tham số mất mát cố định Γ = 1 [31].

Để hiểu rõ hơn, sau đây chúng tôi sẽ trình bày chi tiết một số trạng thái và

hiện tượng liên quan đến việc nghiên cứu về SSB của hệ mà chúng tôi sẽ sử

dụng trong trường hợp liên kết Gauss kép.

3.2.1. Trạng thái dừng và sự phá vỡ đối xứng

Trạng thái dừng là trạng thái mà mô đun hàm sóng mô tả trạng thái không

thay đổi theo thời gian. Trạng thái này xuất hiện trong hệ quang học xem xét ở

các vùng tham số khác nhau nhưng hầu như luôn xuất hiện trong các trường hợp

liên kết khác nhau. Trong trường hợp liên kết Gauss đơn đã được nghiên cứu

trong công trình [48], bằng kỹ thuật tiến triển với điều kiện đầu là trạng thái đối

xứng có biểu thức như (3.15), kết quả thu được các loại trạng thái thú vị khác

nhau trong đó có trạng thái dừng được miêu tả như hình vẽ 3.3. Hình (a) miêu tả

tổng công suất không thay đổi theo thời gian của trạng thái cuối cùng. Hình (b)

là biến đổi Fourier của tổng công suất, chúng ta thấy chỉ có tần số 𝜔 = 0 có biến

đổi Fourier khác không, đó chính là do tính chất của trạng thái dừng, hay nói các

khác trạng thái dừng thì biến đổi Fourier của tổng công suất chỉ thu được giá trị

khác không tại tần số 𝜔 = 0, còn tại các tần số khác biến đổi Fourier đều bằng

không. Hình (c) là tiến triển của một hàm sóng theo thời gian, còn hình (d) là mô

(a)

(b)

(c)

(d)

đun của hai hàm sóng.

Hình 3.3. Trạng thái dừng trong trường hàm liên kết Gauss đơn với các tham số:

𝛾 = 3, Γ = 1, 𝐽0 = 2, 𝑎 = 1.

Trong trường hợp liên kết Gauss đơn này, chúng tôi cũng tính toán lại kết

quả thu được ở hình vẽ 1 (Figure 1.) của công trình [48] và thu được như hình vẽ

3.4 dưới đây. Kết quả chúng tôi tính toán hoàn toàn giống với kết quả trước đó,

điều đó khẳng định rằng thuật toán mà chúng tôi sử dụng để nghiên cứu là chính

𝛾

xác. Trong hình vẽ 3.4, đường màu đen nằm ngang trong hình là đường nền

, các đường cong có màu chính là trạng thái ban đầu thực hiện tiến triển 𝜌 = √

sắc khác nhau ứng với các giá trị cường độ liên kết khác nhau. Qua hình vẽ,

chúng ta thấy rằng khi cường độ liên kết tăng thì cực đại của mô đun hàm sóng

cũng tăng theo. Một đặc điểm thú vị cho thấy có một số vùng giá trị của cường

độ liên kết 𝐽0 sự phân bố cường độ ánh sáng không đơn điệu tại các vùng 𝑥 ∈

[−𝜋, 0] và 𝑥 ∈ [0, 𝜋]. Cụ thể là, giá trị cực tiểu của mô đun hàm sóng đạt tại các

vị trí đối xứng 𝑥 = ±𝑥𝑚 của vòng, khác với đạt tại 𝑥 = ±𝜋 như thường thấy với

(a)

(b)

các giá trị cường độ liên kết khác.

Hình 3.4. Các trạng thái dừng trong trường hợp liên kết Gauss đơn, các tham số

𝛾 = 3, Γ = 1 và 𝑎 = 1, với cường độ liên kết khác nhau là 𝐽0 = 1, 𝐽0 = 2, 𝐽0 =

3. Hình (a) là kết quả tính toán của luận án, (b) là kết quả của công trình [48].

Trong trạng thái dừng còn được chia thành các loại khác nhau tùy thuộc

vào độ lệch pha giữa hai hàm sóng miêu tả trạng thái trong hai vòng như: trạng

thái dừng đối xứng, trạng thái dừng phản đối xứng, trạng thái dừng bất đối xứng.

Muốn xác định các loại trạng thái này chúng ta xác định độ lệch pha của hai

hàm sóng: Δ𝜙 = 𝜙1 − 𝜙2 với 𝜙1, 𝜙2 lần lượt là pha của hai hàm sóng 𝜓1, 𝜓2.

Nếu Δ𝜙 = 0 thì trạng thái dừng là đối xứng, Δ𝜙 = 𝜋 thì trạng thái dừng phản

đối xứng, Δ𝜙 biến điệu theo tọa độ không gian 𝑥 thì trạng thái dừng là không

đối xứng. Để hiểu rõ hơn về các loại trạng thái dừng này, chúng tôi sẽ trình bày

kết quả đã công bố [50, 51] trong trường hợp này liên kết cũng loại Gauss đơn

nhưng với các bộ tham số là: cố định các tham số 𝛤 = 1, 𝐽0 = 1.5 và thay đổi

tham số khuếch đại 𝛾, xét hai trường hợp 𝑎 = 0.01 và 𝑎 = 1. Trạng thái dừng

chúng tôi tìm thấy trong cả hai trường hợp 𝑎 = 0.01 và 𝑎 = 1 đều có quá trình

biến đổi trạng thái tương tự nhau khi tham số khuếch đại 𝛾 thay đổi. Đó là theo

chiều tăng của tham số khuếch đại 𝛾, quá trình biến đổi trạng thái từ trạng thái

dừng đối xứng rồi đến trạng thái dao động sau đó là trạng thái dừng phản đối xứng

[52]. Từ hình vẽ 3.5 và 3.6, chúng ta thấy cả hai loại trạng thái dừng đối xứng và

phản đối xứng thì mô đun của hai hàm sóng đều bằng nhau (biểu thị bằng đường

màu xanh và đường màu đỏ nét đứt trùng nhau), nghĩa là trạng thái của hệ vẫn có

tính chất đối xứng về sự định xứ ánh sáng giữa hai vòng. Sự khác nhau đó là: độ

lệch pha trong trường hợp trạng thái dừng đối xứng thì bằng 0 (hình 3.5b), trong

(a)

(b)

trường hợp phản đối xứng thì bằng −𝜋 (hình 3.6b).

Hình 3.5. Trạng thái dừng đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm sóng, hình (b)

(b)

(a)

là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 = 0.55 [50, 51].

Hình 3.6. Trạng thái dừng phản đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm sóng,

hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01

và 𝛾 = 1.1 [50, 51].

Mỗi độ rộng của hàm liên kết, trạng thái dừng đối xứng thu được ở các vùng

tham số khuếch đại 𝛾 khác nhau, cụ thể với độ rộng 𝑎 = 0.01 thì trạng thái dừng

đối xứng xuất hiện khi 𝛾 ≲ 0.55, trong khi độ rộng 𝑎 = 1 thì trạng thái đó xuất

hiện khi 𝛾 ≲ 0.35. Trạng thái dừng phản đối xứng: đối với độ rộng 𝑎 = 0.01 thì

𝛾 ≳ 1.1, đối với độ rộng 𝑎 = 1 thì 𝛾 ≳ 0.54 [51].

Hình vẽ 3.7 miêu tả mô đun của hai hàm sóng ứng với tham số khuếch đại

𝛾 = 0.60, mô đun các hàm sóng lệch nhau (xem hình a), độ lệch pha biến thiên

theo không gian 𝑥 (xem hình b). Trạng thái của hệ mà mô đun hàm sóng lệch nhau

và gọi là trạng thái dừng bất đối xứng của hệ. Trạng thái dừng bất đối xứng xuất

(a)

(b)

hiện đồng nghĩa với sự định xứ ánh sáng giữa hai vòng mất đi tính đối xứng.

Hình 3.7. Trạng thái dừng bất đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm sóng, hình

(b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và

𝛾 = 0.60 [50, 51].

Trường hợp độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 0.01, khoảng tham số khuếch đại để

về sự phân bố cường độ ánh sáng (trạng thái dừng) trong hai vòng mất tính đối

xứng là 0.55 ≲ 𝛾 ≲ 1.05. Còn trong trường hợp độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 1,

hiện tượng đó xảy ra khi khoảng tham số khuếch đại là 0.35 ≲ 𝛾 ≲ 0.51 [51].

