1
ÔNTPCƠHCLƯNGT
1.Hàmsóng
a.Tiênñ:Trngtháicahtvimôñưcmôtbngmthàm
( , )r t
Ψ
nóichunglàphcñưcgi
làhàmsóng.
b.ÝnghĩaV"tlý:ðilưng
2
| ( , ) |r t dVΨ
chotaxácsuttìmthyhttrongy ut!th"tích
dV
bao
quanhñi"m
r
vàoth)iñi"m
t
.
ðilưng:
2
( , ) | ( , ) |r t r tρ = Ψ
ñưcg*ilàm+tñ,xácsut.
c. ðiu ki*n chu+n hoá : Xác sut tìm thy ht trong th" tích
V
h.u hn b/ng
2
( , ) | ( , ) |
V
P V t r t dV= Ψ
∫
.N umi1nlytíchphânm4r,ngratoànkhônggian
( )V
→ ∞
thìgiátr7c8a
tíchphântương:ngs;làxácsuttìmthyhttrongtoànkhônggianvàph<ib/ng1(bi nc!ch=c
ch=n).Doñó:
2
| ( , ) | 1r t dV
∞
Ψ =
∫
(ñi1uki@nchuAnhoá).
d.Nguyênlých0ngch1t.N uh@4trongcáctrngtháiñưcmôt<b4icáchàmsóng
1
Ψ
và
2
Ψ
thì
h@cũngcóth"4trongtrngtháimôt<b4ihàmsóng
1 1 2 2 1 2
( , : )c c c c constΨ + Ψ
.
H*qu3:Cácphươngtrìnhmàhàmsóngtho<mãnph<ilàcácphươngtrìnhtuy ntính.
2.Toánt5.
a.ð6nhnghĩa:ToántFlàm,tphéptoánkhitácdInglênm,thàmnàoñótrongkhônggianhàmñã
chos;chotam,thàmkháccũngthu,ckhônggianhàmñó.
b.Cácphéptoántrêntoánt5:+TLng:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )A B A B
.
+Tích:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( )AB A B
ψ = ψ
.Nóichung
ˆ ˆ
ˆ ˆ
AB BA
≠
.ðilưng
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,A B AB BA
= −
ñưcg*ilàgiaohoántF
c8a
ˆ
A
và
ˆ
B
.
c.Phươngtrìnhtr6riêngc=atoánt5:N u
ˆ
( ) ( )F q f q
ψ = ψ
(1)
( : )f const
thì
( )q
ψ
ñưc g*i là
hàmriêngc8atoántF
ˆ
F
:ngvNitr7riêng
f
còn(1)làphươngtrìnhtr7riêngc8a
ˆ
F
.
d.Toánt5tuy>ntính.ToántF
ˆ
F
ñưcg*ilàtoántFtuy ntínhn u:
1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ
( )
F c c c F c F
ψ + ψ = ψ + ψ
(
1 2
( , : )
c c const
haytLngquát ˆ ˆ
( : )
n n n n n
n n
F c c F c const
ψ = ψ
∑ ∑

e.Toánt5hermite(toánt5tBliênhCp).
+ToántFliênhpph:c:ToántFliênhpph:cvNitoántF
ˆ
F
,kýhi@u
*
ˆ
F
làm,ttoántF,
saocho:n u
ˆ
F
ψ = ϕ
thì
* * *
ˆ
F
ψ = ϕ
,doñó:
* * *
ˆ ˆ
( )F F
ψ = ψ
.
+ToántFchuy"nv7:ToántFchuy"nv7c8atoántF
ˆ
F
,kýhi@u
ˆ
F
ɶ
làm,ttoántFsaocho:
1 2 2 1
ˆ ˆ
F dq F dq
ɶ
ψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
.Khiñó,tacó:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
AB BA
=
ɶ
ɶ
+ Toán tF liên hp hermite vNi toán tF
ˆ
F
, ký hi@u
ˆ
F
+
là m,t toán tF, sao cho :
* * *
1 2 2 1
ˆ ˆ
F dq F dq
+
ψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
,nhưth tacóth"vi tm,tcáchhìnhth:c:
*
ˆ ˆ
F F
+
=
ɶ
+ToántFhermite(toántFtTliênhp):ToántF
ˆ
F
ñưcg*ilàtoántFhermitehaytoántFtT
liênhpn utho<mãnh@th:c:
* * *
1 2 2 1
ˆ ˆ
F dq F dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
,khiñótacóth"vi t
ˆ ˆ
F F
+
=
f.Cáctínhch1tc=atoánt5hermite.
