Phân tích động lực học kết cấu tấm sử dụng phần tử tương thích LCCT12

Chia sẻ: Hoang Viet | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết phân tích động lực học tấm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử tương thích LCCT12; các lời giải về tần số dao động riêng của một số dạng bài toán tấm minh họa hiệu quả sử dụng của dạng phần tử này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích động lực học kết cấu tấm sử dụng phần tử tương thích LCCT12

PHAÂN TÍCH ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TAÁM SÖÛ DUÏNG PHAÀN TÖÛ TÖÔNG THÍCH LCCT12 Leâ Kieàu a; Nguyeãn Quang Tuyeán b ; Chu Quoác Thaéng c ; Leâ Hoaøi Long b; a Tröôøng ñaïi hoïc Kieán truùc Haø Noäi. b Tröôøng ñaïi hoïc Baùch Khoa TPHCM, c Tröôøng ñaïi hoïc Quoác Teá, Baøi baùonaøytrìnhbaøymoätcaùchphaântích ñoänglöïc hoïc taámsöûduïngphöông phaùp phaàn töû höõu haïn vôùi phaàn töû töông thích LCCT12 (Linear Curvature Compatible Triangle). Caùch tieápcaäncuûaphaàntöû LCCT12 vôùi baøi toaùnñoäng löïc hoïc öùng duïng lyù thuyeát taámmoûng cuûa Kirchhoff cuõng ñöôïc trình baøy. Caùc lôøi giaûi soá veà taànsoá dao ñoängrieângcuûamoätsoá daïng baøi toaùntaám minhhoaï hieäuquaûsöûduïngcuûadaïngphaàntöû naøy. 1. Giôùi thieäu Nghieân cöùu veà baøi toaùn taámluoân coù yù nghóa lôùn lao cho vieäc öùng duïng vaøo caùc keát caáu höõu duïng hieän höõu xung quanh chuùng ta: saøn nhaø, vaùch, naéphoaëcñaùybunker,hoànöôùc… Caùctính toaùngiaûi tích truyeànthoángña phaàn döïa treânlyù thuyeáttaámmoûngcuûaKirchhoff vôùi giaûthuyeátveàmaëttrungbình khoângbieándaïng ñaõ ñöôïc phaùttrieånduø raát toát vôùi caùc lôøi giaûi cuûa Ritz, Reyleigh, Leùvy, Navier… döôùi daïng chuoãi nhöng cuõng chægiôùi haïn vôùi moät soá ñieàukieänbieânnhaátñònh vaø phaànlôùn chælaø duøngñeågiaûi tìm noäi löïc maø thoâi. Ñoái vôùi phaântích ñoänglöïc hoïc baøi toaùntaámthì caùc nghieâncöùu giaûi tích döïa treânñònh luaätNewton, phöôngtrình coângaûo… coøn haïn cheáhôn nöõavì caùc khoù khaêntoaùnhoïc. Moät soá caùc phöôngphaùpxaápxænhö phöông phaùp bieán phaân, Galerkin… cuõng ñöôïc phaùt trieån ñeå giaûi quyeát caùc khoù khaêncuûa caùc phöôngphaùptruyeànthoángtuy nhieâncuõng gaëpphaûi caùc khoù khaêntöông töï. Moät soá caùc keát quaû coù theåtìm trong [5,11,13]. Cuøng vôùi söï phaùt trieån cuûa coâng ngheämaùy tính hieän nay, caùc tieáp caän söû duïng phöông phaùpsoá nhö phaàntöû höõu haïn, phaàntöû bieân, phöông phaùpkhoâng phaàntöû (meshless)… ñaõ ñöôïc nghieâncöùu aùp duïng