Một loại phá vỡ đối xứng khác mà chúng tôi sẽ nghiên cứu trong hệ này đó

là: sự phân bố cường độ ánh sáng không đối xứng bên trong mỗi vòng ở trạng

thái dừng, đó là trạng thái dừng mà mô đun hàm sóng không có tính đối xứng

chẵn 𝑥 → −𝑥 nữa. Ví dụ ở hình 3.8 miêu tả sự tiến triển của trạng thái đối xứng

với nhiễu loạn nhỏ trong trường hợp liên kết hằng số với bộ tham số: Γ = 1, 𝛾 =

1.5 và 𝑐 = 1.75. Qua hình vẽ cho thấy trạng thái cuối cùng thu được là trạng

thái dừng không đồng nhất tức là mô đun hàm sóng biến đổi theo tọa độ góc 𝑥

(trạng thái ngược lại là đồng nhất nghĩa là mô đun hàm sóng nhận một giá trị cố

định tại mọi tọa độ góc x), có sự phân bố không đối xứng qua đường thẳng đứng

đi qua 𝑥 = 0.

Hình 3.8. Trạng thái không đồng nhất trong trường hợp liên kết hằng số, các

tham số Γ = 1, 𝛾 = 1.5 và 𝑐 = 1.75 [31].

3.2.2. Trạng thái dao động

Trạng thái dao động là trạng thái mà mô đun hàm sóng biến đổi tuần hoàn

theo thời gian. Trạng thái này cũng tồn tại trong các trường hợp liên kết khác

nhau ở các vùng tham số khác nhau. Trong trường hợp liên kết đồng nhất, hình

vẽ 3.9 miêu tả trạng thái dao động trong hệ với các tham số là Γ = 1, 𝛾 = 1 và

𝑐 = 1.25. Hình 3.9a miêu tả tổng công suất của ánh sáng trong hai vòng biến

đổi theo thời gian, hình nhỏ là kết quả trong công trình [31], hình lớn kết quả sử

dụng thuật toán của chúng tôi, các kết quả thu được hoàn toàn giống nhau. Sự

tiến triển của một hàm sóng được miêu tả ở hình vẽ 3.9c. Để biết số lượng tần số

của trạng thái dao động, chúng tôi thực hiện biến đổi Fourier của tổng công suất

được miêu tả ở hình 3.9b. Qua đó, chúng tôi thấy rằng xuất hiện 7 tần số 𝜔 trong

không gian Fourier có biến đổi Fourier của tổng công suất khác không. Đây là

trường hợp trạng thái dao động với 7 tần số. Hình 3.9d miêu tả mô đun hai hàm

sóng tại cùng một thời điểm, cho thấy có sự bất đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥 của các

hàm sóng. Điều đó có nghĩa là sự phân bố cường độ ánh sáng bên trong mỗi

vòng thì không đối xứng.

(b)

(a)

(d)

(c)

Hình 3.9. Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng số. Hình

(a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo thời gian [31], (b) là

biến đổi Fourier của tổng công suất, (c) là tiến triển của hàm sóng theo thời gian

và (d) là mô đun của các hàm sóng. Các tham số của hệ Γ = 1, 𝛾 = 1 và 𝑐 =

1.25.

Sự mất đối xứng trong mỗi vòng cũng được tìm thấy trong trường hợp liên

kết Gauss đơn [48] tùy thuộc vào vùng giá trị của cường độ liên kết. Ví dụ, hình

vẽ 3.10 mô tả mô đun hàm sóng biến đổi theo thời gian và sự phân bố cường độ

ánh sáng theo không gian trong một vòng của hệ với các tham số 𝛾 = 3, Γ = 1,

𝑎 = 1. Hình (a) ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 4, chúng ta thấy rằng sự phân bố

cường độ sáng có tính đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥 (đối xứng qua trục thẳng đứng đi

qua vị trí 𝑥 = 0); hình (b) ứng với 𝐽0 = 5, trường hợp này cũng là trạng thái dao

động tuần hoàn nhưng sự phân bố cường độ ánh sáng không có tính chất đối

xứng như trường hợp 𝐽0 = 4.

Mô đun hàm sóng

(a)

(b)

t t

x x

Hình 3.10. Sự tiến triển của hàm sóng theo thời gian trong một vòng quang học

của hệ trong trường hợp liên kết Gauss đơn với các tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 =

1; hình (a) ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 4, hình (b) ứng với cường độ liên kết

𝐽0 = 5 [48].

3.2.3. Trạng thái hỗn loạn

Trạng thái hỗn loạn được hiểu là sự phân bố cường độ ánh sáng trong các

vòng không đồng đều, lộn xộn và không trật tự. Trạng thái này chắc chắn có sự

phá vỡ đối xứng 𝑥 → −𝑥, nó đã được ứng dụng và hứa hẹn có nhiều ứng dụng

khác trong các thiết bị quang tử như bảo mật thông tin, kỹ thuật mật mạ. Trong

trường hợp liên kết hằng số, trạng thái hỗn loạn đã được tìm thấy. Hình 3.11

miêu tả một trường hợp của trạng thái hỗn loạn của hệ trong trường hợp liên kết

hằng số, các thông số Γ = 1, 𝛾 = 𝑐 = 2. Qua hình 3.11a, chúng ta thấy rằng tổng

công suất ánh sáng trong hai vòng ban đầu ổn định, rồi chuyển sang dao động

trong một khoảng thời gian nhỏ và cuối cùng chuyển sang giai đoạn biến thiên

lộn xộn, không trật tự theo thời gian. Hình 3.11b là biến đổi Fourier của tổng

công suất theo thời gian, tần số 𝜔 trong không gian Fourier biến thiên liên tục từ

giá trị 0 tới 4 và không có trật tự xác định, đó là dấu hiệu nhận biết trạng thái

hỗn loạn. Cũng có thể nhận biết trạng thái đó thông qua các cách khác như: tiến

triển của mô đun hàm sóng theo thời gian (hình vẽ c) hay mô đun hàm sóng tại

(a)

(b)

(c)

(d)

thời điểm cuối cùng (hình vẽ d).

Hình 3.11. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong hệ trong trường hợp liên kết

hằng số (trong đó hình nhỏ của hình vẽ (a) là kết quả của [31]), khi các tham số

đặc trưng của hệ Γ = 1, 𝛾 = 2 và 𝑐 = 2.

Kịch bản dẫn đến hỗn loạn cũng là vấn đề cần xem xét trong việc định

hướng cho ứng dụng như trong các hệ tắt bật cực nhanh. Trong chương 1 chúng

tôi đã trình bày ba loại kịch bản dẫn tới hỗn loạn đó là: kịch bản nhân đôi tần số,

kịch bản gần dao động tuần hoàn, kịch bản không liên tục dần tới trạng thái hỗn

loạn. Kịch bản nhân đôi tần số dẫn đến hỗn loạn đã được chỉ ra trong công trình

công bố [46, 52]. Theo đó, để dẫn đến hỗn loạn quá trình động lực học xuất phát

từ trạng thái dao động một tần sẽ được nhân lên hai tần số rồi bốn tần số và cứ

(a)

(b)

𝜔

như thế cho tới khi xuất hiện hỗn loạn được miêu tả ở hình vẽ 3.12 dưới đây.

Hình 3.12. Biến đổi Fourier của tổng công suất trong hai vòng của hệ mô tả

kịch bản dẫn đến hỗn loạn. Hình (a) ứng với hằng số liên kết 𝑐 ∈ [1.74,1.82],

hình (b) chi tiết vùng nhỏ khung vuông màu đỏ ứng với 𝑐 ∈ [1.790,1.810]

[52].