Tr6riêngc=atoánt5hermitelàthBc.
Ch:ngminh:Gi<sF
n
f
làtr7riêngc8atoántFhermite
ˆ
F
:ngvNihàmriêng
n
ψ
.Khiñóta
có:
* *
ˆ ˆ (1)
n n n n n n n n
F f F dq f dqψ = ψ ⇒ ψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
.Lyliênhpph:chaiv bi"uth:c(1)tañưc
2
* * * *
ˆ
(2)
n n n n n
F dq f dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
.Do
ˆ
F
làtoántFhermitenên
* * *
ˆ ˆ
(3)
n n n n
F dq F dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
TX
(1),(2)và(3)suyra:
* * * *
n m n n m n n n
f dq f dq f fψ ψ = ψ ψ ⇒ =
∫ ∫
,hay
n
f
làthTc.
Cáchàmriêngc=atoánt5hermitelàtrBcgiaovGinhau.
Ch:ngmính:Gi<sF
n
ψ
và
m
ψ
làcáchàmriêngc8atoántFhàmriêng
ˆ
F
:ngvNicáctrI
riêng
n
f
và
m
f
.Khiñótacó:
ˆ
n n n
F f
ψ = ψ
(1)và
* * *
ˆ
m m m
F f
ψ = ψ
(2)(do
m
f
làthTc).
TX(1)suyra
* *
ˆ
m n n n n
F dq f dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
(3).TX(2)suyra
* * *
ˆ
n m m m n
F dq f dqψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
(4).Vì
ˆ
F
làtoántFhermitenên
* * *
ˆ ˆ
m n n m
F dq F dq
ψ ψ = ψ ψ
∫ ∫
(5).TX(3),(4)và(5)tatìmñưc:
* * * * *
( ) 0 0
n m n m m n n m m n m n
f dq f dq f f dq dqψ ψ = ψ ψ ⇒ − ψ ψ = ⇒ ψ ψ =
∫ ∫ ∫ ∫
(6)khi
n m
f f≠

N ucáchàmriêng
n
ψ
chuAnhoáthì
*
1
n n
dqψ ψ =
∫
(7).Cách@th:c(6)và(7)cóth"vi t
chunglidưNidng
*
m n nm
dqψ ψ = δ
∫
(ñi1uki@ntrTcchuAn)
Cáchàmriêngc=atoánt5hermitetHothànhmIth*ñ=.
Gi<sF
{
}
( )
n
q
ψ
làh@hàmriêngc8am,ttoántFhermitenàoñó,khiñóm*ihàm
( )q
ψ
btkỳ
ñ1ucóth"khaiitri"nthànhchu`itheocáchàm
( )
n
q
ψ
:
( ) ( )
n n
n
q c q
ψ = ψ
∑
,trongñócách@s!
n
c
ñưcxácñ7nhb4icôngth:c
*
( ) ( )
n n
c q q dq= ψ ψ
∫
.
Tiênñ:Trongcơhclưngt*m+iñilưngv,tlýñưcñ.tñ/ingv0imttoánt*tuy2ntínht4
liênhpsaochokhiñoñilưngv,tlýtanh,nñưccácgiátr7làcácgiátr7riêngcatoánt*ng
v0inó.
g.MItsKtoánt5c=acơhLclưCngt5.
