NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG GIỚI HẠN TỔNG QUÁT
TÍNH ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG SẮT
TS. LƯƠNG XUÂN BÍNH
Trường Đại học Giao thông Vận tải
ThS. CHU THỊ THU THUỶ
Viện chuyên ngành Đường bộ và Sân bay
Viện KH và CN GTVT
ThS. VIKHONE SAYNHAVONG
Trường Đại học Giao thông Vận tải
Tóm tắt: Trong bài báo này, các tác giả nghiên cứu ứng dụng phương pháp cân bằng
giới hạn tổng quát (Generalized Limit Equilibrium Method – GLEM) để tính toán ổn định nền
đường sắt dưới tác dụng của tải trọng tĩnh. Trong phương pháp cân bằng giới hạn tổng quát,
lăngthể trượt được coi như một hệ thống các khối trượt con, ở đó mặt đáy và mặt bên của các
khối trượt con chính là các mặt trượt. Trong khi đó, với các phương pháp cân bằng giới hạn
thông thường,lăng thể trượt được chia thành các mảnh, ở đó chỉ có mặt đáy các mảnh là mặt
trượt, còn mặt bên của các mảnh là các mặt thẳng đứng và điều kiện trượt không thoả mãn
trên đó. Trình tự các bước tính toán của GLEM, chương trình máy tính để tính toán ổn định
nền đường sắt, phân tích so sánh phương pháp GLEM với các phương pháp cân bằng giới hạn
khác sẽ được trình bày trong bài báo này.
Summary: This paper deals with the application of Generalized Limit Equilibrium
Method (GLEM) to analyze the stability of railway embankments under static loadings. In
GLEM, the sliding soil mass is considered as a block system, of which the bottom planes and
inter-block planes are just the slip planes, whereas in ordinary Limit Equilibrium Methods
(LEM), the sliding soil mass is considered as the pieces, of which only the bottom planes are
the slip planes, the inter-piece planes are vertical and on these planes the slip condition is not
satisfied. The calculation procedure of the GLEM, the computer program for stability analysis
of railway embankments, the comparison of GLEM with other LEMs are demonstrated.
TCT1
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Ngành đường sắt ở nước ta đang bước vào giai đoạn phát triển mạnh mẽ. Các dự án xây
dựng đường sắt lớn đang và sẽ được triển khai như: dự án đường sắt trên cao Hà Nội với số vốn
đầu tư khoảng 2 tỷ USD, dự án đường sắt đô thị TP Hồ Chí Minh, dự án đường sắt cao tốc Bắc -
Nam với số vốn đầu tư lên tới 33 tỷ USD. Do đó nghiên cứu ứng dụng, phát triển các phương
pháp tính toán hỗ trợ cho công tác thiết kế trong xây dựng đường sắt có một ý nghĩa quan trọng.
Để giải quyết bài toán ổn định mái dốc thường có hai nhóm phương pháp chính: Phương
pháp cân bằng giới hạn, phương pháp phân tích trạng thái ứng suất biến dạng.
Thuộc về nhóm phương pháp cân bằng giới hạn có thể nêu một số thí dụ từ những phương
pháp đơn giản như: Fellenius [1], Bishop [2], Spencer [3], Janbu [4], Morgenstern-Price [5], ...,
đến những phương pháp số của Chen [6]. Đặc điểm chung của các phương pháp cân bằng giới
hạn là chỉ xét sự làm việc của kết cấu trong trạng thái giới hạn mà không quan tâm đến quan hệ
ứng suất - biến dạng theo quá trình tác dụng của tải trọng. Do đó những phương pháp này khá
đơn giản và yêu cầu các tham số đầu vào khi tính toán thường là trọng lượng riêng, lực dính,
góc ma sát trong của đất (những thông số cơ bản của đất có thể được xác định bằng những thí
nghiệm kinh điển trong cơ học đất).
Thuộc về nhóm phương pháp phân tích trạng thái ứng suất biến dạng có thể kể đến như
phương pháp phần tử hữu hạn Sloan [7], phương pháp số, ... Có thể nói phương pháp này cho
kết quả khá tốt về quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong suốt quá trình chịu tải của kết cấu
cho đến khi đạt đến trạng thái giới hạn. Tuy nhiên yêu cầu các tham số đầu vào khi tính toán lại
khá phức tạp như: mô đun đàn hồi, hệ số Poisson ... (cần những thí nghiệm chuyên dụng kết hợp
phân tích, tính toán để xác định), bên cạnh đó là khối lượng tính toán lớn nhiều khi dẫn tới sai
số tính toán tích lũy đáng kể. Do vậy, ngày nay, các phương pháp cân bằng giới hạn vẫn được
ứng dụng khá phổ biến trong việc giải quyết các bài toán ổn định mái dốc, sức chịu tải, áp lực
đất.