Hình 3.12 miêu tả biến đổi Fourier của tổng công suất ánh sáng trong hai

vòng của hệ theo hằng số liên kết 𝑐. Những vị trí có màu càng sáng ứng với giá

trị biến đổi Fourier của tổng công suất ánh sáng càng lớn. Quá trình biến đổi

trạng thái được thể hiện như sau: Trạng thái dừng theo thời gian, ứng với biến

đổi Fourier chỉ có một đỉnh ở tần số bằng không (nó được biểu diễn chỉ nền màu

nâu đen sau khi đã cho biến đổi Fourier bằng không tại tần số 𝜔 = 0). Sau đó

phá vỡ đối xứng đầu tiên xảy ra và biến đổi Fourier xuất hiện các đỉnh đơn

tương ứng với trạng thái dao động giới hạn với một tần số (quan sát kỹ vị trí gần

với 𝑐 ≈ 1.74, tần số góc 𝜔 ≈ 7 chúng ta thấy chỉ có 1 vạch sáng trên nền màu

nâu đen). Khi tăng dần giá trị 𝑐, nhiều tần số xuất hiện, tuy nhiên vẫn ở vùng

dao động giới hạn. Khi 𝑐 ≈ 1.76 có sự rẽ nhánh mà nơi đó xuất hiện thêm các

tần số mới, trong khi các tần số cũ vẫn giữ nguyên, nhưng không ổn định được

lâu. Khi tham số điều khiển 𝑐 lớn hơn gần với vùng hỗn loạn, chúng tôi quan sát

thấy có sự nhân đôi tần số. Tại điểm rẽ nhánh, mỗi nhánh của giản đồ không ổn

định. Đó là loại rẽ nhánh dưới tới hạn.

Như vậy, chúng tôi đã trình bày chi tiết khái niệm về các loại trạng thái như:

trạng thái dừng, trạng thái dao động, trong thái hỗn loạn và sự phá vỡ đối xứng

của chúng. Trong đó, có dấu hiệu để nhận biết các loại trạng thái và sự phá vỡ

đối xứng của các hàm sóng thì rất quan trọng để nghiên cứu trường hợp liên kết

Gauss kép. Để nhận biết các loại trạng thái chúng ta thực hiện tính toán tổng

công suất của ánh sáng trong hai vòng và biến đổi Fourier của nó. Nếu tổng

công suất không thay đổi theo thời gian (sau thời gian đủ dài tiến triển) thì đó

chính là trạng thái dừng, nếu tổng công suất biến đổi tuần hoàn đó là trạng thái

dao động và nếu tổng công suất biến thiên lộn xộn không có qui luật đó là trạng

thái hỗn loạn. Thực hiện tính độ lệch pha của các hàm sóng trong trạng thái

dừng để nhận biết các loại trạng thái khác nhau như: đối xứng, phản đối xứng,

bất đối xứng. Trong trạng thái dao động, để biết số lượng tần số trong trạng thái

dao động thì chúng ta thực hiện tính biến đổi Fourier của tổng công suất. Còn sự

phá vỡ đối xứng của các hàm sóng có thể nhận biết bằng cách tính mô đun của

các hàm sóng hoặc tính độ bất đối xứng Θ𝑖 như đã định nghĩa trên. Phần sau đây

là kết quả nghiên cứu chính của chúng tôi về sự phá vỡ đối xứng đó của hệ trong

trường hợp liên kết Gauss kép.

3.3. Sự phá vỡ đối xứng của hệ với hàm liên kết Gauss kép

Hàm liên kết Gauss kép của hệ có dạng như biểu thức (3.5). Để nghiên cứu

sự phá vỡ đối xứng của hệ, chúng tôi đã sử dụng kỹ thuật tiến triển với điều kiện

đầu là trạng thái đối xứng với nhiễu loạn nhỏ cho bởi biểu thức (3.15). Với mô

hình lý thuyết này, chúng tôi đã kiểm tra với nhiều vùng tham số khác nhau và

quá trình động lực học của hệ về sự biến đổi các trạng thái của hệ có sự tương tự

nhau. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày lần lượt các trường hợp đã được xem xét:

trường hợp thứ nhất xét ảnh hưởng của cường độ liên kết 𝐽0, trường hợp thứ hai

ảnh hưởng của tham số khuếch đại 𝛾 và trường hợp thứ ba ảnh hưởng của tham

số mất mát Γ lên sự phá vỡ đối xứng của hệ. Lưu ý rằng, bộ các tham số mà

chúng tôi đã sử dụng trong các trường hợp cụ thể sau đây có thể đặc trưng đầy

đủ các tính chất của hệ.

3.3.1. Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phá vỡ đối xứng của hệ

Trong mục này chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phá vỡ đối xứng của hệ với các bộ tham số: cố định bộ các tham số khuếch đại 𝛾 = 3, tham số mất mát Γ = 1 và thay đổi cường độ liên kết 𝐽0. Các trường hợp độ rộng hàm liên kết khác nhau đã được kiểm tra và cho thấy quá trình biến đổi trạng thái tương tự nhau khi độ rộng của hàm liên kết lệch nhau không quá lớn, chúng có sự khác nhau đáng kể khi độ rộng đó lớn gấp hàng trăm lần nhau. Vì vậy, sau đây chúng tôi sẽ trình bày sự phá vỡ đối xứng của hệ trong hai

trường hợp: độ rộng liên kết hẹp (𝑎 = 0.01) và độ rộng liên kết lớn (𝑎 = 1.0) là hai trường hợp đại diện của hai loại độ rộng của hàm liên kết.

3.3.1.1. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết hẹp

Trong trường hợp này, chúng tôi xem xét độ rộng của hàm liên kết Gauss

kép 𝐽(𝑥) với 𝑎 = 0.01 (gọi là liên kết hẹp). Kết quả về SSB các trạng thái của hệ được tóm tắt trong sơ đồ 3.1 sau đây: Sơ đồ 3.1. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

Trong sơ đồ các ký hiệu có nghĩa như sau:

 S: ký hiệu của trạng thái dừng  O-SSB nghĩa là không có sự phá vỡ

 O: ký hiệu của trạng thái dao động đối xứng

 Chaos: ký hiệu của trạng thái hỗn loạn  SSB nghĩa là có sự phá vỡ đối xứng

Đối với cường độ liên kết 𝐽0 ≲ 0.95, trạng thái cuối cùng thu được luôn

luôn là trạng thái phản đối xứng có cực đại tại hai vị trí liên kết của hai vòng

quang học, tức là mô đun của hàm sóng và công suất ánh sáng của hai vòng

bằng nhau nhưng ngược pha nhau (độ lệch pha của hai hàm bao bằng 𝜋). Khi

tăng dần cường độ liên kết chúng tôi thấy bắt đầu 𝐽0 ≃ 0.95 vẫn thu trạng thái

dừng nhưng bắt đầu có SSB ở trong mỗi vòng (tức là độ bất đối xứng trong mỗi

vòng khác không Θ𝑖 ≠ 0 với 𝑖 = 1,2 như đã định nghĩa ở biểu thức (3.13)) và

tại các vị trí liên kết mô đun hàm sóng đạt cực tiểu [51]. Như vậy, trạng thái

dừng có SSB bên trong mỗi vòng xuất hiện trong trường hợp hàm liên kết có

dạng Gauss kép trong khi đó loại trạng thái dừng này không xuất hiện trong

trường hợp hàm liên kết Gauss đơn. Khi cường độ liên kết 𝐽0 ≃ 1.1, chúng tôi

nhận thấy vẫn có SSB nhưng tại hai vị trí liên kết mô đun của hàm sóng lại đạt

𝜋

cực đại và có sự đảo từ trạng thái dừng có hai cực tiểu sang trạng thái dừng có

g n ó s m à h n u đ ô M

. hai cực đại tại hai vị trí liên kết 𝑥 = ±

(b) (a)

g n ó s m à h n u đ ô M

x x

Hình 3.13. Mô đun của các hàm sóng ứng với các giá trị khác nhau của cường

độ liên kết: hình (a), (b), (c) và (d) tương ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 0.9,

𝐽0 = 0.95, 𝐽0 = 1.0 và 𝐽0 = 1.1.

Trong hình 3.13: (a) là trạng thái dừng đối xứng và không có SSB bên

trong mỗi vòng; hình (b), (c) và (d) là các trạng thái không đối xứng và có SSB

bên trong mỗi vòng, loại trạng thái này được duy trì trong vùng cường độ liên

kết 0.950 ≲ 𝐽0 ≲ 2.597. Tăng giá trị của cường độ liên kết, chúng tôi quan sát thấy trạng thái dao động với nhiều tần số trong một khoảng nhỏ của cường độ

liên kết 2.598 ≲ 𝐽0 ≲ 2.61, trạng thái dao động trong trường hợp Gauss kép này thì luôn có SSB trong mỗi vòng (xem hình 3.14). Hình vẽ 3.14 miêu tả trạng thái

dao động của hệ theo thứ tự từ trái sang phải ứng với ba tham số của cường độ

liên kết 𝐽0 = 2.598, 𝐽0 = 2.6, 𝐽0 = 2.610, các hình vẽ (a1), (b1) và (c1) miêu tả sự tiến triển theo thời gian của mô đun hàm sóng, hình vẽ (a2), (b2) và (c2) tương

ứng là tổng công suất của hàm sóng theo thời gian tiến triển, hình vẽ (a3), (b3) và

(c3) là biến đối Fourier của tổng công suất tiến triển theo thời gian. Tiếp tục tăng

(b1)

(c1)

(a1)

(c2)

(b2)

(a2)

(a3)

(b3)

(c3)

cường độ liên kết, khi cường độ liên kết trong khoảng 2.62 ≲ 𝐽0 ≲ 2.83, hệ quay trở lại trạng thái dừng phản đối xứng.

