TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----
BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12
TAÄP 4
OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC
Naêm 2009
Soá phöùc Traàn Só Tuøng
Trang 102
1. Khaùi nieäm soá phöùc
· Taäp hôïp soá phöùc: C
· Soá phöùc (daïng ñaïi soá) :
zabi
=+
(a, b
R
Î
, a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo, i2 = –1)
· z laø soá thöïc Û phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0)
z laø thuaàn aûo Û phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0)
Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo.
· Hai soá phöùc baèng nhau: '
’’(,,',')
'
aa
abiabiababR
bb
ì
=
+=+ÛÎ
í
=
î
2. Bieåu dieãn hình hoïc: Soá phöùc z = a + bi (a, b
)
R
ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M(a; b) hay
bôûi
(;)
uab
trong mp(Oxy) (mp phöùc)
3. Coäng vaø tröø soá phöùc:
·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+++=+++ ·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+-+=-+-
· Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi
·
u
r
bieåu dieãn z,
'
u
r
bieåu dieãn z' thì
'
uu
+
rr
bieåu dieãn z + z’ vaø
'
uu
-
rr
bieåu dieãn z – z’.
4. Nhaân hai soá phöùc :
·
(
)
(
)
(
)
(
)
'' ’–’’ ’
abiabiaabbabbai
++=++
·
()()
kabikakbikR
+=+Î
5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø
zabi
=-
·
11
22
;'';.'.';
zz
zzzzzzzzzz
zz
æö
=±=±==
ç÷
èø ;
22
.
zzab
=+
· z laø soá thöïc Û
zz
=
; z laø soá aûo Û
zz
=-
6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi
· 22
zabzzOM
=+==
uuuur
·
0,,00
zzCzz
³"Î=Û=
·
.'.'
zzzz
= ·
'
'
zz
z
z
= ·
'''
zzzzzz
-£±£+
7. Chia hai soá phöùc:
· 1
2
1
zz
z
-= (z
¹
0) · 1
2
''.'.
'
.
zzzzz
zz
zzz
z
-
=== ·
''
z
wzwz
z
=Û=
I. SOÁ PHÖÙC
CHÖÔNG
IV
SOÁ PHÖÙC
Traàn Só Tuøng Soá phöùc
Trang 103
8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc:
·
zxyi
=+
laø caên baäc hai cuûa soá phöùc
wabi
=+
Û 2
zw
=
Û 22
2
xya
xyb
ì
-=
í
=
î
· w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0
· w
0
¹
coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau
· Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø
a
±
· Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø
.
ai
±-
9. Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá phöùc cho tröôùc, A
0
¹
).
24
BAC
D=-
·
0
D¹
: (*) coù hai nghieäm phaân bieät 1,2 2
B
z
A
-±d
=, (
d
laø 1 caên baäc hai cuûa D)
·
0
D=
: (*) coù 1 nghieäm keùp: 12
2
B
zz
A
==-
Chuù yù: Neáu z0
Î
C laø moät nghieäm cuûa (*) thì
0
z
cuõng laø moät nghieäm cuûa (*).
10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc:
·
(cossin)
zri
=j+j
(r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z
¹
0)
22
cos
sin
rab
a
r
b
r
ì
ï=+
ï
ï
Ûj=
í
ï
ïj=
ï
î
·
j
laø moät acgumen cuûa z,
(,)
OxOM
j=
·
1cossin()
zziR
=Û=+Î
jjj
11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc
Cho
(cossin),''(cos'sin')
zrizri
=j+j=j+j
:
·
[
]
.''.cos(')sin(')
zzrri
=j+j+j+j
·
[ ]
cos(')sin(')
''
zr i
zr
=j-j+j-j
12. Coâng thöùc Moa–vrô:
·
[ ]
(cossin)(cossin)
nn
rirnin
j+j=j+j
, (
*
nN
Î)
·
( )
cossincossin
n
inin
j+j=j+j
13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc:
· Soá phöùc
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) coù hai caên baäc hai laø:
cossin
22
cossincossin
2222
ri
vaøriri
æö
jj
+
ç÷
èø
éù
æöæöæö
jjjj
-+=+p++p
ç÷ç÷ç÷
êú
èøèøèø
ëû
· Môû roäng: Soá phöùc
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) coù n caên baäc n laø:
22
cossin,0,1,...,1
nkk
rikn
nn
æö
++
+=-
ç÷
èø
jpjp
Soá phöùc Traàn Só Tuøng
Trang 104
VAÁN ÑEÀ 1: Thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng – tröø – nhaân – chia
AÙp duïng caùc quy taéc coäng, tröø, nhaân, chia hai soá phöùc, caên baäc hai cuûa soá phöùc.
Chuù yù caùc tính chaát giao hoaùn, keát hôïp ñoái vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân.
