Ôn tập Cơ học lượng tử

Chia sẻ: Xuan Thuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

234
lượt xem 77
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Học phần cơ học lượng tử nâng cao là môn học bắt buộc đối với học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý và chuyên ngành Vật lý Lý thuyết-Vật lý Toán, nó nhằm bổ sung và nâng cao một số kiến thức cơ học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Cơ học lượng tử

ÔN T P CƠ H C LƯ NG T §1. Hàm sóng a.Tiên ñ : Tr ng thái c a h t vi mô ñư c mô t b ng m t hàm Ψ (r , t ) nói chung là ph c ñư c g i là hàm sóng. b. Ý nghĩa V t lý : ð i lư ng | Ψ (r , t ) |2 dV cho ta xác su t tìm th y h t trong y u t th tích dV bao quanh ñi m r vào th i ñi m t . ð i lư ng : ρ(r , t ) =| Ψ (r , t ) |2 ñư c g i là m t ñ xác su t. c. ði u ki n chu n hoá : Xác su t tìm th y h t trong th tích V h u h n b ng P(V , t ) = ∫ | Ψ (r , t ) |2 dV . N u mi n l y tích phân m r ng ra toàn không gian (V → ∞) thì giá tr c a V tích phân tương ng s là xác su t tìm th y h t trong toàn không gian và ph i b ng 1 (bi n c ch c ch n). Do ñó : ∫ | Ψ (r , t ) |2 dV = 1 (ñi u ki n chu n hoá). ∞ trong các tr ng thái ñư c mô t b i các hàm sóng Ψ1 và Ψ 2 thì d. Nguyên lý ch ng ch t. N u h h cũng có th trong tr ng thái mô t b i hàm sóng c1Ψ1 + c2 Ψ 2 (c1 , c2 : const ) . H qu : Các phương trình mà hàm sóng tho mãn ph i là các phương trình tuy n tính. §2. Toán t . a. ð nh nghĩa : Toán t là m t phép toán khi tác d ng lên m t hàm nào ñó trong không gian hàm ñã cho s cho ta m t hàm khác cũng thu c không gian hàm ñó. ˆˆ ˆ ˆ b. Các phép toán trên toán t : + T ng : ( A + B)ψ = Aψ + Bψ . + Tích : ( AB )ψ = A( Bψ) . Nói chung AB ≠ BA . ð i lư ng  A, B  = AB − BA ñư c g i là giao hoán t ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ   ˆ ˆ c a A và B . ˆ c. Phương trình tr riêng c a toán t : N u F ψ(q) = f ψ(q ) (1) ( f : const ) thì ψ (q ) ñư c g i là ˆ ˆ hàm riêng c a toán t F ng v i tr riêng f còn (1) là phương trình tr riêng c a F . ˆ d. Toán t tuy n tính. Toán t F ñư c g i là toán t tuy n tính n u :   F (c1ψ1 + c2 ψ 2 ) = c1F ψ1 + c2 F ψ 2 ( (c1 , c2 : const ) hay t ng quát F ∑ cn ψ n  = ∑ cn F ψ n (cn : const ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   n   n e. Toán t hermite ( toán t t liên h p). ˆ ˆ F , ký hi u F * là m t toán t , + Toán t liên h p ph c : Toán t liên h p ph c v i toán t ˆ ˆ ˆ ˆ sao cho : n u F ψ = ϕ thì F *ψ* = ϕ* , do ñó : ( F ψ)* = F *ψ* . ɶ ˆ ˆ + Toán t chuy n v : Toán t chuy n v c a toán t F , ký hi u F là m t toán t sao cho : ɶ ɶɶ ∫ ψ1 F ψ 2 dq = ∫ ψ 2 F ψ1dq . Khi ñó, ta có : AB = BA ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ liên h p hermite v i toán t F , ký hi u F + là m t toán t , sao cho : ˆ ˆ + Toán t ɶ ∫ψF ψ 2 dq = ∫ + ˆ ˆ* ψ 2 F *ψ1 dq , như th ta có th vi t m t cách hình th c : F + = F * ˆ ˆ * 1 ˆ + Toán t hermite (toán t t liên h p) : Toán t F ñư c g i là toán t hermite hay toán t t liên h p n u tho mãn h th c : ∫ ψ1 F ψ 2 dq = ∫ ψ 2 F *ψ1 dq , khi ñó ta có th vi t F = F + *ˆ ˆ* ˆˆ f. Các tính ch t c a toán t hermite. Tr riêng c a toán t hermite là th c . ˆ ng v i hàm riêng ψ n . Khi ñó ta Ch ng minh : Gi s f n là tr riêng c a toán t hermite F có : F ψ n = f n ψ n ⇒ ∫ ψ* F ψ n dq = f n ∫ ψ* ψ n dq (1) . L y liên h p ph c hai v bi u th c (1) ta ñư c ˆ ˆ n n 1
∫ ψ F ψ dq = f ∫ ψ ψ dq ∫ ψ F ψ dq = ∫ ψ F ψ dq ˆ ˆ ˆ ˆ * * * * * * * (2) . Do F là toán t hermite nên (3) T n n n n n n n n n (1),(2) và (3) suy ra : f ∫ ψ ψ n dq = f n* ∫ ψ* ψ n dq ⇒ f n = f n* ,hay f n là th c . * n m m Các hàm riêng c a toán t hermite là tr c giao v i nhau. Ch ng mính : Gi s ψ n và ψ m là các hàm riêng c a toán t hàm riêng F ng v i các tr ˆ ˆ ˆ riêng f n và f m . Khi ñó ta có : F ψ n = f n ψn (1) và F *ψ* = f m ψ* (2) ( do f m là th c) . m m ∫ψ F ψ n dq = f n ∫ ψ* ψ n dq (3) . T (2) suy ra ∫ψFψ dq = f m ∫ ψ* ψ n dq ˆ ˆ * * * T (1) suy ra m n n m m ∫ψ F ψ n dq = ∫ ψ n F *ψ* dq (5). T (3),(4) và (5) ta tìm ñư c : ˆ ˆ ˆ * (4). Vì F là toán t hermite nên m m f n ∫ ψ* ψ n dq = f m ∫ ψ* ψ n dq ⇒ ( f n − f m ) ∫ ψ* ψ n dq = 0 ⇒ ∫ ψ* ψ n dq = 0 (6) khi f n ≠ f m * m m m m ∫ ψ ψ dq = 1(7). Các h N u các hàm riêng ψ n chu n hoá thì * th c (6) và (7) có th vi t n n ∫ψ ψ n dq = δ nm (ñi u ki n tr c chu n) * chung l i dư i d ng m Các hàm riêng c a toán t hermite t o thành m t h ñ . Gi s {ψ n (q )} là h hàm riêng c a m t toán t hermite nào ñó, khi ñó m i hàm ψ(q) b t kỳ ñ u có th khaii tri n thành chu i theo các hàm ψ n (q ) : ψ(q) = ∑ cn ψn (q) , trong ñó các h s cn n ñư c xác ñ nh b i công th c cn = ∫ ψ ( q) ψ( q)dq . * n Tiên ñ : Trong cơ h c lư ng t m i ñ i lư ng v t lý ñư c ñ t ñ i ng v i m t toán t tuy n tính t liên h p sao cho khi ño ñ i lư ng v t lý ta nh n ñư c các giá tr là các giá tr riêng c a toán t ng v i nó. g. M t s toán t c a cơ h c lư ng t . ˆ + Toán t to ñ : r = r ⇔ x = x, y = y, z = z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂ ˆ + Toán t xung lư ng : p = −iℏ∇ ⇔ px = −iℏ , p y = −iℏ , pz = −iℏ ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z ˆˆˆ ˆˆˆ + Toán t moment xung lư ng : L = r × p = −iℏ(r ×∇) = ( L , L , L ) , trong ñó : x y z ∂ ∂ ˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ Lx = ypz − zpy =−iℏ y − z , Ly = zpx − xpz =−iℏz − x  , Lz = xpy − ypx =−iℏ x − y  ˆ      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ∂y  ∂x  ∂z   ∂x  ∂z  ∂y         ˆ2 2 ˆ = p + V (r ) = − ℏ ∆ + V (r ) + Toán t Hamilton : H 2m 2m 3. Giá tr trung bình c a các ñ i lư ng v t lý : Giá tr trung bình c a ñ i lư ng v t lý F trong tr ng thái ñư c mô t b i hàm sóng ψ ñư c xác ñ nh b i công th c : ∫ ψ (q) F ψ(q)dq ( khi ψ chưa chu n hoá) ˆ * F = ∫ ψ ( q) F ˆ ψ( q)dq ( khi ψ chu n hoá) ho c F = * ∫ ψ (q)ψ(q)dq * 4. ði u ki n ñ 2 ñ i lư ng v t lý nh n giá tr xác ñ nh ñ ng th i. ˆ Xét ñ i lư ng v t lý F , gi s khi ño F ta nh n ñư c tr riêng f n . Khi ñó h ph i trong ˆ tr ng thái mô t b i hàm sóng ψ k là hàm riêng c a toán t F : F ψ n = f n ψ n . ˆ 2