Hình 3.14. Trạng thái dao động ứng với ba trường hợp khác nhau của cường độ

liên kết 𝐽0 = 2.598, 𝐽0 = 2.6 và 𝐽0 = 2.61.

t

Trạng thái hỗn loạn bắt đầu xuất hiện tại 𝐽0 ≃ 2.84, trạng thái này duy trì

cho đến giá trị cường độ liên kết 𝐽0 ≃ 3.18. Tuy nhiên trong vùng hỗn loạn này

có một vùng nhỏ của giá trị cường độ liên kết 3.03 ≲ 𝐽0 ≲ 3.05 trong đó tồn tại

trạng thái dao động (xem hình vẽ 3.16). Khi tiếp tục tăng cường độ liên kết thì

hệ quay lại trạng thái dao động với nhiều tần số, càng tăng cường độ liên kết thì

số lượng tần số dao động càng giảm và đạt đến trạng thái dao động với một tần

số duy nhất tại giá trị cường độ liên kết 𝐽0 ≃ 3.20. Hình vẽ 3.15 mô tả một số

trường hợp đại diện về trạng thái nhiễu loạn và trạng thái dao động trong trường

hợp trên, lần lượt từ trên xuống tương ứng với các cường độ liên kết 𝐽0 = 2.84,

𝐽0 = 3.19, 𝐽0 = 3.20, các hình (a1), (a2) và (a3) là tổng công suất của hệ theo

thời gian, các (b1), (b2) và (b3) tương ứng là biến đổi Fourier đã được chuẩn hóa

của tổng công suất. Ở vùng cường độ liên kết 𝐽0 ≳ 3.4 trạng thái dừng đối xứng

lại xuất hiện.

(a1) (b1)

(b2) (a2)

(a3) (b3)

Hình 3.15. Tổng công suất và biến đổi Fourier của các trạng thái lần lượt tương

ứng với các tham số cường độ liên kết 𝐽0 = 2.84, 𝐽0 = 3.19 và 𝐽0 = 3.20; hình

(a1-b1) một trạng thái hỗn loạn, (a2-b2) trạng thái dao động nhiều tần số, (a3-b3)

trạng thái dao động với một tần số.

Để nhận biết sự thay đổi các trạng thái trên chúng tôi sử dụng biến đổi

Fourier của tổng công suất được mô tả trong hình 3.16, đây là hình ba chiều

nhưng chúng tôi đã xoay để nhìn trong mặt phẳng (𝐽0, 𝜔) với trục hoành là

cường độ liên kết, trục tung là tần số, trục thứ ba là độ lớn của biến đổi Fourier

của tổng công suất có độ lớn biểu thị bằng độ sáng của màu sắc. Những vị trí có

màu càng sáng ứng với biên độ tần số càng lớn. Những vùng màu xanh da trời

ứng với biên độ của các tần số bằng không miêu tả các trạng thái dừng (vùng ký

hiệu bằng chữ “S” - Stationary). Những vùng ký hiệu bằng chữ “O” - Oscillation

ứng với vùng tồn tại trạng thái dao động, trong đó có một vệt với các đốm sáng

khá đều đặn (vị trí khung vuông màu đỏ) với độ sáng mờ dần ở vùng tần số 𝜔

lớn hơn chính là một trong những vùng trạng thái dao động mà chúng ta đã minh

họa ở hình 3.15, có các tần số khá đều đặn ứng với cường độ liên kết nằm trong

khoảng 2.598 ≲ 𝐽0 ≲ 2.61. Vùng có vệt sáng rộng không đều chính là vùng

trạng thái hỗn loạn (ký hiệu bằng “Chaos”). Vùng có các vệt sáng giảm dần về

số vạch chính là vùng trạng thái dao động, giảm dần cho đến khi còn một vệt

sáng duy nhất ứng với trạng thái dao động chỉ có một tần số. Đối chiếu với các

kịch bản dẫn tới hỗn loạn, chúng tôi nhận thấy đặc trưng rẽ nhánh trong trường

hợp này thuộc loại trên tới hạn, kịch bản dẫn tới hỗn loạn là từ trạng thái dừng

đột nhiên chuyển sang trạng thái hỗn loạn tại 𝐽0 ≈ 2.81.

Hình 3.16. Sơ đồ rẽ nhánh sự chuyển đổi trạng thái của hệ khi các tham số 𝛾 =

3, Γ = 1, 𝑎 = 0.01 theo cường độ liên kết 𝐽0 ∈ [1.97, 3.57].

Như vậy, quá trình biến đổi trạng thái trong trường hợp này được tóm tắt

như sau: theo chiều tăng của cường độ liên kết thì hệ bắt đầu từ trạng thái dừng

phản đối xứng rồi đến trạng thái dao động (chỉ một khoảng nhỏ của cường độ

liên kết), sau đó xuất hiện trạng thái hỗn loạn, quay trở lại trạng thái dao động,

rồi lại trạng thái dừng đối xứng.

3.3.1.2. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết rộng

Khi độ rộng của hàm liên kết lớn (gọi tắt là liên kết lớn), nghĩa là độ rộng

đó được so sánh với chu vi của các vòng quang học cụ thể độ rộng được chọn là

𝑎 = 1. Tương tự như trường hợp độ rộng của hàm liên kết hẹp quá trình biến đổi

trạng thái và SSB được mô tả ở sơ đồ sau đây:

Sơ đồ 3.2. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết

khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

Từ sơ đồ 3.1, chúng ta thấy trạng thái dừng phản đối xứng và không có

SSB trong mỗi vòng xuất hiện khi cường độ liên kết trong các khoảng 𝐽0 ≲ 1.6

và 3.7 ≲ 𝐽0 ≲ 9.4. Trạng thái dừng không đối xứng và có SSB trong mỗi kênh

xuất hiện khi cường độ liên kết thõa mãn 1.7 ≲ 𝐽0 ≲ 3.3. Trạng thái dừng phản

đối xứng đồng thời có SSB bên trong mỗi vòng khi mà cường độ liên kết thõa

(c)

(a)

(b)

(g)

(d)

(e)

(h)

(i)

(k)

mãn 3.4 ≲ 𝐽0 ≲ 3.6 và 9.5 ≲ 𝐽0 ≲ 10.5.

Hình 3.17. Mô đun của các hàm sóng trong vùng trạng thái dừng ứng với các

giá trị khác nhau của cường độ liên kết.

Hình 3.17 miêu tả mô đun của các hàm sóng trong vùng trạng thái dừng đối

với các giá trị khác nhau của cường độ liên kết. Các hình (a), (g) và (h) tương

ứng với 𝐽0 = 1.6, 𝐽0 = 3.7 và 𝐽0 = 9.4, cho thấy rằng mô đun hàm sóng có sự đối xứng qua trục thẳng đứng đi qua gốc tọa độ O tức là phân bố cường độ sáng

có tính đối xứng trong mỗi vòng. Còn các hình (b), (c), (d), (e), (i) và (k) tương

ứng với 𝐽0 = 1.7, 𝐽0 = 3.3, 𝐽0 = 3.4, 𝐽0 = 3.6, 𝐽0 = 9.5 và 𝐽0 = 10.5 , các trường hợp này mô đun hàm sóng mất đi tính chất đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥.

Trong trường hợp liên kết rộng này chúng tôi thấy rằng trạng thái dao động

và trạng thái hỗn loạn xuất hiện đan xen không đều đặn ở vùng cường độ liên

kết lớn hơn trường hợp liên kết hẹp cụ thể ở vùng 𝐽0 ≳ 10.5. Sự xuất hiện đan xen các trạng thái dao động và hỗn loạn đó chính là do tính chất của hệ không

bảo toàn và tính chất nhạy cảm của trạng thái hỗn loạn với các tham số đầu vào

của hệ. Hình 3.18 mô tả biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ ở vùng

cường độ liên kết lớn. Những vùng vệt màu sáng ứng với biên độ của tần số lớn.

