Nội suy tuyến tính mờ dựa trên tổ hợp lồi của độ đo tính mờ của giá trị ngôn ngữ

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 27, 2005<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> NỘI SUY TUYẾN TÍNH MỜ DỰA TRÊN <br /> TỔ HỢP LỒI CỦA ĐỘ ĐO TÍNH MỜ CỦA GIÁ TRỊ NGÔN NGỮ<br /> Nguyễn Quang Thuận<br /> Học viện ngân hàng,Phân viện Ngân Hàng Phú Yên <br />  Nguyễn Thế Dũng<br /> Trường ĐH Sư phạm, Đại học Huế<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> I. Mở đầu:<br /> Xét bài toán mô hình mờ  (M) bao gồm các luật If ... then... đơn biến, đa điều <br /> kiện A1B1<br /> ... (M)<br /> AnBn<br /> Cho A* tính B*<br /> với các Ai, Bi và A*, B* các tập mờ. Các phương pháp sử  dụng luật hợp thành <br /> (CRI) của Mamdani, Sugeno... chỉ phù hợp khi tập luật không là tập luật thưa (sparse  <br /> rules base) [9][7]. Các phương pháp nội suy mờ  được đề  xuất để  giải bài toán nói <br /> trên trong trường hợp ấy.<br /> Lần đầu tiên phương pháp nội suy mờ  được đề  xuất bởi Koczy và Hirota [6],  <br /> sau đó, phương pháp được nhiều tác giả  phát triển như ([4] [1] [3] [8][9]...) Phương  <br /> pháp nội suy tuyến tính mờ dựa trên đại số gia tử (ĐSGT) cũng được phát triển [12]<br /> [13][1]... Trong [9] các tác giả phát triển phương pháp nội suy tuyến tính mờ dựa trên  <br /> tổ hợp lồi của các khoảng, trong trường hợp A i, Bi, A* là các khoảng, sau đó sử dụng <br /> phép xấp xỉ 1 tập mờ A bởi một tập các lát cắt  :  A  A   để giải quyết bài toán <br /> [ 0,1]<br /> <br /> trong trường hợp Ai, Bi, A  là các tập mờ lồi chuẩn.<br /> *<br /> <br /> Trong [1] tác giả  đưa ra phương pháp nội suy tuyến tính cho bài toán (M) khi <br /> các Ai, Bi, A* được xét trên các đại số gia tử đối xứng. Ở đó, các  Ai, Bi, A* được định <br /> lượng nhờ  ánh xạ  lượng hóa ngữ  nghĩa     trên đại số  gia tử  [3]. Sau đó, áp dụng <br /> phương pháp nội suy tuyến tính trong phương pháp tính mà ta thường gặp.<br /> Trong [3] đã định nghĩa khái niệm độ đo tính mờ (fuzziness measure) của giá trị <br /> ngôn ngữ: fm(A) với A là một giá trị ngôn ngữ. Ta có fm(A) là một đoạn con trên đoạn <br /> [0,1].<br /> 1<br />  Dựa trên phương pháp nội suy tuyến tính mờ dựa trên tổ hợp lồi của các đoạn  <br /> trong [9], trong bài này chúng tôi đề  nghị  một phương pháp nội suy tuyến tính dựa  <br /> trên tổ hợp lồi của độ đo tính mờ  khi xét Ai, Bi, A* trên các đại số gia tử đối xứng. <br /> Khi đó với phương pháp này chúng ta không phải qua bước xấp xỉ tập mờ bằng các <br /> lát cắt   và bước khử mờ từ tập các lát cắt   khi tính B* theo phương pháp trong [9]. <br /> Các phân tích so sánh với phương pháp trong [1] cũng sẽ được đề cập, mối liên <br /> hệ giữa phương pháp được nêu trong bài với phương pháp CRI cũng được bàn đến.<br /> Trong phần II tiếp theo chúng tôi trình bày phương pháp nội suy tuyến tính như <br /> đã nói, phần III sẽ là phần trình bày các so sánh với các phương pháp nói trên và các  <br /> kết luận được nêu.