vaø cho keátquaûraáttoát. Caùc khoù khaên vì khoái löôïng tính toaùn nhieàu ñaõ ñöôïc maùy tính vôùi toác ñoä vaø khaû naêngxöû lyù cao giaûi quyeát.Trong taátcaûcaùcphöôngphaùpsoáthì phöôngphaùp phaàntöû höõuhaïn coù theåñöôïc xemnhö moätcoângcuï raátmaïnhñeågiaûi quyeát haàuheát taát caû caùc baøi toaùn cô hieän nay ñaëc bieät laø baøi toaùn taám. Trong phöôngphaùpnaøy laïi tieáptuïc ñöôïc chia ra laøm nhieàucaùc moâhình khaùc nhau nhö moâhình caânbaèng,moâhình töôngthích… vaø moãi moâhình ñeàucoù caùcöu khuyeátñieåmkhaùcnhau. Trong phaïm vi baøi baùo naøy chuùng toâi muoán giôùi thieäu öùng duïng moät phaàntöû töôngthích vaøo nghieâncöùuñoänglöïc hoïc baøi toaùntaámñoù laø phaàn töû LCCT12 tuaân theo caùc giaû thieát taámmoûng cuûa Kirchhoff. Phaàn töû naøy cuõng ñaõ ñöôïc T.Q.Huøng [9,10] vaø N.N.Döông [8] nghieân cöùu aùp duïng tính toaùnnoäi löïc vaømoätsoáñaùnhgiaùsai soálôøi giaûi cho baøi toaùntaámvaøvoû. 1
Chuùngtoâi giôùi thieäucaùchtieápcaäncuûaphaàntöûLCCT12 vaømoätsoácaùc ví duï tính toaùn, so saùnhvôùi moät soá caùc keát quaû ñaõ coù hieän nay ñeå ñaùnh giaùhieäuquaûcuûaphaàntöûnaøytrongtính toaùnñoänglöïc hoïc taám. 2. Phaàn töû LCCT12 w3 3 x3 3 (2 ) w n w w 7 y3 n 6 n 6 w4 i 2 4 x4 j 1 1 0 0 y4 3 m (3 2 ) w k 4 w2 x2 2 (1 n 8 w1 w ) y2 1 x1 n 5 y1 Hình 1: PhaàntöûtöôngthíchLCCT12 vôùi 16 baäctöï do. PhaàntöûLCCT12 ‘Linear Curvature Compatible Triangle’ banñaàucoù16 baäctöï do treân bieân (hình 1), nhöng vôùi nhöõng giaû thuyeát vaø bieán ñoåi phaàn töû ‘LCCT-12’ seõgiaûmxuoángcoøn12 baäctöï do treânbieân: Haømchuyeånvò cuûatöøngphaàntöû coù theåñöôïc bieåudieãnquacaùcbaäctöï do cuûanuùtvaøhaømdaïng: w =N.q (1) Trongñoù: N : laø matraänhaømdaïng. q : laø vectorchuyeånvò nuùt. Trong phaàn töû ngoaøi chuyeån vò cuûa caùc goùc wi coøn coù caùc goùc xoay cuûa moãi goùc phaàn töû. w xi 1w i vôùi i = 1, 2, 3, 4 (2) y i w 2w i yi (3) x i Khoâng nhöõng theá coøn coù goùc xoay taïi 3 nuùt ôû giöõa caùc caïnh 5, 6, 7, 8 w i nw i vôùi i = 5, 6, 7, 8 (4) n i Chuyeån vò nuùt cuûa phaàn töû baây giôø ñöôïc bieåu dieãn qua caùc phaàn töû con w(k)(x,y) = N(k)(x,y).q(k) (5) Chuyeån vò nuùt cuûa phaàn töû con 1 q (1) w 2 x 2 y 2 w 3 x 3 y 3 6 w 0 x 0 y 0 T (6) 2