Baøi 1. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau:
a)
(
)
(
)
(
)
4–23–5
iii
+++
b) 1
22
3
ii
æö
-+-
ç÷
èø
c)
( )
25
23
34
ii
æö
---
ç÷
èø
d)
131
32
322
iii
æöæö
-+-+-
ç÷ç÷
èøèø
e)
3153
4545
ii
æöæö
+--+
ç÷ç÷
èøèø
f)
(
)
(
)
233
ii
-+
g)
i
i
i
i-
-
+
-2
1
3 h)
i
2
1
3
+ i)
i
i
-
+
1
1
k) mi
m l) aia
aia
-
+ m) )1)(21(
3
ii
i
+-
+
o)
1
2
i
i
+
-
p) ai
bia + q)
23
45
i
i
-
+
Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp toaùn sau:
a)
( ) ( )
22
11–
ii
+- b)
( ) ( )
33
23
ii
+--
c)
( )
2
34
i
+
d)
3
1
3
2
i
æö
-
ç÷
èø
e) 22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+-+
--+ f)
( )
6
2
i
-
g)
33
(1)(2)
ii
-+- h)
100
(1)
- i)
5
(33)
i
+
Baøi 3. Cho soá phöùc
zxyi
=+
. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau:
a) 2
24
zzi
-+
b)
1
-
+
iz
iz
Baøi 4. Phaân tích thaønh nhaân töû, vôùi a, b, c
Î
R:
a) 2
1
a
+
b) 2
23
a
+
c)
42
49
ab
+ d)
22
35
ab
+
e) 4
16
a
+
f) 3
27
a
-
g) 3
8
a
+
h) 42
1
aa
++
Baøi 5. Tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc:
a)
143
i
-+ b)
465
i
+ c)
126
i
-- d)
512
i
-+
e)
45
32
i
--
f)
724
i
g)
4042
i
-+
h)
1143.
i
+
i)
12
42
i
+ k)
512
i
-+
l)
86
i
+
m)
3356
i
-
VAÁN ÑEÀ 2: Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc
Giaû söû z = x + yi. Giaûi caùc phöông trình aån z laø tìm x, y thoaû maõn phöông trình.
Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (aån z):
a) 0
2=+ zz b) 0
2
2=+ zz
c) izz 422 -=+ d) 0
2=- zz
e)
218
zzi
-=--
f)
(
)
452
izi
-=+
Traàn Só Tuøng Soá phöùc
Trang 105
g) 1
4
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
iz
iz h)
i
i
z
i
i
+
+
-
=
-
+
2
31
1
2
i)
23112
zzi
-=- k)
()( )
2
323
izii
-+=
l) 0)
2
1
](3)2[( =+++-
i
izizi m)
11
33
22
zii
æö
-=+
ç÷
èø
o) 35
24
i
i
z
+
=-
p)
(
)
(
)
2
3250
zizz
+-+=
q)
(
)
(
)
22
910
zzz
+-+=
r) 32
235330
zzzi
-++-=
Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (aån x):
a) 01.3
2=+- xx b) 02.32.23 2=+- xx
c)
(
)
2
3430
xixi
--+-=
d) 2
3.240
ixxi
--+=
e) 2
320
xx
-+=
f) 2
.2.40
+-=
ixix
g) 3
3240
x
-=
h) 4
2160
x
+=
i) 5
(2)10
x
++=
k) 2
7 0
x
+=
l)
(
)
2
21420
xixi
++++=
m)
(
)
2
221840
xixi
--++=
o) 2
440
ixxi
++-=
p)
(
)
2
230
xix
+-=
Baøi 3. Tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng laàn löôït laø:
a)
2313
ivaøi
+-+
b)
244
ivaøi
-+
Baøi 4. Tìm phöông trình baäc hai vôùi heä soá thöïc nhaän a laøm nghieäm:
a)
34
i
=+
b)
73
i
a=- c)
25
i
=-
d)
23
i
a=-- e)
32
i
a=- f)
i
=-
a
g)
(2)(3)
ii
=+-
h)
51804538
234
iiii
=+++
a
i)
5
2
i
i
+
=
-
a
Baøi 5. Tìm tham soá m ñeå moãi phöông trình sau ñaây coù hai nghieäm z1, z2 thoaû maõn ñieàu kieän
ñaõ chæ ra:
a) 222
1212
10,:1
zmzmñkzzzz
-++=+=+
b) 233
12
350,:18
zmziñkzz
-+=+=
c) 222
12
30,:8
xmxiñkzz
++=+=
Baøi 6. Cho
12
,
zz
laø hai nghieäm cuûa phöông trình
(
)
(
)
2
123210
izizi
+-++-=
. Tính giaù
trò cuûa caùc bieåu thöùc sau:
a)
22
12
Azz
=+
b)
22
1212
Bzzzz
=+ c)
12
21
zz
C
zz
=+
Baøi 7. Giaûi caùc heä phöông trình sau:
a) î
í
ì
-=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21 b) î
í
ì
+-=+
--=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21 c)
35
12
24
12
0
.()1
zz
zz
ì
+=
ï
í
=
ï
î
d)
123
123
123
1
1
..1
zzz
zzz
zzz
ì
++=
ï++=
í
ï=
î
e)
125
83
4
1
8
z
zi
z
z
ì
-
=
ï-
ï
í-
ï
=
ï-
î
f)
1
1
3
1
z
zi
zi
zi
ì-
=
ï-
ï
í-
ï
=
ï+
î