<br /> II. Phương pháp nội suy tuyến tính dựa trên tổ hợp lồi của độ đo tính mờ <br /> của các giá trị ngôn ngữ:<br /> Khi giải bài toán (M) bằng phương pháp nội suy tuyến tính, chúng ta thường  <br /> dẫn về  bài toán nội suy tuyến tính trên 2 luật có dữ  kiện (antecedent) gần với giả <br /> thiết nhất, không mất tính tổng quát có thể giả sử xét bài toán sau:<br /> A0B0<br /> A1B1<br /> Cho  giả   thiết   X=A*,  A0 A* A1,  cần   tính   Y=B*  theo   phương   pháp   nội   suy <br /> tuyến tính. <br /> Với A0, A1, A* là các giá trị  ngôn ngữ  xét trên một đại số  gia tử  đối xứng H1,  <br /> tương tự  B0, B1, B* là các giá trị  ngôn ngữ  xét trên một đại số  gia tử  đối xứng H2  <br /> khác. <br /> Ai(i=0,1) và A* có bán kính mờ của nó, tương ứng là: fm(Ai) và fm(A*), với Bi ta <br /> có các bán kính mờ fm(Bi).<br /> Ta có: A A'B B' và A A'B B' là các luật có  thể   được dẫn xuất từ <br /> K={AB và A'B'}. <br /> Với t [0,1] xét At=tA1  + (1­t)A0 và Bt=tB1 + (1­t)B0, khi đó At Bt là một luật <br /> mới dẫn xuất từ  K. Đặt L={At Bt, với t [0,1]}.<br /> Như  vậy nếu A* là hợp hay giao của các At hoặc là một trong các At ta sẽ  thu <br /> được B* cũng là hợp hay giao của các Bt hay chính bằng Bt trong trường hợp A*=At.<br /> Với A là một giá trị  ngôn ngữ  trên một ĐSGT đối xứng, kí hiệu bán kính mờ <br /> fm(A)=[ a, a ].<br /> * *<br /> Xét  t (a a 0 ) /( a 1 a 0 )  và  t (a a 0 ) /( a 1 a 0 ) . <br /> Mệnh đề 2.1:<br /> Xảy ra 3 trường hợp sau:<br /> a)  t [0,1]: fm(A*)=fm(At)<br /> b)  t [0,1]: fm(At) fm(A*)<br /> c)  t [0,1]: fm(A*) fm(At)<br /> <br /> 2<br />  Chứng minh:<br /> Nếu  t t =t , khi đó  fm(At)=fm(A*)<br /> Nếu  t t , khi đó  fm( At ) fm( A* ) và  fm( At ) fm( A* )<br /> *<br /> Nếu  t t , khi đó  fm( A ) fm( At )  và  fm( A* ) fm( At ) .<br /> Với trường hợp a) của mệnh đề 2.1, ta được fm(B ) = fm(Bt). *<br /> <br /> <br /> Với trường hợp b) của mệnh đề  2.1, đặt   S max {t 0,1 | fm( At ) fm( A* )} , <br /> khi đó  t S max fm( At ) fm( A* )  và do đó:  t S max fm( Bt ) fm( B * ) .<br /> Với trường hợp b) của mệnh đề  2.1, đặt   S min {t 0,1 | fm( A* ) fm( At )} , <br /> * *<br /> khi đó  t S min fm( At ) fm( A ) và do đó:  t S min fm( Bt ) fm( B ) .<br /> Mệnh đề 2.2:<br /> t,t': fm(At) fm(At')  nhưng fm(Bt) fm(Bt') =  . <br /> Tức trong trường hợp c) của mệnh đề 2.1 có thể xảy ra trường hợp fm(A *)<br /> nhưng fm(B*) =  .<br /> Chứng minh:<br /> Xét các điểm sau trong mặt phẳng   M (a 0 , b 0 ) , N ( a 1 , b1 ) , P( a 0 , b 0 ) , Q(a 1 , b1 ) . <br /> Nếu   v [a 0 , a 1 ] : MN (v) PQ(v )   với MN, PQ tương  ứng là phương trình đường <br /> thẳng   đi   qua   M,N   và   P,Q.   Với   fm(A*)={v} ,   khi   đó   fm( Bt ) [ MN (v), b t ]   và <br /> fm( Bt ) [b t , PQ(v)] , do đó  fm( B * ) fm( Bt ) fm( Bt ) . Ở đây  t t, t t .