G là m t ñ i lư ng v t lý nào ñó c a h , n u trong tr ng thái ψ n ta ño G và nh n Gi s ˆ ñư c giá tr g n thì hàm ψ n cũng ph i là hàm riêng c a toán t G : Gψ n = g n ψ n . ði u này có nghĩa ˆ ˆ ˆ là các toán t F và G có chung hàm riêng . Do ñó ta có th nói : ñi u ki n ñ hai ñ i lư ng v t lý ño ñư c chính xác ñ ng th i là các toán t tương ng v i chúng có hàm riêng chung. ˆ ˆ ð nh lý : ði u ki n c n và ñ ñ hai toán t tuy n tính F và G có hàm riêng chung là chúng giao hoán v i nhau. ˆˆ ˆˆ Ch ng minh : + ði u ki n c n : Gi s F , G có chung hàm riêng , c n ch ng minh F , G giao hoán ˆ ˆ v i nhau. Gi s ψ là hàm riêng chung c a F , G , t c là : F ψ = f ψ , Gψ = g ψ . Khi ñó ta có : ˆˆ n n n n n n n ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( FG)ψn = F (Gψn ) = F ( g n ψn ) = gn F ψn = gn f n ψn ; (GF )ψn = G ( F ψn ) = G( f n ψn ) = f nGψn = f n g n ψn t ñó suy ra FG ψ n = GF ψ n (1) .Gi s Ψ là hàm b t kỳ, khai tri n theo ψ n , ta có : Ψ = ∑ cn ψ n . ˆˆ ˆˆ n ∑ cn FGψ n (2) và (GF )Ψ = ∑ cnGF ψ n (3). T ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ Vì F , G là các toán t tuy n tính nên : ( FG ) Ψ = ˆˆ n n ˆˆ ˆˆ (1),(2) và (3), ta có : ( FG ) Ψ = (GF ) Ψ hay FG = GF . ˆˆ ˆˆ + ði u ki n ñ : Gi s FG = GF , c n ch ng minh F , G có hàm riêng chung. Th t v y, gi s ψ n là ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ hàm riêng c a F : F ψ = f ψ ⇒ GF ψ = f G ψ (4). Do FG = GF nên GF ψ = FG ψ (5). T (4) ˆˆ ˆˆ ˆ n n n n n n n n ˆˆ ˆ ˆ và (5), ta nh n ñư c : F (G ψ n ) = f n (G ψ n ) . ði u này có nghĩa là G ψ n cũng là hàm riêng c a F ng ˆ ˆ v i cùng tr riêng f n và do ñó, n u tr riêng f n không suy bi n thì Gψ n = g n ψ n . ði u này có nghĩa là ψ n cũng là hàm riêng c a G ng v i tr riêng g n . ˆ Tóm l i : ñi u ki n ñ hai ñ i lư ng v t lý có th ño ñư c chính xác ñ ng th i là các toán t tương ng v i chúng ph i giao hoán v i nhau. 5. H th c b t ñ nh Heisenberg. ˆˆ ˆˆ Gi s A, B là các toán t ng v i các ñ i lư ng v t lý A và B . N u A, B không giao hoán v i nhau  ˆ ˆ ˆ ˆ thì  A, B  = iC , trong ñó C là m t toán t hermite. G i A, B là giá tr trung bình c a A, B ; ta ñưa ˆˆ vào các toán t ∆A, ∆B ng v i các ñ i lư ng v t lý ∆A = A − A, ∆B = B − B , khi ñó ta cũng có : ∫  ∆A, ∆B  = iC . Xét b t ñ ng th c hi n nhiên sau : I (α ) = | (α∆A − i∆B )ψ |2 dV ≥ 0 ( ∀α ∈ ℝ ) ˆ ˆ ˆˆ ˆ   (1) . Ta vi t l i (1) dư i d ng : I (α ) = ∫ (α∆A − i∆B )ψ(α∆A* + i∆B* )ψ*dV (2). Vì A, B là các ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ toán t hermite nên ∆A, ∆B cũng là các toán t hermite , do ñó (2) tr thành : { } I (α ) = ∫ ψ* (α∆A + i∆B )(α∆A − i∆B )ψdV = ∫ ψ* α 2∆A2 − iα ∆A, ∆B  + ∆B 2 ψdV . ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ   ∫{ } Vì  ∆A, ∆B  = iC nên ta có th vi t : I (α) = ψ* α 2∆A2 +αC +∆B2 ψdV = α 2 ∆A2 +αC +∆B2 ≥ 0 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ   T ñây ta th y : I (α) là m t tam th c b c 2 theo α có h s c a α 2 là ∆A2 ≥ 0 , nên ñ I (α) ≥ 0 thì (C ) 2 bi t th c c a nó ph i âm, t c là : ( C ) − 4∆A .∆B ≤ 0 hay ∆A .∆B 2 ≥ 2 2 2 2 (3). L y căn hai v c a (3) 4 |C | và ñ t δA = ∆A2 , δB = ∆B 2 , ta ñư c h th c : δA.δB ≥ , h th c này ñư c g i là h th c b t 4 ñ nh Heisenberg. Các ñ i lư ng δA = ∆A2 và δB = ∆B 2 ñư c g i là ñ b t ñ nh c a A và B . 3
§2. Phương trình Schrodinger . 1. Phương trình Schrodinger không ph thu c th i gian. Kh o sát h t chuy n ñ ng trong trư ng th V (r ) và có năng lư ng không ñ i theo th i gian. G i E là năng lư ng c a h và ψ E (r ) là hàm sóng ng v i tr ng thái có năng lư ng E . Như th ψ E (r ) là hàm riêng c a toán t năng lư ng H ˆ ˆ ng v i tr riêng E . Phương trình tr riêng c a H có p2 ℏ2 ˆ ˆ d ng : H ψ E (r ) = E ψ E (r ) (1) . Thay bi u th c H = ˆ + V (r ) = − ∆ + V (r ) vào (1) ta nh n ñư c 2m 2m 2m phương trình : ∆ψ E (r ) + 2 [ E − V (r )] ψ E (r ) = 0 (2). Phương trình này ñư c g i là phương trình ℏ Schrodinger không ph thu c th i gian. N u th năng V = V ( x) , ta có chuy n ñ ng 1 chi u và lúc ñó d 2 ψ ( x ) 2m + 2 [ E − V ( x)] ψ( x) = 0 (3) (2) tr thành : ℏ dx a. Các tính ch t c a chuy n ñ ng 1 chi u : N u th năng V ( x) là m t hàm ch n c a to ñ thì nghi m c a phương trình (3) ph i là m t hàm ho c ch n, ho c l N u th năng V ( x) V(x có ñi m gián ño n h u h n t i x0 thì hàm sóng và ñ o hàm c p 1 c a nó liên t c t i x0 . b. H th 1 chi u vuông góc sâu vô h n. khi | x |< a 0 Xét m t h t chuy n ñ ng trong trư ng th 1 chi u V ( x) có d ng : V ( x) =  . ∞ khi | x |≥ a d 2 ψ ( x ) 2m + 2 [ E − V ( x)] ψ( x) = 0 (1). Phương trình Schrodinger cho h t có d ng : ℏ dx + Trong mi n | x |≥ a : V ( x) = ∞ , h t không th ñi vào mi n này vì không th có năng lư ng b ng vô h n, do ñó hàm sóng ph i tri t tiêu trong mi n này : ψ( x) ≡ 0 (| x |≥ a) d 2ψ 2mE + k 2 ψ = 0 (2) v i : k 2 = 2 > 0 (3) + Trong mi n | x |< a : V ( x) = 0 , phương trình (1) tr thành : 2 ℏ dx Nghi m t ng quát c a (2) có d ng : ψ( x) = A cos kx + B sin kx (4), trong ñó A, B là các h ng s tuỳ ý. Vì th năng V ( x) là hàm ch n c a to ñ nên nghi m (4) ph i là các hàm ch n ho c l c a to ñ . * Các nghi m ch n : Khi ñó ψ( x) = ψ(−x) và t (4) ta tìm ñư c ψ( x ) = A cos kx . T ñi u ki n nπ liên t c c a hàm sóng t i x = a ta có : cos ka = 0 ⇒ k = k n = v i n là các s nguyên l . T ñi u 2a a a 1 ∫ | ψ( x) | ∫ cos dx = 1 ⇔ A kn xdx = 1 ⇒ A2 a = 1, hay A = 2 2 2 ki n chu n hoá, ta có .V y nghi m a −a −a nπx 1 ch n có d ng : ψ n ( x) = (5), trong ñó n là s l . cos 2a a * Các nghi m l : Khi ñó ψ( x ) = −ψ(− x) và t (4) ta tìm ñư c ψ ( x) = B sin kx . T ñi u ki n liên nπ t c c a hàm sóng t i x = a ta có : sin ka = 0 ⇒ k = k n = v i n là các s nguyên ch n. T ñi u 2a a a 1 ∫ | ψ( x) | ∫ sin dx = 1 ⇔ A kn xdx = 1 ⇒ A2 a = 1 , hay A = 2 2 2 ki n chu n hoá , ta có .V y nghi m a −a −a 4