+ToántFtoñ,:
ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,r r x x y y z z
= ⇔ = = =
+ToántFxunglưng: ˆˆ ˆ ˆ
, ,
x y z
p i p i p i p i
x y z
ℏ ℏ ℏ ℏ
∂ ∂ ∂
= − ∇ ⇔ = − = − = −
∂ ∂ ∂
+ToántFmomentxunglưng:
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( , , )
x y z
L r p i r L L L
ℏ
= × = − ×∇ = ,trongñó:
ˆˆ ˆ
x z y
L yp zp i y z
z y
ℏ
∂ ∂
= − =− −
∂ ∂
,ˆˆ ˆ
y x z
L zp xp i z x
x z
ℏ
∂ ∂
= − =− −
∂ ∂
,
ˆˆ ˆ
z y x
L xp yp i x y
y x
ℏ
∂ ∂
= − =− −
∂ ∂
+ToántFHamilton:
2 2
ˆ
ˆ( ) ( )
2 2
p
H V r V r
m m
ℏ
= + = − +
3.Giátr6trungbìnhc=acácñHilưCngv"tlý:Giátr7trungbìnhc8añilưngv+tlý
F
trong
trngtháiñưcmôt<b4ihàmsóng
ψ
ñưcxácñ7nhb4icôngth:c:
*
ˆ
( ) ( )F q F q dq= ψ ψ
∫
(khi
ψ
chuAnhoá)hobc
*
*
ˆ
( ) ( )
( ) ( )
q F q dq
Fq q dq
ψ ψ
=ψ ψ
∫
∫
(khi
ψ
chưachuAnhoá)
4.ðiuki*nñO2ñHilưCngv"tlýnh"ngiátr6xácñ6nhñ0ngthQi.
Xétñilưngv+tlý
ˆ
F
,gi<sFkhiño
F
tanh+nñưctr7riêng
n
f
.Khiñóh@ph<i4trong
trngtháimôt<b4ihàmsóng
k
ψ
làhàmriêngc8atoántF
ˆ
F
:
ˆ
n n n
F f
ψ = ψ
.
3
Gi<sF
G
làm,tñilưngv+tlýnàoñóc8ah@,n utrongtrngthái
n
ψ
taño
G
vành+n
ñưcgiátr7
n
g
thìhàm
n
ψ
cũngph<ilàhàmriêngc8atoántF
ˆ
G
:
ˆ
n n n
G g
ψ = ψ
.ði1unàycónghĩa
làcáctoántF
ˆ
F
và
ˆ
G
cóchunghàmriêng.Doñótacóth"nói:ñi1uki@nñ"haiñilưngv+tlýño
ñưcchínhxácñdngth)ilàcáctoántFtương:ngvNichúngcóhàmriêngchung.
ð6nhlý:ði>uki?nc@nvàññAhaitoánt*tuy2ntính
ˆ
F
và
ˆ
G
cóhàmriêngchunglàchúnggiao
hoánv0inhau.
ChRngminh:+ði1uki@ncfn:Gi<sF
ˆ
ˆ,F G
cóchunghàmriêng,cfnch:ngminh
ˆ
ˆ,F G
giaohoán
vNinhau.Gi<sF
n
ψ
làhàmriêngchungc8a
ˆ
ˆ,F G
,t:clà:
ˆ
ˆ,
n n n n n n
F f G g
ψ = ψ ψ = ψ
.Khiñótacó:
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
n n n n n n n n n
FG F G F g g F g f
ψ = ψ = ψ = ψ = ψ
;
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
n n n n n n n n n
GF G F G f f G f g
ψ = ψ = ψ = ψ = ψ
tXñósuyra
ˆ ˆ
ˆ ˆ (1)
n n
FG GF
ψ = ψ
.Gi<sF
Ψ
làhàmbtkỳ,khaitri"ntheo
n
ψ
,tacó:
n n
n
c
Ψ = ψ
∑
.
Vì
ˆ
ˆ,F G
làcáctoántFtuy ntínhnên:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )
n n
n
FG c FG
Ψ = ψ
∑
(2)và
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )
n n
n
GF c GF
Ψ = ψ
∑
(3).TX
(1),(2)và(3),tacó:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( )FG GF
Ψ = Ψ
hay
ˆ ˆ
ˆ ˆ
FG GF=
.
