Phân tích kết cấu vòm Ellipse liên tục chịu tải trọng tổng quát bằng phương pháp ma trận chuyển tải tiến

KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> PhÝn tÈch kät cÞu vÎm Ellipse liãn tÖc<br /> chÌu tÀi trÑng tìng qu¾t<br /> bÙng phõïng ph¾p ma trân chuyæn cÀi tiän<br /> ThS. Lã DÕng BÀo Trung<br /> <br /> <br /> Tóm tắt 1. Đặt vấn đề<br /> <br /> Bài báo nêu cách phân tích tuyến tính nội lực, Vòm Ellipse là dạng kết cấu cổ điển, trong các công<br /> trình cổ đại vòm có cấu tạo đơn giản, tính toán không<br /> chuyển vị của vòm hình Ellipse liên tục, chịu<br /> phức tạp. Ngày nay vòm được sử dụng rộng rãi với quy<br /> tải trọng bất kì trong không gian bằng phương mô lớn, khi làm việc vòm chịu tải trọng bất kì trong không<br /> Hình 6. Đồ thị biến thiên chuyển vị theo phương trục x phụ thuộc thời gian tại điểm A(50,0) pháp ma trận chuyển cải tiến. Kết quả nghiên gian (động đất ngang, đứng; gió ngang, dọc đồng thời,..)<br /> trong 2 trường hợp: cứu được lập trình bằng Matlab và kiểm chứng nhưng các tài liệu cơ học kết cấu hiện nay chỉ chủ yếu<br /> 1. Trường hợp không có đai cản; với chương trình SAP 2000. đề cập đến tính toán vòm với tải trọng trong mặt phẳng,<br /> 2. Trường hợp không có đai cản dày 20m tải trọng ngoài mặt phẳng vòm chưa có nhiều. Khi nhịp<br /> vòm lớn, sử dụng kết cấu thép, vòm thường có tiết diện<br /> Abstract nhỏ, mảnh, nên cần hệ giằng ngoài mặt phẳng vòm, hoặc<br /> Giai đoạn 2 thể hiện sai số của tính toán và phụ thuộc phần đồ thị chưa có tác dụng của các sóng phản xạ trong có cột chống trong phạm vi nhịp. Tính toán kết cấu vòm<br /> This paper presents a new method in linear analysis này, vị trí giằng hoặc cột chống được thay thế bằng các<br /> vào kích thước tính toán của mô hình phần tử hữu hạn. khoảng thời gian 0 ≤ T ≤ 0.36s. Điều này có nghĩa là để<br /> Độ dài của phần này phụ thuộc vào kích thước của V1 và nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng trong một miền of internal force and displacement of continous ellipse gối tựa hình thành sơ đồ tính vòm liên tục tương ứng<br /> xác định theo thời gian sóng đi tới biên gần nhất V1, phản có bán kính 150m cần chọn kích thước mô hình tính toán arch under 3D loads by Enhancements Transfer theo các phương. Bài báo trình bày phương pháp ma trận<br /> xạ và quay về điểm đang xét. V1 là A=H>VpT=1000*0.36=360(м) Method. Results are programed by Matlab and chuyển cải tiến tính toán vòm hình Ellipse liên tục chịu tải<br /> Giai đoạn 3 thể hiện tác dụng của sóng phản xạ tại các Để giảm bớt kích thước của mô hình PTHH chúng ta<br /> verified by SAP 2000 programe. trọng bất kì. Kết quả nghiên cứu ứng dụng được cho các<br /> kết cấu vòm, dầm cầu vượt, các dạng dầm nằm ngang.<br /> biên ảo mô hình (các biên này thực tế không tồn tại trong sẽ thêm các lớp đai cản biên V1 với các tính chất cơ lý<br /> bán không gian). Từ thời điểm này các kết quả sẽ không không đổi những hệ số cản được tăng dần từ trong ra đến 2. Xây dựng ma trận độ cứng phần tử thanh cong<br /> còn tương ứng với cách giải của bài toán đã cho. biên ngoài. Việc đưa thêm các đai cản có làm giảm rõ rệt Ellipse<br /> tác dụng của các sóng phản xạ tại các biên ảo (hình 6). Keywords: Planar Ellipse Arc; 3D Load; Curved<br /> So sánh đồ thị chuyển vị của