Qua nghiên cứu chúng ta thấy rằng các tần số xuất hiện trong các trạng thái hỗn

loạn ở vùng này không ổn định thể hiện qua các vệt sáng đứt đoạn, các trạng thái

xuất hiện không có trật tự, và có xu hướng dần về tần số cao khi cường độ liên

kết lớn (các vệt sáng dốc lên theo chiều trái sang phải). Đồng thời trong vùng

tham số cường độ liên kết xuất hiện trạng thái hỗn loạn vẫn có một số vị trí của

tham số mà ở đó tồn tại trạng thái dừng đan xen.

Hình 3.18. Sơ đồ rẽ nhánh mô tả sự chuyển đổi trạng thái của hệ ở vùng cường

độ liên kết lớn khi độ rộng của hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

3.3.2. Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên sự phá vỡ đối xứng của hệ

Mục này, chúng tôi xem xét ảnh hưởng của tham số khuếch đại 𝛾 lên SSB

của hệ trong hai trường hợp sau đây: trường hợp thứ nhất tham số mất mất Γ =

1, cường độ liên kết được chọn 𝐽0 = 2.85, độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 0.01 và

thay đổi 𝛾; trường hợp thứ hai tham số mất mất Γ = 1, cường độ liên kết được

chọn 𝐽0 = 12.75, độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 1 và thay đổi 𝛾.

3.3.2.1. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết hẹp

Trường hợp thứ nhất, các trạng thái cuối cùng thu được trong quá trình tiến

triển theo thời gian với trạng thái ban đầu đối xứng có biểu thức như (3.15) và

SSB được tóm tắt trong hình 3.19 và sơ đồ 3.3 dưới đây.

Hình 3.19. Giản đồ rẽ nhánh sự biến đổi các trạng thái của hệ, khi các tham số

cố định Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 thay đổi.

Sơ đồ 3.3. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số khuếch đại

khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

Khi hệ số khuếch đại 𝛾 ≲ 2.12 chúng tôi thu được trạng thái dừng đối xứng

không có SSB. Tiếp đến là trạng thái bất đối xứng và không có SSB (lưu ý SSB

xảy ra trong mỗi vòng nghĩa là mỗi hàm sóng mất đối xứng chẵn) xuất hiện

trong khoảng của tham số khuếch đại 2.12 ≲ 𝛾 ≲ 2.38. Trạng thái dao động tồn

tại trong các vùng 2.38 ≲ 𝛾 ≲ 2.54, 2.80 ≲ 𝛾 ≲ 2.88 và 2.94 ≲ 𝛾 ≲ 2.98 và

trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong các vùng 2.54 ≲ 𝛾 ≲ 2.8, 2.88 ≲ 𝛾 ≲ 2.94 và

2.98 ≲ 𝛾 ≲ 3.06. Sau đó trạng thái dừng phản đối xứng không có SSB xuất hiện

khi 𝛾 ≳ 3.06, trạng thái đó tồn tại cho đến khi bắt đầu xuất hiện trạng thái dừng bất

đối xứng có SSB tại 𝛾 ≳ 3.7. Hình vẽ 3.20 biểu diễn mô đun của hàm sóng với

các giá trị tham số khuếch đại khác nhau, hình (a) ứng với 𝛾 ≃ 2.12 cho thấy

rằng mô đun hai hàm sóng trùng nhau (miêu tả trạng thái đối xứng) và hình (b)

ứng với 𝛾 ≃ 2.22 cho thấy mô đun các hàm sóng lệch nhau miêu tả một trạng

thái bất đối xứng. Một ví dụ trong vùng dao động được mô tả trong hình 3.21,

hình (a1) là tổng công suất, hình (b1) là biến đổi Fourier của tổng công suất

tương ứng, đây là trường hợp dao động với nhiều tần số.

(b) (a)

Hình 3.20. Mô đun của các hàm sóng trong hai vòng quang học hình (a) khi

tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.12 mô tả trạng thái dừng đối xứng và hình (b) khi

tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.22 mô tả trạng thái không đối xứng.

(a1) (b1)

𝑵̃

(b2) (a2)

𝑁̃

Hình 3.21. Tổng công suất của hệ mô tả trạng thái dao động, trạng thái hỗn

loạn của hệ, hình (a1-b1) biểu diễn trạng thái dao động ứng với tham số khuếch

đại 𝛾 = 2.42, hình (a2-b2) biểu diễn trạng thái hỗn loạn ứng với tham số

khuếch đại 𝛾 ≈ 2.62.

Một trạng thái hỗn loạn cũng được biểu diễn ứng với tham số khuếch đại 𝛾 ≈ 2.62

ở hình 3.21. Hình (3.21a2) là tiến triển của mô đun hàm sóng theo thời gian, hình

(3.21b2) là biến đổi Fourier của tổng công suất tương ứng. Hình 3.22a là mô đun

hàm sóng tại giá trị 𝛾 = 3.06 tại đó bắt đầu chuyển từ trạng thái hỗn loạn sang

trạng thái dừng không có SSB, hình 3.22b là mô đun hàm sóng tại giá trị 𝛾 = 3.65

tại đó có sự chuyển đổi từ trạng thái dừng không có SSB sang trạng thái dừng có

SSB.

(a) (b)

Hình 3.22. Mô đun của các hàm sóng, hình (a) và (b) lần lượt mô tả trạng thái

phản đối xứng và trạng thái bất đối xứng ứng với các tham số khuếch đại là 𝛾 =

3.06 và 𝛾 = 3.65.

Tóm lại, trong trường hợp với các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số điều khiển là 𝛾 thay đổi. Thứ tự các trạng thái xuất hiện khi tham số

khuếch đại tăng dần là: trạng thái dừng đối xứng, trạng thái dừng không đối

xứng không có SSB, trạng thái dao động với các tần số khác nhau, trạng thái hỗn

loạn, trạng thái dừng phản đối xứng không có SSB, trạng thái dừng không đối

xứng và có SSB bên trong mỗi vòng.

3.3.2.2. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết rộng

Trường hợp thứ hai chúng tôi cũng xét với tham số khuếch đại 𝛾 thay đổi, các

tham số được cố định đó là tham số mất mát Γ = 1, độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 1,

cường độ liên kết 𝐽0 = 12.75. Kết quả của quá trình biến đổi trạng thái và SSB được

tổng hợp ở hình vẽ 3.23 và sơ đồ 3.4. Hình 3.23 miêu tả biến đổi Fourier của tổng

công suất của hệ. Qua đó, chúng tôi nhận thấy rằng sự biến đổi các trạng thái phức

tạp, thể hiện qua các vệt sáng đứt đoạn trên nền màu xanh. Cũng như đã nói ở các

phần trên, những vùng chỉ có một sọc sáng tương ứng với trạng thái dao động có một

tần số, những vùng có nhiều sọc sáng tương ứng với trạng thái dao động nhiều tần số,

những vùng có các vệt sáng rộng tương ứng với vùng trạng thái hỗn loạn. Đặc biệt,

chúng tôi nhận thấy có một vùng mà tham số khuếch đại 4.4 ≲ 𝛾 ≲ 5.06, ở đó trạng

thái dao động có nhiều tần số có tính qui luật mà sự giảm tần số (dần về tần số thấp)

gần như tuyến tính với sự tăng của tham số khuếch đại 𝛾, khi mà tham số khuếch đại

gần với giá trị 𝛾 ≈ 5, trạng thái hỗn loạn xuất hiện, tiếp sau đó khi 𝛾 ≳ 5.06 thì đột

nhiên hệ trở lại trạng thái dừng.

Hình 3.23. Giản đồ rẽ nhánh biểu diễn sự biến đổi các trạng thái động lực học của hệ, khi các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 12,75, 𝑎 = 1.