nπx 1 l có d ng : ψ n ( x) = sin (6), trong ñó n là s ch n. 2a a nπ Như v y trong c hai lo i nghi m ch n và l , ta có kn = (7) v i n ∈ ℕ . Thay (7) vào (4) ta nh n 2a π2 ℏ 2 2 ℏ 2 kn2 ñư c bi u th c c a năng lư ng c a h t : En = = n (n = 1, 2,...) . T ñây ta th y r ng, 8ma 2 2m năng lư ng c a h t chuy n ñ ng trong h th nh n các giá tr gián ño n , các giá tr ch n c a n ng v i các nghi m l (6) , còn các giá tr l c a n ng v i các nghi m ch n (5). c. Dao ñ ng t ñi u hoà tuy n tính. Dao ñ ng t ñi u hoà tuy n tính là m t h t th c hiên các dao ñ ng bé xung quanh v trí cân mω2 x 2 , trong ñó ω là t n s c a dao ñ ng t . Phương trình b ng v i th năng có d ng : V ( x) = 2 d 2 ψ 2m   mω 2 x 2  mω + 2 E −  ψ = 0 (1). ð t ξ =  Schrodinger c a dao ñ ng t có d ng : x và 2   ℏ  2 dx ℏ d 2ψ E ε= + (2ε − ξ 2 )ψ = 0 (3). Ta tìm nghi m c a (3) dư i d ng (2) ta ñưa (1) v d ng : ℏω dξ 2 ψ(ξ) = e−ξ 2 y (ξ) (4), thay (4) vào (3), ta nh n ñư c phương trình cho y (ξ) dư i d ng : /2 y ''− 2ξy '+ (2ε − 1) y = 0 (5). Phương trình (5) là phương trình Hermite , nó có nghi m riêng d ng ña th c b c n , khi 2ε − 1 = 2n (6), nghi m này ñư c g i là ña th c Hermite và ñư c xác ñ nh b i công n () n ξ2 d e−ξ . T (2) và (6), ta nh n ñư c bi u th c cho ph năng lư ng c a 2 th c : H n (ξ) = (−1) e dξ n  1 dao ñ ng t dư i d ng : E = En =  n +  ℏω (v i n = 0,1, 2,... ) còn hàm sóng c a dao ñ ng t dư i   2     mω x 2  H n  mω x , trong ñó Cn là h s chu n hoá. T tính ch t   d ng : ψ( x) = ψ n ( x) = Cn exp −   2ℏ   ℏ      mω 1 tr c giao c a H n ( x) , ta tìm ñư c Cn = 4 πℏ 2n n ! ∂Ψ (r , t ) ˆ = H Ψ (r , t ) 2. Phương trình Schrodinger ph thu c th i gian : iℏ ∂t 3. Phương trình liên t c. Xét s thay ñ i theo th i gian c a m t ñ xác su t tìm th y h t ρ(r , t ) =| Ψ (r , t ) |2 = Ψ *Ψ . ∂ρ ∂ * ∂Ψ * ∂Ψ ∂Ψ = (Ψ Ψ ) = ˆ Ψ + Ψ* = H Ψ , ta suy ra : (1). M t khác t phương trình iℏ Ta có : ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂Ψ ∂Ψ * iˆ iˆ = H *Ψ * (3). Thay (2),(3) vào = − H Ψ (2). L y liên h p ph c hai v c a (2), ta ñư c ∂t ∂t ℏ ℏ ∂ρ i  ˆ * * 2 =  ΨH Ψ − Ψ * H Ψ  (4). Vì H = − ℏ ˆ ˆ ∆ + V (r ) nên : (1) ta nh n ñư c : ∂t ℏ   2m 2 2 ˆ * Ψ * − Ψ * H Ψ = − ℏ  Ψ∆Ψ * − Ψ *∆Ψ  = − ℏ ∇  Ψ∇Ψ * − Ψ *∇Ψ  (5) ˆ ΨH 2m   2m   ∂ρ iℏ (Ψ∇Ψ* − Ψ *∇Ψ ) + ∇j = 0 (6), trong ñó j = Thay (5) vào (4), ta nh n ñư c phương trình : ∂t 2m 5
Phương trình (6) ñư c g i là phương trình liên t c, trong ñó ρ là m t ñ xác su t còn j là vector m t ñ dòng xác su t. Phương trình liên t c (6) bi u th ñ nh lu t b o toàn xác su t hay ñ nh lu t b o toàn s h t. 4. Tr ng thái d ng. a. ð nh nghĩa :Tr ng thái d ng là tr ng thái có năng lư ng không ph thu c th i gian. b. Hàm sóng : ð xác ñ nh d ng t ng quát c a hàm sóng mô t toán t d ng ta kh o sát phương ∂Ψ (r , t ) ˆ = H Ψ (r , t ) (1). Ta tìm nghi m c a (1) dư i d ng trình Schrodinger ph thu c th i gian : iℏ ∂t Ψ (r , t ) = ψ(r ) f (t ) (2).Thay (2) vào (1) ta ñư c ˆ H ψ(r ) iℏ df df (t ) ˆ ψ( r ) = H ψ( r ). f (t ) ⇔ = = E . T ñó ta có h phương trình sau : : iℏ ψ( r ) f (t ) dt dt  ˆ  H ψ( r ) = E ψ(r ) (3)   df . Phương trình (3) là phương trình tr riêng c a toán t năng lư ng và E là iℏ = Ef (t )  (4)  dt   Et −i năng lư ng c a h trong tr ng thái d ng . Nghi m c a phương trình (4) có d ng f (t ) = e (5). T ℏ Et −i (2) và (5) ta tìm ñư c hàm sóng mô t tr ng thái d ng v i năng lư ng E là : Ψ (r , t ) = ψ(r )e , ℏ trong ñó E và ψ (r ) là nghi m c a phương trình tr riêng c a toán t năng lư ng. Trong trư ng h p ˆ phương trình (3) có m t t p các nghi m H ψ n (r ) = En ψ n (r ) (n = 1, 2,...) thì nghi m t ng quát c a En t −i (1) có d ng : Ψ (r , t ) = ∑ cn ψ n (r )e ℏ . Các h s cn ñư c xác ñ nh t ñi u ki n ñ u : n Ψ (r ,0) = ∑ cn ψ n (r ) ⇒ cn = ∫ ψ* (r ) Ψ (r ,0)dV . n n c. Các tính ch t c a tr ng thái d ng : + M t ñ xác su t trong tr ng thái d ng không ph thu c th i gian : ρ n =| Ψ n (r , t ) |2 =| ψ n ( r ) |2 ∉ t + M t ñ dòng xác su t trong tr ng thái d ng không ph thu c th i gian : iℏ  iℏ    jn =  Ψ n (r , t )∇Ψ n (r , t ) − Ψ n (r , t )∇Ψ n (r , t ) = 2m  ψ n (r )∇ψ n (r ) − ψ n (r )∇ψ n (r ) ∉ t * * * * 2m 5. ð o hàm theo th i gian c a toán t .Tích phân chuy n ñ ng. ð nh lý Ehrenfest. a. ð o hàm theo th i gian c a toán t . ð mô t s thay ñ i theo th i gian c a ñ i lư ng v t lý dF ngư i ta ñưa vào khái ni m ñ o hàm c a toán t theo th i gian, ký hi u , ñư c ñ nh nghĩa như dt dF sau : là toán t mà giá tr trung bình tương ng v i nó tr ng thái b t kỳ b ng ñ o hàm theo dt dF d dF d ∫Ψ ΨdV = F (1). * = F hay th i gian c a giá tr trung bình F trong tr ng thái ñó : dt dt dt dt ˆ ∂F ∂Ψ ˆ ˆ ∂Ψ dV (2) * d dF ∫ F = ∫ Ψ* ΨdV + ∫ F ΨdV + ∫ Ψ*F ˆ : Ta có F = Ψ*F ΨdV ⇒ + D ng c a ∂t ∂t ∂t dt dt 6