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 1<br /> <br /> Ta   sẽ   gọi   AtBt  và   At'Bt'  trong   mệnh   đề   2.3   là   không   tương   thích  <br /> (incoherent). <br /> Mệnh đề 2.3:<br /> *<br /> Trong các trường hợp b) và c) của mệnh đề  2.1,   fm( B * ) [b * , b ] được tính <br /> theo công thức sau:<br /> * b1 b 0 * a1 b 0 a 0 b1 * b1 b0 * a1 b 0 a 0 b1<br /> b a  và  b a   (*)<br /> a1 a 0 a1 a0 a1 a0 a1 a0<br /> Chứng minh:<br /> <br /> <br /> 3<br />  *<br /> Trong cả  2 trường hợp b) c) của mệnh đề  2.1, thì  b b t và  b *b t  mà  b t và <br /> b t  được tính theo công thức trên dựa vào công thức nội suy tuyến tính .<br /> Lưu ý:  Theo mệnh đề  2.2 thì trong trường hợp c) của mệnh đề  2.1, đôi khi  <br /> fm(B ) tính theo công thức (*) là chưa hẳn đã tồn tại.<br /> *<br /> <br /> Với công thức (*) ở mệnh đề 2.3, chúng ta có thể tính được bán kính mờ của B * <br /> trong bài toán (M) nói trên. Từ  bán kính mờ fm(B*) có thể xác định  (B*) như sau:<br /> Có thể có 2 giá trị của  (B*) đó là 2 điểm chia bán kính mờ fm(B*) theo tỉ lệ  :<br /> hay  : . Trong trường hợp  = , ta có 1 giá trị  (B*). Trong thực hành tính toán có thể <br /> lấy điểm giữa của fm(B*) làm giá trị   (B*), từ đó tính được giá trị ngôn ngữ và giá trị <br /> vật lý của B*.<br /> Ví dụ:<br /> Xét bài toán sau:<br /> Nếu quả cà chua rất xanh thì rất dở<br /> Nếu quả cà chua khá đỏ thì ít ngon<br /> Cho quả cà chua ít đỏ thì ?<br /> Mô hình hóa toán học ta có bài toán sau:<br /> A0B0<br /> A1B1<br /> Cho A  cần tính B*<br /> *<br /> <br /> Với A0,A1  lần lượt là "rất xanh", "khá đỏ" và B0,B1  lần lượt là "rất dở", "ít <br /> ngon" còn A* là "ít đỏ". <br /> Xét A0,A1 ở trên đại số gia tử H1= với G={xanh, đỏ}. H=H+ H­ với <br /> H­={Less,   Possible}   và   H+={More,   Very}.   Xét   B0,   B1  ở   trên   đại   số   gia   tử <br /> H2= với G={dở, ngon}. Trong cả  H1, H2 thì H=H+ H­  với H­={Less, <br /> Possible} và H+={More, Very}.  (Less)=  (Posible)=  (More)=  (Very)= 0.25. Từ đây <br /> ta   có   = =1/2   và   fm(A0)=[0,0.125],   fm(A1)=[0.625,0.75]   và     fm(B0)=[0,0.125], <br /> fm(B1)=[0.5,0.625] còn fm(A*)=[0.5,0.625].<br /> Sử dụng cách tính trong bài ở mệnh đề 2.1, 2.2, 2.3 ta có fm(B*) = [0.4,0.525].<br /> Sử dụng cách tính B* nói trên, với giả sử  = =1/2 ta có B* là "rất ít dở".<br /> Kết quả này cũng phù hợp với thực tiễn: "Quả cà chua ít đỏ thì rất ít dở".<br /> III. Kết luận:<br /> Như  vậy trong phần trên chúng ta đã đưa ra được một phương pháp nội suy  <br /> tuyến tính mờ, vấn  đề   đặt ra là so sánh với  các phương pháp khác và đánh giá  <br /> phương pháp đưa ra. <br /> III.1. Liên hệ phương pháp nêu trong bài với phương pháp CRI.<br /> Xét L={AtBt |t [0,1]} là tập luật như  đã nói  ở  phần trên. Nhắc lại At=tA1  + <br /> (1­t)A0 và Bt=tB1 + (1­t)B0, khi đó At Bt là một luật mới dẫn xuất từ   K. Nếu xét <br /> một luật mờ AB là một điểm mờ (A,B) trong không gian UxV với U là không gian  <br /> <br /> 4<br /> vũ trụ của A và V là không gian vũ trụ của B. Theo phương pháp CRI, ta thấy A B <br /> tạo thành 1 quan hệ 2 ngôi trên UxV, với cách nhìn AB là một điểm mờ trên UxV <br /> thì tập L nói trên sẽ tương ứng với tổ hợp lồi của (A0,B0) và (A1,B1).