Sơ đồ 3.4. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số khuếch đại

khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

Miêu tả một cách chi tiết hơn: trạng thái dao động một tần số khi 0.16 ≲

𝛾 ≲ 0.4; trạng thái hỗn loạn một phần khi 0.4 ≲ 𝛾 ≲ 2.56, 2.86 ≲ 𝛾 ≲ 3.14,

3.77≲ 𝛾 ≲ 3.84, 3.98 ≲ 𝛾 ≲ 4.4 và hỗn loạn toàn phần 5.0 ≲ 𝛾 ≲ 5.06; trạng

thái dao động nhiều tần số khi 2.56 ≲ 𝛾 ≲ 2.86, 3.14 ≲ 𝛾 ≲ 3.77 và 4.4 ≲ 𝛾 ≲

5.0. Sơ đồ 3.4 tóm tắt sự biến đổi trạng thái và SSB, qua đó cho thấy trạng thái

dừng không có SSB xuất hiện khi 3.84 ≲ 𝛾 ≲ 3.98, 5.06 ≲ 𝛾 ≲ 5.12 và 5.48 ≲

𝛾 ≲ 5.6; trạng thái dừng có SSB xuất hiện khi 5.12 ≲ 𝛾 ≲ 5.48. Một số ví dụ

về trạng thái dao động một tần số, ba tần số, nhiều tần số và trạng thái dao động

được minh họa ở hình vẽ 3.24. Hình 3.24a miêu tả biến đổi Fourier của tổng

công suất ứng với tham số khuếch đại 𝛾 = 0.16, chúng ta thấy chỉ có một tần số

dao động duy nhất. Tương tự các hình 3.24b, c, d ứng với các tham số 𝛾 = 2.65,

𝛾 = 4,75 và 𝛾 = 5.03 lần lượt miêu tả dao động ba tần số, nhiều tần số và trạng

thái hỗn loạn.

(a) (b)

𝑵̃ 𝑵̃

(d) (c)

𝑵̃ 𝑵̃

Hình 3.24. Biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ miêu tả các trạng thái dao

động một tần số, ba tần số, nhiều tần số và trạng thái hỗn loạn. Các hình (a), (b),

𝛾 = 5.03.

3.3.3. Ảnh hưởng của tham số mất mát lên sự phá vỡ đối xứng của hệ

Tương tự các phần trên, trong phần này chúng tôi xét hai trường hợp với hai

loại độ rộng hàm liên kết khác nhau: trường hợp thứ nhất cố định các tham số

khuếch đại 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và thay đổi tham số mất mát Γ; trường hợp

thứ hai xét 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1 và thay đổi tham số mất mát Γ.

Trường hợp 1. Cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, thay đổi Γ.

Kết quả quá trình biến đổi trạng thái được tổng hợp dưới hình vẽ 3.25. Qua giản

đồ chúng ta thấy trạng thái dừng của hệ tồn tại trong các khoảng tham số mất

mát Γ ≲ 0.99 và Γ ≳ 1.60 tương ứng với vùng màu xanh toàn bộ trên giản đồ rẽ

nhánh (ký hiệu bằng chứ S). Trong khoảng tham số mất mát 0.99 ≲ Γ ≲ 1.4 thì

hệ xảy ra trạng thái hỗn loạn ứng với vùng có vệt rộng theo chiều thẳng đứng

vuông góc với trục hoành (vùng ký hiệu bằng Chaos). Trạng thái dao động xảy

ra trong một vùng của tham số mất mát 1.4 ≲ Γ ≲ 1.6.

Hình 3.25. Giản đồ rẽ nhánh của quá trình biến đổi trạng thái của hệ khi cố định

các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi.

Sơ đồ 3.5. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất mát khi

độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

Chúng tôi đã xét khoảng biến thiên của tham số mất mát Γ ∈ (0.8,1.80), sự

biến đổi trạng thái và SSB được tóm tắt trên sơ đồ 3.5. Qua đó chúng ta thấy chỉ

có hai vòng tham số mất mát không xảy ra SSB đó là Γ ∈ (0.8,0.99) và

(1.60,1.70), các khoảng tham số còn lại đều có SSB, đặc biệt vùng trạng thái

hỗn loạn tồn tại trong khoảng tham số mất mát 0.99 ≲ Γ ≲ 1.4.

Qua khảo sát chúng tôi thu được thứ tự các trạng thái biến đổi khi tăng dần

tham số mất mát của hệ đó là: trạng thái dừng phản đối xứng, trạng thái nhiễu

loạn, trạng thái dao động, trạng thái dừng không đối xứng. Đặc trưng rẽ nhánh

thuộc loại trên tới hạn, quá trình xuất hiện hỗn loạn từ trạng thái dừng đột nhiên

chuyển sang trạng thái hỗn loạn.

Trường hợp 2. Cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, thay đổi Γ.

Trong trường hợp này chúng tôi nhận thấy sự biến đổi trạng thái cũng biến đổi

qua lại giữa các trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn. Nhưng

trạng thái hỗn loạn không toàn bộ thể hiện các vệt sáng của vùng hỗn loạn

không liên tục từ tần số 𝜔 = 0 đến một tần số nào đó. Sự biến đổi giữa các trạng

thái cũng không ổn định giống như các trường hợp độ rộng 𝑎 = 1 đã xét ở trên.

Sự biến đổi trạng thái không ổn định đó được miêu tả trên hình 3.26, các vệt

sáng xuất hiện gián đoạn trên nền màu xanh.

Hình 3.26. Sơ đồ rẽ nhánh biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ khi các

tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi.

Sơ đồ 3.6. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất mát khi

độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

Trong trường hợp này chúng tôi xét khoảng biến thiên của tham số mất mát Γ ∈

(0.80,4,50). Qua kiểm tra các giá trị cụ thể của Γ chúng tôi nhận thấy luôn có

SSB trong toàn bộ miền tham số mất mát xem xét, được miêu tả trên sơ đồ 3.6.

Trạng thái hỗn loạn xuất hiện ở nhiều vùng tham số khác nhau, đan xem giữa

các trạng thái dừng và trạng thái dao động. Qua các trường hợp xét độ rộng 𝑎 =

1 cho thấy với độ rộng lớn thì sự biến đổi giữa các trạng thái phức tạp.

3.4. Kết luận chương 3

Chương này chúng tôi đã nghiên cứu SSB và quá trình biến đổi các trạng

thái trong hệ cộng hưởng hai vòng quang học được liên kết tuyến tính không

gian với nhau, trong ba trường hợp hàm liên kết khác nhau.

- Trường hợp liên kết hằng số và Gauss đơn, chúng tôi đã thực hiện tính

toán lại một số kết quả để vừa kiểm chứng thuật toán sử dụng vừa làm rõ các

khái niệm về các trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ. Đặc biệt chỉ ra

rằng: trong trường hợp liên kết hằng số tồn tại trạng thái hỗn loạn và kịch bản

nhân đôi tần số dẫn đến hỗn loạn trong khi đó trường hợp Gauss đơn không xuất

hiện trạng thái hỗn loạn.

- Trường hợp hàm liên kết Gauss kép chúng tôi xét hai trường hợp đại diện

với hàm liên kết có độ rộng hẹp 𝑎 = 0.01và độ rộng rộng 𝑎 = 1. Với mỗi độ

rộng, chúng tôi đã lần lượt xét ảnh hưởng của các tham số điều khiển lên SSB và

quá trình biến đổi trạng thái của hệ:

+ Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên quá trình động lực học của hệ khi

cố định các tham số 𝛾 = 3, Γ = 1 với hai trường hợp độ rộng của hàm liên kết

𝑎 = 0.01 và 𝑎 = 1, kết quả thu được các giá trị tới hạn và khoảng tham số của

cường độ liên kết đặc trưng cho SSB và vùng tồn tại các loại trạng thái khác

nhau. Đặc biệt kết quả cho thấy rằng khi độ rộng 𝑎 = 0.01 thì tồn tại kịch bản

đột nhiên dẫn tới hỗn loạn, còn đối với độ rộng 𝑎 = 1 trạng thái hỗn loạn xuất

hiện trong các vùng nhỏ của vùng 𝐽0 ≳ 10.5 và đan xen với trạng thái dừng và

trạng thái dao động một cách phức tạp.

+ Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên quá trình động lực học của hệ xét

cố định các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 2.85 và cũng hai trường hợp độ rộng như trên.

Kết quả cũng thu được các khoảng tham số khuếch đại tồn tại SSB, cũng như

các loại trạng thái khác nhau. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện với kịch bản không

liên tục dẫn đến trạng thái hỗn loạn.

+ Ảnh hưởng của tham số mất mát lên quá trình động lực học của hệ khi cố

định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, kết quả cho thấy rằng khi độ rộng 𝑎 = 0.01

kịch bản đột biến dẫn tới hỗn loạn giống như trường hợp ảnh hưởng của cường

độ liên kết đã xét ở trên, còn khi độ rộng 𝑎 = 1 sự xuất hiện các trạng thái cũng

chuyển đổi qua lại phức tạp.