q(1) laø vector bao goàm 10 thaønh phaàn chuyeån vò, ta söû duïng haøm ña thöùc noäi suy baäc ba 10 thaønh phaàn cuûa Lagrange [11] cho moät phaàn töû con vaø ñöôïc bieåu dieãn trong heä toïa ñoä töï nhieân L L1 , L 2 , L 3 nhö sau: w P (7) Trong ñoù: P [ L31 L32 L33 L21 L 2 L21 L 3 L22 L 3 L22 L1 L23 L1 L23 L 2 L1 L 2 L 3 ] T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ñoái vôùi caùc phaàn töû con k = 1 4 thì haøm daïng seõ ñöôïc bieåu dieãn baèng N(L) . Töø coâng thöùc (6) ta suy ra vector chuyeån vò toaøn boä caùc nuùt q laø: T q w 1 x1 y1 w 2 x 2 y 2 w 3 x 3 y 3 w 4 x 4 y 4 5 6 7 8 | w 0 x 0 y 0 qTR | qTE 2.1 Ma traän ñoä cöùng phaàn töû T T k em B D B dV B H B dA (8) m Ve A em Trongñoù: m laø soáphaàntöû con. m =1, 2, 3, 4. 1 0 Et 3 H 2 1 0 ; [B] ( )[ N] 12(1 ) 1 0 0 2 2.2 Ma traän khoái löôïng phaàn töû T Ni N j Ni N j m em I0 N N I1 (9) A em x x y y Trongñoù: m : Soáphaàntöû con. m =1, 2, 3, 4. I 0, I1 : Laø moâmen quaùn tính cuûa khoái löôïng t2 t2 .t3 I0 dz .t ; I1 z2dz t2 t2 12 : Laø khoái löôïng rieâng cuûa vaät lieäu taám. 2.3 Gheùp noái vaø loaïi boû nuùt giöõa cuûa phaàn töû Ta coù w (1) N (e1) N (01) w ( 2) N (e2 ) N (02 ) q R (10) w ( 3) N (e3) N (03) q E w ( 4) N (e4 ) N (04 ) 3
Chuùngta thieátlaäpcaùcmatraäntheonhöõngñieàukieäntöôngthích treânnuùti, j, k, m nhösau: B (i1) Bi( 2 ) | B i(10) B i(02) B (j2) B (j3) | B (j02) B (j30) qR 0 (11) B (k3) B (k4 ) | B (k30) B (k40) qE B (m4) B (m1) | B (m40) B (m1)0 Suy ra B (i1) Bi( 2 ) Bi(10) B i(02 ) B (j2) B (j3) B (j02 ) B (j30) qR qE (12) B (k3) B (k4 ) B (k30) B (k40) B (m4) B (m1) B (m40) B (m1)0 Trongñoù B i(1) B i( 2 ) B i(10) B i(02 ) B (j2 ) B (j3) B (j02 ) B (j30) [B]4 x16 , [B 0 ]4 x 3 (13) B (k3) B (k4) B (k30) B (k40) B (m4 ) B (m1) B (m40) B (m1)0 Ñaët: [BB] 3x3 = [B0]T3x4 [B0]4x3 Vì vaäy T qE BB 3 3 B 0 3 4 B 4 16 q R C q R (14) Baèng caùch thay (14) vaøo trong (10), Ta coù ñöôïc haøm chuyeån vò nhö sau: w (1) N (e1) N (01) C w ( 2) N (e2 ) N (02) C qR (15) w ( 3) N (e3) N (03) C w ( 4) N (e4 ) N (04) C Ma traän ñoä cöùng cuûa phaàn töû coù ñöôïc baèng caùch “laáy toång” ñoä cöùng cuûa 4 phaàn töû con. Tieáp theo söû duïng söï coâ ñaëc tónh (static condensation) ñeå giaûm caùc baäc töï do beân trong cuûa phaàn töû. Vaø söû duïng ñieàu kieän naêng löôïng toaøn phaàn döøng ñeå tìm ra ñöôïc ma traän ñoä cöùng phaàn töû. Caùc thuû tuïc treân coù theå tìm ñöôïc trong [8]. Ma traän khoái löôïng m cuûa phaàn töû ñöôïc thieát laäp nhö trình töï treân nhö sau: 4 (i ) m m (16) i 1 m RR m RE m m ER m EE 4