∂Ψ ∂Ψ iˆ ˆ = HΨ ⇒ =− H Ψ (3). L y liên h p ph c hai v phương Do Ψ tho mãn phương trình iℏ ∂t ∂t ℏ ∂Ψ * i ˆ * * = H Ψ (4). Thay (3),(4) vào (2) ta nh n ñư c : trình này ta ñư c ∂t ℏ ˆ ∂F d i i F = ∫ Ψ* ΨdV + ∫ ( H *Ψ * )( F Ψ )dV − ∫ Ψ * FH ΨdV (5) ˆ ˆ ˆˆ ∂t ℏ ℏ dt Do H là toán t hermite nên ∫ ( H Ψ )( F Ψ )dV = ∫ ( F Ψ ) H Ψ dV ∫ Ψ * HF ΨdV (6). T (5) và (6) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ** **  ∂F i   ∂F i  ˆ ˆˆ ˆˆ  ˆ ˆ ˆ + ( HF − FH ) ΨdV = ∫ Ψ *  F = ∫ Ψ*  +  H , F  ΨdV (7) . So sánh d     ta nh n ñư c :       ∂t ℏ  ∂t ℏ dt       ˆ dF ∂F i ˆ ˆ +  H , F  . ðây là phương trình chuy n ñ ng c a toán t . = (1) và (7) ta tìm ñư c : ∂t ℏ   dt b. Tích phân chuy n ñ ng. ˆ ð i lư ng v t lý F ñư c g i là tích phân chuy n ñ ng n u toán t F có ñ o hàm theo th i dF = 0 . T phương trình chuy n ñ ng c a toán t ta suy ra r ng, n u F là tích phân gian b ng 0 : dt ˆ ∂F i ˆ ˆ +  H , F  = 0 . Trư ng h p ñ c bi t khi F không ph thu c tư ng minh vào  ˆ chuy n ñ ng thì : ∂t ℏ  ˆ ∂F = 0 và ta có :  H , F  = 0 . ði u này có nghĩa là : N u m t toán t F không ph ˆˆ ˆ th i gian , khi ñó   ∂t ˆ thu c tư ng minh vào th i gian và giao hoán v i toán t Hamilton H thì ñ i lư ng v t lý F tương ng là m t tích phân chuy n ñ ng. c. ð nh lý Ehrenfest. Phát bi u : Giá tr trung bình c a các bi n s cơ h c lư ng t tho mãn cùng phương trình như các bi n s c ñi n tương ng. Ch ng minh . Vì giá tr trung bình c a các ñ i lư ng v t lý trong cơ h c lư ng t ñư c xác ñ nh nh bi u th c F = ∫ Ψ * F ΨdV nên ta ch c n ch ng minh các h th c cho toán t . ˆ ∂r dr iˆ =  H , r  (1) ( = 0 vì r không ph thu c tư ng minh vào + Xét ñ o hàm c a r theo t , ta có :   ∂t dt ℏ ˆ2 { } iℏ ˆ p 1  ˆ2  1 ˆ  ˆ ˆˆ  + V (r ) nên  H , r  = p , r  + [V (r ), r ] = ˆ ˆ t ). Do H = p, r  p + p  p, r  = − p (2). Thay  2m  2m       2m m ˆ dr p = (2) vào (1) ta nh n ñư c : (3). dt m ˆ ∂p dp i  ˆ ˆ  ˆ ˆ =  H , p  (4) ( = 0 vì p không ph thu c tư ng minh vào + Xét ñ o hàm c a p theo t , ta có : ∂t dt ℏ ˆ ∂V p2 1  ˆ2 ˆ  + V (r ) nên  H , p  = p , p  + V (r ), p  = V (r ), p  = −iℏ ˆˆ ˆ ˆ ˆ t ).Do H = (5). Thay (5) vào (4) ta   2m    ∂r 2m ˆ ∂V dp dr p =− = nh n ñư c : (6). Các phương trình (3) và (6) tương t như các phương trình và ∂r dt dt m ∂V dp =− (ñ nh lu t 2 Newton) c a cơ h c c ñi n. ∂r dt 7
§3. Chuy n ñ ng trong trư ng xuyên tâm. 1. Toán t moment xung lư ng . ( ) ˆ ˆ ˆˆˆ a. Bi u th c : L = r × p = −iℏ(r × ∇) = Lx , Ly , Lz . Trong to ñ Descartes : ∂ ∂ ˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ Lx = ypz − zp y = −iℏ  y − z  , Ly = zpx − xpz = −iℏ  z − x  , Lz = xpy − ypx = −iℏ  x − y  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ∂z ∂y   ∂x ∂z   ∂y ∂x  ˆ ˆ ˆ ˆ + Toán t bình phương moment xung lư ng : L = L + L + L 2 2 2 2 x y z  Lx , Ly  = iℏLz ,  Ly , Lz  = iℏLx ,  Lz , Lx  = iℏLy ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ + Các h th c giao hoán :        L2 , Lx  =  L2 , Ly  =  L2 , Lz  = 0 ˆˆ ˆˆ ˆˆ     ˆ , L2 ñ mô t moment xung lư ng. Trong to ˆ Trong cơ h c lư ng t ngư i ta s d ng Lz ñ c u (r , θ, ϕ) bi u th c c a các toán t moment xung lư ng có d ng  ∂ ˆ  , L = iℏ − cos ϕ ∂ + cotgθ sin ϕ ∂  , L = −iℏ ∂ ∂ ˆ Lx = iℏ sin ϕ + cotgθ cos ϕ  ˆ      y  z ∂θ ∂ϕ  ∂θ ∂ϕ  ∂ϕ    2 ˆ2 = −ℏ 2  1 ∂ sin θ ∂  + 1 ∂          sin θ ∂θ  L ∂  sin 2 θ ∂ϕ 2         b. Hàm riêng và tr riêng c a toán t moment xung lư ng. ˆ * Hàm riêng , tr riêng c a Lz : Phương trình tr riêng c a Lz có d ng Lz ψ = Lz ψ , s d ng bi u ˆ ˆ ∂ψ th c c a Lz trong to ñ c u, ta có phương trình : −iℏ = Lz ψ . Nghi m c a phương trình này có ˆ ∂ϕ i Lz ϕ d ng : ψ Lz (ϕ) = Ce ℏ (1). ð ñ m b o ñi u ki n ñơn tr c a hàm sóng, ta ph i có : i Lz 2 πLz ψ Lz (ϕ) = ψ Lz (ϕ + 2π) , t ñó suy ra : e =1⇔ 2π = 2mπ v i m là m t s nguyên. T ñó suy ra ℏ ℏ r ng : Lz = mℏ (2) (m ∈ ℤ) Thay (2) vào (1) ta nh n ñư c ψ m (ψ ) = Ceimϕ (3). T ñi u ki n chu n hoá, 2π 2π 1 ∫ |ψ ∫ |e imϕ 2 (ϕ ) | d ϕ = 1 ⇔ C | d ϕ = 1 ⇒ C 2 2π = 1 ⇒ C = 2 2 ta có : . Thay vào (3) ta nh n m 2π 0 0 1 imϕ ñư c : ψ m (ϕ ) = ˆ e . K t qu , ta tìm ñư c tr riêng c a Lz là Lz = mℏ và các hàm riêng tương 2π 1 imϕ ng là : ψ m (ϕ) = ( m ∈ ℤ) . e 2π ˆ * Hàm riêng , tr riêng c a L2 : phương trình tr riêng c a L2 có d ng L2 ψ = L2 ψ , s d ng bi u ˆ ˆ  1 ∂ 2    sin θ ∂ψ  + 1 ∂ ψ  = L2 ψ hay :    th c c a L2 trong to ñ c u, ta có phương trình : −ℏ 2  ˆ   sin θ ∂ϕ    sin θ ∂θ  ∂ 2 2      ∂ψ  1 ∂  + 1 ∂ ψ + L ψ = 0 (1) . Phương trình (1) có nghi m h u h n ñơn tr v i các 2 2 sin θ    sin θ ∂θ  ∂  sin 2 θ ∂ϕ 2 ℏ 2 L2 giá tr 0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ ϕ ≤ 2π khi 2 = l (l + 1) (2) v i l là m t s nguyên không âm. Khi ñó nghi m ℏ 8
1 imϕ m c a (1) là hàm c u Ylm (θ, ϕ ) = e Pl (cos θ) (3) v i Pl m (cos θ ) là ña th c Legendre liên k t. T 2π (2) và (3) ta nh n ñư c tr riêng c a L2 là L2 = ℏ 2l (l + 1) và các hàm riêng tương ng là Ylm (θ, ϕ ) ˆ (l = 0,1, 2,...) . Khi l ñã cho m ch có th nh n 2l + 1 giá tr kh dĩ b ng 0, ±1, ±2,..., ±l . Bi u th c c a m t s hàm c u ñ u tiên : 1 3 3 sin θe±iϕ Y00 (θ, ϕ ) = ; Y10 (θ, ϕ ) = cos θ , Y1,±1 (θ, ϕ ) = ∓ 4π 8π 4π 5 15 15 cos θ sin θe±iϕ , Y2,±2 (θ, ϕ ) = ∓ sin 2 θe±2 iϕ Y20 (θ, ϕ ) = (3cos 2 θ − 1) ; Y2,±2 (θ, ϕ ) = ∓ 16π 8π 32π * ði u ki n tr c chu n c a các hàm c u : 2π π ∫ d ϕ ∫ sin θd θ Y l ',m ' (θ, ϕ)Y l ,m (θ, ϕ) = δll 'δ mm' * 0 0 3. Chuy n ñ ng c a h t trong trư ng xuyên tâm. a. Trư ng xuyên tâm t ng quát : Trư ng xuyên tâm là trư ng mà th năng c a h t chuy n ñ ng trong trư ng ch ph thu c vào kho ng cách t h t ñ n ñi m c ñ nh g i là tâm c a trư ng. Ch n g c to ñ t i tâm c a trư ng, ta có bi u th c c a th năng : V ( r ) = V ( r ) . Khi ñó toán t Hamilton có ℏ2 ˆ d ng H = − ∆ + V (r ) (1). S d ng bi u th c c a toán t Laplace trong to ñ c u ta ñưa (1) v 2m   1 ∂ ∂     1 ∂ ∂ 1 ∂2 ℏ2  1 ∆r + 2 ∆θϕ  + V (r ) (2), v i ∆r = 2 r 2  , ∆θϕ = ˆ d ng : H = − sin θ  + 2      r ∂  ∂r  ∂  sin θ ∂ϕ2 2m  sin θ ∂θ        r S d ng bi u th c c a toán t bình phương moment xung lư ng trong to ñ c u, ta có th vi t ˆ ˆ L2 ℏ2 L2 ˆ ˆ L2 = −ℏ 2∆θϕ ⇔ ∆θϕ = − 2 . Thay vào(2), ta nh n ñư c : H = − ∆r + + V (r ) (3) . T (3) 2mr 2 ℏ 2m ˆˆ ta th y r ng các s h ng th 1 và th 3 ch ch a r nên giao hoán v i L2 , Lz ( vì các toán t này ch ˆ ˆ ˆ ph thu c vào các góc θ, ϕ ), s h ng th 2 ch a L2 nên ph i giao hoán v i L2 và Lz . Do ñó ba toán ˆ ˆˆ t H , L2 và Lz giao hoán v i nhau ⇒ chúng ph i có chung hàm riêng. Như v y các tr ng thái d ng c a h t chuy n ñ ng trong trư ng xuyên tâm ph i ñư c mô t b ng hàm sóng là hàm riêng chung ˆ ˆ ˆˆ ˆ c a 3 toán