Phân tích nứt do nhiệt trong vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng XCQ4

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo "Phân tích nứt do nhiệt trong vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng XCQ4", phần tử bốn nút nội suy kép đã được làm giàu (XCQ4) và mở rộng thêm để phân tích các vật liệu tổng hợp chức năng (FGM) bị nứt, trong các điều kiện cơ nhiệt. Hiệu suất của XCQ4 được xác minh thông qua đánh giá các yếu tố cường độ ứng suất (SIFs), là các thông số quan trọng để định lượng nồng độ ứng suất xung quanh đầu vết nứt và để dự đoán đường phát triển của vết nứt. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích nứt do nhiệt trong vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng XCQ4

392 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích nứt do nhiệt trong vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng XCQ4 Nguyễn Đình Dư1,*, Nguyễn Đình Đức2 , Bùi Quốc Tính3 1 Trường Đại học Lạc Hồng 2 Đại học Quốc Gia Hà Nội 3 (DTRICE) – Đại học Duy Tân, Ho Chi Minh City, Viet Nam *Email: nguyendinhdu@lhu.edu.vn Tóm tắt. Trong bài báo này, phần tử bốn nút nội suy kép đã được làm giàu (XCQ4) và mở rộng thêm để phân tích các vật liệu tổng hợp chức năng (FGM) bị nứt, trong các điều kiện cơ nhiệt. Hiệu suất của XCQ4 được xác minh thông qua đánh giá các yếu tố cường độ ứng suất (SIFs), là các thông số quan trọng để định lượng nồng độ ứng suất xung quanh đầu vết nứt và để dự đoán đường phát triển của vết nứt. Ở đây, SIFs được tính thông qua tích phân tương tác, được suy ra từ tích phân J nổi tiếng. Các yếu tố bổ sung được thêm vào tích phân tương tác, do sự xuất hiện đồng thời nguyên nhân nhiệt và cơ học, cũng như sự thay đổi trong không gian của các đặc tính vật liệu. Độ chính xác và hiệu quả của XCQ4 được nghiên cứu và phân tích thông qua các ví dụ số khác nhau, trong đó so sánh với các kết quả có sẵn trong các tài liệu được tiến hành. Từ khóa: Cơ nhiệt, FGM, Nứt, SIFs. 1. Mở đầu Vật liệu cơ tính biến đổi (FGM) là một loại vật liệu được chế tạo và thiết kế tùy chỉnh bằng cách pha trộn hai hay nhiều vật liệu theo một tỷ lệ nhất định, thường thì chỉ có hai loại vật liệu đó là kim loại và gốm. Hỗn hợp thu được thể hiện cả các thông số cơ tính thay đổi liên tục và trơn tru có thể được điều chỉnh cho phù hợp với các ứng dụng cụ thể, ví dụ: làm lớp phủ cản nhiệt, lớp phủ chống mài mòn và vật liệu y tế sinh học [1,2]. Đặc tính này của FGM dẫn đến khả năng chịu nhiệt và mài mòn vượt trội so với vật liệu composite nhiều lớp nên thường được sử dụng trong điều kiện tải cơ nhiệt khắc nghiệt. Do đó, việc khảo sát sự phá hủy trong các FGM chịu tải trọng cơ nhiệt là rất quan trọng để xác định độ tin cậy và độ bền của các vật liệu đó. Các mô phỏng số liên quan đến cơ học vật rắn biến dạng thường được thực hiện bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Khi áp dụng vào bài toán cơ học phá hủy thì một phiên bản mở rộng của FEM là XFEM với các hàm chức năng làm giàu cho trường chuyển vị lân cận vùng nứt. Khi sử dụng XFEM vào phân tích FGM, việc lựa chọn các chức năng làm giàu cần phải bắt nguồn từ phân bố nhiệt độ gần đỉnh hoặc phân tích tiệm cận tương đương, đặc biệt khi xem xét FGM trực hướng hoặc đẳng hướng [3]. Gần đây, một phương pháp mới (CFEM) cải tiến từ FEM với kỹ thuật CIP (Consecutive- interpolation procedure) đã được áp dụng rỗng rải trong nhiều phân tích và tính toán. Kết quả thu được từ CFEM so với FEM truyền thống cho thấy độ chính xác cao hơn [4, 5]. Trong bài toán cơ học phá hủy, CFEM kết hợp với kỹ thuật làm giàu bằng các hàm chức năng, được gọi là X-CFEM, tương tự như XFEM đã phân tích thành công vật liệu thông thường [6, 7] và FGM [8, 9]. Tiếp nối sự thành công đó, trong nghiên cứu này, phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép (XCQ4) được áp dụng phân tích bài toán cơ học phá hủy FGM dưới tác động của tải cơ nhiệt. Một vài ví dụ số được thực hiện để kiểm chứng hiệu quả của phương pháp. 2. Phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép (CQ4) Hàm dạng CQ4 được đề xuất như là một phiên bản sửa đổi hàm dạng Q4 trong FEM tiêu chuẩn bởi Bùi Quốc Tính và các cộng sự [4]. Cơ sở tạo thành bằng cách hợp nhất hàm dạng ban đầu và đạo
393 Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức, Bùi Quốc Tính hàm trung bình của nó. Xét một điểm cần nội suy x(x, y) trong phần tử tứ giác như hình 1. Hàm dạng nội suy kép được phát triển có thể viết như sau:  N f =φi N [i] + φix N [i] + φiy N [i] + φ j N [j] + φ jx N [j] + φ jy N [j]  ,y  f ,x f  f ,x  f f ,x f ,y  Node i Node j (1) +φ +φ [k] kNf +φ +φ + φmx N [m] + φmy N [m] [k] kx N f ,x [k] ky N f ,y [m] mN f      f ,x  f ,y Node k Node m trong đó N [i] là hàm dạng được lấy từ FEM và đạo các giá trị đạo hàm trung bình N [i] N [i] có thể f f ,x f ,y định nghĩa như sau: =N [i] f ,x ∑ ( w e N [i][ e ] ), N [i],y ∑ ( w e N [i][ e ] ) = f ,x f f ,y (2) e∈Si e∈Si tương tự, cùng một cách biểu diễn cho các nút j, k, m. Hàm trọng số w e và các hàm số φ i , φ ix , φ iy có thể được viết như sau: ∆e we = , với e ∈ S i (3) ∑ e∈S ∆ e i φi ( xl ) il , φi ,x ( xl ) , φi ,y ( xl ) = δ= 0= 0 , φix ( xl ) , φix ,x ( xl ) = 0= δ il = 0 , , φix ,y ( xl ) (4) φiy ( xl ) , φiy ,x ( xl ) , φiy ,y ( xl ) = 0= 0= δ il , trong đó l là chỉ số bất kỳ thuộc i, j, k, m và cách viết cũng tương tự cho các hàm số φ j , φ jx , φ jy , φ k , φ kx , φ ky và φ m , φ mx , φ my . Cuối cùng, δ il phải thỏa điều kiện sau: Hình 1. Minh họa miền hổ trợ cho phần tử được xem xét trong thuật toán CQ4
394 Phân tích nứt do nhiệt trong vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng XCQ4 1 khi i = l δ il =  (5) 0 khi i ≠ l Những thông tin chi tiết về các hàm số φ l , φ lx , φ ly (l = i, j, k, m) có thể tìm thấy trong [4]. Bằng cách cộng dồn đạo hàm trung bình vào công thức của hàm dạng trong FEM chuẩn, hàm dạng nội suy kép CQ4 được minh họa trong Hình 2. Hình 2. Mô phỏng hàm dạng FEM chuẩn (a) và hàm dạng nội suy kép (b) trong 2D 3. Áp dụng Phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng (XCQ4) vào FGM Cũng giống như ý tưởng chủ đạo của XFEM trong vật liệu đồng nhất cũng như vật liệu FGM là xử dụng một chuyển vị xấp xỉ có khả năng mô tả chính xác sự bất liên tục và kỳ dị của vùng lân cận đỉnh nứt. Do đó, xấp xỉ mở rộng XCQ4 của chuyển vị cho vết nứt có thể viết như sau: u h ( x) = ~ ∑ N i (x)u i + ~ ∑ N j ( x) H ( x) − H ( x j ) a j[ ] i∈I S j∈J cut (8) ∑ [F ] 4 ∑ ~ α α α + N k ( x) ( x) − F ( x k ) b k k∈K tip α =1 ~ Trong đó N i (x) đại diện cho hàm dạng CQ4 liên quan đến nút i để nội suy trường chuyển vị tiêu chuẩn, Jcut là tập hợp các nút mở rộng thuộc thuộc phần tử bị vết nứt cắt qua, Ktip là tập hợp các nút mở rộng thuộc phần tử chứa đầu vết nứt, u i là vectơ chuyển vị của nút i. H(x) là hàm Heaviside có giá trị +1 trên đường nứt và – 1 dưới đường nứt, a j là chuyển vị bậc tự do mở rộng thuộc Jcut. Cuối cùng, bα k là bậc tự do chuyển vị tại nút K thuộc Ktip phù hợp với hàm mở rộng tiệm cận F α (x) (α = 1, 2, 3, 4) dễ dàng tìm thấy trong [6] và được thể hiện trong phương trình (9).  θ    r sin     2   θ    r cos     2  α (x)( α F= 1= , 2 ,3, 4 ) (9)  θ    r sin   sin (θ )   2   θ    r cos   sin (θ )    2   Trong đó (r,θ) là hệ trục tọa độ cực địa phương tại đỉnh nứt.
395 Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức, Bùi Quốc Tính 4. Tính toán hệ số cường độ ứng suất (SIFs) cho FGM Một trong những vấn đề quan trọng khi phân tích bài kết cấu có vết nứt là việc đi tính hệ số SIFs, cho dù vật liệu thông thường hay FGM, là tiêu chí đánh giá chung về hiệu suất của đa số các phương pháp số hiện hành. Có rất nhiều hướng tiếp cận để tính toán SIFs, có thể thấy trong [7], trong nghiên cứu này, tích phân tương tác được chọn để tính SIFs và được viết như sau:  ∂ui  =J ∫  σ ij − W δ ij q, j dA + ∫A ( −0.5Cijkl ,1ε ij ε kl )qdA (10)  ∂x1  A Trong cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, mối quan hệ giữa tích phân J và mix-mode SIFs (K I , K II ) như bên dưới: * ( K I2 + K II ) 1 =J 2 (11) ETIP Với ETIP = ETIP cho bài toán ứng suất phẳng và ETIP ETIP / ( 1 − υTIP ) cho bài toán biến dạng phẳng. * = * Bằng cách thu gọn và thực hiện các phép biến đổi toán học, tích phân J được viết lại như sau: J = J (1) + J (2) + I (1,2) (12) trong đó, J and J là tích phân J cho trạng thực và ảo. I (1) (2) (1,2) là tích phân tương tác trong vật liệu FGM dưới tác dụng của tải trọng nhiệt độ được tính như sau [7]: I ( 1,2= ∫A (σ ij ui(2) + σ ij ui(1) − σ ij ε ik δ1 j )q, j dA ) (1) (2) (2) (1) ,1 ,1 ( ) ) (13) (2) (1) (2) (2) ( + ∫A σ ij , j ui(1) − Cijkl ,1ε kl ε ij + σ ij α ,1∆θ + α ( ∆θ ) ,1 δ ij qdA Trong phương trình (13), q là hàm trọng số, trong đó hàm 𝑞𝑞 (𝑥𝑥) thay đổi từ 0 (xa đỉnh nứt) đến 1 (gần ,1 giữa SIFs (𝐾𝐾 𝐼𝐼 ; 𝐾𝐾 𝐼𝐼 𝐼𝐼 ) và tích phân tương tác đối với vật liệu đẳng hướng được viết là đỉnh nứt) trong vùng được đánh dấu màu đỏ, được phác thảo bằng sơ đồ trong hình 3. Mối quan hệ * * ETIP (1, I ) (1) ETIP (1, II ) =K I(1) = I ; K II I (15) 2 2 Hình 3. Minh họa miền hỗ trợ của tích phân J trong a) XQ4 và b) XCQ4 5. Kết quả tính toán và thảo luận Trong phần này, hai ví dụ số được xem xét với hai tính chất biến thiên vật liệu khác nhau. Một tấm có vết nứt cạnh và vật liệu biến thiên tuyên tính và theo hàm hyperbolic được phân tích. Kết quả số thu được sẽ so sánh với các công bố trước đó [10] và từ FEM truyền thống. Từ đó, hiệu quả của phần tử XCQ4 được kiểm chứng.
396 Phân tích nứt do nhiệt trong vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng XCQ4 5.1. Tấm nứt cạnh, vật liệu biến thiên tuyến tính Một tấm có dạng hình học như hình 4 với chiều dài vết nứt là a, chiều ngang W=1m, chiều cao L=4W=4m. Hàm vật liệu biến thiên tuyến tính theo phương x với các thông số vật liệu được liệt kê như bảng 1. Nhiệt độ được duy trì không đôi tại biên trái (x=0) T 1 = 00C trong khi biên phải (x=W) là T 2 = 10C. Các biên còn lại được giả định là cách nhiệt hoàn toàn. Biên cơ học, u x = 0 trên toàn biên phải và tại trung điểm thì được gán thêm u y = 0. Trong trường hợp này, điều kiện bài toán biến dạng phẳng được xem xét. Hình 4. Dạng hình học của tấm FGM bị nứt cạnh và điều kiện biên và cách chia lưới Bảng 1. Tham số vật liệu của tấm FGM biến thiên tuyến tính x E (Mpa) Hệ số Poisson ν Hệ số giản nở nhiệt α (1/K) 0 105 0.3 1.67×10-5 W 5×104 0.35 1×10-5 Kết quả phân tích được thực hiện với lưới hữu hạn với 3111 phần tử tứ giác bốn nút cho cả phần tử XQ4 và XCQ4. Khởi đầu, lưới thô hơn được chọn, tuy nhiên kết quả thu được rất nhạy với cách chia lưới do tính chất bài toán là FGM chịu tải nhiệt. Hình 5 minh họa sự phụ thuộc của SIF-Mode-I theo tỷ lệ a/W(chiều dài vết nứt/chiều rộng tấm). Dữ liệu cho thấy rằng kết quả từ phần tử XCQ4 là khớp với lời giải tham khảo. Giá trị SIF đạt cực đại khi a/W = 0.2, sau đó giá trị SIF giảm dần khi tỷ lệ a/W tăng. Sự khác biệt giữa phần tử XCQ4 và lời giải tham khảo khi tỷ lệ a/W lớn, do đỉnh vết nứt gần biên liên kết cơ học. Tuy nhiên, phần tử XCQ4 vẫn cho kết quả tốt hơn phần tử XQ4 khi cùng một mức lưới so sánh. 5.2. Tấm nứt cạnh, vật liệu biến thiên Hyperbolic-tangent Trong ví dụ thứ hai, Một tấm có dạng hình học như hình 6 với chiều dài vết nứt là a, chiều ngang W=2m, chiều cao L=2W=4m. Nhiệt độ được duy trì không đôi tại biên trái (x=0) T 1 = -100C trong khi biên phải (x=W) là T 2 = 00C. Biên cơ học, u y = 0 trên toàn biên trên và biên dưới, tại biên dưới góc trái thì được gán thêm u x = 0. Trong trường hợp này, cả hai điều kiện bài toán bao gồm biến dạng phẳng và ứng suất phẳng được xem xét. Tương tự ví dụ 1, lưới phần tử hữu hạn được chia một
397 Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức, Bùi Quốc Tính cách đặc biệt, vùng có vết nứt được chia rất mịn và vùng xa vết nứt được chia thô hơn nhằm tiết kiệm thời gian tính toán, xem hình 6. Hình 5. Cường độ ứng suất theo Mode-I theo tỷ lệ a/W, ví dụ 1 Hình 6. Dạng hình học ví dụ 2 và lưới phần tử Mô đun đàn hồi, hệ số Poisson’s, hệ số giản nỡ vì nhiệt (α) và hệ số truyền nhiệt (k) được gán theo hàm số Hyperbolic-tangent như phương trình (16) và được mô phỏng trong hình 7 cho trường hợp mô đun đàn hồi Young’s. Trong phương trình (16), với d = 0, β =15, δ = 5. Giá trị mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson’s, hệ số α và hệ số k tại biên trái và biên phải được lấy như sau: ( E − ,E + ) = (1,3) ; (ν − ,ν − ) ( 0.3,0= ( 0.01,0.= (1,3) = .1) ; (α − ,α − ) 03) ; ( k − ,k − )
398 Phân tích nứt do nhiệt trong vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng XCQ4 E− + E+ E− − E+ = E( x ) + tanh  β ( x + d )  ,   2 2 ν − + ν + ν − −ν + ν= (x) + tanh δ ( x + d )  ,   2 2 (16) α− +α+ α− −α+ α( x ) = + tanh δ ( x + d )  ,   2 2 k− + k+ k− − k+ = k( x ) + tanh δ ( x + d )  ,   2 2 Hình 7. Giá trị mô đun đàn hồi Young’s khi β = 0.15 Hình 8. Cường độ ứng suất theo Mode-I theo tỷ lệ a/W trường hợp ứng suất phẳng, ví dụ 2 Hình 8 và hình 9 thể hiện kết quả SIF của mode I (K I ) cho cả trường hợp biến dạng phẳng và ứng suất phẳng. Không ngạc nhiên khi kết quả thu được từ phần tử XCQ4 là khớp với lời giải tham
399 Nguyễn Đình Dư, Nguyễn Đình Đức, Bùi Quốc Tính khảo cho cả hai trường hợp phân tích. Khi tỷ số a/W = 0.5, giá trị SIF giảm nhanh và có độ lệch lớn hơn (so với lời giải tham khảo) so với các vị trí còn lại. Điều này là do đỉnh vết nứt thuộc mặt phân cách giả với sự phân cấp vật liệu. Cũng tại vị trí a/W = 0.5, kết quả từ phần tử XCQ4 là tốt hơn XQ4. Hình 8. Cường độ ứng suất theo Mode-I theo tỷ lệ a/W trường hợp biến dạng phẳng, ví dụ 2 6. Kết luận Trong bài báo này, hệ số cường độ ứng suất trong FGM với trạng thái nhiệt độ ổn định được đánh giá bằng phần tử XCQ4. Với kỹ thuật nội suy kép, được đưa vào trực tiếp quá trình xây dựng hàm dạng, trường biến dạng và ứng suất vùng lân cận đỉnh nứt có sự liên tục giữa các phần tử nên kết quả mang lại chính xác hơn phần tử XQ4 truyền thống. Các ví dụ số khác nhau được trình bày để xác minh tính chính xác và hiệu suất của phương pháp hiện tại. Các kết quả của XCQ4 rất phù hợp với kết quả của lời giải tham khảo. Phần phát triển trong tương lai của nghiên cứu này cũng không kém phấn thú vị là phân tích hệ số SIF dưới tác động của tải nhiệt thay đổi theo thời gian. Lời cảm ơn Tác giả xin cảm ơn khoa Kỹ thuật công trình, trường Đại học Lạc Hồng (Đồng Nai) và Đại học Công Nghệ, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã hỗ trợ hoàn thành nghiên cứu này. Tài liệu tham khảo [1] Salimi Esmaeil. Functionally graded calcium phosphate bioceramics: An overview of preparation and properties. Ceram Int, 46, (2020), pp. 19664–8. [2] Saleh Bassiouny, Jiang Jinghua, Fathi Reham, Al-hababi Tareq, Xu Qiong, Wang Lisha, Song Dan, Ma Aibin. 30 years of functionally graded materials: An overview of manufacturing methods, applications and future challenges. Composites B, 201, (2020), pp. 108376. [3] Erdogan F, Wu BH. Crack problems in FGM layers under thermal stress. J Therm Stresses, 19, (3), (1996), pp. 237–65. [4] Bui, Q.T., Vo, Q.D., Zhang, Ch, Nguyen, D.D. A consecutive-interpolation quadrilateral element (CQ4): formulation and applications. Finite Elem. Anal. Des, 84, (2014), pp. 14-31.
400 Phân tích nứt do nhiệt trong vật liệu FGM bằng phần tử tứ giác bốn nút nội suy kép mở rộng XCQ4 [5] Bui QT, Nguyen DD, Zhang XD, Hirose S, Batra RC. Analysis of 2-dimensional transient problems for linear elastic and piezoelectric structures using the consecutive-interpolation quadrilateral element (CQ4). Eur J Mech A/Solids, 58, (2016), pp. 112–30. [6] Kang ZY, Bui QT, Nguyen DD, Saitoh T, Hirose S. An extended consecutiveinterpolation quadrilateral element (XCQ4) applied to linear elastic fracture mechanics. Acta Mech, 226, (2015), pp. 3991–4015. [7] Kang Z, Bui TQ, Nguyen DD, Hirose S. Dynamic stationary crack analysis of isotropic solids and anisotropic composites by enhanced local enriched consecutive-interpolation elements. Compos Struct, 180, (2017), pp. 221–33. [8] Dinh Du Nguyen, Nguyen Dinh Duc, Quoc Tinh Bui. Analysis of linear elastic fracture mechanics for cracked functionally graded composite plate by enhanced local enriched consecutive-interpolation elements, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics, 37, (1), (2021), pp. 1-11. [9] Du Dinh Nguyen, Minh Ngoc Nguyen, Nguyen Dinh Duc, Tinh Quoc Bui. Modeling the transient dynamic fracture and quasi-static crack growth in cracked functionally graded composites by the extended four-node gradient finite elements. Composite Structures, 284, (2022), pp. 1150-56. [10] Amit KC, Jeong-Ho Kim. Interaction integrals for thermal fracture of functionally graded materials. Engineering Fracture Mechanics, 75, (2008), pp. 2542-2565.