+ði1uki@nñ8:Gi<sF
ˆ ˆ
ˆ ˆ
FG GF=
,cfnch:ngminh
ˆ
ˆ,F G
cóhàmriêngchung.Th+tv+y,gi<sF
n
ψ
là
hàmriêngc8a
ˆ
F
:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
n n n n n n
F f GF f G
ψ = ψ ⇒ ψ = ψ
(4).Do
ˆ ˆ
ˆ ˆ
FG GF=
nên
ˆ ˆ
ˆ ˆ
n n
GF FG
ψ = ψ
(5).TX(4)
và(5),tanh+nñưc:
ˆ ˆ
ˆ
( ) ( )
n n n
F G f G
ψ = ψ
.ði1unàycónghĩalà
ˆ
n
G
ψ
cũnglàhàmriêngc8a
ˆ
F
:ng
vNicùngtr7riêng
n
f
vàdoñó,n utr7riêng
n
f
khôngsuybi nthì
ˆ
n n n
G g
ψ = ψ
.ði1unàycónghĩalà
n
ψ
cũnglàhàmriêngc8a
ˆ
G
:ngvNitr7riêng
n
g
.
TómlHi:ñi>uki?nñAhaiñilưngv,tlýcóthAñoñưcchínhxácñCngthDilàcáctoánt*tương
ngv0ichúngphigiaohoánv0inhau.
5.H*thRcb1tñ6nhHeisenberg.
Gi<sF
ˆ
ˆ
,A B
làcáctoántF:ngvNicácñilưngv+tlý
A
và
B
.N u
ˆ
ˆ
,A B
khônggiaohoánvNinhau
thì
ˆ ˆ
ˆ
,A B iC
=
,trongñó
ˆ
C
làm,ttoántFhermite.G*i
,A B
làgiátr7trungbìnhc8a
,A B
;tañưa
vào các toán tF
ˆ
ˆ
,
A B
:ng vNi các ñi lưng v+t lý
,
A A A B B B
= − = −
, khi ñó ta cũng có :
ˆ ˆ
ˆ
,A B iC
=
. Xét bt ñing th:c hi"n nhiên sau :
2
ˆˆ
( ) | ( ) | 0( )I A i B dV ℝα = α − ψ ≥ ∀α ∈
∫
(1).Tavi tli(1)dưNidng:
* * *
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )I A i B A i B dVα = α − ψ α + ψ
∫
(2).Vì
ˆ
ˆ
,A B
làcác
toántFhermitenên
ˆ
ˆ
,A B
cũnglàcáctoántFhermite,doñó(2)tr4thành:
{
}
* * 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( )( ) ,I A i B A i B dV A i A B B dV
α = ψ α + α − ψ = ψ α − α + ψ
∫ ∫
.
Vì
ˆ ˆ
ˆ
,A B iC
=
nêntacóth"vi t:
{
}
* 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ
( ) 0I A C B dV A C Bα = ψ α +α + ψ =α +α + ≥
∫

TXñâytathy:
( )I
α
làm,ttamth:cb+c2theo
α
cóh@s!c8a
2
α
là
2
0A ≥
,nênñ"
( ) 0I
α ≥
thì
bi@tth:cc8anóph<iâm,t:clà:
(
)
22 2
4 . 0C A B
− ≤
hay
(
)
2
2 2
.
4
C
A B ≥
(3).Lycănhaiv c8a(3)
vàñbt
2 2
,A A B Bδ = δ =
,tañưch@th:c:
| |
.
4
C
A Bδ δ ≥
,h@th:cnàyñưcg*ilàh@th:cbt
ñ7nhHeisenberg.Cácñilưng
2
A Aδ =
và
2
B Bδ =
ñưcg*ilàñ,btñ7nhc8a
A
và
B
.
4
2.PhươngtrìnhSchrodinger.
1.PhươngtrìnhSchrodingerkhôngphVthuIcthQigian.
Kh<osáthtchuy"nñ,ngtrongtrư)ngth 
( )V r
vàcónănglưngkhôngñLitheoth)igian.