t H , L2 và Lz . M t khác, ta bi t hàm riêng chung c a các toán t L2 và Lz là hàm c u Ylm (θ, ϕ ) . Do ñó d ng t ng quát c a hàm sóng mô t các tr ng thái d ng c a h t chuy n ñ ng trong trư ng xuyên tâm là : ψ(r , θ, ϕ ) = R (r )Ylm (θ, ϕ ) (4). Phương trình Schrodinger c a h t có d ng : ˆ ˆ H ψ = E ψ (5) Thay các bi u th c (3),(4) vào (5) và ñ ý r ng L2Y (θ, ϕ) = ℏ 2l (l + 1)Y (θ, ϕ ) ta nh n lm lm 1 d  dR  2m    ℏ 2l (l + 1) ñư c phương trình cho hàm R(r ) dư i d ng : 2 r 2 − V ( r ) R ( r ) = 0 . + 2 E −   r dr  dr  ℏ    2mr 2  T ñây ta th y r ng năng lư ng ph thu c l và hàm R(r ) ph thu c và E và l . Như v y trong trư ng h p t ng quát các giá tr năng lư ng c a h t chuy n ñ ng trong trư ng xuyên tâm s ph thu c s lư ng t l còn hàm sóng s ph thu c hai s lư ng t l , m ⇒ các m c năng lư ng s b suy bi n theo m . Do ng v i m i giá tr c a l có 2l + 1 giá tr kh dĩ c a l nên các m c năng lư ng s suy bi n b i 2l + 1 . 9
b. Trư ng Coulomb. Nguyên t hidro. e2 Xét chuy n ñ ng c a electron trong trư ng Coulomb c a h t nhân v i th năng V (r ) = − . r2 Khi ñó hàm sóng c a h t có d ng ψ(r , θ, ϕ ) = ψ nlm (r , θ, ϕ ) = Rnl (r )Ylm (θ, ϕ ) , trong ñó Rnl (r ) là 1 d  dR  2 m  ℏ 2 l (l + 1) e 2  nghi m c a phương trình 2 r 2 nl  + 2  E − − R nl (r ) = 0 . Phương trình này   dr  ℏ   r  r dr   2mr 2 q me 4 − có nghi m, h u h n ñơn tr khi E = − 2 2 (n ∈ ℕ) . Lúc ñó Rnl (r ) = Rnl (q ) = q l e 2 L2l+11 (q ) v i + n 2ℏ n 8m | E n | và L2l++11 ( x) là ña th c Laguerre liên k t. Khi n ñã cho l ch có th nh n n giá tr kh q=r n ℏ2 dĩ b ng 0,1,..., n − 1 . me 4 - Các m c năng lư ng c a electron trong nguyên t hidro : E n = − (n ∈ ℕ ) K t lu n : 2ℏ 2 n 2 - Hàm sóng c a electron trong nguyên t hidro : ψ nlm (r , θ, ϕ) = Rnl (r )Ylm (θ, ϕ) . Như v y tr ng thái c a electron trong nguyên t hidro ñư c xác ñ nh b i 3 s lư ng t n, l , m : - n ñư c g i là s lư ng t chính, nó nh n các giá tr nguyên dương n = 1, 2,... và xác ñ nh các 1 giá tr năng lư ng c a electron : En ∼ . n2 - l ñư c g i là s lư ng t qu ñ o, nó nh n các giá tr nguyên không âm, ng v i 1 giá tr c a n thì l ch có th nh n n giá tr kh dĩ b ng 0,1,..., n − 1 ; s lư ng t qu ñ o xác ñ nh ñ l n c a moment xung lư ng : L = ℏ l (l + 1) . - m ñư c g i là s lư ng t t , nó có th nh n các giá tr nguyên và ng v i m t giá tr ñã cho c a l thì nó có th nh n 2l + 1 giá tr kh dĩ b ng 0, ±1, ±2,..., ±l ; s lư ng t t xác ñ nh ñ l n c a hình chi u moment xung lư ng lên tr c z : Lz = mℏ . Theo trên ta th y, hàm sóng c a electron ph thu c 3 s lư ng t n, l , m trong khi năng lư ng ch ph thu c n , nên các m c En s suy bi n theo các s lư ng t l , m . Vì khi n ñã cho l có th nh n n giá tr kh dĩ b ng 0,1,..., n − 1 và v i m t tr l , ta có 2l + 1 giá tr kh dĩ c a m nên b i suy bi n c a n −1 ∑ (2l + 1) = n 2 m c En b ng : . l =0 §4. Spin và h h t ñ ng nh t. 1. Toán t spin c a electron . Hàm spin. Ma tr n Pauli. a. Toán t spin. Ma tr n Pauli : ð i v i các h t vi mô, ngoài các ñ i lư ng ñ c trưng ñã bi t như to ñ , xung lư ng, moment xung lư ng, năng lư ng ...còn có m t ñ i lư ng thu n tuý lư ng t là spin c a h t, ñ i lư ng này có các tính ch t gi ng như moment xung lư ng c a h t. Toán t tương ˆ ˆˆˆ ng v i spin ký hi u S = ( S x , S y , S z ) , ñư c xác ñ nh b i các h th c sau :  S x , S y  = i ℏ S z ,  S y , S z  = iℏ S x ,  S z , S x  = i ℏ S y ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ       ˆ ˆ ˆ ˆ Ngoài ra ta cũng ñưa vào toán t bình phương spin S 2 = S x2 + S y2 + S z2 , tho mãn các h th c giao hoán sau :  S x , S 2  =  S y , S 2  =  S z , S 2  = 0 . Tương t như moment xung lư ng, ñ mô t spin ngư i ta ˆˆ ˆˆ ˆˆ           ˆ2 ˆ ˆ ˆ S , S z v i các phương trình tr riêng : S 2 χ s , ms = ℏ 2 s( s + 1)χ s , ms và S z χ s , ms = ms ℏχ s ,ms , dùng 2 toán t 10
trong ñó : s là s lư ng t xác ñ nh ñ l n c a spin, ms là s lư ng t t xác ñ nh ñ l n c a hình chi u spin lên tr c z và χ s ,m là hàm spin. s 1 1 ð i v i các electron thì s = và ms = ± . Do ñó các toán t spin c a electron có th ñư c 2 2 ˆ bi u di n b ng các ma tr n vuông c p hai. Trong bi u di n mà S z có d ng chéo, ta có : ˆ ℏ  0 1  , S = ℏ  0 −i  , S = ℏ  1 0  và S 2 = 3ℏ  1 0  2 ˆ ˆ ˆ Sx =  y  z     2  0 −1 2 1 0 2i 0  4 0 1  0 −i  0 1 1 0  Các ma tr n σ x =   , σ y =  i 0  , σ z =  0 −1 ñư c g i là các ma tr n Pauli. B ng phép nhân 1 0     tr c ti p các ma tr n, có th th y r ng các ma tr n Pauli, tho mãn các h th c sau : σ x , σ y  = 2iσ z , σ y , σ z  = 2iσ x , [ σ z , σ x ] = 2iσ y , σ2 + σ 2 + σ 2 = 1     x y z σ x , σ y  = σ y , σ z  = [ σ z , σ x ]+ = 0 , trong ñó  a, b  = ab + ba ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ  +  +  + c. Hàm riêng tr riêng c a toán t spin. a ˆ ˆ + Hàm riêng, tr riêng c a S x :phương trình tr riêng: S x χ s = sx χ s (1) trong ñó χ s =   (2) .Thay b  x x x  2 s a − ℏb = 0 ℏ b  a ˆ bi u th c c a χ s và S x vào (1) ta ñư c   = sx   hay  x (3). ð h có nghi m  ℏa − 2 s x b = 0 2 a b  x ℏ không t m thư ng ta ph i có : 4sx = ℏ 2 ⇒ sx = ± (4). 2 2 a ℏ χ +x χ sx = 1 . Suy ra (3) ta ñư c a = b ⇒ χ sx =   . T - Khi sx = ,t ñi u ki n chu n hoá s a 2 a 1 1 1 . Do ñó : χ(s+ ) = (a*, a*)   = 1 ⇔ 2 | a |2 = 1 ⇒ a =  . a 2 1 x 2  a ℏ χ +x χ sx = 1 . Suy ra a = −b ⇒ χ sx =   . T ñi u ki n chu n hoá - Khi sx = − , t (3) ta ñư c  −a  s 2 a 1  1 1 . Do ñó : χ(s− ) = (a*, a*)   = 1 ⇔ 2 | a |2 = 1 ⇒ a =  . 2  −1 a x 2 a ˆ ˆ + Hàm riêng, tr riêng c a S y : phương trình tr riêng : S y χ s = s y χ s (1) trong ñó χ s =   (2). Thay b  y y y ℏ  0 −i   a  ℏ  −ib  a a ˆ bi u th c c a χ s và S y    = s y   suy ra   = s y   hay vào (1 ) ta ñư c :  2  i 0 b  b  2  ia  b  y  2 s y a + iℏ b = 0  ℏ (3). ð h có nghi m không t m thư ng ta ph i có : 4s y = ℏ 2 ⇒ s y = ± (4). 2  iℏa − 2 s y b = 0 2  a  ℏ - Khi s y = , t (3) ta ñư c b = ia ⇒ χ s y =   . T ñi u ki n chu n hoá χ +y χ s y = 1 . Suy ra s  ia  2 a  1 1 1 . Do ñó : χ(s+ ) = (a*, −ia*)   = 1 ⇔ 2 | a |2 = 1 ⇒ a =  .  ia  2 i  y 2 11