điểm A và B ta nhận thấy 2.1. Tóm tắt nội dung phương pháp ma trận<br /> tác dụng của sóng phản xạ tại các biên ảo tác dụng vào 4. Kết luận<br /> Element; Linear Analysis; Enhancements Transfer<br /> chuyển cải tiến<br /> điểm B nhanh hơn và lớn hơn so với điểm A. Điều này Method (Vòm phẳng Ellipse; Tải trọng không gian;<br /> Sử dụng phương pháp chọn kích thước mô hình bán Phần tử cong; Phân tích tuyến tính; Phương pháp Gọi đoạn thanh cong m cần phân tích có hai đầu mút<br /> xảy ra do khoảng cách từ B tới các biên ảo gần hơn là A.<br /> không gian được xây dựng trên cho phép xác định kích là 1 và 2, quy ước ứng lực và chuyển vị nút là dương khi<br /> Dễ dàng nhận thấy việc tăng kích thước vùng tính toán<br /> thước tối thiểu của mô hình tính theo phương pháp PTHH (PP) ma trận chuyển (MTC) cải tiến).<br /> làm giảm tác dụng sóng phản xạ từ các biên của mô hình. cùng chiều với hệ tọa độ (HTĐ) riêng. Kí hiệu {P}, {M},<br /> bài toán động hệ “Công trình – Nền đất” chịu tác dụng {U}, {Ω} là các véc tơ ứng lực, mômen, chuyển vị thẳng<br /> Việc lựa chọn kích thước của mô hình tính phải đủ để<br /> xung động trên bề mặt. Các tiêu chuẩn trên có thể phát và xoay tại nút, véc tơ ứng lực và chuyển vị nút tổng<br /> tách ra phần đồ thị không có tác dụng của sóng phản xạ<br /> triển và áp dụng cho mô hình nền đất không đồng nhất<br /> tại biên ảo (đoạn 1).<br /> M 1} , {U1} = {U 1 Ω1 } ,<br /> T<br /> <br /> So sánh ba trường hợp kích thước V1 khác nhau ta<br /> chịu xung động trên bề mặt và bên trong nền đất./. ThS. Lê Dũng Bảo Trung quát có dạng {P1} = {P1 T<br /> <br /> Bộ môn Kết cấu Thép - Gỗ, Khoa Xây Dựng<br /> nhận thấy trong trường hợp 2 và 3 có thể tách ra ràng<br /> M 2 } , {U2 } = {U 2 Ω 2 } . Biểu thức cơ<br /> T<br /> ĐT: 098 583 9898 {P2 } = {P2 T<br /> <br /> Email: Trungldb@gmail.com bản của phương pháp MTC, là mối liên hệ giữa tải trọng<br /> - chuyển vị ở đầu 1 và 2 của phần tử thanh m (N.Trâm,<br /> 1982), [1], như sau:<br /> s2<br />  T −1<br /> <br />   A U<br /> <br /> U 2   12   2   A  [B ] ds [ A1 ]−1 <br /> ∫<br />  = s1 <br /> P2   P <br />  O3 −  A12   (1)<br /> U1  T11 T12  U1  U1 <br /> =  =    [T ]  <br /> P1  T21 T22  P1  P1 <br /> <br /> Trong đó [A12U], [A12P] là các ma trận biểu thị vị trí<br /> phần tử; [A1], [A2] là ma trận vị trí các nút 1 và 2. Ma<br /> trận chuyển [T] là tập hợp các đặc trưng hình học và cơ<br /> học của phần tử. Biểu thức (1) là hệ phương trình đại số<br /> <br /> <br /> 44 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG S¬ 24 - 2016 45<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> <br />  ab ab  sin ϕ cos ϕ ab sin ϕ cos ϕ ab<br /> C6 <br /> = − ; C7 =<br /> − − sin ϕ cos ϕ ;<br />  EI y ' GI x '  a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ EF a 2<br /> sin 2<br /> ϕ + b 2<br /> cos 2<br /> ϕ EI<br />   z'<br /> <br />  a 2b a 2b b3  sin ϕ cos 2 ϕ a 2b sin 3 ϕ<br /> xC6 − yC1 =<br /> − − +  − ;<br />  GI x ' EI y ' EI y '  a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ GI x ' a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br />  <br />  a3 ab 2 ab 2  sin 2 ϕ cos ϕ ab 2 cos3 ϕ<br /> xC2 − yC6 =  + −  + ;<br />  EI y ' GI x ' EI y '  a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ GI x ' a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br />  <br /> <br /> ( )<br /> 2<br /> 2 2 a 2b 2 1 a 2 − b2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ<br /> C2 + y C1 − 2 xyC6<br /> x= + ;<br /> Hình 1. Quan hệ hình học giữa ϕ và S Hình 2. Phần tử thanh cong phẳng Ellipse GI x ' a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ EI y ' a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> ϕ2<br /> tuyến tính có ẩn số là các chuyển vị nằm ở cả hai vế của phương trình, cải tiến Biểu thức (1) đưa ẩn số về cùng một<br /> vế, ta có:<br /> Các tích phân thành phần của ∫  B  ds<br /> ϕ1<br /> có dạng:<br /> <br /> <br /> ϕ2 ϕ2  <br /> a2 sin 2 ϕ b2 cos 2ϕ<br /> ∫ ∫<br /> −1<br /> P1   −T12 T11 T12−1  U1   K11 K12  U1  U  =C1ds  +  dϕ ;<br /> =   = <br /> −1   =   [ kc ]m U1  (2)  GI x '<br /> ϕ1  a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ EI y ' a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ <br /> P2  T21 − T22T12 T11 T22T12  U 2   K 21 K 22  U 2 <br /> −1 ϕ1<br />  2<br /> ϕ2 ϕ2  <br /> b2 cos 2ϕ a2 sin 2ϕ<br /> Biểu thức (2) có dạng biểu thức của PP phần tử hữu hạn, biểu thức này được xây dựng từ PP ma trận chuyển,<br /> trong đó [kc]m là ma trận độ cứng (MTĐC) của phần tử thanh cong m trong HTĐ chung. Vận dụng đặc điểm sơ đồ tính<br /> =C2 ds∫<br /> ϕ<br /> ∫<br />  GI x '<br /> ϕ1  a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> +<br /> EI y '<br />  dϕ ;<br /> a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ <br /> của thanh là dạng tuyến, không phân nhánh, xây dựng được [kc]m, và giải bài toán theo trình tự PP phần tử hữu hạn, 1<br /> <br /> [3]. ϕ2 ϕ2 ϕ2   1<br /> ϕ2 <br /> 1 1  sin ϕ cos ϕ<br /> 2.2. Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử thanh cong Ellipse = ∫<br /> C3 ds<br /> ϕ1<br /> ∫<br /> ϕ1<br /> EI z '<br /> a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ;<br /> ϕ1<br /> ∫<br /> C6 ds =  −ab <br /> <br /> ϕ1 <br /> ∫ − <br />  GI x ' EI y '  2 2<br /> <br />  dϕ ;<br />  a sin ϕ + b cos ϕ <br /> 2 2<br /> <br /> Ellipse thuộc dạng thanh có bán kính cong biến đổi, gọi độ dài các bán trục trên HTĐ Oxy là a và b tương ứng trục<br /> Ox và Oy, tham số góc ϕ = (00 ÷ 3600). Cách xác định điểm S(xϕ, yϕ) trên Ellipse tương ứng tham số góc ϕ, thể hiện ϕ2 ϕ2  2 <br /> a sin 2 ϕ b2<br /> trên Hình 1. ∫C4 ds<br /> = ∫ +<br />  EF a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ EI z '<br /> ϕ1 <br /> sin 2 ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ  dϕ ;<br /> <br /> Phương trình tham số trục thanh Ellipse có dạng xϕ = acosϕ, yϕ = bsinϕ. Quy ước HTĐ riêng, dấu của chuyển vị, ϕ1 <br /> ứng lực như Hình 2, trục z và z’ trong hình vẽ biểu diễn vuông góc với mặt phẳng trục thanh. Gọi η là góc biến đổi tọa ϕ2 ϕ2  <br /> độ giữa trục x’-x, dựa vào phương trình tiếp tuyến của Ellipse tại điểm S(xϕ, yϕ) và công thức chuyển đổi lượng giác b2 cos 2ϕ a2<br /> giữa các cung liên kết, ta xác định được mối liên hệ giữa η và ϕ (rad) như sau: ∫C5 ds<br /> = ∫ <br /> ϕ1 <br /> +<br />  EF a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ EI z '<br /> cos 2ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ  dϕ ;<br /> <br /> ϕ1 <br /> xϕ b sin ϕ b b  ϕ2  ab<br /> ϕ2<br /> sin ϕ cos ϕ ab <br /> tan (π − η ) =− tan η = 2 ⇒ tan η =− cot ϕ → η =−a tan  cot ϕ <br /> a − xϕ 2<br /> a  a  ∫ C7 ds = ∫<br /> −<br /> ϕ1 <br /> −<br /> EF a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ EI z '<br /> sin ϕ cos ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ  dϕ ;<br /> <br /> ϕ1 <br /> Từ đó tính được: ϕ1 ϕ1  <br />  a 2b a 2b b3  sin ϕ cos 2 ϕ a 2b sin 3 ϕ<br /> 'dx<br /> xϕ = −asinϕ ; dx =<br /> = −asinϕ dϕ ; dy = ( dx )2 + ( dy )2 =<br /> b cos ϕ dϕ ; ds = a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ; ∫ ( xC6 − yC1 ) ds =∫ −  − +  −<br />  GI x ' EI y ' EI y '  a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ GI x '<br /> ϕ1  <br />  dϕ ;<br /> a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ <br /> dϕ ϕ1<br /> ϕ2 ϕ2  a 3 <br /> dx a sin ϕ dy b cos ϕ ab sin ϕ cos ϕ ab 2 ab 2  sin 2 ϕ cos ϕ ab 2 cos3 ϕ<br /> x 's =<br /> ds<br /> =<br /> −<br /> 2 2 2 2<br /> a sin ϕ + b cos ϕ<br /> ; y 's =<br /> ds<br /> =<br /> 2 2 2 2<br /> a sin ϕ + b cos ϕ<br /> ; x 's y 's =<br /> − 2 2<br /> a sin ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> . ∫ ( xC2 − yC6 )=<br /> ϕ1<br /> ds ∫ <br /> ϕ1 <br /> + −  +<br />  EI y ' GI x ' EI y '  a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ GI x '<br />  dϕ ;<br /> a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ <br /> Các số hạng của ma trận [B] trong Biểu thức (1) tính được như sau: ϕ2 ϕ2 ϕ2 ϕ2<br /> b  a <br /> C1<br /> a2<br /> sin ϕ 2<br /> +<br /> b 2<br /> cos ϕ 2<br /> ;<br /> =<br /> ∫<br /> yC3ds<br /> ∫ EI z '<br /> sin ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ;<br /> ∫ ( − xC ) ds =−<br /> ∫  EI<br /> 3<br /> ϕ  z'<br /> cosϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ  dϕ .<br /> <br /> GI x ' a sin ϕ + b cos ϕ EI y ' a sin ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> 2 2 2 2 2 2 ϕ1 ϕ 1 ϕ1 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> C2<br /> b2 cos 2ϕ<br /> +<br /> a2 sin 2ϕ<br /> ;<br /> Đặt tên tích phân cơ sở của các số hạng trong ma trận ∫  B  ds như sau:<br /> GI x ' a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ EI y ' a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ ϕ2 ϕ2<br /> <br /> ∫ ∫ sin ϕ<br /> 2 2 2 2<br /> =T11 a sin ϕ + b=<br /> cos ϕ dϕ ; T12 a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ;<br /> b a<br /> yC3 = sin ϕ ; − xC3 =<br /> − cosϕ . ϕ ϕ<br /> EI z ' EI z '<br /> 1 1<br /> <br /> ϕ2 ϕ2<br /> <br /> ∫ sin ∫ cosϕ<br /> 2 2 2 2 2<br /> a 2<br /> sin ϕ 2<br /> b 2<br /> b cos ϕ2<br /> a 2 2 =T13 ϕ a sin ϕ + b=<br /> cos ϕ dϕ ; T14 a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ;<br /> C4 2 2 2<br /> =2<br /> + sin 2 ϕ ; C5 2 2 2 2<br /> + cos 2ϕ ;<br /> EF a sin ϕ + b cos ϕ EI z ' EF a sin ϕ + b cos ϕ EI z ' ϕ1 ϕ 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 46 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG S¬ 24 - 2016 47<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> 3.2. Ví dụ phân tích bằng PCE-V1 và kiểm chứng bằng SAP 2000<br /> ϕ2 ϕ2 ϕ2<br /> 1 sin ϕ2 Sử dụng chương trình PEA –V1 tính chuyển vị, ứng lực tại các nút A, B, C, D, E, F, G, H, J và K của thanh cong<br /> ∫ cos ϕ ∫ ∫<br /> 2<br /> =T15 a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ; T16 = dϕ ; T17 = dϕ ; phẳng, phương trình trục thanh hình Ellipse, sơ đồ tính Hình 3. Bán trục thanh a = 12 m, b = 8 m. Vật liệu thép có E<br /> ϕ ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ = 2,1e+08 kN/m2; G = 0,808e+08 kN/m2. Tiết diện thép hình chữ I tổ hợp kích thước 1500×400×20×10 mm có Ix’ =<br /> 1 1 1<br /> <br /> ϕ2 ϕ2 ϕ2 2,551e-06 m4; Iy’ = 0,0114 m4, Iz’ = 2,135e-04 m4; F = 0.0306 m2. Trục tiết diện Oz’// trục Oz. Kí hiệu CD là dạng liên kết<br /> sin 3 ϕ cos 2ϕ cos3ϕ ngăn cản chuyển vị, TD là dạng liên kết cho phép chuyển vị.<br /> T18 = ∫<br /> ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> dϕ ; T19 = ∫<br /> ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> dϕ ; T20 = ∫<br /> ϕ a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> dϕ ;<br /> Bảng 1. Tải trọng nút trong HTĐ chung Bảng 2. Liên kết gối tựa trong HTĐ chung<br /> 1 1 1<br /> <br /> ϕ2 ϕ2 ϕ2<br /> sin ϕ cosϕ sin ϕ cos 2ϕ sin 2 ϕ cosϕ Tên nút Tên nút<br /> T21 = ∫<br /> ϕ1 a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> dϕ ; T22 = ∫<br /> ϕ1 a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> dϕ ; T23 = ∫<br /> ϕ1 a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ<br /> dϕ ; P<br /> B D E G J<br /> U<br /> A C D F G H K<br /> <br /> ϕ2<br /> Px [kN] -12.0 18.0 5.0 5.0 18.0 Ux CD TD TD TD CD TD TD<br /> ϕ2<br /> sin 2 ϕ cos 2ϕ<br /> ∫ ∫ sin ϕ cosϕ<br /> 2 2 2 2 Py [kN] 14.0 -5.0 -5.0 -9.0 17.0 Uy CD TD TD TD CD TD TD<br /> T24 = = dϕ ; T25 a sin ϕ + b cos ϕ dϕ ;<br /> ϕ 1<br /> a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ ϕ1 Pz [kN] -11.0 0 -6.0 0 -4.0 Uz CD CD CD CD CD CD CD<br /> <br /> Hàm trong các tích phân Tm, m = (11 ÷ 25), đều là siêu việt hoặc không thể xác định nguyên hàm nên sử dụng Mx [kNm] 12.0 -7.0 -7.0 -10.0 -9.0 Ωx CD TD TD TD TD TD TD<br /> phương pháp tích phân số Simson, [4], để tính, ta có: My [kNm] -8.0 14.0 9.0 14.0 6.0 Ωy CD TD TD TD TD TD TD<br /> ϕ2 Mz [kNm] 9.0 -5.0 -8.0 -5.0 12.0 Ωz CD TD TD TD TD TD TD<br /> ∫ϕ B  ds =<br /> <br /> Dùng PEA - V1 để phân tích chia và kí hiệu phần tử như Hình 4, hệ có 9 phần tử cong, 10 nút. Còn khi dùng SAP<br /> 1 2000 để phân tích hệ chia thành 108 phần tử thẳng, Hình 5. Kết quả phân tích bằng PEA - V1 trình bày trong Bảng 3,<br />  a2 b2 ab ab b  Bảng 5, Bảng 7; phân tích bằng SAP2000 trình bày trong Bảng 4, Bảng 6, Bảng 8.<br />  T17 + T13 − T21 − T25 0 0 0 T12 <br />  EF EI z ' EF EI z ' EI z '  Bảng 3. Chuyển vị nút trong HTĐ chung, tính theo chương trình PEA - V1<br />  ab ab b 2<br /> a 2<br /> a <br /> − T21 − T25 T19 + T15 0 0 0 − T14  Nút A B C D E F G H J K<br />  EF EI z ' EF EI z ' EI z ' <br />   Ux [m] 0,0 -0,010 -0,018 -0,025 -0,030 -0,037 0,0 0,195 0,276 0,316<br />   a 2b a 2b   a3 ab 2   0,581<br />  −   +  Uy [m] 0,0 -0,005 -0,014 -0,030 -0,005 0,007 0,0 0,140 0,314<br />  a 2b2 <br />  T16  GI x ' EI y '   EI y ' GI x '   Uz [m] 0,0 0,006 0,0 0,0 0,001 0,0 0,0 0,0 0,041 0,0<br />  GI x ' −<br /> 3  T22  2  T23 <br />  0 0 + b   − ab  0  Ωx [rad] 0,0 0,023 -0,009 -0,014 -0,008 0,002 0,005 0,007 -0,089 -0,068<br /> ( )<br /> 2<br />  a 2 − b2  EI y '   EI y '   Ωy [rad] 0,0 -0,027 0,003 0,001 -0,004 0,001 0,040 -0,019 0,023 0,018<br />    <br />  + T24 <br />  EI y ' 2<br /> a b ab 2<br />  Ωz [rad] 0,0 0,004 0,004 -0,002 -0,006 -0,004 0,020 0,048 0,053 0,053<br />  −