KẾT LUẬN CHUNG

Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu SSB trong một số hệ quang học

khác nhau và thu được các kết quả như sau.

Đối với hệ ống dẫn sóng với phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính

dạng Gauss kép. Trường hợp phi tuyến Kerr tự hội tụ thì hệ có sự phá vỡ đối

xứng tự phát. Chúng tôi đã xác định được vùng các tham số như công suất xung,

hằng số lan truyền của hệ để tồn tại các loại trạng thái solitons đối xứng, không

đối xứng cũng như vùng ổn định, không ổn định của các trạng thái đó. Đặc

trưng rẽ nhánh của sự phá vỡ đối xứng trong trường hợp này thuộc loại trên tới

hạn (supercritical). Còn trường hợp phi tuyến Kerr tự phân kỳ thì hệ không có

sự phá vỡ đối xứng tự phát, các trạng thái đối xứng của hệ luôn luôn có tính

chất ổn định cao.

Đối với hệ hai ống dẫn sóng có mặt phi tuyến biến điệu dạng hàm delta và

liên kết tuyến tính với nhau. Chúng tôi đã xác định được vùng các tham số như

công suất xung, hằng số lan truyền để tồn tại các loại trạng thái soliton khác

nhau. Đặc trưng rẽ nhánh của sự phá vỡ đối xứng của trường hợp này là dưới

tới hạn (subcritical), các trạng thái solitons bất đối xứng là không ổn định, các

trạng thái solitons đối xứng thì luôn ổn định.

Đối với hệ cộng hưởng vòng có liên kết tuyến tính dạng Gauss kép chúng

tôi xét ba trường hợp ảnh hưởng của ba tham số điều khiển khác nhau (cường độ

liên kết, tham số khuếch đại và tham số mất mát) lên SSB và thu được:

+ Các vùng tham số của cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số

mất mát để tồn tại các loại trạng thái khác nhau như: trạng thái dừng, trạng thái

dao động, trạng thái hỗn loạn và sự phá vỡ đối xứng hàm sóng.

+ Hai kịch bản khác nhau dẫn đến trạng thái hỗn loạn đó là: kịch bản từ

trạng thái dừng đột nhiên chuyển sang trạng thái hỗn loạn và kịch bản từ trạng

thái dừng sang trạng thái dao động không liên tục rồi dẫn đến hỗn loạn.

Các kết quả thu được ở trên là cơ sở rất quan trọng để nghiên cứu trong

thực nghiệm. Nó cũng định hướng ứng dụng trong các thiết bị quang tử như

chuyển mạch quang, hệ tắt bật cực nhanh, trong thông tin quang và đặc biệt

trạng thái hỗn loạn được ứng dụng trong bảo mật thông tin quang, kỹ thuật mật

mạ,v.v. Để có thể hiểu sâu hơn về các hiện tượng này chúng ta có thể nghiên

cứu chi tiết hơn phương trình Schrödinger phi tuyến với nhiều điều kiện vật lý

cụ thể khác, ví dụ như: mở rộng mô hình nhiều chiều hơn, thế năng phức tạp

hơn, tăng thêm số hạng phi tuyến hay tăng số vòng trong hệ cộng hưởng vòng

quang hoặc có thể nghiên cứu trong hệ các lĩnh vực vật lý khác như BEC,

polariton,v.v. Đây là những nội dung mà chúng tôi định hướng nghiên cứu trong

tương lai.

Những kết quả nghiên cứu ở trên đã được trình bày trong các hội nghị khoa

học chuyên ngành, cũng như đã công bố trên các tạp chí uy tín trong nước và

nước ngoài.

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

[1]. Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, M. Trippenbach,

Bui Dinh Thuan, and Do Thanh Thuy, Spontaneous Symmetry Breaking of

Solitons Trapped in a Double-Gauss Potential, Communications in Physics, Vol.

28, No. 4 (2018), pp. 301-310

[2]. Duy Cuong Nguyen; Xuan Khoa Dinh; Xuan The Tai Le; Viet Hung

Nguyen; Marek Trippenbach, On the nonlinear dynamics of coupled micro-

resonators, Proceedings 11204, 14th Conference on Integrated Optics: Sensors,

Sensing Structures, and Methods, (2019), Szcyrk-Gliwice, Poland.

[3]. Nguyen Duy Cuong, Bui Dinh Thuan, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van,

Marek Trippenbach, and Do Thanh Thuy, Spontaneous Symmetry Breaking in

Coupled Ring Resonators with Linear Gain and Nonlinear Loss, Vinh

University Journal of Science 48, 2A (2019), 39-48.

[4]. Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, Le Canh Trung, Bui

Dinh Thuan, Marek Trippenbach, Two Spot Coupled Ring Resonators,

Communications in Physics, Vol. 29, No. 4 (2019), pp. 491-500.

[5]. Le Xuan The Tai, Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Nguyen Viet

Hung, and Marek Trippenbach, Local versus uniform coupling, preparing to

submit in Photonics Letters of Poland.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. C. L. Vân, Vật lý đại cương tập I và II, NXB Giáo dục, (2008).

[2]. K. Hayata and M. Koshiba, Self-localization and spontaneous symmetry

breaking of optical fields propagating in strongly nonlinear channel waveguides:

limitations of the scalar field approximation, J. Opt. Soc. Am. B 9, (1992) 1362.

[3]. B. Maes, M. Soljacic, J. D. Joannopoulos, P. Bienstman, R. Baets, S. P.

Gorza, M. Haelterman, Switching through symmetry breaking in coupled

nonlinear micro-cavities, Optics Express 14, (2006) 10678.

[4]. W. Królikowski, Y. S. Kivshar, Soliton-based optical switching in

waveguide arrays, J. Opt. Soc. Am. B 13, (1996) 876-887.

[5]. F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides, G. Assanto, M. Segev, Y.

Silberberg, Discrete solitons in optics. Phys. Rep. 463, (2008) 1-126.

[6]. P. L. Chu, B. A. Malomed, G. D. Peng, Passage of a pulse through a

nonlinear amplifier, Opt. Commun. 140, (1997) 289-295.

[7]. H. E. Nistazakis, D. J. Frantzeskakis, J. Atai, B. A. Malomed, N. Efremidis,

K. Hizanidis, Multichannel pulse dynamics in a stabilized Ginzburg-Landau

system. Phys. Rev. E 65, (2002) 036605.

[8]. Y. D. Wu, Coupled-soliton all-optical logic device with two parallel tapered

waveguides. Fiber Integr. Opt. 23, (2004) 405-414.

[9]. D. Chevriaux, R. Khomeriki, J. Leon, Bistable transmitting nonlinear

directional couplers. Mod. Phys. Lett. B 20, (2006) 515-532.

[10]. H. Hatami-Hanza, P. L. Chu, B.A. Malomed, G. D. Peng, Soliton

compression and splitting in double-core nonlinear optical fibers. Opt. Commun.

134, (1997) 59-65.

[11]. D. G. Rabus, H. Heidrich, M. Hamacher, U. Troppenz, Channel dropping

filters based on ring resonators and integrated SOAs, Optical Society of

America 130, (2003) 3120.

[12]. Y. Senlin, C. Zeying, C. H. Wenjian, Chaotic laser synchronization and its

application in optical fiber secure communication, Science in China Ser. F

Information Sciences 47 3, (2004) 332-347.

[13]. A. Uchida, Optical communication with chaotic lasers: applications of

Nonlinear Dynamics and Synchronization, First Edition, (2012) Wiley-VCH

Verlag GmbH & Co. KGaA.

[14]. M. Naruse, Y. Terashima, A. Uchida, S. J. Kim, Ultrafast photonic

reinforcement learning based on laser chaos, Cientific Reports 7-8772, (2017)

1-10.

[16]. K. Hayata and M. Koshiba, Self-localization and spontaneous symmetry

breaking of optical fields propagating in strongly nonlinear channel waveguides:

limitations of the scalar field approximation, J. Opt. Soc. Am. B 9, (1992) 1362.

[15]. C. Cambournac, T. Sylvestre, H. Maillotte, B. Vanderlinden, P. Kockaert,

Ph. Emplit, and M. Haelterman, Symmetry-Breaking Instability of Multimode

Vector Solitons, Phys. Rev. Lett. 89, (2002) 083901.