 a ℏ χ +y χ s y = 1 . Suy ra - Khi s y = − , t (3) ta ñư c b = −ia ⇒ χ s =   . T ñi u ki n chu n hoá  −ia  s 2 y a  1  1 1 . Do ñó : χ(s− ) =  = 1⇔ 2 | a | =1⇒ a = 2  . (a*, ia*)   −ia  2  −i  y 2 a ˆ ˆ + Hàm riêng, tr riêng c a S z :phương trình tr riêng: S z χ s = sz χ s (1) trong ñó χ s =   (2) .Thay b  z z z ( ℏ − 2 s z ) a = 0 ℏ a  a ˆ bi u th c c a χ s và S z vào (1) ta ñư c   = sz   hay  (3). ð h có (ℏ + 2sz )b = 0 2  −b  b  z ℏ nghi m không t m thư ng ta ph i có : sz = ± (4). 2 a ℏ χ +z χ sz = 1 . Suy ra - Khi sz = , t (3) ta ñư c b = 0 ⇒ χ s =   . T ñi u ki n chu n hoá s 0 2 z a 1  (a*, 0)   = 1 ⇔| a |2 = 1 ⇒ a = 1 . Do ñó : χ (s+ ) =   . 0 0 z 0 ℏ χ +z χ sz = 1 . Suy ra - Khi sz = − , t (3) ta ñư c a = 0 ⇒ χ sz =   . T ñi u ki n chu n hoá s b 2 0  0 (0, b* )   = 1 ⇔| b |2 = 1 ⇒ b = 1 . Do ñó : χ (s− ) =   . b 1  z 2. H h t ñ ng nh t. a. H h t ñ ng nh t : là h các h t có cùng kh i lư ng, ñi n tích, spin, moment t ,... sao cho trong cùng ñi u ki n như nhau thì các h t y có các bi u hi n như nhau. b. Nguyên lý không phân bi t các h t ñ ng nh t : Do nguyên lý b t ñ nh, m i h t không có m t qu ñ o xác ñ nh nên v m t nguyên t c, dù ta có th bi t chính xác v trí c a các h t c a h th i ñi m ban ñ u thì t i th i ñi m ti p theo sau ñó, v trí c a h t ñã tr nên b t ñ nh, do ñó ta không th phân bi t ñư c các h t c a m t h h t ñ ng nh t c. Tr ng thái ñ i x ng và ph n ñ i x ng. Kh o sát hàm sóng c a h các h t ñ ng nh t. Trư c tiên ta xét h 2 h t, hàm sóng c a h là ψ(1, 2) . N u ta hoán v 2 h t thì hàm sóng c a h là ψ(2,1) . Do nguyên lý không phân bi t các h t ñ ng nh t nên vi c hoán v hai h t s không là thay ñ i tr ng thái c a h , nghĩa là các hàm ψ(1, 2) và ψ(2,1) mô t cùng m t tr ng thái c a h , mu n v y chúng ch có th sai khác nhau m t nhân s không ñ i nào ñó, t c là : ψ(2,1) = k ψ(1, 2) . N u hoán v hai l n, ta ñư c ψ(1, 2) = k ψ(2,1) = k 2 ψ(1, 2) ⇒ k 2 = 1 hay k = ±1 . Như th có hai kh năng x y ra : - khi k = 1 : ψ(2,1) = ψ(1, 2) , hàm sóng là ñ i x ng v i phép hoán v hai h t - khi k = −1 : ψ(2,1) = −ψ(1, 2) , hàm sóng là ph n ñ i x ng v i phép hoán v hai h t . Như v y hàm sóng c a h hai h t ñ ng nh t là m t hàm ho c ñ i x ng ho c ph n ñ i x ng ñ i v i phép hoán v hai h t. K t qu này v n ñúng cho h có s h t b t kỳ. Pauli ñã ch ng t r ng các h t có spin nguyên (các boson) ñư c mô t b ng các hàm sóng ñ i x ng, còn các h t có spin bán nguyên (fermion) ñư c mô t b ng các hàm sóng ph n ñ i x ng. d. Hàm sóng c a h h t ñ ng nh t. Nguyên lý lo i tr Pauli. Xét h N h t ñ ng nh t không tương tác. Phương trình Schrodinger cho h t có d ng : N  2 − ℏ ∆i + V (ri )ψ(1, 2,..., N ) = E ψ(1, 2,..., N ) (1) ∑  2m  i =1   12
G i ψ n1 , ψ n2 ,... là các hàm sóng mô t các tr ng thái d ng c a t ng h t riêng bi t còn n1 , n2 ,... là t p các s lư ng t ñ c trưng cho tr ng thái m t h t. Khi ñó nghi m c a (1) có th tìm dư i d ng t h p tuy n tính c a các tích d ng ψn1 (1) ψn2 (2)...ψ nN ( N ) (2) v i t t c các hoán v có th có c a n1 , n2 ,..., nN . Tuy nhiên do nguyên lý không phân bi t các h t ñ ng nh t nên hàm sóng c a h N h t ph i có tính ñ i x ng xác ñ nh. C th là hàm sóng c a h N boson ph i là t h p tuy n tính ñ i x ng hóa c a các tích d ng (2) còn hàm sóng c a h N fermion ph i là t h p tuy n tính ph n x ng c a các tích d ng (2). K t qu , ta có : N1 ! N 2 !... ∑ ψ n (1)ψ n2 (2)...ψ nN ( N ) (3), trong ñó t ng l y theo - ð i v i h N boson : ψ = N ! [n1 ,n2 ,..] 1 ∑N =N. t t c các hoán v c a các s n1 , n2 ,..., nN ; N i là s h t tr ng thái ni và i i - ð i v i h N fermion : (4) T (4) ta th y r ng vi c hoán v hai h t nào ñó c a h tương ñương v i vi c hoán v hai c t c a ñ nh th c và ñ nh th c s ñ i d u, nghĩa là hàm sóng c a h ñã ñ i d u. Cũng t (4) ta th y r ng n u trong m t tr ng thái nào ñó có 2 h t (ho c nhi u hơn) thì các hàng tương ng c a ñ nh th c s trùng nhau và do ñó ñ nh th c s b ng 0. ði u này có nghĩa là : trong m t h fermion ñ ng nh t, không th có quá m t h t trong m i tr ng thái lư ng t . ðây chính là n i dung c a nguyên lý lo i tr Pauli. 13
BÀI T P CƠ H C LƯ NG T §1. Hàm sóng , toán t , hàm riêng tr riêng, giá tr trung bình () + 1. Ch ng minh r ng : AB = B + A+ , trong ñó A+ là toán t liên h p hermite v i toán t A : ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ∫ ϕ Aψdx = ∫ ψ( A ϕ ) dx + ˆ ˆ * * ˆ ˆ 2. Ch ng minh r ng : n u các toán t A và B là các toán t hermite và giao hoán v i nhau thì toán ˆˆ t tích AB cũng là toán t hermite A, B, C th a mãn các h th c giao hoán  A, C  = 0 , ˆˆ ˆˆˆ 3. Ch ng minh r ng : n u các toán t    B, C  = 0 và  A, B  ≠ 0 thì các tr riêng c a C là suy bi n. ˆˆ ˆˆ ˆ     ∂ 4. Ch ng t r ng toán t sau là toán t hermite px = −iℏ ˆ ∂x 5. Ch ng minh r ng : n u A, B là nh ng toán t hermite thì  A, B  = AB − BA = iC trong ñó C là ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ   toán t hermite. 6. Ch ng minh r ng : giá tr trung bình c a các toán t hermite A+ A, AA+ ( A là m t toán t tuy n ˆ ˆ ˆˆ ˆ tính) trong m t tr ng thái b t kỳ là không âm. 7. Ch ng minh r ng trin trung bình c a bình phương toán t hermite là không âm. 8. Ch ng minh r ng : n u các toán t hermite A, B tho mãn h th c  A, B  = iC thì : ˆˆ ˆ ˆˆ   (C ) 2 (∆A) 2 (∆B) 2 ≥ 4 d 9. Hàm riêng và tr riêng c a toán t px = −iℏ n u hàm riêng ψ( x ) c a px tho mãn ñi u ki n ˆ ˆ dx ψ( x) = ψ( x + a ) (a : const) ∂ ˆ 10. Hàm riêng và tr riêng c a toán t Lz = −iℏ , v i 0 ≤ φ ≤ 2π . ∂φ 11. Hai hàm ψ1 ( x ), ψ 2 ( x) là hai hàm riêng ñã chu n hoá và ng v i cùng m t tr riêng. Bi t r ng : +∞ ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = a (a ∈ ℝ) , hãy tìm hàm chu n hoá Φ( x) = C ψ ( x) + C ψ ( x) * v i C1 , C2 là các 1 2 1 1 2 2 −∞ h ng s th c sao cho nó tr c giao v i ψ1 ( x) . 12. Giá tr trung bình c a xung lư ng c a h t trong tr ng thái ñư c mô t b i hàm sóng chu n hoá i p0 x eℏ ψ( x) = A , trong ñó A, p0 , a là nh ng h ng s . x +a 2 2 13. Tính các giá tr trung bình ∆x 2 , ∆px và nghi m l i h th c b t ñ nh gi a to ñ và xung lư ng 2 khi : a. Tr ng thái c a h t trong gi ng th m t chi u vuông góc sâu vô h n b r ng a ñư c mô t b i nπx 2 hàm sóng ψ n ( x) = (n = 1, 2,...) . sin a a 14