G*i
E
lànănglưngc8ah@và ( )
E
r
ψ
làhàmsóng :ngvNitrngtháicónănglưng
E
.Nhưth 
( )
E
r
ψ
làhàmriêngc8atoántFnănglưng
ˆ
H
:ngvNitr7riêng
E
.Phươngtrìnhtr7riêngc8a
ˆ
H
có
dng: ˆ( ) ( )
E E
H r E r
ψ = ψ
(1).Thaybi"uth:c
2 2
ˆ
ˆ( ) ( )
2 2
p
H V r V r
m m
= + = − +
ℏ
vào(1)tanh+nñưc
phươngtrình:
[ ]
2
2
( ) ( ) ( ) 0
E E
m
r E V r r
ℏ
ψ + − ψ = (2).Phươngtrìnhnàyñưcg*ilàphươngtrình
SchrodingerkhôngphIthu,cth)igian.N uth năng
( )V V x
=
,tacóchuy"nñ,ng1chi1uvàlúcñó
(2)tr4thành:
[ ]
2
2
( ) 2 ( ) ( ) 0
d x m E V x x
dx
ℏ
ψ
+ − ψ =
(3)
a.Cáctínhch1tc=achuyOnñIng1chiu:
N uth năng
( )V x
làm,thàmchmnc8atoñ,thìnghi@mc8aphươngtrình(3)ph<ilà
m,thàmhobcchmn,hobcln
N uth năng
( )V x
V(xcóñi"mgiánñonh.uhnti
0
x
thìhàmsóngvàñohàmcp1
c8anóliêntIcti
0
x
.
b.HKth>1chiuvuônggócsâuvôhHn.
Xétm,thtchuy"nñ,ngtrongtrư)ngth 1chi1u
( )V x
códng:
0khi | |
( ) khi | |
x a
V x x a
<
=∞ ≥
.
PhươngtrìnhSchrodingerchohtcódng:
[ ]
2
2
( ) 2 ( ) ( ) 0
d x m E V x x
dx
ℏ
ψ
+ − ψ = (1).
+Trongmi1n
| |x a
≥
:
( )V x
= ∞
,htkhôngth"ñivàomi1nnàyvìkhôngth"cónănglưngb/ngvô
hn,doñóhàmsóngph<itri@ttiêutrongmi1nnày:
( ) 0(| | )x x a
ψ ≡ ≥

+Trongmi1n
| |x a
<
:
( ) 0V x
=
,phươngtrình(1)tr4thành:
22
2
0
dk
dx
ψ
+ ψ = (2)vNi:
2
2
20
mE
k= >
ℏ
(3)
Nghi@mtLngquátc8a(2)códng: ( ) cos sinx A kx B kx
ψ = +
(4),trongñó
,A B
làcách/ngs!tuỳ
ý.Vìth năng
( )V x
làhàmchmnc8atoñ,nênnghi@m(4)ph<ilàcáchàmchmnhobclnc8atoñ,.
*Cácnghi*mchXn:Khiñó ( ) ( )x x
ψ = ψ −
vàtX(4)tatìmñưc ( ) cosx A kx
ψ =
.TXñi1uki@n
liêntIcc8ahàmsóngti
x a
=
tacó: cos 0
2
n
n
ka k k
a
π
= ⇒ = = vNi
n
làcács!nguyênln.TXñi1u
ki@nchuAnhoá,tacó
2 2 2 2
| ( ) | 1 cos 1 1
a a
n
a a
x dx A k xdx A a
− −
ψ = ⇔ = ⇒ =
∫ ∫
,hay
1
Aa
=
.V+ynghi@m
chmncódng: 1
( ) cos 2
n
n x
xa
a
π
ψ = (5),trongñó
n
làs!ln.
*Cácnghi*mlY:Khiñó ( ) ( )x x
ψ = −ψ −
vàtX(4)tatìmñưc
( ) sinx B kx
ψ =
.TXñi1uki@nliên
tIcc8ahàmsóngti
x a
=
tacó: sin 0
2
n
n
ka k k
a
π
= ⇒ = = vNi
n
làcács!nguyênchmn.TXñi1u
ki@nchuAnhoá,tacó
2 2 2 2
| ( ) | 1 sin 1 1
a a
n
a a
x dx A k xdx A a
− −
ψ = ⇔ = ⇒ =
∫ ∫
,hay
1
Aa
=
.V+ynghi@m
5
lncódng: 1
( ) sin 2
n
n x
xa
a
π
ψ = (6), trongñó
n
làs!chmn.
Nhưv+ytrongc<hailoinghi@mchmnvàln,tacó
2
n
n
k
a
π
=
(7)vNi
n
∈
ℕ
.Thay(7)vào(4)tanh+n
ñưcbi"uth:cc8anănglưngc8aht:
2 2 2 2 2
2
( 1,2,...)