<br /> <br /> <br /> <br /> <br />                      Hình 2 Hình 3<br /> Hình 2 ­ 1 luật AB được xem như  một điểm mờ  với cách nhìn của phương <br /> pháp CRI.<br /> Hình 3 ­ 1 luật AB được xem như  một điểm mờ  với cách nhìn của phương <br /> pháp nêu trong bài.<br /> Quan hệ 2 ngôi theo cách hiểu nói trên sẽ là phần được tô xám trong hình 1 và  <br /> hình 2. Rõ ràng theo phương pháp mới thì quan hệ  2 ngôi (A,B) được tính theo cách <br /> tính này là chặt chẽ  hơn theo cách tính của phương pháp của CRI. Nên sai số  tính  <br /> toán sẽ nhỏ hơn.<br /> Với 2 đoạn thẳng MN và PQ nói trong mệnh đề  2.2 (xem hình 2) thì kết quả <br /> tính toán theo phương pháp trong bài sẽ là quan hệ { t At Bt | At Bt L }. <br /> Ta   có:   B*=A*o   { t At Bt | At Bt L }   với   o   là   phép   hợp   thành   trong <br /> phương pháp CRI.<br /> III.2. Một số so sánh phương pháp nêu trong bài và một số phương pháp nội suy  <br /> tuyến tính mờ đã có.<br /> a) So sánh với phương pháp nội suy tuyến tính mờ trong [9]:<br /> Phương pháp nội suy tuyến tính mờ trong [9] phải qua bước xấp xỉ A* bởi tập <br /> các lát cắt (tập mức) A  của nó, sau đó qua bước khử mờ để có được B*. Nhưng với <br /> phương pháp được nêu trong bài, chúng ta không phải trải qua các bước tính này. <br /> b) So sánh với phương pháp nội suy tuyến tính mờ dựa trên đại số gia tử trong <br /> [1]:<br /> Với A là một giá trị  ngôn ngữ  trên H1, H2 khi fm(A) thu về  1 điểm  (A) tức <br /> *<br /> ( A) a a , thì từ (*) ta có   b * b ( B * )  và đây chính là kết quả tính theo công <br /> thức nội suy tuyến tính trong [1].<br /> Tuy vậy, với cách tính trong bài, chúng ta đã làm sáng tỏ  được mối quan hệ <br /> giữa nội suy tuyến tính mờ và phương pháp CRI. Hơn nữa, cách tính của chúng ta chỉ <br /> 5<br /> ra được khoảng sai số cho phép của giá trị  cần tính, đây cũng là điều cần thiết vẫn  <br /> thường gặp trong kỹ thuật.<br /> Vấn đề còn lại được đặt ra ở đây là tính toán chính xác giá trị B* từ độ  đo tính <br /> mờ fm(B*). Vấn đề có liên quan đến cấu trúc ĐSGT, cũng như sai số mô hình, sai số <br /> tính toán. Đây là một vấn đề khá thú vị trên đại số gia tử và là hướng phát triển tiếp  <br /> theo của bài báo.<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> 1. Nguyễn Hải Châu.  Nghiên cứu điều khiển tương tranh trên mạng máy tính, <br /> Luận án Tiến sỹ Toán, Hà Nội (1999).<br /> 2. D. Tikk, P. Baranyi.  Comprehensive analysis of a new fuzzy rule interpolation  <br /> method, IEE Trans on Fuzzy systems Vol.8 No. 3 (2000) 281­296.<br /> 3. Nguyễn Cát Hồ, Trần Thái Sơn, Trần Đình Khang, Lê Xuân Việt.  Fuzziness  <br /> Measure,   Quantified   Semantic   Mapping   and   Interpolative   Method   of  <br /> Approximate Reasoning in Medical Expert Systems, Tạp chí Tin học và Điều <br /> khiển học, T.18, S.3 (2002) 237­252.