1  a 4 − ax 2 mω b. Tr ng thái c a h t ñư c mô t b i hàm sóng ψ( x ) =   e 2 , trong ñó a =  . Cho bi t  π  ℏ +∞ +∞ π 1π ∫e ∫ −αx 2 2 x 2e −αx dx = dx = ; . α 2 α3 −∞ −∞ x2 − +ikx 14. Tr ng thái c a h t ñư c mô t b i hàm sóng ψ( x) = Ae 2 a 2 , trong ñó a, k là nh ng h ng s . a. Xác ñ nh h s chu n hoá A và to ñ x ñ cho m t ñ xác su t tìm th y h t ρ( x ) có giá tr l n nh t. b. Tính các giá tr trung bình ∆x 2 , ∆px và nghi m l i h th c b t ñ nh gi a to ñ và xung lư ng . 2 +∞ +∞ π 1π Cho bi t ∫ e dx = ; ∫ x 2e −αx dx = −αx 2 2 . α −∞ 2 α3 −∞ 15. S d ng h th c b t ñ nh, hãy ư c tính m c năng lư ng th p nh t kh dĩ c a : a. H t chuy n ñ ng trong gi ng th m t chi u vuông góc, sâu vô h n ñư c mô t b i hàm sóng nπx 2 chu n hoá ψ n ( x) = , trong ñó d là b r ng c a gi ng th và n = 1, 2,... sin d d p 2 mω 2 x 2 ˆ ˆ b. Dao ñ ng t ñi u hoà m t chi u v i H = x + 2m 2 §2. Chuy n ñ ng m t chi u. Phương trình liên t c 1  mω  4 − mωx 2 1. Ch ng minh r ng hàm ψ( x ) =   e 2 ℏ là hàm riêng c a toán t năng lư ng c a dao ñ ng t     πℏ  ñi u hoà m t chi u. ˆˆ 2. Ch ng minh r ng toán t t nh ti n Ta : Ta ψ( x) = ψ( x + a ) (a : const) giao hoán v i toán t ℏ2 d 2 + V ( x) n u th năng có tính tu n hoàn V ( x) = V ( x + a ) ˆ H =− 2m dx 2 3. Tìm năng lư ng và hàm sóng chu n hoá c a h t chuy n ñ ng trong trư ng th có d ng : khi 0 ≤ x ≤ a 0 V ( x) =  ∞ khi x > a hay x < 0 4. Xác ñ nh các m c năng lư ng c a m t dao ñ ng t ñi u hoà m t chi u, tích ñi n, ñ t trong m t ñi n trư ng ñ u E hư ng d c theo tr c dao ñ ng Ox và có th năng tĩnh ñi n V ( x) = −eEx . 4. Xác ñ nh các m c năng lư ng c a h t tích ñi n chuy n ñ ng trong m t t trư ng ñ u B v i th ˆ2 2 ˆ = p − e Ap + e A2 ˆ vector A(r ) ñư c ch n như sau : Ax = 0, Ay = Bx, Az = 0 . Cho bi t : H mc 2 2m mc khi x < x0 0 5. H t chuy n ñ ng t trái qua ph i g p rào th có d ng : V ( x) =  V0 khi x > x0 a. Tìm hàm sóng mô t tr ng thái c a h t có năng lư ng E < V0 trong mi n x > x0 , x < x0 b. Xác ñ nh bi u th c c a m t ñ dòng xác su t c a h t t i j0 , h t ph n x jR và h t truy n qua jT . jR j c. Tính các h s ph n x R = và h s truy n qua D = T . j0 j0 15
khi x < 0 V 6. H t chuy n ñ ng t trái qua ph i g p rào th có d ng : V ( x ) =  0 khi x > 0 0 a. Tìm hàm sóng mô t tr ng thái c a h t có năng lư ng E > V0 > 0 trong mi n x > 0 , x < 0 b. Xác ñ nh bi u th c c a m t ñ dòng xác su t c a h t t i j0 , h t ph n x jR và h t truy n qua jT . jR j c. Tính các h s ph n x R = và h s truy n qua D = T . j0 j0 khi x < 0 0 7. H t chuy n ñ ng t trái qua ph i g p rào th có d ng : V ( x) =  khi x > 0 V0 a. Tìm hàm sóng mô t tr ng thái c a h t có năng lư ng E > V0 trong mi n x > 0 , x < 0 b. Xác ñ nh bi u th c c a m t ñ dòng xác su t c a h t t i j0 , h t ph n x jR và h t truy n qua jT . jR j c. Tính các h s ph n x R = và h s truy n qua D = T . j0 j0 khi x < 0 0 8. H t chuy n ñ ng t trái qua ph i g p rào th có d ng : V ( x) =  khi x > 0 V0 a. Tìm hàm sóng mô t tr ng thái c a h t có năng lư ng 0 < E < V0 trong mi n x > 0 , x < 0 b. Xác ñ nh bi u th c c a m t ñ dòng xác su t c a h t t i j0 , h t ph n x jR và h t truy n qua jT . jR j c. Tính các h s ph n x R = và h s truy n qua D = T . Nh n xét. j0 j0 khi x < 0 V 9. H t chuy n ñ ng t trái qua ph i g p rào th có d ng : V ( x) =  0 khi x > 0 V1 a. Tìm hàm sóng mô t tr ng thái c a h t có năng lư ng E > V0 ,V1 trong mi n x > 0 , x < 0 b. Xác ñ nh bi u th c c a m t ñ dòng xác su t c a h t t i j0 , h t ph n x jR và h t truy n qua jT . jR j c. Tính các h s ph n x R = và h s truy n qua D = T . j0 j0 10. Ch ng minh r ng, ñ i v i hàng rào th có d ng b t kỳ, tho mãn ñi u ki n lim V ( x) = V0 > 0 x→+∞ jR j và lim V ( x) = 0 thì ta có h th c : R + D = 1 , trong ñó R = là h s ph n x , D = T là h s x→−∞ j0 j0 truy n qua.; j0 , jR , jT l n lư t là m t ñ dòng xác su t t i, ph n x và truy n qua, gi s h t có năng lư ng E > V0 . 1 p 11. Ch ng minh r ng, m t ñ dòng xác su t c a h t chuy n ñ ng t do b ng : j = (2πℏ) m 2 16
12. Tìm m t ñ dòng xác su t c a h t ñư c mô t b i hàm sóng có d ng :  ipx ipx  ip 2t  Ae ℏ + Be− ℏ  e− 2 mℏ , trong ñó các h s A, B ph c.  ψ ( x, t ) =       13. Tìm m t ñ dòng xác su t c a h t ñư c mô t b i hàm sóng có d ng : ψ( x) = Aeρx + Be−ρx , trong ñó các h s A, B ph c còn ρ là th c §3. Tr ng thái d ng. 1. Ch ng minh r ng, m t ñ xác su t và m t ñ dòng xác su t c a h t tr ng thái d ng là không ph thu c tư ng minh vào th i gian. 2. Tr ng thái c a h t trong h th m t chi u vuông góc, sâu vô h n b r ng a (0 < x < a ) ñư c mô t b i hàm sóng ψ( x) = Ax(a − x) (A : const ) . Hãy tìm phân b xác su t các giá tr khác nhau c a năng lư ng . Tính giá tr trung binhg và thăng giáng toàn phương trung bình c a năng lư ng. 3. Hàm sóng th i ñi m ñ u c a m t h t có kh i lư ng m chuy n ñ ng t do trong mi n −a ≤ x ≤ a c a h th m t chi u vuông góc, sâu vô h n có d ng : πx πx 1 2 ψ( x,0) = cos + sin 2a a 5a 5a a. Xác ñ nh hàm sóng ψ( x, t ) t i th i ñi m t > 0 . b. Tính m t ñ xác su t ρ( x, t ) và m t ñ dòng xác su t j ( x, t ) c. Nghi m l i ñ nh lu t b o toàn xác su t . 