2 8
n
n
k
E n n
m ma
ℏ
ℏ
π
= = =
.TXñâytathyr/ng,
nănglưngc8ahtchuy"nñ,ngtrongh!th nh+ncácgiátr7giánñon,cácgiátr7chmnc8a
n
:ng
vNicácnghi@mln(6),còncácgiátr7lnc8a
n
:ngvNicácnghi@mchmn(5).
c.DaoñIngt5ñiuhoàtuy>ntính.
Daoñ,ngtFñi1uhoàtuy ntínhlàm,thtthTchiêncácdaoñ,ngbéxungquanhv7trícân
b/ngvNith năngcódng:
2 2
( )
2
m x
V x ω
=
,trongñó
ω
làtfns!c8adaoñ,ngtF.Phươngtrình
Schrodinger c8a dao ñ,ng tF có dng :
2 2 2
2 2
20
2
d m m x
E
dx
ℏ
ψ ω
+ − ψ =
(1). ðbt mx
ℏ
ω
ξ = và
E
ℏ
ε =
ω
(2) ta ñưa (1) v1 dng :
22
2
(2 ) 0
d
d
ψ
+ ε−ξ ψ =
ξ
(3). Ta tìm nghi@m c8a (3) dưNi dng
2
/ 2
( ) ( )e y
−ξ
ψ ξ = ξ
(4), thay (4) vào (3), ta nh+n ñưc phương trình cho
( )y
ξ
dưNi dng :
'' 2 ' (2 1) 0
y y y
− ξ + ε − =
(5).Phươngtrình(5)làphươngtrìnhHermite,nócónghi@mriêngdngña
th:cb+c
n
,khi
2 1 2n
ε − =
(6),nghi@mnàyñưcg*ilàñath:cHermitevàñưcxácñ7nhb4icông
th:c:
(
)
2 2
( ) ( 1)
n
n
nn
d
H e e
d
ξ −ξ
ξ = −
ξ
.TX(2)và(6),tanh+nñưcbi"uth:cchophLnănglưngc8a
daoñ,ngtFdưNidng:
1
2
n
E E n
= = + ω
ℏ
(vNi
0,1,2,...n
=
)cònhàmsóngc8adaoñ,ngtFdưNi
dng:
2
( ) ( ) exp 2
n n n
m m
x x C x H x
ℏ ℏ
ω ω
ψ = ψ = −
,trongñó
n
C
làh@s!chuAnhoá.TXtínhcht
trTcgiaoc8a
( )
n
H x
,tatìmñưc
4
1
2 !
nn
m
Cn
ℏ
ω
=
π
2.PhươngtrìnhSchrodingerphVthuIcthQigian: ( , ) ˆ( , )
r t
i H r t
t
ℏ
∂Ψ
= Ψ
∂
3.PhươngtrìnhliêntVc.
XétsTthayñLitheoth)igianc8am+tñ,xácsuttìmthyht
2 *
( , ) | ( , ) |r t r t
ρ = Ψ = Ψ Ψ
.
Tacó:
( )
*
* *
t t t t
∂ρ ∂ ∂Ψ ∂Ψ
= Ψ Ψ = Ψ + Ψ
∂ ∂ ∂ ∂
(1).MbtkháctXphươngtrình ˆ
i H
t
ℏ
∂Ψ
= Ψ
∂
,tasuyra:
ˆ
iH
t
ℏ
∂Ψ
= − Ψ
∂
(2).Lyliênhpph:chaiv c8a(2),tañưc
** *
ˆ
iH
t
ℏ
∂Ψ
= Ψ
∂
(3).Thay(2),(3)vào
(1)tanh+nñưc:
* * *
ˆ ˆ
iH H
t
ℏ
∂ρ
= Ψ Ψ −Ψ Ψ
∂
(4).Vì
2
ˆ( )
2
H V r
m
= − +
ℏ
nên:
2 2
* * * * * * *
ˆ ˆ
2 2
H H
m m
ℏ ℏ
Ψ Ψ −Ψ Ψ = − ΨΨ −Ψ Ψ =− ∇ Ψ∇Ψ −Ψ ∇Ψ
(5)
Thay(5)vào(4),tanh+nñưcphươngtrình: 0j
t
∂ρ
+∇ =
∂
(6),trongñó
(
)
* *
2
i
j
m
ℏ
= Ψ∇Ψ −Ψ ∇Ψ