Trong nhóm các phương pháp cân bằng giới hạn thường giả định các mặt trượt là mặt
phẳng, hoặc mặt trụ tròn. Lăng thể trượt có thể được coi như là một cố thể hoặc cũng có thể
được chia nhỏ thành các mảnh (khối) với mặt đáy của khối là mặt trượt, mặt giữa các mảnh là
thẳng đứng, điều kiện trượt chỉ thỏa mãn trên mặt đáy của mỗi mảnh (khối).
Tuy nhiên, theo lời giải của Sokolovsky [8] thì khi đạt đến trạng thái giới hạn, trong lăng
thể trượt xuất hiện hai họ đường trượt xiên góc với nhau. Nếu quan niệm như các phương pháp
cân bằng giới hạn thông thường thì ta mới chỉ xét được một họ đường trượt mà thôi. Để khắc
phục nhược điểm này, Enoki [9] và các tác giả đã đề đưa ra phương pháp cân bằng giới hạn
tổng quát (Generalized Limit Equilibrium Method - GLEM). Theo phương pháp này, lăng thể
trượt được rời rạc hóa thành các khối con, trong đó mặt đáy của các khối con là các mặt trượt,
đồng thời mặt giữa của các khối cũng là mặt trượt. Điều đó có nghĩa là điều kiện trượt thỏa mãn
trên cả mặt đáy và mặt giữa các khối, tức cả hai họ đường trượt đã được xét đến. Do mặt trượt
chính được hình thành từ mặt đáy của các khối con nên mặt trượt có thể có dạng cong tổng quát
chứ không nhất thiết phải là phẳng hay trụ tròn. Do đó, ít nhiều phương pháp GLEM cho thấy
những ưu điểm nhất định so với các phương pháp cân bằng giới hạn khác.
CT 1
II. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP GLEM
2.1. Giả thiết
1
Hi
Vi
Ti Ni
Vi+1 Hi+1
n
3
i
2
1
H
1
V1
Hn+1
Vn+1
2
3
i
i+1
n
mÆt ph¼ng ®¸y
mÆt ph¼ng gi÷a khèi
mÆt truît chÝnh
n+1
Hình 1. Hệ thống khối trượt trong GLEM
Trong GLEM, đất
được xem như vật liệu
cứng dẻo lý tưởng, khi
biến dạng trượt xuất hiện
coi như các khối trượt
tịnh tiến tương đối với
nhau. Với mục đích đơn
giản hoá bài toán, không
xét tới nước ngầm và biến
đổi thể tích của đất.
2.2. Sơ đồ tính mái
dốc trong GLEM
Hình 1 biểu diễn sơ
đồ tính mái dốc theo GLEM, ở đó lăng thể trượt được chia thành nhiều khối nhỏ hình tam giác
hoặc tứ giác. Mặt đáy các khối, mặt phẳng giữa các khối là các mặt phẳng, đó cũng chính là các
mặt trượt. Khi đạt đến trạng thái giới hạn, biến dạng trượt xảy ra dọc theo các mặt trượt. Như
vậy, điều kiện trượt không chỉ thoả mãn trên mặt đáy khối mà còn trên cả mặt phẳng giữa các
khối. Mặt trượt chính hình thành từ các mặt đáy các khối, đó là một đường gẫy khúc mô tả gần
đúng một mặt trượt cong bất kỳ, không nhất thiết phải giả thiết mặt trượt là mặt trụ tròn hay mặt
phẳng. Các phương trình cơ bản, ẩn số, phương pháp giải sẽ được trình bày trong phần sau.
2.3. Đặc điểm của GLEM
Từ mô hình tính trong hình 1, có thể thấy là một khối trượt trong GLEM có thể coi là tổ
hợp của nhiều phân tố nhỏ trong phương pháp đường trượt (Slip Line Method - SLM). Như vậy
có thể nói phương pháp GLEM cho phép xác định được gần đúng kết quả của phương pháp
SLM.