4. Hàm sóng th i ñi m ñ u c a m t h t có kh i lư ng m chuy n ñ ng t do trong mi n −a ≤ x ≤ a c a h th m t chi u vuông góc, sâu vô h n có d ng : πx πx 3πx 1 3 1 ψ( x,0) = cos + sin + cos 2a 5a a 2a 5a 5a a. Xác ñ nh các giá tr ño ñư c và xác su t c a các giá tr này khi ño năng lư ng trong tr ng thái trên. b. Tính năng lư ng trung bình. c. Tìm hàm sóng ψ( x, t ) t i th i ñi m t > 0 b t kỳ. Xác ñ nh xác su t tìm th y h t th i ñi m t iπ 2 ℏ 2 πx − 2 t 1 trong tr ng thái ϕ ( x, t ) = sin e 2 ma a a 5. Hàm sóng th i ñi m ñ u c a m t h t có kh i lư ng m chuy n ñ ng t do trong mi n 0 ≤ x ≤ a c a h th m t chi u vuông góc, sâu vô h n có d ng :  πx  πx 8  ψ( x,0) = 1 + cos sin  a  5a  a a. Xác ñ nh hàm sóng ψ( x, t ) t i th i ñi m t > 0 . b. Tính năng lư ng trung bình th i ñi m ñ u và th i ñi m t > 0 a n a trái c a h th (mi n (0 ≤ x ≤ ) t i th i ñi m t > 0 . c. Xác ñ nh xác su t tìm th y h t 2 6. Hàm sóng c a dao ñ ng t ñi u hoà th i ñi m t = 0 có d ng Ψ ( x, 0) = C [3ψ 0 ( x) + 4ψ1 ( x )] , trong ñó C là h s chu n hoá, ψ n ( x) là hàm sóng c a tr ng thái d ng th n c a dao ñ ng t v i : 1 1  mω 4 − mω x2  mω 4 ω 2mω − mℏ x2 ψ0 ( x) =   e 2 ℏ , ψ1 ( x) =     xe 2  πℏ   πℏ    ℏ a. Tính h s chu n hoá C 17
b. Xác ñ nh Ψ ( x, t ) và | Ψ ( x, t ) |2 khi t > 0 c. Xác ñ nh xác giá tr trung bình trung bình x , p và nghi m l i ñ nh lý Ehrenfest. +∞ 1π ∫ x 2e−αx dx = 2 Cho bi t : 2 α3 −∞ §4. ð o hàm c a toán t theo th i gian, Tích phân chuy n ñ ng 1. Tìm bi u th c c a toán t v n t c ñ i v i : ˆ p2 ˆ a. m t h t có Hamiltonian H = + V (r ) 2m b. m t h t mang ñi n chuy n ñ ng trong trư ng ñi n t v i Hamiltonian ˆ = 1  p − e A + eϕ trong ñó A( x, y, z ) là th vector còn ϕ ( x, y, z ) là th vô hư ng . 2  ˆ   H   2m  c 2. Ch ng minh r ng : a. Giá tr trung bình c a xung lư ng trong tr ng thái d ng có ph gián ño n là b ng 0 b. Giá tr trung bình c a l c tác d ng lên h t trong tr ng thái d ng có ph gián ño n là b ng 0 3. Ch ng minh r ng, ñ i v i m t h t trong trư ng th d ng V ( r ) thì : dr p dp = = −∇V (r ) a. b. dt m dt 4. Ch ng minh r ng : năng lư ng, xung lư ng, các hình chi u moment xung lư ng và bình phương moment xung lư ng c a h t t do là các ñ i lư ng b o toàn. 5. Tìm các tích phân chuy n ñ ng c a h t chuy n ñ ng trong trư ng l c có ñ i x ng hình tr ñ ng ch t dài vô h n d c theo tr c z : V ( x, y ) = V (ρ) v i ρ = x 2 + y 2 . 6. Tìm các tích phân chuy n ñ ng khi h chuy n ñ ng trong trư ng l c có d ng V ( z , t ) = f (t ) z . §5. Moment xung lư ng. Chuy n ñ ng trong trư ng xuyên tâm. 1. Thi t l p h th c b t ñ nh ñ i v i các thành ph n Lx và Ly ˆ 2. Ch ng minh r ng, n u ψm (φ ) là hàm riêng c a Lz ng v i tr riêng mℏ thì các giá tr trung bình Lx và Ly trong tr ng thái này ñ u b ng 0. ˆ ˆ 3. Ch ng minh r ng, n u ψm (φ ) là hàm riêng c a Lz ng v i tr riêng mℏ thì L±ψm (φ) cũng là các ˆ ˆ ˆ ˆ hàm riêng c a Lz ng v i các tr riêng (m ± 1)ℏ . Cho bi t L± = Lx ± iLy . imℏ 2 và L2 = L2y 4. Ch ng minh r ng, trong tr ng thái ψ m có Lz xác ñ nh thì : Lx Ly = −Ly Lx = x 2 5. Tìm ñi u ki n ñ hình chi u moment xung lư ng Lz và bình phương moment xung lư ng L2 là tích phân chuy n ñ ng. ˆ 6. Bi t r ng toán t Hamilton H c a h lư ng t là hermite. a. Ch ng minh r ng các giá tr năng lư ng c a h là th c. ˆ b. Các hàm riêng c a H ng v i các tr riêng khác nhau là tr c giao v i nhau. ˆ c. Gi s {ψlm } là h hàm riêng ñ c a toán t bình phương moment xung lư ng L2 và toán t hình chi u moment xung lư ng L . Ch ng minh r ng n u h {ψ } cũng là hàm riêng c a ˆ lm z ˆ ˆ H thì  H , L2  =  H , Lz  = 0 . ˆ ˆˆ    18
ˆ 7. Xác ñ nh các giá tr kh dĩ c a hình chi u moment Lz trong tr ng thái c a rotator ph ng ñư c mô 2 t b ng hàm sóng ψ (φ ) = cos 2 φ , trong ñó φ là góc quay quanh tr c z . 3π ∂ ˆ ( 0 ≤ φ ≤ 2π ) 8. Trong to ñ c u, toán t hình chi u moment xung lư ng có d ng Lz = −iℏ ∂φ ˆ a. Tìm tr riêng và hàm riêng chu n hoá c a L z 1 trong tr ng thái ñư c mô t b i hàm sóng ψ (φ ) = b. Tìm xác su t các tr riêng Lz khi h t sin φ π 9. H t trong tr ng thái ñư c mô t b i hàm sóng có d ng : 3 1 Ψ (θ , φ) = Y1,1 (θ, φ ) + Y1,0 (θ , φ ) + AY1,−1 (θ, φ ) , trong ñó Yl ,m (θ , φ ) là các hàm c u 8 8 a. Xác ñ nh A ñ hàm sóng trên chu n hoá ˆ ˆ ˆ ˆ b. Tính L+ Ψ (θ , φ ) , trong ñó L± = Lx ± iLy ˆ ˆ c. Tính các giá tr trung bình c a Lz và L2 trong tr ng thái trên. Xác ñ nh xác su t ñ hình chi u Lz ˆ nh n giá tr 0 trong tr ng thái trên. Cho bi t : L Y = ℏ l (l + 1) − m (m ± 1)Y ± l ,m l ,m±1 2 10. Xác ñ nh các giá tr kh dĩ và xác su t tương ng c a L và Lz trong tr ng thái ñư c mô t b i r2 − hàm sóng có d ng ψ(r ) = Cz e b2 2 trong ñó b là s th c, C là h ng s chu n hoá. Cho bi t 1 5 Y00 = , Y20 = (3cos 2 θ −1) 4π 16π 11. Nguyên t hidro trong tr ng thái ñư c mô t b i hàm sóng có d ng :   π i 3ψ100 ( r , θ , φ) + 2ψ210 (r , θ , φ) − e 3 ψ322 (r , θ , φ) Ψ (r , θ, φ) = C     trong ñó ψnlm (r , θ , φ ) là hàm riêng c a toán t năng lư ng. ˆ a. Xác ñ nh h s chu n hoá C . Hàm sóng trên có ph i là hàm riêng c a L2 không ? b. Xác ñ nh các giá tr năng lư ng kh dĩ và xác su t c a các giá tr này trong tr ng thái trên c. Tìm giá tr trung bình c a năng lư ng và hình chi u c a moment xung lư ng lên tr c z . 12. Xác ñ nh m t ñ xác su t theo phương xuyên tâm c a electron trong nguyên t hidro tr ng thái ∞ r − ∫xe n −x dx = n! . v i hàm sóng ψ ( r , θ , φ ) = Cre 2 a0 cos θ , trong ñó a0 là bán kính Bohr. Cho bi t 0 13. Xác ñ nh giá tr trung bình r trong tr ng thái cơ b n c a nguyên t hidro, ñư c mô t b i hàm r − sóng ψ (r ) = Ce , trong ñó a là bán kính qu ñ o Bohr th nh t. a §6. Spin và h h t ñ ng nh t. 1. Ch ng minh r ng có th ño ñư c ñ ng th i bình phương spin và hình chi u spin lên m t tr c. ℏ 0 1  ℏ 0 − i   2. Tìm các hàm riêng và tr riêng c a các toán t : S x =   và S y =  ˆ ˆ    2 1 0 0 2 i       3. Tìm hàm sóng c a h 2 electron không tương tác có tính ñ n spin c a electron. 19