Trong ñoù chæ soá R vaø E trong caùc ma traänlaàn löôït duøngñeåquy ñònh cho caùcthaønhphaàncuûaphaàntöû tamgiaùctöôngöùngvôùi caùcbaäctöï do cuûacaùc nuùt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 vaø caùc baäc töï do beântrong cuûa nuùt 0 maø ñaõ ñöôïc giaûnlöôïc. Vôùi moätphaàntöû, ñoängnaêngTe coù theå ñöôïc tính nhö sau: 1 Te  Te w w  e dV (17) 2 Ve Maø nhö ta ñaõ bieát do chuyeån vò laø haøm thôøi gian, caùc ñieåm cuûa phaàn töû chuyeån ñoäng vôùi vaän toác baèng ñaïo haøm baäc nhaát cuûa chuyeån vò theo thôøi gian t: w e N q e ÔÛ ñaây: q e laø vectorvaäntoáccaùcñieåmnuùtcuûaphaàntöû. Suy ra: 1 T T 1 T Te q N N dV q q m q 2 e Ve e 2 e e 1 T m RR m RE q R 1 T m RR m RE q R q R q TE q R q TR C T 2 m ER m EE q E 2 m ER m EE Cq R 1 T q R m RR C T m ER m RE C C T m EE C q R 2 Trongñoù: m e m RR C T m ER m RE C C T m EE C (18) Thöïc teáthaáyraèngphaântích caùcnuùtgiöõacaïnh 5, 6, 7, 8 laø phöùctaïp. Tuy nhieân, neáu ñoä doác phaùp tuyeánthay ñoåi tuyeántính doïc theo caïnh thì nuùt taïi giöõa caïnh ñöôïc boû ñi vaø coi goùc xoay taïi nuùt giöõa laø trung bình coäng cuûa goùcxoaytaïi nuùti vaønuùtj: xi xj yi yj k xk cos ij yk sin ij cos ij sin ij (19) 2 2 Vôùi : k =5, 6, 7, 8 vaøαij laø goùc cuûa caùc caïnh ij =12, 23, 34, 41 Luùc naøyñoái vôùi phaàntöû LCCT chæcoønlaïi 12 baäctöï do (thayvì 16) nhöng hoaøntoaøntöôngthích vôùi söï raøngbuoäcveànhöõngñoädoácphaùptuyeántuyeán tính khaùcdoïc theocaùccaïnhbieân(hình2). 3 3 w n w 7 n 6 4 4 2 2 w n 8 w 1 n 5 1 Hình 2: phaàntöûLCCT12 saukhi ñaõgiaûnlöôïc. 3. Caùc ví duï tính toaùn 5
Baûn vuoâng laøm baèng vaät lieäu ñaúng höôùng coù caùc thoângsoánhö sau: kích thöôùccuûabaûn:a =b =4 m. Chieàudaøy baûn: h = 0.1 m. Moâñun ñaøn hoài: E = 2.5311 10 9 Kg/m2. Heä soá Poisson: = 0.2. Khoái löôïng rieâng: = 244.8 kg/m3. 3.1 Taám boán caïnh töïa ñôn x a a y Hình 3: Taámboáncaïnhtöïa ñôn ÔÛ ví duï naøychuùngta seõxemxeùtcaùcgiaùtrò taànsoávoøngcuûataámtrong 5 mode ñaàu tieân. Chuùng ta seõ so saùnh keát quaû cuûa phaàn töû LCCT12 vôùi phaànmeàmSAP 2000söûduïngphaàntöû taámlaø thin-plate.Ngoaøi ra coønso saùnh vôùi keát quaû töø moätnghieâncöùu tröôùc ñaây laø [14]. ÔÛ ñaây löôùi chia 10x10 seõ ñöôïc söû duïng. Caùc keát quûathu ñöôïc töø caùc loaïi phaàntöû khaùcnhauseõ ñöôïc so saùnhvôùi lôøi giaûi giaûi tích (chính xaùc) trong[5] nhö hình 4 vaø trình baøy ôû baûng1. Hai phaàntöû khaùcsöûduïnglyù thuyeátMindlin (taámdaøy) cuõngñöôïc trìnhbaøyñeåthamkhaûo. 9,000 8,000 7,000 6,000 Huø ng[ ] - LT Mindlin 5,000 Sai soá Huø ng[ ] - LT Kirchhoff SAP2000 - Thin-plate 4,000 SAP2000 - Thick-plate 3,000 Phaà n töû'LCCT-12' 2,000 1,000 0,000 w11 w12 w13 w14 w22 Loaïi taàn soá Hình 4: Sai soá% cuûacaùcloaïi phaàntöû so vôùi lôøi giaûi chínhxaùc[5]. 6
Baûng1: Sai soá(%) taànsoácuûacaùcphaàntöû trong5 modedaoñoängñaàutieânso vôùi [5]. ST w12=w w14=w T Caùc loaïi phaàn töû w11 21 w13=w31 41 w22 1 Huøng[14] - LT Mindlin 0,496 2,707 8,944 7,292 2,291 2 Huøng[14] - LT Kirchhoff 0,539 0,880 1,034 1,106 2,036 3 SAP2000 - Thin-plate 0,736 1,188 1,372 1,591 2,930 4 SAP2000 - Thick- plate 1,608 1,995 2,341 2,842 4,182 5 Phaàn töû 'LCCT-12' 0,359 0,527 0,505 0,442 1,433 Coù theå thaáy raèng, phaàn töû LCCT12 cho keát quaû toát hôn so vôùi hai phaà töû cuøng tuaân theo lyù thuyeát Kirchhoff laø phaàn töû soá 2 vaø 3. Phaàn töû soá söû duïng lyù thuyeát Mindlin cuõng cho keát quaû ñoàng daïng vôùi ba phaàn töû tröô vaø sai khaùc giöõa chuùng laø khoâng lôùn. Phaàn töû soá 1 cho keát quaû khoâng o ñònh,caàn chuù yù khi söû duïng phaàn töû naøy. Chuùng ta seõ xem xeùt möùc ñoä hoäi tuï cuûa phaàn töû LCCT12 baèng vieäc tha ñoåi löôùi chia phaàn töû laø 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 vaø cuõng so saùnh vôùi phaàn t thin-plate söû duïng trong SAP2000. ÔÛ ñaây chuùng ta chæ xem xeùt keát quaû cu mode dao ñoäng ñaàu tieân 11. Lôøi w giaûi chính xaùc trong [5] cho mode naøy laø 116.87 rad/sec. Caùc keát quaû tính toaùn ñöôïc trình baøy ôû hình 5 vaø lieät keâ trong baûng 2. 7
Hình 5: Khaûo saùt ñoä hoäi tuï cuûa phaàn töû LCCT12 – taám 4 caïnh töïa. Baûng 2: Taàn soá dao ñoäng mode ñaàu tieân vôùi caùc löôùi chia phaàn töû. Loaïi phaàn töû 2x2 4x4 8x8 16x16 SAP2000 - Thin-plate 96,356 111,444 115,517 116,537 SAP2000 - Thick-plate 107,983 112,804 114,562 115,765 Phaàn töû 'LCCT-12' 127,019 119,794 117,568 117,006 Ta thaáy phaàn töû LCCT12 hoäi tuï nhanh hôn so vôùi Sap thin- plate. Ñoä hoäi tuï ñeán lôøi giaûi chính xaùc khi ñoä mòn löôùi taêng leân cuûa LCCT12 toát hôn haún so vôùi SAP thin-plate. Ñoä hoäi tuï cuûa phaàn töû Sap thick-plate cuõng raát nhanh. Khi hoäi tuï, keát quaû giöõa hai loaïi phaàn töû taám daøy vaø moûng coù veû khoâng khaùc nhau laém. Moät ñaëc bieät nöõa laø LCCT12 tìm ñeán lôøi giaûi chính xaùc nhö moät caän treân coøn Sap thin-plate thì nhö moät caän döôùi. 3.2 Taám boán caïnh ngaøm ÔÛ ví duï naøy chuùngta seõ xem xeùt baøi toaùndöôùi nhöõngñieàukieän bieân khaùc.Cuõnggioángví duï treân,ñaàutieânchuùngta cuõngsöûduïnglöôùi chia 10x10 phaàntöû ñeå so saùnhcaùc loaïi phaàntöû trong 5 modedao ñoängñaàutieân. Caùc keátquûathu ñöôïc töø caùc loaïi phaàntöû khaùcnhaucuõngseõ ñöôïc so saùnhvôùi lôøi giaûi chínhxaùctrong[5] nhöhình7 vaøtrìnhbaøyôû baûng3. 8
x a a y Hình 6: Taámboáncaïnhngaøm. 14,000 12,000 10,000 Huø ng[ ] - LT Mindlin 8,000 Huø ng[ ] - LT Kirchhoff Sai soá SAP2000 - Thin-plate 6,000 SAP2000 - Thick-plate Phaà n töû'LCCT-12' 4,000 2,000 0,000 w11 w12 w13 w14 w22 Loaïi taàn soá Hình 7: Sai soácuûacaùcloaïi phaàntöû so vôùi lôøi giaûi chínhxaùc[5]. Baûng3: Sai soá(%) taànsoácuûacaùcphaàntöû trong5 modedaoñoängñaàutieânso vôùi [5]. ST w12=w w13=w3 w14=w T Caùc loaïi phaàn töû w11 21 1 41 w22 1 Huøng[14] - LT 10,65 Mindlin 1,995 5,906 13,335 5,600 7 2 Huøng[14] - LT Kirchhoff 0,948 1,309 1,833 2,842 3,537 3 SAP2000 - Thin-plate 1,352 1,841 2,452 4,177 5,374 4 SAP2000 - Thick-plate 1,746 2,158 2,533 4,360 5,309 5 Phaàn töû 'LCCT-12' 0,821 0,978 0,434 2,302 2,714 9
Keát quaû cuõng töông töï ví duï tröôùc. LCCT12 cho keát quaû toát hôn so vôùi cuûa phaàn töû soá 2 vaø 3. Phaàn töû soá 1 cho keát quaû vaãn khoâng oån ñònh neân söû duïng phaàn töû naøy khoâng hieäu quaû. Vaø tieáp theo chuùng ta cuõng xem xeùt möùc ñoä hoäi tuï cuûa phaàn töû LCCT12 vôùi ñoä mòn löôùi chia phaàn töû thay ñoåi: 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 vaø cuõng so saùnh vôùi phaàn töû söû duïng trong SAP2000. ÔÛ ñaây chuùng ta cuõng chæ xem xeùt keát quaû cuûa mode dao ñoäng ñaàu tieân w11. Lôøi giaûi chính xaùc trong [5] cho mode naøy laø 213.04 rad/sec. Caùc keát quaû tính toaùn ñöôïc trình baøy ôû hình 8 vaø lieät keâ trong baûng 4. Hình 8: Khaûo saùt ñoä hoäi tuï cuûa phaàn töû LCCT12 – taám boán caïnh ngaøm. Baûng 4: Taàn soá dao ñoäng mode ñaàu tieân vôùi caùc löôùi chia phaàn töû. Loaïi phaàn töû 2x2 4x4 8x8 16x16 149,78 197,05 208,59 211,90 SAP2000 - Tấm mỏng 9 2 8 5 687,59 216,33 208,29 210,86 SAP2000 - Tấm dày 7 7 4 3 10
224,68 221,22 215,79 213,65 Phaàn töû 'LCCT-12' 2 1 5 4 ÔÛ ñaây LCCT12 cuõng hoäi tuï raát nhanh vaø khi ñaït ñoä mòn löôùi caàn thieát thì keát quaû gaàn nhö ñaït chính xaùc. Caùc keát luaän Söû duïng phaàntöû LCCT12 ñaõ cho caùc keátquaûtoát, lôøi giaûi soá gaànnhö saùt vôùi lôøi giaûi chínhxaùc.Ñaëcbieätkhi so saùnhvôùi phaàntöû söû duïngtrongphaàn meàmraátthoângduïng hieännay ôû Vieät Nam laø Sap2000khi phaântích ñoänglöïc hoïc baøi toaùntaámmoûnglaïi cho keátquaûtoáthônhaún.LCCT12 ñaõcho keátquaû hoäi tuï raátnhanh,soá baäctöï do cuûanoù cuõngít, do ñoù neáusöû duïng phaàntöû naøyñeåphaântích seõkhoângcaànchia löôùi mònvaø coù theåruùtngaénñöôïc thôøi gianphaântích baøi toaùn. Tuy nhieântrongphaïmvi baøi baùonaøymôùi chæphaântích baøi toaùndaoñoäng rieângkhoângxeùtñeánheäsoá nhôùt.Caùc vaánñeàdao ñoängkhaùccuûabaøi toaùn taámhi voïng seõ ñöôïc trình baøy trong caùc nghieâncöùu tieáp theo. Phaân tích dao ñoäng baøi toaùn voû moûng laø nhöõng phaùt trieån maø caùc taùc giaû ñang thöïc hieän. Moät höôùngphaùttrieåntöônglai nöõañoù laø vaänduïng lyù thuyeáttaámdaøy cuûaMindlin vaøoloaïi phaàntöû naøycuõnglaø nhöõngnghieâncöùukhaùthuùvò. Taøi lieäu tham khaûo [1]. A. J. M. Ferreira, C. M. C. Roque et all – "Analysis of Thin Isotropic Rectagular and Circular Plates with Multiquadrics", Strength of Materials, Vol. 37, No. 2, 2005. 11
[2]. Ansel C. Ugural – “ Stresses in Plates and Shell (Second Edition)”. New Jersey Institute of Texhnology – McGraw-Hill Inc – 1999. [3]. Chu Quoác Thaéng – “ Phöông Phaùp Phaàn Töû Höõu Haïn”. NXB KHKT – 1997. [4]. Clough, R.W and C.A Felippa – “ A Refined Quadrilateral Element for the Analysis of Plate Bending Pro. Of the Second Conf. on Matrix Methods in Structural Mechanics”. Wright Patterson Air Force Base, Ohio, 10/1968. [5]. Eduard Ventsel and Theodor Krauthammer - " Thin Plates and Shells : Theory, Analysis, and Applications", Marcel Dekker, 2001. [6]. Hutton – “ Fundamental of Finite Element Analysis” McGram-Hill, 2004. [7]. J. H. Argyris – “ Energy Theorems of Structural Analysis” . Aircraft Engineering, Vol. 26, 1954, pp. 347-356 and 383-387. [8]. Nguyeãn Ngoïc Döông – “ Conforming Model And Error Estimation FEM for Plate Bending and Thin Shell Structures”. Master thesis of EMMC 9, 10/2005. [9]. Nguyeãn Xuaân Huøng – “ Ladeveøze-type compatibily error assessment for plate bending”. Master thesis of EU-EMMC, Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TPHCM 2/2003. [10]. Nguyeãn Xuaân Huøng– “ The equilibrium element finite model and error estimation for plate bending”. Int Congress Engineering Mechanics Today, Ho Chi Minh City, 08/2004. [11]. O.C.Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng and R.T. Taylor – “ The Finite Element Method”, MPG Books Ltd, 2000. [12]. R. L.Taylor, S. Govindjee – “ Solution of clamped rectangular plate problem” UCB/SEMM 09/2002. [13]. S. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger – “ Theory of Plates and Shells”. Mcgraw-Hill, New York, 1959. [14]. Traàn Quoác Huøng – " Khaûo saùt aûnh höôûng cuûa ñieàu kieän bieân, ñoä daøy, tæ leä caùc caïnh ñeán ñaëc tröng ñoäng löïc hoïc cuûa taám chöõ nhaät", Luaän vaên thaïc só cuûa Tröôøng ÑHBK-TpHCM, 2001. 12