III. ỨNG DỤNG GLEM TÍNH ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG SẮT
3.1. Xác định tải trọng tác dụng trên đỉnh nền đường sắt
Chiều rộng băng tải tải trọng đoàn tàu tác dụng trên mặt đỉnh nền đường L0 bằng chiều dài
khuếch tán ứng suất 450 của tà vẹt trên mặt nền đường.
L0 = LTV + 2h (1)
TCT1
với h là chiều dày lớp đá balat.
Cường độ băng tải tải trọng
đoàn tàu bằng ứng suất động trên
mặt đỉnh nền đường:
pd = σh (2)
Chiều rộng tác dụng của băng
tải kết cấu tầng trên trên mặt nền
đường có thể lấy bằng chiều rộng
trung bình của lớp đá ba lát hoặc lấy
bằng chiều rộng phân bố hoạt tải L0, ở đây tác giả chọn lấy bằng L0.
L =L +2h
45
h0
L
p=p +p
450
tv
o
dk
tv
Po
Po
P =p.Lo
Lo
Hình 2. Sơ đồ quy đổi tải trọng đoàn tàu và kết cấu tầng trên
Cường độ băng tải tải trọng kết cấu tầng trên bao gồm ray, tà vẹt và lớp đá balát:
p
k = 2Pray/L0 + Ptà vẹt/L0 + Pđá = 2Pray/L0 + mtàvẹtntàvẹt/L0 + γđáhđá (3)
Tổng cường độ băng tải tác dụng trên chiều rộng mặt đỉnh nền đường l0 là:
p = p
d + pk (4)
Lực tổng hợp tác dụng trên đỉnh nền đường là:
P = pL
0 = (pd + pk)L0 (5)
Chú ý là tuỳ thuộc vào điểm bắt đầu mặt trượt tiềm tạng trên mặt nền đường mà ta có thể
lấy trị số của lực tập trung lớn nhất là P hoặc có thể nhỏ hơn.
3.2. Các phương trình cơ bản
Sơ đồ khối trượt, đánh số khối, nút, các ký hiệu hình học của các khối và sơ đồ lực tác
dụng trên khối thứ i được thể hiện trên hình 3.
Các phương trình cơ bản của khối thứ i:
<Phương trình cân bằng theo phương pháp tuyến với mặt phẳng đáy khối>
Hicos(θi - βi) – Vi sin(θi - βi) - Hi+1cos(θi+1 - βi) + Vi+1sin(θi+1 - βi) + Mig cosβi – Ni = 0 (6)
<Phương trình cân bằng theo phương tiếp tuyến với mặt phẳng đáy khối>
-Hisin(θi - βi) – Vi cos(θi - βi) + Hi+1sin(θi+1- βi) + Vi+1cos(θi+1 - βi) + Migsinβi – Ti = 0 (7)
<Điều kiện trượt>
- Trên mặt phẳng đáy khối thứ i:
T
i = (Ni tgφ + cSi)/Fs (8)
- Trên mặt phẳng giữa khối thứ i:
V
i = (Hi tgφ + cRi)/Fsi (9)
Trong đó c, φ là lực dính và góc ma sát trong của đất.
R1
R2
Ri
Ri+1
Rn
Rn+1
S1 S2
Si
Si+1
Sn
θ
θ
θ
i
i+1
n
θ2
Pn+1
P
n
Pi+1
Pi
P
1 P
2
P
H
1
V1
Vi+1 Hi+1
Ti Ni
Hi
Vi
βi+1
βn
β2
βi
12
i
n
Hi
Vi Ti Ni
Vi+1 Hi+1
M g
i
βi
θi+1
θi
Pi
Pi+1
θ
θ
i
i+1
Ri+1
Ri
Si
θi
βi+1
θi+1
(b)
(a)
Hình 3. Sơ đồ hình học của hệ khối và các lực tác dụng trên khối thứ i
CT 1
3.3. Số phương trình và số ẩn
Đối với bài toán mái dốc trong hình 3, lực pháp tuyến và tiếp tuyến trên mặt phẳng giữa
khối đầu tiên (H1 và V1) được đưa vào như tải trọng ngoài, lực pháp tuyến trên mặt phẳng giữa
khối thứ n+1 (Hn+1 = P) và giả định không có lực tiếp tuyến trên mặt phẳng giữa khối thứ n+1
(Vn+1 = 0), hệ số an toàn mặt phẳng giữa khối, Fsi, và hệ số an toàn mặt phẳng đáy, Fs, cần phải
tìm (ẩn số).
Bảng 1. Số phương trình và số ẩn (số khối là n)
Phương trình Ẩn số
Phương trình cân bằng
- Theo phương Ni
- Theo phương Ti
n
n
Lực trên mặt phẳng đáy
- Lực pháp tuyến Ni
- Lực tiếp tuyến Ti
n
n
Điều kiện trượt
- Trên mặt phẳng đáy khối
- Trên mặt phẳng giữa khối
n
n-1
Lực trên mặt phẳng giữa khối
- Lực pháp tuyến Hi
- Lực tiếp tuyến Vi
n-1
n-1
Hệ số an toàn
- Trên mặt phẳng đáy khối, Fs
- Trên mặt phẳng giữa khối, Fsi
1
n-1
Tổng cộng 4n-1 5n-2
Bảng 1 cho thấy số phương trình là (4n-1) và số ẩn là (5n-2). Khi đó (n-1) phương trình
phải được đưa vào để mà số phương trình bằng với số ẩn. Trong phương pháp đề nghị này, n-1
hệ số an toàn trên mặt phẳng giữa khối, Fsi, phải được giả định với một trong hai trường hợp
sau:
i. Tất cả hệ số an toàn Fsi được giả định bằng ∞, điều này có nghĩa là phá hoại trượt không
xảy ra trên mặt phẳng giữa khối mà chỉ trên mặt trượt chính (mặt phẳng đáy khối), lúc đó Fs =
Fsmin. Đây chính là điểm giống với phương pháp cân bằng giới hạn truyền thống
ii. Tất cả hệ số an toàn Fsi được giả định bằng với hệ số an toàn chung Fs, điều này có
nghĩa là phá hoại trượt có khả năng xảy ra ở cả trên mặt phẳng giữa khối và mặt phẳng trượt
chính, lúc đó Fsi = Fs = Fsmed.
Vì vậy bài toán bây giờ là tìm hệ số an toàn, Fs, dưới điều kiện hệ số an toàn trên mặt
phẳng giữa khối, Fsi, được giả định. Hệ số an toàn xác định trên mặt phẳng giữa khối bị giới hạn
trong khoảng giá trị từ Fs đến ∞, khi đó hệ số an toàn chung của hệ khối bị giới hạn trong
khoảng giá trị từ Fsmed đến Fsmin.
3.4. Tối ưu hóa hệ số an toàn xác định mặt trượt nguy hiểm
Toàn bộ phần tính toán ở trên là cho một mặt trượt nào đó. Mặt trượt nguy hiểm nhất là
mặt trượt tương ứng với hệ số an toàn nhỏ nhất. Bài toán tối ưu hoá hệ số an toàn xác định mặt
trượt nguy hiểm được thực hiện bằng phương pháp Newton kết hợp với phương pháp sai phân
hữu hạn. Bài toán tối ưu hoá được giải quyết bằng chương trình trên máy tính.
3.5. Tìm mặt trượt nguy hiểm nhất
Vẽ đồ thị Fsmin – X (hình 5) sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị hệ số an toàn
nhỏ nhất, minFsmin, điểm bắt đầu mặt trượt nguy hiểm nhất có toạ độ (Xc,Yc).
TCT1
IV. VÍ DỤ TÍNH TOÁN
4.1. So sánh kết quả của GLEM với các phương pháp cân bằng giới hạn khác
Fsmin Fsmin
m Æt tr−ît nguy hiÓm nhÊt
minFsmin t¹i ®iÓm cã
m Æt tr−ît cho Fsm in
t¹i ®iÓm cã täa ®é X
trªn m Æt m ai d oc
Xn+1
Xc
täa ® é X
O
n+1
n+1
(a)
(c)
X
P
ξ
ξL
X
Y
O
X
Y
O
L
ξ=1
X
Y
O
L
P
P
ξ
ξ<1
ξ
(b)
Hình 5. Quá trình tìm hệ số an toàn nhỏ nhất và mặt trượt nguy hiểm nhất
Việc so sánh giữa hệ số an toàn thu được từ GLEM và hệ số an toàn thu được từ phương
pháp Fellenius, Bishop, Janbu, Morgenstern - Price được thực hiện [3]. Hình 5 cho thấy mặt
trượt tròn hầu như nằm ở giữa mặt trượt tương ứng với Fsmed và mặt trượt tương ứng với
Fsmin. Hệ số an toàn thu được từ GLEM và hệ số an toàn thu được từ các phương pháp có trước
nêu trong bảng 2. Kết quả chỉ ra rằng phương pháp Fellenius đưa ra hệ số an toàn trong phạm vi