<br /> 4. Trần Đình Khang. Một phương pháp giải bài toán suy diễn mờ tổng quát thông  <br /> qua nội suy mờ và tích hợp mờ, Tạp chí Tin học và Điều khiển học T16, Vol4,  <br /> (2000).<br /> 5. Kok Wai Wong, T.D. Gedeon, D.Tikk.  An improved multidimensional alpha ­  <br /> cut based fuzzy interpolation technique, Proc of the Proceeding of Int. Conf. on  <br /> Artificial   Intelligence   in   Scince   and   Technology  (AISAT   2000),   Hobart, <br /> Tasmania, Australia 17­20, December (2000) 33­38.<br /> 6. L.T. Hoczy and K. Hirota.  Approximate reasoning by linear rule interpolation  <br /> and general approximation, Int. J. Approx. Reason, Vol 9 (1993) 197­225. <br /> 7. L.T. Koczy and K. Hirota.  Interpolative reasoning with insufficient evidence in  <br /> sparse fuzzy rules bases, Inform. Sci. 71(1993)169­201. <br /> 8. M.Mizumoto. Improvement methods of fuzzy controls, 3rd  IFSA Congr, Seatle, <br /> (1989) 60­62. <br /> 9. Ugheto   L,   Dubois   D,   Prade   H.  Fuzzy   interpolation   by   convex   completion   of  <br /> sparse rule bases, Proc. 9th IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems (FUZZ­IEEE'00), <br /> San Antonio (Texas), May 7­10 (2000) 465­470. <br /> 10. W.H.   Hsiao,  S.M.   Chen,   C.H.   Lee.  A  new  interpolative   reasoning method  in  <br /> sparse rule ­ based systems, Volume 93,  Number 1, January 1(1998)<br /> <br /> <br /> 6<br />  11. Z. Cao, A. Kandel. Applicability of some fuzzy implication operators, Fuzzy Sets <br /> and Systems, 31 (1989) 151­186.<br /> 12. Nguyễn Thế Dũng. Một phương pháp nội suy giải bài toán mô hình mờ trên cơ  <br /> sở đại số gia tử, Báo cáo Hội nghị Tin học Toàn quốc (2004).<br /> 13. Nguyễn Thế  Dũng. Một phương pháp giải bài toán mô hình mờ  dựa trên đại  <br /> số gia tử và toán tử LOWA, Báo cáo Hội nghị Khoa học Trường ĐHQG Hà Nội  <br /> (2004).<br /> TÓM TẮT<br /> Trong bài báo này một cách nhìn mới về nội suy tuyến tính được đưa ra, mối liên hệ  <br /> giữa phương pháp được nêu với phương pháp lập luận sử  dụng luật hợp thành cũng được  <br /> bàn đến. Các so sánh phương pháp được nêu với một số  phương pháp nội suy tuyến tính  <br /> tương tự cũng được đề cập.<br /> <br /> OPAQUE LINEAR INTERPOLATION BASED ON THECONVEX COMPLEX<br /> USED TO MEASURE THE OPAQUE DEGREE OF LINGUISTIC VALUE <br /> Nguyen Quang Thuan<br /> Phu Yen Banking Institute<br />  Nguyen The Dung<br /> College of Pedagogy, Hue University<br /> SUMMARY<br /> In this paper, we introduce a new idea about linear interpolation; some of relation on  <br /> new method in this paper and inference method based on composition rule is deal. Some of the  <br /> comparisons about the new method and concerned linear interpolation are also presented.<br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 7<br />