[16]. Y. J. Tsofe and B. A. Malomed, Quasisymmetric and asymmetric gap

solitons in linearly coupled Bragg gratings with a phase shift, Phys. Rev. E 75,

(2007) 056603.

[17]. L. Albuch and B. A. Malomed, Solitary pulses in linearly coupled

Ginzburg-Landau equations, Math. Comput. Simul. 74, (2007) 312.

[18]. M. Ornigotti, G. D. Valle, D. Gatti, and S. Longhi, Topological

suppression of optical tunneling in a twisted annular fiber, Phys. Rev. A 76,

(2007) 023833.

[19]. S. Trillo, S. Wabnitz, E. M. Wright, G. I. Stegeman, Soliton switching in

fiber nonlinear directional couplers. Opt. Lett. 13, (1988) 672-674.

[20]. A. W. Snyder, D. J. Mitchell, L. Poladian, D. R. Rowland, and Y. Chen,

Physics of nonlinear fiber couplers, J. Opt. Soc. Am. B 8, (1991) 2102.

[21]. B. A. Malomed, I. M. Skinner, P. L. Chu, and G. D. Peng, Symmetric and

asymmetric solitons in twin-core nonlinear optical fibers, Phys Rev E 53, (1996)

4084-4091.

[22]. P. LI, D. MIHALACHE, Symmetry breaking of solitons in PT-symmetric

potentials with competing cubic-quintic nonlinearity, Proceedings of the

Romanian Academy, Series A 19, (2018) 61-68.

[23]. T. Mayteevarunyoo, B. A. Malomed, and G. Dong, Spontaneous symmetry

breaking in a nonlinear double-well structure, Physical Review A 78, (2008)

053601.

[24]. N. V. Hung, P. Zin, M. Trippenbach, and B. A. Malomed, Two-

dimensional solitons in media with stripe-shaped nonlinearity modulation,

Physical Review E 82, (2010) 046602.

[25]. V. Lutsky and B. A. Malomed, Solitons supported by singular modulation

of the cubic nonlinearity, J. Opt. Ex. 25, (2017) 12969.

[26]. R. S. Gioggia and N. B. Abraham, Routes to chaotic output from a single-

mode, de-excited laser, Physical Review letters 51, (1983) 650-653.

[27]. P. Colet and R. Roy, Digital communication with synchronized chaotic

lasers, Optics Letters 19, (1994) 2056-2058.

[28]. A. Argyris, M. Hamacher, K. E. Chlouverakis, A. Bogris, and D. Syvridis,

Photonic integrated device for chaos applications in communications, Physical

Review Letters 100, (2008) 194101.

[29]. A. Uchida1, K. Amano, M. Inoue, K. Hirano, S. Naito, H. Someya, I.

Oowada, T. Kurashige, M. Shiki, S. Yoshimori, K. Yoshimura, and P. Davis,

Fast physical random bit generation with chaotic semiconductor lasers, Nature

Photonics 2, (2008) 728-732.

[30]. N. Jiang, C. Xue, Y. Lv, K. Qiu, Secure key distribution applications of

chaotic lasers, Proc. of SPIE 10026, (2016) 100260H-2.

[31]. N. V. Hung, K. Zegadlo, A. Ramaniuk, V. V. Konotop & M. Trippenbach,

Modulational instability of coupled ring waveguides with linear gain and

nonlinear loss, Scientific RepoRts 7, (2017) 4089.

[32]. C. L. Van and P. Goldstein, A concise cource on nonlinear partial

diferential equations, University of Zielona Gora Press (2008).

[33]. D. X. Khoa, L. V. Doai, D. H. Son, and Ng. H. Bang, Enhancement of self-

Kerr nonlinearity via electromagnetically induced transparency in a five-level

cascade system: an analytical approach, J. Opt. Soc. Am. B., 31, N6 (2014),

1330 - 1334.

[34]. M. Göppert‐Mayer, Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen,

Annalen der Physik. 6. (1931), Folge. 9.

[35]. W. Kaiser and C. G. B. Garrett, Two-photon excitation in CaF2: Eu2+,

Physical Review Letters, 7, 6 (1961), 229-231.

[36]. E. W. Van Stryland, H. Vanherzeele, M. A. Woodall, M. J. Soileau,, A. L.

Smirl, S. Guha, Th. F. Boggess, Two photon absorption, nonlinear refraction,

and optical limiting in semiconductors, Optical Engineering 24 (4), (1985), 613-

623.

[37]. G. P. Agrawal, Nonlinear fiber optics, Fifth Edition, New York: Academic,

2013.

[38]. R. Li, Fei Lv, L. Li, and Z. Xu, Symmetry breaking and manipulation of

nonlinear optical modes in an asymmetric double-channel waveguide, Physical

review A 84, (2011), 033850.

[39]. C. L. Vân, Đ. X. Khoa, M. Trippenbach, Nhập môn quang học phi tuyến,

NXB Giáo dục 2011.

[40]. Y. S. Kivshar, G. P. Agrawal. Optical Solitons, 2003.

[41]. Z. Chen, M. Segev and D. N Christodoulides, Optical spatial solitons:

historical overview and recent advances, Rep. Prog. Phys. 75 (2012) 086401.

[42]. J. Yang, Nonlinear waves in integrable and nonintegrable systems,

monographs on mathematical modeling and computation, (2010).

[43]. B. A. Malomed, Spontaneous symmetry breaking in nonlinear systems: an

overview and a simple model, Springer: Heidelberg, (2016), 97-112.

[44]. M. Matuszewski, B. A. Malomed, and M.Trippenbach, Spontaneous

symmetry breaking of solitons trapped in a double-channel potential, Phys. Rev.

A. 75 (2007) 063621.

[45]. P. L. Chu, B. A. Malomed, and G. D. Peng, Soliton switching and

propagation in nonlinear fiber couplers: analytical results, J. Opt. Soc. Am. B.

10 (1993) 1379-1385.

[46]. A. Uchida, Optical communication with chaotic lasers: applications of

nonlinear dynamics and synchronization, first edition, (2012).

[47]. K. B. Zegadlo, Ng. V. Hung, A. Ramaniuk, M. Trippenbach and B. A.

Malomed, Symmetry breakings in dual-core systems with double-spot

localization of nonlinearity, Symmetry 10 (2018) 156.

[48]. A. Ramaniuk, N. V. Hung, M. Giersig , K. Kempa, V. V. Konotop, and M.

Trippenbach, Vortex creation without stirring in coupled ring resonators with

gain and loss, Symmetry 10, (2018) 195.

[49]. Ng. D. Cuong, C. L. Van, D. X. Khoa, M. Trippenbach, Two spot coupled

ring resonators, Communication in Physics, Vol. 29, No. 4 (2019) 491-500.

[50]. D. Cuong Ng., X. Khoa D., X. Th. Tai L., V. Hung Ng., M. Trippenbach,

On the nonlinear dynamics of coupled micro-resonators, Proceedings 11204,

14th Conference on Integrated Optics: Sensors, Sensing Structures, and Methods,

(2019), Szcyrk-Gliwice, Poland.

[51]. Ng. D. Cuong, B. D. Thuan, D. X. Khoa, C. L. Van, M. Trippenbach,

and D. Th. Thuy, Spontaneous symmetry breaking in coupled ring resonators

with linear gain and nonlinear loss, Vinh University Journal of Science 48, 2A

(2019), 39-48.

[52]. K. Zegadlo, Ng. V. Hung, V. V. Konotop, J. Zakrzewski, M. Trippenbach,

Route to chaos in a coupled microresonator system with gain and loss,

Nonlinear Dyn 97 (2019) 559-569.

Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT

TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN

NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT

TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN

C

A

B

D

Θ =

t

KẾT LUẬN CHUNG

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

Có thể bạn quan tâm

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chất lượng dịch vụ viễn thông di động tại Tổng công ty viễn thông Viettel

Luận án Tiến sĩ: Nâng cao chất lượng cơ sở vật chất các trường đại học tư thục trên địa bàn thành Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Năng lực cạnh tranh của doanh nghiệp nhỏ và vừa trên địa bàn tỉnh Phú Thọ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng tới sự thành công trong khởi sự kinh doanh của phụ nữ khu vực miền Bắc

Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu giải pháp phát triển trung tâm logistics quốc tế cho khu vực kinh tế trọng điểm phía Bắc

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các nhân tố ảnh hưởng đến mức độ công bố thông tin trên báo cáo thường niên của các ngân hàng thương mại Việt Nam

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok