Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz" phân tích phi tuyến dầm sandwich chịu uốn có lõi là vật liệu FGM rỗng và lớp bề mặt bằng kim loại, gia cường GPL trong cả ba lớp. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dạng hàm e-mũ kết hợp với phương pháp Ritz được sử dụng để xây dựng bài toán, kể tới thành phần biến dạng phi tuyến của Von-Karman và các điều kiện biên khác nhau. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz

212 258 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz Đặng Xuân Hùng1, Trần Minh Tú1, Hương Quý Trường1* 1 Đại học Xây dựng, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội *Email: truonghq@huce.edu.vn Tóm tắt Trong nghiên cứu này, tác giả phân tích phi tuyến dầm sandwich chịu uốn có lõi là vật liệu FGM rỗng và lớp bề mặt bằng kim loại, gia cường GPL trong cả ba lớp. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dạng hàm e-mũ kết hợp với phương pháp Ritz được sử dụng để xây dựng bài toán, kể tới thành phần biến dạng phi tuyến của Von-Karman và các điều kiện biên khác nhau. Hệ phương trình phi tuyến được giải bằng phương pháp lặp Newton – Raphson. Kết quả tính toán được kiểm chứng với các kết quả đã công bố trên các tạp chí uy tín. Ảnh hưởng của hệ số độ rỗng, tỷ phần khối lượng GPL và các điều kiện biên đến độ võng phi tuyến của dầm sadwich cũng được tác giả thực hiện. Từ khóa : Dầm sandwich, vật liệu GPL, vật liệu FGM xốp, phân tích tĩnh phi tuyến, phương pháp Ritz. 1. Mở đầu Kết cấu sandwich có cấu tạo gồm ba lớp vật liệu: hai lớp bề mặt tương đối mỏng, thường làm từ các loại vật liệu có cường độ cao, đóng vai trò chịu lực chính; lớp lõi có chiều dày lớn hơn và thường được làm từ các loại vật liệu nhẹ, mềm, chủ yếu chịu lực cắt, đóng vai trò cách âm, cách nhiệt … Với đặc điểm cấu tạo hợp lý, kết cấu sandwich phát huy được ưu điểm của các vật liệu thành phần và đang ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp, đặc biệt là lĩnh vực kỹ thuật xây dựng [1, 2]. Gần đây, sự ra đời loại vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) đã tạo ra sự phát triển nhanh chóng các nghiên cứu về vật liệu có cấu trúc và cơ tính phù hợp với đặc điểm làm việc của kết cấu. Vật liệu xốp hay vật liệu rỗng (porous materials) là một dạng mới của vật liệu FGM. Bên trong cấu trúc của loại vật liệu này có các lỗ rỗng. Các lỗ rỗng này phân bố liên tục với một qui luật phân bố mật độ lỗ rỗng xác định nhằm điểu chỉnh được những tính chất cơ học của chúng. Vật liệu rỗng ngoài các ưu điểm như của vật liệu FGM truyền thống thì còn có thêm các ưu điểm như: trọng lượng nhẹ, khả năng hấp thụ năng lượng cao, cách nhiệt tốt và làm vật liệu lọc [3, 4] [5]… Tuy nhiên, sự có mặt các lỗ rỗng trong cấu trúc, làm suy giảm cường độ vật liệu. Để cải thiện độ cứng của kết cấu, người ta có thể sử dụng các vật liệu nano cường độ cao như : ống nano cacbon (CNT) hoặc graphene platelet (GPL) làm vật liệu gia cường. Các kết cấu dầm, tấm được gia cường bằng CNT đã được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây [6-10]. So với CNT, GPL có diện tích bề mặt riêng cao hơn nên hay được lựa chọn làm vật liệu gia cường đối với vật liệu xốp (metal foam), tuy nhiên các công bố vẫn còn hạn chế [11-15]. Vì thế, trong bài báo này, kết cấu dầm sandwich với hai lớp bề mặt bằng vật liệu đẳng hướng và lớp lõi làm bằng vật liệu rỗng, cả ba lớp đều được gia cường bởi GPL sẽ được nghiên cứu. Một trong những nghiên cứu ban đầu về ứng xử tĩnh phi tuyến là công trình của Wang [16] về dầm đẳng hướng chịu tải trọng phân bố đều, có liên kết đơn giản và sử dụng lý thuyêt dầm Euler- Bernoulli. Varadan và cộng sự [17] đã trình bày phương pháp lặp số để đánh giá ảnh hưởng của tải trọng và điều kiện biên khác nhau tới ứng xử tĩnh phi tuyến của dầm đẳng hướng. Heyliger và Reddy [18] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho bài toán phân tích phi tuyến của dầm đẳng hướng. Kết quả phân tích về ứng xử uốn và tần số dao động riêng của dầm với các điều kiện biên khác nhau đã được công bố. Việc phân tích phi tuyến các dầm nano composite gia cường
213 259 Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz GPL đã được trình bày trong [19] đối với trường hợp chịu tải trọng phân bố. Dầm được chia theo từng lớp tính đến sự thay đổi của các đặc tính vật liệu dọc theo chiều cao dầm. Bài báo này tập trung khảo sát các đường cong tải trọng-độ võng của dầm sandwich với lớp lõi và cả hai lớp bề mặt đều được gia cường bằng GPL. Bài báo sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, hàm chuyển vị dạng e mũ [20]. Các phương trình cân bằng tĩnh, phi tuyến được thiết lập theo phương pháp Ritz và sau đó được giải bằng phương pháp lặp Newton-Raphson. Một số kết quả phân tích ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng lớp lõi và tỷ lệ khối lượng GPL gia cường tới ứng xử phi tuyến của dầm sandwich được trình bày. 2. Dầm sandwich có lớp bề mặt bằng vật liệu đẳng hướng và lớp lõi bằng vật liệu xốp gia cường GPL. Xét dầm sandwich có kích thước L × b × h , chịu các điều kiện biên khác nhau, với hệ trục tọa độ thể hiện như trên Hình 1. Các lớp vật liệu được đánh số 1, 2, 3 từ dưới lên. Hai lớp bề mặt (lớp 1 và lớp 3) bằng vật liệu kim loại gia cường GPL và lớp lõi (lớp 2) là vật liệu rỗng gia cường GPL. Hình 1. Dầm sandwich có lớp bề mặt và lõi rỗng gia cường GPL. 2.1. Lớp bề mặt bằng vật liệu kim loại gia cường GPL Lớp bề mặt được gia cường GPL với tỷ lệ thể tích thay đổi tuyến tính theo tọa độ z. Vì vậy, các thông số vật liệu lớp bề mặt thay đổi dọc theo chiều dày. Tuy sự phân tán GPL lớp bề mặt có thể theo nhiều cách khác nhau nhưng tỷ trọng khối lượng GPL trong lớp bề mặt là không đổi. Các mô hình gia cường GPL lớp bề mặt được thể hiện trên Hình 2 với năm mô hình : UD ; FG- X ; FG-O ; FG-V ; FG-A. h4 h3 h y h2 h1 b VGPL VGPL VGPL VGPL GPL-UD FG-X FG-O FG-V - FG-A Hình 2. Sơ đồ các mô hình phân bố GPL lớp bề mặt. Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú, Hương Quý Trường
214 Tỷ phần thể tích GPL tại tọa độ z bất kỳ trên lớp bề mặt - VGPL được xác định như sau : z VGPL = VGPL khi h3 ≤ z ≤ h4 z f UD: VGPL = VGPL khi h1 ≤ z ≤ h2 z f 2 z − 0.5( h4 + h3 ) VGPL = 2VGPL z f khi h3 ≤ z ≤ h4 h4 − h3 FG – X: 2 z − 0.5( h1 + h2 ) VGPL = 2VGPL z f khi h1 ≤ z ≤ h2 h2 − h1 f  z − 0.5( h3 + h4 )  = 2VGPL  1 − 2  khi h3 ≤ z ≤ h4 z VGPL  h4 − h3  FG – O: f  z − 0.5( h1 + h2 )  = 2VGPL  1 − 2  Khi h1 ≤ z ≤ h2 z VGPL (1)  h2 − h1  f  z − 0.5( h4 + h3 )  = VGPL  1 + 2  khi h3 ≤ z ≤ h4 z VGPL  h4 − h3  FG – V: f  z − 0.5( h1 + h2 )  = VGPL  1 − 2  khi h1 ≤ z ≤ h2 z VGPL  h2 − h1  f  z − 0.5( h4 + h3 )  = VGPL  1 − 2  khi h3 ≤ z ≤ h4 z VGPL  h4 − h3  FG - A  z − 0.5( h1 + h2 )  = VGPL  1 + 2  khi h1 ≤ z ≤ h2 z f VGPL  h2 − h1  trong đó : VGPL là tổng tỷ lệ thể tích của GPL lớp bề mặt và có thể được xác định thông qua tỷ lệ khối f lượng GPL- WGPL gia cường cho lớp bề mặt như sau: WGPL VGPL = f (2) WGPL + ( ρ GPL ρ M )(1 − WGPL ) trong đó: ρ GPL ; ρ M là khối lượng riêng của vật liệu gia cường GPL và vật liệu nền lớp bề mặt. Có thể nhận thấy: với dạng phân tán FG-X thì hai mặt ngoài lớp bề mặt có nhiều GPL nhất; dạng FG-O thì vị trí chính lớp chính giữa của bề mặt sẽ có GPL nhiều nhất; còn với dạng FG- V thì hàm lượng GPL tăng tuyến tính từ dưới lên trên và dạng FG-A thì ngược lại. Đặc biệt, với dạng UD tương ứng với một lớp bề mặt đồng nhất có phân bố GPL đồng đều tại các lớp. 2.2. Lớp lõi bằng vật liệu rỗng (FGP) gia cường GPL Lớp lõi của dầm sandwich là lớp thứ 2 của dầm với tọa độ z ∈ ( h2 ; h3 ) . Lớp lõi có chiều dày hC h3 − h2 và được làm bằng vật liệu kim loại xốp. Độ rỗng phân bố dọc theo chiều dày lớp lõi theo = quy luật đối xứng hoặc phân bố đều. Hai dạng hàm mật độ lỗ rỗng trong lớp lõi được thể hiện bởi công thức (3) -[21] và và được biểu diễn như Hình 3. Với hai dạng phân bố lỗ rỗng trên thì tính chất vật liệu lớp lõi khi chưa gia cường GPL được thể hiện bởi công thức (4) [21].
215 261 Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz ψ ( z ) = cos (π z / hC )   ψ ( z ) = ψ 0 (3)  = EC 1 − e0ψ ( z )   Ez     = E z /  2 (1 + ν z )  G z    (4) Phân bố đối xứng - 1 Phân bố đều - 2 = ρ C 1 − emψ ( z )    ρz   Hình 3. Quy luật phân bố lỗ rỗng: phân bố đối xứng và phân bố đều. trong đó, ; e0 là hệ số độ rỗng; EC và ρ C là mô đun đàn hồi và khối lượng riêng của vật liệu nền lớp lõi khi không có lỗ rỗng; E1' , E2 và ( ρ 2 / ρ1 ) tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô đun đàn ' hồi (khối lượng riêng) trong trường hợp phân bố lỗ rỗng không đều, E ' là mô đun đàn hồi khi phân bố lỗ rỗng đều khi không có GPL. Hệ số lỗ rỗng e0 và hệ số mật độ khối lượng em được định nghĩa theo công thức e0 = 1 − E2 / E1' và em = 1 − ρ 2 / ρ1 . ' Dựa trên mối quan hệ giữa các đặc tính cơ học của chất rắn như công thức (5) được trình bày trong [22], ta có: 2.3 E z  ρ z    ρz  =  + 0.121 / 1.121  0.15 < < 1  (5) Ec   ρ c    ρc  hệ số mật độ khối lượng em được xác định và trình bày như sau: 1.121 1 − 2.3 1 − e0ψ ( z )  em =   (6) ψ ( z) Hệ số ψ 0 trong trường hợp lỗ rỗng trong lớp lõi là phân bố đều sẽ được xác định dựa trên giả thiết khối lượng trong miền có kích thước b × h × dx có cùng khối lượng với trường hợp lỗ rỗng phân bố không đều, điều đó dẫn đến: 2.3 1 1  1 c   h /2 ψ 0 = ∫ ρ z dz + 0.121 / 1.121 −  (7) e0 e0  h ρ c − hc /2      Hệ số Poisson ν z của lớp lõi có thể nhận được là [23]: ν z = 0.221 p '+ ν c ( 0.342 p '2 − 1.21 p '+ 1) (8) trong đó ν c biểu thị tỷ lệ Poisson của vật liệu nền đồng nhất không có lỗ rỗng và: ρ p ' =− z = 1 ρ1 ( 1.121 1 − 2.3 1 − e0ψ ( z ) ) (9) GPL phân tán trong dầm với tỷ lệ thể tích VGPL thay đổi theo chiều cao lớp lõi. Ta sử dụng hai dạng phân tán GPL khác nhau trong lớp lõi như công thức (10), ký hiệu là dạng A và dạng B, được xem xét cho từng quy luật phân bố độ xốp và được trình bày bằng đồ thị trong Hình 4 Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú, Hương Quý Trường
216 VGPL si1 1 − cos (π z / h )  =   Dạng A  Dạng B (10) VGPL = si 2  trong đó giá trị lớn nhất ( sij − i, j =) của tỷ lệ 1,2 thể tích VGPL phụ thuộc vào sự phân bố lỗ rỗng và h3 h3 được xác định thông qua mối quan hệ giữa tỷ phần khối lượng GPL gia cường- WGPL và hàm lượng thể tích VGPL : WGPL .ρ m h /2 ρz h /2 ρ h2 h2 WGPL .ρ m + ρ GPL − WGPL .ρ GPL ∫/2 ρ c − h /2 ρ c −h dz = ∫ VGPL z dz Phân bố GPL đối Phân bố GPL đều xứng – dạng B Hình 4. Hai dạng phân tán GPL gia cường lớp lõi 2.3. Tính chất vật liệu khi gia cường GPL Mô-đun đàn hồi Ec của vật liệu Nanocomposite gia cường GPL và không có lỗ rỗng được xác định bằng mô hình cơ học vi mô của Halpin-Tsai [24-26] là : 3  1 + ξ L .ηL .VGPL  GPL GPL 5  1 + ξW .ηW .VGPL  GPL GPL =  Ec  Em +   Em (11) 8  1 − ηL .VGPL  GPL 8  1 − ηW .VGPL  GPL trong đó: ξ L = 2 LGPL / tGPL ; ξW = 2WGPL / tGPL , Em là mô đun đàn hồi của kim loại; LGPL ;WGPL ; tGPL là GPL GPL chiều dài, chiều rộng, chiều dày trung bình của GPL. ηL ;ηW được tính theo công thức: GPL GPL EGPL − Em EGPL − Em = = ηLGPL ; ηW GPL (12) EGPL + ξ L Em GPL EGPL + ξW Em GPL ρ c ρ GPL .VGPL + ρ m (1 − VGPL ) ; = ν c ν GPL .VGPL + ν m (1 − VGPL ) = (13) trong đó: ρ GPL ;ν GPL là mật độ khối lượng và hệ số Poisson của vật liệu GPL, ρ m ;ν m là mật độ khối lượng và hệ số Poisson của vật liệu kim loại được gia cường. 3. Mô hình bài toán phân tích phi tuyến dầm bằng phương pháp Ritz 3.1. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dạng e-mũ Trường chuyển vị của dầm được biểu diễn dưới dạng hàm e mũ [20] như sau : u = − zw0, x + ze −2( z / h ) .θ x ; w =0 ; 2 u0 w (14) trong đó: u0 , w0 là các chuyển vị của điểm trên mặt trung bình theo các phương x, z ; θ x là góc xoay của mặt cắt ngang của dầm tại điểm đang xét quanh trục y (Đặt f = ze −2( z / h ) ) 2 Trường biến dạng được xác định từ quan hệ giữa chuyển vị - biến dạng có kể đến thành phần biến dạng phi tuyến Von-Karman như sau : ε xx = = x − zw0, xx + f .θ x , x + 0,5.w0, x  2 u, x u0,  (15) γ xz =u, z + w, x = f , z .θ x  Trường ứng suất trong dầm được xác định từ trường biến dạng thông qua định luật Hooke, với
217 263 Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz ν z là hệ số Poisson có giá trị biến đổi theo phương chiều cao tiết diện. Thành phần ứng suất tại mỗi điểm thuộc lớp thứ k của tiết diện dầm được xác định như sau: E zk E zk =σ xx k = ε xx ; σ xz k γ xz (16) 1 − ν k2 2(1 + ν z ) - Thế năng biến dạng đàn hồi được xác định theo công thức sau: L 1 (σ xxε xx + σ xz γ xz )dxdA 2∫∫ = U (17) A0 - Công của ngoại lực được xác định bởi: L V = −b ∫ q0 w0 dx (18) 0 3.2. Phương pháp Ritz Theo phương pháp Ritz, các thành phần chuyển vị của một điểm trên mặt trung bình được giả thiết dưới dạng chuỗi đa thức như sau : n n n = u0 ( x, t ) = 1 k ∑ c ϕ ; w ( x, t ) ∑ d ψ ; θ ∑ e φ = = k k 0 k k = 1= 1 k x k k k (19) trong đó, ck ; d k ; ek là các hệ số chưa biết, ϕ k ;ψ k ;φk là các hàm đa thức xác định thỏa mãn các điều kiện biên của dầm, được chọn dưới dạng tổng quát như sau: = f= f= fθ x k −1 = 1, 2,..., m ) ϕk ux k −1 ;ψk wx k −1 ; φk (k (20) với m là số số hạng của chuỗi đa thức, hàm f* x p* ( L − x ) * là hàm đặc trưng điều kiện biên với = q p* , q* được chọn theo Bảng 1 và * = u, w,θ . Bảng 1. Bảng xác định các hệ số p* , q* theo các điều kiện biên khác nhau (C- Ngàm; S- Gối; F- đầu tự do). Điều kiện biên C-C S-S C-F C-S pu 1 1 1 1 qu 1 1 0 1 pw 2 1 2 2 qw 2 1 0 1 pθ 1 0 1 1 qθ 1 0 0 0 Với dầm có kích thước L × b × h , với các thành phần chuyển vị u0 ( x, t ); w0 ( x, t ); θ x ( x, t ) được thể hiện theo công thức (19). Thay các thành phần chuyển vị này vào thế năng biến dạng đàn hồi của dầm (17) và công của ngoại lực (18), ta được hàm tổng năng lượng toàn phần Π= U + V theo dạng đa thức với 3m ẩn số là các hệ số chưa biết ck ; d k ; ek ( k = 1, 2,..., m ) . Áp dụng nguyên lý năng lượng toàn phần cực tiểu ta có hệ 3m phương trình với các ẩn số ck ; d k ; ek dưới dạng: ∂Π ∂Π ∂Π = = = 0 (21) ∂ck ∂d k ∂ek Sử dụng phương pháp lặp Newton-Raphson để giải hệ phương trình phi tuyến (21) ta được 3m hệ Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú, Hương Quý Trường
218 số cần tìm ck ; d k ; ek ( k = 1,..., m ) . Từ đó ta xác định được các thành phần chuyển vị tương ứng theo (19). 4. Kết quả số Trong các khảo sát sau đây, bài báo xét dầm sandwich có lớp lõi làm bằng bọt kim loại đồng (copper matrix) với các thông số vật liệu : Em = 130GPa; ρ m = 8960kg / m 3 ; ν m = 0.34 có hệ số lỗ rỗng e0 . Hai lớp bề mặt là kim loại đồng. Cả 3 lớp của dầm sandwich được gia cường GPL có tính chất vật liệu và thông số hình học GPL gia cường như sau [23]: wGPL = 1.5µ m; LGPL = 2.5µ m; tGPL = 1.5η m; EGPL = 1.01TPa; ρ GPL = 1602.5kg / m 3 ; ν GPL = 0.186 ; Dầm sandwich được đặt tên theo tỷ lệ chiều dày các lớp bề mặt-lõi-bề mặt. Ví dụ dầm 1-8-1 có chiều dày các lớp bề mặt bằng nhau và chiều dày lớp lõi gấp 8 lần lớp bề mặt. Xét dầm chịu bốn dạng liên kết như sau : Hai đầu liên kết khớp (S-S) ; hai đầu liên kết ngàm (C-C) ; một đầu ngàm, một đầu tự do (C-F) ; một đầu ngàm, một đầu liên kết khớp (C-S). Trong các khảo sát sau đây độ võng và tải trọng không thứ nguyên được định nghĩa như sau [27]: w q .L4 = = 0 4 w ; q0 (22) h Eh Trong các tính toán số, kết quả hội tụ khi số lượng số hạng trong chuỗi nghiệm đạt đến m = 9 . 4.1. Kiểm chứng độ tin cậy của chương trình tính Tiến hành kiểm chứng độ tin cậy của chương trình tính với kết quả nghiên cứu của Zhang [27] trên dầm một lớp, đẳng hướng, sử dụng phương pháp Ritz, với các thông số : E = 70 GPa, ν = 0.3, h = 0.1 m, L/h = 20, kết quả kiểm chứng được thể hiện trong Bảng 2. Sai số so sánh lớn nhất chỉ ở mức 0.79% thể hiện độ tin cậy của chương trình tính mà bài báo đã xây dựng. Bảng 2. Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên w cho dầm một lớp, đẳng hướng dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều Điều kiện q L4 Nguồn q= 0 4 biên Eh 1 8 30 80 120 200 Zhang [27] 0,1474 0,598 1,053 1,515 1,748 2,086 SS-2 Bài báo 0,1474 0,5979 1,0532 1,5142 1,7474 2,0858 Sai lệch (%) 0,02 0,01 0,02 0,05 0,03 0,01 Zhang [27] 0,0321 0,246 0,7042 1,221 1,475 1,837 CC-2 Bài báo 0,0321 0,2463 0,7056 1,2249 1,4814 1,8457 Sai lệch (%) 0,28 0,28 0,36 0,52 0,67 0,79 4.2. Ảnh hưởng tỷ lệ khối lượng GPL tới tới độ võng lớn nhất Xét dầm sandwich 1-8-1 lõi xốp có L / h = 20 , tỷ phần khối lượng GPL gia cường thay đổi WPGL = (0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1; 1.2)% , chịu tải trọng phân bố đều q0 = 0;25;50;75;100;125;150;175;200 . Lõi có lỗ rỗng phân bố không đều đối xứng dạng 1 với hệ số lỗ rỗng e0 = 0.5 . Sự phân tán GPL ở hai lớp bề mặt là phân bố đều-UD; ở lớp lõi là phân bố dạng A. Kết quả khảo sát thể hiện trong Bảng 3 và Hình 5. Chúng ta dễ dàng nhận thấy quan hệ giữa độ võng lớn nhất và tải trọng theo quy luật phi tuyến. Khi tỷ phần khối lượng GPL càng lớn sẽ làm cho dầm có độ cứng tăng lên và làm giảm độ võng của dầm khi cùng xét trong một cấp tải trọng. Điều này thể hiện được tác dụng gia cường của vật liệu GPL. Bảng 3. Độ võng lớn nhất không thứ nguyên wmax của các dầm có điều kiện biên khác nhau với
219 265 Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz tỷ phần khối lượng GPL gia cường thay đổi ( e0 = 0.5 ; L / h = 20 ) q0 Biên WPGL 0 25 50 75 100 125 150 175 200 0.2% 0 0.9864 1.2946 1.5046 1.6693 1.8072 1.9270 2.0336 2.1302 0.4% 0 0.9454 1.2461 1.4506 1.6109 1.7449 1.8613 1.9649 2.0587 0.6% 0 0.9101 1.2044 1.4042 1.5607 1.6914 1.8049 1.9059 1.9973 H-H 0.8% 0 0.8792 1.1359 1.3281 1.4783 1.6038 1.7126 1.8093 1.8968 1.0% 0 0.8520 1.1359 1.3281 1.4783 1.6038 1.7126 1.8093 1.8968 1.2% 0 0.8276 1.1072 1.2963 1.4439 1.5672 1.6740 1.7690 1.8549 0.2% 0 0.5839 0.9291 1.1671 1.3518 1.5047 1.6362 1.7524 1.8568 0.4% 0 0.5368 0.8701 1.1023 1.2829 1.4325 1.5611 1.6746 1.7766 0.6% 0 0.4975 0.8198 1.0468 1.2237 1.3703 1.4963 1.6076 1.7076 C-C 0.8% 0 0.4643 0.7762 0.9984 1.1721 1.3160 1.4398 1.5491 1.6472 1.0% 0 0.4359 0.7381 0.9558 1.1265 1.2681 1.3899 1.4974 1.5940 1.2% 0 0.4113 0.7045 0.9180 1.0859 1.2254 1.3454 1.4513 1.5465 0.2% 0 0.8057 1.1334 1.3544 1.5265 1.6698 1.7938 1.9039 2.0033 0.4% 0 0.7601 1.0804 1.2962 1.4641 1.6038 1.7246 1.8318 1.9285 0.6% 0 0.7209 1.0347 1.2461 1.4104 1.5470 1.6651 1.7698 1.8642 C-H 0.8% 0 0.6868 0.9949 1.2024 1.3635 1.4975 1.6132 1.7157 1.8082 1.0% 0 0.6569 0.9597 1.1638 1.3222 1.4538 1.5674 1.6680 1.7588 1.2% 0 0.6303 0.9284 1.1294 1.2853 1.4148 1.5266 1.6256 1.7148 2.5 2 2.5 2 2 1.5 1.5 1.5 W =0.2% W =0.2% GPL GPL 1 W =0.2% W =0.4% W =0.4% GPL GPL GPL 1 W =0.4% W =0.6% W =0.6% 1 GPL GPL GPL W =0.6% W =0.8% W =0.8% GPL GPL GPL 0.5 W =0.8% W =1% W =1% GPL 0.5 GPL GPL 0.5 W =1% W =1.2% W =1.2% GPL GPL GPL W =1.2% GPL 0 0 0 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 a, Biên H-H b, Biên C-C c, Biên C-H Hình 5: Ảnh hưởng của tỷ phần khối lượng GPL tới chuyển vị lớn nhất của dầm 4.3. Ảnh hưởng hệ số lỗ rỗng e 0 lớp lõi tới tới độ võng lớn nhất Xét dầm sandwich 1-8-1 lõi xốp có L / h = 20 , tỷ phần khối lượng GPL gia cường trong dầm WPGL = 1% , chịu tải trọng phân bố đều q0 = 0;25;50;75;100;125;150;175;200 . Lõi xốp với lỗ rỗng phân bố không đều đối xứng dạng 1 với hệ số lỗ rỗng thay đổi e0 = 0;0.2; 0.4; 0.6; 0.8 . Mô hình gia cường GPL tại lớp bề mặt trên là FG-V, bề mặt dưới là FG-A và tại lớp lõi là dạng A. Kết quả khảo sát thể hiện trên Bảng 4 và Hình 6. Chúng ta quan sát thấy rằng quan hệ giữa tải trọng và độ võng là một quan hệ phi tuyến. Mặt khác, trong cùng 1 cấp tải trọng khi hệ số e0 tăng thì làm cho mật độ lỗ rỗng lớp lõi tăng thêm, dẫn đến độ cứng của dầm giảm. Vì vậy độ võng của dầm sẽ tăng lên. Tuy nhiên, sự tăng nhẹ của độ võng đã thể hiện ảnh hưởng không lớn của mật độ lỗ rỗng của lớp lõi đến độ võng của dầm. Điều này có thể hiểu là do độ cứng tổng thể của dầm không phụ thuộc nhiều vào lớp lõi. Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú, Hương Quý Trường
220 Bảng 4. Độ võng lớn nhất không thứ nguyên wmax của các dầm có điều kiện biên khác nhau với hệ số lỗ rỗng thay đổi ( WPGL = 1% ; L / h = 20 ) q0 Biên e0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 0.0 0 0.7714 1.0310 1.2066 1.3438 1.4584 1.5576 1.6459 1.7257 0.2 0 0.8003 1.0688 1.2505 1.3924 1.5109 1.6137 1.7050 1.7876 H-H 0.4 0 0.8332 1.1118 1.3004 1.4478 1.5709 1.6776 1.7724 1.8582 0.6 0 0.8714 1.1619 1.3586 1.5124 1.6408 1.7521 1.8511 1.9406 0.8 0 0.9177 1.2226 1.4291 1.5906 1.7254 1.8424 1.9463 2.0404 0.0 0 0.3825 0.6547 0.8527 1.0084 1.1377 1.2491 1.3473 1.4356 0.2 0 0.4007 0.6836 0.8887 1.0499 1.1837 1.2989 1.4005 1.4918 C-C 0.4 0 0.4217 0.7168 0.9301 1.0975 1.2365 1.3560 1.4615 1.5563 0.6 0 0.4467 0.7563 0.9792 1.1539 1.2989 1.4236 1.5337 1.6325 0.8 0 0.4792 0.8067 1.0413 1.2250 1.3773 1.5082 1.6238 1.7275 0.0 0 0.5877 0.8643 1.0507 1.1954 1.3156 1.4193 1.5111 1.5940 0.2 0 0.6120 0.8982 1.0911 1.2408 1.3651 1.4724 1.5674 1.6532 C-H 0.4 0 0.6397 0.9368 1.1371 1.2925 1.4216 1.5331 1.6318 1.7208 0.6 0 0.6721 0.9822 1.1911 1.3533 1.4879 1.6042 1.7073 1.8002 0.8 0 0.7124 1.0381 1.2575 1.4279 1.5694 1.6916 1.7998 1.8975 1.8 2 2 1.6 1.4 1.5 1.5 1.2 e0=0 e0=0 e0=0 1 e0=0.2 e0=0.4 1 1 e0=0.2 e0=0.2 0.8 e0=0.6 e0=0.4 e0=0.8 e0=0.4 0.6 e0=0.6 0.5 e0=0.6 0.5 0.4 e0=0.8 e0=0.8 0.2 0 0 0 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 a, Biên H-H b, Biên C-C c, Biên C-H Hình 6: Ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng e 0 tới độ võng lớn nhất của dầm 5. Kết luận Bài báo đã áp dụng phương pháp Ritz để phân tích ững xử tĩnh phi tuyến của dầm sandwich được gia cường bởi GPL chịu các điều kiện biên khác nhau. Khảo sát kiểm chứng cho thấy sự phù hợp giữa kết quả của bài báo với các kết quả đã công bố trên các tạp chí uy tín. Các khảo sát số được tiến hành sau đó để đánh giá sự ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng hay tỷ phần khối lượng vật liệu gia cường tới độ võng phi tuyến lớn nhất của dầm. Trong giới hạn của bài báo, tác giả chỉ giới thiệu một số kết quả khảo sát quan trọng cho thấy hiệu ứng phi tuyến, hiệu quả gia cường GPL và hiệu quả của kết cấu sandwich. Tài liệu tham khảo 1. Herrmann, A.S., P.C. Zahlen, and I. Zuardy, Sandwich structures technology in commercial aviation. Sandwich structures 7: Advancing with sandwich structures and materials, 2005: p. 13-26. 2. Vinson, J.R., The behavior of sandwich structures of isotropic and composite materials. 2018: Routledge. 3. Lefebvre, L.P., J. Banhart, and D.C. Dunand, Porous metals and metallic foams: current status and recent developments. Advanced Engineering Materials, 2008. 10(9): p. 775-787. 4. Badiche, X.,Forest, S.,Guibert,T.,Bienvenu, Y.,Mechanical properties and non-homogeneous deformation of open-cell nickel foams: application of the mechanics of cellular solids and of porous materials. Materials Science and Engineering: A, 2000. 289(1-2): p. 276-288. 5. Avalle, M., G. Belingardi, and R. Montanini, Characterization of polymeric structural foams under compressive impact loading by means of energy-absorption diagram. International Journal of Impact Engineering, 2001. 25(5): p. 455-472.
221 267 Phân tích phi tuyến tĩnh dầm sandwich gia cường GPL với các điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz 6. Wattanasakulpong, N. and V. Ungbhakorn, Analytical solutions for bending, buckling and vibration responses of carbon nanotube-reinforced composite beams resting on elastic foundation. Computational Materials Science, 2013. 71: p. 201-208. 7. Wu, H., J. Yang, and S. Kitipornchai, Nonlinear vibration of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite beams with geometric imperfections. Composites Part B: Engineering, 2016. 90: p. 86-96. 8. Shen, H.-S., Nonlinear bending of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite plates in thermal environments. Composite Structures, 2009. 91(1): p. 9-19. 9. Zhu, P., Z. Lei, and K.M. Liew, Static and free vibration analyses of carbon nanotube-reinforced composite plates using finite element method with first order shear deformation plate theory. Composite Structures, 2012. 94(4): p. 1450-1460. 10. Ke, L.-L., J. Yang, and S. Kitipornchai, Nonlinear free vibration of functionally graded carbon nanotube- reinforced composite beams. Composite Structures, 2010. 92(3): p. 676-683. 11. Song, M., S. Kitipornchai, and J. Yang, Free and forced vibrations of functionally graded polymer composite plates reinforced with graphene nanoplatelets. Composite Structures, 2017. 159: p. 579-588. 12. Yang, J., H. Wu, and S. Kitipornchai, Buckling and postbuckling of functionally graded multilayer graphene platelet-reinforced composite beams. Composite Structures, 2017. 161: p. 111-118. 13. Feng, C., S. Kitipornchai, and J. Yang, Nonlinear free vibration of functionally graded polymer composite beams reinforced with graphene nanoplatelets (GPLs). Engineering Structures, 2017. 140: p. 110-119. 14. Shen, H.-S., Y. Xiang, and F. Lin, Nonlinear bending of functionally graded graphene-reinforced composite laminated plates resting on elastic foundations in thermal environments. Composite Structures, 2017. 170: p. 80-90. 15. Barati, M.R. and A.M. Zenkour, Post-buckling analysis of refined shear deformable graphene platelet reinforced beams with porosities and geometrical imperfection. Composite Structures, 2017. 181: p. 194-202. 16. Wang, T., Non-linear bending of beams with uniformly distributed loads. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1969. 4(4): p. 389-395. 17. Varadan, T., B.S.S. Kumar, and G. Prathap, A general iterative numerical approach to the finite deflection analysis of beams. Computers & structures, 1986. 22(2): p. 123-130. 18. Heyliger, P. and J. Reddy, A higher order beam finite element for bending and vibration problems. Journal of sound and vibration, 1988. 126(2): p. 309-326. 19. Feng, C., S. Kitipornchai, and J. Yang, Nonlinear bending of polymer nanocomposite beams reinforced with non-uniformly distributed graphene platelets (GPLs). Composites Part B: Engineering, 2017. 110: p. 132-140. 20. Karama, M., K. Afaq, and S. Mistou, Mechanical behaviour of laminated composite beam by the new multi- layered laminated composite structures model with transverse shear stress continuity. International Journal of solids and structures, 2003. 40(6): p. 1525-1546. 21. Chen, D., S. Kitipornchai, and J. Yang, Nonlinear free vibration of shear deformable sandwich beam with a functionally graded porous core. Thin-Walled Structures, 2016. 107: p. 39-48. 22. Roberts, A.P. and E.J. Garboczi, Elastic moduli of model random three-dimensional closed-cell cellular solids. Acta materialia, 2001. 49(2): p. 189-197. 23. Kitipornchai, S., D. Chen, and J. Yang, Free vibration and elastic buckling of functionally graded porous beams reinforced by graphene platelets. Materials & Design, 2017. 116: p. 656-665. 24. Rafiee, M.A., et al., Enhanced mechanical properties of nanocomposites at low graphene content. ACS nano, 2009. 3(12): p. 3884-3890. 25. Tjong, S.C., Recent progress in the development and properties of novel metal matrix nanocomposites reinforced with carbon nanotubes and graphene nanosheets. Materials Science and Engineering: R: Reports, 2013. 74(10): p. 281-350. 26. Yeh, M.-K., N.-H. Tai, and J.-H. Liu, Mechanical behavior of phenolic-based composites reinforced with multi- walled carbon nanotubes. Carbon, 2006. 44(1): p. 1-9. 27. Zhang, D.-G., Nonlinear bending analysis of FGM beams based on physical neutral surface and high order shear deformation theory. Composite Structures, 2013. 100: p. 121-126. Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú, Hương Quý Trường